　直線 $YI$ と $\Gamma$ の交点のうち $Y$ でない方を $Z$ とすると，$\angle XYZ = 90^\circ$ より $XZ$ は $\Gamma$ の直径である．これと $BX = CX$ を合わせて $BZ = CZ$ が従う．このとき，$\angle BCI = \theta, \ \angle CBI = \phi$ とおくと，$\angle BCZ = \angle CBZ = \theta + \phi$ より $\angle ICZ = \phi, \ \angle IBZ = \theta$ が分かり，$BZ, \ CZ$ はいずれも三角形 $BIC$ の外接円の接線になっていると分かる．これより，直線 $ZI$ は三角形 $BIC$ の symmedian になっていると分かる．これより，symmedian の性質より，直線 $ZI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると，$BD : DC = BI^2 : IC^2$ が成立すると分かる．そして，$BZ = CZ$ より，$BY : YC = BD : DC$ が成り立つことも分かる．よって，$BY : YC = BI^2 : IC^2$ が従う．\
　また，symmedian の性質より，$BC$ の中点を $N$ とすると，$\angle BID = \angle CIN$，つまり，$\angle BIN = \angle CID = 90^\circ$ が分かる．これより，直線 $NI$ と $AB$ の交点を $E$ とすると，$\triangle BIN \equiv \triangle BIE$ が分かる．また，簡単な角度計算により，$\triangle AEI \sim \triangle INC$ も分かる．これより，$AI : IC = 1 : k$ とすると，$EI : NC = 1 : k$ となり，$EI = IN$ と合わせて，$IN : NC = 1 : k$ が分かる．これと，$\triangle BIN$ に三平方の定理を適用した結果を合わせて，$BI : IN : NC = \sqrt{k^2 - 1} : 1 : k$ が従う．さらに，$\triangle BIC$ に中線定理を適用することによって，$BI : IC = \sqrt{k^2 - 1} : \sqrt{k^2 + 3}$ も従う．よって，$BY : YC = k^2 - 1 : k^2 + 3$ が従う．\
　これより，$AI : IC = BY : YC$ と合わせて，$k^3 - k^2 - k - 3 = 0$ が従う．よって，$f(X) = X^3 - X^2 - X - 3$ となり，求めるべき値は $f(10) = \mathbf{887}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/OMC233/editorial/11424
　$\angle CAI=\alpha, \angle CIA=\gamma$ とおく．正弦定理より $AI:CI=\sin \gamma : \sin \alpha$ である．\
　角度追跡によって，$\triangle BIY, \triangle ICY$ はいずれも直角三角形であり，$\angle ICY=\angle BIY=\alpha$ であることがわかる．よって $BY:CY=\sin ^2 \alpha : 1$ である．$AI:CI=BY:CY$ より $\sin \gamma=\sin ^3 \alpha$ が成り立つ．\
　一方，$\triangle IXY$ も直角三角形であり，$\angle IXY=\alpha + \gamma $ である．$XI=XC=2R \sin \alpha$（ここで $R$ は外接円 $\Gamma$ の半径），$\angle YCX=\gamma$ より $XY= 2R \sin \gamma$．従って
$$\cos \angle IXY=\cos (\alpha + \gamma)=\dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$$
である．

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　ここからは完全に代数パートである．\
　$\sin \alpha=s, \sin \gamma =t$ とおく．求めたいものは $\dfrac{s}{t}=x$ の最小多項式である．\
　$\sin \gamma=\sin ^3 \alpha$ より $t=s^3$．従って，$s^2=\dfrac{1}{x}$，$t^2=\dfrac{1}{x^3}$ を得る．\
　最後に $\cos (\alpha + \gamma)=\dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$ を使おう．加法定理を用いて
$$\cos \alpha \cos \gamma =  \dfrac{t}{s}+st$$
と変形しておき，両辺二乗してから $\cos ^2 \alpha =1-s^2$ などを用いればあとは単純な計算で $x$ の最小多項式を得ることができる．
三角比
https://onlinemathcontest.com/contests/OMC233/editorial/11424/688
　公式解説と同様にsymmedianがわかる．
$$\frac{AI}{CI}=\frac{BI^2}{CI^2}$$
なので，$AI=1,CI=x$ とおくと $BI=\sqrt{x}$ となる．  
　また，$CI\parallel XY$ より $\angle IBY=\angle CIY=90^\circ$ なので
$$CY=\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}$$
がわかる．  
　さらに，$CI\parallel XY,CX=IX,\angle IYX=90^\circ$ より $XY=\frac{x}{2}$ なので，直線 $BC$ と直線 $IX$ との交点を $P$ とすると
$$\frac{CP}{PY}=\frac{IP}{PX}=2$$
となる．  
　一方，
$$\angle CAP=\angle CYX=\angle YCI$$
なので，余弦定理より
$$CX=\sqrt{\frac{x^3+3x^2}{4x-4}}$$
がわかり，これと $AP\cdot IP=CP^2$ から $x^3-x^2-x-3=0$ を得る．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/OMC233/editorial/11424/692
　$AB\neq AC$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$ とし，三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．直線 $AI$ と $\Gamma$ の交点のうち $A$ でない方を $X$ とし，$IX$ を直径とする円と $\Gamma$ の交点のうち，$X$ でない方を $Y$ とすると，
$$CI \parallel XY, \quad AI : CI = BY : CY$$ 
が成立しました．このとき，$\dfrac{CI}{AI}$ の値は一意に定まるので，その値の最小多項式を $f$ とします．$f(10)$ 以下の最大の整数を解答してください．

<details><summary>最小多項式とは<\/summary>
　$m$ を根にもつ有理数係数多項式のうち，次数が最小であり，かつ最高次の係数が $1$ であるものを (このようなものは一意に存在する)，$m$ の**最小多項式**とよびます．
<\/details>