　与式の左辺を $f(x)$ とおく．三角不等式より次が成り立つため，特に $|x|\leq 100$ において $f(x)\lt 10^{5}$．
$$f(x)=\sum_{k=-100}^{100}|x+k|\leq\sum_{k=-100}^{100}(|x|+|k|)=201|x|+10100$$
また $|x|\gt 100$ においては $f(x)=201|x|$ が成り立つ．以上より $S=\dfrac{200000}{201}$ とわかり，特に解答すべき値は $\textbf{200201}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/2242
　次をみたす実数 $x$ は有限個であることが証明できるので，それらすべてに対する $|x|$ の総和を $S$ とします．
$$\sum_{k=-100}^{100}|x+k|=100000$$
　$S$ は互いに素な正整数 $a,b$ によって $S=\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．