　それぞれ線分 $BC,BE$ 上に点 $F,G$ を, $DBF$ および $GBC$ が正三角形となるようにとると, $DFC$ と $EGC$ は相似であり, 特に以下が成り立つ：
$$BC:FC=GC:FC=EC:DC=10:DC$$
また, $D$ から $BF$ におろした垂線の足を $H$ とすると, 
$$(7-DC):7=AD:AC=BH:BC=(BC-FC):2BC$$
これらを連立させることで $DC=70\/13$ が得られるから, 特に解答すべき値は $\textbf{83}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc085/editorial/2383
　角 $B$ が直角である三角形 $ABC$ において, 辺 $AC$ 上の点 $D$ および直線 $BD$ の $D$ 側の延長線上の点 $E$ が以下の条件をみたしています：
$$AC=7,\quad CE=10,\quad \angle DBC=\angle ECD=60^\circ$$
このとき, $CD$ の長さは互いに素な正整数 $x,y$ によって $\dfrac{x}{y}$ と表されるので, $x+y$ を解答してください.