　百の位と一の位の偶奇が一致すれば，適する十の位が一意に定まる．ともに奇数であるものは $5^2$ 通り，ともに偶数であるものは（一の位は $0$ でも良いことに留意して）$4\times 5$ 通りであるから，全体では $\mathbf{45}$ 通りである．なお，公差としてあり得るのは $-4$ 以上 $4$ 以下であることから，それぞれ数え上げてもよい．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc143/editorial/4762
　$3$ 桁（$100$ 以上 $999$ 以下）の正整数のうち，百の位・十の位・一の位がこの順に等差数列をなすものはいくつありますか？