　簡単な角度計算により三角形 ${AX_1X_6}$ と三角形 ${AX_5X_2}$ は相似である．またこれは三角形 ${BX_3X_2}$ や三角形 ${CX_5X_4}$ にも同じことが言えるので $AX_2=42a, AX_6 = 55a$ とおくと以下の式が成り立つ．
$$\dfrac{91}{273}(55a - 42 + 91)+112=\dfrac{48}{112}(42a - 55 + 48)+273$$
これを解けば $a=425$ が求まるので，これを使って計算すれば答えは $\bf{17898}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/editorial/4071
　三角形 $ABC$ は $6$ つの点 $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,X_6$ で円 $\omega$ に交わっていて以下のことが分かっています．
- $AB$ 上の点 $A,X_1,X_2,B$ はこの順に並んでいて $AX_1=55,X_2B=48$ である．
- $BC$ 上の点 $B,X_3,X_4,C$ はこの順に並んでいて $BX_3=112,X_4C=273$ である．
- $CA$ 上の点 $C,X_5,X_6,A$ はこの順に並んでいて $CX_5=91,X_6A=42$ である．

このとき $AB$ を求めてください．