　直線 $BC, AB$ と $PQ$ の交点をそれぞれ $S, T$ とする．切り口 $\alpha$ は図1のようにかけるので，$\alpha$ が $\beta$ 上につくるそれぞれの影の図形は図2のようにかける．図2から，
$$△BST:△BTR:△BRS = x:y:z = 10:6:5$$
とわかるので，$BS:BT:BR=5:6:3$ を得る．よって，立方体の一辺の長さを $1$ とすれば，
$$BR = \frac{3}{5}BS = \frac{3}{5}(BC + CS) = \frac{3}{5}\Big(BC + \frac{5}{6}CP\Big) = \frac{17}{20}$$
である．特に解答すべき値は $\bm{37}$ である． 

![figure 1](\/images\/jzSxIy4oGQJNIk3JKe6p5DDIVvh7CoLiXNBopqlz)
![figure 2](\/images\/730DtkrFhZXYtYNYe6bBINKuPylBifxm3Oc797P1)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc204/editorial/5044
　$B$ を原点とし，$BC,BA,BF$ 上に $x,y,z$ 軸をとり，$\alpha$ の法線ベクトルの一つを
 $\vec{n}=
\begin{pmatrix}
   a_1  \\\\
   a_2  \\\\
   a_3
\end{pmatrix}$ 
とおく．($a_1,a_2,a_3$ は正となる．)  
また，立方体の一辺は $1$ とする．  
一般に，なす角が $\theta$ の二つの平面 $\alpha,\beta$ に対し，交線を $d$ とすると，平面 $\alpha$ 上の図形 $D$ を平面 $\beta$ に正射影して得られる図形は，$D$ を $d$ に垂直な方向に $\cos\theta$ 倍偏倍して得られる図形と合同であり，この偏倍により面積は $\cos\theta$ 倍される．  
よって，$\alpha$ の面積を $S$ とし，$\alpha$ と $yz$ 平面，$zx$ 平面，$xy$ 平面のなす角をそれぞれ $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ とおくと，$x=S\cos\theta_3,y=S\cos\theta_1,z=S\cos\theta_2$ となり，$\cos\theta_1:\cos\theta_2:\cos\theta_3=6:5:10$ となる．  
$\vec{p_1}=
\begin{pmatrix}
   1  \\\\
   0  \\\\
   0
\end{pmatrix}
, \vec{p_2}=
\begin{pmatrix}
   0  \\\\
   1  \\\\
   0
\end{pmatrix}
, \vec{p_3}=
\begin{pmatrix}
   0  \\\\
   0  \\\\
   1
\end{pmatrix}$ 
とおくと，$\cos\theta_i=\dfrac{\vec{n}\cdot\vec{p_i}}{|\vec{n}||\vec{p_i}|}=\dfrac{a_i}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}}$ であるので，$a_1:a_2:a_3=6:5:10$ となり，$\alpha$ を含む平面の式は $6x+5y+10z=k$ とおける．  
この平面は $P(1,\dfrac{1}{2},0)$ を通るので，$k=\dfrac{17}{2}$ となり，$z$ 切片は $\dfrac{17}{20}$ となる．  
よって，$\dfrac{BR}{BF}=\dfrac{17}{20}$ であり，特に，解答すべき数値は $\textbf{37}$．
空間座標で考える
https://onlinemathcontest.com/contests/omc204/editorial/5044/403
　透明な立方体 $ABCD-EFGH$ の辺 $CD, DA, BF$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ をとり，立方体 $ABCD-EFGH$ の $3$ 点 $P,Q,R$ を通る平面による切り口 $\alpha$ を黒く塗ります．面 $EFGH, CDHG, AEHD$ について，それぞれの面を下にして立方体 $ABCD-EFGH$ を水平な地面 $\beta$ に置き，$\beta$ に垂直な平行光線をあてるとき，$\alpha$ が $\beta$ 上につくる影の面積を順に $x,y,z$ とします．
$$CP=DP, \quad x:y:z=10:6:5$$
であるとき，$\dfrac{BR}{BF}$ を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．