　与式で $y$ を固定すれば $f$ は全射であることがわかり, 特に $f(a)=0$ なる $a$ がとれる. このとき与式で $x=a$ とすれば $a=1$ であり, これより与式で $y=1$ とすれば以下が成り立つ：
$$f(f(x)+1)=x-1$$
よって与式で $(x,y)=(f(n)+1,0)$ とすれば
$$f(n-1)=f(n)+f(0)$$
が得られ, これより $k$ を整数として $f(n)=k(n-1)$ という形であることが分かる. これを与式に代入することで $k=\pm 1$ が得られるから, 特に解答すべき値は $\bm{4042}$ である． \
　なお $f(b)=1$ なる $b$ について $x=b$ としても $f$ が一次関数であることは従う．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc069/editorial/2090
　整数に対して定義され整数値をとる関数 $f$ は, 任意の整数 $x,y$ に対して以下をみたします：
$$f(f(x)+y)+1=x+f(y)$$
このような $f$ として考えられるものすべてに対し, 値 $|f(2022)|$ の総和を解答してください．