**解答1.**　各味の分配を独立に考えればよい. ある味の飴について, A,B君に一つも分配しない方法がそれぞれ $51$ 通りあるから, いずれにも分配しない方法の重複を考えれば $M=(2\times 51-1)^7=101^7$ を得る.

**解答2.**　天下り的だが, 以下の「問題」を考えよう. 元の問題は $k=7,a_1=\cdots=a_7=50$ の場合に等価である.

**問題.**　正整数 $n$ が $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ と素因数分解されるとする. 相異なるとは限らない二つの $n$ の正の約数の順序付いた組であって, それらが互いに素であるものはいくつあるか？

　条件をみたす組 $(d,e)$ に対し $M=de$ とおき, さらに各 $i$ について $d$ が $p_i$ で割り切れるとき $M$ に $p_i^{a_i}$ を掛けることを考えると, 条件をみたす組 $(d,e)$ と $n^2$ の正の約数 $M$ が一対一に対応することが容易にわかる. 具体的には, 求める場合の数は $(2a_1+1)(2a_2+1)\cdots(2a_k+1)$ 通りであり, 元の問題でも $M=101^7$ を得る.\
　具体的計算は二項定理を用いることで $\textbf{107213535210701}$ と容易く実行できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc024/editorial/144
　$7$ 種類の味の飴がそれぞれ $50$ 個ずつあります. 同じ味の飴を区別**しない**とき, これら $350$ 個の飴それぞれをA君, B君, C君のいずれかに**すべて**分配する方法であって, A君とB君が同じ味の飴を共有しないものは $M$ 通りあります.\
　$M$ を解答してください. ただし, 一つも飴をもらえない人が存在することを許すものとします.