　一般にカードの枚数が $2^{n}$ である場合を考え, 求める場合の数を $T_{n}$ とする. $T_{n}$ を用いて $T_{n+1}$ を表そう. カードに書かれた整数が左から
$$P_1,P_2,\ldots,P_{2^n},Q_1,Q_2,\ldots,Q_{2^n}$$
であるとし, $P$ のみ, $Q$ のみをそれぞれ $2^n-1$ 回操作したとき, 最後の並びがそれぞれ
$$P^{\prime}\_1,P^{\prime}\_2,\ldots,P^{\prime}\_{2^n}\quad Q^{\prime}\_1,Q^{\prime}\_2,\ldots,Q^{\prime}\_{2^n}$$
であるとする. このとき,  $2^{n+1}$ 枚のカードに対して $2^{n+1}-1$ 回操作したとき, 最後の並びは
$$\begin{aligned}
&P^{\prime}\_{1},P^{\prime}\_{2},\ldots,P^{\prime}\_{2^{n}-2^{n-1}},\\\\
&Q^{\prime}\_{1}, Q^{\prime}\_{2},\ldots Q^{\prime}\_{2^{n}-2^{n-1}}, \\\\
&P^{\prime}\_{2^{n}-2^{n-1}+1}, \ldots, P^{\prime}\_{2^{n}-2^{n-2}}, \\\\
&Q^{\prime}\_{2^{n}-2^{n-1}+1}, \ldots, Q^{\prime}\_{2^{n}-2^{n-2}}, \ldots \\\\
&P^{\prime}\_{2^{n}-1}, Q^{\prime}\_{2^{n}-1}, \min\\{P^{\prime}\_{2^{n}}, Q^{\prime}\_{2^{n}}\\}, \max\\{P^{\prime}\_{2^{n}}, Q^{\prime}\_{2^{n}} \\}
\end{aligned}$$
となる. 右端のカードに書かれた整数は常に $2^{n+1}$ であることに留意せよ. $2^{n+1}$ 枚のカードを順序を考えずに組 $P$ と組 $Q$ に振り分ける方法は ${}\_{2^{n+1}} \mathrm{ C }\_{2^n}$ 通りである.  このうち $2^{n+1}-1$ と $2^{n+1}$ の書かれたカードが分かれる場合に限り, これらを入れ替えても最終結果は一致するから,
$$T\_{n+1} =( {}\_{2^{n+1}}\mathrm{ C }\_{2^{n}} -  {}\_{2^{n+1}-2}\mathrm{ C }\_{2^{n}-1})\times{T_n}^2={}\_{2^{n+1}-2}\mathrm{ C }\_{2^{n}-1}\times\dfrac{3\times 2^{n-1}-1}{2^{n-1}}\times{T_n}^2.$$
　さて, この係数が持つ素因数 $2$ の個数は,  $n=1$ で $2$ 個, $n \geq 2$ で $1$ 個であることがわかるから, $X=191$ である. 同様に $61$ について $n=5$ で $1$ 個あるのみで, $Y=4$ である. よって求めるべき値は, $XY=\textbf{764}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc124/editorial/2662
　$1$ 以上 $256$ 以下の整数のうち $1$ つがそれぞれ $1$ 回ずつ書かれた，計 $256$ 枚のカードがあります．これらのカードを混ぜ，適当な順序で横一列に並べます．ここへ，以下の操作を $i=1,2,\ldots,255$ の順に計 $255$ 回繰り返します：

- 左から $i$ 枚目のカードと $i+1$ 枚目のカードのうち，書かれた整数が大きい方を**右端**に動かす．

　最終的に並んでいるカードの順序としてあり得るものは $M$ 通りあります．$M$ が $2,61$で割り切れる最大の回数をそれぞれ $X,Y$ とするとき，$XY$ を求めてください.