　$S(k)\equiv k \pmod{9}$ より $n^2\equiv (n+1)^2\pmod{9}$ であるから, $n\equiv 4\pmod{9}$ が必要である. これをもとに $6$ 個の候補をそれぞれ調べることで, $n=4,13,22,49$ が条件をみたすから, 解答すべき総和は $\textbf{88}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/editorial/1688
　正整数 $k$ の (十進法での) 各桁の和を $S(k)$ で表すとき, $S(n^2)=S((n+1)^2)$ をみたす $50$ 以下の正整数 $n$ をすべて求め, それらの総和を解答してください.