　$3000$ 個のボールがあり, $1000$ 個ずつが同じ色で塗られている状況を考える. このうち $1500$ 個を選ぶ方法は $\_{3000}\mathrm{C}\_{1500}$ 通りある. 一方で, 各色ごとに独立して考えることで, これは $M$ 通りにも等しいことがわかるから, 求める値はLegendreの定理より $2999\times 2^{2993-2\times1493}=\mathbf{383872}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc025/editorial/152
　 $(1+x)^{1000}(1+x)^{1000}(1+x)^{1000}=(1+x)^{3000}$ の $x^{1500}$ の係数を考えて， $M={}\_{3000}\mathrm{C}\_{1500}$ とわかる．\
  $M$ のもつ最大の素因数は $2999$ である．また， $M=\dfrac{3000!}{1500!1500!}$ の $2$ で割り切れる回数については，OMC039(D)の解説にある補題を用いることで， $1500,3000$ を $2$ 進法で表した時の $1$ の個数が $7$ であることから， $3000-7-(1500-7)-(1500-7)=7$ となる．\
 以上より，解答すべき数値は $2999\cdot2^{7}=\textbf{383872}$
多項式の利用
https://onlinemathcontest.com/contests/omc025/editorial/152/118
　$i+j+k=1500$ かつ $i,j,k\leq 1000$ なる非負整数の順序付いた組 $(i,j,k)$ すべてについて,
$$\_{1000}{\mathrm{C}}\_{i}\times{}\_{1000}{\mathrm{C}}\_{j}\times{}\_{1000}{\mathrm{C}}\_{k}$$
の総和を $M$ とします. $M$ を割り切る最大の素数と, $M$ を割り切る最大の $2$ べきの**積**を求めてください.\
　例えば $M=3080=2^3\times5\times7\times11$ であったならば, 解答すべき値は $2^3\times11=88$ です.\
　なお, [**こちら**](https:\/\/www.mathsisfun.com\/numbers\/prime-numbers-to-10k.html)の素数表を用いても構いません.