　$n\geq 5$ のとき, $n!+5$ が $5$ より大きい $5$ の倍数となるため不適である. $n\leq 4$ の範囲で調べれば,
$$(n,p)=(2,7),(3,11),(4,29)$$
が解となる. したがって, 特に解答すべき値は $\textbf{163}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc063/editorial/2374
　$n!+5=p$ をみたす正整数 $n$ および素数 $p$ の組 $(n,p)$ すべてについて, $np$ の総和を求めてください.