　左から $k$ 個目のマスに駒があるとき, その駒に得点 $k - 1$ を割り当て, 各盤面について $100$ 個の駒の得点の総和をその盤面の得点とする. このとき, 各手番の前後での盤面の得点の差は $2$ 以上 $9$ 以下である. また, ゲーム開始時の盤面の得点は $0$ 点であり, ゲーム終了時の盤面の得点は $100(n -1) - 1 = 100n - 101$ 点以上である. したがってこのゲームは, 安達さんを先攻として, 安達さんと島村さんが $0$ に交互に $2$ 以上 $9$ 以下の好きな数を足していき, $100n - 101$ 以上にしたほうが勝ちというゲームに言い換えられる.\
　結論から言うと, このゲームには $n \equiv 1,2 \pmod{11}$ のとき島村さんに必勝法があり, それ以外のとき安達さんに必勝法があることが以下から分かる. 特にその総和は $\textbf{4131}$ である. 

- $n \equiv 1 \pmod{11}$ のとき\
　島村さんは盤面の得点が $11$ を法として $100n - 100$ と等しくなるように常に操作できる. 
- $n \equiv 2 \pmod{11}$ のとき\
　島村さんは盤面の得点が $11$ を法として $100n - 101$ と等しくなるように常に操作できる. 
- $n \equiv 3 \pmod{11}$ のとき\
　安達さんは盤面の得点が $11$ を法として $100n - 100$ と等しくなるように常に操作できる. 
- $n \equiv 0,4,5,\ldots,10 \pmod{11}$ のとき\
　安達さんは盤面の得点が $11$ を法として $100n - 101$ と等しくなるように常に操作できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc074/editorial/1808
　$n$ を $2$ 以上 $100$ 以下の整数とします. 左右に並んだ $n$ 個のマスと $100$ 個の駒を使って, 安達さんと島村さんは次のようなゲームを行います.\
　はじめ, すべての駒は左端のマスに置かれています. 先攻を安達さんとして, 二人は自分の手番で次の操作を $2$ 回以上 $9$ 回以下の好きな回数繰り返します：

- 右端のマス以外に置かれている駒を一つ選び, それを現在置かれているマスの一つ右のマスに移動する.

先に自分の手番を正しく遂行することができなくなった方が負けとなり, もう一方が勝ちとなります.\
　このとき, 安達さんが最善を尽くすことで必ず勝てるような $n$ の総和を求めてください.