公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8469
最初の $3$ 人が (白,白,白),(白,白,赤),(白,赤,白),(白,赤,赤),(赤,白,白)の順であるときは $4$ 番目の生徒はこれが良い並びでないと判定できる．  
最初の $3$ 人が (赤,赤,赤)の時は残りが(赤,白,白,白,白)のときは良い並びだが，(白,白,白,白,赤)の時は良い並びでないので，$4$ 番目の生徒は先頭 $3$ 人の情報だけからは良い並びか否か判断できない．  
最初の $3$ 人が(赤,赤,白),(赤,白,赤) の時は残りが(赤,赤,白,白,白)のときは良い並びだが，(白,白,白,赤,赤)の時は良い並びでないので，$4$ 番目の生徒は先頭 $3$ 人の情報だけからは良い並びか否か判断できない．  
以上より，最初の $3$ 人が(赤,赤,赤),(赤,赤,白),(赤,白,赤)であるような並びの総数を求め， $5+10+10=\textbf{25}$ 通り．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8469/212
作問：児玉

　以下の $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまる整数を解答して下さい.
***
　$8$ 人の生徒が前から後ろに一列に並んでいます．これらの生徒のうち $4$ 人に赤い帽子を，残りの $4$ 人に白い帽子をかぶせます．次の条件が成り立つとき，生徒の並びは**良い並び**であるということにします：
- 「前の生徒が赤い帽子，後ろの生徒が白い帽子をかぶっているような，前後に隣り合う $2$ 人の生徒を選び，その $2$ 人を列から抜けさせる」ことを繰り返して，すべての生徒を列から抜けさせることができる．

　それぞれの生徒は，自分より前に並んでいる生徒（自分を除く）の帽子の色のみを知ることができます．帽子のかぶせ方は全部 $70$ 通りありますが，そのうち前から $4$ 番目の生徒が，自分たちの並び方が良い並びかどうか判断できないような帽子のかぶせ方は $\boxed{\phantom{nada}}$ 通りあります．