　$N=100$とする. $a^2=a+2{}\_a\mathrm{C}{}\_2$ などが成立することに留意すれば, $(abc)^2$ は以下のように書きかえられる.
$$abc+
2(ab{}\_c\mathrm{C}{}\_2+bc{}\_a\mathrm{C}{}\_2+ca{}\_b\mathrm{C}{}\_2)+
4(a{}\_b\mathrm{C}{}\_2\cdot{}\_c\mathrm{C}{}\_2+b{}\_c\mathrm{C}{}\_2\cdot{}\_a\mathrm{C}{}\_2+c{}\_a\mathrm{C}{}\_2\cdot{}\_b\mathrm{C}{}\_2)+
8({}\_a\mathrm{C}{}\_2\cdot{}\_b\mathrm{C}{}\_2\cdot{}\_c\mathrm{C}{}\_2)$$ 
　$N+2$ 個の白丸のうち $5$ 個を黒く塗りつぶすような場合の数を考えると, 左から $2$ 個目, $4$ 個目の黒丸の位置を固定して考えることで, すべての組についての $abc$ の総和と等しくなる. 
同様に, $N+2$ 個の白丸のうち $6$ 個を黒く塗りつぶす場合の数を左から $2$ 個目, $4$ 個目の黒丸の位置を固定して考えることで $ab{}\_c\mathrm{C}{}\_2$ の総和を得る. \
　残りの項も同様に考えることで $(abc)^2$ の総和は以下のように求められる：
$$\begin{aligned}
&\quad {}\_{N+2}\mathrm{C}{}\_5+2\times3\times{}\_{N+2}\mathrm{C}{}\_6+4\times3\times{}\_{N+2}\mathrm{C}{}\_7+8\times{}\_{N+2}\mathrm{C}{}\_8 \\\\
&={}\_{N+2}\mathrm{C}{}\_5\bigg(1+6\times\frac{N-3}{6}+12\times\frac{(N-3)(N-4)}{6\times7}+8\times\frac{(N-3)(N-4)(N-5)}{6\times7\times8}\bigg) \\\\
&= {}\_{N+2}\mathrm{C}{}\_5 \times \frac{N(N^2+5)}{42}\\\\
&= \bf{1984126567500}.
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc126/editorial/3270
　一般に条件を $a+b+c=N(\geq 3)$ とする．形式的冪級数として次が成立する．
$$\sum_{n\geq 0}n^2x^n=\dfrac{x+x^2}{(1-x)^3}$$

<details>
　次のように導出できる．
$$\begin{aligned}
\sum_{n\geq 0}n^2x^n
&=\sum_{n\geq 0}(n(n-1)+n)x^n\\\\
&=x^2\sum_{n\geq 2}n(n-1)x^{n-2}+x\sum_{n\geq 1}nx^{n-1}\\\\
&=x^2\left(\sum_{n\geq 0}x^n\right)^{\prime\prime}+x\left(\sum_{n\geq 0}x^n\right)^{\prime}\\\\
&=x^2\left(\frac{1}{1-x}\right)^{\prime\prime}+x\left(\frac{1}{1-x}\right)^{\prime}\\\\
&=x^2\frac{2}{(1-x)^3}+x\frac{1}{(1-x)^2}\\\\
&=\frac{x+x^2}{(1-x)^3}
\end{aligned}$$

　あるいはより機械的な導出として，$F(x)=\sum_{n\geq 0}n^2x^n$ とすれば
$$\begin{aligned}
(1-x)F(n)&=0^2+\sum_{n\geq 1}(n^2-(n-1)^2)x^n=\sum_{n\geq 1}(2n-1)x^n,\\\\
(1-x)^2F(n)&=(2\cdot 1-1)x+\sum_{n\geq 2}((2n-1)-(2(n-1)-1))x^n\\\\
&=x+\sum_{n\geq 2}2x^n=x+\frac{2x^2}{1-x}=\frac{x+x^2}{1-x}
\end{aligned}$$
となることから従う．
<\/details>

　従って求める値は $\left(\dfrac{x+x^2}{(1-x)^3}\right)^3$ の $x^{N}$ の係数であり，
$$(x+x^2)^3=x^3+3x^4+3x^5+x^6,\quad\dfrac{1}{(1-x)^9}=\sum_{n\geq 0}\binom{n+8}{8}x^n$$
に注意すればそれは
$$
\binom{N-3+8}{8}+3\binom{N-4+8}{8}+3\binom{N-5+8}{8}+\binom{N-6+8}{8}
=\frac{(N^2-4)(N^2-1)N^2(N^2+5)}{7!}$$
と求められる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc126/editorial/3270/152
　$a+b+c=100$ を満たす順序付いた正整数の組 $(a, b, c)$ すべてについて，$(abc)^2$ の総和を求めてください.