　選んだ $3$ 数が $\\{1,2,3\\},\\{1,1,2\\},\\{1,1,3\\}$ であるとき, 三角形を作ることができない. ボールをすべて区別するとき, 一つ目になる選び方は $10^3$ 通り, 二つ目および三つ目になる選び方は ${}\_{10}\mathrm{C}\_{2}\times 10$ 通りであるから, 求める確率は
$$1-\dfrac{10^3+2\times({}\_{10}\mathrm{C}\_{2}\times 10)}{{}\_{30}\mathrm{C}\_{3}}=\dfrac{108}{203}$$
であり, 特に解答すべき値は $\textbf{311}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1601
　箱の中に $1,2,3$ と書かれた球がそれぞれ $10$ 個ずつ, 計 $30$ 個入っています. ここから $3$ つの球を同時に取り出したとき, それらに書かれた $3$ 数を三辺の長さとする非退化な三角形が作れる確率は, 互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せます. $a+b$ を解答してください.  ここで, $3$ 頂点が同一直線上にないような三角形を**非退化**であると呼びます.