$$\begin{aligned}
P &= 1! × (1! × 2) × 3! × (3! × 4) × \cdots × 599! × (599! × 600) \\\\
&= (1! × 3! × \cdots × 599!)^2 × (2 × 4 × \cdots × 600) \\\\
&= (1! × 3! × \cdots × 599!)^2 × (2^{150})^2 × 300!
\end{aligned}$$
であるから，$n = 300$ は題意を満たすことが確認できる．\
　逆に，$n = 299$ のとき
$$Q = (1! × 3! × \cdots × 599!)^2 × (2^{150})^2 × 300$$
は平方数でなく，また $n\leq 292$ のとき $Q$ は素因数に $293$ を奇数個もち，$293\leq n\leq 298$ のとき $Q$ は素因数に $13$ を奇数個もつため，不適である．したがって，求める最小値は $\bf{300}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc068/editorial/2277
$$P =  1! × 2! × 3! × \cdots × 600!,\quad Q = \dfrac{P}{n!}$$
について，$Q$ が平方数となるような最小の正整数 $n$ を求めてください．