　$x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$ とおけば, 条件を整理することで以下を得る：
$$ r-2q+3p=4,\quad r-3q+8p=20,\quad r-4q+15p=54 $$
これを解くと $p=9,q=29,r=35$ を得る. 同様に $f(4)$ においても分母を払えば
$$f(4)(r-4q+16p-64)=4(q-8p+48)$$
これより $|f(4)|=|-20|=\textbf{20}$ を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/editorial/1365
　いずれも $1,2,3,4$ でない複素数 $x,y,z$ について,
$$f(k)=\dfrac{k}{x-k}+\dfrac{k}{y-k}+\dfrac{k}{z-k}$$
とおくと, $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$ が成立しました. このとき, $|f(4)|$ を求めてください.