　以下 $A_{i+1024}=A_i$ とする. まず, $\displaystyle \sum_{i=1}^{1024} f(A_i,A_{i+1})$ の最小値を求めればよい. なんとなれば, 添字を適当に巡回させて $A_1$ を全体集合とすれば, 求める最小値はこれより $55$ を減じたものとして得られるからである.\
　いま, $A_i$ に含まれるが $A_j$ には含まれないカードに書かれた数の合計を $g(A_i,A_j)$ とおけば,
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{1024} f(A_i,A_{i+1})=55 \times 512 + \displaystyle \sum_{i=1}^{1024} g(A_i,A_{i+1})$$
さらに, $A_i,A_j$ のいずれかにのみ含まれるカードに書かれた数の合計を $G(A_i,A_j)$ とおくと
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{1024} G(A_i,A_{i+1}) = 2\times\displaystyle \sum_{i=1}^{1024} g(A_i,A_{i+1})$$
以上より, 結局 $\displaystyle \sum_{i=1}^{1024} G(A_i,A_{i+1})$ の最小化を考えればよい.\
　ここで, $A_i,A_{i+1}$ のうち $k$ が書かれたカードを片方のみが含むような $i$ の個数を $B_k$ とすれば, $k$ 以上の数のみが書かれたカードからなる集合は (空含め) $2^{11-k}$ 個存在するから, $\displaystyle \sum_{j=k}^{10} B_j$ は $2^{11-k}$ 以上である. したがって,
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{1024} G(A_i,A_{i+1}) = \displaystyle \sum_{k=1}^{10} (B_k \times k)=\sum_{k=1}^{10} \sum_{j=k}^{10} B_j\geq\sum_{k=1}^{10} 2^{11-k} = 2046$$
　あとは等号をみたす集合の並べ方を構築すればよい. 便宜上, 集合の列の添字を $A_0,A_1,...,A_{1023}$ と振りなおせば, カード $k\\,(k \neq 10)$ に対して $2^{k-1} \leq i \bmod{2^{k+1}} \lt 2^{k+1}-2^{k-1}$ であるときかつそのときに限り $A_i$ は $k$ を含み, カード $10$ に対しては $i \lt 512$ のときかつそのときに限り $A_i$ は $10$ を含むものとすれば, 条件をみたす.\
　よって, 各文字について最小値を順次計算することで, 最終的に求める最小値は $\textbf{29128}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/editorial/1641
　$1$ から $10$ の整数がついたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ, 計 $10$ 枚あります. これらのカードから何枚かを選んだ集合 (空を許す) は $1024$ 個ありますが, これらを適当に並べ替えて $A_1,A_2,\cdots,A_{1024}$ で表します.  $A_i$ および $A_j$ の少なくとも一方に含まれているカードに書かれた数の合計を $f(A_i,A_j)$ とおきます. 例えば
$$f(\lbrace 1,4,5 \rbrace,\lbrace 3,4,5,9 \rbrace)=1+3+4+5+9=22$$
です. このとき, $\displaystyle \sum_{i=1}^{1023} f(A_i,A_{i+1})$ のとり得る最小値を求めてください.