$$a+b+c=s,\quad ab+bc+ca=t,\quad abc=u$$とすると，条件は
$$
\begin{cases}
\{s + t + u = 0}\\\\
\{4s + 2 t +  u = -4}\\\\
\{9s + 3 t + u = -18}\\\\
\end{cases}
$$
と書けるので，これを解いて $s = -5, ~ t = 11, ~ u = -6$ である．従って，求める値は
$$(a + 100)(b + 100)(c + 100) = 100^3 + 100^2s+100t+u = \textbf{951094}.$$

**別解.**　$f(x)=(x+a)(x+b)(x+c)-x^2$ は $f(1)=f(2)=f(3)=0$ をみたすから，$3$ 次の係数が $1$ であることとあわせて $(x-1)(x-2)(x-3)$ である．よって，求める値は $f(100)+100^2$ として計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc143/editorial/5428
　$3$ つの複素数 $a,b,c$ が以下をみたしています．\
$$
\begin{cases}
\(a+1)(b+1)(c+1)=1^2\\\\
\(a+2)(b+2)(c+2)=2^2\\\\
\(a+3)(b+3)(c+3)=3^2\\\\
\end{cases}
$$
このとき，$(a+100)(b+100)(c+100)$ を求めてください．