　$30^6 = 2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^6$ を $3$ つの正整数の積で表す方法（かけ算の順序は区別しない）のうち，$3$ 数が相異なるものの個数を $M$，$2$ 数のみが等しいものの個数を $N$ とおく．このとき $abc = 30^6$ なる正整数の組 $(a, b, c)$ の総数は，文字の対称性や $a = b = c$ のケースを考慮すると $6M + 3N + 1$ と表すことができる．このような組の個数を実際に計算すると，$a, b, c$ の素因数分解に割り振られる $2, 3, 5$ の重複度の決め方が各々 ${}\_{8}\mathrm{C}\_{2} = 28$ 通りずつあるため，$28^3$ である．よって，
$$6M + 3N + 1 = 28^3 \implies 2M + N = 7317$$
が得られる．一方で，積が $30^6$ であり $2$ 数のみが等しくなるような $3$ つの正整数の組み合わせは $30^2$ 以外の $30^3$ の正の約数 $d$ を用いて $(d, d, 30^6\/d^2)$ と表すことができ，$30^3$ の正の約数は全部で $64$ 個なので，これより $N = 64 - 1 = 63$ が分かる．先の式と合わせて $M = 3627$ も分かる．\
　ここで，問題の条件を満たす組 $(x, y, z)$ は，以下の $2$ つに分類することができる．
- $|x|, |y|, |z|$ が相異なる正整数となるもの．
- 相異なる正整数 $p, q$ によって，$x, y, z$ が $p, -p, -q$ を小さい順に並べたものとなるもの．

$1$ 番目に分類されるものは，符号の割り振りが $4$ パターンあることに注意すると全部で $4M$ 個あることが分かり，$2$ 番目に分類されるものは全部で $N$ 個あることが分かる．ゆえに求める個数は
$$4M + N = \mathbf{14571}$$

である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc223/editorial/7069
　$x,y,z$ が相異なるような組の総数を $6$ で割った値が求める値に等しい．代わりに，「$x,y,z$ のうち，少なくとも $2$ つは等しい」ような $(x,y,z)$ の総数 $S$ を数える．

　$x=y, ~ y=z, ~ z=x$ なる $(x,y,z)$ の集合をそれぞれ $A,B,C$ とおく．すると包除原理，および $A,B,C$ に対する対称性より
$$S = |A \cup B \cup C| = 3|A| - 3|A \cap B| + |A \cap B \cap C|$$
が分かる．また $A \cap B = A \cap B \cap C$ であるから，
$$S = 3|A| - 2|A \cap B|$$
である．\
　$|A|$ について，$30^6$ の平方数の正の約数は $(3+1)^3 = 64$ 個あり，符号を考慮すればそれぞれ $2$ 通りあるため，$|A| = 128$ が分かる．\
　$|A \cap B|$ について，これは $x=y=z=30^2$ に限られるので $|A \cap B| = 1$．

　以上より，$S = 382$ なので，求める値は
$$\frac{4×28^3-S}{6} = \mathbf{14571}.$$
包除原理
https://onlinemathcontest.com/contests/omc223/editorial/7069/543
　$3$ つの（正とは限らない）整数の組 $(x, y, z)$ であって，$x \lt y \lt z$ かつ $xyz = 30^6$ をみたすものはいくつありますか？