　各項を $4$ で割った余りを順に書き出せば,
$$1, 1, 2, 3, 1, 0$$
の周期を繰り返し, 特に $4$ の倍数は $6$ 項ごとに現れる. よって, 求める値は $[1000\/6]=\textbf{166}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/1468
$$a_1=1, \quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\quad (n\geq 1)$$
で定義されるフィボナッチ数列において，第 $1000$ 項目までに $4$ の倍数はいくつありますか？