　直線 $I_CA$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $M$ とする．一般に
$$\angle{CAB}+2\angle{I_CAB}=180\degree$$
であることから次が成り立つ．
$$\angle MAC=\angle I_CAB=\angle CAB=60\degree$$
これより $MBC$ は正三角形となる．さらに，簡単な角度計算から $\angle MI_CB=\angle MBI_C$ が分かるので
$$MI_C=MB=MC=BC$$
である．これらのことから
$$AM+AB=AC=BC+1=MI_C+1$$
したがって $AB=AI_C+1$ であり，$AB=x$ とすれば三角形 $ABI_C$ において余弦定理から
$$x^2+(x-1)^2-x(x-1)=6^2$$
これを解くと $x=\dfrac{1+\sqrt{141}}{2}$ であり，解答は $1+141+2=\bf{144}$ ．

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**別解.**

　直線 $CI_C$ に関して $B$ と対称な点を $X$ とすると，これは辺 $AC$ 上にある．簡単な角度計算により， $4$ 点 $A,X,B,I_C$ は同一円周上にあり，特に三角形 $BI_CX$ は正三角形である．よって $BX=BI_C=6$ が従うので三角形 $ABX$ について余弦定理を用いることで $AB^2+1-AB=36$ を得る．したがって $AB=\dfrac{1+\sqrt{141}}{2}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/3164
　線分 $AB$ と傍接円 の交点を $P$，直線 $BC$ と傍接円 の交点を $Q$，直線 $CA$ と傍接円 の交点を $R$ とおく．\
　$CR=CQ$ を用いて，$AR=k$，$BQ=k+1$ とおける．これより $AP=AR=k$，$BP=BQ=k+1$ である．\
　さらに $\triangle{API_C}$ は三つの角の大きさが $90^{\circ}$，$60^{\circ}$，$30^{\circ}$ であり，これを用いれば $PI_C=\sqrt{3}\ k$ である．\
　最後に，$\triangle{BPI_C}$ に三平方の定理を用いることで，$(\sqrt{3}\ k)^2+(k+1)^2=6^2$ より $k$ の値が求まる．なお，求めたい値は $AB=2k+1$ であることに注意せよ．
傍接円の性質を用いる方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/3164/425
　$AC-BC=1$ を満たす $\triangle ABC$ について，その $\angle C$ 内の傍心を $I_C$ とすると以下が成立しました．
$$\angle I_CAB=\angle CAB,\quad BI_C=6$$
　このとき，辺 $AB$ の長さは 互いに素な正整数 $a,c$ と，平方因子を持たない正整数 $b$ によって $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．