　玉を取り出した順に左から横一列に並べると，右端は青玉であり，残りの $410$ 個について青玉の位置は ${}\_{410}{\rm C}\_{137}$ 通りある．残りの赤玉と緑玉の計 $273$ 個を取り出して考えると，右端は緑玉になることに注意すれば，赤玉と緑玉の並べ方は ${}\_{272}{\rm C}\_{136}$ 通りである．一方で，赤玉 $136$ 個，緑玉 $137$ 個，青玉 $138$ 個を一列に並べる方法は
$$\dfrac{411!}{136!\times 137!\times 138!}$$
通りであるから，求める確率は
$$\biggl(\frac{410!}{137!\times 273!}\times\frac{272!}{136!\times 136!}\biggr)\div \frac{411!}{136!\times137!\times 138!}=\frac{137\times138}{273\times 411}=\frac{46}{273}$$
であり，特に求めるべき値は $\textbf{319}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/editorial/3136
　青色が最後に尽きる確率は $\dfrac{138}{136+137+138}$*，ここから青色を取り去ると緑色が最後に尽きる確率は $\dfrac{137}{136+137}$ であるから，求める確率は
$$ \dfrac{138}{136+137+138} \times \dfrac{137}{136+137} = \dfrac{46}{273} $$
であり，解答すべき値は $\bm{319}$．

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*　出る玉を時計回りに順番に円状に並べて，回転で一致するもの（裏返しはなし）を同じ色の組み合わせと考えることにすると，同じ色の組み合わせのうち青が最後に尽きるようなものは $\dfrac{138}{136+137+138}$ だけある
FU (First User 解説)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/editorial/3136/144
　(公式解答と本質的に大きな違いはありませんが，場合の数の世界で考えずに確率の世界のままで考えると以下のよう見通しがよくなります．)\
 玉を取り出した順に左から一列に並べるとき，青玉が最も右にある確率は $\dfrac{138}{411}$ であり，赤玉と緑玉の計 $273$ 個のうち最も右にある玉が緑である確率は $\dfrac{137}{273}$ である．\
 よって，求める確率は $\dfrac{138}{411}\times\dfrac{137}{273}=\dfrac{46}{273}$ であり，解答すべき数値は $46+273=\textbf{319}$ となる．
SU (Second User 解説)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/editorial/3136/145
計算が楽(多分)な解法です。\
一般に、「色Aの球が$m$個、色Bの球が$n$個袋に入っていてランダムに球を取り出す時、最後に色Aの球が取り出される確率は$\frac{m}{m+n}$である」という事実が成り立ちます(計算で簡単に示せますし、直感的にも明らかです)。\
「箱の中の玉が赤色、緑色、青色の順に尽きる」という条件は、「最後に青色の球が取り出される、かつ青色以外の球で最後に取り出されるのは緑色の球である」という条件に言い換えられます。\
まず、色Aを青色、色Bを赤色と緑色として上の事実を適用すると、青色の球が最後に取り出される確率は$\frac{138}{136+137+138}=\frac{138}{411}$です。\
そして、青色を無視して、色Aを緑色、色Bを赤色として上の事実を適用すると、緑色の球が最後に取り出される確率は$\frac{137}{136+137}=\frac{137}{273}$です。
以上より、条件を満たす確率は$\frac{138}{411}\times\frac{137}{273}=\frac{46}{273}$で、答える値は$46+273=\textbf{319}$です。
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/editorial/3136/146
　箱の中に赤色の玉が $136$ 個，緑色の玉が $137$ 個，青色の玉が $138$ 個入っています．箱の中から無作為に玉を $1$ つ選んで捨てる操作を，箱の中身が空になるまで行います．箱の中の玉が赤色，緑色，青色の順に尽きる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．