　$\angle ABC = \theta$ とする（$\angle BAC = 3\theta$ である）．辺 $BC$ 上に点 $D, E$ を $\angle BAD = \angle DAE = \theta$ かつ $B, D, E, C$ がこの順に並ぶようにとる．このとき $\triangle CAE \sim \triangle CBA$ より 
$$ CE = \frac{CA^2}{BC}, \quad AE = \frac{AB \cdot CA}{BC} $$
 であり，また $\angle CAD = \angle CDA = 2\theta$ から $CA=CD$，$\angle DAB = \angle DBA = \theta$ から $AD = BD$ がわかる．$\triangle EAD \sim \triangle EBA$ から $EA : AD = EB : BA$ なので， 
$$ \frac{AB \cdot CA}{BC} : (BC - CA) = \Biggl( BC - \frac{CA^2}{BC} \Biggr) : AB $$
より
$AB^2 \cdot CA = (BC - CA)^2 (BC + CA) $
を得る．

　$g$ を $BC, CA, AB$ の最大公約数とし，$(BC, CA, AB) = (ga, gb, gc)$ とかく．このとき上式は
$$ bc^2 = (a-b)^2(a+b) \tag{☆} $$
となる．任意の素数 $p$ と $0$ でない整数 $x$ について，$x$ が $p^m$ で割り切れる最大の整数 $m$ を $\nu_p(x)$ で表すことにする．いま $\nu_p(b) = 3q + r$ $(0 \le r \le 2)$ とかくと，もし $r \neq 0$ なら $a$ は $p$ の倍数であるので，$c$ は $p$ の倍数ではなく，
$$ 3q + r = 2 \nu_p(a-b) + \nu_p(a+b) $$
が成り立つ．よって $\nu_p(a-b)$ と $\nu_p(a-b)$ の少なくとも一方は $q+1$ 以上であるので，$\nu_p(a) \ge q+1$ を得るから，$\nu_p(a-b)$ と $\nu_p(a-b)$ の両方が $q+1$ 以上となる．すると $3q+r \ge 3q+3$ となり矛盾する．したがって任意の素数 $p$ について $\nu_p(b)$ は $3$ の倍数なので，ある正の整数 $m$ により $b = m^3$ とかける．$p^3$ が $CA$ を割り切るような素数 $p$ が存在しない場合，$m = 1$ となるので三角形の成立条件から $a = c$ で，これは矛盾である．\
　逆に，ある $p \ge 2, x \ge 1$ に対して
$$ (BC, CA, AB) =  \left( px(p-1)(3p-1), p^3x, x(2p^2-4p+1)(2p-1) \right) $$
とすると，これは $\angle A = 3 \angle B$ をみたす三角形の $3$ 辺となっていることが確認できる（すなわち，三角形の成立条件と(☆)が共に満たされることがわかる）．\
　よって条件は $p^3$ が $CA$ を割り切るような素数 $p$ が存在すること（$CA$ が立方因子をもつこと）と同値である．これをみたす $999$ 以下の $CA$ の個数を数えればよい．$2^3, 3^3, 5^3, 7^3$ の倍数の個数から重複する $2^3 3^3$ の倍数の個数を引けばよく，
$$ \left\lfloor \frac{999}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{999}{27} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{999}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{999}{343} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{999}{216} \right\rfloor = 124 + 37 + 7 + 2 - 4 = \mathbf{166}  $$
が答えである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023/editorial/8929
　三角比（三角関数）を用いる方法です．

  　$\angle B=\theta$ とおく．正弦定理より，$\dfrac{BC}{ \sin 3 \theta}=\dfrac{AB}{\sin 4 \theta}=\dfrac{CA}{ \sin \theta}$\
  　これより，適当に変形すると次の式を得る：$BC=(4 \cos^2 \theta-1)CA$，$AB=4\cos \theta(2 \cos^2 \theta-1) CA$\
  　$3$ 辺の長さが自然数であることから，$\cos \theta$ は有理数であることがわかる．さらに，$4 \theta \lt 180^\circ$ より $\cos \theta \gt \dfrac{1}{\sqrt{2}}$．これより，$\cos \theta$ の分母は $4$ 以上である．\
\
  　$\cos \theta=\dfrac{t}{s}$ とおくと，適当な計算によって，次のことがわかる：
- $s$ が奇数ならば，$CA$ は $s^3$ の倍数
- $s$ が偶数ならば，$CA$ は $(s\/2)^3$ の倍数

あとは，$s=4$ から順に考えて行けば，$s=4$，$5$，$6$，$7$ の場合だけ考えれば十分だとわかる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023/editorial/8929/250
　すべての辺の長さが正整数値である（非退化な）三角形 $ABC$ が $\angle A = 3 \angle B$ をみたすとき，辺 $CA$ の長さとしてありうる $999$ 以下の値はいくつありますか．
<details><summary>非退化な三角形とは<\/summary>
　三角形が**退化**しているとは，3つの頂点が同一直線上に並ぶことをさします．**非退化**な三角形とは，退化していない三角形，すなわち3つの頂点が同一直線上に並ばない三角形をさします．
<\/details>