$$x^{200} + x^{199} + 3x^2 - 3 = (x+1)(x^{199} + 3x - 3)$$
であるから，$-1$ は解の一つである．また，$x^{199} + 3x - 3 = 0$ の解を $a_1,a_2,\ldots,a_{199}$ とする．\
　　まず，$A_{199}$ を求める．解と係数の関係より $\displaystyle \sum_{k=1}^{199}a_k= 0$ である．よって，
$$\sum_{k=1}^{199}a_k^{199} = \sum_{k=1}^{199}(3-3a_k) = \sum_{k=1}^{199}3- 3\sum_{k=1}^{199}a_k= 597$$
であるから，$A_{199} = 597 + (-1)^{199} = 596$ である．\
　次に，$A_{200}$ を求める．
$$\sum_{k = 1}^{199}a_k^{200} = \sum_{k=1}^{199}(3 - 3a_k^2 - a_k^{199}) = \sum_{k=1}^{199}3-3\sum_{k=1}^{199}a_k^2-\sum_{k=1}^{199}a_k^{199}=-3\sum_{k=1}^{199}a_k^2$$
である．また，
$$\sum_{k=1}^{199}a_k^2 = \Bigg(\sum_{k=1}^{199}a_k\Bigg)^2 - 2\sum_{1\le i\lt j \le 199}a_ia_j$$
である．ここで，解と係数の関係より
$$\sum_{k=1}^{199}a_k = \sum_{1\le i\lt j \le 199}a_ia_j = 0$$
であるから，結局 $\displaystyle\sum_{k=1}^{199}a_k^{200} = 0$ である．よって，$A_{200} = 0 + (-1)^{200} = 1$ である．\
　以上より，解答すべき値は $1000\cdot596+1= \bf596001$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/6009
　問題文中で述べられている, 重解が存在しないことの証明です.  
以下の補題を用います. 

---

**補題.**　$f(x)$ を実数係数多項式とする時, 以下は同値である.

1. $f(x)$ は (複素数の範囲で) 重根をもつ.  
2. $f(x)$ と $f\^{\prime}(x)$ は共通の複素数根をもつ.

**証明.**
 
$(1.)\Rightarrow(2.)$:   
$f(x)$ の重根を $\alpha$ とする. この時, 複素数係数多項式 $g(x)$ であって, $f(x)=(x-\alpha)\^2g(x)$ を満たすものが存在する.  
$f\^{\prime}(x)=2(x-\alpha)g(x)+(x-\alpha)\^2g\^{\prime}(x)$ であるので, $f(\alpha)=f\^{\prime}(\alpha)=0$ である.  

$(2.)\Rightarrow(1.)$:   
$f(x), f\^{\prime}(x)$ の共通根を $\alpha$ とする.  
$f(\alpha)=0$ より, 複素数係数多項式 $g(x)$ であって, $f(x)=(x-\alpha)g(x)$ を満たすものが存在する.  
$f\^{\prime}(x)=g(x)+(x-\alpha)g\^{\prime}(x)$ であり, $x=\alpha$ を代入すれば, $g(\alpha)=0$ を得る.  
よって, 複素数係数多項式 $h(x)$ であって, $g(x)=(x-\alpha)h(x)$ を満たすものが存在する.   
以上より, $f(x)=(x-\alpha)\^{2}h(x)$ と書けるので, $f(x)$ は重根 $x=\alpha$ をもつ. (証明終)

---

　今回の多項式についての話に移ります.  
$x\^{200}+x\^{199}+3x\^{2}-3=(x+1)(x\^{199}+3x-3)$ であり, $x=-1$ は明らかに重根でないため,  
$f(x):=x\^{199}+3x-3$ が重根をもたないことを示せばよいです.    

補題から, $f\^{\prime}(x)$ の根が $f(x)$ の根でないことを示せば十分です.  
$f\^{\prime}(x)$ の根の一つを $\alpha$ とします.  
$f\^{\prime}(\alpha)=199\alpha\^{198}+3=0$ より, $\alpha\^{198}=-\dfrac{3}{199}\lt 0$ であるため, $\alpha$ は非実数です.  
よって, $f(\alpha)=\alpha\^{199}+3\alpha-3=-\dfrac{3}{199}\alpha+3\alpha-3=\dfrac{594}{199}\alpha-3$ も非実数であり, 特に $0$ ではありません.    

以上から, $f\^{\prime}(x)$ の根は $f(x)$ の根になり得ないことが分かり, 問題文中の多項式は重根をもたないことが示されました.
重解の非存在について
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/6009/381
ここでは，$A_{199} + A_{200}$ を求めていく．\
まず，$A_{1} = −1$ から $A_{2} = 1$ がすぐにわかる．\
また，$x^{200} + x^{199} + 3x^{2} - 3 = 0$ の解全てについて，それぞれ代入して足し合わせると

$$A_{200} + A_{199} + 3A_{2} - 600 = 0$$

がわかるので，$A_{199} + A_{200} = 597$ と求まる．
A_{199}+A_{200}を求める
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/6009/383
方針として

$$F(t):=\sum_{n=0}^{\infty} A_n t^n$$
という級数を考える.これは

$x^{200}+x^{199}+3x^2-3$の根を$\alpha_1,\ldots,\alpha_{200}$とおくと,


$$F(t)=\sum_{k=1}^{200}\dfrac{1}{1-\alpha_k t}$$

である.

これを通分すると

$$F(t)=\dfrac{\sum_{k=1}^{200}\prod_{j\neq k}(1-\alpha_j t)}{\prod_{k=1}^{200}(1-\alpha_k t)}$$

である.これについて

分母は

$$\begin{aligned}\prod_{k=1}^{200}(1-\alpha_k t)&=t^{200}\cdot \prod_{k=1}^{200}\left(\dfrac{1}{t}-\alpha_k\right)\\\\&=t^{200}\cdot\left(\dfrac{1}{t^{200}}+\dfrac{1}{t^{199}}+\dfrac{3}{t^2}-3\right)\\\\&=1+t+3t^{198}-3t^{200}\end{aligned}$$

一方分子は,

$$\dfrac{d}{du}\prod_{k=1}^{200}(u-\alpha_k)=\sum_{k=1}^{200} \prod_{j\neq k} (u-\alpha_j )$$

と

$$\dfrac{d}{dx}(x^{200}+x^{199}+3x^2-3)=200x^{199}+199x^{198}+6x$$

を利用することで,

$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{200}\prod_{j\neq k}(1-\alpha_j t)&=t^{199}\sum_{k=1}^{200}\prod_{j\neq k}\left(\dfrac{1}{t}-\alpha_j \right)\\\\&=t^{199}\left(\dfrac{200}{t^{199}}+\dfrac{199}{t^{198}}+\dfrac{6}{t}\right)\\\\&=200+199t+6t^{198}\end{aligned}$$

よって，

$$F(t)=\dfrac{200+199t+6t^{198}}{1+t+3t^{198}-3t^{200}}$$

である.

また,$1+t+3t^{198}-3t^{200}=(1+t)(1+3t^{198}-3t^{199})$より,

$$\begin{aligned}F(t)-\dfrac{1}{1+t}&=\dfrac{200+199t+6t^{198}-1-3t^{198}+3t^{199}}{(1+t)(1+3t^{198}-3t^{199})}\\\\&=\dfrac{199+199t+3t^{198}+3t^{199}}{(1+t)(1+3t^{198}-3t^{199})}\\\\&=\dfrac{(1+t)(199+3t^{198})}{(1+t)(1+3t^{198}-3t^{199})}\\\\&=\dfrac{199+3t^{198}}{1+3t^{198}-3t^{199}}\end{aligned}$$

より,

$$F(t)=\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{199+3t^{198}}{1+3t^{198}-3t^{199}}$$

である.

このとき,$F(t)-\dfrac{1}{1+t}$をマクローリン展開したときの係数は

$$(199+3t^{198})(1-3t^{198}+3t^{199}+O(t^{396}))=199-594t^{198}+597t^{199}+O(t^{396})$$

より,

$$F(t)=\dfrac{1}{1+t}+199-594t^{198}+597t^{199}+O(t^{396})$$

である.$\drac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^n$であるため,

$$A_0=200$$
$$A_n=(-1)^n;(1\leq n\leq 197)$$
$$A_{198}=-594+(-1)^{198}=-593$$
$$A_{199}=597+(-1)^{199}=596$$
$$A_{n}=(-1)^n;(200\leq n \leq 395)$$

となる.特に,$A_{199}=596,A_{200}=1$である.
FPS解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/6009/384
　$x$ に関する方程式
$$x^{200}+x^{199}+3x^2-3=0$$
は相異なる $200$ 個の複素数解を持つので，それぞれの $k$ 乗の総和を $A_k$ とします．\
　$1000A_{199}+A_{200}$ の値を求めてください．