　対称性より  $A_1=1$ として $3$ 倍すればよい．一旦 $A_1\neq A_8$ という条件を除外し，
$$d_{i,j}=(A_1 から A_i まで決めるとき，A_i=j であるようなものの個数)$$
とする．このとき，
$$\displaystyle d_{i,j}=\sum_{k=1}^3d_{i-1,k}-d_{i-1,j}$$
という漸化式が成り立つから，これを用いて計算すると
$$d_{8,1}=42,\quad d_{8,2}=d_{8,3}=43$$
が分かる．したがって，条件 $A_1\neq A_8$ を考慮すれば，答えは $3\times(43+43)=\textbf{258}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc075/editorial/2899
　包除原理を用いて解く．まず，以下の問題を $k=0,1,\ldots, 8$ について考える．

- $i=1,2,\ldots, 8$ のうち，決められた $k$ 個が $A_{i}=A_{i+1}$ を満たすとき，$A$ として考えられるものは何通りですか？

この問題の答えは $k\neq 8$ のとき $3^{8-k}$ 通り，$k=8$ のとき $3$ 通りである．\
　$8$ 個のうち，$k$ 個を決める方法は ${}\_{8}\mathrm{C}\_{k}$ 通りであることから，元の問題の答えは以下のように表せる：

$$\sum_{k=0}^{8}{{}\_{8}\mathrm{C}\_{k}(-1)^{k}3^{8-k}}+2(-1)^8=(3-1)^8+2=\mathbf{258}.$$

　以上の議論から，一般に長さを $n~(\geq 2)$，$A$ の数字の種類を $m$ とすると，答えは $(m-1)^n+(m-1)(-1)^n$ であると拡張することができる（一般化した答えが求まると，その式が正しいかどうかを $n,m$ が小さいときに確かめることができる）．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc075/editorial/2899/28
　一般に $8$ を $2n\\ (n \ge 1)$ とおき，仮定の場合の数を $a_n$ としてこれを求める．
　$$ a_1 = {}\_3\mathrm P\_2 = 6 $$
であり，以下では $n \ge 2$ とする．  
　まず，$A_1,\ldots, A_{2n-1}$ として考えられる整数の組は $\left(3 \times 2^{2n-2}\right)$ 通りあり，これらを固定すると，$A_{2n}$ は $A_1 = A_{2n-1}$ のときは $2$ 通り，$A_1 \ne A_{2n-1}$ のときは $1$ 通り．$A_1 = A_{2n-1}$ となる $A_1,\ldots, A_{2n-1}$ の総数は，$n-1$ のときに等しいから
$$ a_n = 3 \times 2^{2n-2} + a_{n-1} \implies a_n = 3 + \sum\_{k=0}^{n-1}\left(3 \times 2^{2k}\right) = 2^{2n} + 2 \quad (n \ge 1) $$
を得る．よって答えは $2^8 + 2 = \mathbf{258}$．（potato167 さんの解説にある一般化も可能）
長さの漸化式
https://onlinemathcontest.com/contests/omc075/editorial/2899/29
　$\mod 3$ にて, 考えることで, 問の条件は以下のように言い換えられる.

- $1\leq A_i\leq 3$.
- $A_{i+1}-A_i \equiv 1\pmod{3}$ または $A_{i+1}-A_i\equiv 2 \pmod{3}$.

$1\leq B_i \leq 3$ を 
$$B_i\equiv A_{i}-A_{i-1}\pmod{3}$$
 にて, 定義すれば, $B_i\in\\{1,2\\}$ であり, 
$$A_9\equiv A_1+B_2+B_3+\dots+B_9 \pmod{3}$$
 となり, $A_1=A_9$ より, 
$$B_2+B_3+\dots+B_9\equiv 0\pmod{3}$$
となる. $A_1$ の値 $3$ 通りそれぞれに対して, $(B_2,B_3,\dots,B_9)$ として, あり得るものは以下の多項式 $f(x)$ の $3$ の倍数次の項の係数の総和である.
$$f(x)=(x+x^2)^8$$
これは, $1$ の$3$ 乗根 $\omega(\neq 1) $ を用いて, 以下のように計算できる. (参考:[OMC168-D解説の補題2](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc168\/editorial\/7293) )
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{3}(f(1)+f(\omega)+f(\omega^2))&=\frac{1}{3}(2^8+(\omega+\omega ^2)^8+(\omega ^2+\omega)^8)\\\\
&=\frac{1}{3}(2^8+(-1)^8+(-1)^8)\\\\
&=\frac{256+2}{3}
\end{aligned}
$$
よって, 求める値は, $3\times\frac{258}{3}=\mathbf{258}$.
母関数を用いる解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc075/editorial/2899/649
　以下の $2$ つの条件を満たす長さ $8$ の整数列 $A_1,A_2,\ldots,A_8$ はいくつありますか？

- $1\le A_i\le 3\ \ (1\le i\le 8)$
- $A_i\neq A_{i+1}\ \ (1\le i\le 8)$　(ただし $A_9=A_1$ とする)