　$0, 2 ,3, 5, 7, 11$ の目が出る確率をそれぞれ $\dfrac{n_0}{5555}, \dfrac{n_2}{5555}, \dfrac{n_3}{5555}, \dfrac{n_5}{5555}, \dfrac{n_7}{5555}, \dfrac{n_{11}}{5555}$ と表す．\
$i,j\in\\{2,3,5,7,11\\}$ として，
$$S=\sum_{i}\Big(\frac{i n_i}{5555}\Big)^2,　T=\sum_{i\neq j}\frac{i n_i}{5555}\cdot\frac{j n_j}{5555}$$
なので以下が成り立つ．
$$5555^2 (4S - T) =4 \sum_{i}(in_i)^2-\sum_{i\neq j}(in_i)\cdot(j n_j)=\sum_{i\gt j}(in_i-jn_j)^2\geq 0$$
したがって $\dfrac{T}{S} \leq 4$ であり，等号成立は，
$$2n_2 = 3n_3 = 5n_5 = 7n_7 = 11n_{11}$$
のとき，つまり，
$$n_2 : n_3 : n_5 : n_7 : n_{11} = 1155 : 770 : 462 : 330 : 210$$
のときなので，$n_2 + n_3 + n_5 + n_7 + n_{11} \lt 5555$ に注意すれば
$$(n_0, n_2, n_3, n_5, n_7, n_{11}) = (2628, 1155, 770, 462, 330, 210)$$
のときのみ $\dfrac{T}{S} = 4$ になることが分かり，特に $n = \mathbf{2628}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/6328
　$S+T$ が綺麗になることに着目して、Radonの不等式を利用する方針です．(Radonの不等式についてはOMC162(C)のユーザー解説を参照)  
 $$\dfrac{T}{S}=\dfrac{S+T}{S}-1=\dfrac{{(2n_2+\cdots+11n_{11})}^2}{2^2{n_2}^2+\cdots+11^2{n_{11}}^2}-1\leq\dfrac{{(2n_2)}^2}{2^2{n_2}^2}+\cdots+\dfrac{{(11n_{11})}^2}{11^2{n_{11}}^2}-1=4$$であり，等号成立条件は $2n_2:2^2{n_2}^2=\cdots=11n_{11}:11^2{n_{11}}^2$ つまり $n_2:\cdots:n_{11}=\dfrac{1}{2}:\cdots:\dfrac{1}{11}$ である．  
　あとは公式解説と同様にして等号が成り立つ $n_0,n_2,\ldots,n_{11}$ を求めればよい．
Radonの不等式
https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/6328/374
　六面体のサイコロがあり，各面には $0, 2, 3, 5, 7, 11$ の数字が書かれています．OMC君はサイコロを振ったときのそれぞれの目が出る確率を以下のように調整することができます．
- $n_0 + n_2 + n_3 + n_5 + n_7 + n_{11} = 5555$ であるような正整数の組 $(n_0, n_2, n_3, n_5, n_7, n_{11})$ を選び，$0, 2 ,3, 5, 7, 11$ の目が出る確率をそれぞれ $\dfrac{n_0}{5555}, \dfrac{n_2}{5555}, \dfrac{n_3}{5555}, \dfrac{n_5}{5555}, \dfrac{n_7}{5555}, \dfrac{n_{11}}{5555}$ にすることができる．

　ここで，このサイコロを $2$ 回振ったときの出た目による点数の付け方を以下 $2$ 通り定めます．ただし $1, 2$ 回目に出た目の数字をそれぞれ $a, b$ とします．

- **採点方法 甲.**　$a = b$ のときは $a^2$ を点数とし，そうでないときは $0$ を点数とする．
- **採点方法 乙.**　$a \neq b$ のときは $ab$ を点数とし，そうでないときは $0$ を点数とする．

　サイコロを $2$ 回振ったときの，採点方法甲・乙による点数の期待値をそれぞれ $S, T$ とし，OMC君がそれぞれの目を調整することによって $\dfrac{T}{S}$ がとり得る最大の値を $M$ とします．$\dfrac{T}{S} = M$ となるように調整されたサイコロを振ったときに $0$ の目が出る確率は，正整数 $n$ によって $\dfrac{n}{5555}$ と一意に表すことができるので，$n$ の値を解答してください．