　まず，補題として以下の二つが成り立つことを証明する．

  1. 　$k=1,2,3,4,5$ に対し，$x_1+x_2+⋯+x_k=\frac12a_k(a_k+1)$ を満たす非負整数 $a_k$ が存在する．
  2. 　$\lbrace a_k\rbrace$ に対し，$a_1 \in \lbrace0,1 \rbrace$ であり，$k=1,2,3,4$ に対して$a_{k+1}-a_k\in\lbrace-1,0,1\rbrace$ が成立する．

これらは数学的帰納法によって次のように証明できる．

(i)　$k=1$ のとき，$x_1^2=x_1^3 \iff x_1\in\lbrace 0,1\rbrace$ であり，それぞれ $a_k=0,1$ に対応する．

(ii)　$k=n$ のとき成立するとして，$k=n+1$ のとき，条件は
$$\left\lbrace\frac12 a_n (a_n+1)+x_{n+1} \right\rbrace^2=\left\lbrace\frac12 a_n (a_n+1)\right\rbrace^2+x_{n+1}^3$$
これを整理すれば，
$$x_{n+1}^3-x_{n+1}^2-a_n(a_n+1) x_{n+1}=0 \iff x_{n+1}\in \lbrace-a_n,0,a_n+1\rbrace$$
であり，それぞれ $a_{n+1}=a_n-1,a_n,a_n+1$ に対応することがわかる（$a_n=0$ のときは，$a_{n+1}=a_n-1$ と $a_{n+1}=a_n$ が同じ結果を与えるから，$a_n$ はつねに非負整数であるとすることできる）．

　逆に，証明の過程から二つの条件が与式を導くことも従う．いま，
$$a_1\in\lbrace 0,1\rbrace,\quad \ a_{m+1}-a_{m}\in\lbrace -1,0,1\rbrace\quad (m=1,2\ldots,n-1),\quad \ a_n=k$$
をみたす非負整数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ の個数を $f(n,k)$ で表すと，これは次の漸化式をみたす：
$$
f(1,k) = \begin{cases} 1 & (k=0,1) \\\\ 0 & (k\ge 2) \end{cases}, \quad
f(n+1,k) = \begin{cases} f(n,0)+f(n,1) & (k=0) \\\\ f(n,k-1)+f(n,k)+f(n,k+1) & (k\ge 1) \end{cases}
$$

これを用いて，$n=1,2,3,4,5$について$f(n,k)$の値を計算すると，次のようになる．

$$\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
f(n,k) & n=1 & n=2 & n=3 & n=4 & n=5 \\\\ \hline \hline
k=0 & 1 & 2 & 4 & 9 & 21 \\\\ \hline
k=1 & 1 & 2 & 5 & 12 & 30 \\\\ \hline
k=2 & 0 & 1 & 3 & 9 & 25 \\\\ \hline
k=3 & 0 & 0 & 1 & 4 & 14 \\\\ \hline
k=4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\\\ \hline
k=5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ \hline
k\geq 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}$$

したがって，求める値は $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}f\left(5,k\right)=21+30+25+14+5+1=\textbf{96}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9440
　$k=1,2,3,4,5$ それぞれに対して
$$
(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k})^2=x_{1}^3+x_{2}^3+\cdots+x_{k}^3
$$
をみたすような，実数の組 $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})$ の個数を求めてください．