　$P, Q, R, S, T$ がこの順に $1$ 回ずつ碁石をとっていくことを**ターン**と呼ぶことにする．一人が碁石を取ると正方形の一辺は $2$ だけ小さくなるので, $n\times n$ の碁石が並んだ状態から $1$ つのターンのうちに，$P$ と $Q$ の取り去った碁石の数の差は $n\geq 4$ のとき $8$ , $n=3$ のとき $7$ , $n=2$ のとき $4$ , $n=1$ のとき $1$ である．\
　$999=8\times124+7$ に注意すると，$124$ ターンを終えたあと，$P, Q$ が $1$ 回ずつ碁石を取り去って終わるとわかる．$Q$ が取り去った碁石の数については，最後は $1$ 個で，$124$ ターン目には $40$ 個，$123$ ターン目には $80$ 個というように $40$ ずつ変化するから，それらの総和は
$$1+40\times{\displaystyle\sum_{k=1}^{124}k}=\mathbf{310001}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4406
　いくつかの碁石が正方形状に並んでおり，$P, Q, R, S, T$ の $5$ 人がこの順番で繰り返し，$P$ から始めて以下の操作を行います．

- 外周に並んだ碁石をすべて取り去る．すなわち，操作の時点で $n\times n$ の正方形状に碁石が $n^2$ 個並んでいたとき，$(n-2)\times (n-2)$ の正方形状になるようにする（$n=1,2$ のときはすべての碁石を取り去る）．

すべての碁石がなくなったらその時点で終了します．最終的に $P$ が取り去った碁石の数と，$Q$ が取り去った碁石の数の差が $999$ 個であったとき，$Q$ が全体で取り去った碁石の数を求めてください．