　問題の条件は, 任意の $1$ 以上 $1000$ 以下の整数 $x$ に対し, 以下が成り立つことと同値である.
$$ x \not \in S_i ~(1 \leq i \leq  5) \quad \text{または} \quad x \not \in S_i ~(6 \leq i \leq  10)$$
上式を満たすように, $x$ が $S_i$ に属するかどうか割り当てる方法は $2^5 + 2^5 - 1 = 63$ 通りであるから, 
$$M = 63^{1000} = 3^{2000} \times 7^{1000}.$$
　以上より, $M$ のもつ正の約数の個数は $(2000+1)(1000+1) = \textbf{2003001}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc106/editorial/3007
　集合 $\\{ 1,2, \ldots, 1000 \\}$ の相異なるとは限らない $10$ 個の部分集合（空を許す）の順序付いた組 $(S_1, S_2, \ldots, S_{10})$ であって，
$$ (S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup S_4 \cup S_5) \cap (S_6 \cup S_7 \cup S_8 \cup S_9 \cup S_{10}) = \varnothing
$$
を満たすものの個数を $M$ とおきます．$M$ がもつ正の約数の個数を求めてください．\
　ただし，$\varnothing$ は空集合を表します．