　問の条件をみたすマス目の塗り方は，各 $1\leq n\leq 24$ について $\sigma(n)=a_n$ とすれば $24$ 次の置換 $\sigma$ に一対一で対応する．そのとき $\sigma(b_n)=n,\sigma^2(b_n)=a_n$ であるから並べ替え不等式より次が得られる．
$$S=1\cdot\sigma^2(1)+\cdots+24\cdot\sigma^2(24)\geq 1\cdot 24+\cdots+24\cdot 1$$
　特に等号が成立するのは各 $1\leq n\leq 24$ に対し $\sigma ^2(n)=25-n$ が成り立つときのみである．よってそのような置換 $\sigma$ を**良い置換**と呼ぶことにすれば，$X$ は良い置換の総数である．
各 $1\leq n\leq 12$ に対し $\sigma^{-1}(n),\sigma(n)$ のちょうど一方が $12$ 以下であるから，良い置換は $1$ 以上 $12$ 以下の整数を $6$ 個の順序づいた組 $(x_i,y_i)$ に分ける方法に一対一で対応することがわかる．
従って $X=\dfrac{12!}{6!} = \bf665280$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc163/editorial/3513
　公式解説の $S_{\mathrm{min}}=1 \cdot 24+ \cdots + 24 \cdot 1$ の続きから解説です．この値になるように $a_1, \cdots, a_{24}$，$b_1, \cdots, b_{24}$ を構成します．\
\
$a_k=1$，$b_k=24$ と仮定すると，そのあと順に考えて，$a_{24}=k$，$b_1=k$，$a_1=24-k$，$b_{24}=24-k$，$a_{24-k}=24$，$b_{24-k}=1$ となる．\
  　ここで，$k$ の取り方は $22$ 通りであった．続けて，残っている $k$ のうち最小のものをどこに当てはめるか考えていけば，求めるべき値は $22×18×14×10×6×2=\mathbf{665280}$ となる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc163/editorial/3513/239
　$24\times 24$ のマス目のうち $24$ マスを，以下の条件をみたすように黒く塗ります：

- どの行およびどの列にも，黒く塗られたマス目がちょうど $1$ つずつ存在する.

　さらに，この条件を満たす塗り方に対して，数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,\ldots,24},\\{b_n\\}\_{n=1,\ldots,24}$ を次で定め，さらにそれらを用いて塗り方のスコア $S$ を定めます：

- 上から $m$ 行目，左から $n$ 列目のマスが黒いとき，$a_m=n$，$b_n=m$．
- $S=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_{23}b_{23}+a_{24}b_{24}$．

　このとき，スコア $S$ を最小にする塗り方は全部で何通りありますか？ただし，回転や反転で一致するものも区別します．