　一辺の長さが $a$ の正方形の面積は $a^2$ であるため,
求めるべき個数の最大値は
$$\Biggl \lfloor	{\frac{99^2}{\lparen \sqrt 2 \rparen ^ 2}} \Biggr\rfloor = 4900$$
以下である. 
逆に, 一辺の長さが $\sqrt 2$ の正方形を $4900$ 個組み合わせた一辺の長さが
$70 \sqrt 2$ の正方形を考えると, $70\sqrt{2}=\sqrt{9800}\lt\sqrt{9801}=99$ よりこれは領域内に入ることがわかるので, 求めるべき値は $\mathbf{4900}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/3635
　一辺の長さが $99$ の正方形の領域内（周上を含む）に, 一辺の長さが $\sqrt 2$ の正方形を互いに重ならないよう配置するとき, その個数の最大値を求めてください.