**補題.**　任意の実数 $x$ について，以下が成立する．
$$\displaystyle\lfloor x\rfloor
+\bigg\lfloor x+\frac{1}{99}\bigg\rfloor
+\bigg\lfloor x+\frac{2}{99}\bigg\rfloor
+\cdots
+\bigg\lfloor x+\frac{98}{99}\bigg\rfloor
=\lfloor99x\rfloor$$
**証明.**　$x$ の小数部分が $\dfrac{k}{99}$ 以上 $\dfrac{k+1}{99}$ 未満であるとき，以下のように計算できる．
$$\lfloor x\rfloor
+\bigg\lfloor x+\frac{1}{99}\bigg\rfloor
+\bigg\lfloor x+\frac{2}{99}\bigg\rfloor
+\cdots
+\bigg\lfloor x+\frac{98}{99}\bigg\rfloor
=99\lfloor x\rfloor + k
=\lfloor 99x\rfloor - k + k
=\lfloor 99x\rfloor$$

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　補題より，以下をみたす正の実数 $x$ をすべて求めればよい．
$$\lfloor 99x\rfloor=9999x-999$$
左辺は整数であるから，$9999x$ も整数であり，従って $x$ はある整数 $n$ を用いて $\dfrac{n}{9999}$ と表せる．これを上式に代入すると
$$\bigg\lfloor\frac{n}{101}\bigg\rfloor=n-999$$
となる．さらに，$n=101p+q$ を満たす整数 $p$ と $100$ 以下の非負整数 $q$ をとり，これを再び上に代入すれば，
$$100p=999-q$$
が分かる．従って，$999-q$ が $100$ の倍数であるから，$0 \leq q \leq 100$ に気をつけて $q=99$ が分かる．これより $p=9$ である．\
　以上をまとめれば，求める解は $x=\dfrac{112}{1111}$ のみと計算でき，特に解答すべき値は $\mathbf{1223}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc139/editorial/5138
　以下の等式をみたす正の実数 $x$ の総和を求めてください．
$$\lfloor x\rfloor
+\bigg\lfloor x+\frac{1}{99}\bigg\rfloor
+\bigg\lfloor x+\frac{2}{99}\bigg\rfloor
+\cdots
+\bigg\lfloor x+\frac{98}{99}\bigg\rfloor
=9999x-999$$
ただし，求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．