　$\triangle XYZ$ の面積を $S(XYZ)$ で表すこととする．

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**解法1.**　$OP_1:OP_2=1:3,\ \angle P_1OP_2=60^{\circ}$ となる点 $O$ を $\angle P_1P_2P_3$ の内側にとると簡単な角度計算により $\angle OP_1P_2=\angle OP_2P_3$ がわかるため，$\triangle OP_1P_2\sim\triangle OP_2P_3$ が得られる．このとき $OP_2:OP_3=1:3$ であるから，同様の議論で $\triangle OP_1P_2,\dots,\triangle OP_9P_{10}$ は全て相似である．
これより $n=1,2,\dots,10$ に対して $OP_1:OP_n=1:3^{n-1}$，また $1\leq i,j\leq 10$ について $$S(OP_iP_j)=\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot OP_i\cdot OP_j&(i\not\equiv j\pmod{3})\\\\
0&(i\equiv j\pmod{3})\\\\
\end{cases}$$ が成り立つことを用いれば，次の成立がわかる．
$$\begin{aligned}
&\quad\ S(P_1P_2P_3):S(P_1P_5P_{10})\\\\
&=\bigl(S(OP_1P_2)+S(OP_2P_3)-S(OP_1P_3)\bigr):\bigl(S(OP_1P_5)+S(OP_5P_{10})\bigr)\\\\
&=(3^1+3^3-3^2):(3^4+3^{13})\\\\
&=1:\bf{75924}
\end{aligned}$$ 

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**解法2.** 　$\alpha=3(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ)$ とする．複素数列 $\\{z_n\\}$ を $z_1=0, z_2=1$ および
$$z_{n+2}-z_{n+1}=\alpha(z_{n+1}-z_n)$$ 
で定め，複素数平面上で点 $P_n(z_n)$ とすれば条件をみたす．
このとき $S(P_1P_2P_3)=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ であり，また $z_n=\dfrac{\alpha^{n-1}-1}{\alpha-1}$ が成り立つ．\
　ここで点 $Q\Bigl(\dfrac{-1}{\alpha-1}\Bigr)$ について $P_nQ=\dfrac{3^{n-1}}{\sqrt{7}}$ および $\angle P_1QP_5=120^\circ,\angle P_1QP_{10}=180^\circ$ が成り立つため，次が得られる．
$$S(P_1P_5P_{10})=\frac{1}{2}(P_1Q+P_{10}Q)\cdot P_5Q\cdot\sin 120^\circ=\frac{3\sqrt{3}}{4}\times\bf{75924}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc106/editorial/3734
　平面上の $10$ 点 $P_1,P_2,\dots, P_{10}$ について，次が成り立っています．
- $n=1,2,\dots,8$ に対し，$P_nP_{n+1}:P_{n+1}P_{n+2}=1:3$．
- $n=1,2,\dots,8$ に対し，$\angle P_nP_{n+1}P_{n+2}=120^{\circ}$．
- $n=1,2,\dots,7$ に対し，線分 $P_nP_{n+2}$ と $P_{n+1}P_{n+3}$ は交わっている．

このとき，三角形 $P_1P_5P_{10}$ の面積は三角形 $P_1P_2P_3$ の面積の何倍か求めてください．