　一般に $n-S(n)$ が $9$ の倍数であることから, 条件より $N$ は $9\times 2022=18198$ の倍数であることがわかる. また $N$ が $m$ 桁の数であるとすると, $10^{m-1}\leq N=2022S(N)\leq 18198m$ より $m\leq 6$, 特に $N\leq 18198\times 6$ を得る. したがって $18198$ の倍数を $6$ つ試すのみでよく, このうち条件を満たすものは $\textbf{54594}$ のみである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/2353
　仮に $N-S(N)$ が $9$ の倍数であることを知らなかったとしても，次のように考えれば比較的容易に求まります（なお，厳密性は欠けています）．\
  　\
  　Step1. 桁数について。$S(N)$ は，だいたい $\log_{10} N$ に比例するので，$N$ が十分大きければ $N=2022S(N)$ とはならない．\
  　$S(N)$ は最大で桁数の $9$ 倍なので，$99999$ あたりで実験すると，$N$ が $5$ 桁を超えることは無さそう．\
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  　Step2. $N$ の値を求める．$5$ 桁以下であれば，$S(N)$ は $45$ 以下．そこで，$2022×45=90990$ から順に $2022$ ずつ引き算をしていって，$N=2022S(N)$ を引き当てるまで繰り返せば，やがて求めるべき値にたどり着く．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/2353/149
　正整数 $n$ の十進法表記での各位の和を $S(n)$ で表すとき，
$$N=2022 \times S(N)$$
となる最大の正整数 $N$ を求めてください．