$$f(n)=\dfrac{1}{n}+\dfrac{20}{n^2}=\frac{n+20}{n^2}$$
とおく．$f(n)=0$ のとき，$n=-20$ を得る．それ以外のとき，$\lvert f(n) \rvert\geq 1$ すなわち
$$\lvert n+20 \rvert \geq n^2$$
が必要であり，これは $-4\leq n\leq 5$ と同値である．この範囲で調べれば $n=-4, -1, 1, 5$ が適する．\
　以上より，解答は $20+4+1+1+5=\bf{31}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/3160
　$$\frac{1}{n}+\frac{20}{n\^2}=\frac{n+20}{n\^{2}}$$ より, $n+20$ は $n$ の倍数となる必要があり, 特に $n$ は $20$ の約数です.  
$nm=20$ なる整数 $m$ を取ると, 与式は

$$\begin{aligned}
\frac{n+20}{n\^{2}}&=\frac{n+nm}{n\times \frac{20}{m}}\\\\
&=\frac{m(m+1)}{20}\\\\
\end{aligned}$$

と変形できます. よって, 最後の式が整数となるような $20$ の約数 $m$ を探せばよく,  $m=-20,-5,-1,4,20$ が見つかります.  

なお, この $m$ の発見は $20$ の約数 $12$ 個全てを愚直に計算して試す方法のほか,  
- $m,m+1$ のうち偶数は一方のみのため, その一方が $4$ の倍数となる必要がある. よって, $m=\pm 2,\pm 10$ はありえない. 
- $\mod 5$ を考えることで, $m\equiv 0,4\pmod 5$ のみが条件を満たしうる. 

などによって候補を絞ることが可能です.
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/3160/426
$$\dfrac{1}{n}+\dfrac{20}{n^2}$$
が整数となるような $0$ でない整数 $n$ について，その**絶対値の総和**を解答してください．\
　例えば，求めるものが $n=-3,3,4$ であれば，
$$\lvert-3\rvert+\lvert3\rvert+\lvert4\rvert=10$$
を解答してください．