$$f(n)=\frac{\sqrt{n^2+8n+2d(d(n))+12}}{d(n)}$$
とおくと，$f(n)$ が整数であるとき $n^2+8n+2d(d(n))+12$ は平方数である．ここで，任意の正の整数 $m$ について，$m$ の正の約数は $m$ 個以下であるので，$d(m)\le m$である．よって，$d(d(n))\le d(n) \le n$ であるので，
$$(n+3)^2\lt
n^2+8n+2d(d(n))+12\le
n^2+8n+2n+12\lt
(n+5)^2
$$
が成り立ち，$n^2+8n+2d(d(n))+12 = (n+4)^2$，すなわち $d(d(n)) =2$ を得る．したがって，素数 $p,q$ を用いて $d(n)=p,\ n=q^{p-1}$と表せる.  これを $f(n)$ の式に代入することにより $f(n)=\dfrac{q^{p-1}+4}{p}$ を得るので，この値が整数となる条件を調べる．

- $p=q$ のとき，$f(n)=\dfrac{p^{p-1}+4}{p}=p^{p-2}+\dfrac{4}{p}$ であるので，$f(n)$ が整数であるとき $p=2$ である．よって，$n = 2$ を得る．
- $p\neq q$ のとき，$f(n)=\dfrac{q^{p-1}+4}{p}=\dfrac{q^{p-1}-1}{p}+\dfrac{5}{p}$であり，Fermatの小定理により $\dfrac{q^{p-1}-1}{p}$ は整数であるので，$f(n)$ が整数となるとき $p=5$ である．このとき $q$ は $5$ でない任意の素数である．

　以上より，$f(n)$ が整数となるような $n$ は小さいほうから $2, 2^4, 3^4, 7^4, \ldots$ であるから，解答すべき値は 
$$2+2^4+3^4+7^4=\mathbf{2500}$$ 
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/editorial/11674
　正整数 $x$ に対して $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表すとき，
$$\frac{\sqrt{n^2+8n+2d(d(n))+12}}{d(n)}$$
が整数となるような正整数 $n$ のうち，小さいほうから $4$ つの総和を解答してください．