　四角形 $BPDQ$ および $ABPR$ は円に内接し，
$$\angle ADQ=\angle BPQ=\angle BPA=\angle QRA$$
により四角形 $AQDR$ も円に内接する．よって，方べきの定理により
$$2AB^2=AB\times BD=BQ\times BR=840$$
であり，解答すべき値は $2+105=\textbf{107}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/editorial/2435
　同一直線上にこの順で等間隔に並んでいる点 $A,B,C,D$ があります．また，点 $P,Q,R$ が次の条件をみたしています：

- $P ~ (\neq B)$ は 線分 $AC$ の垂直二等分線上に，$Q ~ (\neq P)$ は直線 $PC$ 上に，$R ~ (\neq B)$ は直線 $BQ$ 上にある．
- $DQ\perp PQ$，$AR \perp PR$．

さらに $BQ=24,BR=35$ であるとき，線分 $AB$ の長さは正整数 $a$ と平方因子を持たない正整数 $b$ によって $a \sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．