　以下の合同式はすべて $3371$ を法として考える. Wilsonの定理より $3369!\equiv 1$ であるから, 
$$a_1=3367! \equiv (3369\times3368)^{-1} \equiv 3368^{-1}-3369^{-1}$$
これより,
$$a_2=a_{1}\times\frac{3369}{3367} \equiv (3368\times3367)^{-1} \equiv 3367^{-1}-3368^{-1}$$
同様にして,
$$a_n=a_{1}\times\frac{3369}{3367}\times\frac{3368}{3366}\times\cdots\times\frac{3371-n}{3369-n} \equiv (3369-n)^{-1}-(3370-n)^{-1}$$
であるから,
$$\sum_{k=1}^{3368}a_k \equiv (3368^{-1}-3369^{-1})+\cdots+(1^{-1}-2^{-1}) \equiv 1-3369^{-1} \equiv 1+2^{-1} \equiv \textbf{1687}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/editorial/2203
　$a_1=3367!$ および $n=2,3,\ldots,3368$ において
$$a_n=\frac{3371-n}{3369-n}\times a_{n-1}$$
で定義される整数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots,3368}$ について，
$$a_1+a_2+\cdots+a_{3368}$$
を素数 $3371$ で割った余りを求めてください.