　$\angle CDP$ の二等分線と $CP$ の交点を $Q$ とすると, $CQ:QP=10:7$ である. また
$$\angle QDC=\angle BDC\/2=\angle BAC\/2=\angle ACB=\angle ADB$$
および $\angle QCD=\angle ACD=\angle ABD$ より三角形 $ABD$ と $QCD$ は相似であるから $AD:DQ=7:5$ である. これは $AP:PQ$ に等しいから, 以上より以下の比を得る.
$$AP:PQ:QC=49:35:50$$
よって方べきの定理より $CP=\sqrt{\textbf{85}}$ を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/editorial/1960
　円に内接する四角形 $ABCD$ において, 対角線の交点を $P$ としたところ, 以下の条件が成立しました：
$$BP=PD=7,\quad CD=10,\quad \angle BAC=2\angle ACB$$
このとき, $CP$ の長さの $2$ 乗を求めてください.