　下から $i$ 本目の道を $i$ **行目の道**, 左から $j$ 本目の道を $j$ **列目の道**と呼ぶ. 対称性より初めに上へ向かって進む場合のみ考えればよい. このとき, ある $a,b,c,d$ について $1$ 列目, $a$ 行目, $b$ 列目, $c$ 行目, $d$ 列目, $12$ 行目の道を順に進むことになり, 特に $1\leq a,b,c,d\leq12$ は以下の条件をみたす.
$$a,b\neq 1,\ \ c,d\neq12,\ \ a\neq c,\ \ b\neq d,\ \ (a,b)\neq(12,12)$$
　したがって, 以下これをみたす組の数を数えればよい. $(a,b)\neq(12,12)$ を一旦無視すれば, $a,c$ と $b,d$ は独立に考えてよく, それぞれ $a,b$ が $12$ か否かで場合分けすることで  $10^2+11=111$ 通りである. このうち $a=b=12$ であるものは $11^2=121$ 通りであるから, 以上より求める場合の数は $2(111^2-121)=\textbf{24400}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/276
　縦横それぞれ $12$ 本からなる碁盤の目状の道があり, 下から $i$ 本目の道と左から $j$ 本目の道の交点を点 $(i,j)$ と表します.  点 $(1,1)$ から出て, ちょうど $5$ 回曲がって**初めて**点 $(12,12)$ に到達するような経路はいくつありますか？\
　ただし, 同じ道や交点を何度通ってもよいですが, 直前に来た道を引き返すことはできません.