　$\displaystyle a_n = \frac{180(n-2)}{n}$ であるので次が成り立つ．
$$\displaystyle P_n = \sqrt{\frac{180\cdot 1}{3}\cdot\frac{180\cdot 2}{4}\cdots\frac{180\cdot (n-3)}{n-1}\cdot\frac{180\cdot (n-2)}{n}}=\sqrt{\frac{2\cdot 180^{n-2}}{n(n-1)}}$$

　まずは $n$ は偶数であるとする．$2 \leq k \leq 250$ である整数 $k$ を用いて $n = 2k$ とおく．すると，
$$P_{2k} = \frac{{180}^{k - 1}}{\sqrt{k(2k-1)}}$$
と表され，これが有理数となる必要十分条件は $k(2k-1)$ が平方数となることである．$k$ と $2k-1$ は互いに素であるので，この $2$ つはいずれも平方数である．したがって $2m^2-1$ が平方数となるような $2$ 以上の整数 $m$ を求める問題に帰着され，$k=m^2\leq 250$ の範囲では $m=5$ のみが条件を満たす．このとき $n=50$ である．\
　次に $n$ は奇数であるとする．$1 \leq k \leq 249$ である整数 $k$ を用いて $n = 2k + 1$ とおく．すると，
$$P_{2k+1} = 6 \cdot {180}^{k-1} \cdot \sqrt{\frac{5}{k(2k+1)}}$$
と表され，これが有理数となる必要十分条件は $k(2k+1)$ が平方数の $5$ 倍となることである．$k$ と $2k+1$ は互いに素であるので，どちらかが平方数であり，もう一方が平方数の $5$ 倍となる． $k$ が平方数だとすると $k\equiv 0,1,4\mod 5$ より $2k+1\equiv 1,3,4\mod 5$ であり，$2k+1$ は平方数の $5$ 倍にはなり得ない．したがって $k$ は平方数の $5$ 倍であるので，$10m^2+1$ が平方数となるような正の整数 $m$ を求める問題に帰着され，$k=5m^2\leq 249$ の範囲では $m=6$ のみが条件を満たす．このとき $n=361$ である．

　以上より，解答すべきは $50+361=\mathbf{411}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/4752
　$3$ 以上の整数 $n$ に対し，正 $n$ 角形の一つの内角の大きさを度数法で表した値を $a_n$ とします．たとえば $a_3, a_4, a_5$ はそれぞれ $60, 90, 108$ となります．また，$3$ 以上の整数 $n$ に対し $P_n$ を次のように定義します．

$$P_n = \sqrt{a_3 a_4 \cdots a_n}$$

　$P_n$ が有理数となるような $3$ 以上 $500$ 以下の正の整数 $n$ の総和を解答してください．