　任意の正の整数 $n$ について $nnn_{(n+1)}=(n+1)^3-1$ であるから，求める値は  
$$\sum_{n=2}^{9} (n^3-1)=\sum_{n=1}^{9} (n^3-1) = \biggl(\frac{9\cdot 10}{2}\biggr)^2-9=\textbf{2016}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/11394
$$111_{(2)}+222_{(3)}+333_{(4)}+444_{(5)}+555_{(6)}+666_{(7)}+777_{(8)}+888_{(9)}$$ を $10$ 進法表記で解答してください．ただし，各項は右下の数字が $(n)$ のとき，$n$ 進法で表記してあるものとします．