　問題文の条件を満たす組 $(a_1,...,a_{20})=A$ を**良い組**と呼ぶ．\
　良い組に対して $a_p=20$ なる $1\leq p\leq 20$ を取り，問題文の不等式において $j=p$ とすれば
$$20a_i=a_ia_p\leq ip+20\leq20(i+1)$$
となるので全ての整数 $1\leq i\leq20$ に対して $a_i\leq i+1$ が必要である．\
　$a_i=i+1$ であるとき与えられた不等式より，$(i+1)^2\leq i^2+20$ なので $i=1,2,...,9$ が必要である．\
　以上より次の条件が $A$ が良い組であるための必要条件である．この条件を満たす $A$ が良い組であることは容易に確かめられる．\
$$a_i\leq
\begin{cases}
i+1&　(i=1,2,...,9)\\\\
i    &　(i=10,11,...,20)
\end{cases}$$
　よってこの条件を満たす $(a_1,a_2,...,a_{20})$ の組の数を求めれば良い．$a_1$ から順次定めていくと $a_9$ まではそれぞれ $2$ 通りずつ，$a_{10}$ から $a_{20}$ までは $1$ 通りずつあるので，求める順列の数は $2^9=\mathbf{512}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/editorial/9287
　$1,2,\ldots,20$ の並べ替え $a_1,a_2,\ldots,a_{20}$ であって，$1$ 以上 $20$ 以下の任意の整数 $i,j$ に対して $a_ia_j\leq ij+20$ が成立するようなものはいくつありますか？