公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcnakamoto/editorial/190
作問: 平石　**解答ルールが通常のコンテストと異なります. 末尾をご確認ください.**

　一辺が整数 $\text{cm}$ の正六角形が，一辺 $\displaystyle 1\text{cm}$ の正三角形のマスに分割されている盤があります. 一つ目の図は一辺が $\displaystyle 3\text{cm}$ の場合を示しています. ある $\displaystyle 2$ つのマスが，$\displaystyle 1$ つの頂点だけを共有していて，共有している頂点を中心に一方のマスを $\displaystyle 180^{\circ }$ 回転させることでもう一方のマスに重なるとき，それら $\displaystyle 2$ つを**向かい合っている**と言います．たとえば，二つ目の図の黒丸のマスと向かい合っているマスは，$\displaystyle 3$ つの白丸のマスです.

　シャミとモモが，駒とこの盤を用いてゲームをします．ゲームでは，次の操作を繰り返し行います：

- まずモモが，盤上で駒が置かれていないマスを $\displaystyle 1$ つ選び，そこにピンク色の駒を $\displaystyle 1$ つ置きます．
- 次にシャミが，モモが直前に駒を置いたマスと向かい合っているマスのうち，駒が置かれていないマスを $\displaystyle 1 $つ選び，そこに紫色の駒を $\displaystyle 1$ つ置きます．

　どちらかが操作できなくなるまでこの操作を繰り返し行い，最終的に盤に置かれた紫色の駒の数がシャミのポイントとなります．シャミは自分のポイントを最大化しようとし，モモはシャミのポイントを最小化しようとします．$\displaystyle 2$ 人が最善の行動をとったとき，シャミは何ポイントとるでしょうか？

　ただし, 盤の一辺の長さが $\displaystyle 222\text{cm}, 333\text{cm}, 444\text{cm}, 555\text{cm}$ のそれぞれの場合について求め，$\displaystyle 4$ つの答えを合計して解答してください.

![figure 1](\/images\/zWZkvlhCeCJVlu1SMHXdOSoL0dk7HrSdkR81tt1o)
![figure 1](\/images\/8PnRBzf4TiQ91W2MVlYKm14kiGxivpVNlQk3A9qt) 

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 　中本杯の問題の答えはすべて整数値になるとは限りません. 答えが整数になった場合は, その整数をそのまま解答してください. 整数にならなかった場合は, 分母も分子も整数の分数で表せる値になっています. その場合, 答えをこれ以上約分できない仮分数で表し, 分子→分母をこの順で並べて $1$ つの整数のように解答してください. 

- 答えが $5$ であるとき, $5$ と解答する.
- 答えが $\dfrac{2}{3}$ であるとき, $23$ と解答する.
- 答えが $17\dfrac{1}{2}$ であるとき, $352$ と解答する.
- 答えが $1.375$ であるとき, $118$ と解答する.

　単位はつけず, 数値のみを解答してください. すい体の体積は, 同じ底面積と高さを持つ柱体の体積の $\displaystyle \frac{1}{3}$ 倍です.