　$f(x)=x^4+ax^3+bx^2$ について, $f^\prime(x)=x(4x^2+3ax+2b)$ であることから, 条件は $x$ の二次方程式
$$4x^2+3ax+2b=0$$
が $0$ でない相異なる実数解 $x=s,t$ をもち, かつ以下をみたすことと同値である：
$$\dfrac{f(s)}{s}\times\dfrac{f(t)}{t}=-1$$
解と係数の関係より $s+t=-\dfrac{3}{4}a$ および $st=\dfrac{b}{2}$ で, これを用いて条件を書き換えれば
$$b^2(a^2-4b)=32$$
これの正整数解は $(6,1),(4,2)$ であり, いずれも $s,t$ の条件に違反しないから, 求める総和は $\textbf{13}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc077/editorial/2047
　正整数 $a,b$ に対して, 以下で与えられるグラフ
$$y=x^4+ax^3+bx^2$$
に極大値または極小値をとる点が原点 $(0,0)$ を含めちょうど $3$ つあり, これらを頂点とする三角形は原点を直角とする直角三角形です. このとき, 組 $(a,b)$ としてあり得るものすべてについて, $a+b$ の総和を求めてください.