　$1,2,6,24$ をそれぞれ $1,2,3,4$ 個まで買えるから, 各桁が $k!$ の位であるような**階乗進数**を考えれば, $1,2,6,24$ を買う数を適当に選んで合計金額を $0,1,\ldots,119$ 円とする方法が, ちょうど $1$ 通りずつ存在することが分かる.\
　すなわち, $1,2,6,24$ 以外の正整数を先に選び, その後 $1,2,6,24$ の個数を調整することを考えれば, 合計金額を $10$ で割った余りそれぞれは, 全体で (正整数を一つも買わない場合を含めて) 同じだけ現れる.\
　以上より $M=2^{66}\cdot 3^{56}\cdot 5^{17}$ であり, これは正の約数を $67\times 57\times 18=\textbf{68742}$ 個もつ.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/editorial/2392
　$1$ と $12$ のみに注目し, これらを $0$ 個以上購入することを考えると, その買い方は $10$ 通りあり, その合計金額は $0, 1, 12, 13, 24, 25, 36, 37, 48, 49$ 円のいずれかである.

　これより, $1$ と $12$ 以外の $79$ 種類の整数をどのように購入しても, 合計金額を $10$ の倍数にするように $1$ と $12$ を買う方法が必ず $1$ 通り存在することがわかる.

　以上より, 合計金額が $10$ の倍数になるような買い方の総数 $M$ は $1$ と $12$ 以外の $79$ 種類の整数を自由に買う方法の数と等しいので, $M=3^24^65^{17}6^{54}=2^{66}3^{56}5^{17}$ であり, 特に $M$ が持つ正の約数の個数は $(66+1)(56+1)(17+1)=\mathbf{68742}$ 個である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/editorial/2392/65
　とあるお店では $1,2,\ldots ,81$ の正整数を売っています．正整数 $n$ の値段は $n$ 円で，$0$ 以上 $\lceil \log_3 n\rceil +1$ 以下の任意の個数買うことができます．ただし，実数 $x$ に対して $\lceil x\rceil$ は $x$ 以上の最小の整数を表します．\
　OMC君はこのお店で $0$ 個以上の正整数を買いたいですが，支払いを楽にするため, 合計金額を $10$ の倍数にしたいです．
このとき, OMC君が買う正整数の組み合わせとして考えられるものは $M$ 通りです．$M$ がもつ正の約数の個数を求めてください．\
　ただし， ある正整数 $n$ が存在して $n$ を買う個数が異なるとき，またそのときに限り，買う正整数の組み合わせが異なるとみなします．また，$0$ 個の正整数を買ったとき，その合計金額は $0$ 円であるとします．