　与式の $x$ を $\dfrac{1}{x}$ で置き換えることで
$$ 100f\biggl(\dfrac{1}{x}\biggr)-f(x)=\dfrac{9999}{x} $$
を得る．これと与式から $f\biggl(\dfrac{1}{x}\biggr)$ を消去することで
$$f(x)=100x+\dfrac{1}{x}$$
となり，これは確かに与式をみたす．特に，求める最小値は相加・相乗平均の関係より $2\sqrt{100}=\mathbf{20}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc168/editorial/5536
　正の実数に対して定義され正の実数値をとる関数 $f$ であって，任意の実数 $x\gt 0$ に対して以下の等式が成り立つものは一意に定まります：
$$100f(x)-f\biggl(\dfrac{1}{x}\biggr)=9999x$$
　$x$ がすべての正の実数を動くとき，$f(x)$ は最小値 $m$ をもつので，$m$ の値を解答してください．