　以下のように計算できる.
$$\begin{aligned}
1+1\times 1!+2\times 2!+ \cdots + 2022\times 2022! &= 2! + 2 \times 2! + 3 \times 3!+\cdots + 2022 \times 2022! \\\\
&=3\times 2!+3\times 3! + \cdots +2022\times 2022!\\\\
&= 3!+3\times 3!+\cdots + 2022\times 2022! \\\\
&= \cdots \\\\
&= 2023!
\end{aligned}$$
よってLegendreの定理から, 求める値は $\bf{2014}$ である. \
　なお，$2023!$ が $2$ で割り切れる回数は, 以下の定理を用いて求めてもよい. 

**定理.**　$n$ を $2$ 進法表記したときに $1$ である桁の数を $\mathrm{popcount}(n)$ とするとき, $n!$ が $2$ で割り切れる回数は $n-\mathrm{popcount}(n)$ と等しい. (証明は [**OMC039(D)の解説**](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc039\/editorial\/262) を参照せよ. )

　$2023_{(10)}=11111100111_{(2)}$ であるから, $2023!$ は $2$ で $2023-\mathrm{popcount}(2023)=2014$ 回割り切れる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc061/editorial/2439
　$1+\displaystyle\sum_{k=1}^{2022} (k \times k!)$ は $2$ で最大何回割り切れますか？