　積が $3$ の倍数になるのは $2$ 数のうち少なくとも一方が $3$ の倍数のときであり，積が $3$ の倍数でなく和が $3$ の倍数になるのは $2$ 数の $3$ で割った余りがそれぞれ $1, 2$ になるときである．したがって，$2$ 数の $3$ で割った余りが等しくなる確率を $1$ から引けばよい．$1$ 以上 $1110$ 以下の整数のうち $3$ で割った余りが $0, 1, 2$ となる数はそれぞれ $370$ 個ずつあるので，求める確率は
$$1 - \frac{3 \cdot {}\_{370}\mathrm{C}\_{2}}{{}\_{1110}\mathrm{C}\_{2}} = \frac{740}{1109}$$
であり，特に解答すべき値は $\mathbf{1849}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/editorial/11991
　整数 $1, 2, \ldots, 1110$ が書かれた玉がそれぞれ $1$ つずつ，合計で $1110$ 個あります．これらをすべて袋の中に入れたのち，袋から同時に $2$ 個の玉を取り出したとき，玉に書かれた $2$ 数の和と積のうちちょうど一方のみが $3$ の倍数になる確率を求めてください．ただし，求める確率は互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p + q$ の値を解答して下さい．