**解法1.**　$\angle{PDC}=\angle{ABC}=\angle{PEC}$ により，$C,P,D,E$ は同一円周上にある．よって，$\angle{CDE}=\angle{EPC}$，$\angle{DBE}=\angle{PAC}$ により，三角形 $PAC$ は二等辺三角形 $DBE$ と相似であり，結論が従う．

**解法2.**　三角形 $ABC$ の外心を $O$ とし，三角形 $ABC$ の外接円が単位円に，直線 $OD$ が実軸に相当する複素座標を設定する．点 $A$ の座標を $a$ などと表す．このとき，$e=\overline{b}=1\/b$ により，直線 $AE$ の方程式は（$z$ を不定元として）
$$ z + \frac{a}{b}\overline{z} =\frac{1 + ab}{b}. $$
また，直線 $AB$ の方程式は $z+ab\overline{z}=a+b$ であり，$d=\dfrac{b+c}{1+bc}$ とあわせて，直線 $DP$ の方程式は
$$ z + ab\overline{z} = \frac{(b+c)(1+ab)}{1+bc}. $$
$P$ はこれらの交点であるから，$p=\dfrac{c(ab+1)}{bc+1}, ~ \overline{p}=\dfrac{ab+1}{a(bc+1)}$ が得られる．\
　いま，$AP=CP$ は $AC\perp OP$ と同値であり，これはさらに $p=ac\overline{p}$ と同値であるから， 以上により結論が従う．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023f/editorial/9368
　$AB\gt AC, ~ AB\gt BC$ なる三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ 上（端点を除く）に点 $D$ がある．また，三角形 $ABC$ の外接円において，$A$ を含まない方の弧 $BC$ 上（端点を除く）に点 $E$ があり，$BD=DE$ をみたしている．$D$ を通り直線 $AB$ に平行な直線が線分 $AE$（端点を除く）と点 $P$ で交わるとき，$AP = CP$ が成り立つことを示せ．