　$\beta$ と $\gamma$ の交点を $D$ とし，$\gamma$ と $\alpha$ の交点を $E$ とし，$\alpha$ と $\beta$ の交点を $F$ とする．このとき，三角形 $ABC$ と三角形 $DEF$ は相似で，対応する辺同士は平行である．よって，三直線 $AD,BE,CF$ は一点で交わるので，これを $X$ とする．また，以下では多角形 $\mathcal{P}$ の面積を $|\mathcal{P}|$ で表す．\
　三角形 $ABX$ と $ACX$ の面積比は，次のように表される．
$$\frac{|ACX|}{|ABX|} = \frac{|ABED|}{|ACFD|} = \frac{5(AB + DE)}{7(CA + FD)} = \frac{5AB}{7CA}$$
同様にすることで，
$$|BCX| : |CAX| : |ABX| = 9BC : 7CA : 5AB = 36 : 21 : 7$$
が分かる．従って，三角形 $ABC$ の面積を $S$ とすると，直線 $BC$ と $X$ の距離は
$$\frac{2S|BCX|}{BC \cdot (|BCX|+|CAX|+|ABX|)} = \frac{9S}{160}$$
である．よって，三角形 $ABC$ と $DEF$ の相似比は
$$\dfrac{9S}{160} : \bigg(9 + \dfrac{9S}{160}\bigg) = S : (160 + S)$$
である．ヘロンの公式などにより $S = 42$ であるから，求める答えは
$$|DEF| = S\bigg(\frac{160+S}{S}\bigg)^2 = \frac{20402}{21}$$
である．特に，解答すべき値は $\bf{20423}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/editorial/7760
　$BC = 20, ~ CA = 15, ~ AB = 7$ なる三角形 $ABC$ があります．
- 直線 $BC$ と平行な直線であって直線 $BC$ との距離が $9$ であるもののうち，$A$ から遠い方を $\alpha$，
- 直線 $CA$ と平行な直線であって直線 $CA$ との距離が $7$ であるもののうち，$B$ から遠い方を $\beta$，
- 直線 $AB$ と平行な直線であって直線 $AB$ との距離が $5$ であるもののうち，$C$ から遠い方を $\gamma$ 

とするとき，$3$ 直線 $\alpha,\beta,\gamma$ がなす三角形の面積は互いに素な正の整数 $a,b $ を用いて $\dfrac ab$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．