　左辺は $0$ 以上 $1$ 未満であるから $x\gt 21$ である. 一般に $\\{\\{x\\}+\\{y\\}\\}=\\{x+y\\}$ が成り立つから, 方程式は
$$\left\\{x+\frac{20}{x}\right\\}=\frac{21}{x}$$
と書き換えられ, さらに整数 $n$ を用いれば
$$x+\frac{20}{x}=\frac{21}{x}+n$$
と表せる. これを解いて $x$ を $n$ で表すと
$$x=\frac{n\pm\sqrt{n^2+4}}{2}$$
負符号は明らかに $x\lt 0$ となり不適である. 正符号は $n\geq 21$ のときに条件をみたし, かつ $n$ に対して単調増加であるから, 求める最小値は $x=\dfrac{21+\sqrt{445}}{2}$ であり, 解答すべき値は $21+445+2=\textbf{468}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/editorial/2053
　実数 $x$ の小数部分を $\\{x\\}$ で表します．このとき, 以下の方程式をみたす実数 $x$ の最小値を求めてください．ただし，求める値は正整数 $a,b,c$ によって $\dfrac{a+\sqrt b}{c}$ と表せるので（$a$ と $c$ は互いに素），$a+b+c$ を解答してください．
$$\left\\{\\{x\\}+\left\\{\frac{20}{x}\right\\}\right\\}=\frac{21}{x}$$ 
　なお，実数 $x$ が整数 $m$ と $0\leq r\lt1$ なる実数 $r$ によって $x=m+r$ と表されるとき，$r$ を $x$ の**小数部分**と呼ぶものとします．