　$2n = 5758, a_0 = 0$ とする．まず，次の補題を示す．

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**補題．**$a_k\in S$ ならば，$m$ を $\max S_i=a_k$ なる $i$ の個数，$a_{l}$ を $S$ の要素であって $a_k$ 未満のもののうち最大のもの（存在しない場合は $l=0$）とするとき，
$$f(S\setminus \\{a_k\\})-f(S)=2m(a_k-a_l)-(2n-k+1)$$
が成り立つ．特に
$$f(S\setminus \\{a_k\\})-f(S)\geq 2(a_k-a_{k-1})-(2n-k+1)$$
である．

**証明．**$T=S\setminus \\{a_k\\}$ とし，$T_i$ で $T$ の要素のうち $a_i$ 以下のもの全体のなす集合を表す．このとき，各 $i=1,2,\dots,2n$ に対し，
$$\begin{aligned}
|S_i|-|T_i|&=\begin{cases}1&(i\geq k)\\\\0&(i\lt k)\end{cases}\\\\
\max{S_i}-\max{T_i}&=\begin{cases}a_k-a_l&(\max S_i=a_k)\\\\0&(\text{それ以外})\end{cases}
\end{aligned}$$
が成り立つから，
$$\begin{aligned}
f(T)-f(S)&=\sum_{i=1}^{2n}\Bigl(2(\max S_i-\max T_i)-(|S_i|-|T_i|)\Bigr)\\\\
&=2m(a_k-a_l)-(2n-k+1)
\end{aligned}$$
が示された．

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補題より，各 $k=1,2,\dots,2n$ に対し
$$f(U\setminus \\{a_k\\})-f(U)=2(a_k-a_{k-1})-(2n-k+1)$$
が成り立つから，$f(S)\lt f(U)$ となる集合 $S\subset U$ が存在しないためには，任意の $k=1,2,\dots,2n$ に対し
$$2(a_k-a_{k-1})\geq 2n-k+1$$
が成り立つことが必要である．逆に，これで十分であることは，補題によって $|S|$ の大きい方から帰納法を用いれば示される．

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　各 $k = 1,2,\ldots 2n$ について $2(a_{k} - a_{k-1}) \ge 2n - k+1$ を満たす $(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ を考える．
$$b_k = a_k - a_{k-1} - \left(n - \left\lfloor\frac{k-1}{2}\right\rfloor\right),\quad b_{2n+1} = 3001^2 - a_{2n}$$
とすると，各 $b_k$ は非負整数であり，
$$b_1 + b_2 + \cdots + b_{2n+1} = 3001^2 - n(n+1)$$
が常に成立する．また，このような $(b_1,b_2,\ldots,b_{2n+1})$ と $(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ は一対一対応するので，問の条件を満たさない $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ の数は $\displaystyle\binom{3001^2 - n(n+1) + 2n}{2n} =\binom{3001^2 - n(n-1)}{2n}$ 個である．\
　以下，合同式の法は全て $3001$ とする．$n(n-1)\equiv 1$ に気をつければ，
$$\begin{aligned}
\binom{3001^2 - n(n-1)}{2n}
&= \frac{(3001^2 - n(n-1))(3001^2 - n(n-1) - 1)\cdots(3001^2 - n(n+1) + 1)}{(2n)!}\\\\
&\equiv \frac{(-1)(-2)\cdots(-3000)(-3002)\cdots(-2n)}{(2n)!\/3001}
\times \frac{3001^2 - n(n-1) - 3000}{3001}\\\\
& = -239
\end{aligned}$$
である．また，$(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ の組は全体で $\displaystyle\binom{3001^2}{2n}$ 個あり，これは $3001$ で割り切れるので，問の条件を満たす $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ の組の数を $3001$ で割った余りは $\bf{239}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc146/editorial/5048
　整数 $a_1, a_2, \ldots, a_{5758}$ は $1\leq a_1\lt a_2 \lt\cdots\lt a_{5758}\leq 3001^2$ をみたしています．このとき，$U=\\{a_1,a_2,\ldots, a_{5758}\\}$ とし，$U$ の部分集合 $S$ に対し，整数 $f(S)$ を以下のように定めます．

- 各 $i=1,2,\dots,5758$ に対し，$S_i$ で $S$ の要素のうち $a_i$ 以下のもの全体のなす集合を表すとき，$$f(S)=\sum_{i=1}^{5758}\bigl(\vert S_i \vert-2\max S_i\bigr)$$
とする．ただし，集合 $X$ に対し，$X$ の要素数を $\vert X \vert$，$X$ の要素のうち最大のものを $\max X$ で表す．また，ここでは $\max \emptyset = 0$ とする． 

　$f(S)\lt f(U)$ となる集合 $S\subset U$ が存在するような整数の組 $(a_1, a_2, \dots, a_{5758})$ としてあり得るものは $M$ 通りあります．$M$ を素数 $3001$ で割った余りを求めてください．