　三角形 $ PBM$ と $QCM^\prime$ が合同になるように $QC$ に関して$M$ の反対側に $M^\prime$ をとると，三角形 $ MM^\prime C $ は直角二等辺三角形であるため，$ \angle BMP =\angle QMC =45^{\circ} $ を得る．\
　$AB\neq AC$ であるため，$A,M,P,Q$ を通る円と辺$BC$ が $M$ でない点で交わるのでそれを $D$ とすると，
$$\angle BAD = \angle PMD = 45^\circ = \angle QMC = \angle CAD$$
より直線 $AD$ は $\angle A$ の二等分線であるから，$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 } = \sqrt{34}$ と併せて
$$DP = DQ,\quad  BD = \dfrac{3}{8} \sqrt{34}, \quad CD = \dfrac{5}{8} \sqrt{34} $$
である．\
　三角形 $ PBD \equiv QCD^\prime$ となるように直線 $CM^\prime$ 上に点 $D^\prime$ をとると点 $Q$ は直角三角形 $DCD^\prime$ の斜辺の中点であるから 
$$ DQ = \dfrac{1}{2}\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\dfrac{17}{8} $$
を得る．三角形 $PDQ$ が直角二等辺三角形であることから，$ PQ $ の長さは 
$\dfrac{17}{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{\dfrac{289}{32}}$ 
であり，特に解答すべき値は $\mathbf{321}$ である． 
![figure 1](\/images\/MXPzfO1VKRP5tPBfHDzQQV6FfSzN2lUYBK2yMbKg)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/6734
$A(0,0),B(3,0),C(0,5)$ となるように直交座標をとる．このとき，$M(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$ である．また，$a$ を正の実数として $P(a,0)$ とすれば $BP=CQ$ より $Q(0,2+a)$ となる.   
ここで，$\angle PMQ = 90^\circ$ より $\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}=0$，すなわち
$$-\dfrac{3}{2}(a-\dfrac{3}{2})-\dfrac{5}{2}(a-\dfrac{1}{2})=\dfrac{7}{2}-4a=0$$
なので $a=\dfrac{7}{8}$ を得る. よって
$PQ=\sqrt{\left( \dfrac{7}{8} \right)^2+\left( \dfrac{23}{8} \right)^2}=\sqrt{\dfrac{289}{32}}$ となる．
座標による解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/6734/491
$\mathrm{A,M,P,Q}$がある円と直線$\mathrm{BC}$との共有点のうち$\mathrm{M}$でないものを$\mathrm{D}$とする。
$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$として、点$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$に対してそれぞれ方べきの定理を適用すると

$$\mathrm{BP}\cdot \mathrm{BA}=\mathrm{BD}\cdot \mathrm{BM}$$

より

$$3x=\mathrm{BD}\cdot \dfrac{\sqrt{34}}{2}$$

であり、


$$\mathrm{CQ}\cdot \mathrm{CA}=\mathrm{CD}\cdot \mathrm{CM}$$

より

$$5x=\mathrm{CD}\cdot \dfrac{\sqrt{34}}{2}$$


となる。よって、


$$\sqrt{34}=\mathrm{BC}=\mathrm{BD}+\mathrm{CD}=\dfrac{6x}{\sqrt{34}}+\dfrac{10x}{\sqrt{34}}=\dfrac{16x}{\sqrt{34}}$$

より、$x=\dfrac{17}{8}$を得る。

よって、

$$\mathrm{PQ}^2=(3-x)^2+(5-x)^2=\left(\dfrac{7}{8}\right)^2+\left(\dfrac{23}{8}\right)^2=\dfrac{289}{32}$$
方べきの定理を使う
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/6734/501
　$ \angle A = 90^{\circ}, AB = 3, AC = 5 $ なる三角形 $ ABC $ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．辺 $ AB $ 上に点 $P$ ，辺 $ AC $ 上に点 $Q$ を $ BP=CQ $ となるようにとると，$ 4 $ 点 $A,M,P,Q$ は同一円周上にありました．\
　このとき $ PQ $ の長さは互いに素な正整数 $ a,b $ によって $ \sqrt{\dfrac{b}{a} } $ と表せるので，$a+b$ を解答してください．