　点 $Q$ を固定したとき，線分 $PQ$ の存在し得る領域は三角形 $BGQ$ であることに留意すれば，求める領域は $B$ を頂点として，四分円から直角二等辺三角形を除いた図形を底面とする錐体である．その体積は
$$\dfrac{1}{3}\times 6\times\left( 9\pi-18 \right)=18\pi-36$$
で与えられるから，特に解答すべき値は $\textbf{648}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct002/editorial/1986
　一辺の長さが $6$ の立方体  $ABCD-EFGH$ が固定されており，線分 $BG$ 上を動く点 $P$ と，$C$ を中心として $D,G$ を通る円の劣弧 $DG$ 上を動く点 $Q$ があります．このとき，線分 $PQ$ の通過しうる領域の体積を求めてください．ただし，求める値は整数 $a,b$ によって $a\pi+b$ と表せるので，$|ab|$ を解答してください．