　$m$ は $\mathrm{rad}(m)$ の倍数であることから，$\mathrm{rad}(m)$ は $120$ の約数である．$\mathrm{rad}(m)$ は同じ素数で高々 $1$ 回しか割り切れないことに注意すると，$\mathrm{rad}(m)$ の値の候補は $2,3,5,6,10,15,30$ に絞られる．それぞれ $120$ を加えたものを検討すれば，$m=125,135,150$ が適することがわかり，求める総和は $\mathbf{410}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/4587
　$2$ 以上の整数 $n$ に対し，$n$ が持つ相異なる素因数の総積を $\mathrm{rad}(n)$ で表します．例えば，$\mathrm{rad}(18)=2\times 3$ です．次の等式を満たす $2$ 以上の整数 $m$ の総和を求めてください．
$$m=\mathrm{rad}(m)+120$$