　$\triangle XYZ$ は正三角形であるから $XY=XZ$ である．また線分 $CP,BQ$ 上にそれぞれ点 $R,S$ を
$$PR\parallel AB,\quad QS\parallel AC$$
をみたすようにとれば，次が成り立つ．
$$PR=\frac{4}{5},\quad
QS=\frac{9}{5},\quad
XY=\frac{QX\cdot PR}{PQ}=\frac{9QX}{5PQ},\quad
XZ=\frac{PX\cdot QS}{PQ}=\frac{4PX}{5PQ}$$
$PQ=PX+QX$ を用いれば以上より $XY=\dfrac{65}{36}$ が得られ，特に解答すべき値は $\bm{101}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb003/editorial/169
　公式解説の点の名前が少しおかしなことになっている（$R$ が二つ登場したり $P,Q$ の位置関係が逆になっている）ため，修正します．


　$Q$ を通り $AB$ と平行な直線と $CP$ の交点を $S$，$P$ を通り $AC$ と平行な直線と $BQ$ の交点を $T$ とおくと，平行な線分の比の条件から，以下が成立する．  
$$
PT=AQ\cdot \frac{RB}{AB} = \frac{4}{5}, \quad QS = AR\cdot \frac{QC}{AC} = \frac{9}{5} \\\\
XY = \frac{PT\cdot QX}{PQ} = \frac{4QX}{5PQ},\quad XZ = \frac{QS\cdot PX}{PQ} = \frac{9PX}{5PQ} 
$$
また，$\triangle{XYZ}$ は正三角形なので，$XY=XZ$ であるため，$PX:QX=4:9$ を得る．$PQ=PX+QX$ とあわせることで，$XY=\dfrac{65}{36}$ となるため，解答すべき値は $\mathbf{101}$ である．
解説修正
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb003/editorial/169/387
　一辺の長さが $5$ である正三角形 $ABC$ において, 辺 $AB, AC$ 上にそれぞれ $AP=3, AQ=2$ をみたす点 $P, Q$ があり, $BQ$ と $CP$ の交点を $R$ とします. ここで, 線分 $PQ, QR, RP$ 上にそれぞれ点 $X, Y, Z$ を,
$$XY\parallel CA,\ \ YZ\parallel BC\ \ ZX\parallel AB$$
となるようにとりました.\
　$XY$ の長さは互いに素な正の整数 $m, n$ を用いて $\displaystyle \\frac{m}{n}$ と表せるので, $m+n$ を求めてください.