　$1$ 以上 $50$ 以下の整数の集合を，最大の奇数の約数が同じである集合，すなわち
$$\\{1,2,4,...,32\\},\\{3,6,...,48\\},\\{5,10,20,40\\},\cdots, \\{49\\}$$
に分割し，順に $U_1,U_3,...,U_{49}$ とする．\
　$1$ 以上 $49$ 以下の相異なる奇数 $i,j$ と $x\in U_i$ および $y\in U_j$ に対して，$x\in A$ かどうかは $y\in A$ かどうかに影響しないので，$k=1,3,...,49$ に対して，$U_k\cap A$ を定めれば良い．$U_k\cap A$ の定め方が $u_k$ だけあるとする．$U_k$ の要素を小さい順に並べたとき，条件より隣り合う要素がどちらも $A$ の要素になることはないので，$u_k$ は次の数に等しい．
- コインを左右に $|U_k|$ 個並べる方法であって，裏向きのコインが隣り合わないような並べ方の数．

コインが $n$ 個あるときの並べ方が $F_n$ だけあるとすると，一番左のコインの表裏で場合分けすることで，次の漸化式を得る．
$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$
これと $F_1=2,F_2=3$ より，$F_3=5,F_4=8,F_5=13,F_6=21$ である．\
　$U_k$ の要素の数を調べると，
$$
|U_k|=
\left\\{ 
    \begin{aligned}
    & 6 \\ (k=1) \\\\
    & 5 \\ (k=3) \\\\
    & 4 \\ (k=5) \\\\
    & 3 \\ (k=7,9,11) \\\\
    & 2 \\ (k=13,15,...,25) \\\\
    & 1 \\ (k=27,29,...,49)
    \end{aligned}
\right.
$$
であるので，$N$ の値は次のように計算できる．
$$\begin{aligned}
N&=u_1\times u_3\times \cdots \times u_{49}\\\\
&=F_{|U_1|}\times F_{|U_3|}\times \cdots \times F_{|U_{49}|}\\\\
&=F_6\times F_5 \times F_4 \times F_3^3 \times F_2^7 \times F_1^{12}\\\\
&=21\times 13 \times 8 \times 5^3 \times 3^7 \times 2^{12}\\\\
&=2^{15}\cdot 3^{8}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13
\end{aligned}$$
これの正の約数の個数は $\bf2304$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/editorial/11356
　次をみたすような (空集合でもよい) 集合 $A$ の個数を $N$ とするとき，$N$ の正の約数の個数を解答してください．

 - $A$ は $\\{1,2,\ldots, 50\\}$ の部分集合である．
 - 任意の $A$ の要素 $x$ について，$2x$ は $A$ の要素でない．