　条件の式を $P(n)$ で表す．$a_n = \left\lfloor \dfrac{n^2}{f(n)} \right\rfloor + 1$ とおくと $f(a_n) = n + 1$ であり，特に
$$f(a_1) \lt f(a_2) \lt \ldots \lt f(a_i) \lt f(a_{i + 1}) \lt \ldots$$
が成立するから，$f$ の単調性より $a_1 \lt a_2  \lt \ldots$ となる．$a_1 \geq 1$ から $a_n \geq  n$ が成立し，$f(n) \leq f(a_n) = n+1$ を得る．\
　ここで $f(n) \geq n$ であることを数学的帰納法で示す．$n = 1$ のときは自明．また $n \geq 2$ かつ $f(n - 1) \geq n - 1$ であったとき，$f(n) \lt n$ と仮定すると単調性から $f(n - 1) = f(n) = n - 1$ となるが，$P(n - 1)$ に $f(n - 1) = n - 1$ を代入すれば$f(n) = n$ が得られ矛盾．よって $f(n) \geq n$ であり任意の $n$ で $f(n) \geq n$．\
　また，ある $k$ で $f(k) = k$ となったとすると，$P(k)$ から $f(k + 1) = k + 1$ となる．これと $f(n) = n, n + 1$ から，条件を満たす $f$ は次のいずれかのような形に限られ，これらは条件を満たす．
 - $f(n) = n + 1$

- ある非負整数 $N$ が存在し, 
$$
f(n) = 
\begin{cases}
 n + 1 & (n \leq N) \\\\
 n & (n \gt N)
\end{cases}
$$
となる.

　よって，求める答えは $1 + 2 + \cdots + 100 = 5050$ から $2 + 3 + \cdots + 101 = 5150$ までの総和 $\mathbf{515100}$ となる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/editorial/11137
　正整数に対して定義され正整数値を取る関数 $f$ は広義単調増加であり，任意の正整数 $n$ に対して
$$ f \left(\left\lfloor \frac{n ^ 2}{f(n)}\right\rfloor + 1 \right) = n + 1$$
を満たします．このとき，$(f(1),f(2),\ldots,f(100))$ としてあり得る組全てについて $f(1) + f(2) + \cdots + f(100)$ の値の総和を解答してください．