　条件は，$25p\le n^2\lt25p+5$ と同値である．$n^2$ を $5$ で割った余りは $0,1,4$ のいずれかであり，$25p$ は平方数になりえないことに注意すれば，$n^2=25p+1$ または $n^2=25p+4$ のいずれかが成立する．

- $n^2=25p+1$ である場合\
　$25p=(n-1)(n+1)$ である．$n-1$ と $n+1$ のうち $5$ の倍数であるのは高々一つであり，$n-1$ と $n+1$ の差は $2$ であるから，$\\{n-1,n+1\\}  = \\{25,p\\}$ である．従って，$p = 23$ である．

- $n^2=25p+4$ である場合\
　$25p=(n-2)(n+2)$ である．$n-2$ と $n+2$ のうち $5$ の倍数であるのは高々一つであり，$n-2$ と $n+2$ の差は $4$ であるから，$\\{n-2,n+2\\}  = \\{25,p\\}$ である．従って，$p = 29$ である．

　以上から，求める答えは $23 + 29 = \mathbf{52}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct002/editorial/6762
　$\left\lfloor\dfrac{n^2}{5}\right\rfloor=5p$ をみたす整数 $n$ が存在するような素数 $p$ の総和を求めてください．\
　ただし，実数 $x$ に対して $\lfloor x\rfloor$ で $x$ を超えない最大の整数を表します．