　与式を適切に変形することで以下を得る.
　　$$\dfrac{(1-x^2)(1-y^2)+2x\times 2y}{(1+x^2)(1+y^2)}\gt 2m-1$$
　ここで $t=\tan(\theta\/2)$ に対して
　　$$\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\ \ \sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}$$
であることに留意すれば, $x=\tan(\alpha\/2),\ y=\tan(\beta\/2)$ とおけば以下が成立する.
　　$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\gt 2m-1$$
　ここで $x,y\geq 100$ より, $\tan(\theta\/2)=100$ なる $0\lt\theta\lt\pi$ について $\theta\leq\alpha,\beta\lt\pi$ としてよい, このとき
　　$$2M-1=\cos\left(\dfrac{\pi-\theta}{3}\right)$$
であることが容易にわかる. さらに $\theta^\prime=\pi-\theta$ とおけば
　　$$\cos\theta^\prime=-\cos\theta=-\left(\dfrac{1-100^2}{1+100^2}\right)=\dfrac{9999}{10001}$$
であり, 一方 $M^\prime=2M-1$ とおけば $\cos\theta^\prime=4(M^\prime)^3-3M^\prime$ であるから, これを整理することで
　　$$160016 M^3 - 240024 M^2 + 90009 M - 10000 = 0$$
　よって求める値は $160016+240024+90009+10000=\textbf{500049}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc020/editorial/129
　相異なる $100$ 以上の実数 $4$ つからなる任意の集合について, 適切に $2$ 元 $x,y$ を選ぶことで以下の不等式が成立するような, 定数 $m$ としてあり得る最大値 $M$ を考えます.
$$(xy+1)^2\gt m(x^2+1)(y^2+1)$$
　このとき, $aM^3+bM^2+cM+d=0$ をみたすような互いに素な整数 $a,b,c,d$ (ただし $a\gt 0$) が一意に存在することが証明できるので, $|a|+|b|+|c|+|d|$ を求めてください.