**解法1.**　簡単な角度計算によって $\angle BAR=\angle BRA$ および $\angle CAP=\angle CPA$ が従う. すなわち $CR=x$ とおけば $AB=16,AC=8+x$ である. 一方で $AB:AC=BQ:QC$ であるから, 以上より $x=8\/5$ を得る. 特に解答すべき値は $88＋5=\textbf{93}$ である.

**解法2.**　三角形 $ABC$ の内心を $I$ とすると, $\angle{IBP}=\angle{PAI}$ より $4$ 点 $A,B,I,P$ は共円であり, 同様に $A,C,I,R$ も共円. したがって方べきの定理より以下が成り立つ.
$$PQ\times BQ=QI\times QA=QR\times QC$$
これらに条件を代入することで $QC=\displaystyle\frac{33}{5}$ が得られ,  $BC=\displaystyle\frac{88}{5}$ であるから, 解答すべき値は $88＋5=\textbf{93}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/206
　三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $B,P,Q,R,C$ がこの順にあり, 以下の条件をみたしています.
$$\begin{aligned}
\angle BAQ=\angle QAC,\ \ \angle ABQ&=2 \angle PAQ,\ \ \angle{ACQ}=2 \angle{QAR}\\\\
BP=8,\ \ PQ&=3,\ \ QR=5
\end{aligned}$$
このとき, 辺 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.