　次の角度の評価により $\angle ABD\gt \angle CAD$ なので，三角形 $ABE$ の外接円と辺 $AD$ は $A$ でない点で再び交わることがわかる．
$$\angle ABD=180^\circ-\angle ACD=\angle CAD+\angle ADC\gt \angle CAD$$
この交点を $F$ とすると
$$\angle AFE=180^\circ-\angle ABD=\angle DCE$$
より，$F$ は三角形 $CDE$ の外接円上にもある．したがって方べきの定理より次が成り立つ．
$$AF\cdot AD=61\cdot 82=5002, \quad DF\cdot AD=51\cdot 98=4998.$$
したがって $AD^2=AF\cdot AD+DF\cdot AD=10000$ より，$AD=\bf100$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/editorial/11246
$\angle AEB= \angle DEC$ なので直線 $CE$ 上に三角形 $ABE$ と三角形 $DFE$ が相似であるような点 $F$ が取れる．\
三角形 $DCF$ が二等辺三角形になることに注意すれば，点 $D$ から直線 $EF$ に垂線を下ろすことで $\cos \angle DEC$ が求まる．\
あとは三角形 $AED$ に余弦定理を適用すれば $AD$ を求めることができる．
三角形を移動，縮小する解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/editorial/11246/446
$$\angle ABD+\angle ACD=180^\circ$$
なる凸四角形 $ABCD$ があり，その $2$ 本の対角線の交点を $E$ とすると，
$$AE=61, \quad BE=47, \quad CE=21, \quad DE=51$$
が成り立ちました．辺 $AD$ の長さを求めてください．