　$P,Q$ それぞれの中心の $x$ 座標を $p,q$，半径を $u,v$ とおく．このとき，$P,Q$ の双方と互いに外接し，半径が $k$ である円の中心 $(x,y)$ がみたすべき方程式は，
$$(x-p)^2+y^2=(k+u)^2, \quad (x-q)^2+y^2=(k+v)^2$$
である．これを解けば，$x$ として $k$ の $1$ 次式が得られる．つまり，求める値を $t$ とおくと，$(k, x) = (4,8),(16,11),(2023,t)$ は同一直線上に並ぶから，$t=\dfrac{2051}4$ である．特に，解答すべき値は $\textbf{2055}$ である．\
　なお，$p=2$，$q=10$，$u=5$，$v=3$ として条件は実現可能である（$B$ の中心の $x$ 座標は $10$）．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/8713
　$xy$ 平面において，中心がともに $x$ 軸上にあり，互いに外接している $2$ 個の円 $P,Q$ があります．いま，$P,Q$ の双方と互いに外接する $4$ 個の円 $A,B,C,D$ であって，次をみたすものをとることができました：

- $A$ の中心の $x$ 座標は $8$ であり，半径は $4$ である．
- $B$ の中心の $y$ 座標は $15$ であり，半径は $12$ である．
- $C$ の中心の $x$ 座標は $11$ であり，半径は $16$ である．
- $D$ の半径は $2023$ である．

　このとき，円 $D$ の中心の $x$ 座標は一意に定まるので，これを求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p+q$ を解答してください．