　$39305$ 秒後までに $X$ が $k$ 回移動する確率は ${}\_{39305}\textrm{C}\_{k}\/2^{39305}$ であるから, 求める確率 $P$ は
$$P=\dfrac{1}{2^{39305}}\left({}\_{39305}\textrm{C}\_{0}+{}\_{39305}\textrm{C}\_{4}+\cdots+{}\_{39305}\textrm{C}\_{39304}\right)$$
ところで, 二項定理より以下の四式がそれぞれ成立する：
$$\begin{alignedat}
\ &&(1+1)^{39305}&&&={}\_{39305}\textrm{C}\_{0}&&+{}\_{39305}\textrm{C}\_{1}&&+{}\_{39305}\textrm{C}\_{2}&&+{}\_{39305}\textrm{C}\_{3}&&+&&\cdots&&+{}\_{39305}\textrm{C}\_{39305} \\\\
\ &&(1-1)^{39305}&&&={}\_{39305}\textrm{C}\_{0}&&-{}\_{39305}\textrm{C}\_{1}&&+{}\_{39305}\textrm{C}\_{2}&&-{}\_{39305}\textrm{C}\_{3}&&+&&\cdots&&-{}\_{39305}\textrm{C}\_{39305} \\\\
\ &&(1+i)^{39305}&&&={}\_{39305}\textrm{C}\_{0}&&+{}\_{39305}\textrm{C}\_{1}i&&-{}\_{39305}\textrm{C}\_{2}&&-{}\_{39305}\textrm{C}\_{3}i&&+&&\cdots&&+{}\_{39305}\textrm{C}\_{39305}i \\\\
\ &&(1-i)^{39305}&&&={}\_{39305}\textrm{C}\_{0}&&-{}\_{39305}\textrm{C}\_{1}i&&-{}\_{39305}\textrm{C}\_{2}&&+{}\_{39305}\textrm{C}\_{3}i&&+&&\cdots&&-{}\_{39305}\textrm{C}\_{39305}i
\end{alignedat}$$
$(1+i)^8=(1-i)^8=2^4$ を用いてこれらを辺々足し合わせることで,
$$2^{39307}P=4\left({}\_{39305}\textrm{C}\_{0}+{}\_{39305}\textrm{C}\_{4}+\cdots+{}\_{39305}\textrm{C}\_{39304}\right)=2^{39305}+2^{19653}$$
よって $P=(2^{19652}+1)\/2^{19654}$ であるから, あとは $a=2^{19652}+1$ の素因数について考えればよい. 適当な計算によって $2,3,5,7,11,13$ では割れないことがわかる. 一方で $19652=4\times 17^3$ であるから, $a=16^{17^3}+1$ とみなすことでLTEの補題よりこれは $17$ でちょうど $4$ 回割り切れ, 以上より解答すべき値は $\textbf{68}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/editorial/288
　正方形のある頂点に一つの粒子 $X$ があり, ちょうど $1$ 秒経つごとに $50\\%$ の確率で時計回りに隣の頂点に移動し, 残りの $50\\%$ の確率で移動しない性質をもちます. $X$ が $39305.5$ 秒後に元と同じ頂点にいる確率は, 互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されます. $a$ のもつ最小の素因数と, $a$ がそれで割り切れる最大の回数の**積**を求めてください. \
　なお, 粒子は (連続的ではなく) 瞬間的に移動するものとします.