$$P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e ,\quad Q(x) = x^5 + 2ax^4 + 2bx^3 + 2cx^2 + 2dx + 2e$$
とするとき,
$$
Q(x) = (x - \alpha + 1)(x - \beta + 1)(x - \gamma + 1)(x - \delta + 1)(x - \varepsilon + 1) = P(x + 1)
$$
であるから, $P(x + 1)$を展開して係数を比較することで
$$
\begin{cases}
2a = a + 5\\\\
2b = 4a + b + 10\\\\
2c = 6a + 3b + c + 10\\\\
2d = 4a + 3b + 2c + d + 5\\\\
2e = a + b + c + d + e + 1
\end{cases}
$$
より $a = 5, b = 30 , c = 130 , d = 375 , e = 541$ を得るので, 求める答えは
$$a+b+c+d+e=2e-1=\bf{1081}$$
である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc070/editorial/2296
　実数 $a,b,c,d,e$ について, 
$$
x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
$$
の複素数解が重複を込めて $x=\alpha, \beta , \gamma , \delta , \varepsilon$ であり, 
$$
x^5 + 2ax^4 + 2bx^3 + 2cx^2 + 2dx + 2e = 0
$$
の複素数解が重複を込めて $x=\alpha - 1 , \beta - 1 , \gamma - 1 , \delta - 1 , \varepsilon - 1$ であるとき,
$$|a+b+c+d+e|$$
が取り得る値の総和を求めてください.