　三角形 $FBQ$ と三角形 $FCQ$ の面積は等しいので，以下が成立する．
$$\frac12BF\times BQ \sin\angle FBQ = \frac12CF\times CQ\sin\angle FCQ$$
また，$\sin\angle FBQ = \sin\angle FCQ$ であるから，以下が成立する．
$$BQ : CQ = CF : BF = AB : AC$$
である．さらに，$AB : AC = BD : CD$ であるから，三角形 $ADQ$ の外接円は，線分 $BC$ に対する $AB : AC$ のアポロニウスの円である．ここで，線分 $BC$ に関して $A$ と対称な点を $A^\prime$ とすると，四角形 $BA^\prime CF$ は平行四辺形なので，$A^\prime$ は直線 $FM$ 上にあり，$A^\prime B : A^\prime C = AB:AC$ なので $A^\prime$ は三角形 $ADQ$ 上にある．従って，$R = A^\prime$ である．今，中線定理より
$$A^\prime M = FM = AM = \sqrt{\frac12(AB^2 + AC^2) - \bigg(\frac12BC\bigg)^2} = \sqrt{\frac{117}{2}}$$
である．また，方べきの定理より
$$QM = \frac{BM\times CM}{FM} = 16\sqrt{\frac{2}{117}}$$
であるから，
$$QR^2 = \bigg(\sqrt{\frac{117}{2}} - 16\sqrt{\frac{2}{117}}\bigg)^2 = \frac{7225}{234}$$
である．特に，解答すべき値は $\bf{7459}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb016/editorial/6898
　角度追跡だけでも $MA＝MR$ を証明できるので，紹介しておく． 

---

　直線 $AD$ と円 $\omega$ の交点であって，点 $A$ でないものを点 $N$ とする．このとき，点 $N$ は弧 $BC$ の中点にあり，$BC \perp MN$ である．

Step.1　 $4$ 点 $D,M,N,Q$ は共円である．\
（証明）直線 $MN$ と円 $\omega$ の交点であって，点 $N$ でないものを点 $N^{\prime}$ とする．\
　$\angle{FQN}+\angle{ANN^{\prime}}=\angle{FQN}+\angle{FNN^{\prime}}=90^{\circ}$ である（最後の等号は，弧 $FN$ に対する円周角と弧 $FN^{\prime}$ に対する円周角の和であることから従う）．\
　さらに $\triangle DMN$ が直角三角形であることから $\angle{MQN}=\angle{MDN}$ が従う．

Step.2　$\triangle ADM \equiv \triangle RDM$\
（証明）直線 $AM$ と円 $\omega$ の交点であって，点 $A$ でないものを点 $Q^{\prime}$ とする．点 $Q$ と点 $Q^{\prime}$ は直線 $MN$ に対して対称な位置に存在するため $\angle{NAQ}=\angle{NAQ^{\prime}}$．このことから，$\angle{DAM}=\angle{DAQ}=\angle{DRQ}=\angle{DRM}$ を得る．\
　また，線対称であることを用いれば，$\angle{DMR}=\angle{DMA}$ を得る．\
　よって，一辺の長さが等しく（$DM$ 共通），対応する二つの角が等しいので，$\triangle ADM \equiv \triangle RDM$ である．
　
MA＝MR の別証明
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb016/editorial/6898/564
　$BC = 8, CA = 10, AB = 7$ である三角形 $ABC$ の外接円を $\omega$ とします．また，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とし，$\omega$ 上の点 $F$ が $AF \parallel BC$ を満たしているとします．さらに，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，$FM$ と $\omega$ の交点のうち $F$ でない方を $Q$，三角形 $ADQ$ の外接円と直線 $FM$ の交点のうち，$Q$ でない方を $R$ とします．このとき，線分 $QR$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{b}{a}$ と表されるので，$a + b$ の値を解答してください．