**補題.**　$a,b,c$ が $0$ 以上 $2^{12}$ 未満の整数であるとき，次が成り立つ．
$$F(a,b,c)=\sum_{i=1}^{12}2^{i-1}\cdot\dfrac{4}{7}\max\\{d_i(a),d_i(b),d_i(c)\\}$$
<details> <summary>証明 <\/summary> 
　$d_i(x_n)$ は次のいずれかを周期的に繰り返す．
$$\\{0\\},\\{0,0,1,1,1,0,1\\}$$
特に $d_i(a)=d_i(b)=d_i(c)=0$ であるとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sum_{k=0}^{n-1}d_i(x_k)}{n}$ の値は $0$ であり，そうでないとき，$\dfrac{4}{7}$ である．
したがって次のように計算ができる．
$$F(a,b,c)=\sum_{i=1}^{12}2^{i-1}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sum_{k=0}^{n-1}d_i(x_k)}{n}=\sum_{i=1}^{12}2^{i-1}\cdot\dfrac{4}{7}\max\\{d_i(a),d_i(b),d_i(c)\\}$$
 <\/details>

この補題により，$a,b,c$ が $0$ 以上 $2^{12}$ 未満の範囲内で同様に確からしい確率で出現するとき，
 $F$ の分布は独立同分布 $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ （ただし $X_i$ は確率 $7\/8$ で $4\/7$ となって確率 $1\/8$ で $0$ となるような確率変数）を使って
$$F(a,b,c)=\sum _ {k=0}^{11}X_k 2^{k}$$
と書けることが分かる．$E[X_k]=\dfrac{1}{2}$ より，

$$E[F(a,b,c)]=\sum_{k=0}^{11} E[X_k] 2^k=\dfrac{1}{2}(2^0+2^1+\cdots+2^{31})=\dfrac{2^{12}-1}{2}$$

となる．また，$E[X_k^2]=\dfrac{2}{7}$ より，

$$\begin{aligned}E[F(a,b,c)^2]
&=\sum_{i=0}^{11}\sum_{j=0}^{11} E[X_iX_j] 2^{i+j}\\\\
&=\sum_{k=0}^{11} (E[X_k^2]-E[X_k]^2)2^{2k}+\Bigg(\sum_{k=0}^{11} E[X_k] 2^k\Bigg)^2\\\\
&=\dfrac{2^{24}-1}{84}+\dfrac{(2^{12}-1)^2}{4}\end{aligned}$$

となる．よって，求めたい値は

$$\frac{2}{2^{12}-1}\left(\dfrac{2^{24}-1}{84}+\dfrac{(2^{12}-1)^2}{4}\right)
=\frac{11\cdot 2^{12}-10}{21} = \frac{45046}{21}$$

である．特に，解答すべき値は $\bf45067$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/editorial/11577
　非負整数 $x,y$ に対して，それらの排他的論理和 (XOR) を $f(x,y)$ で表します．

<details><summary>排他的論理和の定義<\/summary>
　非負整数 $x$ に対して，$x$ を二進法で表したときの右から $i$ 桁目（＝$x$ の $2^{i-1}$ の位）を $d_i(x)$ とします．ただし，$x$ の桁数が $i$ 未満であるとき $d_i(x)=0$ とします．このとき，$f(x,y)$ を以下をみたす非負整数として定めます：

- 任意の $i=1,2,\ldots$ について，
$$d_i\bigl(f(x,y)\bigr)=\begin{cases}
0& \bigl(d_i(x)=d_i(y)\bigl)\\\\
1& \bigl(d_i(x)\neq d_i(y)\bigr)
\end{cases}$$
である．
<\/details>

　非負整数 $a,b,c$ に対して，以下の漸化式によって数列 $\\{x_n\\}\_{n=0,1,\ldots}$ を定めます．
$$x_0=a , \quad x_1=b , \quad x_2=c ,\quad x_{n+3}=f(x_{n+2},x_n) \quad (n=0,1,\ldots)$$
このとき，以下の極限値 $F(a,b,c)$ がつねに存在することが証明できます．
$$F(a,b,c)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}x_k$$
以下の値は互いに素な正整数 $A,B$ を用いて $\dfrac{A}{B}$ と表せるので，$A+B$ の値を解答してください．
$$\dfrac{\displaystyle\sum_{a=0}^{2^{12}-1}\sum_{b=0}^{2^{12}-1}\sum_{c=0}^{2^{12}-1}F(a,b,c)^2}{\displaystyle\sum_{a=0}^{2^{12}-1}\sum_{b=0}^{2^{12}-1}\sum_{c=0}^{2^{12}-1}F(a,b,c)}$$