　箱を $1$ つ選んで $A$ とする．問題の条件を満たす玉の入れ方のうち，$A$ に赤玉を入れるものの総数を $M^{\prime}$ とする. $M=3M^{\prime}$ である．\
　反時計回りに見て，色の変化は「赤→青→白→赤→ $\cdots$ 」の順にしか起こり得ない．したがって，隣りあう箱の組それぞれについて色が変化するかしないかを指定すれば，それを満たす玉の入れ方は高々 $1$ つに定まる．指定した変化をする玉の入れ方が存在するためには，$A$ から一周して $A$ に戻ってきたときに赤色であること，すなわち変化の回数が $3$ の倍数であることが必要十分である．したがって $M^{\prime}$ は，異なる $2000$ 個のものから $3$ の倍数個のものを選ぶ選び方の総数に等しい．すなわち
$$M^{\prime} = {}\_{2000}\mathrm{C}\_{0} + {}\_{2000}\mathrm{C}\_{3} + \cdots + {}\_{2000}\mathrm{C}\_{1998}$$
である．ここで 
$$f(x) = (1+x)^{2000} =  {}\_{2000}\mathrm{C}\_{0} + {}\_{2000}\mathrm{C}\_{1} x + \cdots +{}\_{2000}\mathrm{C}\_{2000} x^{2000}$$
とおく．$M^{\prime}$ は，$f(x)$ における次数が $3$ の倍数である項の係数の総和に等しい．したがって，$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの $1$ つとしたとき
$$M^{\prime} = \frac {f(1) + f(\omega) + f(\omega^2)}{3}$$
が成り立つ．
$f(1) = 2^{2000}$ であり，
$$f(\omega) = (1 + \omega)^{2000} = (- \omega^2)^{2000} = \omega,$$
$$f(\omega^2) = (1 + \omega^2)^{2000} = (- \omega)^{2000} = \omega^2$$
である．よって
$$M^{\prime} = \frac {2^{2000} + \omega + \omega^2}3 = \frac {2^{2000}-1}3$$
であり，$M = 3M^{\prime} = 2^{2000}-1$ である．
フェルマーの小定理より
$$2^{2000}-1 \equiv  \dfrac{1}{4}-1 =\dfrac{2003+1}{4}-1  =500 \ (\mathrm{mod} \ 2003)$$
であるので，求める値は $\mathbf {500}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/11960
　$2000$ 個の箱が円形に並んでいます．
各箱に赤玉，青玉，白玉のうちいずれか $1$ つを入れる方法であって，反時計回りに見たときに
- 赤玉が入っている箱の次の箱には赤玉か青玉が入っている
- 青玉が入っている箱の次の箱には青玉か白玉が入っている
- 白玉が入っている箱の次の箱には白玉か赤玉が入っている

を満たすものの総数を $M$ とします．ただし，回転，反転して一致する入れ方も区別します．$M$ を素数 $2003$ で割った余りを求めてください．