　銀将が座標 $(x, y)$ にあるとき，$1$ 手操作後に $ (x - 1, y + 1), (x, y + 1), (x + 1, y + 1), (x - 1, y - 1), (x + 1, y - 1)$ に移動する操作をそれぞれ $ T_{ul}, F, T_{ur}, T_{dl}, T_{dr}$ とする．\
　操作 $T$ の前後で座標の和の偶奇は変わらない．$(x, y) = (10, 11)$ は $(x, y) = (0, 0)$ と座標の和の偶奇が異なるため，操作 $F$ は奇数回行われたことが分かる．操作 $F$ の回数を $k$ を $0$ 以上の整数として，$2k+1 $ 回とする．このとき，操作 $T$ の行われた回数は $14-2k$ となる．\
　操作 $T_{ul}, T_{dl}$が行われた回数の和を $L$，操作 $T_{ur}, T_{dr}$が行われた回数の和を $R$ とすると，
$$\begin{aligned}
& L + R = 14 - 2k\\\\
& L - R = 10 
\end{aligned}$$
となり，$L = 12 - k, R = 2 - k$と求まる. \
　同様に，操作 $T_{ul}, T_{ur}$が行われた回数の和を $U$，操作 $T_{dl}, T_{dr}$が行われた回数の和を $D$ とすると，$U = 12 - 2k, D = 2$ と求まる．\
　以上より，$R \geq 0$ から $ k \leq 2$ となることも踏まえ，求める答えは以下のように計算できる．
$$
\sum\limits_{k=0}^{2} \Big( {}\_{15}\mathrm{C}\_{2k+1} \times {}\_{14-2k}\mathrm{C}\_{2-k} \times {}\_{14-2k}\mathrm{C}\_{2} \Big)
= \mathbf{619710}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/6118
　将棋の銀将の駒が $xy$ 平面上に一つ置かれている状況を考えます．銀将が点 $(x, y)$ にあるとき，$1$ 手操作したあとで銀将は
$$ (x - 1, y + 1),~ (x, y + 1),~ (x + 1, y + 1),~ (x - 1, y - 1),~ (x + 1, y - 1)$$
のいずれかの点に移動することができます．\
　はじめ，$(0, 0)$ に銀将が置かれています．ここから $15$ 手進めるとき，その方法は $5^{15}$ 通り考えられますが，そのうち最終的に $(10, 11)$ に位置するようなものは何通りありますか？