　$OP=x$ とおく．簡単な角度計算より，$QP=QS=1$，$PO=PR=PS=x$ である．また方べきの定理より $OQ\cdot OR=OP^2=x^2$ であるから $QR=x^2-1$ である．したがってPtolemyの定理より
$$\begin{aligned}
PQ\cdot SR+QS\cdot RP&=QR\cdot PS\\\\
1\cdot \frac{3}{2}x+1\cdot x&=(x^2-1)\cdot x.
\end{aligned}$$
これを解いて $x^2=7\/2$ を得るから，特に解答すべき値は $\textbf{9}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc077/editorial/2044
　円 $\Gamma$ 上に $2$ 点 $P,Q$ が, $\Gamma$ の外部に点 $O$ があり, $OQ=PQ=1$ かつ $OP$ は $\Gamma$ に接しています. 線分 $OQ$ の $Q$ 側の延長線と $\Gamma$ が交わったのでその交点を $R$ とし, $\Gamma$ 上に $\angle OPQ=\angle SPQ$ なる点 $S$ をとったとき, $OP:RS=2:3$ が成立しました. このとき, $OP$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.