　正整数 $k$ の十進法表記での各位の和を $S(k)$ と表す．$10^{10}-1$ 以下の非負整数 $m$ であって
$$S(m+1) = S(m+10^4)$$
を満たすものの個数を求めればよい．

　今，$m$ の $10^{i}$ の位が $9$ でないような最小の $i \geq 0$ を $i_m$ とすると，$m+1$ について

- $10^0,10^1,\ldots,10^{i_m - 1}$ の位は $0$（ $i_m$ に限り，これは考えなくてよい）．
- $10^{i_m}$ の位は次の位に繰り上がらない．

がいえるので，
$$S(m+1)-S(m) = -9i_m+1$$
が分かる．同様に，$m$ の $10^{j+4}$ の位が $9$ でないような最小の $j \geq 0$ を $j_m$ とすると，
$$S(m+10^4)-S(m) = -9j_m+1$$
である．従って，上の条件は $i_m=j_m$ と同値である．このとき $i_m \leq 3$ であるから，$i_m=j_m=0,1,2,3$ に分けて計算すれば，求める値は次のように計算できる．
$$9^{2}×10^{8}+9^{2}×10^{6}+9^{2}×10^{4}+9^{2}×10^{2} = \mathbf{8181818100}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/editorial/11725
　$10^{10}$ 以下の正の整数 $n$ であって，$n$ と $n+9999$ それぞれの十進法表記での各位の和が等しいものはいくつありますか？