　条件より次を満たす正の整数 $k,l$ が存在する．
$$n+2=k^2,\quad n+9=l^2$$
 $2$ 式より $n$ を消去して，次を得る．
$$(l+k)(l-k)=7$$
これを満たす整数の組 $(l+k,l-k)$ は $(7,1)$ に限られるので，$(l,k)=(4,3)$ である．したがって $n=\bf7$ が得られ，これが唯一条件を満たす．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/editorial/11691
　 $2$ を足しても，$9$ を足しても平方数となるような正の整数を全て求め，それらの総和を解答してください．