　まず，互いに素な正整数 $s,t$ であって
$$\dfrac{1}{8}\lt \dfrac{s}{t}\lt \dfrac{1}{7} \quad \Bigl(\iff 7s\lt t\lt 8s \Bigr)$$
をみたすものを考える．$s$ が小さい方から（等しい場合は $t$ が小さい方から）列挙すれば，
$$\frac{2}{15},\frac{3}{22},\frac{3}{23},\frac{4}{29},\frac{4}{31},\frac{5}{36},\frac{5}{37},\frac{5}{38},\frac{5}{39},\frac{6}{43},\dfrac{6}{47},\dfrac{7}{50},\ldots$$
と並ぶ．この範囲では $s+t$ の昇順が同時に実現されている$^{(*)}$ことに注意する．\
　さて，それぞれに $3$ を加えることで $\dfrac{p}{q}$ として適するものが対応するが，$t$ が昇順であることから，$3$ を加えた後においても $p+q$ の昇順が実現される．よって，求めるべき値は $(6+43\times 3)+43=\mathbf{178}$ である．

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$^{(*)}$ $s \geq 10$ においては分子 $s$ の変わり目，すなわち $\dfrac{s}{8s-1},~\dfrac{s+1}{7s+8}$ については，次が成り立つので，分数の列挙順と $s+t$ の大小が一致しない．
$$s+(8s-1) \geq (s+1)+(7s+8)$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/4751
　互いに素な正整数 $p,q$ が
$$\dfrac{25}{8}\lt \dfrac{p}{q} \lt \dfrac{22}{7}$$
をみたすとき，$p+q$ のとり得る値のうち $10$ 番目に小さいものを求めてください．