　$a$ を $b$ で割ったあまりを $a\\%b$ で表すこととする. \
　問題の操作の「逆」にあたる操作 $B$ を考える. すなわち, 上半分を偶数番目にその順に並べ, 下半分を奇数番目に逆順に並べる操作を $B$ とする. これを $20210106$ 回繰り返したとき, $1$ と書かれたカードが上から何番目にあるかを考えればよい. \
　ここで, $2n$ 枚のカードを用意し, 上半分を偶数番目にその順に, 下半分を奇数番目にその順に並べるという操作 $B^\prime$ を考える. すると, 上から $k$ 枚目のカードは操作 $B^\prime$ 後上から $(2k)\\%(2n+1)$ 枚目に移動することがわかる. よって, $m$ 回の操作 $B^\prime$ によって一番上のカードは $2^m\\%(2n+1)$ 枚目に移動する. また, 操作 $B$ は, $2n$ 枚のカードのうち $k$ 枚目と $2n+1-k$ 枚目のカードを同一視したものであることが確認できるから, $m$ 回の操作 $B$ によって一番上のカードは, $d=2^m\\%(2n+1)$ とすれば $d\leq n$ のとき $d$ 枚目に, $d\gt n$ のとき $2n+1-d$ 枚目に移動することがわかる. $2n+1=2^{10105051}+5$ であるから
　　$$2^{20210106}=(2^{10105051})^2\times 2^4\equiv (-5)^2\times 2^4=400 \pmod{2n+1}$$
であり, 求める答えは $\textbf{400}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc014/editorial/93
　$n$ 枚のカードが積まれており, 上から順に $1,2,\dots,n$ が書かれています. ここで, 次の「操作」を考えます：

- (操作)：まず上から奇数番目のカードをすべて取り出し, 逆順にして重ねる. その上に残りのカードをそのまま重ねる.

　例えば $n=6$ の場合, 初めカードには上から順に $1,2,3,4,5,6$ が書かれていますが, 操作を $1$ 回行うと上から順に $2,4,6,5,3,1$ となります. さらに $1$ 回操作を行うと $4,5,1,3,6,2$ となります. \
　$n=2^{10105050}+2$ の場合において, 操作を $20210106$ 回繰り返したとき, 一番上に置かれているカードに書かれた数を求めてください.