　$X_n=\\{1,1,2,2,\dots,n,n\\}$ とする．$f$ の定義をその部分集合に拡張する．ここで，$f(\emptyset)=1$ とする．このとき，$n=2,3,\dots$ について，$X_{n-1}$ の部分集合 $V$ と $\\{n,n\\}$ の部分集合の和集合について，以下が成立する：
$$
\begin{aligned}
f(V\cup \emptyset)&=f(V),\\\\
f(V\cup \\{n\\})&=
\begin{cases}
f(V)&(Vの要素数が奇数)\\\\
nf(V)&(Vの要素数が偶数)
\end{cases},\\\\
f(V\cup \\{n,n\\})&=nf(V).
\end{aligned}
$$
　よって，$X_n$ の部分集合 $V$ のうち，要素数が偶数であるものの $f(V)$ の総和を $a_n$，要素数が奇数であるものの $f(V)$ の総和を $b_n$ とすると，$a_1=2, ~ b_1=1$ および $n=2,3,\dots$ について以下が成立する：
$$
a_n=(1+n)a_{n-1}+b_{n-1}, \quad b_n=na_{n-1}+(1+n)b_{n-1}.
$$
よって，求めるものは $a_{5}+b_{5}-1=1729+3430-1=\mathbf{5158}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/9871
　多重集合 $\\{1,1,2,2,3,3,4,4,5,5\\}$ の空でない部分集合 $U$ について，その要素を昇順に並べたとき奇数番目にあたるものの総積を $f(U)$ とします．例えば $U=\\{1,2,2,4,5,5\\}$ のとき，$f(U)=1\times2\times5$ です．$U$ として考えられるものは $3^{5}-1$ 通りありますが（ここで，同じ数は区別しないものとします），これらすべてに対する $f(U)$ の総和を求めてください．