　$P$ の座標を $(p,q)$, $C$ の半径を $r$ とおけば, $C$ の式は $(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$ と表される. さらに, $A_1, A_2$ の $x$ 座標をそれぞれ $a_1, a_2$とすれば, $a_1, a_2$ は $x$ についての二次方程式 $(x-p)^2+q^2=r^2$ の $2$ 解であるから, $a_1+a_2=2p$ が従う. 同様に $B_1, B_2$ の $y$ 座標をそれぞれ $b_1, b_2$ とすれば $b_1+b_2=2q$ である.\
　ここで $a_2, b_2$ が $0$ 以下であることに注意すれば, 以下の不等式が成立し, 等号は $p=\sqrt[3]{8\/5}$ で成り立つ.
　　$$\begin{aligned}\triangle OA_1B_1-\triangle OB_1A_2-\triangle OB_2A_1+\triangle OA_2B_2&=\dfrac{1}{2}(a_1b_1+a_2b_2+a_1b_2+a_2b_1)\\\\
　　&=\dfrac12(a_1+a_2)(b_1+b_2)=2pq\\\\
　　&=2p\left(5+\dfrac{4}{p^3}\right)\\\\
　　&=5p+5p+\dfrac{8}{p^2}\\\\
　　&\geq 3\cdot \sqrt[3]{5p\cdot 5p\cdot \dfrac{8}{p^2}}=3\cdot \sqrt[3]{200}\end{aligned}$$
　したがって, 求める値は $m^3=(3\cdot \sqrt[3]{200})^3=\textbf{5400}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc019/editorial/120
　$xy$ 平面において, グラフ $y=5+\dfrac{4}{x^3}\ (x\gt 0)$ 上の点 $P$ を中心とし, 原点 $O$ を内部(周上は含まない)に含む円 $C$ を考えます. $C$ と $x$ 軸との交点を $x$ 座標が大きい順に $A_1, A_2$ とし, $C$ と $y$ 軸との交点を $y$ 座標が大きい順に $B_1, B_2$ としたとき, 点 $P$ および 円 $C$ を動かして以下の式がとり得る最小値を $m$ とします.
$$\triangle OA_1B_1-\triangle OA_1B_2-\triangle OA_2B_1+\triangle OA_2B_2$$
このとき $m^3$ は整数値をとることが証明できるので, これを求めてください.\
　ただし, $\triangle XYZ$ で三角形 $XYZ$ の面積を表します. 

![figure 1](\/images\/SICfPpjo7K3jC5mGt0UWHRPWuBtuFwh2vzegFbL2)