　$a=b$ のとき，$a=c$ または $a=d$ であるものを数えればよく，$c=d$ の重複を考慮すれば
$$10^{300}\times(2\times 10^{300}-1)=2×10^{600}-10^{300}$$
　$a\neq b$ のときも同様であるが，「$a=c$ かつ $b=d$」または「$a=d$ かつ $b=c$」なる組の除外に注意すれば，
$$10^{300}\times(10^{300}-1)\times(4\times 10^{300}-6)=4\times 10^{900}-10^{601}+6\times 10^{300}$$
　以上より
$$M=4×10^{900}-8×10^{600}+5×10^{300}=3\overbrace{99\cdots 99}^{299個}2 \overbrace{00\cdots 00}^{299個}5 \overbrace{00 \cdots 00}^{300個}$$
となるので, $M$ の各桁の数字の和は, $3+9×299+2+5=\textbf{2701}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc117/editorial/2924
　$1$ 以上 $10^{300}$ 以下の整数の（順序付いた）組 $(a,b,c,d)$ であって，
$$|(x-a)(x-b)|+|(x-c)(x-d)|=0$$ 
をみたす実数 $x$ が**ちょうど $\mathbf{1}$ つ**存在するようなものが，$M$ 個存在するとします．\
　このとき，$M$ の $10$ 進法表記における各桁の和を求めて下さい．