　$k^{\frac{72}{k}}$ が正整数値であるとき，$k= m^{\frac{k}{\gcd(72,k)}}$ なる正整数 $m$ が存在する．$n=k\/\gcd(72,k)$ とおけば（これはつねに正整数である），以下が成り立つ：
$$m^n=n\gcd(72,m^n).$$
　いま，$k$ が $72$ の約数であればつねに条件をみたす．これは $n=1$ の場合に対応するから，$n \geq 2$ のときを考える．$m^n\leq 72n$ となることに留意して絞り込むと，
$$(m,n) = (4,2),(12,2),(3,3),(6,3)$$
であることが確認できるから，求める総和は：
$$\frac{2^4-1}{2-1}\times \frac{3^3-1}{3-1}+16+27+144+216=\mathbf{598}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/9006
　注）本質的には公式解説とほぼ同じですが，より素朴で地道に，これくらいの考察でも解けるよという解答です．

　$k=a,a^2,a^3,a^4,\cdots$ と場合分けして考えていこう．なお，たとえば $k=16$ であれば，$k=a,a^2,a^4$ のときに出現するが，そのような重複があった場合は手作業で取り除いていけばよい．

---

(i)　ある自然数 $a$ によって $k=a$ と表される場合\
　$a^\frac{72}{a}$ が整数であるためには，$a$ が $72$ の約数であれば十分である．（必要条件だとは書いていないので，たとえば $a=16$ などが含まれていないが，気にしなくてよい．）

(ii)　ある自然数 $a$ によって $k=a^2$ と表される場合\
　$(a^2)^{\frac{72}{a^2}}=a^{\frac{144}{a^2}}$ が整数であるためには，$a^2$ が $144$ の約数であれば十分である．そのような $a^2$ として，$1^2,2^2,3^2,4^2,6^2,12^2$ が存在する．

(iii)　ある自然数 $a$ によって $k=a^3$ と表される場合\
　$a^3$ が $216$ の約数であれば十分である．そのような $a^3$ として，$1^3,2^3,3^3,6^3$ が存在する．

(iv)　ある自然数 $a$ によって $k=a^4$ と表される場合\
　$a^4$ が $288$ の約数であれば十分である．そのような $a^4$ として，$1^4,2^4$ が存在する．

(v)　ある自然数 $a$ によって $k=a^t$ と表される場合（$t \geq 5$）\
　$a^t$ が $72t$ の約数であれば十分であるが，そのような $t$ は存在しないことが示せる．\
　最も単純な証明の方針としては（面倒ではあるが）$t=5,6,7,8,9$ で実際に存在しないことを確かめてから，$t \geq 10$ のときには $a^t \gt 72t$ であることを示せばよい．

　以上の場合分けから，求めるべき和は
$$\sum_{72の約数} k+4^2+12^2+3^3+6^3=598$$
kが整数の何乗かによって場合分けする方針
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/9006/709
　$k^{\frac{72}{k}}$ が整数値となるような正整数 $k$ の総和を求めてください．