　$3$ 円が交わる一点を $X(\ne A)$ とする．次の事実が成り立つ．

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**事実.**　$\displaystyle\frac{1}{BF} - \frac{1}{CF} = \frac{1}{DF} - \frac{1}{EF}$

**証明.**　$AX$ と $BC$ の交点から方べきの値を計算してもよいが，点 $F$ を中心に半径 $1$ の反転を行う．反転後の点を $^{\prime}$ を付けた記号で表す．このとき, $A^{\prime}X^{\prime}\parallel B^{\prime}C^{\prime}$であり，四角形 $A^{\prime}X^{\prime}C^{\prime}B^{\prime},A^{\prime}X^{\prime}E^{\prime}D^{\prime}$ は円に内接する．すなわち, 四角形 $A^{\prime}X^{\prime}C^{\prime}B^{\prime},A^{\prime}X^{\prime}E^{\prime}D^{\prime}$ はいずれも等脚台形である．よって $B^{\prime}F - C^{\prime}F = D^{\prime}F - E^{\prime}F$ より示された．

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　事実より $\displaystyle\frac{1}{EF}-\frac{1}{DF}=\frac{1}{11110}$ を得る．一方 $DF + EF  = 101$ より $\displaystyle\frac{DF}{EF}-\frac{EF}{DF}=\frac{1}{110}$ であるから，
$$DF:EF=1+\sqrt{48401}:220$$
と計算できる．よって, 解答すべき値は $\textbf{48622}$ である．なお，条件 $AB=2022, AC=2200$ は余剰であるが，これをみたす図は存在する．

　参考に図を下に示す．点線は反転前の円，実線は反転後の円または直線を表していることに注意せよ．

![figure 1](\/images\/Houl8Wy2q5vVo2ov3bbypepaA90g1Szf4prsOrKL)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc168/editorial/2694
　三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D,E,F$ があります．これらは $B,D,F,E,C$ の順に並んでおり，次が成り立ちます：
$$AB=2022,\quad AC=2200,\quad BF=1111,\quad CF=1010,\quad DE=101$$
　さらに，三角形 $ABC$ の外接円，三角形 $ADE$ の外接円，および $A$ を通り辺 $BC$ に $F$ で接する円が，$A$ と異なる一点で交わっています．このとき $DF : EF$ は正の整数 $x,y,z$（ $y$ は平方因子をもたない）を用いて
$$DF:EF=x+\sqrt{y}:z$$
と表されるので，$x+y+z$ の値を求めてください．