　$AB \parallel DC$ と $\angle{ABE} = \angle{EBC}$ から $\angle{EBC} = \angle{CEB}$ がわかり，$BC = CE = AE$ となるから，四角形 $ABCE$ は等脚台形であり，$A,B,C,E$ は共円である．\
　$\angle DAE = 4\theta$ とおくと，
$$ 180^\circ = \angle BAE + \angle BCD = 2 \angle BCD - 4\theta $$
より $\angle BCD = 90^\circ + 2\theta$ を得る．すると $\angle BAE = 90^\circ - 2\theta$ と $\angle ABE = 45^\circ - \theta$ がわかるため，$\angle BEA = 45^\circ + 3\theta$ である．問題の条件よりこれは $4\angle DAE = 16\theta$ に等しいので，$\theta = \left( \dfrac{45}{13} \right)^\circ$ を得る．よって，
$$ \angle ABC = 90^\circ - 2\theta = \left( \dfrac{1080}{13} \right)^\circ $$
なので，解答すべき値は $\mathbf{1093}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/10322
　$\angle{DAE} = \theta$ とおく．このとき $\angle{BEA} = 4\theta$ であり，$AD \lvert\rvert BC$ より $\angle{EBC} = 3\theta$ を得る．公式解説と同様にして四角形 $ABCE$ が等脚台形であることがわかるので，特に $\angle{ABC} = \angle{BAE} = 6\theta$ であり，$\angle{BAD} = \angle{BAE} + \angle{DAE} = 7\theta$ である．\
　$\angle{ABC} + \angle{BAD} = 180^{\circ}$ であるから，$\theta = \biggr(\cfrac{180}{13}\biggl)^{\circ}$ を得る．よって，$\angle{ABC} = 6\theta = \biggr(\cfrac{1080}{13}\biggl)^{\circ}$ である．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/10322/783
　$AB \gt BC$ かつ $\angle{ABC} \lt 90^\circ$ なる平行四辺形 $ABCD$ において，$\angle{ABC}$ の内角の二等分線と辺 $CD$ が点 $E$ で交わり，次が成立しました．
$$AE = CE，\angle{AEB} = 4\angle{DAE}$$
このとき，$\angle{ABC}$ の大きさは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\Bigl(\dfrac{a}{b}\Bigr)^\circ$ と表せるので，$a + b$ の値を解答してください．