　$\varphi$ は EulerのTotient関数である．一般に $2$ 以上の整数 $M$ が，相異なる $m$ 個の素数 $p_1, ..., p_m$ と $m$ 個の正整数 $r_1, ..., r_m$ によって $M = p_1^{r_1} \times \cdots \times p_m^{r_m}$ と表されたとき
$$\varphi (M) = \prod_{i = 1}^m (p_i - 1) p_i^{r_i-1}$$
が成り立つ．\
　$1110$ の素因数分解は $1110 = 2 \times 3 \times 5 \times 37$ なので，上記の性質から $N$ は $2, 3, 5, 37$ 以外の素数で割り切れてはならず，さらに
$$2 - 1 = 1，3 - 1 = 2，5 - 1 = 2^2，37 - 1  = 2^2 \times 3^2$$
から $N$ は $5, 37$ の両方を素因数にもたなければならない．そこで非負整数 $a, b$ と正整数 $c, d$ を用いて
$$N = 2^a \times 3^b \times 5^c \times 37 ^d$$
と表すことにする．条件を満たすには，$\varphi (N^2)$ の素因数分解における $2, 3, 5, 37$ のべきがすべて一致すればよい．

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**Case 1.**　$b = 0$ のとき．
- $a = 0$ ならば，$\varphi (N^2) = 2^4 \times 3^2 \times 5^{2c-1} \times 37^{2d-1}$
- $a \gt 0$ ならば，$\varphi (N^2) = 2^{2a + 3} \times 3^2 \times 5^{2c-1} \times 37^{2d-1}$

が成り立つが，いずれにせよ右辺の $2, 3$ のべきが一致せず，このケースは不適である．

**Case 2.**　$b \gt 0$ のとき．
- $a = 0$ ならば，$\varphi (N^2) = 2^5 \times 3^{2b + 1} \times 5^{2c-1} \times 37^{2d-1}$
- $a \gt 0$ ならば，$\varphi (N^2) = 2^{2a + 4} \times 3^{2b + 1} \times 5^{2c-1} \times 37^{2d-1}$

が成り立つ．右辺の $2, 3, 5, 37$ のべきがすべて一致するのは $(a, b, c, d) = (0, 2, 3, 3)$ のときに限られる（べきの偶奇に注意せよ）．

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　以上より，条件をみたす $N$ は
$$N = 3^2 \times 5^3 \times 37^3 = \mathbf{56984625}$$
のみであり，これが解答すべき値である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc202/editorial/7352
　正整数 $n$ について，$1$ 以上 $n$ 以下の整数のうち $n$ と互いに素であるものの個数を $\varphi (n)$ と表します．次の条件をみたす正整数 $N$ の総和を解答して下さい．
- $\varphi (N^2) = 1110^k$ をみたすような正整数 $k$ が存在する．