　三角形 $AEH$ と $BDH$ の相似より $DH:EH=BH:AH=4:3$ である. 同様にして,
$$DH:EH:FH=4\times5:3\times5:3\times4=20:15:12$$
であるから, 求める値は $20+15+12=\textbf{47}$ である.\
　なお, このような鋭角三角形 $ABC$ の存在は証明できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc025/editorial/151
　垂心を $H$ とする鋭角三角形 $ABC$ において, 点 $A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とおきます. $AH:BH:CH=3:4:5$ のとき, 最大公約数が $1$ である正整数 $p,q,r$ が存在して $DH:EH:FH=p:q:r$ と表せます. $p+q+r$ を解答してください.