　一般に棒の長さが奇数 $n$ である場合を考え, 棒の左端を $O$, 右端を $O^\prime$ とする. $OA=a,AB=b$ として左側から節目 $A,B$ を選択したとき, これが条件をみたすことは以下のように表現できる：
$$a\leq\dfrac{n-1}{2},\quad b\leq\dfrac{n-1}{2},\quad a+b\geq\dfrac{n+1}{2}$$
　ここで $a$ を固定すれば, $b$ としてあり得るものは $\dfrac{n+1}{2}-a$ 以上 $\dfrac{n-1}{2}$ まで $a$ 個であるから, 求める場合の数は
$$1+2+\cdots+\dfrac{n-1}{2}= \frac{(n-1)(n+1)}{8}$$
特に $n=2021$ のとき, これは $\textbf{510555}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/editorial/258
　棒を左端から順に長さ $a,b,c$ の $3$ つの区間に分けたとする．\
　求めるべきは $a+b+c=2021$ かつ $a,b,c$ が $1010$ 以下の正の整数であるような整数の組 $(a,b,c)$ の個数．これは， $x=1010-a, ~ y=1010-b, ~ z=1010-c$ なる置き換えにより $x+y+z=1009$ の非負整数解の個数に一致することがわかる．\
　以上より，求める個数は ${}\_{3}\mathrm{H}\_{1009}=\textbf{510555}$．
x+y+z=n型の非負整数解の個数問題に帰着させる
https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/editorial/258/34
　長さ $2021$ の棒があります. この棒には端から長さ $1$ の間隔で節目が付いており, それらで棒を自由に折り曲げることができます. 次の条件をみたすような $2$ 個の節目の選び方はいくつありますか？

- 条件：$2$ 個の節目で棒を折り曲げたとき,  棒の両端点を合わせて三角形を作ることができる.

　ただし, 節目はすべて区別でき, 節目の部分の長さは無視できるほど短いものとします.