　$b$ と $c$ の最大公約数を $g$ とし, $b=gp,c=gq$ とおく. このとき $a$ は $p$ で割り切れるから, その商を $k$ とおけば $d=kq$ であり, 以下をみたす正整数の組の個数を求めることに帰着される.
$$kg(p^2+q^2)=29^{1000},\ \ p\\,\text{と}\\,q\\,\text{は互いに素}$$
　ここで正整数 $n$ に対し, $p^2+q^2=29^{n}$ なる互いに素な正整数の組 $(p,q)$ は常に $2$ 組であるから, 結局求める組の数は $2\times(1+\cdots+1000)=\textbf{1001000}$ である. 詳しくは[**OMC022(F)の解説**](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc022\/editorial\/139)を参照せよ.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/233
　$ab+cd=29^{1000}$ かつ $ac=bd$ をみたす正整数の組 $(a,b,c,d)$ はいくつありますか？