　適当にボタンを押すことで新たに追加できるそうめんつゆの最大量は, その時点で容器に入っているそうめんつゆの量に対して単調に増加する. したがって, ある時点で容器に入ったそうめんつゆの量を $a\\,\textrm{ml}$ とすると, $a+40\gt 1.1a$ すなわち $a\lt 400$ のときは赤いボタンを, そうでないときは緑のボタンを押すのが最善の戦略となる\
　 つまり, 初めに赤いボタンを $10$ 回続けて押してから緑のボタンを $5$ 回続けて押した状況を考えればよく,
$$\displaystyle [N]=\left[(40\times 10)\times {1.1}^{5}\right]=\textbf{644}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/editorial/2066
　Masa君は**そうめんつゆサーバー**を使って $1\\,\textrm{L}$ の空の容器にそうめんつゆを入れようとしています. そうめんつゆサーバーには $40\textrm{ml}$ のそうめんつゆを容器に追加する赤いボタンと, 容器に既に入っている量の $0.1$ 倍の量のそうめんつゆを追加する緑のボタンがあります. Masa君が合計で $15$ 回ボタンを押すとき, 容器に入れられるそうめんつゆの最大値は実数 $N$ によって $N\textrm{ml}$ と表せるので, $N$ 以下の最大の整数を求めてください.