　$D$ から $AC$ におろした垂線の足を $H$ としたとき, $DH=9$ であることを示す.

**証明1.** 　$AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすれば, 内角の二等分線定理から
$$AE:EC=34:16$$
が成立するから, $AH=HC$ とあわせて
$$AH:HE:EC=25:9:16$$
が従う. よって $BC:DH=CE:EH$ より $DH=9$ である.

**証明2.**　$AB$ と $DH$ の交点を $F$ とすれば, $AF=BF=17$ であり, 一方で
$$\angle{BDF}=\angle{DBC}=\angle{FBD}$$
より $BF=DF=17$ である. よって $FH=BC\/2=8$ より $DH=DF-FH=9$ を得る.

　三平方の定理より $AC=30$ であることとあわせて, 求める面積は $(16+9)\times30\/2=\textbf{375}$ である. 

**余談.**　今回は不要であるが, 角度の条件より $A,B,C,D$ は同一円周上にある. これを示そう.\
　$ABC$ の外接円と $AC$ の垂直二等分線の交点のうち, $AC$ に関して $B$ と反対側にあるものを $D^\prime$ とすると, これは $AD^\prime=CD^\prime$ をみたし, 円周角の定理より $BD^\prime$ は $\angle ABC$ を二等分する. すなわち $D$ は $D^\prime$ に一致する.\
　すなわち, 実は $\angle ADB=90^\circ$ であることや, 証明2における $F$ はこの円の中心であることが従う.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc066/editorial/1362
　以下の条件をすべてみたす凸四角形 $ABCD$ の面積を求めてください.

- $AB=34,BC=16,AD=CD,\angle ACB=90^\circ$.
- 直線 $BD$ は $\angle ABC$ を二等分する.