　一般に $2n$ 角形で考える. 直角三角形の選択にあたって, 斜辺となる直径を固定することで, 求めるスコアの総和は
$$\begin{aligned}
M&= \displaystyle \sum_{t=1}^n \left(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}(i+2t+n) - (3t+n) - (3t+2n) \right ) \\\\
&=6n^3-3n^2-3n
\end{aligned}$$
ただし後ろの $2$ 項は, 直径の両端を $3$ 点目として選択する可能性を減じている. 

**別解1.**　直角三角形のとり得るスコアの最小値は$n+4$ で, 逆に最大値は $5n - 1$ である. このとき, 直角三角形は全部で $n(2n-2)$ 通りとれることに留意すれば, 実は求める総和は以下のように計算できる：
$$M=\dfrac{1}{2}\times\left( (n+4)+(5 n - 1)\right)\times n(2n- 2)$$ 

**別解2.**　頂点の一つが $P_i$ である直角三角形のうち, $\angle{P_i}=90^{\circ}$ となるものは $(n-1)$ 個, $\angle{P_i}\neq90^{\circ}$ となるものは $2(n-1)$ 個存在するから
$$\begin{aligned}
M= 3(n-1)\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k =3(n-1)n(2n+1)
\end{aligned}$$ 
　いずれにせよ, 特に $n=50$ において $M=\textbf{742350}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/editorial/1921
　全ての直角三角形が等確率で出現すると仮定して，スコアの期待値を求めよう．\
　まず $1$ つの頂点を取った場合，そこに書かれた添え字の期待値は $\dfrac{101}{2}$ である．このことを用いれば，直角三角形を任意に $1$ つ選ぶ場合のスコアの期待値は $\dfrac{101}{2}×3$ であることがわかる．\
　あとは直角三角形の個数を考えればよい．直径が $50$ 通り，その各々に対して $3$ つ目の頂点が $98$ 通りなので，求めるべき値は
$$\left(\dfrac{101}{2}×3\right)×(50×98)=742350$$
平均（期待値）を使う
https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/editorial/1921/535
　ある正 $100$ 角形 $P_1P_2\cdots P_{100}$ において,  $3$ 頂点を選んでできる三角形の**スコア**をそれぞれ頂点の添字番号の総和で定めます. このとき, **直角三角形**すべてについてスコアの総和を求めてください. \
　ただし, 同じ三角形について, 頂点番号の順序が異なるものは区別して数えないものとします.