　$1234_{(n)} \lt 1331_{(n)}$ より，$n^3 \lt 1234_{(n)} \lt (n+1)^3$ ．\
　従って，$n+1=3^7$ のときが求めるべき $n$ である．よって，$n=3^7-1=\mathbf{2186}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/10441
　$n$ を $5$ 以上の整数とします．次の不等式をみたす最大の $n$ を求めてください
$$1234_{(n)} \lt 3^{21}$$
なお，$1234_{(n)}$ は $n$ 進法表記を意味し，右辺は $10$ 進法で書かれています．