$$\angle DBA=\angle DBI-\angle ABI=\angle BID-\angle IBC=\angle BCI=\angle ICA=\angle DCA$$
により，$D$ は三角形 $ABC$ の外接円上にあり（なお，弧 $AB$ の中点が三角形 $AIB$ の外心であるという有名事実を踏まえれば，直接の角度追跡を行わずともそれが $D$ であることがわかる），点 $E$ についても同様である．したがって，三角形 $IBC$ と三角形 $IED$ は相似なので， $IB:ID=BC:DE=4:5$ と $BD=ID$ により
$$ \sin{\angle{A}} = \sin \angle BDI = \frac{4\sqrt{21}}{25}$$
が分かる．よって，三角形 $ABC$ の外接円の半径は正弦定理から $\dfrac{25}{2\sqrt{21}}$ となるから，特に解答すべき値は $625+84=\mathbf{709}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct003/editorial/4230
　$AB=3,BC=4$ なる三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とします．線分 $BI$ の垂直二等分線と直線 $CI$ の交点を $D$ とし，線分 $CI$ の垂直二等分線と直線 $BI$ の交点を $E$ とすると，$DE=5$ が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の外接円の面積は，互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}\pi$ と表せます．$a + b$ の値を求めてください．