　$P = 2752752752753$ とおき，$1001^{11011011011011} = (7 \cdot 11 \cdot 13)^{4P-1}$ の正の約数 $d$ のうち $f(d)$ が $4$ で割って $0, 1, 2, 3$ 余るものの総和をそれぞれ $A, B, C, D$ とおく．ここで複素数 $z$ を
$$z = (1 + 7i + \cdots + (7i)^{4P - 1})(1 + 11i + \cdots + (11i)^{4P - 1})(1 + 13i + \cdots + (13i)^{4P - 1})$$

と定めれば，
$$z = (A - C) + (B - D)i$$

が成り立つ．\
　各 $p \in \\{7, 11, 13\\}$ に対し，
$$1 + pi + \cdots + (pi)^{4P - 1} = (1 + pi) \cdot \dfrac{1 - p^{4P}}{1 + p^2}$$
であり，Fermatの小定理を用いることで，
$$\dfrac{1 - p^{4P}}{1 + p^2} \equiv \dfrac{1 - p^4}{1 + p^2} = 1 - p^2 \pmod{P}$$
であるから，
$$
\begin{aligned}
A - C &\equiv \mathrm{Re}((1 + 7i)(1 + 11i)(1 + 13i)) \times (1 - 7^2)(1 - 11^2)(1 - 13^2) \\\\
&= (-310) \times (-48) \times (-120) \times (-168) \\\\
&= 299980800 \pmod{P} \\\\
B - D &\equiv \mathrm{Im}((1 + 7i)(1 + 11i)(1 + 13i)) \times (1 - 7^2)(1 - 11^2)(1 - 13^2) \\\\
&= (-970) \times (-48) \times (-120) \times (-168) \\\\
&= 938649600 \pmod{P}
\end{aligned}
$$
が成り立つ．\
　一方で，各 $p \in \\{7, 11, 13\\}$ に対し，再びFermatの小定理を適用させることで
$$1 + p + \cdots + p^{4P - 1} = \dfrac{p^{4P} - 1}{p - 1} \equiv \dfrac{p^4 - 1}{p - 1} = (p + 1)(p^2 + 1) \pmod{P}$$

が得られるので，$(7 \cdot 11 \cdot 13)^{4P-1}$ の正の約数の総和 $A + B + C + D$ について
$$
\begin{aligned}
A + B + C + D &\equiv (7 + 1)(7^2 + 1)(11 + 1)(11^2 + 1)(13 + 1)(13^2 + 1) \\\\
&= 1393728000 \pmod{P}
\end{aligned}
$$
が成り立つ．以上より，
$$
\begin{aligned}
S &= B + C \\\\
&= \dfrac{(A + B + C + D) - (A - C) + (B - D)}{2} \\\\
&\equiv \dfrac{1393728000 - 299980800 + 938649600}{2} = \mathbf{1016198400} \pmod{P}
\end{aligned}
$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/6667
　 $p=2752752752753$ とし，特に断りのない場合，合同式の法は全て $p$ とする．\
　 $x$ の多項式 $f(x)$ について，次数を $4$ で割った余りが $0,1,2,3$ となる項の係数の総和をそれぞれ $A,B,C,D$ とする．このとき，以下の等式が成り立つ．（ $i$ は虚数単位）

$$A=\dfrac{1}{4}(1^0\times f(1)+i^0\times f(i)+(-1)^0\times f(-1)+(-i)^0\times f(-i))$$
$$B=\dfrac{1}{4}(1^3\times f(1)+i^3\times f(i)+(-1)^3\times f(-1)+(-i)^3\times f(-i))$$
$$C=\dfrac{1}{4}(1^2\times f(1)+i^2\times f(i)+(-1)^2\times f(-1)+(-i)^2\times f(-i))$$
$$D=\dfrac{1}{4}(1^1\times f(1)+i^1\times f(i)+(-1)^1\times f(-1)+(-i)^1\times f(-i))$$

　本問では， $f(x)=\dfrac{(7x)^{4p}-1}{7x-1}\times\dfrac{(11x)^{4p}-1}{11x-1}\times\dfrac{(13x)^{4p}-1}{13x-1}$ としたときの $S=B+C$ を答えればよい．\
　これは， $g(x)=(x^2+x^3)f(x)$ とすると， $S=\dfrac{1}{4}(g(1)+g(i)+g(-1)+g(-i))$ である．\
　また， $p$ は $4$ で割って $1$ 余る素数より， $n^2\equiv -1 (\bmod p)$ なる整数 $n$ が存在するから，それぞれFermatの小定理より，

$$
\begin{aligned}
g(1)&= 2\times\dfrac{7^{4p}-1}{7-1}\times\dfrac{11^{4p}-1}{11-1}\times\dfrac{13^{4p}-1}{13-1} \\\\
&\equiv 2\times\dfrac{7^4-1}{7-1}\times\dfrac{11^4-1}{11-1}\times\dfrac{13^4-1}{13-1} \\\\
&\equiv 2787456000
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
g(i)&= (-1-i)\times\dfrac{(7i)^{4p}-1}{7i-1}\times\dfrac{(11i)^{4p}-1}{11i-1}\times\dfrac{(13i)^{4p}-1}{13i-1} \\\\
&\equiv (-1-i)\times\dfrac{(7i)^4-1}{7i-1}\times\dfrac{(11i)^4-1}{11i-1}\times\dfrac{(13i)^4-1}{13i-1} \\\\
&= (-1-i)\times 48(-1-7i)\times 120(-1-11i)\times 168(-1-13i) \\\\
&= 967680(1+i)(1+7i)(1+11i)(1+13i) \\\\
&= 967680(660-1280i)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
g(-1)&= 0\times\dfrac{(-7)^{4p}-1}{-7-1}\times\dfrac{(-11)^{4p}-1}{-11-1}\times\dfrac{(-13)^{4p}-1}{-13-1} \\\\
&= 0
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
g(-i)&= \overline{g(i)} \\\\
&\equiv 967680(660+1280i)
\end{aligned}
$$

　よって，

$$
\begin{aligned}
S&= \dfrac{1}{4}(g(1)+g(i)+g(-1)+g(-i)) \\\\
&\equiv \dfrac{1}{4}(2787456000+967680(660-1280i)+0+967680(660+1280i)) \\\\
&= \mathbf{1016198400}
\end{aligned}
$$
多項式を用いた解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/6667/369
　$P=2752752752753$ とする．$11011011011011=4P-1$ である．\
　$N$ の正の約数 $d$ であって，$f(d)$ を $4$ で割った余りが $1$ または $2$ となるものの総和を $g(N)$ で表す（$S=g(1001^{4P-1})$ である）．このとき，$S=g(1001^{4P-1}) \equiv g(1001^3) \mod P$ であることを示す．\
$f(7^{(4k+a)} \ 11^{(4l+b)} \ 13^{(4m+c)}) \equiv f(7^a \ 11^b \ 13^c) \mod 4$ であることに注目すると，次のように計算できる．
$$\begin{aligned}
S & = g(1001^3)(1+7^4+ \cdots + 7^{4(P-1)}) (1+11^4+ \cdots + 11^{4(P-1)}) (1+13^4+ \cdots + 13^{4(P-1)}) \\\\
& = g(1001^3) \dfrac{7^{4P}-1}{7^4-1}\cdot \dfrac{11^{4P}-1}{11^4-1}\cdot \dfrac{13^{4P}-1}{13^4-1} \\\\
& \equiv g(1001^3)
\end{aligned}$$
最後の合同式では，Fermat の小定理を用いた．\
　よって以下，$g(1001^3)$ の値を求めることが目標となる．（なお，$1001^3$ の約数の総和は，高々 $1001^3×\frac{7}{6}×\frac{11}{10}×\frac{13}{12} \lt 2×1001^3 \lt 10^{10} \lt P$ より，$g(1001^3)$ が求めるべき解である．）\
　$1001^3$ の正の約数は $64$ 個なので，あとは，$64$ 個以下の整数の和を求めればよいことになる．多少の時間があれば計算可能である．

　ここでは，$f(d)$ の値によって分けて考える．\
(i) $f(d)=1$ のとき：$7+11+13=31$\
(ii) $f(d)=2$ のとき：$7^2+11^2+13^2+7 \cdot 11+11 \cdot 13 +13 \cdot 7=650$\
(iii) $f(d)=5$ のとき：次のいずれかの式から考えるのがよい．\
$7 \cdot 11 \cdot 13(7^2+11^2+13^2+7 \cdot 11+11 \cdot 13 +13 \cdot 7)+7^2 \ 11^2 (7+11)+11^2 \ 13^2 (11+13)+13^2 \ 7^2 (13+7)=1413768$\
$(7^2 \ 11^2+11^2 \ 13^2+13^2 \ 7^2)(7+11+13)+7 \cdot 11 \cdot 13 (7^2+11^2+13^2)=1413768$\
(iv) $f(d)=6$ のとき：次のいずれかの式から考えるのがよい．\
$7^3 \ 11^3 +11^3 \ 13^3 + 13^3 \ 7^3 + 7 \cdot 11 \cdot 13 (7^2 \ 11+7^2 \ 13 +11^2 \ 13 + 11^2 \ 7+ 13^2 \ 7+13^2 \ 11)+7^2 \ 11^2 \ 13^2=11780950$\
$(7^2 \ 11^2+11^2 \ 13^2+13^2 \ 7^2)( 7 \cdot 11+11 \cdot 13 +13 \cdot 7)+7^2 \ 11^2 \ 13^2=11780950$\
(v) $f(d)=9$ のとき：$7^3 \ 11^3 \ 13^3=1003003001$\
よって，以上の和を計算して，$\mathbf{1016198400}$ が解答である．
がんばって計算する方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/6667/375
　正整数 $n$ に対し，$n$ を素数で割り切る最大の回数を $f(n)$ と書くことにします．たとえば，$f(1) = 0$，$f(18000) = f(2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 ^3) = 4 + 2 + 3 = 9$ などが成り立ちます．\
　$1001^{11011011011011}$ の正の約数 $d$ であって，$f(d)$ を $4$ で割った余りが $1$ または $2$ となるものの総和を $S$ とします．$S$ を素数 $2752752752753$ で割った余りを解答してください．