　共通の重心を $G$ とし，$AM$ と $DF$ の交点を $H$ ，$AC=x$ とおくと，
$$AG:GM=EG:GH=2:1$$
およびMenelausの定理から $AE:EM=12:(x-6)$ より，
$$AH : HG : GE : EM = 3x : (12-x) : (24-2x) : (3x-18)$$
一方，Cevaの定理より $BC\parallel DF$ が従うから，以上より
$$x:6=AH:HM=AF:FC=6:x-6$$
これを解いて $x=3+3\sqrt{5}$ を得るから，解答すべき値は $3+45=\textbf{48}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc078/editorial/2743
　三角形 $ABC$ において，$BC$ の中点を $M$ とします．線分 $AB$ 上の点 $D$ について，線分 $AM$ と線分 $CD$ の交点を $E$ とし，線分 $AC$ と直線 $BE$ の交点を $F$ とすると，三角形 $ABC$ と $DEF$ の重心が一致しました．さらに $AF=6$ であるとき，$AC$ の長さは正整数 $a,b$ によって $a+\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．