　$S_k$ について, 最下行に配置する $k$ 個のコマを先に定め, 残りは他 $46$ 行に任意に配置できることから,
$$S\_k={}\_{2021}\mathrm{C}\_{k}\times46^{2021-k}$$
したがって, $\dfrac{S_{k+1}}{S_k}=\dfrac{2021-k}{46(k+1)}$ と $1$ の大小を考えることで, 以下が従う：
$$S_1\lt S_2\lt \cdots\lt S_{43}\gt S_{44}\gt\cdots\gt S_{2021}$$
すなわち, $S=S_{43}=\dfrac{2021!}{43!\times1978!}\times46^{1978}$ であり, Legendreの定理よりこれは $2$ で $\textbf{1982}$ 回割り切れる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/261
　$47$ 行 $2021$ 列のマス目があり, その最上行の $2021$ マスには同一のコマがそれぞれ一つずつ置かれています. これらのコマに対し, 以下の操作を $46$ 回にわたって行います. 具体的には, $n$ 回目の操作は以下で定義されます：

- 上から数えて $n$ 行目に置かれているコマから一つ以上を選び, 隣接した真下のマスに移動させる.

　$46$ 回の操作の後, 最下行に $k$ 個のコマがあるような配置としてあり得るものの総数を $S_k$ とおきます.\
　$S_1,S_2,\cdots,S_{2021}$  における最大値を $S$ とするとき, $S$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.