　 $p \neq 2,3$ のとき $p \equiv \pm 1 \pmod 6$ なので正整数 $k$ を用いて $p=6k \pm 1$ と表せば次が成り立つ．$$p^2=36k^2\pm 12k+1\equiv 12k^2+12k+1\equiv 12k(k+1)+1\equiv 1\pmod {24}$$
したがって $p^2$ を $24$ で割ったあまりは $p=2,3,5,7,\ldots$ と動かせば $4,9$ の後は $1$ が続く．\
　また，$m\geq 4$ のとき $m!$ は $4!=24$ で割り切れるので，$m!$ を $24$ で割ったあまりは $m=1,2,3,4,\ldots$ と動かせば $1,2,6$ の後は $0$ が続く．\
　以上より条件を満たす $(p,m)$ の組は $(2,3),(3,1)$ のみである．特に解答すべき値は $\bf{9}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/4289
　$p^2+m!-10$ が $24$ で割り切れるような素数 $p$ と正の整数 $m$ の組 $(p,m)$ すべてについて， $pm$ の総和を求めてください．