　三角形 $BPQ$ は常に正三角形であるから, 円周角の定理より $ABQ$ の外接円 $O^\prime$ は不変である. $A$ における $O$ の接線と $O^\prime$ の交点を $C(\neq A)$ とすれば, 求める領域は (円 $O$ の) 劣弧 $AB$ , (円 $O^\prime$ の)劣弧 $BC$, 線分 $CA$ に囲まれた部分であり, その面積は一辺が $\sqrt{3}$ の正三角形のそれと等しい. 特に解答すべき値は $27+16=\textbf{43}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/210
　半径 $1$ の円周 $O$ 上に $2$ 点 $A,B$ があり, $AB=\sqrt{3}$ をみたしています. 劣弧 $AB$ 上の点 $P$ について, 直線 $AP$ の $P$ 側の延長線上に $PQ=BP$ なる点 $Q$ をとります. $P$ が 劣弧 $AB$ 上 (端点を除く) を動くとき, 線分 $PQ$ が通過する領域の面積は, 互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ と表されます.  $a+b$ を解答してください.