　$∠BDC=∠BEC=90^\circ$ より $4$ 点 $B,C,D,E$ は同一円周上にあるから，$∠DBE=∠DCE$ である．ゆえに $∠DFB=∠CGE$ であるから，$4$ 点 $D,E,F,G$ は同一円周上にあり，$P$ はこの円の中心である．よって，
$$\begin{aligned}∠BPC&=∠BAC+∠ABP+∠ACP\\\\
&=∠BAC+\frac{1}{2}∠ABD+\frac{1}{2}∠ACE\\\\
&=∠BAD+∠ABD\\\\
&=90^\circ \end{aligned}$$
となり，$P$ は線分 $BC$ を直径とする円周上にある．これより $BC=2PQ=40$ である．また $∠ABD=\dfrac{1}{2}∠EQD$ となるから，
$$\sin∠BAC=\sin∠QED=\frac{\sqrt{20^2-\left( \dfrac{9}{2} \right)^2}}{20}=\frac{\sqrt{1519}}{40}$$
となる．よって，正弦定理より三角形 $ABC$ の外接円の半径は $\dfrac{BC}{2\sin∠BAC}=\dfrac{800}{\sqrt{1519}}$
であり，解答すべき値は $800^2 + 1519 = \bm{641519}$ である．

　なお，問題文で与えられている $AQ = 23$ の条件は，この問題を解答するにあたっては必要ない．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/2762
　$5$ 点 $B$，$C$，$D$，$E$，$P$ が同一円周上にあることに気づけなかった場合の解法です．\
　点 $Q$ 中心の円上に $4$ 点 $B$，$C$，$D$，$E$ があり，点 $P$ 中心の円上に $4$ 点 $D$，$E$，$F$，$G$ があることは前提とします（公式解説参照）．

　$\triangle{ABC} \sim \triangle{ADE}$ であり，相似比は  $1:\cos A$，$BC=\dfrac{9}{\cos A}$．さらに正弦定理より，$\triangle ABC$ の外接円の半径は $\dfrac{9}{2\sin A\cos A}$．よって，$\sin A$ を求めることが目的となる．\
　$2$ つの円の交点が $D$，$E$ であることから，$DE \perp PQ$．また，$PD=PE$，$QD=QE$（以下の議論には全く無関係だが，このような四角形をたこ型という）．この四角形については，$DE=9$，$PQ=20$ と長さがわかっているため，四角形 $DPEQ$ の角度を $\angle A$ を用いて表し，そこから $\sin A$ を求めたい．\
　$\angle ABD=90^{\circ}-A$ であり，$BD=BF$ より $\angle BFD=45^{\circ}+\frac{A}{2}$，円周角の定理より $\angle DPE=90^{\circ}+A$．\
　$QB=QE$ より $\angle BQE=180^{\circ}-2\angle B$，$QC=QD$ より $\angle CQD=180^{\circ}-2\angle C$．これらより，$\angle DQE=180^{\circ}-2A$．\
　ここから $\angle PDE$，$\angle QDE$ を求めることで，次の式を得る：$9 \tan (45^{\circ}-\frac{A}{2})+9 \tan A=40$\
　加法定理を用いて，$\dfrac{1-\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{A}{2}}+\dfrac{2 \tan \frac{A}{2}}{1-\tan ^2 \frac{A}{2}}=\dfrac{40}{9}$ ．以下，$\tan \frac{A}{2}$ を計算し，そこから $\sin A$ 等を求めればよい．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/2762/306
　三角形 $ABC$ において，点 $B$ を中心とし線分 $AC$ (両端を除く) に点 $D$ で接する円と線分 $AB$ の交点を $F$，点 $C$ を中心とし線分 $AB$ (両端を除く) に点 $E$ で接する円と線分 $AC$ の交点を $G$ とします．さらに，線分 $EF$ および線分 $DG$ それぞれの垂直二等分線の交点を $P$ とし，線分 $BC$ の中点を $Q$ とすると，
$$DE = 9, \quad PQ=20, \quad AQ = 23$$
が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の外接円の面積は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b} \pi$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．