　 $AB=7x,AC=16y$ とおくと，方べきの定理より
$$AD_1^2=AD_2 \times AD_3,\quad BD_1^2=BD_4^2,\quad CD_3 \times CD_2=CD_4^2$$
となる．よって，
$$x^2 : y^2 = 63 : 8, \quad BD_1^2 = 9x^2, \quad CD_4^2 = 14y^2$$
であるから，
$$BD_4^2:CD_4^2=81:16$$
より $BD_4:CD_4=9:4$ を得る．特に解答すべきは $\bf13$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/4079
　$AD_2=9k$，$D_2D_3=5k$，$D_3C=2k$ とおくと，方べきの定理より $AD_1=3\sqrt{14}\ k$，$CD_4=\sqrt{14}\ k$ を得る．\
　さらに $AD_1:D_1B=4:3$，$BD_1=BD_4$ を用いれば，$BD_4=\dfrac{9}{4}\sqrt{14} \ k$ である．

※なお本問では，さらに適当な相似変換を行うことで，特に $k=1$ としても問題ない．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/4079/424
　三角形 $ABC$ の辺 $AB, BC$ にそれぞれ点 $D_1, D_4$ で接する円 $\omega$ があり，$\omega$ は相異なる点 $D_2,D_3$ で辺 $AC$ と交わっています．ただし，$4$ 点 $A,D_2,D_3,C$ はこの順に並んでいます．
$$AD_1:D_1B=4:3,\quad AD_2:D_2D_3:D_3C=9:5:2$$
であるとき，互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $BD_4:D_4C=a:b$ と表されます．$a+b$ を求めてください．