　正の整数 $m$ について，$m$ の正の約数の個数を $d(m)$ で表す．次のような問題を考える．

- $\dfrac{m}{x},\dfrac{m}{y},\dfrac{m}{z}$ が全て整数となるような $1$ 以上 $n$ 以下の整数の組 $(m,x,y,z)$ はいくつあるか．

　$(x,y,z)$ を固定して考えると，問題の条件を満たす $m$ は $\bigg \lfloor \dfrac{n}{\mathrm{lcm}(x,y,z)} \bigg \rfloor$ 個あるため，問題の答えは $S_n$ である．一方，$m$ を固定したとき，問題の条件を満たす $(x,y,z)$ は $d(m)^3$ 個あるため，問題の答えは $d(1)^3+d(2)^3+\cdots+d(n)^3$ とも表せる．以上より，$S_n = \sum\limits_{k=1}^{n}d(n)^3$ である．\
　$d(i)^3$ は $i$ が平方数のとき奇数であり，そうでないとき偶数であるから $S_n$ の偶奇は $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ の偶奇に等しい．任意の正の整数 $k$ に対し，$\lfloor \sqrt{n} \rfloor=k$ なる $n$ が $2k+1$ 個存在することに留意すれば，求める答えは
$$\sum_{k=1}^{2^9} \big(2(2k-1) + 1\big)=\mathbf{524800}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/5686
　$x,y,z$ を相異なる正整数とすれば，$$\left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(x,y,z)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(x,z,y)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm} (y,x,z)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(y,z,x)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(z,x,y)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(z,y,x)}\right\rfloor$$  
$$\left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm} (x,x,y)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(x,y,x)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(y,x,x)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(y,y,x)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(y,x,y)}\right\rfloor= \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(x,y,y)}\right\rfloor$$  となるから，$$T_{n}=\sum_{k=1}^{n} \left\lfloor\frac{n}{\mathrm{lcm}(k,k,k)}\right\rfloor$$ とすれば，$S_{n}\equiv{T_{n}} \pmod6$ である. よって $T_{n}$ が奇数となるような $n$ の総和を求めれば良い.  

　$f(n,k)=\left\lfloor\dfrac{n}{k}\right\rfloor$ とすれば，$$T_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(n,k)$$  
　また $f(n+1,k)-f(n,k)$ は $0$ または $1$ で， $$f(n+1,k) \neq f(n,k) \iff k|n+1$$であるから， $T_{n+1}- T_{n}$ は，$n+1$ が平方数の時に奇数となり，それ以外は偶数となる.   $T_{1}=1$ だから，結局 $T_{n}$ の偶奇は $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ の偶奇と等しいことが確認できる.  （後は公式解説と同様）
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/5686/328
(以下はconan_kunさんやImLさんなどの方が公開していた解法です)  
本質的に $T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \Big\lfloor\dfrac{n}{k}\Big\rfloor$ の偶奇を調べればよい，という所までは[ユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc188\/editorial\/5686\/328)と同様．  
$T_n$ は $xy$ 平面上で，$xy = n, x=1, y=1$ で囲まれてできる領域内（ただし，境界も含む）の格子点を数えていると思うことができる．一方で，本領域が $y=x$ を軸に線対称となっていることから ，$T_n$ の偶奇は領域内での $y=x$ となる格子点の数の偶奇と一致する．これは $1 \leq x^2 \leq n$ を満たす整数 $x$ の数の偶奇と一致しており，$\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ の偶奇に一致する．
対称性を利用した偶奇判定
https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/5686/337
　twitterで見つけた誰かの解法です．誰だったか忘れました...><

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　$\mathrm{lcm} (x,y,z) = k$ となる $(x,y,z)$ の個数を $C(k)$ で表すと，
$$S_n = \sum_{k=1}^n C(k) × \Big \lfloor \frac{n}{k} \Big \rfloor$$
である．\
　ここで，$k = p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_m^{e_m}$ とすると
$$C(k) = ((e_1+1)^3 - e_1^3) × ((e_2+1)^3 - e_2^3) × \cdots × ((e_m+1)^3 - e_m^3)$$
なので，常に奇数となる．従って
$$S_n \equiv \sum_{k=1}^n \Big \lfloor \frac{n}{k} \Big \rfloor \pmod 2$$
であり，あとは他の方のユーザー解説と同様．

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　いろんな解法があって面白いなぁと思いました．
lcm(x,y,z) を固定
https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/5686/470
　$1$ 以上 $n$ 以下の整数の組 $(x,y,z)$ すべてについての
$$\bigg \lfloor \dfrac{n}{\mathrm{lcm}(x,y,z)} \bigg \rfloor$$
の総和を $S_n$ とします．$S_n$ が奇数となるような $1$ 以上 $2^{20}$ 未満の整数 $n$ はいくつありますか．