　三平方の定理より,
$$AC^2-AB^2=CH^2-BH^2=(CH+BH)(CH-BH)=2000\times 2^{1001}$$
である. 一方で,
$$AC^2-AB^2=(AC-AB)(AC+AB)$$
であり, 条件から $AB+AC=2^{1005}$ であるから, 特に求める値は $\bf{ 125 } $ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/2768
　鋭角三角形 $ABC$ において，$A$ から辺 $BC$ におろした垂線の足を $H$ とすると，
$$BH=2^{1000}-1000,\quad CH=2^{1000}+1000$$
でした．さらに $AB+AC=2^{1005}$ のとき，$|AB-AC|$ を求めてください．