　まず $|S|$ を求める. 任意の $0\le i\le 6,0\le j\le 10$ について, $7$ で割って $i$ 余り $11$ で割って $j$ 余る $0$ 以上 $76$ 以下の整数はただ一つ存在するため, $|S|$ は以下の二つの問題の答えの積に等しいことが分かる.

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**問題A.**　縦 $2022$ マス横 $712$ マスのマス目があります. 各マスには $\bf{6}$ 以下の非負整数が書き込まれており, 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスに書かれた数を $a_{i, j}$ とすると, 以下が全て成立するような書き込み方が何通りあるか答えてください. 
- 任意の $1\le i\le 2022, 1\le j\le 707$ について, $a_{i,j} + 2a_{i,j+1} + \cdots + 6a_{i, j+5}$ は $7$ の倍数である. 
- 任意の $1\le i\le 2017, 1\le j\le 707$ について, $a_{i,j} + 2a_{i+1,j+1} + \cdots + 6a_{i+5, j+5}$ は $7$ の倍数である. 

**問題B.**　縦 $2022$ マス横 $712$ マスのマス目があります. 各マスには $\bf{10}$ 以下の非負整数が書き込まれており, 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスに書かれた数を $a_{i, j}$ とすると, 以下が全て成立するような書き込み方が何通りあるか答えてください. 
- 任意の $1\le i\le 2013, 1\le j\le 712$ について, $a_{i,j} + 2a_{i+1,j} + \cdots + 10a_{i+9, j}$ は $11$ の倍数である.
- 任意の $1\le i\le 2013, 10\le j\le 712$ について, $a_{i,j} + 2a_{i+1,j-1} + \cdots + 10a_{i+9, j-9}$ は $11$ の倍数である.
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まず問題Aを解く(実は全く同様の議論によって問題Bも解ける). 与式を適当に足し引きすることで以下を得る.

- 任意の $1\le i\le 2022, 1\le j\le 705$ について $a_{i,j}=a_{i, j+7}$
- 任意の $1\le i\le 2015, 1\le j\le 705$ について $a_{i,j}=a_{i+7, j+7}$

これより $a_{i,j} (1\le i\le 7, 1\le j\le 7)$ の決め方のみ考えればよいことがわかる. 以下添字が $7$ を超えたものについては適宜 $7$ を引いて考えることとする. $a_{i,j} (1\le i\le 7, 1\le j\le 7)$ が満たすべき条件が何であるかを考えると,

**条件A**　任意の $1\le i\le 7$ について, $a_{i,1} + a_{i,2} + \cdots + a_{i, 7}$ は $7$ の倍数である. \
**条件B**　任意の $1\le i\le 7$ について, $a_{i,1} + a_{i+1,2} + \cdots + a_{i+6, 7}$ は $7$ の倍数である.\
**条件C**　任意の $1\le i\le 7$ について, $a_{i,1} + 2a_{i,2} + \cdots + 6a_{i, 6}$ は $7$ の倍数である. \
**条件D**　任意の $1\le i\le 7$ について, $a_{i,1} + 2a_{i+1,2} + \cdots + 6a_{i+5, 6}$ は $7$ の倍数である. 

これらすべてを満たすとき, またその時に限って問題Aの条件を満たすことが分かる. これらを満たす書き込み方を考える前に, 一次元にした以下の問題を考えてみよう.

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**問題C.**　縦 $1$ マス横 $7$ マスのマス目があります. 各マスには $6$ 以下の非負整数が書き込まれており, 左から $j$ 列目のマスに書かれた数を $a_{j}$ とすると, 以下が全て成立するような書き込み方が何通りあるか答えてください. 
- $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{7}$ は $7$ の倍数である.
-  $a_{1} + 2a_{2} + \cdots + 6a_{6}$ は $7$ の倍数である.

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$ 7 $ マスのうち適当な $ 5 $ マスに自由に数を書き込んだ時, 残りの $ 2 $ マスの数の書き込み方であって $ 2 $ つの条件式を満たすものはただ一つあるので, この問題の答えは $ 7^{5} $ である. これと同じように $ 49 $ マスのうちいくつかに自由に数を書き込み, 残りのマスで条件を満たすように調整していくことを考える.   $ 7 $ でなく $ 3 $ だった場合（全て $ 0 $ か全て $ 1  $  か全て $ 2 $ かの $ 3 $ 通り）の観察や満たすべき実質的な条件式が $ 28 $ 個より少し少ないことなどを考慮し,  $ a_{i,j} (1\le i\le 5, 1\le j\le 5) $ を自由に決めることを考える. この時問題Cと同様の観察により条件A,Cを満たすために $ a_{i,j} (1\le i\le 5, 6\le j\le 7) $ が一意に定まり, 条件B,Dを満たすために $ a_{i,j} (6\le i\le 7, 1\le j\le 7) $ も一意に定まる. この時, まだ成り立つかわからない式が $ 4 $ つあるが, これらについてもすでに成り立っている $ 24 $ 個の式を適当に足し引きすることで成立が確認できる. よって $ 25 $ マスを自由に決めると条件を満たす残りのマスの埋め方が丁度 $1$ 通りあるため問題Aの答えは $ 7^{25} $ とわかる.  同様にして問題Bの答えは $11^{81}$ とわかるから $ |S|=7^{25}\times 11^{81} $ が得られた. \
　$x,y$ を求めよう．
$$680\equiv 1 \pmod 7,\quad 680\equiv 9\pmod{11}$$
であるので, 上と同様に考えれば $a_{1,1} = a_{680,680}$ と問題Aの条件を満たす埋め方は $7^{25}$ 通り, $a_{1,1} = a_{680,680}$ と問題Bの条件を満たす埋め方は $11^{81-1}$ 通りあることが分かり,  $x = 7^{25}\times 11^{80}$ を得る. また
$$1003\equiv2\pmod7,\quad79\equiv2\pmod{11}$$
であるので, $a_{1,1} = a_{1003,79}$ と問題Aの条件を満たす埋め方は $7^{25-1}$ 通り,  $a_{1,1} = a_{1003,79}$ と問題Bの条件を満たす埋め方は $11^{81-1}$ 通りあることが分かり, $y = |S| - 7^{24}\times11^{80} = 76\times 7^{24}\times11^{80}$ を得る. 以上より求める答えは $\bf{8100}$ と計算できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/imo2022-day2/editorial/5131
　縦 $2022$ マス横 $712$ マスのマス目があります. 各マスには $76$ 以下の非負整数が書き込まれており, 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目のマスに書かれた数を $a_{i, j}$ とすると, 以下が全て成立しました. 
- 任意の $1\le i\le 2022, 1\le j\le 707$ について, $a_{i,j} + 2a_{i,j+1} + \cdots + 6a_{i, j+5}$ は $7$ の倍数である. 
- 任意の $1\le i\le 2013, 1\le j\le 712$ について, $a_{i,j} + 2a_{i+1,j} + \cdots + 10a_{i+9, j}$ は $11$ の倍数である. 
- 任意の $1\le i\le 2017, 1\le j\le 707$ について, $a_{i,j} + 2a_{i+1,j+1} + \cdots + 6a_{i+5, j+5}$ は $7$ の倍数である. 
- 任意の $1\le i\le 2013, 10\le j\le 712$ について, $a_{i,j} + 2a_{i+1,j-1} + \cdots + 10a_{i+9, j-9}$ は $11$ の倍数である. 

このような書き込み方全ての集合を $S$ とします. $S$ の元のうち, $a_{1,1} = a_{680,680}$ を満たすものの個数を $x$, $a_{1,1} \neq a_{1003,79}$ を満たすものの個数を $y$ とするとき, $x\neq y$ となることが証明できます.  $|x-y|$ の正の約数の個数を解答してください.