　$\angle{I_1DI_2} = \angle{I_1OI_2} = 90\degree$ がわかる．よって，$D, O$ は $I_1I_2$ を直径とする円周上にあり，その直径の長さは ${\sqrt{2}} AO = \dfrac{\sqrt{26}}{5}$ である．従って，Ptolemy の定理と三平方の定理より，それぞれ
$$
\frac{\sqrt{13}}{5} DI_1 + \frac{\sqrt{13}}{5} DI_2 
= \dfrac{\sqrt{26}}{5} DO,
\quad {DI_1}^2 + {DI_2}^2 = \left( \dfrac{\sqrt{26}}{5} \right) ^2
$$
を得る．よって，三角形 $DI_1I_2$ の面積は常に $\dfrac{DI_1 \cdot DI_2}{2} = \dfrac{6}{25}$ である．ここで，三角形 $DI_1I_2$ の面積は 
$$\dfrac{1}{2}\times DE\times I_1I_2\times\sin \angle DEI_1$$
とも表せることから，$DE \geq \sqrt{\dfrac{72}{325}}$ である．実際に等号が成立する図は存在するので，特に解答すべき値は $\mathbf{397}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc130/editorial/5347
　点 $\mathrm{D}$，$\mathrm{O}$は，線分 $\mathrm{I_1} \mathrm{I_2}$ を直径とする円周上に存在する。これを円 $P$ と呼ぶことにする。円 $P$ は半径 $\dfrac{\sqrt{26}}{10}$ の円であり，線分 $\mathrm{I_1} \mathrm{I_2}$ が直径，$\angle\mathrm{I_1 O I_2}=90\degree$，$\mathrm{OD}=1$ を満たす。従って，円 $P$ の円周上にある $4$ 点は固定されていると見なせる。\
  　そのように考えて，反対に点 $\mathrm{A}$ が動点であると考える。点 $\mathrm{A}$ は，点 $\mathrm{O}$ 中心，半径 $\dfrac{\sqrt{13}}{5}$($=\mathrm{O I_1}=\mathrm{O I_2}$) の円周上に存在する。$\mathrm{DE}$ を最小化するのは，$\mathrm{AD} \perp \mathrm{I_1 I_2}$ のときである。あとは，三平方の定理等を用いて $\mathrm{DE}$ の長さを求めればよい。\
  　（このような図形が実際に存在するかは，別途考える必要がある。）
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc130/editorial/5347/162
　$\angle{A} = 90\degree$ なる三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D$ を取り，三角形 $ABD, ACD$ の内心をそれぞれ $I_1, I_2$ とすると，三角形 $AI_1I_2$ の外心 $O$ について

$$
AO = \frac{\sqrt{13}}{5}, \quad DO = 1
$$

が成立しました．$AD$ と $I_1I_2$ の交点を $E$ としたとき，
$DE$ の長さのとりうる最小値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて
$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるため，$a + b$ の値を解答してください.