　三角形 $ABD$ と三角形 $ACD$ は合同であるから，$B$ および $C$ からそれぞれ $AD$ におろした垂線の足は一致し，これを $H$ とすれば $BH=CH=4\sqrt{3}$ が成立する．よって $\angle BHC=\theta$ とおけば，$V=40\sin\theta$ であるから，求める総和は $40$ 以下の正整数の総和，すなわち $\textbf{820}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/editorial/1690
$$AB=AC=7,\quad BD=CD=8,\quad AD=5$$
なる四面体 $ABCD$ について，その体積 $V$ としてありうる正整数値の総和を求めてください．