　上式から
$$x=\dfrac{-9\pm \sqrt{77}}{2}$$
である. 上式から下式を引くと $a=2x+1$ であるため代入すると
$$a=\pm \sqrt{77}-8$$
となり, このうち $a$ が正であるものは $a=\sqrt{77}-8$ なので, 解答すべき値は $\textbf{85}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/editorial/3247
　実数 $x$ と正の実数 $a$ について，以下の $2$ つの式が成り立っています．このとき，正整数 $p,q$ を用いて $a=\sqrt{p}-q$ と表せるので，$p+q$ を解答してください．
$$\begin{cases}
x^2+9x+1=0 \\\\
x^2+7x+a=0 \\\\
\end{cases}$$