　高木くんの考えに従うような進み方を**経路**と呼ぶことにする.\
　$n$ 個の街を通るようなある経路を固定したとき, この経路には $n-1$ 本の道が含まれることから, これが実現できる確率は $\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n-1}$ である. また $n$ 個の街を通るような経路は $\_{98}\mathrm{C}\_{n-2}$ 通り存在するから, 求める期待値は
$$\sum_{n=2}^{100}{}\_{98}\mathrm{C}\_{n-2}\left(\frac{6}{7}\right)^{n-1}=\frac{6}{7}\sum_{n=0}^{98}{}\_{98}\mathrm{C}\_{n}\left(\frac{6}{7}\right)^{n}=\frac{6}{7}\left(1+\frac{6}{7}\right)^{98}=2\times 3\times 7^{-99} \times 13^{98}$$
ただし途中で二項定理を用いた. 特に解答すべき値は $\textbf{586}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc010/editorial/66
　ある国には $100$ 個の街があり, 街 $1$ から街 $100$ までの番号が付けられています.
また, それらのうちちょうど $2$ つの間を直接繋ぐような道が $0$ 本以上作られています.\
　街 $1$ に住む高木くんは街 $100$ へ旅行に行きたいですが, その行き方について「街の番号が小さくなってしまうように移動したらきっと遠回りになってしまうから, 街の番号が大きくなっていくように道を進んでいこう」と考えています. 高木くんの考えが正しいかどうかわかりませんが, それを信じて考えの通りに進むとき, 街 $1$ から街 $100$ まで行く方法が何通りあるかを知りたいです(そのような方法が存在しないこともあります).\
　任意の $2$ つの街に対して, その間を直接繋ぐ道が $\displaystyle \frac{6}{7}$ の確率で存在するとき, そのような方法の個数の期待値はある既約分数で表すことができます. それがもつそれぞれの素因数について, それとその指数の積の総和の絶対値を解答してください.\
　例えば, $\displaystyle \frac{45}{8}=2^{-3}\times3^{2}\times5$ が答えになったときは, $|2\times(-3)+3\times2+5|=5$ と解答してください.