　三角形 $PCD$ の外接円と直線 $AB$ の接点を $Q$ とする. このとき方べきの定理より
　　$$AQ^2=AP\times AC=64,\ \ BQ^2=BP\times BD=36$$
となるから,
　　$$AB=AQ-BQ=8-6=2$$
　すると三平方の定理より, 三角形 $PAB$ の面積は
　　$$\dfrac{1}{2}\times 2\times \sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$$
で与えられるから, 面積比を考えることで三角形 $PCD$ の面積は
　　$$\sqrt{15}\times \dfrac{5}{4}\times \dfrac{12}{4}=\dfrac{15\sqrt{15}}{4}$$
である. よって求める値は $15+15+4=\textbf{34}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc014/editorial/90
　線分 $AC$ と線分 $BD$ が点 $P$ で交わっています. また, 三角形 $PCD$ の外接円と直線 $AB$ は接しています. \
$$PA=PB=4,\ PC=12,\ PD=5$$
のとき, 三角形 $PCD$ の面積を求めてください. ただし, 答えは最大公約数が $1$ である正の整数 $a, c$ と, $1$ より大きい平方数で割り切れない正の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので, $a+b+c$ を解答してください.