$$\triangle LMN=\triangle PRT=\triangle ABC-3\times\triangle ATR=1-\frac{3\times20\times(20+21)}{(20+21+20)^2}=\frac{1261}{3721}$$
より, 求める値は $1261+3721=\textbf{4982}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1789
　面積が $1$ である正三角形 $ABC$ において, 以下で $6$ 点 $P,Q,R,S,T,U$ を定め, それらを通る円 $O$ を考えます.

- 辺 $BC$ を $20:21:20$ に内分する点を順に $P,Q$ とする.
- 辺 $CA$ を $20:21:20$ に内分する点を順に $R,S$ とする.
- 辺 $AB$ を $20:21:20$ に内分する点を順に $T,U$ とする.

さらに, $O$ において劣弧 $PQ,RS,TU$ の中点をそれぞれ $L,M,N$ とします. このとき, 三角形 $LMN$ の面積は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.