　$D_1(\theta)$ は3点 $\vec{b},3\vec{a}-2\vec{b},5\vec{a}+4\vec{b}$ を頂点とする三角形の周および内部である．$\vec{a},\vec{b}$ はそれぞれ $\begin{pmatrix}3\\\\ 2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\\ 3\end{pmatrix}$ を原点中心に $\theta$ だけ回転したものであるから，$D_2$ は
$$X(1,3),\quad Y(7,0),\quad Z(19,22)$$
として $\triangle XYZ$ を原点中心に $\pi$ 回転させたときの通過領域である．このとき $D_2$ の面積 $S$ は $\triangle XYZ$ の周および内部の点と原点との距離の最小値，最大値を $r,R$ としたとき $$S=\frac{\pi}{2}(R^2-r^2)+(\triangle XYZの面積)$$ と表される．いずれも単純な計算により $$r^2=\frac{49}{5},\quad R^2=845,\quad (\triangle XYZの面積)=84$$ と求められるため $S=\dfrac{2088\pi}{5}+84$ が得られ，特に解答すべき値は $\bm{2177}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc003/editorial/31
$$\\vec{a}=\\left(   \\begin{array}{c}     3\\cos \\theta -2\\sin \\theta\\\\     2\\cos \\theta +3\\sin \\theta \\\\            \\end{array} \\right),\quad\\vec{b}=\\left(   \\begin{array}{c}     \\cos \\theta -3\\sin \\theta \\\\     3\\cos \\theta +\\sin \\theta \\\\        \\end{array} \\right)$$
とします．また，点 $P(\\vec{p})$ は以下の条件をみたします：
$$\\vec{p}=s\\vec{a}+t\\vec{b},\quad s+t \\geq 1,\quad 3s-t\\leq 11,\quad 3s-5t \\geq -5.$$
このとき，点 $P$ の存在し得る領域を $D_1(\theta)$ とし，$\\theta$ が $0$ から $\\pi$ まで動くとき $D_1(\theta)$ が通過する領域を $D_2$ とします．$D_2$ の面積は正整数 $A,B,C$（$A$ と $B$ は互いに素）によって $\\dfrac{A\\pi}{B}+C$ と表せるので，$A+B+C$ を求めてください．

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