　一般に $2×n$ のマス目について，最も右の列が $1$ のみからなる書き込み方を $a_n$ 通り，そうでない書き込み方を $b_n$ 通りとする．条件は隣り合う $2$ マスが必ず $1$ を含むことと同値であることに注意すれば，漸化式
$$a_{n+1}=a_n+b_n, \quad b_{n+1}=4a_n+2b_n$$
が成立することがわかる．ひと工夫としてこれらより $\\{b_n\\}$ を消去すれば
$$a_{n+2}=3a_{n+1}+2a_n$$
も成立することがわかる．$a_1=1,b_1=4$ から計算すれば $a_6+b_6=a_7=\textbf{2753}$ とわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/editorial/5443
　$2×6$ のマス目があり，各マスに $1, 2, 4$ のいずれかを書き込みます．このとき，辺で隣り合った $2$ マスに書き込まれた整数がつねに互いに素となるような書き込み方は何通りありますか？