　$N=1$ の場合は条件を満たさない．以下では，$N\ge2$ の場合を考える．\
　$x$ が $N$ の約数であるとき $N\/x$ も $N$ の約数であることから，$N$ の持つ約数の個数を $d(N)$ とすると $$m(N)
=\prod_{x\mid N}x
=\Bigg(\prod_{x\mid N}x\cdot \frac Nx\Bigg)^{1\/2}
=N^{d(N)\/2}$$
が成り立つ．よって，以下が分かる．
$$\begin{aligned}
&N^{4} \lt m(N) \lt N^{5}\\\\
\Longleftrightarrow　&4 \lt \frac{d(N)}{2} \lt 5\\\\
\Longleftrightarrow　&d(N)=9
\end{aligned}$$
したがって $N$ は相異なる素数 $p,q$ を用いて次の２ついずれかの形で表せる.
$$N=p^8,　N=p^2q^2$$
このうち, 特に $1 \leq N \leq 100$ を満たすのは $2^{2} × 3^{2} = 36$ と $2^{2} × 5^{2} = 100$ のみである. よって, 解答すべき値は $\mathbf{136}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc212/editorial/8775
　正整数 $N$ に対して，その正の約数の**総積**を $m(N)$ で表すこととします．このとき，$1$ 以上 $100$ 以下の整数 $N$ のうち，$\ N^{4} \lt m(N) \lt N^{5}$ を満たすものの総和を解答して下さい．