　$O$ を中心に反転すると，各球面 $S_m$ は $O$ を含まない平面へと移る．これらの平面によって分けられる各領域に含まれる $P_i$ が高々 $1$ つとなるようにするために必要な平面の個数の最小値が $f(P_1, P_2, \ldots, P_{10000})$ である．  
- $f(P_1, P_2, \ldots, P_{10000})$  の最大値  
　どのように $P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ が配置されていても，平行な $9999$ 個の平面があれば分離できる．一方で，$P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ がいずれもある直線 $l$ 上に存在するとき，$l$ と $P_i$ を含まない平面の交点は高々 $1$ 個なので，すべての点を分離するためには $9999$ 個の平面が必要な例となる．よって，最大値は $9999$ である．
  
- $f(P_1, P_2, \ldots, P_{10000})$  の最小値  
　空間内の $n$ 個の平面によって分割される空間領域の数の最大値を $a_n$ とし，平面上の $n$ 本の直線によって分割される領域の数の最大値を $b_n$ とする．空間上に $n+1$ 個目の平面を新たに追加したときに最大で $b_n$ 個分の領域が増える．したがって $a_{n+1}  = a_n + b_n$ となり，$b_n = \dfrac{n(n+1)}{2}+1,a_1=2$ であるから，
$$
a_n = \sum_{k=1}^{n-1} \bigg(\frac{k(k+1)}{2}+1\bigg)+2=\dfrac{n^3+5n+6}{6}
$$ 
となる．$a_{39} = 9920 \lt 10000 \lt 10701 = a_{40}$ なので，少なくとも $40$ 個の平面が必要である．また，確かにこのような $P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ の配置は存在する．

　以上より，最大値と最小値の和は $9999 + 40 = \mathbf{10039}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/editorial/11868
　点 $O$ を含む空間内に $10000$ 個の相異なる $O$ でない点 $P_1,\ldots,P_{10000}$ をとると，$O$ を通る $n$ 個の球面 $S_1,\ldots,S_n$ が以下をともに満たしました．
- $n$ 個のどの球面上にも $P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ は存在しない．
- 任意の $1$ 以上 $10000$ 以下の異なる $2$ 整数 $i,j$ に対して，ある $1$ 以上 $n$ 以下の整数 $m$ が存在し，$P_i$ と $P_j$ のうちちょうど一方が $S_m$ の内側，もう一方が $S_m$ の外側に存在する．

$P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ の配置ごとに $n$ の最小値が定まるので，これを $f(P_1, P_2, \ldots, P_{10000})$ とおきます．$P_1, P_2, \ldots, P_{10000}$ の配置を動かすとき，$f(P_1, P_2, \ldots, P_{10000})$ の最大値と最小値の和を求めてください．