　切断面は $AF,FH,HA$ の中点を通る円, すなわち正三角形 $AFH$ の内接円である.\
　よって, その半径は $100\sqrt{2\/3}$ であるから, 解答すべき値は $20000+3=\textbf{20003}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/201
　一辺 $200$ の立方体 $ABCD-EFGH$ に，半径 $100$ の球 $\Omega$ が内接します．$3$ 点 $A,F,H$ を通る平面で $\Omega$ を切断したとき，断面積を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}\pi$ と表せるので，$p+q$ を解答してください． 
<details><summary>立方体 $ABCD-EFGH$ とは？<\/summary> 
　正方形 $ABCD$ および $EFGH$ を向かい合う面としてもち，$AE,BF,CG,DH$ がそれらと垂直な辺として存在するような立方体をさします．
<\/details>