　文字の対称性から $x \leq y \leq z$ としても一般性を失わない．いま，$\alpha, \beta, \gamma$ を
$$\alpha = \left \lfloor \frac{2xy}{z} \right \rfloor，\beta = \left \lfloor \frac{2zx}{y} \right \rfloor，\gamma = \left \lfloor \frac{2yz}{x} \right \rfloor$$
と定めると，
$$\alpha \beta \gamma = 1110，\alpha \leq \beta \leq \gamma$$
が成り立ち，$\alpha, \beta, \gamma$ はいずれも正整数である．$1110$ は $37$ の倍数だが，$37 \gt \sqrt{1110}$ なので $1110$ をいくつかの正整数の積で表したとき積を構成する数のうち最大のものは必ず $37$ で割り切れる．このことから $\gamma$ は $37$ で割り切れ，さらに $\alpha \beta$ は $30$ の約数である．以後，次の事実をことわりなく用いる．
- 任意の正整数 $m, n$ に対し，不等式 $(m + 1)(n + 1) \leq 2(mn + 1)$ が成り立つ．

なお，この事実は次の計算からただちにしたがう．
$$2(mn + 1) - (m + 1)(n + 1) = (m - 1)(n - 1) \geq 0$$

すると $\alpha \beta \leq 30$ なので，
$$4x^2 = \frac{2xy}{z} \cdot \frac{2zx}{y} \lt (\alpha + 1)(\beta + 1) \leq 2(\alpha \beta + 1) \leq 62$$
より $x \leq 3$ を得る．ここで $x \leq 2$ を仮定すると $\dfrac{2}{x}$ は整数値となり $\gamma = \dfrac{2}{x} yz$ と表せる．このことから $z$ は $37$ で割り切れるので $z \geq 37$ をみたす．ところが
$$2(\beta \gamma + 1) \geq (\beta + 1)(\gamma + 1) \gt \frac{2zx}{y} \cdot \frac{2yz}{x} = 4z^2$$
から $\beta \gamma \gt 1110$ が成り立ち，これは $\alpha \beta \gamma = 1110$ に矛盾．ゆえに $x = 3$ であり，前述の不等式を用いれば
$$\alpha \beta \gt 2 x^2 - 1 = 17$$
が得られ，$\alpha \beta = 30 ,\gamma = 37$ がしたがう．よって
$$\gamma \leq \frac{2yz}{x} \lt \gamma + 1$$
から $\dfrac{111}{2} \leq yz \lt 57$ が得られるので $yz = 56$ であり，組 $(y, z)$ として
$$(1, 56)，(2, 28)，(4, 14)，(7, 8)$$
があり得る．このうち
$$\alpha \beta = \left \lfloor \frac{6y}{z} \right \rfloor \left \lfloor \frac{6z}{y} \right \rfloor = 30$$
をみたすものは $(y, z) = (7, 8)$ のみである． \
　以上のことから $x \leq y \leq z$ のもと与えられた等式をみたすのは $(x, y, z) = (3, 7, 8)$ のみであり，解答すべき値は $\mathbf{18}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/editorial/11349
　次の等式をみたす正整数の組 $(x, y, z)$ は並び替えを除いて一意に定まります．この $(x, y, z)$ について，$x+y+z$ の値を解答してください．
$$\left \lfloor \frac{2xy}{z} \right \rfloor \left \lfloor \frac{2zx}{y} \right \rfloor \left \lfloor \frac{2yz}{x} \right \rfloor = 1110$$

<details><summary>「並び替えを除いて一意に定まる」とは<\/summary>
　ある条件をみたす正整数の組 $(x, y, z)$ が並び替えを除いて一意に定まるとは，ある正整数 $a, b, c$ が存在し，$(x, y, z)$ としてありうるものが $(a, b, c)$ かその並び替えのみであることをさします．
<\/details>