　解と係数の関係により，以下が従う：
$$1=(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=a^2-4b=a^2-4a-4.$$
これにより $(a,b)=(-1,0),(5,6)$ が得られるため，$f(x)$ としてあり得るものは
$$x^2+x, \quad x^2-5x+6$$
である．それぞれ $x=10$ を代入すれば，解答すべき値は $110+56=\textbf{166}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/editorial/3663
　実数 $a,b$ について $f(x)=x^2-ax+b$ とします．方程式 $f(x)=0$ は $2$ つの実数解 $x=\alpha,\beta$ をもち，
$$b-a=\lvert \alpha-\beta\rvert=1$$
が成り立ちました．$f(10)$ としてありうる値の総和を求めてください.