　与式は次のように書き換えられる．
$$N=\prod_{n=1}^{2021}\dfrac{((n+1)^3-1)^2+n^2}{n^2(n^4+4)}$$
ここで正整数 $n$ に対し次が成り立つ．
$$\dfrac{((n+1)^3-1)^2+n^2}{n^2(n^4+4)}
=\dfrac{n^2(n^2+2n+2)(n^2+4n+5)}{n^2(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)}
=\dfrac{(n+2)^2+1}{(n-1)^2+1}$$
これを用いると次のように計算できる．
$$N=\dfrac{(2021^2+1)(2022^2+1)(2023^2+1)}{(0^2+1)(1^2+1)(2^2+1)}=\dfrac{1}{10}(2021^2+1)(2022^2+1)(2023^2+1)$$
よって $10N$ を $2021^2$ で割ったあまりは次のように求められる．
$$\begin{aligned}
10N
&=(2021^2+1)(2022^2+1)(2023^2+1)\\\\
&=(2021^2+1)(2021^2+2\times 2021+2)(2021^2+4\times 2021+5)\\\\
&\equiv 18\times 2021+10={\bf 36388}\pmod{2021^2}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc124/editorial/2253
　因数分解パートの補足です．$i$ を虚数単位として，分子の $n$ を $1$ ずらした $(n^3-1)^2+(n-1)^2$ は次のように変形できます．
$$\begin{aligned}
(n^3-1)^2+(n-1)^2
&=(n-1)^2((n^2+n+1)^2+1)^2\\\\
&=(n-1)^2(n^2+n+1+i)(n^2+n+1-i)\\\\
&=(n-1)^2(n+i)(n+1-i)(n-i)(n+1+i)\\\\
&=(n-1)^2\underbrace{(n^2+1)}\_{(n+i)(n-i)}\underbrace{((n+1)^2+1)}\_{(n+1-i)(n+1+i)}
\end{aligned}$$
$n$ を $n+1$ にすれば $((n+1)^3-1)^2+n^2=n^2((n+1)^2+1)((n+2)^2+1)$ を得ます．\
　同様にして分母も次のように変形できます．$(1+i)^2=2i$ などを用いています．
$$\begin{aligned}
n^2(n^4+4)
&=n^2(n^2+2i)(n^2-2i)\\\\
&=n^2(n+1-i)(n-1+i)(n+1+i)(n-1-i)\\\\
&=n^2\underbrace{((n+1)^2+1)}\_{(n+1-i)(n+1+i)}\underbrace{((n-1)^2+1)}\_{(n-1+i)(n-1-i)}
\end{aligned}$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc124/editorial/2253/148
　以下で定義される $N$ は整数値となります．\
　$10N$ を $2021^2$ で割ったあまりを求めてください．
$$N=\dfrac{\left((2^3-1)^2+1^2\right)\left((3^3-1)^2+2^2\right)\cdots\left((2022^3-1)^2+2021^2\right)}{(2021!)^2(1^4+4)(2^4+4)\cdots(2021^4+4)}$$