　$\displaystyle f(x, y) = \frac{x}{xy+1}$ とすると, 任意の正の実数の組 $(p, q, r)$ に対して
$$f(f(p, q), r) = f(p, q + r)$$
が成立する. よって, $S_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ と定めると,  $x_{n+1}=f(x_{n},x_{n})$ から帰納的に
$$
S_{n + 1} - S_{n} = x_{n + 1} = f(x_1, x_1 + \cdots + x_n) = \frac{1}{S_n + \frac{5926}{3141}}
$$
の成立が分かる. したがって, $\displaystyle a_n = \frac{S_n + \frac{5926}{3141}}{\sqrt n}$ とすると, 以下が成立する.
$$
a_{n+1} = \frac{na_n^2 + 1}{\sqrt{n^2 + n}\thinspace a_n}
$$
　ところで, $\displaystyle g_n(x) =  \frac{nx^2 + 1}{\sqrt{n^2 + n}\thinspace x}$ とするとき, $g_n(x)$ が $x\ge1$ で単調増加であることは容易に確かめられる. したがって, 方程式 $x = g_n(x)$ の唯一の正の実数解を $x=b_n $とすれば, $a_1 \gt b_1$ から帰納的に $a_n\gt b_n$ が従う. また, $x\gt b_n$ において $g_n(x)\lt x$ であることから $\lbrace a_n\rbrace$ は単調減少する. ここで

$$b_n=\sqrt{\sqrt{1 + 1\/n} +1}\gt 1$$
であり, これは単調減少で $\sqrt{2}$ に収束するから, 以上より $\lbrace a_n\rbrace$ は $\sqrt2$ 以上 $a_1$ 以下のある実数値に収束し,
$$
\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{S_{5358n}}{S_n} &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{5358n}\thinspace a_{5358n} - \frac{5926}{3141}} {\sqrt{n}\thinspace a_{n} - \frac{5926}{3141}}\\\\
 &= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{5358}\thinspace a_{5358n} - \frac{5926}{3141\sqrt n}}{a_{n} - \frac{5926}{3141\sqrt n}}\\\\
&= \sqrt{5358}
\end{aligned}
$$
よって, $P(x)$ は $\sqrt{5358}-1$ の最小多項式 $x^2 +2x - 5357$ であるから, 求める値は $\bf{100014643}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc074/editorial/2555
　この問題をエスパーで解く方法を紹介します（したがって，この解説内には厳密でない記述がたくさん登場します）．\
　$\displaystyle\frac{1}{x_n}=y_n$ とおくと， $y_{n+1}=y_n+\dfrac{1}{y_n}$ です．差分 $y_{n+1}-y_n$ を微分とみなすことにすると $y^\prime(n)=\dfrac{1}{y(n)}$ となり，この微分方程式を解くことで $y_n$ がおおよそ $\sqrt{2n}$ であることがわかります．ここから $x_1+x_2+\cdots+x_n$ を評価するにあたって，思いきって
$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}}$$
に置き換えます．総和なので積分だと思うことにすると，これはおおよそ $\displaystyle\int_0^n\frac{1}{\sqrt{2x}}dx=\sqrt{2n}$ となります．\
　よって，極限値が $\sqrt{5358}-1$ と求まります．

---

【2022\/03\/16 01:49 追記】厳密にしたものも書いておきます．まず，$\sqrt{2n}\leq y_n\leq\sqrt{2n}+\dfrac{1}{\sqrt{2n}}$ が帰納法より確かめられます．
<details><summary>証明<\/summary>
　$n=1,2$ のときは成り立つ．$x+\dfrac{1}{x}$ の単調性に注意すると，左側の不等号は
$$\displaystyle\sqrt{2n+2}-\sqrt{2n}=\frac{2}{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n}}\leq\frac{1}{\sqrt{2n}}$$
により $\sqrt{2n+2}\leq\sqrt{2n}+\dfrac{1}{\sqrt{2n}}$ であるから成り立つ．また，
$$\sqrt{2n}+\dfrac{1}{\sqrt{2n}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n}+\frac{1}{\sqrt{2n}}}=\dfrac{4n^2+6n+1}{(2n+1)\sqrt{2n}}$$
である，$n\geq2$ に対し $\dfrac{4n^2+6n+1}{(2n+1)\sqrt{2n}}\leq\sqrt{2n+2}+\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}}$ が頑張って展開するとわかるので，右側の不等号も成り立つ．
<\/details>

$\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k=S_n$ とします．積分を $\displaystyle\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^kf(x)dx$ と捉えることで，積分による概算値と実際の値との差が評価できます．

<details><summary>評価<\/summary>
　$\sqrt{2n}\leq y_n\leq\sqrt{2n}+\dfrac{1}{\sqrt{2n}}$ より， $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{1}{(2n)^{3\/2}}\leq x_n\leq\frac{1}{\sqrt{2n}}$．$\displaystyle S^\prime_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2k}}$ とすると，
$$\displaystyle S^\prime_n-\sqrt{2n}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2k}}-\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^k\frac{1}{\sqrt{2x}}dx=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{\sqrt{2k}}-(\sqrt{2k+2}-\sqrt{2k})\right)=\sum_{k=1}^n\frac{2}{\sqrt{2k}(\sqrt{2k}+\sqrt{2k+2})^2}$$
となり，これは $\displaystyle O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ である．$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2n)^{3\/2}}$ も $\displaystyle O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ であるので $S_n=\sqrt{2n}+\displaystyle O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ である．
<\/details>
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc074/editorial/2555/24
　正の実数からなる数列 $\lbrace x_n\rbrace$ は次をみたします. 
$$x_1 = \frac{3141}{5926},\quad x_{n + 1} = \frac{x_n}{x_n^2+1}\quad (n = 1,2,\ldots)$$ 
このとき, 以下の極限
$$
\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{5358n}}{x_1+x_2+\cdots+x_n}
$$
はある実数 $k$ に収束することが示せます.\
　そこで, $k$ の最小多項式を $P$ として $|P(10000)|$ を解答してください. \
　ただし, $k$ は最小多項式をもつことが保証されます.