　条件より $f$ は明らかに全単射である．ここで，
$$f(a_1)=a_2 ,\quad  f(a_2)=a_3, \quad   \ldots , \quad f(a_k)=a_1$$
なる相異なる $S$ の元の組 $(a_1,\ldots,a_k)$ を，長さ $k$ の**サイクル**とよぶ．
ただし $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ と $(a_2,\dots,a_k,a_1)$ など，シフトして一致するものは同一のサイクルとみなすこととする．
$f$ は全単射であるから，すべての $S$ の元はちょうど一つのサイクルに含まれることに注意する．
このとき条件は以下のように言い換えられる：

- 任意のサイクルについて，含まれる元がすべてそのサイクルの長さの倍数である．

　$k\geq 4$ のとき $S$ は $k$ の倍数を $k$ 個未満しか含まないことから，サイクルの長さは高々 $3$ であることが従う．また，長さ $3$ のサイクルは高々一つであるから，これに応じて場合分けする．\
　長さ $3$ のサイクルが存在しないとき，偶数 $7$ 個から適当にペアを組めばよいから，その総数は
$${}\_{7}\mathrm{C}\_{0}+{}\_{7}\mathrm{C}\_{2}+{}\_{7}\mathrm{C}\_{4}\times 3+{}\_{7}\mathrm{C}\_{6}\times 5\times 3=232$$
と計算できる．\
　長さ $3$ のサイクルが存在するとし，その中に含まれる偶数の個数で場合分けする．まず長さ $3$ のサイクルが偶数を含まないとき，長さ $3$ のサイクルの作り方は $2$ 通りあり，残りの組み方については上と同じく $232$ 通りである．偶数が $1$ つ・$2$ つの場合もそれぞれ同様に計算すれば，全体で求める $f$ の総数は
$$232+2\times 232+12\times76+6\times26=\mathbf{1764}$$
であることがわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc108/editorial/4024
　$S=\\{1,2,3,\dots,15\\}$ とします．
次の条件をみたす関数 $f:S\to S$ はいくつありますか？

- 任意の $S$ の元 $x$ に対して，$f^{f(x)}(x)= x$ が成り立つ． 

ただし，$f^{f(x)}(x)$ は $\underbrace{f(f(\cdots f}_{f(x)個}(x)\cdots))$ を意味します．