　魔法陣の中心に入る正整数を $n$ とおくと, 有名事実として魔法陣の各行,各列,各対角線上にある $3$ つの数の和は $3n$ である. したがって, 以下のように計算できる.
![figure 1](\/images\/odtYISZJRJ5VZUgmP0huELaCqjcgNfcKnxqSaFUH)
　このとき, $b$ を固定し, マスに入るすべての数が正となる条件を $an$ 平面に図示すると, 以下のようになる(境界線上を含まない).

![figure 1](\/images\/XP1nbA5UtDwnbGt1WlYqYNa5Zw5OS92oTe5aFIXF)

　したがって, $a,b$ について以下の方程式を考えればよい.
　　$$\displaystyle \left\lceil a+\frac{b}{2}\right\rceil -\left\lfloor \max\left(\frac{b}{2},\frac{2a+b}{4}\right)\right\rfloor-1=2021$$
(i) $2a\leq b$ のとき

　以下の等式に留意する.
　　$$\begin{aligned} \left\lceil a+\frac{b}{2}\right\rceil -\left\lfloor \max\left(\frac{b}{2},\frac{2a+b}{4}\right)\right\rfloor&=\left\lceil a+\frac{b}{2}\right\rceil-\left\lfloor \frac{b}{2}\right\rfloor\\\\&=\begin{cases}\displaystyle \left(a+\frac{b+1}{2}\right)-\left(\frac{b-1}{2}\right)=a+1&(b\text{が奇数のとき}) \\\\\displaystyle  \left(a+\frac{b}{2}\right)-\frac{b}{2}=a&(b\text{が偶数のとき})\end{cases}\end{aligned}$$
したがって, 上の方程式について, 以下の結論を得る.

- $a=2021$ のとき, $b$ は $4043$ 以上の奇数すべてが適する.
- $a=2022$ のとき, $b$ は $4044$ 以上の偶数すべてが適する.

特に $a,b\leq 10^6$ の範囲では $10^6-4042=995958$ 個である.

(ii) $2a\gt b$ のとき

　まず, 以下の等式に留意する.
　　$$\displaystyle\left\lceil a+\frac{b}{2}\right\rceil -\left\lfloor \max\left(\frac{b}{2},\frac{2a+b}{4}\right)\right\rfloor= \left\lceil a+\frac{b}{2}\right\rceil-\left\lfloor \frac{2a+b}{4}\right\rfloor$$
　$b$ が $4$ で割り切れるとき, 以下が成立する.
　　$$\displaystyle \left\lceil a+\frac{b}{2}\right\rceil-\left\lfloor \frac{2a+b}{4}\right\rfloor =\left(a+\frac{b}{2}\right)-\left(\left\lfloor\frac{a}{2}\right\rfloor+\frac{b}{4}\right)=\begin{cases}\displaystyle \frac{a+1}{2}+\frac{b}{4}&(a\text{が奇数のとき}) \\\\ \displaystyle \frac{a}{2}+\frac{b}{4}&(a\text{が偶数のとき})\end{cases} $$
したがって $\displaystyle a=4043-\frac{b}{2},4044-\frac{b}{2}$ であるから, 各 $b=4,8,\cdots,4040$ に対し適する $a$ が二つずつ存在する.\
　同様に $b$ を $4$ で割った余りごとに考えることで, 任意の $b\leq 4042$ に対し適する $a$ が二つずつ存在することがわかる. これらはすべて $a,b\leq 10^6$ の範囲であり, その合計は $2\times 4042=8084$ 個である.

　以上より, 求める $M$ の値は $995958+8084=\textbf{1004042}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc014/editorial/92
　$3\times 3$ のマス目の各マスに，正整数を入れていくことを考えます．いま，図のように $2$ つの正整数 $a$ と $b$ が既に埋まっています．このとき, 他の $7$ マスについて，次の条件を満たす正整数の入れ方がちょうど $2021$ 通り存在しました.

- 条件：$3\times 3$ のマス目が魔法陣となる．すなわち，各行，各列，各対角線上にある  $3$ つの数の和は全て等しくなる．

　$a,b\leq 10^6$ の範囲で, このような正整数の組 $(a,b)$ は $M$ 個あります. $M$ を解答してください.

![figure 1](\/images\/XPqZifO8OU2w8FYAGEnZsiAJL70Q3y73j8LchgzI)