　三角形 $ABC$ の面積を確率変数 $S$ で表し, 期待値 $\mathrm{E}[S]$ と $\mathrm{E}[S^2]$ について,
いくつかの主張を示す.\
　$5$ 点 $A, B, C, X, Y$ のうちいずれの $3$ 点についてもそれらが一直線上に並ぶ確率は $0$ であることに注意.
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**補題1.**　線分 $AB, XY$ が交わる確率は $\displaystyle \frac13 - \frac43\mathrm{E}[S]$ に等しい.

**証明.**　まず $4$ 点が凸四角形にならない確率を求める.
このとき $4$ 点の凸包は確率 $1$ で三角形であり,
中に入る $1$ 点が $4$ 通りあるので, 対称性から確率は
$4\cdot\mathrm{P}(Y \in \triangle ABX) = 4\mathrm{E}[S]$ に等しい.
したがって $4$ 点が凸四角形をなす確率は $1 - 4\mathrm{E}[S]$ であり,
このうち $AB$ が対角線をなす確率は対称性からその $1\/3$ である. (証明終)
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**補題2.**　線分 $AB, BC, CA$ のうちちょうど $1$ つと線分 $XY$ が交わる確率は
$2(\mathrm{E}[S] - \mathrm{E}[S^2])$
に等しい.

**証明.**　これは $2$ 点 $X, Y$ のうち片方が三角形 $ABC$ の内部にありもう片方が外部にある確率に等しい.
$A, B, C$ を固定したときその確率は $2S(1-S)$ なので, その平均をとるとよい. (証明終)
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　ここで, 線分 $XY$ が $AB, BC, CA$ と交わる事象をそれぞれ $F_1, F_2, F_3$ とすると,
求める確率は
$$
\begin{aligned}
        \mathrm{P}(F_3) + \mathrm{P}(F_1\cap \overline{F_2} \cap \overline{F_3})
        + \mathrm{P}(\overline{F_1} \cap F_2 \cap \overline{F_3})
         \&= \biggl(\frac13 - \frac43\mathrm{E}[S]\biggr)
        + \frac23(2(\mathrm{E}[S] - \mathrm{E}[S^2])) \\\\
        \&= \frac13 - \frac43\mathrm{E}[S^2] \tag{1}
\end{aligned}
$$
となる.
よって $\mathrm{E}[S^2]$ を求めればよい.\
　$A, B, C$ の座標をそれぞれ $(A_x, A_y), (B_x, B_y), (C_x, C_y)$ と表す.
このとき,
$$\overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y), \quad \overrightarrow{AC} = (C_x - A_x, C_y - A_y)$$
なので
$$
\begin{aligned}
    (2S)^2 \&= \bigl((B_x - A_x)(C_y - A_y) - (B_y - A_y)(C_x - A_x)\bigr)^2 \\\\
    \& = \bigl(
        (A_x B_y - A_y B_x) + (B_x C_y - B_y C_x) + (C_x A_y - C_y A_x)
    \bigr)^2 \tag{2}
\end{aligned}
$$
を得る.
ここで $\mathrm{E}[A_x] = \mathrm{E}[A_y] = 0$ と独立性より,
$$\mathrm{E}[(A_x B_y - A_y B_x)(B_x C_y - B_y C_x)]= 0$$
である. また, $\mathrm{E}[A_xA_y] = 0$ と対称性より
$$
\begin{aligned}\mathrm{E}[(A_x B_y - A_y B_x)^2] \&= \mathrm{E}[A_x^2]\mathrm{E}[B_y^2]
    + \mathrm{E}[A_y^2]\mathrm{E}[B_x^2] - 2\mathrm{E}[A_xA_y]\mathrm{E}[B_xB_y] \\\\
    \& = 2\mathrm{E}[A_x^2]\mathrm{E}[B_y^2]\\\\ \&=
    \frac12\mathrm{E}[A_x^2 + A_y^2]\mathrm{E}[B_x^2+B_y^2]\\\\
    \&= \frac12\biggl(\frac1{2\pi}\biggr)^2 = \frac1{8\pi^2}
\end{aligned}
$$
となる.
ただし最後から二番目の等式で $\mathrm{E}[OZ^2] = \displaystyle\frac1{2\pi}$ を用いた.
したがって $(2)$ より
$$
    \mathrm{E}[S^2] = \frac34\mathrm{E}[(A_x B_y - A_y B_x)^2] = \frac3{32\pi^2}
$$
であり,
求める確率は $(1)$ より $\displaystyle\frac13 - \frac1{8\pi^2}$ となる. 特に解答すべき値は $\textbf{3206681}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc106/editorial/3735
　$A, B, C, X, Y, O$が同一直線上にないとしても確率は変わらないので, そう仮定する. また, 三角形 $DEF$ の符号付面積を $S(DEF)$ と表記する. \
　ある $5$ つの点に $A, B, C, X, Y$ を一回ずつ割り当てる方法は $120$ 通りあるが, そのうち問題の条件を満たすように割り当てる方法は, $5$ 点の凸包が $5, 4$ 角形の時 $40$ 通り, $3$ 角形の時 $24$ 通りであることが確認できる. よって, 円 $\omega$ の内部にランダムに点を $5$ つ独立に取った時にその凸包が $3$ 角形である確率が $s$ であるとすると, 求める確率 $p$ は $$\frac{40}{120}(1-s)+\frac{24}{120}s=\frac{1}{3}-\frac{2}{15}s$$ であることが分かる. また $$s =(円 \omega の内部にランダムに点を 3 つ (P, Q, Rとおく) を取った後さらに 2 点とった時に, $$ $$その 2 点が最初に取った 3 点を頂点とした三角形の領域内にある確率) \times {}_5 \mathrm{C}_3$$$$=10S(PQR)^2$$ なので, $S(PQR)^2$の平均を計算すればよい. \
　$P, Q$ を $O$ で点対称移動をした点をそれぞれ $P’, Q’$ とする. $S(QOP)=a, S(ROQ)=b, S(POR)=c$ とすると, $S(PQR), S(P’QR), S(PQ’R), S(P’Q’R)$ はそれぞれ $a+b+c, -a+b-c, -a-b+c, -a+b+c$ なので, $$S(PQR)^2+S(P’QR)^2+S(PQ’R)^2+S(P’Q’R)^2=(a+b+c)^2+(-a+b-c)^2+(-a-b+c)^2+(-a+b+c)^2$$ $$=4(a^2+b^2+c^2)$$
よって, $$S(PQR)^2の平均=3S(QOP)^2の平均$$
であることが分かる.
$$3(QOP)^2の平均=\frac{3}{4}(OP^2の平均)(OQ^2の平均)(\frac{\int_0^{2\pi}sin^2\theta d\theta}{2\pi})=\frac{3}{4}\frac{1}{2\pi}\frac{1}{2\pi}\frac{\pi}{2\pi}=\frac{3}{32\pi^2}$$
したがって, $$p=\frac{1}{3}-\frac{2}{15}s=\frac{1}{3}-\frac{2}{15}\frac{30}{32\pi^2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{8\pi^2}$$
求める値は$\textbf{3206681}$.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc106/editorial/3735/94
　平面上の原点 $O$ を中心とする面積 $1$ の円 $\omega$ の内部から，点 $A,B,C,X,Y$ をランダムかつ独立にとるとき，次の条件がともに成立する確率を $p$ とします：
- 線分 $XY$ は，線分 $AB$, $BC$, $CA$ のうち一つ以上と交わる．
- 線分 $XY$ は，線分 $AB$, $BC$ の両方とは交わらない．

　このとき，$p\times 10^7$ の整数部分を解答してください．ただし，
$$3.141592 \lt \pi \lt 3.141593$$
を用いても構いません．

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　ここで，点 $Z$ を $\omega$ の内部から**ランダムにとる**とは，各 $\omega$ 内の面積 $s$ の領域に対して $Z$ がその領域に入る確率が $s$ であることとします．また，そのような $Z$ に対して $OZ^2$（原点からの距離の $2$ 乗）の期待値が $1\/(2\pi)$ であることを用いても構いません.