　$x=5\pm4\sqrt{2}$ の最小多項式は $x^2-10x-7$ であり，$x^3-mx-n$ はこれを因数にもつ．二次の係数に着目するとこれは $(x^2-10x-7)(x+10)$ であるほかないから，求める値は $107+70=\textbf{177}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc001/editorial/20
　$x=5\pm4\sqrt{2}$ が $x^3-mx-n=0$ の解であるとき，そのような整数の組 $(m, n)$ すべてに対して，$m+n$ の総和を求めてください．