　中点連結定理より $PQRS$ は平行四辺形であり, 条件の共点を $T$ とすればこれはその中心である. $DT$ と $PQ$ が平行であることより $D$ は $QR$ の中点であり, すなわち $BC$ の中点である. このとき, 三角形 $ABC$ における中線定理より $AD^2=31\/4$ であるから, 三角形 $TQR$ における中線定理より
$$PR^2+QS^2=4(QT^2+RT^2)=8(DT^2+DQ^2)=\dfrac{1}{2}(AD^2+BC^2)=\dfrac{707}{8}$$
特に解答すべき値は $\textbf{715}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/editorial/251
　三角形 $ABC$ および辺 $BC$ 上の点 $D$ について, 線分 $AB,BD,DC,CA$ の中点をそれぞれ $P,Q,R,S$ とすれば, $AD,PR,QS$ は一点で交わりました. $AB=6,BC=13,CA=8$ であるとき, $PR^2+QS^2$ を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.