　$1+2+\cdots +n$ を $5$ で割った余りは $1,3,1,0,0$ で周期するから，条件をみたす $n$ は $5$ つごとに $2$ つずつ現れる．また，$10000$ は $5$ の倍数であるから，求める個数は $10000\times 2\/5=\textbf{4000}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/3139
　$1+2+\cdots + n$ が $5$ で割り切れるような，$1$ 以上 $10000$ 以下の整数 $n$ はいくつありますか？