　条件の式から $α$ は $1$ でない $1$ の $97$ 乗根の $1$ つであることが分かる. ここで $97$ は素数であるので, $97$ の倍数でない任意の整数 $t$ について $t, 2t, 3t, \dots, 96t$ を $97$ で割った余りは相異なるから, 
$$1+\alpha^t + \alpha^{2t} + \cdots + \alpha^{96t} = 0$$
が成立する. これと二項定理より, 答えは
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{97} (1 + \alpha^k)^{99}\alpha^k &= \sum_{k=1}^{97} \left(\sum_{l=0}^{99}{}\_{99}\mathrm{C}\_{l}\~\alpha^{kl}\right)\alpha^k\\\\
&=\sum_{k=1}^{97}\sum_{l=0}^{99} {}\_{99}\mathrm{C}\_{l}\~\alpha^{k(l+1)}\\\\
&=\sum_{k=1}^{97} {}\_{99}\mathrm{C}\_{96} \~\alpha^{97k} &\left(\because l\neq 96 \text{のとき}\sum_{k=1}^{97}\alpha^{k(l+1)}=0 \right)\\\\
&=97\cdot {}\_{99}\mathrm{C}\_{96} \\\\
&= \bf{15214353}
\end{aligned}$$
と計算できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/editorial/4434
　複素数 $\alpha$ は以下の式を満たします. 
$$1 + \alpha + \alpha^2 + \cdots + \alpha^{96} = 0$$
このとき, 
$$\sum_{k=1}^{97} (1 + \alpha^k)^{99}\alpha^k$$
の値を求めてください.