　辺 $AB, CD$ の中点をそれぞれ $M, N$ とし，$PM = x, PN = y$ とおく．このとき
$$ \angle BMP = \angle PNC = 90^{\circ},\quad \angle MBP = \dfrac{1}{2} \angle CPD = \angle NPC$$
であるから，二角相等により三角形 $BMP$ と $PNC$ は相似である．よって
$$xy = BM \cdot CN = 72 \tag{1}$$
を満たす．ここで，
$$\angle APB + \angle CPD = \angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^\circ$$
であるから，
$$\angle BPC + \angle DPA = 360^\circ - (\angle APB + \angle CPD) = 180^\circ$$
が分かる．ここで，三平方の定理より
$$AP = BP = \sqrt{x^2 + 64},\quad CP = DP = \sqrt{y^2 + 81}$$
であるから，$\angle BPC = \theta$ とすると，余弦定理より
$$\begin{aligned}
17^2 &= BP^2 + CP^2 - 2BP\cdot CP\cos\theta = 145+x^2+y^2-2\cos\theta\sqrt{(x^2+64)(y^2+81)}\\\\
19^2 &= DP^2 + AP^2 + 2DP\cdot AP\cos\theta = 145+x^2+y^2+2\cos\theta\sqrt{(x^2+64)(y^2+81)}
\end{aligned}$$
であるから，上の式と下の式を足し合わせることで
$$x^2 + y^2 = 180 \tag{2}$$
となる．式 $(1), (2)$ より $(x, y) = (6, 12), (12, 6)$ が得られ，条件を満たすのは
- $AP = BP = 10，CP = DP = 15$
- $AP = BP = 4 \sqrt{13}，CP = DP = 3 \sqrt{13}$

の $2$ つのケースに限られる．実際どちらのケースも実現が可能である．以上により求める値は $\bf{308}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc150/editorial/6446
$$AB = 16, \quad BC = 17, \quad CD = 18, \quad DA = 19$$
なる凸四角形 $ABCD$ の内部に点 $P$ をとったところ，
$$AP = BP,\quad CP = DP,\quad 2 \angle ABP = \angle CPD$$
が成り立ちました．このとき，$AP^2$ としてありうる値の総和を求めてください．