　最短経路を辿ればちょうど $8$ 区間歩くことになるため, torii君はちょうど $1$ 区間だけ左または下に動いたことが分かる．対称性より, これが左である場合のみ考えれば十分である. すなわち, $\rightarrow$ に $5$ 回，$\leftarrow$ に $1$回，$\uparrow$ に $4$ 回動いたことになるから, これらの矢印を一列に並べる並べ方の総数を考えればよいが，以下のような場合を除外しなければならないことに留意する.

- $\rightarrow$ と $\leftarrow$ のみを取り出したとき，その順番が $\leftarrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow$ または $\rightarrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow\leftarrow$ となるもの
- $8$ 区間歩いたときすでに $B$ にいるような並べ方，すなわち，前 $8$ つの矢印が $\rightarrow4$ 個，$\uparrow4$ 個となるもの

　これらは二項係数を用いて容易に計算できる. 具体的には, $M=2\times(4\times {}\_{10}\mathrm{C}\_6-{}\_{8}\mathrm{C}\_4)=\textbf{1540}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc016/editorial/101
　下図のような碁盤の目状の道があります. 図で示された40区間を除いて道は存在しません. \
　torii君は地点 $A$ から地点 $B$ まで歩いて行くことになりましたが, 途中で迷子になってしまい, 初めて $B$ 地点に到達するまでちょうど $10$ 区間歩きました. torii君が歩いた経路として考えられるものが $M$ 通りであるとき, $M$ を解答してください.\
　ただし, torii君は直前に通った区間を逆向きに引き返しても良いですが, 区間の中途では引き返せません. 
![figure 1](\/images\/jSkQwraspwFBmk5FF9G8wXWHp68TSWjsjmOBqUYd)