　$2048=2^{11}$ であることに留意すれば, CMO君が解答すべき正整数値となり得るものを小さい順に並べると
$$1+2=3,\quad 1+4=5,\quad 3+4=7,\quad 1+8=9,\quad 3+8=11,\quad \cdots$$
同様にして, 全体であり得るものは $4096$ 未満の奇数すべてから $1$ を除いたものであることが容易にわかり, 特にCMO君が提出する回数としてあり得る最大値は $\textbf{2047}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc140/editorial/1547
　CMO君はOMCのあるコンテストに参加していますが，どの問題もいくら考えてもわからないので，A問題くらいは当てずっぽうで正解したいと思いました．\
　CMO君がA問題についてわかっているのは，以下の $2$ 点のみです：

- 答えは **$1$ 未満** の正の有理数値であり，その $2048$ 倍は整数値である．
- 答えを互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $p\/q$ と表したとき，$p+q$ を解答する．

　このとき，CMO君は解答すべき正整数値となり得るものを小さい方から順にちょうど一回ずつ，CAを出すまで提出することにしました．CMO君がA問題で**提出する回数**としてあり得る最大の値を求めてください．ただし，CAを出したらそれ以降の提出は行わないものとし，ここでは $10$ 回の**提出制限は考慮しない**ものとします．