　まずはじめに，数列 $\\{F_n\\}$ に関して成り立つ不等式を示しておく．$F_0=0$ とする．

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**補題.** $n\geq 3$ に対し $F_1+F_2+\cdots+F_n \lt 2(F_n+F_{n-2})$．\
**証明.** $F_1+F_2+\cdots+F_{n-1} = F_{n+1}-1$ に留意すると，示すべき不等式は $F_{n+1}-1\lt F_n+2F_{n-2}$ と同値．さらに，漸化式を繰り返し用いて整理することにより，示すべき不等式は $F_{n-3}-1\lt F_{n-2}$ と同値になるが，$n \geq 3$ でこれは真．以上より元の不等式も真である．

---

　では，$f(p,q) \gt 0$ となる $(p,q)$ の条件を考えよう．$2(F_{q}+F_{q-2}) \lt 2F_{q}+F_{q-2}+F_{q-1}=3F_{q}$ であるから，補題より
$$
F_1+F_2+\cdots F_{q-1} \lt 2F_{q}
$$
である．$p\geq 3$ の時，どのような分割を施しても，$F_{q}$を要素に含まない集合 $S$ であって
$$
\sum_{k\in S} F_k \leq \dfrac{F_1+F_2+\cdots+F_{q-1}}{2}
$$
となるものが存在する．したがって，分割によってできた集合のうち $F_{q}$ を要素に含む集合を $S^{\prime}$ とすれば，$\sum_{k\in S} F_k \lt \sum_{k\in S^{\prime}} F_k$ が成立するため，$f(p,q)=0$ である．\
　$p=2$ のとき， $F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{q}$ の値を $2$ を法としてみれば，それらは $1,0,0,1,0,0,1,\ldots$ と周期的に変化していることがわかる．$q\equiv 1 \pmod{3}$ のとき，$F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{q}$ の値は奇数であるから，条件を満たすような $2$ つの集合の分割は存在せず，$f(p,q)=0$ である．一方，$q\equiv 0,2 \pmod{3}$ のとき，$q=2$ であれば $\\{\\{1\\},\\{1\\}\\}$ が，$q=3$ であれば $\\{\\{1,1\\},\\{2\\}\\}$ が条件を満たす．漸化式 $F_{n+3}=F_{n+2}+F_{n+1}$ より，ある $n$ で条件を満たす分割が存在するならば，$n+3$ でも条件を満たす分割が存在するので $f(p,q)\geq 1$ が言える．

　最後に，$f(2,q)\geq 1$ なる正整数 $q$ に対し，$f(2,q)$ の具体的な値を決定しよう．分割後の$2$ つの集合について，その集合の要素の総和は $(F_1+F_2+\cdots+F_{q})\/2$ であることに注意してほしい．$q\geq4$ の場合において，もし $F_{q-2},\ F_{q}$ が同一の集合 $S$ に含まれているとすると，補題より
$$
\sum_{k\in S} k \geq F_{q}+F_{q-2} \gt \dfrac{F_1+F_2+\cdots+F_{q}}{2}
$$
であるから，このとき条件を満たすように分割することができない．$F_{q-1},\ F_{q}$ が同一の集合 $S$ に含まれているとした場合でも，同様の結論を得ることができるから，$F_{q}$ と $F_{q-2},\ F_{q-1}$ は別の集合に含まれていることになる．ところで $F_{q}=F_{q-2}+F_{q-1}$であるから，$U_{q}$ の分割の仕方は $U_{q-3}$の分割の仕方に帰着することができる．$q=2,3,5$ の分割の方法がいずれも$1$種類として数えられることに注意すれば，
$$
f(2,q)=
\begin{cases}
    1 &(q=2,3,5)\\\\
    2^{\frac{q}{3}-1} &(q=6,9,12,\ldots)\\\\
    2^{\frac{q-2}{3}-1}  &(q=8,11,14,\ldots)
\end{cases}
$$
となる．以上より，求める値は以下のように計算できる：
$$
\sum_{2\leq p\leq q\leq 100} f(p,q) = 3+(2+2^{2}+\cdots +2^{31})+(2+2^{2}+\cdots + 2^{32})=\textbf{12884901887}.
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9395
[追記] 問題文が修正されました. 現在公開されている問題は, 公式解説と整合しています.

<details><summary>元の問題文<\/summary>
実数列 $\left\\{F_{n}\right\\}$ は以下の漸化式をみたすものとします：
$$
F_{1}=F_{2}=1, \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \quad (n \geq 1).
$$
いま, 正整数 $p \leq q$ に対し, $U_{q}=\\{1,2, \ldots, q\\}$ とし, $U_{q}$ を空でない $p$ 個の集合に分割する方法（分割後の集合の順序は区別しない）であって，以下の条件をみたすものの個数を $f(p, q)$ とおきます：

- 分割後の $p$ 個の集合を $S_{1}, S_{2}, \ldots S_{p}$ としたとき,
$$
\sum_{k \in S_{1}} F_{k}=\sum_{k \in S_{2}} F_{k}=\cdots=\sum_{k \in S_{p}} F_{k}.
$$

$2 \leq p \leq q \leq 100$ をみたす正整数の組 $(p, q)$ すべてに対し $f(p, q)$ を求め, それらの総和を解答してください.

<details><summary>集合の分割について<\/summary>

$p$ 個の集合 $S_{1}, S_{2}, \ldots S_{p}$ が以下の条件をみたすとき, 集合 $U_{q}$ の **分割** であるといいます：
- $1 \leq i \lt j \leq p$ ならば $S_{i} \cap S_{j}=\varnothing$.
- $S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{p}=U_{q}$
<\/details>
<\/details>

---

【公式解説誤りの指摘】

$U_{q}$ を分割する方法は, 各要素が $S_{1}, S_{2}, \ldots , S_{p}$ のいずれに属するかで区別される (分割後の集合の順序は区別しない). そのため, $F_{1}=F_{2}$ であっても, $1 \in S_{1}, 2 \in S_{2}$ と $1 \in S_{2}, 2 \in S_{1}$ を区別して計上される.

公式解説では, 誤ってこれらを区別していないため, $q=5, 8, 11, \ldots$ のときの $f(p, q)$ の値を本来の $\frac{1}{2}$ 倍として算出している.

<details><summary>[公式解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/yagamihai2023\/editorial\/9395)の該当箇所<\/summary>
$q=2,3,5$ の分割の方法がいずれも 1 種類として数えられることに注意すれば,
$$
f(2,q)=\begin{cases}
   1 & (q=2,3,5) \\\\
   2^{\frac{q}{3}-1} & (q=6, 9, 12, \ldots) \\\\
   2^{\frac{q-2}{3}-1} & (q=8, 11, 14, \ldots)
\end{cases}
$$
となる. 以上より, 求める値は以下のように計算できる：
$$
 \sum_{2 \leq p \leq q \leq 100} f(p, q)=3+\left(2+2^{2}+\cdots+2^{31}\right)+\left(2+2^{2}+\cdots+2^{32}\right)=\mathbf{12884901887}.
$$
<\/details>

<details><summary>修正後<\/summary>
$$
f(2,q)=\begin{cases}
   2^{\frac{q}{3}-1} & (q=3, 6, 9, \ldots) \\\\
   2^{\frac{q-2}{3}} & (q=2, 5, 8, \ldots)
\end{cases}
$$
となる. 以上より, 求める値は以下のように計算できる：
$$
\sum_{2 \leq p \leq q \leq 100} f(p, q)=2\left(2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{32}\right)=2\left(2^{33}-1\right)=\mathbf{17179869182}.
$$
<\/details>
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9395/290
【9\/24 22:50】問題文を修正しました（登録されている解答の数値は同じです）．

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　実数列 $\\{F_n\\}$ は以下の漸化式をみたすものとします：
$$
F_1=F_2=1,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad (n\geq 1).
$$
　いま，正整数 $p \leq q$ に対し，**多重集合** $U_{q}$ を $U_q=\\{F_1,F_2,\ldots, F_q\\}$ で定め，$U_{q}$ を空でない $p$ 個の多重集合に分割する方法（分割後の多重集合の順序は区別しない）であって，以下の条件をみたすものの個数を $f(p,q)$ とおきます：

 - 分割後の $p$ 個の多重集合を $S_1, S_2 ,\ldots S_p$ としたとき，
$$
\sum_{k\in S_1} k = \sum_{k\in S_2} k = \cdots = \sum_{k\in S_p} k.
$$

　$2\leq p \leq q \leq 100$ をみたす正整数の組 $(p,q)$ すべてに対し $f(p,q)$ を求め，それらの総和を解答してください．