　 $N^3$ と $N$ の下二桁が一致することは，$N^3-N$ が $100$ で割り切れることと同値である．すなわち次が成り立つことと同値である．
$$\begin{cases}
(N-1)N(N+1)\equiv 0\pmod {25}\\\\
(N-1)N(N+1)\equiv 0\pmod {4}
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
N\equiv 0,1,24\pmod {25}\\\\
N\equiv 0,1,3\pmod {4}
\end{cases}$$
したがって条件を満たす $N$ は，$0$ が除かれることに注意すると $3\cdot 3-1=8$ 個ある．ここで，
$$(100-N)^3-(100-N)\equiv-(N^3-N)\pmod{100}$$
より $N$ が条件を満たすならば $100-N$ も条件を満たすので，求める $N$ の総和は $\dfrac{100\cdot8}{2}=\bf400$ ．
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**別解.** \
　$N\equiv 0,\pm 1\pmod {25}$ までは本解説と同じである．したがって $1\leq N\leq 99$ の範囲では次が条件を満たす $N$ の候補は次のとおりである．
$$N=1,24,25,26,49,50,51,74,75,76,99$$
このうち実際に $N^3$ と $N$ の下二桁が一致するものは次の $8$ つである．
$$N=1,24,25,49,51,75,76,99$$
これらの和は $\bf400$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/4147
　$99$ 以下の自然数 $N$ について $N^3$ と $N$ の下二桁が一致するものの総和を求めてください．ただし，$3$ のように十の位に数がない場合は適切に $0$ を入れて $03$ などとして考えてください．