　$\triangle ABC$ の外接円と直線 $AI$ の交点のうち $A$ でない方を $M$ とすれば，有名事実として $M$ は弧 $BC$ の中点であり $BM=CM=IM$ が成立．仮定とあわせれば $\triangle ADO\equiv\triangle MIO$ が得られ，特に $AI=MD$ である．
ここで $AI=x,DI=y$ とおけば，$\triangle ABM\sim\triangle BDM$ より $(x+y)^2=x(2x+y)$ であるため $x,y\gt 0$ より $\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
これと $IO\parallel BC$ より次を得る．
$$(\triangle ABC の面積)=\frac{x+y}{y}\cdot(\triangle OBC の面積)=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot(39-13\sqrt{5})=\bf{26}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc008/editorial/56
　三角形 $ABC$ の内心を $I$, 外心を $O$ とし, 直線 $AI$ と $BC$ の交点を $D$ とすると, $IO \parallel BC, AO\perp DO$ が成り立ちました. 三角形 $OBC$ の面積が $39-13\sqrt 5$ であるとき, 三角形 $ABC$ の面積を求めてください.