　偶数の書かれた頂点は隣接できないから，偶数 $4$ つを書き込む位置は，$A,C,F,H$ と $B,D,E,G$ の $2$ 通りである．偶数の位置を固定したとき， $6$ と体対角線を共有する位置に $3$ が来ねばならず，残りの奇数の配置は自由である．よって，解答すべき値は $2\times 4! \times 3! = \mathbf{288}.$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/editorial/4733
　立方体 $ABCD-EFGH$ があります．以下の条件をみたすように，この立方体の各頂点に $1$ から $8$ までの整数をちょうど一度ずつ書き込む方法はいくつありますか．

- 辺で結ばれた $2$ 頂点に書かれた整数は，つねに互いに素である． 

ただし，すべての頂点は区別され，整数を書き込む順番は考慮しません．