　一般に, 正整数 $n$ が $n=p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times \ldots p_m^{e_m}$ と素因数分解されるとき, $n$ と互いに素な $1$ 以上 $n$ 以下の整数の個数 $\phi(n)$ について
$$\phi(n)=n\times \left(1-\frac{1}{p_1}\right)\times \left(1-\frac{1}{p_2}\right)\times \ldots \times \left(1-\frac{1}{p_m}\right)=n\prod _{k=1}^m \left(1-\frac{1}{p_i}\right)$$ 
が成り立つ. ここで $\phi(n)$ は Euler の totient 関数と呼ばれるものである. 知らなかった方は是非調べてみましょう. 
----
 　$420＝2^2\times3\times5\times7$ と素因数分解されることに留意すれば, 求める個数は
$$\phi(420)=420\times\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{7}\right)=\textbf{96}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc082/editorial/1981
　$420$ と互いに素な $420$ 以下の正整数はいくつありますか？