$$\angle ADC = \angle ABC - \angle BCD = \angle ACB - \angle BCE = \angle ACE$$
であるから，三角形 $ACE$ と三角形 $ADC$ は相似である．従って，$BE = x$ とすると，
$$AC : AE = CD : CE = 61 : x$$
であるから，
$AC = \dfrac{26\times61}{x}$
と分かる．一方，$AC = AB = 26 + x$ とも表せるので，比較することで $x = -13 + \sqrt{1755}$ を得るから，$AC = 13 + \sqrt{1755}$ である．特に，解答すべき値は $\bf{1768}$ である．\
なお，$BC=75$ は余剰な条件だが，これを満たす図は存在する．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc209/editorial/6126
　$AB=AC$ である二等辺三角形 $ABC$ の直線 $AB$ 上の $B$ に関して $A$ と反対側に点 $D$ をとり，また線分 $AB$ 上に $\angle{BCD}=\angle{BCE}$ となるように点 $E$ をとったとき，
$$BC=75,\quad BD=61,\quad AE=26$$
が成立しました．このとき，線分 $AC$ の長さは，正の整数 $a, b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．