　$2$ 直円柱の中心軸をともに含む平面に平行で距離が $t(\leq 3)$ の平面によって，共通部分を切断したときの断面積を $S(t)$ としよう．切り口は内角の一つが $30^{\circ}$，対辺間の距離が $2\sqrt{9-t^2}$ の菱形になるため，簡単な計算によって $S(t)=8(9-t^2)$ と求められる．従って共通部分の体積は次のように計算できる．
$$2\int_{0}^{3}S(t)dt=2\left[8\left(9t-\frac{t^3}{3}\right)\right]_{t=0}^{3}=\bm{288}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc003/editorial/28
　切り口が半径 $3$ の円であるような無限に長い直円柱が $2$ つあり，これらの中心軸が $30^{\\circ}$ で交わっています．このとき，共通部分の体積を求めてください．

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