登場する式はすべて斉次式であるから, すべての変数を $10$ で割って考えても良い. このとき条件は
　　$$|P-Q|\geq 1, \quad |Q-R|\geq 1, \quad |R-P|\geq 1$$
このとき, 求める最小値は $4\/3$ であることを示す. 

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**解答1.**　$(a,b,c,x,y,z)$ をそれぞれ実数 $k,l$ によって
$$(a+k,b+k,c+k,x+l,y+l,z+l)$$
に置き換えても $|P-Q|,|Q-R|,|R-P|$ はそれぞれ不変である. これに留意して, 与式が最小となるよう $k,l$ を動かすことを考えれば, 単純な二次関数の議論によって $a+b+c=x+y+z=0$ としてよいことがわかる.\
　ここで $3$ 次元空間内において, 式 $x+y+z=0$ で表される平面上のベクトル
　　$$\overrightarrow{A}=(a,b,c),\quad \overrightarrow{B}=(b,c,a),\quad \overrightarrow{C}=(c,a,b), \quad \overrightarrow{X}=(x-y,y-z,z-x)$$
を考えると, 条件 $|P-Q|\geq 1$ を $|\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{X}|\geq 1$ とする要領で言い換えられる. また, $x+y+z=0$ より
　　$$x^2+y^2+z^2=\dfrac{1}{3}\bigl[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\bigr]$$
であるから, 最小化すべき値は以下のように表現できる.
　　$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=\dfrac{1}{3}\lvert\overrightarrow{A}\rvert^2\lvert\overrightarrow{X}\rvert^2=\dfrac{1}{3}\lvert\overrightarrow{B}\rvert^2\lvert\overrightarrow{X}\rvert^2=\dfrac{1}{3}\lvert\overrightarrow{C}\rvert^2\lvert\overrightarrow{X}\rvert^2$$
　ここで $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},\overrightarrow{C}$ はどの二つがなす角も $120^\circ$ であるから, これらのうちいずれかは $\overrightarrow{X}$ となす角が $60^\circ$ 以上 $120^\circ$ 以下である. 例えばこれが $\overrightarrow{A}$ のとき, $\lvert\overrightarrow{A}\rvert\lvert\overrightarrow{X}\rvert\geq 2|\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{X}|\geq 2$ より所望の結論を得る. 他の場合も同様である. また, すべての等号を成立させられることも分かる.\
　　元の問題に戻れば, 求める最小値は $40000\/3$ であるから, 解答すべき値は $\textbf{40003}$ である. 

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**解説.**　上の解答は一見すると突拍子もないが, 与式を直接的に
$$
\lvert a(x-y)+b(y-z)+c(z-x) \rvert
$$
などと表現すれば, $x,y,z$ の間の差のみが係わることは明らかになり, さらにベクトルの内積としての表現も見えやすくなる. しかしながら, 以下のように天下り的ながらより直截な解法も存在する.

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**解答2.**　解答1と同様の帰着を行う. 次の等式に留意する.
　　$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 $$
さらにCauchy-Schwarzの不等式より, 以下が成立する.
　　$$(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 \geq \frac{1}{3}(ay-bx+bz-cy+cx-az)^2$$
したがって, 次の不等式が成立する.
　　$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq P^2+\dfrac{1}{3}(Q-R)^2\geq P^2+\dfrac{1}{3}$$
　同様にして, 与式は $Q^2+1\/3$ および $R^2+1\/3$ によって下から抑えられる. ここで, 差の条件より $P^2,Q^2,R^2$ のいずれかは $1$ 以上であることが容易にわかるから, 与式が $4\/3$ 以上であることが示された.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc024/editorial/148
　実数 $a,b,c,x,y,z$ に対し,
$$P=ax+by+cz,\quad Q=ay+bz+cx,\quad  R=az+bx+cy$$
で定まる $3$ 数が
　　$$|P-Q|\geq 100, \quad |Q-R|\geq 100, \quad |R-P|\geq 100$$
をみたすとき, 以下の取り得る最小値を求めてください.
$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$$
　ただし, 答えは互いに素な正整数 $m,n$ によって $\dfrac{m}{n}$ と表されるので, $m+n$ を解答してください.