　与えられた図形はどの頂点もちょうど $3$ 本の辺とつながっているということに注目する．すると問題の条件を満たす塗り方を施したとき，どの頂点も色が塗られていない辺と $0$ 本または $2$ 本つながる状態となり，つまり塗られていない辺によって閉路が構成されることが分かる．よって，$12$ 本の辺を選び，互いに辺を共有しない $1$ 個以上の閉路を作る方法が何通りかを調べればよい．\
　$36$ 本の辺のうち，図形の外側の領域に触れる $12$ 本を**外辺**，十二角形の領域に触れる $12$ 本を**内辺**，残りの $12$ 本を**接辺**と呼ぶことにする．（次の図で，外辺・内辺・接辺をそれぞれ橙色・水色・灰色で示す．）
![figure 1](\/images\/3Kg1zsx6QTUrjXCXFZ9q39fKSqdyrR7weWc1p8iO)

**Case 1.**　どの閉路も十二角形の領域を囲まないとき\
　閉路に囲まれる四角形の領域の個数を $m$，そのうち辺を共有する $2$ つ組の個数を $n$ としたとき，$4m - 2n = 12$ が成り立つ．$m \gt n$ であることに注意すれば $(m, n) = (3, 0), (4, 2), (5, 4)$ が得られる．\
　$(m, n) = (3, 0)$ の場合は隣接しない四角形の領域を $3$ つ選べばよい．選ばれる四角形のうち $1$ つを固定すると，残りの $2$ つの選び方は ${}\_{8}\mathrm{C}\_{2} = 28$ 通りであることが分かる．固定する四角形 $12$ 通りに対し選び方をすべて列挙すると，条件を満たす選び方がそれぞれ $3$ 回ずつ数えられることになるので，結局このケースでの全体の選び方は $28 \times 12 \div 3 = 112$ 通りである．\
　$(m, n) = (4, 2)$ の場合は $2$ 箇所隣接するように四角形の領域を $4$ つ選べばよく，隣接により連続する四角形の個数の内訳は $1, 3$ または $2, 2$ である．前者は $12 \times 7 = 84$ 通り，後者は $12 \times 7 \div 2 = 42$ 通りあることが分かる．\
　$(m, n) = (5, 4)$ の場合は連続で隣接した $5$ つの四角形を選べばよく，その方法は $12$ 通りである．

**Case 2.**　ある閉路が十二角形の領域を囲むとき\
　十二角形の領域を囲む閉路は外辺と内辺が合わせて $12$ 本必要である．このことから条件を満たすのは，外辺すべてを使う場合と内辺すべてを使う場合の $2$ 通りのみであることが分かる．

　以上より，条件を満たす辺の塗り方は全部で
$$112 + 84 + 42 + 12 + 2 = \mathbf{252}$$
通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc150/editorial/5973
　図のような，$24$ 個の頂点と，頂点同士をつなぐ $36$ 本の辺からなる図形を考えます．ここからちょうど $24$ 本の辺を選んで赤色に塗るとき，どの頂点も赤色で塗られた辺と奇数本つながるような方法は全部で何通りありますか？\
　ただし，回転や反転によって一致する塗り方も区別して数えるものとします．

![figure 1](\/images\/RcYTM7ndf5vz6ybvhwZPTFiA9OPNMbEuyM07rzLL)