　 $x+y+z$ が $3$ で割って $1$ 余り， $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ が $3$ の倍数になるとき，$x,y,z$ をそれぞれ $3$ で割ったときの余りの組み合わせとしてありうるのは以下の $3$ 通りである．

$$(2,1,1), \quad (1,2,1), \quad (1,1,2)$$

対称性より，$(2,1,1)$ の場合を求め， 
$3$ 倍すればよい．このとき，$0$ 以上の整数 $a,b,c$ を用いて

$$x=3a+2, \quad y=3b+1, \quad z=3c+1$$

と表され，$a+b+c=332$ が成り立つ．この $(a,b,c)$ の組み合わせは ${}\_{334}\mathrm{C}\_{2}=55611$ 通り．したがって，求める個数は $55611 \times 3= \mathbf{166833}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5096
　 $x+y+z=1000$ をみたす正の整数の組 $(x,y,z)$ であって， $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ が $3$ の倍数となるものはいくつありますか．