　$a_{a_1}=1$ となる場合を考えて $7$ 倍すればよい．$a_1=x$ とおくと，
$$x=a_1=a_{a_{a_1}}=a_{a_x}=1.$$
　このとき，各 $i=2,3,\ldots,7$ に対して，頂点 $i$ から頂点 $a_i$ に有向辺を貼ったような $7$ 頂点 $6$ 辺のグラフを考えると，すべての頂点は頂点 $1$ と連結である必要があるから，無向グラフとしては $1$ を根とする木として解釈でき，すべての辺は根の方向へ向かう．さらに  $a_{a_i}=1$ は高さは $2$ 以下であると表現できる．\
　すなわち，高さが $2$ 以下であるような頂点数 $7$ の根付き木であって，根以外の頂点がラベリングされているものを数え上げればよい．深さが $1$ であるような頂点が $i$ 個あるとすると，その組み合わせが ${}\_6\mathrm{C}\_{i}$ 通り，深さが $2$ である各頂点の親の決め方が $i^{6-i}$ 通り存在するから，以上より $a_{a_1}=1$ となる数列の個数は 
$$\displaystyle \sum_{i=1}^6 \Big({}\_6\mathrm{C}\_{i}\cdot i^{6-i}\Big)=1057$$ 
である．$a_{a_1}\neq1$ の場合も同様に考えれば，求める答えは $1057\cdot7=\mathbf{7399}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/4127
　以下の条件をみたす，長さ $7$ の数列 $a_1, a_2, \ldots, a_7$ はいくつありますか？

- $a_1, a_2, \ldots, a_7$ はすべて $1$ 以上 $7$ 以下の整数である．
- $a_{a_1}=a_{a_2}=a_{a_3}=a_{a_4}=a_{a_5}=a_{a_6}=a_{a_7}$．