　$4$ つの円は図の点 $P$ で交わり, 点 $P$ 以外では $3$ つ以上の円が重なることはない.
よって図の着色部, すなわち半径 $2$, 中心角 $90^\circ$ の扇形から等辺の長さが $2$ の直角二等辺三角形を除いた図形の面積の $8$ 倍が求める面積であり, 計算すれば $8\pi-16$. 
これより解答すべき値は $\bf{24}$ である. 
![figure 1](\/images\/aaSSC8KBTW7aYcDi9N7GDDzYi7rp0pgWFxYohFdc)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/editorial/2826
　一辺の長さが $4+2\sqrt{2}$ の正方形 $ABCD$ があり, 半径 $2$ の $4$ つの円がそれぞれ辺 $AB$ と $BC$, $BC$ と $CD$, $CD$ と $DA$, $DA$ と $AB$ に接しています. 
このとき $2$ つ以上の円が重なっている部分の面積は正整数 $a,b$ を用いて $a\pi-b$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.