　$g(x) = \dfrac{f(x)-1+x^2}{x^2}$ とおくと，任意の正整数 $a,b$ に対して以下が成立する．
$$
a^2b^2g(ab)+1-a^2b^2=b^2(a^2g(a)+1-a^2) + a^2(b^2g(b)+1-b^2)+(a^2-1)(b^2-1)
$$
これを整理して $g(ab)=g(a)+g(b)$ を得る．$g(1)=0$ および任意の素数 $p$ について $g(p)=\dfrac{2p-1}{p}$ であるから，上式を繰り返し用いると $n=p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}$ と素因数分解出来る整数 $n$ に対して，
$$
g(n) = g(p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m})=2(e_1+e_2+\cdots +e_m)- \sum_{k=1}^{m} \frac{e_k}{p_k}
$$
をであり，したがって
$$f(n)=\Bigg(2(e_1+e_2+\cdots +e_m)- \sum_{k=1}^{m} \frac{e_k}{p_k} -1\Bigg)n^2+1$$
がわかる（十分性は以上の議論を逆に辿ることで示される）．よって，$f(n)-1$ が $n^2$ で割り切れることは，ある整数 $N$ が存在して
$$
\sum_{k=1}^{m} \frac{e_k}{p_k} = N
$$
となることと同値である．両辺を $p_1\cdots p_m$ 倍して，
$$
\sum_{k=1}^{m} e_k\frac{p_1\cdots p_m}{p_k} = Np_1\cdots p_m
$$
素数 $p_k(1\leq k \leq m)$ に対して，右辺は $p_k$ の倍数で，左辺の $k$ 項目以外は $p_k$ を素因数に持つため，$e_k$ が $p_k$ の倍数であることが必要．逆に，すべての $1 \leq k \leq m$ で $e_k$ が $p_k$ の倍数であるならば，$\displaystyle\sum_{k=1}^{m} \dfrac{e_k}{p_k}$ は整数となる．以上より，$10^5$ 以下の $n$ であって，素因数分解したときの素因数の指数がその素因数で割り切れるようなものの総和を求めればよい．\
　$7^7 = 823543 \gt 100000$ であるから，素因数として考えられるのは $2,3,5$ のみであり，
$$n = (2^2)^x(3^3)^y(5^5)^z = 4^x27^y3125^z$$
と表せる．
- $z \geq 1$ のとき  
　$3125^2 \gt 100000$ より，$z=1$ であり，$100000\/3125=32$ なので，$n$ としてあり得る値は，$3125, 4\cdot 3125, 16\cdot 3125, 27 \cdot 3125$  の $4$ 種類で総和は $48 \cdot 3125 = 150000$．
- $z=0$ のとき  
　$4^x27^y \lt 100000$ なる $x,y$ の組み合わせを求めればよい．$27^4=531441 \gt 100000$より，$y \leq 3$
    - $y=0$ のとき：$0\leq x \leq 8$ で総和は $87381$  
    - $y=1$ のとき：$0\leq x \leq 5$ で総和は $36855$
    - $y=2$ のとき：$0\leq x \leq 3$ で総和は $61965$
    - $y=3$ のとき：$0\leq x \leq 1$ で総和は $98415$

以上を合わせて，解答すべき値は $\mathbf{434616}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc235/editorial/11869
　$f$ と素数 $p$ および正整数 $k$ についてまず以下が分かる．

$$f(1) = 0,　f(p^k) = (2k-1)p^{2k} - kp^{2k-1} + 1$$

<details><summary>
$f(p^k) = (2k-1)p^{2k} - kp^{2k-1} + 1$ の証明
<\/summary>
　$k=1$ のときは即座に従う．また，$k=t$ における成立を仮定すると，以下が成立．
$$f(p^{t+1}) = p^{2t}f(p) + p^2f(p^t) + (p^2-1)(p^{2t}-1)=(2(t+1)-1)p^{2(t+1)}-(t+1)p^{2(t+1)-1}+1$$
　よって任意の正整数 $k$ について，$f(p^k) = (2k-1)p^{2k} - kp^{2k-1} + 1$ が成立する．
<\/details>

　ここで，$f(n)-1$ が $n^2$ で割り切れるかどうかを素因数ごとに考察する．素数 $p$，正整数 $k$，および $p$ と互いに素な正整数 $x$ を用いて $n=xp^k$ とすると，$\mathrm{mod}\ p^{2k}$ で以下が成立．

$$f(xp^k)-1 \equiv p^{2k}f(x) + x^2f(p^k) + (x^2-1)(p^{2k}-1)-1 \equiv x^2(-kp^{2k-1}+1)-(x^2-1)+1 \equiv -kp^{2k-1}$$

　よって，$f(xp^k)-1$ が $p^{2k}$ で割り切れるための必要十分条件は，$p\ | \ k$ である．これを $n$ の各素因数について考えることで，$n$ は素因数分解したときの各素因数について，その指数を素因数が割り切るものであるとわかる．以降は公式解説と同様．
素因数ごとに考える
https://onlinemathcontest.com/contests/omc235/editorial/11869/723
　正整数に対して定義され，整数値を取る関数 $f$ が以下を満たします．
- 任意の素数 $p$ に対して，
$$
f(p)=p^2-p+1
$$  
- 任意の正整数 $a,b$ に対して，
$$
f(ab)=b^2f(a)+a^2f(b)+(a^2-1)(b^2-1)
$$

このとき，$10^5$ 以下の正整数 $n$ であって $f(n)-1$ が $n^2$ で割り切れるようなものの総和を答えてください．