**解法1.**　辺 $AB$ 上に $AQ:QB=1:3$ となる点 $Q$ をとると，$BQ=3, PQ=7\/4$ であり，二辺比夾角相等から三角形 $PBQ$ と $ABP$ は相似であるから，$AP=7\sqrt{3}\/6$．よって $AC^2=\dfrac{196}{3}$ であり，求める値は $196+3=\mathbf{199}$．

**解法2.**　Stewart の定理をそのまま適用することができる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc141/editorial/2961
　$AB=4,~BC=7$ なる三角形 $ABC$ において，辺 $AC$ を $1:3$ に内分する点 $P$ が $BP=2\sqrt{3}$ をみたしました．このとき，$AC$ の長さの $2$ 乗は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．