　操作は以下のように言い換えても等価である.

- $a_i=a_{i+1}$ または $b_i=b_{i+1}$ なる $i$ を選択し, $a_i$ と $a_{i+1}$ および $b_i$ と $b_{i+1}$ の値をそれぞれ交換する. 

　このとき $(a_i,b_i)$ は常に連動して動くから, ペアとして考えればよい. ペア $(0,0)$ と $(1,1)$ およびペア $(0,1)$ と $(1,0)$ は交換できないが, それ以外は交換できることに留意すれば, 以下の性質が従う.

- $a_i=b_i$ なるすべてのペアの相対的な順番は不変である.
- $a_i\neq b_i$ なるすべてのペアの相対的な順番は不変である.
- 逆にこれらをみたすバイナリ列の組はすべて得られる.

　よって,  $a_i=b_i$ なる $i$ の個数が分かればよいが. これは中国剰余定理により $26 \times 29 + 47 \times 42 = 2728$ と計算できる. 以上より $M={}\_{5183}{\mathrm{C}}\_{2728}$ であり, 解答すべき値は $5179 \times 2719 = \textbf{14081701}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/editorial/1259
　ここでは**バイナリ列**で各項が $0$ または $1$ であるような有限列を指すものとします．\
　長さが $5183(=71 \times 73)$ である二つのバイナリ列 $a,b$ があり，初めはそれぞれ以下のように定義されます．

- $a$ は「'$0$' が連続して $26$ 個続いたあと '$1$' が連続して $47$ 個続く単位」を $71$ 回繰り返した列である．
- $b$ は「'$0$' が連続して $29$ 個続いたあと '$1$' が連続して $42$ 個続く単位」を $73$ 回繰り返した列である．

　siosio君はこれらのバイナリ列に，以下の $2$ 操作を好きな順序で $0$ 回以上施します．

- $a_i=a_{i+1}$ なる $i$ を選択し，$b_i$ と $b_{i+1}$ の値を交換する．
- $b_i=b_{i+1}$ なる $i$ を選択し，$a_i$ と $a_{i+1}$ の値を交換する．

　このとき，操作後の二つのバイナリ列の組 $(a,b)$ としてあり得るものは $M$ 通りあります．$M$ の最大の素因数を $x$ とし，$x$ 未満の素数であって $M$ の素因数でない最大のものを $y$ とします．$x \times y$ を解答してください．\
　ただし，[**こちら**](https:\/\/www.mathsisfun.com\/numbers\/prime-numbers-to-10k.html)の素数表を用いても構いません．