　曲線 $n=xy$ 上とそれよりも下にある第一象限の格子点の集合 $S$ について考える．$x=k ~ (1\leq k \leq n)$ を固定したとき，$S$ の要素は $\displaystyle\bigg\lfloor\frac{n}{k} \bigg\rfloor$ だけある．したがって，$S$ の要素の数は $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\bigg\lfloor \frac{n}{k} \bigg\rfloor$ に等しい．\
　一方で $S$ の要素の数は $xy=k ~ (1\leq k \leq n)$ を固定することでも数えられる．正整数 $k$ の正の約数の個数を $d_k$ で表せば $S$ の要素の数は $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}d_k$ である．したがって次を得る．
$$a_n=\sum_{k=1}^{n}d_k$$
よって $a_{n+1}=a_n+3$ は $d_{n+1}=3$ であることと同値であり，これはさらに $n+1$ が素数の $2$ 乗であることと同値である．よって求める最大値は $67^2-1=\mathbf{4488}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/editorial/4497
　$$a_{n+1}-a_{n}=\sum_{k=1}^{n+1}\left(\left\lfloor\frac{n+1}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\right)$$
です.   
ここで, 各 $k$ について, 

- $\dfrac{n+1}{k}$ が整数でないとき, $\displaystyle\left\lfloor\frac{n+1}{k}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$
- $\displaystyle\left\lfloor\frac{n+1}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor$ は $0$ または $1$ 

であることが確かめられます.  (厳密に確かめるには $n=kq+r$ となる非負整数 $q,r\ (r\lt k)$ をとるのが良いでしょう. )  

ここから, 
$$\begin{aligned}\left\lfloor\frac{n+1}{k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor=\begin{cases}1&(k\mid (n+1))\\\\0&(k\nmid (n+1))\end{cases}\end{aligned}$$
が分かり, $a_{n+1}-a_{n}=(n+1$ の正の約数の個数$)$ が分かります.
項ごとの差分を見る方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/editorial/4497/447
　数列 $\\{a_n\\}$ を以下で定めます．
$$a_n=\sum_{k=1}^{n}\bigg\lfloor \frac{n}{k} \bigg\rfloor$$
このとき，$a_{n+1}=a_n+3$ となるような $5000$ 以下の最大の正整数 $n$ を解答してください．