　考えるべき領域は，一辺 $2$ の正三角形 $3$ つと，高さ $2$ の正三角形 $1$ つに組み替えられるから，求める面積は
$$ \sqrt{3}\times 3 + \frac{4}{\sqrt{3}}\times 1 = \frac{13}{\sqrt{3}} $$
であり，解答すべき値は $169+3=\textbf{172}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/4795
　長さが $4$ の線分 $A$ に関して，$A$ を長い方の対角線の一つにもつ正六角形と，$A$ を短い方の対角線の一つにもつ正六角形の共通部分の面積を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．