　三角形 $ABP$ と $ABD$，三角形 $ACP$ と $ACE$ がそれぞれ合同であることと，内角または外角の二等分線定理により
$$BD : BF = AD : AF = AE : AF = CE : CF$$
であるから，直線 $BC$ と $DE$ は平行である．また $\angle DAE = \angle BOC$ により（ともに二等辺三角形であることから）三角形 $ADE$ と三角形 $OBC$ は相似である．従って $F$ を中心とする $\dfrac{FB}{FD}$ 倍の相似拡大によって $A$ は $O$ に移る．以上から，$4$ 点 $A, F, O, P$ は同一直線上にあり，さらに
$$AF : AP = AF : AD = OF : OB = OF : OA$$
が成立することが分かる．
- $F$ が $O$ に関して $A$ と反対側にある場合\
　$P$ も $O$ に関して $A$ と反対側にあることがわかる．従って
$$AF : AP = OF : OA = (AF - AP + OP) : (AP - OP)$$
が分かるので，これを解くことで $AF = \dfrac{187}{6}$ を得る．

- $F$ が $O$ に関して $A$ と同じ側にある場合\
　$P$ も $O$ に関して $A$ と同じ側にあることがわかる．従って
$$AF : AP = OF : OA = (AF + AP + OP) : (AP + OP)$$
が分かるので，これを解くことで $AF = \dfrac{391}{6}$ を得る．

　以上より求める総積は $\dfrac{73117}{36}$ であり，解答すべき値は $\textbf{73153}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc164/editorial/4675
　外心を $O$ とする三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとり，直線 $AB,AC$ について $P$ と対称な点をそれぞれ $D,E$ とします．このとき三直線 $DB, CE, AP$ は一点 $F$ で交わり，さらに以下が成立しました：
$$AP=17, \quad OP=6, \quad DF:EF=8:9.$$
このとき，線分 $AF$ の長さとしてありうる値の**総積**は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せます．$a+b$ を解答してください．