　直線 $CO$ は三角形 $ABC$ の中線であり，$CX$ は三角形 $ABC$ の symmedian となる．よって $$BX:XA=BC^2:AC^2=(9^2+3^2) : (1^2+3^2)=9:1$$
より，$X=\bigg(\dfrac{16}{5},0,0\bigg)$ を得る．
三角形 $ABC$ の外接円を $\Omega$ として，$\Omega$ の $A$ における接線と $B$ における接線の交点を $Y$ とおくと，symmedian の性質より $Y$ は直線 $CX$ と $y$ 軸の交点となる．$C$ と $\Gamma$ を含む球が一意に存在するのでこれを $S$ とし，底面を $\Gamma$ とその内部，頂点を $Y$ に持つ円錐 $T$ を考えると，$T$ の側面は $S$ に接している．
  
**補題．**
$CX$ は三角形 $CDE$ の symmedian となる
<details><summary>証明<\/summary>
　$C,D,E$ を通る平面 $\pi$ は $X,Y$ を通る．直線 $YD, YE$ は $S$ に接しており，また $S$ の断面である三角形 $CDE$ の外接円は直線 $YD, YE$ とともに $\pi$ 上にあるため，直線  $YD, YE$ は三角形 $CDE$ の外接円に接している．これは直線  $YC$ が三角形 $CDE$ の symmedian であることを示している．
<\/details>

　いま，$\Gamma$ における方べきの定理により，
$$XD\times XE = XB \times XA = \dfrac{144}{25}$$
である．$XD=n$ とおくと，$n$ は $1$ 以上 $7$ 以下の整数値を取る．補題より直線 $CX$ はsymmedianなので，
$$
CD:CE = \sqrt{XD}:\sqrt{XE} = \sqrt{n}:\sqrt{\dfrac{144}{25n}} = \sqrt{n}:\dfrac{12}{5\sqrt{n}}
$$
となるため，$\dfrac{CD}{CE} = \dfrac{5n}{12}$ を得る．$1 \leq n \leq 7$ より求める値は
$$
\prod_{n=1}^{7} \frac{5n}{12} = \frac{5^8\cdot 7 \cdot 3^2 \cdot 2^4}{2^{14}\cdot 3^7} =  \frac{2734375}{248832}
$$
より，解答すべき値は $2734375 + 248832 = \mathbf{2983207}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce007/editorial/10200
　$O$ を原点とする $xyz$ 座標空間上に点 $A,B,C$ を以下のように取ります．
$$ A=(4,0,0), \quad B=(-4,0,0),\quad C=(5,3,0)$$
$O$ を中心とする $xz$ 平面上の半径 $4$ の円を $\Gamma$ とします．線分 $AB$ 上に $\angle{ACX} = \angle{BCO}$ を満たす点 $X$ を取ります．$X$ を通る $xz$ 平面上の直線 $\ell$ と $\Gamma$ との交点を $D,E$ とすると，$XD$ の長さが整数となりました．$\dfrac{CD}{CE}$ としてありうる値の**総積**は，互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表すことができるため，$p+q$ を解答してください．