$$x+y+z+w=100, \quad x,y,z,w\leq 30$$
をみたす正整数の組 $(x,y,z,w)$ を数えればよい．ここで
$$x^\prime=30-x, \quad y^\prime=30-y, \quad z^\prime=30-z, \quad w^\prime=30-w$$
とすれば，$x^\prime+y^\prime+z^\prime+w^\prime=20$ なる非負整数の組 $(x^\prime,y^\prime,z^\prime,w^\prime)$ を数えればよく（大小関係より今回は負になることはない），これは ${}\_{23}\mathrm{C}\_{3}=\bf{1771}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4960
　$100$ 本を $4$ 人に分ける分け方のうち, (少なくとも)特定の $k$ $(k=0,1,2,3)$ 人が $31$ 本以上のボールペンを受け取る方法は $\binom{103-31k}{3}$ 
通りです.  
$4$ 人の中から $k$ 人を選ぶ方法は $\binom{4}{k}$ 通りであるので, 包除原理を用いれば求める答えは
$$\begin{aligned}
\sum\_{k=0}\^{3}(-1)\^{k}\binom{4}{k}\binom{103-31k}{3}&=\binom{103}{3}-4\binom{72}{3}+6\binom{41}{3}-4\binom{10}{3}\\\\
&=1771
\end{aligned}$$
となります.
包除原理を利用した方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4960/379
　**区別のない** $100$ 本のボールペンを，OMA君・OMB君・OMC君・OMD君の $4$ 人に分けます．どの人も所有数が $0$ 本以上 $30$ 本以下になるように分ける方法は何通りありますか？