　求める総和を $S$ とすれば, 以下の等式が成立することが容易にわかる.
$$\left(\sum_{n=1}^{10}n\right)^3=6S+3\left(\sum_{n=1}^{10}n\right)\left(\sum_{n=1}^{10}n^2\right)-2\sum_{n=1}^{10}n^3$$
これより, $S=\textbf{18150}$ と計算できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/241
　$1$ 以上 $10$ 以下の整数から相異なる $3$ つを選ぶことを考えます. そのような選び方すべてについて, $3$ 数の積の総和を求めてください.