　隣り合う $2$ 式をそれぞれ比較することで以下を得る.
　　$$x_1^2-x_1=x_2^2-x_2=\cdots=x_{15}^2-x_{15}$$
特に, $x_1,x_2,\cdots,x_{15}$ に含まれる数は高々 $2$ 種類である. 方程式 $x^2+14x=1$ は実数解を $2$ つもつから, これが $1$ 種類であるようなものは $2$ 個存在する. 以下ちょうど $2$ 種類である場合を考える.\
　$\alpha$ が $n$ 個, $\beta$ が $15-n$ 個であるとし, 一般性を失わず $n\leq 7$ であるとする. 解と係数の関係より $\alpha+\beta=1$ であることに留意すれば, 与式は以下の一本の方程式に集約されることが容易にわかる.
　　$$\alpha^2+2(n-8)\alpha+(14-n)=0$$
左辺を $\alpha$ の二次式とみなせば, その判別式は $D\/4=(n-5)(n-10)$ であることに留意せよ. 特に $n\leq 5$ である.\
　$n=5$ のとき, $D=0$ より実数 $\alpha$ が一意に存在し, その $x_1,\cdots,x_{15}$ への分配を考えて $\_{15}\mathrm{C}\_{5}$ 通りである.\
　$n=1,2,3,4$ のときも同様に, 実数 $\alpha$ が二つずつ存在することに留意すれば, 全体では以下のように求められる.
　　$$x=2+2\times(\_{15}\mathrm{C}\_{1}+\_{15}\mathrm{C}\_{2}+\_{15}\mathrm{C}\_{3}+\_{15}\mathrm{C}\_{4})+\_{15}\mathrm{C}\_{5}=\textbf{6885}$$
　なお厳密には $\beta=1-\alpha$ が $\alpha$ と同じ関係式をみたさないことを確認する必要があるが, これは容易である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc013/editorial/86
　以下の $15$ 個の式をすべてみたす実数の組 $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{15})$ はいくつありますか？

$$\begin{cases}x^{2}\_{1}+x\_{2}+x\_{3}+\cdots+x\_{15}=1 \\\ x\_{1}+x^{2}\_{2}+x\_{3}+\cdots+x\_{15}=1 \\\ x\_{1}+x\_{2}+x^{2}\_{3}+\cdots+x\_{15}=1 \\\ \quad \vdots \\\ x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}+\cdots+x^{2}\_{15}=1\end{cases}$$