　判別式を $D$ とすれば $D\/4=n^2-6n+57$ であるから, これが平方数となるような $n$ をすべて求めればよい.\
　$D\/4$ を非負整数 $m$ によって $m^2$ とおけば, 条件は
$$(m+n-3)(m-n+3)=48$$
と変形できる. $m+n-3$ および $m-n+3$ の偶奇が一致することに留意して積が $48$ である $2$ 数の組を調べることで, 組 $(m,n)$ としてあり得るものは $(7,2),(7,4),(8,7),(13,14)$ であり, 特に求める総和は $\textbf{27}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/2702
　$x$ の $2$ 次方程式 $x^2+2nx+6n-57=0$ が整数解を持つような正整数 $n$ の総和を求めてください.