　線分の長さを $1$ としてよい．$r$ を $1$ 未満の正の有理数とするとき，左端から $r$ の位置にある点に初めて星印が付くのは，$r$ を既約分数で表したときの分母を $a$ としたとき $a$ 回目の操作である．従って，$f(n)$ は $n$ 以下の正整数で $n$ と互いに素なものの個数に等しく(Eulerのトーシェント関数)，$n$ の素因数分解を $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ とするとき
$$f(n)=(p_1^{a_1}-p_1^{a_1-1})\cdots(p_k^{a_k}-p_k^{a_k-1})$$
が成り立つ．ここで $g(p,a)=p^a-p^{a-1}\bigl(=f(p^a)\bigr)$ とおき，これが $32$ の約数になるような組 $(p,a)$ について考える：

- $g(p,a)=1$：$(p,a)=(2,1)$
- $g(p,a)=2$：$(p,a)=(2,2),(3,1)$
- $g(p,a)=4$：$(p,a)=(2,3),(5,1)$
- $g(p,a)=8$：$(p,a)=(2,4)$
- $g(p,a)=16$：$(p,a)=(2,5),(17,1)$
- $g(p,a)=32$：$(p,a)=(2,6)$

これらから $p$ を重複させず積が $32$ となるように選択すればよく，$f(n)=32$ なる $n$ は以下で与えられる：
$$51,\quad 64,\quad 68,\quad 80,\quad 96,\quad 102,\quad 120$$
特に，これらの総和は $\textbf{581}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc147/editorial/283
　線分 $S$ があり，以下の操作を $n=2,3,4,\ldots$ の順に行います：

- $S$ を $n$ 等分する $n-1$ 個の点それぞれについて，そこに星印が付いていないとき新たに星印を付ける．
- このとき，新たに付けた星印の数を $f(n)$ とおく．

例えば，$f(2)=1$，$f(3)=2$，$f(4)=2$，$f(5)=4$，$f(6)=2$ です．\
　$f(x)=32$ をみたす $2$ 以上の整数 $x$ の総和を求めてください．