$$y=\begin{cases}
x^2+4x+2=(x+2)^2-2&(x\lt -1)\\\\
x^2-4x-6=(x-2)^2-10&(x\geq -1)
\end{cases}$$

に注意すれば $M,m$ は次のように求められる．

$$M=\begin{cases}
s^2+4s+2&(s\lt -3)\\\\
-1&(-3\leq s\lt -1)\\\\
s^2-4s-6&(-1\leq s\lt 1)\\\\
s^2-10&(s\geq 1)\\\\
\end{cases},\quad
m=\begin{cases}
s^2+8s+14&(s\lt -4)\\\\
-2&(-4\leq s\lt -2\sqrt{2})\\\\
s^2-10&(-2\sqrt{2}\leq s\lt 0)\\\\
-10&(0\leq s\lt 2)\\\\
s^2-4s-6&(s\geq 2)\\\\
\end{cases}$$

これより $M-m=4$ となるのは $s=-4,-\sqrt{5},0,2$ のときであり，解答すべき値は $\bf{4502}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc008/editorial/54
　$y=x^2-|4x+4|-2$ とし, $x$ が $s\leq x\leq s+2$ の範囲を動くときの $y$ の最大値, 最小値をそれぞれ $M, m$ とします. $M-m=4$ となるような $s$ は小さい順に $-a, -\sqrt{b}, c, d$ と表せるので, $1000a+100b+10c+d$ を求めてください.

　**こちらの問題の提供者を探しています．心当たりのある方はご連絡ください．**