　$3$ 本の辺を伝うのが最短である. 正二十面体の各頂点は $5$ 本の辺と接続しており,  $1$ 本目の辺を固定したとき $2$ 本目の辺として選べるものは $2$ 本であるから, 求める経路は $\textbf{10}$ 通り存在する.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/1209
　正二十面体において, ある特定の頂点からそれと向かい合う頂点まで, 辺上を伝って最短距離で移動する方法は何通りありますか？ただし, 正二十面体のある頂点 $X$ と向かい合う頂点とは, 正二十面体の中心について $X$ と対称な点です.