　対称性より $AB\ge AC$ として良い．$IJ$ の中点を $N$ とし，$\angle MNH=\theta$ とする．$B,C,I,J$ は $N$ を中心とする円周上にあるので，$BN=CN=6$ である．したがって三平方の定理より $MN=\sqrt{11}$ なので，$MH=1$ と合わせて $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{11}}$ を得る．$AI$ について $C$ と対称な点を $D$ とおくと，$D$ は辺 $AB$ 上にあり，$NB=ND=6, ~ \angle BND=2\theta$ なので，
$$AB-AC=BD=2\cdot 6\cdot \sin\theta=\frac{12}{\sqrt{11}}$$
である．$AB \le AC$ の場合も同様であるため，解答すべき値は $\mathbf{155}$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce009/editorial/12016
以下のように点を定める
- AIとBCの交点をDとする
- IJの中点をNとする

[トリリウムの定理](https:\/\/ja.wikipedia.org\/wiki\/%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86)等から，以下が成り立つ（これらは内心と外接円が出る構図としてOMCでは頻出である）

- AIDNJがこの順に一直線上にある
- BICJが共円で円の中心はN（IJが直径）
- ACNBは共円で弧BCの中点はN

このとき，与えられた数値設定より以下が成り立つ

- BN=IN=CN=JN=6
- BM=CM=5

三平方の定理より

- MN=$\sqrt{11}$

△MHNは∠Hが直角であるような直角三角形であることから，三平方の定理より

- HN=$\sqrt{10}$


△MHNと△DMNは相似であるので
- MD=$\sqrt{\dfrac{11}{10}}$
- ND=$\dfrac{11}{\sqrt{10}}$

このとき，図には対称性があり，BMDCの順にあるか，BDMCの順にあるかの二通りの図が存在する．複合同順で以下が成立する．

- BD=$5\pm \sqrt{\dfrac{11}{10}}$，CD=$5\mp \sqrt{\dfrac{11}{10}}$

方べきの定理より$AD=\dfrac{BD\cdot CD}{ND}$である．よって

- AD=$\dfrac{\left(5+\sqrt{\dfrac{11}{10}}\right)\left(5-\sqrt{\dfrac{11}{10}}\right)}{\dfrac{11}{\sqrt{10}}}=\dfrac{239}{11\sqrt{10}}$
- AN=AD+DN=$\dfrac{36}{11}\sqrt{10}$

AB=$b$，AC=$c$とおく．

角の二等分線に関する公式（[リンクの三番目](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/652)）より，
- $AB \times AC-BD\times DC=AD^2$から$bc-\dfrac{239}{10}=\dfrac{239^2}{1210}$より，$bc=\dfrac{36\cdot 239}{121}$

トレミーの定理より，
- $BC\times AN=AB\times CN+AC\times BN$から$10\cdot \dfrac{36}{11}\sqrt{10}=6(b+c)$より，$(b+c)=\dfrac{60}{11}\sqrt{10}$．よって，$(b+c)^2=\dfrac{36\cdot 1000}{121}$

答えは

- $(b-c)^2=(b+c)^2-4bc=\dfrac{36\cdot 1000}{121}-4\cdot \dfrac{36\cdot 239}{121}=\dfrac{36}{121}\cdot(1000-4\cdot 239)=\dfrac{36}{121}\cdot 44=\dfrac{144}{11}$

よって答えは$144+11=\bm{155}$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce009/editorial/12016/679
　三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$，角 $A$ 内の傍心を $J$ とします．辺 $BC$ の中点を $M$ とし，$M$ から直線 $IJ$ へ下ろした垂線の足を $H$ とすると
$$BC=10, \quad IJ = 12, \quad MH=1$$
が成り立ちました．このとき，$(AB-AC)^2$ の値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．