　$C_{1}$ の中心を $O$，直線 $OP$ と $C_{2}$ の交点を $R (\neq P)$ とする．$C_{1}$ に $C_{2}$ が内接することから線分 $PR$ は $C_{2}$ の直径であり，$\angle PQR=90^{\circ}$ および $OR=OP-PR=10$ が成り立つ．これにより，三角形 $OQR$ と三角形 $OPQ$ は相似比 $\sqrt{OR}:\sqrt{OP}=1:2$ の相似である．したがって $RQ=\dfrac{1}{2}PQ$ であり，三角形 $PQR$ に三平方の定理を適用して $PQ^2+\left(\dfrac{1}{2}PQ \right)^2=900$，すなわち $PQ^2=\mathbf{720}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/8083
　半径 $40$ の円 $C_{1}$ に点 $P$ で内接する半径 $15$ の円 $C_{2}$ があります．さらに $C_{1}$ の直径に $C_{2}$ が 点 $Q$ で接するとき，線分 $PQ$ の長さの $2$ 乗を求めてください．