　相加・相乗平均の関係より，以下のように評価できる．
$$
\frac{n^2}{5}+\frac{200}{n}=\frac{n^2}{5}+\frac{100}{n}+\frac{100}{n}\geq 3 \sqrt[3]{\frac{n^2}{5}\cdot \frac{100}{n}\cdot \frac{100}{n}}=30\sqrt[3]{2}
$$
等号成立条件は $n=\sqrt[3]{500}\approx 7.9$ であり，この値を境に与式は単調に変化することが確認できる（微分を実行してもよい）．したがって，$n=7,8$ での値のみ確かめればよく，$n=8$ での $189\/5 =37.8$ がより小さい．よって解答すべき値は $\textbf{194}$ である． \
　ちなみに， $n=7$ で与式の値は$1343\/35\approx 38.4$である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc138/editorial/3171
　**正整数** $n$ に対して，$\dfrac{n^2}{5}+\dfrac{200}{n}$ のとりうる最小値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．