　$10$ で何回割り切れるかは素因数 $2,5$ の個数で決まる. $2$ は十分多いので, 求める値は素因数 $5$ の個数と等しい. 
$$\begin{aligned}
\prod_{k=1}^{100} k! &= 1! \times 2! \times \ldots \times 100! \\\\
&= 1^{100} \times 2^{99} \times \ldots \times 100^1 \\\\
&= \prod_{n=1}^{100} n^{101 - n}
\end{aligned}$$ 
であるから, $n$ が $5$ の倍数であるとき, 指数の値の総和は 
$$ 96+91+\ldots+1=\sum_{i=1}^{20} (101-5i)=970$$
　同様に, $n$ が $25$ の倍数であるとき, 指数の値の総和は
$$ 76+51+26+1=154$$
　よって求める値は $970+154=\mathbf{1124}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc138/editorial/4106
　$1! \times 2!\times 3!\times \cdots \times99!\times 100!$ は $10$ で最大何回割り切れますか？