　まず，$ 2023 = 7 × 17^2 $ と素因数分解できる．ここで，$ n, n+1, n+2$ の中に $17$ の倍数が $2$ つ以上含まれることはないため，この中に $289$ の倍数が含まれる必要があると分かる．これより，$ 1 \leq n \leq 1000$ と合わせて，$n$ は
$$287, 288, 289, \quad 576, 577, 578, \quad 865, 866, 867 $$
のいずれかである．このうち，$ n(n+1)(n+2)$ が $7$ の倍数にもなる，つまり，$ n, n+1, n+2$ の中に $7$ の倍数が含まれるのは
$$287,\quad 866,\quad 867 $$
のときであると分かる．よって，求める答えは $287 + 866 + 867 =  \mathbf{2020}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7908
　$1$ 以上 $1000$ 以下の整数 $n$ であって，$n(n+1)(n+2)$ が $2023$ の倍数になるものの総和を解答して下さい．ただし，$2023=7\times 17^2$ です．