$$A(AB+C)=\displaystyle{ \sum_{k=C}^{AB}k}=\dfrac{1}{2}(AB+C)(AB-C+1)$$
を整理することで $A(B-2)=C-1$ であり，特に $B\geq 2$ である．ここで $A\geq C$ より
$$A(B-2)\leq A-1 \implies A(3-B)\geq 1.$$
すなわち $B=2$ であり，$C=1$ となる．このとき，
$$\displaystyle \frac{1}{6}A(A+1)(2A+1)= \sum_{k=1}^{A} k^2 = A(2A+1)$$
より $A=5$ であるから，解答すべき値は $5\times(5\times 2+1)=\bm{55}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/editorial/4229
　$A\geq C$ なる正整数の組 $(A, B, C)$ が以下の等式をみたします：
$$ \sum_{k=C}^{A \times B} k = \sum_{k=C}^{A} k^B = A\left(A\times B+C\right). $$ 
このとき，式の値 $A\left(A\times B+C\right)$ としてありうるものの総和を求めて下さい．