　経路によって分割される $2$ 領域のうち, 上側に含まれるマスの個数を $x$ とすれば, $x$ としてあり得る値は
$$x=0,2,5,8,17,20,23,25$$
あとは各 $x$ について, 以下の条件をみたす組 $(a,b,c,d,e)$ の個数 $p(x)$ を求めればよい.

- すべて $0$ 以上 $5$ 以下の整数である.
- $a\leq b\leq c\leq d\leq e$
- $a+b+c+d+e=x$

ここで $a,b,c,d,e$ は各行について上側の領域に属するマスの個数に対応する.\
　$x\leq 5$ のときこれは $x$ の分割数に一致し, $p(0)=1,p(2)=2,p(5)=7$ である. また $x=8$ のとき, $6$ 以上の整数を用いた分割, および $6$ つ以上の正整数を用いた分割を除外することで
$$p(8)=22-2\times(p(0)+p(1)+p(2))=14$$
さらに $p(x)=p(25-x)$ であるから, 以上より求める場合の数は $2\times(1+2+7+14)=\textbf{48}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/editorial/1437
　$5\times 5$ のマス目において, 左下の点から右上の点まで辺上を最短で移動する (すなわち $10$ 本の辺を通る) ような経路のうち, 以下の条件をみたすものはいくつありますか？

- 経路によってマス目が分割されてできた $2$ 領域について, それぞれ含まれるマスの個数の差 (の絶対値) が合成数である. 

　ただし, マス目が $0$ マスおよび $25$ マスへ分割される場合も,「$2$ 領域に分割される」とみなすものとします.\
　ここで, 合成数とは $2$ 以上の素数でない整数を指します.