　半直線 $HM, MH$ と円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, E$ とすると，$D$ は $H$ を $M$ について対称移動させた点であり，また $AD$ は円 $ABC$ の直径をなす．いま，$AH$ と $BC$ の交点を $F$ とすると $\angle AEM=\angle AFM=90^{\circ}$ より $A, E, F, M$ は共円であり，ここで
$$3EM=EM×HM=EM×DM=\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2=16$$
より $EM=\dfrac{16}{3}$ が成り立ち，さらに
$$\displaystyle AF=AH+HF\geq 2\sqrt{AH\cdot HF}=2\sqrt{EH×HM}=2\sqrt{\dfrac{7}{3}×3}=2\sqrt 7$$
だから，$$|ABC|=\dfrac{AF×BC}{2}=4AF\geq 8\sqrt 7$$
が成り立ち，また $|ABC|=8\sqrt 7$ かつ題意を満たす三角形 $ABC$ は確かに存在するから，解答すべき値は $\textbf{448}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/9213
　鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とすると，
$$ HM=3, \quad BC=8 $$ 
が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値の $2$ 乗を求めてください．