　$B_{i+2}B_{i+3}$ の中点を $M_{i}$ とすれば $A_{i}M_{i}$ はすべて一点 $X$ で交わり, $XA_{i}:XM_{i}=4:1$ である. また, 
　　$$A_{1}C_{1}+A_{2}C_{2}:A_{3}C_{3}+A_{4}C_{4}+A_{5}C_{5}=7:18$$
より以下が成立することに留意する.
　　$$\triangle XB_{3}B_{4}+\triangle XB_{4}B_{5}:\triangle XB_{5}B_{1}+\triangle XB_{1}B_{2}+\triangle XB_{2}B_{3}=7:18$$
　ここで, 正五角形 $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$ の面積を $B$ とすれば四角形 $XB_{3}B_{4}B_{5}$ の面積は $\displaystyle\frac{7}{25}B$ であり, 四角形 $XM_{1}B_{4}M_{2}$ の面積はその半分の $\displaystyle\frac{7}{50}B$ である. したがって四角形 $XA_{1}B_{4}A_{2}$ の面積は $\displaystyle\frac{14}{25}B$ である. また, $\triangle B_{4}M_{1}M_{2}=\displaystyle\frac{1}{5}\left(B-\frac{1}{16}\right)$ より$\triangle XM_{1}M_{2}=\displaystyle\frac{1}{80}-\frac{3}{50}B$ であり, これより$\triangle XA_{1}A_{2}=\displaystyle\frac{1}{5}-\frac{24}{25}B$ である.\
　以上より, $B=\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{8}$ に留意すれば
　　$$\triangle A_{1}A_{2}B_{4}=\displaystyle{\frac{1}{5}-\frac{24}{25}B-\displaystyle\frac{14}{25}B=\frac{1}{5}-\frac{38}{25}B=\displaystyle\frac{19\sqrt{5}-37}{100}}$$
となるので, 求めるべき値は $19+5+37+100=\textbf{161}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc020/editorial/128
　面積が $1$ の正五角形 $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ の内部に正五角形 $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$ があり, $i=1,2,3,4,5$ について辺 $A_{i}A_{i+1}$ と $B_{i}B_{i+1}$ は平行です. また, $A_{1}$ は直線 $B_{2}B_{5}$ に関して $B_{1}$ の反対側にあるものとします.\
　$i=1,2,3,4,5$ について直線 $A_{i}A_{i+1}$ と直線 $B_{i+2}B_{i+3}$ の交点を $C_{i}$ とすれば, 以下が成り立ちました. 
$$A_{1}A_{2}:B_{1}B_{3}=2:1,\ A_{1}C_{1}+A_{2}C_{2}:A_{3}C_{3}+A_{4}C_{4}+A_{5}C_{5}=7:18$$
　このとき三角形 $A_{1}A_{2}B_{4}$ の面積は, 最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,d$ と, $1$ より大きな平方数で割りきれない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}-c}{d}$ と表されるので, $a+b+c+d$ を解答してください.\
　なお, ここで任意の整数 $i$ について $A_{i+5}=A_{i}$ などとします.