　$AB$ に関して $H$ と対称な点を $H^\prime$ とすると,
　　$$\angle ACB+\angle AH^\prime B=\angle ACB+\angle AHB=180^\circ$$
であるから, $H^\prime$ は $\triangle ABC$ の外接円上にある. このとき
　　$$AH^\prime=AH=AO=OH^\prime$$
より, 特に $\triangle AH^\prime O$ は正三角形であるから, 
　　$$\angle H^\prime AB=\angle HAB=90^\circ-\angle ABC=\angle CAO $$
より $\angle BAC=\angle H^\prime AO=60^\circ$となる. さらに
　　$$\angle BHC=180^\circ-\angle BAC=120^\circ=2\angle BAC=\angle BOC$$
より $4$ 点 $B, C, O, H$ は同一円周上にある. ここで $\triangle ABC$ は鋭角三角形であるから, 円周上で $B, C, O, H$ か $B, C, H, O$ の順で反時計回りに並び, トレミーの定理より以下のいずれかが成り立つ.
　　$$OH\times BC+BH\times CO=CH\times BO,\ \ \ OH\times BC+CH\times BO=BH\times CO $$
　いま正弦定理から
　　$$AO=BO=CO=\dfrac{BC}{2\sin\angle BAC}=\dfrac{BC}{\sqrt{3}}$$
であるから, これを代入すれば以下より $|BH-CH|=12\sqrt{3}$ を得る.
　　$$|BH-CH|\times\dfrac{BC}{\sqrt{3}}=OH\times BC$$
　ここで $BH=5\lt 12\sqrt{3}$ より $CH=12\sqrt{3}+5$ であるから, 求める値は $12^2\times 3+5=\textbf{437}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc019/editorial/121
　鋭角三角形 $ABC$ について，その垂心を $H$ , 外心を $O$ とします．
$$AH=AO, \quad OH=12, \quad BH=5$$
であるとき，線分 $CH$ の長さは整数 $a,b,c$ を用いて $a\sqrt{b}+c$ と表されます．$a^2b+c$ を解答してください．