　$f(x)$ の $2$ 次の係数を $a$，$f(x)=0$ の $2$ 解を $\alpha\leq \beta$ とすれば，以下が成り立つ：
$$(\alpha +1)(\beta +1)=\frac{f(-1)}{a}=\frac{N}{a}$$
これより $a$ は $N$ の正の約数である必要があり, このとき, $\alpha +1,\beta +1$ は積が $N\/a$ であるような $N\/a$ の正の約数として定めれば条件をみたす $f(x)$ が得られる. $f(x)$ はこの $(a,\alpha,\beta)$ の組み合わせから一意的に定まる.\
　いま, $50$ 以下の素数が $15$ 個であることに注意すれば, $a$ が $k$ 個 ($k=0,1,\cdots ,14$) の素因数をもつとき, $a$ としてあり得る値は ${}\_{15}\mathrm{C}\_{k}$ 通りあり, このとき $N\/a$ の約数は $2^{15-k}$ 個存在するから, 組 $\alpha\leq\beta$ は $2^{15-k-1}$ 通りある. また, $k=15$ のときは $f(x)$ としてあり得るものは $1$ 通りであるから，解答すべき値は
$$1+\sum_{k=0}^{14} {}\_{15}\mathrm{C}\_{k}\times 2^{15-k-1}=1+\frac{(1+2)^{15}-1}{2}=\textbf{7174454}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc166/editorial/2432
　整数 $N$ を $50$ 以下の素数 $15$ 個の総積とします．\
　このとき，以下をみたす整数係数 $2$ 次多項式 $f(x)$ はいくつありますか？

- $f(-1)=N$ である．
- $f(x)=0$ の複素数解はすべて非負整数である．