$$
\frac{2^{3p+2q}-2^{p+2q}-2^{3p}+2^p}{pq} = \frac{2^p(4^p-1)(4^q-1)}{pq}
$$
と変形できる．  
- $p=2$ のとき  
$q=2,3$ は条件を満たす．$q\geq 5$ のとき，フェルマーの小定理により，$4^q\equiv 4 \pmod q$ なので，$4^q-1$ は $q$ で割り切れない．したがって，条件を満たすためには $4^2-1=15$ を $q$ が割り切ることが必要十分で，適するのは $q=5$ のみ．    
- $p=3$ のとき  
$q=3$ は条件を満たす． $q \geq 5$ では前述の議論と同様に，$4^3-1=63$ を $q$ が割り切ることが必要十分． よって $q=7$ のみが適する．  
- $p\geq 5$ のとき  
$p$ が $4^q-1$ を割り切ることが必要である．したがって，$4^k \equiv 1 \pmod p$ なる最小の正の整数 $k$ をとると，$k$ は $q$ を割り切り，フェルマーの小定理から $p-1$ も割り切る．一方で $q$ は $p-1$ より大きな素数であることから $p-1$ と $q$ は互いに素であるので，$k=1$ が必要となるが，これは不適．したがって，適する $p,q$ は存在しない．  

以上より，求める値は
$$4 + 6 + 10 + 9 + 21 = \mathbf{50}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/editorial/10342
　$p\leq q$ なる素数の組 $(p,q)$であって，
$$
\frac{2^{3p+2q}-2^{p+2q}-2^{3p}+2^p}{pq}
$$
が整数になるようなものすべてについて，$pq$ の総和を求めてください．