　$AB=c,BC=p,CA=b$ とおく．$\angle{B}$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $D$ とおく．$\triangle{ABC}\sim\triangle{ADB}$ より，$AD=\dfrac{c^2}{b},BD=\dfrac{cp}{b}$ である．ここで，$BD=CD$ より，辺 $AC$ の長さについて，
$$b=AD+CD=\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{cp}{b}$$
なので，これを整理すると $b^2=c(p+c)$ を得る．これを次のように変形する．
$$b^2=c(p+c)\iff b^2=\Big(c+\dfrac12p\Big)^2-\dfrac{p^2}{4}\iff 4b^2=(2c+p)^2-p^2\iff p^2=(2c+2b+p)(2c-2b+p)$$
　大小関係より，$2c+2b+p=p^2,2c-2b+p=1$ となる他なく，これを $b,c$ について解くと以下のようになる．
$$b=\dfrac{p^2-1}{4},c=\dfrac{(p-1)^2}{4}$$
　$3$ 以上の素数に対し，$b,c$ は常に正整数となることが分かり，三角形の成立条件 $|b-c|\lt p\lt b+c$ を考えると，$p\geq5$ なる素数は条件を満たすことが確認できる．また，周長
$$b+p+c=\dfrac{p(p+1)}{2}$$
は $p\geq 5$ で単調増加するので，結局，素数 $5$ から数えて $10$ 番目に小さい素数である $37$ を上の式に代入したものを求めれば良い．解答すべき値は $\bf 703$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editorial/10482
　$AB=c, BC=p, CA=b$ とおく．正弦定理を用いて
$$\sin \theta : \sin 2 \theta : \sin (180^{\circ}-3\theta)=c:b:p$$
　さらに適当な変形をして
$$1:2\cos \theta:(4\cos^2\theta-1)=c:b:p$$
となる．ここで $2\cos\theta=\dfrac{y}{x}$ （既約分数）とおくと，次のように変形できる．
$$x^2:xy:(y^2-x^2)=c:b:p$$
　この式において，左辺の $3$ 数はいずれも整数である．さらに $x,y$ が互いに素であることを用いれば，$x^2,y^2$ も互いに素であり，$x^2, y^2-x^2$ も互いに素である．このことから，$y^2-x^2=p\ \mathrm{or} \ 1$を得る．$ x \neq 0$ より $y^2-x^2=1$ の整数解は存在せず，結局 $y^2-x^2=p$ である．\
　$y^2-x^2=(y+x)(y-x)=p$ より，$y+x=p, y-x=1$ である．\
　従って $b,c,p$ を $x$ を用いて表すと，次のようになる：
$$b=x(x+1), c=x^2, p=2x+1$$
三角比を用いる方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editorial/10482/503
半直線 $CB$ 上に点 $P$ を，$\angle{ACP}=\angle{APC}$ となるようにとる．また，$AB = c , AC = b , BC = p$ とする．\
このとき，簡単な角度計算により，三角形 $APC$ と $BPA$ が相似であることがわかる．よって，以下の式が得られる:

$$c(c + p) = b^2$$

後は，公式解説の通りである．
幾何の部分の別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editorial/10482/506
　$\sin B=\sin 2C=2\sin C\cos C$ および正弦定理・余弦定理から $$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab}=2\cos C=\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{b}{c}$$ である．両辺を $abc$ 倍して整理すると $(a-c)(b^2-ac-c^2)=0$ である．

　$a=c$ のとき，三角形 $ABC$ は直角二等辺三角形になり，全ての辺の長さが整数にはなり得ず不適．

　$b^2=c(a+c)$ でかつ $c$ が $a$ の倍数のとき，正整数 $d$ を用いて $c=ad$ とおくと，$ad(a+ad)=a^2d(d+1)$ が平方数だから $d(d+1)$ も平方数になる必要があるが，$d^2\lt d(d+1)\lt (d+1)^2$ より不適．

　$b^2=c(a+c)$ でかつ $c$ が $a$ の倍数でないとき，$a$ は素数だから $c, a+c$ は互いに素なので，これらの積が平方数になるにはこれらがともに平方数である必要がある．したがって $c=m^2, a+c=n^2$ とおけて，$a=(n+m)(n-m)$ である．$a$ が素数なので $n-m=1$ で，$c=\left(\dfrac{a-1}{2}\right)^2, b=\dfrac{a^2-1}{4}$ である．以下，本解と同様である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editorial/10482/508
　三角形 $ABC$ があり，$3$ 辺の長さはいずれも正整数値で，特に $BC$ の長さは素数でした．さらに，$\angle{ABC}=2\angle{ACB}$ が成立しています．三角形 $ABC$ の周長としてありうるもののうち $10$ 番目に小さい値を解答してください．