　連立方程式は以下のように書き換えられる．
$$
\begin{cases}
x+2y+4z=12\\\\
x\cdot2y+2y\cdot4z+4z\cdot x=44\\\\
x\cdot2y\cdot4z=48
\end{cases}
$$
よって，$x,2y,4z$ は $t$ の方程式 
$$t^3-12t^2+44t-48=0$$
の $3$ 解で，これを解いて $\lbrace x,2y,4z\rbrace=\lbrace2,4,6\rbrace$ を得る．ゆえに，これらの並べ替えを考えて，求める値は 
$$2!\cdot(2^3+4^3+6^3)\cdot\left(1+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{4^3}\right)=\mathbf{657}$$ 
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/editorial/10711
　次の連立方程式を満たす実数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$x^3+y^3+z^3$ の総和を解答してください．
$$
\begin{cases}
x+2y+4z=12\\\\
xy+4yz+2zx=22\\\\
xyz=6
\end{cases}
$$