　各文字を使う回数の組み合わせは $\lbrace 3,1,1,1 \rbrace$ または $\lbrace 2,2,1,1 \rbrace$ のいずれかである. $\lbrace 3,1,1,1 \rbrace$ のとき, $3$ 回使う文字の選択が $4$ 通り, その配置が $4$ 通り, 残りの文字の配置が $3!$ 通りであるから, 全体では $96$ 通りである.\
　 $\lbrace 2,2,1,1 \rbrace$ のときを考える. 同じ文字が隣り合わない条件を無視すれば, $2$ 回使う文字の選択が ${}_4 \mathrm{ C }\_2$ 通り, それらの配置が ${}_6 \mathrm{ C }\_2\times{}_4 \mathrm{ C }\_2$ 通り, 残りの文字の配置が $2$ 通りであるから, 全体では $1080$ 通りである.\
　同じ文字が隣り合うものを除く. $2$ 回使う文字の選択と残りの文字の配置を固定する. このとき, 少なくとも $1$ 種類が隣り合うものは, 隣り合う文字を固定すれば $5\times{}_4 \mathrm{ C }\_2$ 通りである. また $2$ 種類がともに隣り合うものは $12$ 通りある.\
　以上より, 求めるべき場合の数は $96+1080-{}_4 \mathrm{ C }\_2\times 2\times(2\times 5\times {}_4 \mathrm{ C }\_2-12)=\textbf{600}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/editorial/3042
　比較的簡単な場合分けで済む方法です.
- $4$ 文字の中から自由に選ぶ場合 $4\times3^5=972$ 通り
- ある固定された $3$ 文字の中から自由に選ぶ場合 $3\times2^5=96$ 通り
- ある固定された $2$ 文字の中から自由に選ぶ場合 $2\times1^5=2$ 通り

　使う文字の選びかたは重複を全部無視するとそれぞれ ${}_4\text{C} {}_4, {}_4\text{C} {}_3, {}_4\text{C} {}_2$ 通りであるので, 求めるべき総数は包除原理から以下のように求まります.
$$972\times{}_4\text{C} {}_4-96\times{}_4\text{C} {}_3+2\times{}_4\text{C} {}_2=\mathbf{600}$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/editorial/3042/66
　以下の条件をみたす文字列は何種類ありますか？

- $6$ 文字からなり, 各文字は $A,C,G,N$ のいずれかである．
- $A,C,G,N$ のそれぞれ少なくとも一つずつ含む．
- 同じ文字が左右に隣り合うことはない．