　任意の隣り合う $2$ マスについて，$A$ 君はその間の辺をちょうど $1$ 方向にしか横切れず，全ての辺は一方通行である．逆に $28$ 本の辺のどのような一方通行のパターンに対してもそれに対応する"開"・"閉"の初期状態が存在するため，$A$ 君が移動するごとに全ての辺の"開"・"閉"状態が入れ替わることは全ての辺が一方通行であることと同値である．したがって，$A$ 君が成功する経路が存在する一方通行のパターンを求めれば良い．\
　一番左の列の上下 $2$ マスについては，上から下へ移動，下から上へ移動のどちらか $2$ 通りであり，左から $2$ 列目〜右から $2$ 列目の $8$ 列について，
- 上下のマス間の移動がなく一方通行が下から上向き
- 上下のマス間の移動がなく一方通行が上から下向き
- 上下のマス間の移動がある

のいずれかをそれぞれ定めることで成功する経路を持つ一方通行のパターンが網羅されるので，求めるパターンの数は $2×3^8=$ $\mathbf {13122}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/7421
　上下に $2$ マス，左右に $10$ マス並んだ計 $20$ 個のマスがあり，隣り合うマスが共有する $28$ 本の全ての辺について"開"または"閉"のどちらかの状態が与えられています．\
　いま、一番左下のマスに $A$ 君がおり，次の手順を繰り返して移動していきます．

- $A$ 君がいるマスの辺の中で"開"状態の辺を共有する隣のマスを一つ選び，そこに移動する．
- $A$ 君が $1$ マス移動するごとに全ての辺の"開"状態と"閉"状態が入れ替わる．

　この手順をうまく繰り返し，$A$ 君が一番左下のマスから一番右上のマスを通って一番左下のマスに戻ることが出来れば**成功**，どのように手順を繰り返しても $A$ 君が一番左下のマスから一番右上のマスを通って一番左下のマスに戻ることができない場合は**失敗**となります．\
　この時，$A$ 君が成功するような"開"・"閉"の初期状態としてあり得るパターンは何組あるか求めてください．なお，$A$ 君は同じマスを何度通っても良く，通らないマスがあっても良いものとします．