　$AD_{i},BE_{j},CF_{k}$ が一点で交わる条件は, Cevaの定理より
$$\begin{aligned}
\frac{BD_{i}}{D_{i}C}\times\frac{CE_{j}}{E_{j}A}\times\frac{AF_{k}}{F_{k}B}=1 &\iff \frac{ijk}{(2p-i)(2p-j)(2p-k)}=1 \\\\
&\iff p[4p^2-2(i+j+k)p+(ij+jk+ki)]=ijk
\end{aligned}$$
これより $i,j,k$ の少なくとも一つは $p$ である. 例えば $k=p$ であるとき, 上式を整理して $i+j=2p$ を得るから, 組 $(p,p,p)$ の重複に留意すれば $1033=3\times(2p-1)-2$ を得る. よって $p=\textbf{173}$ であり, これは適する.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc027/editorial/6
　$p$ を素数とします. 三角形 $ABC$ において, 辺 $BC,CA,AB$ を $i:2p-i$ に内分する点をそれぞれ $D_{i},E_{i},F_{i}\ (i=1,\cdots,2p-1)$ としたとき, $3$ 直線 $AD_{i},BE_{j},CF_{k}$ が一点で交わるような組 $(i,j,k)$ が $1033$ 個存在しました. $p$ としてあり得る値すべてについて, それらの総和を求めてください.