　線分 $BE$ の中点を $K$ とし，$N$ に関して $K$ と対称な点を $L$ とする．四角形 $KBDL$ と $KBCM$ は平行四辺形なので，三角形 $KML$ と三角形 $BCD$ は合同であり，特に $\angle KML = 90^\circ$．これと $N$ が線分 $KL$ の中点であることから，$N$ は三角形 $KLM$ の外心であり，特に $MN = NK$．以上より，
$$MN^2 = NK^2 = \bigg(\frac{AD}{2}\bigg)^2 + \bigg(\frac{AB}{2}\bigg)^2 = \textbf{69593}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3610
　四角形 $ABCD$ の外心を $O$ とする．三角形 $DBE$ で中点連結定理より，$\overrightarrow{NO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{MC}$ となるので，四角形 $OCMN$ は平行四辺形．  
よって，$NM=OC=\dfrac{BD}{2}$ となり，$MN^2=\dfrac{{AB}^2+{AD}^2}{4}=\textbf{69593}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3610/302
　四角形 $ABCD$ が $\angle A = \angle C = 90^\circ$ をみたしています．辺 $AB$ 上（端点を除く）に点 $E$ があり，四角形 $EBCF$ が平行四辺形となるような点 $F$ をとります．線分 $CF, DE$ の中点をそれぞれ $M, N$ としたとき，
$$AD = 314, \quad AE = 159, \quad BE = 265, \quad BC = 358$$
が成り立ちました．線分 $MN$ の長さの $2$ 乗を求めてください．