　与式をみたす $f(x),g(x)$ を一つ見つけることで，すべての解を表現できる．これはEuclidの互除法の結果を利用して一次不定方程式の解を得るのとまったく同じである．ここでは，例えば
$$f_0(x)=2x^2-x+4,\quad g_0(x)=-2x^3+x^2-2x-1$$
とすれば
$$(x^4+x+1)f_0(x)+(x^3+x+1)g_0(x)=3$$
であるから，これを用いれば
$$(x^4+x+1)(f(x)-f_0(x))+(x^3+x+1)(g(x)-g_0(x))=0.$$
$x^4+x+1$ と $x^3+x+1$ は共通の根を持たないので，多項式 $P(x)$ によって
$$\begin{cases}
f(x)-f_0(x)=(x^3+x+1)P(x)\\\\
g(x)-g_0(x)=-(x^4+x+1)P(x)
\end{cases}$$
と表せる．ここで，$f(x)$ は三次式であるから $P(x)$ は $0$ でない定数である．これを $a$ とすると，
$$\begin{cases}
f(-1)-7=-a\\\\
g(-1)-4=-a
\end{cases}$$
これより $57=f(-1)+g(-1)=-2a+11$ であり，$a=-23$ を得る．したがって，
$$g(2)-f(2)=-30a+g_0(2)-f_0(2)=-30\times (-23)-17-10={\bf 663}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc135/editorial/4115
　実数係数多項式 $f(x),g(x)$ が，$f(-1)+g(-1)=57$ および
$$(x^4+x+1)f(x)+(x^3+x+1)g(x)=3$$
をみたします．さらに $f(x)$ が $3$ 次式のとき，$g(2)-f(2)$ を求めてください．