　$d_n=\dfrac{2n+1}{5n}\pi$ とおき，$m$ の値に応じて場合分けを行う．数列 $\\{d_n\\}$ は狭義単調減少であることに気を付ける．

(ア) $m \geq 6$ のとき，大きさが $\dfrac{m-2}{m}\pi$ 以上である内角が必ず存在するが，これは $d_1$ より大きいため不適である．

(イ) $m=5$ のとき，$md_1 = (m-2)\pi$ であるから，すべての内角の大きさが $d_1$ であるほかない.

(ウ) $m=4$ のとき，$md_2 = (m-2)\pi$ であるから，すべての内角の大きさが $d_2$ であるか，ある内角の大きさが $d_1$ である．ある内角の大きさが $d_1$ であるとき，他の三つの角の大きさを $d_a, d_b, d_c$ $(a \le b \le c)$ とする．$a = 1$ とすると，$d_b, d_c \gt \dfrac{2}{5}\pi$ であるから，四角形の内角の大きさは
$$(m-2)\pi = d_1 + d_1 + d_b + d_c \gt \frac{3}{5}\pi + \frac{3}{5}\pi + \frac{2}{5}\pi + \frac{2}{5}\pi = (m-2)\pi$$
となり矛盾する．$a = 3$ のとき，
$$(m-2)\pi = d_1 + d_3 + d_b + d_c \ge d_1 + 3d_3 = (m-2)\pi$$
であるから，$b  = c = 3$ であるほかない．$a = 2$ のとき，$b = 2$ ならば $d_c \gt \dfrac{2}{5}\pi$ に矛盾し，$b = 3, 4$ のときはそれぞれ $c$ が $6,4$ となり，$b \ge 5$ のときは $b \le c$ に矛盾する．\
　以上をまとめると，$m=4$ の場合の内角の大きさの組み合わせとしてあり得るものは，以下がすべてである．
$$(d_1,d_2,d_3,d_6),(d_1,d_2,d_4,d_4),(d_1,d_3,d_3,d_3),(d_2,d_2,d_2,d_2)$$

(エ) $m=3$ のとき，常に $d_n\gt \dfrac{2}{5}\pi$ であることから不適である．

　したがって，$(\alpha+\beta)m$ としてあり得る値は $4\pi,\dfrac{62}{15}\pi,\dfrac{21}{5}\pi,\dfrac{64}{15}\pi,6\pi$ で，解答すべき値は $\textbf{118}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/editorial/260
　凸多角形 $S$ は以下の条件をみたしました：

- それぞれの内角について，ある正整数 $n$ が存在して大きさが（弧度法で）$\dfrac{2n+1}{5n}\pi$ と表される．

このとき，$S$ の内角の大きさのうち最大のもの $\alpha$ および最小のもの $\beta$（いずれも弧度法），そして $S$ の頂点の個数 $m$ について，$(\alpha+\beta)m$ としてあり得る値をすべて求めてください．ただし，それらの総和は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}\pi$ と表せるので，$p+q$ を解答してください．