　$N=2^{30}-1$ とおく. 解を $x=-a, -a-1, \cdots, -a-N+1$ とすれば, 因数定理より
$$P(2022)=(2022+a)(2022+a+1)\cdots(2022+a+N-1)=\frac{(2022+a+N-1)!}{(2022+a-1)!}$$
$n$ を $2$ 進数表記した時の各位の和を $\mathrm{popcount}(n)$ とすれば, これが $2$ で割れる最大の回数は
$$N+\mathrm{popcount}(2022+a-1)-\mathrm{popcount}(2022+a+N-1)$$
であり, $2022+a-1=m$ とおき直せば, 結局
$$\mathrm{popcount}(m)-\mathrm{popcount}(m+N)$$
を最小化すればよい. これは明らかに $m$ が $2^{30}$ の倍数となるときであり, $m$ と $P(x)$ は一対一に対応するから,
$$2022 \leq m \leq 2022+2^{40}-N$$
に留意すれば, 求める個数は $\bf{1023}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/2938
　以下をみたす整数係数 $2^{30}-1$ 次多項式 $P(x)$ のうち，$P(2022)$ が $2$ で割れる最大の回数が最小値を取るものはいくつありますか？ただし，そうしたものは有限個です．

- 最高次の係数は $1$ である.
- $P(x)=0$ の複素数解は，すべて $-2^{40}$ 以上の実数であり，かつ $2^{30}-1$ 個の連続する負の整数である．