　操作を繰り返すことで全てのコインを表向きにできるための必要十分条件は，左から奇数番目にあるコインのうち裏向きのものの枚数と左から偶数番目にあるコインのうち裏向きのものの枚数が一致することである．そのような並べ方は，左から奇数番目にあるコインを全て裏返すことで裏向きのコインが $1010$ 枚である並べ方に一対一で対応付けられるため $m={}\_{2020}\mathrm{C}\_{1010}$ であり，特に解答すべき値は $\bf{2017}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc007/editorial/50
　表裏の区別がつく $2020$ 枚のコインが横一列に並んでいます. 高木君は以下の操作を何回でも行うことができます. $0$ 回でも構いません.

- 操作：隣接する $2$ 枚のコインが, 共に表を向いている, または共に裏を向いているとき, それらを同時に裏返す.

　高木君が以上の操作を何回か繰り返したあと, コインは全て表を向きました. 最初の $2020$ 枚のコインの向きとしてありえる組み合わせは $m$ 通りです. $m$ を割り切る最大の素数を答えてください.