　$f(x)^2$ の $x^{100}$ の係数は，
$$\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{100} \dfrac{1}{i!(100-i)!}&=\dfrac{1}{100!}\sum_{i=0}^{100} \dfrac{100!}{i!(100-i)!}\\\\
&=\dfrac{1}{100!}\sum_{i=0}^{100}{}\_{100}\mathrm{C}\_{i}
\end{aligned}$$
となるが，ここで二項定理より
$$(1+x)^{100}=\sum_{i=0}^{100}{}\_{100}\mathrm{C}\_{i} ~ x^i$$
なので，ここに $x=1$ を代入すれば
$$ 2^{100} = \sum_{i=0}^{100}{}\_{100}\mathrm{C}\_{i} $$
を得る．したがって $f(x)^2$ の $x^{100}$ の係数は $\dfrac{2^{100}}{100!}$  となり，Legendre の定理より $100!$ が $2$ で割り切れる回数は $97$ 回であるから，
$$a=2^{100-97}=2^3=\mathbf{8}$$
である．

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**別解．**\
　$f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty \dfrac{x^i}{i!}$ としても答えは変わらない．これは $e^x$ の無限級数展開であるから，
$$f(x)^2=e^{2x}=\sum_{i=0}^\infty \dfrac{1}{i!}(2x)^i=\sum_{i=0}^\infty \dfrac{2^i}{i!}x^i$$
より $x^{100}$ の係数は $\dfrac{2^{100}}{100!}$  となる．以下同様．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/3398
　$x$ に関する $100$ 次多項式 $f(x)$ を
$$f(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^{100}}{100!}$$
により定めます．このとき，$f(x)^2$ を展開したときの $x^{100}$ の係数は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a$ を解答してください．