$$0\leq a_{1,1} \lt a_{2,1} \lt \cdots \lt a_{i,1} \lt a_{i,2} \lt \cdots \lt a_{i,j}$$ 
より, $i+j-2 \leq a_{i,j}$ である．また，
$$13 \ge a_{7,7} \gt a_{6,7} \gt \cdots \gt a_{i,7} \gt a_{i,6} \gt \cdots \gt a_{i,j}$$
より，$a_{i,j} \leq i+j-1$ である．よって，$b_{i,j}=a_{i,j}-(i+j-2)$ とすると，$b_{i,j}$ は $0$ または $1$ である．ここで，$b_{i,j} = 1$ なる $(i,j)$ に対し上から $i$ 行目，左から $j$ 列目のマスを黒く塗り，それ以外のマスを白く塗ることを考える．このとき，黒のマスの一つ右のマス，一つ下のマスは必ず黒のマスであるから，黒のマスと白のマスの境界線は，マス目の左下の頂点から右上の頂点へマスの境界を通っていく最短経路となる．逆に，黒のマスと白のマスのマス目の境界線がこのようになっているとき，明らかに一つ目の条件を満たす．従って，一つ目の条件を満たす数の書き方は ${}\_{14}\mathrm{C}\_{7}$ 通りである．\
　一つ目の条件を満たしている書き込み方に対し，マス目を $180^\circ$ 回転させた後，各マスについて書かれている数が $k$ なら $13 - k$ に書き換えるという操作を行うと，操作後に得られる書き方も１つ目の条件を満たし，操作前後でマス目に書かれている数の総和の偶奇は異なる．従って，一つ目の条件を満たす書き込み方のうちちょうど半分が二つ目の条件も満たすので，求める答えは $\dfrac{{}\_{14}\mathrm{C}\_{7}}{2} = \bf{1716}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5563
　形式的べき級数を用いた解法です．


　公式解説と同様にマス目を白黒に塗り分けるとき， $c_i=（i+1行目にある黒マスの数）-（i行目にある黒マスの数）$ とする．（ただし $c_0=（1行目にある黒マスの数）,c_7=7-（7行目にある黒マスの数）$ とする） \
　公式解説より， $c_0,…,c_7$ は非負整数であり，総和は $7$ である．黒マスの個数は $7c_0+6c_1+…+c_6$ 個で，条件よりこれは奇数． \
　また，非負整数の組 $(c_0,c_1,…,c_7)$ と各マスの数の割り当て方は一対一対応していることから，上記を満たす組 $(c_0,c_1,…,c_7)$ の個数を数えればよい． \
　ここで， $7c_0+6c_1+…+c_6$ が奇数という条件は $c_0+c_2+c_4+c_6$ が奇数であることに等しい． \
　したがって， $f(x,y)=\left(\dfrac{1}{1-xy}\right)^4\left(\dfrac{1}{1-x}\right)^4$ とすると，求めるべき値は， $f(x,y)$ の $x$ の次数が $7$ で $y$ の次数が奇数である項の係数の総和である．これは以下のように求められる．

$$\begin{aligned}
[x^7]\dfrac{1}{2}(f(x,1)-f(x,-1))&=[x^7]\dfrac{1}{2}\left\lbrace\dfrac{1}{(1-x)^8}-\dfrac{1}{(1-x)^4(1+x)^4}\right\rbrace \\\\
&=\dfrac{1}{2}(_{14}\mathrm{C}_7-0) \\\\
&=\mathbf{1716}
\end{aligned}$$

　ただし，以下の式を用いた．
$$\dfrac{1}{(1-x)^n}=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+n-1}{n-1}x^i$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5563/295
　$7\times7$ のマス目の各マスに整数を一つずつ書き込みます．ただし，書き込む数は $0$ 以上 $13$ 以下であり，書き込まれない数があっても，複数のマスに書き込まれた数があっても良いものとします．上から $i$ 行目，左から $j$ 列目にあるマスに書かれた数を $a_{i,j}$ で表すとき，以下をすべてみたす書き込み方は何通りありますか．

- $k=1,2,\ldots,7$ それぞれについて，以下がともに成り立つ：
$$a_{k,1} \lt a_{k,2} \lt \cdots \lt a_{k,7},\quad a_{1,k} \lt a_{2,k} \lt \cdots \lt a_{7,k}.$$ 
- すべてのマスに書かれた数の総和は奇数である．