$$\quad AB=2AP=12\sqrt{3}, \quad HP=BP-BH=\sqrt3AP - BH = 5$$
である．また，三角形 $AHP$ と三角形 $BCP$ が相似であることから，
$$HP:PC=AP:BP=1:\sqrt{3}$$
であり，$PC=5\sqrt{3}$ が分かる．したがって $AC=AP+PC=11\sqrt{3}$ となるから， 
$$\triangle ABC =\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin{60^\circ}=99\sqrt{3}$$
である．\
　三角形 $ABC$ の外心を $O$ とする．辺 $BC$ の中点を $N$ とすればオイラー線の性質より $AH=2ON$ であり $\angle A=60^\circ$ であるから，$2ON$ は三角形 $ABC$ の外接円の半径 $OA$ に等しい．すなわち
$$AO=AH=\sqrt{(6\sqrt{3})^{2}+5^2}=\sqrt{133}$$
である．従って，辺 $AB$ の中点を $L$ とすると，三角形 $APH$ と三角形 $ALO$ は合同である．よって
$$ML=OM-OL=AH-HP=\sqrt{133}-5$$
である．ゆえに
$$\triangle AMB =\frac{1}{2}\times AB\times ML=6\sqrt{399}-30\sqrt{3}$$ 

以上より，四角形 $AMBC$ の面積は
$$ \triangle ABC +\triangle AMB =6\sqrt{399}+69\sqrt{3}=\sqrt{14364}+\sqrt{14283} $$
となるから，特に回答すべき値は $\mathbf{28647}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc153/editorial/3863
　鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，直線 $BH$ と辺 $AC$ の交点を $P$ とすると
$$\angle A = 60^\circ,\quad BH=13,\quad AP=6 \sqrt{3}$$
が成り立ちました．三角形 $ABC$ の外接円の $C$ を含まない弧 $AB$ の中点を $M$ とするとき，四角形 $AMBC$ の面積を求めてください．ただし，求める面積は正整数 $p,q$ を用いて
$\sqrt{p}+\sqrt{q}$ の形で表されるので，$p+q$ を解答してください．