　最終的にコインの置かれる位置を固定し, $m$ 枚であるとすると, 操作を逆順に辿ることでそれらを配置する順序について $2^{m-1}$ 通りであることがわかるから, 全体で求めるべき場合の数は,
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\sum_{m=1}^{16} 2^{m-1} {\_{16}\mathrm{C}\_m} = \frac12\sum_{m=0}^{16} 2^{m} {\_{16}\mathrm{C}\_m} - \frac12 = \frac{(1+2)^{16}-1}{2}=\mathbf{21523360}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/2165
　数直線上で $1$ 以上 $16$ 以下の整数を表す点に対し，以下の操作を $1$ 以上の任意の回数繰り返して，$1$ 枚以上のコインを置きます：

- 次の二つの条件のうち，少なくとも一つをみたす $1$ 以上 $16$ 以下の整数 $k$ を一つ選び，$k$ を表す点に同一のコインを $1$ 枚置く．ただし，そのような $k$ が存在しない場合，その時点で操作は終了する（**存在する場合に操作を終了してもよい**）．
    - $1 \leq k^{\prime} \leq k$ をみたすすべての整数 $k^{\prime}$ について，$k^{\prime}$ を表す点にコインは置かれていない．
    - $k \leq k^{\prime} \leq 16$ をみたすすべての整数 $k^{\prime}$ について，$k^{\prime}$ を表す点にコインは置かれていない．

　このとき，コインの置き方は何通りありますか？なお，最終的にコインの置かれた位置が一致する場合でも，それらを置く順序が異なるものは区別します．