　求める値は
$$(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)=abc(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)$$
に等しい．一方で，与えられた等式の第一式の両辺に $abc$ をかけて変形することで，
$$c(b^2+ca)=ab(c-a), \hspace{1pc} a(c^2+ab)=bc(a-b), \hspace{1pc} b(a^2+bc)=ca(b-c)$$
という $3$ つの等式を得る． 辺々掛け合わせて
$$abc(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab) = (abc)^2(a-b)(b-c)(c-a)$$
が成り立つことがわかるので，求める値は $3^2\times 6 =\textbf{54}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/editorial/11671
　$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}=1$ より $a^2b+b^2c+c^2a=abc=3$ を得る．\
　また $(a-b)(b-c)(c-a)=6$ より $ab^2+bc^2+ca^2=9$ を得る．\
　これらの結論を掛け合わせて計算してみると
$$\begin{aligned}
(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)&=27\\\\
a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc(a^3+b^3+c^3)+3a^2b^2c^2&=27 \\\\
a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+3(a^3+b^3+c^3)&=0
\end{aligned}$$
従って，
$$\begin{aligned}
(a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)&=a^3b^3c^3+3(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+9(a^3+b^3+c^3)+27\\\\
&=a^3b^3c^3+27\\\\
&=\mathbf{54}
\end{aligned}$$
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/editorial/11671/754
　$$\alpha=\frac{b}{a},　\beta=\frac{c}{b},　\gamma=\frac{a}{c}$$
とおくと，$\alpha \beta \gamma=1$ であり，条件より
$$\alpha+\beta+\gamma=3,　(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)=2$$
なので $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha=1$ に注意すれば，$\alpha,\beta,\gamma$ は $3$ 次方程式 $x^3-3x+x-1=0$ の $3$ 解である．

　ここで，
$$a^3+abc = abc \Big( \dfrac{a^2}{bc} +1 \Big) = 3 \Big( \dfrac{\gamma}{\alpha} +1 \Big)$$
で，$b^3+abc,c^3+abc$ についても同様なので，求める値は
$$27 \Big( \dfrac{\alpha}{\beta} +1 \Big) \Big( \dfrac{\beta}{\gamma} +1 \Big) \Big( \dfrac{\gamma}{\alpha} +1 \Big) = 27× \dfrac{(\alpha+ \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha)}{\alpha \beta \gamma}$$
に等しい．右辺の分子については
$$(\alpha+ \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) = (3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)$$
であり，これは $3^3-3×3^2+3-1=2$ である．よって，求める答は
$$27×\dfrac{2}{1} = \mathbf{54}.$$
解と係数の関係
https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/editorial/11671/760
　$0$ でない複素数 $a,b,c$ であって，
$$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}=1, \hspace{1pc} (a-b)(b-c)(c-a)={6}, \hspace{1pc} abc={3}$$
を同時に満たすものが存在します．このような $a,b,c$ に対して，
$$(a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)$$
の値は一意に定まるので，その値を解答してください．