　$\max (a_{1},  a_{2},  \cdots , a_{5} ) \leq 10$ を満たす正の整数の組 $(a_{1},  a_{2},  \cdots , a_{5} )$ を考えると，これは $10$ 以下の正整数 $5$ つからなる組であり，$10^5$ 個存在する．したがってこれらすべてについての $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{5}$ の総和について，$a_1$ の寄与は
$$(1+2+\dots +10)\cdot 10^4$$
である．$a_2,a_3,a_4,a_5$ についても同様であるので，結局，$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{5}$ の総和は
$$(1+2+\dots +10)\cdot 10^4\times 5=2750000$$
である．同様に $\max (a_{1},  a_{2},  \cdots , a_{5} ) \leq 9$ を満たす正の整数の組 $(a_{1},  a_{2},  \cdots , a_{5} )$ すべてについての $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{5}$ の総和は
$$ (1+2+\dots +9)\cdot 9^4\times 5= 1476225 $$
である．前者全体からなる集合から後者全体からなる集合を除いたものが $\max (a_{1},  a_{2},  \cdots , a_{5} ) = 10$ を満たす正の整数の組 $(a_{1},  a_{2},  \cdots , a_{5} )$ 全体からなる集合であるので，求める総和は
$$2750000-1476225= \mathbf{1273775} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/editorial/11773
$\max(a_1,a_2,\cdots a_5)\leq10$を満たす正の整数の組は$10^5$個であり,この条件において各$a_i$の平均は$\frac{1+2+\cdots +10}{10}=5.5$なので$10^5$個の総和は$5.5×5×10^5=2750000$である.

同様に$\max(a_1,a_2,\cdots a_5)\leq9$を満たす正の整数の組は$9^5$個であり,この条件において各$a_i$の平均は$5$なので$9^5$個の総和は$5×5×9^5=1476225$である.

よって求める総和は
$2750000−1476225= \textbf{1273775}$
である．
平均で考える
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/editorial/11773/727
　正の整数の組 $(a_{1} , a_{2} , a_{3} , a_{4} , a_{5})$ であって
$$ \max ( a_{1},  a_{2},  a_{3},  a_{4} , a_{5} )=10 $$ 
を満たすものすべてについて，$a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ の総和を求めてください．