　正整数 $m$ に対し，$m$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v(m)$ とする．
$${}\_{2^{20}+1}\mathrm{C}\_{n}
=\dfrac{\left(2^{20}+1\right) 2^{20}\left(2^{20}-1\right)\cdots \left(2^{20}-\left(n-2\right)\right)}{n!}$$ 
であるが，いま $1\leq m\leq 2^{20}-1$ に対し $v(m)=v(2^{20}-m)$ に留意すれば，
$$v\bigl({}\_{2^{20}+1}\mathrm{C}\_{n}\bigr)=20+v\bigl((n-2)!\bigr)-v\bigl(n!\bigr)=20-v\bigl(n(n-1)\bigr) $$
である．すなわち，$v\left(n(n-1)\right)=10$ をみたす $n$ を求めれば良い．$n$ と $n-1$ の偶奇は異なることに注意すれば，$v(n)=10$ または $v(n-1)=10$ のいずれかが成り立つ．

- $v(n)=10$ のとき：整数 $k\ (1\leq k\leq 512)$ によって $n=2^{10}(2k-1)$ と表される．
- $v(n-1)=10$ のとき：整数 $k\ (1\leq k\leq 512)$ によって $n=2^{10}(2k-1)+1$ と表される．

　よって，これらの総和は以下のように計算できる．
$$ \sum_{k=1}^{512} \bigl(2\times 2^{10}(2k-1)+1 \bigr)=2^{11}\times 512^2+512=\bm {536871424}. $$


　
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/editorial/4599
　${}\_{2^{20}+1}\mathrm{C}\_{n}$ が $2$ でちょうど $10$ 回割り切れるような，$2^{20}+1$ 以下の正整数 $n$ の総和を求めてください．