　簡単のため，それぞれの順列を $\\{1,2,\ldots,7\\}$ の上の全単射 $p,q,r$ とみなす．いま，条件として
$$ p \circ q = q \circ r = r \circ p \tag{1}$$
のみを考える．$p,q$ を定めると，$r$ の候補は $q^{-1} \circ p \circ q$ として高々一つに定まる．これが $(1)$ をみたすには，
$$ p \circ q = (q^{-1} \circ p \circ q) \circ p \iff p \circ q \circ p = q \circ p \circ q$$
が必要十分条件となる．さらに，全単射 $P,Q$ をそれぞれ $p \circ q \circ p$ および $p \circ q$ で定めることで
$$ \begin{aligned}
p \circ q \circ p = q \circ p \circ q
&\iff p \circ q \circ p \circ (p \circ q \circ p) = p \circ q \circ p \circ (q \circ p \circ q) \\\\
&\iff P \circ P = Q \circ Q \circ Q \tag{2}
\end{aligned} $$
を得るが，$(p, q)$ と $(P, Q)$ は一対一に対応するため，以下 $(2)$ をみたす $(P, Q)$ について考えればよい．このような組のうち，さらに任意の $n$ に対して $Q(n)=p(q(n))\neq n$ をみたすものを数え上げればよい．\
　ここで，$\\{1,2,\ldots,7\\}$ の上の全単射 $A$ に対し，$1,2,\ldots,7$ の各数を頂点とし，$n$ から $A(n)$ に辺を張って得られる有向グラフを $G_A$ とする．これらはすべての頂点の入次数・出次数がともに $1$ であるグラフであり，独立ないくつかのサイクルによって構成される．いま $Q(n)\neq n$ より $G_Q$ には自己ループが存在しないことに注意すると，$G_Q$ に含まれるサイクルの長さの組としては $(7), (5, 2), (4, 3), (3, 2, 2)$ が考えられる．\
　このうち，$(5, 2), (4, 3)$ が不適であることを示す．$G_Q$ に長さが $2k$ $(k = 1, 2)$ のサイクルがちょうど $1$ 個存在すると仮定する．$G_{Q \circ Q \circ Q}$ にも同じ長さで含まれる頂点の集合も等しいようなサイクルが存在するため，これを $x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow \cdots \rightarrow x_{2k} \rightarrow x_1$ とすれば，$P \circ P = Q \circ Q \circ Q$ より，$P$ には $x_1 \rightarrow y_1 \rightarrow x_2 \rightarrow y_2 \rightarrow  \cdots \rightarrow x_{2k} \rightarrow y_{2k} \rightarrow x_1$ なるウォークが存在する．$x_1, y_1, x_2, y_2 , \cdots, x_{2k}, y_{2k}$ は相異なることが示せるため，$G_Q$ にはまた別の長さ $2k$ $(k = 1, 2)$ のサイクル $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow \cdots \rightarrow y_{2k} \rightarrow y_1$ が存在することになり，不適である．\
　以上のことから，まず $G_Q$ について以下のいずれかが成立する．

- 長さ $7$ のサイクルからなる．
- 長さ $3, 2, 2$ のサイクルからなる．

　それぞれに適するものを数え上げると $720$ 通り，$210$ 通りであることがわかる．次に，対応する $G_P$ はそれぞれ以下の通りである．

- 長さ $7$ のサイクル $1$ 個については $1$ 通りが対応する．
- 長さ $2$ のサイクル $2$ 個については長さ $4$ のサイクル $2$ 通りが対応する．残り $3$ 頂点からなるサイクルの長さは $(2, 1), (1, 1, 1)$ のいずれかであり，$4$ 通りが対応する．

　従って，求めるべき個数は $720 \times 1 + 210 \times 2 \times 4 = \mathbf{2400}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc130/editorial/5350
　$\\{p_n\\}\_{n=1,\ldots,7}, \\{q_n\\}\_{n=1,\ldots,7}, \\{r_n\\}\_{n=1,\ldots,7}$ をそれぞれ（相異なるとは限らない）$1,2,\ldots,7$ の順列とします．このとき，$n=1,2,\ldots,7$ すべてについて
$$p_{q_n} = q_{r_n} = r_{p_n} \neq n$$ 
をみたすような，$\\{p_n\\},\\{q_n\\},\\{r_n\\}$ の組み合わせは何通りありますか．