　一般に $N=500$ とし, まず点 $(0,0,0)$ から移動を繰り返して点 $(2N,2N,2N)$ まで到達する方法を考える. $y$ 座標の変化に着目すると，移動 $A$ と移動 $B$ を合わせてちょうど $2N$ 回行う必要がある. 同様にして, 結局はそれぞれの移動を $N$ 回ずつ行う必要があることがわかる. したがって, この問題は次のように言い換えることができる.

- 記号 $A,B,C$ がそれぞれ $N$ 個ずつある. これらを一列に並べる方法のうち, 異なる記号同士が隣り合っている箇所がちょうど $4$ 箇所であるようなものは何通りか？

　このような並べ方において, 同じ文字が隣り合っている部分をまとめてその文字の**グループ**と呼ぶことにすると, 次の $2$ 通りに分けられる. ただし, $X,Y,Z$ は $A,B,C$ に一対一で対応するものとする.

- (i) $X$ のグループが $3$ つ, $Y,Z$ のグループが各 $1$ つ
- (ii) $X,Y$ のグループが各 $2$ つ, $Z$ のグループが $1$ つ

　(i)の場合, $X$ のグループの作り方が ${}_{N-1}\mathrm{C}_2$ 通り, $X$ の選び方が $3$ 通り, $X,Y,Z$ の配置が $2$ 通りあるから, 全体ではこれらを掛け合わせて $3(N-1)(N-2)$ 通りである.

　(ii)の場合, $X,Y$ のグループの作り方がそれぞれ $N-1$ 通り, $Z$ の選び方が $3$ 通り, $X,Y,Z$ の配置が $12$ 通りあることが容易にわかるから,  全体ではこれらを掛け合わせて $36(N-1)^2$ 通りである.

　以上より, 求める値は $3(N-1)(N-2)+36(N-1)^2=3(N-1)(13N-14)=\textbf{9709542}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/editorial/1817
　$xyz$ 空間において, 点 $(0,0,0)$ から次のいずれかの移動を繰り返して点 $(1000,1000,1000)$ まで到達する移動経路を考えます. このような移動経路のうち, 直前と異なる移動方法を用いる回数がちょうど $4$ 回となるようなものは何通りありますか？ 

- 移動 $A$ : $(x,y,z)$ から $(x+1,y+1,z)$ に移動する.
- 移動 $B$ : $(x,y,z)$ から $(x,y+1,z+1)$ に移動する.
- 移動 $C$ : $(x,y,z)$ から $(x+1,y,z+1)$ に移動する.

例えば, $AAABBCAABBB$ と移動したとき, 直前と異なる移動方法を用いた回数はちょうど $4$ 回です.