　$b_n=a_{n+1}a_n$ および $c=\dfrac{1}{10116}$ とおく．このとき数列 $\\{ b_n \\}$ は $b_1=b_2=25$ および
$$ b_{n+2}b_n = c+ b_{n+1}^2$$ 
を満たす．いま $\dfrac{a_{n+2}}{a_n} + \dfrac{a_n}{a_{n+2}} = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} + \dfrac{b_n}{b_{n+1}}$ であり，この値について $n\ge 2$ では
$$
\begin{aligned}
\frac{b_{n+1}}{b_n} + \frac{b_n}{b_{n+1}}  &= \frac{c+b_n^2}{b_{n-1}b_n}  + \frac{b_{n+1}b_{n-1}-c}{b_nb_{n+1}} \\\\
&= \frac{b_{n}}{b_{n-1}} + \frac{b_{n-1}}{b_{n}} + c \Big(\frac{1}{b_{n-1}b_{n}}-\frac{1}{b_nb_{n+1}}\Big)\\\\
\end{aligned}
$$
となるので，この変形を繰り返し行うことで，
$$
\begin{aligned}
\frac{b_{n+1}}{b_n} + \frac{b_n}{b_{n+1}}
& = \frac{b_{2}}{b_{1}} + \frac{b_{1}}{b_{2}} + c\Big(\frac{1}{b_{1}b_{2}}-\frac{1}{b_nb_{n+1}}\Big)\\\\
& = 2 + c\Big(\frac{1}{625}-\frac{1}{b_nb_{n+1}}\Big)\\\\
& =2+\frac{c}{625} -\frac{c}{b_nb_{n+1}}
\end{aligned}
$$
となる．一方で，$b_3 \gt b_2$ が確かめられ，
$$
\begin{aligned}
b_{n+2} = b_{n+1}\cdot\frac{b_{n+1}}{b_n}+\frac{c}{b_n} \gt b_{n+1}
\end{aligned}
$$
より，帰納法から $\lbrace b_n\rbrace_{n=2,3,\ldots}$  は狭義単調増加である．また，
$$
\begin{aligned}
b_{n+2}b_{n+1} \gt b_{n+2}b_n = c+ b_{n+1}^2 \gt c+ b_{n+1}b_n
\end{aligned}
$$
より，$b_{n+1}b_n$ は $c(n-1)$ より大きいので，$n \to \infty$ で正の無限大に発散する．よって，今回求める値は
$$
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \Big( \frac{a_{n+2}}{a_n}+\frac{a_{n}}{a_{n+2}}\Big) &= \lim_{n \to \infty} \Big(\frac{b_{n+1}}{b_n} + \frac{b_n}{b_{n+1}}\Big) \\\\
& = \lim_{n \to \infty} \Big(2+\frac{c}{625} -\frac{c}{b_nb_{n+1}}\Big)\\\\
& = 2+\frac{c}{625} - 0\\\\
& = \frac{12645001}{6322500}
\end{aligned}
$$
であり，したがって答える値は $6322500+12645001 = \mathbf{18967501}$ となる．\
　なお，最後の計算は $3\times625\times10116+1$ とすれば分数を詳しく求める必要もない．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/editorial/10116
漸化式の $n$ および $n+1$ の場合を比較することで，任意の $n$ に対し以下の等式が成り立つとわかる：
$$
a_{n+4}a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1} + (a_{n+2}a_{n+1})^2 = a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n} + (a_{n+3}a_{n+2})^2
$$
この両辺を $a_{n+3}a_{n+2}^2a_{n+1}$ で割り，$c_{n} = \dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}$ とおくことで，以下の式を得る：
$$
c_{n+2} + \dfrac{1}{c_{n+1}} = c_{n+1} + \dfrac{1}{c_{n}}
$$
したがって，$c_{n+1} + \dfrac{1}{c_{n}}$ の値は $n$ によらず一定で，
その値 $K$ は以下のように計算できる：
$$
K = c_2 + \dfrac{1}{c_1} = \dfrac{a_4}{a_2} + \dfrac{a_1}{a_3} = \biggl(1 + \dfrac{1}{625\cdot 10116} \biggr) + 1= 2 + \dfrac{1}{625\cdot 10116}
$$ 
特に，任意の $n$ に対し $c_{n} \geq 1$ となることが帰納的に示せる．

ここで，$\alpha + \dfrac{1}{\alpha} = K$ なる $\alpha \gt 1$ をとる．
なお，この $\alpha$ は二次方程式 $x^2 - Kx + 1 = 0$ の解であり，
$K \gt 2$ なのでそのような $\alpha$ が存在することに注意する．
この  $\alpha$ を用いて $c_{n+1} + \dfrac{1}{c_{n}} = K$ を変形すると，以下のようになる：
$$
\alpha - c_{n+1} = \dfrac{1}{\alpha c_{n}} (\alpha - c_{n})
$$
この式から，任意の $n$ に対し $\alpha - c_{n} \gt 0$ となることが帰納的に示せ，
さらに $\dfrac{1}{\alpha c_{n}} \leq \dfrac{1}{\alpha}$ より
$$
0 \lt \alpha - c_{n} \leq \dfrac{1}{\alpha ^{n-1}} (\alpha - c_{1})
$$
となるので，
$n\rightarrow \infty$ のとき $c_{n}$ は $\alpha$ に収束する．

以上より，$n\rightarrow \infty$ のとき
$$
\dfrac{a_{n+2}}{a_{n}} + \dfrac{a_{n}}{a_{n+2}} = c_{n} + \dfrac{1}{c_{n}} \rightarrow \alpha + \dfrac{1}{\alpha} = K = 2 + \dfrac{1}{625\cdot 10116}
$$
となる．

### コメント
解説中の $\alpha$ は天下り的に思えますが，
$f(x) = -\dfrac{1}{x} + K$ とおくと $c_{n+1} = f(c_{n})$，$\alpha = f(\alpha)$ となるため，
$y = f(x)$ と $y=x$ のグラフを図示することで，$c_{n}$ がそれらの交点の $x$ 座標である $\alpha$ に収束することが直感的に理解できます．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/editorial/10116/492
　公式解説と同様に $b_n=a_{n+1}a_n$ および $c=\dfrac{1}{10116}$ とおく．いま求めたいものは
$$\tag{1} \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{b_{n+1}}{b_n}+\dfrac{b_n}{b_{n+1}} \right)  $$
である．与えられた条件は $b_{n+2}b_n - b_{n+1}^2=c$ と変形されるが，$n+1$ の場合も考えることで，$b_{n+2}b_n - b_{n+1}^2=b_{n+3}b_{n+1} - b_{n+2}^2$ が成立する．この式を$b_{n+1}b_{n+2}$ で割って変形すると，次の式を得る：
$$\tag{2} \dfrac{b_{n}}{b_{n+1}}+\dfrac{b_{n+2}}{b_{n+1}}=\dfrac{b_{n+1}}{b_{n+2}}+\dfrac{b_{n+3}}{b_{n+2}}$$
　式 $(1), (2)$ をよく見ると，$\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=c_n$ と変形することを思いつく．これがユーザー解説の $c_n$ に他ならない．

---

　いま求めたいものは $\lim\limits_{n \to \infty} \left( c_n+\dfrac{1}{c_n} \right)$ であるが，もし $\lim\limits_{n \to \infty} c_n$ が存在すれば話は簡単である．式 $(2)$ より
$$\lim_{n \to \infty} \left( c_n+\dfrac{1}{c_n} \right)=\lim_{n \to \infty} \left( c_{n+1}+\dfrac{1}{c_n} \right) =c_2+\dfrac{1}{c_1}$$ 
となるからである．実際，ユーザー解説の後半では $\lim\limits_{n \to \infty} c_n$ の存在を証明している（OMC の解答形式からして，存在証明をせずに $c_2+\dfrac{1}{c_1}$ を入力することも可能ではあるが）．\
　なお漸化式が極限値を持つ場合，その値は，全ての $c_n$ たちを同じ文字とした方程式の解に等しい．本問で言えば，$\lbrace c_n \rbrace$ に関する漸化式は $c_{n+1}+\dfrac{1}{c_n}=K$ なので，ユーザー解説において方程式 $\alpha +\dfrac{1}{\alpha}=K$ を考えるのは，そう飛躍のあることではない．（この段落は，ユーザー解説のコメント部分について，別の表現をしているに過ぎない．）\
　（参考まで）おおもとの数列 $\lbrace a_n \rbrace$ について言えば，方程式 $\alpha^4=c+\alpha^4$ は解を持たないので，極限値が存在しないことがわかる．
別解（ユーザー解説）の補足
https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/editorial/10116/493
　正の実数列 $\lbrace a_n\rbrace_{n=1,2,\ldots}$ は $ a_1 = a_2 = a_3 = 5$ および
$$a_{n+3}a_{n+2}a_{n+1}a_{n}=\frac{1}{10116}+(a_{n+2}a_{n+1})^2 \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) $$
を満たしています．このとき，
$$\lim_{n \to \infty} \Big( \frac{a_{n+2}}{a_n}+\frac{a_{n}}{a_{n+2}}\Big)$$
の値は，互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ を答えてください．