　$P$ を表す式を $y=kx^2$ とし ($k\gt 0$), $A,B,C$ の $x$ 座標を $a\lt b\lt c$ とおく. このとき, $A,B$ における接線と $P$ で囲まれた部分の面積を $S_{AB}$, 直線 $AB$ と $P$ で囲まれた部分の面積を $T_{AB}$ などとすれば, 有名事実として
　　$$ S_{AB}=\dfrac{1}{12}k(b-a)^3,\ \ T_{AB}=\dfrac{1}{6}k(b-a)^3 $$
が成立する(愚直に積分を実行すれば確認できる). すなわち, 特に $2S_{AB}=T_{AB}$ であるから, 以下が従う.
　　$$S=S_{AC}-S_{AB}-S_{BC}=\dfrac{1}{2}(T_{AC}-T_{AB}-T_{BC})=\dfrac{1}{2}\times 24=12$$
　よって, 常に $S=12$ であるから, 求める値は $\textbf{144}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc017/editorial/108
　面積が $24$ である三角形について, $3$ 頂点をすべて通る放物線 $P$ を考え, それぞれの頂点における $3$ 接線のなす三角形の面積を $S$ とおきます.\
　このとき, $S$ としてあり得る最大値と最小値の**積**は $M$ となります. $M$ を解答してください.