　$xa$ 平面で考えると, 放物線 $x^2-2x-a-3=0$ と領域 $x^2-4x+a^2-5\leq0$ が共有点をもつ $a$ の範囲を求めれば良い．2式を連立させて解くと, 境界の交点として
$$(x,a)=(-1,0),(2,-3),\left(\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2},\dfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}\right)$$
(復号同順) が得られるため, グラフを書くと以下のようになることがわかる：

![figure 1](\/images\/q6GQ5qtoI1tcre2onHTYM6SzUR2g363bPVmdaRdd)

これより, 条件をみたす $a$ の範囲は $-3\leq a\leq \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$ であり, 特に解答すべき値は $7+17+2=\textbf{26}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/editorial/1816
　$x^2-2x-a-3=0$ かつ $x^2-4x+a^2-5\leq0$ をともにみたす実数 $x$ が存在するような実数 $a$ について, その最小値を $l$, 最大値を $r$ とします. このとき, $r-l=\dfrac{s+\sqrt{t}}{u}$ ($s,t,u$ は正の整数で, $s$ と $u$ は互いに素) と表せるので, $s+t+u$ を解答してください.