　半直線 $PO$ 上に $OR=10$ なる点 $R$ をとると，$PXO$ と $PQR$ は相似な三角形であり，相似比は $1:6$ であるから，点 $Q$ はつねに $RQ=18$ をみたす．逆にそのような $Q$ はすべて条件をみたすから，求める軌跡は半径 $18$ の円周であり，解答すべき値は $\textbf{18}$ である．一般に，この証明と同様にして円を $1$ 点を中心として相似拡大して得られる図形はつねに円であることが従う．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc001/editorial/1928
　平面上に，定点 $O$ を中心とする半径 $3$ の円 $C$ と$OP=2$ なる定点 $P$ があります．\
　点 $Q$ が以下の条件をともにみたしながら動くとき，その軌跡は円周をなします．その半径を求めてください：

- $Q$ は円 $C$ の外部（周上を含まない）にある．
- 線分 $PQ$ と円 $C$ の交点を $X$ とすると，$PX:QX=1:5$ である．