　三辺の長さを $x\geq y\geq z$ としたとき，条件は $x\lt y+z$ である．$x$ を固定したときこの条件を満たす組 $(y,z)$ の数を $f(x)$ とすると $y+z$ の値で場合分けすることで，
$$\begin{aligned}
f(x)&=
\begin{cases}
\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x-1}{2}+\cdots+1+1&=\dfrac{(x+1)^2}{4} & (x~ が奇数) \\\\
\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\cdots+1+1&=\dfrac{x(x+2)}{4} & (x~ が偶数)
\end{cases}\\\\
\end{aligned}$$
であることがわかる．これを $x=1,\ldots,28$ について足し合わせればよく，求める値は次のように計算できる．
$$\sum_{k=1}^{14}(f(2k-1)+f(2k))=\sum_{k=1}^{14}(2k^2+k)=\bf{2135}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2478
　$3$ 辺の長さ $1\leq z\leq y\leq x\leq 28$ とし，次の $a,b,c$ に変換する．
$$a=\dfrac{-x+y+z}{2},　b=\dfrac{x-y+z}{2},　c=\dfrac{x+y-z}{2}$$
このとき $a,b,c$ は整数 $l\leq m\leq n$ を用いて次の $2$ パターンのいずれかで表せる．$(\because -x+y+z\equiv x-y+z\equiv x+y-z\mod 2)$
$$(a,b,c)=(l,m,n),(l-\frac{1}{2},m-\frac{1}{2},n-\frac{1}{2})$$
- 前者の場合，条件は次の通り．
$$1\leq l\leq m\leq n,　m+n\leq28\Longleftrightarrow 1\leq l\leq m,　n\leq m\leq28-n$$
これを満たす$(l,m,n)$ は $\displaystyle\sum_{m=1}^{14}m(29-2m)$ だけある．
- 後者の場合，条件は次の通り．
$$\frac{1}{2}\leq l-\frac{1}{2}\leq m-\frac{1}{2}\leq n-\frac{1}{2},　m+n-1\leq28\Longleftrightarrow 1\leq l\leq m,　n\leq m\leq29-n$$
これを満たす $(l,m,n)$ は $\displaystyle\sum_{m=1}^{14}m(30-2m)$ だけある．

したがって条件を満たす $(a,b,c)$ の組の数は $\displaystyle\sum_{m=1}^{14}m(29-2m)+\sum_{m=1}^{14}m(30-2m)=\sum_{m=1}^{14}(59m-4m^2)=\bf{2135}.$
Ravi変換
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2478/336
整数の組 $(x,y,z)$ であって $0 \lt x \leq y \leq z \leq t = 28$ および $z \lt x+y$ を満たすものを数えることと同値．  
本領域を$z=k$ でカットして考えると $0 \lt x \leq y \leq k$ かつ $k \lt x+y$ を満たす $(x,y)$ の組を数え，$k$ に関して総和を計算すればよい．（ここまで公式解説と同様）  
$y=x$ と $x+y=k$ の交点を $P$ とする． $P$ を中心に $90^{\circ}$ ずつ回転させた $4$ つの領域の和集合を考えると，ちょうど一辺 $k$ の正方形の領域から $P$ を取り除いたものと一致する．正方形内に格子点は $(k+1)^2$ 個存在し，$k$ が偶数の時のみ $P$ が格子点となるので，組の個数を $f(k)$ とおけば，
$$
f(k)=
\begin{cases}
& \dfrac{(k+1)^2}{4} &(k\text{が奇数のとき})\\\\
& \dfrac{(k+1)^2-1}{4}& (k\text{が偶数のとき})
\end{cases}
$$
が得られる．これらの和は以下のようにすると素早く計算できる．  
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{28} f(k) &=  (\sum_{k=1}^{28} \frac{(k+1)^2}{4}) - 14\times \frac{1}{4} \\\\
&=  (\sum_{k=2}^{29} k^2 - 14)\times \frac{1}{4} \\\\
&=  (\frac{29(29+1)(2\times29+1)}{6}  -1 - 14)\times \frac{1}{4} \\\\
& =2135
\end{aligned}
$$
対称性の活用による格子点数え上げ
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2478/350
　すべての辺の長さが $1$ 以上 $28$ 以下の整数値であるような（非退化な）三角形は何通りありますか？　ただし，回転や反転によって一致するものは同一視します．