$$\angle BEC=\angle AEB=\angle AFE+45^\circ=\angle BPE+45^\circ=180^\circ-\angle BEP$$
より $C,E,P$ は共線であり, 同様に $C,F,Q$ も共線である. よって, $\tan$ の加法定理を利用して
$$\angle{BCP}+\angle{DCQ}=45^\circ$$
をみたす一辺の長さを求めれば $\textbf{20}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc065/editorial/1916
　正方形 $ABCD$ において, 対角線 $BD$ 上の点 $E,F$ が $\angle EAF=45^\circ$ をみたしており, $B,E,F,D$ の順に並んでいます. 三角形 $AEF$ の外接円と辺 $AB,AD$ の交点をそれぞれ $P,Q$ としたとき,
$$PB=12,\quad QD=5$$
が成立しました. このとき, $ABCD$ の一辺の長さを求めてください.