　$1$ 以上 $100$ 以下の整数 $n$ に対して
$$b_n = \sum_{m=1}^{n}2^{m - n - 1}a_m$$
とする．

----
**補題.**　$\displaystyle\sum_{n=1}^{100}b_n+b_{100} = 1$．\
**証明.**
$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{100}b_n+b_{100}
&= \sum_{n = 1}^{100}\sum_{m = 1}^{n}2^{m-n-1}a_m + \sum_{n = 1}^{100}2^{n - 101}a_n\\\\
&= \sum_{n = 1}^{100}a_n\Bigg(2^{n - 101} + \sum_{m = n}^{100}2^{n - m - 1}\Bigg)\\\\
&= \sum_{n = 1}^{100}a_n\\\\
&= 1
\end{aligned}$$

----

Cauchy-Schwarzの不等式より
$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{b_n}
&=\left(\sum_{n=1}^{100}b_n+b_{100} \right)
\left(\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{b_n} \right)\\\\
&=\left(\sum_{n=1}^{99}b_n+b_{100}+b_{100} \right)
\left(\sum_{n=1}^{99}\frac{1}{b_n}+\cfrac{1}{2b_{100}}+\frac{1}{2b_{100}} \right)\\\\
&\ge \left(99+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2} \right)^2 \\\\
&=9803+\sqrt{78408} \\\\
\end{aligned}$$ 
が成り立つ．等号は
$$a_1=\frac{2}{(99+\sqrt{2})},\quad
a_2=a_3=\cdots=a_{99}=\frac{1}{(99+\sqrt{2})},\quad
a_{100}=\frac{\sqrt{2}-1}{(99+\sqrt{2})}$$ 
で確かに成立するので，求める値は $\mathbf{88211}$である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/4638
　正の実数 $a_1, a_2, …, a_{100}$ が $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 1$ を満たしながら動くとき，
$$\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{\sum\limits_{m=1}^{n}2^{m - n - 1}a_m}$$
の最小値を求めてください．ただし，答えは正整数 $a, b$ によって $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください.