　非負整数 $n$ について $2n$ 秒後から $2n+1$ 秒後を奇数秒目，$2n+1$ 秒後から $2n+2$ 秒後を偶数秒目とすると，条件から $2$ 点 $P,Q$ は奇数秒目，偶数秒目のいずれか一方ではつねに互いに平行に，もう一方ではつねに互いに垂直に動くことがわかる．まず奇数秒目が平行な場合を考える．\
　$2$ 点 $P,Q$ は最短距離で $A$ に移動して一致し，平行に動く間は $2$ 点間のマンハッタン距離は変わらず，垂直に動く間はマンハッタン距離は $2$ 変動することから，偶数秒目のうち $5$ 秒間は $P$ が $x$ 軸，$Q$ が $y$ 軸方向に動き，残りの $5$ 秒間は $P$ が $y$ 軸，$Q$ が $x$ 軸方向に動く．これと $P, Q$ が $20$ 秒後に $A$ に到達することから，奇数秒目のうち $5$ 秒間は $2$ 点とも $x$ 軸方向，残りの $5$ 秒間は $2$ 点とも $y$ 軸方向に動くことになる．これらによって奇数秒目が平行な場合の全てを網羅でき，これは ${{}\_{10}\mathrm{C}\_{5}}^2$ 通りとなる．\
　奇数秒目が垂直な場合も同様であり，求める値は $2\times {{}\_{10}\mathrm{C}\_{5}}^2=\mathbf{127008}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/editorial/10589
　座標平面上の $2$ 点 $P, Q$ が点 $O(0,0)$ を同時に出発し，点 $A(10,10)$ へと次の条件を全て満たすように移動するとき，経路の組としてありうるものの個数を求めてください．
- $P, Q$ はいずれも $x$ 軸もしくは $y$ 軸に平行に秒速 $1$ で移動し，$O$ を出発して $20$ 秒後に点 $A$ に到達する．
- $P, Q$ はいずれも格子点でのみ進行方向を変えることができる．
- $P, Q$ がいずれも格子点に到達したとき，必ず一方が進行方向を変えもう一方は直進する．すなわち，$1$ 秒ごとに $P, Q$ のちょうど一方のみが進行方向を変える．

ただし，$P, Q$ の入れ替えのみで一致する経路の組も異なるものとして数えます．また格子点とは，$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点をさします．