　$m=n$ の場合は明らかに与式を満たさない. 対称性より $m \gt n$ として考える.\
　$m-n=d \geq 1$ として, 与式の左辺に代入することで
$$
\biggl \lfloor \frac{n^2}{m} \biggl \rfloor + \biggl \lfloor \frac{m^2}{n} \biggl \rfloor = m+n+ \biggl \lfloor \frac{d^2}{m} \biggl \rfloor + \biggl \lfloor \frac{d^2}{n} \biggl \rfloor 
$$
を得る. これが $m+n+1$ に等しいことから,
$$ \biggl \lfloor \frac{d^2}{m} \biggl \rfloor = 0,\quad \biggl \lfloor \frac{d^2}{n} \biggl \rfloor=1$$
が成立している必要があり, 任意の実数 $x$ について $\lfloor x\rfloor\leq x\lt\lfloor x\rfloor+1$ が成り立つことを用いればこれは以下のように表現できる. 
$$
\frac{d^2}{2}  \lt n \leq d^2 \lt m = n+d
$$
$d^2-d$ と ${d^2}\/2$ の大小を考慮すれば, 結果として題意を満たす組 $(m,n)$ は以下のようになる. 
$$
(m,n)=(d^2+1, d^2-d+1), (d^2+2, d^2-d+2), \cdots, (d^2+d, d^2) \quad (1\leq d \leq 99)
$$
いま, $d$ を固定したときに表れる最小の整数は $d^2-d+1$ , 最大の整数は $d^2+d$ であるが,
$$(d+1)^2-(d+1)+1=d^2+d+1$$
であるから, 先に羅列された組の中には $1$ から $9900$ までの整数がそれぞれ一回だけ出現していることがわかる.\
　$m \lt n$ の場合も同様であるから, 答えるべき値は次の計算によって得られる. 
$$
2 \sum\limits_{k=1}^{9900} k=\mathbf{98019900}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/editorial/3182
　$1$ 以上 $10000$ 以下の整数の順序付きの組 $(m,n)$ であって, 
$$
\biggl \lfloor \frac{n^2}{m} \biggl \rfloor + \biggl \lfloor \frac{m^2}{n} \biggl \rfloor = m + n + 1
$$
を満たすものすべてについて, $m+n$ の総和を解答してください.\
　ただし, $\lfloor x \rfloor$ で $x$ を超えない最大の整数を表すものとします.