　$C_1,C_2$ の方程式はそれぞれ次のように求められる．
$$C_1:y^2=-x^2+4x,\quad C_2:y=-2x+4$$
よって $S,T$ 間の距離は $|a^2-6a+4|$ であるから，方程式
$$a^2-6a+4=\pm 2020$$
の相異なる実数解の総積を求めればよい．$a^2-6a+4=2020$ は相異なる実数解を持ち，それらの積は解と係数の関係より $-2016$．また $a^2-6a+4=-2020$ は実数解をもたない．従って求める値は $\bm{2016}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc006/editorial/40
　$3$ 点 $(0, 0), (2, 4), (4, 0)$ を通る, 上に凸な放物線を $C_1$ とし, $2$ 点 $(0, 4), (2, 0)$ を通る直線を $C_2$ とします. また $a$ を実数とし, $C_1,C_2$ 上で $x$ 座標が $a$ である点をそれぞれ $S,T$ とします.\
　$2$ 点 $S, T$ の距離が $2020$ であるとき, $a$ としてあり得る値の総積の絶対値を求めてください.\
　例えば, $a$ として $11, -4$ が考えられるときは, $44$ と解答してください.