　連続する偶数個の正整数を $a-k+1,\cdots,a,a+1,\cdots,a+k$ と表現すれば，考えるべき条件は
$$a\geq k,\quad k(2a+1)=2^{10}5^{100}$$
特に $100$ 以下の正整数 $p$ によって $2a+1=5^p$ と表され，このとき条件は次の式で表される．
$$5^p\geq 2^{11}\times 5^{100-p}+1$$
これより $5^{p-50}\geq 46$ が導かれ，これは $p\geq 53$ と同値であるから，求める場合の数は $\textbf{48}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc207/editorial/2145
　連続した偶数個の正整数からなる集合であって，それらの総和が $2^{10}\times 5^{100}$ であるものはいくつありますか？