　$a,b,c$ を $7$ で割った余りは相異なるから，$a,b,c$ の大小の制約を取り除いて考え，$3!$ で割ればよい．\
　以下より $a+b+c$ は $7$ の倍数であることに留意する．
$$\begin{aligned}
4(a+b+c) &= a+b+c+(a+b)+(a+c)+(b+c)+(a+b+c) \\\\
&\equiv 0+1+2+\cdots+6\\\\
&\equiv 0 \pmod{7}
\end{aligned}$$
これより，$a,b,c$ を $7$ で割った余りは，$\\{1,6\\},\\{2,5\\},\\{3,4\\}$ から一つずつ選択される必要があるから，あり得る組み合わせは $\\{1,2,4\\},\\{3,5,6\\}$ とわかる．それぞれ，大小の制約を無視すれば適する組は $3!\times72^2\times71$ 通りおよび $3!\times72\times71^2$ 通りであるから，求める場合の数は $72^2\times71+72\times71^2=\textbf{731016}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc062/editorial/2616
　$1\leq a\lt b\lt c\leq 500$ なる整数の組 $(a,b,c)$ であって，以下の条件をみたすものはいくつありますか？

- 集合 $\\{a,b,c\\}$ の空でない $7$ つの部分集合について，それぞれの要素の総和を $7$ で割った余りは相異なる．