　空積を $1$ とみなすことで, いま空の箱が存在することを許して考える. まず $2,4,6,8,10$ に注目すると, これらの分配の必要十分条件は
$2$ つ以下の箱を用いることであるから, $3\times 2^5-3=93$ 通りである. 続いて $3,6,9$ をそれぞれ別の箱に入れてはならないことに留意すれば, $3,9$ の入れ方は $7$ 通りである. $1,5,7$ はどのように分配してもよいから, 以上より空の箱を許しての場合の数は $93\times 7\times 3^3=17577$ 通りである.\
　よって, 空の箱を除外した場合は, 包除原理より $17577-3\times 2^{10}+3=\textbf{14508}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc022/editorial/136
　$1$ から $10$ の整数が $1$ つずつ書かれたボール $10$ 個を, $3$ つの区別できる箱 $A,B,C$ のいずれかに, 以下の $2$ 条件を満たすように入れる方法は何通りありますか？

- $3$ つの箱それぞれに, 少なくとも $1$ つのボールが入っている.
- $A,B,C$ に入れたボールに書かれた数の総積をそれぞれ $a, b, c$ としたとき, これら $3$ 数の最大公約数は $1$ である.