　正整数 $n$ と素数 $p$ に対して， $\mathrm{ord}_p(n)$ を $n$ が $p$ で割り切れる最大の回数と定義する．

　$c$ を割り切らない任意の素数 $p$ について，1つ目の条件より， $$ \mathrm{ord}_p(a)+\mathrm{ord}_p(b)\leq \mathrm{ord}_p(a^c+b)$$
となる．ここで $\mathrm{ord}_p(b)\lt \mathrm{ord}_p(a^c)$ と仮定すると， $$ \mathrm{ord}_p(a)+\mathrm{ord}_p(b)\leq \mathrm{ord}_p(a^c+b)=\mathrm{ord}_p(b) $$
より $\mathrm{ord}_p(a)=0$ となるが，これは仮定と矛盾する．また $\mathrm{ord}_p(b)\gt \mathrm{ord}_p(a^c)$ と仮定すると， 
$$ \mathrm{ord}_p(a^{c+1})\lt \mathrm{ord}_p(a)+\mathrm{ord}_p(b)\leq \mathrm{ord}_p(a^c+b)=\mathrm{ord}_p(a^c) $$ 
となりやはり矛盾する．したがって $\mathrm{ord}_p(b)=\mathrm{ord}_p(a^c)$を得る．この式は $c$ を割り切らない任意の素数 $p$ で成り立つから，
$$d=(cと互いに素なaの約数のうち最大のもの), \quad e=\dfrac{a}{d} $$
とすると， $b$ は $d^c$ を割り切ることが分かる． $f=\dfrac{b}{d^c}$ とすると，問題文の各条件は以下と同値である．

- $def$ は $c(e^c+f)$ を割り切る．
- $d\geq 2$  （ $a$ は $c$ で割り切れない素因数を持っていることより）
- $de,fd^c,c$ は $1000$ 以下の正整数．

いま，$2^c\leq fd^c=b\leq 1000$ より $c\leq 9$ である．$c=9$ のとき $fd^9\leq 1000$ より $d=2,f=1$ となる．このとき，１つ目の条件より $2e$ は $9(e^9+1)$ を割り切るから， $e$ は $1,3,9$ のいずれか．それぞれの場合， $(a,b,c)=(2,512,9),(6,512,9),(18,512,9)$ であり，これは各条件を全て満たす．\
　以上より $c_\mathrm{max} = 9$ であり，求めるべき値は $\mathbf{119808}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce003/editorial/10277
　以下の条件を全て満たす正整数の組 $(a,b,c)$ を**まぶしい組**とよびます．

- $ab$ は $c(a^c+b)$ を割り切る．
- $a$ は $c^{10}$ を割り切らない．
- $a,b,c$ は全て $1000$ 以下の正整数．

まぶしい組 $(a, b, c)$ における $c$ としてあり得る最大値を $c_\mathrm{max}$ とします． $c=c_\mathrm{max}$ を満たすまぶしい組 $(a,b,c)$ 全てについて $abc$ の総和を求めてください．