　任意の $n$ に対して
$$ \frac{n^2 + n + 1}{n\left(n + 1\right)\left(n + 1\right)!} = \frac{\left(n + 1\right)^2 - n}{n\left(n + 1\right)\left(n + 1\right)!} = \frac1{n \times n!} - \frac1{\left(n + 1\right) \left(n + 1\right)!}, $$
$$ \frac{n^2 + 2n + 2}{n\left(n + 1\right)\left(n + 2\right)!} = \frac{\left(n + 1\right)\left(n + 2\right) - n}{n\left(n + 1\right)\left(n + 2\right)!} = \frac1{n \left(n + 1\right)!} - \frac1{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)!} $$
が成立するから
$$ S + T = \left(1 - \frac1{1201 \times 1201!}\right) + \left(\frac12 - \frac1{1201 \times 1202!}\right) = \frac{\frac{1201\times1202!}{2\times401} - 1}{\frac{1201\times1202!}{3\times401}}. $$ 
最右辺の表示は既約であり
$$ p + q + 1 = \frac{5 \times 1201 \times 1202!}{6 \times 401} $$
が分かる．Legendreの定理より，これは $5$ で $299$ 回割り切れ，求める値も $\mathbf{299}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3488
　以下で定まる $S, T$ について，$S + T$ は互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $\dfrac pq$ と表されます．
$$ S = \sum_{n=1}^{1200} \frac{n^2 + n + 1}{n\left(n + 1\right)\left(n + 1\right)!},\quad T = \sum_{n=1}^{1200} \frac{n^2 + 2n + 2}{n\left(n + 1\right)\left(n + 2\right)!}. $$ 
このとき，$p + q + 1$ の十進法による表記で末尾に並ぶ $0$ の個数を求めてください．