　対称性より $p\le q\le r$ として考えてよい．\
　$p$ を法とする $4$ の位数を $a$ とする．フェルマーの小定理と仮定より
$$4^{p-1}\equiv4^{2qr}\equiv 1\pmod p$$
であるから，$a\mid\gcd(p-1, 2qr)$ である．ここで，$q,r$ はいずれも $p-1$ より大きい素数であることより $p-1$ と互いに素であるので，$\gcd(p-1,2qr) = \gcd(p-1,2) = 2$ である．よって，$4^{2} - 1 = 15$ は $p$ で割り切れるから $p$ は $3$ または $5$ である．$p = 3$ であるとすると，
$$4^{qr}+1 \equiv 1^{qr}+1 = 2 \pmod 3$$
となり矛盾するので，$p = 5$ である．\
　$q$ を法とする $4$ の位数を $b$ とする．フェルマーの小定理と仮定より
$$4^{q-1}\equiv4^{10r}\equiv 1\pmod q$$
であるから，$b\mid\gcd(q-1, 10r)$ である．ここで，$r$ は $q-1$ より大きい素数であることより $q-1$ と互いに素であるので，$\gcd(q-1,10r) = \gcd(q-1,10)\mid10$ である．よって，
$$4^{10} - 1 = (2^{10} - 1)(2^{10} + 1)$$
は $q$ で割り切れる．また，
$$4^{5r} + 1 = 2^{10r} + 1 = (2^{10} - 1)\times\frac{2^{10r} -1}{2^{10} - 1} + 2$$
が $q$ の倍数であることより，$q$ は $2^{10} - 1$ の約数でない．よって，$q$ は $2^{10} + 1 = 5^2 \times41$ の素因数であるから $5$ または $41$ である．\
　$r$ を法とする $4$ の位数を $c$ とし，$q$ の値で場合分けして $r$ を求める．ここで，次の補題が成り立つことに気をつける．

**補題．**任意の $-1$ でない整数 $x$ と奇素数 $P$ について，$\dfrac{x^P + 1}{x + 1}$ の素因数は $P$ か $P$ で割って $1$ 余る素数である．
<details><summary>証明<\/summary>
　$x$ を $-x$ に置き換えて，任意の $1$ でない整数 $x$ について $\dfrac{x^P - 1}{x - 1}$ の素因数は $P$ か $P$ で割って $1$ 余る素数であることを示す．\
　素数 $Q$ が $\dfrac{x^P - 1}{x - 1}$ の約数であって $P$ でないとする．$Q$ を法とする $x$ の位数を $d$ とすると，
$$d\mid\gcd(P,Q-1)\mid P$$
であるから $d$ は $1$ か $P$ である．$d = 1$ であるとすると $Q\mid x - 1$ であるから，LTEの補題より $$v_Q(x^P - 1) = v_Q(x - 1) + v_Q(P) = v_Q(x - 1)$$
となり，$Q$ が $\dfrac{x^P - 1}{x - 1}$ の約数であることに矛盾する．よって $d = P$ であるが，このとき $P \mid Q - 1$ であるから $Q$ は $P$ で割って $1$ 余る．よって示された．
<\/details>

- $q = 5$ であるとき\
　$r\mid 2^{50} + 1 = (2^{10} + 1)\times\dfrac{(2^{10})^5 + 1}{2^{10}+1}$ であるから，まず $2^{10} + 1 = 5^2 \times41$ の素因数 $5, 41$ は $r$ として適する．次に，補題より$\dfrac{(2^{10})^5 + 1}{2^{10}+1}$ の $5$ でも $41$ でもない素因数のうち $150$ 以下であるものがあるとすれば$$11, ~ 31, ~ 61, ~ 71, ~ 101, ~ 131$$
の中のいずれかである．ここで，$5$ と互いに素な整数 $k$ を用いて $r = 10k + 1$ と表されるとすると， $c\mid\gcd(r-1,50)=10$ であるから，$q$ のときと同様の議論をすることで $101$ 以外の全ての候補が $2^{50} + 1$ を割り切らず $r$ として適さないとわかる．また，$101$ については，$2^{50} + 1$ の約数であることが確認できるので $r$ として適する．
- $q = 41$ であるとき\
　$r\mid 2^{410} + 1  = (2^{10} + 1)\times\dfrac{(2^{10})^{41} + 1}{2^{10}+1}$ であるから，まず $2^{10} + 1 = 5^2 \times41$ の素因数 $5, 41$ のうち $q$ 以上である $41$ は $r$ として適する．次に，補題より$\dfrac{(2^{10})^{41} + 1}{2^{10}+1}$ の $41$ でない素因数のうち $150$ 以下であるものがあるとすれば $83$ のみであるが，$83\mid2^{82\times5} - 1 = 2^{410} - 1$ なので，$83$ は $2^{410} + 1$ は割り切らず $r$ として適さない．

以上より，$(p,q, r)$ の候補として
$$(5,5,5), \quad (5,5,41), \quad (5,5,101),\quad (5,41,41)$$
とその並べ替えが挙げられ，これらは全て条件を満たすので，これが求める全ての組である．特に解答すべき値は $\bf{12080}$ である．
　
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/10426
　$150$ 以下の素数 $p,q,r$ について，
$$\quad\frac{4^{qr} + 1}{p}, \quad\frac{4^{rp} + 1}{q}, \quad\frac{4^{pq} + 1}{r}$$
がすべて整数であるとき，$pqr$ としてありうる値の総和を解答してください．