$$10^{12}=(10^6)^2=(10^4)^3=(10^2)^6$$
であるから, $10^{12}$ 以下の正整数のうち, 平方数は $10^6$ 個, 立方数は $10^4$ 個, 平方数かつ立方数である数は $10^2$ 個である.
従って, 求める個数は $10^6+10^4-10^2=\mathbf{1009900}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc117/editorial/2923
　$10^{12}$ 以下の正整数のうち，平方数**または**立方数であるものはいくつありますか？