　$N = 100$ とする．方程式 $P(x)=0$ のすべての（重複を含む）解の逆数を解とする方程式は，
$$x^{18N+1}+px^{17N+1}-px^{9N+1}-1=0$$
である（この左辺を $R(x)$ とおく）．$Q(x)=0$ の解は $\alpha, 1\/\alpha\\;(\alpha\neq0)$ と表せる．$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるならば，$\alpha$ は $P(x)=0, R(x)=0$ の共通解であるから，次の式が成り立つ．
$$R(\alpha)-P(\alpha)=p\alpha^{N}(\alpha^{8N+1}-1)(\alpha^{8N}-1)=0$$

$(1)$ $p=0$ の場合　$P(\alpha)=0$ より，$\alpha^{18N+1}=1$．
- $\alpha=1\/\alpha=1$ のとき，$Q(x)=(x-1)^2$ である．このとき，座標平面において，グラフ $y=P(x)$ が $x=1$ で $x$ 軸に接する必要があるが，$P^\prime(1)\neq0$ であり不適．
- $\alpha\neq1$ のとき，対応する $Q(x)$ は，複素数の組
$$\biggl(\cos\dfrac{2k\pi}{18N+1}+i\sin\dfrac{2k\pi}{18N+1},\\;\cos\dfrac{2k\pi}{18N+1}-i\sin\dfrac{2k\pi}{18N+1}\biggr)\quad(k=1, 2,\cdots, 9N)$$
を根にもつ $9N$ 個である．これらの $Q(x)$ すべてについて $q$ の総和は，解と係数の関係より，方程式 $x^{18N+1}-1=0$ の $1$ 以外の解の総和に $-1$ をかけたものに等しいから $1$ である．

$(2)$ $p\neq0, \alpha^{8N+1}\neq1$ の場合　

　$\alpha^{8N}=1, \alpha\neq1$ であるが，$8N$ と $18N+1$ が互いに素より，$P(\alpha)=\alpha^{18N+1}-1\neq0$ であり不適．

$(3)$ $p\neq0, \alpha^{8N+1}=1$ の場合
- $\alpha=1\/\alpha=1$ のとき，$Q(x)=(x-1)^2$ である．このとき，$P(1)=0, P^\prime(1)=0$ より　$p=-\dfrac{18N+1}{8N}$．
- $\alpha\neq1$ のとき，対応する $Q(x)$ は，複素数の組
$$\biggl(\cos\dfrac{2k\pi}{8N+1}+i\sin\dfrac{2k\pi}{8N+1},\\;\cos\dfrac{2k\pi}{8N+1}-i\sin\dfrac{2k\pi}{8N+1}\biggr)\quad(k=1, 2,\cdots, 4N)$$
を根にもつ $4N$ 個である．これらの $Q(x)$ すべてについて $q$ の総和は $1$ である．また，
$$ p = \dfrac{\alpha^{18N+1}-1}{-\alpha^{9N}+\alpha^{N}} 
= \dfrac{\alpha^{2N-1}-1}{\alpha^{N}-\alpha^{N-1}} 
= \frac{\alpha^{2N-2} + \alpha^{2N-3} + \cdots + 1}{\alpha^{N-1}}
= 1 + \sum_{l = 1}^{N-1} \left( \alpha^l + \alpha^{-l} \right) $$
であり，$\zeta = \cos\dfrac{2\pi}{8N+1}+i\sin\dfrac{2\pi}{8N+1}$ とおくと $\alpha$ は $\zeta^k$ $(1 \leqq k \leqq 4N)$ を動くので，これら全てについての $p$ の総和は
$$ \begin{aligned}
\sum_{k = 1}^{4N} \left( 1 + \sum_{l = 1}^{N-1} \left( \zeta^{kl} + \zeta^{-kl} \right) \right) 
&= 4N + \sum_{l = 1}^{N-1} \sum_{k = 1}^{4N} \left( \zeta^{kl} + \zeta^{-kl} \right) \\\\
&= 4N + \sum_{l = 1}^{N-1} \left( \frac{\zeta^l (\zeta^{4Nl} - 1)}{\zeta^l - 1} + \frac{\zeta^{-l} (\zeta^{-4Nl} - 1)}{\zeta^{-l} - 1} \right) \\\\
&= 4N + \sum_{l = 1}^{N-1} \left( -1 \right) = 3N + 1
\end{aligned} $$
となる．ここで $\zeta^{(4N+1)l} = \zeta^{-4Nl}$ に注意せよ．

　以上より $S=\dfrac{24N^2-10N-1}{8N}$ であり，特に解答すべき値は $\bm{239799}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc204/editorial/7867
　実数 $p, q$ に対して，$x$ の多項式 $P(x), Q(x)$ を
$$P(x)=x^{1801}+px^{900}-px^{100}-1,\quad Q(x)=x^2+qx+1$$
と定めます．$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるような実数の組 $(p, q)$ すべてについての $p+q$ の総和を $S$ とします．$S$ は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

<details><summary>多項式が割り切れるとは<\/summary>

　実数係数多項式 $A(x), B(x)$ について， $A(x)$ が $B(x)$ で**割り切れる**とは，ある実数係数多項式 $C(x)$ が存在して 
$$A(x) = B(x) C(x)$$ 
が成り立つことをいいます．
<\/details>