　人を頂点とし，互いに指差しているペアの間に辺を張ることで無向グラフを構成すると，すべての頂点の次数が $2$ となる．そのようなグラフは，いくつかの長さ $3$ 以上のサイクルに分解されるから，今回は長さ $5$ のサイクルがちょうど一つできることになる．よって，求める値は長さ  $5$ の数珠順列の個数だから，$\textbf{12}$ 通り.
<details><summary>「無向グラフ」とは<\/summary>
「無向グラフ」とは，いくつかの頂点の集合 $V$ と，いくつかの $2$ つの頂点の間を結ぶ辺の集合 $E$ の組 $(V,E)$ のことである．本解説では，$5$ 人の生徒の集合を $V$ とし，お互いに指を差し合っている $2$ 人組の集合を $E$ としている．
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<details><summary>「次数」とは<\/summary>
無向グラフにおけるある頂点の「次数」とは，その頂点を端点に持つ辺の数のことを指す．本問の場合，どの生徒についても，ちょうど $2$ 人を指差しており，指を差した相手からは指を差し返されていることが保証されているので，全ての生徒について次数は $2$ である．
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<details><summary>「サイクル」とは<\/summary>
無向グラフにおける「サイクル」とは，相異なる $3$ つ以上の頂点 $V_1, V_2, \ldots,V_k$ であって，$V_1$ と $V_2$，$V_2$ と $V_3$，$\ldots$ ，$V_k$ と $V_1$ を結ぶ辺があることを指す．なお，$E$ に多重集合を許す場合は，相異なる $2$ つの頂点であって，その間に $2$ 本以上の辺が存在するものもサイクルである．
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公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/editorial/6803
　$ 5 $ 人の生徒がおり，それぞれが一斉に自分以外の $ 2 $ 人を指差したとき，どの $ 2 $ 人の生徒についても互いに指差しているか，互いに指差していないかのどちらかでした．このような指差し方は何通りありますか．ただし，それぞれの生徒は区別します．