　素数 $p$ を固定し，正整数 $a\lt b$ に対する方程式
$$\dfrac{ab}{a+2b}=p$$
を考える．$(a-2p)(b-p)=2p^2$ と変形できるため，$a\lt b$ に注意すると解は以下で与えられる．
- $p=2$ のとき $(a,b)=(5,10)$
- $p\geq 3$ のとき $(a,b)=(2p+1,2p^2+p),(2p+2,p^2+p)$

よって，次のように定めると $D$ は黒板に書かれた整数の集合としてあり得るもののうち最大かつ，黒板に書かれ得る整数を全て含む．
- $A=\\{2p+1,2p^2+p\mid pは3以上の素数, ~ 2p^2+p\leq 2022\\}$
- $B=\\{2p+2,p^2+p\mid pは3以上の素数, ~ p^2+p\leq 2022\\}$
- $C=\\{5,10\\}$
- $D=A\cup B\cup C$

　これより $S=2\times 31^2+31=1953$ となり，また $|A|=20,|B|=25,|C|=2$ がわかる．
$|B|$ については $12=2\times 5+2=3^2+3$ に注意せよ．
$A$ の要素は全て奇数，$B$ の要素は全て偶数であることに留意すると，
$$A\cap B=B\cap C=C\cap A=\emptyset$$
が確認できる．よって $T=|D|=|A|+|B|+|C|=47$ であり，解答すべき値は $1953\times 47=\mathbf{91791}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/2255
　黒板に $1$ 以上 $2022$ 以下の相異なる整数がいくつか書かれており，以下の条件

- 黒板に書かれた任意の数 $x$ に対し，黒板に書かれた $x$ 以外の数 $y$ であって，$$\dfrac{xy}{x+y+\max(x,y)}$$が素数となるようなものが存在する． 

をみたしています．このとき，書かれている**数**としてありうる最大値を $S$，書かれている**数の個数**としてありうる最大値を $T$ としたとき，**積** $S\times T$ を求めてください．