　与えられた等式から $m^n$ は $1110$ の約数だが，$1110$ は $1$ より大きい平方数で割り切れないので $m, n$ のうち少なくとも一方は $1$ である．$m = 1$ のときは
$$n + 110 = 1110$$
から $n = 1000$ が得られ，$n = 1$ のときは
$$111m = 1110$$
から $m = 10$ が得られる．よって適する $(m, n)$ は $(1, 1000), (10, 1)$ の $2$ つであり，求める総和は $\mathbf{1012}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc228/editorial/9738
　以下の等式をみたす正整数の組 $(m, n)$ すべてに対して，$m + n$ の総和を求めてください．
$$m^n(n^m + 110) = 1110$$