　$n = 10000$ とし，$p_k = \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^k$ とおく．また $a_1, a_2, \ldots, a_n$ の $d$ 次の基本対称式を $\sigma_d$ とおく．このとき $1 \leq k \leq n$ について $p_k$ は $\sigma_1, \ldots, \sigma_k$ の多項式で表されることに注意する．

　$p_k = 2^k + 3^k $ $(k = 1, 2, \ldots, n-1)$ および $\sigma_n = 2024$ をみたす多項式
$$ P(x) = (x-a_1) (x-a_2) \cdots (x - a_n) $$
を決定することを考える．$p_1, \ldots, p_{n-1}$ は $\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$ によって表され，$\sigma_n$ にはよらないので，$C$ を定数として
$$ P(x) = (x-2)(x-3)x^{n-2} + C $$
は $p_k = 2^k + 3^k$ の条件をすべてみたしている（$C = 0$ の場合を考えれば $a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = a_4 = \cdots = 0$ とできるため）．ここに $C = \sigma_n = 2024$ を代入して，
$$ P(x) = (x-2)(x-3)x^{n-2} + 2024 $$
が求める多項式である．すると，
$$ \begin{aligned}
p_n &= \sum_{i=1}^n \left( a_i^n - P(a_i) \right) \\\\
&= \sum_{i=1}^n \left( 5a_i^{n-1} - 6 a_i^{n-2} - 2024 \right) \\\\
&= 5p_{n-1} - 6p_{n-2} - 2024n \\\\
&= 2^n + 3^n - 2024n
\end{aligned} $$
であり，これを素数 $p = 4999$ で割ったあまりは，
$$ 2^{2p+2} + 3^{2p+2} - 2024(2p+2) \equiv 2^4 + 3^4 - 4048 \equiv \mathbf{1048} \pmod{p} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce003/editorial/10300
　複素数 $a_1,a_2,…,a_{10000}$ は以下の条件をともに満たします．

- $k=1,2,…,9999$ それぞれに対して，$\displaystyle \sum_{i=1}^{10000}a_i^k=2^k+3^k$．
- $\displaystyle \prod_{i=1}^{10000}a_i=2024$．

　このとき， $\displaystyle \sum_{i=1}^{10000}a_i^{10000}$ の値は一意に定まり，正整数値になります．この値を素数 $4999$ で割った余りを求めてください．