　最大公約数 $g$ について, $a=Ag,b=Bg$ とおけば, 最小公倍数は $ABg$ であるから, 条件は
$$(AB-1)g=2021=43\times 47$$
特に $g=1,43,47,2021$ のいずれかであり, それぞれ調べることで全体では $\textbf{9}$ 組である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc065/editorial/2223
　正整数の組 $a\lt b$ であって, それらの最小公倍数と最大公約数の差が $2021$ であるものはいくつありますか？