　$N=54$ とおき, ここではカードやパケットの番号を $0$ から始めて数えるものとする.\
　デッキの上から $n$ 枚目のカードが, 一度の $d$-シャッフルで上からデッキの上から $g(n)$ 枚目に移動するとする. $n$ の $d$ による割り算を $n=jd+k$ と表すと, 前半の手順でパケット $k$ の上から $j$ 枚目に移るから, 
$$g(n)= N-k\times\dfrac{N}{d}-j-1\equiv -\dfrac{N}{d}\times n \pmod{N-1} $$
ここで $0$ 枚目と $N-1$ 枚目は一回のシャッフルで入れ替わるから, $1$ 枚目から $N-2$ 枚目について答えを求め, それと $2$ との最小公倍数を取ればよい. 結局, 任意の $n=1,2,\cdots,N-2$ に対し,
$$ \left(-\dfrac{N}{d}\right)^x\times n\equiv n \pmod{N-1}$$
すなわち $(-N\/d)^x\equiv 1$ なる最小の $x=x(d)$ をそれぞれの $d$ について考えることに帰着された. Fermatの小定理より $x(d)$ は常に $\varphi(53)=52$ の約数であることに留意すれば, これは以下のように計算できる.
$$x(1)=x(54)=2,\quad x(6)=x(9)=13,\quad x(2)=x(3)=x(18)=x(27)=52$$
奇数の場合の処理に注意すれば, 解答すべき値は $2\times2+26\times2+52\times4=\textbf{264}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/editorial/2305
　相異なる全 $54$ 枚のカードを重ねたものを**デッキ**と呼び, デッキをいくつかに分割したものを**パケット**と呼びます. また, デッキに対して以下で定義される一連の操作を **$d$-シャッフル**と定義します.

- 操作前にデッキに重ねられたカードを**上から**順に $1$ 枚目, $2$ 枚目, ... , $54$ 枚目とする.
- デッキをパケット $1$ からパケット $d$ に分割する. パケット $i$ は $i$ 枚目, $i+d$ 枚目, ... からなる.
- 各パケット内の上下をすべて入れ替え, パケット $i$ の上にパケット $i+1$ を積む要領で, デッキを再構成する.


　$d$-シャッフルを繰り返し行ったとき, デッキが一度目の $d$-シャッフルを行う前の順序にはじめて戻る $d$-シャッフルの回数を $f(d)$ とするとき, すべての $54$ の正の約数 $d$ について $f(d)$ の総和を求めてください. \
　以下に,  デッキが全 $12$ 枚である場合の $3$-シャッフルの様子を示します (上下を左右に置き換えています)：
$$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \to 12,9,6,3,11,8,5,2,10,7,4,1$$