　$\ell$ の両端を $A,B$ とし, $\omega_1,\omega_2$ と $\ell$ の接点をそれぞれ $U_1,U_2$ とする.\
　このとき, well-known factとして $S_1U_1$ および $S_2U_2$  の交点 $M$ は弧 $AB$ の中点にあたり, さらに 
$$MS_1\times MU_1=MA^2=MS_2\times MU_2$$
より $4$ 点 $S_1,S_2,U_1,U_2$ は共円である. この円と $\omega_1,\omega_2$ の根心は $M$ であることから, 点 $T$ での両円への接線は $M$ を通る. したがって $MA=MT=MB$ が成立し, 直線 $MT$ と $\Gamma$ の交点のうち $M$ でない方を $C$ とおくと,  $T$ は三角形 $ABC$ の内心である.\
　条件より三角形 $ABC$ について内接円の半径は $d$, 外接円の半径は $r$, 内心と外心の距離は $OT$ であるから, Eulerの定理より $OT^2=r^2-2dr$ が従う. これを $d^2$ で辺々割り, $r\/d$ について解くことで
$$\displaystyle\frac{r}{d}=1+\sqrt{1+\left(\frac{OT}{d}\right)^2}=\dfrac{10+\sqrt{149}}{10}$$
特に解答すべき値は $10+149+10=\textbf{169}$ である.\
　なお情報 $\angle S_1OS_2=120^\circ$ は過剰であるが, これをみたす図は実際に存在する.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc059/editorial/1467
　長さ追跡による解法です．\
$w_{1} , w_{2}$ の中心をそれぞれ $O_{1} , O_{2}$ とし，半径をそれぞれ $r_{1} , r_{2}$ とする．また，$w_{1} , w_{2}$ と $l$ との接点をそれぞれ $U_{1} , U_{2}$ とする．\
$O_{1}U_{1} = O_{1}T = r_{1} , O_{2}U_{2} = O_{2}T = r_{2}$ より，$d = \dfrac{2r_{1}r_{2}}{r_{1} + r_{2}}$ が得られる．また，$\Gamma$ は $w_{1} , w_{2}$ にそれぞれ接している事から $O_{1}T = r - r_{1} , O_{2}T = r - r_{2}$ がわかるので，三角形 $OO_{1}O_{2}$ に注目して，Stewartの定理から

$$\begin{aligned}
& OO_{1}^{2} \times O_{2}T + OO_{2}^{2} \times O_{1}T - O_{1}O_{2} (O_{1}T \times O_{2}T + OT^{2}) \\\\
& = (r - r_{1})^{2} \times r_{2} + (r - r_{2})^{2} \times r_{1} - (r_{1} + r_{2})\left(r_{1}r_{2} + \left(\dfrac{7r_{1}r_{2}}{5(r_{1}+r_{2})}\right)^{2}\right) \\\\
& = (r_{1} + r_{2}) (r^{2} - 2dr - \dfrac{49}{100} d^{2}) \\\\
& = 0
\end{aligned}$$

よって，$r_{1} + r_{2} \not = 0 , r \gt 0$ より，$r = \dfrac{10 + \sqrt{149}}{10} d$ なので，求める値は $\bf{169}$ である．
計算での解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc059/editorial/1467/324
　点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円 $\Gamma$ およびその弦 $\ell$ があります. 互いに $T$ で外接する円 $\omega_1$ および $\omega_2$ は, 中心がともに $\Gamma$ の内部の $\ell$ に関して同じ側にあり, どちらも $\Gamma$ および $\ell$ の両方と接しています. このとき, $\omega_1,\omega_2$ と $\Gamma$ の接点をそれぞれ $S_1,S_2$ とすると, $\angle S_1OS_2=120^\circ$ が成り立ちました.\
　さらに $T$ と $\ell$ の距離 $d$ について, $OT:d=7:10$ が成り立つとき, 正整数 $a,b,c$ が存在して
$$r:d=(a+\sqrt{b}):c$$
と表されるので (ただし $b$ は $1$ より大きい平方数で割り切れない), $a+b+c$ を解答してください.