　$r = \lfloor r \rfloor + \lbrace r \rbrace$ を用いて与式を変形すると，
$$
\begin{aligned}
\dfrac{1}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{1}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{25}{4r}
&\iff\dfrac{r}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{r}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{25}{4} \\\\
&\iff\dfrac{\lfloor r \rfloor + \lbrace r \rbrace}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{\lfloor r \rfloor + \lbrace r \rbrace}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{25}{4} \\\\
&\iff \dfrac{\lfloor r \rfloor}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{\lbrace r \rbrace}{\lfloor r \rfloor} + 2 = \dfrac{25}{4}\\\\
&\iff \dfrac{\lfloor r \rfloor}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{\lbrace r \rbrace}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{17}{4}
\end{aligned}$$ 
が分かる．$\dfrac{\lfloor r \rfloor}{\lbrace r \rbrace} = t$ とすると，$t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{17}{4}$ となり，これを解くことで $t = 4, \dfrac{1}{4}$ が従う．$0 \lt \lbrace r \rbrace \lt 1$，及び $\lfloor r \rfloor$ が正整数であることを合わせて，
$$(\lbrace r \rbrace, \lfloor r \rfloor) = \left (\dfrac{1}{4} \ , 1 \right), \left (\dfrac{1}{2} \ , 2 \right ), \left (\dfrac{3}{4} \ , 3 \right )$$ 
が分かる．よって，$r$ としてあり得る値の総和は $\dfrac{15}{2}$ となり，特に解答すべき値は $\mathbf{17}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc225/editorial/10674
　整数でない，$1$ 以上の実数 $r$ であって，以下の等式をみたすものの総和を求めてください．
$$\dfrac{1}{\lbrace r \rbrace} + \dfrac{1}{\lfloor r \rfloor} = \dfrac{25}{4r}$$ 
　ただし，答えは互いに素な正整数 $a, b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ の値を解答して下さい．また，正の実数 $x$ について $\lfloor x \rfloor$ で $x$ の整数部分，$\lbrace x \rbrace$ で $x$ の小数部分を表すものとします．