　$S$ の部分集合とその補集合からなる $2^{11}$ 組のペアを考える．$N\le 2^{11}$ ならば，これらの組それぞれから高々 $1$ つずつ集合を選ぶことで条件をみたさないようにできる．一方で $N\ge 2^{11}+1$ ならば，鳩の巣原理により必ず条件をみたすことがわかる．従って，求める答えは $2^{11} + 1 =\bf{2049}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc003/editorial/5130
　$S=\\{1,2,3,\ldots,12\\}$ とおきます．次の条件をみたす $1$ 以上 $4096~(=2^{12})$ 以下の整数 $N$ のうち，最小のものを求めて下さい：

- 相異なる $S$ の部分集合（空集合でもよい）を $N$ 個選んだとき，補集合の関係にある $2$ つが必ず含まれる．

　ここで，$S$ の部分集合 $A,B$ が補集合の関係にあるとは，$A\cap B=\emptyset$，$A\cup B=S$ をみたすことをさします．