　$7,11,13$ の最小公倍数は $1001$ であるから，条件は以下と同値である．

- 上 $3$ 桁と下 $3$ 桁が一致し，それらが $3$ で割り切れない．

$3$ 桁の正整数が $3$ で割り切れない確率は $\dfrac{2}{3}$ であり，上 $3$ 桁を固定したとき下 $3$ 桁が適するものになる確率は $\dfrac{1}{1000}$ であるから，全体で求める確率は
$$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{1000}=\dfrac{1}{1500}$$
であり，解答すべき値は $\textbf{1501}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/editorial/1538
　OMC君は，$6$ 桁の正整数 (すなわち $100000$ から $999999$ まで) のうち一つを等確率で選びました．このとき，選んだ数が $3$ で割り切れないが $7$ でも $11$ でも $13$ でも割り切れる確率を求めてください．ただし，求める確率は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．