【動画解説】https:\/\/youtu.be\/Rha6JK_IwAc

 　問の条件をみたす連携の様子は，特定の $2$ 頂点 $X,Y$ を含む互いに区別可能な $30$ 個の頂点について，$X,Y$ については次数が $3$ に，その他の $28$ 頂点については次数が $2$ になるように，全体が単純かつ連結となるよう無向辺を張ったグラフとみなせる．
このとき，$X$ を出発して同一の頂点を $2$ 回以上通ることなく $Y$ へ移動する経路 (**良い経路**と呼ぶことにする) は $1$ 通りまたは $3$ 通りあることが確認できる．\
　次のように場合分けすると，グラフはそれぞれ図のような形になっている．それぞれ赤点線の引かれた辺を除けば $28$ 頂点を一列に並べたのち適切に $X,Y$ を挿入する操作に対応づけられるため，次のように計算できる．
- (a)：良い経路が $1$ 通りのとき，$28!\times{}\_{26}\mathrm{C}\_{2}\/2^2=27!\times2275\ (通り)$
- (b)：良い経路が $3$ 通りかつ $X,Y$ 間に辺があるとき，$28!\times{}\_{27}\mathrm{C}\_{1}\/2=27!\times378\ (通り)$
- (c)：良い経路が $3$ 通りかつ $X,Y$ 間に辺がないとき，$28!\times{}\_{27}\mathrm{C}\_{2}\/3!=27!\times1638\ (通り)$

　以上より求めるべき値は $\dfrac{M}{27!}=2275+378+1638=\bf{4291}$．
![figure 1](\/images\/hbUrp5D45EuPcjPXABV0smIqJPq6b5GOrMcHv0u7)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc088/editorial/3326
　OMC図書館がある地域には，OMC図書館も合わせて全部で $30$ 軒の図書館があります．$2$ つの図書館が**連携**しているとき，それらは相互に本を譲渡することができます．\
　いま，$30$ 軒のうち $X$ 図書館と $Y$ 図書館はそれぞれ自身以外の $3$ 軒の図書館と連携しており，残りの $28$ 軒の図書館はそれぞれ自身以外の $2$ 軒の図書館と連携しています．ここで，$X$ 図書館と $Y$ 図書館はともにOMC図書館とは異なります．\
　各図書館が適当な譲渡を繰り返し行うことでOMC図書館がどの図書館にある本も譲渡してもらうことが可能であるとき，$30$ 軒の図書館の連携の仕方として考えられるものは $M$ 通りあります．$\dfrac{M}{27!}$ を解答してください．