　与えれられた等式を変形すると
$$k(l - k)(m - l)(n - m) = 10^{1110} \tag{1}$$
となる．ここで条件 $k \lt l \lt m \lt n$ から $k, l, m, n$ は正整数 $a, b, c, d$ を用いて
$$k = a，l = a + b，m = a + b + c，n = a + b + c + d$$
と表せるので，式 $(1)$ から
$$abcd = 10^{1110} \tag{2}$$
が得られる．また，問題の $6$ 条件はそれぞれ次のように言い換えられる．
- $k, l, m$ はこの順で等差数列をなす．$\rightarrow b = c$
- $l, m, n$ はこの順で等差数列をなす．$\rightarrow c = d$
- $2k = l$ が成り立つ．$\rightarrow a = b$
- $k + l = m$ が成り立つ．$\rightarrow a = c$
- $k + m = n$ が成り立つ．$\rightarrow a = d$
- $k + n = l + m$ が成り立つ．$\rightarrow b = d$

したがって式 $(2)$ をみたし，なおかつ $a, b, c, d$ の中に等しいペアが少なくとも $2$ 組含まれるような正整数の組 $(a, b, c, d)$ を数えればよい．そこで下記のように場合分けし，それぞれのケースで個数を求めよう．

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- $a = b = c = d$ のとき：\
　式 $(2)$ から
$$a^4 = 10^{1110}$$
が得られるが，$10^{1110}$ は整数の $4$ 乗で表せないので不適である．

- $a, b, c, d$ はちょうど $2$ 通りの値をとり，なおかつ同じ値の組で分けるとそれぞれ $3$ 個と $1$ 個になるとき：\
　$(a, b, c, d)$ は異なる正整数 $x, y$ によって
$$(x, x, x, y)，(x, x, y, x)，(x, y, x, x)，(y, x, x, x)$$
のいずれかの形で表すことができ，どの表し方であっても式 $(2)$ から
$$x^3y = 10^{1110}$$
が得られる．これをみたす $(x, y)$ の個数を $4$ 倍すればよい．この等式をみたすとき $x = y$ になることはないので，単に $10^{1110}$ を割り切る立方数の個数を数えればよく，このような数は $370$ 以下の非負整数 $p, q$ によって
$$2^{3p} \cdot 5^{3q}$$
と表せるので，全部で $371^2$ 個ある．したがってこのケースで適する $(a, b, c, d)$ の個数は $4 \cdot 371^2$ である．

- $a, b, c, d$ はちょうど $2$ 通りの値をとり，なおかつ同じ値の組で分けるとそれぞれ $2$ 個ずつとなるとき：\
　$(a, b, c, d)$ は異なる正整数 $x, y$ によって
$$(x, x, y, y)，(x, y, x, y)，(x, y, y, x)$$
のいずれかの形で表すことができ，どの表し方であっても式 $(2)$ から
$$xy = 10^{555}$$
が得られる．これをみたす $(x, y)$ の個数を $3$ 倍すればよい．この等式をみたすとき $x = y$ になることはないので，単に $10^{555}$ の正の約数の個数を数えればよくそれは $556^2$ 個である．したがってこのケースで適する $(a, b, c, d)$ の個数は $3 \cdot 556^2$ である．

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　以上の議論より，求める個数は
$$4 \cdot 371^2 + 3 \cdot 556^2 = \mathbf{1477972}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/editorial/10739
　$k \lt l \lt m \lt n$ なる正整数の組 $(k, l, m, n)$ であって
$$\begin{aligned}
k^2ln &+ k^2m^2 + kl^2m + klmn \\\\
&=k^2lm + k^2mn + kl^2n + klm^2 + 10^{1110}
\end{aligned}$$
をみたし，なおかつ以下 $6$ 条件のうち**少なくとも二つ**をみたすものは全部でいくつありますか？
- $k, l, m$ はこの順で等差数列をなす．
- $l, m, n$ はこの順で等差数列をなす．
- $2k = l$ が成り立つ．
- $k + l = m$ が成り立つ．
- $k + m = n$ が成り立つ．
- $k + n = l + m$ が成り立つ．