　必要十分条件として以下のように表現できることは容易に確認できる. 

- 左上 $4\times4$ マスは問題文の条件を満たす
- 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目の色を $c_{i,j}$ とするとき $c_{i,j}=c_{i-4,j}=c_{i,j-4}$

すなわち, $10\times10$ マスの塗り方は 左上 $4\times4$ マスの塗り方と一対一対応するから, $4\times4$ の塗り方の総数を求めればよい. 上一行と左一列の塗り方を固定すると, 残りの $3\times3$ マスの塗り方は以下の $4$ 通り存在する.

$$\begin{matrix}
0123 & & 0123 & & 0123 & & 0123 \\\\
1230 & & 1032 & & 1032 & & 1302 \\\\
2301 & & 2310 & & 2301 & & 2031 \\\\
3012 & & 3201 & & 3210 & & 3210
\end{matrix}$$

上一行と左一列の塗り方は $4!\times3!$ 通り存在するから, 求める塗り方の総数は $4\times4!\times3!=\bf{576}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc080/editorial/3196
　$10\times10$ のマス目の各マスを赤, 青, 黄, 緑のいずれか一色で塗る方法のうち, 次の条件を満たすものは何通りありますか.

- 任意の連続する横 $4$ マスに塗られた色は相異なる
- 任意の連続する縦 $4$ マスに塗られた色は相異なる