**解答1.**　まず $1$ 点を固定し, 他の $2$ 頂点を選ぶ方法は ${}\_{299}{\rm C}\_2$ 通りである. ここで, 正三角形は $1$ 回, 正三角形でない二等辺三角形は $3$ 回, 不等辺三角形は $6$ 回数えられていることを考慮する. 正三角形は $1$ 個, 正三角形でない二等辺三角形は $148$ 個であるから, 以下のように計算できる.
　　$$N=\dfrac{{}\_{299}{\rm C}\_2 + 1\times 5 + 148\times 3}{6} = \textbf{7500}$$
**解答2.**　$x+y+z=300$ かつ $x\leq y\leq z$ なる正整数の組 $(x,y,z)$ の個数を求めればよい. $x\leq 100$ を固定して $(y^\prime,z^\prime)=(y-x,z-x)$ とおけば, $y^\prime+z^\prime=300-3x$ かつ $y^\prime\leq z^\prime$ をみたす非負整数の組 $(y^\prime,z^\prime)$ の個数を求めればよく, これは $[(300-3x)\/2]+1$ である. よって, $N$ は以下のように計算できる.
　　$$\displaystyle N=\sum_{x=1}^{100}\left(\left[\dfrac{300-3x}{2}\right]+1\right)=(149+148)+(146+145)+\cdots+(2+1)=\textbf{7500}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc019/editorial/119
　正 $300$ 角形から相異なる $3$ 頂点を選んでできる三角形は, 回転・裏返しして一致するものは**同じもの**として数えるとき, $N$ 個です. $N$ を解答してください.