　$3^n$ の一の位は $n$ が $4$ で割って $2$ 余るときに $9$ となるから, $3^{4m+2}$ の最高位が $9$ であるような最小の $m$ を求めればよい. このことは, $3^{4m}$ と $3^{4m+2}$ の桁数が等しいこと, すなわち $4m\log_{10}3$ と $(4m+2)\log_{10}3$ の整数部分が等しいことと同値である. この整数部分を $i$ とすると, 条件はさらに次のように書くことができる：
$$ \frac{i}{2m}\lt 2\log_{10}3 \lt \frac{i+1}{2m+1} $$
　ここで $\alpha=2\log_{10}3$ とおけば, それぞれの正整数 $j$ について以下をみたす $p$ が一意に存在する：
$$ \frac{p-j}{p}\lt\alpha\lt\frac{p-j+1}{p+1} \quad\iff\quad \frac{j}{1-\alpha}-1\lt p\lt\frac{j}{1-\alpha} $$
このような偶数 $p$ としてあり得る最小のものを求めればよく, $j$ を小さい方から試せば $j=7$ で $p=152$ を得る. したがって求める最小の $m$ は $76$ であるから, 最小の $n$ に直せば $4\times76+2=\textbf{306}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/editorial/1942
　$10$ 以上の整数 $x$ について, $f(x)$ で $x$ の (十進数表記での) 最高位の数字と一の位の数字の積を表します. 例えば $f(2021)=2$ です. $n$ を $3$ 以上の整数とするとき, $f(3^n)$ が最大値をとるような $n$ のうち, 最小のものを求めてください.\
　ただし必要であれば, $\log_{10}3=0.4771212547\cdots$ を利用しても構いません.