　任意の実数 $t,x,y$ について $t^6P(x,y)=P(tx,ty)$ が成立することに留意すれば, 
$$P(1,1)=P(2,1)=\cdots=P(6,1)=0$$
が分かる. $P(x,1)$ は $x$ に関するモニックな $6$ 次多項式なので, 
$$P(x,1)=(x-1)(x-2)\cdots(x-6)$$
となる. 以上より
$$P\bigg(\sqrt7, \frac{1}{\sqrt7}\bigg)=\frac{1}{7^3}P(7,1)=\frac{6!}{7^3}=\frac{720}{343}$$
である. 特に解答すべき値は $\bf{1063}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/5848
　実数 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5,a_6$ に対し，
$$P(x,y) = x^6+a_1x^5y+a_2x^4y^2+a_3x^3y^3+a_4x^2y^4+a_5xy^5+a_6y^6$$
で定まる $2$ 変数多項式 $P(x,y)$ が
$$P\bigg(\sqrt1, \frac{1}{\sqrt1}\bigg)=
P\bigg(\sqrt2, \frac{1}{\sqrt2}\bigg)=
\cdots=
P\bigg(\sqrt6, \frac{1}{\sqrt6}\bigg)=0$$
をみたすとき，$P\bigg(\sqrt7, \dfrac{1}{\sqrt7}\bigg)$ の値を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．