　$X^2$ の最高位の数を取り除いてできる数を，整数 $Y$ を用い $Y^2$ とおく．また条件を順に (a),(b),(c) とする．$X\geq4$ と (b),(c) より，ある正整数 $n$ が存在して
$$(X+Y)(X-Y)=2^{n+3}\times5^n\quad\cdots(1),\qquad10^n\gt Y^2\quad\cdots(2)$$
が成り立つ（このとき $n+1$ は $X^2$ の桁数と一致する）．
簡単な議論により，(1) をみたす $(X,Y)$ の組はある $i,j\ (0\leq i\leq n+1,0\leq j\leq n)$ を用いて次の形に表されるとわかる．
$$(X,Y)=(2^i\times 5^j+2^{n+1-i}\times 5^{n-j},2^i\times 5^j-2^{n+1-i}\times 5^{n-j})$$

これを (2) に代入して整理すれば次が得られる ($t = 2^{2i}5^{2j}$ とおき，$t$ の二次不等式を解くことで得られる) ．
$$10^n\lt 2^{2i}\times 5^{2j}\lt 4\times 10^n\quad\cdots(3)$$

また (a) より $X$ は $10$ の倍数でないため，$i=0,i=n+1,j=0,j=n$ のうち少なくとも一つが成立しなければならない．必要ならば $(i,j)$ を $(n+1-i,n-j)$ で置き換えることで $i=0$ および $j=0$ の場合のみ考えればよい．また $j=0$ の場合 (3) より$10^n\lt 2^{2i}\lt 4\times 10^n$ であり $i\leq n+1$ に注意すればこれをみたすのは $(n,i)=(1,2)$ のみだが，これは $i=n+1$ をみたしているから $i=0$ の場合に帰着される．よって結局 $i=0$ として構わない．\
　(3) より$10^n\lt 5^{2j}\lt 4\times 10^n$ である．両辺の常用対数を取り $2\log_{10}2\lt 1$ に注意すれば，
$$0\lt\\{2(1-\log_{10}2)j\\}\lt 2\log_{10}2\quad\cdots(4)$$ をみたす $j$ を考えればよい．ただし $\\{x\\}$ で実数 $x$ の小数部分を表す．よって，$j$ を小さい方から試すことで，$6$ 番目に小さい(4)を満たす $j$ は $9$ であることが分かるが，より一般に，$j\leq 49$ の範囲で(4)を満たす $j$ は $j\equiv 1,3,4 \pmod{5}$ であることを以下のようにして示すことができる：\
　$j\le 49$ では次が成り立つ．

$$1.4j-0.196\leq 1.396j\lt 2(1-\log_{10}2)j\lt 1.398j\leq 1.4j$$

$\\{1.4j\\}$ のとり得る値は $0,0.2,0.4,0.6,0.8$ であることに注意すれば，$j\leq 49$ ならば次が成り立つ．
$$\\{1.4j-0.196\\}\lt\\{2(1-\log_{10}2)j\\}\lt\\{1.4j-0.196\\}+0.196$$

$0.602\lt 2\log_{10}2\lt 0.604$ に注意すれば，$j\leq 49$ の範囲で (4) をみたす $j$ は $j\bmod{5}=1,3,4$ なる $j$ であることがわかる．\
　以上より，求める値は $j = 9$ のときに得られ，このとき $n = 12$ であるから，求める値は $X=5^9+2^{13}\times 5^3={\bf 2977125}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/5047
　$(X, Y) = (5^j + 2^{n+1} \times 5^{n-j}, 5^j - 2^{n+1} \times 5^{n-j})$ までは省略(公式解説を参照, $j=0 \Rightarrow (n, i) = (1, 2)$ に関しては不等式 $(3)$ を使わなくても $Y^2 \lt 10^n$ から分かる)．$Y^2 \lt 10^n$ に $Y = 5^j - 2^{n+1} \times 5^{n-j}$ を代入すると
$$5^{2j} - 2^{n+2} \times 5^n + 2^{2n+2} \times 5^{2n-2j} \lt 10^n\\\\
\Leftrightarrow 5^{2j - 1} + 2^{2n+2} \times 5^{2n-2j - 1} \lt 10^n\\\\
\Rightarrow 5^{2j - 1} \lt 10^n, \quad 2^{2n+2} \times 5^{2n-2j-1} \lt 10^n$$
　得た $2$ 式について，それぞれ両辺の対数をとると，
$$(2j-1)(1- \log _{10} 2) \lt n, \quad (2n+2) \log _{10} 2 + (2n-2j-1)(1 - \log _{10} 2) \lt n\\\\
\Leftrightarrow (2j - 1)(1 - \log _{10} 2) \lt n \lt 2j+1 - (2j+3) \log _{10} 2\\\\
\Rightarrow 0.698(2j-1) \lt n \lt 2j+1 - 0.301(2j+3)$$
　これを満たす $(j, n)$ の組を昇順に並べると
$$(j, n) = (1, 1), (3, 4), (4, 5), (5, 7), (6, 8), (8, 11), (9, 12), \ldots$$
　$Y^2 \lt 10^n$ を満たすか順に調べることで，$(j, n) = (5, 7)$ が不適で $(j, n) = (9, 12)$ が $6$ 番目に小さい $X$ を与える組だと分かる．
公式解説の不等式(3)を導けなかった場合
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/5047/526
　次の条件をすべて満たす $4$ 以上の整数 $X$ としてあり得る値のうち $6$ 番目に小さいものを求めてください．ただし，条件はすべて十進法表記で考えます．

- $X^2$ の $1$ の位は $0$ でない．
- $X^2$ の最高位の数は $8$ である．
- $X^2$ の最高位の数を取り除いてできる数は平方数である．

　例えば，$10201$ の最高位の数を取り除いてできる数は $201$ です．また，$0.301 \lt\log_{10}2 \lt 0.302$ が成り立ちます．