　$PQ$ と $BC$ の交点を $M$ とし, $PQ$ と $\triangle{ABC}$ の外接円の交点を $R~(\neq P)$ とする.\
　$A,Q,D,P,E$ は同一円周上にあるから, $\angle{QAD}=\angle{QPD}=\angle{RPC}$ である. 一方 $\angle{QAD}=\angle{PRB}$ であるから, $\angle{RPC}=\angle{PRB}$ であり, $BR\parallel CP$ である. 同様にして $BP\parallel CR$ であるから, 四角形 $BRCP$ は平行四辺形であり, $M$ は線分 $BC$ および $PR$ の中点であると分かる.\
　 $\triangle{APB}\sim\triangle{CPA}$ であるから, $BP=b$, $CP=c$ とおくと, $bc=AP^2=16$ となる. また, $\triangle{BPC}$ において余弦定理から $b^2+c^2+bc=100$ であるから, $b^2+c^2=84$ となり, 中線定理から $PR=2\sqrt{17}$ を得る.\
　ここで $BP$ と $\triangle{ABC}$ の外接円の交点を $S$ $(\neq{B})$ とすると, $\triangle{CPS}$ は正三角形であり, $BP\times PS=bc=16$ である. よって, 方べきの定理より $PQ=\sqrt{\dfrac{64}{17}}$ であるから, 求める値は $\textbf{81}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/editorial/2437
　$\angle A=60^\circ,BC=10$ なる三角形 $ABC$ において，
$$\angle{APB}=\angle{BPC}=\angle{CPA}$$
をみたす点 $P$ をとると，$AP=4$ が成り立ちました．$AB$ と $CP$ の交点を $D$，$AC$ と $BP$ の交点を $E$ とし，三角形 $ABC,ADE$ それぞれの外接円の交点のうち $A$ でない方を $Q$ とするとき，$PQ$ の長さを求めてください．\
　ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．