　以下のように文字をおけば, 条件より $a+c=100,b+d=111,ef=2468$ である.
$$AB=a,\quad BC=b,\quad CD=c,\quad DA=d,\quad AC=e,\quad BD=f$$
ここで $\Gamma$ において, 劣弧 $AB$ と劣弧 $CD$ の円周角の和は直角であることなどから, $\Gamma$ の半径を $R$ とすれば
$$a^2+c^2=(2R)^2=b^2+d^2$$
一方でPtolemyの定理より $ac+bd=ef$ であるから,
$$8R^2=a^2+b^2+c^2+d^2=(a+c)^2+(b+d)^2-2ef=17385$$
よって求める面積は $R^2\pi$ であることから, 解答すべき値は $\textbf{17393}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1702
　円 $\Gamma$ に内接する四角形 $ABCD$ は, 面積が $1234$ であり, さらに以下の条件をみたします：
$$AB+CD=100,\quad BC+DA=111,\quad AC\perp BD$$
このとき $\Gamma$ の面積は, 互いに素な正の整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}\pi$ と表されます. $m+n$ を解答してください.