　第 $1$ 式より公比が $1$ または $2$ であることが容易にわかる. さらに $2^{4950}\times 3^{100}$ は $100$ 乗数でないから, 公比は $2$ に限られ, このとき初項は $3$ であり, $x\times 2^y-z=3\times 2^{100}-3$ である. よって $x+y+z=3+100+3=\textbf{106}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc078/editorial/1498
　初項と公比がともに正整数である等比数列 $\\{a_i\\}\_{i=1,2,\cdots,100}$ が以下の等式
$$a_1\times a_2\times \cdots\times a_{100}=2^{4950}\times 3^{100}$$
をみたしました．このとき，
$$a_1+a_2+\cdots+a_{100}$$
は正の整数 $x,y,z$ （ただし $x$ は $1$ 桁の奇数，$z$ は $1$ 桁の正整数）を用いて $x\times 2^y-z$ と一意に表すことができるので，$x+y+z$ を求めてください．