　$I,E$ から $AB$ におろした垂線の足をそれぞれ $J,K$ とすれば, $AJ:JK=3:1$ および $AJ=EK$ が成り立つから, $EK=12\/5,JK=4\/5$ がわかる. よって, $E$ から $BC$ におろした垂線の足を $L$ とすれば, 求める値は
$$EF^2=EL^2+FL^2=(BE^2-BL^2)+FL^2=BE^2-EK^2+JK^2=\dfrac{497}{25}$$
となり, 特に解答すべき値は $\textbf{522}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/214
　正方形 $ABCD$ の内部に正方形 $EFGH$ があり, $F,G$ はそれぞれ辺 $BC,CD$ 上にあります. また, 線分 $AE$ 上に $BC\parallel HI$ をみたす点 $I$ をとったところ, 以下が成り立ちました.
$$AI=3\ \ IE=1,\ \ EB=5$$
このとき, 正方形 $EFGH$ の面積は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されます. $a+b$ を解答してください.