　まず
$$ \alpha \coloneqq \angle ABO = \angle BAO,\qquad \beta \coloneqq \angle ACO = \angle CAO $$
とすると，$DQ = DR$ より $\angle AED = \angle AFD$ となることを用いて
$$ \angle ADE = \frac{90^\circ - \alpha + \beta}2 = \angle BDE,\qquad \angle ADF = \frac{90^\circ + \alpha - \beta}2 = \angle CDF. $$
これより
$$ \frac{AE}{EB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CF}{FA} = \frac{AD}{BD} \times \frac{BD}{CD} \times \frac{CD}{AD} = 1 $$
となり，$AD, BF, CE$ は一点で交わる．また方べきの定理より 
$$\frac{AE}{FA} = \frac{RA}{AQ}, \quad \frac{BD}{EB} = \frac{QB}{BP}, \quad \frac{CF}{DC} = \frac{PC}{CR}$$
であるので，
$$1 = \frac{AE}{FA} \times \frac{BD}{EB} \times \frac{CF}{DC}
 = \frac{RA}{AQ} \times \frac{QB}{BP} \times \frac{PC}{CR}
 = \frac{QB}{AQ} \times \frac{PC}{BP} \times \frac{RA}{CR}
$$
より $AP, BR, CQ$ も一点で交わるから，$DQ = DR$ より
$\angle BPQ = \angle DRQ = \angle CPR$ となることと合わせて，$AP \perp BC$ を得る．  
　このとき $\angle BAD = \angle CAP,\\, \angle BAP = \angle CAD$ であるから
$$ \frac{BD}{CD} = \frac{\triangle ABD}{\triangle ACD} = \frac{AB^2}{AC^2} \times \frac{\triangle ACP}{\triangle ABP} = \frac{AB^2}{AC^2} \times \frac{CP}{BP} $$
となり，$AP \perp BC$ から $AB = \dfrac{95}{12},\\, AC = \dfrac{121}{12}$ が得られるので，$\displaystyle \frac{BD}{CD} = \frac{14440}{14641}$．よって $DP = \dfrac{3255}{2237}$ と分かり，解答すべき値は $\textbf{5492}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5984
　$DA×DX=DQ^2(=DR^2)$ なる点 $X$ を線分 $DA$ 上にとる．\
公式解説と同様に，
$$\angle ADE=\angle BDE,　\angle ADF=\angle CDF$$
が成り立つ．
$$\angle DFC=\angle DQR=\angle DRQ=\angle DEB,　\angle DQX=\angle DAB,　\angle DRX=\angle DAC$$
より
$$\angle XQR=\angle DQR-\angle DQX=\angle DEB-\angle DAB=\angle ADE=\angle BDE=\angle PFE$$
かつ
$$\angle XRQ=\angle DRQ-\angle DRX=\angle DFC-\angle DAC=\angle ADF=\angle FDC=\angle PEF$$
より三角形 $XRQ$ と $PEF$ は相似である．これと，三角形 $ARQ$ と $AEF$ の相似から，四角形 $ARXQ$ と $AEPF$ は相似だから，$\angle BAP=\angle DAC$ より $AP\perp BC$．以下公式解説と同様である．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5984/579
　周の長さが $31$ の三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ とします．また直線 $AO$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とし，辺 $AB, AC$ 上にそれぞれ点 $E, F$ をとると，$DE \perp DF$ となりました．さらに辺 $BC$，直線 $AB, AC$ が，三角形 $DEF$ の外接円とそれぞれ $D, E, F$ でない点 $P, Q, R$ で交わり
$$ BP = 5,\quad CP = 8,\quad DQ = DR $$
となりました．  
　このとき線分 $DP$ の長さは，互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $\dfrac pq$ と表せるので，$p + q$ を解答してください．