　与えられた不等式の左辺を $S(n)$ とする．まず，ある正整数 $m$ によって，$n=m^2$ と表された場合について考える．\
　$1 \leq k \leq m^2$ なる正整数 $k$ について，$k$ が平方数のとき，$\sqrt{k}$ は整数であるから，
$$
\Bigl\lceil \sqrt{k} \ \Bigl\rceil ^2\ -\ \Bigl\lfloor \sqrt{k}\ \Bigl\rfloor^2=0
$$
である．一方，$k$ が平方数でないとき，$k$ は $1\leq t \leq m-1$ なる正整数 $t$ によって $t^2 \lt k \lt (t+1)^2$ と表される．この不等式を満たす整数 $k$ は $2t$ 個存在し，この制約のもとで
$$
\Bigl\lceil \sqrt{k} \ \Bigl\rceil ^2\ -\ \Bigl\lfloor \sqrt{k}\ \Bigl\rfloor^2=2t+1
$$
である．したがって，
$$
\begin{aligned}
S(m^2) &= \sum_{t=1}^{m-1} 2t(2t+1)\\\\
&= \frac{1}{3} (m-1)m(4m+1)
\end{aligned}
$$
と計算でき，特に $S(42^2)\lt 10^5 \lt S(43^2)$ である．\
　さらに，$1\leq d \leq 84$ なる正整数 $d$ を用いて $n=42^2+d$ と表すことにすると，先と同様の考察により
$$
\begin{aligned}
S(n) &= S(42^2)+ (2\cdot 42+1)d\\\\
&=97006+85d
\end{aligned}
$$
となる．これが $10^5$ を上回るのは $d\geq 36$ のときであるから，求めるべき値は $42^2+36=\mathbf{1800}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/4015
　 次の不等式が成立するような，最小の正整数 $n$ を求めてください：

$$
\sum_{k=1}^{n} \biggl( \Bigl\lceil \sqrt{k} \ \Bigl\rceil ^2\ -\ \Bigl\lfloor \sqrt{k}\ \Bigl\rfloor^2 \biggr) \geq 10^5
$$ 

　ただし，$\lceil x \rceil$ で $x$ を下回らない最小の整数を，$\lfloor x \rfloor$ で $x$ を上回らない最大の整数を表すものとします．