　サーキット $1$ 周の長さを $L$ , $k$ 周目の速さを $v_k$ とすると, $k$ 周目にかかる時間は $\dfrac{L}{v_k}$ であるから, レース全体の平均の速さは
$$ \dfrac{100L}{\displaystyle\sum_{k=1}^{100} \dfrac{L}{v_k}}=\dfrac{100}{\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\dfrac{4k}{4k^4+1}}$$
である. 分母について
$$\begin{aligned}
\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\dfrac{4k}{4k^4+1}
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\dfrac{(2k^2+2 k+1)-(2 k^2 -2k+1)}{(2k^2+2k+1)(2k^2-2k+1)}\\\\
&=\sum_{k=1}^{100}\left(\frac{1}{2k^2-2k+1}-\frac{1}{2k^2+2k+1}\right) \\\\
&=\dfrac{1}{2\cdot1^2-2\cdot1+1}-\dfrac{1}{2\cdot100^2+2\cdot100+1} \\\\
&=\dfrac{20200}{20201}
\end{aligned}$$
であるから答えは $\dfrac{20201}{202}$ であり, 求める値は $20201+202=\textbf{20403}$ である. \
　なお, 一般にOMC君が $n$ 周したとき, 全体での平均の速さを $u_n$ とすれば, 調和平均の要領により
$$\displaystyle\frac{n}{u_n}=\sum_{k=1}^n\frac{4k}{4k^4+1}$$
が成り立つので, これを用いて計算してもよい.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc072/editorial/1751
　レーサーのOMC君は, あるレースでサーキットを $100$ 周し, 各 $k=1,2,\cdots ,100$ について $k$ 周目の速さは $k^3+\dfrac{1}{4k}$ でした. このとき, レース全体での平均の速さを求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.