　$C_1$ と $C_2$ の $A$ 以外の交点を $X$ とし, $A$ を通り $AX$ に垂直な直線を $\ell^\prime$ とする.

　**補題.**　線分 $PQ$ の長さが最大となるのは $\ell=\ell^\prime$ のときである.

　**証明.**　$\ell^\prime$ と$O_1,O_2$ の交点であって $A$ でない方をそれぞれ $P^\prime,Q^\prime$ とすると, 円周角の定理より $XPQ$ と $XP^\prime Q^\prime$ の相似が容易にわかる. さらに $X$ から $PQ$ におろした垂線の足を $H$ とすれば $\angle AHX=90^\circ$ より $AX\geq HX$ が従うから, 先の相似と合わせて $P^\prime Q^\prime\geq PQ$ であり, 特に補題は示された.

　$P^\prime X,Q^\prime X$ はそれぞれ $O_1,O_2$ の直径であるから, 補題より求める最大値は $O_1$ と $O_2$ の中心間距離の $2$ 倍に等しい. 余弦定理より $\cos\angle ABC=3\sqrt{6}\/8$ であるから, 接弦定理および正弦定理より, $O_1$ の半径 $R_1$ について
　　$$R_1=\dfrac{AB}{2\sin\angle{ABC}}=\dfrac{4}{5}\sqrt{10}$$
同様に $O_2$ の半径は $R_2=\sqrt{10}\/5$ であるから, 中心間距離は $\sqrt{(R_1-R_2)^2+BC^2}=4\sqrt{15}\/5$ である.\
　以上より $PQ$ の最大値は $8\sqrt{15}\/5$ であり, 求める値は $8+15+5=\textbf{28}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc023/editorial/143
　$AB=2,BC=\sqrt{6},CA=1$ なる三角形 $ABC$ において, 点 $A,B$ を通り辺 $BC$ に接する円を $O_1$, 点 $A,C$ を通り辺 $BC$ に接する円を $O_2$ とします. 直線 $\ell$ が点 $A$ を通りながら動き, その $O_1,O_2$ との交点のうち $A$ でない方をそれぞれ $P,Q$ とするとき, 線分 $PQ$ の長さとしてあり得る最大値を求めてください.\
　ただし, 答えは最大公約数が $1$ である正の整数 $a,c$ と, $1$ より大きい平方数で割り切れない正の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので, $a+b+c$ を解答してください.