　出目の $k$ 回目と $10+k$ 回目をセットにして考えると，
$a_{i}, b_{i}\in \\{ 1,2,3,4,5,6 \\}$ を満たす $2$ つの列 $(a_{1}, \dots, a_{10}), (b_{1}, \dots, b_{10})$ のうち，
$$(b_{i}^{a_{i}}, a_{i}^{b_{i}}) \in \mathbb{Z}^2 $$
を $i=1,2,\dots, 10$ で足し上げたときの成分和が $3$ で割り切れるようなものの個数 $N$ を考えればよい．

　$(b^a\bmod{3}, a^b\bmod{3})$ を $a,b\in \\{ 1,2,3,4,5,6 \\}$ に対して求めた値を表で書くと，以下のようになる．
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|}
\hline
& a=1 & a=2 & a=3 & a=4 & a=5 & a=6 \\\\
\hline\hline
b=1 & (1, 1) & (1, 2) & (1, 0) & (1, 1) & (1, 2) & (1, 0) \\\\
\hline
b=2 & (2, 1) & (1, 1) & (2, 0) & (1, 1) & (2, 1) & (1, 0) \\\\
\hline
b=3 & (0, 1) & (0, 2) & (0, 0) & (0, 1) & (0, 2) & (0, 0) \\\\
\hline
b=4 & (1, 1) & (1, 1) & (1, 0) & (1, 1) & (1, 1) & (1, 0) \\\\
\hline
b=5 & (2, 1) & (1, 2) & (2, 0) & (1, 1) & (2, 2) & (1, 0) \\\\
\hline
b=6 & (0, 1) & (0, 1) & (0, 0) & (0, 1) & (0, 1) & (0, 0) \\\\
\hline
\end{array}
$$
表中のそれぞれの組の個数をまとめると
- $(0,0)$ が $4$ 個．
- $(1,1)$ が $9$ 個．
- $(2,2)$ が $1$ 個．
- $(0,1), (1,0)$ がそれぞれ $6$ 個．
- $(1,2), (2,1)$ がそれぞれ $3$ 個．
- $(0,2), (2,0)$ がそれぞれ $2$ 個． 

となるので，以下の $2$ 変数多項式 $f(x,y)$ を考える．
$$
f(x,y)=\left( 4+9xy+x^2y^2+ 6(x+y)+3(xy^2+x^2y) + 2(x^2+y^2)\right)^{10}
$$
$N$ は $f(x,y)$を展開したときの $x^{3m}y^{3n}$ の係数の総和に一致する．すなわち，$1$ の $3$ 乗根 $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ を用いると
$$
N = \frac{1}{9}\sum_{k=0}^2 \sum_{l=0}^2 f(\omega^k, \omega^l)
$$
が成り立つので，これを計算する．$f(x,y)$ が対称式であることから，$s=x+y$ と $t=xy$ で表すと，
$$
\begin{aligned}
f(x,y)&=\left(2s^2+(3t+6)s+4+5t+t^2\right)^{10}\\\\
&=\left((2s+t+4)(s+t+1)\right)^{10}\\\\
&= \left((x+2)(x+1)(y+2)(y+1) \right)^{10}
\end{aligned}
$$
と変形できる．従って，求める場合の数は
$$
\begin{aligned}
N
&= \frac{1}{9}\sum_{k=0}^2 \sum_{l=0}^2 f(\omega^k, \omega^l)\\\\
&=\frac{1}{9}\sum_{k=0}^2 \sum_{l=0}^2 \left( (\omega^k+2)(\omega^k+1)(\omega^l+2)(\omega^l+1)\right)^{10}\\\\
&=\frac{1}{9}\left(\sum_{m=0}^{2} \big( (\omega^m+2)(\omega^m+1) \big)^{10}\right)^{2}\\\\
&=\frac{1}{9}\big( 6^{10} + (\sqrt{-3})^{10} + (-\sqrt{-3})^{10} \big)^{2}\\\\
&=\frac{1}{9}\left( 6^{10} - 2\cdot 3^{5} \right)^{2}\\\\
&=\left( 2^{10}\cdot 3^{9} - 2\cdot 3^{4} \right)^{2}\\\\
&= \mathbf{406233296352900}
\end{aligned}
$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce009/editorial/12010
　以下，合同式は $3$ を法とするものとする．$k=1,2\dots,20$ に対し，$a_k$ を $x_k$ を $3$ で割った余り，$b_k$ を $x_k$ を $2$ で割った余りとする．このとき，$(a_1,a_2,\dots,a_{20},b_1,b_2,\dots,b_{20})$ と $(x_1,x_2,\dots,x_{20})$ は $1$ 対 $1$ に対応する．また，$2^2\equiv1$ であることに注意すると，$$\sum_{k=1}^{10}(x_k)^{x_{10+k}}\equiv\sum_{k=1}^{10}(a_k)^{b_{10+k}},\sum_{k=1}^{10}(x_{10+k})^{x_k}\equiv\sum_{k=1}^{10}(a_{10+k})^{b_k}$$である．ただし，$0^0\equiv0$ とする．よって，$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(a_k)^{b_{10+k}}$ が $3$ の倍数となるような組 $(a_1,a_2,\dots,a_{10},b_{11},b_{12},\dots,b_{20})$ の個数の $2$ 乗を求めればよい．$0^0\equiv0,0^1\equiv0,1^0\equiv1,1^1\equiv1,2^0\equiv1,2^1\equiv2$ なので，$f(x)=(2+3x+x^2)^{10},\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$として， 求める場合の数は$$\Big(\frac{1}{3}\sum_{k=0}^2f(\omega^k)\Big)^2=\Big(\frac{1}{3}\sum_{k=0}^2(2+3\omega^k+\omega^{2k})^{10}\Big)^2=\textbf{406233296352900}$$と求まる．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omce009/editorial/12010/675
　$6$ 面サイコロを $20$ 回投げて出た目を順に $x_1,\dots ,x_{20}$ とおきます．この出目から定まる $2$ つの整数
$$
\sum_{k=1}^{10} (x_{k})^{x_{10+k}}, \quad \sum_{k=1}^{10} (x_{10+k})^{x_{k}}
$$ 
が両方とも $3$ の倍数となるような目の出方は何通りありますか．