　$P$ から $AB,CD$ におろした垂線の足をそれぞれ $X,Y$ とおけば, 三平方の定理より
$$\begin{aligned}
PA^2 + PC^2  &= (AX^2+PX^2)+(CY^2+PY^2) \\\\
&= DY^2+PX^2+BX^2+PY^2 \\\\
&= (BX^2+PX^2)+(DY^2+PY^2) \\\\
& = PB^2 + PD^2
\end{aligned}$$
特に $PD = \sqrt{28^2 + 29^2 - 16^2} = \textbf{37}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/1340
　正方形 $ABCD$ とその内部の点 $P$ について,
$$PA = 28,\quad PB = 16,\quad PC=29$$
であるとき、$PD$ の長さを求めてください.