　新しい飲料 $A,B$ をそれぞれ $21$ 本ずつもっている状況を考えると, まずこれらの交換で飲料 $A,B$ がそれぞれ $3,7$ 本得られ, さらにこれらの交換で飲料 $A,B$ がともに $1$ 本ずつ得られる. すなわち, 各 $20$ 本ずつの新しい飲料 $A,B$ を失うと同時に, それぞれ $24,28$ 本ずつを飲んだと見なすことができる. よって, 今回の状況において
$$M=\dfrac{(2\times10^{2023}+21)-1}{20}\times(24+28)+2=52\times10^{2022}+54=52\underbrace{0000...00000}_{2020\text{個}}54$$
よって求めるべき値は $\textbf{200}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/269
##### 1. はじめに
　この解説は公式解説の解説のような立ち位置です.  
そのため解説としての新規性は特にありません.  


##### 2. 最適な交換手順その $1$  
　まず以下の点に留意します.  

- 交換できる空容器があれば交換した方が良い.
- 交換の順番は結果に影響しない.  

すると, 例えば以下のような交換の手順その $1$ が思いつきます.  
(ただし, 全て飲料は得た瞬間に飲み干しているとします.)  

- $A$ を全て飲み,  $A$ の空容器を交換できるだけ $B$ に交換する.  
- $B$ を全て飲み,  $B$ の空容器を交換できるだけ $A$ に交換する. 
- 上記の $2$ つを交換できる空容器がある限り繰り返す.  

最初に見た留意点より, この手順は最適な交換手順(の一例)となります.  

<details>
<summary>交換手順1の具体例<\/summary>  

具体的に, $A,B$ を $401$ 本ずつ持っているときの容器の数の挙動を見てみましょう.   
$(a,b)$ と書いたら $A,B$ の容器をそれぞれ $a,b$ 個持っている状態を表すとします.  

1. $(401,401)$ から, $A$ の空容器を $399$ 個交換して, $B$ を $133$ 個得る. $(2,534)$ となる.
2. $(2,534)$ から, $B$ の空容器を $532$ 個交換して, $A$ を $76$ 個得る. $(78,2)$ となる.
3. $(78,2)$ から, $A$ の空容器を $78$ 個交換して, $B$ を $26$ 個得る. $(0,28)$ となる.
4. $(0,28)$ から, $B$ の空容器を $28$ 個交換して, $A$ を $4$ 個得る. $(4,0)$ となる.
5. $(4,0)$ から, $A$ の空容器を $3$ 個交換して, $B$ を $1$ 個得る. $(1,1)$ となる.
6. 交換できるものが無いため終了する.  

<\/details>  

この手順自体はかなり直感的だと思いますが, 各操作で, 一方の種類の容器が減りもう一方が増えるため, 容器数の挙動が追いにくいという欠点があります.  
そこで, 次はこれを改善してみましょう.  

##### 3. 最適な交換手順その $2$

　第二節で述べた問題点について考えます.    
　ここでの問題点とは, $A$ を減らしたら $B$ が増えることにあるのでした.  
そこで, $A$ を $B$ に交換した直後に, 増えた分の $B$ を全て $A$ に交換したら $B$ の本数を変えることなく, $A$ の本数の変化が実現できるのでは, という発想に至ります.   ( $B\to A\to B$ の交換も同様に考えられます.  )

　このアイデアを解法に落とし込むために細部を詰めていきましょう.  

まず, 先ほどはある分の $A$ を全てまとめて $B$ に交換していましたが, すると剰余の関係で, 増えた分の $B$ を全て $A$ に交換できるとは限りません.  
これの解決法としては, 先ほどから使っている "交換の最適性は手順に依らない" という事実が使えます.  
具体的には, 全てまとめて交換するのではなく, 交換で増える $B$ が全て $A$ に変換できる数ずつ, さらに具体的には $3\times 7=21$ 本ずつ $A$ を $B$ に交換をすれば良いです.  

次に, この方法で最後まで交換しきれるかが非自明であるという問題点があります.  
しかし, これはこの段階では気にしなくて良いです.  
というのも, もし最後に一部の空容器が余ったとしても, それは高々 $20$ 本以下ずつであるので, その後手順その $1$ をすれば十分手計算できそうだからです.  

 以上をまとめると, 次のような交換の手順その $2$ を得ます.   

- 飲んでいない $A$  が $21$ 本以上あれば, $A$ $21$ 本を飲み, 新規の $B$ $7$ 本に交換し, 交換で得た $B$ $7$ 本を全て飲んで新規の $A$ $1$ 本に交換する. 
- 飲んでいない $B$  が $21$ 本以上あれば, $B$ $21$ 本を飲み, 新規の $A$ $3$ 本に交換し, 交換で得た $A$ $3$ 本を全て飲んで新規の $B$ $1$ 本に交換する.   
- 上記のを少なくとも一方ができる間繰り返す.  
- 繰り返し終了時にもし残りがあれば手順その1のようにする.

<details>
<summary>交換手順2の具体例<\/summary>  

具体的に, $A,B$ を $401$ 本ずつ持っているときの容器の数の挙動を見てみましょう.   
$(a,b)$ と書いたら $A,B$ の容器をそれぞれ $a,b$ 個持っている状態を表すとします.  

1. $(401,401)$ から, $A$ $21$ 個を交換して, $B$ を $7$ 個得る. $(380,401+7)$ となる.  得た $7$ 個の $B$ を, $1$ 個の $A$ に交換する. $(381,401)$ となる.
2. $(381,401)$ から, $A$ $21$ 個を交換して, $B$ を $7$ 個得る. $(360,401+7)$ となる.  得た $7$ 個の $B$ を, $1$ 個の $A$ に交換する. $(361,401)$ となる.   
3. これを続ける.  
<\/details> 

この各手順のでの前後の本数や, その間に飲んだ飲料数をみれば, これは以下と同じであると分かります.  

- 飲んでいない $A$ が $21$ 本以上あれば, $A$ $21$ 本を飲み, 新規の $A$ $1$ 本に交換し, **それとは別に $B$ $7$ 本を飲んだという事実のみを得る**. 
- 飲んでいない $B$  が $21$ 本以上あれば, $B$ $21$ 本を飲み, 新規の $B$ $1$ 本に交換し, **それとは別に $A$ $3$ 本を飲んだという事実のみを得る**. 
- 上記のを少なくとも一方ができる間繰り返す.  
- 繰り返し終了時にもし残りがあれば手順その1のようにする.  


さらに, 飲料を飲み交換するところを, **飲んだ事実を得る**パートと交換するパートに分けて考えることで,   

- 飲んでいない $A$ が $21$ 本以上あれば, 飲んでいない $A$  $20$ 本を減らし, **それとは別に $B$ $7$ 本と $A$ $21$ 本の計 $28$ 本を飲んだという事実のみを得る**. 
- 飲んでいない $B$ が $21$ 本以上あれば, 飲んでいない $B$  $20$ 本を減らし, **それとは別に $A$ $3$ 本と $B$ $21$ 本の計 $24$ 本を飲んだという事実のみを得る**. 
- 上記のを少なくとも一方ができる間繰り返す.  
- 繰り返し終了時にもし残りがあれば手順その1のようにする.  

ここまでくれば, 簡単な計算に落とし込むことができます.  
$N=200\dots0021$ とすれば,  上記の操作はそれぞれ, $\dfrac{N-1}{20}$ 回行う事ができるため, 飲料を飲んだ事実は, 
$$\frac{N-1}{20}*28+\frac{N-1}{20}*24$$
本分得ます.  
この操作を終えた時, $A,B$ はそれぞれ $1$ 本ずつ残るので, (結局先ほど懸念した中途半端に残ったら手順1をしようと言っていたのをするまでもなく, ) これらを飲んだ本数に加えれば, 公式解説の

$$M=\frac{N-1}{20}*(24+28)+2$$

という式を得ます.
解説の補足の試み
https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/269/241
　ある店では $2$ 種類の飲料 $A,B$ が売られています. この店では, 飲料 $A$ の空容器 $3$ 本を $1$ 本の新しい飲料 $B$ に, また飲料 $B$ の空容器 $7$ 本を $1$ 本の新しい飲料 $A$ に交換してもらうことができます.\
　いま, OMC君が新しい飲料 $A,B$ をそれぞれ $2\underbrace{0000...00000}_{2021\text{個}}21$ 本もっているとき, 彼は最終的に合計で最大 $M$ 本の飲料 $A,B$ を飲むことができます. $M$ の (十進法での) 各位の数のうち, $0$ でないものの**積**を解答してください.\
　ただし, 交換によって得た飲料も交換に用いることができます.