　$10^6$ の位を適切に補うことで，問題は以下のように表現できる：

- 各桁の和が $6$ である $7$ 桁以下の正整数すべてについて，その下 $6$ 桁の総和を求めよ．

　さて，各桁の和が $6$ である $7$ 桁以下の正整数は，区別のない $6$ 個の球を区別のある $7$ 個の箱に入れる方法（空の箱を許す）に対応するから，その総数は ${}\_{12}\mathrm{C}\_{6}$ 個である．これら ${}\_{12}\mathrm{C}\_{6}$ 個の数の各桁の総和は ${}\_{12}\mathrm{C}\_{6}\times 6$ であり，各桁毎のこの総和への寄与は同じであるから，ある桁のみに注目したときその総和は $({}\_{12}\mathrm{C}\_{6}\times 6)\/7$ となる．以上より，求める総和は
$$ \frac{{}\_{12}\mathrm{C}\_{6}\times6}{7}\times (10^5+10^4+\cdots+10^0) = \mathbf{87999912}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc220/editorial/4571
以下，$6$ 桁未満の正整数は先頭に $0$ を付け足して $6$ 桁の正整数とみなす．\
　各 $i\~(0\leq i\leq 5)$ について，各位の和が $n\~(1\leq n\leq 6)$ かつ $10^i$ の位が $k\~(0\leq k\leq n)$ であるものの個数は，残りの $5$ 桁に $n-k$ を割り振ることを考えれば $\binom{n-k+4}{4}$ 個である．
よって求める値は次のように計算できる．
$$
\begin{aligned}
&\sum_{n=1}^{6}\sum_{k=0}^{n}\binom{n-k+4}{4}\cdot k(1+10+\cdots+10^5)\\\\
&=\sum_{n=1}^{6}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{k+4}{4}\cdot (n-k)(1+10+\cdots+10^5)\\\\
&=\sum_{n=1}^{6}\left(n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{k+4}{4}-5\sum_{k=1}^{n-1}\binom{k+4}{5}\right)\cdot(1+10+\cdots+10^5)\\\\
&=\sum_{n=1}^{6}\left(n\binom{n+4}{5}-5\binom{n+4}{6}\right)\cdot(1+10+\cdots+10^5)\\\\
&=\sum_{n=1}^{6}\binom{n+5}{6}\cdot(1+10+\cdots+10^5)\\\\
&=\binom{12}{7}\cdot(1+10+\cdots+10^5)\\\\
&={\bf 87999912}
\end{aligned}
$$

　ただし正整数 $a,b\~(a\geq b)$ に対し次が成り立つことを用いた．
$$\sum_{k=0}^{a}\binom{k+b}{b}=\sum_{k=1}^{a+1}\binom{k+b-1}{b}=\binom{a+b+1}{b+1}$$
これは両辺に $\binom{b}{b+1}=0$ を加え，二項係数の性質 $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ を繰り返し用いれば示すことができる．
ゴリ押しの解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc220/editorial/4571/511
　$10^6$ 未満の正整数のうち，十進法表記で各桁の和が $6$ 以下であるもの全てについて，その総和を求めてください．