　$P,Q$ の $x$ 座標を $a$ とおけば, 線分 $PQ$ の長さは
$$|(a^2+100)-(6a-700)|=|(a-3)^2+791|$$
よって, 求める最小値は $\textbf{791}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/editorial/230
　$xy$ 平面内のグラフ $y=x^2+100$ 上に点 $P$ が, グラフ $y=6x-700$ 上に点 $Q$ があり, 直線 $PQ$ が $y$ 軸に平行なとき, 線分 $PQ$ の長さとしてあり得る最小値を求めてください.