　$P_n$ について, 中心を $O_n$, 右下の頂点を $A_n$, 面積を $S_n$ とすれば, 三平方の定理より
$$O_nA_n^2+O_{n+1}A_{n+1}^2=O_nA_n^2+O_{n+1}A_n^2=n^2$$
一方 $S_n=2O_nA_n^2$ であるから, $S_n+S_{n+1}=2n^2$ が成立し, 以上より求める面積は
$$\begin{aligned}
S_{1001}&=\sum_{k=1}^{1001}S_k-\sum_{k=1}^{1000}S_k\\\\
&=\left( S_1+\sum_{k=1}^{500}(S_{2k}+S_{2k+1})\right)-\sum_{k=1}^{500}(S_{2k-1}+S_{2k})\\\\
&=1+2\sum_{k=1}^{500}(2k)^2-2\sum_{k=1}^{500}(2k-1)^2\\\\
&=1+2\sum_{k=1}^{500}(4k-1)\\\\
&=\bm{1001001}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/editorial/2441
　$xy$ 平面上に各辺が軸と平行な正方形 $P_1,P_2,\ldots,P_{1001}$ が横一列に並んでおり, 各 $n=1,2,\ldots,1000$ に対して以下の条件をみたします.

- すべての正方形は, その下側の辺が $x$ 軸上にある.
- $P_n$ の右下の頂点と $P_{n+1}$ の左下の頂点が一致する.
- $P_n$ と $P_{n+1}$ の中心間の距離は $n$ である.

$P_1$ の面積が $1$ であるとき, $P_{1001}$ の面積を求めてください.