　$T\subset S$ に $3$ の倍数が含まれるとき，$f(T) = 0$ である．\
　次に，$T\subset S$ に $3$ の倍数が含まれない場合を考える．このとき，次が成り立つ．

- $T$ に $3$ で割って $2$ あまる数が偶数個含まれているなら $f(T) = 1$，奇数個含まれているなら $f(T) = 2$．

したがって，
$$
A = {}\_{3000}\mathrm{C}\_{0} + {}\_{3000}\mathrm{C}\_{2} + \cdots + {}\_{3000}\mathrm{C}\_{3000},\quad
B = {}\_{3000}\mathrm{C}\_{1} + {}\_{3000}\mathrm{C}\_{3} + \cdots + {}\_{3000}\mathrm{C}\_{2999}
$$
とおくと，$f(T) = 1$ となるような $T\subset S$ の数 $n_1$，$f(T) = 2$ となるような $T\subset S$ の数 $n_2$ はそれぞれ
$$n_1 = 2^{3000}A - 1,\quad n_2 = 2^{3000}B$$
と表せる．ここで，次の補題が成り立つ．

<details><summary>**補題.**　$A = B = 2^{2999}$<\/summary>
二項定理より，
$$2^{3000} = (1 + 1)^{3000} = A + B,\quad 0 = (1-1)^{3000} = B - A$$
がそれぞれ成り立つ．これら $2$ 式を連立することで所望の結果を得る．
<\/details>

補題より，求める平均は次のように計算できる．
$$\frac{1\cdot n_1 + 2\cdot n_2}{2^{9000} - 1} = \frac{3\cdot 2^{5999} - 1}{2^{9000} - 1}$$
今，素数 $p$ が $3\cdot 2^{5999} - 1$ と $2^{9000} - 1$ を割り切ったとする．すなわち，
$$3\cdot 2^{5999} \equiv 2^{9000} \equiv 1\pmod p$$
が成り立ったとする．このとき，$2^{9000} - 1$ は奇数であるから $p$ は奇素数である．また，
$$3 \equiv \frac{1}{2^{5999}} \equiv \frac{2^{9000}}{2^{5999}} = 2^{3001} \pmod p$$
が成り立つ．したがって，
$$27 = 3^3 \equiv (2^{3001})^3 = 8\cdot 2^{9000} \equiv 8 \pmod p$$
であるから，$p = 19$ である．一方で，フェルマーの小定理より $3\cdot 2^{5999} - 1$ と $2^{9000} - 1$ はともに $19$ で割り切れる．また，LTEの補題より $2^{9000} - 1$ は $19^2$ で割り切れないことが確認できるので，
$$b = \frac{3\cdot2^{5999} - 1}{19}$$
である．これを $2999$ で割ったあまりは，$\bf2211$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/8771
　この問題を解くためには，次の $2$ つのことを考えなければなりません．

**Step.1**　$f(T)=1,2$ となる部分集合の数を求める\
**Step.2**　実際に平均を求めた後，約分する

　以下，Step.1 の補足と，Step.2 の別解を紹介します．

---
**Step.1 の補足**\
　問題文中では，写像 $f$ は空集合に対して定義されていないが，$f(\phi)=1$ であると定義しよう（$0$ 個の数の積は，積に関する単位元 $1$ だと定義するのが自然である）．
　$$S_0=\lbrace 3,6,9,\cdots,9000\rbrace , S_1=\lbrace 1, 4, 7,\cdots, 8998\rbrace, S_2=\lbrace 2, 5, 8,\cdots, 8999\rbrace$$
とおく．このとき，$S$ の部分集合 $T$ が $S_0$ の要素を $1$ つでも含めば，$f(T)=0$ である．$T$ が $S_1$ の要素をどう含んでも，$f(T)$ の値には影響しない．結局 $T$ が $S_2$ の要素を偶数個含むか，奇数個含むかによって，$f(T)$ の値は $1$ か $2$ かになる．\
　ここまで考察すれば，$f(T)=1$ となる場合と $f(T)=2$ となる場合が同数だろうと見当がつくかもしれない．その予想を信じれば，$f(T)=1$ となる場合の数も $f(T)=2$ となる場合の数も等しく $2^{6000}÷2$ となると考えられる（実際には，問題文に従って空集合を除くので，$f(T)=1$ となる場合の数は $2^{5999}-1$ である）．\
　最後に，この予想について証明をしておく．公式解説と同様に
$$A= {}\_{3000} \mathrm{C}\_{1}+{}\_{3000} \mathrm{C}\_{3}+\cdots +{}\_{3000} \mathrm{C}\_{2999},B= {}\_{3000} \mathrm{C}\_{0}+{}\_{3000} \mathrm{C}\_{2}+\cdots +{}\_{3000} \mathrm{C}\_{3000} $$
とおくとき，$A=B$ すなわち $A-B=0$ を示せばよいが，このことは $(1-1)^{3000}$ の二項展開を考えればわかる．

---

**Step.2 の別解**\
　求める平均は $\dfrac{3 \cdot 2^{5999}-1}{2^{9000}-1}$ だとわかった．次なる問題は，これが約分できるか否かである．~メタ的な発想をすれば，この問題の点数から考えて，きっと約分できるはずだと予想できなくもない．もっと言ってしまえば，一度 WA すれば約分できることがわかる．~ \
　そのためには，$\gcd(3 \cdot 2^{5999}-1, 2^{9000}-1)$ を考えればよい．$2^{2999}=x$ と置いて，式を見やすくしておこう．

$$\begin{aligned}
\gcd(6x^2-1, 8x^3-1)&=\gcd(8x^3-1, 8x^3-6x^2)\\\\
&=\gcd(8x^3-1, 4x-3)\\\\
&=\gcd(64x^3-8, 4x-3)\\\\
&\leq \gcd(64x^3-8, 64x^3-27)\\\\
&\leq 19
\end{aligned}$$
　一つ目の等号は Euclid の互除法である．普通は $6x^2-1$ を残すべきだが，あとの計算でわかるように，$8x^3-1$ を残す方が $4x-3$ と相性がよい．二つ目・三つ目の等号は，一方が奇数であるから従う．また，上の式で用いている不等号は，単に大小関係を表すだけではなく，一方が他方の約数であることも含意している．\
　なお，三つ目の等号から次のように変形することもできる：
$$\gcd(4x^2+2x+1, 4x-3)=\gcd(5x+1,4x-3)=\gcd(20x+4,20x-15) \leq 19$$
　実際に $19$ で割り切れるかどうかは，Fermat の小定理から確認すればよい．以下は公式解説を参照．
補足と別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/8771/451
　$S = \\{1,2,\ldots,9000\\}$ とします．任意の $S$ の空でない部分集合 $T$ に対して，$T$ の要素の総積を $3$ で割ったあまりを $f(T)$ とします．$T$ が $S$ の空でない部分集合全体を動くとき，$f(T)$ の平均は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac ba$ と表されるので，$b$ を素数 $2999$ で割ったあまりを解答してください．