　残った $N-2$ 個の総和が最小・最大になる場合をそれぞれ考えると，以下が必要である．
$$\dfrac{N(N+1)}{2}-(2N-1)\leq \dfrac{1840}{19}(N-2) \leq \dfrac{N(N+1)}{2}-3$$
さらにこれが整数値であることから $N$ が $19$ で割って $2$ 余ることが必要で，逆にこれらで十分条件にもなることがわかる．これをもとに検討すると，$N=\mathbf{192}$ のみが適合する．なお，厳密に不等式を解かずとも，$1840\/19$ が大雑把に $N\/2$ ほどで近似できることから，おおよその見当が可能である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/editorial/5176
　$N$ を $3$ 以上の整数とします．黒板に $1$ から $N$ までの $N$ 個の正整数が，それぞれ一つずつ書かれています．ここから相異なる $2$ つを消して，残った $N-2$ 数の平均を求めると，$\dfrac{1840}{19}$ でした．このとき，$N$ としてあり得るものの総和を求めてください．