　与式より $xz = xw + yz$ であるから，$g = \gcd(x,z), x = ga, z = gb$ とすれば，$y,w$ はそれぞれ $a, b$ の倍数である．従って，$y = as, w = bt$ とすれば $s, t$ は正の整数であり $s + t = g$ を満たす．よって，これらを与式に代入し，
$$ab(s^2 + st + t^2) = 10!\tag{1}$$
を得る．以下では，今までの $a,b,s,t$ の意味を忘れ，(1)を不定方程式として見ることにする．(1)を満たす $\gcd(a,b)=1$ なる $(a,b,s,t)$ の組と与式を満たす $(x,y,z,w)$ の組が一対一対応し，(1)を満たす $\gcd(a,b) = 1$ なる $(a,b,s,t)$ の組と(1)を満たす $\gcd(s,t) = 1$ なる $(a,b,s,t)$ の組も一対一対応するので，以下では(1)を満たす $\gcd(s,t) = 1$ なる $(a,b,s,t)$ の組の数を求める．

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**補題.**　$s^2 + st + t^2$ としてあり得る値は，$3,7,21$ のみである．\
**証明.**　$s$ と $t$ が互いに素であることから，$\bmod\ 2, \bmod\ 5, \bmod\ 9$ を考えることで，$s^2 + st + t^2$ は $2,5$ で割れず，$3$ で高々 $1$ 回しか割り切れないことが確認できる．また，$s^2 + st + t^2$ は $10!$ の約数であるから，以上のことと併せることで，$s^2 + st + t^2$ は $3\times7$ の約数であることがわかる．$21$ の約数に対して順に $s,t$ の存在を確認すれば，$3,7,21$ のときに存在することが確かめられる．
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- $s^2 + st + t^2 = 3$ である場合\
　$s^2 + st + t^2 = 3$ を満たす $(s,t)$ の組は $1$ 通りであり，$ab = 10!\/3 = 2^8\times3^3\times5^2\times7$ を満たす $(a,b)$ の組は $(8+1)(3+1)(2+1)(1+1) = 216$ 通りあるので，この場合の $(a,b,s,t)$ の組の数は $1\times216 = 216$ 組．
- $s^2 + st + t^2 = 7$ である場合\
　$s^2 + st + t^2 = 7$ を満たす $(s,t)$ の組は $2$ 通りであり，$ab = 10!\/7 = 2^8\times3^4\times5^2$ を満たす $(a,b)$ の組は $(8+1)(4+1)(2+1) = 135$ 通りあるので，この場合の $(a,b,s,t)$ の組の数は $2\times135 = 270$ 組．
- $s^2 + st + t^2 = 21$ である場合\
　$s^2 + st + t^2 = 21$ を満たす $(s,t)$ の組は $2$ 通りであり，$ab = 10!\/21 = 2^8\times3^3\times5^2$ を満たす $(a,b)$ の組は $(8+1)(3+1)(2+1) = 108$ 通りあるので，この場合の $(a,b,s,t)$ の組の数は $2\times108 = 216$ 組．

以上より，求める答えは $216 + 270 + 216 = \bf{702}$ 組である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/6586
　公式解説、唐突すぎませんか？私はそう思いました（OMC038-E を知っていれば最大公約数を取るお気持ちは生まれるにしろ...）。\
　本質を先に書く形としましたが，（※）の部分も一番下に記述しています．そちらを先に読んでもいいかもしれないです．

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　なんやかんや（※）ありまして，F に戻ってきたので気分転換をしたくなりました．とりあえず条件を見やすい形にします．

$$\begin{aligned}
xz &= yw + 10! \\\\
xw + yz &= yw + 10!
\end{aligned}$$

少し見やすくて落ち着きますね．そしてこの条件が，$x-y = a, z-w = b$ とおけば
$$ab=yw,　(y+a)(w+b) - yw = 10!$$
という，少し綺麗な形に書けることも，（※）の部分で分かっています．


　もう少し気分転換にお付き合いください．これを脳内でビジュアル化してみます．$(y+a)(w+b)$ は掛け算の形なので，長方形の面積と見ることができますね．これを「田」の字のように，横の長さを $y,a$ で区切り，縦の長さを $w,b$ で区切った図をイメージします．\
　すると，$yw$ にあたる長方形と，$ab$ にあたる長方形が，面積が等しくなっており，そしてその等しい面積を全体から引いたものが $10!$ になるんですね．

　ここで漸く，$(y,w)$ と，$(a,b)$ が対称的であることに気付きます．言われてみれば，何も $y,w$ を固定して $a,b$ を変数として見る必要はないんですね．これは，$(a,b,y,w)$ と $(x,z,y,w)$ が一対一に対応するからです．

　つまり，$y,w,a,b$ はそれぞれ，全く等価な対象として捉えることが可能です．このことを念頭に置いて進めてみます．\
　すると，$ab=yw$ という式に **Four Number Lemma** を適用できそうです．その主張は（私は MONT (※1) を見てしまいましたが...）
- 正整数 $a,b,c,d$ が $ab=cd$ を満たすなら，$\gcd (p,q)=1$ かつ
$$a=pr,　c=qr,　d=ps,　b=qs$$
を満たすような $p,q,r,s$ がただ一つ存在する．

というものです．順番が変なのは，証明のときに $a\/c=d\/b=p\/q$ と既約分数の表示を用いたことに由来します（私の怠惰かもしれません）．

　試しに，これを用いて式を書き換えてみましょう．$y\/a = b\/w$ ですから，ある $p,q,r,s$ （ただし $(p,q)=1$ ）について
$$(y,a) = (pr, qr),　(w,b) = (qs, ps)$$
と書けます．このとき，条件の式は次のように書き換えられます．
$$(pr+qr)(ps+qs) = 10! + pqrs$$
何が嬉しいかと言うと，もともと $yw$ だった（ $ab$ にも書き換えられるので，あまり対称的ではなかった）ものが，$pqrs$ というかなり対称的な見た目をしたものに書き換えられたことです．覚えていませんが，これを読んで Four Number Lemma を適用したのかもしれません．

　脱線しました．上式を整理すると，
$$rs (p+q)^2 = 10! + pqrs　\iff　rs = \frac{10!}{(p+q)^2-pq} = \frac{10!}{p^2+pq+q^2}$$
となります．何ということでしょう，$p,q$ と $r,s$ が完全に分離できてしまいました！これは大きな進捗です．

　最後に $p^2+pq+q^2=t$ とでも置けば，あとは公式解説と同様に（多少の思考は必要ですが）答えを求めることができます (※2)．

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　(※1)　[MONT](https:\/\/www.academia.edu\/44512122\/Modern_Olympiad_Number_Theory) とは，Aditya Khurmi 氏が著した数オリの整数論の本です．なんと無料です．本当に良いんでしょうか．ちなみに私は PDF を保存しているので見ても反則ではないです．

　(※2)　公式解説では $t$ を絞ることを考えていますが，これは「 $p^2+pq+q^2=t$ という不定方程式（の解の個数）を考えるのがとても難しいように思われる」ことを考慮すれば自然です．私は，$t=9$ のときに $(p,q)$ が存在しないことから $t$ が絞れることを疑いました．

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　（※）　以下は，私が最初にいろいろ式変形を試した過程です．**参考にしないでください（して不利益を被っても責任を取れません）．**\
　　　　　（物理的に）行間が狭いのは，ノートの行間の狭さの再現です．見にくいですね．

　$-yw$ が条件に 2 回現れているので，とりあえず差を取ります．$xw-xz+yz=0$．これを変形すると $(x-y)(z-w)=yw$ です（ここで私は時間を食いましたが，本来はスピーディーにすべき作業です...）．\
　なるほど，差の積が $yw$ になるんですね．何となく便利そうなので $x-y$ と $z-w$ にそれぞれ $a,b$ と名前を付けておきましょう（☆）．\
　$ab=yw$ ですね．今度は逆に $x,z$ を $y,w,a,b$ で表すと，$(y+a)(w+b)-yw=10!$ になりますね．$yw+aw+by=10!$．うーん，まだ不明瞭なので $yw=c, aw=d$ とでも置きますか．そうすると，
$$c+d+\frac{c^2}{d}=10!　\implies　\left(\frac{c}{d}+1\right)(c+d)=10!+c$$
になります．うーんごちゃごちゃしてきました．流石に両辺を $d$ で割りましょう．
$$\left(\frac{c}{d}+1\right)^2 = \frac{10!+c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{10!}{d}.$$
若干いいかもしれません．$c\/a=e$ とおくと，$(e+1)^2 = e+ 10!\/a$．文字が少なくて良いかもしれません．でも迷走してる感じもあります．$e$ を全て左辺に持ってくると $e^2+e+1 = 10!\/a$．え，左辺の形ヤバいですね（★）．というか $e$ って整数なんでしょうか，いや $yw\/aw$ なので整数とは限らないですね．うーーんなんか違う気がします．

　その後もちょっとだけ式変形をしますが，ここは本当に参考になりません．仕方がないのでとりあえず A~E を解いて，戻ってきます．

　（☆，★）これ，実は後々「ちょっと見覚えあるな～」となって役立ちました．というか，今見ると★の方はかなり本質に近づいていますね．いろいろ変形するのも良いもんですね．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/6586/287
　以下の等式をみたす正整数の組 $(x, y, z, w)$ の総数を求めてください：
$$xz - yw = xw + yz - yw = 10!$$