　$F$ は四角形 $BCED$ に対するミケル点であるから三角形 $FBC$ と $FDE$, 三角形 $FBD$ と $FCE$ と $FMN$ はそれぞれ相似である. $DF = EF$ であるから, 特に三角形 $FBD$ と $FCE$ は合同であり, 三角形 $FBC$ は二等辺三角形である. 従って $BD=CE$ であり,この長さを $x$ とすれば $BE\perp CD$ より次が成り立つ．
$$2x^2 = BD^2 + CE^2 = BC^2 + DE^2$$
また, 
$$BD : MN = DF : FN = 13 : 12$$
である. さらに, 三角形 $ABC$ の外心を $O$, 線分 $BF$ の中点を $K$ とすると, 三角形 $FOK$ と $FBM$ は相似なので, 
$$BC = 2BM = 2\times KO\times \frac{BF}{FO}  = 4\times\frac{5}{13}FO\times\frac{FK}{FO} = \frac{240}{169}FO = 240$$
であるから, 余弦定理より求める値は次のように求まる．
$$\begin{aligned}
\cos\angle MXN
&=\frac{XM^2+XN^2-MN^2}{2\times XM\times XN}\\\\
&=\frac{BC^2+DE^2-4\times\Big(\dfrac{12}{13}x\Big)^2}{2\times BC\times DE}\\\\
&=-\bigg(2\times\Big(\dfrac{12}{13}\Big)^2-1\bigg)\times\frac{BC^2+DE^2}{2\times BC\times DE}\\\\
&=-\frac{119}{120}
\end{aligned}$$
従って求める答えは $\bf{239}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/editorial/5005
　半径 $169$ の円に内接する三角形 $ABC$ において，辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ があり，三角形 $ABC,ADE$ それぞれの外接円の交点が $A$ でない点で交わったのでそれを $F$ とすると，次が成り立ちました：
$$DF=EF=130,\quad DE=100.$$
さらに，線分 $BE$ と線分 $CD$ は点 $X$ で直交しました．線分 $BC,DE$ の中点をそれぞれ $M,N$ としたとき，互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\cos\angle MXN=-\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．