　$\sum_{m=1}^{n}m^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ に注意すれば帰納的に以下が成り立つことがわかる：
$$a_n=\dfrac{n\times n!}{4^{n-1}}.$$
ここで，Legendreの定理により $287!$ は $2$ でちょうど $281$ 回割り切れることがわかるので，$q=2^{291}$ であり，これを $100$ で割った余りはEulerの定理により $48$ である．以下，
$$p=\dfrac{287\times 287!}{2^{281}}$$
を $100$ で割った余りを考えればよい．ここで，これは明らかに $25$ の倍数であり，$287$ が $4$ で割って $3$ 余ることとあわせて，結局 $\dfrac{287!}{2^{281}}$ を $4$ で割った余りがわかればよい．二重階乗を用いれば，この値は
$$\dfrac{287!}{2^{281}}=287!!\times143!!\times71!!\times35!!\times17!!\times7!!\times3!!\times1!!\times1!!$$
と表せる．一方で，帰納的に $n\equiv 1,7\pmod{8}$ のとき $n!!\equiv 1\pmod{4}$ で，$n\equiv 3,5\pmod{8}$ のとき $n!!\equiv 3\pmod{4}$ であることがわかるから，特に上式を $4$ で割った余りは $1$ である．\
　よって $p$ を $100$ で割った余りは $75$ であり，解答すべき値は $75+48-100=\textbf{23}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc151/editorial/287
　実数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\cdots}$ は，$a_1=1$ および任意の正の整数 $n$ に対して漸化式
$$a_{n+1}=a_n\sum_{m=1}^{n}\biggl(\dfrac{m}{n}\biggr)^3$$
をみたします．このとき，$a_{287}$ は互いに素な正整数 $p,q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ を $100$ で割った余りを求めてください．