　$(x+a, y+b, z+c) \in B$ をみたす正の整数 $x, y, z, a, b, c$ について，

$$ \begin{aligned} 
g(x, y, z, a, b, c) = ~&f(x,y,z)+f(x,y+b,z+c)+f(x+a,y,z+c)+f(x+a,y+b,z)\\\\
&-f(x+a,y,z)-f(x,y+b,z)-f(x,y,z+c)-f(x+a,y+b,z+c)
\end{aligned} $$

により関数 $g(x, y, z, a, b, c)$ を定める．良い関数であるための条件式は $g(x,y,z,a,a,a)\geq 1$ と表せる．
ここで，式の打ち消しあいを考えることで，
$$
\sum_{i=0}^{a-1}g(x+i,y,z,1,b,c)=g(x,y,z,a,b,c)\\\\
\sum_{i=0}^{b-1}g(x,y+i,z,a,1,c)=g(x,y,z,a,b,c)\\\\
\sum_{i=0}^{c-1}g(x,y,z+i,a,b,1)=g(x,y,z,a,b,c)
$$
が成り立つため，
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{a-1}\sum_{j=0}^{b-1}\sum_{k=0}^{c-1}g(x+i,y+j,z+k,1,1,1) &= \sum_{i=0}^{a-1}\sum_{j=0}^{b-1}g(x+i,y+j,z,1,1,c) \\\\
 &= \sum_{i=0}^{a-1}g(x+i,y,z,1,b,c) \\\\
 &= g(x,y,z,a,b,c)
\end{aligned}
$$
となる．これより，$g(x,y,z,a,b,c)\geq abc$ が成り立つこと，また $f$ が良い関数であるためには任意の $(x, y, z) \in B$ について $g(x,y,z,1,1,1)\geq 1$ であれば十分であることがわかる．さて，

$$ \begin{aligned} 
g(x,y,z,a,b,c)\leq 
~&|f(x,y,z)|+|f(x,y+b,z+c)|+|f(x+a,y,z+c)|+|f(x+a,y+b,z)|\\\\
&+|f(x+a,y,z)|+f(x,y+b,z)|+|f(x,y,z+c)|+|f(x+a,y+b,z+c)|
\end{aligned} $$

であることから，
$$
\begin{aligned}
S=\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{6}\sum_{k=1}^{7} |f(i,j,k)| &\geq \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3} g(i,j,k,3,3,4)\\\\
&\geq \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}  3\times 3\times 4\\\\
&=648
\end{aligned}
$$ 
が成り立ち，この等号が成立するのは，$f$ の値が以下の条件を全て満たす時になる．
$$
\begin{cases} 
f(x,y,z)\geq 0 \quad ((x-3)(y-3.5)(z-4)\lt 0)\\\\
f(x,y,z)=0 \quad ((x-3)(z-4) = 0)\\\\
f(x,y,z)\leq 0\quad  ((x-3)(y-3.5)(z-4)\gt 0)\\\\
g(x,y,z,1,1,1)=1
\end{cases} 
$$
これはたとえば $f(x,y,z)=-(x-3)(y-4)(z-4)$ などで満たされるので，$S_{\mathrm{min}}=648$ と分かる．\
　対称性より，$x\lt 3, z\lt 4$ の部分について考えればよい．$f(x,3,z), f(x,4,z)$ のそれぞれの値が決まれば，残りの値を $g(x,y,z,1,1,1)=1$ を満たすように一意に決めることができる．さらに $f(x,3,z)\geq 0$ ならば ，$y\lt 3$ について $f(x,y,z)=f(x,3,z)+g(x,y,z,3-x,3-y,4-z)\gt 0$ となり，$f(x,4,z)\leq 0$ ならば $y\gt 4$ について $f(x, y, z) = f(x,4,z)-g(x,4,z,3-x,y-4,4-z)\lt 0$ となるので，$f(x,3,z)\geq 0, f(x,4,z)\leq 0$ をみたすように $f(x,3,z), f(x,4,z)$ を定めれば十分性は担保される．したがって $f(x,3,z),f(x,4,z) $ の値が何通りあるか考えればよい．いま，
$$f(x,3,z)-f(x,4,z)=g(x,3,z,3-x,1,4-z)=(3-x)(4-z)$$
が成り立ち，逆に全ての $(x,z)$ についてこれを満たせば $g(x,3,z,1,1,1)=1$ は保証される．したがって
$$f(x,3,z)-f(x,4,z)=(3-x)(4-z), \quad f(x,3,z)\geq 0, \quad f(x,4,z)\leq 0$$
を満たす $(f(x,3,z),f(x,4,z))$ の組の個数を求めればよく，これは各 $x, z$ について $(3-x)(4-z)+1$ 組存在する．これを $x\lt 3,z\lt 4$ を満たす $(x,z)$ についてかけ合わせて，
$$7\times 5\times  3\times 4\times 3\times 2=2520$$
より，$x\lt 3, z\lt 4$ の部分について $f$ の値は $2520$ 通りあると分かった．\
　$(x\lt 3, z\gt 4),(x\gt 3, z\lt 4),(x\gt 3, z\gt 4)$ の場合も対称性により $2520$ 通りと分かるので，答えの値は $2520^4=\mathbf{40327580160000}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/9322
　正の整数 $3$ つの組からなる集合 $B$ を
$$ B = \\{ (x, y, z) \mid 1\leq x \leq 5, ~ 1\leq y \leq 6, ~ 1\leq z \leq 7 \\} $$
で定めます．$B$ の元に対して定義され整数値をとる関数 $f$ が**良い関数**であるとは，$(x+a, y+a, z+a) \in B$ をみたす任意の正の整数 $x,y,z,a$ について，

$$ \begin{aligned} 
&f(x,y,z)+f(x,y+a,z+a)+f(x+a,y,z+a)+f(x+a,y+a,z) \\\\
&\gt f(x+a,y,z)+f(x,y+a,z)+f(x,y,z+a)+f(x+a,y+a,z+a)
\end{aligned} $$

を満たすことをいいます．良い関数 $f$ の**スコア** $S$ を次のように定義します．

$$S=\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{6}\sum_{k=1}^{7} \lvert f(i,j,k)\rvert $$ 

$S$ としてあり得る最小値を $S_{\mathrm{min}}$ とするとき，スコアが $S_{\mathrm{min}}$となるような良い関数はいくつありますか？