　球に書かれた数を $x_i\ (i=1,2,\cdots,100)$ とし，これらを固定したとき得点の期待値を $E$ とする．このとき
$$E=\frac{1}{{}\_{100}\mathrm{P}\_2}\sum\_{i\neq j}\frac{x_i}{x_j}=\frac{1}{9900}\left\\{\left(\sum\_{i=1}^{100}x_i\right)\left(\sum\_{j=1}^{100}\frac{1}{x_j}\right)-100\right\\}.$$
ここで $\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{100}x_i\right)\left(\sum_{j=1}^{100}\frac{1}{x_j}\right)$ は各変数 $x_i$ に関して下凸関数になるから，残りの変数を固定したとき $E$ が最大となるのは $x_i$ が $1$ または $100$ のときである．したがって，$x_1,x_2,\cdots,x_{100}$ のうち $1$ であるものが $n$ 個，$100$ であるものが $100-n$ 個である場合を考えればよく，このとき
$$\left(\sum_{i=1}^{100}x_i\right)\left(\sum_{j=1}^{100}\frac{1}{x_j}\right)=\left(n+100(100-n)\right)\left( \frac{n}{1}+\frac{100-n}{100}\right)=\frac{99^2}{100}\left(\dfrac{10000}{99}-n\right)\left(n+\dfrac{100}{99}\right).$$
これが最大となるのは
$$n=\frac{1}{2}\left(\frac{10000}{99}-\frac{100}{99}\right)=50$$
のときであり，このとき
$$\displaystyle E=\frac{1}{9900}\left(5050\cdot\frac{101}{2}-100\right)=\frac{1}{9900}(505^2-10^2)=\frac{1}{9900}\cdot495\cdot515\=\frac{103}{4}.$$
これが求める期待値の最大値であり，特に解答すべき値は $\textbf{107}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct002/editorial/1457
　$100$ 個の玉が $1$ つの箱に入っています．それぞれの玉には，$1$ 以上 $100$ 以下の整数のうち $1$ つが書き込まれています（相異なるとは限りません）．OMC君はこれらを用いた次のゲームを考えました：

- 箱の中から $2$ 回続けて球を取り出し，$1,2$ 回目に取り出した球に書かれた数をそれぞれ $a,b$ とする．
- このとき，$\displaystyle\frac{a}{b}$ がOMC君の得点となる．
- ただし，$1$  回目に取り出した球は箱に戻さないとする．

　玉に書き込まれた数が変化したとき，このゲームにおけるOMC君の得点の期待値としてありうる最大値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されます． $a+b$ を解答してください．