$$\angle ABP = \angle PBC=30^{\circ},\quad AB = BC$$
が成り立つから，三角形 $BPA$ と 三角形 $BPC$ は合同である．よって，
$$\angle APC=2(180^\circ - \angle APB) = 2(180^\circ - (180^\circ - 12^\circ - 30^\circ))=\textbf{84}^{\circ}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc220/editorial/5690
　正三角形 $ABC$ において，その内部に点 $P$ をとると，
$$\angle BAP=12^{\circ}, \quad \angle ABP=30^{\circ}$$
が成立しました．このとき，$\angle APC$ の大きさを度数法で求めてください．