　$a=x+y-z, b=y+z-x, c=z+x-y$ とすれば，
$$\begin{cases}
a+b+c\le40\\\\
a\equiv b\equiv c\pmod2
\end{cases}$$ 
を満たす正整数の組 $(a, b, c)$ の数を求めればいいと分かる．
- $a,b,c$ が全て偶数の場合\
　$a=2(p+1),b=2(q+1),c=2(r+1)$ とすることで，$p+q+r\le17$ を満たす非負整数の組 $(p,q,r)$ の数を求めることに帰着される．これは ${}\_{4+17-1}\mathrm{C}\_{17}=1140$ 個である．

- $a,b,c$ が全て奇数の場合\
　$a=2p+1,b=2q+1,c=2r+1$ とすることで，$p+q+r\le 18.5$ を満たす非負整数の組 $(p,q,r)$ の数を求めることに帰着される．これは ${}\_{4+18-1}\mathrm{C}\_{18}=1330$ 個である．

以上より，求める答えは $1140 + 1330 = \bf{2470}$ である．\
　なお，冒頭の変換はRavi変換と呼ばれている．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5124
　 $a,b$ を固定した時， $c$ としてありうる値の個数は， $\mathrm{min}(2a-1,2b-1,40-2a,40-2b)$ となることがわかる．(演習：なぜ？)よって，求めるべき値は，表などでまとめれば， $\sum\limits_{1\leq x\leq 19} x(39-2x)=\textbf{2470}$ となる．
多変数の問題は固定して考える
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5124/391
　$z$ を固定して条件を満たす $x, y$ の組を $xy$ 平面上に図示することを考える．すると，求めるべきは $1 \leq z \leq 19$ のもとで，$4$ 点 $$(z, 0), (0, z), (20-z, 20), (20, 20-z)$$ 　を頂点に持つ平行四辺形の(境界を除く)内部に，または $2$ 点 $(20-z, 20), (20, 20-z)$ を結ぶ(両端点を除く)線分上にある格子点の数を求めて足し合わせた値と分かる．平行四辺形の周上にある格子点が $40$ 個であり，平行四辺形の面積が $40z - 2z^{2}$ であることから，前者は Pick の定理より $40z - 2z^{2} - 19$ と分かる．また，後者は $z - 1$ であると容易に分かる．よって，これらの和を $1 \leq z \leq 19$ のもとで足し合わせればよく，計算すれば答えは $\mathbf{2470}$ となる．
Pickの定理の利用
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5124/397
　正整数の組 $(x,y,z)$ であって，$x+y+z\le40$ かつ，三辺の長さが $x,y,z$ であるような非退化な（＝正の面積をもつ）三角形が存在するものはいくつありますか？