　$1$ 番目の条件から $0 \lt a \lt b \lt c \lt 1110$ なる整数 $a, b, c$ によって
$$X = \\{0, a, b, c, 1110\\}$$
と表すことができる．いま，
$x_1 = a，x_2 = b - a，x_3 = c - b，x_4 = 1110 - c$
としたとき
$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1110 \tag{1}$$
をみたす．$2$ 番目の条件は $x_1, x_2, x_3, x_4$ の最小値が $11, 10$ のどちらかであることと同値である．ここで正整数 $n$ に対し，$n$ 以上の整数の組 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ であって式 $(1)$ をみたすものの個数を $f(n)$ としたとき，
$$f(10) - f(12)$$
が求める個数である．$f(n)$ を実際に計算しよう．式 $(1)$ を変形すると
$$(x_1 - n) + (x_2 - n) + (x_3 - n) + (x_4 - n) = 1110 - 4n$$
であり，各 $x_i - n\ (i = 1, 2, 3, 4)$ は非負整数ゆえ $f(n)$ は $3$ 個の赤玉と $1110 - 4n$ 個の青玉を横一列に並べる方法の個数に等しく，$f(n) = {}\_{1113 - 4n}\mathrm{C}\_{3}$ と表せる．ゆえに求める個数は
$${}\_{1073}\mathrm{C}\_{3} - {}\_{1065}\mathrm{C}\_{3} = \mathbf{4562516}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc228/editorial/10549
　整数 $5$ つからなる集合 $X$ であって以下 $2$ 条件を同時にみたすものは全部でいくつありますか？
- $X$ に含まれる数のうち最大のものは $1110$ であり，最小のものは $0$ である．
- $X$ の中から異なる $2$ 数を選んだとき，その差（の絶対値）としてあり得る最小の値は $11$ か $10$ のどちらかである．