　三角形 $AMC$ の外接円において，$\angle AMC=90^\circ$ より $AC$ は直径をなすから，$N$ はその中心である．よって，$AC = 2PN = 14$ である．また，線分 $BN$ と三角形 $AMC$ の外接円の交点を $Q$ とすれば，$PQ$ も直径であり，$BQ=BN-NQ=11-7=4$ を得る．このとき，方べきの定理より $BC^2\/2=BQ\times BP=72$ であるから，$BC=12$ である．よって，三角形 $ABC$ の面積は
$$\frac{1}{2}\times BC\times AM = \frac{1}{2}\times BC\times\sqrt{AC^2 - CM^2} = \sqrt{\textbf{5760}}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc165/editorial/1560
　$AB=AC$ なる二等辺三角形 $ABC$ において，辺 $BC,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とします．三角形 $AMC$ の外接円と直線 $BN$ の交点のうち $B$ から遠い方を $P$ としたとき，$BN=11,NP=7$ が成り立ちました．\
　このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．