　部員数が $555, 666, 777, 567$ 人の部活をそれぞれ $A, B, C, D$ で表す．ちょうど $2$ つの部活に入っているのが $x$ 人であるとし，その $x$ 人のうち各部活に入っているのが $a,b,c,d$ 人いるとする．$a+b+c+d=2x$ であることに注意する．これら $x$ 人以外の分布について注目することで，　
$$\max(555-a, 666 - b, 777 - c, 567 - d) \leq 1000 - x$$
が成り立つことが分かる．これより特に
$$2565-2x = (555-a)+(666-b)+(777-c)+(567-d) \leq 4(1000-x)$$
が従うから，$x\leq 717$ が必要である．\
　逆に $x=717$ のとき，たとえば $a = 272, b= 383 , c= 494, d = 285$ とし，$49$ 人が $A, C$ に， $160$ 人が $B, C$ に，$285$ 人が $C,D$ に，$223$ 人が $A, B$ に，$1$ 人が $A,B,C$ に，$282$ 人が $A,B,C,D$ に入ることで構成可能である．よって答えは $\mathbf{717}$ 人である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/7177
　ちょうど $i$ 個の部活に入っている生徒の数を $a_i$ と置く（$a_i$ は全て非負整数である）．\
　$1000$ 人の生徒が在籍していることは $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=1000$ と書き換えられ，$4$ つの部活のそれぞれの部員数の条件は次のように書き換えられる：
$$\tag{1} a_1+2a_2+3a_3+4a_4=555+666+777+567=2565$$
　ここで，つるかめ算のような発想を使おう．\
　$(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4)=(0,0,1000,0,0)$ であれば，$a_1+2a_2+3a_3+4a_4=2000$ である．\
　ここから $a_2$ を $1$ 減らして， $a_3$ を $1$ 増やせば，右辺の値は $1$ 増える．一方 $a_2$ を $1$ 減らして， $a_4$ を $1$ 増やせば，右辺の値は $2$ 増える．また，これらの操作はいずれも $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=1000$ を保っている．\
　式 $(1)$ を満たす $a_2$ の最大値を求めたかったので，上記の操作をできるだけ少ない回数で，右辺を $2565$ にすればよい．そのためには，$a_2 \rightarrow a_4$ の操作を $282$ 回，$a_2 \rightarrow a_3$ の操作を $1$ 回すればよい．このとき $a_2=717$ で式 $(1)$ を達成できる．

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　以上の議論は，正確には $a_2 \leq 717$ が示せただけである．公式解説のように構成しなければ $a_2=717$ を示せたことにはならない．
つるかめ算のような発想
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/7177/531
　OMC学園には $1000$ 人の生徒が在籍しています．OMC学園には $4$ つの部活があり，部員数はそれぞれ $555$ 人，$666$ 人，$777$ 人，$567$ 人です．ちょうど $2$ つの部活に所属している生徒の人数としてありうる最大値を解答してください．ただし，どの部活にも所属していない生徒や，$3$ つ以上の部活に所属している生徒がいてもかまいません．