　有名事実として $DC=DA+DB$ である. 一方で, 簡単な角度計算から三角形 $DEB$ と $DFC$ は相似であるから, これらより $DB=6,DC=8$ を得る. よって, 三角形 $BCD$ における余弦定理より $BC=2\sqrt{13}$ であるから, 求めるべき面積は $13\sqrt{3}=\sqrt{\textbf{507}}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1595
　正三角形 $ABC$ において, その外接円の弧 $AB$ ($C$ を含まない方) 上に点 $D$ が, 辺 $AB$ 上に点 $E$ があります. ここで, $ADE$ の外接円と線分 $AC$ が $A$ でない点で交わったのでこれを $F$ としたところ, 以下の条件が成立しました：
$$DA=2,\quad DE=3,\quad DF=4$$
このとき, $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください.