　ある点について, 距離が $1$ 以上の点が少なくとも $3$ つ存在すると, 条件よりこれらの $3$ 点の間の距離はいずれも $1$ 未満であるが, このときこれら $3$ 点からなる三角形は条件をみたさない. したがって, 各点について距離が $1$ 以上の点は高々 $2$ つであり, 同様にして各点について距離が $1$ 以下の点も高々 $2$ つであるから, これは $n\leq 5$ を表す. 逆に正五角形を考えることで $n=5$ が適することがわかるから, 求める最大値は $\textbf{5}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1
　次の条件をみたす平面上の相異なる $n$ 点が存在するような, 正整数 $n$ の最大値を求めてください：

- 任意の $3$ 点のなす三角形について, 長さが $1$ より大きい辺と $1$ より小さい辺がともに存在する.