　$C$ の方程式は $a,b,c\geq 0$ を用いて
$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=a^2+b^2+c^2$$
とおける．このとき条件より $$a^2+b^2=13,\quad b^2+c^2=20,\quad c^2+a^2=25$$ となるから，求める値は $a^2+b^2+c^2=\dfrac{13+20+25}{2}=\bm{29}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc004/editorial/32
　座標空間上に原点を通る球面 $C$ があります. $C$ が $xy$ 平面, $yz$ 平面, $zx$ 平面と交わってできる円の面積がそれぞれ $13 \\pi, 20 \\pi, 25 \\pi$ であるとき, 球 $C$ の半径は $\\sqrt A$ です. $A$ を求めてください.