　$\angle GDB=\angle GDC=90^{\circ}$ より, $D$ は $G$ から直線 $BC$ におろした垂線の足である. 同様に $E,F$ は $G$ から直線 $CA,AB$ におろした垂線の足であることがわかる.\
　いま, $H$ を $A$ から $BC$ におろした垂線の足とすると, 相似より $GD=\dfrac{AH}{3}$ が成り立ち, 一方で面積を考えることで $AH=\dfrac{2\times 8}{BC}$ なので, $GD=\dfrac{16}{3BC}$ が成り立つ. 同様に $GE,GF$ についても成り立つため, 
$$GD \times GE \times GF=\frac{16^{3}}{3^{3}\times AB \times BC \times CA}=\frac{16^3}{3^3\times96}= \frac{128}{81}$$
　よって, 解答すべき値は $128+81=\textbf{209}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc166/editorial/2868
　重心を $G$ とする鋭角三角形 $ABC$ は，面積が $8$ ， 三辺の長さの積が $96$ です．いま，$GA, GB, GC$ を直径とする円をそれぞれ $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ とし，$C_{2}$ と $C_{3}$，$C_{3}$ と $C_{1}$，$C_{1}$ と $C_{2}$ の交点のうち $G$ でない方をそれぞれ $D,E,F$ とするとき，$GD×GE×GF$ の値を求めてください．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．