　 一般に $\triangle XYZ$ とその内心 $I$ について簡単な角度計算により $\angle YIZ=90^\circ +\frac{1}{2} \angle YXZ$ が成り立つことが確かめられる. したがって, 円周角の定理より $\angle APB =60^\circ$ であるから, $\angle AQB=120^\circ, \angle ARB=150^\circ$ がわかる.\
　$\angle ARB$ が一定なので $R$ は $A,B$ を通る円弧上を $A$ から $B$ まで動く.この円の中心を $O^\prime$ とすると簡単な角度計算により $\angle AO^\prime B=60^\circ$ を得る. $\triangle AO^\prime B$ は正三角形だとわかるので $O^\prime A=AB=AB=24\sqrt 3$ である.\
　以上より $R$ は半径 $24\sqrt 3,$ 中心角 $60^\circ$ の円弧上を動く. よって $R$ の軌跡の長さは $8\sqrt 3 \pi=\sqrt{\textbf{192}}\pi$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/editorial/2316
　中心を $O$ とする半径 $24$ の定円があり，その周上に $2$ 定点 $A,B$ が $\angle AOB =120^\circ$ をみたします．点 $P$ が優弧 $AB$（弧 $AB$ のうち長い方）上を $A$ から $B$ まで動くとき，三角形 $ABP,ABQ$ の内心をそれぞれ $Q,R$ とします．このとき，点 $R$ の軌跡の長さは正整数 $a$ を用いて $\sqrt{a}\pi$ と表せるので，$a$ を求めてください．\
　ただし $P=A$ のとき $Q,R$ は $A$，$P=B$ のとき $Q,R$ は $B$ であるとします．