　横綱以外の $99$ 人を力士 $1,2,\ldots ,99$ と呼ぶ．\
　全員の力士の勝ち星の総数は $4950$ である．このうち $99$ 勝分は横綱の分であるから，力士 $1,2,\ldots,99$ の勝ち星の合計は $4851$ である．ある力士が勝ち越すには最低 $50$ 勝が必要であるので， 力士 $1,2,\ldots,99$ のうち勝ち越した力士の数は $4851\div 50 = 97.02$ 以下である．よって，横綱は勝ち越していることに気を付ければ $M$ は $98$ 以下である．また，力士 $98,99$ が全敗し，任意の $1\le a \lt b \le 97$ なる整数 $a,b$ に対して，$a + b$ が奇数であるならば力士 $a$ が勝ち，$a+b$ が偶数であるならば力士 $b$ が勝つとき，力士 $1,2,\ldots, 99$ のうち $97$ 人が勝ち越すので，$M = 98$ である．\
　次に，横綱は勝ち越すので $m$ は $1$ 以上である．また，任意の $1\le a \lt b \le 99$ なる整数 $a,b$ に対して，$a + b$ が奇数であるならば力士 $a$ が勝ち，$a+b$ が偶数であるならば力士 $b$ が勝つとき，力士 $1,2,\ldots ,99$ は全員が負け越すので，$m = 1$ である．\
　以上より，求める答えは $\bf99$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc163/editorial/6271
　OMC公国で相撲の大会が行われました．$100$ 名の力士が参加し，そのうちちょうど一人が横綱でした．大会は総当たり戦でした．すなわち，合計 $4950$ 回の試合が行われました．どの試合も勝敗が決し，横綱は全勝でした．このとき，$100$ 名の力士のうち，勝ち越した力士の数としてありうる最大の値を $M$ とし，最小の値を $m$ とします．$M+m$ を解答してください．\
　ただし，勝ち越すとは，勝った回数が負けた回数よりも多いことを指します．