　$x^{n-3}$ の係数は, $k$ 以下の正整数から $3$ つを選ぶ方法すべてについてそれらの積を足し合わせたものに等しく,
$$\dfrac{1}{6}\Biggl(\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^3-3\left(\sum_{k=1}^{n} k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)+2\left(\sum_{k=1}^{n} k^3\right)\Biggr)=\dfrac{1}{48}(n-2)(n-1)n^2(n+1)^2$$
これは $n$ について単調であり, 特にこれが $55770$ となる $n$ は $\textbf{12}$ のみである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc073/editorial/1679
　$x$ の多項式 $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(x+k)$ において, $x^{n-3}$ の係数が $55770$ であるような, 整数 $n\geq 3$ の総和を求めてください.