　$S(n)=\dfrac{n(n+1)}{2}$ に留意すれば, 与式は以下のように表される.
　　$$S(1)\times S(2)\times \cdots \times S(100)=\dfrac{1\times2}{2}\times\dfrac{2\times3}{2}\times\cdots\times\dfrac{100\times101}{2}=\dfrac{100!\times101!}{2^{100}}$$
Legendreの定理より以下が成り立つから, 求める回数は $97\times2-100=\textbf{94}$ である.
　　$$v_2(101!)=v_2(100!)=50+25+12+6+3+1=97$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc022/editorial/134
　$S(n)$ で $1$ 以上 $n$ 以下の整数の総和を表すとき，$S(1)\times S(2)\times \cdots \times S(100)$ は $2$ で $x$ 回割り切れます．$x$ としてありうる最大の整数値を解答してください.