　合同式の法は $9$ とする．\
　正整数 $n$ について，その桁和を $S(n)$ で表すことにすると，$n \equiv S(n)$ が成立する．$A,\ Y$ に入れた数字を $a,\ y$，使わない数字を $x_1\lt x_2$ とおくと，$\text{YAGAMIFES}$ に $1$ 桁の数字を入れて出来た数字が $9$ の倍数になるためには，
$$
45+a-x_1-x_2\equiv x_1+x_2-a \equiv 0
$$
が必要がある．ここで，もし $x_1$ が $0$ または $9$ であったとすると，$x_2 \equiv a$ かつ $x_2, a$ がいずれも $1$ 桁の整数であることから $x_2=a$ となってしまうが，これは不適である．同様なことは $x_2$ についてもいえるから，$x_1,x_2$ はいずれも $1$ 以上 $8$ 以下の整数である．以下，$x_1+x_2=k$ とおく．$3\leq k \leq 15$ に留意せよ．
 - $k \not \equiv 0$ のとき\
$k\equiv a$ なる $a\ (a\neq x_1, x_2)$ がただ $1$ つ存在する．各$k$に対し，$x_1<x_2$ かつ  $x_1+x_2=k$ を満たすような組$(x_1,x_2)$の数は，$3 \leq k \lt 9$ のとき $\left\lfloor (k-1)\/2 \right\rfloor$通り，$9 \lt k\leq 15$ のとき $\left\lfloor (17-k)\/2 \right\rfloor$通り存在し，合計で $24$ 通りある．これら $24$ 通りの場合のいずれにおいても，$\text A$ 以外の $7$ つのアルファベットに（$0$ を含む）$7$ つの $1$ 桁の数字をあてはめる必要があり，この場合の数は $y \neq 0$ を鑑みると $6\times 6!$ 通りである．
 - $k=9$ のとき\
$a=0$ または $9$ が適する．また，$x_1\lt x_2$ かつ $x_1+x_2=9$ を満たすような組 $(x_1,x_2)$ の数は $4$ 通り存在する．$\text A$ 以外の $7$ つのアルファベットに $7$ つの一桁の数字をあてはめる場合の数は $a=9$ のとき $6\times 6!$ 通り，$a=0$ のとき $7!$ 通り存在する．

　以上より，求める場合の数は $24\times 6 \times 6! + 4\times (6\times 6!+7!) = \bm{141120}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9393
　長さ $9$ の文字列 $\text{YAGAMIFES}$ は $8$ 種類のアルファベットで構成されています．各アルファベットに $0$ から $9$ の数字を $1$ つずつ入れて $9$ 桁の正整数をつくります（ただし，$\text Y$ に $0$ を入れてはいけません）．同じアルファベットには同じ数字を，異なるアルファベットには異なる数字を入れるとき，得られる正整数が $9$ の倍数になるような方法は何通りありますか？