　$x=-a+b+c, ~ y=a-b+c, ~ z=a+b-c$ とおくと $x,y,z$ は偶奇が一致し，与式より特に全て正の偶数である．逆に $xyz=2^{100}$ を満たす正の偶数の組 $(x,y,z)$ に対して
$$(a,b,c)=\Big( \frac{y+z}{2},\frac{z+x}{2},\frac{x+y}{2}\Big)$$
は与式を満たす．よって求める組の個数は ${}\_{99}\mathrm{C}\_{2}=\mathbf{4851}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/11848
　次の式を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつありますか？
$$(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=2^{100}$$