　整数 $x$ の正の約数の個数を $f(x)$ で表す． 
- $n$ が $5$ の倍数でないとき．\
 $n=f(25n)=f(25) \times f(n)=18$ である．実際に，$f(18)=6$ であるから，$n=18$ は条件を満たす． 
- $n$ が $5$ の倍数のとき．\
$f(n)=6$ より，$n$ の値は，$p$ を $5$ 以外の任意の素数として以下のいずれかで表せる．
$$5^5,\quad 5 \times p^2,\quad 25 \times p$$
これらはいずれも $f(25n)=n$ をみたさない．

よって解答すべき値は $\textbf{18}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb018/editorial/5680
　$n$ の約数の数を $\sigma(n)$ とする. $n=\prod_1^m p_i^{r_i}$ としよう. すると, $\sigma(n)=\prod_1^m(r_i+1)$ である. 

　$5=p_i$ なら $\frac{\sigma(25n)}{\sigma(n)}=\frac{r_i+3}{r_i+1}\le 2$ で, $5\not\in\\{p_i\mid1\le i\le m\\}$ なら $\frac{\sigma(25n)}{\sigma(n)}=3$ である. 

　だから $\frac{\sigma(25n)}{\sigma(n)}\le 3$ であり, $n=\sigma(25n)\le3\sigma(n)=18$ だ. 

　$18$ 以下の正整数のうち約数の数が $6$ 個のものは $12, 18$ のみであり, $\sigma(25\cdot 12)=18\ne12, \sigma(25\cdot18)=18$ だから $n$ でできるのは $18$ だけ.
n の上限を利用する方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb018/editorial/5680/580
　正の整数 $n$ について，$n$ の正の約数の個数が $6$ 個，$25n$ の正の約数の個数が $n$ 個となるとき， $n$ としてありうる値の総和を求めてください．