　一般に $\mathcal P$ を凸 $2n$ 角形として考える．相異なる $2$ 頂点を結ぶ線分の**長さ**を，$2$ 点の間にある辺の本数（のうち大きくない方）と定義する．\
　着色された線分の長さが奇数ならば，必ず偶数本の着色された線分と交わり，長さが偶数ならば，必ず奇数本の着色された線分と交わる．よって，この問題では，長さが偶数の着色された線分同士の交点の個数の（相加）平均を求めればよい．\
　着色する $n$ 本の選び方すべてについて，長さが偶数の着色された線分同士の交点の個数の総和を $S_n$ とおく．（着色の有無によらない）長さが偶数の線分同士のある交点に着目するとき，この点が「長さが偶数の着色された線分同士の交点」として計上され $S_n$ に寄与する回数は，この点を通る線分以外の $n-2$ 本の選び方の場合の数
$$\dbinom{2n-4}{2}\dbinom{2n-6}{2}\cdots\dbinom{2}{2}\times\dfrac{1}{(n-2)!}=\dfrac{(2n-4)!}{2^{n-2}(n-2)!}\quad\cdots(1)$$
に等しい．（着色の有無によらない）長さが偶数の線分同士の交点の個数は，$2n$ 個の頂点から相異なる $4$ 点を選ぶとき，隣り合う点の間にある辺の本数が (i) すべて偶数である場合の数と (ii) すべて奇数である場合の数の和に等しい．
- (i) は，$1\leq a\lt b\lt c\lt d\leq 2n$ をみたし，すべての偶奇が一致する整数の組 $(a, b, c, d)$ の数に等しい．
- (ii) は，$1\leq a\lt b\lt c\lt d\leq 2n$ をみたし，偶数と奇数が互い違いに並ぶ $(a, b, c, d)$ の数に等しい．これは，$1\leq a\lt b+1\lt c+2\lt d+3\leq 2n+3$ をみたし，すべての偶奇が一致する $(a, b+1, c+2, d+3)$ の数に等しい．

したがって，（着色の有無によらない）長さが偶数の線分同士の交点の個数は，
$$\dbinom{n}{4}\times2+\dbinom{n+2}{4}+\dbinom{n+1}{4}=\dfrac{1}{6}(n-1)n(n^2-2n+3)\quad\cdots(2)$$
　$S_n$ は (1), (2) の積である．また，着色する $n$ 本の選び方の総数は，
$$\dbinom{2n}{2}\dbinom{2n-2}{2}\cdots\dbinom{2}{2}\times\dfrac{1}{n!}=\dfrac{(2n)!}{2^{n}n!}$$
であるから，求める平均値は，
$$S_n\times\dfrac{2^{n}n!}{(2n)!}=\dfrac{(n-1)n(n^2-2n+3)}{6(2n-1)(2n-3)}$$
とわかる．$n=100$ を代入すれば，（分母と分子が $6$ で割り切れることに注意して）特に解答すべき値 $\bm{16214153}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/7626
　[公式解説](.\/)において，式 $(1)$ や着色する $n$ 本の選び方は，頂点に任意に $1,\\, \ldots,\\, 2n$ とラベリングし，まだ選ばれていない最も若い頂点について，辺で接続する頂点の選び方をその都度考えることで，それぞれ $(2n - 5)!!,\\ (2n - 1)!!$ と分かる（公式解説の式を変形してもこれに等しいことは分かる）．これを使うと少しだけ計算回数が減る．
少しだけ計算をラクに
https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/7626/273
　凸 $200$ 角形 $\mathcal P$ があり，どの $3$ 本の対角線も頂点以外の $1$ 点で交わりません．$\mathcal P$ の辺または対角線にあたる線分のうち相異なる $100$ 本を，どの $2$ 本も端点を共有しないように選び，一度に赤色で塗ります．さらに，赤い線分のうち，ちょうど奇数本の赤い線分と交わるものを，すべて一度に青色で塗り替えます．このとき，はじめに赤色に塗る $100$ 本の線分の選び方すべてについて，青い線分同士の交点の個数の（相加）平均を求めてください．\
　ただし，求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．また，線分を選ぶ際，回転や裏返しによって一致しうる線分であってもすべて区別するものとします．