　$BCDP$ がひし形となるような点 $P$ をとると, 簡単な角度計算によって $\angle APE$ は直角である. これより, $AE$ の中点を $M$ とすれば $ABPM$ および $EDPM$ は凧形であり, 五角形 $ABCDE$ の面積は直角三角形 $BDM$ の面積の $2$ 倍である. 三角形 $ABE$ および $ADE$ における中線定理より $BM=\sqrt{19},DM=\sqrt{13}$ を得るから, 解答すべき値は $19\times13=\textbf{247}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/213
　 $\angle{B}+\angle{D}=180^\circ,\angle{A}+\angle{C}+\angle{E}=360^\circ$ に注意して，五角形 $ABCDE,GHABF,EJIHA,LDEJK$ が対応順も含めて合同となるように点 $F$ から点 $L$ までをとり，六角形 $CFGIKKL$ を作る．\
　$BDJH$ はひし形となり，その面積は五角形 $ABCDE$ の面積 $S$ の $2$ 倍となる．\
　$AE$ の中点を $M$ とすると，三角形 $ABE,ADE$ で中線定理を用いることで， $BM=\sqrt{19},DM=\sqrt{13}$ となる．\
　よって， $S^2={BM}^2\times{DM}^2=\textbf{247}$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/213/26
　角 $A,E$ がともに鈍角である凸五角形 $ABCDE$ が, 以下の条件をみたしています.
$$\begin{aligned}
&AB=BC=CD=DE,\quad AE=4,\\\\
&AB^2+AD^2=34,\quad BE^2+DE^2=46,\\\\
&\angle{B}+\angle{D}=180^\circ
\end{aligned}$$
このとき, 五角形 $ABCDE$ の面積の $2$ 乗を求めてください.