　結論から述べれば，ある状態から始めて後手が勝つことは以下と同値である：

- 各山の石の数を二進法で表したとき，どの位についてもそれが $1$ であるものが $3$ の倍数個存在する．

この状態を以下では**良い状態**とよび，そうでない状態を**良くない状態**とよぶ．\
　最後が良い状態であることに注意すれば，以下の二つを示せばよい：

- どの良い状態からどのように $1$ 回操作しても良くない状態の盤面になること．
- どの良くない状態からも，適当に $1$ 回操作することで良い状態の盤面にできること．

以下，特に断りなく「位」などといったとき，二進法による表記で考えるものとする．\
　まず前者から示す．どの位についても，それが $1$ であるような山の数の差は， $1$ 回の操作の前後で $2$ 以下である．よって，良い状態から操作して再び良い状態であるためには，どの位についても操作前と後でその位が $1$ であるような山の数が変わらない必要がある．これは操作の前後で石の総数が変わらないことを意味するので不適である．\
　以下，後者を示す．各位についてその位が $1$ であるような山の数を $3$ で割った余りを考える：


- $0$ でない最上位の位の余りの数が $2$ の場合に行うべき操作：\
　その位が $1$ であるような $2$ つの石の山を選び，その位がそれぞれ $0$ になるようにする．\
　それより下の位についても，同様にして調整が可能である．

- $0$ でない最上位の位の余りの数が $1$ の場合に行うべき操作：\
　まず，その位が $1$ であるような $1$ つの石の山を選び，その位を $0$ になるようにする．\
　それより下の位について，先に選択した以外の山であってその位が $1$ であるようなもの数を $3$ で割った余りを考える．このとき，余りが $1$ である位がなければ，先に選択した石の山での調整のみですべての位の余りを $0$ にできる．そうでない場合も，余りが $1$ である位の最上位が $1$ であるような石の山を新たに $2$ つ目として選択すれば，これらを利用して調整が可能である．

　最後に，最初が良い状態になるような $N$（以下，これを**良い数**とよぶ）の条件を考える．\
　まず，$N$ 以下の正整数であって， $2^k$ の位が $1$ であるものの個数は，以下のように表せる：
$$
\begin{cases}
\biggl\lfloor \dfrac{N}{2^{k+1}} \biggr\rfloor \times 2^k  & N\ の\ 2^k\ の位が\ 0\ のとき \\\\
\\\\
N- \biggl(\biggl\lfloor \dfrac{N}{2^{k+1}} \biggr\rfloor+1\biggr) \times 2^k & N\ の\ 2^k\ の位が\ 1\ のとき
\end{cases}
$$
　いま，$2^a$ の位と $2^b$ の位（$a\lt b$）が $1$ で，その間の位がすべて $0$ であるような良い数 $N$ について，
$$
\biggl(\biggl\lfloor \frac{N}{2^{a+1}}\biggr\rfloor+1\biggr) \times 2^a \equiv \biggl(\biggl\lfloor \frac{N}{2^{b+1}} \biggr\rfloor+1\biggr) \times 2^b\pmod 3
$$
が成立する一方で，
$$
\biggl\lfloor \frac{N}{2^{a+1}}\biggr\rfloor= \biggl\lfloor \frac{N}{2^{b+1}} \biggr\rfloor \times 2^{b-a}+2^{b-a-1}
$$
も成り立つ．これらをあわせれば，$2^{a} \equiv 2^{b-1} \pmod 3$，すなわち $a$ と $b$ の偶奇は異なることがわかる．言いかえれば，$2$ つの $1$ に連続して挟まれる $0$ は偶数個である．同様にして，$2$ つの $0$ に挟まれる $1$ も偶数個であることがわかる．したがって，良い数は上位から見ると $2$ 桁ごとに同じものが並ぶ（例：$1111000000110\cdots$）．\
　これらに加えて，偶数であること・桁数が奇数であることの $3$ つで必要十分条件となることがわかる．\
　$0$ 以上 $2047~(=2^{11}-1)$ 以下にこのような数は $2^5$ 個存在する．$a$ が良い数ならば $2046-a$ も良い数であることに注意し，範囲外の $0,2040,2046$ を除けば，総和は
$$2046 \times 2^5 \times \frac{1}{2}-0-2040-2046=28650$$
となる．特に，求める値は，$(1+2+\cdots+2023)-28650=\mathbf{2018626}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/7033
　$0$ 個以上の石からなる山 $N$ 個が左右一列に並んでいます．$k = 1,2,\ldots,N$ について，左から $k$ 番目の山ははじめ $k$ 個の石からなります．これら $N$ 個の山を使って，サンタとトナカイが次のゲームをします：

- サンタを先手として，次の操作を可能な限り交互に行う：
	- $1$ つまたは $2$ つの山を選択し，それぞれから石を $1$ 個以上ずつ取る（$2$ つの山を選んだとき，それぞれから異なる個数の石を取ってもよい）．ここで，石が $1$ 個もない山を選択することはできないが，操作の結果としてある山に含まれる石が $0$ 個になってもよい．
- 先に操作が出来なくなった方が負けとなり，もう一方が勝ちとなる．

　両者が自身の勝ちを目標として最適な行動をとるとき，先手のサンタが勝つような正整数 $N$ を**良い数**とよびます．$2023$ 以下の良い数の総和を求めてください．