　$a = \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ とすると, $a^2$ は $n$ 以下の最大の平方数であるから $(a + 1)^2 \gt n$ が成り立ち, 特に
$$(a + 1)^2 - a^2 \gt n - \lfloor \sqrt{n} \rfloor^2 = 100$$
すなわち $a \geq 50$ が必要である. 逆に $a = 50$ のとき, $n = \textbf{2600}$ が与式をみたし, これが求める最小のものである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc105/editorial/2798
　以下の等式をみたす最小の正整数 $n$ を求めてください：
$$n - \lfloor \sqrt{n} \rfloor^2 = 100$$
ただし, 実数 $r$ に対し $\lfloor r \rfloor$ で $r$ を超えない最大の整数を表します.