　$n$ が相異なる素数 $p_{1}, p_{2}, \cdots p_{N}$ と正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{N}$ を用いて
$$n=p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times \cdots \times p_{N}^{a_{N}}$$ 
と表せるとき，条件式は以下のように表せる:
$$\dfrac{2a_{1}+1}{a_{1}+1} \times \dfrac{2a_{2}+1}{a_{2}+1} \times \cdots \times \dfrac{2a_{N}+1}{a_{N}+1}=3$$
いま，各 $a_{i}$ について $\dfrac{3}{2} \leq \dfrac{2a_{i}+1}{a_{i}+1} \lt 2$ が成立するから，$N$ について $\left( \frac{3}{2} \right)^N \leq 3 \lt 2^N$ が従いこれを満たす $N$ は $N=2$ のみ．よって
$$(2a_{1}+1)(2a_{2}+1)=3(a_{1}+1)(a_{2}+1)$$
を満たす $a_{1},a_{2}$ を考えればよく，これは $(a_{1},a_{2})=(4,2)(2,4)$ のみ．したがって $n$ は $n=p_{1}^4 \times p_{2}^2$ の形で表される整数であり，特に $n=\bf{144}$ で最小である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/4219
　公式解説は，システマチックに求めようとしており，基本的にはこの方針で解けることが望ましいです．\
　ただし，与式 $d(n^2)=3d(n)$ は比較的単純な式です．「きっと $n$ はそう大きくないはずだ」という予想が立てば，このユーザー解説のような方針もあり得ます．

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**必要条件1**．$n$ は平方数である\
　$d(n^2)$ は奇数だから $d(n)=d(n^2)\/3$ も奇数であり，このことから $n$ は平方数であることが従う．

**必要条件2**．ある素因数 $p$ が存在して $p^4 \mid n$\
　$n \neq 1$ は明らかである．\
　$p^4 \mid n$ となる $p$ が存在しないと仮定すると，$n= \prod p_i^{\ 2}$ となる．\
　このとき $n^2=\prod p_i^{\ 4}$ となり，$d(n^2)$ は $5$ のべき乗となるので矛盾．

　ここで実際に，ある素因数 $p$ が存在して， $n$ が $p^4 \mid n, p^5 \nmid n$ を満たすとしよう．\
　このとき $d(n^2)=3d(n)$ は $5$ を約数にもつ．そこで，$n^2=p^8 q^4$ ではどうだろうかと考えると，次のことがわかる．

**十分条件**．$n=p^4 q^2$ は条件を満たす

　この形の整数 $n$ で最小のものは $2^4×3^2=144$ である．\
　もし $144$ より小さいものが存在するとしたら，そのような数は $p^k$ と表されなければならない．しかし $n=p^k$ は，式 $d(n^2)=3d(n)$ を満たしえない．

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　なお最初にも書いた通り，まずは公式解説のような方針で解けることが望ましいです．\
　本ユーザー解説のような方針は，**運よく**速く求まることもありますが，式が難しくなればなかなか通用しません．
与式から得られる条件とは？
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/4219/730
　正整数 $n$ に対し，$d(n)$ で $n$ の正の約数の個数を表すとき，$d(n^2)=3d(n)$ を満たす正整数 $n$ としてあり得るものの最小値を求めてください．