　問題は以下の表現と等価である．

- $0,3,4$ のいずれかを順に $5$ 回足す方法であって，その和が $5$ 以上となるのは何通りか？

逆に「$5$ 未満」となるものが何通りあるか考えると，これは $3$ および $4$ をあわせて高々 $1$ 回用いることと同値であるから，$5\times 2+1=11$ 通りである．これより，元の問題で求める値は $3^{5} -11=\textbf{232}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/editorial/3275
　OMC君は**そうめんつゆサーバー**をもっており，水・青・黄の $3$ つのボタンが取り付けられています．それぞれのボタンを押すと，そうめんつゆが $3\textrm{L}$, $6\textrm{L}$, $7\textrm{L}$ 出されます．\
　これら $3$ つのボタンを順番に合計 $5$ 回押して，空の容器にそうめんつゆを $20\textrm{L}$ **以上**入れる方法は何通りありますか？ただし，ボタンを押す順番も区別するものとし，必ずしもすべてのボタンを押す必要はありません．