　$a_i=x_{i+1}\/x_{i}$ とおけば, 条件は $a_0\lt a_1\lt\cdots\lt a_6$ であり, 求めるものは
$$\displaystyle\frac{a_0a_1+1}{a_1-a_0}+\frac{a_1a_2+1}{a_2-a_1}+...+\frac{a_{5}a_{6}+1}{a_6-a_{5}}\gt c$$
を常にみたす実数 $c$ の最大値である. 一般に $6$ を $n$ とおき, 求める最大値を $A_n$ とおく.\
 　各 $i=0,1,...,n$ に対し, $a_i=\tan \theta_i$ なる実数 $0\lt \theta_i\lt \dfrac{\pi}{2}$ がとれ, このとき
$$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i-1} a_i+1}{a_i-a_{i-1}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\tan \theta_{i-1} \tan \theta_i+1}{\tan \theta_i-\tan \theta_{i-1}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\tan(\theta_i-\theta_{i-1})}$$
　ここで $f(\theta)=\dfrac{1}{\tan \theta}$ とおくと, $f^\prime(\theta)=-\dfrac{1}{\sin ^2\theta}$ が $0\lt \theta\lt \dfrac{\pi}{2}$ で単調増加であることから, $f(\theta)$  はこの範囲で下に凸である. したがって, Jensenの不等式より
$$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\tan(\theta_i-\theta_{i-1})}=\sum_{i=1}^{n} f(\theta_i-\theta_{i-1})\geq n f\left(\frac{\sum (\theta_i-\theta_{i-1})}{n}\right)=n f\left(\frac{\theta_{n}-\theta_0}{n}\right)$$
特に $\theta_i$ が等差数列をなすときに等号が成立するから,  結局 $f(\theta)$ の単調減少性と併せて $A_n$ について
$$A_n=nf\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)=n\/\tan\left(\dfrac{\pi}{2n}\right)$$
特に $n=6$ のとき $A_6=12+6\sqrt{3}$ であり, 解答すべき値は $\textbf{120}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc059/editorial/264
　$8$ 個の正の実数 $x_0,x_1,\ldots,x_7$ は, $n=1,\ldots,6$ に対し $x_{n-1}x_{n+1}\gt x_{n}^2$ をみたします. このとき, 以下の不等式
$$\frac{x_1(x_0+x_2)}{x_0x_2-x_1^2}+\frac{x_2(x_1+x_3)}{x_1x_3-x_2^2}+\cdots+\frac{x_6(x_5+x_7)}{x_5x_7-x_6^2}\gt c$$
を常にみたす実数 $c$ の最大値を求めてください.\
　ただし, 求める値は正整数 $s,t$ によって $s+\sqrt{t}$ と表せるので, $s+t$ を解答してください.