　メネラウスの定理より $BT:TS=2:1$ であるから，$\triangle{TQC}$ の面積は次のように計算できる.
$$\triangle{TQC} = \frac{1}{2} \triangle{TBC} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \triangle{SBC} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$
対称性から $\triangle{TQC} = \triangle{TRC}$ であり，また $\triangle{CQR} = \dfrac{1}{8}$ であるから，
$$\triangle{TQR} = \triangle{TQC}+\triangle{TRC}-\triangle{CQR}=2\times \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$$
よって解答すべき値は $\textbf{29}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc105/editorial/3278
　$AC$ と $BD,QR$ の交点をそれぞれ $X,Y$ とする．$T$ は $\triangle ABD$ の重心だから $AT:TX=2:1$ であり，
$$AX:XC = XY:YC=1:1$$
と合わせて $TY:YC=5:3$ を得る．$\triangle CQR$ の面積は $\dfrac 18$ だから，求める面積は $\dfrac 18 \times \dfrac 53 = \dfrac{5}{24}$ であり，解答すべき値は $\textbf{29}.$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc105/editorial/3278/92
　一辺の長さが $1$ の正方形 $ABCD$ において, 辺 $AB, BC, CD, DA$ の中点をそれぞれ $P, Q, R, S$ とし, 線分 $BS$ と $DP$ の交点を $T$ とします. このとき, 三角形 $TQR$ の面積は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a + b$ を解答して下さい.