　$O(0,0),A(1\/4,0),B(0,1\/3)$ とすれば, 各円の直径は線分 $OA,OB,AB$ である. ここで $O$ を中心とする半径 $1$ の円によって反転を行うと, $A,B$ はそれぞれ $A^{\prime}(4,0),B^{\prime}(0,3)$ に移るから, 各円の像は
$$C^{\prime}_1:x=4,\quad C^{\prime}_2:y=3,\quad C^{\prime}_3:3x+4y=12$$
これらは $3$ 辺を $3,4,5$ とする直角三角形をなす. $C_0$ の像はこの三角形直角内の傍接円であり, その半径は $6$, 中心は $(-2,-3)$ であることが容易にわかる. ここで, 以下の事実に留意する：

**事実.**　中心 $O$, 半径 $1$ の円で中心 $X$, 半径 $r$ の ($O$ を通らない) 円 $C$ を反転したとき, その像にあたる円の半径は $\displaystyle\frac{r}{|r^2-OX^2|}$ で表される.

**証明.**　$OX$ と $C$ の $2$ 交点が移る先を考えればよい. $C$ の像において, これら $2$ 交点の像は直径をなす. (証明終)

　元の問題に適用すれば, $C_0$ の半径は $\displaystyle\frac{6}{6^2-(2^2+3^2)}=\frac{6}{23}$ であり, 解答すべき値は $\textbf{29}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/editorial/1551
　座標平面上に次の方程式で与えられる $3$ 円 $C_1,C_2,C_3$ があります.
$$\begin{aligned}
C_1&:x\left(x-\frac{1}{4}\right)+y^2=0, \\\\
C_2&:x^2+y\left(y-\frac{1}{3}\right)=0, \\\\
C_3&:x\left(x-\frac{1}{4}\right)+y\left(y-\frac{1}{3}\right)=0
\end{aligned}$$
これら $3$ 円すべてがある円 $C_0$ に内接するとき, $C_0$ の半径を求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.