$$\frac{a^2-1001a+1001^2}{b^2-1001b+1001^2}\leq\frac{\max\lbrace a^2-1001a+1001^2\rbrace}{\min\lbrace b^2-1001b+1001^2\rbrace}$$
であり，等号が成立するのは $a=1,1000$ かつ $b=500,501$ のときであるので解答すべき値は
$$(1+500)+(1+501)+(1000+500)+(1000+501)=\mathbf{4004}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/editorial/9284
　 $1\leq a\leq 1000, ~ 1\leq b\leq 1000$ なる整数 $a,b$ について，
$$\frac{a^2-1001a+1001^2}{b^2-1001b+1001^2}$$
がありうる最大の値をとるとき，$a+b$ としてありうる値の総和を求めてください．