　$360=2^3\times 3^2\times 5$ に留意し, 各素因数の分配を考えれば, 各数が相異なるとの条件を無視すれば求める場合の数は ${}_5\mathrm{C}_2\times{}_4\mathrm{C}_2\times{}_3\mathrm{C}_2=180$ 通りである. ここで, 同時に $2$ 回使われ得る数は $1,2,3,6$ であるから, ($3$ 回にはなり得ない), 解答すべき値は $180-3\times 4=\textbf{168}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc065/editorial/1505
　$abc=360$ なる**相異なる**正整数の組 $(a,b,c)$ はいくつありますか？\
　ただし, 数の入れ替えによって一致するものも区別するものとします.