　解と係数の関係より, 非負整数 $n$ について
$$x^{n+2}-8x^{n+1}+x^n=0,\quad y^{n+2}-8y^{n+1}+y^n=0$$
よって $a_{n+2}=8a_{n+1}-a_{n}$ が成立する. これより, $b_0=2,b_1=1$ から始めれば, $b$ は $2,1,6,5,6,1$ の周期を繰り返すことが分かる. これより, 求めるべき総和は $(2+1+6+5+6+1)\times(2022\/6)=\textbf{7077}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc062/editorial/1725
　実数 $x\lt y$ は $x+y=8,xy=1$ をみたします. このとき, 正整数 $n$ に対し
$$a_n=x^n+y^n$$
は常に整数値となるので, これを $7$ で割った余りを $b_n$ とおきます. 以下の総和を求めてください：
$$b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{2021}+b_{2022}$$