　$10000$ 以上 $99999$ 以下の整数 $n$ が問題の条件をみたすことは次と同値である：
- $n$ の左から $1,3,5$ 桁目の偶奇が一致し，かつ $n$ の左から $2,4$ 桁目の偶奇が一致する．

これより，$n$ の左から $1,3,5$ 桁目としてありうるものは $9\cdot5\cdot5$ 通りあり，$n$ の左から $2,4$ 桁目としてありうるものは $10\cdot5$ 通り存在する．したがって，求める個数は
$$ 9\cdot5\cdot5\cdot10\cdot5 = \mathbf{11250} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/editorial/10141
　$12321$ の隣り合う $2$ 桁を足し合わせて得られる $4$ 数は
$$ 1+2, ~~ 2+3, ~~ 3+2, ~~ 2+1 $$
であり，これらは偶奇が一致します．このように，$10000$ 以上 $99999$ 以下の整数であって，隣り合う $2$ 桁を足し合わせて得られる $4$ 数の偶奇がすべて一致するようなものは（$12321$ を含めて）いくつありますか？