　立方体の向かい合う面 $3$ 組に対し，それぞれの組で面に割り当てる数の組み合わせを $(a, b), (c, d), (e, f)$ とおく．一般性を失わずに $a + b \leq c + d \leq e + f$，$a \lt b$，$c \lt d$，$e \lt f$ と仮定する．\
　すべての面・辺・頂点に割り当てられる $26$ 個の数の総和は

$$(a + b + 1)(c + d + 1)(e + f + 1) - 1$$
と表すことができる．ゆえに，

$$(a + b + 1)(c + d + 1)(e + f + 1) = 1155$$
を満たす必要がある．$26$ 数が相異なるという条件から，$a, c, e$ はいずれも $1$ を値にとることができない．よって，
$$a + b + 1 \geq 2 + 3 + 1 = 6$$

であり，$1155$ を $6$ 以上の整数 $3$ つの積の形で表す方法は $1155 = 7 \times 11 \times 15$ しかなく，これより
$$a + b = 6，c + d = 10，e + f = 14$$
が従う．$a, b, c, d, e, f$ が $1$ を含まずに相異なるような組 $(a, b, c, d, e, f)$ は，
$$(2, 4, 3, 7, 5, 9)，(2, 4, 3, 7, 6, 8)$$

の $2$ つに限られる．$(a, b, c, d, e, f) = (2, 4, 3, 7, 6, 8)$ の場合は $ac = e = 6$ となり不適である．一方で $(a, b, c, d, e, f) = (2, 4, 3, 7, 5, 9)$ の場合は条件をみたすことが確認ができる．このとき
$$S = ace  + bdf = 30 + 252 = \mathbf{282}$$
であり，これが解答すべき値である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc150/editorial/6420
　立方体の各面に $1$ つずつ正整数を割り当て，そのうえでさらにすべての辺および頂点にも以下のルールで数を割り当てます：

- 各辺に対し，それを辺にもつ $2$ 面に割り当てられた $2$ 数の積を割り当てる．
- 各頂点に対し，それを頂点にもつ $3$ 面に割り当てられた $3$ 数の積を割り当てる．

　このようにすべての面・辺・頂点に数を割り当てたところ，割り当てられた計 $26$ 個の数は相異なっており，さらにこの $26$ 数を合計すると $1154$ となりました．\
　このとき，頂点に割り当てた $8$ 数のうち，最大のものと最小のものの和を $S$ とします．$S$ としてありうる値の総和を解答してください．