　$f(x)$ は常に $x=100$ で定義されることに注意する．底の変換公式を用いると
$$
f(x)= \log_a{x}+1+\frac{\log_a{b}}{\log_a{x}+1} -1 \geq 2\sqrt{ \log_a{b}} -1
$$
となる．最後の不等式は相加・相乗平均の関係より従い，等号は
$$x=a^{\sqrt{\log_a{b}}-1}\gt\frac{1}{a}$$
で成立する．\
　いま，$x=100$ で等号が成立し，$f(100)$ が整数となるためには，
$$(\log_a{100}+1)^2=\log_a{b}$$
かつ $\log_a{100}$ が半整数でなければならない．後半の条件より $a=10,100,10^4$ が適し，このときそれぞれ $b=10^9,10^8,10^9$ となる．以上より求める値は $2\times 10^9+10^8+10^4+100+10= \bf{2100010110}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc077/editorial/2397
　$2$ 以上の整数 $a,b$ について，$x \gt 1\/a$ で定義された関数
$$f(x)=\log_a{x}+\log_{ax}b$$
が $x=100$ で最小値をとり，その最小値もまた整数値になりました．$a+b$ としてありうる値の総和を求めてください。