　まずは小円（鼻）を無視して考える．下図のように接点や円の中心にラベルづけする．$A$ は中円どうしの接点，$O$ は大円の中心，$M$ は半円の中心，$P$ は右側の中円の中心，$Q$ は大円と右側の中円の接点である．\
　中円の半径を $r$ とする．四角形 $AMRP$ が正方形となることに注意すると，$AP = r$ および
$$ OP = OQ - PQ = 24 - r $$
$$ OA = AM - OM = r - (24 - 20) = r-4 $$
を得る．三平方の定理から $OP^2 = OA^2 + AP^2$，すなわち
$$ (24-r)^2 = (r-4)^2 + r^2 $$
が成り立つので，これを $r \gt 0$ のもとで解くことで $r = -20 + 8\sqrt{15}$ を得る．

![figure 1](\/images\/8wYtsfp3hQrFgUzhcivohjMrtE7CUlPJSAc0OlAK)

　つぎに小円を含めて考える．小円の中心を $O^\prime$ とし，半径を $r^\prime$ とする．先程と同様の議論を行うと， 
$$O^\prime A = r - r^\prime, \quad O^\prime P = r + r^\prime$$
であるから，三平方の定理より $O^\prime P^2 = O^\prime A^2 + AP^2$，すなわち
$$ (r + r^\prime)^2 = (r - r^\prime)^2 + r^2 $$
を得る．これより $r^\prime = \dfrac{r}{4} = -5+2\sqrt{15} = -5+\sqrt{60}$ がわかるので，解答すべき値は $\mathbf{65}$ である．

![figure 1](\/images\/cP3SKzjqXwOLe6GMjOqWYZc2gET0YXvUpYmTsHeW)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/editorial/10565
　OMC君は福笑いをしています．大円 $1$ つ，半径が同じである中円 $2$ つ，小円 $1$ つ，半円 $1$ つを用いて顔を作ったところ，下図のようになりました．ここで，大円・中円・半円はどの $2$ つも接しており，小円は $2$ つの中円と半円に外接しているものとします．\
　半円の半径が $20$，大円の半径が $24$ のとき，小円の半径は正の整数 $a, b$ を用いて $-a+\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

![figure 1](\/images\/JzQBkvSkMx7LetiCXxEf76G3DwqRHYQJWxuc3qpi)