　表示された数字の積が $3$ の倍数でも $5$ の倍数でもないことは, $1,2,4,7$ のみが表示されたことと同値である. これら $4$ 数について, $4$ で割った余りがすべて異なることから, 前 $3$ 回の結果を固定したとき, $4$ 回目の結果としてあり得るものがちょうど $1$ つずつ存在する. よって, 解答すべき値は $4^3+7^4=\textbf{2465}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1763
　一度押すたびに $1$ から $7$ までの数字が等確率で表示されるボタンがあります. このボタンを $4$ 回押したとき, 表示された $4$ 数について, それらの積が $3$ の倍数でも $5$ の倍数でもなく, かつそれらの和が $4$ の倍数となる確率を求めてください.  ただし, 答えは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,  $a + b$ を解答してください.