　$A$ から対辺におろした垂線の足を $A_H$ とし, $H$ を $A_H$ について対称移動した点を $H^\prime$ とすると, 有名事実として $H^\prime$ は円 $ABC$ 上にある. また有名事実として外心と垂心は等角共役の関係にあることに留意して適当に角度を考えれば, $DH$ と $AO$ の平行および $O,D,H^\prime$ の共線がわかる. これより円 $ABC$ の半径は $13$ とわかるほか, $HA_H=32\/5$ と計算できるから, $BC$ の中点を $M$ とすれば相似から $OM=4,DM=3$ を得る. これより $BD=BM-DM=3\sqrt{17}-3$ で, 解答すべき値は $\mathbf{150}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/208
　$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ において, 外心を $O$, 垂心を $H$, 角 $A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると, 以下が成り立ちました.
$$AH=DH=8,\ \ DO=5$$
このとき, $BD$ の長さは整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}+b$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.