　条件より, $i \leq j$ なる任意の $i, j$ に対して
$$
\frac{10^{i^2-i}}{a_i+a_{i+1}}=\frac{10^{j^2-j}}{a_j+a_{j+1}}
$$
が成り立つ. 特に $i=1$ とすれば, 任意の正整数 $n$ に対し
$$
\frac{10^{n^2-n}}{a_n+a_{n+1}}=\frac{1}{a_1+a_2}=\frac{1}{10}
$$
となるから, $a_n+a_{n+1}=10^{n^2-n+1}$ である. これより, 正整数 $k$ に対して
$$
\begin{aligned}
a_{k+2}
&= (a_{k+2}+a_{k+1})-(a_{k+1}+a_{k})+a_{k}\\\\
&=10^{k^2+k+1}-10^{k^2-k+1}+a_k\\\\
&=10^{k^2-k+1}(10^{2k}-1)+a_k\\\\
&=\underbrace{999...999}\_{2k個}\underbrace{000...000}\_{k^2-k+1個}+a_k
\end{aligned}
$$
が成り立つ. $b_k=10^{k^2-k+1}(10^{2k}-1)$ とするとき, $b_{k}$ で $9$ が登場する桁と $b_{k+2}$ で $9$ が登場する桁に重複がないことが分かるから, 求める答えは
$$
\begin{aligned}
(a_{100} の桁和)&=\left(\sum_{k=1}^{49} (b_{2k} の桁和)+a_2\right)\\\\
&=\sum_{k=1}^{49}36k+5\\\\
&=\mathbf{44105}
\end{aligned}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc141/editorial/3415
　実数列 $\\{a_n\\}_{n=1,2,\ldots}$ は，$i \leq j$ なる任意の正整数 $i, j$ に対して以下をみたします：
$$
\frac{a_j+a\_{j+1}}{a_i+a\_{i+1}}=10 ^ {(j-i)(j+i-1)}
$$
$a_1=a_2=5$ であるとき，$a\_{100}$ は正整数になるので，$a\_{100}$ の（十進法表記での）各桁の和を求めてください．