　任意の正整数 $x$ に対して $(x + n)^{x+n} \equiv x^x \pmod m$ となる正整数 $n$ を周期と呼び，最小の周期を基本周期と呼ぶことにする．また以下では $m$ を法とする．  
　素数 $p$，整数 $k \ge p + 1$ に対し $m = p^k$ となるとき，基本周期が存在すると仮定して，それを $\ell$ とおくと，$\ell m$ は周期になるはずであるが
$$ (p + \ell m)^{p+\ell m} = p^{p+\ell m} \left(1 + \ell p^{k-1}\right)^{p+\ell m} \equiv 0,\qquad 0 \lt p^p \lt m $$
より $(p+\ell m)^{p+\ell m} \not\equiv p^p$ であるから，$\ell m$ は周期ではなく矛盾．よって基本周期は存在しない．  
　素数 $p$，正整数 $k \le p$ に対し $m = p^k$ となるとき，$p \mid x$ なる任意の正整数 $x$ で $x^x \equiv 0$，$p\nmid x$ なる任意の正整数 $x$ に対して，Euler の定理より
$$ \left(x + p^k \left(p-1\right)\right)^{x+p^k(p-1)} \equiv x^x \times x^{p\varphi(p^k)} \equiv x^x $$
であるから，$p^k \left(p - 1\right)$ は周期．$m$ の原始根 $r$ がとれて $(p=2$ の場合も！$)$，任意の $t = 0, 1, \ldots, p - 2$ に対し $0 \lt tp^{k-1} \lt \varphi\mathopen{}\left(p^k\right)$ より
$$ \left(r + tp^k\right)^{r+tp^k} \equiv r^r \times r^{t\varphi(p^k)} \times r^{tp^{k-1}} \equiv r^r \times r^{tp^{k-1}} \not\equiv r^r $$
であるから $tp^k$ は周期でない．また $k=1$ のときは
$$ (1 + (p - 1))^{1+(p-1)} = p^p \equiv 0 \not\equiv 1^1 $$
であって，$k \ge 2$ のときは
$$ \begin{aligned}
\left(1 + p^{k-1} \left(p - 1\right)\right)^{1+p^{k-1}(p-1)} &= \sum_{i=0}^{1+p^{k-1}(p-1)}\binom{1 + p^{k-1} \left(p - 1\right)}i \left(p^{k-1} \left(p - 1\right)\right)^i \\\\
&\equiv 1 + \left(1 + p^{k-1} \left(p - 1\right)\right) p^{k-1} \left(p - 1\right) \\\\
&\equiv 1^1 + p^{k-1} \left(p - 1\right)
\end{aligned} $$
および $0 \lt p^{k-1} \left(p - 1\right) \lt m$ より $\left(1 + p^{k-1} \left(p - 1\right)\right)^{1+p^{k-1} \left(p - 1\right)} \not\equiv 1^1$ であるから，$p^{k-1} \left(p - 1\right)$ は周期ではない．したがって $p^k \left(p - 1\right)$ は基本周期．  
　$m = p\_1^{k\_1} \times\cdots\times p\_a^{k\_a}\hspace{303000sp} (p\_1 \lt\cdots\lt p\_a,\hspace{314705sp} k\_i \ge 1)$ と素因数分解できるときは，上の結果より，各 $i$ で $k\_i \le p\_i$ のときに基本周期が存在し，そのとき $\operatorname*{lcm}\mathopen{}\left(p\_1^{k\_1} \left(p\_1 - 1\right)\mathclose{}, \ldots, p\_a^{k\_a} \left(p\_a - 1\right)\right)$ が基本周期．これが $m$ に等しいというのは，指数の条件を満たしたうえで，$\operatorname*{lcm}(p\_1 - 1, \ldots, p\_a - 1) \mid m$ と同値．$\operatorname*{lcm}(p\_1 - 1, \ldots, p\_a - 1)$ は偶数より $m$ も偶数で $p\_1 = 2$．  
* $\rule[-8pt]{0pt}{8pt}a = 1$ のとき  
　$m = 2, 4$ のみ．  
* $\rule[-8pt]{0pt}{14pt}a = 2$ のとき  
　$k\_1 = 1$ ならば $p\_2 = 3$，$k\_1 = 2$ ならば $p\_2 = 3, 5$ より
$$ m = 6, 12, 18, 20, 36, 54, 100, 108. $$
* $\rule[-8pt]{0pt}{0pt}a = 3$ のとき  
　$p\_2 - 1 \lt p\_2$ が $p\_1^{k\_1}$ の約数でなければならないことから，$p\_2$ の条件は $a = 2$ のときと同じ．  
　$m^\prime \coloneqq p\_1^{k\_1}\\, p\_2^{k\_2}$ として，$m^\prime = 6$ ならば $p\_3 = 7$，$m^\prime = 12$ ならば $p\_3 = 5, 7, 13$，$m^\prime = 18$ ならば $p\_3 = 7, 19$，$m^\prime = 20$ ならば $p\_3 = 11$，$m^\prime = 36$ ならば $p\_3 = 5, 7$，$m^\prime = 54$ ならば $p\_3 = 7$，それ以外については上の同値条件を満たさないか，$m$ が $390$ を超えてしまう．このとき
$$ m = 42, 60, 84, 126, 156, 180, 220, 252, 294, 300, 342, 378. $$
* $\rule[-8pt]{0pt}{0pt}a = 4$ のとき  
　そもそも $390$ 以下になるものが $210,\\, 330,\\, 390$ しかなく，またこれらは不適．

　$390$ 以下であることから $a \ge 5$ にはならず，求める値は $\bm{2794}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9380
　次の条件をみたす $2$ 以上 $390$ 以下の正整数 $m$ の総和を求めてください：

- 正整数 $n$ であって，任意の正整数 $x$ に対して
$$(x + n)^{x+n} \equiv x^x \pmod m$$
が成り立つようなものが存在し，そのうち最小のものが $m$ である．