　$\angle BAD+2\angle DAC=180^\circ$ より直線 $AC$ は三角形 $ABD$ における $\angle BAD$ の外角の二等分線なので次が成立する．
$$8:10=CD:(CD+3)$$
これを解いて $CD=\mathbf{12}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/8132
　直線 $AC$ に $B,D$ から降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とすると，$\angle BAE=\angle DAF$ より $AB:AD=BE:DF$ であり，$\triangle ABE\sim \triangle ADF$ より，
 $$CD:DA=DF:(DE-DF)=AD:(AB-AD)
 $$
となり $DC$ の長さを求めることができる．
相似を用いた解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/8132/737
　三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ 上に点 $D$ をとると，

$$AB=10,\quad BD=3,\quad AD=8,\quad \angle BAD+2\angle DAC=180^\circ$$

が成立しました．このとき，線分 $CD$ の長さを求めてください．