　辺 $AC, BC$ の中点をそれぞれ $D, M$ とし，直線 $BH$ と $AC$ の交点を $E$ とする．  
　$|GD|=4a, |HM|=b$ とする．重心は各頂点と対辺の中点を $2:1$ に内分する点であるから $BD=12a$ である．また，$\angle{CBH}=\angle{GBH}$ より，
$$BM=BG\times \frac{HM}{GH} = 2ab$$
である．さらに，
$$\angle CDB = 90^\circ - \angle GBH = 90^\circ - \angle CBH = \angle BCD$$
であるから三角形 $BCD$ は $BC=BD$ なる二等辺三角形であるので，$12a=4ab$ である．よって $b=3$ である．
従って，三角形 ${GBM}$ に三平方の定理を用いることで
$$(2ab)^2 + (4+b)^2 = (8a)^2$$
より $a=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ が分かる．従って，
$$AM=3GM=21,\quad BC=4ab=6\sqrt{7}$$
が分かるので，三角形 $ABC$ の面積は
$$\frac12\times AM\times BC=63\sqrt{7}=\sqrt{27783}$$
であり，特に求める答えは $\mathbf{27783}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb011/editorial/6700
　$\angle{HBC}=\theta$ とする. また辺 $AC$ の中点を $M$ , $B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $K$ とすると, $B,G,M$ と $B,H,K$ はそれぞれ共線である. また, 三角形 $BKC$ について $\angle K=90^{\circ} $ より, $(\angle B=)\angle C=90^{\circ}-\theta$. \
　ここで 三角形 $BMC$ と $BMA$ の面積について以下が成立する. 
$$
\begin{aligned}
\bigtriangleup BMC&=\dfrac{1}{2}BM\times BC \sin{2\theta}\\\\
\bigtriangleup BMA&=\dfrac{1}{2}BM\times BA \sin{\\{(90^{\circ}-\theta)-2\theta\\}}
\end{aligned}$$
$BC=2BA\cos{(90^{\circ}-\theta)}$ および $	\bigtriangleup BMC=\bigtriangleup BMA$ より, 以下が成立.
$$
\sin{(90^{\circ}-3\theta)}=2\cos{(90^{\circ}-\theta)}\sin{2\theta}
$$
倍角の公式を用いて整理すると, $\cos{\theta}(8\cos^2\theta-7)=0$ が成立し, $0^{\circ}\lt \theta\lt 90^{\circ}$ より, $\cos{\theta}=\sqrt{\dfrac{7}{8}}$. よって, $BC$ の中点を $N$ とし, $BN=x$ とおくと, $GH=GN-HN=x\tan{2\theta}-x\tan{\theta}$ より以下を得る.
$$\Bigg(\frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{1}{\sqrt{7}}\Bigg)x=4 \iff x=3\sqrt{7}$$
よって $\bigtriangleup ABC=\dfrac{1}{2}BC\times AN=\tan{\angle B}\times BN^2=\sqrt{7}\times(3\sqrt{7})^2=\sqrt{\mathbf{27783}}$.
三角比を用いた解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb011/editorial/6700/512
　直線 $BH,BG$ と $AC$ の交点を $D,E$ とすると，$∠DBC=∠DBE$ かつ $∠BDC=90^{\circ}$ なので，$BCE$ は $BC=BE$ なる二等辺三角形．特に $CD=DE$ であるから，$E$ が $AC$ の中点なことと併せれば
$$AE : ED : DC = 2:1:1$$
が分かる．\
　また，$BC$ の中点を $M$ とすれば，Menelausの定理より
$$\frac{AD}{DC}×\frac{CB}{BM}×\frac{MH}{HA}=1 \Rightarrow \frac{MH}{HA} = \frac{1}{6}$$
さらに $AG:GM=2:1$ と併せることで，
$$AG : GH : HM = 14:4:3$$
を得る．従って，$AM=21, ~ HM=3$ である．

　角度計算により，$\triangle AMB \sim \triangle CMH$ が分かるから，$AM×MH=BM×MC=63.$ $^{(*)}$  よって $BC=2BM=6\sqrt{7}$ なので，求める答は
$$\frac{1}{2}×6\sqrt{7}×21=\sqrt{\mathbf{27783}}.$$

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$(*)$ より一般に，任意の鋭角三角形 $ABC$ とその垂心 $H$ について，$AH$ と $BC$ の交点を $D$ とすれば，
$$AD×HD = BD×DC$$
が成り立ちます．$(\triangle ADB \sim \triangle CDH$ より．$)$
計算無しで
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb011/editorial/6700/516
　$AB=AC,\angle BAC\lt 60^\circ$ なる三角形 $ABC$ の重心を $G$，垂心を $H$ としたところ，
$$\angle{CBH}=\angle{GBH},\quad GH=4$$ 
となりました．  
　三角形 $ABC$ の面積の二乗は整数となります．その値を求めてください．