　$ABCD$ の外接球の半径を $r$ とおき，点 $A$ を中心とする半径 $1$ の球面に関する反転を考える．このとき $ABCD$ の外接球は $A$ から距離 $\dfrac{1}{2r}$ の平面に移り，また点 $B,C,D$ の移る先の点をそれぞれ $P,Q,R$ とすれば，
$$AB\times AP=AC\times AQ=AD\times AR=1$$
$$PQ=\frac{BC}{AB\times AC},\quad QR=\frac{CD}{AC\times AD},\quad RP=\frac{DB}{AD\times AB}$$
与えられた条件より $AB\times CD=AD\times BC=2021,AC\times DB=2000$ であるから，次が得られる．
$$PQ=QR=\dfrac{2021}{AB\times AC\times AD},\quad RP=\dfrac{2000}{AB\times AC\times AD}$$
これより三角形 $PQR$ の面積は
$$\dfrac{1000\sqrt{2021^2-1000^2}}{AB^2\times AC^2\times AD^2}=\dfrac{1000\sqrt{1021\times 3021}}{AB^2\times AC^2\times AD^2}$$
と求められる．以上より $(XYZW)$ で四面体 $XYZW$ の体積を表せば
$$\begin{aligned}
(ABCD)
&=\frac{AB}{AP}\times\frac{AC}{AQ}\times\frac{AD}{AR}\times(APQR)\\\\
&=AB^2\times AC^2 \times AD^2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2r}\times\dfrac{1000\sqrt{1021\times 3021}}{AB^2\times AC^2\times AD^2}\\\\
&=\frac{500\sqrt{1021\times 3021}}{3r}
\end{aligned}$$
これが $2022$ であることより $r=\dfrac{250\sqrt{3084441}}{3033}$ が得られ，特に解答すべき値は $\bm{3087724}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc069/editorial/2094
　体積 $2022$ の四面体 $ABCD$ が以下の条件をみたすとき，その外接球の半径は正整数 $a,b,c$ (ただし $a,c$ は互いに素で，$b$ は平方因子をもたない) によって $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください．
$$AB\times CD=2021,\quad AC=40,\quad AD=43,\quad BC=47,\quad BD=50$$
　ただし四面体の**外接球**とは，その $4$ つの頂点を全て通る球のことを指します．