　$x$ と $x^2$ の小数部分が等しいことは $k=x^2-x$ が整数となることと同値である．$0 \lt x \leq 100$ のとき
$$-\frac{1}{4} \leq x^2-x \leq 100^2-100=9900$$
より，$k$ としてありうる値は $0, 1, \dots , 9900$ の $9901$ 個存在する．それぞれの $k=0, 1, \dots , 9900$ に対して $x^2-x=k$ かつ $0 \lt x \leq 100$ を満たす実数 $x$ はただ $1$ つ存在するから，求める個数は $\mathbf{9901}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/editorial/12035
　$100$ 以下の正の実数 $x$ であって，$x$ の小数部分と $x^2$ の小数部分が等しいものはいくつありますか．ただし実数 $y$ の小数部分とは，$y$ 以下の最大の整数を $y$ から引いた値のことです．