　$N$ は直角三角形 $BEM$ の外心であるから，$NE=NM$ が成立する．したがって $DE=DM$ とあわせて $DN$ は $\angle{EDM}$ を二等分する．直線 $BC$ と $DM$ の交点を $X$ とすると，角の二等分線定理より
$$PX:PC=2DM:(DE+EC)=10:9$$
よって $CX=AD+BC=11$ とあわせて $CP=99\/19$ を得るから，特に解答すべき値は $\textbf{118}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/editorial/1807
　$F$ を線分 $ME$ の中点とすれば $AB \parallel DF$ だから直線 $DF$ は $N$ を通り，よって $AB\parallel DP$ である．また $E$ を通り $AB$ に平行な直線と $BC$ の交点を $G$ とすれば，直線 $AB,DP,EG$ は等間隔だから，条件と合わせて
$$AD:BP:PG:GC=5:5:5:4$$
従って求める値は $11\times \dfrac{5+4}{5+5+5+4}=\dfrac{99}{19}$ であり，解答すべき値は $\textbf{118}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/editorial/1807/63
　$AD\parallel BC,AD+BC=11$ をみたす台形 $ABCD$ について, 辺 $AB$ の中点を $M$ とし, また $AB$ の垂直二等分線と辺 $CD$ が交わったのでその交点を $E$ としたところ, 以下が成り立ちました：
$$DE=DM=5,\quad CE=4$$
$BE$ の中点を $N$ とし, 直線 $BC$ と $DN$ の交点を $P$ としたとき, $CP$ の長さを求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a, b$ によって $\displaystyle \dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.