　$x^2f(x,y)$ は $y^2$ を因数に持ち，さらに交代式であるから $y-x$ も因数に持つ．これより $f(x,y)$ は多項式 $g(x,y)$ を用いて $y^2(y-x)g(x,y)$ と表せる．さらに $g(x,y)$ は $2$ 次の対称式であるため，実数 $a,b,c,d$ を用いて
$$g(x,y)=a(x^2+y^2)+bxy+c(x+y)+d$$
と表すことができる．このとき $f(x,y)$ の $y^5,xy^4,y^4$ の係数はそれぞれ $a,b-a,c$ であるから，問の条件と合わせて $a=1,b=c=3$ を得る．また $g(2,3)=111$ が分かるから $d=65$ である．\
　以上より，
$$f(x,y)=y^2(y-x)(x^2+y^2+3xy+3x+3y+65)$$
であるから，求める答えは $f(5, 7) = \mathbf{27440}$ である．

<details> <summary> 交代式について
<\/summary>
　ある $2$ 変数多項式 $u(x,y)$ が
$$u(x,y)= -u(y,x)$$
をみたすとき，$u$ を**交代式**という．このような交代式は $u(x,x)=0$
をみたしているため，$x$ の $1$ 変数多項式とみれば，因数定理より $x-y$ を因数に持つことが分かる．したがってある $2$ 変数多項式 $v(x, y)$ により $u(x, y) = (x-y) v(x, y)$ とかけるが，このとき
$$ (x-y) v(x, y) = u(x, y) = -u(y, x) = - (y-x) v(y, x) $$
であるので，$v(x, y) = v(y, x)$，すなわち $v$ が対称式であることも従う．
<\/details>
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/7040
　次の条件をすべてみたす，$x,y$ についての $5$ 次多項式 $f(x,y)$ は一意に存在します．

- $x^2f(x,y)+y^2f(y,x)=0$．
- $f(x,y)$ の $y^5,xy^4,y^4$ の係数はそれぞれ $1,2,3$ である．
- $f(2,3)=999$．

　このとき，$f(5, 7)$ の値を求めて下さい．

<details> <summary> $2$ 変数多項式の次数について<\/summary>
　以下に，$x,y$ についての多項式とその次数の例を示します：

- $6x^2+xy-3y+2$：　$2$ 次
- $5xy^2-xy$：　$3$ 次
- $x^3y+y^4+20xy^2+23x$：　$4$ 次
<\/details>