　$n$ が偶数，すなわち $n=2k$と表せるとき
$$n^{n}\equiv (-1)^{2k}\equiv 1\pmod{2k+1} $$
が成り立ち，一方で $n$ が奇数，すなわち $n=2k-1$ と表せるとき
$$n^{n}\equiv (-1)^{2k-1}\equiv -1\equiv 2k-1\pmod{2k}$$
が成り立つ．以上により, 求める値は
$$(1+1)+(3+1)+(5+1)+\cdots +(99+1)=\sum_{k=1}^{50} 2k=\textbf{2550}$$
である．なお，最後の総和計算にあたっては $1+3+5+\cdots+99=50^2$ を用いてもよい．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc145/editorial/3059
　正の整数 $n$ に対して，$n^{n}$ を $n+1$ で割った余りを $f(n)$ で表すとき，
$$f(1)+f(2)+\cdots +f(99)+f(100)$$
を求めてください．