　形式的べき級数を用いると, $f(A)$ は以下における $x^{A}$ の係数に等しいことが容易に確認される.
　　$$\displaystyle \prod_{i=1}^{2021}(1-x+x^{2^i}-x^{2^i+1}+x^{2\times 2^i}-x^{2\times 2^i+1}+\cdots)=\prod_{i=1}^{2021}\frac{1-x}{1-x^{2^i}}$$
　さらに, $A$ を $2022$ 個の非負整数の和として表す(順序を考慮した)方法は ${}\_{A+2021}\mathrm{C}\_{2021}$ 通りであるから, 任意の非負整数を書き込め, コストに影響を及ぼさないカードを $2022$ 枚追加するとみなせば, $k(A)$ は以下における $x^{A}$ の係数に等しいことが容易に確認される.
　　$$\begin{aligned}&\ \left(1+x+x^2+\cdots\right)^{2022}\prod_{i=1}^{2021}(1-x+x^{2^i}-x^{2^i+1}+\cdots)\\\\
　　&=\left(\dfrac{1}{1-x}\right)^{2022}\times\prod_{i=1}^{2021}\frac{1-x}{1-x^{2^i}}\\\\
　　& =\prod_{i=0}^{2021} \frac{1}{1-x^{2^i}}\\\\
　　&=\prod_{i=0}^{2021} (1+x^{2^i}+x^{2\times2^{i}}+\cdots)\end{aligned}$$
　したがって $k(A)$ は, $2^0,2^1,\cdots,2^{2021}$ をそれぞれ非負整数個選んで, その和を $A$ にする方法の場合の数に等しい. ここで, $2^0$ を用いる個数を決め打つことで, $A\geq 1$ に対して以下の漸化式を得る(ただし $k(0)=1$).
　　$$\displaystyle k(A)=\sum_{i=0}^{\lfloor A\/2\rfloor} k(i)$$
　よって, $k(2022)-k(2021)=k(1011)=k(1010)$ であり, 単調性よりこれらで尽くされていることも容易にわかる. 以上より, 求める値は $1011\times 1010=\textbf{1021110}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc019/editorial/123
　$2021$ 枚のカードがあり, $i$ 番目のカード($i=1,2,\cdots,2021$)には $2^i$ で割って $0$ または $1$ 余る非負整数を一つずつ書き込みます. ここで, 奇数が書かれたカードが $S$ 枚存在したとき, **コスト**を $(-1)^S$ で定めます.\
　非負整数 $A$ について, $2021$ 個の数の和が $A$ となるような書き込み方としてあり得るものすべてについてコストの総和を $f(A)$ とし, さらに $k(A)$ を以下で定めます.
$$\displaystyle k(A)=\sum_{i=0}^{A}f(i)\times{}\_{A-i+2021}\mathrm{C}\_{2021}$$
　$k(2022)=k(2021)+k(Q)$ をみたす非負整数 $Q$ としてあり得るものすべての**総積**を求めてください.