**補題1.**  
$$f(n+1) =  (n+2)f(n) + (n+1)\times (n+1)!$$ 
**証明.**　
$1,\ldots ,n$ の並び替えを一つ固定し，$ x_1, \ldots, x_n$ とする．また，この列のスコアを $M$ とする．すべての項に $1$ を足すと，スコアは $M+n$ となり，$\lbrace 2,\ldots ,n+1\rbrace$ の並び替えとなる．この列の $n+1$ 箇所に $1$ を挿入したときのスコアをそれぞれ考えると，左端に置いたときは $M+n+1$ となり，$x_k$ の右側に置いたときは $M+n+\max(x_1+1,\ldots,x_k+1)$ となるため，これらをすべて足すと，
$$ M+n+1 + \sum_{k=1}^n (M+n+\max(x_1,\ldots,x_k)+1)=(n+2)M+(n+1)^2$$
となるので，列の固定を解除して総和を求めることで示すことができる．（$M$ は総和で $f(n)$ になり，定数は $n!$ 倍される)  

**補題2.**　
$$f(n) = (n+1)!\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1}$$

**証明.**　
$f(1) = 1$ である．また，$F(n) = f(n)\/(n+1)!$ とおくと，補題1より
$$F(n+1) =  F(n) + \frac{n+1}{n+2}$$ 
なので，両辺の総和を計算することで得られる．  

**補題3.**　
$g(n)$ は $\dfrac{n+1}{2}$ より大きい素数のうち最小のものと一致する．  
**証明.**　
$\dfrac{n+1}{2}$ より大きい素数のうち最小のものを $p_n$ とおく．
 $p_n \leq n+1 $ であることが知られている．（今回の計上範囲のみであれば，素数表から確かめることができる．一般に 「 $n \lt p\leq 2n$ なる素数が存在する」ことはベルトラン・チェビシェフの定理と呼ばれ，難解ではあるが初等的にも示されている．興味がある人は調べてみるとよい．）  
- $p_n$ が $f(n)$ を割り切らないこと  
補題2により，
$f(n) = (n+1)!\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{k+1}$ 
で，和の各項に注目すると，$(n+1)!$ が $p_n$ で割り切れることから，
項の中で$(n+1)!$ の $p_n$ を打ち消すものは $k=p_n-1$ のときのみで，
$(n+1)!$ は $p_n$ で一回しか割り切れないことにより，
項 $(n+1)!\times \dfrac{p_n-1}{p_n} $ のみが $p_n$ で割り切れない．
したがって，$f(n)$ は $p_n$ で割り切れない．  
- $p_n$ 未満の数 $m$ が $f(n)$ を割り切ること    
　上と同様の議論により， 項 $(n+1)!\times \dfrac{m-1}{m} $ 以外は必ず $m$ で割り切れる．\
　$\dfrac{n+1}{2} \lt m \lt p_n$ の範囲においては $p_n$ の定義により，$m$ は素数ではない．$(n+1)!\times \dfrac{m-1}{m} $ について，$m$ が合成数であることから，$m$ が素数の二乗でなければ $m$ 未満の異なる二数の積で表すことができ，これは $(m-1)!$ を割り切るため，$(n+1)!\times \dfrac{m-1}{m} $ は $m$ で割り切れる．  
$m$ が素数 $q$ の二乗のとき，$q \neq 2$ であれば，$2q \lt m$ より，$q \times 2q$ は $(m-1)!$ を割り切るため，$(n+1)!\times \dfrac{m-1}{m} $ は $m$ で割り切れる．  
$m=2^2$ のときは，$(n+1)$ としてありうる値は $6$ と $7$ のみで，$6!=720$ が $16$ で割れることより正しい．\
　$\dfrac{n+1}{2} \geq m $ の範囲においては，$(n+1)!$ が $2m$ で割り切れるため，$m$ は $f(n)$ を割り切る．  
以上の議論により，$g(n) = p_n$ となる．

  

補題3により，$\dfrac{n+1}{2}$ より大きい素数のうち最小のものを $2000 \leq n \leq 2024$ にて求めて足せばよい．  
- $2000 \leq n \leq 2016$ のとき，$g(n)=1009$   
- $2017 \leq n \leq 2024$ のとき，$g(n)=1013$  

となり，求める値は $1009\times 17+1013\times 8 = \mathbf{25257}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc235/editorial/9856
各$1 \leq i \leq n$について$\max(a_1,a_2,\dots,a_i)=j$であるような場合の数は$\displaystyle\binom{j-1}{i-1}i!(n-i)!$なので、
$$\begin{aligned}
f(n)&=\displaystyle\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n j\binom{j-1}{i-1}i!(n-i)! \\\\
&=\sum_{i=1}^n i \times i!(n-i)! \sum_{j=i}^n \binom{j}{i} \\\\
&=\sum_{i=1}^n \binom{n+1}{i+1}\times i \times i!(n-i)! \\\\
&=\sum_{i=1}^n (n+1)!\frac{i}{i+1}
\end{aligned}$$
である。
f(n)の求め方別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc235/editorial/9856/732
　$n$ を正の整数とします．
$1,2,\ldots ,n$ の並び替え $a_1, a_2, \ldots,a_n$ に対し，
$\displaystyle\sum_{k=1}^n \max(a_1,\ldots, a_k)$ をその**スコア**とし，
 $n!$ 通りの並び替えすべてに対するスコアの総和を $f(n)$ とします．
$f(n)$ を**割り切らない**最小の正の整数を $g(n)$ とするとき，
$$g(2000) + g(2001) + \cdots + g(2024)$$
を求めてください．