$AC$ と $PQ$ の交点を $E$ とすると,  $AE:CE=3:2$ より, $CE=6$ である. $PQ \parallel BC$ であるから, $4$ 点 $A, P, Q, D$ は同一円周上にある. よって, $\angle{ABD}=\angle{QCE}$, $\angle{BAD}=\angle{CQE}$ が成り立つから, $\triangle{BAD}\sim \triangle{CQE}$ である. $BA:BD=CQ:CE$ であるから, $CQ=\dfrac{90}{13}$, $DQ=\dfrac{60}{13}$ である. $AD$ と $BC$, $PQ$ の交点をそれぞれ $F$, $G$ とおくと, $EG=\dfrac{3}{5}CF$, $QG=\dfrac{2}{5}CF$ より, $EQ:GQ=1:2$ である. 三角形 $ABC$ が二等辺三角形であることから, 
$$\angle{CEQ}=\angle{ACB}=\angle{ABC}=\angle{QDG}$$
であり, $4$ 点 $C, E, D, G$ は同一円周上にあると分かる. よって, 方べきの定理より, $EQ\cdot QG=CQ\cdot DQ=\dfrac{60}{13}\cdot\dfrac{90}{13}$ である. $EQ:GQ=1:2$ とあわせて, $EQ=\dfrac{30}{13}\sqrt{3}$, $GQ=\dfrac{60}{13}\sqrt{3}$ である. $\angle{BDA}=\angle{CDF}$ より, $DF$ は $\angle{BDC}$ の外角の二等分線であるから, $BF:FC=BD:CD$ であり, $BC:CF=19:150$ である. よって, $PE:EG=BC:CF=19:150$ であるから, $PE=\dfrac{57}{65}\sqrt{3}$ を得る. 以上より, $PQ=PE+EQ=\dfrac{207}{65}\sqrt{3}$ であり, 解答すべき値は $\mathbf{128612}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10050
コンテスト中に実施した計算を紹介します．相似を見つけたりきれいな補助線を見つけるのが苦手だったりする人には良いかもしれません．ただし，方べきの定理や平行線の比を用いていたり，三平方の定理を活用するための補助線を引いているので，純粋な計算のみの手法ではありません．
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$D$ を通り，$BC$に平行な直線と $AB,AC$ の交点を順に $X,Y$ とする．$XP:PB=DQ:QC=2:3$ より，$XP=4,AX=AY=5$ を得る．
$XY,BC$ の中点を順に $N,M$ とする．$\triangle ABC$は二等辺三角形であったから，$A,N,M$ は同一直線上で，$AM \perp BC$ である．
$\angle{BAM}=\dfrac{1}{2}\angle{BAC}=\theta$ とおく．また，$DX$ と外接円の交点($\neq D$) を $D^{\prime}$ とおく．  
$\theta$ を用いて $BD(=13)$ を表し，それをもとに三角比を計算するのが第一目標である．(そのために，長さがつかみやすい平行線や三平方の定理を使いやすい垂直な線を引いた．)
$YD=l$ とおく．方べきの定理から $D^{\prime}Y\cdot YD = AY\cdot YC =50$ である．一方，$YD^{\prime} = 2YN+XD^{\prime} = 10\sin\theta+l$ と合わせると，$l(l+10\sin\theta) =50$ を得るので，これを解くと，$l \gt 0$ から，
$$
l = -5\sin\theta + 5\sqrt{\sin^{2}\theta+2}
$$
となる．これにより，$ND = NY+YD =5\sqrt{\sin^{2}\theta+2}$ であり，$BM=15\sin\theta$ と合わせると，三平方の定理から以下の方程式が立つ．
$$
\begin{aligned}
13^2 &= BD^2 = (BM+ND)^2+NM^2 \\\\
&= (15\sin\theta + 5\sqrt{\sin^{2}\theta+2})^2 + (10\cos\theta)^2\\\\
&= 25(10\sin^2\theta+2+6\sqrt{\sin^2\theta(\sin^2\theta+2)})+100(1-\sin^2\theta)
\end{aligned}
$$
上式で $\sin^2\theta = t$ と置いて再度整理すると以下の通り
$$
\begin{aligned}
169 &= 150+150t+150\sqrt{t(t+2)}\\\\
\Leftrightarrow (\frac{19}{150}-t)&=\sqrt{t(t+2)}\\\\
\end{aligned}
$$
これを解いて(結局 $t$ の一次式になるため大変ではない)，$\sin^2\theta = t = \dfrac{361}{50700}$ を得る．一方で，今回要求されている $PQ$ に関しては，平行線の性質から，
$$
\begin{aligned}
PQ &= \frac{3XD+2BC}{5} \\\\
&= \frac{15\sin\theta + 15\sqrt{\sin^{2}\theta+2}+60\sin\theta}{5}\\\\
&=15\sin\theta + 3\sqrt{\sin^{2}\theta+2} \\\\
&=15\sqrt{t} + 3\sqrt{t+2}\\\\
&=\frac{15\cdot 19\sqrt{3}}{390} + \frac{3\cdot 319\sqrt{3}}{390}\\\\
&=\frac{207\sqrt{3}}{65}
\end{aligned}
$$
となる．
三角関数を用いた計算
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10050/359
　$AB=AC=15$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円の弧 $AC$ 上（$B$ を含まない方）の点 $D$ が $BD=13$ をみたします．さらに，それぞれ辺 $AB$, $CD$ 上にある点 $P,Q$ が
$$AP:BP=CQ:DQ=3:2, \quad PQ\parallel BC$$
をみたしました．このとき，線分 $PQ$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください.