　$e=a\/3,f=c\/3$ とおけば, 条件は $x$ の方程式
$$f(x)=x^5+ex^4+bx^3+3x^2+fx+d=0$$
の複素数解の絶対値がすべて $1$ であることと同値である. ここで $f$ は奇数次であることから, (重複度込みで) 実数根を奇数個もつから, $f$ は $x\pm1$ の一方で奇数回割れる. また虚数 $\alpha$ が根であるとき, $\overline \alpha=\alpha^{-1}$ も根であり, $f$ は
$$(x-\alpha)(x-\overline \alpha)=x^2-2\mathrm{Re}(\alpha)+1$$
で割り切れる. 特に $d=\pm1$ である.\
　$f(x)$ が $x-1$ で奇数回割り切れるとき, $d=-1$ であり, $\alpha$ が根ならば $\alpha^{-1}$ も根であることから
$$x^5f\left(\displaystyle\frac 1x\right)=-f(x)$$
これより係数を比較して $b=-3,f=-e$ であり,
$$f(x)=(x-1)(x^4+(e+1)x^3+(e-2)x^2+(e+1)x+1)$$
ここで $t=x+1\/x$ とおけば, $t^2+(e+1)t+e-4=0$ を考えることになる. これが $|t|\leq 2$ なる実数解のみをもつことが必要十分条件であることが容易にわかるが, 解の配置問題を解けばそのような $e$ は存在しない.\
　$f(x)$ が $x+1$ で奇数回割り切れるときも同様に, $b=3,d=1,e=f$ より
$$f(x)=(x+1)(x^4+(e-1)x^3-(e-4)x^2+(e-1)x+1)$$
で, $t$ の方程式 $t^2+(e-1)t-e+2=0$ を考えることに帰着される. 同様に解の配置問題を解けば,
$$\dfrac{5}{3}\lt 2\sqrt{2}-1\leq e \leq\dfrac{8}{3}$$
これより $a=3e$ としてあり得るものは $6,7,8$ であり, それぞれについて
$$(a,b,c,d)=(6,3,6,1),(7,3,7,1),(8,3,8,1)$$
　以上より, 求める総積は $108\times 147\times 192=\textbf{3048192}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/267
　整数の組 $(a,b,c,d)$ に対して, 以下の $x$ の五次方程式の複素数解はすべて絶対値が $3$ でした.
$$x^5+ax^4+9bx^3+81x^2+27cx+243d=0$$
このような組すべてに対して, 値 $a\times b\times c\times d$ の**総積**を求めてください. \
　ただし, 複素数 $a+bi$ ($a,b$ は実数)の**絶対値**は $\sqrt{a^2+b^2}$ で定義されます.