　角の二等分線の性質より
$$
AB = 101x,\quad AC  =313x\quad BD = 101y,\quad CD=313y
$$
であるような正の実数 $x,y$ がある．条件から $101x, 313x$ が整数なので $313x - 303x = 10x$ も整数で，$101x - 10x\cdot 10 = x$ も整数である．同様に $y$ も整数である．また，$\angle A$ の二等分線の長さは $\sqrt{AB\cdot AC - BD\cdot BC}$ で与えられるので
$$
d^2 = 101x \cdot 313x - 101y \cdot 313y  = 101\cdot 313 (x-y)(x+y)
$$
となる．$101, 313$ は素数なので，$d$ は $101\cdot 313$ の倍数である．正の整数 $n$ によって $d = 101\cdot 313 n$ とおくと
$$
101\cdot 313 n^2 = (x-y)(x+y)
$$
となる．また，三角形 $ABC$ の三角不等式より 
$$
313x \lt 101x + 414y,\qquad 414y \lt 101x + 313x
$$
なので $y\lt x$ かつ $212x \lt  414y$ となる．よって，次の集合 $S_n$ の要素が $4$ 個であるような $n$ を求めればよい．
$$
S_n = \\{ (x,y) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N} \mid 101\cdot 313\cdot n^2 = (x-y)(x+y),\\,  106x \lt 207y \\}
$$

**補題．** 正の整数からなる集合 $T_n$ を
$$
T_n = \\{ k \in \mathbb{N} \mid k \ は \ 101\cdot 313\cdot n^2 の正の約数 ,\quad k \lt 101n, \quad k \equiv \frac{101\cdot 313 \cdot n^2}{k} \pmod{2}   \\}
$$
によって定めると，$S_n$ から $T_n$ への全単射 (一対一対応) が存在する．特に $|S_n| = |T_n|$ である．

<details><summary>証明<\/summary>
　$a = x+y, b=x-y$ $(2x = a+b, ~ 2y=a-b)$ とおくと，$(x,y)\in S_n$ に関する条件は
$$
101\cdot 313\cdot n^2 = ab,\quad 313b \lt 101a
$$
となる．この二つの式から $101^2\cdot 313\cdot n^2 = 101ab \gt 313b^2$ を得るので，$101n \gt b$ である．さらに，$a,b$ の偶奇は一致するので $b\equiv a = \frac{101\cdot 313\cdot n^2}{b}\pmod{2}$ である．以上より，
$$
S_n \ni (x,y) \mapsto b=x-y\in T_n
$$
という写像が得られ，これは全単射を定める．なお，逆写像は
$$T_n \ni k\quad \mapsto\quad \left(\frac{1}{2} \left(\frac{101\cdot 313\cdot n^2}{k} + k \right), \frac{1}{2} \left(\frac{101\cdot 313\cdot n^2}{k} - k \right) \right)\in S_n$$
である．
<\/details>

　これより，$|T_n| = 4$ であるような $n$ の条件を調べればよい．$n$ が小さい範囲では 
$$
\begin{aligned}
|T_1| &= |\\{  1 \\}| = 1, \\\\
|T_2| &= |\\{ 2 \\}| = 1, \\\\
|T_3| &= |\\{1,3,9,101 \\}| = 4, \\\\
|T_4| &= |\\{ 2, 4, 8, 202\\}| = 4
\end{aligned}
$$
なので $n=3, 4$ が適する．以降は $n\geqq 5$ で考える．

**Case 1．** $n$ が $5$ 以上の奇数であるとき\
　このとき，すべての $n$ で $1,101,313, n\in T_n$ である（$313 \lt 101n$ に注意）．$n$ が素数でないと仮定すると，これら $4$ つの要素は相異なる．これに加え， $n$ の任意の素因数 $p$ に対して $p, 101p\in T_n$ だから，$|T_n| = 4$ による重複を考えることで 
$$
(p,n) = (101, 101^2),\quad  (313, 101\cdot 313)
$$ のいずれかである必要がある．しかし，いずれのパターンも $313p \in T_{n}$ かつ $313p \not\in \\{ 1, 101, 313, n \\}$ となるため不適である．\
　よって 奇数 $n \gt 5$ が素数でないときは常に $|T_{n}|\geqq 5$ となる．一方で $n$ が奇素数のとき，いくつかの初等的な不等式を解くことで $|T_{n}|$ は以下のように決定される．
- $5\leqq n\leqq 97$ のときは $T_n = \\{ 1, 101, 313, n, n^2\\}$．
- $n=101,313$ のときは $T_n = \\{ 1,101,313 \\}$．
- $103\leqq n\leqq 311$ のときは $T_n = \\{1, 101, 313, n\\}$．
- $317\leqq n$ のときは $T_n = \\{1, 101, 313, n, 101\cdot 313\\}$

これより，
$$
|T_{n}|=
\begin{cases}
3 & (n = 101, 313)\\\\ 
4 & (103 \leqq n \leqq 311)\\\\
5 & (5\leqq n\leqq 97,\quad 317\leqq n)
\end{cases}
$$
であるから，条件に該当するのは $103$ 以上 $311$ 以下の素数であり，素数表から $38$ 個あるとわかる．


**Case 2．** $n$ が $6$ 以上の偶数であるとき\
　もし $n$ が $4$ の倍数ならば $2, 4, 8, 202, 404  \in T_n$ なので不適 $(n\geqq 8$ から  $626 \lt 101n$ に注意$)$．よって奇数 $r$ によって $n=2r$ と書ける．$T_{2r}$ の要素は必ず偶数になるのでそれを $2k$ とおくと， $k$ は $101\cdot 313\cdot r^2$ の正の約数で $k \lt 101r$ を満たす．よって，写像
$$
T_{2r}\ni 2k \mapsto k \in T_{r}
$$
は全単射なので， **Case 1** の議論および $|T_{3}| = 4$ から，$r=3$ または $103\leqq r\leqq 311$ を満たす素数 $r$ のみが $|T_{2r}| = 4$ をみたす．

　以上より，条件を満たす $d$ は
$$
d = 101\cdot 313 \cdot n,\quad n\in \\{ 3,4,6\\} \cup \\{ r, 2r \mid r は素数で 103 \leqq r\leqq 311 \\}
$$
となるので，求める個数は $3+38\times 2= \mathbf{79}$ 個．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc229/editorial/11964
　次の条件を満たす（非退化な）三角形 $ABC$ がちょうど $4$ 種類存在するような正の整数 $d$ の個数を解答してください．

- $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき，$BD:CD=101:313$ かつ $AD=d$．
- 線分 $AB, AC, BD, CD$ の長さはすべて整数値である．

　ただし，$2$ つの三角形は，頂点の名称も込めて合同であるとき，またそのときに限り同一のものであることとします．