　まず，間の白石が一般に $n\ge1$ 個で，かつ $2$ つ目の規則のみに基づいて白石を置き換えるとき，その順序として考えられるものが $a_n$ 通りであるとする．このとき，$1$ 回目から $n-1$ 回目の操作では両端の白石 $2$ 個から選択し，$n$ 回目の操作では残った $1$ 個を選ぶため，$a_n=2^{n-1}$ である．また，$a_0 = 1$ としておく．\
　元の問題に戻る．最初に置き換えた白石が白石の中で左から $k$ 番目であったとする．このとき，その白石の左右それぞれが上の $n=k-1,10-k$ の状況に一致し，また左右の操作の組み合わせが ${}\_{9}\mathrm{C}\_{k-1}$ 通りあるから，それぞれ ${}\_{9}\mathrm{C}\_{k-1} \times a_{k-1} a_{10-k}$ 通りである．\
　以上より，全体で求めるべき値は次のように計算できる：
$$\sum_{k=1}^{10} \left({}\_{9}\mathrm{C}\_{k-1} \times a_{k-1}  a_{10-k}\right) = (2^9 + 2)\times 2^7 = \mathbf{65792}. $$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/1936
　白石と黒石あわせて $12$ 個が左右一列に並んでおり，はじめは両端の $2$ 個が黒石，残り $10$ 個が白石です．ここから次の規則に従って，すべてが黒石となるまで白石を一つずつ黒石に置き換えます：

- はじめに，白石を任意に $1$ つ選び，黒石に置き換える．
- それ以降は，黒石に隣接している白石を任意に $1$ 個選び，黒石に置き換えることを繰り返す．

このとき，白石を置き換える順序としてありうるものは何通りありますか？