　$99!-1=N$ とおくと，$100!-k=100N+100-k$ であるから
$$\gcd (N,100N+100-k)=\gcd (N,\lvert 100-k \rvert ) $$
が $1$ となればよい．ここで，$N$ は $1$ 以上 $100$ 以下のすべての整数と互いに素であるから，$k=100$ を除いてすべて条件をみたす．以上より，解答すべき値は $\bf{20000}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/editorial/6590
　$99!-1$ と $100!-k$ が互いに素となるような，$1$ 以上 $200$ 以下の整数 $k$ の総和を求めてください．