　$AB$ と $DO$ が直交することから $AD=BD$ である. このとき $AB$ の中点を $M$ とすると, $AM=4,AO=5$ より $OM=3$ であるから, $DM=8$ より $BC=AD=4\sqrt{5}$ を得る. ところで $CD$ は $\Omega$ に接するから方べきの定理より $CE=CD^2\/BC=16\/\sqrt{5}$ である. 以上より $BE:EC=1:4$ で, 解答すべき値は $\textbf{5}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/207
　$\angle{A}\lt 90^\circ$ かつ $AB\lt BD$ かつ $AB=8$ なる平行四辺形 $ABCD$ において, 三角形 $ABD$ の外接円を $\Omega$, 外心を $O$ とすると, $\Omega$ の半径は $5$ で, $CD$ と $DO$ は直交しました. このとき, $\Omega$ と辺 $BC$ の交点のうち $B$ でない方を $E$ とすると, 比 $BE:EC$ は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されます.  $a+b$ を解答してください.