【動画解説】https:\/\/youtu.be\/fhjXRI0DdmI

 　異なるデータについては予約番号が異なる値となるような $a,b$ の組を**良い組**と呼ぶことにする．

　$2$ つのデータ $(m,n)\neq (m^\prime,n^\prime)$ の予約番号が一致するとき，$a+b=2357$ は素数より $a,b$ は互いに素であることに注意すれば，$a(m-m^\prime)=b(n^\prime-n)$ よりある整数 $k$ が存在して $m-m^\prime=bk,n^\prime-n=ak$ をみたす．
よって $|m-m^\prime|\leq M-1$ および $|n-n^\prime|\leq N-1$，また $(m,n)\neq(m^\prime,n^\prime)$ より $k\neq 0$ であることに注意すれば，$(a,b)$ が良い組であるための必要十分条件は $a\geq N$ または $b\geq M$ とわかる．

　$a,b$ は $a+b=2357$ をみたす正整数であることに注意すれば，良い組が $333$ 個であるための必要十分条件は簡単な議論によって $\min(M,2357)+\min(N,2357)=4381$ である．この条件下での $MN$ の最小値を求めるには $M,N\leq 2357$ の場合を考えれば十分であり，そのとき $M+N=4381$ より $MN\geq 2357\times 2024=\bf{4770568}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc088/editorial/3323
　OMC図書館にある全 $M(\geq 1)$ 冊の本には $1$ から $M$ までの番号が割り当てられています．また，全 $N(\geq 1)$ 人の利用者には $1$ から $N$ までの番号が割り当てられています．OMC図書館では「番号 $m$ の本を番号 $n$ の利用者が予約している」ことを組 $(m,n)$ によって表し，これを**データ**と呼んでいます．\
　$a+b=2357$ をみたす正整数 $a,b$ を用いてデータ $(m,n)$ の**予約番号**を $am+bn$ と定めたとき，異なるデータについては予約番号が異なる値となるような正整数の組 $(a,b)$ はちょうど $333$ 個ありました．このとき，あり得るデータの総数 $(=MN)$ の最小値を求めてください． \
　ただし，$2357$ は素数です．