　$a$ と $a+1$ は互いに素であるから，$\gcd(a+1,b)$ と $\gcd(a,b+1)$ は互いに素である．したがって，条件は
$$\gcd(a+1,b)\times\gcd(a,b+1)=36$$
で，両数の組み合わせとしてあり得るものは $(1,36),(4,9),(9,4),(36,1)$ である．\
　$(1,36)$ となる $(a,b)$ は以下の $3$ つであり，対称性より $(36,1)$ も同様である．
$$(36,35),(36,71),(72,35)$$
　$(4,9)$ となる $(a,b)$ は以下の $5$ つであり，対称性より $(9,4)$ も同様である．
$$(27,8),(27,44),(63,44),(99,8),(99,44)$$
ここで $a+1$ と $a$ がそれぞれ $4,9$ の倍数となる $a$ は $27,63,99$ であることなどを利用すると早いだろう．\
　以上より，求める場合の数は $\textbf{16}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/2404
　以下の式をみたす $1$ 以上 $100$ 以下の整数の組 $(a,b)$ はいくつありますか？
$$\mathrm{lcm}\bigl(\gcd(a+1,b),\gcd(a,b+1)\bigr)=36$$
　ただし，$\textrm{lcm},\gcd$ でそれぞれ最小公倍数，最大公約数を表します.