　帰納的に，$i$ 回目の操作において $A$ から $B$ に水を移した時点で，$A$ に入っている水の量と $B$ に入っている水の量が等しいことを確認できる．従って，求める答えは
$$5184\times\frac{1}{2}\times\frac{2\times40}{2\times40+1}=\bf2560 .$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/5184
　「帰納的に〜」の部分を軽く示す．

　 $n$ 回目の操作で $A$ から $B$ に移したあと，水の量が等しかったとする．全体の量を $1$ とすれば， $B$ から $A$ に移したあと，水の量は， $A=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2n+1})=\frac{n+1}{2n+1},B=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{2n+1}$である．そして， $n+1$ 回目の操作で $A$ から $B$ に移したあと，水の量は， $A=\frac{n+1}{2n+1}(1-\frac{1}{2n+2})=\frac{1}{2},B=\frac{n}{2n+1}+\frac{n+1}{2n+1}\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2}$ となる．

　 $1$ 回目の操作の時に $A$ から $B$ に移したあと， $A=B=\frac{1}{2}$ となり， $k$ のときに成り立てば， $k+1$ でも成り立つので，このことより，本解説の結論に辿り着く．
本解説の補足
https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/5184/401
　十分多くの量の水を入れることのできる容器 $A,B$ があります．はじめ，容器 $A$ には $5184$ リットルの水が入っており，容器 $B$ は空です．これらに対し，次の操作を $40$ 回続けて行います． 

- $i$ 回目の操作では，$A$ に入っている水の $\dfrac{1}{2i}$ を $B$ に移したあと，$B$ に入っている水の $\dfrac {1}{2i+1}$ を $A$ に移す．

　すべての操作が終了したあと，$B$ には何リットルの水が入っていますか？