　解と係数の関係より $a+b=4,ab=8$ であるから, 特に $a^2+b^2=0$ である. ここで
$$\begin{aligned}
f(x) &\coloneqq x^4+px^3+qx^2+rx+s \\\\
&= (x-(a+2b))(x-(2a+b))\left(x-\frac{a}{b}\right)\left(x-\frac{b}{a}\right) \\\\
&= (x^2-3(a+b)x+2(a^2+b^2)+5ab)\left(x^2-\frac{a^2+b^2}{ab}x+1\right) \\\\
&= (x^2-12x+40)(x^2+1)
\end{aligned}$$
　よって $p+q+r+s=f(1)-1=29\times 2-1=\textbf{57}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc026/editorial/155
　二次方程式 $x^2-4x+8=0$ の $2$ 解を $x=a,b$ としたとき, 四次方程式 $x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ は $x=a+2b,2a+b,\dfrac{a}{b},\dfrac{b}{a}$ を $4$ 解に持ちました. $p+q+r+s$ の値を求めてください.