　判別式を考えることで，条件は以下のように表せる：
$$ a+b=1, \quad a^2\geq 4b, \quad b^2\geq 4a.$$
$ab$ 平面上でこれらを図示することで，$a+b=1$ のもとでこれは以下と同値であるとわかる：
$$ a\leq -2-2\sqrt{2} \quad \text{または} \quad  a\geq 3+2\sqrt{2}. $$
さらに $ab$ 平面上で円周 $a^2+b^2=k$ と共通点をもつ条件を考えれば，$k$ は $\\{a,b\\}=\\{-2-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2}\\}$ のとき最小値 $ 29+20\sqrt{2}$ をとる．特に，解答すべき値は $29+20+2=\mathbf{51}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/8425
　実数 $a,b$ は $a+b=1$ をみたしています．また，$x$ についての $2$ 次方程式
$$x^2+ax+b=0,\quad x^2+bx+a=0$$
は，いずれも少なくとも一つの実数解を持ちます．このとき，$a^2+b^2$ のとりうる最小値は，正の整数 $A,B,C$
（ $C$ は平方因子を持たない）を用いて $A+B\sqrt{C}$ と表されるので，$A+B+C$ を解答してください．