　$(1+x)^n(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{3n}$ について, 両辺で $x^n$ の係数を比較することで以下を得る：
$$\sum_{p+q+r=n}\binom{n}{p}\binom{n}{q}\binom{n}{r}=\binom{3n}{n}$$
一方で, 以下の等式が成立することがわかる：
$$\frac{1}{p!q!r!(p+q)!(q+r)!(r+p)!}=\frac{1}{(10!)^3}\binom{10}{p}\binom{10}{q}\binom{10}{r}$$
したがって, $S$ について以下のように計算でき, 特に解答すべき値は $\textbf{95381}$ である.
$$S=\frac{1}{(10!)^3}\binom{30}{10}=\frac{30!}{(10!)^4\times 20!}=\frac{11\times13\times23\times29}{2^{24}\times3^{10}\times5^5\times7^2}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/1694
　$p+q+r=10$ なる非負整数の組 $(p,q,r)$ すべてについて, 以下の値の総和を $S$ とします.
$$\frac{1}{p!q!r!(p+q)!(q+r)!(r+p)!}$$
$S$ を既約分数に表現したとき, その分子となる正整数を解答してください.