　選ばれた $50$ 個の数はすべて奇数であるか，すべて偶数でなければならない．選ばれた数のうち最小のものを $m$ とすると，$m$ のとり得る範囲は $1 \leq m \leq 902$ である．$1 \leq m \leq 900$ のときは $m$ 以外の $49$ 数を $m + 2, m + 4, \cdots, m + 100$ の $50$ 個の中から選べばよく，そのような選び方は $50$ 通りある．$m = 901, 902$ のときは $m$ 以外の数が $1$ 通りに定まる．以上より，全部で $900 \times 50 + 2 = \mathbf{45002}$ 通りの選び方が存在する．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/editorial/3961
　$1000$ 以下の正の整数の中から相異なる $50$ 個を選んだところ，その中からどの異なる $2$ つを選んでもその差の絶対値は $100$ 以下の偶数となりました．このような選び方は全部で何通りありますか？