　$i$ 回回転して初めて並び方が最初と同じになるとき，その並べ方は周期が $i$ であると呼ぶことにする.
周期が $12,6,4,2$ になる並べ方をそれぞれ $a,b,c,d$ 通りとすると
$$\begin{aligned}
12a+6b+4c+2d&={}_{12} \mathrm{C}_6=924 \\\\
6b+2d&={}_6 \mathrm{C}_3=20 \\\\
4c+2d&={}_4 \mathrm{C}_2=6 \\\\
2d&={}_2 \mathrm{C}_1=2 \\\\
\end{aligned}$$
が成り立つ．これを解くと $a=75,b=3,c=1,d=1$ を得るから，答えは $75+3+1+1=\textbf{80}$ 通り．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6676
　赤いボールと青いボールが $6$ 個ずつある．これら合わせて $12$ 個のボールを等間隔に円形に並べるとき，その並べ方は何通りか．ただし，同じ色のボールは区別ができず，回転して一致するような並べ方は同じ並べ方とみなすとする（反転は区別する）．