　$p = \dfrac{1+\sqrt{15}i}{4}$ は $p^2-\dfrac{p}{2} + 1 =0$ を満たす．この $p$ と任意の実数 $a, b$ について，
$$ {|a + bp|}^2 = a^2 + \dfrac{1}{2}ab + b^2 $$
となるから，
$$ \begin{aligned}
X &= \dfrac{1}{2}xyz-(xy^2+yz^2+zx^2) \\\\
Y &= -\dfrac{3}{4}xyz+\dfrac{1}{2}(xy^2+yz^2+zx^2)+x^2y+y^2z+z^2x
\end{aligned} $$
とおくと $(x+py)(y+pz)(z+px) = X + pY$ が成り立つ．この両辺の絶対値を比較することで，
$$\biggl(x^2 + \dfrac{1}{2}xy + y^2\biggr)\biggl(y^2 + \dfrac{1}{2}yz + z^2\biggr)\biggl(z^2 + \dfrac{1}{2}zx + x^2\biggr) = X^2 + \dfrac{1}{2}XY + Y^2$$
と表される.   ここで，$x, y, z$ の拘束条件は 
$$\begin{aligned} 
5^{20}
&= (x+2y)(y+2z)(z+2x) - 12xyz \\\\
&= -3xyz + 2(x^2y+y^2z+z^2x) + 4(xy^2+yz^2+zx^2) \\\\
&= -3X+2Y
\end{aligned} $$
と変形することができる．したがって，$N = 5^{20}$ とおくと $Y = \dfrac{3X+N}{2}$ なので，
$$ X^2 + \dfrac{1}{2}XY + Y^2 = 4X^2 + \frac{7}{4} NX + \frac{N^2}{4} = 4 \biggl( X + \frac{7}{32}N \biggr)^2 + \frac{15}{256} N^2 $$
と変形でき，$X = -\dfrac{7}{32}N, ~ Y = \dfrac{11}{64}N$ のときこの式は最小値 $\dfrac{15}{256}N^2$ を取る．

　ここで，$X, Y$  の拘束条件は次の $2$ 式に言い換えられる.   
$$\dfrac{3}{2}X + Y = -(x-y)(y-z)(z-x) = -\dfrac{5}{32}N，X = -\dfrac{7}{32}N$$
前者の式は $k=x-y, ~ l=y-z$ とおくと $kl(k+l)=-\dfrac{5}{32}N$ と書き換えられる．$l$ の存在条件から，$k^4-\dfrac{5}{8}Nk\geq 0$ かつ $k \neq 0$ が必要であり，逆にこれらを満たすとき $x, z$ は実数 $α, β$ を用いて，$x=y+α, z=y-β$ と表すことができる．これを後者の式に代入すると，左辺が最高位の係数が $-\dfrac{5}{2}$ である $y$ の $3$ 次式になるので，明らかに $y$ の実数解が存在し，同時に $x, z$ の存在も示される.   

　ゆえに，$x-y$ がとりうる整数 $n$ は $ n\lt 0$ または $n \geq \sqrt[3]{\dfrac{5}{8}N}$ を満たし，これが必要十分である．$\sqrt[3]{\dfrac{5}{8}N} = 39062.5$ より求める答えは 
$$1+2+ \cdots + 39062 = \mathbf{762939453}$$
である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/editorial/6913
　実数 $x, y, z$ が $$(x+2y)(y+2z)(z+2x)= 12xyz + 5^{20}$$ を満たすとき，以下に最小値が存在します.  
$$\biggl(x^2 + \dfrac{1}{2}xy + y^2\biggr)\biggl(y^2 + \dfrac{1}{2}yz + z^2\biggr)\biggl(z^2 + \dfrac{1}{2}zx + x^2\biggr)$$
実数の組 $(x, y, z)$ がこの最小値を達成しているとき，$x-y$ が**とり得ない**正整数値の総和を解答してください.