　 $\text{S},\text{E},\text{E},\text{G}$ の並び替え $\dfrac{4!}{2}=12$ 通りのうち， $\text{S},\text{E},\text{G}$ がこの順に並ぶものは
$$(\text{S},\text{E},\text{G},\text{E}), \quad (\text{S},\text{E},\text{E},\text{G}), \quad (\text{E},\text{S},\text{E},\text{G})$$
の $3$ 通りである．よって，求める場合の数は $\text{S},\text{E},\text{G},\text{M},\text{E},\text{N},\text{T}$ の並び替え $\dfrac{7!}{2}$ 通りの $\dfrac{3}{12}$ 倍，すなわち $\textbf{630}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc115/editorial/5528
　$\text{S},\text{E},\text{G},\text{M},\text{E},\text{N},\text{T}$ の $7$ 文字を並び替えて得られる文字列のうち， $\underline{\text{S}}\text{T}\underline{\text{E}}\text{N}\text{M}\underline{\text{G}}\text{E}$ のように $\text{S},\text{E},\text{G}$ の $3$ 文字が順番を保って並んでいる箇所があるものは，$\text{SEGMENT}$ を含めいくつありますか．ただし，$2$ つの $\text{E}$ は区別しません．