　$\\{h_k\\},\\{v_l\\}$ からそれぞれ $p-1,q-1$ 本の線分を選択したとする. このとき, マス目は $pq$ 個の領域に分かれ, これが $27$ を割り切る必要があるから, $(p,q)=(3,3),(3,9),(9,3)$ である. このとき, 正解を得るには縦を $p$ 等分, 横を $q$ 等分するように線分を選択する必要がある. これは上下・左右に隣接する線分で囲まれた領域を考えればわかる.\
　ここで, $(p,q)=(3,9)$ または $(9,3)$ で正解となる盤面は $(3,3)$ でも正解であるから, 一般性を失わず $(3,9)$ で正解となる盤面を数え上げればよい. 上から $i$ 番目, 左から $j$ 番目の領域を $A_{ij}$ と表し, 上の行から左右に順に決めていく.  $A_{11}$ には $9 \times 3$ 通り,  $A_{12}$ には行の被りを考慮して $8 \times 3$ 通り, $\cdots$, の書き込み方がある. 続いて $A_{21}$ には列の被りを考慮して $9 \times 2$ 通り,  $A_{22}$ には $8 \times 2$ 通り $\cdots$, の書き込み方がある. $A_{31},A_{32},\cdots$ についても同様であり, 全体で総括すれば $(9!)^3(3!)^9$ 通りの書き込み方がある.\
　ここで $(3,9)$ でも $(9,3)$ でも正解となる盤面に注意せよ. これは同様に $(3!)^{27}$ 通り存在することがわかるから,
$$N=2\times(9!)^3(3!)^9-(3!)^{27}.$$
$N$ は $2$ で $27$ 回, $3$ で $21$ 回割り切れ, $5$ でも $7$ でも割り切れないから, 求めるべき値は $\bm{48}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc077/editorial/2048
　$27\times 27$ のマス目があり, $k=1,2,\cdots,26$ に対して, 第 $k$ 行と $k+1$ 行の境目をなす横方向の線分を $h_k$ ，第 $k$ 列と $k+1$ 列の境目をなす縦方向の線分を $v_k$ とします. また, ちょうど $27$ 個のマスに $1$ が書かれており, 同じ行および同じ列に $2$ つ以上の $1$ が書かれていることは無いものとします.\
　OMC君は $\\{h\_k\\}\_{1 \leq k\leq 26} ,\\{v\_k\\}\_{1 \leq k\leq 26} $ から**それぞれ一つ以上**の線分を選び, 以下の条件をみたすようにしたいです：

- 選んだ線分たちによって分割された各領域について, 書かれている $1$ の個数がすべて等しい.

　このような線分の選び方を**正解**と呼ぶものとします.\
　初めに $1$ の書かれているマス目の組み合わせとしてあり得るものは $27!$ 通りありますが, このうち正解が $2$ つ以上存在するものの個数を $N$ とします. $N$ が $7$ 以下の素数で割り切れる回数を求めてください. 例えば $N=2^3\times 5^2\times 11$ の場合, $5$ を解答してください.