　$f(n)=(n^{2024}-1)n^{11}$ とし，答えを $M$ とします． 

素数 $p$ について， 任意の整数 $n$ に対して $f(n)$ が$p$ で割り切れるための必要十分条件は，任意の $p$ で割り切れない整数 $n$ に対して $n^{2024}-1$ が $p$ の倍数となることです．

$n$ が $\mathrm{mod} ~ p$ における原始根でも成り立っている必要があるため， $p-1$ が $2024$ の約数であることが必要です．

逆に $p-1$ が $2024$ の約数であるならば， $M$ は $p$ の倍数になります

$p=2$ のときに， $n^{a-b}-1$ と $n^b$ は互いに素なので, $m\geq 2$ に対して，

 $2^m \mid f(n)$ であることの必要十分条件は，$2^m$ が $n^{11}$ の約数であるか， $n^{2024}-1$ が $2^m$ の約数であることです．

 $2^m \mid M$ であるためには， $m\leq 11$ かつ任意の奇数 $n$ に対して $n^{2024} \bmod{2^m} = 1$であることが必要十分です．

$(\mathbb{Z}\/ 2^m \mathbb{Z})^{\times}\cong \mathbb{Z}\/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\/2^{m-2}\mathbb{Z}$ であるため， $2^{m-2}$ が $2024$ の約数であることが必要です．

よって， $m\leq 5$ のときに $2^m \mid M$ となります．

$p\geq 3$ かつ $m\geq 2$ のとき， 

$p^m \mid M$ であるためには，任意の整数 $n$ に対して $p^m \mid n^{11}$ かつ $p^m \mid (n^{2024}-1)$ であることが必要十分条件です

これは， $11\geq m$かつ， 任意の $p$ と互いに素な整数 $n$ に対して $n^{2024}\bmod{p}=1$ でることが必要十分です．

これは，$(\mathbb{Z}\/p^m\mathbb{Z})^{\times} \cong \mathbb{Z}\/(p-1)\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\/p^{m-1}\mathbb{Z}$ であることから， $11\geq m$ かつ $(p-1)p^{m-1} \mid 2024$ となります．

以上を整理します

$2024=2^3\times 11\times 23$ の正の約数は $1,2,4,8, 11,22,44,88 ,23,46,92,184, 253, 506, 1012,2024$ の16個であり，$M$の素因数を列挙すると $2,3,5,23,89,47,1013$ となります．

さらに，$M$ は $2$ でちょうど $5$ 回割り切れて，$23$ については，$(23-1)\cdot 23^{2-1} \mid 2024$ であるため，$M$ は $23$ で $2$ 回割り切れます． それ以外の素因数ではちょうど $1$ 回のみ割り切れます．

よって，

$$M=2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 23^2\cdot 47\cdot 89\cdot 1013=\bm{1075955275680}$$

となります．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12680
　乗法群の構造を調べなくても，LTEの補題をメインに用いて最大の値を調べられることを見る．

$f(n) = (n^{2024} - 1)n^{11}$ とおき，素数 $p$ に対して
$$
e_p = \min_{n\in \mathbb{Z}} v_p(f(n))
$$
とおく（ただし $v_p(0) = \infty$ とみなす）．すべての整数 $n$ で $\frac{f(n)}{m}$ が整数であることは $v_p(m) \leqq e_p$ がすべての素数 $p$ で成り立つことと同値であるから，
$$
\prod_{p:\text{prime}} p^{e_p}
$$
が答えになると予想される（この時点では無限積に見えるが，後でほとんどの $p$ で$e_{p}=0$ とわかる）．

$2024$ を $p-1$ で割った余りを $r_p$ とするとき，$p$で割れない整数 $n$ について $n^{2024}\equiv n^{r_p} $ であるから，もし $r_p \neq 0$ なら $n \bmod{p}$ として原始根を取ることで $n^{2024}\not\equiv 1$ かつ $n\not\equiv 0\pmod{p}$ であるようにできるので $e_p = 0$ である．逆に $r_p = 0$ の場合，すべての $n$ で $n^{2024}\equiv 1\pmod{p}$ または $n^{11}\equiv 0$ だから，$e_p \geqq 1$である．

　よって，$r_p = 0$ であるような部分のみを考え $P = \\{ 2, 3,5, 23, 47, 89, 1013\\}$ とおくことで
$$
M = \prod_{p\in P}p^{e_p}
$$
が答えである．そこで，$e_p$ ($p\in P$) を求める．

　$n$ が $p$ の倍数のとき $v_p(f(n)) \geq 11$ なので $e_p \leq 11$．次に $p\neq 2$ とし， $n = p+1$ のときを考えると，
$$
\begin{aligned}
v_p(f(p+1)) &= v_p((p+1)^{2024} - 1) \\\\ 
&= v_{p}(p) + v_p(2024) \\\\ 
&= \begin{cases}
1 & (p\neq 23) \\\\
2 & (p=23)
\end{cases}
\end{aligned}
$$
を得るので，$p\neq 2,23$ に対して $e_p \leq 1$, したがって $e_p = 1$ を得る．さらに $p=23$ のときは，任意の $23$で割れない $n$ に対して，$2024 = 22\cdot 92$ より
$$
v_{23}(n^{2024} - 1) = v_{23}(n^{22} - 1) + v_{23}(92)  \geq 1 + 1 = 2
$$
なので $e_{23} \geq 2$, したがって $e_{23} = 2$ を得る．

　最後に $e_2$ については，$p=2$ でのLTEの補題を用いる．その主張は，任意の奇数 $x,y$ と 偶数 $N$ について， 
$$
v_2(x^N - y^N) = v_2(x^2 - y^2) + v_2(N) - 1
$$
が成り立つというものである．これにより，奇数 $n$ に対して
$$
v_2(f(n)) = v_2(n^{2024} - 1) = v_2(n^2 - 1) + v_2(2024) - 1 = v_2(n^2 - 1) + 2
$$
となるが，一般に奇数 $n$ に対して $n^2 \equiv 1 \pmod{8}$ なので $v_2(f(n)) \geq 5$ であり，$n=3$ とすれば $v_2(3^2 - 1) = 3$ だから 等号は実現する．よって $e_2 = 5$ である．

よって $M = 2^5\cdot 23^2 \cdot 3\cdot 5\cdot 47\cdot 89\cdot 1013$ が解答するべき値．
LTEの補題による評価
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12680/695
　任意の整数 $n$ に対して 
$$\dfrac{(n^{2024}-1)n^{11}}{m}$$ 
が整数となるような正整数 $m$ のうち，最大のものを求めてください．