　お互いに指を指し合うペアをまず決め, そのあとにそれ以外の構成を考えるとよい.\
　指を指し合うペアの組み合わせは ${}_7\mathrm{C}_2\cdot{}_5\mathrm{C}_2 \div2$ 通り存在する. そのうち一つを固定したとき, ペアではない人がペアである人を指差している人数で場合分けをすると,
- $0$ 人のとき, $3$ 人で一周するように指す必要があり, $2$ 通り
- $1$ 人のとき, 残り $2$ 人が指し合ってはならないことに注意して, $3\cdot4\cdot3=36$ 通り
- $2$ 人のとき, $3\cdot4^2\cdot2=96$ 通り
- $3$ 人のとき, $4^3=64$ 通り

よって求める確率は $\dfrac{{}_7\mathrm{C}_2\cdot{}_5\mathrm{C}_2\cdot198}{2\cdot6^7}=\dfrac{385}{5184}$ であるから, 解答すべき値は $\textbf{5569}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc140/editorial/3579
　公式解説の「ペアではない人の指し方」の数え上げの別解です．

余事象を考えると，ペアでない $3$ 人のうち $2$ 人が $1$ つのペアを作る場合のみで，これはペアを作る $2$ 人の決め方が $3$ 通り，そして残った $1$ 人の指し方が $6$ 通りなので $3×6=18$ 通りになります．よって求める場合の数は $6^3-18=198$ 通りです．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc140/editorial/3579/187
　$7$ 人の生徒がおり，自身以外のある $1$ 人を一斉に無作為に指さすとき，お互いに指をさし合っている 
 $2$ 人組がちょうど $2$ 組存在する確率を求めてください．ただし，求める確率は互いに素な正整数 $a$ , $b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．