　$0\leq\lbrace x\rbrace\lt1$ より $\lfloor x\rfloor=\dfrac{1}{\lbrace x\rbrace}\gt 1$ であり, $\lfloor x\rfloor$ は整数であるから $\lfloor x\rfloor\geq 2$ が必要である.\
　条件を満たす $x$ の最小値を考えているから $\lfloor x\rfloor=2$ のときを考えればよい. このとき $\lbrace x\rbrace=0.5$ であり, $x=\dfrac{5}{2}$ が等式を満たす最小の $x$ となる. 求める値は $5+2=\bf{7}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc068/editorial/2929
　正の実数 $x$ に対し, $\lfloor x\rfloor$ で $x$ の整数部分, $\lbrace x\rbrace$ で $x$ の小数部分を表します. 例えば
$$\lfloor 3.14\rfloor =3, \quad \lbrace 3.14\rbrace=0.14$$
です. このとき, 
$$ \lfloor x\rfloor\times\lbrace x\rbrace=1$$
を満たす最小の正の実数 $x$ を求めてください.\
　ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.