　三角形 $ABP$, $DCP$ の外接円をそれぞれ ${\Gamma}_1$, ${\Gamma}_2$ とおく．${\Gamma}_1$ と ${\Gamma}_2$ の交点のうち $P$ でない方を $Q$ とおくと，$PQ$ の中点は $E$ であるから，$PQ = 2PE = 18$ である．一方，$\angle ABC = \angle PAD$ であるから，接弦定理の逆より ${\Gamma}_1$ は $AD$ に接する．同様に，${\Gamma}_2$ も $AD$ に接する．よって，方べきの定理より，
$${FA}^2 = FQ \times FP, \quad {FD}^2 = FQ \times FP$$
であるため，$FA = FD$ が従い，特に $FA = AD \/2 = 40$である．\
　さらに，$FP = FQ + QP = FQ + 18$ であるため，$FQ \times (FQ + 18) = 1600$ が成り立つ．$FQ \gt 0$ よりこれを解くと $FQ = 32$ となり，$EF = FQ + QE =\bf41$ である．\
　なお，$O_1O_2=81$ の条件は使っていないが，条件を満たす図は存在する．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/editorial/2985
　公式解説と同様に三角形 $ABP, DCP$ の外接円をそれぞれ $\Gamma_1, \Gamma_2$ とおく．すると，$\Gamma_1, \Gamma_2$ はいずれも直線 $AD$ に接するため，$\angle FAO_1 = \angle FDO_2 = 90^\circ $ が従う．また，$\angle FEO_1 = \angle FEO_2 = 90^\circ$ も容易に分かる．これより，三角形 $FAO_1, FEO_1$ に三平方の定理を適用することで，
$$FA^2 + {AO_1}^2 = FE^2 + {EO_1}^2 
 ( = {FO_1}^2)$$
が得られる．これより，$FE^2 - FA^2 = {AO_1}^2 - {EO_1}^2$ が従う．また，$AO_1 = PO_1$ であり，かつ $\angle PEO_1 = 90^\circ$ であることから，三角形 $PEO_1$ に三平方の定理を適用することで，${AO_1}^2 - {EO_1}^2 = {PO_1}^2 - {EO_1}^2 = PE^2 = 81$ が従う．よって，$FE^2 - FA^2 = 81$ が得られる．同様に考えて，
$$FE^2 - FD^2 = {DO_2}^2 - {EO_2}^2 =  {PO_2}^2 - {EO_2}^2 = PE^2 = 81$$
も分かる．よって，$FA = FD = 40$ が分かり，$FE = 41$ が従う．
三平方の定理を用いて立式する方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/editorial/2985/643
　 凸四角形 $ABCD$ と辺 $BC$ 上の点 $P$ があります．三角形 $ABP,DCP$ の外心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし，$P$ から直線 $O_1 O_2$ に下ろした垂線と直線 $O_1 O_2,AD$ の交点をそれぞれ $E,F$ とおきます．
$$\begin{aligned}
\angle ABC = \angle PAD, \quad
\angle DCB &= \angle PDA,\\\\
AD = 80,\quad O_1O_2=81,\quad &PE = 9
\end{aligned}$$
が成り立つとき，$EF$ の長さを求めてください．