　二項定理, $2^{p-1}\equiv 1\pmod p$ (Fermatの小定理), $2^{p^2-p}\equiv 1\pmod{p^2}$ (Eulerの定理) より, $p^2$ を法として
$$\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{p-1} (kp+2)^{kp+2} &\equiv \sum_{k=0}^{p-1} \left({}\_{kp+2}{\rm C}\_1\times kp\times 2^{kp+1}+2^{kp+2}\right) \\\\
&\equiv \sum\_{k=0}^{p-1} \left( k2^{kp+2}p+2^{kp+2} \right)&\\\\
&\equiv \sum\_{k=0}^{p-1} \left( k2^{k+2}p+2^{kp+2} \right)&\\\\
&\equiv 4\left(2^p p-2^{p+1}+2\right)p+4\times \frac{2^{p^2}-1}{2^p-1}\\\\
&\equiv -8p+4
\end{aligned}$$
と計算できる. したがって $p^2-a=8p-4=\textbf{8000000052}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1983
　素数 $p=10^9+7$ について, $\displaystyle \sum_{k=0}^{p-1} (kp+2)^{kp+2}$ を $p^2$ で割ったあまりを $a$ としたとき, $p^2-a$ を求めてください.