　$K = k + 1$ とおき，$2$ つ目の条件を考える．ただし各所で $n \ge 5$ を用いる．まず $n = 5, 6$ のときを考えると，$K \equiv 2 \pmod 4$ を得る．$n^{d(n)}$ は平方数より，任意の $n$ で $n^{d(n)} + K - 1$ は $4$ の倍数でないから，$4 \nmid \varphi(n)$ の場合のみを考えればよい．また $\varphi(n)$ は偶数より，$n^{d(n)} + K - 1$ が偶数である場合，すなわち $n$ が奇数である場合のみ考えればよい．以上をまとめると，$n$ が（$ 4N + 3$ 型の）素数のべきである場合のみを考えればよい．そして任意の素数 $p \ge 5$ に対し
$$ \varphi(p) \nmid \left(p^{d(p)} + K - 1\right) \iff \left(p - 1\right) \nmid K,$$
さらに任意の正整数 $m$ に対し
$$ \left(p - 1\right) \nmid K \\;\Longrightarrow\\; p^{m-1} \left(p-1\right) \nmid \left(p^{md(p^m)} + K - 1\right) \iff \varphi(p^m) \nmid \left(p^{d(p^m)} + K - 1\right) $$
となるから，$p \ge 5$ が素数のときに $(p - 1) \nmid K$ であることが必要十分である．  
　$K$ は偶数であるから，$K$ が $3, 5, 11$ のいずれかの倍数であるとすると，それぞれ $n = 7, 11, 23$ において不適である．また $K$ は $4$ の倍数ではないから，$K$ が奇数の素因数として $7, 13, 19$ のみを持つ（持たない素因数があっても良い）場合，$(n - 1) \mid K$ となるためには，$n$ が偶数または $3$ の倍数でなくてはならず，そのような素数 $n$ は存在しない．そして $K$ が $17$ の倍数であって，さらに $7, 13, 19$ のいずれかの倍数であるとすると，それぞれ $n = 239, 443, 647$ において不適である．  
　以上のことから，$k$ としてありうる最小の値は $2 \times 7^4 \times 13^4 \times 19 - 1 = \bm{2605848517}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce006/editorial/7382
　以下の条件をすべてみたすような，最小の非負整数 $k$ を求めてください．

* $k + 1$ は正の約数をちょうど $100$ 個もつ．
* 任意の整数 $n \ge 5$ に対し，$n^{d(n)} + k$ は $\varphi(n)$ の倍数**でない**．

ただし，$d(n)$ は $n$ の正の約数の個数，$\varphi(n)$ は $n$ と互いに素な $n$ 以下の正整数の個数を表します．