　 $F_n$ のみたす漸化式を解くと，$\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, ~ \beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ について
$$F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\sqrt{5}}$$
と表される．ここで二項定理より，
$$\begin{aligned}F_n&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n}\left((\alpha-1)^k\binom{n}{k} -(\beta-1)^k\binom{n}{k}\right)\\\\&=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n} \left((-\beta)^k-(-\alpha)^k\right)\binom{n}{k}\\\\&=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1} F_k \binom{n}{k}\end{aligned}$$

である．したがって，多項式 $p_k$ $(k = 1,2,\ldots)$ を
$$p_k(x)=\dfrac{x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k!}$$
と定め，
$$f(x)=\sum_{k=0}^{10} (-1)^{k+1} F_kp_k(x)$$
としたとき，$f(x)$ は $10$ 次多項式となって $f(n)=F_n$ $(n=0,1,\ldots,10)$ をみたす．あとはこの $f$ の $x^9$ の係数を求めればよいが，これは総和記号における $k=9,10$ のみ考慮すればよいので，

$$\begin{aligned}(-1)^{10} F_9\cdot \dfrac{1}{9!} +(-1)^{11} F_{10} \cdot \dfrac{-45}{10!}
=\dfrac{563}{725760}\end{aligned}$$
となる．特に，解答すべき値は $\bm{726323}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/editorial/10900
$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ が成り立つように $F_n$ を $n\lt 0$ にも拡張しておく．最初の数項を記すと
$$
F_{-1}=1,\quad F_{-2}=-1,\quad F_{-3}=2,\quad F_{-4}=-3,\quad F_{-5}=5,\quad\cdots
$$
となり，一般に $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n$ が成り立つことが帰納法で確かめられる．

$n=0,1,\cdots,9$ に対して $f(n+1)-f(n)=F_{n+1}-F_n=F_{n-1}$ となることに着目する．一般に多項式 $g(x)$ に対して多項式 $\Delta g(x)$ を
$$
\Delta g(x)=g(x+1)-g(x)
$$
により定め，$g$ の**差分**と呼ぶ．$g(x)$ が定数でない限り，$\Delta g(x)$ の次数は $g(x)$ の次数より $1$ だけ低いことに注意する．差分を扱う際には，次のような**下降冪**を使うのが便利である．非負整数 $k$ に対し，$x$ の $k$ 次の下降冪を
$$
p_k(x) = \dfrac{x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}
$$
で定める（ただし $p_0(x)=1$ とする）．すると $p_k(x)$ は $k$ 次式であり， $\Delta p_k(x) = p_{k-1}(x)$ が容易に確かめられる．そこで $f(x)$ を
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{10}c_kp_k(x)
$$
と展開しておくと，$\Delta^if(x)=\sum_{k=i}^{10}c_kp_{k-i}(x)$ と表せる．今，$f(n)=F_n\ (0\leqq n \leqq 10)$ より，帰納的に
$$
\begin{aligned}\Delta f(n)&=F_{n-1}\quad(0\leqq n\leqq 9),\\\ \Delta^2f(n)&=F_{n-2}\quad(0\leqq n\leqq 8),\\\ &\vdots\\\ \Delta^9f(n)&=F_{n-9}\quad (0\leqq n\leqq 1) \end{aligned}
$$
となることがわかる．特に $\Delta^9f(x)$ は $1$ 次式で $\Delta^9f(0)=F_{-9}=34,\ \Delta^9f(1)=-21$ を満たすので，$\Delta^9f(x)=-55x+34$ と決定できる．一方で $\Delta^9 f(x) = \sum_{k=9}^{10}c_kp_{k-9}(x)$ だったので $c_9=34,\ c_{10}=-55$ が得られる．よって
$$
f(x)=-55p_{10}(x)+34p_9(x)+(\text{8次以下の項})
$$
となるため，右辺の $9$ 次の係数を求めれば $\dfrac{563}{725760}$ という答えが得られる．
差分を利用する解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/editorial/10900/671
　数列 $\\{F\_n\\}\_{n=0,1,2,\ldots}$ を $F_0=0, ~ F_1=1$ および
 $$F\_{n+2}=F\_{n+1}+F\_{n} \quad  (n=0,1,2,\ldots)$$
で定めると，実数係数 $10$ 次多項式 $f$ が
$$f(k)=F_k \quad (k=0,1,\ldots,10)$$
を満たしました．このとき，$f$ の $9$ 次の係数の絶対値は，互いに素な正の整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．