　$AB$ の中点を $M$，$AC$ の中点を $N$ とすると，中線定理より
$$\begin{aligned}4AP^2+3BP^2+CP^2&=3(AP^2+BP^2)+(AP^2+CP^2)\\\\
&=6(MP^2+AM^2)+2(NP^2+AN^2)\\\\
&=2(3MP^2+NP^2)+\frac{3}{2}AB^2+\frac{1}{2}AC^2
\end{aligned}$$
　さらに，$MN$ の中点を $K$，$MK$ の中点を $L$ とすると，中線定理を繰り返し用いて
$$\begin{aligned}3MP^2+NP^2&=2MP^2+2(KP^2+MK^2)\\\\
&=4(LP^2+ML^2)+2MK^2\\\\
&=4LP^2+\frac{3}{16}BC^2
\end{aligned}$$
であるから，次が得られる．
$$4AP^2+3BP^2+CP^2=8LP^2+\frac{3}{8}BC^2+\frac{1}{2}CA^2+\frac{3}{2}AB^2=8LP^2+\frac{145}{2}$$
これより条件は $LP^2\leq\dfrac{55}{16}$ であるから，点 $P$ が存在しうる領域は $L$ を中心とする半径 $\dfrac{\sqrt{55}}{4}$ の円周および内部．よって $S=\dfrac{55}{16}\pi$ であり，特に解答する値は $\bf{880}$．

　なお，$3MP^2+NP^2$ における式変形は Stewart の定理を用いることも可能である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc136/editorial/3281
　$BC=4,CA=5,AB=6$ なる三角形 $ABC$ があります．次をみたす点 $P$ が存在しうる領域の面積 $S$ を求めてください．
$$4AP^2+3BP^2+CP^2\leq100$$ 
　ただし $S$ は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $S=\dfrac{p}{q}\pi$ と表せるので，**積** $pq$ を解答してください．