　$5\times 2^m=(n-1)(n+1)$ より，条件をみたす $n$ は正整数 $a,b$ を用い次のいずれかの形に表せることがわかる．ただし $a,b$ のうち少なくとも一つは $1$ である．
$$\mathrm{(i)}:\begin{cases}n-1=5\times 2^a\cr n+1=2^b\end{cases}\quad\mathrm{(ii)}:\begin{cases}n-1=2^a\cr n+1=5\times 2^b\end{cases}$$
　$\mathrm{(i)}$ の場合 $2^b-5\times 2^a=2$ であり，これをみたす $(a,b)$ は存在しない．\
　$\mathrm{(ii)}$ の場合 $5\times 2^b-2^a=2$ であり，これをみたすのは $(a,b)=(1,3)$ のみ．\
　以上より問の条件をみたす $(m,n)$ は $(m,n)=(4,9)$ であり，特に解答すべき値は $\bm{13}$ である ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc002/editorial/26
　正の整数の組 $(m, n)$ は
$$1+5\\cdot2^m=n^2 $$
を満たします．このような組すべてについて，$m+n$ の総和を求めてください．

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