$$z = \dfrac{(pq+1)(2^{p+r}-1)}{(2^p-1)q}$$
とおき，$z$ が整数となる条件を考える．ここで，$p, q, r$ が相異なる素数であることから，
$$ \gcd (2^{p+r}-1, 2^p-1) = 2^{\gcd(p+r, p)} - 1 = 1$$ 
および $\gcd(pq+1, q) = 1$ が成り立つ．これにより，$z$ が整数となることは
$$ z_1 = \frac{pq+1}{2^p-1}, \quad z_2 = \frac{2^{p+r}-1}{q} $$
がともに整数となることと同値である．Fermat の小定理より，
$$ z_1 \equiv (pq+1) \cdot (2^p-1)^{-1} \equiv 1 \cdot 1^{-1} \equiv 1 \pmod{p} $$
となる．ここで $q \le 2^{p+1} - 1$ より，
$$ z_1 = \frac{pq+1}{2^p-1} \le \frac{p 2^{p+1}-p+1}{2^p-1} = 2p + \frac{p+1}{2^p-1} \lt 2p+1$$
となるから，$z_1$ としてありうる値は $1, p+1$ に限られる．

　$z_1 = 1$ のとき，$2^p=pq+2$ となるが，左辺は偶数，右辺は奇数であるから矛盾する．

　$z_1=p+1$ のとき，
$$q=\dfrac{(p+1)2^p-p-2}{p} = 2^p-1 + \frac{2^p-2}{p}$$ 
が成り立ち，$q$ が $1000$ 以下の素数となるのは $(p, q) = (5, 37)$ のときに限られる．このとき，$z_2$ が整数となることから $2^{r+5} \equiv 1 \pmod{37}$ が成り立つ．ここで，
$$ 2^{18} \equiv -1 \not\equiv 1, \quad 2^{12} \equiv -11 \not\equiv 1 \pmod{37} $$
であるから，$2$ の $\mathrm{mod} ~ 37$ での位数は $36$ である．したがって $36 \mid r+5$ となるような $r$ のみが適し，このような $1000$ 以下の $r$ のうち最大のものは $967$ である．

　以上より，$pqr$ としてありうる最大値は $5 \cdot 37 \cdot 967 = \textbf{178895}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/7845
　$1000$ 以下の**相異なる奇素数**の組 $(p, q, r)$ であって，$q\lt 2^{p+1}$ を満たし，かつ
$$\dfrac{(pq+1)(2^{p+r}-1)}{(2^p-1)q}$$ 
が整数となるようなものについて，$pqr$ としてありうる最大の値を解答してください．