　$y\gt 0$ のとき, 相加・相乗平均の関係より $x=y=1$ となるほかなく, これは不適である. したがって以下 $y\lt 0$ としてよく, $y$ を $-y$ と置き直して考える. また $y$ を既約分数で $c\/d$ と表す. ただし $a,b,c,d\gt 0$ とする.\
　与式に代入して整理することで $cd(a^2+b^2)-ab(c^2+d^2)=4abcd$ であるが, $a^2+b^2$ と $ab$ は互いに素であることに留意すれば $cd$ は $ab$ で割り切れる. 逆に $ab$ は $cd$ で割り切れるから, 結局 $ab=cd$ である. すなわち
　　$$a^2-6ab+b^2=(c^2+d^2)-2ab=(c-d)^2 $$
　ここで有理数 $t$ によって $c-d=at+b$ とおけば, 明らかに $t^2\neq 1$ であるから
　　$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2t+6}{1-t^2}$$
これより, 互いに素な整数 $m,n$ によって $t=\dfrac{m-n}{m+n}$ とおけば, 以下を得る.
　　$$x=\dfrac{a}{b}=\dfrac{(2m+n)(m+n)}{mn}$$
特に最右辺は既約分数である. 逆に $x$ がこのように表せるとき, 以下のように $y$ をとれば与式をみたす.
　　$$y=\dfrac{m(2m+n)}{n(m+n)}$$
すなわち, 以下の条件において, $(2m+n)(m+n)$ の最大値を求めればよいことがわかる.
　　$$m^2+(m+n)^2=(2m+n)(m+n)-mn=10^{10}+41421^{2}$$
　ここで $N=10^{10}+41421^2$ とおき, $(m,m+n)=(\sqrt{N}\cos\theta,\sqrt{N}\sin\theta)$ とすれば,
　　$$(2m+n)(m+n)=N\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)=\dfrac{N}{2}(\sin2\theta+(1-\cos2\theta))\leq\dfrac{N}{2}(1+\sqrt{2})$$
さらに $\delta=\sqrt{2}-1.41421\lt 0.4\times10^{-5}$ とおくと, $N=(1+(\sqrt{2}-1-\delta)^2)10^{10}$ に留意して計算すれば
　　$$\displaystyle\frac{N}{2}(1+\sqrt{2})=10^{10}\left(\sqrt{2}-\delta+\frac{1+\sqrt{2}}{2}\delta^2\right)\lt 14142100001$$
したがって, 整数値であることから $(2m+n)(m+n)\leq 14142100000$ が従う.\
　逆に $(m,m+n)=(41421,10^5)$ のとき等号が成立するから, $\textbf{14142100000}$ が求める最大値である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc018/editorial/117
　いずれも $0$ ではない有理数 $x,y$ は, $x\gt 0$ かつ以下をみたします.
$$x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=4$$
さらに $x$ を互いに素な正の整数 $a,b$ によって $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表したとき, $a$ と $b$ の差は $10^{10}+41421^2$ でした.\
　$a$ としてあり得る最大値を求めてください.