　正方形 $ABCD$ の一辺の長さが $1$ であるとして一般性を失わない．\
　$\triangle ABM\equiv \triangle A^\prime BM$ に注意すれば $\triangle MDP\equiv\triangle MA^\prime P,\triangle BCQ\equiv\triangle BA^\prime Q$ は容易にわかる．このとき角度計算すれば $\triangle ABM\sim\triangle DMP$ がわかり，相似比を考えれば $DP=1\/4$ を得る．これより $CP=3\/4$，また三平方の定理より $BP=5\/4$ がわかり，角の二等分線定理より $PQ=5\/12,QC=4\/12$ を得る．\
　以上より $DP:PQ:QC=1\/4:5\/12:4\/12=3:5:4$ であり，特に解答すべき値は $\bm{12}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb001/editorial/161
　正方形 $ABCD$ において, 辺 $AD$ の中点を $M$ とし, $BM$ に関して $A$ と対称な点を $A^\prime$ とします. 辺 $CD$ と直線 $A^\prime B,A^\prime M$ の交点をそれぞれ $P,Q$ としたとき, $DP:PQ:QC$ は互いに素な正整数 $p,q,r$ によって $p:q:r$ と表されます. $p+q+r$ を解答してください.