$$
xyzw=384=2^7 \times 3,　1\leq x \leq y \leq z \leq w  \leq 9
$$
なる整数の組 $(x, y, z, w)$ を求め, その並べ替えを考えればよい. $2^7 \times 3 \gt 4^4$ より $w=6, 8$ の場合のみを調べればよい.

 - $w=8$ のとき
$xyz=2^4 \times 3 \gt 3^3$ であるから, $z=8,6,4$ を考えていくと 
$$
(x, y, z, w)=(1, 6, 8, 8), (2, 3, 8, 8), (2, 4, 6, 8), (3, 4, 4, 8)
$$ 
 - $w=6$ のとき, 同様に考えると 
$$
(x, y, z, w)=(4, 4, 4, 6)
$$

　以上より, 求める場合の数は $4! + \dfrac{4!}{2!} \times 3 + \dfrac{4!}{3!} = \textbf{64}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc162/editorial/5112
　$4$ 桁の正整数であって，各桁の数字の総積が $384$ であるものはいくつありますか？