　「ココア」を $n$ 個以上部分文字列として含むものの個数を $a_{n}$ とおく. ただし, $n$ 個より多く「ココア」が含まれるものは重複して数える. たとえば, 「ココアココアココアココア」は $a_1,a_3$ には $4$ 回, $a_2$ には $6$ 回数えられているとする. 以下, 「○」は $2$ 種類の文字「ア」「コ」のいずれか一方が当てはまることを表すとすると, 以下のように計算できる.

- $n = 1$ のとき, 「ココア」 $1$ 個と「○」 $9$ 個の順列を考えて, $a_{1} = {}\_{10}\mathrm{C}\_{1}\times 2^{9} = 5120$.
- $n = 2$ のとき, 「ココア」 $2$ 個と「○」 $6$ 個の順列を考えて, $a_{2} = {}\_{8}\mathrm{C}\_{2}\times 2^{6} = 1792$.
- $n = 3$ のとき, 「ココア」 $3$ 個と「○」 $3$ 個の順列を考えて, $a_{3} = {}\_{6}\mathrm{C}\_{3}\times 2^{3} = 160$.
- $n = 4$ のとき明らかに $a_{4} = 1$ で, $n\geq 5$ のとき明らかに $a_{n}=0$.

　包除原理を用いて重複を適切に除外することで, 求める値は $a_{1} - a_{2} + a_{3} -  a_{4} = 5120 - 1792 + 160 - 1 = \bm{3487}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1741
　包除原理パートについて補足をしておきます．（包除原理を知らない方は先に包除原理について調べてみてください．）

　簡単のため，ここでは $7$ 文字からなる文字列の場合について考えます．$i, i+1, i+2$ 文字目が「ココア」であるような文字列の集合を $S_{i,i+1,i+2}$ と置きます．このとき，求めるものは $|S_{1,2,3}\cup S_{2,3,4}\cup S_{3,4,5}\cup S_{4,5,6}\cup S_{5,6,7}|$ です．ここで，包除原理より次が成り立ちます．
$$\begin{aligned}
&|S_{1,2,3}\cup S_{2,3,4}\cup\ldots\cup S_{5,6,7}|\\\\
=&+|S_{1,2,3}|+|S_{2,3,4}|+|S_{3,4,5}|+|S_{4,5,6}|+|S_{5,6,7}|\\\\
&-|S_{1,2,3}\cap S_{2,3,4}|-|S_{1,2,3}\cap S_{3,4,5}|-|S_{1,2,3}\cap S_{4,5,6}|-\cdots-|S_{4,5,6}\cap S_{5,6,7}|\\\\
&+|S_{1,2,3}\cap S_{2,3,4}\cap S_{3,4,5}|+|S_{1,2,3}\cap S_{2,3,4}\cap S_{4,5,6}|+\cdots+|S_{3,4,5}\cap S_{4,5,6}\cap S_{5,6,7}|\\\\
&-|S_{1,2,3}\cap S_{2,3,4}\cap S_{3,4,5}\cap S_{4,5,6}|-\cdots-|S_{2,3,4}\cap S_{3,4,5}\cap S_{4,5,6}\cap S_{5,6,7}|\\\\
&+|S_{1,2,3}\cap S_{2,3,4}\cap S_{3,4,5}\cap S_{4,5,6}\cap S_{5,6,7}|
\end{aligned}$$

　右辺の式の $2$ 段目の $|S_{1,2,3}\cap S_{2,3,4}|+\cdots+|S_{4,5,6}\cap S_{5,6,7}|$ に注目してみましょう．$S_{1,2,3}\cap S_{2,3,4}$ は，$1,2,3$ 文字目と $2,3,4$ 文字目がそれぞれ「ココア」であるようなものの集合ですが，このようなものは存在しないので $|S_{1,2,3}\cap S_{2,3,4}|=0$ です．同様に考えると，$2$ 段目の項のうち $0$ でないものは $|S_{1,2,3}\cap S_{4,5,6}|,|S_{1,2,3}\cap S_{5,6,7}|,|S_{2,3,4}\cap S_{5,6,7}|$ のみです．$S_{1,2,3}\cap S_{4,5,6}$ の要素数は $7$ 文字目を自由に決めることで $2^1$ つと求めることができます．残りも同様に考えるとそれぞれ $2^1$ つと求めることができます．

　ここで，重要な考察として，$2$ 段目の項に現れる値は $0$ か $2$ の $2$ 通りです．実は，任意の段について，登場する値は $0$ またはある特定の値 $K$（$=2^{(自由に決められる文字の個数)}$）の高々 $2$ 通りになります（これは，長さが $7$ の場合でなくても成り立ちます）．したがって，各段について， $K$ が何回登場するかがわかれば，登場回数に $K$ をかけた値が段全体の値になります．

　さらに，$i$ 段目の式に登場する $K$ の回数は，$i$ 個の「ココア」の配置の方法の数に一致します．先ほどの例では，$(1,2,3)$ と $(4,5,6)$ に配置する方法，$(1,2,3),(5,6,7)$ に配置する方法，$(2,3,4),(5,6,7)$ に配置する方法の $3$ 通りです（$(1,2,3)$ と $(2,3,4)$ のように重ねて配置することはできません）．この配置の方法は，公式解説にあるように，「ココア」$2$ 個と「○」$1$ 個の並べ方に帰着することができます．

　整理すると，$i$ 段目の値 （$=a_i$ とする）は，自由に決められる文字の個数を $k$ 個，$i$ 個のココアの配置の方法を $m$ 通りとすると $a_i=2^km$ です．すなわち，
- $1$ 段目について，$1$ 個の「ココア」の配置の方法は ${}\_{5}\mathrm{C}\_{1}$ 通り，自由に決められる文字の個数が $4$ 個だから
$a_1=2^4\times5=80$ ．
- $2$ 段目について，$2$ 個の「ココア」の配置の方法は ${}\_{3}\mathrm{C}\_{2}$ 通り，自由に決められる文字の個数が $1$ 個だから
$a_2=2^1\times3=6$ ．
- $3$ 段目について，$3$ 個のココアの配置の方法は存在しないから，$a_3=0$
- $4,5$ 段目についても，$4,5$ 個のココアの配置の方法は存在しないから，$a_4, a_5=0$

　これをもとの式に代入することで，$|S_{1,2,3}\cup S_{2,3,4}\cup\ldots\cup S_{5,6,7}|=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5=80-6+0-0+0=74$ と求めることができます．$12$ 文字からなる文字列の場合も同様に考えることが可能です．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1741/78
　ここでは, 「ココア」を部分文字列として含まないものの個数を数えてみます.  
　まず, $12$ 文字が全て「コ」のときで $1$ 通りです.  
　上のパターンを除けば, 少なくとも$1$ 文字は「ア」が含まれるので, 以下はそのうち最も右にある「ア」が左から $i$ 文字目 $(1\leq{i}\leq12)$ にある場合について, 「ココア」を部分文字列として含まないものの個数を $F_{i}$ としてそれぞれ数え上げをします.  
　それが $i$ 文字目にあるとき, $i+1$ 文字目以降は「コ」しか書かれていません. それに加えて, 「ココア」を部分文字列として含まないための必要十分条件は以下の通りです.  
 - $1$ 文字目から $i-1$ 文字目までに「コ」が連続しない.  

　このことに留意して, $F_{i}$ を実際に求めてみましょう. $F_1=1, F_2=2$ で, $i\geq3$ について,  
 - $i-1$ 文字目が「ア」であるとき, $F_{i-1}$ 通り. 
 - $i-1$ 文字目が「コ」であるとき, $i-2$ 文字目が「ア」となることから $F_{i-2}$ 通り.  

より $F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2}$ が成り立ちます. これより $F_{12}=233$ まで順に求まり, $F_1+F_2+…+F_{12}=1+2+…+233=608$ 通りとなります.  
　以上より, 「ココア」を部分文字列として含むような場合の数は $2^{12}-(1+608)=\bf{3487}$ 通りです.

　補足として, フィボナッチ数列の和について. $g_1=g_2=1, g_{n+2}=g_{n+1}+g_{n} (n=1,2,…)$ で定められるフィボナッチ数列 $\\{ g_{n} \\}$ の第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ について, $S_{n}=g_{n+2}-1$ が成り立ちます. これは $g_{i}=g_{i+2}-g_{i+1}$ という式に $i=1,2,…,n$ を代入して, それらを辺々順に足すことによって得られます. この式を利用すれば, 上の $F_1+F_2+…+F_{12}$ は, $$F_1+F_2+…+F_{12}= g_2+g_3+…+g_{13}=g_{15}-1-g_1=608$$ とも求められます.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1741/79
長さ$n$の文字列で「ココア」を部分文字列として含まないものについて, 末尾2文字が「ココ」であるものの個数をを $a_n$, 末尾2文字が「アコ」であるものの個数をを $b_n$, 末尾1文字が「ア」であるものの個数をを $c_n$とする. ただし, $n=0, 1$ については以下の通りとする.
$$a_0=b_0=0, \quad c_0=1, \quad a_1=0, \quad b_1=c_1=1$$
末尾2文字が「ココ」であるとき, 末尾に「コ」を付け加えると末尾2文字が「ココ」となり, 末尾に「ア」を付け加えると末尾が「ココア」となる.
末尾2文字が「アコ」であるとき, 末尾に「コ」を付け加えると末尾2文字が「ココ」となり, 末尾に「ア」を付け加えると末尾1文字が「ア」となる.
末尾1文字が「ア」であるとき, 末尾に「コ」を付け加えると末尾2文字が「アコ」となり, 末尾に「ア」を付け加えると末尾1文字が「ア」となる.

以上から, 次の漸化式が成り立つ.
$$a_{n+1}=a_n + b_n$$
$$b_{n+1}=c_{n}$$
$$c_{n+1}=b_{n}+c_{n}$$
フィボナッチ数列 $c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$より, $c_{12}=233$.
また, $a_{12}=c_{12}-1=232, b_{12}=c_{11}=144$.
長さ12の文字列で「ココア」を部分文字列として含まないものの個数は, $a_{12}+b_{12}+c_{12}=609$.
よって, 長さ12の文字列で「ココア」を部分文字列として含むものの個数は, $2^{12}-609={\bf 3487}$.
題意の場合の数について文字列の長さに関する漸化式を立てる
https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1741/88
　全体で $12$ 文字からなり, 各文字が「ア」または「コ」である文字列 $2^{12}$ 通りのうち,「ココア」を部分文字列として含むものはいくつありますか？ただし, ある文字列が「『ココア』を部分文字列として含む」とは, ある位置から**連続する** $3$ 文字を抜き出したとき, それが「ココア」となることを指します.