　いずれかの箱のボールの個数が奇数個ある状態を $X$ とし，すべての箱のボールの個数が偶数個の状態を $Y$ とする．状態 $X$ のとき，ボールが奇数個の箱をすべて選び操作を行うことで状態 $Y$ に遷移できる．また，状態 $Y$ からはどのように箱を選んだとしても状態 $X$ に遷移する．したがって，状態 $X$ は必勝盤面である（すなわち状態 $Y$ は必敗盤面である）．ゲーム開始時点で状態 $X$ となる場合の数が求める値であり，これは
$$ 50^5 - 25^5 = \mathbf{302734375} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb032/editorial/11393
　ボールが $50$ 個まで入る透明な $5$ つの箱 $A, B, C, D, E$ があります．各箱には既に $0$ 個以上 $49$ 個以下のボールが入っています．この $5$ 箱を使って，杉田君と中村君は次の操作を交互に行うゲームをしました．
  
- $1$ 箱以上選び，選んだ箱すべてに $1$ 個ずつボールを追加する．
  
杉田君が先攻でゲームを開始し，先に操作が行えなくなった人の負けとします．ゲーム開始時点でのボールの個数の組み合わせは全部で $50^5$ 通りありますが，そのうち中村くんがどのように操作をしても杉田君が勝つことが可能であるような組み合わせは何通りありますか？