　求める円の半径を $r$ とおくと，$\triangle ABC \sim \triangle HBA \sim \triangle HAC$より
$$BC : BA : AC = 505 : r : 100$$
これより，$BC = 505t, BA = rt,  AC = 100t$ とおける．一方で，$△ABC$において三平方の定理を用いれば
$$(505t)^2 = (rt)^2 + (100t)^2$$
したがって $r^2 = 505^2 - 100^2 = 495^2$ であり, 求める円の半径は $\textbf{495}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc068/editorial/2275
　角 $A$ を直角とする三角形 $ABC$ において，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると，三角形 $ABC$ の内接円の半径は $505$，三角形 $ACH$ の内接円の半径は $100$ でした．三角形 $ABH$ の内接円の半径を求めてください．