　$AD$ と $BC$ の交点を $F$ とすれば $AF=20$ であり, 方べきの定理より $BF=25$ を得るから, 三角形 $CDF$ さらに $ADE$ は $3:4:5$ の直角三角形である. ここで, $A,C,E,F$ はすべて $EF$ を直径とする円周上にあるから, 
$$\begin{aligned} \frac{1}{2} EF=\frac{1}{2} ED = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} AD=\frac{50}{3}\end{aligned}$$
が求める半径であり, 特に解答すべき値は $\textbf{53}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/editorial/2358
三角法を用いる解答を記す。\
$∠\mathrm{CBD}=∠\mathrm{CAD}=2\theta$ とすると，$\mathrm{CD}=7\tan 2\theta=40\sin\theta$ を得る。\
ここで二倍角の公式などを用いれば，$\cos\theta=\frac{4}{5}$を得る。\
あとは，$\mathrm{AE}$ の長さと $\sin∠\mathrm{ACE}=\sin(90°+\theta)$ を求めればよい。
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/editorial/2358/131
　円に内接する四角形 $ABCD$ が以下の条件をみたします．
$$AC=AD=20,\quad BC=7,\quad \angle BCD=90^{\circ}$$
このとき，直線 $AB$ と $CD$ の交点 $E$ について，三角形 $ACE$ の外接円の半径を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．