　$7$ 行 $7$ 列あるマス目の盤面の, $i$ 行 $j$ 列目にそれぞれ $7(i-1)+(j-1)$ を書き込むことを考える. すると問題は, 任意の黒く塗られた $4$ つのマス目の中心がマス目の各辺に平行な長方形の頂点とならないように, 盤面のマス目を $N$ 個黒く塗る通り数に言い換えられる. これ以降, 上記の塗り方でマス目が $N$ 個黒く塗られた盤面を **良い塗り方** と呼ぶ. 

　良い塗り方において左列から順に $a\_1, a\_2, a\_3, a\_4, a\_5, a\_6, a\_7$ 個のマス目が黒く塗られていたとすると, 任意の $2$ つの列において, 任意の黒く塗られたマス目がある行 $2$ つの組を選んだときにその組が重複することはないので, 
$${}\_{a_1}\mathrm{C}\_{2} + {}\_{a_2}\mathrm{C}\_{2} + {}\_{a_3}\mathrm{C}\_{2} + {}\_{a_4}\mathrm{C}\_{2} + {}\_{a_5}\mathrm{C}\_{2} + {}\_{a_6}\mathrm{C}\_{2} + {}\_{a_7}\mathrm{C}\_{2} \leq {}\_{7}\mathrm{C}\_{2} =21$$
　をみたす. 特に $a\_1 + a\_2 + a\_3 + a\_4 + a\_5 + a\_6 + a\_7$ を最大にするような組 $(a\_1, a\_2, a\_3, a\_4, a\_5, a\_6, a\_7)$ は $(3,3,3,3,3,3,3)$ に限られ, $N=21$ である. 

　良い塗り方かどうかは各列を並び替えても不変のため, 各列を **辞書順** に並び替える. ここで各マス目に対してスコアを, $i$ 行目でありかつ黒く塗られているなら $2^{-i}$, そうでないなら $0$ としたときに, 辞書順を列の $7$ マスすべてのスコアの合計が左列から降順に並ぶ盤面と定義する.  左列から順番に黒く塗るマス目を決定する. $1$ 列目から $3$ 列目はすべて $1$ 行目のマス目が黒く塗られているので, 残りの $6$ 行を各列で $2$ 行ずつ辞書順を保って分け合う方法は $15$ 通りである. $4$ 列目から $5$ 列目まではすべて $2$ 行目のマスが黒く塗られているので, $4$ 行を各列で $2$ 行ずつ辞書順を保って分け合う方法は $3$ 通りだが, 特に良い塗り方のものは $2$ 通りである. $6$ 列目から $7$ 列目までは自動的に決定する. したがって, 良い集合の総数, すなわち良い塗り方の総数は, 各列を辞書順に並び替える前のものも含め  $15\cdot 2 \cdot 7! = \mathbf{151200}$ 個存在する.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/4552
　$N=3+3+3+3+3+3+3=21$ のあとの計算について，辞書式を使わない方針です．部分集合 $T$ を実際に構成します．以下の説明を読む際は，$7×7$ の表を作ったうえで実際に構成しながら読むことを推奨します．

　説明しやすさのため，集合 $\lbrace 0, 1, 2, \cdots 48 \rbrace$ を $7$ 進法で記し，$\lbrace 0, 1, 2, \cdots 66 \rbrace$ と表記する．また，以下の説明で，$p,q,r,s,t,u,v$ は一の位を意味し，$P,Q,R,S,T,U$ は十の位を意味する（十のくらいが $6$ 種類しかないのは，$0,1,\cdots,6$があるため）．\
　まず，$1$ 桁の数が $3$ つある．それらを $p,q,r$ とする．→ $_7 C_3$ 通り\
　一の位が $p$ であるものが $2$ つある．それらの十の位を $P,Q$ とする（数としては $Pp=7P+p$ と $Qp=7Q+p$）．→ $_6 C_2$ 通り\
　一の位が $q$ であるものも $2$ つある．十の位を $R,S$ とする．→ $_4 C_2$ 通り\
　一の位が $r$ であるものは残りの $T,U$ である．（ここまでで構成した数は $p,q,r,Pp,Qp,Rq,Sq,Tr,Ur$）\
　十の位が $P$ であるものが，$p$ の他に $2$ つある．$q,r$ は使えない点に注意．$s,t$ とする．→ $_4 C_2$ 通り\
　十の位が $Q$ であるものが，$p$ の他に $2$ つある．$q,r,s,t$ は使えない．$u,v$ である．（$Ps,Pt,Qu,Qv$ が増えた）\
　十の位が $R$ であるものが，$q$ の他，$s,t$ のうちいずれか一方と，$u,v$ のうちいずれか一方．→$2^2$ 通り\
　十の位が $S$ であるものは，上で使わなかった $2$ つである．（例として $Rs,Ru,St,Sv$）\
　十の位が $T,U$ であるものは，残り $2$ 通り考えられる．\
　以上より，${}_7 C_3×{}_6 C_2×{}_4 C_2×{}_4 C_2×2^2×2$ を計算すればよい．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/4552/312
　集合 $\\{0,1,2,\ldots 48\\}$ の部分集合 $S$ が次の条件をみたすとき，これを **良い集合** とよぶことにします．

 - 集合 $S$ の $4$ 元からなる部分集合 $T$ をどのようにとっても，$0$ 以上 $6$ 以下の整数 $a,b,c,d ~ ( a \neq b, c \neq d )$ を用いて $\\{7a+c, 7a+d, 7b+c,  7b+d\\}$ と表すことができない．


　良い集合の要素数としてあり得る最大値を $N$ としたとき，要素数が $N$ である良い集合はいくつありますか？