　漸化式より以下が従うから, $\alpha^2+\beta^2=1$ である.
$$a_{n+1}^2+b_{n+1}^2=(\alpha^2+\beta^2)(a_n^2+b_n^2)$$
すなわち, ある $\theta$ によって $(\alpha,\beta)=(\cos\theta,\sin\theta)$ とおけ, ある $\theta_n$ によって
$$(a_n,b_n)=5\sqrt{26}(\cos\theta_n,\sin\theta_n)$$
と表せば $\theta_{n+1}\equiv\theta_{n}+\theta$ を得る. さらに条件より, 座標平面上に点 $P_0,P_1,\cdots,P_{2003}$ をとると, これらは原点を中心とする正 $2004$ 角形をなすことがわかる.\
　ここで, 以下の直線 $l_k$ を考えると, $|2021-a_kX-b_kY|$ は定点 $(X,Y)$ と $l_k$ の距離の $5\sqrt{26}$ 倍に等しい：
$$l_k:a_kx+b_ky=2021$$
さらに, $l_k$ は $OP_k$ に垂直であり, すべて原点から距離 $2021\/5\sqrt{26}$ であるから, $l_k$ たちはやはり原点を中心とする正 $2004$ 角形をなし, $(X,Y)$ がこの正 $2004$ 角形の内部にある限り以下の総和は一定である：
$$\displaystyle\sum_{k=0}^{2003}|2021-a_kX-b_kY|$$
すなわち $(X,Y)$ を元の $(9,30)$ から$(0,0)$ に置き換えてよく, 以上より求める総和は $\textbf{4050084}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/editorial/1611
　私 natu_math の誕生日は $2004$ 年 $5$ 月 $25$ 日です. ところで, 実数 $\alpha,\beta$ に対し,
$$(a_0,b_0)=(5,25),\quad a_{n+1}=\alpha a_{n}-\beta b_{n},\quad b_{n+1}=\beta a_{n}+\alpha b_{n}\quad (n=0,1,\cdots)$$
によって数列 $\\{a_n\\},\\{b_n\\}$ を定めると, $(a_x,b_x)=(a_0,b_0)$ なる正整数 $x$ が存在し, その最小値は $2004$ でした.\
　このコンテストは $2021$ 年 $9$ 月 $30$ 日に行われます. 以下の総和を求めてください.
$$\displaystyle\sum_{k=0}^{2003}|2021-9a_k-30b_k|$$