　$BR = 2x$ とおくと，$RS = SC = 13 - x$ と表せる（$x \lt 13$ に注意）．すると，方べきの定理から
$$CQ^2 = CR \cdot CS = 2(13 - x)^2$$
が成り立つので $CQ = \sqrt{2} (13 - x)$ を得る．一方で，
$$
\begin{aligned}
BP - CQ &= AB - AC \\\\
&= \sqrt{2(AB^2 + AC^2) - (AB + AC)^2} \\\\
&= \sqrt{2BC^2 - (AB + AC)^2} \\\\
&= 11\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
より $BP = \sqrt{2} (24 - x)$ なので，再び方べきの定理を適用することで
$$2(24 - x)^2 = BP^2 = BR \cdot BS = 2x(x + 13)$$
が得られる．これを解くと $x = \dfrac{576}{61}$ であり，$BR = \dfrac{1152}{61}$ である．特に解答すべき値は $\mathbf{1213}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/editorial/8389
　三角形 $ABC$ が
$$\angle A = 90^{\circ}, \quad AB+AC=\sqrt{1110},\quad BC=26,\quad AB\gt AC$$
をみたしています．ここで辺 $AB, AC$ 上にそれぞれ点 $P, Q$ をとり，辺 $BC$ 上に $2$ 点 $R, S$ を $B, R, S, C$ がこの順に並ぶようとったところ，以下の $3$ 条件をみたす円 $\Omega$ が存在しました：
- $\Omega$ は辺 $AB$ と点 $P$ で接する．
- $\Omega$ は辺 $AC$ と点 $Q$ で接する．
- $\Omega$ は辺 $BC$ と $2$ 点 $R, S$ で交わる．

さらに $RS = SC$ が成り立っているとき，線分 $BR$ の長さは互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p + q$ を解答してください．