　与えられた式を文字毎に分けて計算すると, 
$$ \begin{aligned}
\displaystyle{ \sum_{a=1}^A \sum_{b=A+1}^B \sum_{c=B+1}^C abc} &
= \displaystyle{ \sum_{a=1}^A a\sum_{b=A+1}^B b\sum_{c=B+1}^C c}\\\\
&=\dfrac1{8}A(A+1)(B-A)(A+B+1)(C-B)(B+C+1) \quad  \cdots(\*)
\end{aligned}$$
となる. \
　以下, 合同式の法を全て $3$ として,
 $(\*)$ が $3$ の倍数**でない**ような
 $(A,B,C)$ の組を考える :  
- まず,  $A(A+1) \not\equiv 0 $ であるから, 
 $A \equiv 1$ である. 
- 次に,  $B \not\equiv A$ かつ$B \not\equiv -A-1$ より, $B \equiv 0, 2$ である.  
- 最後に, $C \not\equiv B$ かつ $C \not\equiv -B-1$ であるので, $B \equiv 0,2$ いずれにせよ, $C \equiv 1$ である. 

以上より, 
$$ B=3k, 3k-1 \quad (k=1,2,\cdots ,333)$$
の時, $A$ の選び方は $k$ 通り, $C$ の選び方は $334-k$ 通りあるので, $(\*)$ が
 $3$ の倍数**である**ような整数の組 $(A,B,C)$ の個数は, 

$$ {}\_{1000}\mathrm{C}\_{3} - 2\displaystyle \sum_{k=1}^{333} k(334-k) = \mathbf{153747210} $$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc209/editorial/4191
　$1 \leqq A \lt B \lt C \leqq 1000$を満たす整数の組 $(A,B,C)$ のうち,
$$ \displaystyle{ \sum_{a=1}^A \sum_{b=A+1}^B \sum_{c=B+1}^C abc}$$
が $3$ の倍数となるものは何通りありますか.