公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8464
　あ,い,うをそれぞれ $a,b,c$ とする．  
 $a(10b+a)^2+a(10c+a)^2\equiv a(b+a)^2+a(c+a)^2\equiv a((b+a)^2+(c+a)^2)\pmod{9}$  
より，与式が $9$ の倍数となるのは，  
- $a=9$ のとき  
 $b,c$ はなんでもよく，$b,c$ の決め方は $8\times7=56$ 通り．  
- $a=3,6$ のとき  
 $(b+a)^2+(c+a)^2$ が $3$ の倍数となるのは $b,c$ がともに $3$ の倍数となるときで，$b,c$ の決め方は $2$ 通り．  
- $a=1,2,4,5,7,8$ のとき  
 $(b+a)^2+(c+a)^2$ が $9$ の倍数となるのは $b+a,c+a$ がともに $3$ の倍数となるときで，$b,c$ の決め方は $6$ 通り．  

　以上より，求める場合の数は $56+2\times2+6\times6=\textbf{96}$ 通り．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8464/208
作問：児玉

　以下の $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまる整数を解答して下さい.
***
　$\boxed{あ}$，$\boxed{い}$，$\boxed{う}$ に $1$ 以上 $9$ 以下の数字をあてはめて，
$$ \boxed{あ} \times \boxed{い}\boxed{あ} \times \boxed{い}\boxed{あ} + \boxed{あ} \times \boxed{う}\boxed{あ}\times\boxed{う}\boxed{あ} $$
を $9$ の倍数にする方法は $\boxed{\phantom{nada}}$ 通りあります．ここで，同じ文字には同じ数字を，**違う文字には違う数字を**あてはめなければならないとします．