　$f(n)=180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n}$ より，条件は次と同値である．
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2},\quad 3\leq a\lt b\lt c$$
特に $\dfrac{3}{a}\gt \dfrac{1}{2}$ より，$a=3,4,5$ である．
- $a=3$ のとき，条件は次と同値なので $c=15,18,24,42$ を得る．
$$(b-6)(c-6)=36,\quad 4\leq b\lt c$$
- $a=4$ のとき，条件は次と同値なので $c=12,20$ を得る．
$$(b-4)(c-4)=16,\quad 5\leq b\lt c$$
- $a=5$ のとき，条件は次と同値だが，これを満たす $(b,c)$ の組は存在しない．
$$(3b-10)(3c-10)=100,\quad 6\leq b\lt c$$

　以上より，$c$ としてあり得る値の総和は $\bf131$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/4546
　$3$ 以上の整数 $n$ に対し，度数法での正 $n$ 角形の一つの内角の大きさを $f(n)$ で表します．$3\leq a\lt b\lt c$ なる整数の組 $(a,b,c)$ が $f(a)+f(b)+f(c)=360^\circ$ をみたすとき，$c$ としてありうる値の総和を求めてください．