　$s=x+y, t=x-y$ とおけば, 操作によって $s,t$ はそれぞれ独立に等確率に $\pm1$ されるものと思える.  このとき, $st=2021$ となる確率を求めればよい. 対称性より $(s,t)=(43,47)$ に到達する場合のみ考えればよい. このとき $s$ は $57$ 回のうち $50$ 回で $+1$, $t$ は $57$ 回のうち $52$ 回で $+1$ される必要があるから, そのような確率は以下で与えられる. 特に, 全体で求める確率はこれの $4$ 倍である.
$$\frac{{}\_{57}\mathrm{C}\_{50}}{2^{57}} \times\frac{{}\_{57}\mathrm{C}\_{52}}{2^{57}}$$
　ここで ${}\_{57}\mathrm{C}\_{50}$ および ${}\_{57}\mathrm{C}\_{52}$ はそれぞれ $2$ でちょうど $2$ 回, $1$ 回割り切れることから, $b=\textbf{109}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/editorial/308
　聖火リレーの最終ランナーであるるさ君は, いま座標平面の原点におり, 以下の行動を $57$ 回続けて行います：

- それぞれ $U,D,L,R$ と書かれた $4$ 枚のカードから $1$ 枚を引き, 引いたカードに書かれた文字が $U$ ならば $y$ 座標を $+1$ , $D$ ならば $y$ 座標を $-1$ , $R$ ならば $x$ 座標を $+1$ , $L$ ならば $x$ 座標を $-1$ した場所に移動する.

$57$ 回の行動の後, 曲線 $x^2-y^2=2021$ 上にいればるさ君は聖火台へ点火することができます.\
　どのカードが引かれる確率も同様に確からしいものとしたとき, るさ君が無事に点火できる確率は奇数 $a$ と正整数 $b$ を用いて $\dfrac a{2^b}$ と表せるので, $b$ を解答して下さい.