　$BD=30-DE=CE$ が成立する．ここで，四角形 $DBCE$ が円に外接することから
$$DE+30=DE+BC=BD+CE=2(30-DE)$$
が成り立つから，以上より $DE=\bf{10}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc086/editorial/3102
　一辺が $30$ である正三角形 $ABC$ において，辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとったところ，$AD=AE$ であり，かつ四角形 $DBCE$ は円に外接しました．このとき，$DE$ の長さを求めてください.