　$c_1, c_2, c_3, c_4, c_5$ が問題の条件をみたすとき，
$$\max \\{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5\\} \leq 40000$$
であるので，
$$\sum_{n = 1}^{40000} na_n = \sum_{i = 1}^5 \sum_{k = 1}^{c_i} k$$
と表すことができる（ただし $\displaystyle \sum_{k = 1}^0 k = 0$ とせよ）．したがって，
$$\sum_{i = 1}^5 (2i - 1)x_i = 40000 \tag{1}$$
なる非負整数の組 $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ に対する
$$\sum_{i = 1}^5 \sum_{k = 1}^{x_i} k$$
の最小値を求める問題に帰着できる（$c_1 \geq c_2 \geq c_3 \geq c_4 \geq c_5$ なので，$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を大きい方から順に $c_1, c_2, c_3, c_4, c_5$ と対応付けて，適当な並び替え $m_1, m_2, m_3, m_4, m_5$ を選べばよい）．ここで，
$$
\begin{aligned}
\sum_{i = 1}^5 \sum_{k = 1}^{x_i} k &= \sum_{i = 1}^5 \frac{x_i(x_i + 1)}{2} = \frac{1}{8} \left ( \sum_{i = 1}^5 (2x_i + 1)^2 - 5\right ) \\\\
&= \frac{1}{8 \times 165} \left ( \sum_{i = 1}^5 (2x_i + 1)^2 \sum_{j = 1}^5 (2j - 1)^2 - 5 \times 165\right )
\end{aligned}
$$
と表せるので，Cauchy–Schwarzの不等式を用いることで式 $(1)$ から
$$
\begin{aligned}
\sum_{i = 1}^5 (2x_i + 1)^2 \sum_{j = 1}^5 (2j - 1)^2 &\geq \left ( \sum_{i = 1}^5 (2i - 1)(2x_i + 1) \right )^2 \\\\
&= \left ( 2 \times 40000 + \sum_{i = 1}^5 (2i - 1) \right )^2 \\\\
&= 80025^2
\end{aligned}
$$
が得られ，等号が成立する必要十分条件は
$$2x_1 + 1 : 2x_2 + 1 : 2x_3 + 1 : 2x_4 + 1 : 2x_5 + 1 = 1 : 3 : 5 : 7 : 9$$
である．式 $(1)$ より，これが成り立つのは以下のときである．
$$(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (242, 727, 1212, 1697, 2182)$$
以上より，求める最小値は
$$\frac{1}{8 \times 165}(80025^2 - 5 \times 165) = \mathbf{4851515}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc223/editorial/10609
　高校範囲からは逸脱しますが，Lagrange の未定乗数法を使う方針です．

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　公式解説同様に
$$ \tag{1} x_1+3x_2+5x_3+7x_4+9x_5=40000$$
を満たす条件の下で
$$\tag{2} \dfrac{x_1(x_1+1)}{2}+\dfrac{x_2(x_2+1)}{2}+\dfrac{x_3(x_3+1)}{2}+\dfrac{x_4(x_4+1)}{2}+\dfrac{x_5(x_5+1)}{2}$$
の最小値を求めたい．
$$f(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)=\dfrac{x_1(x_1+1)}{2}+\cdots+\dfrac{x_5(x_5+1)}{2}-\lambda (x_1+3x_2+5x_3+7x_4+9x_5-40000)$$
と置いて，こつこつ偏微分をしていく．

$$\begin{aligned}
\dfrac{\partial f}{\partial x_1} &=x_1+\dfrac{1}{2}-\lambda=0 \\\\
\dfrac{\partial f}{\partial x_2} &=x_2+\dfrac{1}{2}-3\lambda=0 \\\\
\vdots\\\\
\dfrac{\partial f}{\partial x_5} &=x_5+\dfrac{1}{2}-9\lambda=0
\end{aligned}$$
　$x_1=\lambda-\dfrac{1}{2}$ 等として式 $(1)$ に代入すれば，$\lambda=\dfrac{485}{2}$ を得る．\
　これより $(x_1,x_2x_3,x_4,x_5)=(2182,1697,1212,727,242)$ を得るので，式 $(2)$ に代入すれば答えを得る．

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　なお，Lagrange の未定乗数法は極値（最大値）の存在を保証するものではないので，厳密にはその点には注意が必要です（OMCのルール上，そのようなことは考える必要がないのですが…）．詳しくは適当な参考書等で確認してください．\
　類題として，[OMC112(C)](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc112\/tasks\/3393)，[OMC132(E)](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc132\/tasks\/4656)，[OMC217(F)](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc217\/tasks\/9293)を挙げておきます．
Lagrange の未定乗数法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc223/editorial/10609/549
$$5 \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_{40000} \geq 0$$
なる整数の組 $(a_1, ..., a_{40000})$ があり，非負整数 $c_1, c_2, c_3, c_4, c_5$ を次のように定めます：
- 各 $i \in \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$ に対し，$1 \leq n \leq 40000$ なる整数 $n$ のうち $a_n \geq i$ をみたすものの個数を $c_i$ とする．

すると $1, 2, 3, 4, 5$ の並べ替え $m_1, m_2, m_3, m_4, m_5$ であって
$$c_{m_1} + 3c_{m_2} + 5c_{m_3} + 7c_{m_4} + 9c_{m_5} = 40000$$
をみたすものが存在しました．このとき，
$$\sum_{n = 1}^{40000} na_n$$
のとり得る最小の値を解答して下さい．