　三角形の $3$ つの内角が $40^\circ,60^\circ,80^\circ$ であるとき，$3$ 点は外接円を $2:3:4$ に分割する位置にあるから，$n$ は $9$ で割り切れる．同様に，三角形の $3$ つの内角が $24^\circ,48^\circ,108^\circ$ であるとき，$3$ 点は外接円を $2:4:9$ に分割する位置にあるから，$n$ は $15$ で割り切れる．逆にこれらが十分条件であるから，以上より，求める $n$ の最小値は $9$ と $15$ の最小公倍数の $\mathbf{45}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc153/editorial/4452
　以下の条件をみたす，最小の $3$ 以上の整数 $n$ を求めてください：

- 正 $n$ 角形の相異なる $3$ 頂点からなる三角形であって，$3$ つの内角が $40^\circ,60^\circ,80^\circ$ であるものと，$3$ つの内角が $24^\circ,48^\circ,108^\circ$ であるものがそれぞれ存在する．