　三角形 $ABC$ の $A$ に対する傍心を $I_A$ とする. 
$$AI:DI=AB:DB=AI_{A}:DI_{A}$$
であり, 線分 $II_A$ は $\Gamma$ の直径を成すので, $\Gamma$ は 線分 $AD$ に対するアポロニウスの円である. よって
$$\angle DEI = \angle IEA = \angle II_AE$$
であるから三角形 $DEI$ と三角形 $EI_AI$ は相似である. よって $\angle IDE = \angle IEI_A = 90^\circ$ を得る. 従って, 三平方の定理より
$$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = 2\sqrt{13}$$
を得る. また, 先の相似と方ベキの定理より
$$BD = \frac{ID\times I_AD}{CD} = \frac{DE^2}{CD} = \frac{16}{5}$$
である. $\Gamma$ は線分 $AD$ に対するアポロニウスの円であるから, 
$$AB = DB\times\frac{AE}{DE} = \frac{8\sqrt{13}}{5}$$
を得る. 特に解答すべきは $\bf{520}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/4048
　$A$ を含まない弧 $BC$ の中点を $M$ とする．円 $BIC$ による反転を考えると，円 $ABC$ は直線 $BC$ に移り，直線 $AI$ は不変であるから，$A$ は $D$ に移る．よって，$\angle ADE=90^\circ$ が分かる．三平方の定理により，$ME=\dfrac{4\sqrt{13}}{3}$ となり，$\triangle ABM\sim\triangle ADC$ なので，
$$AB=\dfrac{AD\times BM}{CD}=\dfrac{AD\times ME}{CD}=\dfrac{8\sqrt{13}}{5}$$
反転
https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/4048/725
　内心を $I$ とする鋭角三角形 $ABC$ において，直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とします．三角形 $IBC$ の外接円を $Γ$ とし，$A$ を通る $Γ$ の接線と $Γ$ の接点を $E$ とします．ここで，$E$ は直線 $AD$ に対して $C$ と同じ側にあるものとします．
$$AD=6,　CD=5,　DE=4$$
が成立したとき，辺 $AB$ の長さは正整数 $a,b,c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$（ただし，$b$ は平方因子を持たず，$a,c$ は互いに素）と表せるので，**積** $abc$ を解答してください．