　$\triangle{ABC}$ の周長を $S$ とすると, 以下が容易に分かるから, $A$ と $BC$ の距離を求めればよい.
$$S_BS_C=\dfrac{S}{2}-AD$$
辺 $AB,AC$ の中点を $M,N$ とし, $F_B,F_C$ の中心をそれぞれ $O_B,O_C$ とする. 直線 $MN$ と直線 $O_BB,O_CC$ の交点をそれぞれ $Q,R$ とし, $B$ から $AO_B$ に下ろした垂線の足を $H$ とする.\
　$4$ 点 $B,O_B,S_B,H$ は $BO_B$ を直径とする円周上にあるから, 簡単な角度計算により $∡{BS_BH}=∡{DS_BT_B}$ となり, $3$ 点 $H,S_B,T_B$ は同一直線上にあると分かる. また $4$ 点 $A,Q,B,H$ は $AB$ を直径とする円周上にあるからこれも簡単な角度計算により $∡{O_BHS_B}=∡{AHQ}$ となり, $3$ 点 $Q,H,S_B$ は同一直線上にあると分かる. 以上から直線 $S_BT_B$ は $D$ の位置に関わらず $Q$ を通る. 同様にして, 直線 $S_CT_C$ は $D$ の位置に関わらず $R$ を通る. \
　いま, $\angle{QPR}=90^\circ$ であるから, $P$ は $QR$ を直径とする円周上を動くと分かり, 問題の条件から $QR=8$ である. よって $S=16$ となるから,  $BC=7$ となる.\
　以上から求める $S_BS_C$ の最大値は $\dfrac{56-8\sqrt{6}}{7}$ と計算でき, 解答すべき値は $56+8+6+7=\textbf{77}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/editorial/2130
　$AB=4,AC=5$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に点 $D$ をとり, 三角形 $ABD$ の角 $BAD$ 内の傍接円を $F_B$, 三角形 $ACD$ の角 $CAD$ 内の傍接円を $F_C$ とします. また, $F_B$ と $BC,AD$ の接点をそれぞれ $S_B,T_B$, 同様に  $F_C$ と $BC,AD$ の接点をそれぞれ $S_C,T_C$ として, $S_BT_B$ と $S_CT_C$ の交点を $P$ とします. \
　いま, $D$ が辺 $BC$ 上を動いたとき, $P$ はある半径 $4$ の円周上を動きました. このとき, 線分 $S_BS_C$ の長さがとりえる最大値を求めてください.  ただし, 求める値は正整数 $a,b,c,d$ (ただし $c$ は平方因子をもたず, $a,b,d$ は互いに素) を用いて $\dfrac{a-b\sqrt{c}}{d}$ と表せるので, $a+b+c+d$ を解答してください.