　$f(x)$ は実数係数多項式なので $f(x)=0$ の解の $1$ つが $p+qi$ であるとき，共役複素数である $p-qi$ も $f(x)=0$ の解の $1$ つである．残りの解を $r$ とすれば，解と係数の関係より 
$$\begin{cases}
-2p-r=a\\\\
p^{2}+q^{2}+2pr=4\\\\
-r(p^{2}+q^{2})=30\\\\
\end{cases}$$ とわかる．これらより以下の式を得る．
$$r(2pr-4)=30$$
ここで第 $1$ 式より $r$ は整数であり，したがって $2pr-4$ も整数だから $(p, r)$ の組み合わせとして考えられるものは以下の通り．
$$(p, r)=(1,5),(17, 1), (13, -1), (1, -3)$$
このうち適切な $q$ の値が存在するのは，$(p, r)=(1, -3)$ のみであり，このとき $a$ の値は $1$ である．したがって，このとき $f(100) = 1010430$ であるから．解答すべき値は $\mathbf{1010430}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb019/editorial/6027
　$a$ を整数とし，$x$ の整数係数 $3$ 次式 $f(x)$ を次のように定めます：
$$f(x)=x^{3}+ax^{2}+4x+30$$
方程式 $f(x)=0$ の解の $1$ つが $p+qi$（ $p,q$ は整数かつ $q\ne 0$ ）と表されるとき，$f(100)$ として考えられる値の総和の絶対値を求めてください．ただし $i$ は虚数単位です．