　$a_1, a_2, \ldots,a_7$ は $1, 2, \ldots, 7$ の並び替えなので，$a_{\sigma(i)} = i$ となる $\\{ 1, 2, \ldots, 7 \\}$ からそれ自身への全単射 $\sigma$ が存在する．このとき
$$ \begin{aligned}
 \\{ a_i + a_{a_i} \mid 1 \le i \le 7 \\} 
&= \\{ a_{\sigma(i)} + a_{a_{\sigma(i)}} \mid 1 \le i \le 7 \\} \\\\
&= \\{ i + a_{i} \mid 1 \le i \le 7 \\}
\end{aligned}$$
であるので，$a_1+a_{a_1},a_2+a_{a_2},a_3+a_{a_3},\ldots,a_7+a_{a_7}$ は $1+a_1,2+a_2,\ldots,7+a_7$ と（多重）集合として一致する．すなわち，$k+a_k$ が奇数となる並び替えがいくつあるかを各 $k$ について数え，総和を取ればよい．

- $k$ が偶数のとき：$a_k$ が奇数であることが必要で，これは $4$ 通り存在する．残りの並び替えは自由なので，並べ替えとして適するものは $4\cdot 6!$ 通り存在する．
- $k$ が奇数のとき： $a_k$ が偶数であることが必要で，これは $3$ 通り存在する．残りの並び替えは自由なので，並べ替えとして適するものは $3\cdot 6!$ 通り存在する．

　以上により，奇数度の合計は $3\cdot 4\cdot 6! + 4\cdot 3\cdot 6! = \mathbf{17280}$ となる．　
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce007/editorial/10424
　$1, 2, \ldots,7$ の並び替え $a_1, a_2, \ldots,a_7$ に対して，その**奇数度** を 
$$a_1+a_{a_1}, ~~ a_2+a_{a_2}, ~~ \ldots, ~~ a_7+a_{a_7}$$ 
の中に含まれる奇数の個数として定めます．このとき，$7!$ 通りの並び替えすべてについての奇数度の総和を求めてください．