　六角形の頂点を $ABCDEF$ とおき，一般性を失わず $AF=1$ とする．各辺を延長して正三角形を作ることで
$$1+AB+BC=BC+CD+DE=DE+EF+1$$
ここで $AB+BC=DE+EF=k$ とおくと，以下より $CD$ は偶数である．
$$CD=(2+3+4+5+6)-2k=2(10-k)$$
これより，$(AB,BC,CD,DE,EF)$ の組を列挙すれば (対称なものは除外)
$$(4,5,2,3,6),\quad (5,3,4,2,6)$$
それぞれの面積は以下で与えられるから，その総和の平方は $\textbf{3267}$ である．
$$\dfrac{\sqrt{3}}{4}(10^2-1^2-3^2-5^2),\quad \dfrac{\sqrt{3}}{4}(9^2-1^2-2^2-3^2)$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc171/editorial/2136
　すべての角の大きさが $120$ 度であり，$6$ 辺の長さがそれぞれ $1,2,3,4,5,6$ であるような六角形について，その面積としてあり得る値の**総和の二乗**を求めてください．