　求める値を $S$ とおく．$f(n)$ は，正の整数 $i$ であって $\dfrac{n}{2^i}$ を $2$ 進法表記したときに小数第 $1$ 位が $1$ となるようなものの個数，すなわち $n$ を $2$ 進法表記したときに現れる $1$ の個数である．したがって $f(n)=f(2n)$ より $f(m)+f(2m)=f(m+2m)$ となるが，$2$ 進法表記の加算で繰り上がりが生じた場合 $1$ の個数は減るので，$2$ 進法表記で $m+2m$ は繰り上がりが生じない，すなわち $m$ の $2$ 進法表記で $1$ が連続しないことがわかる．逆に $m$ の $2$ 進法表記で $1$ が連続しないとき，確かに $f(3m)=2f(m)$ となる．以上から，$1000$ 未満の正の整数で $1$ が連続しない整数を良い整数と呼ぶとき，全ての良い整数についての $1$ の個数の総和が $S$ である．ここで $1001$ 以上 $2^{10}$ 未満の整数はいずれも良い整数ではないので，$2$ 進法で $10$ 桁以下の良い整数を考えればよい．\
　$2$ 進法で最高位が $0$ でない $n$ 桁の正整数のうち，良い整数であるものの個数を $A_n$ とする．$A_1=A_2=1$ であり，良い整数の最も下の桁が $0$ か $1$ かで場合分けすると任意の正の整数 $n$ について $A_{n+2}=A_{n+1}+A_n$ を得る．すなわち $\\{ A_n \\}$ はフィボナッチ数列と一致する．\
　ここからは $9$ 桁以下の良い整数はその頭に $0$ を追加することで $10$ 桁とみなして考える．良い整数のうち上から $k$ 桁目が $1$ であるものの個数を $P_k$ $(1\leq k\leq 10)$ とすれば，上から $1$ 桁目から $k$ 桁目までの $k$ 桁の逆順，および上から $k$ 桁目から $10$ 桁目までの $11-k$ 桁がともに良い整数となることから，$P_k=A_kA_{11-k}$ となる．したがって 
$$S=\displaystyle\sum_{i=1}^{10}P_i =\displaystyle\sum_{i=1}^{10}A_iA_{11-i}$$ 
であり，これを計算すれば
$$S = 2\cdot (1 \cdot 55 + 1 \cdot 34 + 2 \cdot 21 + 3 \cdot 13 + 5 \cdot 8) = \mathbf{420}$$
を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce005/editorial/10902
　正の実数 $x$ に対して $\lceil x \rfloor$ を「 $x$ の小数点以下第一位を四捨五入して得られる整数値」と定義します．例えば 
$$\lceil 2 \rfloor=2, \quad \lceil 4.2 \rfloor=4, \quad \lceil 5.5 \rfloor=6$$ 
となります．正の整数 $n$ に対して整数 $f(n)$ を
$$f(n)=\sum_{i=1}^{\infty} \left( \left\lceil \dfrac n{2^i} \right\rfloor-\left\lfloor \dfrac n{2^i} \right\rfloor \right)$$
で定めるとき，$f(3m)=2f(m)$ を満たす $1000$ 未満の正の整数 $m$ すべてについて $f(m)$ を足し合わせた値を解答してください．