　$F,G\colon S\to S$ を以下のように定める．
$$F(x) = \begin{cases}
f(x) & (xは奇数)\\\\
g(x) & (xは偶数)
\end{cases},\quad 
G(x) = \begin{cases}
g(x) & (xは奇数)\\\\
f(x) & (xは偶数)
\end{cases}$$
　また，任意の $S$ の元 $x$ について $xy$ 平面上の点 $P_x$ を $P_x = \big(F(x), G(x)\big)$ で定める．さらに，平面上の $2$ 点 $P,Q$ のマンハッタン距離（$x$ 座標の差の絶対値と $y$ 座標の差の絶対値の和）を $d(P,Q)$ とする．\
　このとき，問題の二つ目の条件は，
- 任意の $S$ の元 $x,y$ について，$x$ と $y$ の偶奇が異なり $x\gt y$ ならば $d(P_x,P_y) = a_x - a_y$ である．

と言い換えられる．今，$x$ を $0$ 以上 $4$ 以下の整数とすると，三角不等式より
$$d(P_{x+1},P_{x}) + d(P_{x+2},P_{x+1}) + d(P_{x+3}, P_{x+2}) \ge d(P_{x+3},P_{x})$$
であるが，$a_0, a_1, \ldots, a_7$ は広義単調増加であるから，左辺と右辺はともに $a_{x+3} - a_x$ に等しいので，等号が成立する．従って，三角不等式の等号成立条件より，$F(x), F(x+1), F(x+2), F(x+3)$ は広義単調減少または広義単調増加であり，$G$ についても同様である．よって，$F,G$ は広義単調減少または広義単調増加である．\
　逆に，$F, G$ がとも広義単調減少または広義単調増加であるとき，条件をみたすような $a_0,a_1,\ldots, a_7$ が存在する．また，$(f,g)$ の組と $(F,G)$ の組は一対一対応するので，ともに広義単調増加または広義単調減少であるような $(F,G)$ の組の数を求めれば良い．\
　広義単調増加な $F\colon S\to S$ の数は，$(0,0)$ から $(8,7)$ まで隣り合う格子点を通って最短距離で行く方法の数と等しく，${}\_{15}\mathrm{C}\_{7}$ 通りある．広義単調減少な $F\colon S\to S$ の数もこれに等しいので，定値関数の存在に気をつけて，求める答えは $(2\times{}\_{15}\mathrm{C}\_{7} - 8)^2 = \bf165431044$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/8081
　$S = \\{0,1,\ldots,7\\}$ とします．$S$ の各元に対して定義され $S$ 上に値をとる関数の組 $(f,g)$ であって，以下の条件が成り立つものはいくつありますか？
- ある広義単調増加な整数列 $a_0, a_1, \ldots, a_7$ が存在して，任意の $S$ の元 $x,y$ について，$x$ と $y$ の偶奇が異なるならば以下が成り立つ：
$$|f(x) - g(y)| + |g(x) - f(y)| = |a_x - a_y|$$