　$n$ が素べき $p^k$ のとき,
$$d_1 = p , \quad d_2 = p^k , \quad d_3 = p^2 , \quad d_4 = p^{k - 1}, \ldots$$
とすることで，LTEの補題により題意をみたすことがわかる．よって，この場合の条件を満たす $n$ の総和は
$$
3^2 + \cdots + 3^5 + 5^ 2 + 5^3 + 7^2 + 11^ 2 + 13^2 + 17^2 = 1138.
$$
　以下，$n$ が素べきでない場合を考える．$n$ の最小の素因数を $p$ とする．
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 **補題1.**　$n$ が $p$ 以外の素数で割り切れる回数は，合計で高々 $1$ 回である．\
**証明.**　$i = 2,3,\ldots,m$ それぞれについて，
$$
(d_{i-1} + 1)^{d_{i}} \equiv 1 \pmod p
$$
が成り立つ．ここで，$p$ の最小性から $\gcd(d_i, p - 1) = 1$ であるから，$d_{i-1} + 1$ の $\textrm{mod}~p$ での位数は $1$ である．よって，$d_1,...,d_{m - 1}$ はすべて $p$ で割りきれ，これは補題の成立を意味する．
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**補題2.**　$n$ の $p$ でない唯一の素因数 $q$ について，$q\equiv 1\pmod{p}$ である．\
**証明.**　$d_i$ が $p$ のべきであるような $i$ について，$d_{i + 1} = p^sq^t$ とすれば，
$$
(d_i + 1)^{p^s} \equiv (d_i + 1)^{d_{i+1}} \equiv  1 \pmod q
$$
により $s\gt 0$ であり，$\gcd(p^s,q-1)\gt1$ により $p\mid q-1$ を得る．
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　補題2の証明により，$a = \min(v_p(n), v_p(q-1))$ について，$i=1,\ldots,m-1$ それぞれで $(d_i + 1)^{p^a} - 1$ は $q$ で割り切れる．$p$ が奇素数であることから，$300 \ge n \ge p^a(2p^a + 1)$により $p^a \leq 11$ である．

- $p^a = 3$ の場合：$q$ は $(3 + 1)^3 - 1 = 3^2 \times 7$ を割り切る必要があるため $q = 7$ が必要. $v_3(n) \ge 2$ ならば $q$ は $$(9 + 1)^3 - 1 = 3^3\times 37$$ を割り切る必要があるがこれは不適であるから, あり得るものは $n = 21$ のみ. \
　このとき逆に, $d_1 = 3, d_2 = 21, d_3 = 7$ とすることで条件を満たす. 

- $p^a = 5$ の場合：$q$ は $(5 + 1)^5 - 1 = 5^2 \times 311$ を割り切る必要があるため不適. 

- $p^a = 7$ の場合：$q$ は $(7 + 1)^7 - 1 = 7^2 \times 127 \times 337$ を割り切る必要があり不適. 

- $p^a = 9$ の場合：$9\mid q-1$ かつ $9q\le300$ なる数 $q$ は $19$ のみであるが, これは $(9 + 1)^9 - 1$ を割り切らず不適. 

- $p^a = 11$ の場合：$11\mid q-1$ かつ $11q\le300$ を満たす素数 $q$ は $23$ のみであり, 大小関係より $n=253$ のみがあり得る．\
　このとき逆に, $d_1 = 11, d_2 = 253, d_3 = 23$ とすることで条件を満たす. 

　以上より, 求める総和は $1138 + 21 + 253 = \bf{1412}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc146/editorial/2405
　以下の条件をみたす，$1$ 以上 $300$ 以下の**奇数の合成数** $n$ の総和を求めてください：

- $n$ の $1$ でない正の約数すべてを適切に並び替えて $d_1,d_2,\ldots,d_m$ とすることで，以下が成立する：
$$
(d_1 + 1)^{d_2} \equiv (d_2 + 1)^{d_3} \equiv \cdots \equiv (d_{m-1} + 1)^{d_{m}} \equiv 1 \pmod n
$$