　両辺の偶奇を考えることで $p = 2$ が分かる．これを与式に代入して計算することで $qr = 2021$ が分かり，$\lbrace q, r\rbrace = \lbrace 43, 47\rbrace$ を得る．従って $p+q+r$ としてありうる値は $2 + 43 + 47 = 92$ のみであるから，解答すべきは $\bf{92}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/4160
　公式解説の方が速いと思いますが，Fermat の小定理を使いたくなった場合の解法です．

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$$p^{6p}+q^p+r^p=(q+r)^p+54$$
に Fermat の小定理を適用すると，次の式を得る．
$$p^{6p}+q+r \equiv q+r+54 \pmod p$$
　よって $54 \equiv 0 \pmod p$ であり，$p=2 \ \mathrm{or}\  3$ を得る．\
　$p=3$ を代入すると $3^{18}=3qr(q+r)+54$ となる．数値の大きさで心が折れそうになるが，よく考えれば $qr(q+r)=3^2(3^{15}-2)$ と変形できるので，$p=3$ はあり得ないことがわかる（$q=r=3$ の場合に等式を満たさないことを確かめればよい）．
Fermat の小定理
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/4160/495
　$3$ つの素数 $p, q, r$ が以下を満たします．$p+q+r$ の値としてありうるものの総和を求めてください．
$$p^{6p}+q^{p}+r^{p}=(q+r)^{p}+54$$