　$AEGF$ が長方形となるような点 $G$ をとると, 求める面積の差 $S$ は四角形 $BCDG$ の面積に等しいことが容易にわかる. さらに, $B$ について $E$ と対称な点 $P$ および $D$ について $F$ と対称な点 $Q$ をとると, $F,E,P,Q$ は $C$ を中心とする半径 $5$ の円周上にあり, 六角形 $EPRQFG$ の面積は $4S$ に等しいことがわかる. ただし $R$ は $APRQ$ が長方形となるような点である. ここで方べきの定理より
　　$$AE\times AP=AC^2-5^2=AF\times AQ$$
すなわち $AE\times AF\times AP\times AQ=11^2$ であり, 一方で $AE\times AF=2\triangle AEF=3$ であるから
　　$$4S=AP\times AQ-AE\times AF=\dfrac{11^2}{3}-3=\dfrac{112}{3}$$
よって $S=\dfrac{28}{3}$ であり, 求める値は $\textbf{31}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc011/editorial/75
　対角線の長さが $6$ である長方形 $ABCD$ があります. 辺 $AB$ 上に $CE=5$ なる点 $E$ を, 辺 $AD$ 上に $CF=5$ なる点 $F$ を取ったところ, 三角形 $AEF$ の面積は $\displaystyle\frac{3}{2}$ となりました.\
　$EF$ の中点を $M$ としたとき, 四角形 $ABMD\\,(=\triangle ABM+\triangle ADM)$ と四角形 $BCDM$ の面積の差は, 最大公約数が $1$ であるような正整数 $m, n$ を用いて, $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます. $m+n$を解答してください.