　条件を満たすようにするとき，$i$ 行目に $2$ 個以上の駒を $a_{i, j_1}, a_{i, j_2}, ..., a_{i, j_n}\ (n \geq 2)$ に置くと，$j_1, j_2, ..., j_n$ 列目にはこれ以上の駒を置くことができない．
このことから各行に置く駒の個数 $5$ つの中で， $2$ 以上であるものの総和は $5$ 以下でなければならない．各行に置く駒の個数のうち $2$ 以上であるものの内訳は以下 $7$ 通りである．
$$\\{5\\}，\\{4\\}，\\{3\\}，\\{2\\}，\\{3, 2\\}，\\{2, 2\\}，\\{\\}$$

ただし最後の $\\{\\}$ は駒を $2$ 個以上置く行がないケースを表す．各ケースに対し，
- 駒を $2$ 個以上置く行の決め方は何通りか
- $2$ 個以上置く行に駒を並べる方法は何通りか
- $1$ 個以下置く行それぞれに対し，駒をどのマスにおくか，もしくは置かないかを決める方法は何通りか

を順に計算し，それらを乗ずればよい．（$\\{\\}$ のケースに限っては $3$ 番目のみ計算すればよい．）\
　$7$ ケースに対しそれぞれ計算すると以下の通りになる．
$$
\begin{aligned}
\\{5\\} &\rightarrow 5 \times {}\_{5}\mathrm{C}\_{5} \times 1^4 = 5 \\\\
\\{4\\} &\rightarrow 5 \times {}\_{5}\mathrm{C}\_{4} \times 2^4 = 400 \\\\
\\{3\\} &\rightarrow 5 \times {}\_{5}\mathrm{C}\_{3} \times 3^4 = 4050 \\\\
\\{2\\} &\rightarrow 5 \times {}\_{5}\mathrm{C}\_{2} \times 4^4 = 12800 \\\\
\\{3, 2\\} &\rightarrow {}\_{5}\mathrm{P}\_{2} \times {}\_{5}\mathrm{C}\_{2} \times 1^3 = 200 \\\\
\\{2, 2\\} &\rightarrow {}\_{5}\mathrm{C}\_{2} \times \frac{5!}{2!2!} \times 2^3 = 2400 \\\\
\\{\\} &\rightarrow 6^5 = 7776 \\\\
\end{aligned}
$$

ゆえに，条件を満たす駒の置き方の総数は
$$5 + 400 + 4050 + 12800 + 200 + 2400 + 7776 = \mathbf{27631}$$

である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc165/editorial/6394
　$5$ 行 $5$ 列に並んだ $25$ 個のマス目からなる盤面があり，盤面の $i$ 行 $j$ 列目にあたるマスを $a_{i, j}$ で表します．この盤面のマスに $0$ 個以上の駒を置くことを考えます．ただしそれぞれのマスには $1$ 個まで駒を置くことができます．駒を置く方法であって，以下の条件をみたす駒の置き方は何通りありますか．
- 任意の $1 \leq i_1 \lt  i_2 \leq 5$，$1 \leq j_1 \lt  j_2 \leq 5$ なる整数の組 $(i_1, i_2, j_1, j_2)$ に対し，$4$ つのマス $a_{i_1, j_1}, a_{i_1, j_2}, a_{i_2, j_1}, a_{i_2, j_2}$ のうち高々 $2$ 箇所にしか駒が置かれていない．

<details><summary>条件を満たす例と満たさない例<\/summary>
　例えば，図の左のように駒を置いた場合は条件を満たしますが，図の右のように駒を置くと，灰色で示された $4$ つのマスのうち $3$ 箇所に駒が置いてあり，条件を満たしません．
![figure 1](\/images\/tYMsYtOEPqG8Pum4mkAHSibOWsq60mTjN9Gc8BcT)
<\/details>