　$OM$ と $BC$ は垂直であるから，
$$OM^2=OB^2-BM^2=13^2-12^2=25$$
したがって， $OMC$ の面積は $5\times12\div2=\textbf{30}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/3221
　外心を $O$ とする三角形 $ABC$ において，
$$OB=13,\quad BC=24$$
が成立しました．$BC$ の中点を $M$ とするとき，三角形 $OMC$ の面積を求めてください．