　三角形 $ABC$ の面積について，
$$\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \sin\angle POQ=10$$
なので，$\sin\angle POQ=\dfrac{2}{3},\cos\angle POQ=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ を得る．余弦定理より，
$$PQ^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot\Big(\pm \dfrac{\sqrt{5}}{3}\Big)=61\pm20\sqrt{5}$$
であるので，$PQ^2$ としてありうる値の総積は次の通り．
$$\Big(61+20\sqrt{5}\Big)\Big(61-20\sqrt{5}\Big)=\mathbf{1721}$$
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**別解．**\
　座標平面上で $P(a , b)$ , $Q(c , d)$ とおくと，
$$a^2+b^2=25, \quad c^2+d^2=36, \quad \dfrac{1}{2}|ad-bc|=10$$
が成り立つ．ここで恒等式 
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$$ 
に上の条件式を代入することで，
$$ac+bd=\pm 10\sqrt{5}$$ 
を得る．すると，
 $$
PQ^2=(a-c)^2+(b-d)^2=61\mp2\sqrt{500}
 $$
となり，$\mp$ の両方に対応する図が存在するので，解答すべき値は
$$(61-2\sqrt{500})(61+2\sqrt{500})=\mathbf{1721}$$ 
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb018/editorial/10604
　原点 $O$ を中心とする半径 $5$ の円上に点 $P$，原点 $O$ を中心とする半径 $6$ の円上に点 $Q$ を取ると，三角形 $OPQ$ の面積が $10$ となりました．$PQ^2$ としてありうる値の**総積**を求めてください．