【動画解説】https:\/\/youtu.be\/ZvkyARzvzho

 　ある $3$ 頂点が同じ色で塗られているとき，必ずそのうち $2$ 点を結ぶ対角線が存在するから，$n\leq 20$ が必要である．逆に，同じ色を $2$ か所隣接させることでこの範囲であれば条件を満たすから，求める総和は $10+11+\cdots+20=\bf{165}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/editorial/3226
　以下の条件をともにみたすように正 $n$ 角形の頂点を塗り分けます：

- 黒，灰，茶，緑，水，青，黄，橙，赤，紫の $10$ 色のみを用い，すべての色を一回以上用いる．
- すべての対角線について，その $2$ つの端点に塗られた色は異なる． 

このようなことが可能なような，$10$ 以上の正整数 $n$ の総和を求めてください．