　曲がる回数が偶数回であるのは最初と最後の操作が一致する場合である．求める場合の数は $(1,0)$ から $(7,6)$ まで移動する方法の総数と $(0,1)$ から $(8,5)$ まで移動する方法の総数の和であるから
$${}\_{12}\mathrm{C}\_{6}+{}\_{12}\mathrm{C}\_{4}=\textbf{1419}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/editorial/3493
　座標平面上の点 $P$ が，はじめ原点 $O(0,0)$ にあります．いま，$P$ に対して以下の操作 $X$ および操作 $Y$ を計 $14$ 回行うことで，点 $A(8,6)$ まで移動させることを考えます．

- 操作 $X$：点 $P$ を $x$ 方向に $1$ だけ移動させる
- 操作 $Y$：点 $P$ を $y$ 方向に $1$ だけ移動させる

　「操作 $X$ をした直後に操作 $Y$ を行うこと」または「操作 $Y$ をした直後に操作 $X$ を行うこと」を**曲がる**と表現するとき，曲がる回数が偶数回であるような操作方法が何通りあるかを求めてください．