　下図のように座標を設定し, $ABC$ およびそれと合同な三角形たちを埋め込む.
![figure 1](\/images\/DfmQG4YXHay9B3FLGnT9Sm9AVysPsLjQ3Gt1Z1Tk)
　このとき, $A^\prime B^\prime C^\prime$ の内心を $I^{\prime}$ とすれば, 求める最小値は線分 $II^\prime$ の長さに等しいことがわかる. なお厳密にはこれが線分 $BC^\prime$ および $A^\prime C^\prime$ と交わることを示す必要があるが, これは読者への演習とする.\
　点 $I$ は $\angle B$ の二等分線 $y=-\sqrt{3}x+1$ および $\angle C$ の二等分線 $y=x$ の交点であるから, その座標は
　　$$I:\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2},\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)$$
である. 同様に $I^\prime$ の座標は $(2,1)$ である. よって
　　$$I^{\prime}I^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-1\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}-2\right)^2=10-4\sqrt{3}$$
であるから, 求める値は $10+4^2\times 3=\textbf{58}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc011/editorial/73
　$AB=2,BC=1,CA=\sqrt{3}$ である三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします. 点 $P$ が辺 $AB$ 上を, 点 $Q$ が辺 $BC$ 上を, 点 $R$ が辺 $CA$ 上をそれぞれ動くとき, $IP+PQ+QR+RI$ のとり得る最小値は正の整数 $a, b, c$ を用いて $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ と表されます. $a+b^{2} c$ を求めてください.