　$S=x_1+x_2+\cdots+x_{10}$ とすると，条件より $i=1,2,\cdots,10$ に対して $S$ と $S-2x_i$ はともに整数であるから，$2x_i$ は整数であり，ある $y_i \in \\{ 0, 1, 2, 3, 4 \\}$ によって $x_i=\dfrac{y_i}{2}$ とおける．このとき $S$ が整数であれば
$$\pm x_1 \pm x_2 \pm x_3 \pm \cdots \pm x_{10}$$
という形で表される実数はすべて整数となるので，条件は $y_i$ が奇数となるような $i$ が偶数個存在することである．\
　一般に $n$ を正整数として，任意の $1\leq i\leq n$ に対して $y_i \in \\{0,1,2,3,4\\}$ を満たし，$y_i \in \\{1, 3\\}$ なる $i$ が偶数個存在するような $(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ の個数を $a_n$ 個とすると，漸化式
$$a_{n+1}=3 a_n+2 \cdot (5^n-a_n)=a_n+2 \cdot 5^n$$ 
を得る．これと $a_1 = 3$ から $a_n=\dfrac{5^n+1}{2}$ が得られ，特に解答すべき値は $a_{10}=\dfrac{5^{10}+1}{2}=\mathbf{4882813}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12084
　公式解説にあるように，$1\leq i\leq 10$ なる整数 $i$ に対し，$y_i\in\\{0,1,2,3,4\\}$ となる組 $(y_1,y_2,\ldots,y_{10})$ であって $y_i\in\\{1,3\\}$ となる $i$ が偶数個存在するようなものの個数を求めればよい．特に，$y_i\in\\{1,3\\}$ となる $i$ が $k$ 個存在するような組 $(y_1,y_2,\ldots,y_{10})$ の個数は ${}_{10}\mathrm{C}\_k2^k3^{10-k}$ 個であるので，求める個数は，二項定理より，

$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^5{}_{10}\mathrm{C}\_{2k}2^{2k}3^{10-2k}&=\frac{(2+3)^{10}+(2-3)^{10}}{2}=\frac{5^{10}+1}{2}
\end{aligned}$$
漸化式を立てずに数え上げ
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12084/686
　いわゆる simasima special (参考： https:\/\/mathlog.info\/articles\/nNX6dXUeyb35vYurGP5l ) の簡単な適用例として最後の数え上げを行う．
　
　本解のように $x_i = \frac{y_i}{2}$ とおく．
　$y_i\in \\{ 0,1,2,3,4 \\}$ であり，$y_1 + \dots + y_{10}$ が偶数であるような組 $(y_1,\dots, y_{10})$ の個数を求めればよい．

　集合 $A, B$ を $A = \\{ 0,1,2,3 \\}$, $B = \\{ 4\\}$ とおく．$y_i \in A$ であるかどうかで列 $Y = (y_1,\dots, y_{10})$ を $(A,B,\dots)$ のように変換した列を $T$ とおく．

　$T = (B,\dots, B)$ であるとき，すべての $i$ で $y_i = 4$ であり，明らかに条件を満たす．
　$T$ が $A$ を $a \geq 1$ 個含む列であるとする（このような $T$ は ${}\_{10}\mathrm{C}\_{a}$ 個ある）．その $A$ を一つ選び，それが $k$ 番目であるとする．このとき，$i\neq k$ を満たす $y_i$ をどのように選んでも ($4^{a-1}$通り)，ちょうど2つの $y_k \in A$ が存在して $y_k + \sum_{i\neq k} y_i \equiv 0\pmod{2}$ にできるので，$2\cdot 4^{a-1}$ 通り条件を満たす組が見つかる．
　これらと二項定理より
$$
\begin{aligned}
a_{10} &= 1 + \sum_{a=1}^{10} 2\cdot 4^{a-1}{}\_{10}\mathrm{C}\_{a} = 1 + \frac{1}{2}\\{ (4+1)^{10} - 1\\} \\\\
&= \frac{5^{10} + 1}{2}
\end{aligned}
$$
を得る．
漸化式を立てずに数え上げ　その2
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12084/714
　$0$ 以上 $2$ 以下の実数の組 $(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{10})$ であって，
$$\pm x_1 \pm x_2 \pm x_3 \pm \cdots \pm x_{10}$$
という形で表される $2^{10}$ 個の実数がすべて整数となるようなものの個数を解答してください．