　$x^2 + y^2 = 2079^2$ の整数解は $(x,y) = (0, \pm2079),(\pm2079,0)$ のみであることに留意する．これは $2079=3^3\cdot7\cdot11$ の素因数が全て $4$ で割って $3$ 余る素数であることから従う．\
　$0 \le i, j \lt 2079$ に対して，$0 \le x \le m, 0 \le y \le n$ を満たす領域の中で $x \equiv i, y \equiv j \pmod{2079}$ をともに満たす格子点の集合を $S_{i, j}$ と呼ぶ．ある操作で $S_{i, j}$ 内の点が選ばれたとき，その操作で黒に塗られる格子点は全て $S_{i, j}$ 内の点であることに注意すると，このゲームは $2079^2$ 個の独立したゲームを組み合わせたものであると考えられる.
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**補題.**　$S_{i_1, j_1}$ と $S_{i_2, j_2}$ が平行移動で一致するとき，$0 \le x \le m, 0 \le y \le n$ を満たす領域の中で $S_{i_1, j_1}, S_{i_2, j_2}$ に含まれる点を全て黒に塗った状態で始めたゲーム（以下**縮小ゲーム**と呼ぶ）と本来のゲームとの勝者は同じである．

**証明.**　縮小ゲームで必勝法を持つ方は，本来のゲームにおいて，対戦相手が $S_{i_1, j_1}, S_{i_2, j_2}$ のどちらかに含まれる点を選択したのであればそれと平行移動で対応している点を選択し，それ以外の場合では縮小ゲームにおける必勝法と同じ手を指すことで勝利することができる．よって示された．

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　$S_{i, j}$ は，$x$ 方向に $\displaystyle\left\lfloor\frac{m+1}{2079}\right\rfloor$ 個または $\displaystyle\left\lfloor\frac{m+1}{2079}\right\rfloor + 1$ 個の格子点，$y$ 方向に $\displaystyle\left\lfloor\frac{n+1}{2079}\right\rfloor$ 個または $\displaystyle\left\lfloor\frac{n+1}{2079}\right\rfloor + 1$ 個の格子点が並んだ長方形状の形をしている．$p$ を $q$ で割ったあまりを $p\\% q$ と書くことにすると，$x$ 方向に $\displaystyle\left\lfloor\frac{m+1}{2079}\right\rfloor$ 個の格子点が並ぶ $S_{i, j}$ は $2079 - (m+1)\\%2079$ 個，$x$ 方向に $\displaystyle\left\lfloor\frac{m+1}{2079}\right\rfloor + 1$ 個の格子点が並ぶ $S_{i, j}$ は $(m+1)\\%2079$ 個あり，$y$ 方向に関しても同様である．\
　従って，補題と同様の議論を繰り返し行うことで，問題文中の $m, n, 2079$ をそれぞれ
$$s=\left\lfloor\frac{m+1}{2079}\right\rfloor+((m+1)\\%2079)\\%2)-1, \quad t=\left\lfloor\frac{n+1}{2079}\right\rfloor+((n+1)\\%2079)\\%2)-1, \quad 1$$
に変えたゲームに帰着される．ここで，$-1\leq s,t\leq2$ に留意する．

- $s, t$ のうち少なくとも一方が $-1$ の場合，明らかに $B$ さんが勝つ．
- $s, t$ がともに偶数である場合$\newline$
　はじめに $A$ さんは $(s\/2, t\/2)$ を選択し，操作をする．\
　それ以降では，$B$ さんが直前に $(x, y)$ を選んだとき，$(s - x, t - y)$ を必ず選択できる．したがって，$A$ さんが勝つ.
- $s, t$ がともに $1$ である場合，明らかに $B$ さんが勝つ．
- $\lbrace s,t\rbrace = \lbrace 0,1\rbrace$ である場合，明らかに $A$ さんが勝つ．
- $\lbrace s,t\rbrace = \lbrace 1,2\rbrace$ である場合$\newline$
　対称性より $s = 2$ としてよい．$A$ さんがはじめの手番で $(1, 0)$ を選択することで，$A$ さんが勝てることがわかる．

　以上を整理すれば，$s,t$ がともに $0$ 以上であり，$(s,t)\neq(1,1)$ となるような $(m,n)$ の数を求めれば良い．ここで，各 $0\le i\le1$ と各 $-1\le j\le 2$ に対し，$(m\\%2,s) =(i,j)$ となる $m$ の数は以下の表の通りである．

$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
&-1&0&1&2\\\\ \hline\hline
0&0&2079&0&422\\\\ \hline
1&1039&0&1461&0\\\\ \hline
\end{array}$$
$n$ についても同様であるから，求める場合の数は $$(5001-0-1039)^2-(0+1461)^2=\textbf{13562923}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/editorial/2710
　$m,n$ を $0$ 以上 $5000$ 以下の整数とします．$xy$ 平面上で $0 \le x \le m$ かつ $0 \le y \le n$ をみたす領域内の格子点が白に塗られており，それ以外の格子点が黒に塗られています．\
　$A$ さんと $B$ さんが，$A$ さんを先手，$B$ さんを後手として次のようなゲームを行います．$2$ 人は交互に手番を行い，それぞれの手番では以下の一連の操作を行います：

- まず，白で塗られた格子点を一つ選ぶ．
- 選んだ格子点からちょうど $2079$ の距離にある格子点のうち白で塗られたものすべて，および選んだ格子点そのものを，黒で塗る.

　白で塗られた最後の格子点を黒で塗った方が勝ちとなります．このとき，$B$ さんの操作によらず $A$ さんが勝つことができるような組 $(m,n)$ はいくつありますか？\
　ただし，**格子点** とは，$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数値である点をさします．