　$n$ を素因数分解して $n={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_m}^{\alpha_m}$ とすれば, 与式は
$$\dfrac{n}{{(T(n^2)})^2}=\dfrac{{p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}\cdots{p_m}^{\alpha_m}}
{\left\\{
(2{\alpha_1}+1)(2{\alpha_2}+1)\cdots(2{\alpha_m}+1)
\right\\}^2
}$$
ここで ${f_p}(x)=\dfrac{p^x}{({2x+1})^2}$ とすれば, これは $\displaystyle\prod_{i=1}^{m}f_{p_i}(\alpha_i)$ であるから, $f_p(x)$ の最小値について考えると,

- $p=2$ のとき $x=2$ が最小.
- $p=3,5,7$ のとき $x=1$ が最小.
- $p\geq 11$ のとき $x=0$ が最小.

以上より, 求める最小値は $f_2(2)f_3(1)f_5(1)f_7(1)=\dfrac{28}{1215}$ であるから, 解答すべき値は $1215+28=\textbf{1243}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/editorial/2201
　正整数 $n$ に対し, $T(n)$ で $n$ のもつ正の約数の個数を表します. このとき,
$$\dfrac{n}{(T(n^2))^2}$$
のとりえる最小値は, 互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.