　三角形 $ABC$ の $\angle A$ 内の傍心を $J$ とすれば, $\angle IBJ=90^{\circ}=\angle ICJ$ より $4$ 点 $I,B,J,C$ は共円である. このとき, 方べきの定理より以下が成り立つ.
　　$$ID\times DJ=BD\times DC=XD\times YD$$
条件より $ID=DX$ であるから $DJ=DY$ が従い, 特に $IJ=XY=11$ である. さらに正弦定理より
　　$$\sin\angle BIC=\dfrac{BC}{IJ}=\dfrac{10}{11}$$
であるから, 簡単な角度計算によって $\angle A=2\angle BIC-180^{\circ}$ の成立に留意すれば, 特に $\angle BIC$ は鈍角であり,
　　$$\displaystyle\sin\angle A=-\sin(2\angle BIC)=-2\sin\angle BIC\cos\angle BIC=-2\times \frac{10}{11}\times\left(-\frac{\sqrt{21}}{11}\right)=\frac{20}{121}\sqrt{21}$$
と計算できる. よって, 円 $ABC$ の半径は $\displaystyle\frac{BC}{2\sin\angle A}=\sqrt{\frac{14641}{336}}$ であり, 求める値は $\textbf{14977}$ である.\
　なお $IX=5$ は求値にあたっては過剰であるが, 与条件をすべてみたす配置は実際に存在する.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc021/editorial/133
　内心を $I$ とする三角形 $ABC$ において, 直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすれば, 三角形 $ABC$ の外接円上の点 $X$ が $ID＝DX$ をみたしました. このとき, 直線 $DX$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $X$ でない方を $Y$ とすれば, 以下が成り立ちました.
$$IX＝5,\ BC＝10,\ XY＝11$$
　このとき, 三角形 $ABC$ の外接円の半径は最大公約数が $1$ である正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b}}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.