　着色を $25$ 個の非負整数の組 $(c_1,c_2,\dots ,c_{25})$ と同一視する．具体的には，色 $k$ のカードの枚数が $c_k$ 枚であることを意味する．これらは $\sum c_k=100$ をみたす．このとき，OMC君の行動によらずあなたが必ず勝てるような着色を**良い**着色とよび，以下の補題を示す.

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**補題.**　ある着色が良いことは，任意の $1\leq s\leq 25$ に対して次の条件をみたすことと同値である．
- $c_1,c_2,\dots ,c_{25}$ のうちどの $s$ 個を選んでも，それらの和は $4s-3$ 以上である．

**証明.**　まず条件を仮定し，任意のOMC君の行動を考える．このとき，$25$ 個の色と $25$ 個の束に対応する計 $50$ 個の頂点をとり（それぞれの頂点集合を $U,V$ とする），ある色がある束に $d$ 枚含まれるならばその間に $d$ 本の（多重）辺を張ることで二部グラフを構成する．このとき，任意の $U$ の部分集合 $A$ に対し，$A$ の頂点に接続する辺は $4|A|-3$ 本以上である．$V$ の頂点はすべて次数が高々 $4$ だから，これらの辺は $V$ の $|A|$ 個以上の頂点に接続している．よって，Hallの結婚定理より $U$ の頂点をすべてカバーするマッチングが存在し，これは着色が良いことを意味する．\
　逆に条件を否定し，引き続き同様のグラフを考える．このとき，ある $U$ の部分集合 $A$ に対し，$A$ の頂点に接続する辺は高々 $4|A|-4$ 本である．よって，OMC君は，これらの辺が $V$ の $|A|-1$ 個以下の頂点に接続するように行動すれば，$U$ の頂点をすべてカバーするマッチングは存在し得ない．（証明終）
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　補題より，ある着色が良いことは，$(c_1,c_2,\dots ,c_{25})$ を昇順に並べ替えた $(c^\prime_1,c^\prime_2,\dots ,c^\prime_{25})$ に対して次が成り立つことと同値である：
- 任意の $1\leq s\leq 25$ に対して，$\displaystyle\sum_{k=1}^{s} c^\prime_k\geq 4s-3$．

　よって，$(c^\prime_1,c^\prime_2,\dots ,c^\prime_{25})$ として考えられるのは，次の $7$ 種類である．ただし $\dots$ は $4$ 以上の整数が続くことを表す．
$$\begin{aligned}
(1,\dots), &&
(2,\dots), &&
(2,3,\dots), &&
(3,\dots), &&
(3,3,\dots), &&
(3,3,3,\dots), &&
(\dots)
\end{aligned}$$
それぞれの場合について何通りあるかを計算して和をとると，
$$65000+7500+1380000+600+82800+4655200+1=\textbf{6191101}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/editorial/3723
　$100$ 枚のカードがあり，それぞれのカードは色 $1,$ 色 $2,$ $\ldots ,$ 色 $25$ の相異なる $25$ 色のうち $1$ 色で着色されています（すべての色が使われているとは限りません）．同じ色で着色されたカードは区別できません．あなたはこの $100$ 枚のカードを使って，OMC君と次のようなゲームをします．

- OMC君は $100$ 枚のカードを $4$ 枚ずつ $25$ 個の束に分ける．
- あなたはそれぞれの束から任意に $1$ 枚ずつ選び，計 $25$ 枚のカードを手に取る．
- その $25$ 枚のカードの色が相異なっているとき，あなたの勝ちであり，そうでないときOMC君の勝ちである．

　OMC君の行動によらず，あなたが必ず勝てるような着色のされ方は何通りありますか？ただし，**ある色が存在してその色で着色されたカードの枚数が異なるとき，またそのときに限り，着色のされ方が異なるとします**．