　直線 $CH$ と $AB$，$BH$ と $AC$ の交点をそれぞれ $F, G$ とする．\
　$\angle BHC = 180^\circ - \angle BAC$ であるから，
$$\angle ADC = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - \angle BHC = \angle BAC$$
である．従って，三角形 $ADC$ は $C$ を頂角とする二等辺三角形であるので，$F$ は線分 $AD$ の中点である．また，同様にして，$G$ は線分 $AE$ の中点である．よって，$FG=DE\/2=5$ であるので，三角形 $AGF$ と $ABC$ の相似から $AB:AG=AC : AF = 13:5$ である．従って，
$$AG=AB\times\frac{5}{13} = \dfrac{60}{13},\quad \frac{CG}{CH} = \frac{CF}{AC} = \frac{\sqrt{AC^2-AF^2}}{AC} = \frac{12}{13}$$
である．また，三平方の定理より
$$GC^2=BC^2 + AG^2 -AB^2 = \frac{7825}{169}$$
であるから，求める答えは以下のように計算できる.
$$HC=\dfrac{13}{12}GC=\dfrac{13}{12}×\dfrac{\sqrt{7825}}{13}=\dfrac{\sqrt{7825}}{12}$$
したがって解答すべき値は $\textbf{7837}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/editorial/7067
　鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とします．三角形 $HBC$ の外接円と線分 $AB, AC$ はそれぞれ $D, E$ $(B \neq D, C \neq E)$ で交わりました．さらに，
$$AB=12,\quad BC=13,\quad DE=10$$
が成立しました．このとき，線分 $HC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください.