　有限個の実数からなる集合 $A$ に対し，
- $A$ の奇数個の要素からなる部分集合を選んで要素の総積を取るとき，選び方全てについての積の総和を $S(A)$ とする．
- $A$ の偶数個の要素からなる部分集合（空集合でも良い）を選んで要素の総積を取るとき，選び方全てについての積の総和を $T(A)$ とする．

----
**補題．**$A$ を有限個の実数からなる集合とするとき，次の二式が成立する：
$$S(A) + T(A) = \prod_{a\in A}(a+1),\qquad S(A) - T(A) = (-1)^{|A|+1}\prod_{a\in A}(a-1).$$
**証明．**両式とも，右辺を展開すると，任意の $A$ の部分集合についてその要素の総積の項が一度ずつ現れる．また，$1$ 式目についてはそれらの係数がどれも $1$ であり，$2$ 式目については偶数個の積の項の係数が $-1$，奇数個の積の項の係数が $1$ となっているから示された．
----

　求めるものは $S(\\{100,101,\ldots,999\\})$ であり，これは補題により次のように計算できる：

$$\begin{aligned}
S(\\{100,101,\ldots,999\\})
&= \frac{101\times102\times\cdots\times1000}{2} + \frac{(-1)^{901}\times99\times100\times\cdots\times 998}{2}\\\\
&= \frac{1000!}{2\times100!} - \frac{998!}{2\times98!}\\\\
&= \frac{494550\times998!}{100!}.
\end{aligned}$$

これが $3$ で割り切れる回数は，Legendre の定理により $\mathbf{449}$ と計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc149/editorial/3634
　$3$ 桁の（＝$100$ 以上 $999$ 以下の）正整数のうち，相異なる奇数個を選んでそれらの積をとるとき，選び方すべてについての積の総和は $3$ で最大何回割り切れますか？