　残り $2$ 数が $p\lt q$ であるとすると, 明らかに先に $q$ を取るべきであることに留意せよ.\
　一般に $2000$ を $2n(\geq 4)$ とおき, $2n-2$ を先に取った方が必勝であることを示す. すなわち, $m=2n-2$ のとき $X=A$, そうでないとき $X=B$ とし, $Y$ を $X$ でない方とすれば, $X$ が必勝であることを示す. $X$ は残り $2$ 数までは以下の戦略を取るものとする.

- 残りの数のうち $2n-2$ 以下で最大のものを選ぶ.

(i) $Y$ が $2n-1,2n$ のいずれをも取らないとき, $M_X\gt M_Y$ および $(p,q)=(2n-1,2n)$ に留意すれば
$$pM_X-qM_Y\geq(2n-1)(2n-2)-2n(2n-3)=2\gt0$$
より $X$ の必勝である. 

(ii) $Y$ が $2n-1,2n$ からちょうど一つを取るとき, $M_X\lt M_Y$ および $p\leq n-1,q\geq 2n-1$ に留意すれば
$$qm_X-pm_Y\geq(2n-1)(2n-2)-(n-1)\times2n=2(n-1)^2\gt 0$$
より $X$ の必勝である.

(iii) $Y$ が $2n-1,2n$ の両方を取るとき, $M_X\lt M_Y$ および $p\lt q\lt n$ に留意すれば
$$qM_X-pM_Y\geq q(2n-2)-(q-1)\times2n=2(n-q)\gt0$$
より $X$ の必勝である. 

　以上より, 求める総和は以下のように計算できる.
$$\sum_{m=1}^{2000}f(m)=\sum_{m=1}^{2000}m-2\times1998=\textbf{1997004}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/253
　$A,B$ の二人が以下のルールに基づき, $2000$ 以下の正整数一つずつを取り合うゲームを行います：

- 残り $2$ 数になるまでは, $A$ を先攻として交互に数を一つずつ選んで取る.
- 残り $2$ 数になった時点で, $A,B$ の取った $999$ 数の最大値をそれぞれ $M_A,M_B$ とする.
- $M_A\lt M_B$ ならば $A$ が, $M_A\gt M_B$ ならば $B$ が一方の数を選んで取り, もう一方が最後の一つを取る.
- 最後に $A,B$ が取った数をそれぞれ $a,b$ とする.
- $aM_A\gt bM_B$ ならば $A$ の勝ち, $aM_A\lt bM_B$ ならば $B$ の勝ち, $aM_A=bM_B$ ならば引き分けとする.

　ここで, $2000$ 以下の正整数に対して定義される関数 $f$ を次のように定めます：

- $A$ が最初に $m$ が書かれたカードを取ったのち, 両者が勝ちを目指して最善な行動を取り続けると仮定したとき, 帰結が $B$ の勝ちならば $f(m)=m$, $A$ の勝ちならば $f(m)=-m$, 引き分けならば $f(m)=0$ とする. 

このとき, $m=1,2,\cdots,2000$ について $f(m)$ の総和を求めてください.