　解と係数の関係より $a+b=1$ であるから, $x=a,b$ は $f(x)=1-x$ の $2$ 解であり, ある実数 $k$ によって
$$f(x)+x-1=k(x^2-x+1)$$
と表せる. $f(1)=1$ より特に $k=1$ であり, $f(1000)=\textbf{998002}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/1953
　解説の方針はエレガントですが，地道に連立方程式を作っても解けるので，解説を作っておきます．\
  　\
  　まず解と係数の関係より，$a+b=1$，$ab=1$．\
  　求めたい $2$ 次関数を，$f(x)=px^2+qx+r$ と置くと，条件より以下の $3$ 式を得る．\
  　$pa^2+qa+r=b$，$pb^2+qb+r=a$，$p+q+r=1$\
  　ここで，はじめの $2$ 本の式の和と差を考え，解と係数の関係を用いる．\
  　$p(a^2+b^2)+q(a+b)+2r=a+b$，整理して，$-p+q+2r=1$．\
  　$p(a^2-b^2)+q(a-b)=b-a$，整理して，$p+q=-1$（$a-b \neq 0$を用いた）．\
  　連立方程式を解けば，$p=1$，$q=-2$，$r=2$ を得る．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/1953/151
　解と係数の関係より $ab=1$ であるから, $x=1,a,b$ は $xf(x)-1=0$ の $3$ 解であり, ある実数 $k$ によって
$$xf(x)-1=k(x-1)(x^2-x+1)$$
と表せる. 定数項の比較により $k=1$ であり, $f(1000)=\mathbf{988002}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/1953/156
　$x$ の方程式 $x^2-x+1=0$ の $2$ 解 $x=a,b$ について，実数係数 $2$ 次多項式 $f(x)$ が $f(a)=b, ~ f(b)=a, ~ f(1)=1$ をみたすとき，$f(1000)$ を求めてください．