　一般に非負整数 $x$ は，
- それぞれの正整数 $n$ で $a_n \leq n$．
- ある正整数 $N$ が存在して，$n \geq N$ ならば $a_n = 0$．

をみたす非負整数の列 $(a_1, a_2, ...)$ によって
$$x = \sum_{n = 1}^{\infty} a_n n!$$
と一意的に表すことができる（階乗進法）．$x$ がこのように表せるとき，$a_n$ を $x$ の $n$ 番目の**桁**と呼ぶことにする．$x$ の $n$ 番目の桁は，
$$\left \lfloor \frac{x}{n!} \right \rfloor - (n + 1) \left \lfloor \frac{x}{(n + 1)!} \right \rfloor$$
と表せることに注意．正整数 $n$ に対し，非負整数 $x$ の $n, n + 1$ 番目の桁をそれぞれ $a, b$ としたとき，
$$
\begin{aligned}
f_n(x) &= x + ((n + 1)! - n!)(a - b) \\\\
&= x - (n! \cdot a + (n + 1)! \cdot b) + (n! \cdot b + (n + 1)! \cdot a)
\end{aligned}
$$
が成り立つので，$x$ と $f_n(x)$ は $n, n + 1$ 番目以外の桁がすべて同じのままであり，非負整数を $x$ から $f_n(x)$ に変化させることを，次のような桁の置き換えと考えることができる．
- **置換 1.**　$b = n + 1$ のとき，$x$ の $n, n + 1$ 番目の桁をそれぞれ $0, a + 1$ に置き換えて $f_n(x)$ を得る．
- **置換 2.**　$b \neq n + 1$ のとき，$x$ の $n, n + 1$ 番目の桁をそれぞれ $b, a$ に置き換えて $f_n(x)$ を得る（すなわち $x$ の $n, n + 1$ 番目の桁を入れ替える操作と同じである）．

　ここで，桁に使用されている $1, 2, 3$ の回数がそれぞれ $i, j, k$ 回 であり，なおかつ $4$ 以上の整数が桁に使われないような非負整数の集合を $S(i, j, k)$ と定める．$1110$ は
$$1110 = 1 \cdot 3! + 1 \cdot 4! + 3 \cdot 5! + 1 \cdot 6!$$
と表せるので，$1110 \in S(3, 0, 1)$ である．\
　$x \in S(3, 0, 1)$ としたとき以下のいずれかが成り立つ．
- $x$ の $2, 3$ 番目の桁がそれぞれ $0, 3$ のときは，$f_2(x) \in S(4, 0, 0)$ である．
- $x$ の $2, 3$ 番目の桁がそれぞれ $1, 3$ のときは，$f_2(x) \in S(2, 1, 0)$ である．
- $x$ の $3$ 番目の桁が $3$ でない，または $n$ が $2$ 以外の正整数のときは，$f_n(x) \in S(3, 0, 1)$ である．

また，$k$ を非負整数として $x \in S(k, 1, 0)$ としたときは
- $x$ の $1, 2$ 番目の桁がそれぞれ $0, 2$ のときは，$f_1(x) \in S(k + 1, 0, 0)$ である．
- $x$ の $1, 2$ 番目の桁がそれぞれ $1, 2$ のときは，$f_1(x) \in S(k - 1, 1, 0)$ である（$k = 0$ のときはこのケースを考えなくてよい）．
- $x$ の $2$ 番目の桁が $2$ でない，または $n$ が $1$ より大きい整数のときは，$f_n(x) \in S(k, 1, 0)$ である．

のいずれかが成り立つ．$x \in S(k, 0, 0)$ のときは置換 1. が起こり得ないため，$f_n(x) \in S(k, 0, 0)$ である．以上のことから，$1110$ に対し置換を $1$ 回以上行うことで得られる数は，以下の集合に属する数に限られる．
$$S(3, 0, 1)，S(2, 1, 0)，S(1, 1, 0)，S(0, 1, 0) \\\\
S(4, 0, 0)，S(3, 0, 0)，S(2, 0, 0)，S(1, 0, 0)$$
逆に，上記のいずれかの集合に含まれる数はすべて，$1110$ から適当に置換を繰り返すことで得られることも確かめられる．よって，それぞれの集合に対しそれに含まれる $11!$ 未満の数の個数を調べればよい．非負整数が $11!$ 未満であることは，正の数の桁が $1$ から $10$ 番目までにしか現れないことと同値である．また，$2$ が $1$ 番目の桁に現れないこと，および $3$ が $1, 2$ 番目の桁に現れないことに注意すれば，以下のように個数を数えることができる．
- $S(3, 0, 1)$ には $11!$ 未満の非負整数が $8 \times {}\_{9}\mathrm{C}\_{3}$ 個含まれる．
- $k = 0, 1, 2$ に対し，$S(k, 1, 0)$ には $11!$ 未満の非負整数が $9 \times {}\_{9}\mathrm{C}\_{k}$ 個含まれる．
- $k = 1, 2, 3, 4$ に対し，$S(k, 0, 0)$ には $11!$ 未満の非負整数が ${}\_{10}\mathrm{C}\_{k}$ 個含まれる．

　以上のことから，求める個数は
$$8 \times {}\_{9}\mathrm{C}\_{3} + 9 \times ({}\_{9}\mathrm{C}\_{0} + {}\_{9}\mathrm{C}\_{1} + {}\_{9}\mathrm{C}\_{2}) + {}\_{10}\mathrm{C}\_{1} + {}\_{10}\mathrm{C}\_{2} + {}\_{10}\mathrm{C}\_{3} + {}\_{10}\mathrm{C}\_{4} = \mathbf{1471}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/editorial/10581
　任意の正整数 $n$ について，関数 $f_n \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を
$$f_n(x) = x + n \cdot n! \left ( \left \lfloor \frac{x}{n!} \right \rfloor - (n + 2) \left \lfloor \frac{x}{(n + 1)!} \right \rfloor + (n + 2) \left \lfloor \frac{x}{(n + 2)!} \right \rfloor \right )$$
によって定めます．$0$ 以上 $11!$ 未満の整数 $k$ であって，ある正の整数 $m$ と正の整数列 $a_1, a_2, \ldots, a_m$ が存在して
$$ k = f_{a_1}( f_{a_2} ( \cdots ( f_{a_m} (1110) ) \cdots ) ) $$
が成り立つものはいくつありますか？