　内心の性質より，
$$\angle PI_{k+1}Q=90^\circ +\frac{1}{2}\angle PI_kQ$$
すなわち
$$180^\circ -\angle PI_{k+1}Q=\frac{1}{2}(180^\circ -\angle PI_kQ)$$
が成り立つ．よって，$n$ は $180^\circ - \angle PI_{1}Q$ が $2$ で割り切れる回数 $+1$ 以下であり，$180^\circ - \angle PI_{1}Q \lt 180^\circ$ であるから，$N = 8$ を得る．$n = 8$ のとき，$180^\circ -\angle PI_1Q$ は $2^7$ で割り切れなければいけないので，$\big(2^7\big)^\circ$ となる他ない．以上より，求める答えは $180-2^7=\mathbf{52}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/editorial/12123
　$n$ を $2$ 以上の整数とします．平面上に相異なる $2$ 点 $P,Q$ をとると，直線 $PQ$ 上にない $n$ 個の点 $I_1,I_2,\cdots ,I_n$ であって，次を満たすものが存在しました．

- $k=1,2,\cdots ,n$ について $\angle PI_kQ$ は度数法で $1$ 以上 $180$ 未満の整数値をとる．
- $k=1,2,\cdots ,n-1$ について点 $I_{k+1}$ は三角形 $PI_kQ$ の内心である．

$n$ としてありえる最大値を $N$ とします．$n=N$ のとき，$\angle PI_1Q$ としてありうる値の総和を求めてください．