　駒 $P,Q$ の通った経路の共通部分の長さが $2k$ 以上となるような経路の組の総数は $({}\_{16-k}\mathrm{C}\_{8-k})^2$ に等しい．

<details><summary> 証明<\/summary>
　駒 $P,Q$ の経路の共通部分は線分であることに注意すると，駒 $P,Q$ の通った経路の共通部分の長さが $2k$ 以上であるとき，共通部分の始めの長さ $2k$ をなくす（圧縮する）ことで，これは駒 $P,Q$ をそれぞれ $(24-2k,8),(24-2k,0)$ に動かすような経路の組と $1$ 対 $1$ 対応する．この経路において，駒 $P$ は操作 $A,B$ をそれぞれ $8-k,8$ 回行われ，駒 $Q$ は操作 $A,C$ をそれぞれ $8-k,8$ 回行われているので，経路の組の総数は $({}\_{16-k}\mathrm{C}\_{8-k})^2$ である．
<\/details>

したがって経路の共通部分の長さがちょうど $2$，すなわち経路の共通部分の長さが $2$ 以上であるが $4$ 以上ではないような経路の組の総数は次の通りである．
$$({}\_{15}\mathrm{C}\_{7})^2-({}\_{14}\mathrm{C}\_{6})^2=\mathbf{32391216}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc229/editorial/12154
　題意を満たす経路は次のように言い換えられる．  
・$0\leq a,b\leq 7,4\leq a+b\leq 11$ なる整数 $a,b$ について，$(2a+b,b)$ まで共通部分をもたずに $(2a+b,b)$ から $(2(a+1)+b,b)$ に移動してから，それ以降も共通部分をもたないような経路  
　このような経路の数を $P(a,b)$ とすると，$(2a+b,b)$ までの経路の数から $(2(a-1)+b,b)$ までの経路の数を引くことにより
$$P(a,b)=({}\_{a+b}\mathrm C\_{b}\cdot {}\_{a+4}\mathrm C\_{8-b}-{}\_{a+b-1}\mathrm C\_{b}\cdot {}\_{a+3}\mathrm C\_{8-b})({}\_{15-a-b}\mathrm C\_{8-b}\cdot {}\_{11-a}\mathrm C\_{b}-{}\_{14-a-b}\mathrm C\_{8-b}\cdot {}\_{10-a}\mathrm C\_{b})$$
がわかる．ただし，$r\lt 0$ または $n\lt r$ のとき ${}\_{n}\mathrm C\_{r}=0$ とする．  
　よって，題意を満たす経路の数は
$$\sum\_{0\leq a,b\leq 7,4\leq a+b\leq 11}P(a,b)=32391216$$
と求まる．
体育
https://onlinemathcontest.com/contests/omc229/editorial/12154/629
　$xy$ 平面上の $(0,0)$ に駒 $P$ が，$(0,8)$ に駒 $Q$ があります．また，操作 $A,B,C$ を以下のように定義します．
- 操作 $A$ : $(x,y)$ にある駒を $(x+2,y)$ にまっすぐ移動させる．
- 操作 $B$ : $(x,y)$ にある駒を $(x+1,y+1)$ にまっすぐ移動させる．
- 操作 $C$ : $(x,y)$ にある駒を $(x+1,y-1)$ にまっすぐ移動させる．

駒 $P$ に操作 $A$ および $B$ を，駒 $Q$ に操作 $A$ および $C$ をそれぞれ任意の順番で繰り返し行い (使わない操作があっても構いません)，それぞれ $(24,8),(24,0)$ に移動させるとき，駒 $P,Q$ の通った経路の共通部分の長さがちょうど $2$ になるような経路の組の数を求めてください．