　$b=a+n$ とおくと，与式は以下のように変形できる．
$$(a+1)(n+1)=N+1$$
$a\ge1$ に気をつければ，$N+1$ の $2$ 以上の任意の約数 $p$ に対して $(a,n)=(p-1,(N+1)\/p-1)$ が上式の解となり，また，解はこれで尽くされている．以上より，問題の条件を満たす $N$ は $513$ 以下の素数から $1$ を引いたものであるから，求める答えは $\bf{97}$ 個である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/6859
　$1$ 以上 $512$ 以下の整数 $N$ であって，$ab-a^2+b=N$ を満たす正の整数の組 $(a,b)$ がちょうど $1$ つ存在するものはいくつありますか？