　与式より $x_1x_2=x_2x_3-1=x_3x_4-2=\cdots=x_8x_1-7=kx_1x_2-8$ であるから,
$$(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)=(x_2x_3)(x_4x_5)(x_6x_7)(x_8x_1)$$
を $x_1x_2$ のみの式で表すことで
$$(x_1x_2)(x_1x_2+2)(x_1x_2+4)(x_1x_2+6)=(x_1x_2+1)(x_1x_2+3)(x_1x_2+5)(x_1x_2+7)$$
これを解いて $x_1x_2=-\dfrac{7}{2},\dfrac{-7\pm\sqrt{19}}{2}$ を得るから,
$$k=1+\dfrac{8}{x_1x_2}=-\dfrac{9}{7},\dfrac{-41\pm8\sqrt{19}}{15}$$
　逆に $k$ がこれらの値のとき, 条件をみたす実数の組は存在する.\
　これらの総和は $-\dfrac{709}{105}$ であるから, 特に解答すべき値は $\textbf{814}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/1458
　以下の $8$ つの式をすべてみたす実数の組 $(x_1,x_2,\ldots,x_8)$  が存在するような, 実数 $k$ の総和を求めてください：
$$\begin{aligned}
x_1+\frac{1}{x_2}=x_3,&&
x_2+\frac{1}{x_3}=x_4,
&&\cdots,
&&x_7+\frac{1}{x_8}=x_1,
&& x_8+\frac{1}{x_1}=kx_2
\end{aligned}$$
ただし,　求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $-\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.