　例えば $A$ の $1$ の位から $B$ の $1$ の位を引いた値は $-6,0,6$ のいずれかである．$10,100,1000$ の位にについても同様であるから，ある $x_1,x_2,x_3,x_4\in \lbrace -6,0,6 \rbrace$ が存在して，次が成り立つ．
$$A-B=x_1+10x_2+100x_3+1000x_4$$
逆に $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ を定めると上式を満たす $A,B$ が存在するので，$A-B$ としてあり得る値は $3^4=\textbf{81}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc209/editorial/3583
　より正確には，組 $(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \\{-6, 0, 6\\}^4$ が異なれば
$$x_1 + 10x_2 + 100 x_3 + 1000 x_4$$
の値も異なることを示さなければいけません．これを示すことを目標にします．

<details> <summary> ヒント <\/summary>
　対偶を取って，以下を示せばよいですね．ここで，$x_i, y_i $ がすべて $\\{6, 0, -6\\}$ の元であることを仮定しています．
$$x_1 + 10x_2 + 100 x_3 + 1000 x_4 = y_1 + 10y_2 + 100 y_3 + 1000 y_4　\implies　(x_1, x_2, x_3, x_4) = (y_1, y_2, y_3, y_4)$$
「順番に見ていく」というのがヒントです．より具体的には，〇〇の位から見ていくと示せます．
 <\/details>

<details> <summary> 解答 <\/summary>
　「ヒント」タブの命題を，一般に $n$ 変数の場合で証明しよう．すなわち，$$x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots , y_n \in  \\{-6, 0, 6\\}$$ について，以下の命題：
$$x_1 + 10x_2 + \cdots + 10^{n-1} x_{n} =y_1 + 10y_2 + \cdots + 10^{n-1} y_{n}　\implies　(x_1, x_2, \cdots, x_n) = (y_1, y_2, \cdots , y_n) $$
を示そう．$n=1$ の場合は示すべきことはない．\
　$n=k$ の場合に成立していると仮定する．
$$x_1 + 10x_2 + \cdots + 10^{k} x_{k+1} =y_1 + 10y_2 + \cdots + 10^{k} y_{k+1}$$
が成立するとすると，$10$ で割った余りを考えることで，$x_1 = y_1$ が従う．よって，
$$10x_2 + \cdots + 10^{k} x_{k+1} =10y_2 + \cdots + 10^{k} y_{k+1}$$
$$x_2 + 10x_3 + \cdots + 10^{k-1} x_{k+1} =y_2 + 10y_3 +\cdots + 10^{k-1} y_{k+1}$$
が順に従う．仮定を適用すれば，$(x_2, x_3, \cdots, x_{k+1}) = (y_2, y_3, \cdots, y_{k+1})$ を得る．$x_1=y_1$ と合わせることで，$n=k+1$ の場合も成立することが得られる．従って，帰納法より示された．
<\/details>

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　雑談．　$P\Rightarrow Q$ の形の命題があるとき，$P$ を前件，$Q$ を後件と呼ぶらしいです．聞いたことなかったです．\
　雑談2．　解答から分かるように，$\\{6,0,-6\\}$ ではなくても，要素を $10$ で割った余りがすべて異なれば同様のことが言えますね．
解説補足
https://onlinemathcontest.com/contests/omc209/editorial/3583/422
※ [解説補足 by locker_kun](422) の別証明です．

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　各 $n$ に対し，$y\_n \coloneqq \dfrac{x\_n}6 + 1$ とすると
$$ y\_1 + 10y\_2 + 100y\_3 + 1000y\_4 = \frac{x\_1 + 10x\_2 + 100x\_3 + 1000x\_4}6 + 1111 $$
より，主張は $\\\{\\: 0,\\, 1,\\, 2 \\:\\\}^4 \ni (y\_1, y\_2, y\_3, y\_4) \mapsto y\_1 + 10y\_2 + 100y\_3 + 1000y\_4 \in \mathbb Z$ の単射と同値になり従う．
解説補足 by locker_kun の別証明
https://onlinemathcontest.com/contests/omc209/editorial/3583/423
　おもち君はOMCのあるコンテストに参加していましたが，慌てん坊なので**コンテストページ内の電卓**の数字キーの配置を以下のように勘違いしていました．おもち君が入力しようとしたのが $4$ 桁の正整数 $A$ であり，実際に表示された数が $B$ であったとしたとき，$A-B$ としてあり得る値はいくつありますか？

![figure 1](\/images\/pEwoTGshxPWbLzADLnIRJLVAcEw8UcFNzbd2NTUs)