　一般に $100$ を非負整数 $n$ に置き換え, 同様の確率 $p_n$ を求めよう. このとき, $n\geq 2$ に対し,
$$p_{n}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}\sum_{i=0}^{n}{(n+1-i)p_{i}}$$
が成立する．これを変形することで
$$(n+3)(n+4)p_{n+2}-2(n+2)(n+3)p_{n+1}+(n+1)(n+2)p_{n}=2p_{n+2}$$
すなわち
$$(n+5)(p_{n+2}-p_{n+1})=(n+1)(p_{n+1}-p_{n}).$$
いま $p_0=1,p_1=0$ に留意すれば $p_3-p_2=26\/45-3\/5=-1\/45$ と計算できるから, 
$$\begin{aligned}
p_{n+1}-p_{n} &= -\frac{8}{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}\\\\
&=\frac{8}{3(n+4)(n+3)(n+2)}-\frac{8}{3(n+3)(n+2)(n+1)}
\end{aligned}$$
したがって
$$p_{n}=\frac{5}{9}+\frac{8}{3(n+3)(n+2)(n+1)}.$$
特に $n=100$ を代入することで, 解答すべき値は $\textbf{275102}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc116/editorial/2049
　赤玉が $2$ 個，青玉が $100$ 個あります．\
　OMC君は青玉が $1$ 個以下になるまで以下の操作を繰り返します：

- まだ捨てられていない玉すべてを，東西一列にランダム（等確率）に並べ直す．
- $2$ 個の赤玉の間に**挟まれていない**青玉をすべて捨てる．

例えば「青青赤青青青青赤青」と並んだとき，$3$ 個の青玉が捨てられます．\
　このとき，最終的に青玉が $0$ 個になる確率 $p$ を求めてください．ただし，$p$ は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

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　なお，この操作は有限回で終了しないかもしれませんが，$p$ の存在が保証されます．厳密には，操作の回数に上限を設けて考え，その極限をとることで $p$ を定めます．