　一般に $2022$ を $N$ に置きかえ，総積を $3$ で割った余りが $1,2$ である組がそれぞれ $X_N,Y_N$ 個あるとする．\
　このとき，$7, 13$ は $3$ で割って $1$ 余り，$2, 5, 11$ は $3$ で割って $2$ 余ることから，以下のように漸化式が立てられる．
$$X_{N+1}=2X_N+3Y_N, \quad Y_{N+1}=3X_N+2Y_N$$
$X_1=2,Y_1=3$ とあわせてこれを解けば $X_N=\dfrac{5^N+(-1)^N}{2}$ となり，Fermatの小定理から以下のように計算できる．
$$X_{2022} \equiv \dfrac{5^{2022}+1}{2} \equiv \dfrac{5^6+1}{2} \equiv \textbf{1762} \pmod{2017}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/5748
条件を満たす組の個数は，$2, 5, 7, 11, 13$ の中から $2022$ 回いずれかの数を選ぶ選び方のうち，$2, 5, 11$ が合計偶数回選ばれるものの数である. これは，$f(x)=(3x+2)^{2022}$ の偶数次の係数の総和に等しく，以下のように求められる.
$$\dfrac{f(1)+f(-1)}{2}\equiv \dfrac{5^{2022}+(-1)^{2022}}{2}\equiv \dfrac{5^{2022}+1}{2}\equiv \dfrac{5^6+1}{2}\equiv \textbf{1762} \pmod{2017}$$
(ただし，fermatの小定理を用いた. )
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/5748/201
　$13$ 以下の素数のうち，$7,13$ は $3$ で割って $1$ 余り，$2,5,11$ は $3$ で割って $2$ 余るので，$a_1,a_2,\ldots,a_{2022}$ のうち，$7,13$ が合計偶数回，$2,5,11$ も合計偶数回出現すればよい．これより，
$$N = \sum_{k=0}^{1011} {}\_{2022}\mathrm{C}\_{2k} \cdot 2^{2k} \cdot 3^{2022-2k} $$
と求められる．ここで，恒等式
$$\frac{(x+y)^{2n} + (x-y)^{2n}}{2} = \sum_{k=0}^{n} {}\_{2n}\mathrm{C}\_{2k} x^{2k} y^{2n-2k}$$
に $x = 2 , y = 3 , n = 1011$ を代入することで
$$N = \frac{5^{2022} + (-1)^{2022}}{2} = \frac{5^{2022} + 1}{2}$$
が得られる．よって，Fermatの小定理を用いて，求めるものは $\mathbf{1762}$ と分かる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/5748/202
　$13$ 以下の素数の組 $(a_1, a_2, …, a_{2022})$ であって，
$$\prod_{k=1}^{2022} a_k \equiv 1 \pmod 3$$
をみたすものは $N$ 個存在するので，$N$ を素数 $2017$ で割った余りを求めてください．