　$p,q,r$ が $0$ となることを許せば, 求める総和は $3^{10}=59040$ である. このうち, $p,q,r$ のうち $2$ つが $0$ であるようなものの総和は $3$ であり, ちょうど $1$ つが $0$ であるようなものの総和は $3\times(2^{10}-2)=3066$ であるから, 以上より求める値は $59049-3-3066=\textbf{55980}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc012/editorial/78
　$p+q+r=10$ を満たす正整数の組 $(p,q,r)$ すべてに対し, $\displaystyle\frac{10!}{p!q!r!}$ の総和を求めてください.