　$a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_{54}$ として一般性を失わず，このとき並べ替え不等式より与式は $b_1\gt b_2\gt\cdots\gt b_{54}$ のときに最大値をとる．すなわち，求める最大値は
$$\dfrac{1}{6300}+\dfrac{2}{3150}+\cdots+\dfrac{6300}{1}$$
である．これは以下のように計算できるから，解答すべき数値は $\textbf{19749}$ である．
$$\sum_{d\mid6300}\frac{d^2}{6300}=\dfrac{(1+2^2+2^4)(1+3^2+3^4)(1+5^2+5^4)(1+7^2)}{2^2\times3^2\times5^2\times7}=\dfrac{19747}{2}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc142/editorial/2727
　$6300$ は正の約数を全部で $54$ 個もちます．\
　 $a_1,a_2,\ldots,a_{54}$ および $b_1,b_2,\ldots,b_{54}$ が，それぞれ相異なる $54$ 個の $6300$ の正の約数であるとき，以下のとりうる最大値を求めてください．
$$\dfrac{a_1}{b_1}+\dfrac{a_2}{b_2}+\cdots+\dfrac{a_{54}}{b_{54}}$$
ただし，求める値は互いに素な正の整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表されるので，$m+n$ の値を解答してください．