　線分が正十二面体の面上になければ良い．$2$ つの頂点を結ぶ方法は ${}\_{20}\mathrm{C}\_{2}=190$ 通りであり，正十二面体の辺の数は $30$，各面に長さ $\phi$ の対角線が $5$ 本ずつ引けるから，解答は $190-30-5\times 12=\bf{100}$ となる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc135/editorial/3161
　 一辺が $1$ である正五角形の対角線の長さを $\phi$ とします．一辺が $1$ の正十二面体の $2$ 頂点を結ぶ線分であって，その長さが $\phi$ より大きいものは何本ありますか？\
　ただし，正十二面体は正五角形を各面にもちます．