　まず, $4a+b^2=n^2$ より, $n^2-4a$ は平方数である. このとき, $t$ の二次方程式
$$t^2-nt+a=0$$
の(重複度込みで)二つの解 $x, y$ はいずれも正の整数である. 従って, 解と係数の関係より
$$n=x+y, a=xy$$
とおくことができる. $ac+4=n^2$ にこれを代入すれば, 条件式は
$$\frac{(x+y)^2-4}{xy}=2+\frac{x^2+y^2-4}{xy}$$
が非負整数になることと同値である. $(x, y)=(1, 1)$ を除けば, これが非負整数であることと, 
$$\frac{x^2+y^2-4}{xy}$$
が非負整数になることは同値である. この式の値を $k$ とおく. $k\le 1$ のときは明らかに $(x, y)=(2, 2)$ のみが解であり, $k=2$ のときは $\\{ x, y\\} =\\{ t, t+2\\} $( $t$ は正の整数) のみが解である. さらに, $x=y$ の場合はこのほかに解が存在しないため, 以下 $x\lt y, k\ge3$ のもとで
$$x^2+y^2-kxy-4=0$$
の整数解を考えればよい. $k\ge3$ を固定し, 以下の補題を示す.
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**補題**. $x\lt y$ なる組 $(x, y)$ が解であるためには, ある $i=1,2,\cdots$ が存在し, 以下の成立が必要十分条件である:
$$(x, y)=(a_i, a_{i+1})$$
ただし, $\{a_i\}$ は以下で定められる, 正の整数からなり狭義単調増加な数列である.
$$a_1=2, a_2=2k, a_{n+2}=ka_{n+1}-a_n\ \ \ \ (i=1,2,\cdots)$$

**証明**. $x\lt y$ なる解 $(x, y)$ が存在したとき, $x, y$ それぞれについての二次方程式と見たときの解と係数の関係より
$$(kx-y, x), \ \ \ (y, ky-x)$$
も解である. ここで, $kx-y$ は整数であり,
$$kx-y=\dfrac{x^2-4}{y}\lt x$$
である. いま, もし $kx-y\le -1$ だと仮定すると, 
$$0=x^2-kxy+y^2-4\ge x^2+y-4$$
であり, $(x, y)=(1, 1), (1, 2), (1, 3)$ であるが, いずれも不適である.
また, もし $kx-y=0$ だと仮定すると, $(x, y)=(2, 2k)=(a_1, a_2)$ が容易にわかる.
$(x, y)\longmapsto(y, ky-x)$ によって $(a_i, a_{i+1})$ 
は $(a_{i+1}, a_{i+2})$にうつる. 従って, 十分性は帰納的に示された.\
　ここで, $(x, y)=(a_i, a_{i+1})$ と表すことができない解が存在したと仮定し, 
その中で $y$ が最小のものの一つを $(x_0, y_0)$ とおく. このとき, $(kx_0-y_0, x_0)$ も
解となり, これは $kx_0-y_0\gt 0, x_0\lt y_0$ を満たす. さらに, 
$$(x, y)\longmapsto(kx-y, x)$$
$$(x, y)\longmapsto(y, ky-x)$$
が互いに逆写像であることから十分性の議論(の対偶)より $(a_i, a_{ i+1} )$ 
と表現できない. これは $y_0$ の最小性に矛盾する.
以上より必要性も示された. 
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　以下 $a=xy$ が $1000$ 以下となる条件を考える. ただし, $x, y$ は順不同であることに気を付ける.
- $(x, y)=(1, 1), (2, 2)$ は明らかに適する
- $t=1, 2, \cdots30$ に対し $\\{ x, y\\} =\\{ t, t+2\\}$ はそれぞれ適する

また, 
$$a_1a_2=4k, \ \ a_2a_3=4k(k^2-1), \ \ a_3a_4=4k(k^2-1)(k^2-2)$$
に留意することで, $k\ge 3$ の場合について以下のように場合分けができる.
- $k=3, 4, \cdots, 250$ に対し $a_1a_2=4k$ がそれぞれ適する
- $k=3, 4, 5, 6$ のとき, さらに $a_2a_3=96, 240, 480, 840$ がそれぞれ適する
- $k=3$ のとき, さらに $a_3a_4=672$ が適する


　以上をまとめると, 求めるべき合計は
$$1+4+\sum_{i=1}^{30}i(i+2)+\sum_{i=3}^{250}4i+96+240+480+840+672=\mathbf{138206}$$
と計算できる. 

**補足.**　補題のように, 解と係数の関係を用いて一つの解からより小さい別の解を作り出し最小性に矛盾させる手法を**Vieta Jumping**と呼びます.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/imo2022-day2/editorial/4598
　以下が成立するような $1000$ 以下の**正の整数** $a$, ( $1000$ 以下とは限らない) **非負整数** $b, c, n$ の組すべてについて $a$ の総和を求めてください.
$$4a+b^2=ac+4=n^2$$