　三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $DEF$ の外接円，つまり三角形 $ABC$ の九点円との根軸を $l$ とすると
$$AP\cdot BP=DP\cdot EP, \quad AQ\cdot CQ=DQ\cdot FQ$$
より $P,Q$ はどちらも $l$ 上にあるので，$l$ は直線 $PQ$ と一致する．よって，三角形 $ABC$ の九点円の中心を $N$ とすると $N$ は 線分 $OH$ の中点であることから $PQ\perp OH$ なので，$l \parallel HM$ とあわせて $\angle OHM=90^\circ$ がわかる．\
　正弦定理より $\sin \angle BAC=\dfrac{DE}{AH}=\dfrac{4}{5}$ なので，$\triangle AHE\sim \triangle BCE$ から 
$$BC = AH \cdot \tan \angle BAC=\dfrac{100}{3}$$
がわかる．これと $OM=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{25}{2}$ から $OA=\sqrt{OM^2+BM^2}=\dfrac{125}{6}$ なので
$$(\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AH})\cdot (2\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AH})=0$$
より $OH=|\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AH}|=\dfrac{25\sqrt{33}}{18}$ となる．$R$ は $l$ 上にあるので，三角形 $ABC$ の外接円についての方べきと三角形 $ABC$ の九点円についての方べきが等しい，つまり
$$OR^2-OA^2=ON^2-DN^2= \left(OR-\frac{OH}{2} \right)^2- \left(\frac{OA}{2} \right)^2$$
が成り立つので，これより $OR^2 = \dfrac{2175625}{1188}$ と求まる．したがって，解答すべき値は $\mathbf{2176813}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/editorial/7410
　解説 $1$ 行目の，外接円と九点円の根軸は垂軸 (orthic axis) と呼ばれます．垂軸は垂心の外接円での極線です．
垂軸
https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/editorial/7410/794
　どの $2$ 辺の長さも等しくない鋭角三角形 $ABC$ の外心，垂心をそれぞれ $O, H$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．$A, B, C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ とし，直線 $DE$ と直線 $AB$ の交点を $P$，直線 $DF$ と直線 $AC$ の交点を $Q$ とすると，
$$ EF = 20, \quad AH = 25, \quad PQ \parallel HM $$
が成り立ちました．直線 $PQ$ と直線 $OH$ との交点を $R$ するとき，線分 $OR$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．