マス目の頂点のうち，上から $m$ 番目，左から $n$ 番目のものを $(m, n)$ で表す．$1, 4$ が書き込まれたマスを赤く，$2, 3$ が書き込まれたマスを青くぬり，異なる色の境界に線分を引く．このとき条件より，隣り合う $2$ マスに書き込まれた整数の和は，色が同じである箇所では $5$ であり，色が異なる箇所では $5$ でない．\
　塗り方（折線の引き方）を以下の $2$ 通りに分類する.
- 長さ $2$ の折線が $2$ つ引かれる場合 \
長さ $2$ の折線としてありうるものは $(1, n)$ と $(3, n)$ を結ぶもの ( $n=2, 3, \ldots, 1468$ )，$(2, 1)$ と $(1, 2)$ または $(3, 2)$ を結ぶもの，$(2, 1469)$ と $(1, 1468)$ または $(3, 1468)$ を結ぶものである．これらから重ならないように $2$ 本引く方法は，$(2,2)$ を通る $3$ 個と $(2,1468)$ を通る $3$ 個とそれ以外の $1465$ 個に分けて考えることで，$3×3+2×3×1465+ {}\_{1465}\mathrm{C}\_{2}$ 通り存在し，折れ線の引き方について対応する整数の書き込み方は $2×2^3=16$ 通り存在するから，条件を満たす書き込み方は $17298864$ 通り．

- 長さ $4$ の折線が $1$ つ引かれる場合 \
長さ $4$ の折線としてありうるものは $(2, 1)$ と $(1, 4)$ または $(3, 4)$ を結ぶもの，$(2, 1469)$ と $(1, 1466)$ または $(3, 1466)$ を結ぶもの，$(1, n)$ または $(3, n)$ と $(1, n+2)$ または $(3, n+2)$ を結ぶもの（ $n = 2, 3,\ldots, 1466$ ）である．これらの折線は合計で $2+2+4\times1465$ 通り存在し，折れ線の引き方について対応する整数の書き込み方は $2×2^2=8$ 通り存在するから，条件を満たす書き込み方は $46912$ 通り. 

よって，条件を満たす整数の書き込み方は $\textbf{17345776}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc220/editorial/5773
　$2×1468$ のマス目があります．このとき，各マスに以下の条件を満たすように $1, 2, 3, 4$ の整数を書き込む方法は何通りありますか？
- 隣りあうマスには異なる整数を書き込む．
- 隣りあう $2$ マスに書き込まれた整数の和が $5$ でないような箇所はちょうど $4$ 箇所存在する．