　赤色および白色のボールの初期の個数をそれぞれ $x,y$ とすれば, 条件は以下の $2$ 式に表現される.
$$xy=a,\ \ (x+17)(y+3)=a+146$$
これらを辺々引き合わせて, $3x+17y=95$ を得る. これの正整数解は
$$(x,y)=(9,4),(26,1)$$
であるから, 求める値は $36+26=\textbf{62}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc072/editorial/252
　区別できる赤色および白色のボールがそれぞれ $1$ つ以上あり, 赤色のボール $1$つと白色のボール $1$ つの組は $a$ 通りありました. ここへ区別できる赤色のボールを $17$ 個, 区別できる白色のボールを $3$ 個加えると,  赤色のボール $1$ つと白色のボール $1$ つの組は $a+146$ 通りになりました. このとき, 正整数 $a$ としてあり得る値をすべて求め, それらの総和を解答してください.