　正整数 $n$ に対して，その正の約数の個数を $d(n)$ で表す．
$$x^2+n=(x+n)(x-n)+n(n+1)$$
$$y^2-n=(y-n)(y+n)+n(n-1)$$
より，$f(n)$ は $n$ より大きい $n(n+1)$ の正の約数の個数に等しく，これは $n$ 以下の $n(n+1)$ の正の約数の個数に等しいので，$2f(n)=d(n(n+1))$ がしたがう．また，$g(n)=d(n(n-1))$ である．したがって与式は次のように計算される．
$$\begin{aligned}
\sum_{n=2}^{2024}\Big(2f(n)-g(n)\Big)&=\sum_{n=2}^{2024}2f(n)-\sum_{n=1}^{2023}g(n+1)\\\\
&=\sum_{n=2}^{2024}d(n(n+1))-\sum_{n=1}^{2023}d(n(n+1))\\\\
&=d(2024\cdot 2025)-d(2)\\\\
&=d(2^3\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 11\cdot 23)-d(2)\\\\
&=\mathbf{238}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/editorial/12342
　$2$ 以上の整数 $n$ に対して関数 $f(n),g(n)$ を次のように定めます．
- 正整数 $x$ であって，$x+n$ が $x^2+n$ を割り切るものは有限個であるので，その個数を $f(n)$ とする．
- $n$ より大きい整数 $y$ であって，$y-n$ が $y^2-n$ を割り切るものは有限個であるので，その個数を $g(n)$ とする．

このとき次の値を求めてください．
$$\sum_{n=2}^{2024}\Big(2f(n)-g(n)\Big)$$