　$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ と素因数分解できるとき，$n^n$ の約数の個数 $d(n^n)$ は $$d(n^n)=(e_1n+1)(e_2n+1)\cdots(e_kn+1)$$
　以下では，$n\lt 99$ の場合を考える．この際，
$$2^7\gt99,\quad 2\cdot3\cdot5\cdot7\gt99$$
であるから，$e_i\le6,\  k\le3$ であることに気をつける．
- $k=1$ の場合\
　$10^6\le d(n^n)=e_1n+1\le6\cdot98+1\lt10^6$ であるから条件を満たす $n$ は存在しない．

- $k=2$ の場合\
　$10^6\le d(n^n)=(e_1n+1)(e_2n+1)\le(6\cdot98+1)^2\lt 10^6$ であるから条件を満たす $n$ は存在しない．
- $k=3$ の場合\
　$e_1=e_2=e_3=1$ であれば $d(n^n)=(n+1)^3\lt10^6$ であるから不適．従って，$n$ は平方因子を少なくとも $1$ つ持つ．そのような $n$ は $98$ 以下の範囲には $60,84,90$ のみである．\
$$d(60^{60})=d(2^{120}\cdot3^{60}\cdot5^{60})=121\cdot61^2=450241\lt10^6$$
$$d(84^{84})=d(2^{168}\cdot3^{84}\cdot7^{84})=169\cdot85^2=1221025\gt10^6$$
であるから，この場合に条件を満たす最小の $n$ は $84$ である．

以上より，求める答えは $\mathbf{84}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb021/editorial/6794
　$n^n$ が $10^6$ 個以上の正の約数を持つ最小の正の整数 $n$ を求めてください．