　$i=1,\dots,2020$ に対し $b_i=a_i-a_{i-1}$ とすれば，$S_0,S_1,\dots,S_{2020}$ で覆われる部分の面積( $S$ とする)は次で求められる．
$$S=4+\sum_{i=1}^{2020}\bigl(b_i(2i+2-b_i)+2i+3\bigr)$$

また問の性質は次のように言い換えられる．
- 各 $i=1,2,\dots,2020$ に対して $0\leq b_i\leq 2$ である．
- 各 $i=1,2,\dots,2019$ に対して $b_i+b_{i+1}\geq 2$ である．

ここで各 $(b_1,\dots,b_{2020})$ に対して，次をみたす $k=0,1,\dots,1010$ が一意に存在する．
$$b_{2k}\neq 0,\quad b_{2k+1}=\cdots=b_{2017}=b_{2019}=2,\quad b_{2k+2}=\cdots=b_{2018}=b_{2020}=0$$

$k$ を固定して $S$ の取りうる値を考えよう．
各 $i=1,2,\dots,2k-1$ に対し，$b_i=0$ であるとき $b_{i+1}=2$ である．そのとき $b_i=b_{i+1}=1$ としても $S$ は変化しないため，$b_1,\dots,b_{2k}\in\\\{1,2\\\}$ であるとして構わない．
そのとき次を得る．
$$S=2\times 2021^2+2+4k+\sum_{\substack{1\leq i\leq 2k\\\\b_i=2}}(2i-1)$$

$T=S-2\times 2021^2-2$ とすれば，$T$ の取りうる値は $4k$ 以上 $4k^2+4k$ 以下の整数のうち $4k+2,4k^2+4k-2$ 以外すべてであることが容易に確認できる．よって $k=0,1,\dots,1010$ について考え合わせれば $T$ の取りうる値は次の $\bf{4084435}$ 通りであり，$S$ の取りうる値も同じ個数だけある．
$$0,4,5,7,8,9,11,12,\dots,2021^2-4,2021^2-2,2021^2-1$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc009/editorial/63
　以下の性質をみたす整数の組 $(a_0, a_1, \dots, a_{2020})$ を考えます. 

- $a_0=0$ である. 
- 各 $i=1,2,\dots,2020$ に対して, $0\leqq a_{i}-a_{i-1}\leqq 2$ である. 
- 各 $i=2,3,\dots,2020$ に対して, $a_{i}-a_{i-2}\geqq 2$ である. 

　このような整数列に対して, 座標平面上の正方形 $S_i$ を,
$$(a_i,a_i),\quad (a_i+i+2,a_i),\quad (a_i+i+2,a_i+i+2),\quad (a_i,a_i+i+2)$$
を頂点に持つものとして定めます. \
　$S_0,S_1,\dots,S_{2020}$ で覆われる部分の面積として考えられる値は何通りあるか求めてください.