　 $xy$ 平面上で考えると, 条件は $y=\|x^{2}-14x+24\|$ と $y=ax+1$ が交点をちょうど $3$ つ持つ, と言い換えることができる. これを実現する位置関係は, 下図のような $2$ 通りである. ここで青丸は $(0,1)$ である.\
　$-(x^{2}-14x+24)=ax+1$ が重解を持つのは $a= 4,24$ のときであるが, このうち $3\lt x \lt 8$ で接点を持つのは $a=4$ のときのみである. また, $(x,y)=(12,0)$ で交点を持つのは $a=-\dfrac{1}{12}$ のときである.\
　よって, 解答すべき値は $47+12=\textbf{59}$ である.\
　なお, 青丸の位置によっては $(2,0)$ を通る直線も条件をみたす可能性があるが, 今回は適さない.

![figure 1](\/images\/A1s1j5htfdegVXP3nJQ6Ahz65FA8KNq56zIleO4I)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/editorial/3357
$$\|x^2-14x+24\| = ax+1$$
を満たす実数 $x$ がちょうど $3$ つ存在するような実数 $a$ の総和は, 互いに素な正整数 $s, t$ を用いて $\dfrac{s}{t}$ と表せるので, $s+t$ を解答してください.