　条件より $5n$ がもつ素因数の集合は $\\{2,5,7\\}$ であるから，$n=2^a5^b7^c$ と表せる．このとき，
$$\frac{f(5n)}{f(n)}=\frac{(5n)^{(a+1)(b+2)(c+1)\/2}}{n^{(a+1)(b+1)(c+1)\/2}}=5^{(a+1)(b+2)(c+1)\/2}n^{(a+1)(c+1)\/2}$$
である．これが $140^{90}=2^{180}5^{90}7^{90}$ に等しいことから，各素因数の指数を比較して
$$a(a+1)(c+1)=360,\quad (a+1)(b+1)(c+1)=90,\quad (a+1)c(c+1)=180. $$
これは $(a,b,c)=(8,1,4)$ を唯一の解にもつから，特に解答すべき値は $\textbf{3073280}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/2002
　 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_m^{a_m}$ と素因数分解されるすると， $f(n)=n^{\frac{1}{2}(a_1+1)(a_2+1)…(a_m+1)}$ であることを示す．

$$
\begin{aligned}
f(n)&=f\left(\prod_{k=1}^{m}p_k^{a_k}\right) \\\\
&=\prod_{i_1=0}^{a_1}\prod_{i_2=0}^{a_2}…\prod_{i_m=0}^{a_m}\left(\prod_{k=1}^{m}p_k^{i_k}\right) \\\\
&=\prod_{k=1}^{m}p_k^{\sum_{i_1=0}^{a_1}\sum_{i_2=0}^{a_2}…\sum_{i_m=0}^{a_m}i_k} \\\\
&=\prod_{k=1}^{m}p_k^{\frac{1}{2}(a_k+1)\prod_{i=1}^{m}(a_i+1)} \\\\
&=n^{\frac{1}{2}\prod_{i=1}^{m}(a_i+1)}
\end{aligned}
$$

　特に本問では， $n=2^a5^b7^c$ と置くと， $f(n)=n^{\frac{1}{2}(a+1)(b+1)(c+1)}$ となる．
公式解説の補足
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/2002/372
　正の整数 $x$ に対し，その正の約数の総積を $f(x)$ で表します．このとき，
$$\frac{f(5n)}{f(n)}=140^{90}$$
をみたす正の整数 $n$ の総和を解答してください．