　三角形の $3$ 辺の長さを $a,b,c ~ (a\leq b\leq c)$ とおく．Heronの公式より，以下が成り立つ：\
$$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=2^{4051}.$$
これより，（三角不等式に注意して）非負整数 $p,q,r,s$ を用いて
$$a+b+c=2^p, \quad -a+b+c=2^q, \quad a-b+c=2^r, \quad a+b-c=2^s$$
とおくと，$p\gt q\geq r\geq s$ であり，また以下が成り立つ：\
$$p+q+r+s=4051, \quad 2^p=2^q+2^r+2^s.$$
第2式から $p=q+1=r+2=s+2$ が必要であり，第1式とあわせて
$$(p,q,r,s)=(1014,1013,1012,1012)$$
とわかる．このとき，確かに $a,b,c$ は正整数である．特に，周の長さは $2^{1014}$ であり，解答すべき値は $\mathbf{1015}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/8281
　各辺の長さが正整数値であり，面積が $2^{2023}\cdot\sqrt2$ である三角形について，その周の長さ $N$ は一意に定まります．$N$ の持つ正の約数の個数を解答してください．