　$MX = 12x$ と置く. このとき, $BM = 18x$ である. また, 
$$\angle XHC=\angle XBC=\angle XDM,\quad \angle XCH=\angle XBH=\angle XMD$$ より三角形 $XDM$ と $XHC$ は相似であり, よって三角形 $XDH$ と $XMC$ も相似である.さらに, 直線 $BH$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点の内 $B$ でない方を $Y$ とすると,
$$HY=2HD,\quad CB=2CM$$
であるから, 三角形 $XBC$ と $XYH$ は相似である. また,
$$\angle XYB=\angle XBM=\angle XDM$$
より, 三角形 $DMX$ と $YMD$ は相似である. よって, $DM=BM=18x$ より, 
$$XY=MY-MX=DM\times\frac{DM}{MX}-12x=15x,\quad BX=XY\times\frac{CX}{HX}=20x$$
である. 以上と中線定理より
$$(20x)^2+4^2=2((12x)^2+(18x)^2)$$
が成立するので, これを解いて $x=\dfrac{2}{\sqrt{134}}$ を得る. 従って, $BC=36x=\dfrac{72}{\sqrt{134}}$ である. 特に, 解答すべき値は $\bf{206}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/6900
　三角形 $HBC$ の外接円と直線 $XM$ の $X$ ではない交点を $P$ とする．$BC=12x$ とすれば $BM=6x, XM=4x$ から $BP=6, PM=9x$ であり\
$\angle HPC =\angle HBM = \angle HDM = \angle BXM$ から $CH=BP=6, PH=BC=12x$ で，四角形 $CPHX$ にトレミーの定理を適用して $CP=10x$となる．よって $BX=\dfrac{20}3x$ となり，あとは公式解説と同様の中線定理を用いれば良い．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/6900/279
　特に新しい点を取らない方法です．

　公式解説と同様に，$\triangle{XHC} \sim \triangle{XDM}$，$\triangle{XDH} \sim \triangle{XMC}$ ．さらに，点 $M$ 中心，直径 $BC$ の円を考えればわかるが，$MB=MC=MD$ である．\
　求めたい $BC$ の長さを $x$ と置くと，$MB=MC=MD=\dfrac{x}{2}$，$MX=\dfrac{x}{3}$．さらに，先ほどの相似を使って，$HC=6$，$HD=\dfrac{3}{8}x$ である．ここで，$CD$ の長さを $x$ で表すことができれば，$\triangle{CDH}$ に三平方の定理を用いることで，$x$ の値が求まる．そこで，$\angle C$ の余弦（正弦でもよい）がわからないかと図をよく見れば，$\triangle{HXC}$ に目が行く．\
　具体的には，$\triangle{HXC}$ の $3$ 辺の長さが分かっているので，余弦定理から $\angle HXC$ の余弦が求まる．$\angle HXC=90^\circ+\angle C$ を用いて，$\angle C$ の余弦が求まり，$CD$ の長さが $\dfrac{\sqrt{455}}{24}x$ であるとわかる．あとは，先述の三平方の定理を使えばよい．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/6900/284
　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とします．直線 $BH$ と辺 $AC$ の交点を $D$，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，三角形 $HBC$ の外接円と三角形 $BDM$ の外接円の交点のうち $B$ でない方を $X$ とします．このとき, 以下が成立しました：
$$BC=3XM,\quad HX=3,\quad CX=4.$$
このとき，辺 $BC$ の長さは正整数 $a, b$（$b$ は平方因子をもたない）を用いて $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください．