　三角形 $ABC$ の $\angle{A}$ に対する傍心を $P$ とする．このとき，四角形 $BPCI$ は $PI$ を直径とする円に内接する．また，この円の中心，すなわち線分 $PI$ の中点を $M$ とする．\
　円周角の定理より $\angle{BPI}=\angle{BCI},\ \angle{BMI}=2\angle{BPI}$ であり，$I$ が三角形 $ABC$ の内心であることから，$2\angle{BCI}=\angle{ACB}$ が成り立つ．よって，$\angle{ACB}=2\angle{BCI}=2\angle{BPI}=\angle{BMI}=\angle{BMA}$．すなわち，円周角の定理の逆より四角形 $ABMC$ は円に内接する． \
　$AI:CD=5:4$ より，$AI=5x,\ CD=4x$ とする．円周角の定理より $\angle{BPI}=\angle{BCI}=\angle{ACI}$ であり，
- $\angle{BAD}=\angle{CAD}$ であるから，三角形 ${APB}$ と ${ACI}$ は相似．
- $\angle{CDI}=\angle{PDB}$ であるから，三角形 ${CDI}$ と ${PDB}$ は相似．

従って，
$$PD:CD=PB:CI=AB:AI=1:x$$
であり，$CD=4x$ であるから $PD=4$ である．ここで，外角の二等分線に関する定理より$AB:BD=AP:PD$ であるから，
$$BD\times(AD+4)=4\times5$$
が成り立つ．今，$AD\times BD=8$ であるから，$BD=3$ が分かる．従って，$AD=\dfrac{8}{3}$ もわかる．\
　よって，$ID=AD-AI=\dfrac{8}{3}-5x$ であるから，方べきの定理より
$$BD\times CD=3\times 4x = 4\left\(\frac{8}{3}-5x\right\) = DI\times PD$$
であり，これを解けば $x = \dfrac13$ を得る．よって，$AI=\dfrac{5}{3},\ CD=\dfrac{4}{3},\ DI=1$ である．従って，
$$AC = CD\times \frac{AI}{DI} = \frac{20}{9}$$
である．以上より，$AB=5,\ BC=\dfrac{13}{3},\ CA=\dfrac{20}{9}$ であるから，三角形 ${ABC}$ の面積はHeronの公式より，
$$\sqrt{\frac{52}{9}\left\(\frac{52}{9}-5\right\)\left\(\frac{52}{9}-\frac{13}{3}\right\)\left\(\frac{52}{9}-\frac{20}{9}\right\)}=\frac{104\sqrt{14}}{81}$$
である．特に解答すべき値は $81+104+14=\mathbf{199}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/5475
　OMC184(D) で見た"Stewart の定理の系"を用いる方法です．式は $AD^2=AB×AC-BD×CD$ です．（余談ですが，OMC184でTesterをし，解説を詳細に読み込んだので，思いついた解法です．）

---

　$BD=a$ と置く．角二等分線の性質を用いて，$AI=5x$，$DI=ax$ と置ける．このように置くと，$AI:CD=5:4$ より $CD=4x$ である．再度，角二等分線の性質より $AC=\frac{20x}{a}$ である．先述の Stewart の定理の系より，
$$(5x+ax)^2=5×\dfrac{20x}{a}-a×4x$$
　また，$AD×BD=8$ より $(5x+ax)a=8$．あとは，連立方程式を解けば，三辺の長さが求まる．以下は公式解説を参照．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/5475/318
　三角形 $ABC$ の内心を $I$ とし，直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，
$$AB = 5,\quad AI:CD=5:4,\quad AD\times BD=8$$
が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ によって $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ の値を解答してください．