　$f(x)=\sqrt{3}x^2-6x+2\sqrt{3}$ とおくと与式は 
$$f(f(x))-x=0$$
と表される．ここで $f(x)-x=0$ の解の一つを $\alpha$ とおくと $f(\alpha)=\alpha$ より
$$f(f(\alpha))-\alpha=f(\alpha)-\alpha=0$$
から，$\alpha$ は $f(f(x)) -x = 0$ の解の一つである．ゆえに与式は $f(x)-x$ で割り切れる． 
実際に計算すると，
$$f(f(x))-x=(\sqrt{3}x^2-7x+2\sqrt{3})(3x^2-5\sqrt{3}x+1)$$
と因数分解でき，
- $\sqrt{3}x^2-7x+2\sqrt{3}=0$ の解は $x=\dfrac{\sqrt{3}}{3},2\sqrt{3}$  
- $3x^2-5\sqrt{3}x+1=0$ の解は $x=\dfrac{5\sqrt{3}\pm 3\sqrt{7}}{6}$  

である．ここで　
$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{5\sqrt{3}-3\sqrt{7}}{6}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}\gt 0$$

なので最小の解は $x=\dfrac{5\sqrt{3}-3\sqrt{7}}{6}$ であり，解答すべき値は $5\times 3\times 3\times 7\times 6=\textbf{1890}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/4021
　$x$ の $4$ 次方程式 
$$\sqrt{3}(\sqrt{3}x^2-6x+2\sqrt{3})^2-6(\sqrt{3}x^2-6x+2\sqrt{3})+2\sqrt{3}-x=0$$ 
の実数解のうち、最小のものは $1$ 桁の正の整数 $a,b,c,d,e$ を用いて 
$$\dfrac{a\sqrt{b}-c\sqrt{d}}{e}$$ 
と表されるので，積 $abcde$ を解答してください．