　$B$ に関して $E$ と対称な点を $F$ とすれば, $D,E,F$ は $A$ を中心とする同一円周上にあり, $CD$ はこれに接する. したがって, 正整数 $a,b$ を用いて $BE=a, CE=b$ と表せば, 方べきの定理より
$$b(2a+b)=CE\times CF=CD^2=2^{20}\times 3^2$$
したがって, $b$ としてあり得るものは $2^{20}\times 3^{2}$ の約数であるような $2^{10}\times 3$ 未満の偶数であり,
$$2^{11}\lt 2^{10}\times 3\lt 2^{12}, \quad 2^{8}\times 3^2\lt 2^{10}\times 3\lt 2^{9}\times 3^2$$
より, 求める総和は以下のように計算できる. 
$$\sum_{k=1}^{11} 2^k+\sum_{k=1}^{9} (2^k\times 3)+\sum_{k=1}^{8} (2^k\times 3^2)=\textbf{11750}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/editorial/2067
　[ $BE=a,CE=b$ とおいたとき， $b(2a+b)=3^2\times2^{20}$ が成り立つことの別証]\
 ${AD}^2={AE}^2=x^2+{AB}^2$ に注意して， $({AC}^2=){AB}^2+{BC}^2={AD}^2+{CD}^2$ より， ${AB}^2+(a+b)^2=a^2+{AB}^2+{(3\times2^{10})}^2$\
 これを整理して， $b(2a+b)=3^2\times2^{20}$ を得る．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/editorial/2067/147
　$\angle B,\angle D$ がともに直角である凸四角形 $ABCD$ は, $AB\lt AD$ および $CD=3\times 2^{10}$ をみたします. ここで辺 $BC$ 上に $AD=AE$ なる点 $E$ をとると, $BE,CE$ の長さはともに正整数値となりました.\
　このとき, $CE$ の長さとしてあり得る値の総和を求めてください.