　点 $A$ を通り $BC$ に平行な直線と $\omega$ の交点を $A^\prime$ とし, 弧 $BAC$ の中点を $N$ とする. 直線 $A^\prime Q$ は三角形 $A^\prime BC$ のsymmedianであるから, 四角形 $A^\prime BQC$ は調和四角形である. よって, 直線 $A^\prime P$ と $QN$ は直線 $BC$ 上で交わるので, この点を $T$ とする. また, 三角形 $TPN$ の垂心を $H$ とすれば, $H$ は直線 $PQ, MT$ の交点であるから $H=R$ であり, 従って $R$ は直線 $A^\prime N$ 上にあることが分かる. よって, $R$ を中心とする $\omega$ が変化しないような反転をすると調和四角形 $APA^\prime N$ は四角形 $SQNA^\prime$ に移るから, これも調和四角形である. また, 四角形 $BQCA^\prime$ も調和四角形であったから, $\omega$ の $A^\prime, Q$ での接線, 直線 $BC, SN$ は一点で交わるので, この点を $X$ とする. 直線 $SN$ は $\angle BSC$ の外角の二等分線であるから, 
$$BS : CS = BX : CX = A^\prime B^2 : A^\prime C^2 = AC^2 : AB^2$$
が分かる. よって, $BS = 144x$ とすれば, 余弦定理より
$$\frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\times AB\times AC} = \cos\angle BAC = \cos\angle BSC = \frac{(49x)^2 + (144x)^2 - BC^2}{2\times 49x\times 144x}$$
が分かり, これを解くことで $x = \dfrac{11}{\sqrt{17089}}$ を得る. 従って, Ptolemyの定理より
$$AS = \frac{AC\times BS - AB\times CS}{BC} = \frac{1385}{\sqrt{17089}}$$
を得るので, 特に解答すべきは $\bf{18474}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/imo2022-day1/editorial/5223
　ここでは,  $R$ の位置を特定することを目標とします.  
　今,  $AP$ と $BC$ の交点を $T$ とすれば, 円周角の定理などを用いて以下のような角度計算を実行することにより $4$ 点 $A,T,Q,R$ の共円がわかります. $$\angle{TRQ}=\angle{BCQ}-\angle{RQC}=\angle{BAQ}-\angle{PBC}=\angle{BAQ}-\angle{BAP}=\angle{PAQ}$$
　ここから方べきの定理より以下が成り立ちます. $$AM×MQ=TM×MR$$
　一方 $4$ 点 $A,B,Q,C$ の共円に留意すれば, 方べきの定理より以下が成り立ちます. $$AM×MQ=BM×CM=\left(\frac{11}{2}\right)^2=\frac{121}{4}$$
　今, $BT:TC=7:12$ なので, $$TM= BM-BT=\dfrac{11}{2}-11×\dfrac{7}{7+12}=\dfrac{55}{38}$$
であり, 以上から $$MR=\frac{AM×MQ}{TM}=\frac{121}{4}×\frac{38}{55}=\frac{209}{10}$$
と求まりました.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/imo2022-day1/editorial/5223/100
$$BP:PC = 1:1,　BQ:QC=12:7$$
が容易に分かる．$\triangle CQR$ と $\triangle PBR$ ，$\triangle BQR$ と $\triangle PCR$ はそれぞれ相似であるから
$$CR=QR\times \frac{PC}{BQ} = BR\times \frac{QC}{BP}\times \frac{PC}{BQ} =\frac{7}{12}BR$$
であり，これより $CR=\dfrac{77}{5}$ を得る．あとは三平方の定理や方べきの定理を適当に用いて答えを求めることができる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/imo2022-day1/editorial/5223/101
　三角形 $ABC$ の外接円を $\omega$ とし, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $\angle A$ の二等分線と $\omega$ の交点を $P$ とし, 直線 $AM$ と $\omega$ の交点を $Q$ とします. 直線 $BC$ と直線 $PQ$ の交点を $R$ とし, 直線 $AR$ と $\omega$ の交点のうち $A$ でない方を $S$ とします. 
$$AB = 7,\quad BC = 11, \quad CA = 12$$
であるとき, 線分 $AS$ の長さを求めてください. ただし, 求める答えは平方因子を持たない正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ と表せるので, $a + b$ を解答してください.