　互いに素な正整数 $m\gt n$ を用いて $a=m\/n$ と表せたとする. このとき, 条件より $1000m\/n$ と $1000n\/m$ はともに整数であり, $100m\/n$ と $100n\/m$ はともに整数でない.
ここで $m$ と $n$ が互いに素であることから, $m,n$ はともに $1000$ の約数であり, $100$ の約数でない.\
　したがって $(m,n)=(125,8)$ となるほかなく, 求める値は $125+8=\textbf{133}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc016/editorial/100
　$a$ と $\displaystyle \frac{1}{a}$ がいずれも小数第 $3$ 位までの有限小数として表されるような $1$ 以上の有理数 $a$ の総和を求めてください.\
　ただし, 答えは最大公約数が $1$ であるような正整数 $b,c$ を用いて $\displaystyle \frac{b}{c}$ と表されるので, $b+c$ を解答してください.\
　ここで, $N$ が小数第 $n$ 位までの有限小数であるとは, $N$ を十進数の小数として表したとき小数第 $n$ 位が $0$ でなく, かつ任意の正整数 $k$ について小数第 $n+k$ 位が $0$ であることを指します.