　声が裏返らない整数, すなわち「$3$ の倍数でなく, かつ $3$ が付かない」ものを数え上げればよい. さらに, $3$ の倍数でないことは, 各位の数の和が $3$ の倍数とならないことである, $3$ を除く $0$ から $9$ の数字を, 以下のように分類する.
$$A:\\{0,6,9\\},\quad B:\\{1,4,7\\},\quad C:\\{2,5,8\\}$$

(i) $999$ 以下の場合：各桁の組み合わせとしてあり得るものは以下であり, ${}_3\mathrm{C}_1×3^3×6=486$ 個ある.
$$(A,A,B),(A,A,C),(A,B,B),(A,C,C),(B,B,C),(B,C,C)$$

(ii) $1000$ 以上 $1999$ 以下の場合：下 $3$ 桁の組み合わせとしてあり得るものは以下である.
$$(A,A,A),(A,A,B),(A,B,C),(A,C,C),(B,B,B),(B,B,C),(C,C,C)$$
その総数は $3^3\times3+{}_3\mathrm{C}_1×3^3×3+3!×3^3\times 1=486$ 個と計算できる.

　$2000$ 以上 $2021$ 以下では $14$ 個であるから, 求める場合の数は $2021-(486+486+14)=\textbf{1035}$ である. \
　なお，(i) (ii) それぞれの数え上げについては, 空いている $3$ 桁の内 $2$ 桁を $3$ 以外の数字で自由に決め, 残り $1$ 桁は和が $3$ の倍数にならない様に $6$ 個から選ぶと考えて, $9\times9\times6=486$ と計算することでも求められる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc076/editorial/1746
　十進法表記で桁の数字に $3$ を持つ正整数を，昇順で並べた数列を $\left\\{a\_n\right\\}\_{n=0,1,...}$ とする．このとき以下の補題を示そう．

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**オモローの補題**\*．任意の $n$ に対して $a\_n \equiv n \pmod3$ が成立する．

**証明**．$3$ を法とする．任意の $n$ に対して，$a\_{n+1} - a\_n$ は $1, 4, 7, 10$ のどれかであり，いずれの場合も $1$ と合同．また $a\_0 = 3 \equiv 0$ であるから，帰納的に主張を得る．

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　$\left\\{a\_n\right\\}$ に現れない正整数を昇順で並べた数列 $\left\\{b\_n\right\\}\_{n=0,1,...}$ について，十進法表記での $b_n$ の各桁の数字を
$$ k \to \begin{cases} k & (k = 0, 1, 2) \\\\ k - 1 & (k = 4,\ldots, 9) \end{cases} $$
と置き換えて九進法で解釈したものは，番号 $n$ に一致．$2021$ は $\left\\{a\_n\right\\}$ に現れず，また $2021\_{(10)} - 2021\_{(9)} = 544\_{(10)}$ より，$1,\ldots,2021$ のうち $\left\\{a\_n\right\\}$ に現れるものは $544$ 個．  
　ここでオモローの補題より，$\left\\{a\_n\right\\}$ に現れる $544$ 個のうち $3$ の倍数**でない**のは $362$ 個．$1,\ldots, 2021$ の中に $3$ の倍数は $673$ 個あるから，求める個数は $362 + 673 = \mathbf{1035}$．

　なお，$2021$ を一般に $N \ge 1$ とおくと， $\left\\{b\_n\right\\}$ に現れる $N$ 以下の最大の整数を $b\_m$（上と同様の議論で簡単に $m$ が求まる）としたとき，求める個数は
$$ \left\lfloor\frac{2 \left(N - m - 1\right)}3\right\rfloor + \left\lfloor\frac N3\right\rfloor\mathclose{}. $$

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*　ここだけの呼称である．
オモローの補題
https://onlinemathcontest.com/contests/omc076/editorial/1746/30
　OMC君は数を数えるとき, それが $3$ の倍数であるとき, または十進法表記で $3$ が現れるときに声が裏返ってしまいます. OMC君が $1$ から $2021$ まで整数を順に数えるとき, 声が裏返ってしまう整数はいくつありますか？