　与方程式の $2$ 解としてあり得るものは, 解と係数の関係より和が $20$ であることから
$$(1,19),(2,18),\ldots,(9,11),(10,10)$$
である. $\alpha$ は $2$ 解の積であるから, 求める総和は $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k(20-k)=\textbf{715}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc066/editorial/1671
　$x$ についての二次方程式
$$x^2-20x+\alpha=0$$
が二つの実数解（重解でもよい）をもち，かつそれらがすべて正整数であるような, 実数 $\alpha$ の総和を求めてください.