　$3$ 交点を通る円を $C$ として，その方程式を $x^2+y^2+ax+by+c=0$ とする．$2$ 曲線の交点を $(\alpha_1,\alpha_1^2),(\alpha_2,\alpha_2^2),(\alpha_3,\alpha_3^2)$ とする．$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ は次の $3$ 次方程式の $3$ 解である．
$$x^3-x^2-\frac{17}{12}x+\frac{7}{22}=0$$
点 $(\alpha_1,\alpha_1^2),(\alpha_2,\alpha_2^2),(\alpha_3,\alpha_3^2)$ は $C$ 上にあるので，$x=\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ に対して次が成り立つ．
$$\begin{aligned}
0&=x^4+(b+1)x^2+ax+c\\\\
&=\bigg(x^3-x^2-\frac{17}{12}x+\frac{7}{22}\bigg)(x+1)+\bigg(b+\frac{41}{12}\bigg)x^2+\bigg(a+\frac{145}{132}\bigg)x+\bigg(c-\frac{7}{22}\bigg)\\\\
&=\bigg(b+\frac{41}{12}\bigg)x^2+\bigg(a+\frac{145}{132}\bigg)x+\bigg(c-\frac{7}{22}\bigg)
\end{aligned}$$
したがって $(a,b,c)=\bigg(-\dfrac{145}{132},-\dfrac{41}{12},\dfrac{7}{22}\bigg)$ を得るので，$C$ の半径は
$$\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}=\sqrt{\frac{101125}{34848}}$$
である．特に解答すべき値は $\bf135973$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/11788
　与えられた $2$ 式から，交点 $(X,Y)$ は

$$Y = XY - \dfrac{17}{12}X + \dfrac{7}{22}，XY = Y^2 - \dfrac{17}{12}X^2 + \dfrac{7}{22}X$$

　すなわち

$$XY = Y + \dfrac{17}{12}X - \dfrac{7}{22} = Y^2 - \dfrac{17}{12}X^2 + \dfrac{7}{22}X$$

　すなわち

$$\begin{aligned}
0
&= -\dfrac{17}{12}X^2 + Y^2 + \left\(\dfrac{7}{22} - \dfrac{17}{12}\right\)X - Y + \dfrac{7}{22}\\\\
&= X^2 + Y^2 - \dfrac{145}{132}X - \dfrac{41}{12}Y + \dfrac{7}{22}\\\\
\end{aligned}$$

　を満たすから，円の式は $\left\(x - \dfrac{145}{264}\right\)^2 + \left\(y - \dfrac{41}{24}\right\)^2 =\dfrac{101125}{34848}$
直接導出する方法
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/11788/704
　$xy$ 平面において，曲線 $y=x^2$ と曲線 $y=x^3-\dfrac{17}{12}x+\dfrac{7}{22}$ は $3$ つの交点をもち，これらは同一直線上にはありません．この $3$ 点を通る円の半径は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるため，$a+b$ の値を解答してください．