　一般に非負整数 $n$ に対し，$4a+2b+c+d=2n$ の非負整数解 $(a,b,c,d)$ の個数を数える．$c,d$ の偶奇が一致することから，非負整数 $p,q$ を用いて $(c,d)=(2p,2q)$ または $(2p+1,2q+1)$ と表せ，それぞれについて条件は $b+p+q=n-2a$，$b+p+q=n-2a-1$ となる．この $2$ つの方程式のどちらかを満たす非負整数の組 $(a,b,p,q)$ の個数は，$b+p+q \leq n$ を満たす非負整数の組 $(b,p,q)$ の個数と等しい．さらにこれは $b+p+q+r=n$ を満たす非負整数の組 $(b,p,q,r)$ の個数と等しい．最後に $n=0,1,\ldots, 50$ で総和をとれば，$b+p+q+r+s=50$ を満たす非負整数の組 $(b,p,q,r,s)$ の個数と等しいから，それは ${}\_{5}\mathrm{H}\_{50}={}\_{54}\mathrm{C}\_{50}=\mathbf{316251}$ と求まる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/8139
　$4a+2b+c+d+2e=100$ を満たす非負整数の組 $(a,b,c,d,e)$ の個数を求めればよい．  
$$E\_1:=\lbrace(4a,2b,c,d,2e)\mid 4a+2b+c+d+2e=100\rbrace$$
$$E\_2:=\lbrace(2a,2b,2c,2d,2e)\mid 2a+2b+2c+2d+2e=100\rbrace$$
とする．ただし，いずれの集合でも $a,b,c,d,e$ は非負整数である．

ここで，$\varphi:E\_1\to E\_2$ を以下で定める: 
$$\varphi (4a,2b,c,d,2e)=\begin{cases}
(4a,2b,c,d,2e) & (c\equiv d \equiv 0\pmod2)\\\\
(4a+2,2b,c-1,d-1,2e) & (c\equiv d \equiv 1\pmod2)\\\\
\end{cases}$$
すると，逆写像 $\varphi\^{-1}$ が以下で定まることが分かる:
$$\varphi\^{-1} (2a,2b,2c,2d,2e)=\begin{cases}
(2a,2b,2c,2d,2e) & (2a \equiv 0\pmod4)\\\\
(2a-2,2b,2c+1,2d+1,2e) & (2a \equiv 2\pmod4)\\\\
\end{cases}$$ 

すなわち，$E\_1$ と $E\_2$ には $1$ 対 $1$ 対応があるので，$E\_1$ の元の数の代わりに $E\_2$ の元の数を数えればよく，答えは $\displaystyle\binom{54}{4}$ である．
全単射を構成
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/8139/464
　答えは $4a+2b+c+d+2e=100$ を満たす非負整数 $(a,b,c,d,e)$ の組の個数に等しい．よって答えは

$$\begin{aligned}
& [x^{100}] \dfrac{1}{(1-x)^2(1-x^2)^2(1-x^4)} \\\\
&= [x^{100}] \dfrac{(1+x)^2(1+x^2)^4}{(1-x^4)^5} \\\\
&= [x^{100}] \dfrac{1+2x+5x^2+8x^3+10x^4+12x^5+10x^6+8x^7+5x^8+2x^9+x^{10}}{(1-x^4)^5} \\\\
&= 5 \times [x^{92}] \dfrac{1}{(1-x^4)^5} + 10 \times [x^{96}] \dfrac{1}{(1-x^4)^5} + [x^{100}] \dfrac{1}{(1-x^4)^5} \\\\
&= 5 \times \binom{27}{4} + 10 \times \binom{28}{4} + \binom{29}{4} \\\\
&= \mathbf{316251}
\end{aligned}$$

　四行目への式変形では冪級数の形で表したとき $\dfrac{1}{(1-x^4)^5}$ が次数が $4$ の倍数の項しか持たないことを用いた． \
　五行目への式変形では $\dfrac{1}{(1-x^4)^5}=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+4}{4}x^{4i}$ を用いた． \
　（一般に $\dfrac{1}{(1-x)^n}=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+n-1}{n-1}x^i$ が成り立つ．）
形式的冪級数（母関数）を用いた解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/8139/473
　$4a+2b+c+d$ が $0$ 以上 $100$ 以下の**偶数**となるような**非負整数** $(a,b,c,d)$ の組はいくつありますか？