　ある正整数 $m$ について，$a_m = 1$ ならば任意の $ n \geq m $ を満たす正整数 $n$ について，$a_n = 1$ となることから，ある $1 \leq n \leq 2023$ を満たす正整数 $n$ に対して $a_n = 1$ となるような $a_1$ であって，かつ $a_1 \gt 3$ を満たすようなものの個数を求めるとよい．\
　ここで，$a_n \gt 0$ ならば常に $a_{n+1} \gt 0$ であることが確認できるから，$a_1 \gt 3$ の場合を考えると，$a_n$ は常に正と考えてよいことが分かる．このとき，ある $0 \lt \theta_n \lt \cfrac{\pi}{2}$ を満たす $\theta_n$ によって $a_n = \tan^2\theta_n$ と一意に表すことができる．
すると，$a_n \neq 1$ ならば，
$$a_{n+1} = \frac{4a_n}{(a_n-1)^2} = \left(\frac{2\tan\theta_n}{1 - \tan^2\theta_n}\right)^2 = \tan^2(2\theta_n)$$
となる．
ここで，$\tan^2(2\theta_n) = \tan^2(\pi - 2\theta_n)$ であることから，数列 $\lbrace \theta_n \rbrace$ は
$$
\theta_{n+1} = \begin{cases}
\pi - 2\theta_n & \bigg( \cfrac{\pi}{4} \lt \theta_n \lt \cfrac{\pi}{2}\bigg)\\\\
2\theta_ n &  \bigg( 0 \lt \theta_n \lt \cfrac{\pi}{4}\bigg)\\\\
\dfrac{\pi}{4} & \bigg(\theta_n = \cfrac{\pi}{4}\bigg)
\end{cases}
$$
をみたす．求めるべきは，ある $1 \leq n \leq 2023$ を満たす正の整数 $n$ に対して $\theta_n = \dfrac{\pi}{4}$ となるような $\theta_1$ であって， $ \dfrac{\pi}{3} \lt \theta_1 \lt \dfrac{\pi}{2}$ をみたすものの個数である．\
　ここで，$\theta_n = \dfrac{\pi}{4}$ となる $n$ のうち最小のものが $m$ となるような $\theta_1$ は，以下の
$2^{m-1}$ 個である．
$$
\frac{1}{2^{m+1}}\pi,\quad
\frac{3}{2^{m+1}}\pi,\quad
\ldots,\quad
\frac{2^m - 1}{2^{m+1}}\pi
$$
このうち $\dfrac{\pi}{3}$ より大きなものの個数は，$m$ が偶数のとき $\dfrac{2^{m-1}+1}{3}$ 個，$m$が奇数のとき $\dfrac{2^{m-1}-1}{3}$ 個であるので，求める個数は
$$ \sum_{k=1}^{1011} \cfrac{2^{2k-1} + 1}{3} \ + \ \sum_{k=0}^{1011} \cfrac{2^{2k} - 1}{3} = \cfrac{2^{2023} - 2}{3}$$
である．Fermatの小定理より，これを素数 $2017$ で割った余りは $\dfrac{2^7-2}{3} = \mathbf{42} $ である.　
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7912
【$a_{n}$ の挙動から遷移図を作る】

$$
f(x)=\begin{cases}
   1 & (x=1) \\\\
   \frac{4 x}{(x-1)^{2}} & (x\neq1)
\end{cases}
$$

とすると, $a_{n+1}=f(a_{n})$.

$f(x)=1$ の実数解は, $x=1, 3\pm2\sqrt{2}$ である.
また, $y=f(x)$ のグラフから, $f(x) \in (0, 3)$ を満たす実数 $x$ は区間 $(0, 3)$ と区間 $(3, \infty)$ に 1つずつ, $f(x) \in (3, \infty)$ を満たす実数 $x$ は区間 $(0, 3)$ にちょうど 2 つ存在する.

よって, $k=1, 2, \\ldots$ に対して, $f^{(k)}(x) \in (0, 3)$ となる実数 $x$ の個数を $p_{n}$, $f^{(k)}(x) \in (3, \infty)$ となる実数 $x$ の個数を $q_{n}$とすると, 
$$p_{n+1}$$

編集中
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7912/289
　$x=\dfrac{4y}{(y-1)^2}$ を $y$ について解いたとき, ($x\gt 0$ にて) $2$ つの解が得られ, そのうち大きい方を 
$$f(x)=\dfrac{x+2+2\sqrt{x+1}}{x}$$
小さい方を 
$$g(x)=\dfrac{x+2-2\sqrt{x+1}}{x}$$
 とする. 漸化式を逆順にみると, この問題は以下のように言い換えられる.
---
**問題**\
 　変数 $x=1$ に以下の操作を $2022$ 回以下好きな回数行う.

- $x$ を $f(x),g(x)$ のいずれかに置き換える.

このとき, 操作後 $x\gt 3$ を満たすような操作列は何通りありますか？

---

　今, 以下の性質が成り立つ.

- $x\gt 3$ のとき, $0\lt f(x),g(x) \lt 3$.
- $x\lt 3$ のとき,  $3\lt f(x),\\;\ 0\lt g(x) \lt 3$.

　よって, 長さ $n$ の操作列で, $x\gt 3 $ となるものの個数を $p_n$ , $x\lt 3$ となるものの個数を $q_n$ とすると, $p_0=0,q_0=1$ 及び, 以下が成り立つ.
$$p_{n+1}=q_n,\\;\ q_{n+1}=2p_n+q_n$$
これを解くと, $p_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3}$ となり, 求めるものは, 
$$\sum_{k=0}^{2022}p_k=\frac{2^{2023}-2}{3}$$
である.

---

　問題を言い換える段階で, 操作列が違うとき操作後の $x$ の値が必ず異なることを示す必要があるが, 操作後の値から($1$ 回分)操作前の値は一意に定まること(と常に $f(x)\neq g(x)$ であること)から示すことができる.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7912/659
　実数列 $\lbrace a_n \rbrace\_{n=1,2,\ldots}$ は以下をみたしています：
$$ a_{n+1} = \begin{cases}
1 & ( a_n = 1)\\\\
\dfrac{4a_n}{(a_n-1)^2} & ( a_n \neq 1)
\end{cases}
$$

さらに $a_{2023} = 1$ であるとき，$a_1$ としてありうる値のうち $3$ より大きいものの個数を，素数 $2017$ で割った余りを解答してください．