　条件を満たすように正整数 $a,b,c,d$ を任意にとる．また，
$$
g(n) = (n+a)(n+b)(n+c)(n+d),\quad x = \frac{bc+ad}{2}, \quad y = \frac{bc-ad}{2}
$$
とおく．$a+d=b+c$ が奇数であるから $ad$ および $bc$ はいずれも偶数であり，$x,y$ はいずれも正整数であることから $g(n)$ は以下のように変形できる．
$$
\begin{aligned}
g(n)
&= (n^2+1357n+ad)(n^2+1357n+bc)\\\\
&= \\{ (n^2+1357n+x) - y \\} \\{ (n^2+1357n+x) + y \\}\\\\
&= N^2-y^2.
\end{aligned}
$$
ただし，最終行で $N=n^2+1357n+x$ とおいた．\
　いま $N^2 - (N - 1)^2 = 2(N - 1) +1$ より，$N\ge y^2+1$ ならば
$$
N^2 - g(n) \lt g(n) - (N-1)^2
$$
が成り立つ．また，正整数 $k$ に対し
$$
\begin{cases}
N^2 - g(n) \lt k^2 - g(n) & \quad (N+1 \leq k)\\\\
g(n) - (N-1)^2 \lt g(n) - k^2 & \quad (1 \leq k \leq N - 2)
\end{cases}
$$
が成立するから，$f(g(n)) = N^2 - g(n) = y^2$ である．$N$ の単調増加性より $N\geq y^2+1$ を満たす正整数 $n$ は無限に存在するから，$m = y^2$ は問題の条件に合致する．\
　逆に，どのように条件を満たす正整数 $a,b,c,d$ をとっても $m = y^2$ の形で表せないとき，仮にうまく正整数 $a,b,c,d$ をとることによって $f(g(n)) = m$ となる正整数 $n$ が存在したとしても，これは不等式 $N-1 \leq y^2$ を満たす．この不等式を満たす正整数 $n$ が有限個であること，および条件を満たす正整数 $a,b,c,d$ の取り方が有限であることから，このような正整数 $m$ は題意を満たさない．\
　以上より，正整数 $m$ が条件を満たすためには，「$a \lt b \lt c \lt d$ かつ $a + d = b + c = 1357$ を満たす整数 $a,b,c,d$ をうまくとることで $m = y^2$ と表せる」ことが必要十分である．このような正整数 $m$ のうち最大のものは以下の値である．
$$
\Biggl( \frac{678 \times 679 - 1 \times 1356}{2} \Biggl) ^2 = \mathbf{52671627009}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc162/editorial/7295
　正の整数 $x$ に対し，$x$ と平方数の差の絶対値としてありうる最小の値を $f(x)$ とします．以下の条件をみたす正整数 $m$ のうち，最大のものを求めてください：
 - $a \lt b \lt c \lt d$ かつ $a + d = b + c = 1357$ をみたす正整数 $a,b,c,d$ をうまくとることで，以下をみたす正整数 $n$ が無数に存在するようにできる：
$$
f\Bigl( (n+a)(n+b)(n+c)(n+d) \Bigl) = m.
$$


<details>
　<summary>$f(x)$ の計算例<\/summary>
    $x=13$ のとき，$13$ と平方数 $0^2,1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2,\ldots $ の差をそれぞれ考えると
    $$ 13,12, 9, 4, 3, 12, \ldots $$
    となります．$n\geq 6$ では $n^2-13 \gt 12$ なので，$f(13)=3$ となります．
<\/details>