　求める総和への $p\times 10^k$ の寄与を考える．$p\times 10^k$ が加算されるのは，$1$ 以上 $p-1$ 以下から任意に用いて，$p+1$ 以上 $9$ 以下からちょうど $k$ 個を用いるときであるから，$2^{p-1}\times{}\_{9-p}\mathrm{C}\_{k}$ 回加算される．よって，$p$ を固定すれば
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{9-p} \bigl(2^{p-1}\times{}\_{9-p}\mathrm{C}\_{k}\times(p\times10^k)\bigr)&=p2^{p-1}\times\sum_{k=0}^{9-p} {} _ {9-p}\mathrm{C} _ {k}10 ^ k\\\\
&=p2 ^ {p-1}\times 11 ^ {9-p}\\\\
&=\frac{11 ^ 9}{2}\times p\left(\frac{2}{11}\right) ^ {p}
\end{aligned}
$$
したがって，$S=\displaystyle \sum _ {p=1} ^ {9} p\left(\frac{2}{11}\right) ^ {p}$ を求めれば良く，
$$
\begin{aligned}
S-\frac{2}{11}S&=\sum _ {p=1} ^ {9} p\left(\frac{2}{11}\right) ^ {p}-\sum _ {p=1} ^ {10} (p-1)\left(\frac{2}{11}\right) ^ {p}\\\\
&=\sum _ {p=1} ^ {9} \left(\frac{2}{11}\right) ^ {p}-9\left(\frac{2}{11} \right)^{10}\\\\
\implies S&=\frac{22}{81}\left(1-\left(\frac{2}{11}\right)^9\right)-11\left(\frac{2}{11} \right)^{10}
\end{aligned}
$$
以上より，求める総和は $\displaystyle\frac{11 ^ 9}{2}S=\frac{11}{81}\left(11^9-2^9\right)-2^9=\textbf{320214537}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc079/editorial/2671
　他の問題のwriterだったので，writer権限でtesterもやっていたのですが，そのときに思いついた解法を紹介します．

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　便宜上，$0$ も増加的な数とする．以下のように定義する：

- 集合 $A,B$ に対して，$A$ の要素であるが，$B$ の要素でないもの全体の集合を $A\setminus B$ と表す．
- 有限集合 $C$ に対して，$C$ の持つ元の個数を $\lvert C\rvert$ と表し，その $\lvert C\rvert$ 個の元の総和を $S(C)$ と表す．
- $K=1,2,\ldots,9$ に対して，集合 $Z_{K}$ を $1$ の位が $K$ 以下である増加的な数全体で定める．

　いま，増加的な数は集合 $ \lbrace 1,2,\ldots,9 \rbrace $ の部分集合と一対一に対応することから，$\lvert Z_{K}\rvert =2^K$ である．さらに，定義より，$9$ 以下の正の整数 $a,b$ に対して，$a \lt b \iff Z_{a}\subset Z_{b}$ が成立することに留意せよ．いま求めたいものは $S(Z_{9})$ と表せる．\
　$K \geq 2$ を固定して集合 $Z_{K}\setminus Z_{K-1}$ の元 $M$ について考察してみよう．$M$ は増加的な数であるから，$M$ の末尾 $1$ 桁を取り除いた数 $\dfrac{M-K}{10}$ も増加的な数であり，その $1$ の位は $K-1$ 以下であるので，$\dfrac{M-K}{10} \in Z_{K-1}$ である．$\lvert Z_{K}\setminus Z_{K-1}\rvert=\lvert Z_{K-1}\rvert$ であることより，$\dfrac{M-K}{10}$ として考えられる数全体の集合が $Z_{K-1}$ と一致するので，
$$S(Z_{K}\setminus Z_{K-1})=10S(Z_{K-1})+K\lvert Z_{K-1}\rvert=10S(Z_{K-1})+K2^{K-1}$$
である．このことから，$S(Z_{K})=11S(Z_{K-1})+K2^{K-1}$ がわかる．$S(Z_{1})=1$ であるから，得られた式を繰り返し用いて計算することで（筆者はここでOMC電卓を用いた），$S(Z_{9})=\bm{320214537}$ であることがわかる．

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【補足1】ここで得られた $S(Z_{K})=11S(Z_{K-1})+K2^{K-1}$ という漸化式を解いて $K$ に対する一般項を得ることもできるが，$sum(Z_{9})$ を求められさえすればそれでいい本題では，それをする旨味はほとんどない．

【補足2】提出するべき値は，$123456789×511 \lt 10^9×10^3=10^{12}$ より $10^{12}$ 未満であるので，OMC電卓であれば余裕をもって表示することができる．したがってOMC電卓を用いて $511$ 個の整数を足し合わせることでも正解を得られるはずである．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc079/editorial/2671/31
　正整数 $N$ が**増加的**であるとは，$N$ を $10$ 進法で表記した際に各位の数が上位から狭義単調増加となることをいいます．例えば，$157$ や $5$ は増加的ですが，$804$ や $421$ や $334$ は増加的ではありません．\
　増加的な正整数は有限個しか存在しません．それらすべてについて総和を求めてください．