　条件よりある実数 $k$ が存在して
$$f(x)=kg(x)+123, \quad g(x)=\dfrac{1}{k}f(x)+456$$
と表せるから，$k=-\dfrac{41}{152}$ である．これと $f(a)+g(a)=789$ より $g(a)=\mathbf{912}$ がわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/editorial/5198
　次数の等しい実数係数多項式 $f(x),g(x)$ に対し，多項式として $f(x)$ を $g(x)$ で割った余りは $123$，$g(x)$ を $f(x)$ で割った余りは $456$ でした．さらに，$f(a)+g(a)=789$ をみたす実数 $a$ が存在しました．この $a$ に対して，$g(a)$ を求めて下さい．