　$a_{ij}~(i,j\geq2)$ は $1,2,3$ のいずれかである. 以下, $a_{44}$ が $1,2,3$ それぞれであるときの場合の数を調べる. 

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**補題**.　$a_{44}=3$ と $a_{22}=3$ は同値である.  
**証明**.　まず $a_{44}=3$ とする. いま $a_{33}\leq2$ とすると , $a_{43}=a_{34}=3$ が従い , $a_{33}\leq2$ なので $a_{32}=a_{23}=3$ となるが, これは $a_{33}\leq2$ であることに矛盾. よって $a_{33}=3$ である. このとき, 同様にして $a_{22}=3$ である.  
　逆に $a_{22}=3$ であるとき , $a_{21} , a_{12}$ の少なくとも一方は $3$ の倍数である. $a_{21}$ が $3$ の倍数ならば, $a_{32}=3$ となり, 同様に順次 $a_{33}=a_{43}=a_{44}=3$ が従う. $a_{12}$ が $3$ の倍数のときも同様にである.（証明終）

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　補題より $a_{44}=3$ は, $3,6$ が $\\{a_{11} , a_{21} , a_{12}\\}$ に含まれることと同値だから, $3×2×5!=720$ 通りである.

　続いて $a_{44}=2$ の場合を考える. 補題と同様に $a_{22}=2$ だが, 逆は必ずしも成り立つとは限らないことに注意せよ. まず $2,4$ が $\\{a_{11} , a_{21} , a_{12}\\}$ に含まれるときは, 必ず $a_{44}=2$ になるから, これは上と同様に $720$ 通りある.\
　それ以外のとき, すなわち $\\{a_{11} , a_{21} , a_{12}\\}$ に含まれる偶数が $\\{2,6\\}$ または $\\{4,6\\}$ であり，かつ $3$ が含まれない場合を考える. このとき,  $a_{44}=1$ となるのは, 以下の場合であり, かつこれらに限られることが確認できる.
  
- $a_{21} =6$, $a_{31}=3$, $a_{12} , a_{13}$ が奇数. 
- $a_{12} =6$, $a_{13}=3$, $a_{21} , a_{31}$ が奇数.  

よって, この場合の数は $864-24\times 2=816$ 通りと計算できることがわかる. 

　以上より求めるべき平均は$$\frac{3×720+2×1536+1×2784}{5040}=\frac{167}{105}$$となるので, 特に解答すべき値は $\bf{272}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/editorial/3360
　$4×4$ のマス目があり, 以下の要領でそれぞれのマスに一つずつ数を書き込みます. ここで, 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目（$i,j$ は $1$ 以上 $4$ 以下の整数）に書き込まれる数を $a_{ij}$ で表します.

- まず, $1$ 行目または $1$ 列目にある $7$ マスに $1$ 以上 $7$ 以下の相異なる整数をそれぞれ $1$ 回ずつ書き込む.
- 続いてそれ以外のマス（上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目）に, 以下を常にみたすように数を書き込む.
$$a_{ij}=\max\big\\{\gcd(a_{i-1,j-1},a_{i,j-1}), ~ \gcd(a_{i-1,j-1},a_{i-1,j}), ~ \gcd(a_{i,j-1},a_{i-1,j})\big\\}$$

　このとき, 最終的な数の書き込まれ方は $7!$ 通り存在しますが, それらすべてについての $a_{44}$ の（相加）平均を求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.