　正の平方数全体の集合を $D$ とする．まず，
$$f(x^2)=f(x)^2=xf\bigl(f(x)\bigr)$$
をみたす関数 $f$ の性質について一般的に考えよう．いま，
$$f(x^2)^2=x^2f(f(x))^2=x^2f\bigl((f(x)^2\bigr)=x^2f\bigl(f(x^2)\bigr)$$
という変形が可能であることから，条件は与式から以下のように弱められることがわかる．
$$\begin{cases}
f(x)^2=xf(f(x))&(x \notin D)\\\\
f(x)= f(\sqrt{x})^2&(x \in D)
\end{cases}$$
これより特に，$x\in D \iff f(x)\in D$ であることがわかる．第二式より $f(1)=1$ に注意する．\
　ここで，第一式は $x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), \ldots$ が等比数列をなすことと同値である（いま，各項が正整数であることから，公比も正整数値でなければならない．特に，$f(x)$ は $x$ で割り切れることに注意する）．以上の考察により，問題は平方数でない正整数すべてを等比数列に分割することに帰着された．\
　これらを踏まえて，$f(1)+\cdots+f(9)=67$ を考えると，まず以下のようにいくつかの値は確定する．

- $f(9)\leq 67-(1+2+\cdots+8)=31$ により $f(9)=9$ が必要であり，あわせて $f(3)=3$ もわかる．
- $f(4)\neq 4$ のとき $f(4)\leq 67-(1+2+\cdots+9)$ により $f(4)=16$ が必要だが，このとき $f(2)=4\in D$ となり不適．よって $f(4)=4$ で，あわせて $f(2)=2$ もわかる．

　あとは $f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=48$ を考えればよいが，適する組み合わせは以下の $3$ つのみである．
$$ (5,12,7,24), \quad (15,18,7,8), \quad (20,6,14,8)$$
ただし，いずれも平方数であってはならないことに注意せよ（それを除けば $(5,6,21,16)$ も入る）．\
　ここで一つ目の場合について，$f(6)=12$ より $f(24)=48$ だが，一方 $f(8)=24$ より $f(24)=72$ が必要であるから矛盾する．残りの二つについては，それぞれ重複のない二つの等比数列が引き起こされ，それらに入らない部分については $f$ は恒等写像とすれば，全体で適する $f$ となる．以上より，求めるべき値は
$$12341518789+12342061489=\mathbf{24683580278}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/editorial/5222
　正整数に対して定義され正整数値をとる関数 $f$ は，任意の正整数 $x$ に対して
$$f(x^2)=f(x)^2=xf\bigl(f(x)\bigr)$$
をみたし，さらに
$$f(1)+f(2)+\cdots+f(9)=67$$
をみたします．このとき，$f(1),f(2),\ldots,f(9)$ の組み合わせとしてあり得るものすべてについて，それらをこの順に繋げて得られる値の総和を求めてください．
<details><summary>解答形式の例<\/summary>
　例えば，$f(1),f(2),\ldots,f(9)$ の組み合わせとしてあり得るものが
$$(8,14,5,30,3,7,51,2,13),\quad (16,55,2,4,5,7,13,9,10)$$
の $2$ 通りのとき，解答すべき値は
$$8145303751213+1655245713910$$
より $9800549465123$ となります．
<\/details>