　$Q,R$ はそれぞれ線分$AB, AD$ の垂直二等分線に関して $P$ を対称移動させた点である. 従って, 正方形 $ABCD$ の対角線の交点を $M$ とすれば, $M$ は線分 $QR$ の中点である. 従って, 中線定理より $AM^2 = 56$ であるから, 求める答えは $2AM^2 = \bf{112}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/editorial/4273
　正方形 $ABCD$ の内部に点 $P$ をとります．三角形 $ABP$ の外接円と三角形 $CDP$ の外接円の交点のうち点 $P$ でないものを点 $Q$ ，三角形 $BCP$ の外接円と三角形 $DAP$ の外接円の交点のうち点 $P$ でないものを点 $R$ とすると，$AQ = 7$，$AR = 9$，$QR = 6$ となりました．正方形 $ABCD$ の面積を求めてください．