**解法1.**　$B,C$ を固定して $AH$ の長さを最大化する問題と等価である. このとき, $A$ は $BC$ を直径とする円周上を動き, $AH$ すなわち $A$ から $BC$ への距離のとりうる最大値は明らかに $BC\/2$ である.\
　したがって, 元の問題において求める最小値は $18$ である.

**解法2.**　$\triangle ABH$ と $\triangle CAH$ の相似より ${AH}^2=BH\times CH$ が成立するから, 相加・相乗平均の関係より 
$$BC = BH + CH \ge 2 \sqrt{ BH \times CH } = 2 AH = 18$$
逆に $AB=AC$ のとき $BC=18$ を実現するから, 結局 $\textbf{18}$ が求める最小値である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/editorial/1264
　角 $A$ が直角であるような三角形 $ABC$ において, $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると, $AH=9$ が成り立ちました. このとき, $BC$ の長さとしてあり得る最小値を求めてください.