　$α^3=7α-3$ および $β^3=7β-3$ により $α^3-β^3=7α-7β$ であるから，
$$α^2+αβ+β^2=\dfrac{α^3-β^3}{α-β}=7.$$
同様に $β^2+βγ+γ^2=γ^2+γα+α^2=7$ なので，求める値は $7^3=\textbf{343}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc151/editorial/2608
　方程式 $x^3-7x+3=0$ の相異なる $3$ つの実数解を $x=α,β,γ$ としたとき，
$$(α^2+αβ+β^2)(β^2+βγ+γ^2)(γ^2+γα+α^2)$$
の値を求めてください．