　$R_n=\dfrac{10^n-1}{9}$ であるから，
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{11111} R_k=\dfrac{1}{9}\left(\sum_{k=1}^{11111}10^k-11111\right)$$
である．ここで，$\dfrac{1}{9}(10^9+10^8+\cdots+10^1)=123456790$ であることを利用すると，
$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{11111} R_k &= \dfrac{1}{9}(10^9+10^8+\cdots+10^1)(10^{11102}+10^{11093}+\cdots+10^5)+\dfrac{111110-11111}{9}\\\\
&=123456790123456790\cdots12345679011111
\end{aligned}$$
であり，これは $123456790$ が $(11102-5)\/9+1=1234$ 回繰り返しされた後に $11111$ が並んだ数であるから，求める桁和は $(1+2+3+4+5+6+7+9+0)\times 1234 + 5=\mathbf{45663}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc111/editorial/3774
　十進法表記で $1$ が $n$ 個並んだ数を $R_n$ とします．例えば $R_1=1, R_5=11111$ です．このとき 
$\displaystyle \sum_{k=1}^{11111} R_k$
の各位の数字の和を求めてください．