　まず，与えられた値が正になることから $mn-6\gt0$ が必要である．また，相加・相乗平均の不等式より，
$$ (m^2+4)(n^2+9)=(3m+2n)^2+(mn-6)^2\geq2(3m+2n)(mn-6)  $$
が成り立つことから，与式がとりうる正整数値は $1$ のみであり，さらに与式が $1$ であることは上式で等号成立条件を考えることで $3m+2n=mn-6$ と同値である．これは $(m-2)(n-3)=12$ と言い換えられ，これをみたすのは
 $$
(m , n)=(3,15),(4,9),(5,7),(6,6),(8,5),(14,4)
 $$
であるので，求める値は $45+36+35+36+40+56=\mathbf{248}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/11471
　分数が正整数であるためには，分子が分母以上であることが必要だ．すなわち
$$2(3m+2n)(mn-6) \geq (m^2+4)(n^2+9)$$
　が必要条件である．展開して整理すれば次の式になる．
$$m^2n^2-6m^2n-4mn^2+9m^2+4n^2+36m+24n+36 \leq 0$$
　このままでは手の出しようがないので $m$ についての降べきの順にしてみよう．
$$m^2(n-3)^2-4m(n+3)(n-3)+4(n+3)^2 \leq 0$$
　こうなれば，次の変形に気付くだろう．
$$\\{m(n-3)-2(n+3)\\}^2\leq 0$$
　従って $mn-3m-2n-6=0$ を得る．あとは $(m-2)(n-3)=12$ と変形して，$(m,n)$ 組を求めればよい．
（分子）≧（分母）を使う
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/11471/707
$\left(m, n\right)=\left(2\tan\alpha, 3\tan\beta\right) \left(\alpha, \beta \in \left(0, \frac\pi 2\right)\right)$ とおいて与式に代入して整理すると,
$$
\text(与式) = \sin \left(2(\alpha+\beta)\right)
$$
となる. よって, 与式が正の整数となるのは $\alpha+\beta=\frac\pi 4$ のときのみで, このとき
$$
\tan \left(\alpha+\beta \right) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1
$$
に $\tan\alpha=\frac m 2, \tan\beta=\frac n 3$ を代入して整理すると $mn-3m-2n-6=0$ を得る.

---
tan 置換
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/11471/713
[（分子）≧（分母）を使う](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc234\/editorial\/11471\/707)のような因数分解に着想できない場合や, 本問と同様の形式だが係数が変わって因数分解ができない場合のために, 別のアプローチを提示する.

---

与式が正整数であるための必要条件として, 与式が1以上であることが必要である. すなわち,
$$
\frac{2(3m+2n)(mn-6)}{\left(m^2+4\right)\left(n^2+9\right)}\geq 1
$$
である. 与式の分母の次数が分子の次数よりも大きいことから, v
(分子)/(分母)≧1 による緩い評価で候補を絞る
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/11471/715
　正整数の組 $(m,n)$ であって，
 $$
\dfrac{2(3m+2n)(mn-6)}{(m^2+4)(n^2+9)}
 $$
が正整数となるものすべてについて，$mn$ の総和を求めてください．