　$P_1,P_2,\dots,P_6$ のうち $k$ 個以上を通る円を $k$-**通過円**と呼ぶことにする．$k$-通過円が存在するような $k$ の最大値を $K$ とすると，$K$ は $3$ 以上 $6$ 以下の整数である．$K$ の値で場合分けする．

- $K=6$ の場合，$6$-通過円 $C$ を取ると $P_1,P_2,\dots,P_6$ は全て $C$ 上にある．よって $3$ 通過円は $C$ のみであり，$N=1$ となる．

- $K=5$ の場合，$5$-通過円 $D$ を取ると $P_1,P_2,\dots,P_6$ のうちちょうど $5$ 個が $D$ 上にある．一般性を失わずに，$P_1,P_2,\dots,P_5$ は $D$ 上にあり，$P_6$ は $D$ 上にないと仮定できる．このとき $1\leq i\lt j\lt k\leq 5$ に対して $P_i,P_j,P_k,P_6$ は同一円周上にないため，$1\leq i\lt j\leq 5$ に対して $P_i,P_j,P_6$ を通る円は全て相異なる．よって $N=1+{}\_{5}\mathrm{C}\_2=11$ となる．

- $K\leq 4$ の場合，$4$-通過円の個数を $m$ とし，それらを $E_1,\dots,E_m$ とする．$1\leq i\leq m$ に対し，$P_1,P_2,\dots,P_6$ のうち $E_i$ 上にないもの全体のなす集合を $S_i$ とすると $|S_i|=2$ である．また $1\leq i\lt j\leq m$ に対し，$|E_i\cap E_j|\leq 2$ より $|S_i\cup S_j|\geq 4$ なので $S_i\cap S_j=\emptyset$ となる．したがって $m\leq 3$ となり，逆に $m=0,1,2,3$ となるような配置が存在することも確かめられる．$P_1,P_2,\dots,P_6$ から相異なる $3$ 個を選んでそれらを通る円を描く方法は ${}\_{6}\mathrm{C}_3=20$ 通りあるが，このとき $E_1,E_2,\dots,E_m$ は $4$ 回ずつ重複して数えられるので，$N=20-3m=20,17,14,11$ となる．

以上より $N$ としてありうる値は $1,11,14,17,20$ なので，その総和は $\textbf{63}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce010/editorial/10107
　平面上に相異なる $6$ 個の点 $P_1,P_2,\dots,P_6$ があり，どの $3$ 点も同一直線上にないとします．これらの点のうち $3$ 個以上を通る円の個数を $N$ とします．$N$ としてありうる値の総和を求めてください．