　円 $A, B$ の半径をそれぞれ $a, b$ とする．一般性を失わず $a \ge b$ としてよい．線分 $PQ$ の長さが常に $0$ より大きいことから，$A$ と $B$ は共有点を持たない．よって，$B$ は $A$ の外部にあるか，$A$ の内部にあるかのいずれかである． 

- $B$ が $A$ の外部にある場合  
　線分 $PQ$ の最小値は $100-a-b$ ，最大値は $100+a+b$ と表されるが，問題の条件を満たすような $a,b$ は存在しない．

- $B$ が $A$ の内部にある場合 \
　線分 $PQ$ の最小値は $a-b-100$ ，最大値は $a+b+100$ と表されるため，$a-b-100=10$ かつ，$a+b+100=300$ が成り立つ．よって，$a=155$ ， $b=45$ がしたがう．

以上より，解答すべき値は， $155 \times 45= \mathbf{6975} $ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/editorial/11097
　平面上に $2$ つの円 $A,B$ があり，中心間の距離は $100$ です．点 $P$ が $A$ の周上を，点 $Q$ が $B$ の周上を動くとき，線分 $PQ$ の長さとしてありうる最小値は $10$，最大値は $300$ となりました．$A$ の半径と $B$ の半径の積としてありうる値の総和を解答してください．