**補題1.**　$BC$ の中点を $M$ とするとき，$4$ 点 $X,Y,M,D$ は共円である．\
**証明.**　$AB \neq AC$ なので直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点がとれる．これを $Z$ とすると，方べきの定理より
$$ZD\times ZM=ZE\times ZF=ZB\times ZC=ZX\times ZY$$
から示される．ただし, $B,C,E,F$ および $D,E,F,M$ それぞれの共円（九点円）を用いた.
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**補題2.**　$\triangle{ABC}$ の外心を $O$ とするとき，$AO$ の中点 $N$ は $\triangle{DXY}$ の外心である．\
**証明.**　簡単な角度計算より $AO\perp EF$ であるから，$AO$ は $XY$ の垂直二等分線である．すなわち $N$ は $XY$ の垂直二等分線上にある．一方 $N$ は $DM$ の垂直二等分線上にもあるから，以上より示された．
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　方べきの定理から $EA\times EC=EX\times EY=ED\times EP$ であるから，$4$ 点 $A,C,D,P$ は共円である．これより簡単な角度計算によって $\triangle{AEF} \equiv \triangle{AEP}$ がわかり，$AF=AP=26$，同様に $AE=AQ=34$ が従う．一方で，$MR$ は円 $DXY$ の直径であるから，補題2により $N$ は $MR$ の中点でもあり，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすれば $AH=2OM=2AR=38$ である．\
　したがって，$\triangle{AEF}$ は $AE=34,AF=26$ であり, かつ外接円の直径が $38$ であるような三角形である．$A$ から $EF$ におろした垂線の足を $K$ とすれば, 簡単な角度計算により $\triangle{AEH} \sim \triangle{AKF}$ であるから，$AK = \dfrac{442}{19}$ と計算でき，三平方の定理から $EF = EK+FK = \dfrac{156\sqrt{2} + 272\sqrt{3}}{19}$ を得る．特に解答すべき値は $\textbf{452}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc146/editorial/2539
　まず，方べきの定理より $EP\cdot ED=EX\cdot EY=EA\cdot EC$ であるから，$A,D,C,P$ は共円である．さらに $\angle AFC=\angle ADC=90^\circ$ であるから，$A,F,D,C,P$ は共円である．$\angle EDA=\angle ADF=90^\circ-\angle A$ であるから，$AF=AP$ であり，$P$ は直線 $AC$ に関して $F$ と対称な点である．同様に，$Q$ が直線 $AB$ に関して $E$ と対称な点であることもわかる．$D,P,R,Q$ は共円であり，$\angle PDR=\angle RDQ=90^\circ-\angle A$ であるから，$RQ=RP, \angle QRD =2\angle A$ をみたす．よって三角形 $QPR$ と $QEA$ は相似である．したがって三角形 $QAR$ と $QEP$ は相似であり，$QE=\frac{AQ\cdot EP}{AR}$ を得る．すると
$$\sin \angle EFA=\frac{QE\/2}{EF}=\frac{AQ\cdot EP}{2\cdot EF\cdot AR}=\frac{AQ}{2AR}$$
が成り立ち，同様に
$$\sin \angle AEF=\frac{AP}{2AR}$$
が成り立つから，
$$EF=AF\cos\angle EFA+AE\cos\angle AEF=AP\sqrt{1-\frac{AQ^2}{4AR^2}}+AQ\sqrt{1-\frac{AP^2}{4AR^2}}.$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc146/editorial/2539/200
　$AB\neq AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，$A$, $B$, $C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $EF$ の $2$ つの交点を $X$, $Y$ とします（ただし，$X$, $E$, $F$, $Y$ の順で並ぶものとします）．直線 $DE$, $DF$, $DA$ と三角形 $DXY$ の外接円の交点のうち， $D$ でない方をそれぞれ $P$, $Q$, $R$ とすると，
$$AP=26,\quad AQ=34,\quad AR=19$$
が成り立ちました．このとき，線分 $EF$ の長さは正整数 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ を用いて
$$\displaystyle \frac{a\sqrt{b} + c\sqrt{d}}{e}$$
と表せます．ただし $b$, $d$ は平方因子をもたず，$e$ は素数です．$a+b+c+d+e$ を解答してください．