　奇数列目の塗りつぶされたマスの数と，偶数列目の塗りつぶされなかったマスの数の和は $290$ である．したがって，マス目全体から $290$ マスを選び，奇数列目の選ばれたマスと偶数列目の選ばれなかったマスを塗りつぶすことと条件は同義である．よって答えは ${}\_{600}\mathrm{C}\_{290}$ 通りであり，解答すべき値は $\mathbf{890}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/4308
　偶数列目から $k$ マス選び，奇数列目から $k+2$ マス選ぶ方法は ${}\_{288}\mathrm{C}\_{k}\times{}\_{312}\mathrm{C}\_{k+2}$ であり，$k=0,1,\ldots,288$ でのこの式の値の総和は ${(1+x)}^{288}{(1+x)}^{312}$ の $x^{290}$ の係数に等しいことが二項定理よりわかるので，求める場合の数は ${}\_{600}\mathrm{C}\_{290}$ であり，特に解答すべき数値は $\textbf{890}$ である．
多項式の利用
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/4308/168
　縦 $24$ 行，横 $25$ 列のマス目において，いくつかのマスを選んで黒く塗りつぶすと，奇数列目で塗りつぶされたマスの数は偶数列目で塗りつぶされたマスの数よりも $2$ マス多くなりました．このような塗りつぶし方の総数は，$1$ 以上 $10^5$ 以下で $m\leq n\/2$ をみたす整数 $n,m$ を用いて ${}\_{n}\mathrm{C}\_{m}$ と一意に表されるので，$n+m$ を解答してください．