　まず，各ボールを独立にそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ の確率で赤，青，白に塗っていくと考えることで，求めるべきは $RBW$ の期待値と言い換えることができる．また，塗り方を固定したときの $RBW$ の値は，隣り合うボール同士の順序付いた $3$ つの組 $(A_1,A_2,A_3)$ であって，$A_1, A_2, A_3$ に含まれる $2$ つのボールがそれぞれ赤と赤，青と青，白と白で塗られているようなものの数に等しい．
$ \\\ $　そこで, $(A_1, A_2, A_3)$ を選んだ時, $A_1, A_2, A_3$ に含まれる $2$ つのボールがそれぞれ赤と赤, 青と青, 白と白で塗られているとき $(A_1, A_2, A_3)$ のスコアを $1$ , そうでないとき $(A_1, A_2, A_3)$ のスコアを $0$ と定めることで, 全ての $(A_1,A_2,A_3)$ に対するスコアの和が $RBW$ に等しくなり, 求めるべきは全ての $(A_1,A_2,A_3)$ に対するスコアの和の期待値と分かる. これは, $(A_1,A_2,A_3)$ のスコアの期待値の和に等しいため, 各組のスコアの期待値を考えればよいと分かる.
$ \\\ $　まず,  $A_1, A_2, A_3$ が共通部分を持つときは必ずスコアが $0$ となるため, スコアの期待値は $0$ である. 一方, $A_1, A_2, A_3$ が共通部分を持たないときは, スコアが$1$ になる確率が $\left( \dfrac{1}{3} \right)^6 = \dfrac{1}{729}$ であることから, スコアの期待値は $\dfrac{1}{729}$ である. よって, $A_1, A_2, A_3$ が共通部分を持たないような $(A_1,A_2,A_3)$ の数を求めればよいと分かる. 
$ \\\$ 　そこで, まず $A_1$ を固定したときの $A_2, A_3$ の選び方を考える. これは, $2022$ 個のボールが横一列に並んでいるときに, 区別できる隣り合うボール同士の組を $2$ つ重ならないように選ぶ方法に等しく, これは $ {}\_{2020}\mathrm{C}\_{2} × 2 = 4078380$ 通りある. また, $A_1$ の選び方は $2024$ 通りあるため, 条件を満たす $(A_1,A_2,A_3)$ の数は全部で $4078380 × 2024 = 8254641120$ 通りあると分かる. よって, 全ての$(A_1,A_2,A_3)$ に対するスコアの期待値の和は $8254641120 × \dfrac{1}{729} = \dfrac{2751547040}{243}$ となるため, 特に解答すべき値は $\mathbf{2751547283}$ となる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce004/editorial/8291
　最終的にすることは変わりませんが，考え方だけ別解です．たまによく（形容矛盾）見るテクニックです．

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　重要なのは $RBW$ の**組み合わせ的な意味**を考えることです．\
　ボールに適当に $1$ から $2024$ までの番号を付けます（また便宜上，ボール $2025$ はボール $1$ を表すものとします）．このとき，ある塗り方における $RBW$ は次の場合の数に等しいことが分かります．
- $1$ 以上 $2024$ 以下の整数の組 $(r,b,w)$ であって，以下を満たすものの個数．
  - ボール $r$ と $r+1$ はともに赤色である．
  - ボール $b$ と $b+1$ はともに青色である．
  - ボール $w$ と $w+1$ はともに白色である．

これはいわゆる「積の法則」から簡単に分かります．白丸の箇条書きがそれぞれ $R,B,W$ 通りあるからです．\
　この場合の数をすべての塗り方について足し合わせれば，それを $3^{2024}$ で割ることで平均が出せます．以下はこれを考えましょう．

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　ここで**主客転倒**と呼ばれるテクニックが使えます．つまり，「足し合わせる過程においてある組 $(r,b,w)$ は何回寄与するか？」を考えてそれを足し合わせても変わりません．次のことがすぐに分かります．
- ボール $r,r+1, b, b+1, w, w+1$ がすべて異なるとき，「これらのボールを対応する色で塗り，それ以外は自由に塗る塗り方」すべてが $(r,b,w)$ を含むから，この組は $3^{2018}$ 回寄与する．
- そうでないとき，寄与するような塗り方はない（被っているボールは同時に $2$ 色で塗らなければならなくなる）．よって寄与は $0$ 回．

従って，考えるべきことは「ボール $r,r+1,b,b+1,w,w+1$ がすべて異なるような $r,b,w$ はいくつあるか？」に絞られました．なぜなら，これが分かれば，寄与の合計はその $3^{2018}$ 倍であり，これが求めていた総和であるからです．

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　あとは $r$ を固定するなどして，今考えるべきことの答えは $2024 \times (1+2+\cdots+2019)\times 2$  だと分かるので，これで解けました．
別解（典型的？）
https://onlinemathcontest.com/contests/omce004/editorial/8291/537
　円周上に $2024$ 個の互いに区別できるボールがある順序で並んでいます．これらのボールをそれぞれ赤色，青色，白色のいずれか $1$ 色で塗っていきます．このとき，隣り合う $2$ つのボールの組であって，両方とも赤色で塗られたものの数を $R$，両方とも青色で塗られたものの数を $B$，両方とも白色で塗られたものの数を $W$ とします．ボールを塗る方法は全部で $3^{2024}$ 通りありますが，これら全てに対する $RBW$ の相加平均を求めて下さい．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\cfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答して下さい.