　三角形の $3$ 内角の正接を $a,b,c$ とすれば，一般に加法定理より $ c = -\dfrac{a+b}{1-ab} $，すなわち 
$$a+b+c=abc$$
が成り立つ．これより
$$ab+bc+ca=abc\biggl(\frac1a+\frac1b+\frac1c\biggr)=(a+b+c)\biggl(\frac1a+\frac1b+\frac1c\biggr)=-3$$
がわかり，$a,b,c$ は $x$ の方程式 $x^3+x^2-3x+1=0$ の $3$ 解となる．よって $a=1$，すなわちある角は $45^\circ$ としてよく，残りの $2$ 角については $bc=-1$ より差が $90^\circ$，すなわち $112.5^\circ$ と $22.5^\circ$ である．\
　ここで，中心を $O$ とする正八角形 $ABCDEFGH$ を考えると，$ABG$ が考えるべきの三角形の形状に一致する．その面積を $S$，外接円半径を $R$ とする．このとき $AB\times BG=2\sqrt{2}S$ であり，正弦定理より $AG=\sqrt{2}R$ であるから，
$$2000=AB\times AG\times BG=4SR$$
 一方，$AG\parallel BO$ より $S$ は $OAG$ の面積にも等しいから，$2S=R^2$ である．以上より $S=\textbf{50}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/editorial/1749
　直角三角形でない三角形 $\Delta$ が，以下の条件をみたします．

- $\Delta$ の $3$ つの内角の正接（$\tan$）の和は $-1$ である．
- $\Delta$ の $3$ つの内角の正接（$\tan$）の逆数和は $3$ である．
- $\Delta$ の $3$ 辺の長さの積は $2000$ である．

このとき，$\Delta$ の面積を求めてください．