　$AD\neq 9$ である．$AD\gt9$ のとき，直線 $AB$ と直線 $CD$ の交点 $O$ について $BO=7x, CO=8x$ とおけ，
$$\triangle OBC:\triangle OPQ:\triangle OAD=56x^2:(7x+3)(8x+5):(7x+7)(8x+8)$$
が成り立つ．ここで，与えられた条件は
$$\triangle OAD-\triangle OPQ=\triangle OPQ-\triangle OBC$$
と同値であることから，$x=\\dfrac{13}{3}\$とわかる．このとき，三角形 $OAD$ と三角形 $OBC$ の相似に注意して $AD=\\dfrac{144}{13}\$ を得る．\
　$AD\lt9$ のとき，$AD\gt9$ のときと同様に考えると，四角形 $BPQC$ の面積がつねに四角形 $APQD$ の面積より大きくなることがわかり不適である．\
　以上により，解答すべき値は $\bm{157}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc145/editorial/2957
　四角形 $ABCD$ と四角形 $BPQC$ の面積をそれぞれ $S,T$ とし，$AD=x$ とおく．  
 $T=△BCQ+△BPQ=△BCQ+\dfrac{5}{8}△BPD+\dfrac{3}{8}△BPC=\dfrac{3}{8}△BCD+\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{3}{7}△ABD+\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{3}{7}△ABC$  
 より，$T=\Bigl(\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{9}{x+9}+\dfrac{15}{56}\cdot\dfrac{x}{x+9}+\dfrac{9}{56}\cdot\dfrac{9}{x+9}\Bigr)S$ となる．
  
　よって，$\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{9}{x+9}+\dfrac{15}{56}\cdot\dfrac{x}{x+9}+\dfrac{9}{56}\cdot\dfrac{9}{x+9}=\dfrac{1}{2}$ を解いて，$x=\dfrac{144}{13}$ となり，解答すべき数値は $157$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc145/editorial/2957/198
　四角形 $ABCD$ は $AD\parallel BC$ なる台形であり，
$$AB=7,\quad BC=9,\quad CD=8$$
をみたしています．ここで，点 $P$ を辺 $AB$ 上に，点 $Q$ を辺 $CD$ 上に，$BP=DQ=3$ となるようにとったところ，線分 $PQ$ は四角形 $ABCD$ を面積が同じ $2$ つの四角形に分けました．このとき，線分 $AD$ の長さは互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\\dfrac{p}{q}\$ と表せるので，$p+q$ を解答してください．