　$f$ の次数を $d$ とおくと, 条件より明らかに $d\geq 4$ であり, このとき与式の両辺の次数を比較することで
　　$$d+(d-1)+(d-2)+(d-3)=10$$
より $d=4$ を得る. さらに, $4$ 次の係数を $a\gt 0$ とおくと, 最高次の係数を比較して
　　$$a\times 4a\times 12a\times 24a=1152$$
より $a=1$ を得る.\
　$f$ が $x+4$ で割り切れないとき, $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x)f^{\prime\prime\prime}(x)$ は $x+4$ で $6$ 回割り切れるから, 次数を考慮すれば $f^{\prime}(x)=4(x+4)^3$ となるほかない. しかし, このとき $f$ は $x+4$ で割り切れるため不適.\
　したがって, 以下 $f$ は $x+4$ で割り切れるとしてよい. このとき, $f$ は $x+4$ でちょうど $3$ 回割り切れることがわかるから, $f(x)=(x+4)^3(x+m)$ とおくと, $f^{\prime}(x)=(x+4)^2(4x+3m+4)$ より $m=0$ が必要である.\
　逆にこれは与式をみたすから, 求める値は $1\times12\times48\times64=\textbf{36864}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc016/editorial/103
　実数を係数とし, 最高次の係数は正である多項式 $f(x)$ が, 以下をみたします.
$$f(x)f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x)f^{\prime\prime\prime}(x)=1152x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)^6$$
このようなものをすべて求め, それぞれについて $0$ でない係数の総積の総和を求めてください. \
　例えば, $f(x)=2x^2-3,3x^3+5x$ であるとき, 求める値は $2\times(-3) + 3\times 5=9$ です.