　$ACR$ が正三角形となるような点 $R(\neq B)$ について, $AQ$ と $CR$ の交点を $S$ とすれば, $ABP$ と $ACS$ は合同であり, かつ $AR$ と $CQ$ は平行であるから, $AR:CQ=RS:SC=10:11$ を得る. 特に $CQ=\dfrac{231}{10}$ であるから,  解答すべき値は $\textbf{241}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/editorial/1269
　一辺 $21$ の正三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に点 $P$ が, 辺 $BC$ の $C$ 側への延長線上に点 $Q$ があり, $BP=11$ および $\angle BAP=\angle CAQ$ をみたしています. このとき, $CQ$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.