　$n+1$ 人目に "O" が伝わる確率を $P_n$ とおくと，
$$\begin{aligned}P_0&=1\\\\
 P_{n+1}&=\dfrac{9}{10}P_n + \dfrac{1}{10}(1-P_n)=\dfrac{4}{5}P_n+\dfrac{1}{10} 
\end{aligned}$$

が成り立ち，これを解いて $P_n=\dfrac{1}{2}\Bigl(1+\Bigl(\dfrac{4}{5}\Bigr)^n\Bigr)$ を得る．よって，$P_n\leq 0.51$ となる最小の正整数 $n$ は $\textbf{18}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6670
　$n+1$ 人で伝言ゲームをする（$n$ は正整数）．

　人にはそれぞれ $1$ から $n+1$ の番号が付いており，まず人 $1$ には "〇" という記号が伝えられる．人 $1$ からは人 $2$ に $90 \\%$ の確率で "〇" と，$10 \\%$ の確率で "×" と伝える．同様に人 $i~(2\leq i \leq n)$ は $90 \\%$ の確率で人 $(i-1)$ から伝えられた記号を，$10 \\%$ の確率で人 $(i-1)$ から伝えられた記号とは逆の記号を人 $(i+1)$ に伝える．このとき，人 $(n+1)$ に "〇" という記号が伝わる確率が $51 \\%$ 以下になる最小の $n$ を求めよ．

　ただし，$0.3010\lt \log_{10}2\lt 0.3011, 0.4771\lt \log_{10} 3\lt 0.4772$ を用いてもよい．