　サイコロを下向きに $1$ 回転がす移動を $A$，右向きに $1$ 回転がす操作を $B$ とする．移動全体は $A,B$ それぞれ $12$ 回ずつの組み合わせからなる．最初に $6$ が上を向くのは，早くて $2$ 回目である．また，$6$ が上を向いてから次に $6$ が上を向くまでに，移動は最低 $4$ 回必要とする．よって，スコアはたかだか $6$ であることがわかる．\
　さて，$6$ が上に向いてから次に $6$ が上に向くまでに，必ず $1$ は上に向く．また，$6$ が真上を向いている状態で $A\/B$ を実行すれば，次に $A\/B$ を実行したとき，またそのときに限り $1$  が上を向く．これらは逆も同様である．これらのことに留意して，スコアが $6$ となる移動方法を数え上げよう．スコアが $6$ であるとき，$AA$ および $BB$ の「塊」が少なくとも $11$ 個必要であるから，一方が $6$ 個でもう一方が $5$ 個である（ただし，「塊」が12個の場合には，「先頭」からの11個を考えるものとする）．$BB$ が $6$ 個であるとしよう．\
　このとき，$AA$ が $5$ つと $BB$ が $6$ つを $1$ 列に並べる方法は ${}\_{11}\mathrm{ C }\_5=462$ 通りある．それぞれについて，$A$ を $2$ つ適切に挿入すればよいが，適切な位置は「$B$ と $B$ の間」または「末尾」の $7$ 箇所である（「塊」の間に $2$ つまとめて挿入することも可能であるが，これは $AA$ が $6$ 個の場合と重複するため除外する）．よって，挿入の方法は $a_1+a_2+\cdots+a_7=2$ なる非負整数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_7)$ の総数に対応し，${}_{8}\mathrm{ C }_2=28$ 通りである．\
　$AA$ が $6$ 個である場合も同様であり，これらの間に重複は起きないことがわかる．以上より，求めるべき値は $462\times 28\times 2=\bf{25872}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/4386
　上向きの面が $6$ からまた $6$ が出るまでに, 必ず $1$ が出ることが実験するとわかる. 
$1(6)$ が出てから, $6(1)$ が出るまでに, 最短で $2$ 回サイコロを転がすことから $M\leq 6$ であることが分かる. 今 $1(6)$ が出てから, $6(1)$ が出るまでの一連の操作を試行 $Q$ と呼ぶことにする. (スコア) $=6$ を達成するには, 試行 $Q$ を $11$ 回行う必要がある. 試行 $Q$ を $11$ 回行ってマス目からはみ出さないような経路について考える.試行 $Q$ のうち, $i$ 列右に進み $j$ 行下に進む方法の数を $x^iy^j$ の係数に持つような母関数 $f$ を考えると, これは
$$f=\frac{x^2}{1-y}+\frac{y^2}{1-x}=\frac{x^2-x^3+y^2-y^3}{(1-x)(1-y)}$$
である. 
$$f^{11}=(x^2-x^3+y^2-y^3)^{11}\times(1-x)^{-11}\times(1-y)^{-11}$$ 
について, 考える. 
$$(x^2-x^3+y^2-y^3)^{11}$$
 を展開する際, $x^2,-x^3,y^2,-y^3$ をそれぞれ $a,b,c,d$ 回$( $ただし$a+b+c+d=11)$ 選んだと考えると, $x,y$ それぞれの次数がともに $12$ を超えないようなものに対応する $(a,b,c,d)$ は以下の通りである.
$$
\begin{aligned}
&(5,0,6,0),(4,1,6,0),(3,2,6,0)\\\\
&(6,0,5,0),(6,0,4,1),(6,0,3,2)\\\\
\end{aligned}
$$
それぞれ対応する $x,y$ の単項式は 
$$462x^{10}y^{12},-2310x^{11}y^{12},4620x^{12}y^{12},462x^{12}y^{10},-2310x^{12}y^{10},4620x^{12}y^{12}$$
であり, これらに
$$(1-x)^{-11}\times(1-y)^{-11}=(1+11x+{}\_{12}C\_{2}x^2+\dots)(1+11y+{}\_{12}C\_{2}y^2+\dots)$$ をかけたとき, $x,y$ の次数がともに $12$ を超えないようなものについて考えるが, 対称性より上の $6$ つのうち $462x^{10}y^{12},-2310x^{11}y^{12},4620x^{12}y^{12}$ のみについて考える. このとき
$$462x^{10}y^{12},(462\times11-2310)x^{11}y^{12},(462\times{}\_{12}C\_{2}-2310\times11+4620)x^{12}y^{12}$$
であり, それぞれの $x,y$ の次数は試行 $Q$ を $11$ 回行ったあとのマスの位置に対応していて, いずれも残りは一度も向きを変えずに右下のマスに向かうほかないからこれらの係数の総和をとればよく, (さきほど対称性から無視した項も考慮して $2$ 倍する). 答えは $12936\times2=\mathbf{25872}$.
形式的冪級数を用いる解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/4386/617
　$13\times 13$ のマス目と，一辺の長さが $1$ である通常の立方体のサイコロがあります．サイコロははじめ $1$ の目を上に向けて，もっとも左上のマスにぴったり置かれています．\
　いま，このサイコロを，辺を共有するマスに辺にそって転がす（倒す）ことを繰り返し，もっとも右下のマスまで最短の回数で移動させることを考えます．このとき，ある移動方法に対して，その**スコア**を以下で定めます：

- サイコロが途中で通過した全 $25$ マス（始点と終点を含む）のうち，サイコロの $6$ の目が上に向いていたマスの数

スコアとしてありうる最大値を $M$ としたとき，スコアが $M$ となる移動においてサイコロが通過する全 $25$ マスの集合としてありうるものは何通りありますか？
***
　ただし，**通常の立方体のサイコロ**の各面には，$1$ から $6$ までの整数のうちいずれか一つに対応する目が一度ずつ書かれており，向かい合う位置に書かれた目に対応する整数の和はつねに $7$ です．なお，**サイコロの目の配置や，最初のマスでの置き方は複数ありえますが，この問題の答えはそれらによりません**．