　以下では $v_i,w_i$ を縮約して一つの頂点とみなした新たなグラフを考える (人の手を用いた表現を考えると良い).\
　連結成分のサイズの組み合わせを考えれば, 以下の $4$ 通りがあり得る.
$$\lbrace6\rbrace,\quad \lbrace4,2\rbrace,\quad \lbrace3,3\rbrace,\quad \lbrace2,2,2\rbrace$$
また, それぞれの連結成分の状態としては, 一つのループか, 一つのパスのいずれかである.\
　$n\ (\geq 2)$ 頂点の組み合わせを固定したとき, それらからなる連結成分の作り方が $f(n)$ 通りあるとする. $v_1,w_1$ を固定して考えれば, 各頂点の並べ方が $(n-1)!$ 通り, $v_i,w_i$ の状態が $2^{n-1}$ 通り, パスにする方法が $n$ 通りあるから,
$$f(n)=(n-1)!\times 2^{n-1}\times (1+n)$$
　これより, それぞれのサイズの組み合わせごとに場合の数を計算すると,

- $\lbrace6\rbrace$ のとき, $f(6)=26880$ 通り.
- $\lbrace4,2\rbrace$ のとき, ${}\_{6}\mathrm{C}\_{2}\times f(4)\times f(2)=21600$ 通り.
- $\lbrace3,3\rbrace$ のとき, $({}\_{6}\mathrm{C}\_{3}\div 2!) \times f(3)^2=10240$ 通り.
- $\lbrace2,2,2\rbrace$ のとき, $({}\_{6}\mathrm{C}\_{2}\times {}\_{4}\mathrm{C}\_{2}\div 3!)\times f(2)^3=3240$ 通り.

これらを合計することで, 全体では $\textbf{61960}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc062/editorial/2509
　$12$ 個の頂点 $v_1,\ldots,v_6$ および $w_1\ldots,w_6$ があります. これらのうち相異なる $2$ 頂点を結ぶ無向の (向きをもたない) 辺を何本か引く方法であって, 以下の条件をみたすものは何通りありますか？

- 同じ $2$ 点を結ぶ辺は高々 $1$ 本である.
- それぞれの頂点に接続する辺は高々 $1$ 本である.
- $i=1,\ldots,6$ について, $v_i$ と $w_i$ を結ぶ辺は存在しない.
- $i=1,\ldots,6$ について, $v_i$ と $w_i$ の少なくとも一方には辺が接続している.

(直感的な表現としては, $6$ 人が同時に他の $1$ 人以上と手を結んでいる状況に対応します.)