　$1$ から $2021$ の最小公倍数を $L$ とすれば, すべての点が初めて同時に $A$ へ戻ってくるのは $2L$ 秒であり, それまでに問題の状況が起こるとすれば $L$ 秒後である. このとき, 条件は $L\/x$ が奇数であると言い換えられ, これより $2021$ 以下で $2$ で割り切れる回数が最も多い $x=\textbf{1024}$ が適する唯一のものである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc082/editorial/2214
　$2021$ 個の点 $P_1,P_2,\cdots,P_{2021}$ が, 同時に点 $A$ から出発し, 点 $B$ との間を往復し続けます. 点 $P_n$ が片道を進むのにかかる時間は $n$ 秒です. このとき, ある一つの点 $P_x$ のみが点 $B$ におり, 残りのすべての点が点 $A$ にいるような瞬間が存在しました. $x$ としてあり得る値の総和を求めてください.