　線対称の条件を除いて考えると，$(i,j)$ に石があるならば $f(i)=j$ となるように対応させることで，石の配置は $\\{ 0, 1, \ldots, 7\\}$ から $\\{ 0, 1, \ldots, 7\\}$ への全単射 $f$ と一対一対応する．石の配置が線対称であることより，$i\neq j$ のとき $(i,j)$ に石があるならば $(j,i)$ にも石があるため，$f(i)\neq i$ ならば $f(f(i))=i$ となる．$f(i)=i$ のときも $f(f(i))=f(i)=i$ であるため，
$$f(f(i))=i \quad (i=0,\ldots,7)$$
となるような $f$ の総数を求めればよい．\
　$f(i)\neq i$ となるような組 $(i, f(i))$ がいくつ存在するかで場合分けをする．このような組は高々 $4$ 組であり，
- $0$ 組となるのは $1$ 通り．
- $1$ 組となるのは ${}\_{8}\mathrm{C}\_{2}=28$ 通り．
- $2$ 組となるのは $\cfrac{1}{2!} \cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{2}\cdot {}\_{6}\mathrm{C}\_{2}=210$ 通り．
- $3$ 組となるのは $\cfrac{1}{3!} \cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{2} \cdot {}\_{6}\mathrm{C}\_{2}\cdot {}\_{4}\mathrm{C}\_{2}=420$ 通り．
- $4$ 組となるのは $\cfrac{1}{4!} \cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{2}\cdot {}\_{6}\mathrm{C}\_{2}\cdot {}\_{4}\mathrm{C}\_{2}\cdot {}\_{2}\mathrm{C}\_{2}=105$ 通り．

以上より答えは
$$1+28+210+420+105 = \mathbf{764}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/editorial/11522
　一般に，$0\le x,y\lt n$ にある格子点に本問と同様の条件下で $n$ 個の石を置く方法の総数を $a_n$ とおく．$x=n-1$ 上に置かれる石はちょうど $1$ 個なので，その置き方で場合分けすると，$(n-1,n-1)$ に置く場合は $n-1$ の場合と等価であり，それ以外の置き方 $n-1$ 通りについては，$y=x$ について対称な位置にも石を置くことが確定するので $n-2$ の場合と等価である．よって，$$a_1=1,a_2=2,a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}(n\ge3)$$とわかるので，順次計算して $a_8=\textbf{764}$
漸化式を立てる
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/editorial/11522/774
結論から言うと

$$8![x^8]\exp\left(x+\dfrac{x^2}{2}\right)$$

が答え

以下理由

長さ$n$の順列をサイクル分解したときに長さ1と2のサイクルしか出てこないことと同値

長さ1のサイクルが$a$個，長さ2のサイクルが$b$個あって，$a+2b=8$となるが，

この範囲内で

$$\dfrac{8!}{1!^a \cdot 2!^b}\dfrac{1}{a!}\cdot \dfrac{1}{b!}$$

の総和を求める

$$f(x)=\sum_{a\geq 0}\sum_{b\geq 0}{1^a \cdot 2^b}\dfrac{1}{a!}\cdot \dfrac{1}{b!}x^{a+2b}$$

$$f(x)=\sum_{a\geq 0}\dfrac{1}{1^a}\dfrac{1}{a!}x^a\cdot\sum_{b\geq 0} \dfrac{1}{2^b}\dfrac{1}{b!}x^{2b}=\sum_{a\geq 0}\dfrac{1}{1^a}\dfrac{1}{a!}x^a\cdot\sum_{b\geq 0} \dfrac{1}{2^b}\dfrac{1}{b!}x^{2b}=\exp(x)\cdot \exp\left(\dfrac{x^2}{2}\right)$$

なので，これの$x^8$の係数×8!である．

一方，

$$8![x^8]\exp\left(x+\dfrac{x^2}{2}\right)$$

を求めるには

$$8![x^8]\left(\sum_{n=4}^{8}\dfrac{1}{n!}\left(x+\dfrac{x^2}{2}\right)^n\right)$$

なので

$$8!\left(\sum_{n=4}^{8}[x^{8-n}]\dfrac{1}{n!}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^n\right)$$

$$8!\left(\dfrac{1}{24}\cdot \dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{120}\cdot\dfrac{1}{8}\cdot\binom{5}{3}\dfrac{1}{4}\binom{6}{2}+\dfrac{1}{5040}\cdot\dfrac{1}{2}\binom{7}{1}+\dfrac{1}{40320}\binom{8}{0}\right)$$
formal power series
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/editorial/11522/776
　$x,y$ 座標がともに $0$ 以上 $8$ 未満であるような $64$ 個の格子点があります．以下のルールに従ってこれらの格子点の上に $8$ 個の石を置く方法は何通りありますか？
- $x$ 座標が同じ石のペアは存在しない．
- $y$ 座標が同じ石のペアは存在しない．
- 石の配置は直線 $y=x$ に対して線対称である．