　凸 $(n+2)$ 角形に互いに交わらないよう対角線を $n-1$ 本引き $n$ 個の三角形に分割する場合の数は，カタラン数
$$C_n=\dfrac{(2n)!}{n!(n+1)!}$$
であることが知られている．\
　これより，正十角形に互いに交わらないよう対角線を $7$ 本引き $8$ 個の三角形に分割する方法は $C_8=1430$ 通りある．
この分割 ((a)とする) から対角線を $2$ 本削除してできる分割 (各分割につき $21$ 通り) は次の $2$ 種に分類できる．

- 分割(b)：$4$ 個の三角形と $2$ 個の四角形への分割 (問の分割)
- 分割(c)：$5$ 個の三角形と $1$ 個の五角形への分割

後述する通り, 分割(c)は五角形の形状で場合分けして数えると $2002$ 通りである．対角線を削除する前の分割(a)は，各分割(b)に対しては $4$ 通り，各分割(c)に対しては $5$ 通り考えられることから，求める値は
$$\dfrac{1430\times 21-2002\times 5}{4}=\bm{5005}$$

### 分割(c)の数え上げ

次のように場合分けして数えることができ，合計 $2002$ 通りである．

- $[5,0,0,0,0]$ の場合：$10\times C_5=420$ 通り
- $[4,1,0,0,0]$ の場合：$10\times {4 \choose 1}\times C_4=560$ 通り
- $[3,2,0,0,0]$ の場合：$10\times {4 \choose 1}\times C_3\times C_2=400$ 通り
- $[3,1,1,0,0]$ の場合：$10\times {4 \choose 2}\times C_3=300$ 通り
- $[2,2,1,0,0]$ の場合：$10\times {4 \choose 2}\times C_2^2=240$ 通り
- $[2,1,1,1,0]$ の場合：$10\times {4 \choose 1}\times C_2=80$ 通り
- $[1,1,1,1,1]$ の場合：$2$ 通り

ただし $[a,b,c,d,e]$ は正十角形において頂点を何個飛ばして五角形の辺が結ばれているかを，順番を無視して並べたものである．
例えば下図のように五角形ができる分割は $[2,2,1,0,0]$ に分類される．
![figure 1](\/images\/y8rmffMaEFvWV0pNWv9oGT7YpzOKZJ2CG6Wy1Gpl)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc137/editorial/2254
　三角形分割の補足です

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　凸 $n(\geq 3)$ 角形の三角形分割が $a_n$ 個あるとする．また $a_2=1$ とする．
凸 $(n+1)$ 角形のある辺に着目し，その辺を含む三角形の形で場合分けして考えれば
$$a_{n+1}=a_{2}a_{n}+a_{3}a_{n-1}+\cdots+a_{n}a_{2}$$
がわかる．本解説のように一般項を求めることもできるが，本問で必要な範囲の値は次のように比較的容易に計算できる：
$$\begin{aligned}
a_3&=1^2=1,\\\\
a_4&=2(1\cdot 1)=2,\\\\
a_5&=2(1\cdot 2)+1^2=5,\\\\
a_6&=2(1\cdot 5+1\cdot 2)=14,\\\\
a_7&=2(1\cdot 14+1\cdot 5)+2^2=42,\\\\
a_8&=2(1\cdot 42+1\cdot 14+2\cdot 5)=132,\\\\
a_9&=2(1\cdot 132+1\cdot 42+2\cdot 14)+5^2=429,\\\\
a_{10}&=2(1\cdot 429+1\cdot 132+2\cdot 42+5\cdot 14)=1430.\\\\
\end{aligned}$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc137/editorial/2254/185
　正十角形において，互いに交わらないように（端点は共有してもよい）$5$ 本の対角線を引き，$4$ 個の三角形と $2$ 個の四角形に分割する方法は何通りありますか？\
　ただし，すべての頂点は区別して考えます．すなわち，回転や反転によって一致するものも区別して数えます．