　四角形 $ABCD$ の外接円の中心を $O$ とすると，$\angle AOB,\angle BOC,\angle COD,\angle DOA$ がすべて $360^\circ\/N$ の整数倍になるような整数 $N\geq 4$ の最小値を求めればよい．\
　$\angle ABC+\angle CDA=180^{\circ}$ であるから，$d=180^{\circ}\/44$ とすると与式より次が分かる．
$$\angle CAB=20d,\quad \angle ABC=21d,\quad \angle BCD=22d,\quad \angle CDA=23d$$
これらより，円周角の定理などを用いて計算すると次が得られる．
$$\angle AOB=6d,\quad \angle BOC=40d,\quad \angle COD=4d,\quad \angle DOA=38d$$
これらがすべて $360^\circ\/N$ の整数倍になるような $N$ の最小値は $\bm{44}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/2251
　円に内接する四角形 $ABCD$ があり，以下の条件をみたします．
$$\angle CAB:\angle ABC:\angle BCD:\angle CDA=20:21:22:23$$
このとき，$4$ 点 $A,B,C,D$ をすべて頂点に含む正 $N$ 角形が存在するような，$4$ 以上の整数 $N$ としてありうる最小の値を求めてください．