　問題は次のように書き換えられる：

- 任意の $n$ について $\varphi(a_n)=a_{n-1}$ が成立する無限数列 $\\{a_n\\}$ が存在する初項 $a_1$ をすべて求めよ.


 　$\varphi$ の返し得る値は $1$ または偶数であることに留意せよ. 明らかにすべての $2$ べきは条件をみたす. $a_n$ が $2$ べきであるとき, それ以前の項はすべて $2$ べきであるから, 以下ある $x$ について $a_x$ が $2$ べきでないとする.\
　このとき, $n\geq x$ において, $a_n$ は常に $2$ べきでなく, さらに $a_n$ を割り切る最大の $2$ べきは(広義)単調減少である. したがって, ある $N$ が存在して, $n\geq N$ において $a_n$ を割り切る最大の $2$ べきは一定である. これを $2^a$ とおく(上の注意より $a\geq 1$ である). このとき, $a_{N+1}$ を割り切る最大の $2$ べきも $2^a$ であることに留意すれば, 以下のいずれかである.

- ある正整数 $b$ が存在して, $a_N=2^a 3^b$
- $p\equiv 3\pmod 4$ なる素数 $p\neq 3$ が存在して, $a_N=2^a p$   

　ここで後者の場合, 数列は $2^a  p,2^a(2p+1),2^a(4p+3),\cdots$ と続くほかなく, さらに $p,2p+1,4p+3,\cdots$ はすべて素数である. しかし, $2^{p-1}p+2^{p-1}-1$ は $p$ で割り切れるから, これは不適である.

　前者の場合, 数列に登場する数はすべて $2,3$ 以外の素因数を持たない. 逆に, 正整数 $a,b$ によって $a_1=2^a 3^b$ のとき, $a_n=2^a 3^{b+n-1}$ とすれば条件をみたす. 以上の条件をみたす数を $m\leq 300$ の範囲で求めると,
　　$$1,2^1,2^2,\cdots,2^8,2^13^1,2^23^1,\cdots,2^63^1,2^13^2,2^23^2,\cdots,2^53^2,2^13^3,2^23^3,2^33^3,2^13^4$$
の $24$ 個であり, これらの総積は $M=2^{79}3^{29}$ であるから, 求める値は $\textbf{2400}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc017/editorial/111
　正の整数 $n$ に対し，$n$ と互いに素な $n$ 以下の正の整数の個数を $\varphi(n)$ で表します．任意の正の整数 $k$ に対して, ある正の整数 $n_k$ が存在して以下が成立するような，正の整数の定数 $m\leq 300$ を考えます.
$$  \underbrace{\varphi( \varphi( \dots \varphi}_{k回}(n_k) \dots ))=m $$
そのような $m$ すべてについて，総積は $M$ となります．$M$ がもつ正の約数の個数を求めてください．