　四面体の面のうちいくつが平行六面体の面に含まれるかで分けて数えると, 以下のようになる：
- $3$ 面 (図の(i))：面の選び方 $4$ 通りそれぞれに対し $1$ 通りずつあるため $4$ 通り．
- $2$ 面 (図の(ii))：面の選び方 $6$ 通りそれぞれに対し $2$ 通りずつあるため $12$ 通り．
- $1$ 面 (図の(iii))：面の選び方 $4$ 通りそれぞれに対し $3$ 通りずつあるため $12$ 通り．
- $0$ 面 (図の(iv))：$1$ 通り．

　逆に, 適当な平行六面体を固定して四面体をいくつ取れるか考えても同じである.  $8$ 頂点から $4$ つを選ぶ方法のうち, それらが同一平面上にあるもの $12$ 通りをまず除外し, 残りについても中心に関して対称な $2$ つは元の状況に戻すと重複することに留意する. いずれにせよ, 全体で求める場合の数は $\bm{29}$ 通りである．
![figure 1](\/images\/bOw57xNPXRe4cyxPKs4gNnXP8GEsDiiA2ZqY7nwy)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc069/editorial/2089
　$4$ つの点をベクトルで対応させます．具体的には，$\vec{0}, \vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3}$ とそれぞれの点を対応させます．\
　原点から出てくる $1$ 次独立な $3$ つのベクトルを定めると，そのベクトルのつくる平行六面体は一意に定まるので，
この $3$ つのベクトルを $\vec{p}, \vec{q},\vec{r}$ と定めます．このとき平行六面体の原点以外の頂点の集合 $S$ は次のように表せます：
$$  S= \\{  \vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{p}+\vec{q}, \vec{q}+\vec{r}, \vec{r}+\vec{p}, \vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \\}. $$
$\vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3}$ が相異なる $S$ の要素になるような $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ の組を考えます．\
　$S$ の $7$ つの要素から $\vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3}$ に対応させる方法は $7 \times 6 \times 5=210$ 通りあります．
ここで，$S$ から選んできた $3$ つの要素が一次従属であるとき，条件を満たすような $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ は存在しないことがわかるので，そのような場合を除きます．一次独立になるのは，以下のような場合です：

- $\vec{x_1}=\vec{p}, ~ \vec{x_2}=\vec{q}, ~ \vec{x_3}= \vec{p}+\vec{q}$．
- $\vec{x_1}=\vec{p}, ~ \vec{x_2}=\vec{q}+\vec{r}, ~ \vec{x_3}= \vec{p}+\vec{q}+\vec{r}$．

これらはともに $18$ 通りずつあるので，条件を満たすような $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ の組は $210-18\times2=174$ 通りあります．\
　最後に，$\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ は平行六面体をつくるにあたって区別しないので $3!$ で割って $\textbf{29}$ 通りです．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc069/editorial/2089/17
　四面体 $ABCD$ があります. 平行六面体であって, 頂点集合に $A,B,C,D$ がすべて含まれるようなものはいくつありますか？ただし, 合同であっても頂点集合が一致しないものは区別して数えます. また**平行六面体**とは,  三組の平行な二平面によって囲まれた立体です.