　すべてのカードに書かれた整数から $1$ ずつ引き，$11$ 桁となるように適宜先頭に $0$ を補って $3$ 進表記する．また，任意の $0$ 以上 $3^{11}$ 未満の整数 $k$ について，$b_k=a_{k+1}-1$ とする．すなわち，0-indexed で数えたときの上から $k$ 番目に書かれたカードの数を $b_k$ とする．さらに，$11$ 桁の $3$ 進表記を逆から読む関数を $\mathrm{Rev}$ とする．たとえば 
$$
\mathrm{Rev}(11) = \mathrm{Rev}(00000000102_{(3)})=20100000000_{(3)}=124659
$$ 
である．加えて，各桁ごとに和を $3$ で割った余りで計算する（繰り上がりは行わない）演算を $\oplus$ で書くことにする．たとえば，
$$
112_{(3)} \oplus 10122_{(3)} = 10201_{(3)}
$$
である．

----

**補題．** $b_k=0$ のとき，任意の $0\le n \lt 3^{11}$ なる整数 $n$ に対して以下が成り立つ．
$$
b_n = \mathrm{Rev}(n \oplus k \oplus k)
$$

**証明．**  任意の非負整数 $x,y$ について，$x$ を $3$ 進表記したときの $3^y$ の位を $f_y(x)$ と表すことにする．このとき，任意の $1$ 以上 $11$ 以下の整数 $t$ について，$t$ 回目の操作では，数列 $f_{11-t}(b_0), f_{11-t}(b_1), \ldots, f_{11-t}(b_{3^{11} - 1})$ が決まる．具体的には，
- $t$ 回目の操作が $A$ なら $\overbrace{0,\ldots,0}^{3^{t-1}個},1,\ldots,1,2,\ldots,2$ を繰り返し，
- $t$ 回目の操作が $B$ なら $\overbrace{1,\ldots,1}^{3^{t-1}個},2,\ldots,2,0,\ldots,0$ を繰り返し，
- $t$ 回目の操作が $C$ なら $\overbrace{2,\ldots,2}^{3^{t-1}個},0,\ldots,0,1,\ldots,1$ を繰り返す．

$t-1$ 回目の操作までにできたカード束は全部で $3^{12-t}$ 個あり，各カード束内で下から $12-t$ 桁分の数値は一致している．したがって，$11$ 回の操作列を左から順に並べて，$A$ を $0$，$B$ を $2$，$C$ を $1$ として $3$ 進数で解釈したものを $x$ とおくと，$y$ が書かれたカードは $11$ 回の操作が終了した後に上から $\mathrm{Rev}(y\oplus x)$ 番目に移動することがわかる．よって，$k=\mathrm{Rev}(0\oplus x) = \mathrm{Rev}(x)$ である．よって，$x = \mathrm{Rev}(\mathrm{Rev}(x))=\mathrm{Rev}(k)$ であり，$n$ 番目のカードが $b_n$ であったことから，
$$
\mathrm{Rev}(b_n \oplus x)=n
$$
であるので，
$$
\begin{aligned}
b_n &= b_n \oplus ( x \oplus x\oplus x)\\\\
&= (b_n \oplus x) \oplus x \oplus x \\\\
&= \mathrm{Rev}(n) \oplus \mathrm{Rev}(k) \oplus \mathrm{Rev}(k)\\\\
&= \mathrm{Rev}(n \oplus k \oplus k)
\end{aligned}
$$
となり，示される．
----

　補題により，
$a_{k}=1$ のとき，$a_m=k$ という条件は以下のように言い換えられる．
$$
k=a_m=b_{m-1}+1=\mathrm{Rev}((m-1) \oplus (k-1) \oplus (k-1))+1
$$
$\mathrm{Rev}(\mathrm{Rev}(n))=n$ および $n\oplus (n \oplus n)=0$ に注意して，
$$
m=(k-1) \oplus \mathrm{Rev}(k-1) + 1 
$$
となる．また，補題での議論により，$k-1$ の $3$ 進表記での $3^5$ の位は $0$ であり，操作が異なれば $a_k=1$ となる $k$ は異なる．よって，$0$ 以上 $3^{11}$ 未満の整数 $x$ であって，$3$ 進表記での $3^5$ の位が $0$ であるようなものは $3^{10}$ 個あるが，その全てについて $x\oplus \mathrm{Rev}(x)+1$を足し合わせたものが答である．\
　ここで，$x$ の $3$ 進表記での $3^i$ の位を $x_i$ とおく．このとき，各 $i=0,1,\ldots,4$ について，
- $(x_i,x_{10-i})=(0,0),(1,2),(2,1)$ のとき  
      　$x\oplus\mathrm{Rev}(x)$ の $3$ 進表記の $3^i$ の位，$3^{10-i}$ の位はともに $0$ となる．  
- $(x_i,x_{10-i})=(0,1),(1,0),(2,2)$ のとき  
      　$x\oplus\mathrm{Rev}(x)$ の $3$ 進表記の $3^i$ の位，$3^{10-i}$ の位はともに $1$ となる．  
- $(x_i,x_{10-i})=(0,2),(1,1),(2,0)$ のとき  
      　$x\oplus\mathrm{Rev}(x)$ の $3$ 進表記の $3^i$ の位，$3^{10-i}$ の位はともに $2$ となる．  

以上により，各 $i = 0,1,\ldots,4$ について，$3^i,3^{10-i}$ の位のみ固定すると，残った $8$ 桁をどのように定めても和に同じ数だけ寄与する．これより $x\oplus \mathrm{Rev}(x)$ の和は以下のように計算できる．
$$
3^{10}\times 11111011111_{(3)} = 3^{10}\times\bigg(\frac{3^{11}-1}{2}-3^5\bigg)=5215798170
$$
よって，求める値は $3^{10} +5215798170  = \mathbf{5215857219}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc239/editorial/10259
　$1$ から $3^{11}$ までの整数が書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつあり，左から小さい順に横一列に並んでいます．$1$ 枚以上のカードが重なった状態を**カード束**と呼びます． \
　$3n$ 個のカード束が横一列に並んでいるとき，カード束を左から順に $X_1,\ldots,X_{3n}$ とし，以下の $3$ 種類の操作のうち $1$ つを行うことができます．   
- 操作 $A$：$1$ 以上 $n$ 以下の任意の整数 $k$ に対して，$X_{n+k}$ を $X_{2n+k}$ の上に重ね，さらにその上に $X_{k}$ を重ねることで $n$ 個のカード束を得る．  
- 操作 $B$：$1$ 以上 $n$ 以下の任意の整数 $k$ に対して，$X_{2n+k}$ を $X_{k}$ の上に重ね，さらにその上に $X_{n+k}$ を重ねることで $n$ 個のカード束を得る．  
- 操作 $C$：$1$ 以上 $n$ 以下の任意の整数 $k$ に対して，$X_{k}$ を $X_{n+k}$ の上に重ね，さらにその上に $X_{2n+k}$ を重ねることで $n$ 個のカード束を得る．     

　このとき，操作 $A,B,C$ を合計 $11$ 回行うことでカード束がちょうど $1$ つになります．すべての操作が終了した後のカード束の上から $k$ 枚目に書かれている整数を $a_k$ とおくとき，$a_{a_m}=1$ を満たす整数 $m$ がちょうど $1$ つ存在するため，この $m$ をその操作の**スコア**とします．\
　$6$ 回目の操作で操作 $A$ を行うような，$11$ 回の操作の実行方法は $3^{10}$ 通りありますが，これらすべてに対するスコアの総和を求めてください．


  
<details><summary>例<\/summary>
　例えば，$1,2,3,4,5,6,7,8,9$ という $9$ 枚のカード (束) が横一列に並んでいるときに，操作 $A$ の後に操作 $B$ を行うと，カード束は $1$ 個になり，上から  $2,5,8,3,6,9,1,4,7$ の順に並びます．
<\/details>