　$\lfloor x \rfloor =X,\lfloor y \rfloor =Y$ とすると，$x,y$ は無理数であることから $\lceil x \rceil =X+1,\lceil y \rceil =Y+1$ であり，これに留意すれば与式は以下のように言い換えられる．
- $X^3+Y^3-3XY=251$
- $(X+Y)^2+2(X+Y)+1=144$

後者より $X+Y=11$ が導け，これを前者に代入することにより $(X,Y)=(6,5),(5,6)$ がわかる．前者のとき $(m,n)$ は存在せず, 後者のとき $(m,n)=(4,3)$ が適するから, このとき $\lfloor xy \rfloor=\lfloor 12\sqrt{10} \rfloor=\textbf{37}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/4385
　正の整数 $m,n$ を用いて $x=\sqrt 2m, \\, y=\sqrt 5n$ と表せる実数 $x,y$ が
- $\lfloor x \rfloor^3+\lfloor y \rfloor^3-3\lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor=251$
- $\lfloor x \rfloor \lceil x \rceil + \lfloor y \rfloor \lceil y \rceil + \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor + \lceil x \rceil \lceil y \rceil =144$

をみたすとき，$\lfloor xy \rfloor$ としてありうる値の総和を解答してください．