　$\Delta$ は複数の集合に対してちょうど奇数個に属する元からなる集合を返すから, 特に結合的にであることに留意せよ.\
　以下, $S_n$ は「$n$ の約数 $x$ であって $n\/x$ が平方因子をもたないもの」全体からなる集合であることを帰納法で示す. ある正整数 $n\geq 2$ について, $n$ 未満で成立を仮定し, $n$ での成立を示せばよい. $n$ 自身および $n$ の約数でない数については明らかである. $n$ の約数 $x\lt n$ が上の条件をみたすとき, 任意の $x$ で割り切れる $n$ の約数 $d\lt n$ について常に $d\in S_d$ であり, このような $d$ は奇数個であるから成立する. $x$ が条件をみたさないときも同様に確認できる.\
　$2021 = 43 \times 47$ より $a = 43^{2020} \times 47^{2020}$ として $S_{2021^{2021}} = \\{a,43a,47a,2021a\\}$ となり, 元の総和は
$$ 2112a = 2^6 \times 3 \times 11 \times 43^{2020} \times 47^{2020}$$
よって, 解答すべき値は $2 \times 6 + 3 + 11 +  43 \times 2020 + 47 \times 2020 = \textbf{181826}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/editorial/309
　$\Delta$ は複数の集合に対してちょうど奇数個に属する元からなる集合を返し，特に、交換法則および結合法則を満たす．  
　以下，正の整数 $i$ に対し，$i$ のすべての正の約数を $d_1\lt d_2\lt\cdots\lt d_n$ とし，$S_{d_1}\Delta S_{d_2}\Delta\cdots\Delta S_{d_n}$ を $T_i$ とおく．  
　では，相異なる素数 $p,q$ および非負整数 $a,b$ に対し、$S_{p^aq^b}$ を求めよう．  
 $T_{p^aq^b}=\\{ p^aq^b \\}$ より，$T_{p^aq^b}\Delta T_{p^{a-1}q^{b-1}}=\\{ p^aq^b \\}\Delta T_{p^{a-1}q^{b-1}}$ なので，$T_{p^{a-1}q^b}\Delta T_{p^aq^{b-1}}\Delta S_{p^aq^b}=\\{ p^aq^b \\}\Delta T_{p^{a-1}q^{b-1}}$ となる．  
 よって，$T_{i}=\\{i\\}$ より，$\\{p^{a-1}q^b\\}\Delta \\{p^aq^{b-1}\\}\Delta S_{p^aq^b}=\\{ p^aq^b \\}\Delta \\{p^{a-1}q^{b-1}\\}$ となるので，$\Delta$ は複数の集合に対してちょうど奇数個に属する元からなる集合を返すことに注意して，$S_{p^aq^b}=\\{p^aq^b,p^{a-1}q^b,p^aq^{b-1},p^{a-1}q^{b-1}\\}$  
　よって， $S_{2021^{2021}}=\\{43^{2021}47^{2021},43^{2020}47^{2021},43^{2021}47^{2020},43^{2020}47^{2020}\\}$ となり，特に，解答すべき数値は $\textbf{181826}$ ．
式変形で集合を直接求める
https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/editorial/309/193
　二つの集合 $A, B$ に対し $A, B$ のちょうど一方のみに含まれる要素全体の集合を $A \Delta B$ で表します. 厳密には
$$A\Delta B=(A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B)$$
です. このとき, それぞれ正整数からなる有限集合 $S_1,S_2,\cdots$ が, 任意の整数 $i\geq 2$ に対し以下をみたしました：

- $i$ のすべての正の約数を $d_1\lt d_2\lt \cdots\lt d_n$ とすれば, $(\cdots((S_{d_1} \Delta S_{d_2}) \Delta S_{d_3})\cdots \Delta S_{d_n}) = \\{i\\}$.

ただし $S_1=\\{1\\}$ とします. このとき, $S_{2021^{2021}}$ としてあり得るものについて, 以下の値の総和を求めて下さい：

- すべての元の総和について, それを素因数分解した時の「素因数と指数の積」の総和

例えばあり得る集合が $\\{10,30\\}$ および $\\{25,50\\}$ ならば, $(2 \times 3 + 5) + (3 + 5 \times 2) = 24$ を解答してください.