　正整数 $n$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2(n)$ で表す．

**解法1.**　$a,b$ の偶奇によらず左辺は偶数であるから，$p=2$ が必要である．このとき，$a^3+ab^2+2b, ~ a^2b+b^3+2a$ はともに $1$ より大きいから偶数であり，$a$ と $b$ の偶奇は一致するとわかる．$a$ と $b$ がともに偶数であるとき，$v_2(a)\leq v_2(b)$ であるならば $v_2(a^2b+b^3+2a)=v_2(2a)$ となり，$a^2+b^3+2a$ は $2$ べきになりえない．$v_2(a)\geq v_2(b)$ でも同様だから，$a$ と $b$ はともに奇数である．\
　さて，正の整数 $k,l$ によって $a^3+ab^2+2b=2^k, ~ a^2b+b^3+2a=2^l$ とおくと，
$$ 2^k+2^l=(a+b)(a^2+b^2+2)$$
である．対称性により $k\geq l$ の場合に考えれば十分である．$a,b$ が奇数であることから $a^2+b^2+2\equiv 4 \pmod{8}$，すなわち $v_2(a^2+b^2+2)=2$ であるから，$a+b$ は $2^{l-2}=(a^2b+b^3+2a)\/4$ の倍数であり，特に 
$$ 4(a+b)\geq a^2b+b^3+2a $$
が成り立つ．これを $0\geq (ab-2)a+(b^2-4)b$ と式変形すれば，$b=1$，そして $a=1,3$ が必要であることがわかる．
それぞれで $n=4,9$ とすれば条件をみたすから，$k\lt l$ の場合もあわせて全体では求める組は以下である：
$$ (a,b,n,p)=(1,1,4,2),(1,3,9,2),(3,1,9,2). $$

**解法2.**　$a=b$ のとき，与式は $4a^2(a^2+1)^2=p^n$ となり，$p=2$ が必要である．このとき，$a$ と $a^2+1$ は偶奇の一致しない $2$ べきであるから，$a=1$ が必要であり，$n=4$  とすることで適する．以下，$a\neq b$ とする．\
　正の整数 $k,l$ によって $a^3+ab^2+2b=p^k, ~ a^2b+b^3+2a=p^l$ とおくと，
$$p^k+p^l=(a+b)(a^2+b^2+2),\quad p^k-p^l=(a-b)(a^2+b^2-2)$$
が成り立つ．いま $p\neq 2$ と仮定すると，$a^2+b^2\pm 2$ が同時に $p$ で割れることはないから，$a\pm b$ の少なくとも一方は $p^l$ で割りきれるが，$0\lt \lvert a\pm b\rvert\lt p^l$ によりこれは起こりえない．すなわち $p=2$ である．以下，解法1と同様．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023f/editorial/9369
　正の整数 $a,b,n$ と素数 $p$ の組 $(a,b,n,p)$ であって，
$$(a^3+ab^2+2b)(a^2b+b^3+2a) = p^n$$
をみたすものをすべて求めよ．