　$G,H$ はそれぞれ $AD,ED$ を $2:1$ に内分する点であるから, 三角形 $FGH$ の面積は $DGH$ の面積に等しく, さらにこれは $ADE$ の面積の $1\/9$ にあたる. したがって, 三角形 $ADE$ の面積を最大化すればよく, $AC$ を直径とする円と $AD$ の交点を $D^\prime$ とすれば, この最大値は $E$ が優弧 $AD^\prime$ の中点 $M$ に一致する場合に達成される.\
　ここで中線定理より $AD=2\sqrt{7}$, 三平方の定理より $DD^\prime=3\/\sqrt{7}$ であり, $AC=7$ と併せて考えることで三角形 $ADM$ の面積は $\dfrac{3\sqrt{6}+7\sqrt{7}}{2}$ と容易に計算でき, 解答すべき値は $3+6+7+7+2\times 9=\textbf{41}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/editorial/304
　$AB=5,BC=6,CA=7$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ の中点を $D$ とします. さらに $AC$ を直径とする円周上の点 $E$ について, $2\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DF}$ なる点 $F$ をとり, 三角形 $ABC,EBC$ の重心をそれぞれ $G,H$ とおきます. このとき, 三角形 $FGH$ の面積としてあり得る最大値は, 正整数 $a,b,c,d,e$ によって $\dfrac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せます. ただし, $b,d$ は $1$ より大きい平方数で割り切れず, $a,c,e$ は互いに素です. $a+b+c+d+e$ を解答して下さい.