　端的に述べれば，結論は以下である：

- $n, m$ がともに偶数である場合，$A$ さんが勝つ．\
　はじめに $A$ さんは $\left(\dfrac n2, \dfrac m2 \right)$ を選択し，操作をする．\
　それ以降は，$B$ さんが直前に $(x, y)$ を選んだとき，$(n - x, m - y)$ を必ず選択できることがわかる．

- $n, m$ のうち少なくとも一方が奇数である場合，$B$ さんが勝つ．\
　対称性により，$n$ が奇数である場合にのみ述べる．\
　このとき，$B$ さんは，$A$ さんが直前に $(x, y)$ を選んだとき，$(n - x, y)$ を必ず選択できることがわかる．

以上により，求める答えは $2501^2 = \bf{6255001}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023/editorial/2637
　$n, m$ を $0$ 以上 $5000$ 以下の整数とします．$xy$ 平面上で $0 \le x \le n$ かつ $0 \le y \le m$ をみたす領域内の格子点が白に塗られており，それ以外の格子点が黒に塗られています．\
　$A$ さんと $B$ さんが，$A$ さんを先手，$B$ さんを後手として次のようなゲームを行います．$2$ 人は交互に手番を行い，それぞれの手番では以下の一連の操作を行います：

- まず，白で塗られた格子点を一つ選ぶ．
- 選んだ格子点からちょうど $\sqrt5$ の距離にある格子点のうち白で塗られたものすべて，および選んだ格子点そのものを，黒で塗る.

　白で塗られた最後の格子点を黒で塗った方が勝ちとなります．このとき，$B$ さんの操作によらず $A$ さんが勝つことができるような組 $(n, m)$ はいくつありますか？\
　ただし，**格子点** とは，$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数値である点をさします．