【動画解説】https:\/\/youtu.be\/zipA5CxJUO4

 　後者の立体を正八角形を中心に展開すれば，一辺 $4$ の正三角形がちょうど $8$ 個入るような「隙間」ができる．この隙間に前者の立体の正三角形 $8$ 個をはめ込むことで，求める面積は一辺 $4$ の正八角形の面積に等しいことが分かる．これは $32(1+\sqrt{2})$ であるから，特に解答すべき値は $32+2048=\bf{2080}$ である． 
![figure 1](\/images\/vJY4bQyHeIC5X5LmlQgEelV8O1h6U7EqppuFhxpo)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/editorial/3228
　補足的な内容です．

- 一辺の長さが $a$ の正八角形の面積は $2(1+\sqrt{2})a^2$ で与えられます．
これを求めるには，次の図のように正方形から四隅を取り除くことを考えるなどすればよいです．
![figure 1](\/images\/msKc3bzPHAoj3ImEcA8TJcGOaQPudfwvK7uYOuNI)
- 組み合わせずに解くこともできます．
半角の公式により次が成り立つことを確認しておきます．
$$\sin 15^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\quad \cos 15^\circ=\sqrt{\dfrac{1+\cos 30^\circ}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$
余弦定理より $AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cdot\cos 15^\circ=8(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})$ が得られるので，求める面積は次のように計算できます．
$$\begin{aligned}
&\quad (正八面体の表面積)+(正八角形AB\cdots Hの面積)+8\times(\triangle OABの面積)\\\\
&=8\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2+2(1+\sqrt{2})AB^2+8\times\frac{1}{2}\times OA^2\times\sin 15^\circ\\\\
&=32\sqrt{3}+16(1+\sqrt{2})(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})+16(\sqrt{6}-\sqrt{2})\\\\
&=32\sqrt{3}+16(2-\sqrt{6}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3})+16(\sqrt{6}-\sqrt{2})\\\\
&=32+32\sqrt{2}\\\\
\end{aligned}$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/editorial/3228/58
　以下の二つの立体について，その**表面積の和**は正整数 $a,b$ によって $a+\sqrt b$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．
- 一辺の長さが $4$ の正八面体
- $OA=OB=\cdots=OH=4$ かつ $\angle AOB=15^\circ$ なる正八角錐 $O-ABCDEFGH$

　ただし，ここで**正八角錐**とは，底面を正八角形とする錐体を指します．