　一般に正整数 $n$ に対して以下の総和
$$ \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{{}\_{n-1}\mathrm{C}\_{k}}{k+1} $$
を求めよう．

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**解法1．**
二項係数に関する次の二つの等式に注意する．
$$\dfrac{{}\_{n-1}\mathrm{C}\_{k}}{k+1}=\dfrac{{}\_{n}\mathrm{C}\_{k+1}}{n},\quad\sum_{k=0}^{n}{}\_{n}\mathrm{C}\_{k}=2^n$$
求める総和は，これらを用いて次のように計算できる．
$$\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{{}\_{n-1}\mathrm{C}\_{k}}{k+1}
=\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{{}\_{n}\mathrm{C}\_{k+1}}{n}
=\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}{}\_{n}\mathrm{C}\_{k}\right)-\frac{{}\_{n}\mathrm{C}\_{0}}{n}
=\frac{2^n-1}{n}$$


**解法2．**
いま，任意の非負整数 $k$ に対して
$$\displaystyle\frac{1}{k+1} = \int_{0}^{1}x^{k}\mathrm{d}x$$
が成り立つことに注意し，これと二項定理を用いることで，以下のように変形できる．
$$\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{{}\_{n-1}\mathrm{C}\_{k}}{k+1}
& = \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl({}\_{n-1}\mathrm{C}\_{k} \int_{0}^{1}x^{k}\mathrm{d}x \Bigr) \\\\
& = \int_{0}^{1} \Bigl( \sum_{k=0}^{n-1}{}\_{n-1}\mathrm{C}\_{k}x^{k}\mathrm{d}x \Bigr) \\\\
& = \int_{0}^{1}(x+1)^{n-1}\mathrm{d}x = \dfrac{2^{n}-1}{n}
\end{aligned}$$

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　特に $n=16$ のとき $\dfrac{2^{16}-1}{16}=\dfrac{65535}{16}$ と計算でき，解答すべき値は $\mathbf{65551}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc137/editorial/5565
　以下の総和は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください． 
$$ \dfrac{{}\_{15}\mathrm{C}\_{0}}{1} + \dfrac{{}\_{15}\mathrm{C}\_{1}}{2} + \cdots + \dfrac{{}\_{15}\mathrm{C}\_{14}}{15}  + \dfrac{{}\_{15}\mathrm{C}\_{15}}{16} $$