　求める総和を $S$ とする．モニック多項式の有理数根はすべて整数値であることが知られているから，与方程式の解としてあり得るものは $0,\pm1$ のみである．$p+q+r=N$ なる非負整数 $p,q,r$ を用いて次の形に表せる．
$$x^{N}+a_{N-1}x^{N-1}+\cdots+a_1x+a_0=x^p(x+1)^q(x-1)^r$$
この式で $x=1$ とした値が $1+a_0+a_1+\cdots+a_{N-1}$ であり，$r\geq 1$ のときこれは $0$ であることに注意すると，$S$ は次のように求められる．
$$S=\sum_{\substack{p,q\geq 0\\\\p+q=N}}2^q-\sum_{\substack{p,q,r\geq 0\\\\p+q+r=N}}1=(2^{N+1}-1)-{N+2 \choose 2}\equiv 2^{N+1}-2 \pmod{10^5}$$
あとは $2^{N+1}$ を $10^5$ で割ったあまりを考えよう．そのためには $2^{N-4}$ を $5^5$ で割ったあまりを求めればよい．\
　$M=(N-4)\/2$ とおけば，$M$ は偶数かつ $M\equiv -2\pmod{5^5}$ であることに注意すると，二項定理より
$$\begin{aligned}
2^{N-4}
&=(5-1)^M\\\\
&\equiv{M\choose 4}5^4-{M\choose 3}5^3+{M\choose 2}5^2-{M\choose 1}5+1\\\\
&\equiv\dfrac{(-2)(-3)(-4)(-5)}{4!}\times 5^4-\dfrac{(-2)(-3)(-4)}{3!}\times 5^3+\dfrac{(-2)(-3)}{2!}\times 5^2-(-2)\times 5+1\\\\
&\equiv 586\pmod{5^5}
\end{aligned}$$
よって $2^{N+1}\equiv 18752\pmod{10^5}$ が得られたから，解答すべき値は $\bm{18750}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/editorial/2295
　$N=10^{10}$ とおきます．以下の $x$ の $N$ 次方程式の複素数解がすべて絶対値 $2$ 未満の**有理数**となるような，整数の組 $(a_0,a_1,\dots,a_{N-1})$ すべてに対する $a_0+a_1+\cdots+a_{N-1}$ の総和を，$10^5$ で割った余りを求めてください．
$$x^{N}+a_{N-1}x^{N-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$