　正整数 $a,b$ によって，三辺の長さを $20-a\ (a\lt 20),20,20+b$ と表せば，三角不等式より必要十分条件は
$$ 20+b \lt 20+(20-a) \iff (2\leq)a+b\lt 20$$
したがって，求める場合の数は $1+2+\cdots+18=\textbf{171}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc136/editorial/2334
　三辺の長さが相異なる正整数値で表される三角形のうち，$2$ 番目に長い辺の長さが $20$ であるものは何通りありますか？ただし，合同な $2$ つの三角形はすべて同じものであるとみなします．