　$3$ 点 $B,G,I$ および $C,G,H$ も同一直線上にあることに留意せよ.\
　三角形 $BEG$ の面積を $s$ とおけば, $CEH$ の面積も $s$ である. $BG$ と $EH$ の平行より $GH:HC=BE:EC$ であるから, 面積比を考えて $1:s=s:(s+1)$, すなわち $s=(1+\sqrt{5})\/2$ を得る. よって
$$S=4+6s=7+3\sqrt{5}$$
　ここで $T=7-3\sqrt{5}$ とおけば, $ST=4,S+T=14,S^2+T^2=188$ であり,
$$ S^{n+1}+T^{n+1}=(S+T)(S^{n}+T^{n})-ST(S^{n-1}+T^{n-1}) $$
から帰納的に $f(S^n+T^n)$ は周期 $4,8,6,2$ を繰り返すことがわかる. よって $T^n\lt 1$ より $f(S^n)$ は周期 $3,7,5,1$ を繰り返すから, 求める値は $250\times(3+7+5+1)-1=\textbf{3999}$である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/13
　面積 $S$ の正三角形 $ABC$ の辺 $AB,BC,CA$ 上にそれぞれ点 $D,E,F$ があり, $AD=BE=CF$ をみたしています. $DE,EF,FD$ の中点をそれぞれ $G,H,I$ とすると, 三点 $A,H,I$ は同一直線上に存在し, 三角形 $GHI$ の面積は $1$ でした.\
　ところで, 実数 $x$ に対し「$x$ を $10$ 進数展開したときの $1$ の位」を $f(x)$ で表すものとします. 例えば
$$f(2021)=1,\ \ f(\sqrt{2021})=4,\ \ f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$$
です. このとき, 以下の総和を求めてください：
$$f(S)+f(S^2)+f(S^3)+\cdots+f(S^{999})$$