　条件から $AD=5$ と計算できるから, 三角形 $ABD^\prime$ は正三角形であり, $D^\prime $ から平面 $ABC$ におろした垂線の足 $H$ について, $D^\prime A=D^\prime B=D^\prime C=5$ より $H$ は $ABC$ の外心であることがわかる.\
　正弦定理より $AH=5\sqrt{10}\/6$ であるから, 三平方の定理より $D^\prime H=5\sqrt{26}\/6$ と計算できる. 三角形 $ABC$ の面積が $9\/2$ であることと併せて求める体積は $5\sqrt{26}\/4$ であり, 解答すべき値は $\textbf{35}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/1662
　$AB=5,BC=3,CA=\sqrt{10}$ なる三角形 $ABC$ において, 半直線 $BC$ 上に $CD=5$ なる点 $D$ をとり, 三角形 $ABD$ を $AC$ で折ることで三角錐 $D^\prime-ABC$ を作ります. ただし, $D^\prime$ は $D$ の移る先です. $\angle D^\prime AB=60^\circ$ であるとき, この三角錐の体積を求めてください. ただし, 求める値は正整数 $a,b,c$ によって $\dfrac{a}{b}\sqrt{c}$ と表せるので (ただし $a$ と $b$ は互いに素で, $c$ は平方因子をもたない), $a+b+c$ を解答してください.