　三角形 $BDF$ と $GFD$ が合同となるような点 $G$ を $DF$ に関して $B$ と同じ側にとると, 条件より $FG=BD=CE$ であり, 簡単な角度計算と併せて $CEF$ と $GFE$ も合同であることがわかる. このとき, $BFCED$ の面積は $DEG$ の面積に等しい. ここで, 三角形 $DEG$ は以下の条件によって特徴付けられる：
$$DE=11,\quad DG=20,\quad \angle G=30^\circ$$
このような三角形は $2$ 通り存在するが, このうち鋭角三角形であるものが当てはまることが簡単にわかる.\
　その面積は $50\sqrt{3}+5\sqrt{21}$ であるから, 解答すべき値は $525+7500=\textbf{8025}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc073/editorial/298
　$\angle A=100^\circ$ なる三角形 $ABC$ において, それぞれ辺 $AB,AC$ 上の点 $D,E$ が $BD=CE$ および $DE=11$ をみたします. さらに $BE$ と $CD$ の交点を $F$ とすれば, $BF=20$ および $\angle BFC=130^\circ$ が成立しました. このとき, 五角形 $BFCED$ の面積は, 正整数 $a\lt b$ によって $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ と一意に表せるので, $a+b$ を回答してください.