　$X=a_0+5a_1+\cdots+5^na_n$ と五進表記できるとき，$X$ を $5,5^2,\dots,5^n$ で割ったあまりを考えれば $f(X)=a_0+a_1+\cdots+a_n$ がわかる．従って，$N$ が十分に小さければ (具体的には $N\le 30$ ならば十分である) $g(N)$ は五進表記での桁和が $N$ である最小の正整数であり，$N$ を $4$ で割った商とあまりを $q,r$ とすれば $g(N)=r\underbrace{4\cdots4}\_{q個}{}\_{(5)}=5^q(r+1)-1$ である．よって求める値は次のように計算できる．
$$\begin{aligned}
 \sum_{k=1}^{30} g(k)
&=\sum_{q=0}^{7}\bigl(5^q(1+2+3+4)-4)\bigr)-g(31)\\\\
&=10\cdot\dfrac{5^8-1}{5-1}-4\cdot 8-(4\cdot 5^7-1)\\\\
& =\textbf{664029}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc235/editorial/3387
　OMC王国で流通している通貨は $1001$ 種類の硬貨のみであり，その額面は $1,5,5^2,\dots,5^{1000}$ です．\
　正整数 $X$ について，OMC王国で金額 $X$ の商品をお釣りなく購入するために必要な硬貨の最小枚数を $f(X)$ とします．
このとき各正整数 $N$ に対し $f(X)=N$ を満たす $X$ が存在するので，その最小値を $g(N)$ とおきます．このとき，以下の値を求めてください．
$$g(1)+g(2)+\cdots+g(30)$$