　$7$ が $3$ の倍数でないことから, $x=y=z$ なる解が存在し, 特に $b$ は $3$ の倍数である. したがって $b=3k$ と定め,  $x-k,y-k,z-k$ を $x,y,z$ とおきなおせば, 与条件は以下のように書き換えられる.
$$x^2+y^2+z^2\leq \frac{3}{25}a^2-3k^2,\ \ x+y+z=0$$
　整数 $(x,y,z)$ が $x+y+z=0$ をみたしながら動くとき, $x^2+y^2+z^2$ のとり得る値を小さいほうから考える. まず $(0,0,0)$ で $0$ をとり, 続いて $(1,0,-1)$ およびその並べ替えで $2$ をとり, さらに $(2,1,-1)$ およびその並べ替えで $6$ をとるから, 問題は以下をみたす正整数の組 $(a,k)$ をすべて求めることに帰着された.
$$2\leq \dfrac{3}{25}a^2-3k^2\lt 6 \implies 3(5k)^2+50\leq 3a^2\lt 3(5k)^2+150$$
　$a^2=(5k)^2+N$ とおけば ($17\leq N\leq 49$), $N$ は差が $10k$ である二つの正整数の積として表せることに留意して工夫すれば, 以下のように列挙できる.

- $N=21=1\times 21$ のとき $(a,k)=(11,2)$
- $N=24=2\times 12$ のとき $(a,k)=(7,1)$
- $N=31=1\times 31$ のとき $(a,k)=(16,3)$
- $N=39=3\times 13$ のとき $(a,k)=(8,1)$
- $N=31=1\times 41$ のとき $(a,k)=(21,4)$
- $N=44=2\times 22$ のとき $(a,k)=(12,2)$

　以上より, 求める値は $(11+6)+(7+3)+(16+9)+(8+3)+(21+12)+(12+6)=\textbf{114}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/279
　以下の $2$ 式をともにみたす整数の組 $(x,y,z)$ がちょうど $7$ つ存在するような正整数の組 $(a,b)$ をすべて求め, それらの $a+b$ の総和を解答してください.
$$ x^2+y^2+z^2\leq \frac{3}{25}a^2,\ \ x+y+z=b $$