　 $A$ から最短で $1$ 回の移動でで辿りつける $5$ つの頂点の集合を $C$ ， $A$ から最短で $2$ 回の移動で辿りつける $5$ つの頂点の集合を $D$ とする．$A$ の次は必ず $C$ に，$B$ の次は必ず $D$ に移動する必要があることに注意すると，$A$ から $B$ まで $5$ 回移動して到達する方法は，
$$(A , C , A , C , D , B), ~~ (A , C , C , C , D , B), ~~(A , C , C , D , D , B)$$
$$(A , C , D , C , D , B), ~~ (A , C , D , D , D , B), ~~(A , C , D , B , D , B)$$ 
の $6$ 通りであり，集合間の移動の仕方は， 
- $A\to C, ~ B\to D$ ： $5$ 通り
- $C\to A, ~ D\to B$ ： $1$ 通り
- $C\to C, ~ C\to D, ~ D\to C, ~ D\to D$ ： $2$ 通り

となるので，求める場合の数は 
$$5^2 \cdot 2+ 5 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 +5^2 \cdot 2=\mathbf{260}$$ 
と計算される．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb018/editorial/10537
　$A$ から最短で $1$ 回の移動で辿りつける $5$ つの頂点の集合を $C$, 
$A$ から最短で $2$ 回の移動で辿りつける $5$ つの頂点の集合を 
$D$ とする. $n$ 回目の移動の後に $A,C,D,B$ それぞれにいる場合の数を $a_n,c_n,d_n,b_n$ とすると,
$$
\begin{pmatrix}
a_0\\\\
c_0\\\\
d_0\\\\
b_0\\\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1\\\\
0\\\\
0\\\\
0\\\\
\end{pmatrix}$$
及び $n=1,2,\dots$ について, 以下が成立.
$$\begin{pmatrix}
a_n\\\\
c_n\\\\
d_n\\\\
b_n\\\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
 &              &c_{n-1}\\\\
5a_{n-1}&+&2c_{n-1}&+&2d_{n-1}\\\\
                 &&2c_{n-1}&+&2d_{n-1}&+&5b_{n-1}\\\\
&&&&d_{n-1}\\\\
\end{pmatrix}$$
よって, 順に計算すると $b_5=\mathbf{260}$ が得られる.

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- 類題:[OMC144-F](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc144\/tasks\/6725),[OMC160-C](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc160\/tasks\/4934)
漸化式による解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb018/editorial/10537/582
　正二十面体があり，そのうちの一つの頂点を $A$ とし，$A$ から最も遠い頂点を $B$ とします．ある頂点から辺で繋がった別の頂点へ移動することを $5$ 回繰り返して $A$ から $B$ へ行く方法は何通りありますか？\
　ただし，移動の途中で $A,B$ を経由してもかまいません．また，正二十面体の頂点の数は $12$，辺の数は $30$ です．