　三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とし，直線 $AD$ と $\Gamma$ の交点を $D^{\prime}\ (\neq A)$，直線 $AE$ と $\Gamma$ の交点を $E^{\prime}\ (\neq A)$ とする．角度追跡により $D,\ D^{\prime},\ E,\ E^{\prime}$ は同一円周上にあることがわかる．したがって，
$$
AB=AC=a,\quad AD=x,\quad DD^{\prime}=x^{\prime},\quad AE=y,\quad EE^{\prime}=y^{\prime}
$$
とすれば，方べきの定理および三平方の定理などより，以下が成立する：
$$
\begin{cases}
    x^2+y^2 &=23^2\\\\
    a^2 &= x\left(x+x^{\prime}\right)=y\left(y+y^{\prime}\right)\\\\
    xx^{\prime} &= 24\times 32\\\\
    yy^{\prime} &= 9 \times 47
\end{cases}
$$
これを解くことで $x^2=92,\ y^2=437$ を得るので，$a^2=\bm{860}$ である．
 ---
**別解.**　$DE$ の中点を $M$ とすると
$$ AM = \frac{23}2,\quad BM = 9 + \frac{23}2 = \frac{41}2,\quad CM = 24 + \frac{23}2 
= \frac{71}2 $$
であるから，Stewart の定理より，求める値は
$$ \left(\frac{23}2\right)^2 + \frac{41}2 \times \frac{71}2 = \bm{860}. $$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9392
[方針 $1$ ] 二等辺三角形はまっぷたつに&よくある直角三角形の相似で解決  

$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とする．$BH=CH=28$ より，$DH=19,EH=4$ となる．  
ここで，角度追跡により $\triangle{DHA}$ と $\triangle{AHE}$ は相似とわかる． 

よって， ${AH}^2=DH\times EH=76$ より，${AB}^2={BH}^2+{AH}^2=28^2+76=\textbf{860}$  

[方針 $2$ ]方べきの値を利用して補助線を引かずに解決  

中心 $A$ で半径 $AB=AC=r$ の円 $\omega$ に対する点 $P$ の方べきの値を $Pow_{\omega}(P)$ で表すことにする．  
$-Pow_{\omega}(D)=r^2-{AD}^2=9\times47$  
$-Pow_{\omega}(E)=r^2-{AE}^2=32\times24$  
${AD}^2+{AE}^2=23^2$  
より，$3$ 式を足し合わせて $2$ で割ることで，$r^2=\textbf{860}$ を得る．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9392/291
　$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ があります．辺 $BC$ 上に点 $D,E$ を，$B,D,E,C$ がこの順で並ぶようにとったところ，以下が成立しました：
$$
BD=9,\quad DE = 23, \quad EC=24,\quad \angle DAE=90^\circ.
$$
このとき，辺 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．