　$t=10^{10}$ とすると，
$$E=t^2+22t+57=(t+3)(t+19)$$
であり，さらに $t+3$ は $7$ で割り切れることから，保証されている事実より，求める値は
$$p+q=7+(t+19)=\textbf{10000000026}$$
ちなみに $(t+3)\/7$ も素数である．すなわち $E$ はちょうど $3$ つの素因数をもつ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/1739
　$21$ 桁の整数
$$E=100,000,000,220,000,000,057$$
の素因数について，以下の事実が保証されるので，$p+q$ の値を解答して下さい：
- $E$ は $1$ 桁 の素数（$p$ とする）および $11$ 桁の素数（$q$ とする）をそれぞれちょうど一つずつ素因数にもつ．

　ただし，「$,$ 」は $3$ 桁ごとの区切りです．