　方程式の $2$ 解を $\alpha\geq\beta$ とおくと, 解と係数の関係より $\alpha+\beta=2m-960$ および $\alpha\beta=4m+97$ が成立する. これらより $m$ を消去すると $\alpha\beta=2(\alpha+\beta)+2\times960+97$ すなわち
　　$$(\alpha-2)(\beta-2)=2021=47\times43$$
これより $(\alpha, \beta)$ としてあり得る組は $(2023, 3)$ および $(49, 45)$ とわかる. これを $\alpha+\beta=2m-960$ に代入することでそれぞれ $m=1493, 527$ を得るから, 求める値は $1493+527=\textbf{2020}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc013/editorial/84
　複素数 $x$ についての方程式 $x^{2}-2(m-480)x+(4m+97)=0$ が, 正整数解のみをもつような整数 $m$ について, その総和は $M$ となります.  $M$ を解答してください.