　$5^k \in A$ が最大値となる $A$ の部分集合は $2^{k-1}$ 個存在し，最小値となるような $A$ の部分集合は $2^{10119-k}$ 個存在する．したがって，スコアの総和は以下の和になる．
$$\begin{aligned}
M &=  \sum_{k=1}^{10119} 5^k(2^{k-1}-2^{10119-k}) \\\\
&= \sum_{k=1}^{10119} \Big(\frac{10^k}{2}-\Big(\frac{5}{2}\Big)^k2^{10119}\Big) \\\\
&= \frac{5}{9}(10^{10119}-3\times 5^{10119} + 3\times 2^{10119}-1)\\\\
&=  \underbrace{55\cdots 55}\_{10119 \text{ 個}}- \frac{5}{3}(5^{10119}-2^{10119})
\end{aligned}$$
これより，次がしたがう．
$$55 \underbrace{00\cdots 00}\_{10117 \text{ 個}}\lt M\lt 55 \underbrace{55\cdots 55}\_{10117 \text{ 個}}$$
よって $a=55$ である．また，任意の $X\subset A$ のスコアは $4$ の倍数なので，$M\equiv 0\pmod{4}$ であり，
$$\frac{1}{9}(10^{10119}-3\times 5^{10119} + 3\times 2^{10119}-1)\equiv 4(3\times 2^3-1)\equiv 2\pmod5$$
より，$M\equiv 0\pmod4 , ~ M\equiv 10\pmod{25}$ なので，$M\equiv 60\pmod {100}$ がわかり，$b=60$ がしたがう．以上より解答すべき値は $55\times 60=\mathbf{3300}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/10119
　集合 $A$ を，
$$A = \lbrace 5,5^2,5^3,\ldots,5^{10119} \rbrace $$
で定めます．$A$ の空でない部分集合 $X$ に対して，$X$ のスコアを $\max X - \min X$ と定めます．ただし，$\max X, \min X$ はそれぞれ $X$ の最大の元と最小の元を表します．$2^{10119}-1$ 個の空でない部分集合すべてのスコアの総和を $M$ とします．$M$ を $10$ 進表記したときの上 $2$ 桁を $a$，$M$ の下 $2$ 桁を $b$ としたとき，$a\times b$ の値を解答してください．