　$x, y, z, w$ の整数部分をそれぞれ $A, B, C, D$ とおき，小数部分をそれぞれ $a, b, c, d$ とおく．
ただし実数 $t$ に対し $t$ の**整数部分**とは $\lfloor t\rfloor$，**小数部分**とは $t-\lfloor t\rfloor$ のこととする．\
　$x=A+a$ などに注意して $1$ 番目の式を整理すると，
$$A^2 + B^2 = a^2 + 52.19$$

が得られる．この式の左辺が整数であり，かつ $0 \leq a \lt 1$ であることから
$$A^2 + B^2 = 53，a = 0.9$$

が従う．同様に $2, 3$ 番目の式から
$$B^2 + C^2 = 85，C^2 + D^2 = 565，b = 0.7，c = 0.5$$
が得られる．$53$ を $2$ つの平方数の和で表す方法は $2^2 + 7^2 = 53$ のみなので組 $(A^2, B^2)$ としてあり得るものは $2$ 組あり，それぞれに対して $4$ 数の組 $(A^2, B^2, C^2, D^2)$ は以下のように，すべて平方数となるように決まる．
$$(2^2, 7^2, 6^2, 23^2)，(7^2, 2^2, 9^2, 22^2)$$

　また $a + b + c = 2.1$ であることから $x + y + z + w$ が整数となるのは $d = 0.9$ のときに限られ，このとき $a + b + c + d = 3$ となる．ゆえに，$x + y + z + w$ のとり得る整数値は以下どちらかの形式で表される数である（各々の形式に対し複号の決め方は任意である）．
- **形式 1.**　$\pm 2 \pm 6 \pm 7 \pm 23 + 3$
- **形式 2.**　$\pm 2 \pm 7 \pm 9 \pm 22 + 3$

形式 1. で表される数は大きい方から $41, 37, 29, \dots$ であり，形式 2. で表される数は大きい方から $43, 39, 29, \dots$ である．ゆえに解答すべき値は
$$43 \times 41 \times 39 \times 37 \times 29 = \mathbf{73776261}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/7162
　実数 $x, y, z, w$ が以下の $3$ つの等式を満たすとき，和 $x + y + z + w$ がとりうる整数値の中で $1, 2, 3, 4, 5$ 番目に大きいものの**総積**を解答してください．

$$
\left\\{
\begin{array}{l}
2 \lfloor x \rfloor x + \lfloor y \rfloor ^2 = x^2 + 52.19\\\\
2 \lfloor y \rfloor y + \lfloor z \rfloor ^2 = y^2 + 84.51\\\\
2 \lfloor z \rfloor z + \lfloor w \rfloor ^2 = z^2 + 564.75
\end{array}
\right.
$$

ただし，実数 $t$ に対し $\lfloor t \rfloor$ で $t$ 以下の最大の整数を表します．