**補題.**　$n$ の二進法表記に $1$ が $k$ 回現れるとき，$n!$ が $2$ で割り切れる最大の回数 $f(n)$ は $n-k$ である．

**証明.**　$n=1$ のとき明らかに成立するから，以下ある $m\geq 2$ について $n\lt m$ で成立を仮定し，$m=n$ で成立を示せばよい．$m$ が偶数のとき，帰納法の仮定より $f(m\/2)=m\/2-k$ であるから，Legendreの定理より
$$f(m)=\dfrac{m}{2}+f\left(\dfrac{m}{2}\right)=m-k$$
を得る．$m$ が奇数の場合も同様である．なお，$f(m)$ を $f(m-1)$ によって表す方針でも示される．(証明終)
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　明らかに $N$ は以下のように表される：
$$N=\frac{(1023×1024)!}{1!2!\cdots 1023!(1023×512)!}.$$
ここで，$0$ 以上 $1023$ 以下の整数を $10$ 桁の二進数で書き表すと，合計 $10×1024$ 桁のちょうど半分が $1$ であるから，$f(0)=0$ に注意して，
$$f(1)+f(2)+\cdots+f(1023)=1+2+\cdots+1023-\dfrac{1}{2}\times 10\times 1024=1023\times512-5120.$$
また以下と併せて，$N$ が $2$ で割り切れる回数は $\textbf{5120}$ 回である．
$$f(1023\times 1024)=1023\times 1024-10,\quad f(1023\times 512)=1023\times 512-10$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2210
　解説の補題を知らなかった（思いつかなかった）場合の解法です．（ただし，それなりに有名な補題だと思うので，覚えて使えるようにしておいた方が良いと思います．）

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$$N=\dfrac{(1023×1024)!}{1!\ 2! \cdots 1023! \ (1023×512)!}$$
であり，$\dfrac{(1023×1024)!}{(1023×512)!}$ が $2$ で割り切れる回数は容易に求められる（$1023×512$ 回である）．\
　よって，$1!\ 2 ! \cdots 1023!$ が $2$ で何回割り切れるかを求めればよい．\
　$0!\ 1! \cdots (2^{n}-1)!$ が $2$ で割り切れる回数を $S_n$ とおく． 以下，$S_{n+1}$ を $S_n$ で表すことを考える．

　自然数 $m$ が $2$ で割り切れる回数を $v_2(m)$ で表す．（なお，この記法は一般的である．）\
　$1≦k≦2^n-1$ とすると $v_2(2^n+k)=v_2(k)$．このことから $v_2((2^n+k)!)=v_2(2^n!)+v_2(k!)=v_2(k!)+2^n-1$ である．よって，
$$S_{n+1}=S_n+\sum\limits_{k=0}^{2^n-1} v_2((2^n+k)!)=S_n+\sum\limits_{k=0}^{2^n-1} (v_2(k!)+2^n-1)=2S_n+2^n(2^n-1)$$
　漸化式を解いて，$S_n=2^n(2^{n-1}-1)-2^{n-1}(n-1)$ を求めるか，$S_1=0$ から始めて漸化式に従って順次計算すれば，$S_{10}=518656$ を得る．求めるべき値は $1023×512-518656=\mathbf{5120}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2210/329
　多項式 $(1+x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{1023})^{1023^2+1023}$ を展開したとき，
$$(x_1)^1(x_2)^2(x_3)^3\cdots( x_{1023})^{1023}$$
の係数は $N$ となります．$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めて下さい．