　$AM = MB = x$ とすると，方べきの定理より $AD^2 = AM × AB = 2x^2$ から $AN = NC = \sqrt{2}x $ とわかる．ここで，$MN = y$ とすると，方べきの定理より $NC^2 = DC × BC$ から $DC = \dfrac{x^2}{y}$ と分かる．また，$MN \parallel BD$ から円に内接する四角形 $BMND$ は等脚台形であるので，$DN = x$ ともわかる．これより，三角形 $ADC$ に中線定理を用いて，
$$AD = x \sqrt{6-\left( \frac{x}{y} \right)^2} $$
となることが分かる．よって，
$$ \sqrt{11} : 1 = AD : DC = \sqrt{6-\left( \frac{x}{y} \right)^2} : \dfrac{x}{y}$$
となるので，$y = \sqrt{2}x$ を得る.
これより，$\sqrt{14} = DC = \cfrac{x}{\sqrt{2}}$ となり，$ x = 2\sqrt{7}, y = 2\sqrt{14}$ と分かる．これにより三角形 $ABC$ の面積が $28\sqrt{7}$ とわかる一方，辺の比より三角形 $ABC$ と四角形 $BMND$ の面積比は $8 : 5$ なので，四角形 $BMND$ の面積は $\cfrac{35\sqrt{7}}{2}$ である．よって，解答すべき値は $35^2 × 7 + 2^2 = \mathbf{8579} $ と分かる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7910
　三角形 $ABC$ において，辺 $AB, AC$ の中点をそれぞれ $M, N$ とすると，三角形 $BMN$ の外接円が点 $N$ で直線 $AC$ に接しました．さらに，三角形 $BMN$ の外接円と辺 $BC$ が $B$ でない点で交わったのでその交点を $D$ とすると，
$$AD = \sqrt{154}, \quad DC = \sqrt{14} $$
が成立しました．このとき，四角形 $BMND$ の面積の $2$ 乗を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $ \dfrac{a}{b} $ と表されるので，$a+b$ を解答してください．