　与えられた等式を変形すると
$$pm^2 = q^n(q^n + 32)(q^n - 32)$$
となる．$q^n$ は奇数ゆえ，$q^n - 32, q^n, q^n + 32$ はどの $2$ つを選んでも互いに素である．$pm^2$ を素因数分解したときにべきが奇数となる素数が $p$ ただ $1$ つであることから，$q^n - 32, q^n, q^n + 32$ のうちちょうど $2$ つが平方数となる必要がある．ここで補題を与える．

---
**補題．**\
　奇数の平方数 $A, B$ と $3$ 以上の整数 $k$ の間で $A = B + 2^k$ が成り立つとき，
$$(A, B) = \left( (2^{k-2} + 1)^2, (2^{k-2} - 1)^2 \right)$$
がしたがう．

<details><summary>補題の証明<\/summary>
　正の奇数 $M, N$ を用いて $A = M^2, B = N^2$ と表すと
$$(M + N)(M - N) = A - B = 2^k$$
であり，$M + N \gt M - N$ かつ $(M + N) - (M - N) = 2M$ が $4$ で割り切れない偶数であることから
$$(M + N, M - N) = (2^{k - 1}, 2)$$
がしたがう．よって $(M, N) = (2^{k-2} + 1, 2^{k-2} - 1)$ が得られ，主張は成り立つ．
<\/details>

---

それでは，$q^n - 32, q^n, q^n + 32$ の中から平方数となる $2$ 数を選ぶ方法によって，下記のように場合分けし議論しよう．

---
- $q^n, q^n - 32$ が平方数のとき： \
補題から $q^n = (2^3 + 1)^2 = 81$ がしたがい，$(q, n) = (3, 4)$ を得る．さらに
$$pm^2 = 49 \times 81 \times 113 = 113 \times 63^2$$
が成り立つので，このケースでは $(p, q, m, n) = (113, 3, 63, 4)$ が適する．

- $q^n, q^n + 32$ が平方数のとき： \
補題から $q^n = (2^3 - 1)^2 = 49$ がしたがい，$(q, n) = (7, 2)$ を得る．さらに
$$pm^2 = 17 \times 49 \times 81 = 17 \times 63^2$$
が成り立つので，このケースでは $(p, q, m, n) = (17, 7, 63, 2)$ が適する．

- $q^n - 32, q^n + 32$ が平方数のとき： \
補題より $q^n - 32 = (2^4 - 1)^2$ なので，$q^n = 257$ がしたがい $(q, n) = (257, 1)$ を得る．さらに
$$pm^2 = 225 \times 257 \times 289 = 257 \times 255^2$$
が成り立つので，このケースでは $(p, q, m, n) = (257, 257, 255, 1)$ が適する．

---

　以上の議論より，求める総積は $17 \times 113 \times 257 = \mathbf{493697}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc223/editorial/10404
　正整数 $m, n$ と $3$ 以上の素数 $p, q$ が
$$pm^2 + 1024q^n = q^{3n}$$
をみたしています．$p$ の値としてあり得るものの**総積**を解答して下さい．