　$AP : PM = 2 : 1$ より $P$ は $ABC$ の重心であるから，直線 $CP$ と $AB$ の交点を $N$ とすると，$N$ は辺 $AB$ の中点である．また，$P$ は重心であるから
$$PN=\frac{1}{2}CP=10, \quad AP = \frac{2}{3}AM = 26$$
であるので，$AN=\sqrt{AP^2-PN^2}=24$ である．よって，求める面積は
$$\frac{1}{2}AB\times CN = AN\times (PN + CP) = \textbf{720}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/1473
　三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ の中点を $M$とし，$C$ から直線 $AB$ におろした垂線と線分 $AM$ が交わったのでその交点を $P$ とすると，以下の条件が成り立ちました：
$$ AP:PM=2:1,\quad AM=39,\quad CP=20.$$
このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．