　$K=\dfrac{k}{10^5}$ とする．漸化式から
$$a_{n+2}-a_{n+1}=K(\lceil a_{n+1} \rceil -\lceil a_n \rceil )$$
である．右辺について，
$$\lceil a_{n+1} \rceil -\lceil a_n \rceil =\lceil K \lceil a_n \rceil +1 \rceil -\lceil a_n \rceil = \lceil K \lceil a_n \rceil \rceil -\lceil a_n \rceil +1$$
であり，$0\lt K\lt 1$ および $a_n\gt 0$ により $\lceil a_{n+1} \rceil -\lceil a_n \rceil \leq 1$ である．さらに，
$$\lceil a_{n+2}-a_{n+1} \rceil -1 \leq \lceil a_{n+2} \rceil -\lceil a_{n+1} \rceil \leq \lceil a_{n+2}-a_{n+1} \rceil = 
\lceil K(\lceil a_{n+1} \rceil -\lceil a_n \rceil ) \rceil$$
であり，以下が成り立つことが分かる：
- $\lceil a_{n+1} \rceil - \lceil a_n \rceil =1$ のとき $\lceil a_{n+2} \rceil -\lceil a_{n+1} \rceil =0$ または $1$
- $\lceil a_{n+1} \rceil - \lceil a_n \rceil =0$ のとき $\lceil a_{n+2} \rceil -\lceil a_{n+1} \rceil =0$
- $\lceil a_{n+1} \rceil - \lceil a_n \rceil \lt 0$ のとき $\lceil a_{n+2} \rceil -\lceil a_{n+1} \rceil \leq 0$

これにより $\\{\lceil a_n\rceil \\}$ は広義単調増加または広義単調減少である．ここで，$\\{\lceil a_n\rceil \\}$ が広義単調減少のとき $\lceil a_{N+1} \rceil =\lceil a_N \rceil$ となるような $998$ 以下の正整数 $N$ が存在し，このとき $a_{N+1}=a_{N+2}$ であるから条件を満たさない．したがって，$\\{\lceil a_n\rceil \\}$ は広義単調増加である必要があり，このとき
$$\lceil a_2 \rceil - \lceil a_1 \rceil = \lceil 500K+1 \rceil - 500 =1 \iff \lceil 500K \rceil =500$$
すなわち $\dfrac{499}{500} \lt K (\leq 1)$ が必要である．以下の議論では $K$ がこれを満たすものとする．\
　次に，初めて $\lceil a_{N+1} \rceil = \lceil a_N \rceil$ となる $N$ について考える．漸化式および天井関数の定義から
$$\lceil a_N \rceil -1 \lt K\lceil a_N \rceil +1 \leq \lceil a_N \rceil \iff \frac{1}{1-K} \leq \lceil a_N \rceil \lt \frac{2}{1-K}$$
である．$\lceil a_1 \rceil, \lceil a_2 \rceil, \ldots , \lceil a_N \rceil$ は公差 $1$ の等差数列であり，また上の不等式の区間は $1$ より大きいから，これを満たす $N$ が必ず存在する．これより $a_1, a_2, \ldots ,a_{1000}$ が全て相異なるには
$$\lceil a_{998} \rceil = 1497 \lt \frac{1}{1-K} \iff 1-\frac{1}{1497} \lt K = \frac{k}{10^5}$$
であればよく，$k=99934,99935,\ldots ,99999$ がこれを満たす．特に解答すべき値は $\bf{6597789}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/8117
　$a_1, \cdots, a_{1000}$ が相異なるためには，$\lceil a_1 \rceil \cdots \lceil a_{999}\rceil $ が相異なることが必要条件である．そこで，漸化式を次のように変形する：\
$$\lceil a_{n+1} \rceil = \left\lceil \dfrac{k}{10^5}\lceil a_n \rceil+1 \right\rceil=\left\lceil \dfrac{k}{10^5}\lceil a_n \rceil \right\rceil +1 \leq \left\lceil \lceil a_n \rceil \right\rceil +1= \lceil a_n \rceil +1\ \cdots(※)$$ 
　ここで $\lceil a_2 \rceil \leq 500$ と仮定すると，次のいずれかを満たす：\
(i) $\lceil a_1 \rceil \cdots \lceil a_{501} \rceil $ はいずれも $500$ 以下の自然数であり，鳩の巣原理より，$\lceil a_x \rceil = \lceil a_y \rceil $ となるものが存在する．\
(ii) $\lceil a_3 \rceil \cdots \lceil a_{501} \rceil $ のいずれかが $500$ より大きい自然数である．このとき，式 $(※)$ より，$\lceil a_x \rceil = 500 $ となるものが存在する．\
どちらの条件を満たしても，$a_1, \cdots, a_{1000}$ が相異なるという条件に反するため，$\lceil a_2 \rceil \gt 500$ でなければならない．すなわち $\lceil a_2 \rceil = 501$．

　次に，$\lceil a_n \rceil \lt \lceil a_{n+1} \rceil$ と仮定する．このとき漸化式より $a_{n+1} \lt a_{n+2}$ である．一方，式 $(※)$ より，
$$\lceil a_{n+1} \rceil \leq \lceil a_{n+2} \rceil \leq \lceil a_{n+1} \rceil+1$$
となる．従って，$a_1, \cdots, a_{1000}$ が相異なるための必要十分条件は，$n=1, \cdots,999$ の範囲で $\lceil a_n \rceil=n+499$ を満たすことである．\
　ここで，次の連立不等式を考える：$\lceil a_N \rceil \lt \lceil a_{N+1} \rceil $，$a_{N+1} = \dfrac{k}{10^5}\lceil a_N \rceil+1$．この不等式が $1 \leq N \leq 998$ で成り立つような $k$ を求めればよい．\
　$\lceil a_N \rceil \lt \lceil a_{N+1} \rceil \iff \lceil a_N \rceil \lt  a_{N+1}$ を用いれば，次の解を得る：
$$k \gt \dfrac{\lceil a_N \rceil -1}{\lceil a_N \rceil}× 10^5$$
　$a_N$ が大きくなるほど右辺も大きくなるので，$N=998$ を代入して $k \geq 99934$ を得る．
a_2=501 を求める別の方法（鳩の巣原理）
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/8117/370
　$k$ を $1$ 以上 $10^5$ 未満の整数とし，数列 $\\{ a_n \\}$ を以下の漸化式で定めます：
$$a_1=500, \quad a_{n+1}=\frac{k}{10^5} \lceil a_n \rceil +1 \quad (n=1,2,\ldots)$$
このとき，$a_1,a_2,\ldots ,a_{1000}$ が相異なるような $k$ の総和を解答してください．ただし，$\lceil x \rceil$ で $x$ 以上の最小の整数を表します．