　$2$ 以上の正整数 $n$ に対し，$g(n)$ を以下のように定める．
- $n$ が素数ならば，$g(n) = -n$ とする．
- $n$ が素数でないならば，$g(n)$ は $n$ の正の約数のうち $3$ 番目に小さい数とする．

このとき $f(n)g(n)=n$ が成り立つ．いま，$g(k)$ が $3$ の倍数となるのは次の $3$ 通りの状況に限られる．

- $k=3$ のとき $g(k)=-3$ となる．
- $6\mid k$ のとき $g(k)=3$ となる．
- $2\nmid k$ かつ $5\nmid k$ かつ $7\nmid k$ かつ $9\mid k$ のとき $g(k)=9$ となる．

特に $g(k)=9$ なる $k$ は，中国剰余定理より $630$ を法として $1\times 1\times 4\times 6=24$ 個存在する．また，$631$ 以上 $800$ 以下の整数であって $3$ つ目の条件を満たすものの数は，$1$ 以上 $170$ 以下の $9$ の倍数であって $2, 5, 7$ のいずれでも割り切れないものの数と等しく，これは $9, 27, 81, 99, 117, 153$ の $6$ つのみである．よって，$n$ が $3$ で割り切れる最大の回数を $v_3(n)$ とすると，
$$v_3 \left\(\prod_{k=2}^{800}g(k)\right\)
=1+\bigg\lfloor\frac{800}{6}\bigg\rfloor+2(24 + 6) = 194
$$

である．以上より，求める答えは
$$\begin{aligned}
v_3\left\(\prod_{k=2}^{800}f(k)\right\)
= v_3\left\(\prod_{k=2}^{800}\frac{k}{g(k)}\right\)
 =v_3(800!) - 194 = \bf202
\end{aligned}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc224/editorial/7255
　$2$ 以上の整数 $n$ に対し，$n$ を割り切る整数のうち $3$ 番目に大きいものを $f(n)$ とします．例えば，$f(2)=-1, f(22)=2, f(224)=56$ です．このとき，
$$\prod_{k=2}^{800}f(k)$$
が $3$ で割り切れる最大の回数を求めてください．