　すべての辺が青く塗られた三角形を**青い三角形**などと呼ぶこととする. ある塗り方について, そのスコアは
$$(青い三角形の組の個数)+(赤い三角形の組の個数)-2\times(青い三角形と赤い三角形のペアの個数)$$
ここで, **青い三角形の組**は順序付いた $2$ つの青い三角形の組を指し, 同じ三角形 $2$ つの選択を許容するものとする.\
　ここで, 色を考えず三角形 $2$ つを選択したとき, これが辺を共有していないならば色の選択によって上式の各項の寄与が打ち消されることがわかる. 一方で, 辺を共有しているならば (一致を含む), これらが同時に青い三角形と赤い三角形とはならないから, 上式の前の $2$ 項のみが寄与する. よって, 一般に $n$ 角形ですべての塗り方のスコアの**総和** $S_n$ は
$$\begin{aligned}
S_n&=2\times\left(\frac{{}_n{\rm P}_4}{2}\times 2^{n(n-1)\/2-5}+{}_n{\rm C}_3\times 2^{n(n-1)\/2-3}\right)\\\\
&= 2^{n(n-1)\/2}n(n-1)(n-2) \left(\frac{n-3}{32}+\frac{1}{24}\right)\\\\
&= 2^{n(n-1)\/2}n(n-1)(n-2)\times\frac{3n-5}{96}
\end{aligned}$$
これより, 特に求める平均は $\dfrac{1}{96}n(n-1)(n-2)(3n-5)$ であり, 解答すべき値は $\textbf{2080520642789}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1891
　正 $2021$ 角形 $P$ があり, その頂点のうち $2$ つを結ぶ $2041210$ 本の線分が, それぞれ赤または青で塗られています. それぞれの塗り方について, その**スコア**を, $P$ の頂点を結んでできるすべての辺が赤い三角形の個数と, $P$ の頂点を結んでできるすべての辺が青い三角形の個数の差の $2$ 乗として定めます. 線分の塗り方すべてについて, スコアの(相加)平均を求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.