　辺 $BC$ の中点を $M$ とする．点 $B, C$ から辺 $CA, AB$ に下ろした垂線の足を $E, F$ とし，直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とする．点 $X^{\prime}$ を線分 $DM$ の中点とする．点 $N$ を中心として点 $A$ を通る円を $\gamma$ とする．点 $D$ は $\gamma$ の点 $M$ に関する極線上にあるから，線分 $DM$ を直径とする円は $\gamma$ と直交する．このとき，これらの二円の交点のうち一つを $T$ とすると， 
$${X^{\prime}N}^2
 ={X^{\prime}T}^2+{TN}^2
 ={X^{\prime}M}^2+{OM}^2
 ={X^{\prime}O}^2$$
より $X^{\prime}N=X^{\prime}O$ が成立する．したがって $X^{\prime}=X$ である．長さを計算すると, 
$$CE:EA=3:5, \quad AF:FB=5:4$$
となり，これとMenelausの定理より $BD:DC=4:3$ となる．点 $X$ が線分 $DM$ の中点であることから $BX=\frac{9}{4}\sqrt{7}$ と求まるので，解答すべき値は $567+16=\textbf{583}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6677
　$AB=3,~ BC=\sqrt{7},~ CA=2\sqrt{2}$ なる三角形 $ABC$ について，その垂心を $H$，外心を $O$ とする．線分 $AH$ の中点を $N$ とし，線分 $NO$ の垂直二等分線と直線 $BC$ の交点を $X$ とすると，線分 $BX$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので，$a+b$ を解答せよ．