　まず，次を示す． 

---

**補題**．$m$，$k$ を自然数で $1\leq k\leq m$ を満たすとする．このとき
$$
f^{2}(m^2 + k) = (m+1)^2 + k.
$$

**(証明)**　$m \lt \sqrt{m^2 + k} \leq \sqrt{m^2 + m} \lt m+\frac{1}{2}$ なので, 
$$\begin{aligned}
   f(m^2 + k) & = m^2 + k + \lfloor\sqrt{m^2 + k} + \frac{1}{2}\rfloor \\\\
   & = m^2 + m + k.
\end{aligned}$$

また, $m+\frac{1}{2}  \lt  \sqrt{m^2 + m + k} \lt m+1$なので
$$ 
f(m^2 + m + k) = m^2 + m + k + (m+1) = (m+1)^2 + k.
$$ 

---

　求める和は
$$
\sum_{n=1}^{10} f^{100}(n^2) + 
\sum_{n=1}^{9}\sum_{k=1}^{n} \left( f^{100}(n^2 + k)  +  f^{100}(n^2 + n + k)\right)
$$
である．補題を使って，それぞれの総和を調べる．
　まず
 $$\begin{aligned}
f^{100}(n^2) & = f^{99}(n^2 + n) \\\\
&= f((n+49)^2 + n) \\\\
&= (n+49)^2 + 2n+49 \\\\ 
&= n^2 + 100n + 2450
\end{aligned}$$ 
より，
$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{10} f^{100}(n^2) &= 3550 + \sum_{n=1}^{9} (n^2 + 100n + 2450)
\end{aligned}$$
　次に
 $$f^{100}(n^2 + k) = (n+50)^2 + k$$

 $$\begin{aligned} 
f^{100}(n^2 + n + k) &= f^{99}((n+1)^2 + k) \\\\
 &= f((n+50)^2 + k) \\\\ 
 & = (n+50)^2 + n + 50 + k
\end{aligned}$$
より，
$$\begin{aligned}
&\sum_{k=1}^{n}\left(f^{100}(n^2 + k) + f^{100}(n^2 + n + k)\right) \\\\ 
&= \sum_{k=1}^{n} \left( 2(n+50)^2 + n + 50 + 2k\right) \\\\
&= 2n(n+50)^2 + n(n+50) + n(n+1) \\\\
&= 2n^3 + 202n^2 + 5051n 
\end{aligned}$$
　以上の計算より，求める和は
$$\begin{aligned}
& 3550 + \sum_{n=1}^{9} (2n^3 + 203n^2 + 5151n + 2450) \\\\
&= 3550 + \dfrac{(9\cdot 10)^2}{2} + 203\cdot \frac{9\cdot 10\cdot 19}{6} + 5151\cdot \frac{9\cdot 10}{2} + 2450\cdot 9  \\\\
&= 3550 + 4050 + 57855 + 231795 + 22050 \\\\
&= \mathbf{319300}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9844
　正の実数 $x$ に対し，
$$f(x) = \left\lfloor x + \sqrt{x}  +\frac{1}{2} \right\rfloor$$
と定義します．このとき，次の和を計算してください：
$$\sum_{n=1}^{100} f^{100}(n)$$ 
　ただし，$f^{1}=f, ~ f^{k}(x)=f\bigl(f^{k-1}(x)\bigr)$ とします．