　一般に $n\geq 3$ に対して正 $2n$ 角形 $P_1P_2 \ldots P_{2n}$ を考え，その外接円を $\Omega$ とする．以下を満たすような組 $(i_1, i_2, i_3, i_4, i_5)$ の個数を求めればよい．
- 五角形 $P_{i_1}P_{i_2}P_{i_3}P_{i_4}P_{i_5}$ の $5$ つの対角線のうち少なくとも $1$ つは円 $\Omega$ の直径である．

ここで直径となり得る対角線は高々 $2$ つであることに注意せよ．五角形の対角線となりうる直径は
$$P_1P_{n+1}，P_2P_{n+2}，\ldots，P_nP_{2n}$$
の $n$ 本である．まずはこれらの中から $1$ つを選び固定したときに，それを対角線に含むような五角形の個数 $A$ を求める．直径の端点以外の $3$ 点は，直径を境とする $2$ 領域にそれぞれ $1, 2$ 個含まれる．$2$ 個含まれる側の決め方は $2$ 通りあり，各領域における頂点の位置の選び方はそれぞれ $n - 1, {}\_{n - 1}\mathrm{C}\_{2}$ 通りある．ゆえに
$$A = 2 \times (n - 1) \times {}\_{n - 1}\mathrm{C}\_{2} = (n - 1)^2(n - 2)$$
である．\
　次に直径の中から $2$ つを選び固定したときに，それらを対角線に含むような五角形の個数を求めるが，これは直径の端点となる $4$ 点以外の中から $1$ 点を選ぶ方法に等しいので，$2n - 4$ 通りである．\
　$n$ 個の直径すべてに対してそれを対角線に含む五角形の個数を数えるとその個数は $nA$ となるが，この数え方では直径を $2$ つ含む五角形がそれぞれ $2$ 回ずつカウントされるので，その重複を考慮すると求める個数は
$$nA - {}\_{n}\mathrm{C}\_{2} (2n - 4) = n(n - 1)(n - 2)^2$$
であり，$n = 555$ でこれは $\mathbf{94027093230}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc223/editorial/8509
　$n=555$ とする．問題の条件を満たさないような $(i_1,i_2,i_3,i_4,i_5)$ の総数を数えよう．これは次の $2$ つの場合に分けられる．

$(1)$ $P_{i_1},P_{i_2},P_{i_3},P_{i_4},P_{i_5}$ のうちのどの $2$ 点の組も直径でない．

$(2)$ $P_{i_1}P_{i_2},P_{i_2}P_{i_3},P_{i_3}P_{i_4},P_{i_4}P_{i_5},P_{i_5}P_{i_1}$ のうち，いずれかが直径．

　 $\\{ i_1,i_2,i_3,i_4,i_5 \\}$ を $1$ 以上 $2n$ 以下の整数から区別なく $5$ つ選ぶものと考える．

- $(1)$ について \
　$n$ 本の直径の中から $5$ 本を選び，さらにどちらの端を点として選ぶか決めれば良い．

- $(2)$ について \
　$n$ 本の直径の中から $1$ 本選び，その両端の点を $2$ 点とする．残りの $3$ 点は，選んだ直径によって分けられた $2$ 領域の中から片方を選び，そこの $n-1$ 点から $3$ つ選べば良い．

　よって求める値は，
$${}\_{2n}\mathrm{C}\_{5} - \underbrace{ {}\_{n}\mathrm{C}\_{5}×2^5}\_{(1)} - \underbrace{ n×2×{}\_{n-1}\mathrm{C}\_{3}}\_{(2)} = \mathbf{94027093230}$$
である．
余事象を数える
https://onlinemathcontest.com/contests/omc223/editorial/8509/548
　正 $1110$ 角形 $P_1P_2 \cdots P_{1110}$ に対し，
$$1 \leq i_1 \lt i_2 \lt i_3 \lt i_4 \lt i_5 \leq 1110$$
なる整数の組 $(i_1, i_2, i_3, i_4, i_5)$ であって，以下をみたすものは全部でいくつありますか？
- 五角形 $P_{i_1}P_{i_2}P_{i_3}P_{i_4}P_{i_5}$ の内角のうち，少なくとも $1$ つは直角である．