　直線 $FE$ と辺 $AB$ との交点を $G$ とする．    
　$\angle{BAD} = x$ とすると，$AD$ は $\angle{A}$ の二等分線であるから $\angle{CAD} = \angle{BAD} = x$ となる．$AC \parallel EF$ より $\angle{AEG} = \angle{CAE} = x$ であるから，三角形 ${AGE}$ は二等辺三角形となり $AG = EG$ が従う．また，$\angle{BEG} = 90\degree - x = \angle{EBG}$ より$\triangle{BEG}$ は二等辺三角形であるから $EG = BG$ であるので，結局 $AG=BG$ が分かる．従って，$BF = CF$ となり，これより $CF = \dfrac{19}{2}$ である．    
　さらに，$AD$ が $\angle{A}$ の二等分線であることに留意すれば $CD = \dfrac{23 \times 19}{40}$ であるから，求める答えは
$$DF = CD-CF = \dfrac{23 \times 19}{40}-\dfrac{19}{2} = \dfrac{57}{40}$$
である．特に，解答すべき値は $\bold{97}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5989
　$F$ が $BC$ の中点であることの証明の別解です．  

 $BE$ と $AC$ の交点を $P$ とする．三角形 $ABE$ と三角形 $APE$ は合同となり，$E$ は $BP$ の中点である．よって，三角形 $BCP$ で中点連結定理より，$F$ は $BC$ の中点である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5989/322
　$AB = 17, BC = 19, CA = 23$ をみたす三角形 $ABC$ において，$\angle{A}$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とし，$B$ から直線 $AD$ に下ろした垂線の足を $E$ とします．また，$E$ を通り辺 $AC$ に平行な線分と直線 $BC$ との交点を $F$ とします．このとき，線分 $DF$ の長さを求めてください．ただし，求める長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．