　$7999\equiv -1 \pmod{1600}$ であるから，Fermatの小定理より任意の整数 $a$ に対して $a^{7999}\equiv a^{-1}\pmod{1601}$ が成り立つ．よって，黒板に $x^{-1},y^{-1}$ とそれぞれ $1601$ を法として等しい数が書かれているとすると，これらに対する操作後には新たに $(x+y)^{-1}$ と$1601$ を法として等しい数が書き込まれる．したがって，最終的に黒板に書かれている数 $X$ について，操作の仕方によらず次が成り立つことがわかる：
$$X\equiv \left(\sum_{n=0}^{800}(1600n+401)^{-1}\right)^{-1}\pmod{1601}.$$
特に，右辺の $2$ 倍を $1601$ で割ったあまりが求める値である．右辺の括弧の中身は次のように計算できる．
$$\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{800}(1600n+401)^{-1}
&\equiv\sum_{n=0}^{800}(-n+401)^{-1}\\\\
&\equiv\sum_{n=-399}^{401}n^{-1}\\\\
&\equiv\sum_{n=1}^{399}(-n)^{-1}
+\sum_{n=1}^{401}n^{-1}\\\\
&\equiv 400^{-1}+401^{-1}\pmod{1601}
\end{aligned}$$
従って，$\bmod{1601}$ での逆元を用いることで，求める値は
$$\begin{aligned}
2(400^{-1}+401^{-1})^{-1}
&\equiv 2\cdot 400\cdot 401(400+401)^{-1}\\\\
&\equiv 2\cdot 400\cdot 401\cdot 2\\\\
&\equiv {\bf 1200}\pmod{1601}.
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/OMC233/editorial/8293
　黒板に $801$ 個の正整数が左右一列に書かれており，はじめ左から $n$ 番目 $(1\leq n\leq 801)$ の数は $1600(n-1)+401$ です．OMC君は以下の一連の操作を $800$ 回行いました：

- 黒板に書かれている正整数のうち $2$ つ選んで消す（値が等しくてもよい）．
- それらを $a,b$ としたとき，代わりに $(a^{7999} + b^{7999})^{7999}$ を黒板に書く.

操作の後，黒板には $1$ つの正整数が書かれた状態になります．操作を終えた後に黒板に書かれている正整数としてありうる最大値と最小値について，それらの和を素数 $1601$ で割った余りを解答してください．