　$n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ と素因数分解されるとき，条件は
$$(4a_1+1)\cdots (4a_k+1)=45$$
これより，相異なる素数 $p,q$ を用いて $n=p^2×q$ または $n=p^{11}$ と表せることと同値であるとわかるから，求める最小の $n$ は $2^2×3=\textbf{12}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc004/editorial/4358
　$n^4$ が正の約数をちょうど $45$ 個もつような，最小の正整数 $n$ を求めてください．