　奇数が連続しないことが，どの連続する二つの積も偶数であることの必要十分条件である．\
　奇数が連続しないような奇数の置かれた場所の組み合わせは，最も後ろに並んだ奇数以外についてはその一つ後ろの偶数とペアにして考えることで，${}\_{81}\mathrm{C}\_{80} = 81$ 通りである．これらそれぞれに対し，奇数の順序と偶数の順序がそれぞれ $80!$ 通りずつ考えられるので，$S = 81\times (80!)^2$ である．\
　Legendreの定理より，これは $3$ で $\bf{76}$ 回割り切れる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editorial/6789
　$1,2,3,\cdots ,158,159,160$ の並べ替え $(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_{158},a_{159},a_{160})$ であって，任意の $159$ 以下の正整数 $i$ に対して $a_ia_{i+1}$ が偶数となるものの個数を $S$ とするとき，$S$ が $3$ で割り切れる最大の回数を解答してください．