　対称性より， $1$ 位の団体が存在する組み合わせの個数を $4$ で割ればよい．余事象を考えることで，そのような組み合わせを数え上げる．まず，ありうる組み合わせは全部で $ {} _{100} \mathrm{H} _4 = {} _{103} \mathrm{C} _3=176851$ 個ある．\
　 $1$ 位の団体が存在しないということは，入れられた球が最も多い団体が複数あるということである．

- $4$ 団体ある場合（$25$ 個）$1$ 通り
- $3$ 団体ある場合（$26$ 個から $33$ 個）$8\times{}_4 \mathrm{C}_1=32$ 通り
- $2$ 団体ある場合（$26$ 個から $50$ 個）$\bigl((3+7+\cdots+31)+(33+31+\cdots+1)\bigr)\times{}_4 \mathrm{C}_2=2550$ 通り

よって答えは $\dfrac{176851-(1+32+2550)}{4}=\textbf{43567}$ 通り．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6672
$A,B,C,D$ それぞれに $a,b,c,d$ 票入ったとすると, 非負整数の組 $(a,b,c,d)$ が満たす条件は以下である.

- $a\gt b,c,d$.
- $a+b+c+d=100$.

これを満たす $(a,b,c,d)$ を母関数を用いて数え上げる.
具体的には以下の母関数の $x^{100}$ の係数であると分かる.

$$
\begin{aligned}
\sum_{a=0}^{\infty}\sum_{b=0}^{a-1}\sum_{c=0}^{a-1}\sum_{d=0}^{a-1}x^{a+b+c+d}&=\sum_{a=1}^{\infty}x^a\Big(\sum_{b=0}^{a-1}x^b\Big)^3\\\\
&=\sum_{a=0}^{\infty}x^a\Big(\frac{1-x^a}{1-x}\Big)^3\\\\
&=\frac{1}{(1-x)^3}\sum_{a=0}^{\infty}(x^a-3x^{2a}+3x^{3a}-x^{4a})\\\\
&=\frac{1}{(1-x)^4}-3\frac{1}{(1-x)^3}\frac{1}{1-x^2}+3\frac{1}{(1-x)^3}\frac{1}{1-x^3}-\frac{1}{(1-x)^3}\frac{1}{1-x^4}
\end{aligned}$$
母関数を用いる解法(編集中)
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6672/635
　ある学校の文化祭では，来場者に $1$ 人 $1$ つ銀色の球を渡し，団体名が書かれた箱のうちどれか $1$ つに球を入れて**大衆賞**に投票してもらう．ここで，来場者はかならず投票するものとする．最も多く球が入れられた団体が唯一存在したとき，それを $1$ 位とする（複数存在する場合は $1$ 位はなしとする）．\
　今年，文化祭には $A,B,C,D$ の $4$ つの団体があり，$100$ 人の来場者が来た．$A$ が $1$ 位となったとき，それぞれの団体の箱に入れられた球の個数の組み合わせ（投票者は区別しない）として考えられるものは何通りあるか．