　$A_1A_2=A_2A_3$ であるから $\angle{A_2A_1A_3}=\angle{A_2A_3A_1}$ が成立する．よって，条件から
$$
\begin{aligned}
\angle{PA_2A_1}&=\angle{PA_1A_2}\\\\
&=\angle{A_2A_1A_3}-\angle{PA_1A_3}\\\\
&=\angle{A_2A_3A_1}-\angle{QA_3A_1}\\\\
&=\angle{QA_3A_2}\\\\
&=\angle{QA_2A_3}
\end{aligned}
$$
が成り立つ．したがって，$\angle{PA_2A_1}=x^\circ, \angle{PA_1A_3}=y^\circ$ とおくと，三角形 $A_1A_2A_3$ の内角の和を考えて
$$
4x+10y= 180
$$
である．また，
$$
2x+8y = \angle{A_1A_2A_3}=\frac{180(n-2)}{n}
$$
となるから，これらを解くと以下を得る．
$$
x=\frac{30 (10-n)}{n} ,　y=\frac{30 (n-4)}{n} 
$$
　いま，$P,Q$ は三角形 $A_1A_2A_3$ の内部にあるから，$x\gt 0$ かつ $y \gt 0$ である．よって，$5\leq n \leq 9$ が必要であり，逆にこのとき条件を満たすように $P,Q$ が取れるから，求める答えは $\textbf{35}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc206/editorial/3668
　正 $n$ 角形 $A_1A_2\cdots A_n$ があります．三角形 $A_1A_2A_3$ の内部（周上は含まない）の相異なる点 $P, Q$ であって以下の条件をみたすものが存在するような $3$ 以上の整数 $n$ の総和を求めてください.

- $A_1P=A_2P,A_2Q=A_3Q$ 
- $8\angle{PA_1A_3}=\angle{PA_2Q}=8\angle{QA_3A_1}$
- 線分 $A_1P$ と線分 $A_3Q$ は交わらない．