　簡単な角度計算により $AD$ は角 $CAE$ を二等分するから, $CE=x$ とおけば
$$DC=\frac{7x}{10},\quad DE=\frac{3x}{10}$$
一方で, $AD^2$ について有名事実として (Stewartの定理の系)
$$AD^{2}=AC\times AE-CD\times DE＝84-\frac{21x^{2}}{100}$$
また $EAD$ と $ECB$ の相似より $AE:AD=CE:CB$ であるから, 上の諸値を代入して整理することで
$$x\sqrt{84-\frac{21x^{2}}{100}}=30\sqrt{7}$$
この式を解くことで $x=10,10\sqrt{3}$ の $2$ 解を得る. ここで $x=10$ のとき $E$ の位置関係の条件に適合しないから, $x=10\sqrt{3}$ であり, $AD=\sqrt{21}$ さらに方べきの定理より $AB=9$ であるから, 解答すべき値は $\textbf{30}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/2344
　公式解説の Stewart の定理の系を知らなかった場合の方法です．

　$CE=x$ と置く．角二等分線の性質より $CD=\dfrac{7}{10}x$，$DE=\dfrac{3}{10}x$．\
　また，$\triangle ADE \sim \triangle CBE$ より，$6:\dfrac{3}{10}x:AD=x:(6+AB):5 \sqrt{7}$．これより，$AD=\dfrac{30 \sqrt{7}}{x}$，$AB=\dfrac{1}{20}x^2-6$．\
　トレミーの定理より，$AD×BC+AB×CD=AC×BD$．この式に今までの式を代入することで，
$$\dfrac{30 \sqrt{7}}{x}×5\sqrt{7}+\left( \dfrac{1}{20}x^2-6 \right)×\dfrac{7}{10}x=14×\dfrac{7}{10}x$$
　$200x$ 倍して整理すれば，$x^4-400x^2+30000=0$ を得る．以下は公式解説を参照．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/2344/309
　円に内接する四角形 $ABCD$ が以下の条件をみたします：
$$AC＝14,\quad BC=5\sqrt{7},\quad BD=CD.$$
さらに，半直線 $BA$ と半直線 $CD$ が交わったのでその交点を $E$ としたところ，$AE=6$ が成立しました．このとき，正整数 $p,q$ によって $AB+AD=p+\sqrt{q}$ と表せるので，$p+q$ を解答してください．