　因数定理により，任意の相異なる整数 $x,y$ について，
$$\dfrac{P(x)-P(y)}{x-y}$$
は整数である．よって，$n = P(P(P(1)))$ とすれば， 
$$\dfrac{P(P(P(1)))-P(P(1))}{P(P(1))-P(1)}=\frac{n-22}{20},\quad \dfrac{P(P(P(1)))-P(1)}{P(P(1))-1}=\frac{n-2}{21}$$ 
はともに整数であるから，$n$ は $420$ で割って $2$ 余る整数である．\
　逆に，$n=420k+2$ となる整数 $k$ が存在するとき，
$$P(x)=(k-1)(x-1)(x-2)+20x-18$$
は以下をみたすため，$P(P(P(1)))$ としてありうる値は $420$ で割って $2$ 余る整数全体である：
$$P(1)=2,　P(P(1))=22,　P(P(P(1)))=n.$$
特に，$|P(P(P(1)))|$ としてありうる値は，正の整数 $t$ を用いて $420t-418$ または $420t-2$ と表せるもの全体であるから，求める答えは $420×5-2=\mathbf{2098}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc003/editorial/6432
　$P(1)=2,P(P(1))=P(2)=22$ という条件は剰余定理より，$P(x)$ を $x-1,x-2$ で割った余りがそれぞれ $2,22$ であると言い換えられる．  
そこで，$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りを求めよう．  
　$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とし，余りを $ax+b$ とおく．このとき， $Q(x)$ は整数係数多項式となる．  
$P(x)=Q(x)\times(x-1)(x-2)+ax+b$ に $x=1,2$ を代入して，$P(1)=a+b=2,P(2)=2a+b=22$ より，$a=20,b=-18$．  
よって，$P(x)=Q(x)\times(x-1)(x-2)+20x-18$ であり，$P(22)=420Q(22)+422$．  
ここで，$Q(x)$ は整数係数多項式なので，$Q(22)$ は整数であり，$P(22)$ は $420$ で割って $2$ 余る整数となる．  
　逆に，整数 $k$ に対し，$P(22)=420k+2$ となる条件を満たす $P(x)$ として， $P(x)=(k-1)(x-1)(x-2)+20x-18$ がとれるので，$P(22)$ の値として考えられるものは $420$ で割って $2$ 余る整数全体であり，特に解答すべき数値は $\textbf{2098}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc003/editorial/6432/207
　整数係数多項式 $P(x)$ は，以下をみたします：
$$P(1)=2,　P(P(1))=22.$$
$| P(P(P(1))) |$ としてありうる値のうち，$10$ 番目に小さいものを求めてください.