　$a_1,\ldots,a_{15}$ のうち最大のものが $a_{15}$ でないと仮定し, これを $a_i$ とする ($i\leq 14$). このとき, $a_{i}+2^ia_{15-i}$ は $a_i$ より大きいため , 数列に含まれ得ず矛盾する. したがって, $a_{15}$ が最大である.\
　さらに, $a_1,\ldots,a_{14}$ のうち最大のものが $a_{14}$ でないと仮定し, これを $a_i$ とする ($i\leq 13$). このとき, $a_{i}+2^ia_{14-i}$ および $a_{i}+2^ia_{15-i}$ は相異なり, かつともに $a_i$ より大きいが, $a_i$ より大きい数は数列に $a_{15}$ しか含まれないので, これは矛盾である. 同様の議論を繰り返すことで, $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_{15}$ が成り立つことがわかる.\
　いま, $j=1, 2, …, 14$ について, $a_1+2a_j$ は数列に含まれる. また, 
$$
a_1 \lt a_1+2a_1 \lt a_1+2a_2 \lt \cdots \lt a_1+2a_{14}
$$
より, $a_{j+1}=a_1+2a_j$ つまり $a_n=(2^n-1)a_1 \ (n=1, 2, …, 15)$ が必要である. 逆にこのとき, 
$$ 
a_i+2^ia_j = (2^i-1)a_1 + 2^i(2^j-1)a_1 = (2^{i+j}-1)a_1
$$
であり, 問題文中の条件を満たす. よって, 数列が条件を満たすための必要十分条件は, 正整数 $m$ を用いて
$$a_n=(2^n-1)m \quad (n=1, 2, …, 15)$$
と表せることである. この数列の総和は $m$ の値によって定まり, 
$$
\sum_{k=1}^{15} (2^k-1)m = (2^{16}-2-15)m
$$
と表せる. 解答すべき値は特に $m = 15$ のときであり, $(2^{16}-2-15) \times 15 = \mathbf{982785}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/2170
　相異なる正整数からなる数列 $a_1, a_2, \dots, a_{15}$ が, 以下の条件をみたしています：

- $i+j \leq 15$ なるすべての正整数の組 $(i, j)$ について, $a_i+2^ia_j$ は数列の項として存在する.

このような数列の項の総和としてありうる値のうち, $15$ 番目に小さいものを求めてください.