　最初の移動で $(0,1), (1,0)$ のいずれに移動しても，次は確実に $(1,1)$ への移動となる．$(1,1)$ を通過するので，$(2,2)$ を通過することはできない．よって $(1,1)$ のあとは，$(1,2),(1,3)$ と移動するか，$(2,1),(3,1)$ と移動するかである．\
　$(1,2),(1,3)$ と移動した場合を考える．$(2,4), (2,6) $ を通過することはできないので，このあとの移動は大きく分けて以下の $3$ 通りである．

-  $(1,3) \to (2,3) \to (3,3)$ と移動する場合\
　$(4,6),(6,6)$ を通過できないことに注意して数えると，$22$ 通り．

- $(1,3) \to (1,4) \to (1,5) \to (2,5) \to (3,5)$ と移動する場合\
　このあと通過できない点は存在せず，あとの移動方法は $_6 \mathrm{C}_2=15$ 通り．

- $(1,3) \to (1,4) \to (1,5) \to (1,6) \to (1,7)$ と移動する場合\
　明らかに $1$ 通り．

　$(1,1) \to (2,1) \to (3,1)$ の移動の場合も対称性により同様なので，求めるべき値は，$2×2×(22+15+1)=\mathbf{152}$ 通り．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/11358
　平面上の $(0,0)$ から $(7,7)$ まで，次の $2$ つの条件をともに満たしながら格子点上を移動する方法は何通りありますか．

- 格子点 $(x,y)$ にいるとき，次に移動できる格子点は $(x+1,y),(x,y+1)$ のいずれかである．
- 移動の途中で $(0, 0)$ でない格子点 $(x,y)$ を通過した場合，格子点 $(2x, 2y)$ を通過することはできない．