　組 $1\le i\lt j\le 2022$ に対し，$i$ と $j$ が隣り合って現れる順列は $2\times 2021\times 2020!$ 通りある．ただし，$2$ は $i$ と $j$ の順序，$2021$ は $i,j$ の位置，$2020!$ は残りの数の並びに対応する．これより，求める総和は
$$\displaystyle S=\sum_{j=1}^{2022}\sum_{i=1}^{j-1}\left(2\times2021!\times (j-i)\right)=2\times2021!\times\sum_{j=1}^{2022}\sum_{i=1}^{j-1}(j-i)=\frac{2021\times2023!}3$$
となる．Legendreの定理より $2023!$ は $3$ で $1006$ 回割り切れるから，答えは $1006-1=\textbf{1005}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc075/editorial/1766
　長さ $2022$ の整数列 $A_1,A_2,\ldots,A_{2022}$ に対し，その**スコア**を以下で定めます：
$$\displaystyle\sum_{i=1}^{2021}|A_i-A_{i+1}|$$
　$1$ 以上 $2022$ 以下の整数を並び替えて得られる長さ $2022$ の順列全てに対し，**スコア**の総和を $S$ とおきます．$S$ が $3$ で割りきれる最大の回数を求めてください．