$$2S=AB\times BC\times \sin\angle B+CD\times DA\times \sin\angle D\leq AB\times BC+CD\times DA$$
である. 逆に $AB^2+BC^2=CD^2+DA^2$ より等号を成立させられるから, 求める最大値は 
$$\dfrac{AB\times BC+CD\times DA}{2}=\dfrac{5\sqrt{19}+2\sqrt{589}}{2}$$
すなわち解答すべき値は $475+2356=\textbf{2831}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc082/editorial/286
　（$AB^2 + BC^2 = CD^2 + DA^2$ なのでなんとなく三平方の定理が使いたくなる．そこで使えるように点を取る）\
　線分 $BD$ の垂直二等分線に関して $C$ と対称な点を $C^\prime$ とする．
四角形 $ABC^\prime D$ の面積 $S^\prime$ は $S$ と等しいから $S^\prime$ の最大値を求めればよい．
$$AB^2 - C^\prime B^2 = AD^2 - C^\prime D^2$$
より，三平方の定理から対角線 $AC^\prime$ と $BD$ は直交する（よって $2S^\prime = AC^\prime\times BD$ なのでPtolemyが刺さりそう ）．\
　従って，Ptolemyの不等式より以下が成立する：
$$2S^\prime = AC^\prime\times BD \le AB\times C^\prime D + BC^\prime\times DA = \sqrt{475} + \sqrt{2356}.$$
等号が成立する図は存在するので，解答すべきは $475 + 2356 = \bf{2831}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc082/editorial/286/38
　以下の条件をみたす凸四角形 $ABCD$ について, その面積を $S$ とします.
$$AB=\sqrt{5},\ \ BC=\sqrt{95},\ \ CD=\sqrt{38},\ \ DA=\sqrt{62}$$
このとき, $S$ としてあり得る最大値を求めてください. ただし, 答えは正整数 $p\lt q$ によって $\dfrac{\sqrt{p}+\sqrt{q}}{2}$ と一意に表せるので, $p+q$ を解答してください.