　任意の実数 $x$ で
$$g(x) = -f(-x)$$
が成り立ち，また，任意の $0$ を除く実数 $x$ で
$$h(x) = x^3f \left (\frac{1}{x} \right )$$
が成り立つ．ゆえに問題の条件
$$g \left (\frac{11}{10} \right ) = h(1110) = 0$$
は
$$f \left (- \frac{11}{10} \right ) = f \left (\frac{1}{1110} \right ) = 0$$
と同値であり，$- \dfrac{11}{10}, \dfrac{1}{1110}$ は $f(x)$ の根である．$f(x)$ が根を $2$ つ以上もつことから $a \neq 0$ が従い，$f(x)$ は $3$ 次式である．そこで $f(x)$ の第三の根を $\alpha$ とすれば，解と係数の関係より
$$- \frac{11}{10} + \frac{1}{1110} + \alpha = 0$$
が成り立つのでこれより $\alpha = \dfrac{122}{111}$ が得られる．この $\alpha$ が求める最大値であり，特に解答すべき値は $\mathbf{233}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc223/editorial/8513
　$a, b$ を実数とし，実数に対して定義される関数 $f, g, h $ をそれぞれ
$$
\begin{aligned}
f(x) &= ax^3 + x + b, \\\\
g(x) &= ax^3 + x - b, \\\\
h(x) &=  bx^3 + x^2 + a\\\\
\end{aligned}
$$
で定めます．
$$g \left (\frac{11}{10} \right ) = h(1110) = 0$$
が成り立つとき，$f(x) = 0$ を満たす最大の実数 $x$ を求めてください．ただし求める最大値は互いに素な正整数 $p ,q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表すことができるので，$p + q$ の値を解答して下さい．