　$a,b,c,d$ は相異なる実数なので，$ab+cd,ac+bd,ad+bc$ も相異なる $3$ つの実数である．$ab+cd,ac+bd,ad+bc$ を $3$ 解にもつ $3$ 次方程式を考えよう．
$$\begin{aligned}
s_1 &= a+b+c+d, & s_2&=ab+bc+cd+da+ac+bd \\\\
s_3 &= abc+bcd+cda+dab, & s_4 &= abcd
\end{aligned}$$
および，
$$\begin{aligned}
t_1&=(ab+cd)+(ac+bd)+(ad+bc), \\\\
t_2&=(ab+cd)(ac+bd)+(ac+bd)(ad+bc)+(ad+bc)(ab+cd), \\\\
t_3&=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
\end{aligned}$$
とおけば，計算により
$$
t_1=s_2, \quad t_2=s_1s_3-4s_4, \quad t_3=(s_1^2-4s_2)s_4+s_3^2
$$
がわかる．いま，解と係数の関係より
$$s_1=\sqrt{30}, \quad s_2=7, \quad s_3=0, \quad s_4=-1$$
なので，$t_1=7, t_2=4, t_3=-2$ を得る．したがって，
$$x^3 - 7x^2 + 4x + 2 = (x-1)(x^2-6x-2) = 0 $$
を解くことで，
$$\\{ab+cd,ac+bd,ad+bc\\}=\\{3+\sqrt{11}, 3-\sqrt{11}, 1\\}$$
となる．$a \lt b \lt c \lt d$ より $ab+cd$ はこの中で最も大きいものであるので，$ab+cd = 3+\sqrt{11}$ を得る．したがって解答すべき値は 
$$\lfloor 10^6 (ab+cd) \rfloor = \lfloor 10^6 (3+\sqrt{11}) \rfloor = \mathbf{6316624}$$ 
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/editorial/12247
　$3$ 次の項がない $4$ 次方程式を解く際フェラーリの解法が有効です.\
 ( * 今回は関係ありませんが $3$ 次の項があっても$y=x+k$ と適切な定数 $k$ を持って来れば $3$ 次の項がない $y$ の
 $4$ 次式にすることもできます.)

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　係数を逆順にした方程式は, 元の方程式の根の逆数を根に持つから,
$$x^4-7x^2+\sqrt{30}x-1=0$$
を解くことを考える.以下のように変形する.
$$
\begin{aligned}
x^4&=7x^2-\sqrt{30}x+1\\\\
\iff x^4-2ax^2+a^2&=(7-2a)x^2-\sqrt{30}x+(1+a^2)\\\\
\iff (x^2-a)^2&=(7-2a)x^2-\sqrt{30}x+(1+a^2)
\end{aligned}
$$
　三行目の右辺がもし, $1$ 次式の $2$ 乗となれば, この $4$ 次式は, $2$ つの $2$ 次式の積に因数分解できる. 右辺の $2$ 次式が $1$ 次式の $2$ 乗になるには, $2$ 次式の判別式が $0$ となればよい. よって,
$$
\begin{aligned}
(-\sqrt{30})^2-4(7-2a)(a^2+1)&=0\\\\
\iff (2a)^3-7(2a)^2+4(2a)+2&=0
\end{aligned}
$$
これは, $2a=1$ のとき右辺が $1$ 次式の $2$ 乗となることがわかる. したがって, 以下 $2$ つの $2$ 次方程式を解けば良い.
$$
\begin{aligned}
x^2-\frac{1}{2}&=\sqrt{6}x-\frac{\sqrt{5}}{2}\\\\
x^2-\frac{1}{2}&=-\Big(\sqrt{6}x-\frac{\sqrt{5}}{2}\Big)
\end{aligned}
$$
(元の方程式は上の方程式の根の逆数を根に持つことに注意.)
フェラーリの解法
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/editorial/12247/637
　$x$ の $4$ 次方程式
$$x^4 - \sqrt{30} x^3 + 7 x^2 - 1 = 0 $$
は相異なる $4$ つの実数解を持つので，これを小さい方から順番に $x = a, b, c, d$ とします．このとき，$10^6 (ab+cd)$ 以下の最大の整数を解答してください．