　二つの円の共通の中心を $O$，$O$ から正五角形の一辺に垂直に下ろした点を $H$，$H$ に最も近い正五角形の頂点のうちの一つを $A$，内接円の半径を $r$，外接円の半径を $R$ とする.  
　$r = OH, R = OA$ となり，また，三角形 $OAH$ は $\angle AOH = 36^\circ$ の直角三角形となる.   したがって，
$$\dfrac{S_r}{S_R} = \mathrm{cos}^2 36^\circ = \bigg( \dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \bigg) ^ 2 = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{8}$$
であるから，特に求める値は $\mathbf{16}$である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/6448
ここでは，cos36°の求め方について2通り紹介する。
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### 求め方1 初等幾何の方法で
 $\angle{A} = 108^{\circ},AB = AC$ を満たす三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ 上に $AD = CD$ を満たす点 $D$ をとる．\
このとき，$\angle{CBA} = \angle{ACD} = \angle{CAD} = 36^{\circ}$ より，三角形 $CAB$ と三角形 $CDA$ は相似．よって，$CD = 1,AC = x(x\gt0)$ とすると，

$$BC =  \dfrac{AC^2}{CD} = x^2$$

がわかる．また，$\angle{BAD} = \angle{BDA} = 72^{\circ}$ より，

$$BC = BD + CD = AD +CD = x + 1$$

とかける．以上より，$x^2 = x + 1$ なので，これを解いて，$x=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ がわかる．\
よって，$\cos{36^{\circ}} = \dfrac{x}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$ と求められる．
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### 求め方2 三角関数を用いて
 $\theta = 36^{\circ}$ とおく．このとき，$2\theta + 3\theta = 180^{\circ}$ より，

$$cos{3\theta} = cos{(180 - 2\theta)} = -cos{2\theta}$$

なので，倍角公式，3倍角の公式を用いて

$$4\cos{\theta}^3 - 3\cos{\theta} = - 2\cos{\theta}^2 + 1$$

$0 \lt \cos{\theta} \lt 1$ に注意して解くと，$\cos{\theta} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$ がわかる．
公式解説補足(cos36°の求め方)
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/6448/490
　一辺の長さが $1$ の正五角形に内接する円の面積を $S_r$ ，外接する円の面積を $S_R$ とします．$\dfrac{S_r}{S_R}$ は互いに素な正整数 $a, b, c$ によって $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．