　すべての面について赤い辺の数を合計すると, これは偶数になることから, 赤い辺を奇数本もつ面は偶数個である. 特に条件より各面の赤い辺は $2$ 本または $3$ 本であるから, $n$ は偶数である.

　逆に, 各辺を以下のように塗れば, まだ塗られていない辺 $6$ 本をどのように塗っても条件をみたすから, $n=0,2,\cdots,12$ はすべて適する. 特に求める値は $\textbf{1010101010101}$ である.

![figure 1](\/images\/bMOuy5tn3706F7ABOU6Oieebh8fjayZ21i1YVpNy)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/editorial/10
　正十二面体の各辺を赤または青で塗ったところ, どの面においても以下の条件が成立しました.

- 頂点を共有する赤い $2$ 辺と, 頂点を共有する青い $2$ 辺が, ともに存在する.

このとき, 赤い辺をちょうど $2$ 本もつ面の数としてあり得る非負整数 $n$ すべてについて, $10^n$ の総和を求めてください.