　$N$ の $10^i ~ (0\leq i \leq M-1)$ の位を$a_i$とすると，
$$f(N)=\displaystyle\prod_{i=0}^{M-1}(1+a_i)-1$$
であることに注意せよ．$M=1$ のときすべてみたす．$M\geq 2$ のとき，任意の $i$ について $a_i\leq 8$ であるとすると $f(N)\lt N$ であることがわかる．すなわち，$a_i=9$ なる $i$ が存在するから，$N$ は $10$ で割って $9$ 余ることになる．すなわち $a_0=9$ であり，これを取り去ることで $M-1$ 桁の場合に帰着できる．以上より，求める $M$ 桁の整数 $n$ は $x\times10^{M-1}-1$（$x$ は $2\leq x \leq 10$ なる整数）と表せるものであり，特に答えは $9\times2022=\textbf{18198}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6671
　$N$ を正整数とする．$N$ の各桁の数字から $1$ つ以上を選ぶ方法は，$M$ を $N$ の桁数として $2^M-1$ 通りあるが，それぞれに対して選んだ数字の積を考え，それらの総和を $f(N)$ とする．例えば 
$$f(123)=1+2+3+1\times2+1\times3+2\times3+1\times2\times3=23$$
である．このとき，$f(n)=n$ となる $10^{2022}$ 以下の正整数 $n$ はいくつあるか？