　偶奇を考えれば $p,q,r$ のうちちょうど一つが $2$ である．$2$ でない二つは奇素数であることに注意せよ．\
　$p=2$ の場合，$q=3$ でないことは代入すれば確認できる．よって $4+5q^6\equiv 0\equiv r^n\pmod{3}$ より $r=3$ を得る．さらに $4+5q^6\equiv 1\equiv 3^n \pmod{4}$ より $n$ は偶数である．このとき$$(3^{n\/2}-2)(3^{n\/2}+2)=5q^6$$となるが，$q$ は奇素数よりこれをみたす $q,n$ は存在しない．\
　$q=2$ の場合，$p=3$ でないことは代入すれば確認できる．よって $p^2+320\equiv 0\equiv r^n\pmod{3}$ より $r=3$ を得る．さらに $p^2+320\equiv 1\equiv 3^n \pmod{4}$ より $n$ は偶数であることがわかる．このとき$$(3^{n\/2}-p)(3^{n\/2}+p)=320=2^6\times 5$$となる．ここで $$(3^{n\/2}+p)-(3^{n\/2}-p)=2p\equiv 2\pmod{4}$$ に注意すれば考えられるのは$$(3^{n\/2}-p,3^{n\/2}+p)=(2,160),(10,32)$$の2通りで，実際に解けば前者のみが適し $(p,n)=(79,8)$ である．\
　$r=2$ の場合，$p^2+5q^6\equiv 2\equiv 2^n\pmod{4}$ より $n=1$ が必要だが，条件をみたす $p,q$ は存在しない．\
　以上より条件をみたす組は $(p,q,r,n)=(79,2,3,8)$ で，解答すべき値は $\bm{3792}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc005/editorial/39
　素数 $p, q, r$ と正の整数 $n$ は
$$p^2+5q^6=r^n$$
を満たします. このような組すべてについて, $pqrn$ の総和を求めてください. 

　**こちらの問題の提供者を探しています．心当たりのある方はご連絡ください．**