　素数 $p$ が $a-b$ および
$$G = \gcd \left(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} a^ib^{n-i}, (a-b)^{3} \right)$$ 
を割り切るとする．$a$ と $b$ は互いに素なのでどちらも $p$ の倍数ではなく，また
$$ 0 \equiv \displaystyle\sum_{i=0}^{n} a^ib^{n-i} \equiv (n+1) a^n \pmod{p} $$
より，$p$ は $n+1$ の素因数，すなわち $p \in \\{ 3, 7, 11, 13, 37 \\}$ である．LTEの補題から，
$$ v_p \left( \sum_{i=0}^{n} a^ib^{n-i} \right) = v_p \left( \dfrac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} \right) = v_p(a^{n+1}-b^{n+1})-v_p(a-b) = v_p(n+1) $$
となるので，
$$v_p(G)= \min \left\\{v_p(n+1),3v_p(a-b)\right\\}$$ 
となる．$n+1=3^{30}\cdot7^{10}\cdot11^{10}\cdot13^{10}\cdot37^{10}$ より，$p$ としてありうるものそれぞれについて，$v_p(G)$ としてありうるものを考えると，  
- $p=7,11,13,37$ のとき，$v_p(n+1)=10$ なので，ありうる値は $0,3,6,9,10$ の $5$ 通り  
- $p=3$ のとき，$v_p(n+1)=30$ なので，ありうる値は $30$ 以下の $3$ の倍数なので $11$ 通り  

　素因数ごとに独立して $a,b$ を取ることができる（たとえば $a=3^r7^s11^t13^u37^v+1,b=1$ とする） ので，求める値は $5^4 \times 11 = \mathbf{6875}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/editorial/9853
　$n=999999^{10}-1$ とします．互いに素な正整数 $a \gt b$ を用いて， 
$$\gcd \left(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} a^ib^{n-i}, (a-b)^{3} \right)$$ 
と表すことのできる正整数はいくつありますか．