　一般性より $a_0 = 0$ としてよい．$a_{i + 1} - a_{i}$ を $16$ で割った余りを $b_i$ とする．このとき条件は次のように言い換えられる:

 - $S = b_0 + b_1 + \cdots + b_{15}$ は $16$ の倍数である.
 - $\\{(b_0 + \cdots + b_i) \pmod{16} \\}_{i = 0, 1, \ldots, 15}$ は $0, 1, \ldots, 15$ の並び替えである.
 - $b_i \in \\{1, 2, 3\\}$

　三つ目の条件から $16 \leq S \leq 48$ が得られ，一つ目の条件から $S$ は $16, 32, 48$ のいずれかである．$S = 16$ のときは任意の $i$ で $b_i = 1$，$S = 48$ のときは任意の $i$ で $b_i = 3$ となり，それぞれ条件を満たす．以下では $S = 32$ の場合を考える．\
　$S_i = b_0 + b_1 + \cdots + b_i$ とし，$S_i \leq 16$ を満たす最大の $i$ を $k$ とおく．このとき
$$A = \\{0, 1, \ldots, 15\\} \backslash \\{S_i\\} _ {i = 0, 1, \ldots, k}$$
とおけば，二つ目の条件から $S_ {k + 1} - 16, \ldots, S_ {15} - 16$ は $A$ の要素を小さい順に並び変えたものとなる．よって $b_0, b_1, \ldots, b_k$ を決定すれば $b_{k + 1}, \ldots, b_{15}$ も決定される．この $b_{k + 1}, \ldots, b_{15}$ が一つ目と三つ目の条件を満たすような $b_0, b_1, \ldots, b_k$ の条件は，
 - $b_0, b_1, \ldots, b_k$ をこの順に並べたとき，$1$ が連続して $2$ 回以上並ぶことはない．
 - $S_k = 14$ または $S_k = 15$ である．
 - $S_k = 14$ のとき, $b_0 \neq 1$ である．

となる．$S_k = 14$ の場合は $b_0 = 2, 3$ の場合を分けて考えると，次の条件を満たす整数列 $\\{y_i\\}_ {i = 0, 1, \ldots, t}$ の個数を $x_n$ としたとき，$S = 32$ の場合の求める個数は $x_{15} + x_{12} + x_{11}$ である．

- $y_i \in \\{1, 2, 3\\}$
- $y_0 + y_1 + \cdots + y_t = n$
- $1$ が連続して $2$ 回以上並ぶことはない．

よってこのような $x_n$ を求めればよい．$n \geq 5$ の場合について，$x_n$ は
- $y_0 = 1$ かつ $y_1 = 2$ のとき $x_{n - 3}$ 通り
- $y_0 = 1$ かつ $y_1 = 3$ のとき $x_{n - 4}$ 通り
- $y_0 = 2$ のとき $x_{n - 2}$ 通り
- $y_0 = 3$ のとき $x_{n - 3}$ 通り

から $x_{n} = x_{n - 2} + 2_{n - 3} + x_{n - 4}$ の漸化式が立つ. これと $x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 3, x_4 = 4$ から順次計算すれば $x_{15} + x_{12} + x_{11} = 799 + 189 + 116 = 1104$ となり，$a_0 = 0$ に対する場合の数は $1106$ である．$a_0=1,2,\ldots,15$ の場合もそれぞれ同様であるので，解答すべき値は $\mathbf{17696}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/editorial/11125
　$0, 1, \ldots, 15$ の並び替え $a_0, a_1, \ldots, a_{15}$ であって，次の条件をみたすものはいくつありますか．ただし $a_{16} = a_0$ とします．
- 任意の整数 $0 \leq k \leq 15$ に対し，ある $x\in\\{1,2,3\\}$ が存在して $a_{k + 1} \equiv a_{k} + x \pmod{16}$ が成り立つ．