　$P,X$ の位置ベクトルを $p,x$ などと表せば, 操作 $f_X$ は $p$ を $-p+2x$ に移す. したがって, 例えば $f_A,f_B,f_C,\cdots$ の順に施せば $p$ は
$$p\mapsto -p+2a\mapsto p-2a+2b\mapsto -p+2a-2b+2c\mapsto\cdots$$
と遷移する. これに留意すれば, 条件は各操作を奇数番目と偶数番目に一度ずつ施すことと同値である. したがって, 求める場合の数は $(5!)^2=\textbf{14400}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/245
　空間内に $6$ 点 $A,B,C,D,E,P$ があり. 点 $P$ を点 $X$ に関して対称に移動する操作を $f_X$ で表します.\
　$f_A,f_B,f_C,f_D,f_E$ をそれぞれ $2$ 回ずつ施す方法であって, $6$ 点の配置によらず $P$ が必ず最初の位置に戻ってくるような順序は何通りありますか？