　円 $\omega$ と円 $\Omega$ の相似の中心は $T$ であるから，$P$ における $\Omega$ の接線は $D$ における $\omega$ の接線，すなわち直線 $AB$ と平行である．従って，$P$ は弧 $AB$ の中点である． 同様にして，$Q$ は弧 $AC$ の中点であるので，$BQ$ と $CP$ の交点が内心 $I$ であり，パスカルの定理より $3$ 点 $D,I,E$ は同一直線上にある．\
　また，$PA=PI,QA=QI$ なので，$PQ$ は $AI$ の垂直二等分線となる．よって，$AI$ と $PQ$ の交点を $M$ とすると，
$$AM=IM=\dfrac{23}{2},\quad RM=SM=\dfrac{11}{2}$$
となり $AR=AS=\dfrac{5\sqrt{26}}{2}$ となる．また，
$$\angle{PAR}=\angle{PQI} = \angle{AQS},\quad \angle{APR}=\angle{ACQ} = \angle{QAS}$$
より三角形 $APR,QAS$ が相似なので，$PR=x,QS=y$ とおくと $xy=AR\times AS = \dfrac{325}{2}$ となる．\
　また，$AI\perp PQ,AI\perp DE$ より $DE\parallel PQ$ なので，$DI=IE$ より $PS=SQ$ であるから $x+11=y$ となる．以上より，
$$(x+y)^2=(y-x)^2+4xy=11^2+4\times\dfrac{325}{2}=771$$
であるから，$PQ=x+y+11=\sqrt{771}+11$ であり，特に解答すべき数値は $\textbf{782}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc142/editorial/2729
　三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Omega$，内心を $I$ とします．円 $\Omega$ に内接し，かつ辺 $AB$ と点 $D$ で接し，辺 $AC$ と点 $E$ で接する円を $\omega$ とし，その $\Omega$ との接点を $T$ とします．直線 $TD,TE$ と円 $\Omega$ の交点のうち $T$ でない方をそれぞれ $P,Q$ とします．また，線分 $PQ$ と線分 $AB,AC$ の交点をそれぞれ $R,S$ とします．すると，
$$RS=11, \quad AI=23$$
となり，さらに $3$ 点 $T,I,S$ は同一直線上にありました．このとき，$PQ$ の長さは正整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を求めてください．