　素数 $p,q,r$ および正整数 $a,b,c$ によって
$$BD=p^a,\quad DE=q^b,\quad EC=r^c$$
とおく．対称性より $p\leq r$ としてよい．\
　点 $B$ を直線 $AD$ に対して対称移動した点と点 $C$ を直線 $AE$ に対して対称移動した点は一致するため，その点を $F$ とする．このとき $\angle DFE=120°$ であるため，余弦定理より $$DF^2+DF\cdot EF+EF^2=DE^2$$ すなわち $$p^{2a}+p^ar^c+r^{2c}=q^{2b},\quad(p^a+q^b+r^c)(p^a-q^b+r^c)=p^ar^c$$ がわかる．逆にこのような三角形 $DEF$ が与えられれば，条件をみたす図が存在することがわかる．このとき $p,q,r$ はすべて相異なることが確認でき，$(p^a+q^b+r^c)-(p^a-q^b+r^c)=2q^b$ に注意すれば $p^a+q^b+r^c$ と $p^a-q^b+r^c$ の最大公約数は $1$ または $2$ である．
- 最大公約数が $1$ の場合：$p^a+q^b+r^c\gt p^a, r^c$ より $(p^a+q^b+r^c,  p^a-q^b+r^c)=(p^ar^c, 1)$ となるほかない．このとき $$p^ar^c+1=(p^a+q^b+r^c)+(p^a-q^b+r^c)=2p^a+2r^c$$
より $(p^a-2)(r^c-2)=3$ が成り立つことから $(p,r,a,c)=(3, 5, 1, 1)$ が得られ，このとき $(q, b)=(7,1)$ であるからこれは適する．このとき $BC=15$．
- 最大公約数が $2$ の場合： $p\leq r$ と仮定していたから $p=2$ である．三角形 $DFE$ についての三角不等式により $2^a+q^b+r^c\gt 2^{a}, 2r^c$ が成り立つため，$(2^a+q^b+r^c, 2^a-q^b+r^c)=(2^{a-1}r^c,2)$ となるほかない．このとき
$$2^{a-1}r^c+2=(p^a+q^b+r^c)+(p^a-q^b+r^c)=2\cdot 2^a+2r^c$$
より $(2^{a-2}-1)(r^c-4)=3$ が成り立つことから $(a, r, c)=(3, 7, 1), (4, 5, 1)$ が得られ，それぞれについて $(q, b)=(13, 1), (19, 1)$ であるからいずれも適する．それぞれ計算すれば $BC=28, 40$．

　以上より解答すべき値は $15+28+40=\mathbf{83}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc152/editorial/4527
　正三角形 $ABC$ において，次の条件をすべてみたすように線分 $BC$ 上（両端を除く）に $2$ 点 $D,E$ をとることができました：

- $4$ 点 $B,D,E,C$ がこの順で並ぶ．
- $\angle DAE=30^\circ$．
- 線分 $BD, DE, EC$ の長さは，いずれも素因数をちょうど $1$ つもつ正整数値（＝$2$ 以上の素べき）である．

　このとき，線分 $BC$ の長さとしてありうる値の総和を求めてください．