　$99, 100, 101$ はどの二つも互いに素であるから, 任意の非負整数 $r_1\lt 99, r_2\lt 100,r_3\lt 101$ に対し, 中国剰余定理より以下の条件をみたす整数 $n$ が $99\times 100\times 101$ を法として一意に存在する.
- $n$ を $99$ で割った余りが $r_1$ である.
- $n$ を $100$ で割った余りが $r_2$ である.
- $n$ を $101$ で割った余りが $r_3$ である.

したがって, 求めるべき総和 $S$ は, 
$$
\begin{aligned}
S &= \sum_{k=1}^{98} ((\min \lbrace r_1, r_2, r_3 \rbrace = k \ である組 (r_1, r_2, r_3) の個数)\times k) \\\\
&=\sum_{k=1}^{98} (\min \lbrace r_1, r_2, r_3 \rbrace \geq k \ である組 (r_1, r_2, r_3) の個数) \\\\
&= \sum_{k=1}^{98}(99-k)(100-k)(101-k) \\\\
&= \sum_{k=1}^{98}k(k+1)(k+2) \\\\
&= \sum_{k=1}^{98} \frac14 \lbrace k(k+1)(k+2)(k+3) -  (k-1)k(k+1)(k+2) \rbrace \\\\
&= \frac14 \times (98 \times 99 \times 100 \times 101)\\\\
&= \mathbf{24497550}
\end{aligned}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc072/editorial/2278
　$N$ を $99, 100, 101$ でそれぞれ割った余りのうち最小のもの $f(N)$ について, 以下の総和を求めてください.
$$f(1)+f(2)+\cdots+f(99\times100\times101)$$