　$f(0)\neq 0$ のとき, $b=0$ より任意の $a$ について $f(a)=1$ であるから, 以下 $f(0)=0$ とする. さらに $f(1)\neq 1$ のとき, $b=1$ より任意の $a$ について $f(a)=0$ であるから, 以下 $f(1)=1$ とする.\
　$f(2)^3=f(8)$ および $f(3)^2=f(9)$ がそれぞれ $S$ に属することから, $f(2)\leq 2$ および $f(3)\leq 3$ を得る. 特に $f(2)=2$ のとき $f(5)$ は $6$ 以下である. 逆にこのとき, $f(4),f(6),f(8),f(9),f(10),f(12)$ の値は一意に定まり, $f(7),f(11)$ の値は任意である. 以上より, $M=2+(13+13+7)\times 4\times 13^2=\textbf{22310}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc024/editorial/145
　集合 $\lbrace 0,1,2,\cdots,12\rbrace$ を $S$ とおきます.\
　関数 $f:S\to S$ であって, $ab\leq 12$ なる $a,b\in S$ (等しくても良い)に対して
$$f(ab)=f(a)f(b)$$
をみたすものは $M$ 個存在します. $M$ を解答してください.