【動画解説】https:\/\/youtu.be\/te2E7al8Xho

 　点 $A$ から点 $P$ を下図のように定める．点 $E$ および $K$ を捉えるためには，カメラは直線 $EM$ から上側と直線 $NK$ から下側に $1$ つずつなければならず，それぞれ線分 $HM,JN$ 上にあるとしてもよい．このときカメラはその位置によらず四角形 $FPLO$ の外部すべてを捉えるから，四角形 $FPLO$ のみを考えると，それぞれのカメラが点 $M,N$ に近づくほど捉える領域が大きくなる．よって，以下カメラをその $2$ 点に固定する．\
　このとき，線分 $IL$ ($I$ を除く) が直線 $MG$ と交点をもたず，線分 $FG$ ($G$ を除く) が直線 $NI$ と交点をもたないことが条件となる．本棚の幅を $x,y$ として，これを数式に表現すれば以下のようになる：
$$0\lt x\leq 5, \quad 0\lt y\leq 5, \quad x\leq 10-2y, \quad y\leq 10-2x$$
これらで与えられる $xy$ 平面上の領域と直線 $x+y=k$ が共有点をもつような最大の $k$ の値は $20\/3$ であることが確認できるから，求めるべき値は $20+3=\textbf{23}$ である．
![figure 1](\/images\/y0Rmo07ybvJlQZ7eraC5dUwtJIMKz6A1IOwzpwEy)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc088/editorial/3048
　OMC君はOMC図書館を経営するために専用の部屋を用意して，本棚と監視カメラを設置することにしました．ここで，以下の条件をみたすようにします．

- 部屋は真上から見て $1$ 辺の長さが $5 \ \mathrm{m}$ の正方形である．
- 本棚は直方体でその**奥行き**は $1 \ \mathrm{m}$ であり，下図のように左右それぞれの壁に**側面を接触させて**計 $2$ つ設置する．接触させる位置は下図の通り（上下それぞれに $1 \ \mathrm{m}$ の位置）で固定であり，幅のみ自由に変えられる．
- 監視カメラは周囲 $360^\circ$ で十分遠くまで捉えられるものを $2$ 台，部屋のすべての場所を捉えられるよう設置する．ただし，カメラの大きさは無視でき，本棚の内部には設置できないものとする．


たとえば下図のようにカメラと本棚を設置した場合，カメラが捉える範囲は赤く塗られた部分です．\
　OMC君は本をできるだけ多く置きたいので，本棚の幅の和を最大化したいです．その最大値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b} \ \mathrm{m}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．

![figure 1](\/images\/iwhjWcSCu4Fp2FWEJx2w79PtLHMTSKwbZEPXv6q4)