　$N=\overline{abc}$ について，$a\lt b\lt c$ であるとしても一般性を失わない．いま，$b-a$ と $c-b$ の少なくとも一方は $4$ 以下であるから，$\overline{cba}-\overline{cab}=9(b-a)$ と $\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)$ の少なくとも一方は $36$ 以下である．すなわち，$m$ は「$36$ 以下の $9$ の倍数」を倍数にもつ．\
　さて，$m$ が $4$ の倍数であるとすると，$a,b,c\in\\{2,4,6,8\\}$ でなければならないが，このとき条件をみたし得ないことが確認できる．また，$m=27$ が不適であることもわかる．\
　逆に $N=468$ とすれば，$18$ の約数はすべて適するから，それらの総和は $\mathbf{39}$ である．\
　なお，各位の数として $0$ を許容すれば，$N=(0)48$ とすれば $m=4$ と $m=12$ も追加で適する．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb014/editorial/4319
　各位の数が相異なり，かつ $0$ を含まない $3$ 桁の正整数 $N$ があります．$N$ の各位の数を並べ替えて得られる $6$ 個の正整数（$N$ も含む）はすべて $m$ の倍数でした．このとき，$m$ としてあり得る正整数の総和を求めてください．