　与式で $1$ つ目の集合が $S$ に一致することは，
$$(A_1\cup A_2)=(A_3\cup A_4)=\cdots=(A_{2021}\cup A_{2022})=S$$
と同値である．さらに，$ A_1\cap A_2,\cdots,A_{2021}\cap A_{2022}$ の少なくとも一つに $S$ の各元が入ることから，これらより $S$ の各元は $A_1,\ldots,A_{2022}$ のうち少なくとも $1012$ 個以上に含まれる．逆に，すべての元がちょうど $1012$ 個に含まれるような構成も確かに存在する．例えば，$A_1=A_3=\cdots=A_{2021}=S$ とし，$A_{2i}=\\{2i-1,2i\\}$ とすればよい．よって，求める最小値は $2022\times 1012=\textbf{2046264}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/editorial/4516
　集合 $S=\\{1,2,\ldots,2022\\}$ があり，$A_1,A_2,\ldots,A_{2022}$ はそれぞれ $S$ の空でない部分集合です．いま，
$$\begin{aligned}
S &= (A_1\cup A_2)\cap (A_3\cup A_4)\cap \cdots \cap (A_{2021}\cup A_{2022}) \\\\
&= (A_1\cap A_2)\cup (A_3\cap A_4)\cup \cdots \cup (A_{2021}\cap A_{2022})
\end{aligned}$$
であるとき，$A_1, A_2, \ldots, A_{2022}$ の要素数の総和としてありうる最小値を求めてください．