　$\angle PAB=\theta$ とおけば, 以下のように計算できる：
$$\angle APB=180^\circ-\theta-(60^\circ-2\theta)=120^\circ+\theta=180^\circ-2\theta-(60^\circ-3\theta)=\angle CPB$$
これは鈍角であるから, $AB=BC$ と併せて三角形 $ABP$ と $CBP$ は合同であり, $\theta=15^\circ$ である.\
　これより三角形 $ACP$ が直角二等辺三角形になることも分かるから, 求める面積は  
$$\triangle PAB=\frac{1}{2}(\triangle ABC-\triangle PCA)=\frac{1}{2}(4\sqrt{3}-4)=2\sqrt{3}-2$$
特に解答すべき値は $12+2=\textbf{14}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/editorial/1503
あまり知られていないと思うので Ceva の定理の同値な形を紹介します．

$----------------$\
Ceva の定理の系

三角形 $ABC$ の辺 $BC,CA,AB$ 上にそれぞれ点$X,Y,Z$があるとき，\
$AX,BY,CZ$ が $1$ 点で交わることと $\dfrac{\sin\angle BAX\sin\angle CBY\sin\angle ACZ}{\sin\angle CAX\sin\angle ABY\sin\angle BCZ}=1$ は同値である．\
$----------------$

(証明)\
三角形 $PQR$ の面積を $|\triangle PQR|$ で表します．\
$\dfrac{BX}{CX}=\dfrac{|\triangle ABX|}{|\triangle ACX|}=\dfrac{\frac{1}{2}AB\cdot AX\cdot\sin\angle BAX}{\frac{1}{2}AC\cdot AX\cdot\sin\angle CAX}=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{\sin\angle BAX}{\sin\angle CAX}$
となります．\
同様に，\
$\dfrac{CY}{YA}=\dfrac{BC}{BA}\cdot\dfrac{\sin\angle CBY}{\sin\angle ABY}$\
$\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{CA}{CB}\cdot\dfrac{\sin\angle ACZ}{\sin\angle BCZ}$\
が成り立つので，これらを掛け合わせることで\
$\dfrac{BX}{CX}\dfrac{CY}{AY}\dfrac{AZ}{BZ}=\dfrac{\sin\angle BAX\sin\angle CBY\sin\angle ACZ}{\sin\angle CAX\sin\angle ABY\sin\angle BCZ}$\
となるので，よく知られた Ceva の定理からこの系が真であることがわかります．\
(証明終)


$\angle PAB=\theta$ とします．
上の系を用いると，$AP,BP,CP$ が $1$ 点で交わっていることから\
$\dfrac{\sin\theta\sin2\theta\sin3\theta}{\sin(60^\circ-\theta)\sin(60^\circ-2\theta)\sin(60^\circ-3\theta)}=1$\
となります．$0^\circ\lt\theta\lt20^\circ$ において分子は単調増加，分母は単調減少となるので，この式をみたす $\theta$ は高々 $1$ 個です．\
また，$\theta=15^\circ$ はこの式をみたすので， $\angle PAB=15^\circ$ がわかります．

あとは公式解説と同じように計算すると答えが求まります．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/editorial/1503/108
　各辺の長さが $4$ である正三角形 $ABC$ において, 内部の点 $P$ が以下の条件をみたしました：
$$\angle PAB:\angle PBC:\angle PCA=1:2:3$$
このとき, 三角形 $PAB$ の面積は正整数 $a,b$ によって $\sqrt{a}-b$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.