　$AB = a, BC = b$ とすれば，
$$a^2+b^2=85^2,\quad ab=2772$$
が分かるので $|a-b|=\sqrt{a^2+b^2-2ab}=\bf{41}$ ．

なお， $\\{AB,BC\\}=\\{36,77\\}$ なる三角形が実際に条件を満たす．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4222
　一辺の長さが $85$ の正方形 $EFGH$ の内部に，$4$ 点 $I,J,K,L$ を $\triangle{EFI}\equiv\triangle{FGJ}\equiv\triangle{GHK}\equiv\triangle{HEL}\equiv\triangle{ACB}$ となるようにとると，四角形 $IJKL$ は面積が $85^2-1386\times4=1681$ の正方形となり，求める値はこの正方形の一辺の長さなので，$\sqrt{1681}=\textbf{41}$ となる．
あえて図形的設定を生かすなら…
https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4222/334
　 $\angle{ABC}=90^\circ, ~ AC=85$をみたす三角形 $ABC$ について，その面積が $1386$ であるとき， $|AB-BC|$ を求めてください．