　条件より全ての頂点の色は異なる．$10$ 色の中から $4$ 色選んだ時，それぞれ $2$ 通りの塗り方が考えられるので，求める答えは ${}\_{10}\mathrm{C}\_{4}\times2 = \bf{420}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/editorial/4285
　OMC君は $10$ 種類の色を用意しました．正四面体の各頂点を，どの辺についてもその $2$ 端点が異なる色になるように用意した色で塗るとき，色の塗り方としてありうるものがいくつあるか求めてください．ただし回転して一致するものは同じものとして数えます．