　$3$ 回目の操作後に初めて $(0,k)\\, (0 \leq k \leq 100)$ となるから, $2$ 回目の操作後は $(k,k)\\,(0 \lt k \leq 100)$ であり, $1$ 回目の操作後は $(k,2k)\\,(0 \lt k \leq 50)$ である. すなわち, 最初の状態としてあり得るものは
$$(a,b)=(k,3k),(2k,3k)\quad (0 \lt k \leq 33)$$
よって, 求める総和は
$$\sum_{k=1}^{33}(k+3k+2k+3k)=9×\left(\frac{1}{2}×33×34\right)=\bm{5049}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/editorial/2765
　黒板にはじめ正整数 $a,b~~ (a \leq b \leq 100)$ が書かれています．いま，以下の操作を，黒板に書かれた $2$ 数のうち少なくとも一方が $0$ になるまで行います：

- 黒板に書かれている $2$ 数が $s,t ~~ (s\leq t)$ であるとき，$t$ を $t-s$ に書きかえる．

　ちょうど $3$ 回で操作が終わるようなすべての組 $(a,b)$ に対して，$a+b$ の総和を求めてください．