　数列 $\\{a_n \\}$ の公差を $d$ とおくと，$a_{1066} = a_{676} + 390d = 1$ が成り立ち，また，
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{1351} {a_n}^2 &= \sum_{i=-675}^{675} (a_{676} + di)^2 = 1351 {a_{676}}^2 + 2 d^2 \sum_{i=1}^{675} i^2 \\\\
&= 1351 {a_{676}}^2 + 2 d^2 \cdot \frac{675 \cdot 676 \cdot 1351}{6} \\\\
&= 1351({a_{676}}^2 + (390d)^2) = 1111
\end{aligned}
$$

より，${a_{676}}^2 + (390d)^2 = \dfrac{1111}{1351}$ を得る．よって，
$$a_{676} \cdot 390d = \frac{(a_{676} + 390d)^2 - ({a_{676}}^2 + (390d)^2)}{2} = \frac{120}{1351}$$

を得る．ここで，$x$ についての $2$ 次方程式
$$x^2 - x + \frac{120}{1351} = 0$$

を考えると，この方程式は相異なる $2$ つの実数解をもち，その $2$ 解を $\alpha, \beta$ としたとき，以下 $2$ つのケースがあり得る．
- $a_{676} = \alpha$ かつ $390d = \beta$
- $a_{676} = \beta$ かつ $390d = \alpha$

したがって，$a_{806} = a_{676} + 130d$ のとり得る値は $\alpha + \dfrac{\beta}{3}, \beta + \dfrac{\alpha}{3}$ の $2$ つであることが分かる．以上より，求める総積は
$$\bigg( \alpha + \frac{\beta}{3} \bigg)\bigg( \beta + \frac{\alpha}{3} \bigg) = \frac{4}{9} \alpha \beta + \frac{1}{3} (\alpha + \beta)^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{120}{1351} + \frac{1}{3} = \frac{1511}{4053}$$

であり，特に解答すべき値は $\mathbf{5564}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc150/editorial/6893
　等差数列 $\\{ a_n \\}\_{n=1,2,\ldots}$ が以下の $2$ 式をみたすとき，$a_{806}$ がとりうる値の**総積**は互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p + q$ の値を解答してください．
$${a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_{1351}}^2 = 1111, \quad a_{1066} = 1$$