　繰り上がりは高々 $1$ であることと $む\neq げ$ から
$$む=1, \quad げ=0, \quad い=8,9$$
がわかる．どの文字も相異なる数を表すことに注意して全ての $う$ について調べ上げることで
$$(い,う,げ,の,む,ん)=(9,2,0,4,1,8),(8,3,0,6,1,2),(9,6,0,2,1,5)$$
つまり
$$むのう=142, ~ 163, ~ 126$$
がわかるので，求める値は $\mathbf{431}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12727
　今年度の11月祭 (NF) の統一テーマは「無限の才能。略して無能」です．  
　$い,う,げ,の,む,ん$ を相異なる $0$ 以上 $9$ 以下の整数とします．
$$むげんの-いのう=むのう$$
が成り立つとき，$むのう$ としてありうる値の総和を答えてください．  
　ただし，平仮名を並べたものは，対応する数字を横に並べて十進法で読んだ整数を指しています．たとえば $む=1,の=2,う=3$ のとき $むのう=123$ です．また，$い,む$ は $0$ でないとします．