　$nnunou$ の $ou$ に対して操作を行うと $nnunno$ となるので，$nnunno$ に有限回の操作を行うことで得られる文字列の総数を求めればよい．  
　$nnunn$ に操作を行うことで得られる文字列について考察する．$n$ のうち左から奇数番目にあるものの数を $n_l$，偶数番目にあるものの数を $n_r$ とすると，操作によって $n_l-n_r$ の数は不変なので条件を満たす文字列について $n_l=n_r$ が成り立つ．  
　また，$nnunn$ は $2$ 回の操作で $uuuuu$ にすることができ，任意の $1\leq i\lt j\leq 5,i+j\equiv 1\pmod{2}$ なる整数 $i,j$ に対して，$uuuuu$ の左から $i$ 番目と $i+1$ 番目の $uu$，$i+2$ 番目と $i+3$ 番目の $uu$，$\cdots$，$j-1$ 番目と $j$ 番目の $uu$ に操作を行った後，$i+1$ 番目と $i+2$ 番目の $uu$，$i+3$ 番目と $i+4$ 番目の $uu$，$\cdots$，$j-2$ 番目と $j-1$ 番目の $uu$ に操作を行うことで，$i$ 番目と $j$ 番目のみが $n$ であるような文字列が得られるので，これらをうまく組み合わせることで任意の $n_l=n_r$ なる文字列を得られる．  
　一方，$o$ が右端にない文字列についても，$o$ の左側において上と同様に $n_l,n_r$ を定め，$o$ の右側において $u$ のうち(文字列の左端から数えて)奇数番目にあるものの数を $u_l$，偶数番目にあるものの数を $u_r$ とすれば $n_l-n_r-u_l+u_r$ は操作で不変であり，逆にこれを満たすような文字列について適切な操作を行い $o$ を右端にした後に上と同様の議論をすることで $nnunno$ にできることがわかる．  
　以上より，$n_l=n_r$ なる文字列の数を求めればよく，これは
$${}\_{3}\mathrm C\_{0}\cdot {}\_{2}\mathrm C\_{0}+{}\_{3}\mathrm C\_{1}\cdot {}\_{2}\mathrm C\_{1}+{}\_{3}\mathrm C\_{2}\cdot {}\_{2}\mathrm C\_{2}=10$$
である．よって，これらに $o$ を挿入する場合の数を考えることで
$$10\cdot 6=60$$
より題意を満たす文字列の総数は**60**個と求まる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12729
$u, n, o$ からなる文字列 $W$ に対し，$W$ の左から偶数文字目を上下反転させたものを $f(W)$ とする．$W$ に $1$ 回操作を行って $V$ が得られるとき，$f(V)$ は $f(W)$ の隣り合う文字を入れ替えたものになっている．初期状態は $f(W)=nuuuon$ であり，これを並び替えてできる文字列は $\dfrac{6!}{3!2!1!}=60$ 個あるので，答えは $\mathbf{60}$ **個**．
簡単解法
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12729/703
　各文字が $u,n,o$ のいずれかである文字列を**良い文字列**とよびます．良い文字列に対して**操作**を次のように定義します．
- **操作**：隣り合う $2$ 文字を選び，それらの位置を入れ替えた後に，双方の文字をそれぞれ $180^\circ$ 回転する（$2$ 文字をひとかたまりにして $180^\circ$ 回転させると考えてもよい）
  
ただし，$180^\circ$ 回転によって $n$ は $u$ に，$o$ は $o$ に，$u$ は $n$ に変化するとします．たとえば，$no$ に操作を行うと $ou$ になります．このとき，有限回の操作を行うことで
$$nnunou$$
にすることができるような良い文字列の個数を答えてください．