　簡単のため，以降では $A(m, n), G(m, n), H(m, n)$ を，それぞれ単に $A, G, H$ と表すことにする．
$$A + 2G + H = N \tag{1}$$
特にこれが有理数であることから，$mn$ は平方数である．したがって，$m$ と $n$ の最大公約数を $g$ とすると，
$$m = a^2g,\quad n = b^2g \tag{2}$$
と表せる．ここで $a\lt b$ は互いに素である．このとき，
$$H = \dfrac{2a^2b^2g}{a^2 + b^2}．$$
$a,b$ はともに偶数でないことから，$a^2+b^2$ は $4$ で割り切れない．したがって，$H$ は半整数とはなりえない．すなわち， $A,G,H$ はすべて整数である必要があることがわかった．\
　さて，$a^2$ と $a^2 + b^2$，$b^2$ と $a^2 + b^2$ がそれぞれ互いに素であることから $a^2 + b^2 \mid 2g$ が従う．そこで，ある正整数 $k$ を用いて
$$g = \frac{1}{2}k(a^2 + b^2) \tag{3}$$
と表そう．式 $(2)$ を踏まえれば，式 $(1)$ の左辺は

$$
\begin{aligned}
A + 2G + H &= \frac{1}{4} k(a^2 + b^2)^2 + kab(a^2 + b^2) + ka^2b^2 \\\\
&= \frac{1}{4} k(a^2 + b^2 + 2ab)^2\\\\
&= \frac{1}{4} k(a + b)^4
\end{aligned}
$$

と変形できる．ゆえに
$$(a + b)^4 \mid 4N \tag{4}$$
が得られる．

　次に $a \lt b$ なる互いに素な $2$ つの正整数の組 $(a, b)$ であって式 $(4)$ をみたすものを任意に選んだ時に，$m : n = a^2 : b^2$ なる正整数の組 $(m, n)$ であって式 $(1)$ をみたすものが一意に存在することを示そう．このような $m, n$ の最大公約数を $g$ とすれば，$m, n$ はそれぞれ式 $(2)$ のように表され，式 $(1)$ にこれを代入し $g$ について解くことによって
$$g = \frac{2N(a^2 + b^2)}{(a + b)^4}$$
が得られる．もし $a, b$ の偶奇が一致する場合は $(a^2 + b^2)^2$ が偶数になるため式 $(4)$ より $g$ は整数値をとり，一致しない場合であっても式 $(4)$ が $(a + b)^4 \mid N$ と同値であるゆえ，この場合も $g$ は整数値をとる．これで適する $(m, n)$ が一意に存在することが示された．\
　以上の議論により，式 $(1)$ をみたすような $m \lt n$ なる正整数の組 $(m, n)$ の個数は，式 $(4)$ をみたすような $a \lt b$ なる互いに素な正整数の組 $(a, b)$ の個数に等しいことが分かった．ここで補題を与える．

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**補題.**　$a \lt b$ かつ $a + b = M$ なる互いに素な $2$ つの正整数の組 $(a, b)$ がちょうど $1$ つ存在するような正整数 $M$ は $3, 4, 6$ に限り，このような $(a, b)$ が $1$ つも存在しないような正整数 $M$ は $1, 2$ に限る．

<details><summary>補題の証明<\/summary>
　$M = 1, 2$ のときに存在しないことと，$M = 3, 4, 6$ のときにただ $1$ つ存在することは簡単に確かめることができる．$M$ が $5$ 以上の奇数のときは少なくとも 
$$(a, b) = (1, M - 1), \left (\frac{M - 1}{2}, \frac{M + 1}{2} \right)$$
の $2$ 組が条件をみたし，$M$ が $8$ 以上の $4$ の倍数のときは少なくとも
$$(a, b) = (1, M - 1), \left (\frac{M}{2} - 1, \frac{M}{2} + 1 \right)$$
の $2$ 組が条件をみたし，$M$ が $10$ 以上の $4$ の倍数でない偶数のときは少なくとも
$$(a, b) = (1, M - 1), \left (\frac{M}{2} - 2, \frac{M}{2} + 2 \right)$$
の $2$ 組が条件をみたす．すなわち $M = 5$，$M \geq 7$ のときは $2$ つ以上存在する．これで補題が示された．
<\/details>

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　$123456$ 以下の正整数 $N$ であって以下を満たすものの個数を求めればよいことが，この補題から分かる．
- $4N$ を割り切る最大の $4$ 乗数は $3^4$ または $4^4$ である．

　$4N$ を割り切る最大の $4$ 乗数が $3^4$ のとき，
$$6^4 \lt 1524 \lt \frac{123456}{3^4} \lt 1525 \lt 7^4$$
であることに注意すれば，$N$ は $4, 3^4, 5^4$ のいずれでも割り切れないような $1524$ 以下の正整数 $t$ によって $N = 3^4t$ と表せる．このような $N$ の個数は以下のように計算できる．
$$1524 - \left \lfloor \frac{1524}{4} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{1524}{3^4} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{1524}{5^4} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{1524}{4 \times 3^4} \right \rfloor = 1127$$
　$4N$ を割り切る最大の $4$ 乗数が $4^4$ のとき，
$$6^4 \lt 1929 = \frac{123456}{2^6} \lt 7^4$$
であることに注意すれば，$N$ は $2^4, 3^4, 5^4$ のいずれでも割り切れないような $1929$ 以下の正整数 $t$ によって $N = 2^6t$ と表せる．このような $N$ の個数は以下のように計算できる．
$$1929 - \left \lfloor \frac{1929}{2^4} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{1929}{3^4} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{1929}{5^4} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{1929}{2^4 \times 3^4} \right \rfloor = 1784$$

　以上より，求める個数は全部で $1127 + 1784 = \mathbf{2911}$ 個である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/editorial/7602
　正の実数 $x, y$ に対し，$A(x, y), G(x, y), H(x, y)$ をそれぞれ以下で定めます：
$$A(x, y) = \frac{x + y}{2},\quad G(x, y) = \sqrt{xy},\quad H(x, y) = \frac{2xy}{x + y}.$$
このとき，次をみたす $1$ 以上 $123456$ 以下の整数 $N$ はいくつありますか？

- $m \lt n$ なる正整数の組 $(m, n)$ であって，
$$A(m, n) + 2 G(m, n) + H(m, n) = N$$
をみたすようなものがちょうど $1$ つ存在する．