　$20$ 以下の素数は全部で $8$ 個あることから，すごい格子点を $15$ 回経由するのは以下 $2$ 条件を満たす経路に限られる．
- $2$ 点 $(2, 2), (19, 19)$ をどちらも経由する．
- すごい格子点 $(p_1, p_2)\ (\neq (19, 19))$ を経由するならば，$p_1$ の次に小さい素数を $q_1$，$p_2$ の次に小さい素数を $q_2$ としたとき，$(p_1, p_2)$ から $(q_1, p_2), (p_1, q_2)$ のどちらかに直進する．

このような経路について，原点から $(2, 2)$ までのたどり方は ${}\_{4}\mathrm{C}\_{2}$ 通り，$(2, 2)$ から $(19, 19)$ までのたどり方は ${}\_{14}\mathrm{C}\_{7}$ 通り，$(19, 19)$ から $(20, 20)$ までのたどり方は ${}\_{2}\mathrm{C}\_{1}$ 通りある．ゆえに求める経路の個数は全部で
$${}\_{4}\mathrm{C}\_{2} \times {}\_{14}\mathrm{C}\_{7} \times {}\_{2}\mathrm{C}\_{1} = \mathbf{41184}$$

個である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc150/editorial/6549
　$xy$ 平面において，$x$ 座標および $y$ 座標がともに**素数**であるような点を「**すごい格子点**」とよぶことにします．\
　点 $P$ がはじめ $xy$ 平面の原点にあります．この点 $P$ に対し，以下の $2$ 種類の移動をそれぞれ $20$ 回ずつ適当な順序で組みあわせて，点 $(20, 20)$ まで至る経路を考えます．

- 点 $(x, y)$ にいるとき，そこから点 $(x + 1, y)$ へ直進する．
- 点 $(x, y)$ にいるとき，そこから点 $(x, y + 1)$ へ直進する．

点 $P$ の経路としてありうるものであって，すごい格子点をちょうど $15$ 個経由するものは全部でいくつありますか？