　$ζ$ を $1$ の原始 $101$ 乗根 $\left(= \cos \dfrac{2\pi}{101}+ i\sin\dfrac{2\pi}{101}\right)$ とおく．このとき，
$$X^{100} + X^{99} + \cdots + X + 1 = (X - ζ)  (X - ζ^{2}) \cdots  (X - ζ^{100})$$
が成り立つ．この式を $(1)$ とする．このとき，求めるべき値は 
$$\prod_{i = 1}^{101} (α_{i} - ζ) (α_{i} - ζ^{2})  \cdots  (α_{i} - ζ^{100})$$
となる．ここで $f(X) = X^{101} + 2024X^{50} - 2025$ とおくと，因数定理より
$$f(X) = (X - α_{1})  (X - α_{2})  \cdots (X - α_{101})$$
が成り立つから，求めるべき値が $\displaystyle \prod_{i = 1}^{100} \bigl(-f(ζ^{i})\bigr) = \displaystyle \prod_{i = 1}^{100} f(ζ^{i})$ であることが分かる．$ζ^{101} = 1$ に留意すると，
$$ f(ζ^{i}) = 2024 \ ( {ζ^{50i}} - 1 )$$
が従うから，求めるべき値は 
$$ \prod_{i = 1}^{100} 2024 \ ( ζ^{50i} - 1 ) = 2024^{100} \ \prod_{i = 1}^{100} (ζ^{50i} - 1) = 2024^{100} \ \prod_{i = 1}^{100} (ζ^{i} - 1)$$
となる．$(1)$ に $X = 1$ を代入することで，$\displaystyle \prod_{i = 1}^{100} (ζ^{i} - 1) = 101$ を得るから，最終的に求めるべき値は
$$2024^{100} × 101 = 2^{300} × 11^{100} × 23^{100} × 101$$
となり，これが持つ正の約数の個数は $\mathbf{6141002}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc225/editorial/9337
　方程式 $X^{101}+2024X^{50}-2025=0$ は $X=1$ を解に持つ．
$$X^{101}+2024X^{50}-2025=(X-1) \lbrace (X^{100}+\cdots+1)+2024(X^{49}+\cdots+1) \rbrace$$
であり，$X=1$ は重解ではない．ここで $\alpha_{101}=1$ とおこう．いま求めたいものは

$$\begin{aligned}
\prod_{i=1}^{101} \left( \sum_{j=0}^{100}(\alpha_i)^j\right) &= \prod_{i=1}^{100} \left( \sum_{j=0}^{100}(\alpha_i)^j\right) ×\sum_{j=0}^{100}(\alpha_{101})^j\\\\
& = 101×\prod_{i=1}^{100}\dfrac{1-\alpha_i ^{\ 101}}{1-\alpha_i} \\\\
& = 101×\dfrac{\prod\limits_{i=1}^{100} (1-\alpha_i ^{\ 101})}{\prod\limits_{i=1}^{100}(1-\alpha_i)}
\end{aligned}$$
と変形される．この最後の式の分母は，
$$\prod_{i=1}^{100}(X-\alpha_i)=(X^{100}+\cdots+1)+2024(X^{49}+\cdots+1)$$
を用いれば，$\prod\limits_{i=1}^{100}(1-\alpha_i)=101+2024×50$ である．\
　あとは多項式 $\prod\limits_{i=1}^{100} (X-\alpha_i ^{\ 101})$ を求めることができればよい．

---

　ここで元の方程式の指数を適当に変えて，式
　$$X+2024X^\frac{50}{101}-2025=0$$
は $\alpha_1^{\ 101} \cdots \alpha_{101}^{\ \ 101}$ を解に持つ．この方程式を適当に変形して
　$$2024^{101}X^{50}+(X-2025)^{101}=0$$
とすれば，この式は $\alpha_1^{\ 101} \cdots \alpha_{101}^{\ \ 101}$ を解に持つ多項式となる．
<details><summary>より正確には<\/summary>

　$\alpha_1^{\ 101} \cdots \alpha_{101}^{\ \ 101}$ が相異なれば十分である．方程式 
　$$ \tag{1} 2024^{101}X^{50}+(X-2025)^{101}=0$$
が重解を持つと仮定すれば，この方程式を微分した次の方程式
　$$ \tag{2} 50×2024^{101}X^{49}+101(X-2025)^{100}=0$$
も同じ解を持つことになる．$101× (1) - (X-2025)×(2)$ を計算すれば $X$ がただ一つに定まり，その値は式 $(1)$ を満たさない．

<\/details>

　残された課題は，多項式 $2024^{101}X^{50}+(X-2025)^{101}$ を $(X-1)P(X)$ の形に変形して，$P(1)$ を求めることである．
$$\begin{aligned}
2024^{101}X^{50}+(X-2025)^{101} &= 2024^{101}X^{50}+\lbrace (X-1)-2024 \rbrace^{101} \\\\
& = 2024^{101}X^{50}+(X-1)^2Q(X)+101×2024^{100}(X-1)-2024^{101}\\\\
& = (X-1)^2Q(X)+101×2024^{100}(X-1)+2024^{101}(X-1)(X^{49}+\cdots+1)\\\\
& = (X-1) \lbrace (X-1)Q(X)+101×2024^{100}+2024^{101}(X^{49}+\cdots+1) \rbrace
\end{aligned}$$
（上の式変形において，二つ目の等号では二項定理を用いた．）\
　よって $P(1)=101×2024^{100}+2024^{101}×50=2024^{100}×(101+2024×50)$ となる．以上の計算から，
$$\prod_{i=1}^{101} \left( \sum_{j=0}^{100}(\alpha_i)^j\right)  = 101×\dfrac{\prod\limits_{i=1}^{100} (1-\alpha_i ^{\ 101})}{\prod\limits_{i=1}^{100}(1-\alpha_i)}=101×\dfrac{2024^{100}×(101+2024×50)}{101+2024×50}=101×2024^{100}$$
原始101乗根を使わない方針
https://onlinemathcontest.com/contests/omc225/editorial/9337/571
　$X$ に関する $101$ 次方程式
$$X^{101} + 2024X^{50} - 2025 = 0$$
の（重複度を込めて）$101$ 個の複素数解を $X=α_{1}, α_{2}, \ldots , α_{101}$ とします．このとき，
$$\prod_{i = 1}^{101} \left (\sum_{j = 0}^{100} (α_{i})^{j} \right )$$
は正整数値になるので，それがもつ正の約数の個数を解答してください．