　$N = 15012, ~ f(x)=x^4-5x^3-20x+16$ とおく．
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{4N} \sum_{l=0}^{k-1} 2^{k+l}a_ka_l &= \frac{1}{2}\Bigg(\bigg(\sum_{k=0}^{4N} 2^ka_k\bigg)^2-\sum_{k=0}^{4N} (2^ka_k)^2\Bigg)\\\\
&= \frac{1}{2}\bigg(f(2)^{2N}-\sum_{k=0}^{4N} 4^ka_k^2\bigg)\\\\
&= \frac{1}{2}\bigg((-48)^{2N}-\sum_{k=0}^{4N} 4^ka_k^2\bigg)
\end{aligned}
$$
となる．いま，$f(x) = \dfrac{x^4}{4^2} f\bigg(\dfrac{4}{x}\bigg)$ であるので，
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{4N}a_kx^k &= f(x)^{N} = \frac{x^{4N}}{4^{2N}}f\bigg(\dfrac{4}{x}\bigg)^{N}\\\\
&= \frac{x^{4N}}{4^{2N}} \bigg(\sum_{k=0}^{4N}4^k a_kx^{-k}\bigg) \\\\
&= \sum_{k=0}^{4N}4^{k-2N}a_kx^{4N-k} \\\\
&= \sum_{k=0}^{4N}4^{2N-k}a_{4N-k}x^k
\end{aligned}
$$
となるから，$a_{k}=4^{2N-k}a_{4N-k}$ が成立する．これにより，
$$
\sum_{k=0}^{4N} 4^ka_k^2 = 4^{2N}\sum_{k=0}^{4N} a_ka_{4N-k}
$$
が得られる．$g(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$ とおき，$h(x)=(g(x))^N=\displaystyle\sum_{k=0}^{4N}a_kx^{k-2N}$ とおく．$h(x)^2$ の定数項に注目すると，これは $\displaystyle\sum_{k=0}^{4N} a_ka_{4N-k}$ と一致する．一方で，$h(x)$ の定数項を $p=10007$ で割った余りは，フェルマーの小定理や多項定理を用いて以下のように計算できる．
$$
\begin{aligned}
[x^0]h(x)^2 &= [x^0]g(x)^{2N}\\\\
&=[x^0]\bigg(x^2+\frac{16}{x^2}-\bigg(5x+\frac{20}{x}\bigg)\bigg)^{3p + 3}\\\\
&\equiv [x^0]\bigg(x^{2p}+\frac{16}{x^{2p}}-\bigg(5x^p+\frac{20}{x^p}\bigg)\bigg)^{3}\bigg(x^2+\frac{16}{x^2}-\bigg(5x+\frac{20}{x}\bigg)\bigg)^{3} \\\\
&\equiv g(x^p)^3 g(x)^3 \pmod{p}\\\\
\end{aligned}
$$
ここで，$g(x^p)^3$ と $g(x)^3$ の定数項は一致し，
$$
[x^0]g(x)^3 = [x^0]\bigg(x^2+\dfrac{16}{x^2}-\bigg(5x+\dfrac{20}{x}\bigg)\bigg)^{3} = 3\cdot 16 \cdot (-5)^2 + 3\cdot 1 \cdot (-20)^2 = 2400
$$
と等しい．また，$g(x^p)^3$ の定数項でない部分の次数はすべて $p$ の倍数となるため，$h(x)^2$ の定数項は両者の定数項を掛け合わせたものであり，
$$
[x^0]h(x)^2 \equiv 2400^2 \equiv 5975 \pmod{p}
$$
を得る．以上を代入することで，
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{4N} \sum_{l=0}^{k-1} 2^{k+l}a_ka_l &= \frac{1}{2}\bigg((-48)^{2N}-\sum_{k=0}^{4N} 4^ka_k^2\bigg)\\\\
&\equiv \frac{1}{2}\bigg((-48)^{2N}-4^{2N} \cdot 5975\bigg) \\\\
&\equiv  5004 \cdot (48^6-4^6\cdot 5975) \\\\
&\equiv  \mathbf{9286}\pmod{p}
\end{aligned}
$$
となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/editorial/11840
　$0$ 以上の整数 $n$ について，$(x^4-5x^3-20x+16)^{15012}$ の $x^n$ の係数を $a_n$ とします（ただし $a_0$ は定数項とします）．このとき，
$$
\sum_{k=1}^{60048} \sum_{l=0}^{k-1} 2^{k+l}a_ka_l
$$
を素数 $10007$ で割った余りを求めてください．