　$x = 1\/a - 1, y = 1\/b - 1, z = 1\/c - 1$ とすると， 拘束条件，与式はそれぞれ以下の通りに変形できる．
$$x,y,z\gt 0, \quad \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 1,\quad 4xy + 2yz + 3zx - 9 \ge M$$
従って，Cauchy-Schwarzの不等式より以下が成立する．
$$\begin{aligned}
4xy + 2yz + 3zx - 9
&=(4xy + 2yz + 3zx)\bigg(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}\bigg) - 9\\\\
&\ge (2 + \sqrt2 + \sqrt3)^2 - 9\\\\
&= 2\sqrt6 + 4\sqrt2 + 4\sqrt3
\end{aligned}$$
実際に等号が成立する $a,b,c$ は存在するので，$M$ の最大値は $2\sqrt6 + 4\sqrt2 + 4\sqrt3$ である．特に，解答すべき値は $\bf{104}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc152/editorial/6167
　ここでは，公式解説にある $x=\dfrac{1}{a}-1,y=\dfrac{1}{b}-1,z=\dfrac{1}{c}-1$ なる置き換えをどのようにすれば比較的自然に思いつけるかについて解説していきます．  
  
$$\begin{aligned}
& 2a+3b+4c-5ab-7bc-6ca\geq Mabc \\\\
& \Leftrightarrow\dfrac{2}{bc}+\dfrac{3}{ca}+\dfrac{4}{ab}-\dfrac{5}{c}-\dfrac{7}{a}-\dfrac{6}{b}\geq M
\end{aligned}$$より，$L=\dfrac{2}{bc}+\dfrac{3}{ca}+\dfrac{4}{ab}-\dfrac{5}{c}-\dfrac{7}{a}-\dfrac{6}{b}$の下限が $M$ の最大値である．  

ここで，$L$ は $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$ についての式と見た方が良さそうなので，$p=\dfrac{1}{a},q=\dfrac{1}{b},r=\dfrac{1}{c}$ とおくと，$1$ より大きな実数 $p,q,r$ が $\dfrac{2}{pqr}+1=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}$ つまり $pqr-pq-qr-rp+2=0$ を満たしながら動くときの $L=2qr+3rp+4pq-5r-7p-6q$ の下限が $M$ の最大値であると言い換えられる．  

さらに，$5=2+3,6=2+4,7=3+4$ を用いて良い感じに $L$ の式を分解して式変形していくと，$$\begin{aligned} 
& L=2(qr-q-r)+3(rp-r-p)+4(pq-p-q) \\\\
& \phantom{L}=2(q-1)(r-1)+3(r-1)(p-1)+4(p-1)(q-1)-9
\end{aligned}$$となるので，$x=p-1,y=q-1,z=r-1$ とおくと，正の数 $x,y,z$ が $(x+1)(y+1)(z+1)-(x+1)(y+1)-(y+1)(z+1)-(z+1)(x+1)+2=0$ つまり $xyz=x+y+z$ を動くときの $L=2yz+3zx+4xy-9$ の下限が $M$ の最大値であると言い換えられる．

これで，公式解説の方針に帰着することが出来た．
どう置き換えを思いつくか
https://onlinemathcontest.com/contests/omc152/editorial/6167/301
　$0$ より大きく $1$ 未満の実数 $a, b, c$ が，以下の等式をみたします：
$$2abc + 1 = a + b+ c.$$
このとき，以下の不等式をつねにみたすような実数 $M$ の最大値を求めてください：
$$2a + 3b + 4c - 5ab - 7bc - 6ca \geq Mabc.$$ 
ただし，求める最大値は相異なる正整数 $p, q, r$ を用いて $\sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r}$ と表されるので，$p + q + r$ を解答してください.