　$P(x)=x^3-9x-9$ とおく．$\alpha^3=9\alpha+9$ が成立するから，
$$\alpha^3+\alpha^2-10\alpha-8=\alpha^2-\alpha+1=\dfrac{\alpha^3+1}{\alpha+1}=\dfrac{9\alpha+10}{\alpha+1}$$
である．$\beta,\gamma$ についても同様であるから，求める値を $S$ とすれば以下のように計算ができる．
$$
\begin{aligned}
S
&=\left(\dfrac{9\alpha+10}{\alpha+1}\right)
\left(\dfrac{9\beta+10}{\beta+1}\right)\left(\dfrac{9\gamma+10}{\gamma+1}\right)\\\\
&=9^3\times\dfrac{P(-10\/9)}{P(-1)}\\\\
&=\bf{271}
\end{aligned}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/6823
【追記：2024\/01\/17 23:02】公式解説の補足を追記しました. 


　別解を記述する前に, 公式解説 $2$ 式目の補足です. 
$$P(x)=x^3-9x-9=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$
　より, $x=-1, \frac{9}{10}$を代入して以下が得られる. 
$$\begin{aligned}
 P(-1) &= (-1-\alpha)(-1-\beta)(-1-\gamma) &= -(\alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1)\\\\
 P\left(-\frac{10}{9}\right) &= \left(-\frac{10}{9}-\alpha\right)\left(-\frac{10}{9}-\beta\right)\left(-\frac{10}{9}-\gamma\right) &= -\frac{1}{9^3}(9\alpha + 10)(9\beta + 10)(9\gamma + 10)
\end{aligned}$$
　以上より $S$ が公式解説のように計算できる. 
***
　別解の紹介です. 前半の方針は公式解説と同じで, 後半のみ異なります. 
***
　$P(x)=x^3-9x-9$ とおき, $\alpha^3=9\alpha+9$ が成立する点までは解説と変わらない.  $x^2 - x + 1 = 0$ の解は複素数 $z=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}(=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$ を用いて $x=z, \overline{z}$ と表せる. 
$$\alpha^3+\alpha^2-10\alpha-8 = \alpha^2 - \alpha + 1 = (\alpha - z)(\alpha - \overline{z})$$
　ところで,  
$$P(x)=x^3-9x-9=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$
　であるから, 求める値を $S$ とすれば, 
$$
\begin{aligned}
S &=  (\alpha^2 - \alpha + 1)(\beta^2 - \beta + 1)(\gamma^2 - \gamma + 1)\\\\
 &= (\alpha - z)(\beta - z)(\gamma - z)(\alpha - \overline{z})(\beta - \overline{z})(\gamma - \overline{z})\\\\
 &= P(z)P(\overline{z})\\\\
 &= (z^3-9z-9)(\overline{z}^3-9\overline{z}-9)\\\\
 &= (-10-9z)(-10-9\overline{z})\\\\
 &= 100 + 90(z+\overline{z})  + 81z\cdot \overline{z}\\\\
 &= \mathbf{271}
\end{aligned}$$

***
別解：因数分解 (+公式解説補足)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/6823/398
　方程式 $x^3-9x-9=0$ の $3$ つの複素数解を $x=\alpha,\beta,\gamma$ とします．なお，これらは相異なることが保証されます．次の値を求めてください．
 $$(\alpha^3+\alpha^2-10\alpha-8)(\beta^3+\beta^2-10\beta-8)(\gamma^3+\gamma^2-10\gamma-8)$$