　$2^0+2^1+\cdots+2^{6}\lt2^{7}$ より，式の値が正となる必要十分条件は $2^{6}$ と $2^{7}$ の間の $\pm$ が $+$ となっていることである．他の符号は自由であるから，求める場合の数は $2^{7}=\textbf{128}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc229/editorial/2380
　符号をどのように選んでも $\pm2^0\pm2^1\pm2^2\pm2^3\pm2^4\pm2^5\pm2^6\pm2^7$ は奇数なので，$0$ にはならない．よって，すべての符号を反転して得られるような符号の選び方同士のペアを $2^7$ 個作ると，各ペアのちょうど一方で式は正となるので，求める場合の数は $2^7=\textbf{128}$ 通り．
対称性を用いる解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc229/editorial/2380/620
　下の式において，それぞれの $\pm$ において $+$ と $-$ のいずれか選んで計算式を作ります．このような方法は $2^{8}$ 通りありますが，このうち式の値が正となるような選び方は何通りありますか．
$$ \pm 2^0 \pm 2^1 \pm 2^2 \pm 2^3 \pm 2^4 \pm 2^5 \pm 2^6 \pm 2^7 $$