　 $\angle PBC = x$ とし，線分 $BC$ に関して $A$ と対称な点を $ A^{\prime} $ とする．
$$\angle BA^{\prime}C + \angle CPB = (4x+2x) + (180^{\circ} - 5x - x) = 180^{\circ} $$
 なので $4$ 点 $A^{\prime},B,C,P $ は同一円周上にある．
よって $\angle PBA^{\prime} = \angle PA^{\prime}B = 5x$ であるため $ BP = A^{\prime}P $ が分かる．
また，直線 $AP$ と $BC$ の交点を $D$ とすると三角形 $ABD$ が二等辺三角形であるため $BD = AD = A^{\prime}D $ が分かる．
これらより直線 $PD$ は $BA^{\prime}$ の垂直二等分線であるため，
$AB = AA^{\prime}$ であり，
三角形 $ABA^{\prime}$ は正三角形である．従って，
$\angle ABA^\prime = 8x = 60^{\circ}$ より $x = 7.5^\circ$ を得るから 
$\angle PCA = 180^{\circ} -7.5^{\circ} \times 15 = 67.5^{\circ}$ である．
特に解答すべき値は $\bf{137}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/3613
直線 $BC$ に関して $P$ と対称な点を $P^\prime$ とする．すると，簡単な角度計算により，$A, B, P^\prime, C$ の共円が分かる．また，$\angle PBC = \theta$ とすると，$$\angle BAP^\prime = \angle BCP^\prime = 5\theta, \angle ABP^\prime = \angle ABC + \angle P^\prime BC = 5\theta $$
より，$PB = P^\prime B = P^\prime A$ が分かる．また，$\angle PAP^\prime = \theta$ も容易に分かる．ここで，直線 $PP^\prime$ に関して $A$ と対称な点を $A^\prime$ とする．すると，$\angle PBP^\prime = 2\theta = 2 \angle PAP^\prime $ となり，かつ $PB = P^\prime B$ であることから，$BA^\prime = BP = BP^\prime$ が従う．これと，$P^\prime A^\prime = P^\prime A = P^\prime B$ を合わせて三角形 $BA^\prime P^\prime$ が正三角形であると分かる．よって，$\angle A^\prime PP^\prime = 150^\circ$ が分かり，あとは簡単な角度計算により，$\theta = {\cfrac{15}{2}}^\circ$ が分かり，$\angle PCA = {\cfrac{135}{2}}^\circ$ が得られる．
折り返しを二回する方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/3613/450
　こんな方法もあるということで，紹介しておきます．\
　あまり好まれる方法ではないでしょうし，常にできるとも限らないので非推奨です．

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　チェバの定理の三角比版より，次の式が成立する：
$$\dfrac{\sin \angle PAC}{\sin \angle PAB}\cdot \dfrac{\sin \angle PBA}{\sin \angle PBC}\cdot\dfrac{\sin \angle PCB}{\sin \angle PCA}=\dfrac{\sin 2 \theta}{\sin 4 \theta} \cdot \dfrac{\sin 3 \theta}{\sin  \theta} \cdot \dfrac{\sin 5 \theta}{\sin 15 \theta} =1$$
　$2$ 倍角の公式，$3$ 倍角の公式を用いると次のように変形できる．
$$\dfrac{1}{2 \cos 2 \theta} \cdot \dfrac{3-4\sin^2  \theta}{ 3-4 \sin^2 5 \theta} =1$$
　分母に $\cos 2 \theta$ があるので，これを含む形に変形すると $3-4\sin^2  \theta=1+2\cos 2 \theta$ となる．よって，
$$\dfrac{1+2\cos 2\theta}{2\cos 2\theta(1+2 \cos 10 \theta)}=1$$
　変形して $\cos 2 \theta \cos 10 \theta=\dfrac{1}{4}$ ．\
　積和の公式を用いて $\cos 8 \theta+\cos 12 \theta=\dfrac{1}{2}$．\
　$\cos 4 \theta=x$ と置けば，$2$ 倍角の公式，$3$ 倍角の公式を用いて，以下のように変形可能である：
$$4x^3+2x^2-3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}(2x+1)(4x^2-3)=0$$
　$15 \theta \lt 180^ {\circ}$ だったので，$\cos 4 \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ すなわち $\theta =7.5^{\circ}$ を得る．

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　以下は，三角比を用いる，もう少し楽な別解です．

　$\triangle ABC$ の外接円と直線 $CP$ の交点で，点 $C$ でないものを $D$ とおく．\
　$\angle PBC=\theta$ とおくと，$\angle BPE= \angle BEP= 6 \theta $ であり，これより $BP=BE$ を得る．また円周角の定理（正弦定理）より，$AB:BE=\sin 10 \theta : \sin 5 \theta$ であり，$BP=BE$ より $AB:BP=\sin 10 \theta : \sin 5 \theta$．\
　一方，$\triangle ABP$ に正弦定理を用いて，$AB:BP=\sin 7 \theta : \sin 4 \theta$．よって，$\sin 10 \theta : \sin 5 \theta = \sin 7 \theta : \sin 4 \theta$ を得る．\
　積の形に変形してから $2$ 倍角の公式を用いると，$2 \sin 4 \theta \cos 5 \theta = \sin 7 \theta$．\
　和積の変換公式を用いると $\sin 9 \theta - \sin \theta=\sin 7 \theta$．\
　$\sin 9 \theta - \sin 7\theta=\sin  \theta$ としてから再度和積の変換公式を用いると $2 \sin \theta \cos 8 \theta =\sin \theta$．\
　これより $\cos 8 \theta =\frac{1}{2}$ すなわち $\theta =7.5^{\circ} $ を得る．
三角比を用いる方法（非推奨）
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/3613/452
エスパーに毛が生えたような解法なので，非推奨です．
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$\angle PBC = \theta$ とおくと，Cevaの定理より，$\dfrac{\sin 2\theta}{\sin 4\theta} \cdot \dfrac{\sin 3\theta}{\sin \theta} \cdot \dfrac{\sin 5\theta}{\sin 15\theta} = 1$  
和積の公式を用いると，
$$4\left( \sin 2\theta \sin 3\theta \sin 5\theta \right) = \sin 6\theta + \sin 4\theta - \sin 10\theta$$
$$4\left( \sin 4\theta \sin \theta \sin 15\theta \right) = \sin 18\theta + \sin 12\theta - \sin 10\theta - \sin 20\theta$$
これらをよく見ると，
$$\left( \sin 6\theta - \sin 18\theta \right) + \left( \sin 4\theta + \sin 20\theta \right) - \sin 12\theta = 0$$
$12 \theta = 90^{\circ}$ のとき $ \left( 左辺 \right) = 0 + \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \right) - 1 = 0$ [*1] であるから，$\angle PCA = 180^{\circ} - 15 \times 7.5^{\circ} = 67.5^{\circ}$ は解の候補であり，実際 $\mathbf{137}$ を提出するとCAを得る．

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[*1] 上の式に対し，できるだけ多くの項が消えるような代入をしようと考えるとこのようになる．
三角比を用いた解法(もっと非推奨)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/3613/461
　三角形 $ABC$ およびその内部の点 $P$ が以下の条件をみたします．
$$\angle PBC : \angle CAP : \angle ABP : \angle PAB : \angle BCP = 1:2:3:4:5 $$ 
この時， $\angle PCA$ の大きさは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ 度と表されるので，$a+b$ を解答してください．