　$a_{10}\geq 1$ を無視すれば数列は $3^9$ 通りある．そのうち $a_{10}=1$ となるのは $a_{i+1}-a_i=1$ なる $i$ の個数と $a_{i+1}-a_i=-1$ なる $i$ の個数が等しいときであるから，
$$1+{}\_9\mathrm{C}\_1\times{}\_8\mathrm{C}\_1+{}\_9\mathrm{C}\_2\times{}\_7\mathrm{C}\_2+{}\_9\mathrm{C}\_3\times{}\_6\mathrm{C}\_3+{}\_9\mathrm{C}\_4\times{}\_5\mathrm{C}\_4=3139$$

通りある．また対称性より，$a\_{10}\geq2$ なる整数列の個数と $a_{10}\leq0$ なる整数列の個数が等しいことに留意すれば，求めるべき場合の数は以下で与えられる．
$$\dfrac{3^9+3139}{2}=\bf{11411}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/editorial/2598
　整数列 $a_1,a_2,\ldots,a_{10}$ であって，$a_1=1,a_{10}\geq 1$ および以下をみたすものは何通りありますか？  

- $1\leq{i}\leq9$ なる任意の正整数 $i$ に対し，$|a_{i+1}-a_i|\leq1$.