　円周角の定理などを用いれば
$$\angle{AOF} = 2\angle{ACF} = 2\angle{DCF} = 2\angle{DOF}$$
から $\angle{DOA} = \angle{DOF}$ であり，さらに $OA = OF$ から三角形 ${AOD}$ と三角形 ${FOD}$ は合同である．とくに $DA = DF$ なので $\angle{DAF} = \angle{DFA}$ となる．\
　また，$AE \cdot AB = AD \cdot AC$ から，$A$ 中心で半径が $\sqrt{AD \cdot AC}$ である円による反転で直線 $DE$ と円 $\Gamma$ は移りあうから，それらの交点 $F$ において $AF^2 = AD \cdot AC$ が成立する．これから $\angle{AFD} = \angle{ACF}$ となり，結局 $\angle{FAC} = \angle{AFD} = \angle{ACF}$ から $FA = FC$ を得る．\
　よって $BF$ は $\angle{ABC}$ を二等分するから,
$$\angle{GBC} = \frac{1}{2}\angle{ABC} = \frac{1}{2}\angle{ADE} = \frac{1}{2}\angle{CDF} = \angle{GDC}$$
となり，$4$ 点 $B, C, G, D$ が共円であることがわかる．$4$ 点 $B, C, D, E$ が共円であることを合わせれば，$5$ 点 $B, C, G, D, E$ は共円である．これと $\angle{GBE} = \angle{GBC}$ より $GE = GC$ および $\angle{BGC} = 90^\circ$ を得る．\
　以上のことから，$\angle{ABC} = 2\theta$ とおけば
$$\angle{GBC} = \angle{DAF} = \angle{DFA} = \angle{FCA} = \theta, \quad \tan{\theta} = \frac{GC}{GB} = \frac{GE}{GB} = \frac{4}{11}$$
がわかる．よって $\cos{\theta} = \dfrac{11}{\sqrt{137}}$ および $AC = AF \cdot 2\cos{\theta} = AD \cdot (2\cos{\theta})^2$ から $AC, DC$ を計算すれば $DC = \dfrac{4511}{137}$ となり，解答すべき値は $\mathbf{4648}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/editorial/11166
　三角形 $ABC$ が鋭角三角形であれば $F$ は劣弧 $AC$ 上にあり，円周角の定理などから，$$\angle{CBA}=\angle{EDA}=\angle{CDF}=\angle{COF}=2\angle{CBF}$$ であるから，$F$ は劣弧 $AC$ を $2$ 等分する点である．また $\angle{CBA}=2\theta$ とおけば， $\angle{EDA}=2\theta, \angle{CAF}=\angle{CBF}=\theta$ であるから， $$\angle{DFA}=\angle{EDA}-\angle{CAF}=\theta$$ となる．
（以下，公式解説「よって $BF$ は $\angle{ABC}$ を...」に合流）
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/editorial/11166/590
　鋭角三角形 $ABC$ においてその外接円を $\Gamma$，その中心を $O$ とし，$B, C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E$ とします．また，$\Gamma$ と半直線 $ED$ の交点を $F$ としたとき，$4$ 点 $D, O, C, F$ は同一円周上にありました．また $\angle{CDF}$ の二等分線と $BF$ の交点を $G$ としたとき，
$$GE : GB = 4 : 11, \quad AD = 13$$ 
が成立しました．このとき $CD$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答して下さい．