　整数 $N$ を用いて $\dfrac{a^2-bc}{2a-b-c}=N$ と表せば, 以下のように変形される：
$$(a-N)^2=(b-N)(c-N)$$
これより，整数 $x\neq 0$ および互いに素かつ相異なる正整数 $y,z$ によって，以下のように一意に表せる：
$$a-N=xyz, \quad b-N=xy^2, \quad c-N=xz^2$$
このとき，
$$2a-b-c=-x(y-z)^2, \quad M=b-c=x(y+z)(y-z)$$
であるから，$\left\lvert\dfrac{y-z}{y+z}\right\rvert$ のとり得る値が $1000$ 種類であると表現できる．$\gcd(y+z,y-z)\leq 2$ に留意すれば，条件は以下のうちどちらかをみたす互いに素な正整数の組 $(s,t)$ が合計で $1001$ 組存在することと表現できることがわかる．

- $st\mid M$ かつ $s,t$ はともに奇数である．
- $4st\mid M$ かつ $s,t$ は偶奇が一致しない．

ここで $1001$ であるのは $(s,t)=(1,1)$ が含まれるためである．いま，$M$ を素因数分解した形を
$$M=2^{q_{1}}p_2^{q_2}\cdots p_n^{q_n}$$
で表せば，前者の条件をみたす組は
$$(2q_2+1)(2q_3+1)\cdots(2q_n+1)$$
通りあり，後者の条件をみたす組は
$$2\max\\{q_1-2,0\\}\times(2q_2+1)\cdots(2q_n+1)$$
通りある．すなわち，合計では以下が $1001=7\times 11\times 13$ と等しいことが条件である．
$$\begin{cases}
(2q_2+1)(2q_3+1)\cdots(2q_n+1) && (q_1\leq 2) \\\\
(2q_1-3)(2q_2+1)(2q_3+1)\cdots(2q_n+1) && (q_1\geq3) \\\\
\end{cases}$$
　それぞれ調べることで，求める最小値は $2^8\times 3^5\times 5^3=\textbf{7776000}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc108/editorial/2805
$$\frac{a^2-bc}{2a-b-c}=\frac{a^2-b(b-M)}{2a-b-(b-M)}=\frac{a^2-b^2+bM}{2a-2b+M}=b+\frac{(a-b)^2}{2(a-b)+M}$$
$a-b=x$とおくと $|2a-b-c|=|2x+M|$. そして, $a, b, c$はすべて相異なることから $x\neq 0, -M$ , つまり $|2x+M|\neq M$ が分かる. 
$$\frac{a^2-bc}{2a-b-c}=b+\frac{x^2}{2x+M}=b+\frac{2x-M+\frac{M^2}{2x+M}}{4}=b-x+\frac{\frac{M^2}{2x+M}-(2x+M)}{4}$$
$\frac{M^2}{s}-s$が整数であり$4$で割り切れるとき $s$と$M$の偶奇が一致することが分かるので, $2x+M$を整数$s$に置き換えても良い.　　　　　　　　
$\frac{\frac{M^2}{s}-s}{4}$が整数になるような整数$s$すべてで, $|s|$の取りうる値が$1000$種類, つまり$\frac{\frac{M^2}{s}-s}{4}$が整数になるような正整数$s$の個数が$s=M$を含めて$1001$個になる最小の$M$を見つければよい.\
$M$が奇数のとき, $\frac{M^2}{s}-s$が整数なら必然的に$4$の倍数になるので, $M^2$の正の約数が$1001$である最小の$M$を求めればよい. そのような数は$3^6 \times 5^5 \times 7^3$.\
$M$が4の倍数ではない偶数のとき, $s$も偶数であることが計算によりわかるので, $M=2m, s=2t$とおくと, $\frac{\frac{M^2}{s}-s}{4}=\frac{\frac{m^2}{t}-t}{2}$　$m$は正の約数を$1001$個もつ奇数なので, 最小の$M$は $2 \times 3^6 \times 5^5 \times 7^3$.\
$M$が$4$の倍数の時, $s$も$4$の倍数であることが計算によりわかるので, $M=4m, s=4t$とおくと, $\frac{\frac{M^2}{s}-s}{4}=\frac{m^2}{t}-t$　$m$は正の約数を$1001$個持つ正整数なので, 最小の$M$は $2^8 \times 3^5 \times 5^3$.\
よって最小の$M$は$2^8 \times 3^5 \times 5^3$.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc108/editorial/2805/105
　ある固定された正整数 $M$ に対して，$b-c=M$ をみたし，かつ $2a-b-c\neq 0$ が $a^2-bc$ を割りきるような相異なる整数の組 $(a,b,c)$ 全体を考えると，$|2a-b-c|$ のとり得る値はちょうど $1000$ 種類であったといいます．\
　このような $M$ としてありえる最小値を求めてください．