　条件は以下のように表現できる. ここで符号の選択も場合の数の一部である.
$$d_1\pm d_3\pm d_5\pm d_7=0=\pm d_2\pm d_4\pm d_6\pm d_8$$
一般性を失わず $d_1\lt d_3\lt d_5\lt d_7$ および $d_2\lt d_4\lt d_6\lt d_8$ としてよく, さらに $d_1=2$ に限定して $2\times(4!)^2$ 倍すればよい. ここで, 各辺内で $3$ つ以上の符号が一致するには $2+3+4-9$ とするほかなく, このとき右辺は $5-6-7+8$ (およびその $-1$ 倍) と定まる. したがって, 両辺で各符号が $2$ つずつ現れる場合を以下考えればよい.\
　これは例えば $3$ 以上 $9$ 以下の整数 $3$ つで和 $20$ を作る方法をもとに数え上げればよい. 以下にその方法および対応する左辺のみを示す. このとき右辺は一意に定まり, それぞれ相異なるものが得られる.

- $3,8,9 \to 2-4-6+8,\quad 2-4-7+9,\quad 2-5-6+9$
- $4,7,9 \to 2-3-6+7,\quad 2-3-8+9,\quad 2-5-6+9$
- $5,6,9 \to 2-3-4+5,\quad 2-3-8+9,\quad 2-4-7+9$
- $5,7,8 \to 2-3-4+5,\quad 2-3-6+7,\quad 2-4-6+8$

以上より, 求める場合の数は $(2+12)\times2\times(4!)^2=\textbf{16128}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc109/editorial/1521
　$d_1,d_2,\cdots,d_8$ を $\\{2,3,4,\cdots,9\\}$ の置換とします. いまOMC君は座標平面の原点におり, $x$ 軸の正の方向を向いています. 彼は続いて以下の操作を $i=1,2,\cdots,8$ の順に行います：

- 向いている方向に沿って, 距離 $d_i$ だけ直進する.
- その後, $90^\circ$ 左または $90^\circ$ 右に向く方向を変える.

最終的にOMC君が再び原点に到達したとき, 彼の通った道筋としてあり得るものはいくつありますか？ただし, 回転や反転で一致するものも区別して数えます. また, OMC君は途中で同じ点を $2$ 回以上通っても良いものとします.