　直線 $AB$ と直線 $CD$ の交点を $E$ とすれば，三角形 $BCE$ は直角二等辺三角形である．$BE=CE=x$ とおけば，三角形 $ADE$ における三平方の定理により $(x-1)^2+(x-2)^2=5$ が従うから，これを解いて $x=3$ を得る．以上により，$BC=3\sqrt{2}=\sqrt{\textbf{18}}$ と計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc151/editorial/238
　凸四角形 $ABCD$ が
$$AB=1,\quad AD=\sqrt{5},\quad CD=2,\quad \angle B=\angle C=45^\circ$$
をみたすとき，辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．