　$b_n = n - a_{n}$ とすると，
$$b_{i+1} - b_i = \begin{cases}
0 & (a_{i+1} - a_{i} = 1)\\\\
2 & (a_{i+1} - a_{i} = -1)
\end{cases}$$
となり，特に広義単調増加である．また，$b_1=1, b_{17}=17$ であるから，数列 $\\{b_n\\}$ には $1, 3, \cdots , 17$ の $9$ 種類の値が現れる．ここで，数列 $\\{b_n\\}$ の中に現れる $2k - 1$ の数を $c_k$ とすると，$c_k$ たちはどれも正の整数である．また，$3$ つめの条件から，
$$\_{c_1}\mathrm{C}\_{2} + \_{c_2}\mathrm{C}\_{2} + \cdots + \_{c_9}\mathrm{C}\_{2} = 20$$
が成り立ち，$c_1 + c_2 + \cdots + c_9 = 17$ も成り立つ．これをみたすのは，ある $1$ 以上 $9$ 以下の相異なる整数 $s,t$ が存在して $c_s = c_t = 5$ となり，それ以外については $1$ となる場合のみである．数列 $\\{c_k\\}$ が定まれば数列 $\\{a_n\\}$ も一意に定まるので，求める答えは ${}\_{9}\mathrm{C}\_{2} = \mathbf{36}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/10180
　整数の組 $(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{17})$ であって，以下をすべてみたすものはいくつありますか？
- $a_{1} = a_{17} = 0$.
- $i=1, 2, \cdots , 16$ について，$|a_{i+1}-a_{i}|=1$.
- $a_{i}-a_{j}=i-j$ となる $1$ 以上 $17$ 以下の $i\lt j$ なる整数の組 $(i,j)$ がちょうど $20$ 個存在する.