　$n$ が $2$ 進法で
$$n=2^{a_k}+2^{a_{k-1}}+\cdots+2^{a_1}　(a_k \gt a_{k-1} \gt \cdots \gt a_1 \geq 0)$$
と表されるとき，$n!$ を割り切る最大の $2$ べきは
$$2^{n-k}=2^{2^{a_k}-1}\times 2^{2^{a_{k-1}}-1}\times \cdots \times 2^{2^{a_1}-1}$$
であることに留意すれば，考えるべき総和 $S$ について
$$S =(2^{2^0-1}+1)(2^{2^1-1}+1)\cdots(2^{2^{3570}-1}+1)$$
が分かる．また，$a$ が $3$ で割り切れる最大の回数を $\mathrm{ord}_3 (a)$ で表せば，LTEの補題より
$$\begin{aligned}
\mathrm{ord}_3 (S) &= \mathrm{ord}_3 (2^{2^1-1}+1) + \mathrm{ord}_3 (2^{2^2-1}+1)+ \cdots + \mathrm{ord}_3 (2^{2^{3570}-1}+1) \\\\
&= 3570+\mathrm{ord}_3 (2^1-1)+\mathrm{ord}_3 (2^2-1)+\cdots+\mathrm{ord}_3 (2^{3570}-1)\\\\
&= 3570+1785+\mathrm{ord}_3 (1)+\mathrm{ord}_3 (2)+\cdots+\mathrm{ord}_3 (1785)\\\\
&= 3570+1785+\mathrm{ord}_3 (1785!).
\end{aligned}$$
さらにLegendreの定理より，求める値は $3570+1785+890=\textbf{6245}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc171/editorial/3571
　非負整数 $n$ に対し，$n!$ を割り切る最大の $2$ べきを $f(n)$ で表します．このとき，
$$f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2^{3571}-1)$$
は $3$ で最大何回割り切れますか？\
　ただし，$0!=1$ とします．すなわち $f(0)=f(1)=1$ です．