　$113$ は $10$ と互いに素であるから，小数第 $1$ 位よりただちに循環節に入る．いま，循環節の長さが $112$ であることから，筆算の要領で割り算を行う過程を考えることで，循環節の中には
$$10÷113,\quad 20÷113,\quad  \ldots, \quad ,1120÷113$$
の商がそれぞれ一度ずつ現れることがわかる．すなわち循環節の中には $0,1,2,4,5,7,8,9$ が $11$ 回ずつ，$3,6$ は $12$ 回ずつ出現する．したがって循環節の $0$ を除く数字の総積は $(9!)^{11}\cdot 3\cdot 6=2^{78} \cdot 3^{46} \cdot 5^{11} \cdot 7^{11}$ である．\
　これと $227=112\times 2+3$ および $\dfrac{355}{113}=3.141\cdots$ より，$P=(2^{78} \cdot 3^{46} \cdot 5^{11} \cdot 7^{11})^2\cdot 1 \cdot 4 \cdot 1=2^{158} \cdot 3^{92} \cdot 5^{22} \cdot 7^{22}$ であるので $P$ の約数の個数は $\bf{7822323}$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/4748
　$\dfrac{355}{113}$ を十進法表記で表すとき，小数第 $1$ 位から小数第 $227$ 位までに現れる各位の数について $0$ を除いたものの**総積**を $P$ とします．$P$ の正の約数の個数を求めてください．ただし，$\dfrac{355}{113}$ の循環節の長さは $112$ であることが保証されます．

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　ここで**循環節**とは，小数点以下のある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数において，繰り返される数字の列の中で最も長さが短いものを指します．例えば，$\dfrac{1}{6}=0.166\cdots$ の循環節は $6$（長さ $1$），$\dfrac{1}{7}=0.142857142857\cdots$ の循環節は $142857$（長さ $6$）です．