　中央のマス目に $4$ の倍数（$4$ または $8$）を書き込む否かで場合分けを行う：
- 書き込むとき：他のマス目への書き込み方によらず条件をみたすため，$2 \times 8!$ 通り.
- 書き込まないとき：条件をみたすような $4$ と $8$ の書き込み方は $4$ 通りであるから，$4 \times 7!$ 通り．

以上により，条件をみたす書き込み方は $\bf{ 100800 }$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc001/editorial/3331
　$3 \times 3$ のマス目の各マスに，次の条件をみたすように $1$ 以上 $9$ 以下の整数を一度ずつ書き込む方法は何通りありますか？　ここで，回転や裏返しによって一致する書き込み方も区別します．

- どの $2 \times 2$ の部分マス目についても，その中に $4$ の倍数が書かれたマスが含まれている．

　なお，「$2\times 2$ の部分マス目」とは，隣接する $2$ 行と隣接する $2$ 列の共通部分となる $4$ マスのことをさします．