　一辺の長さが $28$ の正三角形 $DEF$ において，それぞれ辺 $DE,EF,FD$ 上にある点 $X,Y,Z$ が
$$DX=14,\quad EY=16,\quad FZ=16$$
をみたすとき，三角形 $PQR$ は三角形 $XYZ$ と合同である．よって，その面積は
$$\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times\lbrace28\times28-(12\times14+14\times16+12\times16) \rbrace =50\sqrt{3}=\sqrt{\textbf{7500}}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/2861
　余弦定理より，
 $$PQ = \sqrt{14^2 + 16^2 - 2 \cdot 14 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{228} \\\\
PR = \sqrt{14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{172} \\\\
QR = \sqrt{16^2 + 12^2 - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{208}$$ 
である．

　ヘロンの公式亜種([参照](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc189\/editorial\/4875\/344))より，求めるべき値は，三角形 $PQR$ の面積が
 $$\frac{\sqrt{2(228 \cdot 172 + 172 \cdot 208 + 208 \cdot 228) - (228^2 + 172^2 + 208 ^2)}}{4} = \frac{\sqrt{120000}}{4} = \sqrt{7500}$$ 
となることより $\textbf{7500}$ である．
計算で求める方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/2861/368
　余弦定理より，
- $PQ^2 = 14^2 + 16^2 - 2 \cdot 14 \cdot 16 \cdot \cos 60^{\circ} = 228$
- $PR^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos 60^{\circ} = 172$

となる．ここで，$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ と同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{\vphantom{b}a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{\vphantom{b}c}$ とすると，
$$\overrightarrow{\vphantom{b}a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{\vphantom{b}c} = \overrightarrow{\vphantom{b}c} \cdot \overrightarrow{\vphantom{b}a} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$$
が成立する．このとき，
$$ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} = (16\overrightarrow{b} - 14\overrightarrow{\vphantom{b}a}) \cdot (12\overrightarrow{\vphantom{b}c} - 14\overrightarrow{\vphantom{b}a}) = 96$$
となるから，三角形 $PQR$ の面積の $2$ 乗は
$$\dfrac{1}{4} \Bigl\\{ |\overrightarrow{PQ}|^2 |\overrightarrow{PR}|^2 - (\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR})^2 \Bigr\\} = \dfrac{1}{4} (228 \cdot 172 - 96^2) = \mathbf{7500}$$
と求まる．
ベクトルで求める方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/2861/371
　一辺の長さが $20$ の正四面体 $O-ABC$ において，それぞれ辺 $OA,OB,OC$ 上にある点 $P,Q,R$ が
$$OP=14,\quad OQ=16,\quad OR=12$$
をみたしました．このとき，三角形 $PQR$ の面積の $2$ 乗を求めてください．