${P}$から${BC}$に下ろした垂線の足を${H}$とする. $4$点${A,B,P,C}$は同一円周上にあるので,
$$
\angle{ ABP}+\angle{ ACP}=180^\circ. \tag{1}
$$
また, 円周角の定理の逆より, $4$点${M,B,P,H}$は同一円周上にあり,
$$
\angle{ ABP}=\angle{ MBP}=180^\circ-\angle{ PHM}.
$$
$4$点${N,C,H,P}$は同一円周上にあり,
$$
\angle{ ACP}=180^\circ-\angle{ PCN}=180^\circ-\angle{ PHN}.
$$
よって(1)が,
$$\begin{aligned}
&\quad (180^\circ-\angle{ PHM})+(180^\circ-\angle{ PHN})=180^\circ \\\\
&\iff \angle{ PHM}+\angle{ PHN}=180^\circ
\end{aligned}$$
となるので$3$点${H,M,N}$は同一直線上にある. すなわち, ${H}$は${MN}$と${BC}$の交点で${Q}$と一致する(Simsonの定理の逆). 円周角の定理の逆より,$4$点${M,B,P,Q}$は同一円周上にあり$\angle{ PBC}=\angle{ PMN}$,$4$点${N,C,Q,P}$は同一円周上にあり$\angle{ PCB}=\angle{ PNM}$であるから
$$
\triangle{ PBC}\sim\triangle{ PMN}.
$$
また, $4$点${A,M,P,N}$も同一円周上にあるので, Ptolemyの定理より,
$$\begin{aligned}
&\quad {AP}\cdot {MN}={AM}\cdot {PN}+{AN}\cdot {PM} \\\\
&\iff 25\cdot {MN}=20\cdot \sqrt{25^2-24^2}+24\cdot \sqrt{25^2-20^2} \\\\
&\iff {MN}=20.
\end{aligned}$$
$\triangle{ PBC}$と$\triangle{ PMN}$の相似比を$k:1~(k\gt0)$とすると, ${PB}=15k,{PC}=7k,{BC}=20k$となり, Heronの公式から,
$$
\triangle{ PBC}=\sqrt{21k\cdot 6k\cdot 14k\cdot k}=42k^2.
$$
また, ${PQ}\perp {BC}$より,
$$
\triangle{ PBC}=\dfrac{1}{2}\cdot {BC}\cdot {PQ}=\dfrac{1}{2}\cdot 20k\cdot 5=50k.
$$
これらが等しいことから,
$$\begin{aligned}
&\quad 42k^2=50k \\\\
&\iff k=\dfrac{25}{21}
\end{aligned}$$
であり,
$$
{BC}=\dfrac{500}{21}.
$$
ここで, 三角形の面積公式から,
$$
\triangle{ PBC}=\dfrac{1}{2}\cdot {PB}\cdot {PC}\cdot\sin{\angle{ BPC}}
=\dfrac{1}{2}\cdot 15k\cdot 7k\cdot\sin{\angle{ BPC}}
=\dfrac{105}{2}k^2\sin{\angle{ BPC}}.
$$
これが$42k^2$と等しいことから,
$$
\sin{\angle{ BPC}}=\dfrac{4}{5}.
$$
したがって, 正弦定理から$\Gamma$の半径$R$は
$$
R=\dfrac{{BC}}{2\sin{\angle{ BPC}}}=\dfrac{625}{42}.
$$
すなわち,求める値は$625+42=\textbf{667}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10037
シムソン線に気づかなくても，（回転）相似を見つければ以下のように容易に解けます．「シムソンの定理の逆」の証明を埋めているだけですが、$PQ\perp BC$ には気づかなくてもよいです．

---
三平方の定理により，$MP=15,NP=7$ が得られる．  
条件により，$A,B,P,C$ は同一円周上にあるから，円周角の定理より，$\angle{CAP} = \angle{CBP} = \angle{QBP}$  
また，$A,M,P,N$ も同一円周上にあるため，円周角の定理より，$\angle{CAP} = \angle{NAP} = \angle{NMP}=\angle{QMP}$  
よって，$\angle{QBP} = \angle{QMP}$ となるから，$Q,M,B,P$ は同一円周上にある．  
円周角の定理を使うことで，以下の二つが示せる．
$$
\angle{QPM}=\angle{QBM}=\angle{CBA}=\angle{CPA} \\\\
\angle{PMQ}=\angle{PMN}=\angle{PAN}=\angle{PAC}
$$
したがって，$\triangle{QPM} \sim \triangle{CPA}$ となるため，辺の比の条件から，
$$
PC = \frac{AP\cdot QP}{MP} = \frac{25}{3}
$$
となり，$\sin \angle{PAC} = \sin \angle{PAN} = \dfrac{7}{25}$ となるので，正弦定理から半径 $R$ は，
$$
R = \frac{PC}{2\sin \angle{PAC}} = \frac{625}{42}
$$
となる．
相似と正弦定理
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10037/360
　外接円を $\Gamma$ とする三角形 $ABC$ があり，$\Gamma$ の弧 $BC$ 上（$A$ を含まない方）に点 $P$ をとります．$P$ から直線 $AB,AC$ におろした垂線の足をそれぞれ $M,N$ とすると，$M$ は辺 $AB$ 上にあり，直線 $BC$ と直線 $MN$ が点 $Q$ で交わりました．
$$AP=25, \quad AM=20, \quad AN=24, \quad PQ=5$$
が成り立つとき，$\Gamma$ の半径を求めてください．ただし，答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．