　点 $A$ から $B$ へまっすぐ向かった場合にかかる秒数は $\dfrac{61}7$ 秒である．\
　以下，$x$ 軸を経て動く場合の最短秒数を求める．$B$ のかわりに $B^\prime(60,-4)$ をゴールとしてよい．

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**解法1.**　「$A$ から $x$ 軸への移動 $\to$ $x$ 軸での移動 $\to$ $x$ 軸から $B^\prime$ への移動」のみ考えればよい．さらに，平行移動などを考えることで，ある $s$ について $(0, 19)\to (19s,0) \to (60,0)$ という移動のみを考えればよいことがわかる．すなわち， $s$ を適当に選ぶことで，以下を最小化すればよい：
$$f(s)=\dfrac {\sqrt{(19s)^2+19^2}}7+\dfrac{60-19s}{25} = \dfrac{12}5+\dfrac{19}{175} (25\sqrt{s^2+1}-7s).$$
ここで正の実数 $a,b,c,d$ について $(ac-bd)^2-(a^2-b^2)(c^2-d^2)=(ad-bc)^2\geq 0$ なので
$$f(s)\geq \dfrac{12}5+\dfrac{19}{175} \sqrt{(25^2-7^2)\big((\sqrt {s^2+1})^2-s^2\big)}=\dfrac{876}{175}$$
であり，等号は $s=\dfrac{7}{24}$ で成り立ち問題の条件を満たす．

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**解法2.**　直線 $l\colon y=-\dfrac{24}7x$ を取り，点 $P,A,B^\prime$ から $l$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $P_l,A_l,B^\prime_l$ とする．$P$ が $x$ 軸上を動くときは $P_l$ は $l$ 上を秒速 $7$ で動き，それ以外のときは秒速 $7$ 以下で動く．よって $P_l$ が $A_l$ から $B^\prime_l$ に最短で動くのは $P_l$ が秒速 $7$ で動き続けるとき，すなわち $P$ が $x$ 軸上または $l$ に平行に動き続けるときで，このような $P$ の動きは実現可能である．この挙動の時にかかる秒数は計算により $\dfrac {876}{175}$ と求められる．

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　$\dfrac{61}7$ と $\dfrac{876}{175}$ の比較から求める最短秒数は $\dfrac {876}{175}$ であり，特に求める値は $\mathbf{1051}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/editorial/9630
　厳密かはわかりませんが，物理の波の分野の知識を使って答えを出しちゃいましょう．
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　$O(0,0)$ とします．解説と同じように $S(0,19) \to T(19s,0) \to U(60,0)$ の移動を考えましょう．$y \lt 0$ での点 $P$ の速度が $25$ だとしても最短移動時間には影響しないので，$y \lt 0$ での移動速度を $x$ 軸上と同じ $25$ だと考えます．

　フェルマーの原理を考えると，光は最短移動時間となるように動きます．これにより点 $P$ も光と同じ経路を動くと捉えます．すなわち，屈折の法則が成り立ちます．屈折の法則とは，入射角を $\theta_1$，屈折角を $\theta_2$，$y \gt 0$ での $P$ の移動速度を $v_1$，$y \le 0$ での $P$ の移動速度を $v_2$ としたとき，
$$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\frac{v_1}{v_2}$$
が成り立つというものでした．今回は $\theta _2 =90^\circ,v_1 =7,v_2=25$ なので $\sin \theta_1=7\/25$ です．これより $\triangle OST$ について，$\sin \angle OST=7\/25$ より $\tan \angle OST = 7\/24$ なので，
$$19s=OT={OS}\tan \angle OST = 19 \times \frac{7}{24}$$
が成り立ち，$s=7\/24$ を得ます．あとは $f(s)$ に代入して完了です．

**参考**\
wikipediaリンク１：[フェルマーの原理](https:\/\/ja.wikipedia.org\/wiki\/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86)\
wikipediaリンク２：[スネルの法則（屈折の法則）](https:\/\/ja.wikipedia.org\/wiki\/%E3%82%B9%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87)
屈折の法則
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/editorial/9630/663
　$x$ 軸で距離 $60-s$ だけ動く場合, [公式解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omcb024\/editorial\/9630)の**方法1**で使用した適切な平行移動により, この場合可能な最短時間が $A(0,15)$ から $(s,-4)$ まで秒速$7$ で, $(s,-4)$ から $B^\prime (60,-4)$ まで秒速 $25$ で動いたときにかかる時間と同一であることが分かる. すなわち最小化すべきは下記関数 $f(s)$ の値である.
$$
f(s)=\frac{60-s}{25}+\frac{1}{7}\sqrt{s^2+19^2}
$$

　上記関数を微分すると $f^\prime(s)=\frac{1}{7}\frac{s}{\sqrt{s^2+19^2}}-\frac{1}{25}$ となり, この関数は $0\le s\le 60$ の範囲で $s=\frac{133}{24}$ のときのみ $0$ となる. また $s\lt\frac{133}{24}$ の時は $f^\prime(s)\lt0$ で, $s\gt\frac{133}{24}$ の時は $f^\prime(s) > 0$ である. これらを総合すると $f(s)$ を最小化する $s$ の値は $\frac{133}{24}$ であることを分かる.

　代入すると, $f(\frac{133}{24})=\frac{876}{175}$ なので求めるべき値が $\bf{1051}$ である.

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　余談: $s=\frac{133}{24}$ を代入して計算する時, $f^\prime(s)=0$ から $\sqrt{s^2+19^2}=\frac{25}{7}s$ であることを利用すれば計算がはるかに容易になる.
微分でゴリ押す方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/editorial/9630/665
　$xy$ 平面上を点 $A(0, 15)$ から点 $B(60, 4)$ まで動点 $P$ が折れ線状（＝有限本の線分を継ぎ足したもの）に動きます．$x$ 軸の一部にあたる線分上では秒速 $25$ で，それ以外のところでは秒速 $7$ で動くとき，最短何秒で $A$ から $B$ にたどり着きますか？ただし，求める値は，互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac ab$ 秒と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．