$$(mn)^{61}\cdot n= 2^{1112} \cdot 3^{1111} \cdot 5^{1110} \cdot 7^{1109} \cdot 11^{1108}$$
より，例えば $mn,n$ が素因数 $2$ で割り切れる最大の回数をそれぞれ $a,b$ とすると次が成り立つ．
$$61a+b=1112,\quad 0\leq b\leq a$$
これより，$61a\leq 1112\leq62a$ がしたがい，$a=18$ がわかる．同様の議論を素因数 $3,5,7,11$ にも行うことで，
$$mn=2^{18}\cdot 3^{18}\cdot 5^{18}\cdot 7^{18}\cdot 11^{18}$$
を得る．よって $n$ の値は次のように求められる．
$$\begin{aligned}
n&=2^{1112-18\cdot 61} \cdot 3^{1111-18\cdot 61} \cdot 5^{1110-18\cdot 61} \cdot 7^{1109-18\cdot 61} \cdot 11^{1108-18\cdot 61}\\\\
&=2^{14} \cdot 3^{13} \cdot 5^{12} \cdot 7^{11} \cdot 11^{10} \\\\
\end{aligned}$$
以上より $n$ の正の約数の個数は $15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11=\mathbf{360360}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/9732
　$1110$ に近い数で $61, 62$ のいずれかの倍数を探すと $61×18=1098$ が見つかる．\
　つるかめ算の発想を用いよう．等式
$$\underbrace{61+61+ \cdots +61}_{\text{18個}}=1098$$
の $61$ のうち $k$ 個を $62$ に変えると，左辺は $1098+k$ となる．すなわち
$$\begin{aligned}
61×8+62×10 &= 1108\\\\
61×7+62×11 &= 1109\\\\
61×6+62×12 &= 1110\\\\
61×5+62×13 &= 1111\\\\
61×4+62×14 &= 1112
\end{aligned}$$
である．このことから次の式を得る．
$$2^{1112} \cdot 3^{1111} \cdot 5^{1110} \cdot 7^{1109} \cdot 11^{1108}= \left( 2^{4} \cdot 3^{5} \cdot 5^{6} \cdot 7^{7} \cdot 11^{8} \right)^{61} × \left( 2^{14} \cdot 3^{13} \cdot 5^{12} \cdot 7^{11} \cdot 11^{10} \right)^{62}$$
つるかめ算の発想
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/9732/603
　$m,n$ が $2$ で割り切れる回数を $m_2, n_2$ と書くと（← 本来 $v_2(m)$ のように書かれることが多いですが），
$$61m_2 + 62n_2 = 1112 \implies n_2 \equiv 1112 \equiv 14 \pmod{61}$$
を得るので，問題で与えられた一意性から $n_2=14$ が分かります．他の素数でも同様にすれば解けます．
一発解法？
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/9732/628
　正整数の組 $(m, n)$ であって次の等式をみたすものがただ一つ存在します．
$$m^{61}n^{62} = 2^{1112} \cdot 3^{1111} \cdot 5^{1110} \cdot 7^{1109} \cdot 11^{1108}$$
 $n$ の正の約数の個数を解答してください．