　$BC$ が $BA$ に重なるように，$B$ を中心に三角形 $QBC$ を回転させたものを $Q^\prime BA$ とすると，$QBQ^\prime$ は直角二等辺三角形であるから $QQ^\prime=9\sqrt{2}$ である．また $\angle PAQ^\prime=90^\circ$ であるから，位置関係としてあり得るものに留意することで，$CQ=AQ^\prime=8+\sqrt{(9\sqrt{2})^2-10^2}=8+\sqrt{62}$ を得る. 特に解答すべき値は $\textbf{70}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/1707
　$B$ から $AP$ に下ろした垂線の足を $R$，$BR$ と $CQ$ の交点を $S$ とすれば，四角形 $PQSR$ は長方形で，三角形 $ABR$ と三角形 $BCS$ は合同である．よって $AR=x$ とおけば，$$QS=PR=10-x，BS=x，CS=BR=x+8，CQ=CS-QS=2x-2$$ が成り立つ．三角形 $QSB$ に三平方の定理を適用すると $x=5\pm\dfrac{\sqrt{62}}{2}$ であるが，$x =5-\dfrac{\sqrt{62}}{2}$ の方は $P$ が正方形の外部に出てしまい，不適．よって $CQ=2\times\left(5+\dfrac{\sqrt{62}}{2}\right)-2=8+\sqrt{62}$ で，解答すべき値は $\bf{70}$ ．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/1707/327
　正方形 $ABCD$ において，三角形 $ADC$ の内部の点 $P$ と三角形 $ABC$の内部の点 $Q$ が
$$\angle APQ=\angle PQC=90^\circ,\quad AP=10,\quad PQ=8,\quad BQ=9$$
をみたすとき，線分 $CQ$ の長さを求めてください．ただし，求める値は正整数 $a,b$ によって $a+\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．なお，条件を満たす図は一意に存在します．