　対角線を一本ずつ書き足していくことを考えると, 求める領域の数は $(1+$対角線の本数$+$内部の対角線の交点数$)$ で表されることが容易にわかる. 正 $n$ 角形の対角線は $n(n-3)\/2$ 本で, それらの内部の交点は $n$ 頂点から $4$ つを選んでできる四角形と一対一に対応するから ${}\_{n}\mathrm{C}\_{4}$ 個である.\
　よって求める領域数は以下で与えられ, 特に解答すべき値は $\textbf{5796}$ である.
$$1+\dfrac{n(n-3)}{2}+{}\_{n}\mathrm{C}\_{4}=\dfrac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2-42n+24)$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc063/editorial/290
　頂点，辺，面の数がそれぞれ $v,e,f$ であるような平面的グラフにおいて，オイラーの多面体定理より $v-e+f=1$ が成り立つ．(ここでは，グラフの外側の領域は面とみなさないものとする．)\
 今回の場合， 対角線の交点の数がその対角線を持つ四角形の選び方に一対一対応することから ${}\_{n}\mathrm{C}\_{4}$ 個であるので， $v={}\_{n}\mathrm{C}\_{4}+n$ \
 また，対角線の交点の次数はいずれも $4$ であり，正 $n$ 角形の頂点の次数はいずれも $n-1$ であることから， $e=(4\times{}\_{n}\mathrm{C}\_{4}+n(n-1))\div2$\
 以上より， $f=-v+e+1=\dfrac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^3-42n+24)$ であり，特に解答すべき数値は $\dfrac{6\cdot23\cdot42\cdot24}{24}=\textbf{5796}$
オイラーの多面体定理の利用
https://onlinemathcontest.com/contests/omc063/editorial/290/119
　$n$ を $5$ 以上の奇数とします. 正 $n$ 角形の内部が対角線によって分割される領域の数は, 正整数 $a,b,c,d,e$ を用いて
$$\dfrac{1}{a}\left(n^4-bn^3+cn^2-dn+e\right)$$
と表せます. $\dfrac{bcde}{a}$ を解答してください. \
　ただし, 正 $n$ 角形の対角線 $3$ 本は, その選び方によらず内部の一点で交わらないことが証明できます.