　直線 $DH$ は直線 $BF$ を点 $A$ を中心に反時計回りに $90^{\circ}$ 回転したものであるため，点 $A$ と直線 $BF$ の距離を $d$ とすれば $AK^2=2d^2$ が成立．計算すれば直線 $BF$ の方程式は $3x-7y=9$ であるから $$AK^2=2\biggl(\frac{|9|}{\sqrt{3^2+7^2}}\biggr)^2=\frac{81}{29}$$
となり，特に解答すべき値は $\bf{110}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc009/editorial/60
　三角形 $AFB$ を $A$ を中心に $90^\circ$ 回転させると三角形 $AHD$ になるので，特に、 $BF$ と $DH$ は直交する．\
 $\angle{FKH}=\angle{FAH}=90^\circ$ から $A,F,G,H,K$ は共円となるので， $\angle{AKG}=\angle{AHG}=90^\circ$ \
同様に， $\angle{AKC}=90^\circ$ だから， $K$ は $A$ から直線 $CG:5x-2y=9$ に下ろした垂線の足である．\
 よって，${AG}^2=\frac{9^2}{5^2+2^2}=\frac{81}{29}$ であり，解答すべき数値は $\textbf{110}$ となる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc009/editorial/60/80
　座標平面上に正方形 $ABCD,EFGH$ があり,頂点はアルファベット順に従って反時計回りに並びます.
$$A=E=(0,0),C=(3,3),G=(1,-2)$$
であるとき, 直線 $DH$ と直線 $BF$ の交点を $K$ とすると, $AK^2$ は既約分数によって $\dfrac{M}{N}$ と表されます. $M+N$ を求めてください.