　四角形 $ABCD$ は一組の対辺が等しい内接四角形なので特に等脚台形である．$A$ から 辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とする．$ {AD}=2a$ とおくと，$BH = \dfrac{1}{2}(BC - AD) = a$ であるから，三角形 $ABC$ に対する三平方の定理より，
$$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{4-a^2}$$
を得る．従って，四角形 $ {ABCD}$ の面積について，以下のような方程式が立てられる．
$$6=\frac12\times AH\times(AD+BC) = 3a\sqrt{4 - a^2}$$
これを解いて $a^2=2$ が分かるので，$ {BC}^2=(4a)^2=\mathbf{32}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editorial/6404
$\mathrm{AD}=x$とおくと、$\mathrm{BC}=2x$である。ここで、

$$s=\dfrac{x+2x+2+2}{2}=\dfrac{3x}{2}+2$$

であるので、ブラーマグプタの公式より

$$6=\sqrt{(s-2x)(s-x)(s-2)(s-2)}=\sqrt{\left(4-\dfrac{x^2}{4}\right)\cdot \dfrac{9x^2}{4}}$$

$$4=\left(4-\dfrac{x^2}{4}\right)\cdot \dfrac{x^2}{4}$$

整理すると

$$\left(\dfrac{x^2}{4}-2\right)^2=0$$

より$x^2=8$を得る。特に答えは$(2x)^2=4x^2$である。
ブラーマグプタの公式
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editorial/6404/509
　円に内接する凸四角形 $ {ABCD}$ について，
$$ {AB}= {CD}=2, \quad {BC}=2 {AD}$$
 が成り立ちました．四角形 $ {ABCD}$ の面積が $6$ のとき，$ {BC}$ の長さの $2$ 乗を解答してください．