　$AC=x$ とおけば，三角形の成立条件により以下が成立し，$1 \lt x \lt 2001$ を得る：
$$x + 1001 \gt 1000,\quad x+1000 \gt  1001,\quad 1000+1001 \gt x.$$
さらに，角度の条件により $x \lt 1000$ が必要であるから，結局 $1 \lt x \lt 1000$ なる正整数 $x$ の数を求めればよく，これは $\bf{998 }$ 個である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc163/editorial/2149
　以下の条件をみたす三角形 $ABC$ において，辺 $AC$ の長さとしてありうる正整数値はいくつありますか？
$$AB=1000,\quad BC=1001,\quad \angle B \lt \angle C$$