　展開した形を考えることで，$ N=2^2\times3^3\times5^5\times7^7 $ について
$$\begin{aligned}
Y(N) &= \\{(2^0+2^2)(5^0+5^2+5^4)+2^1(5^1+5^3+5^5)\\}(7^0+7^1+\cdots+7^7) \\\\
&= 15(5^0+5^2+5^4)(7^0+7^1+\cdots+7^7)
\end{aligned}$$
よって，求める商について，
$$\frac{(2^0+2^1+2^2)(3^0+3^1+3^2+3^3)}{15}\times\frac{5^0+\cdots+5^5}{5^0+5^2+5^4}\times\frac{7^0+\cdots+7^7}{7^0+\cdots+7^7}$$
これは $7\times40\times(1+5)\times1\div15=\textbf{112}$ に等しい．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/editorial/3157
　正整数 $N$ に対して，その正の約数の総和を $X(N)$ とし，特に $3$ で割って $1$ 余る正の約数の総和を $Y(N)$ で表します．このとき，$ N=2^2\times3^3\times5^5\times7^7 $ について，
$$ \dfrac{X(N)}{Y(N)} $$
の値を求めてください．