　一般に $BC=a,AC=b,AB=c,ID=r\\,(b\neq c)$ として考える. ただし, 点 $I$ は $ABC$ の内心である. \
　簡単な角度計算によって $P$ は $IBC$ の垂心であることが分かるから, $PD$ は $\omega$ の直径である. これより, 直線 $AP$ と $BC$ の交点を $S_A$ などとすれば, well-known factとして $BS_A=CD$ である. 一方で $BS_C=CS_B=a$ であるから, これらよりCevaの定理を用いて立式すれば, $3a=b+c$ が成立することが確認できる.\
　ここで, 三角形 $ABC$ の面積について $s=(a+b+c)\/2$ を用いて表せば
$$sr=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
$3a=b+c$ より $s=2a$ であるから, 整理すると $2r=\sqrt{2(bc-2a^2)}$ を得る.\
　$D$ について $L$ と対称な点を $M$ とすれば, $P$ が $IBC$ の垂心であることから
$$DM\times DK=DL\times DK=BD\times CD=DI\times DP$$
すなわち $P,I,M,K$ は共円, $PM$ はその直径である. よって $DL=DM=MP$ であり, 中線定理などから
$$PX^2=PL^2-LX^2=PL^2+PM^2-2DL^2=2PD^2=8r^2$$
本問では  $(a,b,c)=(11904,17296,18416)$ であるから, $PX^2=4(bc-2a^2)=\textbf{140450816}$ である.
![figure 1](\/images\/aC3KXYoKqAncHTW2WBYnj9aJ2qekBvdLspJVSRcD)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/editorial/1609
　$AB=18416,AC=17296$ なる三角形 $ABC$ において, 内接円を $\omega$ とし, $\omega$ 上の点 $P$ が以下をみたします：
$$\angle PBC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C,\quad \angle PCB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B$$
$\omega$ と $BC$ の接点を $D$ とし, 直線 $AD$ が $\omega$ と再び交わる点を $K$, 直線 $AD$ が三角形 $BCK$ の外接円と再び交わる点を $L$ とします. $LD=LX,\angle PXL=90^\circ$ をみたす点 $X$ について, $PX$ の長さの $2$ 乗を求めてください.