　点 $D$ を線分 $CD$ が三角形 $ABC$ の外接円の直径となるようにとる．簡単な角度計算より，$D$ は直線 $CP$ 上にある．三角形 $ACP,DBP$ は相似なので，次が成り立つ．
$$BD=BP\cdot \frac{CA}{CP}=\frac{35}{8}$$
これと $\angle DBC=90^\circ$ より，三平方の定理から，直径 $CD$ の長さの $2$ 乗は
$$BD^2+BC^2=\frac{4361}{64}$$
である．特に解答すべきは $\bf4425$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/editorial/11126
　$ \angle ABC =\theta, \angle BAC= \phi, \angle BPC=\alpha$ とおいて，$\triangle APC, \triangle BPC$ に正弦定理を適用する．

- $\dfrac{7x}{\sin \alpha}=\dfrac{8x}{\sin \phi}$
- $\dfrac{7}{\sin \alpha}=\dfrac{8x}{\sin \theta}=\dfrac{5}{\cos \phi}$

である．これより$\dfrac{8}{\sin \phi}=\dfrac{5}{\cos \phi}$ を得るので，$\sin \phi=\dfrac{8}{\sqrt{89}}$ である．あとは正弦定理を用いればよい．
三角比
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/editorial/11126/761
　$BC=7$ なる三角形 $ABC$ において，辺 $AB$ 上に点 $P$ をとると，以下が成立しました．
$$\angle ABC + \angle ACP=90^\circ,　CA:CP=7:8,　BP=5$$

　このとき，三角形 $ABC$ の外接円の**直径**の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b}}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．