　直線 $BC$ に対し $A$ と反対側に, 以下をみたす点 $X$ をとると, $XB=XC=9$ である.
$$\cos\angle XBC=\cos\angle XCB=\dfrac{8}{9}$$
さらに, 接弦定理より三角形 $ABP$ の外接円と直線 $XB$, 三角形 $AQC$ の外接円と直線 $XC$ はそれぞれ接するから, $X$ は三角形 $ABP$ の外接円および三角形 $AQC$ の外接円の根軸上にある. すなわち $A,R,X$ は同一直線にある.\
　よって, $RX=x, AB=y$ とおくと, $\triangle XBE\sim\triangle XAB$ より
$$x:9:7=9:(x+12):y$$
これを解いて以下を得るから, 特に解答すべき値は $\textbf{37}$ である. 
$$x=3\sqrt{13}-6,\quad y=\dfrac{7\sqrt{13}+14}{3}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1890
　$BC=16$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に以下をみたす点 $P, Q$ をとりました.
$$\cos\angle BAP=\cos\angle CAQ=\frac{8}{9}$$
このとき, 三角形 $ABP$ の外接円と三角形 $ACQ$ の外接円は, $A$ でない三角形 $ABC$ の内部の点 $R$ で交わり,
$$AR=12,\quad BR=7$$
が成立しました. $AB$ の長さを求めてください. ただし, 求める値は正の整数 $a,b,c,d$ (ここで $b$ は平方因子を持たず, $a,c,d$ の最大公約数は $1$ ) を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}+c}{d}$ と表されるので, $a+b+c+d$ を解答してください.