　$F_1 = F_2 = 1$ かつ任意の整数 $n$ に対して $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$ を満たすように数列 $\\{F_n\\}$ を定めると，$$f(n,m) = (-1)^{n+m}F_{n-m-2} + F_{m+2}$$ であることが帰納的に確かめられる．従って，$F_{-n} = (-1)^{n+1}F_{n}$ に気をつければ，
$$(-1)^{a}F_{7880-a} + F_{a+2} = F_{3943} - F_{3939}$$
を満たす正の整数 $a$ を求めれば良いことが分かる．$a$ が $3942$ 以上または $3936$ 以下のとき，
$$|(-1)^aF_{7880-a} + F_{a+2}| \ge |F_{a+2} - F_{|7880 - a|}| \ge  F_{3944} - F_{3938} \gt  F_{3943} - F_{3939}$$
より不適であるから，それ以外の場合についてそれぞれ計算することで，適するのは $a = 3938,3940,3941$ であることが分かる．特に，解答すべき値は $\bf{11819}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/4190
　公式解説同様
$$f(n,m)=(-1)^{n+m}F_{n-m-2}+F_{m+2}$$
である. $x^2-x-1=0$ の $2$ 解を, $\alpha,\beta$ とすると, $n$ が偶数のとき, 
$$
\begin{aligned}
f(n,m)&=(-1)^{n+m}\frac{\alpha^{n-m-2}-\beta^{n-m-2}}{\alpha-\beta}+\frac{\alpha^{m+2}-\beta^{m+2}}{\alpha-\beta}\\\\
&=\frac{(-\alpha)^{n-m-2}-(-\beta)^{n-m-2}+\alpha^{m+2}-\beta^{m+2}}{\alpha-\beta}\\\\
&=\frac{(-\alpha)^n(-\alpha)^{-m-2}-(-\beta)^n(-\beta)^{-m-2}+\alpha^{m+2}-\beta^{m+2}}{\alpha-\beta}\\\\
&=\frac{\alpha^n\beta^{m+2}-\beta^n\alpha^{m+2}+\alpha^{m+2}-\beta^{m+2}}{\alpha-\beta}\\\\
&=\frac{\beta^{m+2}(\alpha^{n}-1)-\alpha^{m+2}(\beta^{n}-1)}{\alpha-\beta}\\\\
&=\frac{\alpha^{n\/2}\beta^{m+2}(\alpha^{n\/2}-\alpha^{-n\/2})-\beta^{n\/2}\alpha^{m+2}(\beta^{n\/2}-\beta^{-n\/2})}{\alpha-\beta}\\\\
&=\frac{(-\beta)^{-n\/2}\beta^{m+2}(\alpha^{n\/2}-(-\beta)^{n\/2})-(-\alpha)^{-n\/2}\alpha^{m+2}(\beta^{n\/2}-(-\alpha)^{n\/2})}{\alpha-\beta}\\\\
&=(-1)^{n\/2}\frac{\beta^{m+2-(n\/2)}(\alpha^{n\/2}-(-\beta)^{n\/2})-\alpha^{m+2-(n\/2)}(\beta^{n\/2}-(-\alpha)^{n\/2})}{\alpha-\beta}\\\\
&=(-1)^{n\/2}\frac{\beta^{m+2-(n\/2)}(\alpha^{n\/2}-(-\beta)^{n\/2})+(-1)^{n\/2}\alpha^{m+2-(n\/2)}(\alpha^{n\/2}-(-\beta)^{n\/2})}{\alpha-\beta}\\\\
&=\frac{(\alpha^{m+2-(n\/2)}+(-1)^{n\/2}\beta^{m+2-(n\/2)})(\alpha^{n\/2}-(-\beta)^{n\/2})}{\alpha-\beta}
\end{aligned}
$$
となる. ($n-m-2$ と $n+m$ の偶奇が一致すること, $n$ が偶数であることと, $\alpha\beta=-1$ などを用いた.)
よって, $f(7882,a)=f(4,3941)$ は以下のように変形できる.
$$
\begin{aligned}
f(7882,a)&=f(4,3941)\\\\
\iff \frac{(\alpha^{a+2-(7882\/2)}+(-1)^{7882\/2}\beta^{a+2-(7882\/2)})(\alpha^{7882\/2}-(-\beta)^{7882\/2})}{\alpha-\beta}
&=\frac{(\alpha^{3941+2-(4\/2)}+(-1)^{4\/2}\beta^{3941+2-(4\/2)})(\alpha^{4\/2}-(-\beta)^{4\/2})}{\alpha-\beta}\\\\
\iff\frac{(\alpha^{a-3939}-\beta^{a-3939})(\alpha^{3941}+\beta^{3941})}{\alpha-\beta}&=\frac{(\alpha^{3941}+\beta^{3941})(\alpha^{2}-\beta^{2})}{\alpha-\beta}\\\\
\iff\frac{\alpha^{a-3939}-\beta^{a-3939}}{\alpha-\beta}&=\frac{\alpha^{2}-\beta^{2}}{\alpha-\beta}\\\\
\iff F_{a-3939}&=F_{2}\\\\
\end{aligned}
$$
よって, $a-3939=-1,1,2$ であり, 求める $a$ は $3938,3940,3941$ である.
不等式評価を使わない方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/4190/645
　正の整数 $2$ つの組に対して定義され整数値をとる関数 $f$ は，任意の正の整数 $n, m$ に対して以下をみたします：
- $f(n, m) + f(n, m+1) = f(n, m+2)$
- $f(n,1) + 1 = f(n+1, 2)$
- $f(n,2) + 2 = f(n+1, 3)$
- $f(1,1) = f(1,2) = 1$

このとき，$f(7882,a) = f(4,3941)$ となりうる正の整数 $a$ の総和を求めてください．