　 $10^5=2^5\cdot5^5$ の約数は $2^a\cdot5^b　(a,b\in\lbrace 0,1,2,3,4,5\rbrace)$ とおける．\
$$2^a\cdot5^b\equiv(-1)^{a+b}\mod3$$
なので約数 $2^a\cdot5^b$ が $3$ で割った余りが $1$ であることは $a,b$ の偶奇が一致することと同値である．よって求める総和は
$$(2^0+2^2+2^4)(5^0+5^2+5^4)+(2^1+2^3+2^5)(5^1+5^3+5^5)=\mathbf{150381}．$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc215/editorial/9285
　 $10^5$ の正の約数であって $3$ で割った余りが $1$ であるものの総和を求めてください．