　操作が行えなくなるのは, $(1,1)$ を除く任意の $(i,j)$ に対して $N(i,j)=0$ となったときであることに留意する.\
　求めるべき最大値を $M$ とおき, ある時点での盤面の状態に対して整数 $S$ を以下で定める：
$$S=\sum_{1\le i,j\le16}2^{i+j-2}N(i,j)+(\textrm{今まで操作を行った回数})$$
このとき, $S$ は操作によって $2^{a+b-2}N(c,d)-1$ 減少する. 特に $S$ は広義単調減少であり, 
$$\sum_{1\le i,j\le16}2^{i+j-2}N(i,j)\ge\sum_{1\le i,j\le16}N(i,j)$$
に留意すれば $M$ は初期状態での $S$ 以下である. 初期状態での $S$ を $S_0$ とおく.\
　以下, $M=S_0$ の可能性を考える. 操作が行えなくなるとき, 上の不等式は等号となる. また, 操作によって $S$ が変化しないための必要十分条件は $(a,b)=(1,1),N(c,d)=1$ である.\
　これより, $N(c,d)=1$ なる $(c,d)\neq(1,1)$ のうち $c+d$ が最小のもののひとつを選び, $(a,b)=(1,1)$ とした操作を, 行えなくなるまで適当に繰り返すことで, $M=S_0$ が成立することが確認できる.\
　したがって, $M=S_0=(2^{16}-1)^2=\mathbf{4294836225}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/editorial/2421
　$16\times16$ のマス目があり，上から $i$ 行目，左から $j$ 列目にあるマスを $(i,j)$ で表します．また，$(i,j)$ には非負整数 $N(i,j)$ がひとつずつ書かれています．\
　はじめ，すべてのマス $(i,j)$ について $N(i,j)=1$ です．\
　ここへ，次の一連の操作を**可能な限り**繰り返し行うことを考えます．

- $a\le c, b\le d, N(c,d)\gt0$ をみたす相異なるマス $(a,b), (c,d)$ を選ぶ．
- $(a,b)$ から $(c,d)$ まで，辺を共有するマス目を辿っていける経路のうち最短のものを $1$ つ選び，その経路上にある $(c,d)$ 以外の $c+d-a-b$ マスに書かれた数すべてに $N(c,d)$ をそれぞれ加算する．
- $N(c,d)$ を $0$ にする．

　最後の操作を終了した時点において，「$256$ マスの値の総和」と「それまでに行った操作の回数」の合計としてありうる最大値を求めてください． 

<details>
<summary>操作の例<\/summary>
　以下の図において，$(a,b)=(2,1), (c,d)=(4,4)$ を選び，最短経路として色の塗られたマスを選んだとき，マス目に書かれた数は次のように変化します．
![figure 1](\/images\/m6wExtwfSJWd0gLoQSXsw4Xa6Cfa7JsQxmQnrstI)
<\/details>