$$\angle PMN=\angle PDA= \angle BDA = \angle BCA = \angle PCB$$
であるので，直線 $BC$ と直線 $MN$ は平行である．また，$M, N$ はそれぞれ線分 $AC, BD$ の中点であったから，直線 $AD$ は直線 $BC, MN$ は平行であることがわかる．よって，四角形 $ABCD$ は $AB = CD$ なる等脚台形である．したがって，
$$AP=DP= AM\cdot\frac{AP}{AP - MP} = 10$$
であるから，
$$\cos \angle CAD=\dfrac{AD}{2AP} = \frac{3}{5}$$
である．また，
$$BP = DP\cdot\frac{BP}{DP} = AP\cdot\frac{AM - PM}{AP} = 4$$
であるので，余弦定理より
$$CD = AB=\sqrt{BP^2 + AP^2 - 2BP\cdot AP\cos2\angle CAD} = \sqrt{\dfrac{692}{5}}$$
よって，求める半径は
$$\dfrac{CD}{2\sin\angle CAD}=\dfrac{\sqrt{865}}{4}$$
であり，特に解答すべき値は $\bf869$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb025/editorial/10282
　四角形 $ABCD$ が円 $\Gamma$ に内接しています．$AC$ と $BD$ の交点を $P$ とし，$AC,BD$ の中点をそれぞれ $M,N$ とします．このとき，$M,N$ はそれぞれ線分 $AP,DP$ 上にあり，四角形 $AMND$ は円に内接しました．さらに，
$$MP:DP=3:10, \quad AM=7, \quad AD=12$$
が成立するとき，$\Gamma$ の半径を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．