　結論から述べると, 以下のように分割されることが分かる：

- 一・四段目について, 体積 $1\/6$ が $6$ つ, 体積 $1\/2$ が $2$ つ, 体積 $2\/3$ が $2$ つである.
- 二・三段目について, 体積 $1\/6$ が $6$ つ, 体積 $2\/3$ が $4$ つ, 体積 $5\/6$ が $2$ つ, 体積 $1$ が $2$ つである.

それぞれの体積の小立体は, その上面および下面の形状によって以下のように判断可能である：

- 体積 $1\/6$ のもの：$1$ 点および直角二等辺三角形
- 体積 $1\/2$ のもの：対角線および直角二等辺三角形
- 体積 $2\/3$ のもの：対角線および正方形, または向きの違う $2$ つの直角二等辺三角形
- 体積 $5\/6$ のもの：直角二等辺三角形および正方形
- 体積 $1$ のもの：$2$ つの正方形

これより, 求める総積は以下のように計算でき, 解答すべき値は $\textbf{180}$ である.

$$\left(\dfrac{1}{6}\right)^{24}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4}\times1^4=2^{-20}\times 3^{-40}\times 5^4$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc143/editorial/1914
　一辺 $4$ の立方体 $ABCD-EFGH$ を，一辺 $1$ の立方体 $64$ 個に分割すると，正四面体 $BDEG$ も複数の立体に分割されます．このとき，正四面体 $BDEG$ が分割された結果として得られるそれぞれの立体の体積の**総積**は，相異なる素数 $p,q,r$ および整数 $s,t,u$ によって $p^sq^tr^u$ と表せます．次の値を解答して下さい：
$$p\times |s|+q\times |t|+r\times|u|.$$
　ここで，立体は正の体積を持つもののみを指すものとします．