　方べきの定理より $AB=\sqrt{BD\cdot{BC}}=60=AC$ であるから $\angle ABD=\angle ACD$．一方で接弦定理より $\angle ACD=\angle BAD$ が成り立つため，$\angle ABD=\angle BAD$ より $AD=BD=\textbf{40}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc171/editorial/3253
　三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D$ があり，三角形 $ACD$ の外接円は点 $A$ で直線 $AB$ と接しています．
$$AC=60,\quad BD=40,\quad CD=50$$
が成り立つとき，線分 $AD$ の長さを求めてください．