　$a_1 + a_4 + a_7 = x, \gcd(a_1, a_4, a_7) = g$ とおく．$\dfrac{x}{g}$ は整数であり，またある整数 $k$ を用いて
$$a_2+a_3=k\cdot \frac{a_1}{g},\quad a_5+a_6=k\cdot \frac{a_4}{g},\quad a_8+a_9=k\cdot \frac{a_7}{g}$$
と表されるから，
$$a_2+a_3+a_5+a_6+a_8+a_9=k\cdot \frac{x}{g}$$
である．よって $a_1+a_2+\cdots+a_9=45$ は $\dfrac{x}{g}$ の倍数であるから，$\dfrac{x}{g}$ は $45$ の約数であり，特に $9$ または $15$ である．

- $g = 1$ のとき
   - $x = 9$ のとき，$4a_7 = a_8 + a_9 \leq 17$ より $(a_1, a_4, a_7) = (2, 3, 4)$．
   - $x = 15$ のとき，$2a_1 = a_2 + a_3 \geq 3, 2a_7 = a_8 + a_9 \leq 17$ より
$$(a_1, a_4, a_7)=(2, 5, 8), (2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6).$$
* $g = 2$ のとき\
$x = 18$ が必要で，$(a_1, a_4, a_7) = (4, 6, 8)$．
* $g \geq 3$ のとき，$x \geq 9g \geq 27$ より不適．

$(a_1, a_4, a_7) = (2, 3, 4)$ のとき $(a_2 + a_3, a_5 + a_6, a_8 + a_9) = (8, 12, 16)$ であるが，これを満たす $6$ 数の組は存在しない．残りの場合についてはそれぞれ一意に $6$ 数の組が存在して，求める値は $213546879 + 213648759 + 315426879 + 324519768 + 417528639 + 415627839 = \bf{1900298763}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/editorial/6078
　$(1, 2, \ldots , 9)$ の並べ替え $(a_1, a_2, \ldots , a_9)$ について，以下が成り立ちました：

- $\dfrac{a_1}{a_2 + a_3} = \dfrac{a_4}{a_5 + a_6} = \dfrac{a_7}{a_8 + a_9}$．
- $a_1 \lt a_4 \lt a_7$ かつ $a_2 \lt a_3$ かつ $a_5 \lt a_6$ かつ $a_8 \lt a_9$．

ありうるすべての並べ替えに対して，$a_1,a_2,\ldots,a_9$ をこの順につなげて得られる $9$ 桁の数を考え，それらの総和を求めてください．