　$f$ の値域を $T$ とおくと, 以下の形式であることが必要十分条件となる.
$$\begin{cases} f(x)=x & (x\in T)\\\\ f(x)\in T & (x\notin T)\end{cases}$$
よって, $k=|T|$ として集合 $T$ の要素の選び方を考えれば,
$$M= \sum _{k=1} ^6 {6 \choose k} k^{6-k}= \bm{1057}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc071/editorial/2866
　集合 $\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$ を $S$ とおきます. 関数 $f:S \rightarrow S$ であって, 任意の $x \in S$ に対して
$$f(f(x))=f(x)$$
をみたすものは $M$ 個存在します. $M$ を解答してください.