　動かす円を $C$ ,その中心を $P$ とし，$A(0,1),B(0,-1)$ とする．また，$A,B$ それぞれを中心とする半径 $2$ の円をそれぞれ $C_1,C_2$ とする．このとき，$PA=PB=\dfrac{1}{\cos \alpha}$ となり，中心の距離と半径の関係より円 $C$ は円 $C_1$ と円 $C_2$ に内接しながら動くことがわかる．これより，求める通過領域は，$x\geq 0$ の範囲では円 $C_1$ と円 $C_2$ の共通部分であり，$x\leq 0$ の範囲では $\alpha=0$ のときの円 $C$ の半円であることがわかる．よって，通過領域の面積は以下の値になる．
$$\Bigl(\dfrac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\Bigr)+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{11\pi}{6}-\sqrt{3}$$
特に解答すべき値は $\mathbf{20}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/4575
　参考:[高校数学の美しい物語](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1178) \
　筆者の勉強不足につき, 若干厳密性を欠くと思います.
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　曲線の方程式は実数 $\alpha$ を用いて, 
$$f(x,y,\alpha)=(x-\tan \alpha)^2+y^2-(2-\frac{1}{\cos \alpha})^2=0$$
 と表される. このとき, 
$$\frac{d}{d\alpha}f(x,y,\alpha)=-\frac{2}{\cos^2\alpha}(x-2\sin \alpha)=0$$
となり, $f(x,y,\alpha)=0$ と $\dfrac{d}{d\alpha}f(x,y,\alpha)=0$ を連立して $\alpha$ を消去して得られる方程式が, $f(x,y,\alpha)=0$ の包絡線(任意の $\alpha$ に対して, $f(x,y,\alpha)=0$ に接する曲線)となることが知られている.\
 　$\dfrac{d}{d\alpha}f(x,y,\alpha)=0$ より, $\sin \alpha=\dfrac{1}{2}x$ を $f(x,y,\alpha)=0$ に代入してみる. ($\cos \alpha=0$ のとき曲線が定義されないので, 以降も $\cos \alpha\neq 0(\iff \sin^2\alpha-1\neq 0)$ として式変形する.)
$$
\begin{aligned}
&(x-\tan \alpha)^2+y^2-(2-\frac{1}{\cos \alpha})^2=0\\\\
\iff & x^2-2\tan\alpha x+y^2+\frac{4}{\cos\alpha} -4+\tan^2\alpha-\frac{1}{\cos^2\alpha}=0\\\\
\iff &x^2+y^2-5=\frac{2\sin \alpha x-4}{\cos \alpha}\\\\
\implies &(x^2+y^2-5)^2=\frac{(2\sin \alpha x-4)^2}{1-\sin^2 \alpha}\\\\
\iff &(x^2+y^2-5)^2=\frac{(x^2-4)^2}{1-(\frac{x}{2})^2}\\\\
\iff &(x^2+y^2-5)^2+4(x^2-4)=0\\\\
\iff &x^4+y^4+2x^2y^2-10x^2-10y^2+25+4x^2-16=0\\\\
\iff &x^4+(2y^2-6)x^2+(y^4-10y^2+9)=0\\\\
\iff &x^4+(2y^2-6)x^2+(y^2-9)(y^2-1)=0\\\\
\iff &x^4+(2y^2-6)x^2+(y-3)(y+1)(y+3)(y-1)=0\\\\
\iff &x^4+(2y^2-6)x^2+(y^2-2y-3)(y^2+2y-3)=0\\\\
\iff &(x^2+y^2-2y-3)(x^2+y^2+2y-3)=0\\\\
\iff &(x^2+(y-1)^2-4)(x^2+(y+1)^2-4)=0\\\\
\end{aligned}
$$
よって, $f(x,y,\alpha)=0$ の包絡線は $(0,1)$ を中心とする半径 $2$ の円と $(0,-1)$ を中心とする半径 $2$ の円であることが計算により得られた.
包絡線の話
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/4575/522
　$\tan \alpha =a$ とおくと $\dfrac{1}{\cos \alpha}=\sqrt{a^2+1}$ である．この $a$ を用いて，問題文の円周のグラフは次のように表される：
$$\tag{1} (x-a)^2+y^2=(2-\sqrt{a^2+1})^2$$
　$0 \leq a \leq \sqrt{3}$ の範囲で $a$ を増加させると，円の中心は右に移動していき，円の半径は単調に減少する．このことから $x\lt 0$ の範囲では領域 $x^2+y^2 \leq 1$ を通過していく．\
　次に $x \geq 0$ の範囲を考える．$x$ を固定させたときの $y$ の値域を求めよう．本問であれば $y$ の最大値さえ求めれば十分である．\
　式 $(1)$ を $y^2=$ の形に変形し，$a$ についての関数だと見て極値を求める．\
　$\dfrac{d}{da} y^2=0$ を解くと $a^2=\dfrac{x^2}{4-x^2}$ を得る．これを式 $(1)$ に代入して変形すると，次を得る：$y=\sqrt{4-x^2}-1$\
　この式は $x^2+(y-1)^2=4$ と書き換えることが可能である．よって $x$ を固定したときの $y$ の最大値の候補は，以下のいずれかである．
- $a=0, \sqrt{3}$ における式 $(1)$ から求まる $y$
- 式 $x^2+(y+1)^2=4$ から求まる $y$

　図示すれば，後者であることは容易に確かめられる．\
　あとは対称性から求めるべき領域がわかるので，面積を求めればよい．

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　なお本解説では途中計算を割愛したが，$\dfrac{d}{da} y^2=0$ を解き，その結果を式 $(1)$ に代入するところは，それなりに計算が面倒である．
代数的に解く方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/4575/532
本質的には [代数的に解く方法](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omcb012\/editorial\/4575\/532) と全く等しいが, 変数変換も図形的洞察も用いずに, 微分を含む式変形と場合分けで厳密に解ける.

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円周の方程式は
$$
y^2 = - \left(x-\tan{\alpha}\right)^2 + \left(2-\frac{1}{\cos{\alpha}}\right)^2 
$$
で表され, この右辺を $f(\alpha, x)$ とする. 各 $x$ に対して,
$$
g(x)=\max_{\alpha \in \left[0, \ \frac\pi 3 \right]}f(\alpha, x)
$$ を知りたい.

$$
\frac{\partial f(\alpha, x)}{\partial \alpha}=\frac{2}{\cos^2 \alpha}\left(x-2\sin{\alpha}\right)
$$

$x\lt 0$ のとき, $g(x)=f(0, x)=-x^2+1$.\
$0\leq x\leq\sqrt{3}$ のとき, $g(x)=f\left(\arcsin{\frac x 2}, x\right)=\left(\sqrt{-x^2+4}-1 \right)^2 \geq 0$.\
$x\gt \sqrt{3}$ のとき, $g(x)=f\left(\frac\pi 3, x\right)=-\left(x-\sqrt 3 \right)^2 \lt 0$.

円周の通過領域は, $g(x)\geq 0$ なる $x$ 上で $|y|\leq \sqrt{g(x)}$ で表される部分で, その面積は
$$
2\left(\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2+1} \ \mathrm{d}x + \int_{0}^{\sqrt{3}} \left(\sqrt{-x^2+4}-1\right) \mathrm{d}x\right)=\frac{11}{6}\pi-\sqrt{3}
$$
である.
順像法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/4575/551
　$0\leq \alpha\leq \dfrac{\pi}{3}$ の範囲で実数 $\alpha$ を動かすとき， $(\tan \alpha,0)$ を中心に持つ半径 $2-\dfrac{1}{\cos \alpha}$ の円周が通過する領域の面積を求めてください．\
　ただし，求める答えは，正整数 $a,b,c$ を用いて，$\dfrac{a}{b}\pi-\sqrt{c}$ と表せるので（ただし $a,b$ は互いに素），$a+b+c$ の値を解答してください．