　与式は $(\sqrt{x-4}+2)^2$ と変形できるため，これが平方数である事から $\sqrt{x-4}$ が整数であれば良い．よって $x$ は非負整数 $m$ を用いて $x=m^2+4$ と書けるため，$0\le{m^2}\le{996}$ より $0\le{m}$$\le{31}$ なので，$\bf{32}$ が求めるべき値である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb021/editorial/11093
　公式解説にある通り，以下のように式変形できるわけだが，その方法を二通り記しておく．
$$x+4 \sqrt{x-4}=(\sqrt{x-4}+2)^2$$

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（方法１）二重混合を外すような発想
$$x+4 \sqrt{x-4}=x+2\sqrt{4(x-4)}$$
である．ある実数 $a, b$ が存在して，$a+b=x, ab=4(x-4)$ を満たすものがあれば，$x+2 \sqrt{4(x-4)}$ はある式の二乗の形になる．\
　そこで $t$ についての方程式 $t^2-tx+4(x-4)=0$ を解くと $t=4, x-4$ である．したがって
$$x+2\sqrt{4(x-4)}=(\sqrt{4}+\sqrt{x-4})^2=(\sqrt{x-4}+2)^2$$

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（方法２）作問者を信じる\
　「$x+4 \sqrt{x-4}$ が，きれいな形で何かの二乗になるはずだ」と信じよう．式中に $\sqrt{x-4}$ が存在するので $x=(x-4)+4$ と変形してみたくなる．このように考えて式変形すると，そこまで大きな飛躍もなく次のように計算できる．
$$\begin{aligned}
x+4 \sqrt{x-4} &= (x-4)+4+4 \sqrt{x-4} \\\\
& = \sqrt{x-4}^{\ 2}+4 \sqrt{x-4}+4 \\\\
& = (\sqrt{x-4}+2)^2
\end{aligned}$$
公式解説最初の変形について
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb021/editorial/11093/632
　$x+4\sqrt{x-4}$ が平方数となるような $4$ 以上 $1000$ 以下の正の有理数 $x$ の個数を求めてください．