　与式を変形することで, $(xy-y-2)(x-1)=16$ を得る. これに留意して, $16$ の二つの正整数の積への分解を調べることで, $(x,y)=(2,18),(3,5)$ が解であり, 特に解答すべき値は $\textbf{28}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1812
$x^2y−2xy−2x＋y−14=0$ を $y$ について解くと $x\gt1,\ y=\dfrac{2x+14}{x^2-2x+1}$ がわかる. $y\geq1$ なので $2x+14\geq x^2-2x+1$ となりこれから $x=2,3,4,5,6$ がわかる. よって $(x,y)=(2,18),(3,5)$ となるため求める値は $2+18+3+5=\mathbf{28}$である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1812/85
$x=1$ は与式を満たさない. $x\gt1$ のとき, 与式を $y$ について解くと, 
$$y=\frac{2x+14}{x^2-2x+1}$$
となる. $y\geq 1, x^2-2x+1\gt0$ より, 2 次不等式 $2x+14\geq x^2-2x+1$ を解くことで, これを満たす $x$ は, $x=2, 3, 4, 5, 6$ のみである.

よって, それぞれ代入して $y$ が整数となるか確かめることで, $(x, y)=(2, 18), (3, 5)$ となる. 解答すべき値は, $2+18+3+5={\bf 28}$ である.
与式の因数分解が思いつかない場合: y の正整数条件からxの候補を絞る
https://onlinemathcontest.com/contests/omc103/editorial/1812/86
　以下の等式をみたす正整数の組 $(x,y)$ すべてについて, $x+y$ の総和を求めてください.
$$x^2y-2xy-2x+y-14=0$$