　$C$ の端点をそれぞれ $R_1, R_2$ としたとき，$\triangle Q_2 Q_3 Q_4$ と $\triangle R R_1 R_2$ はどちらも正三角形である．\
　$3$ 点 $X, Y, Z$ の重心を $G$ とし，$x = 1\/3$ とおく．$Y, Z$ を固定させ $X$ のみを $O$ 上で動かしたときにできる $G$ の軌跡は半径 $x$ の円周であり，この円周を $L$ とおく．\
　$Y$ を固定させ $X, Z$ をそれぞれ $O, C$ 上で動かしたときにできる $G$ の領域は，次の図に示す通り，$L$ の中心を，$C$ が $x$ 倍に縮小されてできる円弧に沿って動かしたときに $L$ が通過する部分である．この領域を $D$ とおく．$D$ は，半径 $2x$ で中心角 $300^{\circ}$ の扇形が $1$ 個，半径 $x$ で中心角 $60^{\circ}$ の扇形が $2$ 個，一辺の長さが $x$ の正三角形 $2$ 個に分割することができる．ここで，$D$ を描画するときに定めた円弧を含む円の中心のことを，$D$ の中心と呼ぶことにする．

![figure 1](\/images\/ylSxKQPvZw68J6zKkFh1PqFIsqvsJlpJcQgLZyYN)

　$G$ が動き得る領域は，最下部の図 $(\mathrm{i})$ が示す通り，$D$ 自身を回転させずに $M$ が $x$ 倍に縮小されてできる折れ線に沿って $D$ の中心を動かしたときに $D$ が通過する部分である．この領域は最下部の図 $(\mathrm{ii})$ で示す通り以下の図形に分割できる．
- 中心角を合計すると $420^{\circ}$ となる半径 $2x$ の扇形 $4$ 個
- 中心角を合計すると $60^{\circ}$ となる半径 $x$ の扇形 $2$ 個
- 一辺の長さが $x$ の正三角形 $13$ 個
- 一辺の長さが $x$ の正方形 $11$ 個

　したがって求める面積 $S$ は，
$$S = \frac{7\pi(2x)^2}{6} + \frac{\pi x^2}{6} + \frac{13\sqrt{3}x^2}{4} + 11x^2 = \frac{58 \pi + 39 \sqrt{3} + 132}{108}$$
であり，特に解答すべき値は $\mathbf{337}$ である．

![figure 1](\/images\/ib10gyproHzBDJTqLeMErsIuX61H88AS3mw9q5tz)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/editorial/3964
　$xy$ 平面上の $7$ 定点
$$\begin{aligned}
&P(-3, 0), &&R(3,0)\\\\
&Q_1(-1, -1), &&Q_2(-1, 1), &Q_3(0, 1-\sqrt{3}), \\\\
&Q_4(1, 1), &&Q_5(1, -1)
\end{aligned}$$
に対し，円周 $O$，折れ線 $M$，円弧 $C$ をそれぞれ次のように定めます．

- 点 $P$ を中心とした半径 $1$ の円周を $O$ とする．
- すべて両端を含む $4$ 本の線分 $Q_1Q_2,Q_2Q_3,Q_3Q_4,Q_4Q_5$ を合わせてできる折れ線を $M$ とする．
- 点 $R$ を中心とした半径 $1$ の円周のうち $x \leq 3 + (\sqrt{3} \/ 2)$ の範囲に含まれる部分にあたる円弧を $C$ とする．

　$O, M, C$上から点を $1$ 個ずつ取り，それぞれ $X, Y, Z$ とおきます. $3$ 点 $X,Y,Z$ の重心が存在し得る領域の面積を $S$ としたとき，最大公約数が $1$ であるような $4$ 個の正の整数 $a, b, c, d$ を用いて $\displaystyle S = \frac{a \pi + b \sqrt{3} + c}{d}$ と表すことができるので，$a + b + c + d$ の値を解答してください．