　$l_n$ は $y=nx-n^2+n$ と表されるから, $l_a$ と $l_b$ の交点は $(a+b-1, ab)$ である. よって $3$ 点
　　$$(a+b-1, ab), (b+c-1, bc), (c+a-1,ca)$$
を頂点とする三角形の面積を求めればよく, その値を $S$ とおけば, 以下のように計算できる.
　　$$S=\dfrac{1}{2}|(a-b)(b-c)(c-a)|$$
　一般性を失わず $a\gt b\gt c$ としてよく, $X=a-b, Y=b-c$ とおけば $S=\dfrac{1}{2}XY(X+Y)$ である. したがって以下, 正整数の組 $(X,Y)$ について考察すればよく, 対称性より特に $X\leq Y$ としてよい.\
　ここで $X\geq 4$ とすると, $S\geq (4\times 4\times 8)\/2\gt50$ より不適であるから, $X=1,2,3$ である.

- $X=1$ のとき $S=1,3,6,10,15,21,28,36,45$ を取り得る.
- $X=2$ のとき $S=8,15,24,35,48$ を取り得る.
- $X=3$ のとき $S=27,42$ を取り得る.

　以上より, 求める個数は $\textbf{15}$ である. ただし, $S=15$ が重複して現れていることに注意せよ.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc022/editorial/137
　$xy$ 平面において, 点 $(n, n)$ を通る傾き $n$ の直線を $l_n$ で表します. 例えば $l_3$ は $y=3x-6$ です.\
　相異なる整数の組 $(a,b,c)$ について, $l_a, l_b, l_c$ がなす三角形の面積としてあり得る実数値のうち, $50$ 以下であるものは $M$ 個あります.\
　$M$ を解答してください. ただし, そのような値は有限個であることが証明できます.