　与式を $f(x)$ とすると，倍角の公式を用いて，
$$f(x)
= \frac{1}{4}(1 + \cos x)^2 + \frac{1}{1 + \cos x}
= \frac{1}{4}(1 + \cos x)^2 + \frac{1}{2(1 + \cos x)} + \frac{1}{2(1 + \cos x)}$$
と変形できる．従って，$1 + \cos x \gt 0$ であるから，相加相乗平均の不等式より
$$f(x)
\ge 3\bigg(\frac{1}{4}(1 + \cos x)^2\times \frac{1}{2(1 + \cos x)}\times \frac{1}{2(1 + \cos x)}\bigg)^{1\/3}
= \bigg(\frac{27}{16}\bigg)^{1\/3}$$
であり，等号は $\cos x = 2^{1\/3} - 1$ のときに成立する．以上より，$P(x) = x^3 - \dfrac{27}{16}$ であるから，$P(100) = \dfrac{15999973}{16}$ であり，特に解答すべき値は $\bf{15999989}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5946
　実数 $x$ が $0 \lt x \lt \pi$ の範囲を動くとき，
$$\frac{1}{8} (\cos 2x + 4 \cos x + 3) + \frac{2 - 2\cos x}{1 - \cos 2x}$$
のとりうる最小値 $m$ と，$m$ の最小多項式 $P$ が存在します．$P(100)$ は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．

<details><summary>最小多項式とは<\/summary>
　$m$ を根にもつ有理数係数多項式のうち，次数が最小であり，かつ最高次の係数が $1$ であるものを（このようなものは一意に存在する）， $m$ の**最小多項式**とよぶ．
<\/details>