　$ \log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{bc} $ に留意すると，条件は $bc$ が $a$ の正の整数乗であることと同値であり，これを満たす組 $(a,b,c)$ は次の $23$ 個である． 
$$\begin{aligned}
&(2,1,2),(2,2,1),(2,1,4),(2,2,2),(2,4,1),(2,2,4),(2,4,2),(2,4,4),\\\\
&(3,1,3),(3,3,1),(3,3,3),\\\\
&(4,1,4),(4,2,2),(4,4,1),(4,4,4),\\\\
&(5,1,5),(5,5,1),(5,5,5),\\\\
&(6,1,6),(6,2,3),(6,3,2),(6,6,1),(6,6,6)
\end{aligned}$$
よって求めたい確率は $\dfrac{23}{6^3}$ であり，特に解答すべき値は $\textbf{239}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/3521
　一般的な六面体のサイコロを $3$ 回振り，出た目を順に $a,b,c$ としたとき，$a\geq 2$ であり，かつ
$$ \log_{a}b+\log_{a}c $$
が正の整数値となるような確率を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $ X,Y $ を用いて $ \dfrac{X}{Y} $ と表されるので，$ X+Y $ を解答してください.