　$3^k \cdot n^k \equiv   1 \pmod{3n-1}$ より, 
$$3^{100}  \left( \sum_{k \in S} n^{k} + \sum_{k \in T} n^k \right) \equiv \sum_{k \in S} 3^{100-k} + \sum_{k \in T} 3^{100-k} \equiv 0 \pmod{3n-1}$$
ここで, $3n-1$ は $3$ を素因数に持たないので, 
$$3n - 1 \mid \sum_{k\in S} n^k + \sum_{k\in T} n^k  \iff 3n - 1 \mid \sum_{k\in S} 3^{100-k} + \sum_{k\in T} 3^{100-k}$$ 
である.  $N= \sum_{k\in S} 3^{100-k} + \sum_{k\in T} 3^{100-k} $ とおく.  部分集合 $S,T$ と整数 $n$ が問題文の条件を満たしているものとすれば, $3$ で割った余りが $2$ の最大の $N$ の約数が $3\cdot 444 - 1 = 11^{3}$ であるような整数 $N$ を考えればよい. このような $N$ のうち $3$ で割り切れないものは, $3$ で割って $1$ 余る素因数を持たず $3$ で割って $2$ 余る素因数が $5$ 個未満かつ $11$ より大きい素因数が存在しないことを踏まえれば,  $N = 11^3, 2 \cdot 11^3, 5 \cdot 11^3, 11^4$  に限られる.  $N$ を固定したとき,  $N$ を $3$ 進法で表したときの $1$ の個数が $x$ 個ならば部分集合 $S,T$ の取り方は $2^{x}$ 個である.  したがって, 条件をみたす $N$ は素因数 $3$ の数に依存しないことと, $N\lt 3^{101}$ を併せて, 求める答えは以下のように計算できる. 
$$2^3 \cdot 95 + 2^4 \cdot 94 + 2^5 \cdot 93 + 2^1 \cdot 93 = \mathbf{5426}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc124/editorial/6070
　$\\{0, 1,2,3,\ldots, 100\\}$ の $2$ つの（相異なるとは限らない）部分集合の（順序を区別する）組 $(S,T)$ であって，以下の条件をみたすものの個数を求めてください. 
- 整数 $n$ であって，$3n - 1$ が $\sum_{k\in S} n^k + \sum_{k\in T} n^k $ を割り切るようなものが存在し，しかもそのような $n$ の最大値が存在してそれは $444$ である． 


　ただし，$S,T$ は空集合でもよく，空集合 $\emptyset$ に対して $\sum_{k\in\emptyset} n^k=0$ とします．