　$BC$ の中点を $M$ とし, $C$ から $AB$ におろした垂線の足を $H$ とする.

**解答1.**　メネラウスの定理より $AH=HP$ がわかる. これを $x$ とおけば, 三角形 $BCH$ において
　　$$ 8x^2=(2\sqrt{2}x)^2=(2AP)^2=BC^2=BH^2+CH^2=(\sqrt{3}-x)^2+(x+\sqrt{3})^2=2x^2+6$$
より $x=1$ である. このとき, 三角形 $BHP$ において
　　$$BP^2=BH^2+PH^2=(\sqrt{3}-1)^2+1^2=5-2\sqrt{3}$$
が成り立つから, 特に求める値は $\textbf{37}$ である.

**解答2.**　$M$ について $P$ と対称な点を $P^\prime$ とすると, $\angle ABP^\prime$ は直角で, $AB=CP=BP^\prime$ であるから, $ABP^\prime$ は直角二等辺三角形である. ここでさらに $AM$ について $B$ と対称な点を $B^\prime$ とすると, $AB^\prime$ と $CP$ はともに $AB$ に垂直で, かつ $AB^\prime=AB=CP$ であるから, $AB^\prime CP$ は平行四辺形である. したがって,
　　$$B^\prime C=AP=CM=BM=B^\prime M$$
より $B^\prime CM$ は正三角形であり, $\angle AMB=60^{\circ}$ が従うから,
　　$$\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAM-\angle AMB=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$$
　このとき, 三角形 $BPP^\prime$ において中線定理を適用することで, 同様に $BP^2=5-2\sqrt{3}$ を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc017/editorial/109
　三角形 $ABC$ において, $A$ から対辺へおろした**中線**と, $C$ から対辺へおろした**垂線**の交点を $P$ とします.
$$2AP=BC,\ \ AB=CP=\sqrt{3}$$
であるとき, 整数 $a,b,c$ を用いて, $BP^2=a+b\sqrt{c}$ と表されます. $a^2+b^2c$ を解答してください.\
　ただし, $XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとします.