$$AB:BC:CA=\dfrac{1}{CH_C}:\dfrac{1}{AH_A}:\dfrac{1}{BH_B}=13:14:15$$
ここで $PQ=13,QR=14,RP=15$ なる三角形 $PQR$ において, $P$ から対辺におろした垂線の長さは $12$ であることがわかるから, $ABC$ と $PQR$ の相似比は $780:12=65:1$ であり, 求める値は
$$AB+BC+CA=65(13+14+15)=\textbf{2730}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc080/editorial/2095
　三角形 $ABC$ について, $A$ から対辺におろした垂線の足を $H_A$ などとすれば, 以下が成立しました：
$$AH_A=780,\quad BH_B=728,\quad CH_C=840$$
このとき, $AB+BC+CA$ を求めてください.