　$a_1\leq\cdots\leq a_5$ のとき, 両辺を $2^{a_2},2^{a_3},2^{a_4}$ で割ったあまりを考えれば $(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ は次のいずれかであることがわかる．
$$(a_1,a_1,a_1,a_1+2,a_1+3),(a_1,a_1+1,a_1+2,a_1+3,a_1+4),(a_1,a_1+1,a_1+1,a_1+1,a_1+3)$$
よって $a_1,\dots,a_5$ の入れ替えを考慮すれば, 求める値は次のように計算できる．
$${}\_5 \mathrm{C}\_1\times 98+\frac{5!}{2!}\times 97+{}\_5 \mathrm{C}\_2 \times 98=\bf{7290}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/editorial/2824
　$2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+2^{a_4}+2^{a_5}=2^{a_6}$ を満たす $100$ 以下の非負整数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ はいくつありますか？