　$\triangle ADE\equiv\triangle ADF$ が成り立つため，簡単な議論により $AD=5,AD\perp EF$ がわかる．\
　これより四角形 $AEDF$ の面積について，次が成り立つ：
$$2\times(\triangle ADE の面積)=12=\dfrac{AD\times EF}{2}=\dfrac{5}{2}EF$$
これより $EF=\dfrac{24}{5}$ が得られるため，解答すべき値は $\textbf{29}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc143/editorial/3396
　三角形 $ABC$ において，$\angle{A}$ の内角の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とし，$D$ から辺 $AB,AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とします．
$$AF=4, \quad DE=3$$
のとき，線分 $EF$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．