　$DE$ 上に $AF \parallel BC$ なる点 $F$ をとれば, $\triangle FAD$ と $\triangle AED$ は相似であるから,
$$AE=FE=22-\dfrac{20^2}{22}=\dfrac{42}{11}$$
と求められ, 解答すべき値は $\bf{53}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc086/editorial/2748
　三角関数を用いた解法です

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　$3$ 点 $E,A,B$ はこの順に直線 $AB$ 上に並ぶため，$\angle A=\theta$ とすれば $\triangle ADE$ における正弦定理より次が成り立つ．
$$\frac{20}{\sin(\pi-2\theta)}=\frac{22}{\sin(\pi-\theta)}=\frac{DE}{\sin(3\theta-\pi)}$$
整理すれば次のようになる．
$$\frac{10}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{22}{\sin\theta}=\frac{DE}{-\sin 3\theta}$$
前 $2$ 項より $\cos\theta=\dfrac{5}{11}$ であるため，後 $2$ 項より次のように計算できる．
$$DE=22\cdot\dfrac{-\sin 3\theta}{\sin\theta}=22(4\sin^2\theta-3)=22(1-4\cos^2\theta)=\dfrac{42}{11}$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc086/editorial/2748/44
　$\angle A = \angle B = \angle C\lt 90^\circ$ なる凸四角形 $ABCD$ において, 直線 $AB$ と直線 $CD$ の交点を $E$ とします.
$$AD=20, \quad DE=22$$
のとき, $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.