　白い駒の置き方は ${}\_{5}\mathrm{C}\_{2}\times 5^2=250$ 通りある．このうち $2$ つの白い駒が同じ行にあるような置き方は $5\times {}\_{5}\mathrm{C}\_{2}=50$ 通りあり，$2$ つの白い駒が異なる行にあるような置き方は $250-50=200$ 通りある．この $2$ つの置き方のそれぞれに対して，黒い駒の置き方が何通りあるかを場合分けして求める．以下，白い駒と黒い駒の両方があるような行を**良い行**と呼ぶ．

 　$(i)$ $2$ つの白い駒が同じ行にある場合

 - 良い行が $1$ つのとき，良い行への黒い駒の置き方は $3$ 通り，もう一つの黒い駒を置く場所は $20$ 通り考えられるから，$3\times 20=60$ 通り．
- 良い行がないとき，${}\_{4}\mathrm{C}\_{2}\times 5^2=150$ 通り．

　$(ii)$ $2$ つの白い駒が異なる行にある場合
- 良い行が $2$ つのとき，$4^2=16$ 通り．
- 良い行が $1$ つのとき，良い行への黒い駒の置き方は$2\times 4=8$ 通り，もう一つの黒い駒を置く場所は $15$ 通りあるから，$8\times 15=120$ 通り．　
- 良い行がないとき，${}\_{3}\mathrm{C}\_{2}\times 5^2=75$ 通り．

　以上より，求める場合の数は $50\times(60+150)+200\times(16+120+75)=\mathbf{52700}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/8754
- 行\/列に関する条件を気にしない駒の置き方は全部で $\displaystyle \binom{25}{2}\times\binom{23}{2}=:a\_1$ 通りある．  
- 行に関する条件に違反する(列に関する条件は気にしない)駒の置き方は $\displaystyle 5\times\binom{5}{2}\times\binom{23}{2}=:a\_2$ 通りある．  
- 列に関する条件に違反する(行に関する条件は気にしない)駒の置き方は $\displaystyle 5\times\binom{5}{2}\times\binom{23}{2}=:a\_3(=a\_2)$ 通りある．  
- 行\/列に関する条件に共に違反する駒の置き方は $\displaystyle 5\times\binom{5}{2}\times\left(3\times\binom{5}{2}+2\times\binom{4}{2}\right)=:a\_4$ 通りある． (制約に違反した行に白い駒があるか否かで場合分けをしている． )  

求める答えは包除原理より，$a\_1-a\_2-a\_3+a\_4=75900-2\times 12650+2100=52700$ 通りである．
包除原理による解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb006/editorial/8754/465
　白い駒 $2$ つ，黒い駒 $2$ つの合計 $4$ つの駒を $5\times 5$ のマス目のうち $4$ つのマスに $1$ つずつ置く方法であって，次の $2$ つの条件を満たすものは何通りありますか？

- 白い駒が $2$ つ置かれた列は存在しない．
- 黒い駒は $2$ つ置かれた行は存在しない．

　ただし，同色の駒は区別しないものとします．