　都市を頂点，道を辺とすることで道路網を(無向)グラフとみなす．一般に，連結なグラフにEuler路が存在しない(一筆書き不可能である)ことは，次数が奇数の頂点が $4$ 個以上あることと同値である．ここではすべての頂点の次数が奇数であることを意味する．次数が奇数の頂点が $0,2,4$ 個となる $i$ 回の操作の組み合わせがそれぞれ $a_i,b_i,c_i$ 通りであるとする．ただし，$a_0=1,b_0=0,c_0=0$ とする．このとき，以下の関係が成り立つ．
$$a_{i+1}=c_{i+1}=b_i,\quad a_{i}+b_{i}+c_{i}=6^{i}$$
これより $b_{i+1}+2b_{i}=6^{i+1}$ が従う．ここで $d_i=b_i\/(-2)^i$ とおけば $d_{i+1}-d_{i}=(-3)^{i+1}$ であることから，
$$b_i=(-2)^{i}\times (-3)\times \frac{1-(-3)^{i}}{4}=(-3)(-2)^{i-2}(1-(-3)^i)$$
であることがわかる．したがって，答えは
$$\begin{aligned}
c_{10^9+10}&=b_{10^9+9}\\\\
&=3\cdot 2^{10^9+7}(1+3^{10^9+9})\\\\
&\equiv 3\cdot 2(1+3^3) &\pmod{10^9+7}\\\\
&\equiv \bf{168} &\pmod{10^9+7}
\end{aligned}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc073/editorial/1638
　頂点の次数が奇数であるものの総数の求め方の別解です．

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　 $n=10^9+10$ とおく．
$$f(a,b,c,d)=(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^n$$
を展開したときに，どの文字についても次数が奇数であるものの項の係数和が求めるべき総数 $S$ であり， $S$ は $(\pm1,\pm1,\pm1,\pm1)$ に対しそれぞれ $abcd\times{f(a,b,c,d)}$ を計算したときの総和を，$16$ で割ったものである．\
　よって， $S=\dfrac{1}{16}(2\cdot6^n+6\cdot(-2)^n)$ であり，Fermatの小定理から,\
$$S\equiv(2\cdot6^4+6\cdot(-2)^4)\div16\equiv\textbf{168}\pmod{(n-3)}.$$
多項式を利用して漸化式を回避する
https://onlinemathcontest.com/contests/omc073/editorial/1638/23
　$4$ つの都市 $A,B,C,D$ があり，
はじめは $AB,BC,CD,DA$ 間にそれぞれ道路が $1$ 本ずつあります．
ここへ，以下の操作を $10^9+10$ 回繰り返します．
- 異なる $2$ 都市を選び，それらを双方向に結ぶ道路を新たに $1$ 本建設する．

　$10^9+10$ 回の操作の組み合わせは $6^{10^9+10}$ 通りありますが，
このうち得られた道路網について，
すべての道路をちょうど $1$ 回ずつ通るような道順が存在しないような操作の組み合わせは何通りありますか？
素数 $10^9+7$ で割った余りを求めてください．

　ただし，道路は交差しないものとし，途中で引き返すことはできないものとします．