　$ABD$ および $BCD$ にそれぞれ余弦定理を適用して $BD^2$ を $2$ 通りに表現することで $AD=7$ を得る. このとき $XAD$ と $XCB$ は相似比 $1:2$ の関係にあることから, $XA=15,XD=13$ を容易に得る.\
　ここで $\Gamma,\Omega_{B},\Omega_{C}$ の中心をそれぞれ $O,O_B,O_C$, $XB$ の中点を $M$, $\Gamma$ における $B$ の対蹠点を $B^\prime$ とすれば, $O_B$ は $BX$ の垂直二等分線と $BO$ の交点であり, $\angle BAB^\prime=\angle BMO_B=90^\circ$ と併せて $\Gamma$ の直径 $d$ について
$$BO_B=BB^\prime\times\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{13}{11}d$$
同様にして, $CO_C=\dfrac{15}{17}d$ を得るから, $BO_B:CO_C=221:165$ であり, 解答すべき値は $\textbf{386}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/editorial/1583
　$AB=11,BC=14,CD=17,\angle C=60^\circ$ なる四角形 $ABCD$ が円 $\Gamma$ に内接しています. $2$ 直線 $AB,CD$ の交点 $X$ を通り, それぞれ点 $B,C$ で $\Gamma$ に接する円を $\Omega_{B},\Omega_{C}$ とすれば, それらの半径比は互いに素な正整数 $a,b$ によって $a:b$ と表されます. $a+b$ を解答してください.