　$1,  2, \ldots, n$ を頂点とし，$i \neq j$ かつ $a_ia_j$ が立方数であるとき，またそのときに限り頂点 $i$ と頂点 $j$ を繋ぐ辺が存在するようなグラフを考える．\
　まず $a_i$ が立方数であるような $i$ が存在したときを考える．このような $i$ について，$a_ia_j$ が立方数となる $a_j$ の必要十分条件は $a_j$ も立方数であることであるから，$a_i$ が立方数であるような頂点 $i$ のみを分離して考えればこれらの頂点およびそれらに繋がれた辺で構成されたグラフは完全グラフとなる．いま，それぞれの頂点の次数が $20$ であることからこの分離された完全グラフの頂点数は $21$ となる．以後 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ から立方数が除外されたとして考え，残された数の集合を $A$ とする．\
　ここで，$S  = \\{0, 1, 2\\}$ および $B = S^8 \backslash (0,0,0,0,0,0,0,0)$ とする．$| B | = 3^8 - 1 = 6560$ より，適当に番号をつけて $B = \\{b_1, b_2, \ldots, b_{6560}\\}$ とする．また，$b_i, b_j \in B (i \neq j)$ について，「$b_i$ と $b_j$ の $k$ 番目の要素を足すと $3$ の倍数になる」という命題が $k = 1, 2, \ldots, 8$ について真であるとき，「$b_i$ と $b_j$ は共役である」と表現する．このとき，任意の $i$ について $b_i$ と $b_j$ が共役であるような $j$ はちょうど一つ存在するから，$b_i$ と $b_j$ が共役であるようなペア $(i, j)$ (ただし $i \lt j$ ) はちょうど $3280$ 個存在することに注意する．\
　ここで $20$ 以下の素数は $8$ 個存在するから，それらを小さい順に $p_1, p_2, \ldots, p_8$ とし，集合 $A$ を次の条件を満たすように $C_{b_1}, C_{b_2}, \ldots, C_{b_{6560}}$ に分割する．これが $A$ の分割となることは明らか．
- $a \in A$ とする．$k = 1, 2, \ldots, 8$ について，「$p_k$ が $a$ を割り切る最大の回数を $3$ で割った余り」が 「$b_i$ の $k$ 番目の要素」と一致するときかつそのときに限り，$a \in C_{b_i}$ とする．

　このとき以上の定義から，$a \in C_{b_i}$ のとき，$b_i$ と $b_j$ が共役とすると，頂点 $a$ と辺で結ばれた頂点の集合は $C_{b_j}$ に一致する．よって条件から $| C_{b_j} | = 20$ であり，同様に議論すれば $| C_{b_i} | = 20$ となる．よって，共役な $3280$ 個のペア $b_i$ と $b_j$ それぞれについて，$| C_{b_i} | = | 
C_{b_j} | = 0$ または $| C_{b_i} | = | C_{b_j} | = 20$ が成立する．\
　以上から $n$ として考えられる最大のものは $21 + (20 + 20) \times 3280 = \mathbf{131221}$ であり, これを達成する $a_1, a_2, \ldots, a_n$ は明らかに存在する．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/editorial/11165
　次の条件を満たす $n$ 個の相異なる正整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ が存在するような $n$ のうち，最大のものを求めてください．

- 任意の $1 \leq i \leq n$ について，$j \neq i$ かつ $a_ia_j$ が立方数となるような $j$ がちょうど $20$ 個存在する．
- 任意の $1 \leq i \leq n$ について，$a_i$ の素因数は全て $20$ 以下である．