　非負整数 $n$ に対し $n^{n}$ を $5$ で割ったあまりを $f(n)$ で表す．整数 $q,r\~(0\leq r\leq 4)$ を用い $n=5q+r$ と表されるとき，$f(n)$ は $r^{5q+r}$ を $5$ で割ったあまりに等しい．\
　$r=0,1,\ldots,4$ に対して，$q$ を $0,1,2,\dots$ と動かしたとき $r^{5q+r}$ を $5$ で割ったあまりは
- $r = 0$ のとき：$0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \cdots$
- $r = 1$ のとき：$1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \cdots$
- $r = 2$ のとき：$4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, \cdots$
- $r = 3$ のとき：$2, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 4, 2, \cdots$
- $r = 4$ のとき：$1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, \cdots$

と周期的に変動することに注意すれば，$f(1), f(2), \cdots ,f(2021)$ のうち値が $k\ (0\leq k\leq 4)$ に等しいものの個数 $c_{k}$ は，
$$
c_{0} = 404, \quad c_{1} = 809, \quad c_{2} = 202, \quad c_{3} = 202, \quad c_{4} = 404
$$ 
と求められる．よって，解答すべき値は ${}\_{c_{0} }\mathrm{C}\_{2} + c_{1} \times c_{4} + c_{2} \times c_{3} = \bold{449046}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc146/editorial/1871
　$2021$ 個の整数 $1, 2, \ldots ,2021$ から相異なる $2$ つ $a\lt b$ を選ぶ方法であって，$a^{a} + b^{b}$ が $5$ で割り切れるものはいくつありますか？