　$101$, $107$, $113$, $131$, $137$ はすべて $3$ で割って $2$ 余る素数である．これらをそれぞれ $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$, $p_5$ とおく．$N=p_1 p_2 p_3 p_4 p_5$ である．\
　$N$ 以下の正整数で $N$ と互いに素なものの個数 $\varphi$ の求め方の一つとして，包除原理を用いる方法を考える．添字集合 $J = \\\{ 1, 2, 3, 4, 5\\\}$ の部分集合 $I$ に対し $P_{I} = \prod_{i\in I} p_i$ とおき (ただし $P_{\varnothing} = 1$)，$N$ 以下で正の $P_I$ の倍数の全体集合を $S_I$ とする．このとき，包除原理により

$$
\varphi = \sum_{I\subset J} (-1)^{|I|} |S_I| = \sum_{I\subset J} (-1)^{|I|} \dfrac{N}{P_I}
$$

が成り立ち，結果として $\displaystyle \varphi = N \prod_{i=1}^{5}\bigg(1-\frac{1}{p_i}\bigg) = \prod_{i=1}^{5} (p_i-1)$ と計算される．\
　上記の考え方を利用して $a$ と $b$ を求める．$N$ と互いに素な $N$ 以下の正整数のうち $3$ で割って $1$ 余るものの全体集合を $A$ とおき，$3$ で割って $2$ 余るものの全体集合を $B$ とおく．\
　まず $a$ について，$N$ を $3$ で割ると $2$ 余ることから，$n \in A$ のとき $N-n \in A$ となる．よってそれらをペアにすることで $a = N \times |A| \div 2$ と計算できる．ここで，$S_I$ の元のうち $3$ で割って $1$ 余るもの全体を $T_I$ とすると，包除原理により

$$
|A| = \sum_{I\subset J} (-1)^{|I|} |T_I|
$$

となる．また，
- $P_I$ が $3$ で割って $1$ 余るとき，$|T_I| = \dfrac{1}{3}\bigg(\dfrac{N}{P_I}+1\bigg)$
- $P_I$ が $3$ で割って $2$ 余るとき，$|T_I| = \dfrac{1}{3}\bigg(\dfrac{N}{P_I}-1\bigg)$

であることから，上の式に代入して $|A| = \dfrac{1}{3}(\varphi+32)$ と計算できる．よって，$a = \dfrac{1}{6}N\varphi + \dfrac{16}{3}N$ である．\
 　次に $b$ について．$S_I$ の元のうち $3$ で割って $2$ 余るもの全体を $U_I$ として，それらの総和を $u_I$ とおく．このとき，包除原理を和について適用した式により
$$
b = \sum_{I\subset J} (-1)^{|I|} u_I
$$

となる．また，
$$
u_I =  \dfrac{1}{6} P_I \bigg(\dfrac{N}{P_I}+1\bigg)\bigg(\dfrac{N}{P_I}+2\bigg) = \dfrac{1}{6}\cdot\frac{N^2}{P_I} + \dfrac{1}{2}N +\dfrac{1}{3} P_I
$$

と計算されるため，

$$
b = \dfrac{N}{6}\sum_{I\subset J} (-1)^{|I|}\frac{N}{P_I} + \dfrac{N}{2} \sum_{I\subset J} (-1)^{|I|} + \dfrac{1}{3} \sum_{I\subset J} (-1)^{|I|} P_I = \frac{1}{6}N\varphi - \dfrac{1}{3}\varphi
$$

となる．ただし，和の計算において第 $3$ 項は
$$
\sum_{I\subset J} (-1)^{|I|} P_I = \prod_{i=1}^{5}(1-p_i) = -\varphi
$$

を用いた．\
　以上により，$a-b = \dfrac{1}{3} (16N+\varphi)$ とわかり，これを計算すると $\textbf{123885711344}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/editorial/3381
　$N = 101\times 107 \times 113 \times131 \times 137$ とします（各数はすべて素数です）．\
　$N$ 以下の正整数で $N$ と互いに素なもののうち，$3$ で割って $1$ 余るものの総和を $a$ とおきます．また，$N$ 以下の正整数で $N$ と互いに素なもののうち，$3$ で割って $2$ 余るものの総和を $b$ とおきます．$a-b$ を求めてください．