　$a\leq c\leq a$ がわかるから, 特に等号が成立する. すなわち条件は 
$$b\leq d\leq 1000-a$$
ここで $a$ を固定し, $k=1000-a$ とおきなおせば, 組 $(b,d)$ としてあり得るものは $\dfrac{k^2+k}{2}$ 個であることが容易にわかるから, 求める場合の数は
$$ \sum_{k=1}^{999}\dfrac{k^2+k}{2}=\dfrac{999\times1000\times1001}{6}=\textbf{166666500}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/255
　以下の不等式を満たす正整数の組 $(a,b,c,d)$ はいくつありますか？
$$a+b\leq b+c\leq c+d\leq d+a\leq1000$$