　$A$ の要素 $2^{S}\times3^{E}\times5^{G}$ に対し，かけて $2^{100}\times3^{100}\times5^{100}$ となる数は $2^{100-S}\times3^{100-E}\times5^{100-G}$ であり，これは $S,E,G$ のうち少なくとも $1$ つが $0$ のときは $A$ の要素にならず， $S,E,G$ が全て $50$ のときは自分自身となり，それ以外のときは異なる $A$ の要素となる．\
　よって，異なる $2$ 数の積が $2^{100}\times3^{100}\times5^{100}$ となるペアは $A$ の中に $(99^3-1)\div2$ 組ある．\
　それぞれのペアの中から $1$ つずつ選び，さらにそれらのペアに存在しない $A$ に属する数を全て選んだときが集合の要素数が最大となるときなので，求める最大値は
$$\frac{99^3-1}{2}+100^3-(99^3-1)=\textbf{514851}$$
となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc115/editorial/5530
　 $0$ 以上 $99$ 以下の整数 $S,E,G$ を用いて， $2^S\times3^E\times5^G$ の形に表せる数全体からなる集合を $A$ とします．以下の条件を満たす $A$ の部分集合について，その要素の個数としてあり得る最大の値を求めてください．

- どの相異なる $2$ つの要素についても，それらの積は $2^{100}\times3^{100}\times5^{100}$ でない．