　$x+y+z+w=1$ と相加相乗平均の不等式より
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{x+y}+\frac{7}{y+z}+\frac{15}{z+w}+\frac{35}{w+x} &=3+\frac{3(z+w)}{x+y}+7+\frac{7(x+w)}{y+z}+15+\frac{15(x+y)}{z+w}+35+\frac{35(y+z)}{w+x}\\\\
&\geq 60+2\sqrt{\frac{3(z+w)}{x+y}\cdot \frac{15(x+y)}{z+w}}+2\sqrt{\frac{7(x+w)}{y+z}\cdot\frac{35(y+z)}{w+x}}\\\\
&=60+20\sqrt{5}
\end{aligned}
$$
が成り立つ. 等号を満たす正の実数 $x,y,z,w$ は実際に存在するので, 解答すべき値は $\textbf{2060}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc162/editorial/5845
　一般に，任意の正の実数 $x_1,x_2,\ldots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_n$ に対し，$\dfrac{{x_1}^2}{y_1}+\dfrac{{x_2}^2}{y_2}+\cdots+\dfrac{{x_n}^2}{y_n}\geq\dfrac{{(x_1+x_2+\cdots+x_n)}^2}{y_1+y_2+\cdots+y_n}\cdots(1)$ が成り立つ．  (等号成立条件は $x_1:x_2:\cdots:x_n=y_1:y_2:\cdots:y_n$ )  

よって，$\dfrac{3}{x+y}+\dfrac{15}{z+w}+\dfrac{7}{y+z}+\dfrac{35}{w+x}\geq\dfrac{{(\sqrt{3}+\sqrt{15})}^2}{x+y+z+w}+\dfrac{{(\sqrt{7}+\sqrt{35})}^2}{y+z+w+x}=60+20\sqrt{5}$ であり，等号は $(x+y):(z+w)=(y+z):(w+x)=1:\sqrt{5}$ のとき (つまり，例えば $x:y:z:w=1:1:1:2\sqrt{5}-1$ のとき) 成り立つ．  
ゆえに、求める最小値は $60+20\sqrt{5}$ であり，解答すべき数値は $\textbf{2060}$．  

[補足]  
上記の $(1)$ の不等式は 「Radonの不等式」「Tituの補題」「Sedrakyanの不等式」などと呼ばれる不等式であり，分母を $y_1+y_2+\cdots+y_n$ 倍した式がコーシー・シュワルツの不等式で示せることから従う．この不等式は今回のような「分母の和が一定」の状況下などで有用である．
radonの不等式
https://onlinemathcontest.com/contests/omc162/editorial/5845/237
$$a=x+y,\quad b=y+z$$
なる変数変換を施す．すると，$a,b$ は $0\lt a,b\lt 1$ を満たす独立 $2$ 変数となる．すると与式は以下のように言い換えられる．
$$3\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{1-a}\Big)+7\Big(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{1-b}\Big)\cdots(★)$$
　さて，$f(t)=\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{1-t},(0\lt t\lt 1)$ とし，$f(t)$ の取りうる最小値を求めよう．$f^\prime(x)=-\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{5}{(1-t)^2}$ であり，$f^\prime(t)=0$ のとき $t=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$ であることから，$f$ の増減を考えると，$t=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$ のとき最小値 $6+2\sqrt5$ を取ることが分かる．よって，$(★)$ より，求める最小値は $3(6+2\sqrt5)+7(6+\sqrt5)=60+20\sqrt5$ であると分かった．等号を実現するような $x,y,z,w$ は確かに存在する．
微分法を用いた解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc162/editorial/5845/710
　正の実数 $x, y, z, w$ が $x+y+z+w=1$ をみたすとき，
$$
\frac{3}{x+y}+\frac{7}{y+z}+\frac{15}{z+w}+\frac{35}{w+x}
$$
のとりうる最小値を求めてください．ただし，求める値は正整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．