　$N$ の正の約数全体の集合を $D$ とすると，$S \cup T = D$ となることを示す．$S\subset D, ~ T\subset D$ は明らかだから，$D \subset S \cup T$ であることを示せばよい．実際，任意の $d \in D$ について，以下よりわかる：
- $d \neq 1$ のとき，$d = \mathrm{lcm} (1,d) \in S \subset S \cup T$．
- $d = 1$ のとき，$d = \gcd (1, N) \in T \subset S \cup T$．

以上より，$N$ の正の約数の個数を求めればよく，これは $(3 + 1)(4 + 1)(6 + 1) = \mathbf{140}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/8938
　$N = 2^3 \times3^4 \times 5^6$ とし，集合 $S,T$ を以下で定めます：

- $S$：$N$ の相異なる正の約数 $a,b$ が存在して，$\gcd (a,b)$ と表せる数全体の集合．
- $T$：$N$ の相異なる正の約数 $a,b$ が存在して，$\mathrm{lcm} (a,b)$ と表せる数全体の集合．

このとき $S \cup T$ は有限集合となるので，その要素数を求めてください．\
　ただし，$\gcd (a,b)$ で $a$ と $b$ の最大公約数を，$\mathrm{lcm} (a,b)$ で $a$ と $b$ の最小公倍数を表します．