　$\lceil x \rceil \neq \lfloor x \rfloor$ より，与式は以下のように変形できる．
$$1 + \frac{1}{\lfloor x \rfloor} = \frac{\lfloor x \rfloor + 1}{\lfloor x \rfloor} = \frac{\lceil x \rceil}{\lfloor x \rfloor}  \leq 1 + \frac{12}{2345}$$
これを解いて，$\lfloor x \rfloor \geq \left \lceil \dfrac{2345}{12} \right \rceil = \bf{196}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/editorial/7088
$$1 \lt \dfrac{\lceil x \rceil}{\lfloor x \rfloor} \leq \dfrac{2357}{2345}$$
をみたす $1$ 以上の実数 $x$ について，$\lfloor x \rfloor$ のとりうる最小値を求めてください．
<details><summary>床記号・天井記号<\/summary>
　実数 $x$ に対して，$x$ 以下の最大の整数を $\lfloor x\rfloor$ で，$x$ 以上の最小の整数を $\lceil x\rceil$ で表します．
<\/details>