　与式が最小値を取るとき, $a_2,\cdots,a_{2020}$ が $0$ 以上 $1$ 以下であることは明らかである. このとき, $xy$ 平面上において, 以下の点を順に繋いだ折れ線を考えると, 与式はこれ全体の長さに等しい：
$$(0,0),(1,1-a_2),(2-a_3,1),(2,2-a_4),(3-a_5,2),\cdots,(1010,1010-a_{2020}),(1011,1010)$$
よって, 明らかにこれが一直線となる場合のみが最小値をとり, このとき $a_{1000}=500\/1011$ と計算できるため, 求める値は $\textbf{505500}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc015/editorial/97
　実数からなる数列 $a_{1} ,a_{2} ,\ldots,a_{2021}$ は $a_{1} =1, a_{2021} =2$ を満たすとします. 
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{2020} \sqrt{a_{k}^{2}+(a_{k+1}-1)^{2}}$$
このとき, 上式には最小値が存在することが証明できます. 上式が最小値を取るとき, $a_{1000}$ としてあり得る値の総和を求めてください. ただし, 求める総和は最大公約数が $1$ であるような正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と表されるので, $ab$ を解答してください.