　与式で $(x,y)=(a,b)$ とした式を $P(a,b)$ で表すこととする．$f$ が定数関数ならば $f(x)\equiv 0,1$ であることは容易にわかるため，以下 $f$ が定数関数でない場合を考える．このとき $P(x,0)$ を考えれば $f(0)=1$ がわかる．

----
**補題1**：任意の $x\geq 0$ に対し $\dfrac{1}{x+1}\leq f(x)\leq 1$\
**証明**：右側の不等式は $f(0)=1$ より明らか．\
また左側の不等式は背理法により示される．具体的には，$P(x,-x),P\left(x,\dfrac{x}{f(x)-1}\right)$ を考えよ．

----
**系1**：任意の $x\gt -1$ に対し $f(x)\gt 0$．

----
**補題2**：$f$ は単射である．\
**証明**：$f(a)=f(b)$ なる $-1\lt a\lt b$ が存在すると仮定し $c=(b-a)f(a)$ とおけば，系1より $c\gt 0$ であるため $P(a,b-a)$ より $f(c)=1$ を得る．このとき任意の $x\gt -1$ に対し $P(c,x)$ より $f(x+c)=f(x)$ であるため，簡単な議論によって $f$ は恒等的に $1$ に等しいことがわかる．これは $f$ は定数関数でないことに矛盾．
----

　両補題より $\dfrac{1}{101}\leq f(100)\lt 1$ であるから，任意の $x\gt -1$ で $P\left(x,\dfrac{1}{f(x)}\right),P\left(100,\dfrac{x}{f(100)}\right)$ より
$$f\left(x+\frac{1}{f(x)}\right)=f\left(100+\frac{x}{f(100)}\right)=f(100)f(x).$$
よって補題2より $x+\dfrac{1}{f(x)}=100+\dfrac{x}{f(100)}$ がわかり，整理すれば次を得る．
$$f(x)=\frac{100f(100)}{(1-f(100))x+100f(100)}$$
逆に任意の $\dfrac{1}{101}\leq t\lt 1$ に対し $f(x)=\dfrac{100t}{(1-t)x+100t}$ が条件をみたすことは容易に確認できる．\
　このとき $N=2020$ とおけば
$$f\left(f(100)-\frac{2021}{2020}\right)=\frac{100N}{102N+1-(Nt+\frac{N+1}{t})}$$
であり，$t$ が $\dfrac{1}{101}\leq t\lt 1$ の範囲を動くときこれは $1$ より大きく $\dfrac{2020}{19}=106.3\cdots$ 以下の実数全体を動く．$f$ が定数関数の場合もあわせて考えれば，求めるべき値は $\bm{106}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce001/editorial/175
　$-1$ より大きい実数に対して定義され, 実数値をとる関数 $f$ は, 次の条件をみたします.

- $x+y, x, yf(x)$ がすべて $-1$ より大きいような任意の $x, y$ について, 以下の式が成り立つ.$$f(x+y)=f(x)f(yf(x))$$
- $-1$ より大きい任意の実数 $a, b$ について, $a \lt b$ ならば $f(a) \\geq f(b)$ が成り立つ.

　$\displaystyle f(100) \gt \frac{1}{2020}$ のとき, $\displaystyle f\left(f\left(100\right)-\frac{2021}{2020}\right)$ としてあり得る最大の整数値を求めてください.