　正の実数 $X, Y, Z$ によって 
$$X=\dfrac{x}{x+\sqrt{y}}, \quad Y=\dfrac{y}{y+\sqrt{z^2}}, \quad Z=\dfrac{z}{z+\sqrt{x^3}}$$ 
と表す．相加・相乗平均の関係から，
$$\begin{aligned}\dfrac{1}{z}&= \left(\dfrac{\sqrt{y}}{x}\right)^{6}\left(\dfrac{z}{y}\right)^3\left(\dfrac{\sqrt{x^3}}{z}\right)^4\\\\
&=\left(\dfrac{1 - X}{X}\right)^6 \left(\dfrac{1 - Y}{Y}\right)^3 \left(\dfrac{1 - Z}{Z}\right)^4 \\\\
&=\dfrac{(Y + Z)^{6}}{X^{6}}\dfrac{(Z + X)^{3}}{Y^{3}}\dfrac{(X+Y)^{4}}{Z^{4}}\\\\
&= \frac{1}{X^6Y^3Z^4} \left(\frac{Y}{5}\cdot 5 + \frac{Z}{7} \cdot 7 \right)^6 \left(Z + \frac{X}{5}\cdot 5 \right)^3 \left(\frac{X}{7}\cdot 7 + Y \right)^4 \\\\
&\geq \frac{1}{X^6Y^3Z^4} \left(12\sqrt[12]{\frac{Y^5}{5^5}\cdot\frac{Z^7}{7^7}}\right)^6 \left(6\sqrt[6]{Z \cdot\frac{X^5}{5^5}}\right)^3 \left(8\sqrt[8]{\frac{X^7}{7^7}\cdot Y}\right)^4 \\\\
&= \dfrac{2^{27} \cdot 3^{9}}{5^{5} \cdot 7^{7}}\end{aligned}$$
また，実際に等号を成立させる $x, y, z$ が存在するので，求める答えは $28 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 8= \mathbf{13440}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/9293
　高校範囲からは逸脱しますが，問題の形式から微分を想起する方向けです．\
　ただ，普通に微分しようとすると，$\sqrt{y}$，$\sqrt{x^3}$ あたりが計算を厄介にしそうなので，少し工夫をしたいところです（もしかすると工夫せず求まるかもしれませんが，あまり考えていません）．

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　まず，与えられた条件を次のように書き換える．
$$\dfrac{1}{1+\frac{\sqrt{y}}{x}}+\dfrac{1}{1+\frac{z}{y}}+\dfrac{1}{1+\frac{\sqrt{x^3}}{z}}=1$$
　ここで $s=\dfrac{\sqrt{y}}{x}$，$t=\dfrac{z}{y}$，$u=\dfrac{\sqrt{x^3}}{z}$ とおけば，与条件は対称的な式となる．\
　一方，最大値を求めるべき変数 $z$ についても考える必要がある．$s,t,u$ の定義の式から $x, y$ を消去すると $s^6t^3u^4=\dfrac{1}{z}$ を得る．決してきれいな式ではないが，要は $s^6t^3u^4$ の最小値を求めればよいことになる（微分しやすいという点では，そう悪くない式である）．\
　以上の考察から元の問題は，次のような問いに変化した．

- 条件 $\dfrac{1}{1+s}+\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1+u}=1$ のもとで，$s^6t^3u^4$ の最小値を求めよ．

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　このようにして，Lagrange の未定乗数法を使おうという発想に至る．
$$f(s,t,u,\lambda)=s^6t^3u^4-\lambda \left( \dfrac{1}{1+s}+\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1+u}-1 \right)$$
と置いて，こつこつ偏微分していこう．
$$\begin{cases}
\dfrac{\partial f}{\partial s} =6s^5t^3u^4+\lambda \dfrac{1}{(1+s)^2}=0 \\\\
\dfrac{\partial f}{\partial t} =3s^6t^2u^4+\lambda \dfrac{1}{(1+t)^2}=0 \\\\
\dfrac{\partial f}{\partial u} =4s^6t^3u^3+\lambda \dfrac{1}{(1+u)^2}=0 \\\\
\end{cases}$$
　偏微分後の第 $1$ 項がいずれも $s^6t^3u^4$ 由来であることに注意すると，次のように式変形できる：
$$\dfrac{s}{6(1+s)^2}=\dfrac{t}{3(1+t)^2}=\dfrac{u}{4(1+u)^2}$$
　よって結局は，次の連立方程式を解けばよい．
$$\begin{cases}
\dfrac{1}{1+s}+\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{1}{1+u}=1 \\\\
\dfrac{s}{6(1+s)^2}=\dfrac{t}{3(1+t)^2}=\dfrac{u}{4(1+u)^2} \\\\
\end{cases}$$
　この方程式は一見難しそうに見えるが，次の式変形に気づけば，計算は複雑ではない．
$$\dfrac{s}{(1+s)^2}=\dfrac{1}{1+s} \cdot \dfrac{s}{1+s}=\dfrac{1}{1+s}\left(1-\dfrac{1}{1+s}\right)$$
　改めて $\dfrac{1}{1+s}=p$，$\dfrac{1}{1+t}=q$，$\dfrac{1}{1+u}=r$ と変数を置き直す．$p+q+r=1$ も用いることで，先ほどの連立方程式は次のように書き直される：
$$\begin{cases}
p+q+r=1 \\\\
\dfrac{p(q+r)}{6}=\dfrac{q(r+p)}{3}=\dfrac{r(p+q)}{4} \\\\
\end{cases}$$
　この第二式より，ある定数 $k$ を用いて $pq+qr=3k, qr+rp=4k, rp+pq=6k$ と置ける．これより簡単に $pq=\dfrac{5}{2}k, qr=\dfrac{1}{2}k, rp=\dfrac{7}{2}k$ を得る．積を取って $pqr$ の値を求めれば，適当なわり算によって$p=\dfrac{\sqrt{70k}}{2}, q=\dfrac{\sqrt{70k}}{14}, r=\dfrac{\sqrt{70k}}{10}$．\
　あとは，$p+q+r=1$ より $\sqrt{k}$ が求まり，従って $p, q, r$ が求まり，さらには $s, t, u$ も求まる．

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　なお，Lagrange の未定乗数法は極値（最大値）の存在を保証するものではないので，厳密にはその点には注意が必要です（OMCのルール上，そのようなことは考える必要がないのですが…）．詳しくは適当な参考書等で確認してください．\
　類題として，[OMC112(C)](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc112\/tasks\/3393)，[OMC132(E)](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc132\/tasks\/4656) を挙げておきます．
Lagrange の未定乗数法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc217/editorial/9293/457
　正の実数 $x, y, z$ が 
$$\dfrac{x}{x+\sqrt{y}} + \dfrac{y}{y+\sqrt{z^2}} + \dfrac{z}{z+\sqrt{x^3}} = 1$$ 
をみたすとき，$z$ のとり得る最大値は互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表されるので，$pq$ の正の約数の個数を解答してください.