立方体 $A$ の一辺は立方体 $C$ の対角線の長さと等しいため,  $C$ の一辺の長さを $1$ とすれば $A$ の一辺の長さは $\sqrt3$ である. よって, $x = (\sqrt3)^3=3\sqrt3$ を得る. 特に求める答えは $\bf{27}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/4097
　「立方体 $A$ の一辺は立方体 $C$ の対角線の長さと等しい」はなぜ言えるのでしょうか？\
　ヒント： $A, B, C$ で長さを移していくイメージです．
　<details> <summary> 説明（タップで開く） <\/summary>
　図を描くなどして，$A$ の一辺は球 $B$ の直径に等しいことが分かります．

　また $C$ の頂点はすべて球 $B$ の表面にあり，ある頂点と $C$ においてちょうど反対側の頂点(※)は，球面上でもちょうど反対側にあります．これら $2$ つの頂点の距離は，$C$ で見れば $C$ の対角線の長さであり，$B$ で見れば $B$ の直径の長さです．よってこれらも等しいです．

　従って，$A$ の一辺と $C$ の対角線の長さが等しいことがわかりました．

　(※)  例えば $C$ の頂点を $EFGH-IJKL$ のようにおけば，「 $C$ における $E$ の反対側の頂点」は $K$ を指すものとします．
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解説補足
https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/4097/396
　立方体 $A$ の中に球 $B$ が内接しており，球 $B$ の中に立方体 $C$ が内接しています．このとき，$A$ の体積は $C$ の体積の $x$ 倍になりました．$x^2$ を解答してください．