$N$ から線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $H_1$，$D$ から $NC$ におろした垂線の足を $H_2$ とする．このとき，
$$NH_1 : H_1C : CN = 2 : 3 : \sqrt{13}$$
である．また，三角形 $NH_1C$ と $CH_2D$ は相似であるので，
$$CD=12 \cdot \frac{\sqrt{13}}{3} = 4\sqrt{13}$$
がわかり，求める面積は $\bf{208}$ と計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4879
　正方形 $ABCD$ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AM$ の中点を $N$ とします．$D$ と 直線 $NC$ の距離が $12$ であるとき，正方形 $ABCD$ の面積を求めてください．