$$f(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1)(x^{32}+1)(x^{64}+1)(x^{128}+1)$$
であり，$\rm{mod}\ 4$ で考えると最初の二つ以外の因数はすべて $2$ で高々 $1$ 回しか割り切れない．また，$x-1, x+1$ のうち少なくとも一方は $2$ で高々 $1$ 回しか割り切れず，もう一方は $2^9 \le 1001\lt 2^{10}$ より $2$ で高々 $9$ 回しか割り切れない．よって，$f(2), f(3), \ldots, f(1000)$ はすべて $2$ で高々 $17$ 回しか割り切れない．\
　一方で $f(511)$ は $2$ で $17$ 回割り切れるので，$\textbf{17}$ が求める値である．\
　なお一般に**LTEの補題**により，$n$ が偶数で $x$ と $y$ の偶奇が一致するとき，以下が成り立つ：
$$v_2(x^n-y^n) = v_2(x+y) + v_2(x-y) + v_2(n) - 1. $$
これは上記と同様にして証明可能である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc005/editorial/2454
　関数 $f$ を $f(x)=x^{256}-1$ で定めます．このとき，$f(2), f(3), \ldots, f(1000)$ それぞれが $2$ で割り切れる回数のうち，最大のものを求めてください．