　$0$ 以上 $3$ 以下の整数 $x$ は，$0$ または $1$ である整数 $y, z$を用いて $x=2y+z$ と一意に表されるから，$f(X)$ の値は $X$ を $2^{10} - 1$ 以下の非負整数 $Y, Z$ を用いて $X = 2Y + Z$ と表す場合の数に等しい．ここで $X$ と $Z$ の偶奇は一致することから，$f(X)$ は高々 $2^9$ である．$f(X)=2^9$ なる $X$ について考える．\
　$X$ が偶数のとき，$Z=0$ で対応する $Y$ が存在することから $X\leq 2^{11}-2$ であり，一方 $Z=2^{10}-2$ で対応する $Y$ が存在することから $X\geq 2^{10}-2$ である．逆に，この範囲の偶数 $X$ では確かに $f(X)=2^9$ となる．\
　$X$ が奇数のときも同様に考えることで，全体で求めるべき $X$ が $2^{10} - 2=1022$ 以上 $2^{11} - 1=2047$ 以下の全ての整数であることがわかる．
よって，求めるべき総和は $\mathbf{1574397}$ と計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc152/editorial/3701
　$f(m)$ は
$$(x^{2^00}+x^{2^01}+x^{2^02}+x^{2^03}) (x^{2^10}+x^{2^11}+x^{2^12}+x^{2^13})\cdots
(x^{2^90}+x^{2^91}+x^{2^92}+x^{2^93})$$
を展開したときの$x^m$の係数に等しい.上の多項式を式変形すると,
$$
\begin{aligned}
\Big(\frac{1-x^{2^04}}{1-x^{2^01}}\Big)\Big(\frac{1-x^{2^14}}{1-x^{2^11}}\Big) \cdots
\Big(\frac{1-x^{2^94}}{1-x^{2^91}}\Big)&=\frac{(1-x^{2^84})(1-x^{2^94})}{(1-x^{2^01})(1-x^{2^11})}\\\\
&=\frac{1-x^{2^01024}}{1-x^{2^01}}\frac{1-x^{2^11024}}{1-x^{2^11}}\\\\
&=(x^{2^00}+x^{2^01}+\dots+x^{2^01023})(x^{2^10}+x^{2^11}+\dots+x^{2^11023})
\end{aligned}$$
となり, $f(m)$ は $x+2y=m$ を満たす, $0$ 以上 $1023$ 以下の整数の組 $(x,y)$ の個数に等しい. 後は公式解説同様.
多項式で考える.
https://onlinemathcontest.com/contests/omc152/editorial/3701/647
　非負整数 $X$ に対し，$0$ 以上 $3$ 以下の整数 $x_0, x_1, \ldots, x_9$ を用いて

$$
X = 2^0 x_0 + 2^1 x_1 + \cdots + 2^9 x_9
$$

と表す方法の総数を $f(X)$ で表します．\
　$f(X)$ が最大値をとるような $X$ の総和を求めてください．ただし，$f(X)$ に最大値が存在し，その値を与える $X$ は有限個であることが保証されます．