　$c=1,2,\ldots,P-1$ を固定したとき,  **[OMC033(B)](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc033\/editorial\/240)** の要領で $p_1=p_2$ である. よって, 以下 $c=P$ の場合を考える. $p_2$ についても同様に, $1\/P$ である. $p_1$ について, $(P-1)! \equiv -1 \pmod P$ より $(P-1)!$ 以下の正整数に
- $x \equiv 1,2,\cdots,P-1 \pmod P$ なる $x$ はそれぞれ $\displaystyle\frac{(P-1)!+1}{P}$ 個
- $x\equiv 0 \pmod P$ なる $x$ は $\displaystyle\frac{(P-1)!-(P-1)}{P}$ 個

存在する. したがって, この確率は
$$(P-1) \left(\displaystyle\frac{(P-1)!+1}{P!} \right)^2 + \left(\displaystyle\frac{(P-1)!-(P-1)}{P!} \right)^2$$
と求められる.$\\\\$
　以上より, 条件 $c=P$ による因子 $1\/P$ に留意して
$$
\begin{aligned}
|p_1 - p_2| &= \frac1P \left( (P-1) \left(\displaystyle\frac{(P-1)!+1}{P!} \right)^2 + \left(\displaystyle\frac{(P-1)!-(P-1)}{P!} \right)^2 - \frac1P \right)\\\\
&= \frac1P \left(\frac{(P-1)\\{(P-1)!+1 \\}^2 + \\{(P-1)! - (P-1) \\}^2 - P(P-1)!^2}{P!^2} \right)\\\\
&= \frac1P \left(\frac{P(P-1)}{P!^2} \right)\\\\
&= \frac{1}{P(P-2)!P!}
\end{aligned}
$$
よって, $N=82589933$ について
$$
M = (2^N-3-(N-1)) + (2^N-1-N) = 2^{N+1}-2N-3
$$
明らかに $2^N\lt M$ であるから, 解答すべき値は $3N+4=\bf{247769803}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc083/editorial/2770
　素数 $P=2^{82589933}-1$ について, 以下の各試行で $a+b$ が $c$ の倍数となる確率をそれぞれ $p_1,p_2$ とします.
- $(P-1)!$ 以下の正整数から等確率に $a,b$ を, $P$ 以下の正整数から等確率に $c$ を選んだとき.
- $(P-1)!$ 以下の正整数から等確率に $a$ を, $P$ 以下の正整数から等確率に $b,c$ を選んだとき.

ただし, 同じ範囲から二つの正整数を選ぶときは, 一つずつ順に独立に選ぶこととします. \
　このとき, $|p_1-p_2|$ の逆数は正整数 $n$ になります.  $n$ が $2$ で割り切れる最大回数を $M$ としたとき, $M=2^x-y$ なる正整数の組 $(x,y)$ のうち $x$ が最小のものについて, $x+y$ を求めてください.