　考えられる目の出方として, 以下の二つの場合が考えられる. 
 - $10$ 回のうち, $1$ 回は $3$ が, 残りの $9$ 回は $1$ が出る. 
 - $10$ 回のうち, $2$ 回は $2$ が, 残りの $8$ 回は $1$ が出る. 

前者の場合は ${}\_{10}\mathrm{C}\_{1}=10$ 通り, 後者の場合は ${}\_{10}\mathrm{C}\_{2}=45$ 通りあるので, 答えは $10+45=\mathbf{55}$ 通り.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/editorial/3184
　$9$ 個 の $\circ$ と $2$ 個の $\times$ を左右 $1$ 列に並べてから，一番左に $1$ 個の $\circ$ を追加することを考え，左から $n$ 個目 の $\circ$ の右隣に続く，連続した $\times$ の個数${} \ge 0$ を，$n$ 回目に出た目${} - 1$ に対応させることで，答えは ${}\_{11}\mathrm C\_2 = \mathbf{55}$．
一対一対応
https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/editorial/3184/73
　各面に $1$ から $6$ までの数字が書かれた一般的な六面体のサイコロが一つあります. このサイコロを $10$ 回続けてふったとき, 出た目の総和が $12$ になるような目の出方は何通りありますか？