　まず，以下の補題を示そう．

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**補題．**正の整数 $n$ および素数 $p$ について，$n$ の $p$ 進数表示における各桁の和を $s_p(n)$ とすると，$n!$ は $p$ でちょうど $\dfrac{n-s_p(n)}{p-1}$ 回割り切れる．\
**証明．**$n = 1$ のとき，補題は明らかに成立する．補題がある正の整数 $n$ で成立すると仮定する．このとき繰り上がりを考えることで
$$s_p(n+1) - s_p(n) = 1-(p-1)v_p(n+1)$$
が成り立つから，
$$\frac{{n+1}-s_p(n+1)}{p-1}-\frac{n-s_p(n)}{p-1} = v_p(n+1)$$
となり，補題が $n+1$ でも成立することが分かる．なお，正の整数 $x$ に対し，$p^m$ が $x$ を割り切るような最大の整数 $m$ を $v_p(x)$ で表している．
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　補題より，$k=1,2,...,n$ に対して ${}\_{n}\mathrm{C}\_{k}$ は $7$ で $\dfrac{s_7(k)+s_7(n-k)-s_7(n)}{6}$ 回割り切れる．したがって，${}\_{n}\mathrm{C}\_{k}$ が $7$ の倍数でないことは $s_7(k)+s_7(n-k)=s_7(n)$ が成り立つことと同値である．よって，$n, k$ の $7$ 進法表示をそれぞれ
$$n=a_07^0+a_17^1+...+a_{9}7^{9},\quad k=b_07^0+b_17^1+...+b_{9}7^{9}$$
とすると，${}\_{n}\mathrm{C}\_{k}$ が $7$ で割り切れないことは $0\le i\le 9$ で $a_i\ge b_i$ が成立することと同値となる．そのような $k$ は
$$(a_0+1)(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_9+1)$$
だけあり，これが $10^4$ に等しいので，$a_0,a_1,a_2,...,a_9$ は次のうちいずれかの並べ替えである．
$$\begin{aligned}
0,0,1,1,1,1,4,4,4,4\\\\
0,0,0,1,1,3,4,4,4,4\\\\
0,0,0,0,3,3,4,4,4,4
\end{aligned}$$
各々の組について組 $(a_0,a_1,a_2,...,a_9)$ の数を数え上げればよく，求める $n$ の個数は
$$\frac{10!}{2!\times4!\times4!}+\frac{10!}{3!\times2!\times1!\times4!}+\frac{10!}{4!\times2!\times4!}=\mathbf{18900}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc168/editorial/5003
　$10^4-1$ 以上 $7^{10}-1$ 以下の整数 $n$ であって，次の $n+1$ 数のうちちょうど $10^4$ 個が $7$ で**割り切れない**ようなものはいくつありますか？
$${}\_{n}\mathrm{C}\_{0},\quad
{}\_{n}\mathrm{C}\_{1},\quad
{}\_{n}\mathrm{C}\_{2},\quad \ldots,\quad
{}\_{n}\mathrm{C}\_{n}$$