　$100$ の各約数 $d$ の $f\_{100}(100)$  への寄与を考える．$f\_{100}(100)$ において，$d$ は 
$$a\_{100}=100, \quad a\_{0}=d, \quad a\_{i}|a\_{i+1}\ (i=0,1,\dots,99)$$ 
を満たす整数列 $(a\_{0},a\_{1},\dots,a\_{100})$ の個数分だけ加算される．この数列の個数は各素因数ごとに独立に考えることができ，$d=2\^{p}5^\{q}$ とすれば，上記の数列の個数は，
$$\binom{101-p}{2-p}\times\binom{101-q}{2-q}$$
個である．よって，求める答えは   
$$\begin{aligned}
f\_{100}(100)&=\left(\sum\_{p=0}\^{2}\binom{101-p}{2-p}2\^{p}\right)\left(\sum\_{q=0}\^{2}\binom{101-q}{2-q}5\^{q}\right) \\\\
&=5254\times5575 \\\\
&=\mathbf{29291050}
\end{aligned}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce005/editorial/6554
　正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数の列 $\\{ f_i \\}$ を，$f_0(n) = n$ および
$$ f\_i(n)= \sum\_{d\mid n}f\_{i-1}(d) \quad (i = 1, 2, 3, \ldots) $$
によって定めます．このとき，$f\_{100}(100)$ を求めてください．ただし，$\sum\limits\_{d\mid n}$ は $n$ のすべての正の約数 $d$ について総和をとることを意味します．