　解と係数の関係より
$$α+β=15-m,\quad αβ=16m-69$$
を得る．また，$\alpha$ と $\beta$ が共役の関係にあることに注意すれば，
$$α^{6}=\overline{α^6}=(\overline{\alpha})^6 = β^{6}$$
となる．いま，$α^6-β^6$ の因数分解を考えれば，以下のいずれかが成り立つ（これらは十分条件でもある）．
$$α+β=0, \quad α^{2}+αβ+β^{2}=0 ,\quad α^{2}-αβ+β^{2}=0$$
　$α+β=0$ のとき，$m=15$ より与方程式は
$$x^{3}-x^{2}+nx-171=0$$ 
さらに $x=1$ が解であるから $n=171$．これは条件をみたす．\
　$α^{2}+αβ+β^{2}=0$ のとき，以下のようになるが，このとき $m$ は整数でない．
$$\begin{aligned}
0=α^{2}+αβ+β^{2}
&=(α+β)^{2}-αβ\\\\
&=(15-m)^{2}-(16m-69)\\\\
&=m^{2}-46m+294
\end{aligned}$$
　 $α^{2}-αβ+β^{2}=0$ のとき，同様にして $m=6, 72$ を得る．
$$\begin{aligned}
0=α^{2}-αβ+β^{2}
&=(α+β)^{2}-3αβ\\\\
&=(15-m)^{2}-3(16m-69)\\\\
&=m^{2}-78m+432
\end{aligned}$$
　$m=6$ のとき与方程式は
$$x^{3}-10x^{2}+nx-27=0$$
$x=1$ が解であるから $n=36$．また，$m=72$ のとき与方程式は
$$x^{3}+56x^{2}+nx-1083=0$$
$x=1$ が解であるから $n=1026$．これらはともに条件を満たす．\
　以上より，解答すべき値は
$$(15+171)+(6+36)+(72+1026)=\mathbf{1326}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc163/editorial/5471
　複素数（数学Ⅲ）の知識を用いる方法です．\
\
  　$\alpha$ と $\beta$ は共役の関係にある．極形式を用いれば，$\alpha=c(\cos \theta+i \sin \theta)$，$\beta=c(\cos \theta-i \sin \theta)$ とおける．ここで，$\alpha^6$，$\beta^6$ が実数であることから，$\theta=\dfrac{k}{6}\pi$ である（ただし $k \neq 6l$）．\
  　解と係数の関係より $1+\alpha+\beta=-(m-16)$，$\alpha+\beta+\alpha\beta=n$，$\alpha\beta=-(69-16m)$ であり，適当な計算をすることで，次の式を得る：\
  　　$m^2-30m+225=4\cos^2 \theta(16m-69)$\
  　ここで $\theta$ の条件を思い出すと，$\cos^2 \theta$ の取り得る値は $0$，$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{3}{4}$ のいずれかである．\
  　それぞれの場合に二次方程式を計算することで，$\cos\theta=0$ のとき $(m,n)=(15,171)$ を，$\cos\theta=\dfrac{3}{4}$ のとき $(m,n)=(6,36),(72,1026)$ を得る．
  　
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc163/editorial/5471/240
　$x$ の整数係数 $3$ 次方程式
$$x^{3}+(m-16)x^{2}+nx+69-16m=0$$ 
は実数解 $x=1$ と相異なる $2$ つの虚数解 $x=α, β$ をもち，さらに $α^{6}, β^{6}$ はともに実数でした．このとき，$m+n$ としてありうる値の総和を求めてください．