　$Q, T, U$ を通る円を $\Gamma^\prime$ とし，直線 $IT, IU$ について，$\Gamma^\prime$ との $T,U$ ではない交点をそれぞれ $T^\prime, U^\prime$ とおくと，
$$ \angle PTU = \angle DTU = \angle DEU = \angle QUU^\prime = \angle QT^\prime U^\prime. $$
同様に $\angle PUT = \angle QU^\prime T^\prime$ より，$\triangle PTU$ と $\triangle QT^\prime U^\prime$ は相似．また $IT = IU$ より
$$ \angle T^\prime TU = \angle ITU = \angle IUT = \angle U^\prime UT = \angle U^\prime T^\prime T $$
となり，$TU \mathrel{\/\\!\/} U^\prime T^\prime$ が従う．   
　よって $\triangle PTU$ と $\triangle QT^\prime U^\prime$ は，$TT^\prime$ と $UU^\prime$ の交点 $I$ を中心とした相似拡大の関係にあり，特に $P, I, Q$ は共線．さらに $IP = IQ$ より $\triangle PTU \equiv \triangle QT^\prime U^\prime$ であるから，四角形 $TUT^\prime U^\prime$ は長方形．したがって $I$ が $\Gamma^\prime$ の中心であって，$P$ は $\Gamma^\prime$ の円周上にある．これより以下のそれぞれが直角であることが順次わかる．
$$ \angle PTQ,\qquad \angle PTE = \angle DTE,\qquad \angle DAE = \angle BAC $$
　$I$ は $\triangle ABC$ の内心より $\angle TIU = \angle BIC = \dfrac{3\pi}4$ で，$\Gamma$ の中心を $O$ として $\angle OIT = \angle OIU = \dfrac{3\pi}8$．よって
$$ x^2 = IT^2 = \left(OT\tan\frac\pi8\right)^2 = (\sqrt{2}-1)^2\left(\dfrac{DE}{2}\right)^2 =  \frac{3 - 2\sqrt2}4 \times \left(20^2 + 22^2\right) = 663 - 442\sqrt2 $$
となり，求める答えは $\mathbf{1107}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc081/editorial/2524
　複素が刺さったので複素で解く解法を書きます（したがってこの解説では初等幾何を複素座標での計算で解くのに必要な知識は仮定します）．\
　まず，Pascalの定理から $P,I,Q$ の共線がわかります（しかしこれは使いませんでした）．$IP=IQ$ をうまく言い換えられないかなと思い立って複素座標で計算することにしました．\
　$\Gamma$ を単位円と仮定します（長さの条件に合うようにあとから調節すれば良いです）．\
　$U,T,D,E,I,P,Q$ の複素座標をそれぞれ $u,t,d,e,i,p,q$ とします．$I$ は $U,T$ から引いた接線の交点なので
$$i=\dfrac{2tu}{t+u}$$
となります．$P$ は $DT$ と $EU$ の交点なので
$$p=\dfrac{dt(e+u)-eu(d+t)}{dt-eu}$$
となり，頑張って計算すると
$$i-p=\dfrac{(t-u)\bigl(tu(d+e)-de(t+u)\bigr)}{(t+u)(dt-eu)}$$
となります．$i-q$ に関しては $D$と$E$ を入れ替えるだけでいいので\
$$i-q=\dfrac{(t-u)\bigl(tu(d+e)-de(t+u)\bigr)}{(t+u)(et-du)}$$
となります．\
　$IP=IQ$ より $|i-p|=|i-q|$ となるので $|dt-eu|=|du-et|$ となります．これより $\dfrac{dt}{eu}=\dfrac{du}{et}$ と $\dfrac{dt}{eu}=\dfrac{et}{du}$ のどちらかが成り立ちます．すなわち，$DE$ と $TU$ のどちらかは直径です．$TU$ が直径だとすると $I$ が無限遠点になってしまうため $DE$ は直径です．\
　$\angle DAE=90^\circ, ~ AD=20,~ AE=22$ から $\Gamma$ の半径が $\sqrt{221}$ であることがわかります（$\sqrt{884}$ と勘違いして1ペナしました）．$\angle BAC=90^\circ$ より $\angle BIC=135^\circ$ がわかります．\
　$DE$ が直径なので $e=-d$ であり，先ほど求めた式に代入すると
$$x=|i-p|=\left|\dfrac{t-u}{t+u}\right|$$
となります（$\Gamma$ が単位円になるように長さを変化させたあとの図であることに注意）．\
　$\angle UIT=135^\circ$ より $u$ と $t$ の偏角の差は $45^\circ$ であることがわかり，図を描くと $x=\tan22.5^\circ$ となります．
$\Gamma$ の半径は $\sqrt{221}$ なので図を元の長さに戻すと $x^2=221(3-2\sqrt{2})$ となり，答えは $663+442+2=1107$ です．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc081/editorial/2524/36
　$I$ を内心とする三角形 $ABC$ において，円 $\Gamma$ は点 $A$ を通り，直線 $BI, CI$ にそれぞれ点 $T, U$ で接します．このとき線分 $AB, AC$ について，それぞれ $\Gamma$ との $A$ でない交点 $D, E$ が存在しました．さらに直線 $DT, EU$ が点 $P$ で，直線 $DU, ET$ が点 $Q$ で交わりました．ある実数 $x$ について
$$ AD = 20,\qquad AE = 22,\qquad IP = IQ = x $$
となるとき，$x^2$ は平方因子を持たない正整数 $c$ および正整数 $a$, $b$ を用いて $a - b \sqrt c$ と表されるので，$a + b + c$ を解答してください．