　ここでは一般に $2$ 以上の整数 $N$ に対し，$\eta$ を
$$\eta = \cos \frac{\pi}{3N} + i \sin \frac{\pi}{3N}$$
と定め，$6N$ 以下の正整数からなる列 $(a_1, \ldots, a_{12})$ に対し問題の条件が課せられているとしよう．以後 $K$ は正整数とし，$(x_1, \ldots, x_K)$ を $6N$ 以下の正整数 $K$ 個からなる列であるとする．ここで用語を一つ定義する．

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　$(x_1, \ldots, x_K)$ が次の $2$ 条件をどちらもみたすとき，これを**良い列**と呼ぶことにする：
- **条件 1.**　各 $n = 1, \ldots, K$ で
$$(\eta^{x_1} + \cdots + \eta^{x_n})^5 = \eta^{5x_1} + \cdots + \eta^{5x_n}$$
が成り立つ．
- **条件 2.**　$n = 1, \ldots, K$ のうち
$$\eta^{x_1} + \cdots + \eta^{x_n} = 0$$
が成り立つのは $n = K$ のときであり，かつそのときに限る．

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　ではここで， $(x_1, \ldots, x_K)$ を各元の相異なる良い列とし，この列を以下のように定める $S_n$ からなる列 $(S_1, \ldots, S_K)$ の表し方によって分類しよう．
$$S_n = \eta^{x_1} + \cdots + \eta^{x_n}\ (n = 1, \ldots, K)$$
$\eta \neq 0$ なので，条件 2. より $K \geq 2$ でなければならない．$1 \leq k \leq K - 1$ なる $k$ を一つ固定し，条件 1. における $n = k, k + 1$ のときの等式から辺々差をとることで
$$(S_k + \eta^{x_{k + 1}})^5 - S_k^5 = \eta^{5x_{k + 1}}$$
が得られる．上式を $(1)$ とする．これを変形すると
$$\eta^{x_{k + 1}} S_k (S_k + \eta^{x_{k + 1}})(S_k^2 + \eta^{x_{k + 1}} S_k + \eta^{2x_{k + 1}}) = 0$$
となるが，$S_k + \eta^{x_{k + 1}} = S_{k + 1}, \eta \neq 0$ であることと，条件 2. による $S_k \neq 0$ からこれは
$$S_{k + 1} \left ( \left (\frac{\eta^{x_{k + 1}}}{S_k} \right )^2 + \frac{\eta^{x_{k + 1}}}{S_k} + 1 \right ) = 0$$
に変形でき，これより $S_{k + 1} = 0$ または
$$ \eta^{x_{k + 1}} = \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} S_k$$
を得る．したがって，$\omega = \dfrac{1 + \sqrt{3} i}{2}$ とおくと，式 $(1)$ をみたすことは
$$S_{k + 1} = 0，S_{k + 1} = \omega S_k，S_{k + 1} = \omega^{-1} S_k $$
のいずれかをみたすことと同値である．上式を $(2)$ とする． \
　以後，複素平面において複素数 $z$ を表す点を $P(z)$ と表す．また，
$$\omega = \cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ}$$
と表せることに注意．$\alpha = S_1\ (= \eta^{x_1})$ とし，複素平面上に原点 $O$ および
$$P(\alpha), P(\omega \alpha), P(\omega^2 \alpha), P(- \alpha), P(\omega^{-2} \alpha), P(\omega^{-1} \alpha)$$
をとり，図のように，これら $7$ つの点を長さ $1$ の線分でつないだものを考える．

![figure 1](\/images\/tYqt3cmGKmpL5mw7N4ZOCJtH85SxTbUcyEIP8nns)

すべての $k = 1, \ldots, K - 1$ で $(2)$ が成り立つことは，任意の $k = 1, \ldots, K - 1$ に対し $P(S_k)$ と $P(S_{k + 1})$ がさきほどの線分でつながり合うことと言い換えられる．さらに，$O$ から $P(\alpha)$ へ向かう有向線分を $e_1$ とし， $k = 2, \ldots, K$ に対し $P(S_{k - 1})$ から $P(S_k)$ に向かう有向線分を $e_k$ とすると，$e_1, \ldots, e_K$ はすべて向きが相異なる．これは
$$\eta^{x_1} = \alpha - 0，\eta^{x_k} = S_k - S_{k - 1}\ (k - 2, \ldots, K)$$
であり，$\eta^{x_1}, \ldots, \eta^{x_K}$ が相異なることからしたがう．また，$P(S_1), \ldots, P(S_K)$ のうち $O$ に一致するのは $P(S_K)$ のみである．以上のことに注意すれば，$O, P(S_1), \ldots, P(S_K)$ を順につないだ経路は次の図に示す $8$ 通りおよびそれを直線 $P(\alpha)P(- \alpha)$ を軸に反転させたものの計 $15$ 通りに限られる．

![figure 1](\/images\/duLlc2eujYkrXJHus0yQC5L7qrptcWrpSz38Deah)

したがって図のそれぞれの経路に対し，$(S_1, \ldots, S_K)$ の表し方を対応させると下記の通りとなる（それぞれ複合同順とせよ）．
- $\mathrm{Path\ 1} \rightarrow (\alpha, 0)$
- $\mathrm{Path\ 2} \rightarrow (\alpha, \omega^{\pm 1} \alpha, 0)$
- $\mathrm{Path\ 3} \rightarrow (\alpha, \omega^{\pm 1} \alpha, \omega^{\pm 2} \alpha, 0)$
- $\mathrm{Path\ 4} \rightarrow (\alpha, \omega^{\pm 1} \alpha, \alpha, 0)$
- $\mathrm{Path\ 5} \rightarrow (\alpha, \omega^{\pm 1} \alpha, \omega^{\pm 2} \alpha, -\alpha, \omega^{\mp 2} \alpha, 0)$
- $\mathrm{Path\ 6} \rightarrow (\alpha, \omega^{\pm 1} \alpha, \omega^{\pm 2} \alpha, -\alpha, \omega^{\pm 2} \alpha, 0)$
- $\mathrm{Path\ 7} \rightarrow (\alpha, \omega^{\pm 1} \alpha, \alpha, \omega^{\mp 1} \alpha, \omega^{\mp 2} \alpha, 0)$
- $\mathrm{Path\ 8} \rightarrow (\alpha, \omega^{\pm 1} \alpha, \alpha, \omega^{\mp 1} \alpha, \alpha, 0)$

さらに経路について下記の事実が成り立つ：
- $\mathrm{Path\ 1}$ を構成する $2$ つの有向線分の始点を重ねるとすべて $180^{\circ}$ 間隔で並ぶ．
- $\mathrm{Path\ 2}$ を構成する $3$ つの有向線分の始点を重ねるとすべて $120^{\circ}$ 間隔で並ぶ．
- $\mathrm{Path\ 3, Path\ 4}$ はいずれも，それを構成する $4$ つの有向線分の始点を重ねると $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ の順で間隔をつけて並ぶ．
- $\mathrm{Path\ 5, Path\ 6, Path\ 7, Path\ 8}$ はいずれも，それを構成する $6$ つの有向線分の始点を重ねるとすべて $60^{\circ}$ 間隔で並ぶ．

また，$\omega = \eta^N$ なので，$\eta^{s}, \eta^{t}$ を表す有向線分の向きが $60^{\circ}$ 異なることは $\mathrm{mod} ~ 6N$ で $s, t$ の差が $N$ に等しいことを意味する．このことも含め，各元の相異なる良い列 $(x_1, \ldots, x_K)$ について特に以下の事実を得る：
- **事実 1.**　$K$ としてあり得る値は $2, 3, 4, 6$ に限られる．
- **事実 2.**　$K = 2$ の場合，$x_1$ の値を $1$ つ定めると $(x_1, x_2)$ は $1$ 通りに定まり，$x_1, x_2$ は $\mathrm{mod} ~ 3N$ で合同である．
- **事実 3.**　$K = 3$ の場合，$x_1$ の値を $1$ つ定めると $(x_1, x_2, x_3)$ は $2$ 通り考えられるが，いずれにしろ $x_1, x_2, x_3$ は $\mathrm{mod} ~ 2N$ で合同である．
- **事実 4.**　$K = 4$ の場合，$x_1$ の値を $1$ つ定めると $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ は $4$ 通り考えられるが，いずれにしろ $x_1, x_2, x_3, x_4$ は $\mathrm{mod} ~ N$ で合同である．さらに，$x_1$ と $\mathrm{mod} ~ N$ で合同な $6N$ 以下の正整数 $6$ 個のうち，$x_1, x_2, x_3, x_4$ の値として使わない $2$ つは $\mathrm{mod} ~ 3N$ で合同である．
- **事実 5.**　$K = 6$ の場合，$x_1$ の値を $1$ つ定めると $(x_1, \ldots, x_6)$ は $8$ 通り考えられるが，いずれにしろ $x_1, \ldots, x_6$ は $\mathrm{mod} ~ N$ で合同である．

　それではここまでを踏まえて，条件をみたす列 $(a_1, \ldots, a_{12})$ の個数を数えよう．$K_1 + K_2 + K_3 = 12$ なる $3$ つの正整数 $K_1, K_2, K_3$ であって，
$$\eta^{a_1} + \cdots + \eta^{a_{K_1}} = \eta^{a_1} + \cdots + \eta^{a_{K_1 + K_2}} = 0$$
をみたすものが（一意的に）定められる．さらに $b_1, \ldots, b_{K_2}, c_1, \ldots, c_{K_3}$ を以下のように定める：
- 各 $k = 1, \ldots, K_2$ で $b_k = a_{K_1 + k}$ をみたす．
- 各 $k = 1, \ldots, K_3$ で $c_k = a_{K_1 + K_2 + k}$ をみたす．

すると $(a_1, \ldots, a_{12})$ がみたすべき条件を次のように言い換えることができる：
- $a_1, \ldots, a_{K_1}, b_1, \ldots, b_{K_2}, c_1, \ldots, c_{K_3}$ は相異なる．
- $3$ つの列 $(a_1, \ldots, a_{K_1}), (b_1, \ldots, b_{K_2}), (c_1, \ldots, c_{K_3})$ はすべて良い列である．

事実 1. より $K_1, K_2, K_3$ の値の組み合わせとしてあり得るものは
$$\\{2, 4, 6\\}，\\{3, 3, 6\\}，\\{4, 4, 4\\}$$
の $3$ パターンである．以下，このパターン毎で場合分けし議論する．

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- **Case 1．** $K_1, K_2, K_3$ の値の組み合わせが $\\{2, 4, 6\\}$ のとき： \
　$K_1, K_2, K_3$ への値の割り振り方は $3!$ 通りある．ここでは $(K_1, K_2, K_3) = (6, 4, 2)$ として議論する．まず $a_1$ の定め方は $6N$ 通りあり，その定め方に対し $(a_1, \ldots, a_6)$ は $8$ 通りある．すると事実 4. 5. より，$b_1$ のとり得る値は $a_1, \ldots, a_6$ で使ったもの以外の $6N - 6$ 通りであり，その定め方に対し $(b_1, b_2, b_3, b_4)$ は $4$ 通りある．さらに事実 2. 4. 5. より，$c_1$ のとり得る値は $a_1, \ldots, a_6, b_1, \ldots, b_4$ で使ったもの以外の $6N - 10$ 通りであり， $c_2$ は自動的に決まる．以上の数え方は $K_1, K_2, K_3$ への値の割り振りが他の場合でも同様にできるので，このケースにおける列 $(a_1, \ldots, a_{12})$ の個数は
$$3! \times 6N \times 8 \times (6N - 6) \times 4 \times (6N - 10) = 2^9 \cdot 3^3 N(N - 1)(3N - 5)$$
である．

- **Case 2．** $K_1, K_2, K_3$ の値の組み合わせが $\\{3, 3, 6\\}$ のとき： \
　$K_1, K_2, K_3$ への値の割り振り方は $3$ 通りある．ここでは $(K_1, K_2, K_3) = (6, 3, 3)$ として議論する．まず $a_1$ の定め方は $6N$ 通りあり，その定め方に対し $(a_1, \ldots, a_6)$ は $8$ 通りある．すると事実 3. 5. より，$b_1$ のとり得る値は $a_1, \ldots, a_6$ で使ったもの以外の $6N - 6$ 通りであり，その定め方に対し $(b_1, b_2, b_3)$ は $2$ 通りある．さらに $c_1$ のとり得る値は $a_1, \ldots, a_6, b_1, b_2, b_3$ で使ったもの以外の $6N - 9$ 通りであり， その定め方に対し $(c_1, c_2, c_3)$ は $2$ 通りある．以上の数え方は $K_1, K_2, K_3$ への値の割り振りが他の場合でも同様にできるので，このケースにおける列 $(a_1, \ldots, a_{12})$ の個数は
$$3 \times 6N \times 8 \times (6N - 6) \times 2 \times (6N - 9) \times 2 = 2^7 \cdot 3^4 N(N - 1)(2N - 3)$$
である．

- **Case 3．** $K_1, K_2, K_3$ の値の組み合わせが $\\{4, 4, 4\\}$ のとき： \
　まず $a_1$ の定め方は $6N$ 通りあり，その定め方に対し $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ は $4$ 通りある．すると事実 4. より，$b_1$ のとり得る値は（$a_1, a_2, a_3, a_4$ で使ったもの以外であるのみならず）$a_1$ と $\bmod N$ で合同な $6$ 数以外の $6N - 6$ 通りである．実際，その $6$ 個のうち $a_1, a_2, a_3, a_4$ で使っていないものを $b_1$ に割り当てたとしたら，$b_2, b_3, b_4$ のどれかは $a_1, a_2, a_3, a_4$ で使った数となるため不適である．また，$b_1$ の定め方に対し $(b_1, b_2, b_3, b_4)$ は $4$ 通り得られる．同様に $c_1$ のとり得る値は，$a_1, b_1$ のどちらかと $\bmod N$ で合同な $12$ 数以外の $6N - 12$ 通りであり，その定め方に対し $(c_1, c_2, c_3, c_4)$ は $4$ 通りある．よって，このケースにおける列 $(a_1, \ldots, a_{12})$ の個数は
$$6N \times 4 \times (6N - 6) \times 4 \times (6N - 12) \times 4 = 2^9 \cdot 3^3 N(N - 1)(N - 2)$$
である．

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　以上の議論より，条件をみたす $(a_1, \ldots, a_{12})$ 全体の個数は
$$2^7 \cdot 3^3N(N - 1)(2^2(3N - 5) + 3(2N - 3) + 2^2(N - 2)) = 3456N(N - 1)(22N - 37)$$
であり，$N = 185$ でこれは $\mathbf{474451153920}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/editorial/11857
　$i$ を虚数単位とし，複素数 $\eta$ を次のように定めます．
$$\eta = \cos \frac{\pi}{555} + i \sin \frac{\pi}{555}$$
このとき，相異なる $1$ 以上 $1110$ 以下の整数の組 $(a_1, \ldots, a_{12})$ であって，以下の条件をともにみたすものはいくつありますか？
- 各 $n = 1, 2, \ldots, 12$ で
$$(\eta^{a_1} + \cdots + \eta^{a_n})^5 = \eta^{5a_1} + \cdots + \eta^{5a_n}$$
が成り立つ．

- $1 \leq n \leq 12$ なる整数 $n$ であって
$$\eta^{a_1} + \cdots + \eta^{a_n} = 0$$
をみたすものがちょうど $3$ つ存在し，そのうちの $1$ つは $12$ である．