　$N=50!$ とおく．  

**補題．** $n,t$ を正整数としたとき，$t \lt N$ であれば， $f_n(x)=t$ なる整数 $x$ は $2n$ 個存在する．また，$f_n(x)=0$ なる整数 $x$ は $n$ 個存在する．  

**証明．** より強く，任意の非負整数 $t \le N$ に対して $f_n(x) = t$ の解は，$t \le N$ のとき
$$x=\pm t + kN \quad (k=-n+1,-n+3,\ldots,n-1)$$ 
であり，$t \gt N$ のときは
$$ x = \pm (t + (n-1)N ) $$
が全てであることを帰納法を用いて示す．$n=1$ のとき，$f_1(x)=t$ の解は $x=\pm t$ であるため成立する．$n=m$ での成立を仮定すると，$f_{m+1}(x)= |f_m(x)-N| $ より，$f_m(x)=t+N,-t+N$ それぞれでの解を求めればよい．$t=0$ のとき，$f_m(x)=N$ から仮定より
$$ x=\pm N + kN \quad (k=-m+1,-m+3,\ldots,m-1) $$
がすべての解である．また $0 \lt t\le N$ のとき，$0 \le -t+N \lt N$ および $N \lt t+N$ なので，仮定より
$$
x = \pm(-t+N) + kN \quad (k=-m+1,-m+3,\ldots,m-1)
$$
および $x = \pm (t + N + (n-1)N )$ がすべての解となる．いずれの場合も整理すると，
$$x=\pm t + kN \quad (k=-m,-m+2,\ldots,m)$$ 
がすべての解となるのでよい． さらに，$t \gt N$ のとき，$f_m(x) = t+N$ のみが解をもち，これは 
$$ x = \pm (t + N + (m-1)N ) = \pm (t + mN) $$
で尽くされるのでよい．  
　以上の議論により，$0 \lt t \lt N$ のとき解の個数は $2n$ 個，また $t=0$ のとき解は $n$ 個であることがわかる．$\square$

　上記補題により，$t,b,c$ $(t \lt N)$ を正整数としたときの，$f_b(x)+f_c(y)=t$ なる整数 $(x,y)$ の組の数は，$f_b(x)=s,f_c(y)=t-s$ となるケースを考えると，$s=0$ のとき $b\times 2c$ 個あり，$s=t$ のとき $2b\times c$ 個あり，$0\lt s \lt t$ では，$2b\times 2c$ 個ある．これらを合計すると，$4bct$ 個となる．したがって，$a,b,c,d$ を正整数としたとき，$a \leq f_{b}(x) + f_{c}(y) \leq d$ を満たす整数の組 $(x,y)$ の個数は，$d\leq (10!)^{5} \lt N$ より前記の議論を行うことができて，
$$
\begin{aligned}
\sum_{t=a}^d 4bct &= 4bc\bigg(\frac{d(d+1)}{2}-\frac{a(a-1)}{2}\bigg) \\\\
&=2bc(d+a)(d-a+1)
\end{aligned}
$$
と計算できる．これが $(10!)^5$ となるような正整数の組 $(a,b,c,d)$ の数を求める．$(10!)^5 = (2^8\cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7)^5 = 2^{40}\cdot 3^{20}\cdot 5^{10} \cdot 7^5$ である．よって，
$$
bc(d+a)(d-a+1) = 2^{39}\cdot 3^{20}\cdot 5^{10} \cdot 7^5
$$
であり，$(d+a)-(d-a+1) = 2a-1 \gt 0 $ で，$d+a,d-a+1$ の偶奇は異なる．よって $u=d+a,v=d-a+1$ とおくと，今回求める $(a,b,c,d)$ の組の個数は，$u, v$ の偶奇が異なり，$u\gt v$ となるような正整数 $u, v$ と正整数 $b,c$ であって
$$
bcuv = 2^{39}\cdot 3^{20}\cdot 5^{10} \cdot 7^5
$$
を満たすものの個数と一致する．$u,v$ の大小関係を一度無視したとき，$3,5,7$ の指数を $u,v,b,c$ に配分する方法はそれぞれ ${}\_{23}\mathrm{C}\_{3},{}\_{13}\mathrm{C}\_{3},{}\_{8}\mathrm{C}\_{3}$ 通りあり，$2$ については，$u,v$ の片方が奇数，もう片方が偶数という制約から，$u,v$を一つの変数とみなすと，$2^{38}$ を $3$ つの変数に配分するとみなすことができ，これは ${}\_{40}\mathrm{C}\_{2}$ 通りであるため，$u,v$ のどちらが偶数になるかを考慮することで，$2\cdot {}\_{40}\mathrm{C}\_{2}$通りとわかる．一方で，$u,v$ の偶奇が異なることから，両者が一致することはないため，$u\gt v$ なるものの数と $u \lt v$ なるものの数は一致する．よって，求める個数は，
$$
{}\_{23}\mathrm{C}\_{3}\cdot {}\_{13}\mathrm{C}\_{3} \cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{3}\cdot 2\cdot {}\_{40}\mathrm{C}\_{2} \div 2 = \mathbf{22124182080}
$$
とわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce007/editorial/10115
　実数に対して定義され，実数値を取る関数の列 $ f_1, f_2, \ldots$ を以下で定めます．  
$$
\begin{cases}
f_{1}(x) = |x| \\\\
f_{n+1}(x) = |f_n(x)-50!| &(n\geq 1)\\\\
\end{cases}
$$
　このとき，以下を満たす整数 $(x,y)$ の組の個数が $(10!)^5$ 個になるような $(10!)^5$ 以下の正整数の組 $(a,b,c,d)$ はいくつありますか．
$$
a \leq f_{b}(x) + f_{c}(y) \leq d
$$