　$f(n,k)$ の計算において, 各 $2$ べきの寄与を分離して考えることで以下の等式を得る：
$$
f(n,k) = \sum_{i=0}^{n-1} {}\_{n-1}\mathrm{C}\_{k-1} 2^{i} = {}\_{n-1}\mathrm{C}\_{k-1} (2^{n}-1)
$$
このとき, $500$ 以下の正整数 $N$ に対して $g(N) = f(1000-N,N)$ とすると,
$$
\frac{g(N+1)}{g(N)} = \frac{(1000-2N)(999-2N)}{N(999-N)} \times \frac{2^{999-N}-1}{2^{1000-N}-1}
$$
ここで, 適当な評価によって近似的に $\displaystyle \frac{2^{999-N}-1}{2^{1000-N}-1} \approx \frac{1}{2}$ とみなして計算しても影響がないことが分かる. すなわち
$$g(N+1)\geq g(N) \implies 6N^{2} - 5996N + 999000 \geq 0 \implies 1 \leq N \lt 211.29$$
以上より, $N=\textbf{212}$ が $g(N)$ の最大値を唯一与える.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/editorial/1750
　正整数 $n\geq k$ に対して, $n$ 個の整数 $2^{0}, 2^{1}, \cdots ,2^{n-1}$ のうち相異なる $k$ 個の和としてあり得る値すべての総和を $f(n,k)$ とします. 例えば $f(4,2)$ について
$$f(4,2) = 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 = 45$$
です．$500$ 以下の正整数 $N$ について, $f(1000-N,N)$ が最大値をとるような $N$ の総和を求めてください.