　直線 $BC$ と $DP$ の交点を $Q$ とすれば, $P$ は三角形 $ABQ$ の外心となる. また $AQ$ と $CD$ の交点を $M$ とすれば, 中点連結定理よりこれは $AQ$ の中点で, $\angle PCQ=\angle PMQ=90^\circ$ より $C,M,P,Q$ は共円である. したがって, $CM=AB\/2=7$ に留意すれば方べきの定理より $PQ=8$ がわかり, 求める面積は $7\sqrt{15}=\sqrt{\textbf{735}}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/1682
　解法としてはほぼ公式解説と変わりませんが，思考回路とかも一緒に書いてみました（参考になるかは分かりません）．

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　垂直と等角の条件を見ると，$PD$ と $BC$ を延長して二等辺三角形を作りたくなります（交点を $E$ とします）．すると $P$ は $ABE$ の外心となり，たぶんこの方向性で合っているだろうと自信が持てます．

　$\triangle ABE$ を中心に考えていくと，$D$ の取り方，$DP,CD$ の長さの条件が割と気持ち悪いなと感じます．そこで，どうにかして $\triangle DPC$ と相似な三角形が作れたりしないだろうか？と考えます．$\angle DPC = \angle EAC$ なのでここらへんで作れそうです．その後いろいろ角度を追っていると，$EP$ と $AB$ の交点を $F$ とすることで，$\triangle FAE$ と $\triangle DPC$ の相似が見つかります．

　すると，なんと中点連結定理が使えて，$FB=6$ です．すなわち $AF=8$ ですが，さらになんと相似から $EF=12$ となります．（うまく行くように仕向けて $F$ を取ったわけではないので，これに気付いたときは僕はびっくりしました．）

　あとはどうとでも解けますが，僕は外接円の半径を $r$ とおいて，$FP=\sqrt{r^2-48}$ となることから $r+\sqrt{r^2-48}=12$ を解きました（その後に方べきの定理に気付きました）．これより $r=8$ が得られ，三平方の定理などから求める値は $7\sqrt{15}=\sqrt{\textbf{735}}$ です．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/1682/135
三角関数でゴリ押す方法です。\
$AP=BP$より、$AB$の中点を$M$とおくと$\angle PMB= 90^{\circ}$となる.\
$\angle BPC=x,\angle MBC=y$とおくと、$PB=\frac{7}{\sin(x+y)},PC=\frac{7\cos{x}}{\sin(x+y)}$がわかり、正弦定理より$DC=\frac{7\cos{x}\cos{y}}{\sin(x+y)\cos(y-x)}=3$なので、$7\cos{x}\sin{x}=3\sin(x+y)\cos(y-x)$と変形できる。\
さらに、倍角公式と積和変換を使うことで、$2\sin{2x}=\frac{3}{2}\sin{2y}$と変形できる。\
よって$\sin{2x}:\sin{2y}=3:4$で、正弦定理より$\sin{x}:\cos{y}=3:2$なので$\cos{x}:\sin{y}=1:2$である。\
ここまでくれば$\sin{x},\cos{x},\sin{y},\cos{y}$が求まるので$\tan$の加法定理を使えば$MP=\sqrt{15}$とわかる。\
よって$\triangle ABP$の面積は$14\times \sqrt{15} \times \frac{1}{2}=7\sqrt{15}$なので、求める値は$\textbf{735}$である。
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/1682/140
　公式解説とは異なる点を取る方法です.  
　点 $Q$ を線分 $BP$ 上に, $PQ=2$ となるように取ってみると, 三角形 $CPD$ と三角形 $CPQ$ は合同なので $CQ=3$ です. また, 容易な角度計算により $\angle{ABC}=\angle{BCQ}$ がわかります.  
　さて, $AB$ の中点を $M$ とすれば $4$ 点 $B,C,P,M$ は同一円周上にあります. この $4$ 点を通る円と $CQ$ との交点のうち, $C$ でない方を $R$ とすれば, $\angle{ABC}=\angle{BCQ}$ より四角形 $BCRM$ は等脚台形であり, $CR=AB\/2=7$ です. あとはこの円に方べきの定理を適用することで $BQ=6$ がわかるので $PM=\sqrt{15}$ となり, 解答すべき値は $$(7\sqrt{15})^2=\bf{735}$$ となります.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/1682/141
$$AB=14, \quad CD=3, \quad AB\parallel CD$$
なる凸四角形 $ABCD$ において，その内部の点 $P$ が以下の条件をみたします：
$$AP=BP,\quad \angle BCP=90^{\circ}, \quad \angle BPC= \angle CPD,\quad DP=2$$
このとき，三角形 $ABP$ の面積の $2$ 乗を求めてください．