　$2$ および $3$ で割った余りを考えることで，$p,q,r,s$ には $2$ および $3$ が含まれる．\
　$p=2$ かつ $q=3$ のとき，$(s+r)(s-r)=24$ であるから，以下を得る．
$$(p, q, r, s)=(2, 3, 5, 7)$$ 
　$p=2$ かつ $r=3$ のとき，$8q=(s+3)(s-3)$ であるから，以下を得る．
$$(p, q, r, s)=(2, 2, 3, 5),(2, 5, 3, 7)$$
　$q=2$ のとき，$s^2-r^2=2p^3$ であるが，$r^2,s^2$ はともに $4$ で割って $1$ 余ることから $p=2$ が必要である．このとき対応する $(r,s)$ は（$(r,s)=(3,5)$ を除いて）存在しない．\
　$r=2$ のとき，$s\pm 2$ の最大公約数は $1,2,4$ のいずれかであることに注意すれば，
$$(s+2, s-2)=(p^3, q), (q, p^3), (p^3q, 1)$$
であるほかなく，いずれかは $3$ であることに注意して探索することで，以下を得る．
$$(p, q, r, s)=(3, 31, 2, 29)$$
　以上より，全体では
$$(p, q, r, s)=(2, 3, 5, 7), (2,2,3,5), (2, 5, 3, 7), (3, 31, 2, 29)$$
であるから，求める総積は $\textbf{225420}$ と計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc141/editorial/3261
　素数の組 $(p, q, r, s)$ であって，以下の等式
$$p^3q+r^2=s^2$$
をみたすものすべてについて， $p+q+r+s$ の**総積**を求めてください．