　それぞれの立方体の中心を通る平面を考えればよく, すべての断面が一辺 $\sqrt{2}$ の正六角形になることがわかる. それぞれの正六角形の面積は $3\sqrt{3}$ であるから, 求める断面積の合計は $3\sqrt{3}\times 3=\sqrt{\bf{243}}$ である. 
![figure 1](\/images\/d6QtifKPUOvkxgMKUPMXiPnSpF9Wotf5bSvz8PeA)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/2488
　一辺が $2$ である立方体が $3$ つあります．どの $2$ つの組み合わせについてもある一辺のみを共有し，かつ $3$ つすべてがある一頂点のみを共有しています．\
　この図形をある平面で切断し，どの立方体もそれぞれの体積が二等分されるようにしたとき，それぞれの立方体の断面積の和の $2$ 乗を求めてください．