　それぞれの対角線について, $101$ 個の数の総和は操作によらず $515201$ で一定であることが容易にわかる. したがって, $2$ 本の対角線が重複する中央のマスが $10201$ となる場合が最小で, これをみたす操作は明らかに存在するから, その値は $2\times 515201-10201=\textbf{1020201}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/editorial/1239
　$101$ 行 $101$ 列のマス目に, 次のように $1$ から $10201$ までの整数を一つずつ書き込みます：

- $i$ 行目 $j$ 列目のマスには $101(i-1)+j$ を書き込む.

例えば,  $1$ 行目には $1,2,\cdots,100,101$ が左から順に書き込まれます.\
　ここに, 以下の二種類の操作を, 任意の順序で任意の回数 ($0$ 回でもよい) 行います.

- 任意に行を二つ選び, それらを行ごとすべて入れ替える.
- 任意に列を二つ選び, それらを列ごとすべて入れ替える.

このとき, 最終的に出来上がったマス目について, その対角線上の数の総和として考えられる最小値を求めてください.\
　ここで, **対角線上の数**とは, 以下の条件をみたすマスに書き込まれた数のことを指します：

- $i=j$ または $i+j=102$ なる $i,j$ について, $i$ 行目 $j$ 列目に位置する.