　$n\geq 2$ において
$$A_{n+1}-A_{n}=(A_1+\cdots+A_n)-(A_1+\cdots+A_{n-1})=A_n$$
すなわち $A_{n+1}=2A_n$ である．よって $A_2=1$ より $A_{10}=2^8A_2=\textbf{256}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/editorial/4660
　$A_1=1$ および $n=1,2,\ldots$ に対し
$$A_{n+1}=A_1+A_2+\cdots+A_n$$
をみたす数列 $\\{A_n\\}$ について，$A_{10}$ を求めてください．