　辺 $BC$ と直線 $AE$ の交点を $P$ とする．このとき，
$$\angle ACP = \angle CBD,\quad \angle CAP = \angle BCD$$
より三角形 $ACP$ と三角形 $CBD$ は相似である．さらに，
$$\angle CAP = \angle ECP,\quad \angle APC = \angle CPE$$
より三角形 $ACP$ と三角形 $CEP$ も相似である．従って，
$$AB = AC = CE\times\frac{AP}{CP} = CE\times\frac{CD}{BD} = 1476$$
が分かる．よって，$AD = AB - BD = \bf{1474}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/5402
　$\angle ABC = \angle AED = \theta$，$\angle BCD= \angle CAE =\phi$ とおく．\
　$\triangle BCD$ に正弦定理を用いて $\dfrac{72}{\sin \theta}=\dfrac{2}{\sin \phi}$，よって $\sin \theta = 36 \sin \phi$．\
　$\triangle ACE$ に正弦定理を用いて $\dfrac{AC}{\sin (180^{\circ}-\theta)}=\dfrac{41}{\sin \phi}$，これより
$$AC=\dfrac{41 \sin \theta}{\sin \phi}=41×36=1476$$
従って，$AD=AB-BD=\mathbf{1474}$．
三角比を用いる方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/5402/399
　$AB=AC$ なる二等辺三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に $BD=2$ なる点 $D$ をとりました．さらに，線分 $CD$ 上に点 $E$ をとったとき，
$$DE=31,\quad CE=41,\quad \angle BCD=\angle CAE$$
が成立していました．このとき，線分 $AD$ の長さを求めてください．