　$2$ 円の共通内接線を $m$ とし，$\ell$ と $m$ の交点を $R$ とする．このとき， 
$$
P_1R=PR=P_2R
$$ 
であるから，三角形 $PP_1P_2$ に注目することで $\angle{P_1PP_2}=90^\circ$ がわかる．したがって，線分 $P_1Q_1$ は円 $C_1$ の直径，線分 $P_2Q_2$ は円 $C_2$ の直径である．また，接弦定理により 
$$
\angle{PP_1P_2}=\angle{PQ_1P_1},　 \angle{PP_2P_1}=\angle{PQ_2P_2}
$$
であるから，三角形 $P_1P_2Q_2$，$Q_1P_1P_2$，$Q_1PP_1$，$P_2PQ_2$ はすべて相似である．特に $P_1P_2=48$ により，これらの三角形の辺の長さの比は $3:4:5$ であるから，
$$
PQ_1+PQ_2=\frac{36 \cdot 3}{5}+ \frac{64\cdot 4}{5}=\frac{364}{5}
$$ 
であり，解答すべき値は $\textbf{369}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc002/editorial/3515
　それぞれ半径 $18,~ 32$ の円 $C_1,~ C_2$ があり，これらは点 $P$ で外接しています．$2$ 円の共通外接線の一つを $\ell$ とし，$\ell$ と $C_1, ~ C_2$ の接点をそれぞれ $P_1,~ P_2$ とします．さらに，直線 $PP_2$ と $C_1$ の交点のうち $P$ でない方を $Q_1$，直線 $PP_1$ と 円 $C_2$ の交点のうち $P$ でない方を $Q_2$ とするとき，$PQ_1+PQ_2$ の値を求めてください．ただし，答えは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．