　以下では実数係数多項式 $p, q$ に対し，任意の非負整数 $n$ について $p(t) - q(t)$ の $t^n$ の係数が $2017$ の倍数であるとき，$p(t) \equiv q(t)$ と表記する．また以下では，特に明記しないかぎり合同式の法は $2017$ とする．

　与式において $x=y^2-y$ とおくと，
$$\begin{aligned}
f(x)&=(y^2-y-1\cdot2)(y^2-y-2\cdot3)\cdots(y^2-y-2015\cdot2016)\\\\
&=(y+1)(y-2)(y+2)(y-3)\cdots(y+2015)(y-2016)
\end{aligned} $$
より，
$$\begin{aligned}
(y-1)^2f(x)&\equiv(y-1)f(x)(y+2016) \\\\
&=(y-1)(y+1)(y-2)(y+2)\cdots(y-2016)(y+2016) \\\\
&\equiv(y-1)(y-2016)(y-2)(y-2015)\cdots(y-2016)(y-1)\\\\
&=((y-1)(y-2)\cdots(y-2016))^2\\\\
&\equiv(y^{2016}-1)^2
\end{aligned} $$
から，
$$ \begin{aligned}
f(x)&\equiv(1+y+y^2+\cdots+y^{2015})^2 \\\\
&= y^{4030}+2y^{4029}+\cdots+2015y^{2016}+2016y^{2015}+2015y^{2014}+\cdots+2y+1 
\end{aligned}$$
を得る．なお，途中の変形で，
$$ r(y) = (y-1)(y-2)\cdots(y-2016) - y^{2016} + 1 \equiv 0 $$
を用いた．これは，$ r(y) $ が恒等的に $0$ と合同でないならば，合同方程式 $r(y) \equiv 0$ は高々 $2015$ 個の整数解しかもたないが，一方で $y=1,2,\ldots,2016$ はすべてこの方程式の解であることから矛盾を得るため，示される．ここで，素数 $p$ と整数 $0\leq k\leq p-2$ に対し，
$$\_{p-2}\mathrm{C}_k\equiv (-1)^k(k+1)\pmod{p}$$
が成り立つ．これは
$$\begin{aligned}
\_{p-2}\mathrm{C}_k &= \frac{(p-2)(p-3)(p-4)\cdots(p-k-1)}{1\cdot2\cdot3\cdots k} \\\\
&\equiv\frac{(-1)^k \cdot 2\cdot3\cdot4\cdots k \cdot (k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdots k} \\\\
&\equiv(-1)^k(k+1)\pmod{p}
\end{aligned}$$
より従う．これを用いると，
$$\begin{aligned}
y^{4030} &+ 2y^{4029}+3y^{4028}+\cdots+2015y^{2016}+2016y^{2015}\\\\
&\equiv {}\_{2015}\mathrm{C}\_0y^{4030}-{}\_{2015}\mathrm{C}\_1y^{4029}+{}\_{2015}\mathrm{C}\_2y^{4028}+\cdots+{}\_{2015}\mathrm{C}\_{2014}y^{2016}-{}\_{2015}\mathrm{C}\_{2015}y^{2015}\\\\
&=(y^2-y)^{2015} \\\\
&=x^{2015}
\end{aligned}$$
がわかり，
$$\begin{aligned}
f(x)-x^{2015}&\equiv2015y^{2014}+2014y^{2013}+\cdots+2y+1\\\\
&\equiv-2y^{2014}-3y^{2013}-4y^{2012}-\cdots-2015y-2016
\end{aligned}$$
となる．また，
$$\begin{aligned}
2x^{1007}&=2y^{2014}-2\cdot1007y^{2013}+1007\cdot1006y^{2012}-\cdots\\\\
&\equiv 2y^{2014}+3y^{2013}+508y^{2012}-\cdots\\\\
\end{aligned}$$
となる（$\cdots$ は $y$ の $2011$ 次以下の項）ので，

$$\begin{aligned}
f(x)-x^{2015}+2x^{1007}&\equiv504y^{2012}+\cdots
\end{aligned}$$
となる．よって，

$$g(x)=f(x)-x^{2015}+2x^{1007}-504x^{1006}$$

とおくと，$g(x)$ は （$2017$ を法として） $y$ の $2011$ 次以下の多項式である．一方 $g(x)$ は $x=y^2-y$ の多項式で表されているので，次数を比較することで，$x$ の $1005$ 次以下の多項式であることがわかる．よって，

$$\begin{aligned}
f(x+1)&\equiv (x+1)^{2015}-2(x+1)^{1007}+504(x+1)^{1006}+g(x+1)
\end{aligned}$$

の $x^{1006}$ の係数を $2017$ で割った余り $r$ は，$g(x+1)$ が $x$ の $1005$ 次以下の多項式であることから，

$$\begin{aligned}
r&\equiv {}\_{2015}\mathrm{C}\_{1006}-2 \cdot {}\_{1007}\mathrm{C}\_{1006}+504\cdot {}\_{1006}\mathrm{C}\_{1006}\\\\
&\equiv1007-2\cdot1007+504\cdot 1\\\\
&\equiv 1514
\end{aligned}$$

よって，解答すべき値は $\bold{1514}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce009/editorial/11908
$p=2017$として，以降の多項式は体$\mathbb{F}_p$係数とする．

$$f(x)=\prod_{n=1}^{p-2}(x-n(n+1))$$

より，

$$f(x)\cdot x^2=\prod_{n\in \mathbb{F}_p}(x-n(n+1))$$

$4^{-1}=1513$だけ平行移動する

$$f(x-4^{-1})\cdot (x-4^{-1})^2=\prod_{n\in \mathbb{F}_p}(x-n(n+1)-4^{-1})$$
$$=\prod\_{n\in \mathbb{F}_p}\left(x-\left(\dfrac{2n+1}{2}\right)^2\right)$$
$$=\prod\_{m\in \mathbb{F}_p}\left(x-m^2\right)$$
$$=x\left[\prod\_{\left(\frac{a}{p}\right)=1}\left(x-a\right)\right]^2$$

ただし$\left(\frac{a}{p}\right)$はルジャンドル記号


$\prod\_{\left(\frac{a}{p}\right)=1}\left(x-a\right)$は$\dfrac{p-1}{2}$次多項式である．

また，ルジャンドル記号については，[オイラーの規準](https:\/\/ja.wikipedia.org\/wiki\/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E8%A6%8F%E6%BA%96)より，
$\left(\frac{a}{p}\right)=1$ならば
$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod{p}$$

であるため，

$$\prod\_{\left(\frac{a}{p}\right)=1}\left(x-a\right)=x^{\frac{p-1}{2}}-1$$

よって，
$$f(x-4^{-1})\cdot (x-4^{-1})^2=x(x^{\frac{p-1}{2}}-1)^2=x^p-2x^{\frac{p+1}{2}}+x$$

$5\cdot 4^{-1}$だけ平行移動すると

$$f(x+1)\cdot (x+1)^2=(x+5\cdot 4^{-1})^p-2(x+5\cdot 4^{-1})^{\frac{p+1}{2}}+(x+5\cdot 4^{-1})$$

右辺は（$(x+y)^p=x^p+y^p\pmod{p}$より）

$$(x+1)^{p}+4^{-p}-2 (x+1)^{1009}-2\cdot 4^{-1}\cdot 1009(x+1)^{1008}+((x+1)の1007次以下の多項式)$$

よって，

$$f(x+1)=(x+1)^{2015}-2(x+1)^{1007}-2\cdot 4^{-1}\cdot 1009 (x+1)^{1006}+(xの1005次以下の多項式)$$

であるため，$x^{1006}$の係数は

$${}\_{2015}{\mathrm C}\_{1006}-2\cdot {}\_{1007}{\mathrm C}\_{1006}-2\cdot 4^{-1}\cdot 1009\cdot {}\_{1006}{\mathrm C}\_{1006}$$

あとは公式解説と同じ
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce009/editorial/11908/680
　整数係数 $2015$ 次多項式 $f$ を
$$f(x)=(x-1\cdot2)(x-2\cdot3)(x-3\cdot4)\cdots(x-2015\cdot2016)$$
により定めます．$f(x+1)$ の $x^{1006}$ の係数を素数 $2017$ で割った余りを求めてください．