　まず $\\{a_1,a_3,\ldots,a_9\\}=\\{2,4,\ldots,10\\}$ が必要であるから，これの対応を考えよう．$a_5=6$ のとき，残りは任意の並べ替えが適するから $24$ 通りだが，$a_1=6$ または $a_7=6$ のときは $a_5\neq 10$ がさらに必要であるからそれぞれ $18$ 通りとわかる．すなわち組 $(a_1,a_3,\ldots,a_9)$ は全体では $60$ 通りである．\
　$\\{a_2,a_4,\ldots,a_{10}\\}=\\{1,3,\ldots,9\\}$ についても同様だから，求める値は $60^2=\mathbf{3600}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/editorial/4518
　Bonus: 問題文の $10$ をすべて $14$ に置き替えた場合の答えは？

<details><summary>解説<\/summary>
　$(1,3,5,7,9,11,13)$ の並び替え $p$ であって $\gcd(i,p_i)=1\ (1\leq i\leq 7)$ となるものを数え上げ，その個数を二乗すればよい．$\gcd(i,p_i)=1\ (1\leq i\leq 7)$ は，$i$ と $p_i$ の組み合わせとして $(3,3),(3,9),(6,3),(6,9),(5,5),(7,7)$ が存在しないことと同値である．これは，以下のように言い換えられる：

----

　$U=\\{u_1,u_2,\ldots,u_7\\},V=\\{v_1,v_2,\ldots,v_7\\}$ を頂点集合とし，$U$ と $V$ の任意の頂点間に辺を張った辺集合を $E$ とする．$6$ つの辺 $(u_1,v_1),(u_1,v_2),(u_2,v_1),(u_2,v_2),(u_3,v_3),(u_4,v_4)$ を禁止辺と呼ぶとき，二部完全グラフ $(U+V,E)$ の最大マッチングであって，禁止辺を一つも含まないものの個数を数え上げよ．

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　ここで，$a_k$ を「$k$ 個の禁止辺の選び方 ${}\_6\mathrm{C}\_{k}$ 通りそれぞれについて，その禁止辺を全て含むマッチングの場合の数を考えたとき，それらの総和」と定義すると，$a_k$ は以下のように計算される．

- $a_0=7!$
- $a_1=6!\times 6$
- $a_2=5!\times 11$
- $a_3=4!\times 8$
- $a_4=3!\times 2$
- $a_5,a_6=0$

　よって，包除原理より禁止辺を一つも含まない最大マッチングの個数は $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4=1860$ である．したがって，元の問題の答えは $1860^2=\mathbf{3459600}$ である．

　このように，包除原理を用いると機械的に計算が可能である．

<\/details>
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/editorial/4518/161
　$1,2,\ldots,10$ の並び替え $a_1,a_2,\ldots,a_{10}$ であって，任意の $k=1,2,\ldots,10$ について $a_k$ と $k$ が互いに素であるものはいくつありますか？