$$\underbrace{111\cdots111}\_{n \text{ 個}}=\dfrac{10^n -1}{9}$$
と表現されるから，$10^n-1$ が $3^2\times 7\times 37$ で割り切れることと同値である．ここで $3^2$ では常に割り切れ，
$$7\mid 10^n-1 \iff 6\mid n,\quad 37\mid 10^n-1\iff 3\mid n$$
であるから，全体で条件は $6\mid n$ であり，求める総和は $\sum_{k=1}^{129} \limits 6k=$ $\mathbf{50310}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/3721
　$\underbrace{111\cdots111}_{n \text{ 個}}$ が $777$ で割り切れるような，$777$ 以下の正整数 $n$ の総和を求めてください．