　$a_nb_n\neq\pm1$ であるとすると，
 $$
a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{1-a_nb_n},\quad b_{n+1}=\dfrac{a_n-b_n}{1+a_nb_n}
 $$
となり，この結果と $a_1b_1\neq\pm1$ から常に $a_nb_n\neq\pm1$ であるので，上の式も常に成り立つことがわかる．ここで，$180^\circ$ を法として
 $$
a_n=\tan{\alpha_n},\quad b_n=\tan{\beta_n}
 $$
とおくと，
 $$
\alpha_{n+1}=\alpha_n+\beta_n,\quad\beta_{n+1}=\alpha_n-\beta_n
 $$
を満たす．よって $\beta_{n+2}=2\beta_n$ となるので次を得る．
 $$
b_{n+2}=\dfrac{2b_n}{1-b_n^2}
 $$
よって次の計算が可能である．
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n}\dfrac{b_k^3}{(\sqrt2)^k(b_k^2-1)}& =\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{b_k}{(\sqrt2)^k}+\dfrac{b_k}{(\sqrt2)^k(b_k^2-1)}\right)\\\\
& =\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{b_k}{(\sqrt2)^k}-\dfrac{b_{k+2}}{(\sqrt2)^{k+2}}\right)\\\\
& =\dfrac{b_1}{\sqrt2}+\dfrac{b_2}{2}-\dfrac{b_{n+1}}{(\sqrt2)^{n+1}}-\dfrac{b_{n+2}}{(\sqrt2)^{n+2}}
\end{aligned}
 $$
ここで，$b_1 = b_2 = \tan\dfrac{\pi}{111}$ であるから，$\beta_{n+2} = 2\beta_n$ とあわせて，任意の正の整数 $n$ について $b_n$ は
$$0, \quad \tan\dfrac{\pi}{111},\quad  \tan\dfrac{2\pi}{111},\quad  \ldots, \quad \tan\dfrac{221\pi}{111}$$
のうちのいずれかの値しか取らない．よって，
 $$
\lim_{n \to \infty}\dfrac{b_{n}}{(\sqrt2)^{n}}=0
 $$
であるので，求める極限値は，$b_1 = b_2$ に注意することで
 $$\begin{aligned}
L
&= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{b_1}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{b_k^3}{(\sqrt2)^k(b_k^2-1)}\\\\
&=\frac{1}{b_1}\lim_{n\to\infty}\bigg(\dfrac{b_1}{\sqrt2}+\dfrac{b_2}{2}-\dfrac{b_{n+1}}{(\sqrt2)^{n+1}}-\dfrac{b_{n+2}}{(\sqrt2)^{n+2}}\bigg)\\\\
&=\dfrac{1 + \sqrt2}{2}
 \end{aligned}$$
である．特に，解答すべき値は $\bf1207$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/12339
　実数列 $\lbrace a_n\rbrace,\lbrace b_n\rbrace$ が $a_1=\tan\dfrac{2\pi}{111}, b_1=\tan\dfrac{\pi}{111}$ をみたし，さらに任意の正の整数 $n$ に対して以下をみたしています．
 $$
a_n=b_n+b_{n+1}+a_nb_nb_{n+1},\quad a_{n+1}=a_n+b_n+a_nb_na_{n+1}
 $$
このとき，以下の極限値が定まります．
 $$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_1}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{b_k^3}{(\sqrt2)^k(b_k^2-1)}
 $$
この極限値を $L$ とするとき，$\lfloor1000L\rfloor$ を解答してください．