　$AB\lt BC$ なので $Q$ は線分 $CH$ 上にあることに注意する．直線 $AB, AC$ と $\Omega$ の交点を $F,G$ とする．以下のいくつかの補題を示す．

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**補題1．**
$4$ 点 $F,G,P,Q$ は共線である．

**証明．** 
$FG$ と $BH$ の交点を $P^{\prime}$ とすれば $\angle{P^{\prime}FH}=\angle{FBH}$ であるから $HP^{\prime} \times HB=HA^2$ が成り立つ．同様に $FG$ と $CH$ の交点を $Q^{\prime}$ とすれば　$HQ^{\prime} \times HC=HA^2$ が成り立つから，$\Omega$ での反転を考えれば $B$ と $P^{\prime}$, $C$ と $Q^{\prime}$ は互いに移りあう．よって $5$ 点 $H,P^{\prime},Q^{\prime},D,E$ は同一円上にあるから，$P=P^{\prime}, Q=Q^{\prime}$ が従う．
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**補題2．**
$3$ 点 $H,R,S$ は共線である．特に，この直線は $FG$ の垂直二等分線である．

**証明．**
$FG$ の垂直二等分線と $AC,AB$ の交点を $R^{\prime}, S^{\prime}$ とする．ここで
$$ \angle HAS = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle AHF = 90^\circ - \angle AGF = \angle HRA $$
より $R^{\prime}$ と $S^{\prime}$ は $\Omega$ での反転で互いに写りあう．他にも $\Omega$ での反転が $(B, C, P, Q)$, $(H, P, R^\prime, S^\prime)$, $(C, Q, R^\prime, S^\prime)$ の共円を与えることに注意しよう．Angle-chase により三角形 $AFG$ と $ACB$ が相似であるから，
$$ \angle{HQP}=\angle{CBH}=90^\circ - \angle{BCA}=90^\circ - \angle{GFA}=\angle{HS^{\prime}B}=\angle{HPR^{\prime}}$$
となり，接弦定理より直線 $PR^{\prime}$ は $\omega$ に接する．よって $R=R^{\prime}$ であり，同様に $S=S^{\prime}$ がわかる．

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**補題3．**
$\angle{RAX}=\angle{SAX}$ となる．

**証明．**
補題2より $X$ は $A$ を含む弧 $FG$ の中点であるから容易にわかる．

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　よって，$AR:AS=7:3$ であるから $\Omega$ は $R, S$ からの距離の比が  $7:3$ であるアポロニウスの円であり， $H$ について $X$ と対称な $\Omega$ 上の点を考えることにより
$$\dfrac{7}{3}AH-\dfrac{3}{7}AH=10 \implies AH=\dfrac{21}{4}$$ 
を得る．また三角形 $ARS$ と $HPQ$ は相似であるから，$HP=7x,HQ=3x$ とおけば 
$$\Bigg|\frac{\big(\frac{21}{4}\big)^2}{7x}-7x\Bigg|: \Bigg|\frac{\big(\frac{21}{4}\big)^2}{3x}-3x\Bigg| = 119:45 $$
となる．
$$\Bigg(\frac{\big(\frac{21}{4}\big)^2}{7x}-7x\Bigg)\times 45= \Bigg(\frac{\big(\frac{21}{4}\big)^2}{3x}-3x\Bigg)\times 119 $$
ならば $x=\dfrac{\sqrt{349}}{4}$ となるが，このとき $\Bigg(\dfrac{\big(\frac{21}{4}\big)^2}{3x}-3x\Bigg) \lt 0$ となり，$Q$ が $CH$ 上にないため不適である．一方
$$-\Bigg(\frac{\big(\frac{21}{4}\big)^2}{7x}-7x\Bigg)\times 45= \Bigg(\frac{\big(\frac{21}{4}\big)^2}{3x}-3x\Bigg)\times 119 $$
ならば $x=\dfrac{11}{8}$ となり，これは条件に適する．よって $HB=\dfrac{63}{22},HC=\dfrac{147}{22}$ を得る．さて，以下の補題を示そう．

**補題4．**
三角形 $ABC$ の外接円半径を $r$ とすれば，以下が成り立つ．
$$4r^3-(AH^2+BH^2+CH^2)r-AH\times BH\times CH=0$$

**証明．**
四角形 $ABIH$ が平行四辺形となるような点 $I$ をとる．このとき $\angle{BIH}=\angle{BAH}=\angle{HCB}$ であるから $4$ 点 $B,C,H,I$ は共円であり，特に $\angle{CBI}=90 \degree$ より $CI$ はこの円の直径である．ここで円 $HBC$ と $ABC$ は $BC$ に関して対称であるから，$BC^2+BI^2=CI^2 \Rightarrow BC^2=4r^2-AH^2$ を得る．同様に $AB=4r^2-CH^2$ である．さて，内接四角形 $BHCI$ にトレミーの定理を適用して
$$BC\times HI=CH\times BI + BH \times CI$$
$$\Rightarrow BC \times AB = CH \times AH + BH \times 2r$$
$$\Rightarrow (4r^2-AH^2) \times (4r^2-CH^2) = (CH \times AH + BH \times 2r)^2$$
$$\Rightarrow 16r^4-4r^2(AH^2+BH^2+CH^2)-4r \times AH \times BH \times CH=0$$
となるので示された．

　三角形 $ABC$ を $\dfrac{44}{21}$ 倍した三角形を考えると，その外接円半径は 
$$4x^3-(11^2+6^2+14^2)x-11\times 6 \times 14=0 \Rightarrow (2x-21)(2x^2+21x+44)=0 \Rightarrow x=\frac{21}{2}$$
となるから，三角形 $ABC$ の外接円半径は $\dfrac{21}{2} \times \dfrac{21}{44}=\dfrac{441}{88}$ であり，答えるべき値は $441+88=\textbf{529}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce010/editorial/6439
　$AB \neq AC$ かつ $AB\lt BC$ をみたす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると，$H$ を中心とし $A$ を通る円 $\Omega$ が直線 $BC$ と相異なる $2$ 点 $D,E$ で交わりました．三角形 $HDE$ の外接円を $\omega$ とし，$\omega$ と直線 $BH, CH$ の交点のうち $H$ でない方をそれぞれ $P,Q$ とします．$P$ での $\omega$ の接線と直線 $AC$ の交点を $R$，$Q$ での $\omega$ での接線と直線 $AB$ の交点を $S$ とすると，線分 $RS$ と $\Omega$ の交点がただ一つ存在したので，これを $X$ とします．いま，
$$RX=7, \quad SX=3, \quad BP:CQ=119:45$$
が成り立つとき，三角形 $ABC$ の外接円の半径を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．