　$P(x)$ は実数を係数とする $9$ 次多項式であるから，実数 $a,b,c$ および $6$ 次以下の多項式 $R(x)$ を用いて
$$\\begin{aligned}
P(x)=&~a(x+1)(x+2)\cdots(x+9)\\\\
&+b(x+1)(x+2)\cdots(x+8)\\\\
&+c(x+1)(x+2)\cdots(x+7)\\\\
&+R(x)
\\end{aligned}$$
と表される．$P(x)$ の最高次の係数は $10$ であるから $a=10$ である．また，$P(x)$ を
$$(x+1)(x+2)\cdots(x+9)$$
で割った余りは
$$b(x+1)(x+2)\cdots(x+8)+c(x+1)(x+2)\cdots(x+7)+R(x)$$
であり，その $8$ 次の係数が $9$ であることから，$b=9$ が従う．同様に，$P(x)$ を
$$(x+1)(x+2)\cdots(x+8)$$
で割った余りを考えることで $c=8$ が従う．以上より $P(x)$ の $7$ 次の係数は
$$10\sum_{1\leq k\lt l\leq 9}kl+9\sum_{k=1}^{8}k+8=\bf{9032}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/4228
この解説では，数列 $a$ を「任意の $n$ に対して、 $a_n$ が $P(x)$ の $n$ 次の係数が等しいようなもの」として定義します．  
  
 $n=9$ の場合で題意を満たすための条件を考えます． $(x+1)(x+2)\cdots(x+9)$ の $8$ 次の係数は $1+2+{\cdots}+9=45$ です．このことより， ${a_{8}} = 45 {\times} {a_{9}}+9= 459$ が必要条件であることが分かります．  
  
続いて $n=8$ の場合を考えます． $(x+1)(x+2)\cdots(x+8)$ の $7$ 次の係数は $1+2+{\cdots}+8=36$ であり， $6$ 次の係数は $$\sum^{7} _ {i=1}\sum^{8} _ {j=i+1} ij = \frac{1}{2}{\times}\Biggl({\biggl(\sum^{8} _ {i=1}i\biggr)^2}-{\sum^{8} _ {i=1} i^2}\Biggr) =546$$ です．これを踏まえて考えると， ${a_{7}} = 546{\times}{a_{9}}+({a_{8}}-36{a_{9}}){\times}{36}+8 = \textbf{9032}$ であることが分かり，これが答えとなります．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/4228/220
　実数を係数とし，最高次の係数が $10$ である $9$ 次多項式 $P(x)$ があります．\
　$n=1,2,\ldots,9$ それぞれに対して，$P(x)$ を $x$ の多項式
$$(x+1)(x+2)\cdots(x+n)$$
で割った余りを考えると，$n-1$ 次の係数が $n$ になりました．\
　このとき，$P(x)$ の $7$ 次の係数を求めてください．