　以下, 簡単のために $m=OA$ とおく. 一般性を失わず弧 $AP$ の長さが弧 $PB$ の長さよりも短いとすれば,
$$AP=\sqrt{2m},\quad BP=57\sqrt{2m}$$

**解法1.**　$x=\angle{POA}$, $y= \angle{POQ}$ とおくと, 余弦定理を $\triangle{OGQ}$ に用いることで
$$\cos {y}=\dfrac{7}{25},\quad \sin{y}=\dfrac{24}{25}$$
を得る. また
$$\sin{x}=\dfrac{57}{m},\quad \cos{x}=\dfrac{m-1}{m}$$
より, 求める値は
$$\begin{aligned} 
m \sin{(x+y)} =&m\sin{x}\cos{y}+m\cos{x}\sin{y} \\\\
=& 57 \cdot \frac{7}{25}+(m-1)\cdot \frac{24}{25} \\\\
=& \textbf{1575}
\end{aligned}$$ 

**解法2.**　$\triangle{ABQ}$ の重心を $G^\prime$ とすると, 四角形 $PGG^\prime Q$ は等脚台形であるから円に内接し, Ptolemyの定理より
$$\frac13PQ^2+\frac49m^2=\frac{208}{225}m^2 \implies PQ=\dfrac{6}{5}m=1950$$
一方で四角形 $APQB$ にもPtolemyの定理を適用して整理することで
$$2m PQ+\sqrt{2m}BQ=57\sqrt{2m}AQ \implies BQ=57AQ-1950\sqrt{2m}$$
となり, これと $AQ^2+BQ^2=AB^2=3250\times2m$ を合わせることで, $AQ$ としてありうる値として
$$35\sqrt{2m}=175\sqrt{130},\quad \dfrac{167}{5}\sqrt{2m}=167\sqrt{130}$$
の $2$ つが得られる. 位置関係を考えることで $AQ=35\sqrt{2m}$ と確定でき, $BQ=45\sqrt{2m}$ を得る.\
　これより, $Q$ から線分 $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると,
$$AH : HB=AQ^2:QB^2=49 : 81$$
となり, 求める値は $QH=\textbf{1575}$ と計算できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/editorial/3250
　距離 $3250~(=57^2+1)$ の $2$ 点 $A,B$ を両端点とする半円の弧 $C$ があり，その中心（$AB$ の中点）を $O$ とします．$C$ 上に直線 $AB$ との距離が $57$ であるような点 $P$ をとり，三角形 $ABP$ の重心を $G$ としたとき，$C$ 上の点 $Q$ であって，
$$GQ=\dfrac {4\sqrt {13}}{15}AO$$
をみたすものが一意に存在します．点 $Q$ と直線 $AB$ との距離を求めてください．