　$n$ 円を，$1,10,100$ 円玉をそれぞれ $4$ 枚以下，$5,50$ 円玉をそれぞれ $1$ 枚以下しか用いないで支払う方法は一意に定まり，これが最小枚数を達成する唯一の方法である．従って，求める $n$ の数は，硬貨を合計 $6$ 枚使う方法であって，$1,10,100$ 円玉をそれぞれ $4$ 枚以下，$5,50$ 円玉をそれぞれ $1$ 枚以下しか使わない方法の数と一致する．$1,10,100$ 円玉を使う枚数を考える．

- $1,10,100$ 円玉を合計 $6$ 枚使う場合\
$1,10,100$ 円玉を使う枚数の組み合わせは $(0,2,4)(0,3,3)(1,1,4)(1,2,3)(2,2,2)$ とその並び替えの $19$ 通り．

- $1,10,100$ 円玉を合計 $5$ 枚使う場合\
$1,10,100$ 円玉を使う枚数の組み合わせは $(0,1,4)(0,2,3)(1,1,3)(1,2,2)$ とその並び替えの $18$ 通り．残り $1$ 枚が $5,50,500$ 円玉の $3$ 通りなので，全体で $54$ 通り．

- $1,10,100$ 円玉を合計 $k\le4$ 枚使う場合\
$5,50$ 円玉 をそれぞれ何枚使うかを考えることで，$5,50,500$ 円玉を使う枚数の組み合わせは $4$ 通りと分かる．$1,10,100$ 円玉を使う方法は ${}\_{k+2}\mathrm{C}\_{k}$ 通りあるので，全体で $4{}\_{k+2}\mathrm{C}\_{k}$ 通り．

以上より計算することで求める答えは $\bf{213}$ と分かる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/4057
　n円玉を (n) で表す．

$(\mathrm{i})$　(5)，(50) をどちらも使わない場合\
　(1)，(10)，(100)，(500) が合わせて $6$ 枚あるような硬貨の組み合わせは ${}\_{9}\mathrm{C}\_{3}=84$ 通りである．ただしこの $84$ 通りの中には，条件に適さないような以下の場合が含まれている：\
①　(1)，(10)，(100) のいずれかが $6$ 枚ある場合（$3$ 通り）\
②　(1)，(10)，(100) のいずれかが $5$ 枚ある場合（$3×3=9$ 通り）\
よって，$84-3-9=72$ 通り．

$(\mathrm{ii})$　(5)，(50) のいずれかを $1$ 枚含む場合\
　(1)，(10)，(100)，(500) が合わせて $5$ 枚あるような硬貨の組み合わせは ${}\_{8}\mathrm{C}\_{3}=56$ 通りである．ただしこの $56$ 通りの中には，(1)，(10)，(100) のいずれかが $5$ 枚ある場合（$3$ 通り）が含まれている．\
よって，$2×(56-3)=106$ 通り．

$(\mathrm{iii})$　(5)，(50) の両方を $1$ 枚ずつ含む場合\
　(1)，(10)，(100)，(500) が合わせて $4$ 枚あるような硬貨の組み合わせは ${}\_{7}\mathrm{C}\_{3}=35$ 通りである（条件に反する場合はない）．

以上の場合を足し合わせて，$72+106+35=\mathbf{213}$ 通り．
5円玉，50円玉の枚数で場合分けする方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/4057/496
自然数$n$に対して、
$0\leq p\lt \infty,0\leq q\leq 4,0 \leq r\leq 1,0\leq s\leq 4,0 \leq t\leq 1,0\leq u\leq 4$となるような整数の組$(p,q,r,s,t,u)$であって、
$$n=500p+100q+50r+10s+5t+u$$
となるようなものが唯一つ存在して、そのときに$f(n)=p+q+r+s+t+u$である。

（このとき、500円玉、100円玉、50円玉、10円玉、5円玉、1円玉をそれぞれ$p,q,r,s,t,u$枚使うことになる。）

このとき、$(p,q,r,s,t,u)$と$n$が一対一対応することに注意すると

$$F(x):=\sum_{n=0}^{\infty}x^{f(n)}=\left(\sum_{p=0}^{\infty}x^p\right)\cdot \left(\sum_{q=0}^{4}x^q\right)\cdot \left(\sum_{r=0}^{1}x^r\right)\cdot \left(\sum_{s=0}^{4}x^s\right)\cdot \left(\sum_{t=0}^{1}x^t\right)\cdot \left(\sum_{u=0}^{4}x^u\right)$$

よって

$$F(x)=\dfrac{1}{1-x}\cdot \dfrac{1-x^5}{1-x}\cdot (1+x)\cdot\dfrac{1-x^5}{1-x}\cdot (1+x)\cdot\dfrac{1-x^5}{1-x}=\dfrac{(1-x^5)^3(1+x)^2}{(1-x)^4}$$

$f(n)=6$となるような$n$の個数は$[x^6]F(x)$となる。分子において7乗以降は考慮しなくてもいいので

$$[x^6]\dfrac{(1-x^5)^3(1+x)^2}{(1-x)^4}=[x^6]\dfrac{(1-3x^5)(1+x)^2}{(1-x)^4}=[x^6]\dfrac{1+2x+x^2-3x^5-6x^6}{(1-x)^4}$$

$[x^a]\dfrac{x^b}{(1-x)^c}=\binom{(a-b)+c-1}{c-1}={}\_{(a-b)+c-1}\mathrm{C}\_{c-1}$に注意すると答えは

$$\binom{9}{3}+2\binom{8}{3}+\binom{7}{3}-3\binom{4}{3}-6\binom{3}{3}=84+2\cdot 56+35-3\cdot 4-6\cdot 1=213$$
形式的冪級数
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/4057/502
　正の整数 $n$ について，$f(n)$ を以下のように定めます:
- $1$ 円玉，$5$ 円玉，$10$ 円玉，$50$ 円玉，$100$ 円玉，$500$ 円玉を用いてちょうど $n$ 円を支払うために必要な硬貨の最小枚数．

 $f(n) = 6$ となる正の整数 $n$ はいくつありますか？
<details><summary> $f(n)$ の例<\/summary>
　例えば，$4057$ 円を最小枚数の硬貨で支払うとき，$500$ 円玉が $8$ 枚，$50$ 円玉が $1$ 枚，$5$ 円玉が $1$ 枚，$1$ 円玉が $2$ 枚であるので，$f(4057)=8+1+1+2=12$ です．
<\/details>