　まず，$2$ の倍数どうしが隣り合わないためには

- 偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数

の順に並べればよく，$5! \times 6!$ 通りである．このうち，$5$ の倍数が隣り合うには，奇数を並べた後に $10$ を $5$ の左右のどちらかに並べればよい．よって，$5! \times 2 \times 5!$ 通り．すなわち，条件を満たす並べ方は，$5! \times 6! - 5! \times 2 \times 5! = \mathbf{57600}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/5831
　$2$ 以上 $12$ 以下の正整数を $1$ つずつ横一列に並べるとき，以下の $2$ つの条件をともにみたす方法は何通りあるか求めてください．

- $2$ の倍数どうしは隣り合わない
- $5$ の倍数どうしは隣り合わない

　ただし，左右を反転させることによって一致する並べ方も区別するとします．