　$M$ は $DF$ の中点でもあることから, $AB$ と $CF$ は平行であり,
$$\angle DAF=\angle BAF=\angle BCF=\angle MCF$$
より三角形 $ADF$ と $CFM$ は相似, すなわち $AD=2CF$ である. 一方で方べきの定理より
$$AD\times CF=AD\times BD=DF\times DG=72$$
であるから, $AD=12,CF=6$ が従い, 三平方の定理より $AC=6\sqrt{10}$ である.\
　ここで, $AC$ と $DM$ の交点を $X$ とすれば, 共円 $A,D,E,M$ において円周角の定理より $\angle EDX=\angle MAX$ であることから, 三角形 $XED$ と $XMA$ は相似である. よって,
$$DE=AM\times\dfrac{DX}{AX}=\sqrt{9^2+12^2}\times\dfrac{2\times18}{2\times6\sqrt{10}}=\sqrt{\dfrac{405}{2}}$$
特に解答すべき値は $\textbf{407}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc060/editorial/274
　円 $\Gamma$ に内接する三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ の中点を $M$ とし, $M$ から $AB,AC$ におろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とします. また, $M$ から $AB$ におろした垂線と $\Gamma$ の交点のうち, $BC$ に関して $A$ と反対側にあるものを $F$, もう一方を $G$ とします. $DG=4,DM=MF=9$ が成立するとき, $DE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されます. $a+b$ を解答してください.