　順列を決めることは，$1$ から $11$ の整数が書かれた赤玉 $11$ 個と $4$ から $14$ の書かれた青玉 $11$ 個に対して赤玉と青玉のペア $11$ 組を作ることに対応し，スコアは互いにペアとなったボールに書かれた数の差の総和となる．  
　総和の計算では登場する $22$ 個の数のうち $11$ 個が加算され $11$ 個が減算されるので，総和の上界として
$$\sum\_{r=8}\^{11}r+\sum\_{b=8}\^{14}b-\sum_{r=1}\^{7}r-\sum_{b=4}^{7}b=65$$
が考えられる．これを達成するのは
- 赤玉 $1,2,\dots,7$ のペアの相手は青玉 $8,9,\dots,14$ のいずれか．
- 赤玉 $8,9,10,11$ のペアの相手は青玉 $4,5,6,7$ のいずれか．

をみたす組み合わせに限られ，そのような組み合わせ方が実際に存在することは容易にわかる．従って解答すべき値は $7!\times4!=\mathbf{120960}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc171/editorial/4553
　$1,2,\dots,11$ を並べ替えてできる順列 $(p\_{1},p\_{2},\dots,p\_{11})$ に対し，その **スコア** を  
$$\sum\_{i=1}\^{11}|p\_{i}-i-3|$$
で定めます．スコアとしてありうる最大の値を $M$ とするとき，スコアが $M$ となる順列はいくつありますか．