　以下の場合分けより求める答えは $\bf{17390}$ である．

- $m\le 4$ の場合\
順に確かめることで $m =1,3$ の $2$ 個が条件を満たすことが分かる．

- $m \ge 5$ の場合\
$T(m)$ は $10$ の倍数であるから，$2S(m)=m(m+1)$ が $20$ の倍数になるような $m$ の数を求めれば良く，これは $m\equiv 0,4,15,19\mod{20}$ と同値．したがって $5 \leq m\leq 86939(=4347\cdot 20-1)$ の範囲には $4347\cdot 4-2$ 個，$86940 \leq m\leq 86952$ の範囲に $2$ 個あるので条件を満たす $m$ は $17388$ 個ある．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/4217
　正の整数 $n$ に対し, 
$$S(n)=1+2+\cdots+n,\quad T(n)=1\times2\times\cdots\times n$$
とします. $86952$ 以下の正の整数 $m$ であって $S(m)-T(m)$ が $10$ で割り切れるものはいくつありますか.