　条件より $a_{n+1}^2-a_na_{n+2}=k=a_{n+2}^2-a_{n+1}a_{n+3}$，すなわち
$$ \dfrac{a_n+a_{n+2}}{a_{n+1}} = \dfrac{a_{n+1}+a_{n+3}}{a_{n+2}} $$
である．右辺が左辺の $n$ を $n+1$ におきかえたものであることに注意すれば，任意の正の整数 $n$ に対して $\dfrac{a_n + a_{n+2}}{a_{n+1}}$ は共通の値を取るので，この共通の値を $\alpha$ とおく (これは正の有理数である) ．このとき，任意の $n\geq 1$ に対し $a_{n+2}=\alpha a_{n+1}-a_n$ が成り立つ．特に，
$$a_3=64\alpha-3, \quad  a_4=(64\alpha-3)\alpha-64, \quad k=a_2^2-a_1a_3=4105-192\alpha$$
である．これらがすべて正の整数であることに留意する．ここで，$\alpha$ が整数ではないと仮定し，既約分数の形で $\alpha = \dfrac{q}{p}$ とおく．$a_3\in\mathbb{Z}$ であるから $p$ は $64$ の約数であるから，特に $2$ べきである．また，$a_4\in\mathbb{Z}$ より $64\alpha - 3$ は $p$ の倍数でなければいけないので，$64\alpha$ は奇数である．以上より，$p = 64$ であり，$64\alpha - 3$ は $64$ の倍数であるからある非負整数 $m$ を用いて $q = 64m +3$ となる．このとき，
$$a_3=64m, \quad a_4=64m^2+3m-64$$
であり，さらに $a_5\in\mathbb{Z}$ であるから $m$ は $64$ の倍数である．ところが，このとき $m\gt0$ なら $k\leq0$ となり，$m=0$ なら $a_4\leq 0$ となるためいずれの場合も不適である．\
　よって $\alpha$ は整数となる．$a_4, k$ がともに正であることから，$2\leq\alpha\leq21$ が必要である．逆にこのとき，帰納的に任意の $\\{a_n\\}$ が単調増加であることが確認できる．以上より，求める答えは $2\leq\alpha\leq21$ の範囲での $k=4105-192\alpha$ の総和 $\mathbf{37940}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc206/editorial/8346
　$k$ を正の整数とします．正の整数からなる数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$ が，$a_1=3,a_2=64$ および任意の正の整数 $n$ に対して
$$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2-k} {a_n}$$
をみたすとき，$k$ としてありうる値の総和を求めてください．