　$274428=28 \times 99^2$ である．$x$ の $100,10,1$ の位の数字をそれぞれ $a,b,c$ とすると $x-X=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$ より $x \equiv X \pmod {99}$ が成り立つ．これと $99^2\mid xX$ より，$x \equiv X\equiv 0 \pmod {99}$ である．よって，整数 $a,A$ を用いて $x=99a,X=99A$ とおけ，次の式が成り立つ．
$$aA=28, ~ 2\leq a \leq 10, ~ 2\leq A \leq 10$$
これを満たす $(a,A)$ の組は $(4,7),(7,4)$ の $2$ つであり，このとき $(x,X)=(396,693),(693,396)$ であるので条件を満たしている．以上より，$x$ の総和は $\bf1089.$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/2529
　ある $3$ 桁の正整数 $x$ について，その百の位と一の位を入れ替えて得られる正整数を $X$ とします．$x$ と $X$ の積が $274428$ であったとき，$x$ としてあり得る値の総和を求めてください．