　$\angle ACB = \theta$ とする．すると，$4$ 点 $A, X, D, C$ の共円より $\angle AXD = 180^\circ - \theta$ が従い，$\angle AXC = \angle ADC = 90^\circ$ より $\angle DXC = 90^\circ - \theta$ が得られる．また，$4$ 点 $A, O, X, B$ の共円より $\angle BXE = \angle BAO = 90^\circ - \theta$ も分かるので，
$$\angle BXC = 360^\circ - \angle BXA - \angle AXC = 360^\circ - \angle BOA - \angle ADC = 270^\circ - 2\theta$$
から，$\angle EXD = 90^\circ$ を得る．これより，
$$\angle EXD = \angle CXA = 90^\circ, \quad \angle XDE = 180^\circ - \angle XDC = \angle XAC$$
より，三角形 $EXD$ と三角形 $CXA$ が回転相似の関係にあることが分かる．よって，三角形 $EXC$ と三角形 $DXA$ も回転相似の関係にある．$\angle BXE = \angle DXC, \ \angle BXD = \angle EXC$ より，面積比を考えることで，
$$BX \cdot EX : CX \cdot DX = 2 : 1, \quad BX \cdot DX : CX \cdot EX = 7 : 5$$
が得られる．よって $EX : DX = \sqrt{10} : \sqrt{7}$ であり，三平方の定理から $DX = \dfrac{3\sqrt7}{\sqrt{17}}$ である．また三角形 $EXC$ と三角形 $DXA$ の相似比が $\sqrt{10} : \sqrt{7}$ なので，$AD = \dfrac{\sqrt{70}}{2}$ が分かり，三平方の定理より，$AC = \dfrac{ \sqrt{86}}{2}$ となる．そして，
$$AX : AC = DX : DE = \sqrt{7} : \sqrt{17}$$
より，$AX^2 = \dfrac{301}{34}$ が分かる．特に，解答すべき値は $\mathbf{335}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce004/editorial/10686
　鋭角三角形 $ABC$ の外心を $O$，$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．三角形 $AOB$ の外接円と三角形 $ADC$ の外接円は三角形 $ABC$ の内部の点 $X (\neq A)$ で交わりました．さらに直線 $OX$ と直線 $BC$ の交点を $E$ とすると，$4$ 点 $B, E, D, C$ はこの順に並び，
$$BE = 4, \quad ED = 3, \quad DC = 2$$ 
が成立しました．このとき $AX^{2}$ は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．