　$\angle A=2a$ などとおくと, $a+b+c=90^\circ$ である. $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $F$ とすると,
　　$$\angle FIC=\angle IAC+\angle ACI=a+c=90^\circ-b$$
その一方で
　　$$\angle EIC=\angle AEI-\angle ACI=(180^\circ-a-2b)-c=90^\circ-b$$
が成り立つから $\angle FIC=\angle EIC$ であり, $\angle ICE=\angle ICF$ と合わせて三角形 $ICE$ と $ICF$ は合同である. すなわち, $CE=CF$ であり, 同様にして $BD=BF$ を得る.\
　ところで角の二等分線定理より $AB:AC=BF:FC$ であるから, $AD:AE=BF:BC$, すなわち $BC$ と $DE$ は平行である. さらに $AD=12=CE=CF$ より $AB=BC$ であるから, $DE=AD=12$ である.\
　ここで $AE$ の中点を $M$ とすれば, 直角三角形の相似より $CD:CM=CE:CD\/2=24:17$ であるから $AE=1\/12$ である. よって $AE:AC=DE:BC$ より $BC=\textbf{1740}$ を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc018/editorial/116
　内心を $I$ とする三角形 $ABC$ において, それぞれ辺 $AB,AC$ 上にある点 $D,E$ が以下をみたしました.
$$\angle{AID}=\angle{ACB},\ \ \angle{AIE}=\angle{ABC}$$
　$AD=12,CD=17,CE=12$ であるとき, $BC$ の長さを求めてください.\
　ただし, 答えは正の整数になることが証明できます.