　$2$ 点 $(x_s,y_s,z_s), (x_t,y_t,z_t)$ に対し, これらを $33:4$ に内部する点
$$\left(\dfrac{4x_s+33x_t}{37},\dfrac{4y_s+33y_t}{37},\dfrac{4z_s+33z_t}{37}\right)\$$
が格子点となる条件は, $2$ 点の座標が $37$ を法として一致することだから, 求める最小値は $37^3+1=\textbf{50654}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/editorial/2127
　$xyz$ 空間内に相異なる $k$ 個 ($k\geq2$) の格子点 $P_1,P_2,\cdots,P_k$ をとります. $1\leq i \lt j \leq k$ なる整数の組 $(i,j)$ すべてに対して, 線分 $P_iP_j$ を $33:4$ に内分する点をとり, これらの点の集合を $N$ とします. $P_1,P_2,\cdots,P_k$ のとり方によらず, $N$ に格子点が含まれるような $k$ の最小値を求めてください.