　$1$ 以上 $9$ 以下の正の整数 $x_1, \ldots, x_n$ が  $x_1 x_2 \cdots x_n = 9!$ を満たしているとき，
$$ N = x_1 + 10 x_2 + \cdots + 10^{n-1} x_n $$
としてありうる最小の値を求めればよい．$9! = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$ であるので，$5$ と $7$ は $N$ の桁に含まれる．ここで $n \le 6$ と仮定すると，
$$9! = x_1 x_2 \cdots x_n \le 5 \cdot 7 \cdot 9^4$$
より $128 \le 81$ を得るが，これは不適である．よって $n \ge 7$ となる．\
　$n = 7$ の場合を，$N$ が小さい方から考える．$x_7 = 1$ のとき，$N^\prime = x_1 + 10 x_2 + \cdots + 10^5 x_6$ が $6$ 桁かつ各位の積が $9!$ となる正の整数となるが，これは $n \ge 7$ に矛盾する．$x_7 = 2$ のとき，$x_1 x_2 \cdots x_6 = 2^6 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$ より $(x_1, x_2, \ldots, x_6)$ は $(5, 7, 8, 8, 9, 9)$ の並び替えとなることがわかり，このうち $N$ が最小となるのは $N = \mathbf{2578899}$ のときである．\
　なお，$n=7$ かつ $x_7 \ge 3$ および $n \ge 8$ の場合は，$N \ge 2578899$ となるので考える必要はない．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/9637
　十進法表記で各位の数の積が $9!$ となるような，最小の正の整数を求めてください．