　$Q$ を通り $AQ$ に垂直な直線が辺 $BC$ の中点 $M$ を通ることは容易に確認できるため，$Q$ は線分 $AM$ を直径とする円周 $\Gamma$ 上にあることがわかる．$\Gamma$ と直線 $AB,AC$ の交点のうち $A$ でないものを $D,E$ とすれば $Q$ の軌跡は $A$ を含まない弧 $DE$ (以下単に弧 $DE$ と呼ぶ) である．\
　中線定理より $AM=7\/2$ ．また余弦定理を用いれば $\cos \angle BAC=1\/2$ より $\angle BAC=60^{\circ}$ であるから，弧 $DE$ の中心角は $120^{\circ}$．従って弧 $DE$ の長さは $\dfrac{7\pi}{6}$ と計算できるため，特に解答すべき値は $\bm{13}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc004/editorial/34
　$AB=3, BC=\\sqrt {19}, CA=5$ である三角形 $ABC$ において, 線分 $BC$ 上に点 $P$ があり, 点 $B,C$ から直線 $AP$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $X, Y$ とします. また, 線分 $XY$ の中点を $Q$ とします. 点 $P$ が線分 $BC$ 上を点 $B$ から点 $C$ まで動くとき, 点 $Q$ の動いた長さは互いに素な正の整数 $m, n$ を用いて $\displaystyle \\frac{m \\pi}{n}$ と表せます. $m+n$を求めてください.