　四角形 $AXYP$ は長方形であることに気をつければ，
$$\sin \angle XIY=\sin \angle PYQ=\sin \angle PAQ$$
であるので，$IX=4x, IY=5x, XY=3x$ とおける．また，$\angle AIO=90^\circ$ であるから $AI=IX=4x$ である．従って，方べきの定理より
$$QI=\dfrac{AI×IX}{IY}=\dfrac{16x}{5}$$
であるので，
$$PI-QI=IY-QI=\dfrac{9x}{5}=1$$
がわかり，$x=\dfrac{5}{9}$ である．
ここで，$$PX=AY=\sqrt{AX^2+XY^2}=\sqrt{73}x$$ である．また，$BC$ の中点を $M$ とすると，$P, O, M, X$ は同一直線上にあるから，$XI^2=XB^2=XM\times XP$ である．したがって，三角形 $XIM$ と $XPI$ は相似であるから，$$PI:IM=PX:IX=\sqrt{73}:4.$$ よって，$$IM=\dfrac{4}{\sqrt{73}}×5x=\dfrac{20x}{\sqrt{73}}$$ が得られる．また，$$XM=\dfrac{XI^2}{XP}=\dfrac{16}{\sqrt{73}}x$$ である．したがって，$$BM^2=PM×MX=\dfrac{57x}{\sqrt{73}}×\dfrac{16x}{\sqrt{73}}=\dfrac{912x^2}{73}$$ であるから，中線定理より
$$IB^2+IC^2=2(BM^2+IM^2)=\dfrac{2624}{73}x^2=\dfrac{2624}{73}×\dfrac{25}{81}=\dfrac{65600}{5913}$$
となる．よって解答すべき値は $\textbf{71513}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/5909
　$\angle AIO = 90^\circ$ および四角形 $AXYP$ が長方形であることを利用して
$$ IY = PI = 5x,\qquad XY = 3x,\qquad IX = AI = 4x $$
とおけるところまでは[公式解説](.\/)と同じ．さらに $IO = \dfrac32\\,x$ より，$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\dfrac{\sqrt{73}}2\\,x$ であることも分かる．また $x = \dfrac59$ は，公式解説の方べきに気が付けなくても，求めることはできる．
<details><summary>方べきを使わない方法<\/summary>

　$Q$ から $IO$ に下した垂線の足を $H$ として，$\triangle IXY$ と $\triangle QHI$ の相似より
$$\begin{aligned}
&\frac{73}4\\,x^2 = OQ^2 = QH^2 + (HI + IO)^2 = \left(\frac45\\,QI\right)^2 + \left(\frac35\\,QI + \frac32\\,x\right)^2 = QI^2 + \frac95\\,x\times QI + \frac94\\,x^2\\\\
&\mathopen{}\Longrightarrow\\;\left(QI + 5x\right)\left(QI - \frac{16}5\\,x\right) = 0 \qquad\therefore 1 = PI - QI = 5x - \frac{16}5\\, x = \frac95\\, x\\;\Longrightarrow\\; x = \frac59.
\end{aligned}$$
<\/details>

　そして $BX = CX = IX\\;(=4x)$ となることは有名事実で，$\alpha \coloneqq \angle BXO = \angle CXO,$　$\beta \coloneqq \angle IXO$ 
とすると
$$ \cos \alpha = \frac{BX\/2}{OX} = \frac4{\sqrt{73}},\qquad \cos \beta = \frac{IX}{OX} = \frac8{\sqrt{73}},$$
$$ \begin{aligned}
IB ^2 + IC^2\\!\\! &\stackrel{\phantom{〇〇}}{=} \left(2 \times 4x \sin\frac{\alpha - \beta}2\right)^2 + \left(2 \times 4x \sin\frac{\alpha + \beta}2\right)^2 \\\\
&\stackrel{\text{半角}}{=}64x^2\left(\frac{1-\cos(\alpha - \beta)}2 + \frac{1-\cos(\alpha + \beta)}2\right) \\\\
&\stackrel{\text{積和}}{=} 64x^2\left(1 - \cos \alpha \cos \beta\right) = 64 \times \left(\frac59\right)^2 \left(1 - \frac4{\sqrt{73}} \times \frac8{\sqrt{73}}\right) = \frac{65600}{5913}.
\end{aligned} $$
すなわち答えは $\bm{71513}$．
三角関数
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/5909/203
　$\angle AIO=90^\circ$ より $AX=2IX=2DX$ である．直線 $AX$ と直線 $BC$ との交点を $D$ とすると，$\triangle ABX\sim \triangle BDX$ より $DX=2BX=2IX$，つまり $D$ は線分 $IX$ の中点である．よって，$I$ から直線 $PX$ へ下した垂線の足を $H$ とすると中線定理より
$$IB^2+IC^2=2(IM^2+BM^2)=2(IM^2+BX^2-MX^2)=2(IX^2+IM^2-MH^2)=2(IX^2+IH^2)=2IX^2(1+\cos^2\angle APX)$$
　これと $IX=\dfrac{20}{9},\cos \angle APX=\dfrac{3}{\sqrt{73}}$ から値が求まる．
length chase?
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/5909/762
　鋭角三角形 $ABC$ について，その外接円を $\Gamma$，内心を $I$，外心を $O$ とし，直線 $AI, AO$ と $\Gamma$ の交点をそれぞれ $X, Y(\neq A)$ とします. さらに，直線 $XO, YI$ と $\Gamma$ の交点をそれぞれ $P(\neq X), Q(\neq Y)$ とすると，以下が成立しました：
$$\sin \angle PAQ=\dfrac{3}{5},\quad \angle AIO=90^\circ,\quad PI-QI=1.$$
このとき，$IB^2+IC^2$ の値は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください．