　$P$ を通り $PD$ に垂直な直線と辺 $AB, AC$ の交点を $X, Y$ とし，直線 $PE, PF$ と辺 $BC$ の交点を $Z, W$ とする．$XY \parallel BC, EZ \parallel AB, FW \parallel AC$ に留意すれば，以下が成立する：

$$
\begin{aligned}
AF &= PE = 6,&& AE = PF = 8\\\\
FX &= \frac{PF}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}},&& EY = \sqrt{3}PE = 6\sqrt{3}\\\\
XB &= PZ = \frac{2PD}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}},&& YC = PW = 2PD = 10
\end{aligned}
$$

よって，三角形 $ABC$ の面積は

$$\frac{1}{2}(AF + FX + XB)(AE + EY + YC) = 108 + 72\sqrt{3}$$

であるので，解答すべき値は $\bf{183}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct004/editorial/3495
　遠回りかもしれませんが，一応．

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　$AB=x$ とおくと $\triangle ABC$ の面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{2} x^2$ である．一方
$$\begin{aligned}
\triangle ABC &= \triangle PAB + \triangle PBC + \triangle PCA \\\\
&= 4x+5x+3\sqrt{3}x 
\end{aligned}$$
とも表せるから，これらを連立して $x=6+6\sqrt{3}$ を得る．再度 $\triangle ABC = \dfrac{\sqrt{3}}{2} x^2$ を用いれば答えが出る．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct004/editorial/3495/196
　三角形 $ABC$ は

$$\angle A = 90^\circ, \quad \angle B= 60^\circ, \quad \angle C = 30^\circ$$

をみたします．三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ から辺 $BC, CA, AB$ におろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ とすると，以下が成り立ちました：

$$PD = 5, \quad PE = 6, \quad PF = 8$$

このとき，三角形 $ABC$ の面積は正の整数 $a, b, c$（$c$ は平方因子をもたない）を用いて $a + b\sqrt{c}$ と表されるので，$a + b + c$ を解答してください．