　$F(x) = x^3 P(x^2) - Q(x^2)$ とすると，これは $11$ 次複素数係数多項式であり，以下を満たす．
- $x, x^{10}, x^{11}$ の係数はそれぞれ $0, 0, 1$ である．
- $36$ の正の約数 $9$ つをすべて根にもつ

ここで複素数 $\alpha, \beta$ によって $F(x)$ の根 $11$ 個を
$$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, \alpha, \beta$$
と表すと，$x^{10}$ の係数から根の総和は $0$ であることがわかるので，これより
$$\alpha + \beta = -91$$
が得られる．ここで $\alpha, \beta$ のうち一方が $0$ だとすると $x$ の係数が $0$ であることに反するので，
この $2$ 数はどちらも $0$ ではない．よって $x$ の係数が $0$ であることは根の逆数の総和が $0$ であることと同値であり，
$$-\frac{91}{\alpha \beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{91}{36}$$
すなわち
$$\alpha \beta = 36$$
が得られる．したがって，
$$F(x) = (x^2 + 91x + 36)\prod_{n | 36, n \gt 0} (x - n)$$
と表すことができる．これを変形すると
$$
\begin{aligned}
F(x) &= (x^2 + 91x + 36)(x - 6)\prod_{n = 1}^{4} (x - n)\bigg(x - \frac{36}{n}\bigg) \\\\
&= (x^2 + 91x + 36)(x - 6)\prod_{n = 1}^{4} \bigg(x^2 - \bigg(n + \frac{36}{n}\bigg)x + 36\bigg) \\\\
&= (x - 6)\prod_{n \in \\{-37, -20, -15, -13, 91\\}} (x^2 + nx + 36)
\end{aligned}
$$
となる．\
　$P(x), Q(x)$ の係数は，それぞれ $F(x)$ の奇数次・偶数次の項の係数に一致するので，これより $P(x), Q(x)$ は一意に定まり，特にどちらも実係数多項式である．
ここで $x = 6i$ とすることで
$$
\begin{aligned}
-6^3 i P(-36) - Q(-36) &= F(6i) \\\\
&= 6(i - 1)\prod_{n \in \\{-37, -20, -15, -13, 91\\}} (6ni) \\\\
&= - 6^6 N (i + 1) 
\end{aligned}
$$
が得られる．ただし $N = 13 \times 15 \times 20 \times 37 \times 91$ とした．したがって複素数の実部・虚部の比較から
$$P(-36) = 6^3 N，Q(-36) = 6^6 N$$
が得られる．以上より，求める値は
$$P(-36) + Q(-36) = \mathbf{615490293600}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/editorial/7207
　$x$ の複素数係数多項式 $P(x), Q(x)$ があり，$P(x)$ は $x^4$ の係数が $1$ であるような $4$ 次式で，$Q(x)$ の次数は $4$ 以下です．
さらに任意の $36$ の正の約数 $n$ に関して以下が成り立っています．
$$n^3 P(n^2) = Q(n^2)$$
このときの $P(-36) + Q(-36)$ の値を求めてください．