　$\angle{APB}=\alpha$, $\angle{AQB}=\beta$ とおく．直線 $QA$ は $A$ で $\omega_1$ に接するから，$\angle{APB}=\angle{QAB}=\alpha$ であり，同様にして $\angle{AQB}=\angle{PAB}=\beta$ である．三角形の外角の性質より $\angle{ABP}=\angle{ABQ}=\alpha+\beta$ であり，
$$2(\alpha+\beta)=\angle{ABP}+\angle{ABQ}=180^\circ$$
より $\alpha+\beta=90^\circ$ である．よって，$\angle{PAQ}=90^\circ$ および，$\angle{ABP}=90^\circ$ が分かる．ここで，$\omega_1, \omega_2$ の半径をそれぞれ $r_1, r_2$ とおくと，線分 $AP, AQ$ はそれぞれ $\omega_1, \omega_2$ の直径であるから $AP=2r_1, AQ=2r_2$ である．三角形 $APQ$ の面積を $S$ とおくと，
$$4r_1r_2=AP\cdot AQ=2S=PQ\cdot AB=168$$
となるから，$r_1r_2=\mathbf{42}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/editorial/11876
　$2$ つの円 $\omega_1$ と $\omega_2$ が相異なる $2$ 点 $A$, $B$ で交わっています．$A$ における $\omega_2$ の接線と $\omega_1$ の交点のうち $A$ でない方を $P$ とし，$A$ における $\omega_1$ の接線と $\omega_2$ の交点のうち $A$ でない方を $Q$ とすると，$3$ 点 $P, B, Q$ は同一直線上にありました．$AB=6, \ PQ=28$ であるとき，$\omega_1$ の半径と $\omega_2$ の半径の積を求めてください．