　$N=2^p3^q5^r$ と表せ, このとき各素因数の分配を考えれば $\textrm{lcm}(a,b)=N$ なる組 $a\lt b$ の個数は
$$\dfrac{1}{2}\left((2p+1)(2q+1)(2r+1)-1\right)=2^9$$
よって積が $1025=5^2\times 41$ となる $3$ つの奇数の順序付いた組を数え上げることに帰着され, これは $\textbf{18}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc086/editorial/2068
　$7$ 以上の素因数をもたない正整数 $N$ であって, 最小公倍数が $N$ となるように相異なる $2$ つの正整数を選ぶ方法がちょうど $2^9$ 通り存在するものはいくつありますか？ここで,  $2$ つの正整数の順序は考慮しません.