　$AD=BC=a, AC=BD=b$ とおく．等脚台形 $ABCD$ は円に内接するので，Ptolemyの定理より
$$a^2+2\times10^{200}=b^2 \tag{1}$$
が成立する．また，$DA+AB+BC\gt DC$ より
$$a\gt\dfrac12 \times 10^{100}\tag{2}$$
が成立する．逆に，この $2$ 条件が成立しているとき，条件をみたす等脚台形が存在する．したがって，上の $2$ 条件をみたす正の整数の組 $(a, b)$ を数えればよい．\
　$(1)$ を書き換えると $(b+a)(b-a)=2\times10^{200}$ であり，$b+a, b-a$ はいずれも正の偶数であることから $$a=t-s,\quad b=t+s, \quad st=2^{199}\times5^{200}$$
なる正整数 $s,t$ をとれる．$s\lt t$ に留意すれば，これをみたす組 $(s, t)$ は $200\times201\div2=20100$ 個である．\
　$(1)$ をみたすが $(2)$ をみたさない組 $(s, t)$ を考えよう．$s=10^{200}\/2t$ であることから，$(2)$ は
$$ t - \dfrac {10^{200}}{2t} \gt \frac12 \times 10^{100}$$
と表現できる．左辺が $t\gt 0$ で単調増加であることに留意すれば，$(2)$ をみたさないことは
$$ \dfrac12\times 10^{100} \leq s \lt t \leq 10^{100}$$
と同値である．このような組 $(s, t)$ について，$s, t$ のうち $2$ で $100$ 回以上割り切れる方をとり（これは一意に存在する）$u$ とする．$u$ は $(s, t)$ と一対一に対応する．$u$ は $1$ 以上 $100$ 以下の整数 $p$ と $0$ 以上 $100$ 以下の整数 $q$ によって
$$u=\dfrac{2^p}{5^q}\times\dfrac{10^{100}}{2}$$
と表せるが，このとき $(s,t)$ が $(2)$ をみたさないことは以下と同値である：
$$1\leq\dfrac{2^p}{5^q}\le2．$$
$q$ を任意に与えたとき，$p=1+\lfloor q\log_2 5 \rfloor$ のときかつそのときに限り，これが成立する．よって，$\log_2 5\approx2.322$ に注意して $1\le1+\lfloor q\log_2 5 \rfloor\le100$ を解けば $0\le q\le43$ が得られる．すなわち，$u$ としてありうるものは $44$ 個あり，$(1)$ をみたすが $(2)$ をみたさない組 $(s, t)$ も $44$ 個存在することが分かる．\
　以上により，条件をみたす台形は $20100-44=\mathbf{20056}$ 種類ある．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct003/editorial/3271
　$AB\parallel DC$ なる等脚台形 $ABCD$ は， $AB=10^{100}, CD=2\times10^{100}$ をみたしており，線分 $AC, AD$ の長さはともに正整数値です．このとき，この等脚台形の形状としてありうるものは何通りありますか？　ただし，$\log_{10}2$ を小数第 $5$ 位で四捨五入した値として $\log_{10}2\approx0.3010$ が保証されます．