$$C=(x+y)(x^2+y^2-xy)=\frac{A(3B-A^2)}{2}$$
より $A=2$ であるから, $C=3B-4$ なる奇数の合成数 $B,C$ について考えれば良く, 小さい方から探索していくことで $(B,C)=(27,77)$ を得る. このような実数 $x,y$ は確かに存在するから, 求める最小値は $\textbf{106}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc066/editorial/2181
　実数 $x,y$ に対し, 以下のように $A,B,C$ を定めます.
$$A=x+y,\quad B=x^2+y^2,\quad C=x^3+y^3$$
これらが以下の条件をみたすとき, $A+B+C$ としてあり得る最小値を解答してください.

- $A,B,C$ はいずれも $1$ より大きい整数である.
- $A,B,C$ はどの二つも互いに素である.
- $A,B,C$ のうち素数は高々一つである.