　 便宜上，各領域 $A_n$ は頂点を含むが，それ以外の外周を含まないとして考える．$A$ から $A_1, A_2, \ldots, A_n$ を切り取った後に残る領域を $\bar\{A\}_n$ とすれば，これはいくつかの多角形と辺（から頂点を除いたもの）からなる．一般に，$1$ つの凸多角形から条件を満たすようにある $129$ 角形 $A_i$ を切り取ると，元の凸多角形は $A_i$ の辺によって $130$ 個の連結成分に分割される．このうち $1$ つは $A_i$ として数えられるため，結局 $A_i$ を切り取ることにより，$A$ の連結成分の個数は差し引きで $128$ 増えることになる．したがって，$\bar\{A\}_n$ は $128n+1$ 個の連結成分からなる．\
　条件を満たすように $A_1, A_2, \ldots, A_N$ を切り取れるが，$A_\{N+1\}$ は切り取れない状況を考えよう．$\bar{A}_n$ の各連結成分において，その「頂点」のうち，$A_1, A_2, \cdots A_N$ のいずれの頂点でもないものの個数は $0$ 以上 $128$ 以下でなければならない（$0$ の場合は辺に対応する）．したがって，頂点の個数について以下の不等式が成立する．
$$
129N \leq 10^7 \leq 129N+128(128N+1)=(128^2+129)N+128
$$
これを $N$ について解くことにより，
$$
606=\Bigl\lceil \frac{10^7-128}{128^2+129} \Bigl\rceil \leq N \leq \Bigl \lfloor \frac{10^7}{129} \Bigl\rfloor =77519
$$
を得る．隣接する $129$ 角形の間や各 $129$ 角形の隣接する頂点の間を適切な頂点の個数だけ空けながら切り取っていくことで，不等式の等号を満たすように $129$ 角形を切り取ることができる．したがって，求めるべき値は $77519\times 606=\mathbf{46976514}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/editorial/5150
　正 $10^7$ 角形状の板 $A$ があり，ここから $129$ 角形状の板を $1$ 枚ずつ切り取っていきます．この過程で，$A$ が $2$ 枚以上に分かれても構いません．ここで，$n$ 枚目に切り取る板 $A_n$ について，次の規則をみたすようにします：

 - $A_n$ の頂点はすべて $A$ の頂点である．
 - $i=1, 2, \ldots, n-1$ それぞれについて，$A_i$ と $A_n$ は辺や頂点も含めて共通部分をもたない（$n=1$ のときはこの規則は考えない）．

　このようにして $N$ 枚の板を切り取ったところ，規則にのっとって $N+1$ 枚目の板を切り取ることができなくなりました．このとき，$N$ としてありうる最大値と最小値をそれぞれ求め，それらの**積**を解答してください．

<details><summary>正七角形の板から，三角形の板を切り取る例<\/summary>
　同様の規則にのっとるとき，以下のそれぞれの状態から三角形の板をさらに切り取ることはできません．また，$3$ 枚以上の板を切り取ることはできないことがわかるので，最大値は $2$，最小値は $1$ です．
![figure 1](\/images\/RVdyMJT6ZLTPPSsYVC6iJpdFInLMu5RHFjOXOov2)
<\/details>