　　$$N=\displaystyle \sum_{k=a}^bk=\frac{1}{2}\{b(b+1)-(a-1)a\}$$
より条件は $(b+a)(b-a+1)=2N$ と表現できる．ここで $b+a$ と $b-a+1 $の偶奇は異なり，かつ $b+a\gt b-a+1\gt1$ であるから，以下の条件
　　$$\begin{cases}\alpha\ \text{は正の偶数} \\\\ \beta\ \text{は 3 以上の奇数} \\\\ \alpha\beta=2N \\\\ \end{cases}$$
をみたす組 $(\alpha,\beta)$ と $(b+a)(b-a+1)=2N$ なる $(a,b)$ の組は一対一に対応する.\
　$N$ の素因数分解を $2^ap_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_n^{a_n}$ とする. このとき $xy=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_n^{a_n}$ なる正整数 $(x,y)$ の組は $(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\cdots(a_n+1)$ 通りあり，$(p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_n^{a_n},1)$ 以外のそれぞれに対し, 
　　$$(\alpha,\beta)=(2^{a+1}x,y)$$
とすることで一対一の対応が構成できる．ゆえに，$N$の満たすべき条件は
　　$$(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\cdots(a_n+1)=2022$$
　$2022=2\times3\times337$ であることを踏まえると，$N$の形としてあり得るものは
　　$$2^ap_1^{2021}，2^ap_1^{1010}p_2，2^ap_1^{673}p_2^2，2^ap_1^{336}p_2^5，2^ap_1^{336}p_2^2p_3$$
で与えられ, このような$N$は小さい順に
　　$$ 3^{336}5^27^1，3^{336}5^17^2，3^{336}5^211^1，3^{336}5^213^1，2^13^{336}5^27^1，3^{336}5^217^1,\cdots$$
であるから, 特に $M=2^13^{336}5^27^1$ である. あとはこれを $1000$ で割った余りを求めればよい.\
　$3^4\equiv1 \pmod{20}$ より $3^{336}=3^{4\times84}\equiv1 \pmod{20}$ であるから, ある正整数 $n$ によって $3^{336}=20n+1$ と表せば, $M=2^13^{336}5^27^1=350(20n+1)=7n\times1000+350$．よって求める余りは $\textbf{350}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc020/editorial/127
　次の条件を満たす正整数 $N$ のうち，$5$ 番目に小さいものを $1000$ で割った余りを求めてください．

- $a\lt b$ かつ $\displaystyle \sum_{k=a}^bk=N$ なる相異なる正整数の組 $(a,b)$ が, ちょうど $2021$ 組存在する．