　ある正整数を $9$ で割ったあまりは $10$ 進法におけるその数の桁和を $9$ で割ったあまりに等しいので，$a_n\equiv 2^1+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-2\pmod 9$ が成り立つ．$2^a\equiv 1\pmod 9$ を満たす正整数 $a$ の最小値が $6$ であることに注意すれば，次が成り立つ．
$$a_n=2^{n+1}-2\equiv 3,6\pmod 9 ~\Longleftrightarrow ~ 2^n\equiv 4,7\pmod 9 ~\Longleftrightarrow ~ n\equiv 2,4\pmod 6$$
したがって求める総和は
$$\sum_{k=1}^{167} (6k-4+6k-2)=\textbf{167334}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/2973
　正整数 $n$ に対し，$2^1,2^2,\ldots,2^n$ を左から順に続けて並べて得られる数を $a_n$ で表します．例えば $a_5=2481632$ です．このとき，$a_n$ が $3$ で割り切れるが $9$ で割り切れないような，$1000$ 以下の $n$ の総和を求めてください．