　求める期待値を $E$ とする．ボールを $n$ 回以上 $m$ 回以下取り出す確率を $p(n, m)$ とすれば，期待値について
$$E=\sum_{n=2}^{257}(n-1)^{3}p(n, n)=\sum_{n=2}^{257}((n-1)^{3}-(n-2)^{3})p(n, 257)$$
が成立する．ここで, $p(n, 257)$ は最初から $n-1$ 個の数が狭義単調増加になる確率なので，$\dfrac{{}\_{256}\text{C} {}\_{n-1}}{256^{n-1}}$ に等しい．よって，
$$\begin{aligned}
\sum_{n=2}^{257}((n-1)^{3}-(n-2)^{
3})p(n, 257)&=\sum_{n=1}^{256}\dfrac{(n^{3}-(n-1)^{3}){}\_{256}\text{C} {}\_n}{256^n}\\\\
&=\sum_{n=1}^{256}\dfrac{(3n^2-3n+1){}\_{256}\text{C} {}\_n}{256^n}\\\\
&=\sum_{n=1}^{256}\dfrac{(3n(n-1)+1){}\_{256}\text{C} {}\_n}{256^n}\\\\
&=\sum_{n=2}^{256}\dfrac{3\times255 \times{}\_{254}\text{C} {}\_{n-2}}{256\times256^{n-2}}+\sum_{n=1}^{256}\dfrac{{}\_{256}\text{C} {}\_n}{256^n}\\\\
&=\frac{765}{256}\bigg(1+\frac1{256}\bigg)^{254}+\bigg(1+\frac1{256}\bigg)^{256}-1\\\\
&=\frac{765\times256\times257^{254}+257^{256}}{256^{256}}-1\\\\
&=\frac{261889\times257^{254}}{256^{256}}-1
\end{aligned}$$
　求める値は $E+1$ を（分母が正の）既約分数で表したときの分子 $261889\times257^{254}$ を $256\times257\times258$ で割った余りである．
ここで $257^3\equiv 257\pmod{256\times257\times258}$ であるので，解答すべき値は $261889\times257^{254}\equiv261889\times257^2\equiv \mathbf{658177}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc210/editorial/5869
　$1$ から $256$ までの整数のうちちょうど一つが書かれたボールがそれぞれ $1$ 個ずつ，計 $256$ 個あり，すべてが $1$ つの袋に入っています．ここから $1$ 個ずつ取り出して戻すことを繰り返し，直前に取り出したボール以下の数が出たところで取り出すことをやめます．すべてのボールが等確率で現れるとき，最終的にボールを取り出した回数 $n$ について，$(n-1)^{3}$ の期待値は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を $256\times 257\times 258$ で割った余りを求めてください．