　辺 $BC$ 上に点 $I, J$ を $AD = BI, AE = BJ$ を満たすようにとると，三角形 $DIF$ および三角形 $EJG$ は正三角形となる．$|\triangle{ADF}|, |\triangle{AEG}|, |\triangle{DIF}|, |\triangle{EJG}|$ をそれぞれ $S_1, S_2, T_1, T_2$ とおき，正三角形 $ABC$ の面積を $2$ 通りで表すと，
$$3S_1 + T_1 = 3S_2 + T_2$$
が成り立つ．また $DF = 11x, EG = 10x$ とすれば
$$T_1 = \frac{\sqrt{3}}{4}(11x)^2, \quad T_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(10x)^2 $$
であり，問題文の条件から, $S_2 - S_1 = 20\sqrt{3}$ なので，
$$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 21x^2 = T_1 - T_2 = 3(S_2 - S_1) = 60\sqrt{3} $$
となる．これより $DF = 11x = \sqrt{\dfrac{9680}{7}}$ を得るので，解答すべき値は $\mathbf{9687}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc226/editorial/11118
　正三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D, E$ を取り，辺 $AC$ 上に点 $F, G$ を取ると，
$$AD \lt AE, \quad AD = CF, \quad AE = CG$$
を満たしました．さらに，線分 $DF$ と線分 $EG$ の交点を $H$ とすると，
$$| \triangle{DEH}| - | \triangle{FGH}  | = 20 \sqrt3, \quad DF : EG = 11 : 10$$
が成り立ちました．このとき，$DF$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ により $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので，$a + b$ の値を解答して下さい．ただし，三角形 $XYZ$ に対して $| \triangle{XYZ}|$ でその面積を表します.