　$3\times 3$ のタイルと $3\times 19$ のタイルをそれぞれ**タイル** $A$, **タイル** $B$ とする.\
　ある行ないし列においてタイル $B$ を置いて $19$ マスを埋めた場合, その行か列にはタイル $B$ を $3$ 枚で $57$ マスを埋める以外に埋め方は存在しない. 逆に, ある行や列をタイル $A$, $B$ で $3$ マスを埋めたときにはその行や列は $19$ 枚のタイルで埋めるしかない. これを踏まえると, タイル $B$ は必ず $3\times 57$ の塊として用いられる.\
　すべてを横長に配置するものを考えよう. このとき, 全体を $3\times 57$ の部分マス目 $19$ 個に分割してそのうち一つに着目したとき, その中で使われるタイルの枚数の総和は $2^{18}(3+19)$ と計算できる.\
　したがって, タイル $A$ のみを用いる場合の重複に注意すれば, 全体で求める総和は
$$2\times 19\times 2^{18}(3+19)-19^2=\textbf{219152023}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/editorial/3249
　$57\times 57$ のマス目を，$3\times 3$ と $3\times 19$ の $2$ 種類のタイルで重なりなく敷き詰めるとき，すべての敷き詰め方について使われるタイルの枚数の総和を求めてください．\
　ただし，タイルは $90^\circ$ 回転して用いてもよく，一方のタイルしか用いなくても良いものとします．また，回転や裏返しで一致するような置き方も区別して考えます．