　$3$ 点 $P, O_1, O_2$ および $P, R, S$ は同一直線上にあり，さらに $O_1P = O_1S, O_2P=O_2R$ であるので，$O_2R \parallel O_1S$ を得る．同様に $O_3R \parallel O_1T$ を得るが，$3$ 点  $O_2, R, O_3$ は同一直線上にあるから，$3$ 点 $S, O_1, T$ も同一直線上にある．$S$ と $T$ は $O_1$ について反対側にあるため，線分 $ST$ は $C_1$ の直径となる．また，$PO_2=O_2R$ および $QO_3=O_3R$ より，$3$ 直線 $PO_2,O_2O_3,QO_3$ にそれぞれ点 $P,R,Q$ で接する円（すなわち三角形 $O_1O_2O_3$ の傍接円）が存在し，特にその中心は $U$ である．\
　したがって， $i = 1, 2, 3$ について $C_i$ の半径を $r_i$ で表せば
$$\triangle O_1O_2O_3=\frac{1}{2}\times \\{(r_1-r_2)+(r_1-r_3)-(r_2+r_3)\\}\times UP =(120-77)\times47=2021$$
であり，一方で三角形 $O_1O_2O_3$ の内接円の半径を $r$ とすれば
$$\triangle O_1O_2O_3=\frac{1}{2}\times \\{(r_1-r_2)+(r_1-r_3)+(r_2+r_3)\\}\times r=120r$$
であるので，$r=\dfrac{2021}{120}$ となり，解答すべき値は $2021+120=\textbf{2141}$ である．

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<summary>補足<\/summary>
　線分 $ST$ が $C_1$ の直径となることについては，以下のように考えることもできる．

　$C_2,C_3$ の共通内接線と $C_1$ との交点を $A,B$ とする．$P$ を中心とし円 $C_2$ を円 $C_1$ に移す相似拡大を考えると，点 $R$ は 点 $S$ へ，直線 $AB$ は円 $C_1$ の $S$ での接線 $\ell_S$ へ移る．このとき $AB \parallel \ell_S$ であるので，接弦定理とあわせて $\angle SAB = \angle SBA$ がわかる．よって $SA = SB$ であるので，$S$ は弧 $AB$ の中点である．$T$ についても同様であるが，ここで $S$ と $T$ は 線分 $AB$ について反対側にあるため，線分 $ST$ は $C_1$ の直径となる．
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公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc172/editorial/2303
　平面上に中心をそれぞれ $O_i$ とする $3$ つの円 $C_i\ (i=1,2,3)$ があります．$C_2,C_3$ は $C_1$にそれぞれ点 $P,Q$ で内接しており，$C_2$ と $C_3$ は点 $R$ で外接しています．ここで，直線 $PR,QR$ と $C_1$ との交点のうちそれぞれ $P,Q$ でない方を $S,T$ とし，さらに点 $P,Q$ それぞれにおける $C_1$ の接線の交点を $U$ とすると，以下が成立しました．
$$ST=240,\quad O_2O_3=77,\quad UP=47$$
このとき，三角形 $O_1O_2O_3$ の内接円の半径は，互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．