　以下のように $p,q,r,s$ をとれば、これらは相異なる正整数である.
$$p=\frac{a+b+c+d}{a},\quad q=\frac{a+b+c+d}{b},\quad r=\frac{a+b+c+d}{c},\quad s=\frac{a+b+c+d}{d}$$
さらに, $p,q,r,s$ は次の条件をみたす：
$$\frac1p+\frac1q+\frac1r+\frac1s=1$$
このとき, このような $(p,q,r,s)$ の組は
$$(2,3,7,42), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,10,15), (2,4,5,20), (2,4,6,12)$$
とその並べ替えに限られる. このような組と $(a,b,c,d)$ が一対一に対応し, $a+b+c+d=\textrm{lcm}(p,q,r,s)$ であるから, 求める答えは $4!\times(42+24+18+30+20+12)=\bf{3504}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc061/editorial/2247
以下の条件を満たす相異なる正整数の組 $(a,b,c,d)$ すべてについて, $a+b+c+d$ の総和を解答してください.
- $a,b,c,d$ は互いに素である.
- $b+c+d$ は $a$ の倍数.
- $a+c+d$ は $b$ の倍数.
- $a+b+d$ は $c$ の倍数.
- $a+b+c$ は $d$ の倍数.