　$2$ 人の秒速の差は無理数なので，端の直線に同時に $2$ 人がいることはないことに気をつけると，$2$ 人が同じ位置になるのは次の $2$ 通りである．  
 - 端の直線以外で太郎さんが花子さんを同じ方向に向かいながら追い抜くとき  
　これは一周 $4$ メートルの円周を同じ地点から同じ方向にスタートして太郎さんが追い抜く回数と言い換えられる．$10000$ 秒で太郎さんが花子さんに対して相対的に $10000(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ メートル進むので，この間に $x$ 回追い抜いたとすると次が成り立つ．
$$4x\leq 10000(\sqrt{3}-\sqrt{2})\lt 4(x+1)$$
これを解いて $x=794$ を得る．
 - 端の直線以外で太郎さんと花子さんが異なる方向に向かいながらすれ違うとき  
　これは一周 $4$ メートルの円周を円の中心を挟んで逆側から異なる方向にスタートしてすれ違う回数と言い換えられる．$10000$ 秒で太郎さんが花子さんに対して相対的に $10000(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ メートル進むので，この間に $y$ 回すれ違ったとすると，はじめに二人が円の中心を挟んで逆側にいたことに注意して，次が成り立つ．
$$4y-2\leq 10000(\sqrt{3}+\sqrt{2})\lt 4(y+1)-2$$
これを解いて $y=7866$ を得る．

以上より，求める回数は $x+y=\mathbf{8660}$ 回である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/11863
　花子さんと太郎さんは一緒に体育館で反復横跳びをすることにしました．体育館には $3$ 本の平行な直線が $1$ メートル間隔で引いてあり，$2$ 人はスタート前に中央の直線上の同じ位置にいて，直線に対して垂直な同じ方向に同時にスタートし，端の直線に到着したら $180^\circ$ 折り返して，もう一方の端にある直線に向かうことを繰り返します．花子さんと太郎さんは常に一定速度で移動し，それぞれ秒速 $\sqrt{2}$ メートル，秒速 $\sqrt{3}$ メートルです．同時にスタートして $10000$ 秒経過するまでに $2$ 人が同じ位置にいる回数を答えてください．ただし，スタート時は含まず，体の大きさは考えないものとします．