　$a_{100}$ は $16$ 以上の整数 $k$ を用いて $a_{100}=2^{2^k+1}$ と書けるから，Fermatの小定理より $a_{100}$ を $2^{16}+1$ で割ったあまりは $\mathbf{2}$ であるとわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/editorial/4737
　数列 $\lbrace a_n\rbrace$ を以下で定めます：
$$a_1=1, \quad a_{n+1}=2^{a_n+1}$$
このとき，$a_{100}$ を素数 $2^{16}+1$ で割ったあまりを求めてください．