　求める総和は，すべての進み方について通る点の個数を合計したものに等しい．原点から $A$ までの $P$ の進み方は ${}\_{12}\mathrm C\_6 = 924$ 通りあり，そのすべてにおいてそれぞれ $13$ 個の点を通るから，答えは $924 \times 13 = \mathbf{12012}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3484
**別解1**　

　$N(i,j)$ でカウントされる経路は座標空間内で $(0,0,0)$ から $(6,6,1)$ まで, 行く経路のうち $(i,j,0),(i,j,1)$ 両方を通るものと一対一に対応する. よって, $(i,j)$ について, 総和を取ることで, 求める答えは, $(0,0,0)$ から $(6,6,1)$ までの経路数と等しい. よって, $\frac{13!}{6!6!1!}=\mathbf{12012}$.

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**別解2**

　$$
\begin{aligned}
N(i,j)&=((0,0)から(i,j)へ向かう経路数)\times((i,j)から(6,6)へ向かう経路数)\\\\
&=\binom{i+j}{i}\binom{6-i+6-j}{6-i}
\end{aligned}
$$
より, $\sum_{i=0}^{6}\sum_{j=0}^{6}N(i,j)$ は $x^iy^j$ の係数に $\binom{i+j}{i}$ を持つような冪級数 $f(x,y)$ を用いて,
$$\sum_{i=0}^{6}\sum_{j=0}^{6}N(i,j)=\[x^6y^6\](f(x,y))^2$$
と表すことができ, 
$$f(x,y)=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\binom{i+j}{i}x^iy^j=\sum_{k=0}^{\infty}(x+y)^k=\frac{1}{1-(x+y)}$$
であるから, 求める答えは,
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{6}\sum_{j=0}^{6}N(i,j)&=\[x^6y^6\](f(x,y))^2\\\\
&=\[x^6y^6\]\frac{1}{(1-(x+y))^2}\\\\
&=\[x^6y^6\]\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(x+y)^k\\\\
&=\[x^6y^6\](12+1)(x+y)^{12}\\\\
&=13\times\binom{12}{6}=\mathbf{12012}
\end{aligned}
$$
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[余談]この知識を応用して, [ある問題](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc221\/tasks\/10100)を解くこともできます.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3484/619
　座標平面上にある点 $P$ は，点 $(x, y)$ にいるときに $(x + 1, y)$ または $(x, y + 1)$ に瞬間移動できます．はじめ $P$ は原点 $(0, 0)$ におり，点 $A(6, 6)$ を目指して $A$ に到着したら停止します．このとき，点 $P$ が通る点の集合（原点と $A$ を含む）としてあり得るもののうち，ある点 $(i, j)$ を含むものの個数を $N(i, j)$ とするとき，
$$ \sum_{i=0}^6 \sum_{j=0}^6 N(i, j) $$
を求めてください．