　三角形の中線と等角共役の関係にある直線 (この問題では $ABC$ における直線 $AO$) は $\textit{symmedian}$ (擬似中線) と呼ばれ, 様々な性質が知られている. この補題は, それらの出発点とも言うべき, 特に主たるものである.

**補題.**　三角形 $ABC$ の外接円を $\Omega$ とし, $B,C$ での $\Omega$ の接線の交点を $X$ とすると, $\angle BAX=\angle CAM$.

**証明.**　辺 $BC$ 上で $\angle BAX=\angle CAM^\prime$ なる点 $M^\prime$ をとったとき, $BM^\prime=CM^\prime$ を示せばよい. 正弦定理より
$$BM^\prime=AM\times\dfrac{\sin\angle BAM^\prime}{\sin B},\ \ CM^\prime=AM\times\dfrac{\sin\angle CAM^\prime}{\sin C}$$
　一方, 接弦定理より $\angle ABX=180^\circ-\angle C$ などであるから, 再び正弦定理より
$$AX\times\dfrac{\sin\angle BAX}{\sin\angle C}=BO=CO=AX\times\dfrac{\sin\angle CAX}{\sin\angle B}$$
以上より, $M^\prime$ のとり方を考慮すれば $BM^\prime=CM^\prime$ が示された.

　補題より $O$ は $BC$ の垂直二等分線と直線 $AX$ の交点であるから, これはすなわち $X$ である.\
　ここで半直線 $OA$ 上の $OA\times OA^\prime=20^2$ なる点 $A^\prime$ を考れば, これは $B,C$ によらない定点であり, 方べきの定理より常に $\Omega$ 上にある. よって求める直線 $\ell$ は線分 $AA^\prime$ の垂直二等分線であるから, 特にこれと $O$ との距離は $(21+20^2\/21)\/2=841\/42$ であり, 求める値は $\textbf{883}$ である.\
　なお別解として, $\Gamma$ による反転を考えてもよい. 上の事実よりこの反転で $\Omega$ は不変であるから, $A$ が移る先 $A^\prime$ (同じ定点)は常に $\Omega$ 上である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc024/editorial/146
　点 $O$ を中心とする半径 $20$ の定円 $\Gamma$ および $OA=21$ なる定点 $A$ があります. $AB\neq AC$ なる $\Gamma$ 上の点 $B,C$ について, 線分 $BC$ の中点を $M$ とすると, 半直線 $AO$ は $\angle BAC$ の内側にあり, かつ $\angle BAO=\angle CAM$ が成立しました. このとき, $B,C$ のとり方によらず, 三角形 $ABC$ の外心は常にある直線 $\ell$ 上にあることが証明できます.\
　$O$ と $\ell$ の距離を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $x,y$ によって $\dfrac{x}{y}$ と表されるので, $x+y$ を解答してください.