　与式は次のように変形できる．$$(x+1)(x-2)(x-4)=12y(y-3)$$
$y=2$ のときこれをみたす $x$ は存在せず，$y=3$ のとき $x=2,4$ である．\
　$y\geq 5$ のとき，右辺に素因数 $3$ はちょうど $1$ 個含まれることから $x\equiv 1\pmod{3}$ である．$x\neq 1,4$ は容易に確認できるため，正整数 $k$ を用いて $x=6k+1$ または $x=6k+4$ とおける．

- $x=6k+1$ のとき与式より $$(3k+1)(6k-1)(2k-1)=2y(y-3).$$ 左辺の因数の大小に注意すれば $6k-1=y$ がわかり，このとき $(x,y)=(7,5)$．
- $x=6k+4$ のとき与式より $$(6k+5)(3k+1)k=y(y-3).$$ 先と同様に考えれば $6k+5=y$ がわかり，このとき $(x,y)=(16,17)$．

以上より与式をみたす組は $(x,y)=(2,3),(4,3),(7,5),(16,17)$ であり，解答すべき値は $\bm{57}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb003/editorial/170
　以下の等式をみたす正の整数 $x$ と素数 $y$ の組すべてについて, $x+y$ の総和を求めてください. 
$$x^3-5x^2+2x-12y^2+36y+8=0$$ 

　**こちらの問題の提供者を探しています．心当たりのある方はご連絡ください．**