　はじめの配置で $5$ つのグループを $A,B,C,D,E$ と命名する．このとき，以下のような表を考える：
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\\{D,E\\} & \\{C,E\\} & \\{A,B\\} & \\{A,B\\} & \\{C,D\\} \\\\
\hline \hline
\\{B,C\\} & \\{A,D\\} & \\{D,E\\} & \\{C,E\\} & \\{A,B\\} \\\\
\hline
\end{array}$$
各列が入れ替え後のグループの構成であり，上下がそれぞれの大学に対応している．したがって，文字の配置の制約は
- 各列には相異なる文字 $4$ 種類が入る．
- 上下それぞれに各文字が $2$ 回ずつ現れる．

　さらに一般性を失わず，各列に現れない唯一の文字が左から $A,B,C,D,E$ であるとして，このような表が何通りあるか考えればよい．ただし，はじめに同大学で同グループだった学生を区別していないことから，最後に $2^{10}$ 倍する必要があることに注意せよ．上 $10$ 文字の配置を決めれば残りは一意に決まるから，以下の問題に帰着された：

- $5$ つの箱 $1,2,3,4,5$ と，$10$ 個のボールがあり，各ボールには $A,A,B,B,C,C,D,D,E,E$ が書かれている．以下の条件をみたすように，各箱にボールを $2$ つ入れる方法は何通りあるか？
	- 同じ箱に同じ文字が書かれたボールは入らない．
	- $A$ が書かれたボールは箱 $1$ に入らない．
	- $B$ が書かれたボールは箱 $2$ に入らない．
	- $C$ が書かれたボールは箱 $3$ に入らない．
	- $D$ が書かれたボールは箱 $4$ に入らない．
	- $E$ が書かれたボールは箱 $5$ に入らない．

　ここで，頂点 $1,2,3,4,5$ を用意し，例えば $A$ と書かれたボールを箱 $i$ と $j$ に入れるとき頂点 $i$ と $j$ の間に $A$ と書かれた辺を張る要領で，$5$ 頂点 $5$ 辺の無向グラフを構成する．このとき，グラフ全体の構造は

- 長さ $5$ のサイクル一つからなる．
- 長さ $3$ のサイクル一つと，長さ $2$ のサイクル一つ (＝多重辺 $1$ 本) からなる．

のいずれかである．それぞれについて辺の張り方は $12$ 通りおよび $10$ 通りであり，一つの張り方に対してラベルの割り振り方がそれぞれ $13$ 通りおよび $6$ 通りであることが確認できるから，全体で求める場合の数は
$$(12\times 13+10\times 6)\times 2^{10}=\textbf{221184}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/2804
$2$つの大学をそれぞれ$A$大学，$B$大学とし，それぞれの大学の学生を$A_1,A_2,\ldots A_{10}$及び$B_1,B_2,\ldots B_{10}$とします．\
さらに，最初に振り分けられたグループをグループ$1$～$5$として，グループ$1$には$A_1,A_2,B_1,B_2$，グループ$2$には$A_3,A_4,B_3,B_4$，$\ldots $，グループ$5$には$A_9,A_{10},B_9,B_{10}$が所属していたとします．\
組み換え後のグループを考えると，グループ$1$に所属していた人だけがいないグループ，グループ$2$に所属していた人だけがいないグループ，$\ldots $，グループ$5$に所属していた人だけがいないグループの$5$つのグループができるのでそれぞれグループ$1^{\prime}$～$5^{\prime}$とします．\
ここで，組み換え後において$A_1,A_2,B_1,B_2$はそれぞれ別のグループに所属することになり，それぞれグループ$2^{\prime}$,$3^{\prime}$,$4^{\prime}$,$5^{\prime}$に所属したことにすれば対称性からこの場合の$4!$倍が答えになります．\
この時残り学生の振り分けについて考えると，グループ$1^{\prime}$の$4$人は元々グループ$2,3,4,5$でそのうち$2$人が$A$大学出身，グループ$2^{\prime}$の$3$人は元々グループ$3,4,5$でそのうち$1$人が$A$大学出身，$\ldots $，グループ$5^{\prime}$の$3$人は元々グループ$2,3,4$でそのうち$2$人が$A$大学出身，となります．\
元々のグループと出身大学の対応付け(グループ$1^{\prime}$を除く)$81$通りを全て書き出すと，全体で同一グループに所属していた$A$大学出身者が$2$人ずつになるようにグループ$1^{\prime}$の対応付けができるのはそのうち$36$通りです．\
最後に$A_3$と$A_4$，$A_5$と$A_6$，$\ldots $，$B_9$と$B_{10}$を区別して考えていなかったのでそれぞれを入れ替えたパターンを考え$2^8$倍する必要があります．\
したがって求める場合の数は\
$$4!×36×2^8=\mathbf{221184}.$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/2804/55
　$2$ つの大学があり，それぞれから $10$ 人の学生が参加してパーティーを催します．はじめ，参加者は $4$ 名ずつ $5$ つのグループに配置されました．ここで，それぞれのグループには各大学の学生が $2$ 人ずつ配置されています．\
　いま，参加者の親睦をより深めるため，グループを組み替えることにしました．このとき，同様に各グループにそれぞれの大学の学生を $2$ 人ずつ配置し，かつ以下の条件をみたすようにします：

- 入れ替えの前後で，ともに同じグループに配置された $2$ 人組が存在しない（$2$ 人の大学の一致によらない）．

はじめの配置を固定したとき，これらの条件をみたすようにグループを組み替える方法は何通りありますか？\
　ただし，それぞれのグループは区別しないものとします（すなわち，学生の分け方のみを考えます）．