　$B$ の壁を突き抜けたときのボールの速さは正の整数 $n$ によって秒速 $2^n {\rm cm}$ とおけるから, 求める時間は
　　$$\displaystyle t=\sum_{k=0}^n \frac{1000}{2^k}+\frac{1000}{2^n}=1000\left(2-\frac{1}{2^n}\right)+\frac{1000}{2^n}=\textbf{2000}(\text{秒})$$
である. 単位に注意せよ. なお実際には $n=18$ であるが, これを具体的に求める必要は無い.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc017/editorial/107
　直線状のコースに $3$ 点 $A,B,C$ がこの順で並んでおり, $A$ と $B$, $B$ と $C$ の間の距離はいずれも $10{\rm m}$ です. また, $A$ と $B$ にはそれぞれ不思議な壁が立っています. コースを進んできたボールがこれらの壁に当たるとボールは跳ね返り, 逆方向に向かって直前の $2$ 倍の速さで進みます. \
　ここで, $A$ の壁は非常に頑丈なので決して壊れませんが, $B$ 点の壁は時速 $5000{\rm km}$ 以上でボールが当たると壊れてしまい, ボールはそのままの速さで壁を突き抜けます. \
　秒速 $1{\rm cm}$ で $A$ から $B$ に向かって放たれたボールが, 初めて $C$ に到着するのは出発から $t$ 秒後です. $t$ を解答してください.\
　ただし, 摩擦や空気抵抗によるボールの減速, あるいは相対論的な効果などは考えないものとします.