　一般に $n$ 桁の正整数 $\overline{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_0}$ を $11$ で割ったあまりは
$$\overline{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_0}=\sum_{k=0}^{n-1}10^ka_k\equiv a_0-a_1+\dots +(-1)^{n-1}a_{n-1}\pmod{11}$$
を $11$ で割った余りに等しい．したがって問題文の条件は「下から数えて奇数桁目に含まれる $1$ の数と，偶数桁目に含まれる $1$ の数が等しい」と言いかえられる．よって $10^{10}$ の位が $1$ であることに加え，次の条件を考えれば良い．
- $11$ 桁目を除く奇数桁目の $1$ と偶数桁目の $0$ の個数の和が $4$ である．

以上より条件を満たす正整数の個数は ${}_{10}\text{C}_4=\mathbf{210}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/editorial/9113
　次の条件を満たす正整数はいくつありますか？

- ちょうど $11$ 桁である．
- $11$ で割り切れる．
- 各位の数が $0$ と $1$ で構成されている．