　$n\leq 4$ は不適であるから $n\geq 5$ とする. このとき以下のように定めれば, 条件は $g(n)=0$ である：
$$f(n) = \sqrt{25n + 5\sqrt{n}+25},\quad g(n) = \left[f(n+1)\right]−\left[f(n)\right]$$

$f$ は単調増加であるため, 次の補題より $n\geq 5$ において $g(n)$ の値は $0$ または $1$ である.

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**補題.**　$n\geq 5$ において $[f(n)+1] \geq [f(n+1)]$.\
**証明.**　$f(n)+1\geq f(n+1)$ を示せば十分である.  $f$ の定義域を非負の実数に拡張して考えると, $f$ は上に凸である(後述)から
$$h(x)=f(x)+1-f(x+1)$$
は単調増加であり, $h(5)\gt 0$ と併せて証明は完了する.

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 なお $f$ の凸性については愚直に導関数を調べてもよいが, より一般に以下の事実から従う：

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**事実.**　$f,g$ がともに上に凸で, $f$ は単調増加するとき, $f\circ g$ (合成写像)も上に凸である.\
**証明.**　任意の実数 $x,y$ および $0$ 以上 $1$ 以下の実数 $\lambda$ に対し次が成り立つことからわかる.
$$
f(g(\lambda x+(1-\lambda)y))
\geq f(\lambda g(x)+(1-\lambda)g(y))
\geq\lambda f(g(x))+(1-\lambda)f(g(y))
$$

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　以上より, 求める値は以下で与えられる：
$$9996-(g(5) + g(6) + \cdots + g(10000)) = 9996-\bigl([f(10001)] −[f(5)]\bigr) = \textbf{9508}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/editorial/2063
　以下の等式をみたす $0$ 以上 $10000$ 以下の整数 $n$ はいくつありますか？
$$\left[\sqrt{25n+5\sqrt{n}+25}\right]=\left[\sqrt{25n+5\sqrt{n+1}+50}\right]$$
　ただし，$\displaystyle \left[x\right]$ で $x$ 以下の最大の整数を表します．