　$n=\sqrt{2^a\times 3^b+1}$ とおけば $(n-1)(n+1)=2^a\times 3^b$ となる．$a=0$ のとき $(b,n)=(1,2)$．\
　$a\geq 1$ のとき，考えられるのは次の2通り．ただし $p,q$ は正整数で少なくとも一方は $1$．
$$\mathrm{(i)}:\begin{cases}n-1=2^p\times 3^b\\\\ n+1=2^q\end{cases}\quad\mathrm{(ii)}:\begin{cases}n-1=2^p\\\\ n+1=2^q\times 3^b\end{cases}$$
　$\mathrm{(i)}$ の場合 $2^q-2^p\times 3^b=2$ である．このとき明らかに $q\neq 1$ ゆえ $p=1$ であるから$$2^{q-1}-3^b=1$$となり，$\bmod{8}$ を考えれば $(q,b,n)=(2,0,3),(3,1,7)$ が適する．\
　$\mathrm{(ii)}$ の場合 $2^q\times 3^b-2^p=2$ である．
- $p=1$ のとき $(q,b,n)=(2,0,3)$ ，$p=2$ のとき $(q,b,n)=(1,1,5)$．
- $p\geq 3$ のとき $q=1$ より $3^b-2^{p-1}=1$ となる．$\bmod{4}$ を考えれば $b$ は偶数であるから$$(3^{b\/2}-1)(3^{b\/2}+1)=2^{p-1}$$より $(p,b,n)=(4,2,17)$．

以上より $n=2,3,5,7,17$ が得られ，特に解答すべき値は $\bm{34}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc004/editorial/33
　$0$ 以上の整数 $a, b$ を用いて $\\sqrt {2^a \\cdot 3^b + 1}$ と表すことができるような正の整数について, その総和を求めてください.