　$10^a$ の正の約数で, かつ $10^b$ の倍数であるものの個数は, $10^{a-b}$ の正の約数の個数に等しいから $(a-b+1)^2$ である. 一方で $10^a$ の正の約数は $(a+1)^2$ 個であるから, 条件は
$$10^{100}=(a+1)^2-(a-b+1)^2=(2a-b+2)b$$
ここで $2a-b+2$ と $b$ の偶奇は一致するから, これらはともに偶数である. さらに $a\geq b$ より
$$2a-b+2\gt b$$
特に求めるべきものは $AB=2^{98}\times5^{100}$ なる正整数の組 $A\gt B$ の数に等しいことがわかり, これは $\textbf{4999}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc059/editorial/1488
　次の条件をみたす正整数の組 $a\geq b$ の個数はいくつですか？

- 条件：$10^a$ の正の約数であって, $10^b$ の倍数でないものはちょうど $10^{100}$ 個ある．