　一般性を失わず $BP\geq PC$ で考えてよい. このとき, 方べきの定理より $AP\times PQ=BP\times PC$ であるから $BP=8$ および $PC=6$ が成立する. ここで $\angle APB=\theta$ とおけば, 余弦定理より
$$AB^2=208-192\cos\theta,\quad AC^2=180+144\cos\theta$$
これらから $\cos\theta$ を消去することで, 以下を得る. なお, これはStewartの定理として知られるものである.
$$3AB^2+4AC^2=1344$$
　一方で, Cauchy-Schwarzの不等式より
$$28^2=(3AB^2+4AC^2)\biggl(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\biggr)\geq (AB+AC)^2$$
であるから，以上より求める最大値は $\textbf{28}$ である.\
　なお, 等号成立条件 $AB=16,AC=12$ をみたす図は確かに存在する.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc072/editorial/1392
　二次曲線の知識を用いる．

  　方べきの定理より，$BP=8$，$PC=6$ としてよい．$AB+AC$ が一定値になる図形は楕円であることを活用したい．$BC$ の中点を原点にとり，直線 $BC$ が $x$ 軸となるように直交座標を設定する．このとき，点 $A$ は円 $(x-1)^2+y^2=12^2 \cdots ①$ 上に存在する．\
  　$AB+BC$ が一定値である楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \cdots ②$ を考える．このとき，点 $A$，$C$ が楕円の焦点であることから，$a^2-b^2=7^2$ であり，求めたいものは $AB+BC=2a$ の最大値である．\
  　図形的考察により，最大値を得るのは，楕円と円が接するときだとわかる．\
  　①・②を連立させて，整理すると，式 $49x^2-2a^2x+a^4-192a^2=0$ を得る．これが重解を持てばよいので，判別式 $D=0$ を用いて以下計算すればよい．
折れ線の長さ→楕円を使おう
https://onlinemathcontest.com/contests/omc072/editorial/1392/251
　外接円を $\Gamma$ とする三角形 $ABC$ において, $A$ を通る直線 $\ell$ が辺 $BC$ および $\Gamma$ とそれぞれ $P,Q$ で交わりました (ただし $Q\neq A$).
$$AP=12,\quad PQ=4,\quad BC=14$$
のとき, $AB+AC$ としてあり得る最大値を求めてください.