　一つ目の条件は，$n-1$ が正の約数をちょうど $3$ 個持つことと同値である． したがって，$n-1$ は素数 $s$ の平方として表される．大小関係より $s$ は $5$ 以上であり，これより $n-1\equiv 1\pmod{24}$ がわかる．\
　ここで，正の約数をちょうど奇数個もつ正整数はすべて平方数であり，それらは連続しないことから，二つ目の条件は $n-2$ が正の約数をちょうど $24$ 個もつ偶数であると言い換えられる．\
　以上より，$n-2$ が $24=2^3\times 3$ の倍数であることとあわせれば，$n-2$ は相異なる素数 $p,q,r$ を用いて
$$p^{11}q,　p^7q^2,　p^5q^3,　p^5qr,　p^3q^2r$$
のいずれかで表される．前の $3$ つはすべて不適であることが具体的計算によりわかる．\
　$p^5qr$ のとき $p=2$ であり，さらに対称性より $q=3$ としてよい．このとき， 
$$96r = (s+1)(s-1)$$
左辺の分割方法を考えれば, $(r,s)=(23,47)$ のみがこれを満たすことが容易に確認できる．\
　$p^3q^2r$ のとき，同様に $q=3$ または $r=3$ について
$$8q^2r = (s-1)(s+1)$$
であり，$(q,r,s)=(3,5,19), (3,19,37)$ のみがこれを満たすことが容易に確認できる．\
　以上より，求める総和は $(47^2+1)+(19^2+1)+(37^2+1)=\bf{3942}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc164/editorial/2016
　以下の条件をともにみたす正整数 $n$ の総和を求めてください：
- $n$ 以下の正整数であって，$n$ を割った余りが $1$ であるものが，ちょうど $2$ 個存在する．
- $n$ 以下の正整数であって，$n$ を割った余りが $2$ であるものが，ちょうど $22$ 個存在する．