**解法1.**  $F$ を $BC$ の中点とし, $G$ を $F$ から $AB$ に下ろした垂線の足とする. また $FG$ と $AD$ の交点を $H$ とすると,
$$\angle CAE =\angle FAH,\quad\angle EAF = \angle HAG,\quad\angle AFC = \angle AGF = 90^\circ$$
より $GH:HF = FE:EC = 7:32$ であり, Menelausの定理より $AG:GB = 7:9$ が分かる. \
　$\triangle ABF\sim \triangle FBG$ より $AB:BF=BF:BG$ すなわち
$$AB:39=39:\frac{9}{16}AB$$
であるから, 求める値は $\bf{52}$ である. 
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 **解法2.**  $F$ を $BC$ の中点とし, $AF=x$, $\angle DAF=\alpha$, $\angle FAE=\beta$とおくと, 
$$\tan\alpha=\frac{26}{x},\quad\tan\beta=\frac{7}{x},\quad\tan(\alpha+\beta)=\frac{39}{x}$$
であるから, 加法定理より
$$\frac{39}{x}=\frac{\frac{26}{x}+\frac{7}{x}}{1-\frac{26}{x}\cdot\frac{7}{x}}$$
を得る. これを解くと $x=13\sqrt{7}$ となるから, 三平方の定理より $AB=\bf{52}$ が得られる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc083/editorial/2692
　辺 $BC$ の中点を $M$ とすると，$\angle BAD=\angle MAE$, $\angle CAE=\angle MAD$ が成立する．また，$DM=26$, $ME=7$ であり，$\triangle XYZ$ で三角形 $XYZ$ の面積を表すとすれば，
$$
\frac{BD}{ME}=\frac{\triangle BAD}{\triangle MAE}=\frac{AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD}{AM\cdot AE\cdot \sin\angle MAE}=\frac{13}{7}, \quad 
\frac{CE}{MD}=\frac{\triangle CAE}{\triangle MAD}=\frac{AC\cdot AE\cdot \sin\angle CAE}{AM\cdot AD\cdot \sin\angle MAD}=\frac{32}{26}
$$
となり，辺々をかけて $\biggl(\dfrac{AB}{AM}\biggr)^2=\dfrac{16}{7}$ を得る．三平方の定理より，$BM=\dfrac{3}{4} AB$ が従う．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc083/editorial/2692/35
　$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に $B$ に近い順に点 $D, E$ をとると, 以下が成立しました.
$$BD=13,　DE=33,　EC=32,　\angle DAE = \frac12 \angle BAC$$
このとき, $AB$ の長さを求めてください.