　素因数分解 $10!=2^8\times 3^4\times 5^2\times7$ に留意すれば, これは正の約数を $270$ 個もつから, $10!$ が平方数でないことと併せてそれらの積は $(10!)^{135}$ である. よって, これがもつ正の約数の個数は
$$(8\times 135+1)(4\times 135+1)(2\times 135+1)(1\times 135+1)=\textbf{21554162776}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc137/editorial/1992
　$10!$ の正の約数の総積について，その正の約数の個数を求めてください.