**補題.**　$p,k,d$ をそれぞれ素数，正整数，整数とする．ただし，$p=2$ のときは $k\geq3$ とする．$d\equiv a^2-b^2\pmod{p^k}$ なる $p$ と互いに素な整数 $a,b$ が存在するための，$p,k,d$ に関する必要十分条件は，
- 「$p=2$ かつ $d\equiv0 \pmod8$」または 「$p=3,5$ かつ $d\not\equiv \pm1\pmod{p}$」または「$p\geq7$」

**証明.**　まず $p=2$ のとき，$a,b$ は奇数だから $a^2\equiv b^2\equiv 1\pmod{8}$ であり，$d\equiv 0\pmod{8}$ が必要．逆に $d=8e$ なる整数 $e$ が存在するとき，$a=2e+1,b=2e-1$とおくと $a,b$ はともに奇数で，$a^2-b^2=8e=d$ となるため，条件をみたす $a,b$ が得られた．\
　以下 $p$ は奇素数とする．$d\not\equiv \pm1\\pmod{p}$ のとき，$a\equiv\dfrac{d+1}2,b\equiv\dfrac{d-1}{2}\pmod{p^k}$ とおくと，上と同様にこれらが適する．\
　$d\equiv \pm1\pmod{p}$ のとき，適当に $x,y$ を定めて以下を成立させることを考えればよい．$x\not\equiv 0 \pmod{p}$ に注意．
$$\displaystyle a\equiv\frac{x+y}2,\quad b\equiv\frac{x-y}2,\quad xy\equiv d \pmod{p^k}$$
$x$ をもとに $y$ を定めたとき，$x\pm y$ がともに $p$ と互いに素となるには，$x$ について
$$x^4-1\equiv x^2(x^2-y^2)\not\equiv 0 \pmod{p}$$
が必要十分であり，原始根を考えればこのような $x\not\equiv 0 \pmod{p}$ の存在は $p\geq 7$ と同値．以上より示された．
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　補題より，超格子点 $A(a,b),B(c,d)$ に対し，$e=a-c$ および $f=b-d$ は $24$ の倍数で，$5$ で割った余りは $0,2,3$ のいずれか．逆にこれらをみたす整数 $e,f$ に対し，$e=a-c,f=b-d$ なる超格子点が同様にとれる．\
　ここで，$AB$ が軸に平行でなく，$AB$ の長さ $g$ が整数値のとき，$g^2=e^2+f^2$ より $g$ も $24$ の倍数である．$e,f,g$ をそれぞれ $24$ で割った商を $h,i,j$ とすると，$h,i\equiv 0,2,3\pmod5$ である．これに留意して，$j$ の小さい順にピタゴラス数を列挙すれば，$g\geq 13\times 24$ が従うことがわかる．\
　これを用いて，条件をみたす三角形 $ABC$ の周長を見積もろう．すべての辺が軸と平行でないとき，$39\times 24$ 以上である．また，二辺が軸と平行であるとき，上の議論と同様にピタゴラス数を列挙すれば $30\times24$ 以上である．ちょうど一辺が軸と平行であるとき，$29\times 24$ 以下とするには，軸と平行な辺の長さが $3\times 24$ 以下である必要がある．しかし，そのような三角形はすべて面積が無理数であり，特に格子三角形にはなりえない．\
　逆に各辺が $5\times 24,12\times 24,13\times 24$ の三角形の存在は一連の議論より従う．よって求める最小値は $\textbf{720}$ である． 

**補足.**　本質は平方数を $3,5,8$ で割った余りである．補題はそれらの考慮で十分であることの裏付けである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc139/editorial/2442
　直交座標平面において，次をみたす格子点 $(x,y)$ を**超格子点**とよぶこととします．

- $x\equiv a^2, ~ y\equiv b^2 \pmod{2022!}$ をみたすような，$2022!$ と互いに素な整数 $a,b$ が存在する．

　すべての頂点が超格子点であり，かつ各辺の長さがすべて正整数値であるような（非退化な）三角形について，その周長としてありうる最小値を求めてください.