　$BC=x,CA=y,AB=z$ とし，直線 $DP$ と $BC$ の交点を $X$，$DQ$ と $CA$ の交点を $Y$，$DR$ と $AB$ の交点を $Z$ とし，四面体 $DXYZ$ の体積を $V_3$ とする．また，空間内の点 $W$ と直線 $t$ の距離を $d(W,t)$ で表す．四つの三角形 $ABC, DCB, CDA, BAD$ は合同であることに注意する．\
　$AX:BX = AD:BD = x : y$ などが成立することから，
$$\begin{aligned}
\frac{V_3}{V_1}
&=\frac{\triangle{XYZ}}{\triangle{ABC}}\\\\
&=1-\frac{x^2}{(x+y)(x+z)} - \frac{y^2}{(y+z)(y+x)} - \frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\\\\
&=\frac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}
\end{aligned}$$
となる．また，
$$\frac{DP}{DX} = 1 + \frac{d(P,BC)}{d(D,BC)} = 1 + \frac{2\triangle{ABC}\/(-x+y+z)}{2\triangle{ABC}\/x} = \frac{y+z}{-x+y+z}$$
などから，
$$\dfrac{V_2}{V_3}=\frac{DP}{DX}\times\frac{DQ}{DY}\times\frac{DR}{DZ}=\frac{(y+z)(z+x)(x+y)}{(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}$$
である．従って，
$$\frac {V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_1}\times \frac{V_2}{V_3} = \frac {2xyz}{(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)}$$
である．ここで，三角形 $ABC$ の角 $A,B,C$ 内の傍接円の半径をそれぞれ $r_A,r_B,r_C$ とすると，
$$r_A : r_B : r_C
= \frac{2\triangle ABC}{-x+y+z} : \frac{2\triangle ABC}{x-y+z} : \frac{2\triangle ABC}{x+y-z}
= \frac{1}{-x+y+z} : \frac{1}{x-y+z} : \frac{1}{x+y-z}$$
である．よって，
$$\frac{V_2}{V_1}
= \frac{1}{4}r_Ar_Br_C\bigg(\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}\bigg)\bigg(\frac{1}{r_C}+\frac{1}{r_A}\bigg)\bigg(\frac{1}{r_A}+\frac{1}{r_B}\bigg)
= \frac{(r_B+r_C)(r_C+r_A)(r_A+r_B)}{4r_Ar_Br_C}$$
である．いま $\\{r_A, r_B, r_C \\} = \\{ 24, 25, 26 \\}$ であるから，求める比は $\dfrac {833}{416}$ となる．特に，解答すべき値は $\mathbf {1249}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce005/editorial/7261
まず,
$$
AD=BC=a, \ BD=AC=b, \ CD=AB=c
$$
$$
\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b}, \ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}
$$
とおく.

傍心の位置ベクトル表記から,
$$
\overrightarrow{DP}=\frac{c\overrightarrow{b}+b\overrightarrow{c}}{b+c-a}, \ 
\overrightarrow{DQ}=\frac{c\overrightarrow{a}+a\overrightarrow{c}}{c+a-b}, \ 
\overrightarrow{DR}=\frac{b\overrightarrow{a}+a\overrightarrow{b}}{a+b-c}
$$
と表せる.

四面体の体積の公式より,
$$
V_{1}=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DB}\right)\cdot\overrightarrow{DC}\right|, \ 
V_{2}=\frac{1}{6}\left|\left(\overrightarrow{DP}\times\overrightarrow{DQ}\right)\cdot\overrightarrow{DR}\right|
$$
であり, 外積と内積の計算法則に従って整理することで,
$$
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{2abc}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}
$$
を得る.
以降は[公式解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omce005\/editorial\/7261)の通り傍接円の半径の性質を用いる.

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<details><summary>傍心の位置ベクトル表記<\/summary>
<details><summary>参考: 内心の位置ベクトル表記<\/summary>
<\/details>
<\/details>
<details><summary>外積と内積の計算法則<\/summary>

空間ベクトル $\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}$ について,
- $\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = -\overrightarrow{y} \times \overrightarrow{x}$
- $\overrightarrow{x} \parallel \overrightarrow{y}$ のとき $\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = \overrightarrow{0}$
- $\left(\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y}\right) \cdot \overrightarrow{z} = \left(\overrightarrow{y} \times \overrightarrow{z}\right) \cdot \overrightarrow{x} = \left(\overrightarrow{z} \times \overrightarrow{x}\right) \cdot \overrightarrow{y}$

が成り立つ.
<\/details>
<details><summary>傍接円の半径の性質<\/summary>
三角形 $ABC$ の面積を $S$, 角 $A, B, C$ に対する傍接円の半径をそれそれ $r_{A}, r_{B}, r_{C}$ とすると,
$$
2S=r_{A}(CA+AB-BC)=r_{B}(AB+BC-CA)=r_{C}(BC+CA-AB)
$$
<details><summary>参考: 内接円の半径の性質<\/summary>
三角形 $ABC$ の面積を $S$, 内接円の半径を $r$ とすると,
$$
2S=r(AB+BC+CA)
$$
<\/details>
<\/details>
空間ベクトル
https://onlinemathcontest.com/contests/omce005/editorial/7261/556
　鋭角三角形 $ABC$ の $3$ つの傍接円の半径はそれぞれ $24,25,26$ です．空間内に点 $D$ を
$$AD=BC,\quad BD=AC,\quad CD=AB$$
を満たすように取り，三角形 $DBC, DCA, DAB$ の角 $D$ に対する傍心をそれぞれ $P,Q,R$ とします．四面体 $DABC,DPQR$ の体積をそれぞれ $V_1,V_2$ としたとき，$\dfrac {V_2} {V_1}$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac b a$ と表されるので，$a+b$ の値を求めて下さい．