　求めるべき確率は, ( $3$ 軒目で帽子を忘れる確率) $\div$ (帽子を忘れる確率) で表せるから，
$$\dfrac{\dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{1}{3}}{1- \biggl(\dfrac{2}{3}\biggr)^3}=\dfrac{4}{19}$$
であり，解答すべき値は $\mathbf{23}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc157/editorial/4729
　OMC君は帽子を被って他人の家を訪れると $\dfrac{1}{3}$ の確率で帽子を忘れてきます．\
　ある日OMC君は帽子 $1$ つを被って家を出て，$3$ 軒を順に訪ねて家に帰ってきましたが，そこで帽子が無いことにはじめて気付きました．このとき，$3$ 軒目の家に帽子を忘れた確率は，互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a＋b$ を解答してください．\
　ただし，OMC君は訪れた家以外で帽子を落とすことはありません．