　漸化式より $\\{a_n\\}$ は(狭義)単調増加であるから, $a_{M}\leq 10001$ なる最大の $M$ を求めればよい.\
　ここで $b_n=a_n^4$ とおくと, これは以下の漸化式で表現される：
$$b_{n+1}=b_n+4+\dfrac{6}{b_n}+\dfrac{4}{b_n^{2}}+\dfrac{1}{b_n^{3}}$$
ここで常に $b_n\geq 10000^4$ であることに留意すれば,
$$4\lt b_{n+1}-b_n\lt 4+\dfrac{11}{10000^{4}}$$
これを用いれば,
$$b_{1000150010001}\lt 10000^{4}+\left(4+\dfrac{11}{10000^{4}}\right)\times1000150010000\lt 10001^{4}$$
および
$$b_{1000150010002}\gt 10000^{4}+4\times 1000150010001\gt 10001^{4}$$
と評価できるから, $M=\textbf{1000150010001}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc079/editorial/1581
　何名かの方がこの方法で解いているように厳密性を欠けば微分を使う方法が有効です．\
　**以下の解説は厳密なものではありません**．
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　数列 $\\{a_n\\}$ を $f(n)=a_{n+1}$ をみたすように非負実数から実数への関数 $f$ に対応させる．
このとき，$f$ の差分を微分としてとらえることで微分方程式
$$f^\prime(x)=\frac1{f(x)^3}$$
がたつ．これを解くと，$C$ を非負実数の定数とし
$$f(x)=\sqrt[4]{4x+C}$$
が分かる．$f(0)=10000$ の条件より
$$f(x)=\sqrt[4]{4x+10000^4}$$
となる．単調性から求めるべきは $f(n)\gt10001$ なる最小の非負整数 $n$ であることに留意すれば，
$$\sqrt[4]{4n+10000^4}\gt10001\iff n\gt\frac14 (10001^4-10000^4)=1000150010000.25$$
より，求めるべき $n$ は $\mathbf{10001500100001}$ となる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc079/editorial/1581/33
　数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\cdots}$ を以下で定めたとき, $a_n\leq 10001$ なる正整数 $n$ はいくつありますか？
$$a_1=10000,\quad a\_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^3}\quad (n=1,2,\cdots)$$