　明らかに $M_n\equiv -1\pmod{10}$ である．また次が成り立つ．
$$\begin{aligned}
M_n
&= -10^0+10^1 - \cdots - 10^{2n-2} + 10^{2n-1}\\\\
&\equiv -(-1)^0+(-1)^1 - \cdots - (-1)^{2n-2} + (-1)^{2n-1}\\\\
&=-2n\pmod{11}
\end{aligned}$$

よって，Fermat の小定理より，$\bmod{11}$ において

$$
n \times {M_n}^{M_n} \equiv
\begin{cases}
0 & (11 \mid n)\\\\
n \times (-2n)^{-1} \equiv 5 & (\text{otherwise})\\\\
\end{cases}
$$

となるから，解答すべき値は $\mathbf{4550}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc130/editorial/5346
　$M_n = \overbrace{9090 \cdots 909}^{2n-1桁}$ とします．$n = 1, 2, \ldots, 1000$ それぞれに対し $n \times {M_n}^{M_n}$ を $11$ で割った余りを求め，$1000$ 個の余りの総和を解答してください．