　$10$ 進数表記で $A = abcd_{(10)}$，$B = pqr_{(10)}$ とする．$a, p$ は $1$ 以上 $9$ 以下の整数，$b, c, d, q, r$ は $0$ 以上 $9$ 以下の整数である．このとき $1000a + 100(b+p) + 10(c+q) + (d+r) = 9012$ となる一方で，
$$ 1000a + 100 \leq 1000a + 100(b+p) + 10(c+q) + (d+r) \leq 1000a + 1800 + 180 + 18 $$
であるから，$7.014 \leq a \leq 8.912$ より $a=8$ を得る．このとき $100(b+p) + 10(c+q) + (d+r) = 1012 \geq 1000$ であるので，$A+B$ には少なくとも $1$ つの繰り上がりが存在する．よって $A+B$ の繰り上がりの個数は $1, 2, 3$ のいずれかであるため，それぞれの繰り上がりの個数について $(A,B)$ の組の個数を求めることを考える．

① 繰り上がりが $1$ 個となる場合
　$$ 100(b+p) + 10(c+q) + (d+r) = 1012, \quad 10 (c+q) + (d+r) \leq 99, \quad d+r \leq 9$$
　が成り立つ．$d+r \equiv 2 \pmod {10}$ より $d+r = 2$ ，さらに $c+q \equiv 1 \pmod {10}$ より $c+q = 1$ がわかり，このとき $b+p = 10$ である．このとき繰り上がりはたしかに $1$ 個になり，これを満たす $(A,B)$ の組の個数は $9 \times 2 \times 3 = 54$ 個である．

② 繰り上がりが $3$ 個となる場合
　$$ 100(b+p) + 10(c+q) + (d+r) = 1012, \quad 10 (c+q) + (d+r) \geq 100, \quad d+r \geq 10$$
が成り立つ．$d+r \equiv 2 \pmod {10}$ より $d+r = 12$ ，さらに $c+q \equiv 0 \pmod {10}$ より $c+q = 10$ がわかり，このとき $b+p = 9$ である．このとき繰り上がりはたしかに $3$ 個になり，これを満たす $(A,B)$ の組の個数は $9 \times 9 \times 7 = 567$ 個である．

③ 繰り上がりが $2$ 個となる場合\
　$B$ は任意の $3$ 桁の正整数をとれるので，$(A,B)$ の組としてありうるものは全部で $900$ 個ある．したがって，繰り上がりが $2$ 個となる $(A,B)$ の組は $900-(54+567)=279$ 個ある．

　以上の計算から繰り上がりの個数の総和は $1\cdot 54+3\cdot 567+2\cdot 279=\mathbf{2313}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/6091
　$1$ の位で繰り上がりが起こる $(A,B)$ の数, $10$ の位で繰り上がりが起こる $(A,B)$ の数, $100$ の位で繰り上がりが起こる $(a,b)$ の数をそれぞれ数えて足すことで求める答えが得られる.実際にそれぞれ計算をしてみよう. 問題文同様 $A=abcd_{(10)},\\;\ B=pqr_{(10)}$ とする.

 ① $1$ の位で繰り上がりが起こる $(A,B)$ の数の計算.\
　このとき, $d_{(10)}+r_{(10)}\equiv 2\pmod{10}$ であり, 繰り上がりが起こることより, $10\leq d_{(10)}+r_{(10)} \leq 9+9$ であり, 以下が成立.
$$d_{(10)}+r_{(10)}=12,\\;\ abc_{(10)}+pq_{(10)}=900$$
$(d_{(10)},r_{(10)})$ として適するのは, $(3,9),(4,8),\dots,(9,3)$ の $7$ 組であり,\
$(abc_{(10)},pq_{(10)})$ として適するのは, $(900-10,10),(900-11,11),\dots,(900-99,99)$ の $90$ 組である.\
従って, $1$ の位で繰り上がりが起こる $(A,B)$ の個数は $7\times 90=630$.

② $10$ の位で繰り上がりが起こる $(A,B)$ の数の計算.\
　このとき, $cd_{(10)}+qr_{(10)}\equiv 12\pmod{100}$ であり, 繰り上がりが起こることより, $100\leq cd_{(10)}+qr_{(10)} \leq 99+99$ であり, 以下が成立.
$$cd_{(10)}+qr_{(10)}=112,\\;\ ab_{(10)}+p_{(10)}=89$$
$(cd_{(10)},qr_{(10)})$ として適するのは, $(13,99),(14,98),\dots,(99,13)$ の $87$ 組であり,\
$(ab_{(10)},p_{(10)})$ として適するのは, $(89-1,1),(89-2,2),\dots,(89-9,9)$ の $9$ 組である.\
従って, $10$ の位で繰り上がりが起こる $(A,B)$ の個数は $87\times 9=783.$

③ $100$ の位で繰り上がりが起こる $(A,B)$ の数の計算.\
　このとき, $bcd_{(10)}+pqr_{(10)}\equiv 12\pmod{1000}$ であり, 繰り上がりが起こることより, $100\leq bcd_{(10)}+pqr_{(10)} \leq 99+99$ であり, 以下が成立.
$$bcd_{(10)}+pqr_{(10)}=1012,\\;\ a_{(10)}=8$$
$(bcd_{(10)},pqr_{(10)})$ として適するのは $B=pqr_{(10)}$ はちょうど $3$ 桁の数であることに気をつけると\
$(1012-100,100),(1012-101,101),\dots,(1012-999,999)$ の $900$ 組である.\
従って, $100$ の位で繰り上がりが起こる $(A,B)$ の個数は $900.$

よって, これらを足し合わせればすべての $(A,B)$ について繰り上がりが起こる個数の総和は,$630+783+900=\mathbf{2313}$.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/6091/651
　繰り上がりを $1$ 回するごとに各位の和が $9$ だけ減少することに注意する．  
  $(A,B)=(8912,100),(8011,101),\ldots,(8013,999)$ に対し，$A,B$ の各位の和の総和を $S$ とする．  
$A$ も $B$ も十の位と一の位の平均はいずれも $\dfrac{9}{2}$ であり，$A$ の千の位の平均は $8$ であり，$B$ の百の位の平均は $5$ である．また，$A$ の百の位の総和は，$(1+2+\cdots+8)\times100+9\times13=3717$ ．  
 以上より，$S=(\dfrac{9}{2}\times4+8+5)\times900+3717=31617$ であり，一方で，$900$ 個の $9012$ に対する各位の和の総和 $T$ は $(9+1+2)\times900=10800$ なので，求める繰り上がりの回数の和は，$(S-T)\div9=\textbf{2313}$．
繰り上がりの回数を各位の和から求める
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/6091/662
　$A+B=9012$ となる $4$ 桁の正整数 $A$ と $3$ 桁の正整数 $B$ の組 $(A,B)$ 全てに対して，$A+B$ の繰り上がりの個数の総和を求めてください．\
　なお「$A+B$ の繰り上がりの個数」とは，$A = abcd_{(10)}$，$B = pqr_{(10)}$ と$10$ 進数で表記したとき，次の $3$ つの命題のうち真であるものの個数を指します．
$$d+r≧10, \quad cd_{(10)}+qr_{(10)}≧100, \quad bcd_{(10)}+pqr_{(10)}≧1000$$