　$AD\parallel EF$ より，$$\angle EDC=\angle ADE=\angle DEF=\angle FEC=x$$ とおける．よって，
$$\angle BAD=\angle DAC=\angle DEC-\angle ADE=x$$
とおけ，さらに
$$\angle ABC=\angle ADC-\angle BAD=x$$ とおける．よって，三角形 $ABD, ADE, EDF$ は相似な二等辺三角形であるから，ある正実数 $a, b$ によって
$$AB=a^3，AD=BD=a^2 b，AE=ED=ab^2，EF=DF=b^3$$
 とおける．いま，$AB=27, DF=8$ より $a=3, b=2$ であるから，$AD=18, AE=12, EF=8$ が成り立つ．ここで，$AD\parallel EF$ より $$CE:EA=EF:(AD-EF)$$ だから，$CE=\dfrac{48}{5}$ を得る．以上より $AC=\dfrac{108}{5}$ であり，解答すべき値は $\textbf{113}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/7686
　三角形 $ABC$ の $\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$，$\angle ADC$ の二等分線と辺 $AC$ の交点を $E$，$\angle DEC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $F$ とします．このとき，直線 $AD$ と直線 $EF$ は平行であり，さらに
$$AB=27, \quad DF=8$$ 
が成立しました．このとき，辺 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．