　三平方の定理より $BH=3$ である．ここで $ABH$ と $CAH$ は相似であるから，$AC=\dfrac{20}{3}$ であり，求める面積は
$$\frac{1}{2}\times AB\times AC=\frac{50}{3}$$
であるから，解答すべき値は $\textbf{53}$ である．なお，一般に以下が成り立つ：
$$\frac1{AB^2} + \frac1{AC^2} = \frac1{AH^2}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc078/editorial/2920
　$\angle A=90^\circ$ なる三角形 $ABC$ において, $A$ から $BC$ へおろした垂線の足を $H$ とします.
$$AB=5, \quad AH=4$$
のとき, $ABC$ の面積は互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せるので, $a+b$ を解答して下さい.