　条件は $N(N+1)$ が $2048=2^{11}$ の倍数であることと同値である. このとき, $N$ と $N+1$ が互いに素であることから, $N$ または $N+1$ が $2048$ の倍数であることが必要十分条件で, 特に求める最小値は $\textbf{2047}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc019/editorial/118
　$1$ 以上 $N$ 以下の整数の総和が $1024$ の倍数となるような最小の正の整数 $N$ を求めてください.