　$B$ を通り $AC$ に平行な直線 $\ell$ について, $AP,AQ$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし, $A$ からおろした垂線の足を $F$ とすれば, 以下のようにそれぞれの長さを計算できる：
$$AF=BF=1,\quad BD=DF-BF=\sqrt{3}-1,\quad DE=AD=2$$
これより, $BP:PC=(\sqrt{3}-1):\sqrt{3}$ および $BQ:QC=(\sqrt{3}+1):\sqrt{3}$ であるから
$$BP:PQ:QC=(5-\sqrt{3}):2\sqrt{3}:(6-\sqrt{3})$$
$ABC$ の面積が $\sqrt{3}\/2$ であることから, $APQ$ の面積は $3\/11$ であり, 特に解答すべき値は $\textbf{14}$ である.\
　なお $\sin 15^\circ=(\sqrt{6}-\sqrt{2})\/4$ を利用すれば,
$$BP:PC=\triangle ABP:\triangle APC=\sqrt{2}\/2\times AP\sin15^\circ:\sqrt{3}\/2\times AP\sin30^\circ=(\sqrt{3}-1):\sqrt{3}$$
などとすることで同様に $BP:PQ:QC$ を計算することができる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/editorial/259
　$AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3},\angle A=45^\circ$ なる三角形において, 辺 $BC$ 上の点 $P,Q$が
$$\angle BAP = \angle PAQ = \angle QAC = 15^\circ $$
をみたすとき, 三角形 $APQ$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を求めてください.