　各マスに対して必要な操作の最小回数は, 左下から順次定まり, 以下のような再帰的構造が確認できる：
$$\begin{matrix}
15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 \\\\
15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 \\\\
15 & 14 & 13 & 13 & 13 & 13 & 14 & 15 & 15 & 14 & 13 & 13 & 13 & 13 & 14 & 15 \\\\
15 & 15 & 13 & 12 & 12 & 13 & 15 & 15 & 15 & 15 & 13 & 12 & 12 & 13 & 15 & 15 \\\\
15 & 15 & 13 & 12 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 12 & 13 & 15 & 15 \\\\
15 & 14 & 13 & 13 & 11 & 10 & 10 & 11 & 11 & 10 & 10 & 11 & 13 & 13 & 14 & 15 \\\\
15 & 14 & 14 & 15 & 11 & 10 & 9 & 9 & 9 & 9 & 10 & 11 & 15 & 14 & 14 & 15 \\\\
15 & 15 & 15 & 15 & 11 & 11 & 9 & 8 & 8 & 9 & 11 & 11 & 15 & 15 & 15 & 15 \\\\
7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 8 & 9 & 11 & 11 & 15 & 15 & 15 & 15 \\\\
7 & 6 & 6 & 7 & 7 & 6 & 6 & 7 & 9 & 9 & 10 & 11 & 15 & 14 & 14 & 15 \\\\
7 & 6 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 11 & 10 & 10 & 11 & 13 & 13 & 14 & 15 \\\\
7 & 7 & 5 & 4 & 4 & 5 & 7 & 7 & 11 & 11 & 11 & 11 & 12 & 13 & 15 & 15 \\\\
3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 7 & 7 & 15 & 15 & 13 & 12 & 12 & 13 & 15 & 15 \\\\
3 & 2 & 2 & 3 & 5 & 5 & 6 & 7 & 15 & 14 & 13 & 13 & 13 & 13 & 14 & 15 \\\\
1 & 1 & 2 & 3 & 7 & 6 & 6 & 7 & 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 \\\\
0 & 1 & 3 & 3 & 7 & 7 & 7 & 7 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15
\end{matrix}$$
これより, 必要な操作の最小回数が $n$ であるようなマスの数 $f(n)$ について,
$$f(n)=3^{b(n)}$$
の成立が確認できる. ここで $b(n)$ は, $n$ を二進数で表記したときの桁和である. よって,
$$b(2^{2021}-2021)=b((2^{2021}-1)-2020)=2021-b(2020)=2014$$
より, $M=f(2^{2021}-2021)=3^{2014}$ は正の約数を $\textbf{2015}$ 個もつ.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/editorial/305
　図1に示す $3$ マスからなる図形を**タイル**と呼びます. いま $2^{2021}\times2^{2021}$ のマス目があり, 左から $i$ 番目, 下から $j$ 番目のマスを $(i,j)$ で表します. Noya君は, このタイルとマス目を用いて次のようなゲームを行います.\
　まずNoya君は準備として, このマス目にタイルを配置します. ここでタイルの配置は, 以下で定まる $2$ 規則によって再帰的に定義されます. それぞれの規則は部分マス目に対して適用され, まず初めにマス目全体に規則1を適用します.

- 規則1：正方形の領域に適用される. 領域が $1\times 1$ のとき, 何もしない.\
　　　 それ以外のとき, マス $(1,1)$ を含み相似比 $\dfrac{1}{2}$ の正方形領域に規則1を, 残りの領域に規則2を適用する.
- 規則2：L字型の領域に適用される. 領域が $3$ マスからなるとき, そこにタイルを置く.\
　　　 それ以外のとき,  図2に示すように領域を $4$ 分割し, それぞれに規則2を適用する.

　図3に, 左下に位置する部分マス目 $4\times 4$ について, 最終的なタイルの配置を示します.\
　続いてNoya君は, 以下の**操作**を好きなだけ行います. 

- 適当なタイル $1$ 枚を置きなおす. ここで, 置きなおしたタイルは操作の前後で同じ $2\times 2$ の部分マス目に収まらねばならない. また, タイル同士は重なってはならず, マス目からはみ出してはならない.

　Noya君の目標は, マス $(i,j)$ にタイルが置かれていない状態にすることです. このとき, 必要な操作の最小回数が $2^{2021}-2021$ であるようなマス $(i,j)$ は $M$ 個あります. $M$ がもつ正の約数の個数を解答して下さい.

![figure 1](\/images\/oDUlsmNatCyZuVpLmyEPvUNQDCmKrUgflgFuhIxW)