　$a+b+c+d+e=S$ とすると与式は
$$\begin{cases}
S-e=16 \\\\ 
S-a=15 \\\\ 
S-b=11 \\\\
S-c=12 \\\\
S-d=14 \\\\
\end{cases}$$ 
となるので，これらの両辺を全て足すことで

$$5S-(a+b+c+d+e)=68$$

から $S=17$ を得る．したがって

$$(a,b,c,d,e)=(2,6,5,3,1)$$

より，解答すべき値は $\textbf{180}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/12643
与式の一式目と二式目の式の差から $a-e = \left(a+b+c+d\right)-\left(b+c+d+e\right)=16-15=1$ であることがわかる. 同様に一式目と三式目, 四式目, 五式目の車からそれぞれ $b-e=5, c-e=4, d-e=2$ であることがわかる.

$(a,b,c,d,e)=(e+1,e+5, e+4, e+2, e)$ を一式目に代入すると $4e+12=16$ を得る. この方程式を解くと $e=1$ を得て, これを通じて求めるべき値が $abcde=2\cdot6\cdot5\cdot3\cdot1=\bf{180}$ であることがわかる.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/12643/712
　$5$ つの実数 $a,b,c,d,e$ が次の式を満たしているとき，$abcde$ の値を求めてください．

$$\begin{cases}
a+b+c+d=16 \\\\ 
b+c+d+e=15 \\\\ 
c+d+e+a=11 \\\\
d+e+a+b=12 \\\\
e+a+b+c=14 \\\\
\end{cases}$$