**注意**：以下の解説では, $V(\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.

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　対角線 $AG$ の中点を $O$ とすれば, 明らかにこれは $O_1O_2$ の中点でもある. また $OB=OD=OG$ より $OO_2$ は面 $BDG$ に垂直であるから, $BDG$ の外接円の半径は $\sqrt{OG^2-OO_2^2}=17$ である. 一方で $BDG$ の垂心を $I$ とすれば $CI$ も面 $BDG$ に垂直であり, 
$$CI\times |BDG|=|G-BCD|=|G-ABD|=O_1O_2\times|BDG|$$
より $CI=12$ を得る. よって $O_2I=\sqrt{CO^2-(OO_2+CI)^2}=1$ が従う.\
　ここで $GI=2O_2N=12\sqrt{2}$ に留意すれば, $GI^2+O_2I^2=O_2G^2$ より $\angle O_2IG$ は直角である. これより $BD=2\sqrt{O_2D^2-O_2N^2}=2\sqrt{217}$ と併せて, $|BDG|=BD\times (O_2N+GI)\/2=18\sqrt{434}$. よって
$$ V=6\times|C-BDG|=6\times\frac{1}{3}\times CI\times|BDG|=432\sqrt{434}=\sqrt{\textbf{80994816}} $$ 
(※以下の図における点 $M$ は解説における点 $O$ です)
![figure 1](\/images\/oJuqIKyuD5srPAdG7DP77puXMOyJB82ww51qCjxT)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/195
**注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.

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　$\mathfrak{C}$ において, 三角形 $AFH,BDG$ の外心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし, 線分 $BD$ の中点を $N$ とすると,
$$ AG=10\sqrt{13},\ \ O_1O_2=12,\ \ O_2N=6\sqrt{2} $$
が成立しました. このとき, $V(\mathfrak{C})^2$ を求めてください.