　$V, E, F$ をそれぞれ頂点，辺，面の個数とするとき，Eulerの多面体定理より $V+F=E+2$ である．また，条件から $4V=2E$ であるので，$F=E\/2+2$ が成り立つ．\
　ここで，凸多面体が持つ三角形の面を $P_1, P_2,\cdots ,P_n$ として，その他の面を $P_{n+1}, P_{n+2},\cdots P_F$ とし，$e_i$ を $P_i$ が持つ辺の個数とする．すなわち $P_i$ が $e_i$ 角形であるとする．\
　このとき，$e_1+e_2+\cdots +e_F=2E$ であるから，$e_1, e_2, \ldots, e_n=3$ であることと $e_{n+1},\ldots,e_{F}\ge4$ であることに注意して，
$$2E=e_1+e_2+\cdots e_F\ge 3n+4(F-n)$$
である．従って，
$$F=E\/2+2\ge\dfrac{3n}{4}+F-n+2=F-\dfrac{1}{4}n+2$$
が成立するので，$n\ge8$ である．したがって面の個数は $9$ 以上である．面の個数が $9$ であるとき，三角形の面の個数が $8$ であることより，先の議論の不等号は全て等号が成立するので，残りの面は四角形であることが従うが，そのような凸多面体は存在しない．一方で下図で示された立体は面を $10$ 個持ち，問題文の条件を満たす立体である．よって解答すべき値は $\mathbf{10}$ である．

![figure 1](\/images\/Z5pdQlpJi2oIRy2HD5QtegacxjWJbvRTuhCQ8KiT)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/7214
　三角形でない面を少なくとも $1$ 個持つ凸多面体について，どの頂点にもちょうど $4$ 本の辺が接続していました．この多面体の面の数としてありうる最小値を求めてください．