　まずは $N$ を $3$ で割った余りを利用して $N$ の値の候補を求めよう.\
　$N\equiv 0\pmod 3$ のとき, $x=N^{2}-1,n=3,m=\dfrac{N}{3}(N^{2}-2)$ とすれば仮定より $n^{2}-m^{2}$ は $x$ で割り切れる. よって, 以下が整数となることから, $N=3,9$ を候補として得る.
　　$$\dfrac{9\left(n^{2}-m^{2}\right)}{x}=\dfrac{81-N^{2}\left(N^{2}-2\right)^{2}}{N^{2}-1}=-N^4-3N^2+1+\dfrac{80}{N^2-1}$$
　同様にして $N\equiv 1\pmod 3$ のとき $x=N+1,n=3,m=\dfrac{N+2}{3}$ を考えることで $N+1$ は $80$ の約数であり, $N\equiv 2\pmod 3$ のとき $x=N-1,n=3,m=\dfrac{N-2}{3}$ を考えることで $N-1$ は $80$ の約数であるから, 以下を候補として得る. なお, $N=1$ が条件をみたすかは求値に影響しないから, ここでは除外する.
　　$$N=2,3,4,5,7,9,11,17,19,41,79$$
　ここで $N=17$ のとき $x=288,n=697,m=7$ が, $N=41$ のとき $x=1680,n=2993,m=23$ が, $N=79$ のとき $x=6240,n=28993,m=17$ が反例となっていることがわかる.\
　逆に残りの候補が条件をみたす. これらは愚直に探索可能であるが, 以下の補題群がそれを容易にするであろう.

**補題1.**　$x\mid N^{2}-1$ かつ $m=\dfrac{x^{2}-1}{N}$ のとき, $x\mid m^{2}-1$ である.

**証明.**　$m^{2}-1\equiv \left(\dfrac{x^{2}-1}{N}\right)^{2}-1\equiv N^{-2}\left(x^{4}-2x^{2}-(N^{2}-1)\right) \equiv 0\pmod x$ より従う.

**補題2.**　$x=N^{2}-1,n=N^{2}-2,m=N$ のとき, $x\mid n^{2}-m^{2}$ である.

**証明.**　$n^{2}-m^{2}=N^4-5N^2+4=\left(N^{2}-1\right)\left(N^{2}-4\right)=x\left(N^{2}-4\right)$ より示される.

**補題3.**　$N$ が素数であるとき, $N\mid x^{2}-1$ かつ $x\mid N^{2}-1$ をみたす正整数 $x$ は $1,N\pm 1,N^{2}-1$ に限られる.

**証明.**　読者への演習とする.

　以上より, 求める値は $\textbf{1580040}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc010/editorial/69
　任意の整数 $x,n,m$ に対して, 次の条件が成立するような正整数 $N$ の総**積**を求めてください.

- 条件：$x\mid N^2-1$ かつ $\displaystyle nm=\frac{x^{2}-1}{N}$ のとき, $x\mid n^{2}-m^{2}$

　ただし, 整数 $k, l$ について, $k$ が $l$ を割り切るとき, $k\mid l$ と表すこととします.