　$\alpha=\cos\theta_0 +2$ なる実数 $2\pi\/3\leq\theta_0\leq\pi$ が一意に存在することに留意する. さらに $x_n=\cos\theta+2$ について,
$$\begin{aligned}
x_{n+1}=2(\cos\theta+2)^2-8(\cos\theta+2)+9=2\cos^2\theta+1=\cos2\theta+2
\end{aligned}$$
したがって, $\cos2^{10}\theta_0=\cos\theta_0$ なる $\theta_0$ の個数を求めればよい. これは和積公式より
$$\sin\dfrac{1023}{2}\theta_0\sin\dfrac{1025}{2}\theta_0=0$$
と同値であることに留意すれば, 以下で表される $\textbf{342}$ 個である.
$$\theta_0=\dfrac{2}{3}\pi,\dfrac{684\pi}{1023},\cdots,\dfrac{1022\pi}{1023},\dfrac{684\pi}{1025},\dfrac{686\pi}{1025},\ldots,\dfrac{1024\pi}{1025}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/editorial/1752
　$1$ 以上 $3\/2$ 以下の実数 $\alpha$ であって, 以下で定まる実数列 $\\{x_n\\}$ が $x_{10}=x_0$ をみたすものはいくつありますか？
$$\begin{aligned}
x_0=\alpha,\quad x_{n+1}=2x_n^2-8x_n+9\quad (n=0,1,\cdots)
\end{aligned}$$