　以下, 合同式はすべて $3$ を法とする. マス目の内上から $i$ 列目, 左から $j$ 行目のマスを $(i,j)$ と表す. \
　$mn\equiv 1$ より, $m\equiv n\equiv 1$ または  $m\equiv n\equiv 2$ が必要である.\
　まず $m\equiv n\equiv 2$ の時を考える. $m=3p+2,n=3q+2\ $ ($p,q$ は非負整数) とおく.  

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**補題.**　マス $(i,j)$ が空きマスとなるための必要十分条件は, $i\equiv j\equiv 0$ である.\
**証明.**　マス $(i,j)$ に $(i+j)\bmod 3$ を書き込むことを考える. $1\times 3$ のブロックを $1$ つ置くとき, ブロックが覆うマス目には $0,1,2$ が丁度 $1$ つずつ書かれている. ここで, $(3p+2)\times (3q+2)$ のマス目において $0$ と書かれたマスのみ $1$ マス分多いことから空きマスは $0$ である. すなわち $i+j\equiv 0$ である必要がある. さらに, マス全体を回転・反転させたときも同様の条件を満たす必要があることから,  $i\equiv j\equiv 0$ が必要である. \
　逆に $i\equiv j\equiv 0$ が成り立つとき, マス $(i,j)$ を空けるブロックの置き方が存在することを示す. $(i,j)$ を中心とする $5\times5$ のマス目を取り除くことが可能である. すると, 残るマスは全て縦または横が $3$ の倍数であるような長方形に分割することができる. また, 中心が空きマスとなるような $5\times 5$ のマス目のブロックを敷き詰め可能なことは容易に確かめられる. 以上より補題は示された.  
  
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　補題より条件は以下のように表せる. すなわち, $(m,n)=(50,14),(14,50)$ である.
$$pq=(3p+2)+(3q+2)\iff (p-3)(q-3)=13\iff (p,q)=(16,4),(4,16)$$
　$m\equiv n\equiv 1$ の時も, 同様の考察によって必要十分条件は $i\equiv j\equiv 1$ である.  $m=3p-2,n=3q-2$ ($p,q$ は正整数) とおけば, 条件は以下のように表せる. すなわち, $(m,n)=(22,10),(10,22)$ である.
$$pq=(3p-2)+(3q-2)\iff(p-3)(q-3)=5\iff (p,q)=(8,4),(4,8)$$
　以上より, 解答すべき値は $2\times(14\times50+ 10 \times 22)=\textbf{1840}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc079/editorial/2672
　$m$ 行 $n$ 列のマス目があり，ここに，$1\times 3$ のブロックを互いに重ならないように，かつマス目からはみ出さないように置きます．ここで回転を許すものとします．このとき，$mn$ マスのうちちょうど $1$ マスのみが空きマスとなるような置き方が存在し，空きマスとしてあり得るマスはちょうど $m+n$ か所でした．このようなことが起こる正整数の順序付いた組 $(m,n)$ をすべて求め，それらについて $mn$ の総和を求めてください．