　$1$ から $10$ までの整数を頂点とし, $k$ から $a_k$ に辺を張った有向グラフを考えると, すべての頂点について入次数・出次数がともに $1$ であることから, 各連結成分がサイクルとなることが分かる. このとき条件は, すべての連結成分の大きさの最小公倍数が $30$ となることであり, $10=5+3+2$ と分割するほかない. したがって求める答えは
$${}\_{10}\mathrm{C}\_{5}\times {}\_{5}\mathrm{C}\_{3} \times4!\times 2!\times 1!=\textbf{120960}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc061/editorial/2490
　区別できる $10$ 枚のカードが左右一列に並んでいます. いま $(1,2,\cdots,10)$ の並べ替え $(a_1, a_2, \cdots, a_{10})$ について, 以下の操作を考えます：

- $k=1,2,\cdots,10$ に対し, 左から $k$ 番目のカードが左から $a_k$ 番目に来るように並べ替える.

この操作を繰り返し行ったとき, $30$ 回目ではじめてカードの並びが元に戻りました. このとき, $(a_1, a_2, \cdots, a_{10})$ としてあり得るものはいくつありますか.