　すべての辺の長さが奇数である長方形の面積は奇数であるから，これらはちょうど奇数個使われる．逆に，任意の $1$ 以上 $7^2$ 以下の奇数 $k$ について $k$ 個しきつめる方法がそれぞれ存在することが確かめられるので，求める値は
$$\sum_{k=1}^{25}(2k-1)=25^2=\mathbf{625}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/4735
「任意の $1$ 以上 $7^2$ 以下の奇数 $k$ について $k$ 個しきつめる」具体的な方法です. とりあえず $1 \leq k \leq 39$ まで. 奇数×奇数の長方形のみを赤く表示しています. ~~もっと簡単な方法があるかもしれません~~. (追記:1×1の長方形のみの状態から初めて1×2の長方形を増やしていく方針でできるらしいです.)
https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1B3ajSNIAwa7clnCLzjHKDWRPMD--DrcL\/view?usp=sharing
構成方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/4735/402
　 $4$ 辺の長さが全て奇数である長方形を**良い長方形**と呼びます．$7\times 7$ のマス目を各辺の長さが整数のいくつかの（良い長方形とは限らない）長方形で敷き詰めます．使われた長方形のうち良い長方形の数としてありうる値の総和を求めてください．ただし，正方形は長方形の一種と考えます．
<details> <summary>敷き詰めの例<\/summary>
　以下は敷き詰めかたの一例です．この場合，良い長方形はちょうど $7$ 個使われているので，$7$ は求める数のひとつです．
![figure 1](\/images\/8bK4X1nnAIhwO4w6e0nyt8kZRDwW5mL5IHhQYLIC)
<\/details>