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<summary>シムソン線について<\/summary>
一般に，三角形 $XYZ$ の外接円上の点 $W$ から三角形 $XYZ$ の各辺 (を延長した直線) に下ろした垂線の足たちは，同一直線上にある．この直線のことを，三角形 $XYZ$ に対する $W$ のシムソン線という．本問においては，$3$ 点 $P, Q, R$ は三角形 $ABC$ に対する $D$ のシムソン線をなす．
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　$4$ 点の組 $(B,D,P,R), (C,D,P,Q)$ は，それぞれ線分 $BD, CD$ を直径とする円上に存在する．従って，正弦定理より，
$$\sin\angle PDR = \frac{PR}{BD} = \frac{4}{5},\quad \sin\angle PDQ = \frac{PQ}{CD} = \frac{20}{29}$$
である．また，$\angle PDR  = \angle ABC \lt 90^\circ, \angle PDQ = \angle ACB\lt90^\circ$ より，
$$\cos\angle PDR = \frac{3}{5},\quad \cos\angle PDQ = \frac{21}{29}$$
である．ここで，
$$\angle BDC = \angle ADB + \angle ADC = \angle ACB + \angle ABC = \angle PDQ + \angle PDR$$
であるから，余弦定理より，
$$BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2BD\times CD\cos(\angle PDQ + \angle PDR) = 1636$$
である．また，$3$ 点 $P,Q,R$ は同一直線上にあるので， 
$$\angle DQP = \angle DCP = \angle DAB,\quad \angle DPQ = 180^\circ - \angle DPR = 180^\circ - \angle DBR = \angle DBA$$
より，三角形 $ABD$ と三角形 $QPD$ は相似である．同様に，三角形 $ACD$ と三角形 $RPD$ は相似なので，
$$AB : AC = \frac{PQ\times BD}{DP} : \frac{PR\times CD}{DP} = BD : CD = 25 : 29$$
である．従って，求める答えは，
$$\bigg(\frac{25 - 29}{25+29}BC\bigg)^2 = \frac{6544}{729}$$
である．特に，解答すべき値は $\bf{7273}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc224/editorial/6710
　$\sin{\angle{ABC}}=\sin{\angle{PDR}}=\dfrac{20}{25},\sin{\angle{ACB}}=\sin{\angle{PDQ}}=\dfrac{20}{29}$ より，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると，$AB=25k,AC=29k,AH=20k$ とおけ，$BH=15k,CH=21k$ となる．  
ここから余弦定理を用いて $\cos{\angle{BAC}}$ を求めることで $\cos{\angle{BDC}}(=-\cos{\angle{BAC}})$ の値もわかり，三角形$BCD$ で余弦定理より $BC$ の長さが求められ，あとは公式解説と同様にして答えを導くことが出来る．
三角形 ABC の三辺比の決定の仕方の別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc224/editorial/6710/567
　鋭角三角形 $ABC$ の外接円の $A$ を含まない弧 $BC$ 上に点 $D$ を取り，$D$ から直線 $BC, CA, AB$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $P,Q,R$ とすると，以下が成立しました．
$$BD = 25,\quad CD = 29,\quad PQ = PR = 20$$
　$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $E$ とするとき，$(BE - CE)^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．