　子供 $i$ が跳ぶのに成功する確率は
$$1 - \frac{1}{i + 1} = \frac{i}{i + 1}$$
なので, 全員が跳べる確率は
$$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{1999}{2000} = \frac{1}{2000}$$
より解答すべき値は $\textbf{2001}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc105/editorial/3276
　TKG君には全部で $1999$ 人の子供がおり，彼らに大縄跳びをさせることにしました．しかし，縄をちょうど $1$ 回だけ回したとき，$i$ 番目の子供（$i=1,2,\ldots,1999$）は $\dfrac{1}{i+1}$ の確率で跳ぶのに失敗することがわかりました．$1999$ 人全員が縄に入ってちょうど $1$ 回だけ回すとき，全員が跳ぶのに成功する確率を求めてください．ただし，求める確率は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答して下さい. \
　なお，それぞれの子供は縄跳びの間はお互いに干渉しないものとします，