　三角形の各辺の長さを $a,b,c$ とし，面積，周長，内接円の半径を $S,2s,r$，傍接円の各半径を $r_a,r_b,r_c$ とおく．このとき，
$$S=sr=(s-a)r_a=(s-b)r_b=(s-c)r_c$$
が成り立つので，$a+b+c=2s$ に留意することで以下の成立がわかる (L'Huilierの定理)：
$$\displaystyle \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}$$
一方で，Heronの公式より以下が成立する：
$$S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)=rr_ar_br_c$$
よって，相加・相乗平均の不等式より
$$ \frac{1}{3r}=\dfrac{1}{3}\left(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\right)\geq\sqrt[3]{\frac{1}{r_ar_br_c}}=\sqrt[3]{\frac{r}{S^2}}$$
が成り立つ．したがって，$S^2\geq 27r^4$ であるから $S\leq 20$ より $r=1$ に限られ，L'Huilierの定理より，傍接円の半径の組としてあり得るものは
$$(3,3,3),~ (2,4,4),~ (2,3,6)$$
の $3$ つである．このとき $S^2=27,32,36$ はいずれも条件をみたすので，求める $2s=\dfrac{2S}{r}$ の平方和は $\textbf{380}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/1839
　以下の条件をともにみたす三角形すべてについて，その周長の平方和を求めてください：

- 面積が $20$ 以下である．
- 内接円および $3$ つの傍接円の半径がすべて整数値である．

ただし，回転や対称移動によって一致するものは同一視します．