　$\gcd(a,b,c)=m$ とすると, $\gcd(ab,bc,ca)$ は $m^2$ で割り切れるので,  2つ目の条件から $m=1$ であることに注意する. いま, 一般性を失わず以下のような場合を考えればよい. 
$$\gcd(a,b)=p,\quad \gcd(b,c)=q,\quad \gcd(c,a)=r\quad (2\leq p\leq q\leq r)$$
ここで $\gcd(p,q)=n$ とすれば, $a,b,c$ はいずれも $n$ の倍数であるから, 上の注意より $n=1$ が必要である. 同様にして, $p,q,r$ はどの $2$ つも互いに素であるから, どの $2$ つも互いに素な正整数 $a^\prime , b^\prime , c^\prime$ によって
$$a=rpa^\prime ,\quad b=pqb^\prime ,\quad c=qrc^\prime$$
と表せる. これより, 特に $ab,bc,ca$ はいずれも $pqr$ の倍数であることがわかる. このとき, 2つ目の条件から $pqr$ は $105$ の約数であるから $p=3,q=5,r=7$ となるほかない. したがって
$$a=21a^\prime ,\quad b=15b^\prime ,\quad c=35c^\prime$$
と表せ, $a,b,c\leq 100$ から $a^\prime \leq 4,\ b^\prime \leq 6,\ c^\prime \leq 2$ である. この範囲でどの $2$ つも互いに素になるよう選ぶ方法は $21$ 通りあり, これらを任意に並べ替えることで全体では $\mathbf{126}$ 通り存在する. なお, 今回の範囲では $a,b,c$ が常に相異なる事実に依存していることに注意せよ.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/editorial/4472
　以下の条件をすべてみたす, $1$ 以上 $100$ 以下の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつありますか？
- $a,b,c$ からどの $2$ つを選んでも $2$ 以上の公約数をもつ．
- $\gcd(ab,bc,ca)=105$．