**解法1.**　まず，各辺の長さが $1$ の正三角形の各頂点とその中心を考え，正三角形の各頂点に $1$ を，中心に $2\/\sqrt{3}$ を割りあてたものは $n=4$ での構成を与える．以下，$n\geq 5$での構成が存在すると仮定して，矛盾を導く．\
　まず，$n$ 点が同一直線上にあるとする．$P_1,P_2,\ldots,P_n$ の順に並んでいるとしてよい．このとき
$$a_1(a_3-a_2)=a_2a_3=a_4(a_2-a_3)$$
だが，両辺はともに正になりえないので不合理である．\
　これにより，$P_1,P_2,\ldots,P_n$ のうち $3$ 点以上を通る円 $C$ であって，
外部（周上を除く）に点を含まないものがとれる（基本的には最小包含円を考えればよい．例外的に，直径をなす $2$ 点のみを通る場合がありうるが，その $2$ 点を通る円を連続的に動かせば得られる）．添字を振り直して，$C$ 上に $P_1$, $P_2$, $P_3$ があるとしてよい．\
　さて，$P_iP_k : P_j P_k = P_iP_l : P_j P_l$ に注意すると，$P_1,P_2,\ldots,P_n$ から任意の $2$ 点を固定したとき，それ以外の点はある円（アポロニウスの円）上または直線（垂直二等分線）上にある．特に，$C$  は $P_4$ と $P_5$ に関するアポロニウスの円でもあるから，
$P_4$ と $P_5$ の一方はその内部（周上を除く）になければならず，矛盾が得られた．\
　以上により，求める最大値は $4$ である．

**解法2.**　$P_n$ を中心とする半径 $1$ の反転を実行し，$P_i$ が移る先の点を $P_i^\prime$とすると，
任意の $1\leq i\lt j\lt n$ に対して $P_i^\prime P_j^\prime = 1\/a_n^2$ が成り立つ．
すなわち，任意の $1\leq i\lt j\lt k\lt n$ に対して三角形 $P_i^\prime P_j^\prime P_k^\prime$ は正三角形であるから，明らかに $n\leq 4$ が必要である．$n=4$ での構成は解法1と同様．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023f/editorial/9372
　平面上に相異なる $n$ 個の点 $P_1,P_2,\ldots,P_n$ があり，以下の条件をみたしている：

- （相異なるとは限らない）$n$ 個の正の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ が存在して，任意の $1\leq i\lt j\leq n$ なる整数 $i,j$ に対して，$P_i$ と $P_j$ の距離は $a_ia_j$ である．

このとき，正の整数 $n$ としてありうる最大の値を求めよ．