　条件に合う良い数を $10$ 進法表記で $n=\overline{ a_1a_2a_3\ldots a_{18} }$ とおく．$n$ は $20$ の倍数ではないので $\overline{ a_{17}a_{18} }$ も$20$の倍数ではなく，これは $a_{18}=2$ と同値である．また，$n$ は $22$ の倍数でないので，$11$ の倍数判定法より $a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{17}\neq a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{16}+2$ である．この式の等号を満たすような $( a_1,a_2,\ldots ,a_{17} )$ の組の個数は，$2$ の個数を固定して数え上げることで $\displaystyle \sum_{k=0}^8 {}\_{9}\mathrm{C}\_{k+1}\cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{k}={}\_{17}\mathrm{C}\_{8}$ 個であると分かるから，求める個数は $2^{17}-{}\_{17}\mathrm{C}\_{8}=\textbf{106762}$ 個である．

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- $\displaystyle \sum_{k=0}^8 {}\_{9}\mathrm{C}\_{k+1}\cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{k}={}\_{17}\mathrm{C}\_{8}$ の導出について

　$\displaystyle \sum_{k=0}^8 {}\_{9}\mathrm{C}\_{k+1}\cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{k}=\displaystyle \sum_{k=0}^8 {}\_{9}\mathrm{C}\_{k+1}\cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{8-k}$ と変形する．${}\_{9}\mathrm{C}\_{k+1}$ は $(1+x)^9$ における $x^{k+1}$ の係数，$\_{8}\mathrm{C}\_{8-k}$ は $(1+x)^8$ の $x^{8-k}$ の係数であるから，多項式の畳み込みを考えることで $\displaystyle \sum_{k=0}^8 {}\_{9}\mathrm{C}\_{k+1}\cdot {}\_{8}\mathrm{C}\_{8-k}$ は $(1+x)^{17}$ の $x^9$ の係数であることがわかる．

　他にも，経路数に帰着して導出することも可能である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc138/editorial/2721
　$2022$ のように，十進法表記で各桁の数が $0$ または $2$ だけ（一方のみでもよい）からなる正整数を**良い数**とよぶこととします．\
　$20$ でも $22$ でも割り切れない $10^{18}$ 未満の**良い数**はいくつありますか？