　$p=33333331$ とおき, 合同式の法は以下すべて $p$ とする. Fermatの小定理より, 求めるべき総和は
$$S\equiv(1\times2\times3\times4)^{-1}+(2\times3\times4\times5)^{-1}+\cdots+((p-4)(p-3)(p-2)(p-1))^{-1}$$
ここで, 部分分数分解の要領で以下が成立することに留意する：
$$(k(k+1)(k+2)(k+3))^{-1}\equiv3^{-1}((k(k+1)(k+2))^{-1}-((k+1)(k+2)(k+3))^{-1})$$
これを用いて望遠鏡和の形式に表すことで,
$$\begin{aligned}
S&\equiv3^{-1}((1\times2\times3)^{-1}-((p-3)(p-2)(p-1))^{-1})\\\\
&\equiv3^{-1}(6^{-1}-(-6)^{-1})\\\\
&\equiv9^{-1}\equiv\textbf{7407407}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1790
　$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{33333327} (k(k+1)(k+2)(k+3))^{33333329}$ を素数 $33333331$ で割った余りを求めてください.