　任意の $N \geq 2$ に対し，
$$\sum\limits_{n = 2^{N - 1} + 1}^{2^{N}}a_n =
 \sum\limits_{n = 2^{N - 2}+1}^{2^{N - 1}}(a_{2n - 1} + a_{2n}) =
 \sum\limits_{n = 2^{N - 2} + 1}^{2^{N - 1}}(n +a_n) $$
であることから，帰納的に $N\geq 2$ に対し
$$\sum\limits_{n = 2^{N - 1} + 1}^{2^{N}}a_n = a_1+\sum\limits_{n = 2}^{2^{N - 1}} n = 2^{2N - 3} + 2^{N - 2}$$
であることがわかる (これは $N=1$ でも正しい)．よって，
 $$\sum_{n=1}^{512}a_n = a_1 + \sum\limits_{N = 1}^{9}(2^{2N - 3} + 2^{N - 2}) = \frac{1}{3}(2^{8} + 1)(2^{9} + 1)=43947$$ 
であり，ここから $a_{501}+a_{502}+\ldots+a_{512}=1999$ を引けば，$S=\textbf{41948}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc076/editorial/2669
　数列 $\\{a_n\\}_{n=1,2,\ldots}$ を以下で定めます：
$$a_n =
\begin{cases}
  \dfrac{n+1}{2} & (n が奇数のとき) \\\\
  a\_{(n\/2)} & (n が偶数のとき)
\end{cases}
$$
このとき，総和 $S = \displaystyle\sum _{n=1}^{500} a _{n}$ を求めて下さい．