　一般性を失わず $a_1\lt a_2\lt \cdots \lt a_{10}$ とする. 全ての $(a_i,a_j)$ の組は座標平面上で
$$(a_1,a_1),\quad (a_{10},a_1),\quad (a_{10},a_{10}),\quad (a_1,a_{10})$$
を頂点とする正方形の内部（周上を含む）に存在する. 判別式を考えればこの正方形が放物線 $y=\dfrac{1}{4}x^2$ の下側（放物線上を含む）にあればよい. したがって, 条件は
$$a_1+9\leq a_{10} \leq \frac{1}{4} a_1^2$$
これを満たす $a_{10}$ が存在するのは $9\leq a_1$ であり, 逆に $a_1=9$ のとき $a_{10}$ は最小値 $9+9=\textbf{18}$ をとる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/editorial/2863
　$10$ 個の相異なる正整数の組 $(a_1,a_2,\ldots ,a_{10})$ は以下を満たします.

- 相異なるとは限らない $1\leq i,j\leq 10$ について, $x$ についての方程式 $x^2+a_ix+a_j=0$ が必ず実数解をもつ.

このとき, $\max\\{a_1,a_2,\ldots ,a_{10}\\}$ としてあり得る最小値を求めてください.