　まず以下のように変数変換を行う：
$$a=2x,\ \ b=3y,\ \ c=5z,\ \ d=7p,\ \ e=11q,\ \ f=13r$$ 
このとき, 与方程式の係数にはPascalの三角形が現れる：
$$\begin{aligned}
|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|&=32 \\\\
1a+1b+1c+1d+1e+1f&=0 \\\\
5a+4b+3c+2d+1e&=0 \\\\
10a+6b+3c+1d&=0 \\\\
10a+4b+1c&=0 \\\\
5a+1b&=0
\end{aligned}$$
したがって, これの第2式以下は次の $k$ についての恒等式に集約される：
$$ak^5=a(k+1)^5+b(k+1)^4+c(k+1)^3+d(k+1)^2+e(k+1)+f$$
一方で, $ak^5=a((k+1)-1)^5$ とみなすことで
$$ak^5=a(k+1)^5-5a(k+1)^4+10a(k+1)^3-10a(k+1)^2+5a(k+1)-a$$
これより $(a,b,c,d,e,f)=(a,-5a,10a,-10a,5a,-a)$ と表せ, 第1式より $a=\pm 1$ である. よって,
$$|x|+|y|+|z|+|p|+|q|+|r|=2\times\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{10}{5}+\dfrac{10}{7}+\dfrac{5}{11}+\dfrac{1}{13}\right)=\dfrac{36797}{3003}$$
特に解答すべき値は $\textbf{39800}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/editorial/292
　以下の連立方程式
$$\begin{aligned}
|2x|+|3y|+|5z|+|7p|+|11q|+|13r|&=32 \\\\
2x+3y+5z+7p+11q+13r&=0 \\\\
10x+12y+15z+14p+11q&=0 \\\\
20x+18y+15z+7p&=0 \\\\
20x+12y+5z&=0 \\\\
10x+3y&=0
\end{aligned}$$
の実数解 $(x,y,z,p,q,r)$ すべてについて, 以下の値の総和を求めてください. 
$$|x|+|y|+|z|+|p|+|q|+|r|$$
　ただし, 答えは互いに素な正整数 $u,v$ によって $\dfrac{u}{v}$ と表せるので, $u+v$ を解答してください.