　$\omega_2$ と辺 $AB, AC$ の交点のうち $A$ でない方ををそれぞれ $P,Q$ とし，$\angle BAC$ の二等分線を $\alpha$ とする．中心を点 $A$，半径を $\sqrt{AB\times AQ} = \sqrt{AC\times AP}$ とする反転を行った後に直線 $\alpha$ に関して対称移動させる操作を行うと，直線 $BC$ と $\omega_2$，直線 $PQ$ と $\Omega$ がそれぞれ移り合う．従って，$\omega_1$ に上記操作を行なって得られる円は四角形 $BCQP$ に内接する．よって，$BC+PQ=PB+QC$ から 
$$AP+AQ+PQ=AB+AC-BC$$
を得る．また，三角形 $ABC$ と三角形 $APQ$ の相似比は $12345:6789$ であるから，
$$\dfrac{AB+AC}{BC} =\dfrac{12345+6789}{12345-6789}=\dfrac{3189}{926}$$
となる．ここで，
$$2FM=|BF-CF|=\frac {|BF^2-CF^2|} {BF+CF} =\frac {|AB^2-AC^2|} {BC} =|AB-AC| \cdot \frac {AB+AC} {BC}   $$
であり，$|AB-AC|=|BD-CE|=100$ より $FM=\dfrac{79725}{463}$ となる．特に解答すべき値は $\mathbf{80188}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/6935
　角 $A$ 内の傍接円と $BC$ の接点を $P$ とし， $PQ$ が角 $A$ 内の傍接円の直径となる点 $Q$ を取る．\
　 $\Omega$ ， $\omega_2$ ，角 $A$ 内の傍接円の半径をそれぞれ $R,r,r_A$ とする．\
　中心を点 $A$ ，半径を $\sqrt{AB\times AC}$ とする反転を行った後， $∠BAC$ の二等分線に関して対称移動する操作を行うと， $\Omega$ は直線 $BC$ に， $\omega_2$ は角 $A$ 内の傍接円の $Q$ での接線に移る．したがって， $r:R=AF:AF+2r_A$ ．（詳しくはSchwarzeKatze9さんの記事が参考になります． https:\/\/mathlog.info\/articles\/3944 ）\
　 $|BD-CE|$ を $R,A,B-C$ で表すと，

$$
\begin{aligned}
|BD-CE|&=|AC-AB| \\\\
&=|2R\sin B-2R\sin C| \\\\
&=2R\left|2\cos \dfrac{B+C}{2}\sin \dfrac{B-C}{2}\right| \\\\
&=4R\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{|B-C|}{2}
\end{aligned}
$$ 

　すなわち $\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{|B-C|}{2}=\dfrac{|BD-CE|}{4R}$ ．

　また $r:R=AF:AF+2r_A$ より，

$$
\begin{aligned}
\dfrac{R}{r}&=\dfrac{AF+2r_A}{AF} \\\\
&=1+\dfrac{2\times4R\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}}{2R\sin B\sin C} \\\\
&=1+\dfrac{\sin \dfrac{A}{2}}{\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}} \\\\
&=1+\dfrac{2\sin \dfrac{A}{2}}{\cos \dfrac{B-C}{2}-\sin \dfrac{A}{2}}
\end{aligned}
$$

　すなわち $\dfrac{\cos \dfrac{B-C}{2}}{\sin \dfrac{A}{2}}=\dfrac{R+r}{R-r}$ ．

　よって，

$$
\begin{aligned}
FM&=\dfrac{1}{2}|CF-BF| \\\\
&=\dfrac{1}{2}|2R\sin B\cos C-2R\sin C\cos B| \\\\
&=R\sin |B-C| \\\\
&=2R\times \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{|B-C|}{2}\times\dfrac{\cos \dfrac{B-C}{2}}{\sin \dfrac{A}{2}} \\\\
&=2R\times \dfrac{|BD-CE|}{4R}\times \dfrac{R+r}{R-r} \\\\
&=\dfrac{79725}{463}
\end{aligned}
$$

　より答えるべき値は $\mathbf{80188}$ ．
三角関数を使った解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/6935/373
　三角形 $ABC$ の内心，$\angle A$ 内の傍心を $I, I_A$ とする．三角形 $ABC$ の $\angle A-$混線傍接円 ($\Omega$ と外接し，$AB, AC$ に接する円) を $\Gamma$ とし，$\Gamma$ と $AB, AC$ の接点を $X, Y$ とすると，$X, I_A, Y$ は共線．そして，$\omega_1$ と $AB, AC$ の接点を $P, Q$ とすると，$P, I, Q$ は共線．いま，$(\omega_1, \omega_2)$ と $(\Gamma, \Omega)$ は $A$ を中心とした相似比 $AI:AI_A$ の相似の関係にある．したがって，$AI:AI_A=6789:12345$ になるので，以下ちょっと計算をすれば求められる．
有名事実より
https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/6935/681
　鋭角三角形 $ABC$ の外接円 $\Omega$ に内接し，辺 $AB$ に点 $D$ で，辺 $AC$ に点 $E$ で接する円を $\omega_1$ とします．また，点 $A$ で $\Omega$ に内接し，円 $\omega_1$ と外接する円を $\omega_2$ とします．さらに，$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $F$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．いま，$\Omega$ の半径が $12345$，$\omega_2$ の半径が $6789$，線分 $BD$ と線分 $CE$ の長さの差（の絶対値）が $100$ のとき，線分 $FM$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．