　$a_n=\tan\theta_n~\biggl(-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta_n\lt\dfrac{\pi}{2}\biggr)$ とおけば $\theta_1=\dfrac{\pi}{6}$ であり，$\theta_n$ の範囲に注意すれば

$$\tan\theta_{n+1}=\frac{-1+\sqrt{1+\tan^2\theta_n}}{\tan\theta_n}=\frac{1-\cos\theta_n}{\sin\theta_n}=\tan\frac{\theta_n}{2}$$

が成り立つため $a_n=\tan\dfrac{\pi}{3\cdot 2^n}$ を得る．よって求める値は $3\cdot 2^{10}=\bf{3072}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc007/editorial/47
　$\displaystyle a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}, a_{n+1}=\frac{-1+\sqrt{1+a_n^2}}{a_n}$ を満たす数列 ${a_n}$ について, $a_{10}=\tan\dfrac{\pi}{x}$ です. $x$ を求めてください.