　$k=2,3,4,5,6$ について，$k-1$ 回目の交換終了時に $x$ 君が用意したプレゼントを $y$ 君が持っているとき $kx\equiv y\pmod{n}$ が成り立つ．よって条件は各 $k=2,3,4,5,6$ について次が成り立つことと言い換えられる．
- 任意の $1\leq i\lt j\leq n$ に対して $ki\not\equiv kj\pmod{n}$．

　これは $n$ と $k$ が互いに素であることと同値であることが確かめられる．したがって条件は $n$ が $30$ と互いに素であることと言い換えられ，それをみたす $2\leq n\leq 314$ は $\bf{83}$ 個．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc120/editorial/3531
　円卓を囲んだ $n$ 人の人々（反時計回りに $1$ 君，$2$ 君，$\ldots$，$n$ 君とする）が，プレゼント交換会をするために $1$ 人 $1$ 個ずつプレゼントを用意しました．各 $i=1,\ldots,n$ に対し，はじめ $i$ 君は，$i$ 君自身が用意したプレゼント $1$ 個のみを持っています．\
　プレゼント交換会では，**全員が同時に**次の交換をすることを $5$ 回繰り返します．
- **交換**：その時点で持っているプレゼントを用意したのが $i$ 君であるとき，それを自分から反時計回りに数えて（**自分の隣をスタートとして**）$i$ 番目の人に渡す．

ただし，各交換の終了時にプレゼントを $2$ つ以上持っている人がいる場合，プレゼント交換会は**失敗**としてそれ以降の交換は行いません．$5$ 回の交換がいずれも失敗とならずに終えられるような $n$ は，$2\leq n\leq 314$ の範囲にいくつありますか？