#### 前半：Fibonacci数列の発見
　$($第 $2$ 式$)\times4 - ($第 $1$ 式$)\times12$ より，
$$4x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+\cdots+4x_m^2-12x_1-12x_2-\cdots-12x_m+8m=0$$
これを変形すると，
$$(2x_1-3)^2+(2x_2-3)^2+\cdots+(2x_m-3)^2=m$$
となる．$x_1,x_2,\ldots,x_m$ は整数であるから，$$(2x_1-3)^2=(2x_2-3)^2=\cdots=(2x_m-3)^2=1$$
であるほかない．つまり，$x_1, x_2, \ldots, x_m$ はすべて $1$ または $2$ である．\
　よって，与えられた $2$ 式は，
$$\begin{cases}
x_1+x_2+x_3+\cdots+x_m=2505\\\\
x_i = 1\ \mathrm{ or }\ 2\ \ (i=1,2,\cdots,m)
\end{cases}$$ 
のように書き換えることができ，これは「$2505$ 段ある階段を $1$ 段または $2$ 段ずつ登ったとき，$i$ 歩目で $x_i$ 段登った」状況と同じであるから，その総数は（$1,1$ から始まる）Fibonacci数列の $2506$ 番目である．
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#### 後半：剰余の周期性の発見
　Fibonacci数列 $\\{F_n\\}$ の各項を $2,3,11,29$ で割ったときの余りの周期を数えれば，それぞれ $3,8,10,14$ であるから，$\\{F_n\\}$ の周期はこれらの最小公倍数 $840$ である．これと，$$2506\equiv -14\pmod {840}$$ より， $F_{2506}=F_{(\text{周期})-14}$ とわかる．したがって，$$F_{(周期)-14}\equiv-F_{14}=-377\equiv1537\pmod{1914}$$より解答すべき値は $\bf 1537$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc120/editorial/3554
　以下の $2$ 式をみたす $m$ 個の**整数**の組 $(x_1, x_2, \ldots, x_{m})$ の総数を，すべての正整数 $m$ について合計し，それを $1914=2\times 3\times 11\times 29$ で割った余りを求めてください．
$$\begin{cases}
x_1+x_2+x_3+\cdots+x_m=2505\\\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_m^2+2m=7515
\end{cases}$$