　各 $k=1,\dots,2019$ に対し二次方程式 $x^2-n_kx+n_{k+1}=0$ の正整数解を $x=a,b~(a\leq b)$ とおくと解と係数の関係および $n_k\geq n_{k+1}$ より $(a-1)(b-1)\leq 1$ が成り立ち，$a,b$ は正整数に注意すれば $n_k=n_{k+1}+1$ または $n_k=n_{k+1}=4$ を得る．逆にこれが成立するとき $x^2-n_kx+n_{k+1}=0$ の解が正整数であることは容易に確認できる．

　また方程式 $x^2-n_{2020}x+n_1=0$ が正整数解をもつことから判別式より $n_{2020}^2\geq 4n_1$ であり，$n_1\geq n_{2020}\gt 0$ とあわせて $n_{2020}\geq 4$ を得る．

　$n_{2020}=4$ の場合，再度 $n_{2020}^2\geq 4n_1$ を用い $n_1\leq 4$ を得るため $n_1=n_2=\cdots=n_{2020}=4$ である．

　$n_{2020}\gt 4$ の場合，各 $k=1,\dots,2019$ に対し $n_k=n_{k+1}+1$ であり，特に $n_1=n_{2020}+2019$ である．二次方程式 $x^2-n_{2020}x+n_1=0$ の正整数解を $x=a,b~(a\leq b)$ とおくと解と係数の関係より $(a-1)(b-1)=2020$ が得られ，これをみたすのは $$(a,b)=(2,2021),(3,1011),(5,506),(6,405),(11,203),(21,102)$$
である．それぞれに対し $n_1=4042,3033,2530,2430,2233,2142$ であり，これらの総和は $16410$．

　以上より求める値は $\bf{16414}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc007/editorial/49
　正の整数 $n_1\geq n_2\geq \cdots\geq n_{2020}$ について, $x$ の $4040$ 次方程式
$$(x^2-n_1x+n_2)\cdots(x^2-n_{2019}x+n_{2020})(x^2-n_{2020}x+n_1)=0$$
の複素数解がすべて正の整数であるとき, $n_1 $の取り得る値の総和を求めてください.