　それぞれの操作を次のように捉えなおしておく（マス目を $5\times 5$ のままにしておく）．

 - 色が塗られていないマスを $1$ つ選んで赤く塗る．そして，そのマス目と同じ行または同じ列にあるマス目すべてを青く塗る（ただ，赤く塗ったマス目は青く塗らない）．

さらに，$4$ 回の操作の終了後，何も色が塗られていないマス目が $1$ つ残るのでそれを赤く塗り，それに書かれた数を $a_5$ とおいておく．これらの操作を終えたとき，赤く塗られたマス目は $5$ つあるが，操作の取り決め上

- 赤いマスは各行・各列にちょうど $1$ 個ずつ存在する

から，赤く塗るマス目の選び方や塗り方の順序によらず $a_1 a_2a_3a_4a_5=(5!)^2$ である．\
　いま，操作の方法は全部で $(5!)^2$ 通りある．このうち，最後に赤く塗られるマス目を固定するとそれぞれ $(4!)^2$ 通り存在することから，求める得点の平均は次のように計算できる：
$$
\dfrac{\sum\limits_\{i=1\}^\{5\} \sum\limits_\{j=1\}^\{5\} (4!)^2 \dfrac{(5!)^2}{ij}}{(5!)^2} 
= \Biggl( 4! \sum\limits_\{i=1\}^\{5\} \dfrac{1}{i} \Biggl)^2
= \frac{75076}{25}
$$
特に解答すべき値は $\mathbf{75101}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb019/editorial/5768
　$5\times 5$ のマス目があり，第 $i$ 行第 $j$ 列のマスには $ij$ が書きこまれています（ $1\leq i\leq 5,1\leq j\leq 5$）．ここへ，$n=1,2,3,4$ の順に以下の操作を施します：

- 行と列を一つずつ選び，それらをともに削除する．すなわち，操作の後でマス目は $(5-n)\times (5-n)$ になる．ここで，削除した行と列の交わりに位置していたマスに書かれていた数を $a_n$ とおく．

　$4$ 回の操作として考えられるものすべてに対して，$a_1a_2a_3a_4$ の平均を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ の値を解答してください．