　直線 $HX$ と直線 $AB$ の交点を $Y$ とし，線分 $CY$ の中点を $M$，$M$ について $X$ と対称な点を $Z$ とする．このとき，
$$\angle XHC=\angle AHC=180^{\circ}-\angle ABC=\angle YBC$$
より $H, B, Y, C$ は共円であり，したがって三角形 $FHB$ と $FYC$ は相似となる．また，三角形 $XHB$ と $XCY$，$ZYC$ はすべて相似であるから，四角形 $FHXB$ と $FYZC$ は相似．したがって，$FZ=22x, CZ=2x, YZ=23x$ とおけ，さらに中線定理より
$$FX^2+FZ^2=2(FM^2+MZ^2)=2(CM^2+MZ^2)=ZC^2+ZY^2$$
が成り立つ．よって，$x=\dfrac{22}{7}$ である．いま，$XY=ZC=2x$ であり，また $\angle HYB=\angle HCB=\angle HAB$ より $HA=HY=23+2x=\dfrac{205}{7}$ である．よって解答すべき値は $\textbf{212}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc220/editorial/6311
公式解説と同じように点 $Y$ を取ります．

また， $X$ から $AB$ に下ろした垂線の足を点 $P$ ， $\tan \angle BCF=\dfrac{1}{x}$ とおけば， $YX=2x$ と書け， $FY$ や $YP$ や $XP$ が $x$ であらわせるので，直角三角形 $FPX$ での三平方の定理で $x$ の二次方程式(実質一次方程式)が立ち，これを解いて $x= \dfrac{22}{7}$ と求まります．あとは $AH=YH=23+2x=\dfrac{205}{7}$ となって答えが求まります．
ゴリ押し
https://onlinemathcontest.com/contests/omc220/editorial/6311/518
　三角形 $ABC$ の垂心を $H$，$C$ から辺 $AB$ に下ろした垂線の足を $F$ とします．辺 $BC$ 上に $\angle AHF=\angle XHF$ をみたす点 $X$ が存在し，
$$BX=2, \quad FX=22, \quad HX=23$$
が成り立つとき，$AH$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．