　$a+b+c+d=19$ なる整数 $0\leq a,b,c,d\leq 9$ の組を数え上げればよい.

**解法1.**　$(a+b,c+d)=(1,18)$ なるものは $2\times1=2$ 通り, $(a+b,c+d)=(2,17)$ なるものは $3\times2=6$ 通りあり, 同様にこれを $(18,1)$ まで考えることで求める場合の数は
$$2\times 1+3\times2+\cdots+10\times 9+9\times 10+\cdots+1\times 2=\textbf{660}$$

**解法2.**　$9$ 以下であるという条件を無視すれば ${}\_{22}\mathrm{C}\_{3}$ 通りである. ここで $a,b,c,d$ のうち $10$ 以上であるものは高々一つである. $a$ が $10$ 以上であるとき, $a^\prime=a-10$ とおけば $a^\prime+b+c+d=9$ なる非負整数の組 $(a^\prime,b,c,d)$ の個数に帰着され, これは ${}\_{12}\mathrm{C}\_{3}$ である. したがって, 求める場合の数は ${}\_{22}\mathrm{C}\_{3}-4\times{}\_{12}\mathrm{C}\_{3}=\textbf{660}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc049/editorial/221
　十進法で各位の和が $19$ であるような $9999$ 以下の正整数はいくつありますか？