　$N=61^{45^{45}}$ とする．

**補題1．**$M_n=\dbinom{N-1}{3n-1}$ である．\
**証明．**条件より次が成り立つ：
$$c_1+c_2+...+c_n=N　(*)$$
$$a_i\lt b_i\lt c_i　(i=1,2,...,n)$$
各 $c_i$ に対して正の整数の組 $(a_i,b_i)$ は $\dbinom{c_i-1}{2}$ 組だけあるので，$(\*)$ を満たす $c_1,...,c_n$ に対して次の値を足し合わせたものが $M_n$ に等しい．ただし $\dbinom{0}{2}=\dbinom{1}{2}=0$ とする．
$$m=\prod_{i=1}^n\dbinom{c_i-1}{2}$$
ここで上式の $m$ は次のように解釈できる．
- 横一列に並んだ $c_1+...+c_n-1$ 個の白丸から $3n-1$ 個を黒丸に塗るとき,左から $3,6,...,3(n-1)$ 番目の黒丸がそれぞれ左から $c_1,c_1+c_2,...,c_1+...+c_{n-1}$ 番目の白丸であったような塗り方の数

 $(\*)$ より結局，$m$ の総和 $M_n$ は $\dbinom{N-1}{3n-1}$ に等しい． $\square$ 


**補題2．** $\displaystyle\sum_{n=1}^{\lfloor N\/3\rfloor}M_n=\frac{2^{N-1}-1}{3}$ \
**証明．** $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とする．二項定理より次が成り立つ．
$$\begin{aligned}
(1+1)^{N-1} &= \binom{N-1}{0}+\binom{N-1}{1}+\binom{N-1}{2}+...+\binom{N-1}{N-1} \\\\
\omega(1+\omega)^{N-1} &= \omega\binom{N-1}{0}+\omega^2\binom{N-1}{1}+\binom{N-1}{2}+...+\binom{N-1}{N-1} \\\\
\omega^2(1+\omega^2)^{N-1} &= \omega^2\binom{N-1}{0}+\omega\binom{N-1}{1}+\binom{N-1}{2}+...+\binom{N-1}{N-1}
\end{aligned}$$
 $N\equiv 1\pmod6$ および $1+\omega+\omega^2=0$ に注意して辺々足し合わせると，次を得る．
$$2^{N-1}-1=3\sum_{n=1}^{\lfloor N\/3\rfloor}M_n$$
よって補題は示された． $\square$ 

　さて，LTEの補題より次が成り立つ．
$$\begin{aligned}
i &= v_3\left(\frac{2^{N-1}-1}{3}\right)=v_3(16^{\frac{N-1}{4}}-1)-1=v_3(15)+v_3(N-1)-1=v_3(61-1)+v_3(45^{45})=91 \\\\
j &= v_5\left(\frac{2^{N-1}-1}{3}\right)=v_5(16^{\frac{N-1}{4}}-1)=v_5(15)+v_5(N-1)=v_5(61-1)+v_5(45^{45})+1=47
\end{aligned}$$
以上より，解答すべき値は $91\times 47^2=\mathbf{201019}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc168/editorial/7293
　 $n$ を正の整数とし，$3n$ 個の正の整数 $a_i,b_i,c_i$ $(i=1,2,...,n)$ に対して，$O$ を原点とする座標平面上の $3n$ 個の点 $A_i(i,a_i),B_i(i,b_i),C_i(i,c_i)$ を考えます．点 $X$ の座標を $(n+1,0)$ とし，以下のように定めます：
- $n+2$ 個の点 $O,A_1,...,A_{n},X$を順に結んでできる折れ線：$\alpha$
- $n+2$ 個の点 $O,B_1,...,B_{n},X$を順に結んでできる折れ線：$\beta$
- $n+2$ 個の点 $O,C_1,...,C_{n},X$を順に結んでできる折れ線：$\gamma$

より厳密には，たとえば $\alpha$ は線分 $OA_1,A_1A_2,...,A_nX$ をつないで得られます．

　次の条件を満たす $3n$ 個の正の整数 $a_i,b_i,c_i$ $(i=1,2,...,n)$ の組は $M_n$ 個あります．
- $\gamma$ および $x$ 軸で囲まれる面積は $61^{45^{45}}$ である．
- $O,X$ を除いて $\alpha,\beta,\gamma$ はどの $2$ つも共有点を持たない．
- $a_1\lt b_1\lt c_1$ が成り立つ．

ただし，$61^{45^{45}} = 61^{(45^{45})}$です．このとき，$M_n$ を求め，
$$\sum_{n=1}^{\left\lfloor 61^{45^{45}}\/3 \right\rfloor}M_n$$
が $3$ で割り切れる回数を $i$ 回，$5$ で割り切れる回数を $j$ としたときの，$ij^2$ の値を解答してください．