　$\max\lbrace a,b,c\rbrace=k$ である組 $(a,b,c)$ の数を $a_k$ とおくと, $f(N)$ は以下のように表せる.
$$f(N)=\sum_{k=1}^{N}ka_{k}$$
ここで $a_{k}=k^3-(k-1)^3$ であり, $ka_{k}=(k^4-(k-1)^4)-(k-1)^3$ であるから,
$$4f(N)=4\left(N^4-\sum_{k=1}^{N}(k-1)^3\right)=N^2(N+1)(3N-1)$$
ここに $N=10^{2021}$ を代入した値は, 以下のように表されることが容易にわかる.
$$ 3\overbrace{0\cdots0}^{2020\text{個}}1\overbrace{9\cdots9}^{2021\text{個}}\overbrace{0\cdots0}^{4042\text{個}}$$
これの各位の数の総和は $\textbf{18193}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/227
　$N$ 以下の正整数の組 $(a,b,c)$ すべてについて, $\max\\{a,b,c\\}$ の総和を $f(N)$ とおきます.\
　$4f(10^{2021})$ の各位の数の総和を求めてください.