　一列に並んだ $2020$ 個の白丸のうち, $1009$ 個を黒く塗りつぶす方法を考える．このうち，左から $2,4,\ldots,1008$ 番目の黒丸が左から $a_{1}+1,a_{1}+a_{2}+2,\ldots,a_{1}+\cdots+a_{504}+504$ 番目にあるようなものは $a_{1}a_{2}\cdots a_{505}$ 通りであることがわかる．すなわち，求める総和は $\_{2020}\mathrm{C}\_{1009}$ に等しく，これのもつ最大の素因数は $\textbf{2017}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc001/editorial/23
　公式解説のように，上手な数え方が思いつかなくても，形式的冪級数を用いて解くことが可能です．

$$ (x+2x^2+…+1516x^{1516}+…)^{505} $$ の $x^{1516}$ の係数の値が $M$ に対応する. ( $x$ の次数が $1516$ より大きい項はあるとして考えても $M$ の値に影響を及ぼさず，また計算が少し楽になるのであるとして考えます．もちろんないとして考えても大丈夫です．) 
$S=\sum\limits_{i=1}^\infty ix^i$ とおくと，$$S-xS=\sum\limits_{i=1}^\infty x^i=\frac{x}{1-x}$$ となるから，$$S^{505}=\frac{x^{505}}{(1-x)^{1010}} $$ の $x^{1516}$ の係数を求めればよいです．ここで，$$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i$$と考えると，$$S^{505}=x^{505}\left(\sum\limits_{i=0}^\infty x^i \right)^{1010}$$ であり，$M$ は $$\left(\sum\limits_{i=0}^\infty x^i \right)^{1010}$$ の $x^{1011}$ の係数であり，これは ${}\_{2020}\mathrm{C}\_{1009}$ なので，求める値は $\bf{2017}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc001/editorial/23/189
　$a_1+a_2+\cdots+a_{505}=1516$ なる正整数の組 $(a_1, a_2, \ldots, a_{505})$ すべてについて，積 $a_1a_2\cdots a_{505}$ の総和を $M$ とします．$M$ がもつ素因数のうち，最大のものを解答してください.