　$m=10^8,~ n=10^8+5, ~ L=10^{24}+336$ とおく．また，
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(x,k) \lt m$$ 
を満たす番号 $x$ が書かれたボールからなる集合を $X$ とおく．操作 $i$ で彩色されるボールの数の最大値は，$a_k=f(y,k)-f(x,k)$ とおいたときに $(a_1, \ldots, a_n)$ としてありうる組数に等しく，これは和が $i-1$ 以下となるような $n-1$ 個の非負整数の組数であるから ${}\_{n+i-2}\mathrm{C}\_{n-1}$ である．ここで，${}\_{n-1+j}\mathrm{C}\_{n-1}+{}\_{n-1+j}\mathrm{C}\_{n}={}\_{n+j}\mathrm{C}\_{n}$ なので，
$$
\sum_{i=1}^m {}\_{n+i-2}\mathrm{C}\_{n-1} ={}\_{n+m-1}\mathrm{C}\_{n}
$$
となる．すなわち，操作 $1$ から操作 $m$ まで行った後に彩色されているボールの数の最大値は ${}\_{n+m-1}\mathrm{C}\_{n}$ 個である．一方で $X$ の要素の数は，$n$ 項の和が $m-1$ 以下になるものの数なので，先程と同様にして，${}\_{n+m-1}\mathrm{C}\_{n}$ と計算できる．したがって，各操作では新しく彩色されたボールの個数が最大となるように，$X$ に属するボールのみが彩色される．さらにこのため，操作の番号が大きい順に操作を行うとしてよい．

**補題．** 操作 $i\gt 1$ において選択する整数 $j$ は $n$ 通り，ボールの番号は $1$ 通りである．  

**証明．** $i=m$ のとき，彩色されるボールがすべて $X$ に含まれていなければならないことから，操作 $m$ で選ぶ番号 $x$ に対して，$f(x,k)=0$ が任意の整数 $k$ で成立することが必要．したがってありうる番号は $x=0$ のみである．このとき操作内で選択する添え字 $j$ は $1\leq j \leq n$ のすべてがありえるため，$n$ 通り存在する．操作 $m$ を行った後，彩色されていない $X$ に属する番号 $x$ から $m^{j-1}$ 引いた数の集合を $X^{\prime}$ とおく．彩色方法より，彩色されていないボールの番号については $f(x,j) \geq 1$ が成立しているため， $X^{\prime}$ は非負整数の集合となり，$m$ 進数での各桁の和は $j$ 桁目のみ $1$ 引く操作に相当することから，$X^{\prime}$ は番号 $x^{\prime}$ であって，
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{10^8+5} f(x^{\prime},k) \lt 10^8-1$$ 
を満たす集合と一致する．以上により，$i=m-1$ に対しても添え字とボールの選び方に関して同様の議論が成立するため，帰納的に $m$ 以下の $i$ に対して補題が示される．

　以上により，操作全体を通したボールの番号の選び方は $n^{m-1}$ 通りあり，各操作で使用する色の選び方は ${}\_{L}\mathrm{P}\_{m}$ 通りあるので，$M=n^{m-1} \cdot {}\_{L}\mathrm{P}\_{m} $ となる．
$p = 10^8+7$ とおく．
$$
\begin{aligned}
m&=p-7,\quad n=p-2\\\\
L&=10^{24}+336 = (10^8+7)(10^{16}-7\cdot 10^{8}+49)-7 \equiv p-7 \pmod{p}
\end{aligned}
$$
である．
ウィルソンの定理より，$(p-1)!\equiv -1 \pmod{p}$ で，フェルマーの小定理より $(-2)^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ なので，以下のように計算できる．
$$
\begin{aligned}
M &=n^{m-1} \cdot {}\_{L}\mathrm{P}\_{m}  \\\\
&\equiv (-2)^{p-8} \cdot (p-7)!\\\\
&\equiv \frac{-1}{128}\cdot \frac{-1}{720}
\end{aligned}
$$
したがって，ふたたびフェルマーの小定理から
$$ M^{p-2} \equiv M^{-1} \equiv 128 \cdot 720 = \mathbf{92160} $$
であり，これが答えるべき値である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce007/editorial/10202
　$0,1,\ldots,(10^8)^{10^8+5}-1$ の番号が付いたボールが $1$ つずつあり，いずれもはじめは無色です．ボールの番号 $x$ を $10^8$ 進法表記したときの下から $k$ 桁目を $f(x,k)$ とおきます．いくつかのボールに $10^{24}+336$ 種類の色のうち $1$ 色を塗ることを考えます．ボールへの着色は以下の操作 $i$（ $i$ は正整数）により行います．
- **操作 $i$** ：番号 $x$ のボールと整数 $j$ $(1 \leq j \leq 10^8+5)$ および $10^{24}+336$ 種類の色からまだ使っていない $1$ 色を選び，$f(x, j) = f(y, j)$ および
$$ f(x,k) \leq f(y,k) \quad(k = 1, 2, \ldots, 10^8+5) $$
$$ \sum_{k=1}^{10^8+5} (f(y,k) - f(x,k)) \leq i-1 $$
をいずれも満たす番号 $y$ のボールすべてを選択した色で彩色する．ただし，すでに色が塗られているボールに対しては彩色を行わない．  

　いま，操作 $1$ から操作 $10^8$ までを適当な順番で $1$ 回ずつ行ったところ，
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{10^8+5} f(x,k) \lt 10^8$$ 
を満たす番号 $x$ が書かれたボールはすべて何らかの色で彩色されていました．このとき，最終的なボールの彩色のされ方としてあり得るものは $M$ 通りあります．$M^{10^8+5}$ を素数 $10^8+7$ で割った余りを求めてください．


<details><summary>「$10^8$ 進法表記したときの下から $k$ 桁目」とは<\/summary>

　ボールの番号 $x$ は，$0 \leq f(x,k) \lt 10^8$ をみたす整数 $f(x, k)$ により，
$$
x = \sum_{k=1}^{10^8+5} f(x,k) \times(10^8)^{k-1}
$$
と $10^8$ 進法で一意に表示できます．このとき，下から $k$ 桁目は $f(x, k)$ です．
<\/details>