$$\frac{d_1}{d_{16}} = \frac{d_2}{d_{17}} = \cdots = \frac{d_{15}}{d_{30}}$$
が成り立つための必要十分条件は，$d_{15}$ が正の約数をちょうど $15$ 個もつことである．

<details><summary> 証明 <\/summary>
**必要性：**\
　各 $k = 1, 2, ..., 15$ で
$$\frac{d_k}{d_{k+15}} = \frac{d_k d_{16-k}}{n}$$
が成り立つので，
$$
d_1d_{15} = d_2d_{14} = \cdots = d_7d_9 = d_8^2
$$
がしたがい，特に $d_1 = 1$ に注意すれば $d_1, d_2, ..., d_{15}$ はすべて $d_{15}$ の約数である．すなわち $d_{15}$ の正の約数は $15$ 個以上である．また，$d_{15}$ の約数はすべて $n$ の約数にもなるため，$d_{15}$ の正の約数は $15$ 個以下でなければならず，このこととあわせて正の約数はちょうど $15$ 個である．

**十分性：**\
　$d_{15}$ の正の約数はすべて $n$ の約数であるため，$d_{15}$ の正の約数の内訳は小さい方から $d_1, d_2, ..., d_{15}$ でなければならない．ゆえに各 $k = 1, 2, ..., 15$ で
$$\frac{d_k}{d_{k+15}} = \frac{d_k d_{16-k}}{n} = \frac{d_{15}}{n}$$
が成り立つので，与えられた等式が成り立つ．
<\/details>

このことから $d_{15}$ は以下のいずれかの形式で表される．
- $p$ を素数として $d_{15} = p^{14}$．
- $p, q$ を相異なる素数として $d_{15} = p^4q^2$．

ここでもし $d_{15}$ と $d_{16}$ が互いに素であると，$d_{15}, d_{16}$ の正の約数の個数の積は，$n$ の正の約数の個数と等しくなり，このことから $d_{16}$ の正の約数は $2$ 個であるが，これは $d_{16}$ が合成数であることに反する．よって $d_{15}, d_{16}$ は互いに素ではない．\
　$d_{15}d_{16} = n$ の正の約数が $30$ 個あることと $d_{15} \lt d_{16}$ から，$(d_{15}, d_{16})$ の表し方として以下 $3$ ケースが考えられる．
- 素数 $p$ によって $(d_{15}, d_{16}) = (p^{14}, p^{15})$ と表されるとき．
- $q^2 \lt p$ なる素数 $p, q$ によって $(d_{15}, d_{16}) = (p^4 q^2, p^5)$ と表されるとき．
- $p^4 \lt q$ なる素数 $p, q$ によって $(d_{15}, d_{16}) = (p^4 q^2, q^3)$ と表されるとき．

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**Case 1.**　奇素数 $p$ によって $(d_{15}, d_{16}) = (p^{14}, p^{15})$ と表されるとき．\
　$d_7 = p^6, d_8 = p^7, n = p^{29}$ である．
$$p^6 \lt 123 \lt p^7$$
をみたせばよく，$p = 2$ のときに限りこれをみたす．よって，このケースでは $n = 2^{29}$ が適する．

**Case 2.**　$q^2 \lt p$ なる素数 $p, q$ によって $(d_{15}, d_{16}) = (p^4 q^2, p^5)$ と表されるとき．\
　$d_7 = p^2, d_8 = p^2 q, n = p^9 q^2$ であり，
$$q^2 \lt p，p^2 \lt 123 \lt p^2 q$$
をみたせばよい．$p^2 \lt 123$ かつ $p^4(p - 1) \geq p^4 q^2 \gt 123^2$ から $p = 11$ がしたがい，これより $q = 2, 3$ が条件をみたす．よって，このケースでは $n = 2^2 \cdot 11^9, 3^2 \cdot 11^9$ が適する．

**Case 3.**　$p^4 \lt q$ なる素数 $p, q$ によって $(d_{15}, d_{16}) = (p^4 q^2, q^3)$ と表されるとき．\
　$d_7 = pq, d_8 = p^2 q, n = p^4 q^5$ であり，
$$p^4 \lt q，pq \lt 123 \lt p^2 q$$
をみたせばよく，$p^5 \lt pq \lt 123$ より $p = 2$ がしたがう．よって
$$30.75 \lt q \lt 61.5$$
より，$q = 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61$ を得るので，このケースでは $n$ の値として以下 $8$ つが適する．
$$2^4 31^5，2^4 37^5，2^4 41^5，2^4 43^5，2^4 47^5，2^4 53^5，2^4 59^5，2^4 61^5$$

---

　以上の議論から $n$ のとり得る値は全部で $11$ 個あることがわかる．その総積 $P$ について，これが $2$ で割り切れる最大の回数は $29 + 2 + 4 \times 8 = 63$，$11$ で割り切れる最大の回数は $9 \times 2 = 18$ なので
$$P =2^{63} \cdot 3^2 \cdot 11^{18} \cdot 31^5 \cdot 37^5 \cdot 41^5 \cdot 43^5 \cdot 47^5 \cdot 53^5 \cdot 59^5 \cdot 61^5$$
と表せる．ゆえに，$P$ の正の約数の個数は以下のように計算できる．
$$(63 + 1)(2 + 1)(18 + 1)(5 + 1)^8 = \mathbf{6127239168}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc204/editorial/8639
　正の約数をちょうど $30$ 個もつ正整数 $n$ について，その正の約数のうち $k$ 番目に小さいものを $d_k$ としたとき，
$$\frac{d_1}{d_{16}} = \frac{d_2}{d_{17}} = \cdots = \frac{d_{15}}{d_{30}}, \quad d_7 \lt 123 \lt d_8$$
がともに成り立ち，さらに $d_{16}$ は合成数でした．このような $n$ としてありうるものの総積 $P$ について，$P$ の正の約数の個数を解答してください．