　与式を $m$ とおく. 座標平面上の円 $C_1,C_2$ を以下で定める：
$$C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:(x+60)^2+(y+63)^2=4$$
また, 点 $P_1,P_2$ を以下のように定めると, これらはそれぞれ $C_1,C_2$ 上を動き, $m$ は直線 $P_1P_2$ の傾きに等しい：
$$P_1:(\cos\theta,\sin\theta),\quad P_2:(-2\cos\phi-60,-2\sin\phi-63)$$
$C_1,C_2$ の位置関係より, $m$ が最大または最小になるとき, 直線 $P_1P_2$ は $C_1,C_2$ の共通内接線であることがわかる. 共通内接線は相似の中心の一方, すなわち $(-20,-21)$  を通ることから
$$mx-y+20m-21=0$$
と表せ, さらに 原点との距離が $1$ であることから
$$\displaystyle\frac{|20m-21|}{\sqrt{m^2+1}}=1\implies 399m^2-840m+440=0$$
求めるべき値はこれの $2$ 解の積であるから, 解と係数の関係より $440\/399$ であり, 解答すべき値は $\textbf{839}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/editorial/1908
　私が test していた時の解法を載せておきます．

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　（前半）与式の分母，分子をそのまま $x$ 座標，$y$ 座標としても解くことができます．

- 与式は $xy$ 座標平面上で $(0,0)$ と以下の点を結ぶ直線の傾きに等しい：
$$(\cos\theta + 2\cos \phi + 60, \sin\theta + 2\sin\phi + 63)$$
また，この点は以下の点を中心とする半径 $1$ の円の周上を動く：
$$(2\cos\phi + 60, 2\sin\phi + 63)$$
さらにこれは $(60,63)$ を中心とする半径 $2$ の円の周上を動くから，結局元の点の動き得る範囲は $(60,63)$ を中心とする半径 $3$ の円から半径 $1$ の同心円を除いたものであることが分かる．これより，$(60,63)$ を中心とする半径 $3$ の円の $(0,0)$ を通る接線を引いたとき，明らかに与式は最大値・最小値を取る．
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　（後半）この場合だと求める値は三角関数を用いても求められます．ただ解説のように距離を取った方がきれいだと思います．

- $(0,0)$ と $(60,63)$ を結ぶ直線と $x$ 軸のなす角を $\alpha$ とし，上記の接線とこの直線のなす角を $\beta$ とすれば，二接線の傾きは $\tan(\alpha+\beta), \tan(\alpha-\beta)$ であるから，加法定理より求める値は
$$\begin{aligned}
\tan(\alpha+\beta)\tan(\alpha-\beta)&= \left(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\right)\left(\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\right) \\\\
&= \frac{\tan^2 \alpha - \tan^2\beta}{1-\tan^2\alpha\tan^2\beta}
\end{aligned}$$
これに $\tan^2\alpha=441\/400, \tan^2\beta=1\/840$ を代入することで，求める値は $440\/399$ であり，解答すべき値は $\textbf{839}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/editorial/1908/60
$\dfrac{\sin \theta+2\sin \varphi+63}{\cos \theta+2\cos \varphi+60}=a$ とすると，$$\sin \theta+2\sin \varphi+63=a(\cos \theta+2\cos \varphi+60)$$
$$(\sin \theta-a\cos \theta)+2(\sin \varphi-a\cos \varphi)=60a-63$$
ここで，$\sin \theta-a\cos \theta$ の最大値は $\sqrt{1+a^2}$，最小値は $-\sqrt{1+a^2}$ なので，$\dfrac{\sin \theta+2\sin \varphi+63}{\cos \theta+2\cos \varphi+60}=a$ を満たす $\theta, \varphi$ が存在する条件は
$$-3\sqrt{1+a^2}\leq 60a-63\leq 3\sqrt{1+a^2}$$
であり，さらにこれは $(20a-21)^2\leq 1+a^2$，つまり $399a^2-840a+440\leq 0$ と変形でき，最大値と最小値の積はこれの等号を満たす $2$ つの値の積に等しいので，$\dfrac{440}{399}$，つまり解答すべき値は $\textbf{839}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/editorial/1908/172
　$\theta,\phi$ が実数全体を動くとき, 以下の式のとり得る最大値と最小値の**積**を求めてください：
$$\displaystyle\frac{\sin\theta+2\sin\phi+63}{\cos\theta+2\cos\phi+60}$$
ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.