　三角形 $BDF$ の内心を $I$ とおくと，直線 $AD, BE, CF$ は $I$ で交わる．また $\angle BAC =\angle IAC$ および $\angle BCA = \angle ICA$ より，直線 $AC$ に関して $I$ を対称移動させた点は $B$ である．同様に直線 $CE, EA$ に関して $I$ を対称移動させた点はそれぞれ $D, F$ である．とくに $I$ は三角形 $ACE$ の垂心なので，$O$ を始点とした $A, C, E$ の位置ベクトルを $\vec{a}, \vec{c}, \vec{e}$ とおくと $\overrightarrow{OI} = \vec{a} + \vec{c} + \vec{e}$ となる．すると，
$$\begin{aligned}
1111 &= AB^2+BC^2+CD^2+DE^2+EF^2+FA^2 \\\\
&= 2(AI^2+CI^2+EI^2) \\\\
&= 2|\vec{c}+\vec{e}|^2+2|\vec{e}+\vec{a}|^2+2|\vec{a}+\vec{c}|^2 \\\\
&=4|\vec{a}|^2+4|\vec{c}|^2+4|\vec{e}|^2+4 \vec{c} \cdot \vec{e}+4 \vec{e} \cdot \vec{a}+4 \vec{a} \cdot \vec{c} 
\end{aligned}$$
であるから，
$$\begin{aligned} 
OI^2 &= |\vec{a}+\vec{c}+\vec{e}|^2 \\\\
&=  |\vec{a}|^2+|\vec{c}|^2+|\vec{e}|^2+2 \vec{c} \cdot \vec{e}+2 \vec{e} \cdot \vec{a}+2 \vec{a} \cdot \vec{c} \\\\
&= \frac12 \cdot 1111 - 3 \cdot 13^2 \\\\
&= \frac{97}{2}
\end{aligned}$$
と求められる．$I$ は三角形 $BDF$ の内心でもあるから，オイラーの定理より三角形 $BDF$ の内接円の半径 $r$ は 
$$r = \frac{13^2 - OI^2}{2 \cdot 13} = \dfrac{241}{52}$$ であり，解答すべき値は $\textbf{293}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce010/editorial/6640
任意の点 $P$ について $AP^2+CP^2+EP^2$ を $S(P)^2$ と表すとする．\
三角形 $ACE$ の外心，垂心，重心を $O,H,G$ とすると $H$ は三角形 $BDF$ の内心に一致する．\
---
**補題**　任意の点 $X$ について $XH^2+2XO^2=3XG^2+6OG^2$．\
**証明**　スチュワートの定理より従う．
---
補題より $X=A,C,E$ を足し合わせて，
$$S(H)^2+2S(O)^2=3S(G)^2+18OG^2=(AC^2+CE^2+EA^2)+2OH^2$$
ここで，$AB=AF=AH$ (有名事実)などより $$S(H)^2=\frac{1}{2}(AB^2+BC^2+CD^2+DE^2+EF^2+FA^2)=\frac{1111}{2}$$
また $S(O)^2=3\cdot 13^2=507$ である．\
$AC^2+EH^2=(2AO)^2$ (有名事実)などより
$$AC^2+CE^2+EA^2=3\cdot 26^2-AH^2-CH^2-EH^2=2028-\frac{1111}{2}=\frac{2945}{2}$$
であるため，
$$2OH^2=\frac{1111}{2}+2\cdot 507-\frac{2945}{2}=97$$
あとは公式解説と同じである．
スチュワートの定理を使う方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omce010/editorial/6640/741
　一般に，三角形 $ABC$ に対し，外心を $O$ とし，外接円半径を $R$ とし，内接円半径を $r$ とする．このとき，$O$ から $BC,CA,AB$ に下ろした垂線の符号付長さを $a,b,c$ とすると，$a+b+c=R+r$ が成り立つ．ただし，垂線の符号付長さはの符号は，その垂線全体が三角形 $ABC$ の外部にあるときのみ負と定める．  
 (これは，カルノーの定理と呼ばれている性質であり，三角形 $ABC$ が鋭角三角形のときについては，ちぇんさんの記事 『https:\/\/mathlog.info\/articles\/2581 』 にエレガントな証明が載っています．)  
 
　以下，三角形 $BDF$ の外接円半径を $R$ とし，内接円半径を $r$ とし，$\angle{DBF}=B,\angle{BDF}=D,\angle{BFD}=F$ とおく．  
$ED=EF=2R\sin{\dfrac{\angle{EOF}}{2}}=2R\sin{\dfrac{B}{2}}$ であり，同様に，$AF=AB=2R\sin{\dfrac{D}{2}}$ および $CB=CD=2R\sin{\dfrac{F}{2}}$ となるので，$${AB}^2+{BC}^2+\cdots+{FA}^2=8R^2\Big(\sin^2{\dfrac{B}{2}}+\sin^2{\dfrac{D}{2}}+\sin^2{\dfrac{F}{2}}\Big)=1111$$   
ここで，カルノーの定理より，$R+r=R(\cos{B}+\cos{D}+\cos{F})$ となるので，$$r=R(\cos{B}+\cos{D}+\cos{F}-1)=R\Big(1-2\sin^2{\dfrac{B}{2}}+1-2\sin^2{\dfrac{D}{2}}+1-2\sin^2{\dfrac{F}{2}}-1\Big)=2R-\dfrac{1111}{4R}=26-\dfrac{1111}{52}=\dfrac{241}{52}$$ であり，特に，解答すべき数値は $\textbf{293}$．
カルノーの定理の利用
https://onlinemathcontest.com/contests/omce010/editorial/6640/742
　半径 $13$ の円に内接する六角形 $ABCDEF$ は $BC=CD, DE=EF, FA=AB$ および
$$ AB^2+BC^2+CD^2+DE^2+EF^2+FA^2= 1111 $$ 
を満たしています．三角形 $BDF$ の内接円の半径は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．