　$1$ つの目の条件について, 和としてあり得るものは $7$ 以上 $195$ 以下であり, それぞれについて場合の数は
$${}\_{3}\mathrm{C}\_{3},{}\_{3}\mathrm{C}\_{3},{}\_{4}\mathrm{C}\_{3},{}\_{4}\mathrm{C}\_{3},\cdots,{}\_{49}\mathrm{C}\_{3},{}\_{49}\mathrm{C}\_{3},{}\_{50}\mathrm{C}\_{3},{}\_{49}\mathrm{C}\_{3},{}\_{49}\mathrm{C}\_{3},\cdots,{}\_{3}\mathrm{C}\_{3},{}\_{3}\mathrm{C}\_{3}$$
と推移することがわかる. したがって, これらの総和は
$$ 4\times({}\_3\mathrm{C}\_3+\cdots+{}\_{49}\mathrm{C}\_{3})+{}\_{50}\mathrm{C}\_{3}=\frac{4}{3!}\times\sum\_{n=1}^{49}n(n-1)(n-2)+{}\_{50}\mathrm{C}\_{3}=\textbf{940800} $$
　なお, 実際には ${}\_3\mathrm{C}\_3+\cdots+{}\_{49}\mathrm{C}\_{3}={}\_{50}\mathrm{C}\_{4}$ を使うと早いだろう.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc065/editorial/2161
　$100$ 以下の正整数の組 $(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6})$ であって, 以下の条件をみたすものはいくつありますか？
- $a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}$ 
- $a_{1}\lt a_{3}\lt a_{5}\lt a_{6}\lt a_{4}\lt a_{2}$