　$\angle ABC=\angle FDE=2\angle FBD$ より, $BF$ は $\angle ABC$ を二等分する. 同様に $CF$ は $\angle ACB$ を二等分するから, $F$ は三角形 $ABC$ の内心であることがわかる. $AF$ と $BC$ の交点を $G$ とすると, 余弦定理より
　　$$ \dfrac{AB^2+AG^2-BG^2}{2\times AB\times AG}=\dfrac{AC^2+AG^2-CG^2}{2\times AC\times AG} $$
　さらに角の二等分線定理より $BG:GC=1:2$ かつ $AF:FG=AB:BG$ であるから, 以上を連立させて解くことで $BC=9\/2$ を得る. すなわち, 求める値は $9+2=\textbf{11}$ である.\
　なお余弦定理の代わりに, $CG$ の中点を $M$ とし, 三角形 $ABM$ および $ACG$ においてそれぞれ中線定理を適用することによっても解くことができる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc016/editorial/102
$F$ が内心までの部分は公式解説と同様です. 以下，公式解説では計算が面倒ですが，[この構図](https:\/\/twitter.com\/Geometry_bot_\/status\/1581546433110429696?s=20&t=M1-lOs8gtrGzAF1_HEqFGg) を使うことで計算が楽になります. 

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三角形 $ABC$ の外接円と $AF$ の交点を $M(\neq A)$ とすると，[この構図](https:\/\/twitter.com\/Geometry_bot_\/status\/1581546433110429696?s=20&t=M1-lOs8gtrGzAF1_HEqFGg) より
$AB×AC=AM^2-BM^2$ であり，さらに $AM-BM=AF=\sqrt 6$，$AB×AC=18$ を代入することで $AM=2\sqrt 6，BM=\sqrt 6$ となる. したがって，Ptolemy の定理より，$\sqrt 6(AB+AC)=2\sqrt 6\cdot BC$ から $BC=\dfrac{9}{2}$ となり，したがって解答すべき値は $\textbf{11}$.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc016/editorial/102/175
　三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上の点 $D,E$ について $B,D,E,C$ はこの順に並んでおり, $D$ を通り $AB$ に平行な直線と $E$ を通り $AC$ に平行な直線の交点を $F$ とします. 以下が成立するとき, $BC$ の長さを求めてください.
$$BD=DF,\ CE=EF,\ AB=3,\ AC=6,\ AF=\sqrt{6}$$
　ただし, 答えは最大公約数が $1$ であるような正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.