　求める最小値は $1\/12$ であることを示す. 例えば以下の場合を考えることで $c\geq 1\/12$ がわかる. $$ (x,y,z)=\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6},\frac{3-\sqrt{3}}{6},0 \right) $$
　$x=y=z=0$ のとき, 不等式は常に成立するから, 以下 $x+y+z\gt 0$ とする. このとき, 与式は斉次式であることに留意すれば, $x+y+z=1$ の場合に帰着してよい. すなわち, 以下を最大化すればよい.
$$ x^4(1-x)+y^4(1-y)+z^4(1-z) $$
一般性を失わず $x\geq y\geq z$ とする. ここで $f(x)=x^4(1-x)$ について, $f^{\prime\prime}(x)=4x^2(3-5x)$ より, $f(x)$ は $0\leq x\leq 3\/5$ の範囲で下に凸である. したがって, $y+z\leq1\/2\leq3\/5$ および $f(0)=0$ に留意すれば, 以下の不等式の成立がわかる：
$$ f(y)+f(z)\leq f(y+z)=(1-x)^4x$$
さらに以下より, $c=1\/12$ で常に不等式が成り立つことが示された.
$$ x^4(1-x)+(1-x)x^4=\frac{1}{3}(3x(1-x))(1-3x(1-x))\geq \frac{1}{3}\times\frac{1}{4}$$
ただし最後で相加・相乗平均の関係を用いた. 以上より, 解答すべき値は $\textbf{13}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1894
　任意の非負実数の組 $(x,y,z)$ について, 以下の不等式が成り立つような定数 $c$ の最小値を求めてください：
$$ c(x+y+z)^5\geq x^4(y+z)+y^4(z+x)+z^4(x+y) $$
ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.