　実数 $0 \lt s, t \lt 1$ により  $AP : PB = s : 1-s$，$AS : SD = t : 1-t$ とおく．このとき $AC \parallel PQ$ より $BQ : QC = 1-s : s$ であり，同様に $DR : RC = 1-t : t$ がわかる．いま，
$$ \begin{aligned}
89 &= \triangle APS = st \triangle ABD = 617 st, \\\\
656 &= \square APCS = \triangle APC + \triangle ASC = 617(s+t)
\end{aligned}$$
より $st = \dfrac{89}{617}$ および $s+t = \dfrac{656}{617}$ を得る．求めるべき値は，
$$ (\triangle CPR - \triangle CQS)^2 = (617t - 617s)^2 = 617^2 ((s+t)^2 - 4st) = \textbf{210684} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023/editorial/2795
　平行四辺形 $ABCD$ の辺 $AB, BC, CD, DA$ 上（端点を除く）にそれぞれ点 $P, Q, R, S$ があり，$PQ \parallel AC \parallel RS$ をみたしています．平行四辺形 $ABCD$ の面積が $1234$，三角形 $CPS$ の面積が $567$，三角形 $APS$ の面積が $89$ であるとき，三角形 $CPR$ と三角形 $CQS$ の面積の差の $2$ 乗を求めてください．