　半径 $6$ の円の中心を $A$，半径 $12$ の円の中心を $B,C$ とし，$3$ つの円が内接する円の中心を $O$，半径を $6x$ とする．このとき $AO = 6\left(x - 1\right)\mathclose{},\\, BO = 6\left(x - 2\right)$ である．また
$$AB = AC = 6 + 12 = 18,\quad BC = 12 + 12 = 24$$
であり，直線 $AO$ が線分 $BC$ と $BC$ の中点 $M$ で交わることから
$$ AM = \sqrt{18^2 - \left(\frac{24}2\right)^2} = 6\sqrt5,\quad OM = \left| 6\sqrt5 - 6\left(x - 1\right) \right| =  6\left|\sqrt5 + 1 - x\right|\mathclose{}.$$
　したがって，三角形 $BOM$ において三平方の定理より
$$ \left(x - 2\right)^2 = \left(\sqrt5 + 1 - x\right)^2 + \left(\frac{12}6\right)^2 \implies x = 2 + \sqrt5 $$
となり，求める半径は $6\left(2 + \sqrt5\right) = 12 + \sqrt{180}$，すなわち解答すべき値は $\mathbf{192}$ である．\
　なお， 円 $A$ と円 $O$ の接点において反転してもよい．これらの結果はDescartesの円定理として一般化され，
$$ \left(\frac16 + \frac1{12} + \frac1{12} - \frac1{6x}\right)^2 = 2 \left(\left(\frac16\right)^2 + \left(\frac1{12}\right)^2 + \left(\frac1{12}\right)^2 + \left(-\frac1{6x}\right)^2\right) $$
が今回の状況では成立する．$x \gt 0$ を考慮すれば確かに $x = 2 + \sqrt5$ が分かる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3486
　反転をすることで計算量を少し減らすことができるかもしれません．せっかくなので公式解説とは違うところで反転してみましょう．途中一部茶番があるので苦手な方はスルーしてください．

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　さて，とりあえず[図](https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1aIwEe_Zm9kW-FGKKI6aB3WPr83tZ_jQx\/view)のように各点に名前を付けておきます．

　二円の接点を中心に反転を行うとその円たちが平行線になって嬉しくなりがちなので，対称性も利用できそうな点 $P$ で反転することを考えます．反転円の半径は $24$ にしておきましょうか．

　すると[こう](https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1E3DPCt3J2NdECUee46vml3b7_vSFHf37\/view)なります．

<details>
<summary>図を作る順番<\/summary>

- 円 $B$ が $S$ での接線にうつる
- 円 $C$ が $T$ での接線にうつる
- $Q$ が $PQ$ と $T$ での接線の交点 $Q^\prime$ にうつる
- $R$ が $PR$ と $S$ での接線の交点 $R^\prime$ にうつる
- 円 $A$ が $Q^\prime R^\prime$ を直径とする円にうつる（これはやや非自明かもしれません，円 $A$ が円 $B$ および円 $C$ と接していることから従います）

<\/details>

　**（背景事実：この解説を書いている人はこのとき誤読をしていました．これ以降は注意しながら読んでください．）**

　元の円はどこに移るんでしょうか？円 $A^\prime$ の上に[ぴったりつくところ](https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1hwFbCa732Tvw9Hhn5v9wl1a9x0no_BOO\/view)ですね．

<details>
<summary>なぜ？<\/summary>

とりあえず直線 $R^\prime S,Q^\prime T$ および円 $A^\prime$ には接していてほしくて，さらに点 $P$ から見たときに円 $A^\prime$ よりも遠くにあってほしいからです．

<\/details>

　この円の中心は $O^\prime$ という名前にしておきます．あと良い感じにその直径 $X^\prime Y^\prime$ も取っておきます．

　ここまできたらもう計算をするだけです．$PX^\prime$ の長さと $PY^\prime$ の長さを求めればいいですね．

<details>
<summary>計算<\/summary>

- $\triangle ARQ\sim \triangle ABC$ より $RQ=8$ ．
- $M$ を $RQ$ の中点とするとその相似などから $PM=4\sqrt5$ ．
- $\triangle PQR\sim \triangle PQ^\prime R^\prime$ （相似比は $1:6$ ですね）より $PA^\prime=24\sqrt5$ ． 
- よって $PX^\prime=24\sqrt5+24,PY^\prime=24\sqrt5+72$ ．

<\/details>

　$X^\prime,Y^\prime$ が反転で戻る先をそれぞれ $X,Y$ とすると，$PX^\prime=24\sqrt5+24,PY^\prime=24\sqrt5+72$ より
$$PX=\frac{24^2}{24\sqrt5+24}=6\left(\sqrt5-1\right),PY=\frac{24^2}{24\sqrt5+72}=6\left(3-\sqrt5\right)$$
となります．ここで $XY$ は求める円の直径ですから，その半径は $6\left(2-\sqrt5\right)$ と分かりました！...ん？解答形式に合いませんね...

（5時間後）

　.......問題文をよく見たら**円に内接**ではなくて**円が内接**でした！まあ符号が全部入れ替わるだけなのでどうせ答えは $6\left(2+\sqrt5\right)$ でしょうから $\boxed{192}$ と提出！すると $\boxed{\large\textcolor{green}{\mathscr{CA}}}$ がもらえます．
はんてんっ！
https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3486/591
　半径 $6$ の円が $1$ つと 半径 $12$ の円が $2$ つあり，それぞれ互いに外接しています．これらの円がすべて内接する円の半径は正整数 $a, b$ を用いて $a + \sqrt b$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．