　$\\{a_n\\}$ について，$na_{n+1}=(n+2)a_n$ すなわち
$$\frac{a_n}{n(n+1)}=\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}$$
$\\{b_n\\}$ についても同様に考えることで，以下の成立がわかる．
$$a_n=2n(  n+1),\quad b_n=\dfrac{2\times 10000}{n(n+1)}$$
ここで $x+\dfrac{10000}{x}$ は $x=\sqrt{10000}=10^2$ で極小値をとることに注意すれば，
最小値を与える $n$ の候補は $n=9,10$ に絞られ，実際に比較することで $n=10$ のとき最小値 $a_{10}+b_{10}=\dfrac{4420}{11}$ をとる．解答すべき値は $\textbf{4431}$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc107/editorial/3220
　数列 $\\{a_n\\},\\{b_n\\}$ が, $a_1=4,b_1=10000$ および $n=1,2,\ldots$ に対し以下を満たします.
$$n(a_{n+1}-a_n)=2a_n,\quad n(b_{n+1}-b_n)=-2b_{n+1}$$
このとき, $a_n+b_n$ の最小値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．