　一般に $4N = 240$ とする. まず, 以下の一連の操作によって, 区別できない $4N-1$ 個の白い球, $1$ 個の青い球, $2N$ 個の赤い球を一列に並べ, 数を書き込むことを考える：

- はじめに $2N+1$ 個の赤い球を並べ, 左から偶数番目に置かれたもの $N$ 個のうち $1$ つを選んで青に塗り替える.
- 次に, 赤い球同士が隣り合う場所 $2N-2$ 箇所と, 右端 $1$ 箇所の計 $2N-1$ 箇所に $1$ つずつ白い球を置く.
- 残った $2N$ 個の白い球を好きな位置に置く.
- 最後に, 白い球と青い球の合計 $4N$ 個に対し, $1$ 以上 $4N$ 以下の整数を重複なく $1$ つずつ書き込む.
- ただし, 奇数は赤い球の右隣に, 偶数はその他の場所に書き込むものとする. 

このような場合の数は以下で与えられることが容易にわかる：
$$
N\times\binom{4N+1}{2N}\times \lbrace(2N)!\rbrace^2 = \frac{N}{(2N+1)} (4N+1)!
$$
以下, この値が $S$ に等しいことを示す. 以下で与えられる数列
$$
0,\~p_1,\~p_1+p_2,\~\dots,\~p_1+p_2+\cdots+p_{4N}
$$
において, 第 $i-1$ 項と第 $i$ 項の偶奇が反転するのは, $p_i$ が奇数のときである. 白い球と青い球に書かれた数が左から $p_1,p_2,\dots,p_{4N}$ となるような球の並べ方を考えると, 赤い球は反転が起こる箇所と対応しており, 青い球より左にある赤い球の個数は必ず奇数であることから, その並べ方は順列 $p_1,p_2,\dots,p_{4N}$ のスコアの個数だけ存在する. よって, 確かにこれは $S$ に等しいことがわかる. 以上より, $N=60$ のとき, 特に $S$ は以下で与えられる：
$$S=\frac{60}{121} \times 241!$$
$X, Y$ は Legendre の定理よりそれぞれ $238, 117$ となり, 解答すべき値は特に $238 \times 117 = \mathbf{27846}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/2176
　$4n=240$ とする．$2n$ 個ずつの $0$ と $1$ の並べ替え $(a_1,\dots,a_{4n})$ についてスコアを同様に定め，その総和を $T$ とすれば $S=((2n)!)^2T$ である．\
　ここで $a_1+\dots+a_i$ が奇数となる組の個数は次で与えられる．ただし $0\leq b\leq a$ でないとき $\binom{a}{b}=0$ とする．
$$\sum_{k:odd}\binom{i}{k}\binom{4n-i}{2n-k}$$
これは次の多項式の $x^{2n}$ の係数と一致する．
$$\frac{1}{4}\bigl((1+x)^i-(1-x)^i\bigr)\bigl((1+x)^{4n-i}-(1-x)^{4n-i}\bigr)$$

よって $T$ は次の多項式の $x^{2n}$ の係数と一致する．
$$\begin{aligned}
&\quad\frac{1}{4}\sum_{i=0}^{4n}\bigl((1+x)^i-(1-x)^i\bigr)\bigl((1+x)^{4n-i}-(1-x)^{4n-i}\bigr)\\\\
&=\frac{1}{4}\Bigl((4n+1)\bigl((1+x)^{4n}+(1-x)^{4n}\bigr)-\frac{(1+x)^{4n+1}-(1-x)^{4n+1}}{x}\Bigr)
\end{aligned}$$
計算すれば $T=\dfrac{(4n+1)!}{2(2n+1)!(2n-1)!}$ より $S=\dfrac{n(4n+1)!}{(2n+1)}$ が得られる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/2176/56
　奇数が左から順に $a_1,a_2,\cdots,a_{120}$ 番目に並んでいるとき，スコアは $-a_1+a_2-a_3+a_4-\cdots-a_{119}+a_{120}$ である．\
 また，$a_{k}$ の期待値は $a_k=\dfrac{241k}{121}$ となる．(詳しい理由はOMC078(F)のユーザー解説を参照)\
 よって，スコアの期待値は $\dfrac{241}{121}(-1+2-3+4-\cdots-119+120)=\dfrac{241\times60}{121}$ であるから， $S=\dfrac{241\times60}{121}\times240!$ \
ルジャンドルの定理より， $X=238,Y=117$ となり， $XY=\textbf{27846}$
k番目に小さな値の期待値の公式の利用
https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/2176/57
　$1,2,\dots,240$ を並べ替えてできる順列 $p_1,p_2,\dots,p_{240}$ について，その**スコア**を，$p_1+p_2+\cdots+p_i$ が奇数であるような $i$ の個数と定めます．$240!$ 通りの順列すべてについてのスコアの総和を $S$ としたとき，$S$ が $2$ で割り切れる回数の最大値 $X$ と，$S$ が $3$ で割り切れる回数の最大値 $Y$ について，その**積** $XY$ を解答してください．