　まずは次の補題を示す．

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**補題．** $4$ 点 $I,J,D,X$ は同一円周上にある．
<details><summary> **証明**<\/summary>
　線分 $DH,DE,DF$ の中点を $L,M,N$ とすると中点連結定理より，この $3$ 点は同一直線上にあり，次の角度計算により，$4$ 点 $I,L,K,J$ が同一円周上にあることがわかる．
$$\angle JLI = \angle JHG = 90^\circ - \angle JGK = \angle JKI$$
ここで，$\omega$ による反転を考えると，直線 $MN$ は三角形 $IBC$ の外接円に移り，円 $I,L,K,J$ は直線 $JK$ に移る．これと，$X,Y$ の位置関係より，点 $L$ は点 $X$ に移ることがわかる．したがって $3$ 点 $I,L,X$は同一直線上にあり，次が成り立つ．
$$IJ^2=ID^2=IL\cdot IX$$
よって $4$ 点 $I,J,D,X$ は同一円周上にある．$\square$
<\/details>

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　補題から，簡単な角度計算により，三角形 $IBC,JFE$ は相似であり，かつ三角形 $IDX,JHK$ も相似である．よって四角形 $IBXC,JFKE$ は相似であり，
$$IX:JK=BC:FE=3:1$$
がしたがう．また，次の角度計算により，$\angle JIY=90^\circ$ が示される．
$$\angle JYI+\angle IJY=\angle ICX +(90^\circ -\angle JEY)=90^\circ$$
よって線分 $JK$ の中点を $P$ とすれば，$\angle IPJ=90^\circ$ より次が成り立つ．
$$JP\cdot JY=JI^2$$
以上より，$JK=2x, ~ IX=6x$ とおくことができ，次が成り立つ．
$$\begin{aligned}
(6x)^2&=XL\cdot XI+IL\cdot IX\\\\
&=XK\cdot XJ+IJ^2\\\\
&=XK\cdot XJ+JP\cdot JY\\\\
&=11(2x+11)+x(2x+2)
\end{aligned}$$
この $x$ についての $2$ 次方程式を解くことで，$IX=6x=\dfrac{36+\sqrt{38322}}{17}$ を得るので，特に解答すべき値は $\mathbf{38375}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/8527
　四角形 $FBCE$ の Miquel 点（三角形 $ABC$ の $\angle A$ に関する sharky devil 点）を $Q$ とする．いま，角度計算から $[Q, F, H, E, J]$ と $[Q, B, D, C, I]$ は相似である．ここで，以下の補題を示す．
<details>
<summary>
この相似において $K$ と $X$ は対応する．
<\/summary>
$K$ に対応する点 $Z$ を取る．相似において $\omega$ と円 $IBC$ は対応するから，$Z$ は円 $IBC$ 上にある．また，$\angle QDH=\angle QIJ$ が回転相似から得られ，よって $Q, J, I, D$ は共円．これと $A, Q, F, I, E$ の共円から，$QI, JD, FE$ は共点．よって $$\angle JQH=\angle JDI=\angle JKH$$ より，$Q, J, H, K$ は共円．したがって，$\angle QKJ=\angle QHJ$．いま，三角形 $QKZ$ と $QHD$ は相似だから，$Z$ は直線 $JK$ 上にあり，位置関係を考えて $Z=X$．
<\/details>

したがって，$\angle QXK=\angle QDJ$ より $X$ は円 $QJID$ 上にあるから，以下公式解説同様．
提出時の解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/8527/764
　線分 $JK$ の中点を $P$，円 $ABC$ の $A$ を含まない弧 $BC$ の中点を $R$ とすると，公式解説と同様の議論から $\triangle IJK\sim \triangle RIX$ がわかる．
$$\angle KIP=\frac{1}{2}\angle JIK=\frac{1}{2}\angle IRX=\angle IYP$$
から $\triangle IKP\sim \triangle YIP$ なので，$KP=x$ とおくと
$$IX^2=(6x)^2=IP^2+PX^2=x(x+2)+(x+11)^2$$
　これを解くことで $IX$ の長さが求まる．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/8527/768
　$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ について内心を $I$，内接円を $\omega$ とします．$\omega$ と辺 $BC, CA, AB$ の接点を $D, E, F$ とし，$I$ について $D$ と対称な点を $G$ とします．$D$ から線分 $EF$ に下ろした垂線と線分 $EF,\omega$ の交点をそれぞれ $H, J ~ (\neq D)$ として，直線 $GH$ と $\omega$ の交点を $K ~ (\neq G)$ とします．すると，直線 $JK$ が三角形 $IBC$ の外接円と相異なる $2$ 点 $X, Y$ で交わり，さらに以下が成り立ちました．
- $4$ 点 $J, K, Y, X$ はこの順に並び，$KY=2, ~ YX=9$ が成り立つ．
- $EF:BC=1:3$ が成り立つ．
- $Y$ は三角形 $ABC$ の内部にある．

このとき，線分 $IX$ の長さは $a, c$ が互いに素であるような正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．