　与式を変形すると，以下のようになる．
 $$
\begin{aligned}
\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}-\dfrac{2y}{x}+\dfrac{2z}{y}+\dfrac{3x}{z}& =\left(\dfrac{y}{x}-\dfrac{z}{y}\right)^2+\dfrac{2z}{x}-2\left(\dfrac{y}{x}-\dfrac{z}{y}\right)+\dfrac{3x}{z}\\\\
& =\left(\dfrac{y}{x}-\dfrac{z}{y}-1\right)^2-1+\dfrac{2z}{x}+\dfrac{3x}{z}
\end{aligned}
 $$
また，相加相乗平均の不等式により，
 $$
\dfrac{2z}{x}+\dfrac{3x}{z}\geq2\sqrt6
 $$
となるので，最小値は $2\sqrt{6}-1$ とわかる．
等号は，
 $$
y=\dfrac{\sqrt{1+2\sqrt6}}{2}x ,\quad z=\dfrac{\sqrt3}{2}x
 $$
の時に成り立つ．
よって解答すべき値は $\mathbf{25}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/11286
まず、$a$ と $b$ は正の実数とし、次のように設定します：

$$\frac{y}{x} = a,\frac{z}{y} = b$$


元の式は、次の形に等しくなります：  

$$a^2 + b^2 - 2a + 2b + \frac{3}{ab}$$ 

この式の最小値を求めます。
  
偏微分

 $$\frac{∂}{∂a} (a^2 + b^2 - 2a + 2b + \frac{3}{ab}) = 0$$

$$\frac{∂}{∂b} (a^2 + b^2 - 2a + 2b + \frac{3}{ab}) = 0 $$ で極値点を求めます。このとき、

$$2a - 2 - \frac{3}{ba^2} = 0$$ 

$$2b + 2 - \frac{3}{ab^2} = 0$$ となります。  

通分して整理すると、
$$2a^3b - 2a^2b = 3$$
$$2b^3a + 2b^2a = 3 $$
となり、  
$$2a^2b(a - 1) = 2ab^2(b + 1)$$ です。ここから整理して$$ a^2 - a = b^2 + b $$になるため、$$a - b = 1$$ です。

この条件を元の式に代入して$$ 2a^2 {(a - 1)}^2 = 3 $$のときに最小値が得られます。

このとき、元の式は次のようになります：  

$$a^2 + (a - 1)^2 - 2a + 2(a - 1) + \frac{3}{a(a - 1)} = 2a^2 - 2a - 1 + \frac{3}{a(a - 1)}$$
  
$$a(a - 1) = \sqrt{\frac{3}{2}}= \frac{\sqrt{6}}{2} $$ であることに注意すると、元の式は $$2\sqrt{6} - 1$$ となります。

このとき、$a = 24, b = 1, a + b = 25$ です。
偏微分法を使用する
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/11286/701
　正の実数 $x , y , z$ について，
 $$
\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}-\dfrac{2y}{x}+\dfrac{2z}{y}+\dfrac{3x}{z}
 $$
の最小値を求めてください．
ただし求める値は正の整数 $a , b$ を用いて， $\sqrt{a}-b$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．