　$\angle PQR = \angle PBR = 90^\circ$ より $4$ 点 $P, Q, R, B$ は共円．よって円周角の定理より，$ \angle ABQ = \angle CBQ = 45^\circ$ が従う. 特に $BQ$ は $\angle ABC$ の二等分線のため，
$$AB : BC = AQ : QC = 5 : 12$$ 
が得られるから，三平方の定理より
$$AB = \frac{85}{13}, \quad BC = \frac{204}{13}$$ 
を得る．ここで，半直線 $RB$ 上に $RX = PC$ となる点 $X$ を取る．すると $\triangle QRX \equiv \triangle QPC$ から $QX = 12$ であり，
$$\angle AQX = \angle AQR + \angle RQX = \angle AQR + \angle PQC = 90^\circ$$
であることから三平方の定理より, $AX = 13$ が得られる．よって，
$$AR + CP = AR + RX = AX = 13$$
なので，$PB + BR = \dfrac{120}{13}$ が分かる．三角形 $PBR$ の周長が $17$ であることから $PR = \dfrac{101}{13}$ なので，$PB = a, ~ BR = b$ とおくことで，
$$a+b = \dfrac{120}{13}, \quad a^{2} + b^{2} = \dfrac{10201}{169}$$ 
が得られる．三角形 $PBR$ の面積は
$$\dfrac{ab}{2} = \dfrac{(a+b)^{2} - (a^{2} + b^{2})}{4} = \dfrac{323}{52}$$
となり，解答すべき値は $\mathbf{375}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc236/editorial/10474
　点 $Q$ から辺 $AB,BC$ への垂線の足をそれぞれ点 $X,Y$ とする．このとき，四角形 $BXQY$ は長方形であり，$\triangle PQX \equiv \triangle RQY$ より $PQ=RQ$．よって，四角形 $BXQY$ は正方形である．

　ここで，$BQ$ は正方形 $BXQY$ の対角線より， $\angle ABC$ の二等分線であるので，
$$AB:BC=5:12$$
　であり，三平方の定理および $\triangle ABC$ と $\triangle AXQ$ の相似から以下が従う．
$$XQ=YQ=\dfrac{60}{13},\quad BQ=\dfrac{60 \sqrt{2}}{13}$$

　$\angle PQR = \angle PBR = 90^\circ$ より $4$ 点 $P,Q,R,B$ は共円であり，$PR=t$ としてトレミーの定理より以下が成立．

$$BP \times \dfrac{t}{\sqrt{2}} + BR \times \dfrac{t}{\sqrt{2}} = \dfrac{60}{13} \times t$$
$$(17-t)\dfrac{t}{\sqrt{2}} = \dfrac{60}{13}t$$

　$t \gt 0$ より $t=\dfrac{101}{13}$．以上より三角形 $PBR$ の面積は以下のように計算できる：

$$\dfrac{BP \times BR}{2}=\dfrac{(BP+BR)^2-(BP^2+BR^2)}{4}=\dfrac{(17-t)^2-t^2}{4}=\dfrac{323}{52}$$

　解答すべき値は $\mathbf{375}$ である．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc236/editorial/10474/734
　$\angle ABC = 90^\circ$ である三角形 $ABC$ の辺 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ を取ったところ, 
$$PQ = QR, \quad \angle PQR = 90^\circ, \quad AQ = 5, \quad QC = 12$$
が成立しました．さらに三角形 $PBR$ の周長が $17$ であるとき，三角形 $PBR$ の面積を求めてください，ただし，答えは互いに素な正整数 $a, b$ によって $\dfrac{b}{a}$ と表されるため，$a+b$ の値を解答してください．