　$\big(4^{\sin{\alpha}}\big)^{\cos{\alpha}} =  2^{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = 2^{\sin{2\alpha}}$ が成り立つから，条件は $\sin{2\alpha}=\dfrac{1}{2}$ と同値である．このとき，非負整数 $n$ を用いて $2\alpha = \biggl(\dfrac{1}{6} + 2n\biggr) \pi$ または $2\alpha = \biggl(\dfrac{5}{6} + 2n\biggr) \pi$ と表せるから，$\alpha$ としてありうる $20$ 番目に小さいものは $\dfrac{113}{12} \pi$ である．特に，解答すべき値は $\mathbf{125}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/OMC233/editorial/8303
　$\big(4^{\sin{\alpha}}\big)^{\cos{\alpha}} = \sqrt{2}$ をみたす正の実数 $\alpha$ のうち，小さい方から $20$ 番目にあたるものを求めて下さい．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b} \pi$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．