　方程式が $2021$ 個の負の整数解を持つから, 定数項の素因数分解を考えることで $f$ は
$$(x+1)^{2020}(x+2021),\quad (x+1)^{2019}(x+43)(x+47)$$
のいずれかである. それぞれについて $S=f(1)-2022$ を合計すると, 
$$T=(2^{2020}×2022-2022)+(2^{2019}×44×48-2022)=2^{2021}×3^4×19-4044$$
したがって, 解答すべき値は $2+2021+3+4+19=\bf2049$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/editorial/2230
　実数を係数とする $x$ の $2021$ 次方程式
$$x^{2021}+a_1x^{2020}+a_2x^{2019}+･････+a_{2020}x+2021=0$$
が, 重複を込めて $2021$ 個の負の整数解をもつような組 $(a_1, \cdots, a_{2020})$ すべてについて, $S=a_1+\cdots+a_{2020}$ の総和を $T$ とします. このとき, $T+4044$ は $a,c,e$ を相異なる素数として素因数分解の形で
$$T+4044=a^b\times c^d\times e$$
と表せるので, $a+b+c+d+e$ の値を解答してください.