　まず国が $2$ つしか無かったとし, 国 $1,2$ がそれぞれ $a,b$ 個の島を保有する場合を考える. このとき, 同国の島の間には橋を架けないという制約を課して, 条件をみたす橋の架け方の総数 $f(a,b)$ を求めよう. 

**解答1.**　国 $1$ の島 $a$ と接続する橋が存在しないとき $f(a-1,b)$ 通りで, 国 $1$ の島 $a$ と国 $2$ の島 $i$ を結ぶ橋が存在するとき $f(a-1,i-1)+1$ 通りであるから, 以下の漸化式が成立する.
　　$$f(a,b)=f(a-1,b)+f(a-1,b-1)+\cdots+f(a-1,1)+f(a-1,0)+b$$
　これより $f(a,b)=f(a-1,b)+f(a,b-1)+1$ であるから, $f(a,0)=f(0,b)=0$ と合わせて帰納的に $f(a,b)={}\_{a+b}\mathrm{C}\_{a}-1$ が成立することがわかる.

**解答2.**　$f(a,b)+1$ は, 国 $1,2$ からそれぞれ同数ずつ国を選ぶ場合の数に等しい. なぜなら, ここで選ばれた島についてそれらを橋で結ぶとき, それぞれの番号が小さい方から順に島を橋で結んでいくしかないからである. なお, 島を $0$ 個ずつ選ぶ場合を考慮するために $+1$ を行った. このとき, 国 $1$ から選ばれなかった島の数と, 国 $2$ から選ばれた島の数の和は $a$ である. 逆に, 国 $1,2$ の島 $a+b$ 個の中から任意に $a$ 個の島を選ぶことで, それに対応した同数ずつ島を選ぶ方法が得られる. したがって $f(a,b)={}\_{a+b}\mathrm{C}\_{a}-1$ が成立する.

　これより, 元の問題において, 
　　$$\displaystyle P=\prod_{K=1}^{2020} \left(\left(f(999,999)+1\right)^{K}-1\right)=\prod_{K=1}^{2020} \left({}\_{1998}\mathrm{C}\_{999}^{K}-1\right)$$
であることが容易に確認できる. まず, ${}\_{1998}\mathrm{C}\_{999}=2\cdot{}\_{1997}\mathrm{C}\_{998}$ は偶数であるから, $S=0$ である.\
　以下, $T$ を求めればよいが, ${}\_{1998}\mathrm{C}\_{999}\equiv 5\pmod{81}$ であるから, LTEの補題より
　　$$\begin{aligned}T&=v_{3}\left(\prod_{K=1}^{1010} \left(\left({}\_{1998}\mathrm{C}\_{999}^{2}\right)^{K}-1\right)\right)\\\\
　　&=\sum_{K=1}^{1010}\left(v_{3}\left({}\_{1998}\mathrm{C}\_{999}^{2}-1\right)+v_{3}(K)\right)\\\\
　　&=\sum_{K=1}^{1010}\left(1+v_{3}(K)\right)\\\\
　　&=\sum_{i=0}^{\infty} \left\lfloor\dfrac{1010}{3^i}\right\rfloor=1512\end{aligned}$$
ただし $v_p(n)$ で $n$ が $p$ で割り切れる回数を表す. 以上より $S+T=\textbf{1512}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc019/editorial/122
　$2021\times 999$ 個の島があり, 国 $1$, 国 $2$, $\cdots$, 国 $2021$ がそれぞれ $999$ 個ずつ島を保有しています. 各国が保有する島にはそれぞれ $1$ から $999$ までの番号が振られています. これらの間に, 以下の条件をみたすように橋を何本か架けます. 

- どの橋も, **相異なる**国が保有する $2$ 個の島を直接結ぶ.
- どの $2$ 個の島についても, それらの間を直接結ぶ橋は高々 $1$ 本である.
- 任意の $2$ 以上 $2021$ 以下の整数 $K$ について, ある正の整数 $K^{\prime}\lt K$ が存在し, 国 $K^{\prime}$ が保有する島と国 $K$ が保有する島を直接結ぶ橋が存在する.
- 任意の相異なる国の組 $(A,B)$ において, 国 $A$ が保有する $2$ 島 $X\lt Y$ および国 $B$ が保有する**相異なるとは限らない** $2$ 島 $Z,W$ について, $X$ と $Z$, $Y$ と $W$ がそれぞれ橋で直接結ばれているならば $Z\lt W$ である.

　このような橋の架け方としてあり得るものは $P$ 通りあります. $P$ が $2,3$ で割り切れる回数をそれぞれ $S,T$ とするとき, $S+T$ を求めてください.\
　ただし, ${}\_{1997}{\rm C}_{998}\equiv 43 \pmod{81}$ が保証されます.