三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ としたとき, 以下の成立が容易にわかる.
$$\begin{aligned}r=\frac{AB+AC-BC}{2}
\end{aligned}$$
ここで
$$DE=DF=AB+AC-BC$$
であるから, $BFGC$ の面積について
$$\begin{aligned}
\frac{1}{2}(BC+GF)DF=(AB+AC)r
\end{aligned}$$
これと $ABC$ との面積の差を計算すれば,
$$\begin{aligned}
(AB+AC)r-\frac{1}{2}(AB+BC+AC)r = \frac{AB+AC-BC}{2}r = r^2
\end{aligned}$$
よって, $r^2=\textbf{72}$ である. なお, $AB=20 \sqrt{2}, AC=21 \sqrt{2}$ などが問題の条件を実際にみたす.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc076/editorial/1794
　角 $A$ が直角であるような面積 $420$ の直角三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ 上に $D, E$ を
$$AC=CD,\quad AB=BE$$
となるようにとります. また, 辺 $BC$ に関して $A$ と反対側に四角形 $DFGE$ が正方形になるような $F, G$ をとったところ, 四角形 $BFGC$ の面積が $492$ となりました. このとき, 三角形 $ABC$ の内接円の半径の $2$ 乗を求めてください.