　$AX$ は円 $ABC$ の直径である. また, $AYX$ と $XYZ$ の外接円半径が等しいことから $\angle XAY=\angle XZY$ が成立し (これらがともに鋭角であることに留意せよ), 特に $AX=XZ$ および $AY=XY$ が成立することがわかる.\
　 三角形 $AXY$ の垂心を $H$ とし, 三角形 $ABC,AHX$ の外心をそれぞれ $O_1,O_2$ とすると, 有名事実として三角形 $AHX$ と $AXY$ の外接円半径が等しいことから $AO_2=HO_2=25$ である.  したがって,
$$O_1O_2=\sqrt{AO_2^2-AO_1^2}=7,\quad AH=HX=\sqrt{(O_1O_2+HO_2)^{2} +AO_{1}^{2}} =40$$
またEuler線の議論より $HY=2O_1O_2=14$ である.\
　ここで $AY$ と $HX$ の交点を $P$ とすれば, 三角形 $HYP$ と $HXO_1$ は相似であるから
$$PY=O_1X\times\dfrac{HY}{HX}=\dfrac{42}{5}$$
一方で三角形 $AHP$ と $AO_{2}O_{1}$ の相似より
$$AP=AO_1\times\frac{AH}{AO_{2}} =\frac{192}{5}$$
したがって $YZ=PY+PZ=PY+AP=\dfrac{234}{5}$ である.\
　ところで, 簡単な角度計算によって三角形 $ABC$ と $XYZ$ は相似であり, 外接円半径を考えればその相似比は $24:25$ である. したがって, $BC=YZ\times\dfrac{24}{25}=\dfrac{5616}{125}$ より, 解答すべき値は $\textbf{5741}$ である. \
　なお, 実際には三角形 $AXY$ の外心は $AC$ 上にある. これを用いると, より簡潔に解くことが出来る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc074/editorial/270
　三角形 $AXY$ と三角形 $XYZ$ の外接円半径が等しいことから， $\angle XAZ=\angle XZA$ となることと， $\angle ABX=\angle ACX=90^\circ$ から $AX$ が三角形 $ABC$ の外接円の直径となることから， $XZ=XA=48$ となる．\
　角を追うと，三角形 $ABC$ と三角形 $XYZ$ は相似であり，相似比は外接円半径の比に一致するので $24:25$ である．よって， $XA:AC=XZ:AC=25:24$ であり，三角形 $ACX$ は三辺比が $7:24:25$ の直角三角形．\
また， $AZ$ と $XB$ の交点を $P$ とし， $AZ$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $Q$ とすると，角を追うことで三角形 $ABP$ と三角形 $XQP$ は合同であり，この二つの三角形は三角形 $ACX$ と相似であるとわかる．\
　そこで，三角形 $ABP$ と三角形 $XQP$ の三辺の長さを $7k,24k,25k$ とおくと，三角形 $AXQ$ で三平方の定理より， $AX=40k=48$ から $k=\dfrac{6}{5}$ となる．\
　よって， $BC=\dfrac{24}{25}PZ=\dfrac{24}{25}(PQ+QZ)=\dfrac{24}{25}\cdot39k=\dfrac{5616}{125}$ より，解答すべき値は $\textbf{5741}$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc074/editorial/270/25
　$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において, $A$ から対辺におろした垂線を $s_A$, $B$ を通り $AB$ に垂直な直線を $s_{B}$, $C$ を通り $AC$ に垂直な直線を $s_C$ とします. また $s_{B}$ と $s_{C}$ の交点を $X$, $s_{A}$ と $s_{B}$ の交点を $Y$, $s_{A}$ と $s_{C}$ の交点を $Z$ とします. 三角形 $ABC$ の外接円半径が $24$, 三角形 $AXY$ および $XYZ$ の外接円半径がともに $25$ であるとき, 辺 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答して下さい.