　$AC=AF$ なる $BC$ 上の $C$ でない点 $F$ をとると $CB=BF$ および $\angle CDF=90^\circ$ であり, $\angle ADF=180^\circ-\angle ACB$ がわかる. また, $\triangle ABC$ の外部に $\triangle APC\equiv\triangle ADF$ をみたす点 $P$ をとると, $\angle PAD=\angle CAF$ と $AP=AD$ から $\angle ADP=\angle ACB$ なので, $P, D, F$ は共線である. \
　ここで, $BE$ と $DF$ の交点を $M$ とおくと, $\angle MBA=\angle MFA$ が確認できるので $A, B, F, M$ は共円である. よって $\angle AMF=90^\circ$ であり, $AD=AP$ から $DM=PM$ が従う. また, 四角形 $CDFQ$ が長方形となるような点 $Q$ をとると, $BD=BQ$ なので $BM\parallel PQ$ となり, $PQ$ と $CD$ の交点を $R$ とすると $DE=ER=1$ および $RC=7$. 
さらに $Q$ のとり方から $DP\parallel CQ$ であり, $CQ=FD=CP$ から
　　$$DP:CP=DR:CR=2:7$$
が従う. これと $\angle CDP=90^\circ$ から
　　$$CP=FD=\dfrac{7}{\sqrt{7^{2}-2^{2}}}\cdot CD=\dfrac{21\sqrt{5}}{5}$$
　よって, このとき
　　$$\displaystyle BC=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}\sqrt{9^{2}+\left(\frac{21\sqrt{5}}{5}\right)^{2}}=\frac{3\sqrt{470}}{10}$$
であるから, 求める値は $3+470+10=\textbf{483}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc013/editorial/87
　$\angle B=90^\circ$ なる直角三角形 $ABC$ の内部に点 $D$ があり, 
$$BC=BD,\quad\angle BAC+\angle ADC=180^\circ$$
をみたしています.  線分 $CD$ 上に $\angle BEC=\angle ACB$ なる点 $E$ をとったところ, 
$$CE=8,\quad ED=1$$
が成立しました. このとき, 辺 $BC$ の長さは, 最大公約数が $1$ である正整数 $a, c$ と,  $1$ より大きい平方数で割り切れない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle \frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せます.  $a+b+c$ を解答してください.