　$T_n$ の内接円の半径を $r_n$ とすれば条件より次が成り立つ．

- $\pi r_1^2=1$．
- $T_n$ の外接円の半径は $r_{n+1}$．
- $T_n$ の内心と外心間の距離は $r_n$．

このときEulerの定理より $r_n^2=r_{n+1}^2-2r_nr_{n+1}$ であるため，$r_n,r_{n+1}\gt 0$ より $r_{n+1}=(1+\sqrt{2})r_n$ を得る．これを用いれば $T_{20201017}$ の外接円の面積 $S$ は $S=(3+2\sqrt{2})^{20201017}$ と求められる．

　ここで $A_n=(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n$ とすれば次が成り立ち，特に任意の $n$ に対して $A_n$ は整数である．

$$A_1=6,\quad A_2=34,\quad A_{n+2}=6A_{n+1}-A_n\quad(n\geq 1)$$

はじめの数項を計算すれば $A_1\equiv A_7,A_2\equiv A_8\pmod{10}$ がわかる．これより次が従う：
$$A_{n+6}\equiv A_n,\quad A_{20201017}\equiv A_1\equiv 6\pmod{10}$$

$0\lt 3-2\sqrt{2}\lt 1\/2$ より特に $A_{20201017}-1\/10\lt S\lt A_{20201017}$ であるから $S$ の $1$ の位，$1\/10$ の位はそれぞれ $5,9$ とわかり，解答すべき値は $\bf{59}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc007/editorial/51
　同一平面上にある三角形 $T_1, T_2, \cdots$ は, 以下の条件を満たします.

- $T_1$ の内接円は面積 $1$ であり, かつ $T_1$ の外心を通る.
- 任意の正の整数 $n$ に対して, $T_n$ の外接円は $T_{n+1}$ に内接し, かつ $T_{n+1}$ の外心を通る.

　$T_{20201017}$ の外接円の面積の $1$ の位および $1\/10$ の位を求め, それらを続けて解答してください.\
　例えば, $1$ の位が $1$ で, $1\/10$ の位が $2$ ならば, $12$ と解答してください.