　$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $H$ としたとき, 三平方の定理より
$$BA^2-AH^2=BH^2=BC^2-(5-AH)^2$$
これを解いて $AH=\dfrac{7}{5},BH=\dfrac{24}{5}$ を得る. さらに方べきの定理より
$$\frac{7}{5} \times \frac{18}{5} =AH\times CH=BH\times DH=\dfrac{24}{5}DH$$
よって $BD=BH+DH=\dfrac{117}{20}$ であり, 解答すべき値は $\textbf{137}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc138/editorial/1754
　$AB=AC=5,BC=6$ なる三角形 $ABC$ において，その外接円と $B$ から $AC$ におろした垂線の交点を $D ~ (\neq B)$ とするとき，$BD$ の長さは互いに素な正整数 $m,n$ によって $\dfrac{m}{n}$ と表されます．$m+n$ を解答してください．