　与式を $2$ 式ずつ足し合わせることで，条件は以下と同値である：
$$(a+b)(c+d)=143,\quad (a+c)(b+d)=140,\quad (a+d)(b+c)=135$$
$143=11\times 13$ を踏まえて第 $1$ 式に着目すれば，$a+b+c+d$ はつねに $11+13=24$ であり，これにより
$$ \\{a+b,~ c+d\\} = \\{11,13\\}, \quad \\{a+c,~ b+d\\} = \\{10,14\\}, \quad \\{a+d,~ b+c\\}=\\{9,15\\} $$
が必要である．逆に，それぞれの割り振りを任意に選んだ $2^3$ 通りすべてで $a,b,c,d$ は正の整数となることがわかるから，求める値は $24 \times 8 = \bf{192}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct003/editorial/3178
　以下をすべてみたす正の整数の組 $(a,b,c,d)$ すべてについて，$a+b+c+d$ の総和を求めてください．
$$ab+cd=66,\quad ac+bd=69,\quad ad+bc=74$$