**解法1.**　各公園に配置された生徒の数を $p_1,p_2,\ldots,p_{1000}$ とすると，考えるべき $2$ 乗和 $S$ について次が成り立つ．
$$S=\sum_{n=1}^{1000} \lbrace p_n(p_n-1)+p_n\rbrace=2\sum_{n=1}^{1000}{}\_{p_n}\mathrm{C}\_2+2982$$
ここで最右辺の総和は，同じ公園にいる $2$ 人組の数を表す．任意の $2$ 人組について，同じ公園にいる確率は $1\/1000$ であるから，これを各 $2$ 人組について足し合わせることを考えて，求める期待値は
$$\displaystyle 2\times\biggl(\frac{1}{1000}\times {}\_{2982}\mathrm{C}\_2\biggr)+2982=\frac{5935671}{500}$$
特に解答すべき数値は $\textbf{5936171}$ である．

**解法2.**　一般に $n=2982$ とする．ある公園に注目したとき，すべての配置方法について人数の $2$ 乗の和は
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2\binom{n}{k}999^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}999^{n-k}\biggl\lbrace n(n-1)\binom{n-2}{k-2}+n\binom{n-1}{k-1}\biggr\rbrace $$
ここで，二項定理より
$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n999^{n-k}\binom{n-2}{k-2}&=\sum_{k=0}^{n-2}999^{n-2-k}\binom{n-2}{k}=(1+999)^{n-2} \\\\
\sum_{k=1}^n999^{n-k}\binom{n-1}{k-1}&=\sum_{k=0}^{n-1}999^{n-1-k}\binom{n-1}{k}=(1+999)^{n-1}
\end{aligned}$$
の $2$ 式が成り立つことがわかるので，結局
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2\binom{n}{k}999^{n-k}=n(n+999)1000^{n-2}$$
とわかり，求めるべき期待値は次のように計算できる．
$$\dfrac{n(n+999)1000^{n-2}\times 1000}{1000^{n}}=\dfrac{n(n+999)}{1000}$$
$n=2982$ を代入すると，解法1と同じ結論が得られる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/2982
　問題に素直に従って解きました．

  　一般に，$m$ 人の生徒と $n$ 箇所の公園とし，各公園に配置された生徒の数を $p_1$，$\cdots$，$p_n$ とする．\
$$\begin{aligned}
E \left( p_1^2+ \cdots +p_n^2 \right) & = E\left( (p_1+ \cdots +p_n)^2-2 \sum\limits_{i \neq j}p_i p_j \right) \\\\
&=m^2-2\sum\limits_{i \neq j}E(p_i p_j) \\\\
&=m^2-n(n-1)E(p_i p_j)
\end{aligned}$$

  　ここで，$p_i=x$，$p_j=y$ である確率は，$\dfrac{m!}{x! y! (m-x-y)!} \left( \dfrac{1}{n} \right)^x \left( \dfrac{1}{n} \right)^y \left( \dfrac{n-2}{n} \right)^{m-x-y}$ である．これより，\
$$\begin{aligned}
E(p_i p_j) & = \sum\limits_{0≦x+y≦m}xy\dfrac{m!}{x! y! (m-x-y)!} \left( \dfrac{1}{n} \right)^{x+y} \left( \dfrac{n-2}{n} \right)^{m-x-y}\\\\
& = \dfrac{m(m-1)}{n^2} \sum\limits_{2≦x+y≦m}\dfrac{(m-2)!}{(x-1)! (y-1)! (m-x-y)!} \left( \dfrac{1}{n} \right)^{x+y-2} \left( \dfrac{n-2}{n} \right)^{m-x-y}\\\\
& = \dfrac{m(m-1)}{n^2} \sum\limits_{0≦x+y≦m-2}\dfrac{(m-2)!}{x! y! (m-2-x-y)!} \left( \dfrac{1}{n} \right)^{x+y} \left( \dfrac{n-2}{n} \right)^{m-2-(x+y)}\\\\
& = \dfrac{m(m-1)}{n^2}
\end{aligned}$$
  　従って， $E \left( p_1^2+ \cdots +p_n^2 \right) = m^2- \dfrac{m(m-1)(n-1)}{n}$

<details>
  <summary>センタリングされた式の最後の等号<\/summary>
$$\sum\limits_{0≦x+y≦m-2}\dfrac{(m-2)!}{x! y! (m-2-x-y)!} \left( \dfrac{1}{n} \right)^{x+y} \left( \dfrac{n-2}{n} \right)^{m-2-(x+y)}=1$$
　については，次のように説明できる：\
　式 $\dfrac{(m-2)!}{x! y! (m-2-x-y)!} \left( \dfrac{1}{n} \right)^{x+y} \left( \dfrac{n-2}{n} \right)^{m-2-(x+y)}$ は，$m-2$ 人の生徒を $n$ 箇所の公園に配置する際，ある（固定された）二箇所の公園の人数が $x+y$ 人となるように配置する確率である．この確率を $x+y$ が $0$ から $m-2$ になるまで足し合わせるので，全ての場合を足し合わせているということができ，そのような確率は $1$ である．

<\/details>
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/2982/229
　[Tempurabc 氏の解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc161\/editorial\/2982\/229)における $E(p_i p_j)$ を求める部分の別解です．

--- 

　すべての生徒の配置についての $p_1p_2$ の総和を考えよう．それを $n^m$ で割れば求める期待値が得られる．\
　$p_1, \cdots, p_n$ を固定したときの生徒の配置の総数は $\dfrac{m!}{p_1 ! p_2 ! \cdots p_n !}$ 通りであるから，考えるべき総和は
$$\sum_{p_1+\cdots+p_n=m} \frac{m!}{p_1 ! p_2 ! \cdots p_n !} p_1p_2$$
で表せる．$p_1$ または $p_2$ が $0$ の場合は $\sum$ の中身が $0$ になることから，これは
$$\sum_{\substack{p_1, p_2 \gt 0 \\\\ p_1+\cdots+p_n=m}} \frac{m!}{(p_1-1) ! (p_2-1) ! p_3!  \cdots p_n !}$$
と書き換えられる．さらに，$p_1 - 1, p_2 - 1$ をそれぞれ $q_1, q_2$ と置き直せば，$(q_1, q_2, q_3, \cdots, p_n)$ は $q_1+q_2+p_3 + \cdots+p_n=m-2$ となる組全体を渡るので，
$$m(m-1) \sum_{\substack{q_1 + q_2 + p_3 + \cdots+p_n=m-2}} \frac{(m-2)!}{q_1 ! q_2 ! p_3!  \cdots p_n !}$$
と書き換えられる．いま上式の総和部分は $n^{m-2}$ である(※)から，求める期待値は
$$\frac{m(m-1)n^{m-2}}{n^m} = \frac{m(m-1)}{n^2}$$
である．

---

※　$\displaystyle \sum_{p_1 + \cdots + p_n = m}\dfrac{m!}{p_1 ! p_2 ! \cdots p_n !}$ は何を表している式だろうか．この式の $p_1, p_2, m$ が $q_1, q_2, m-2$ に変わっただけである．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/2982/232
　求めるべきは各生徒を等確率にいずれかの公園に割り振るとしたとき, 順序づいた生徒同士のペア $(s_n, s_m) \ (n = m \ の場合も許す)$
であって, 生徒同士が同じ公園にいるペアの数の期待値である. そこで, 生徒同士が同じ公園にいるペアに対して $1$ のスコアを, そうでないペアに対して $0$ のスコアを与えるとしたとき, これはスコアの和の期待値となり, それはスコアの期待値の和に等しい. まず, $n \neq m$ のときはスコアが $1$ になる確率は, 異なる $2$ 人の生徒が同じ公園にいる確率なので, $\cfrac{1}{1000}$ であり, スコアの期待値も $\cfrac{1}{1000}$. また, $n = m$ の場合は必ずスコアが $1$ になるので, スコアの期待値も $1$. よって, 求めるべきは $2982 × 2981 × \cfrac{1}{1000} + 2982 × 1$.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/2982/233
一般に$m$人の生徒がいるとする．  
ここで$m-1$人の生徒の割り当てが済んでいるとし，この時点で各公園に配置された生徒の数を$p_1,\cdots ,p_{1000}$とする．  
このとき，もう$1$人を割り当てたときの$p_i$の$2$乗の総和の増加量の期待値について考える．  
もう$1$人を公園$i$に割り当てた場合の増加量は$(p_i+1)^2-p_i^2=2p_i+1$だから増加量の期待値は，$$\frac{\sum_{i=1}^{1000}(2p_i+1)}{1000}=\frac{m-1}{500}+1$$ 
よって増加量の期待値は$p_1,\cdots ,p_{1000}$の値に依らないから，期待値の線形性より求める値は，  
$$\sum_{i=0}^{2981}\left(\frac{i}{500}+1\right) =\frac{2981\cdot 2982}{1000}+2982=\frac{5935671}{500}$$
特に解答すべき数値は$5935671+500=\mathbf{5936171}$である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/2982/234
　多項式による解法です．本質的には公式解説2と同じになります．  
解説では一般に生徒の人数を $N$ 人，公園の数を $M$ 箇所とします． 

$x$ に関する一変数多項式 $f$ に対して，$x\^{i}$ の係数を $\lbrack x\^{i}\rbrack f$ と表します．  
また，$f$ の微分を $f\^{\prime}$ で表します． 

求めるべきは，
$$\frac{M}{M\^{N}}\sum\_{i=0}\^{N}\left(i\^{2}\lbrack x\^{i}\rbrack (M-1+x)\^{N}\right)$$
です． 
<details>
<summary>若干の補足<\/summary>
各公園，各人毎の寄与をシグマ内の各項が表し，それらを全体にわたって足し合わせた後，生徒の配置の総数で割っています．    

$\lbrack x\^{i}\rbrack (M-1+x)\^{N}$ が，注目している特定の公園に $i$ 人集まるような配置方法の通り数を表します．  
各生徒は，注目している公園を選ぶ ( $1$ 通り) か，選ばない ($M-1$ 通り) かの選択ができます．  
よって，各人の選択を一次の多項式で表し，それを人数分 $N$ 回乗ずれば，式が得られます．  

あるいは，以下の通りに具体的な計算を行いながら考えた方が受け入れやすい方もいるかもしれません．  
簡単のため，$N=3$ の場合で考えます．   
生徒を区別し，$x\_{k}$ $(k=1,2,3)$ を，$k$ 番目の生徒が注目している公園にいるかを表す変数とします．  
すなわち，多項式の各項に変数 $x\_{k}$ が含まれていれば生徒 $k$ がいることを，含まれていなければいないことを表します．  

$(M-1+x\_{1})(M-1+x\_{2})(M-1+x\_{3})$ を展開すると， 
 
$$\begin{aligned}
&(M-1+x\_{1})(M-1+x\_{2})(M-1+x\_{3})\\\\
=&(M-1)(M-1)(M-1)+x\_{1}(M-1)(M-1)+(M-1)x\_{2}(M-1)+(M-1)(M-1)x\_{3}\\\\
&+x\_{1}x\_{2}(M-1)+(M-1)x\_{2}x\_{3}+x\_{1}(M-1)x\_{3}+x\_{1}x\_{2}x\_{3}
\end{aligned}$$
となります．   
例えば，$(M-1)x\_{2}(M-1)$ の項 (生徒 $2$ がいて生徒 $1,3$ がいない) をみると，生徒 $1$ の行き先 $M-1$ 通り，生徒 $2$ の行き先 $1$ 通り，生徒 $3$ の行き先 $M-1$ がかけられていることが分かると思います．    
他の項に関しても同様に確認することができます． 

ここで，区別していた生徒を区別しないようにする，すなわち区別していた変数 $x\_{1},x\_{2},x\_{3}$ を全て区別しない変数 $x$ に置き換えると求めていた式が得られます．  



<\/details>


ここで，以下を利用します． (証明については実際に微分をすれば確かめられるため割愛します． )

---

　多項式 $f$ 及び 非負整数 $i$ に対して，$i\lbrack x\^{i}\rbrack f=\lbrack x\^{i}\rbrack (xf\^{\prime})$   

---
これを二回繰り返すことで，$i\^{2}\lbrack x\^{i}\rbrack f=i\lbrack x\^{i}\rbrack (xf\^{\prime})=\lbrack x\^{i}\rbrack (xf\^{\prime}+x\^{2}f\^{\prime\prime})$  という等式を得ます． 

この等式を元の式に当てはめれば， 

$$\begin{aligned}
&\frac{M}{M\^{N}}\sum\_{i=0}\^{N}\lbrack x\^{i}\rbrack (Nx(M-1+x)\^{N-1}+N(N-1)x\^{2}(M-1+x)\^{N-2})\\\\
=&\frac{M}{M\^{N}} (NM\^{N-1}+N(N-1)M\^{N-2})\\\\
=&\frac{N(N+M-1)}{M}
\end{aligned}$$
より答えを得ることができます． 

<details>
<summary>一行目から二行目の式変形<\/summary>
式に出てくる $x$ に関する多項式は $N$ 次です．  
よって，シグマの意味するところは，多項式の係数を全て足し合わせた値となります．  
これは，多項式の $x$ に $1$ を代入した値に他なりません．  
<\/details>  

多項式や冪級数による数え上げは慣れるまで何をしているか分かりにくいという面がありますが，その反面機械的に考察が進められる場合が多々あり，便利です．
多項式による解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc161/editorial/2982/235
　$2982$ 人の生徒と $1000$ か所の公園があります．各生徒を $1000$ か所の公園いずれかに配置する方法 $1000^{2982}$ 通りすべてが等確率に発生するとき，各公園に配置された生徒の数の $2$ 乗の総和の期待値を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．