$$ \begin{aligned}
2&(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)-(a^4+b^4+c^4+d^4)+8abcd \\\\
&=-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4a^2b^2+4c^2d^2+8abcd \\\\
&= -(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(2ab+2cd)^2 \\\\
&= (2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2) \\\\
&= ((a+b)^2-(c-d)^2)((c+d)^2-(a-b)^2) \\\\
&= (a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)
\end{aligned} $$
であるので，
$$(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)=(n^2+1)^{n+2}-1$$ 
となる整数 $a,b,c,d$ が存在するような $n$ の条件を求めればよい．ここで， 
$$x=-a+b+c+d, \quad y=a-b+c+d, \quad z=a+b-c+d, \quad w=a+b+c-d$$ 
とおく．このとき
$$ a=\dfrac{-x+y+z+w}{4}, \quad b=\dfrac{x-y+z+w}{4}, \quad c=\dfrac{x+y-z+w}{4}, \quad d=\dfrac{x+y+z-w}{4} $$  
となることに注意する．  

- $n$ が奇数のとき  
　$x=y=z=1,w=(n^2+1)^{n+2}-1$ とすると，$w\equiv2^{n+2}-1\equiv-1\pmod4$ であるから，このとき，$a,b,c,d$ は与式を満たしかつ整数となる．  

- $n$ が偶数のとき  
　$xyzw=(n^2+1)^{n+2}-1$ は偶数であるから，$x,y,z,w$ のうち少なくとも一つは偶数である．また，$2(c+d) = x+y$ などより，
$$ x+y, \quad x+z, \quad x+w, \quad y+z, \quad y+w, \quad z+w $$
は全て偶数なので，$x, y, z, w$ はすべて偶数であることが必要．よって，$xyzw=(n^2+1)^{n+2}-1$ かつ $4$ で割った余りが 
$$(0,0,0,0),~ (0,0,2,2),~ (0,2,0,2),~ (0,2,2,0), \\\\
(2,0,0,2),~ (2,0,2,0),~ (2,2,0,0),~ (2,2,2,2) \ $$ 
のいずれかであるような整数 $x,y,z,w$ が存在することが求める条件となる．
つまり，正の整数 $N$ が $2$ で割り切れる回数を $v_2(N)$ とおくと，$K=v_2((n^2+1)^{n+2}-1)$ が $4$ または $6$ 以上であることが求める条件である．
ここで，LTEの補題より，$K=v_2((n^2+1)^{n+2}-1^{n+2})=v_2(n^2)+v_2(n+2)$ であるので，次の場合分けより，求める $n$ の条件は，$n\equiv0,2,8,10,14\pmod{16}$となる．  
  - $n\equiv2,10\pmod{16}$ のとき，$K=2+2=4$  
  - $n\equiv14\pmod{16}$ のとき，$K\geqq2+4=6$  
  - $n\equiv6\pmod{16}$ のとき，$K=2+3=5$  
  - $n\equiv4,12\pmod{16}$ のとき，$K=4+1=5$  
  - $n\equiv0,8\pmod{16}$ のとき，$K\geqq6$  

　以上より，$1$ 以上 $1000$ 以下の正の整数から $16$ で割った余りが $4,6,12$ のいずれかであるものを除いたものの総和を求めればよく，求める値は $500500-31500-31626-31000=\textbf{406374}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce002/editorial/8692
　以下の等式を満たす整数 $a,b,c,d$ が存在するような，$1$ 以上 $1000$ 以下の正の整数 $n$ の総和を求めてください．
$$ \begin{aligned}
2(a^2b^2&+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2) \\\\
&= a^4+b^4+c^4+d^4-8abcd +(n^2+1)^{n+2}-1
\end{aligned}$$