　$f(A) \gt 0$ であるとき，$a_i \gt 0$ なる最大の $i$ を $n$ とすると，任意の $i \le n$ について $a_i \gt 0$ である．これは，本土と距離が $n$ である島があるならば，その島と本土を最短距離で結ぶ経路上にある島はそれぞれ本土との距離が $1, 2, \ldots, n-1$ であることから分かる．そこで以下では，$A$ は，ある正の整数 $n$ が存在して $i \le n$ ならば $a_i \gt 0$，$i \gt n$ ならば $a_i = 0$ を満たすものに限定して考える．\
　列 $A = (a_1, a_2, ..., a_{1110})$ に対する $f(A)$ を計算しよう．便宜上，本土を遠さが $0$ である離島とみなし，$A$ の定め方に依らず $a_0 = 1$ と定義する．$A$ に対し下記の操作を順に行い橋を作ることを考えればよい．

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**手順 1.** \
（本土を除く）離島 $1110$ 個の中から，遠さが $1, 2, ..., n$ であるものをそれぞれ $a_1, a_2, ..., a_n$ 個決める．

**手順 2.** \
各 $i = 1, 2, ..., n$ に対し，遠さ $i$ の離島それぞれについてそれと橋でつながる遠さ $i - 1$ の離島を $1$ 個以上選び，橋をつなぐ．

**手順 3.** \
各 $i = 1, 2, ..., n$ に対し，どちらも遠さが $i$ である離島 $2$ つの組合わせを $0$ 個以上選び，それぞれの組み合わせに対し離島同士を橋をつなぐ．

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手順 1. 2. 3. を行う方法の総数をそれぞれ $G_1(A), G_2(A), G_3(A)$ とすると，これらは
$$
G_1(A) = \frac{1110!}{a_1! \times \cdots \times a_n!}，G_2(A) = \prod_{i=1}^n (2^{a_{i-1}} - 1)^{a_i}，G_3(A) = 2^{{}\_{a_1}\mathrm{C}\_{2} + \cdots + {}\_{a_n}\mathrm{C}\_{2}}
$$
と表せて，$f(A) = G_1(A)G_2(A)G_3(A)$ と表せる．ただし ${}\_{1}\mathrm{C}\_{2} = 0$ と考えよ．\
　ここで $k$ を正整数，$p$ を素数としたとき，非負整数 $v_p(k)$ を以下のように定義する．
- $k$ が $p$ で割り切れる最大の回数を $v_p(k)$ とする．

$G_3(A)$ は明らかに $37$ で割り切れないため，
$$v_{37} (f(A)) = v_{37}(G_1(A)) + v_{37}(G_2(A))$$
が成り立つ．ここで $v_{37}(G_1(A)), v_{37}(G_2(A))$ が最大になるための条件をそれぞれ**条件 甲**・**条件 乙**と呼ぶことにしよう．
$$v_{37}(G_1(A)) = v_{37}(1110!) - (v_{37}(a_1!) + \cdots + v_{37}(a_n!)) \leq v_{37}(1110!) = 30$$
が成り立ち，等号が成り立つのは $a_1!, ..., a_n!$ がすべて $37$ で割り切れないときである．すなわち条件 甲の内容は次の通りである．
- [条件 甲]　$a_1, ..., a_n$ はすべて $36$ 以下である．

ここで補題を与える．

---

**補題．**\
　$N$ を $1 \leq N \leq 1109$ なる整数とする．このとき $N$ が $36$ で割り切れるならば $v_{37}(2^N - 1) = 1$ であり， さもなければ $v_{37}(2^N - 1) = 0$ である．
<details><summary>補題の証明<\/summary>
　Fetmatの小定理より $2^{36} \equiv 1 \pmod{37}$ が成り立つので，$2^d \equiv 1 \pmod{37}$ なる最小の正整数 $d$ が存在する．$36$ を $d$ で割った余りが $1$ 以上であるとすると，その余りを $r$ としたとき $2^{r} \equiv 1 \pmod{37}$ が得られてしまい $d$ の最小性に反する．よって $d$ は $36$ を割り切る数でなければならない．一方で
$$2^1 - 1，2^2 - 1，2^3 - 1，2^4 - 1，2^6 - 1，2^9 - 1，2^{12} - 1，2^{18} - 1$$
はいずれも $37$ で割り切れないので，$d = 36$ である．したがって $N$ が $36$ で割り切れないときに $2^N \not\equiv  1 \pmod{37}$ であること，すなわち $v_{37}(2^N - 1) = 0$ が分かる．\
　あとは $M$ を $1 \leq M \leq 30$ なる整数としたときに $v_{37}(2^{36M} - 1) = 1$ であることを示せばよい．
$$2^{36M} - 1 = (2^{36} - 1)(2^{36(M-1)} + 2^{36(M-2)} + \cdots + 2^{36 \cdot 0})$$
を考えよう．まずは $v_{37}(2^{36} - 1) = 1$ が確かめられる．一方で，Fermatの小定理を用いれば
$$2^{36(M-1)} + 2^{36(M-2)} + \cdots + 2^{36 \cdot 0} \equiv 1 + 1 + \cdots + 1 = M \pmod{37}$$
が得られる．すなわち $2^{36(M-1)} + 2^{36(M-2)} + \cdots + 2^{36 \cdot 0}$ は $37$ で割り切れないので，結局 $v_{37}(2^{36M} - 1) = 1$ である．以上で主張が示された．
<\/details>

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この補題から $n = 1$ のときであるか，$n \geq 2$ であり $a_1, ..., a_{n - 1}$ の中に $36$ の倍数が含まれない場合は $v_{37}(G_2(A)) = 0$ である．以後，$n \geq 2$ かつ $a_1, ..., a_{n - 1}$ のうち少なくとも $1$ 個は $36$ の倍数であるとする．$2 \leq i \leq n$ なる整数 $i$ のうち $a_{i - 1}$ が $36$ の倍数となるものを小さい方から順に $i_1, ..., i_t$ とおくと，補題より
$$v_{37}(G_2(A)) = a_{i_1} + \cdots + a_{i_t}$$
が成り立つ．少なくとも $i_1 - 1$ は集合 $\\{i_1, ..., i_t\\}$ には含まれ得ず，なおかつ $a_{i_1 - 1} \geq 36$ なので
$$v_{37}(G_2(A)) \leq 1110 - 36 = 1074$$
が分かり，等号が成り立つのは $a_{i_1 - 1} = 36$ かつ $\\{i_1 - 1, i_1, ..., i_t\\} = \\{1, ..., n\\}$ となるときである．このとき各 $j = 2, ..., t$ で $i_{j - 1} = i_j - 1$ が成り立つので，$a_{i_1}, ..., a_{i_{t - 1}}$ はすべて $36$ の倍数となる．このことに注意すれば条件 乙の内容は以下のように言い表せる．
- [条件 乙]　$n \geq 2$ であり，$a_1 = 36$ かつ $a_2, ..., a_{n-1}$ はすべて $36$ の倍数である．

　ここまでの議論で得た条件 甲・条件 乙を同時にみたす列 $A$ は以下の内容のものに限られ，これが $A_0$ の内容である．
- 長さ $31$ の列 $(a_1, ..., a_{31})$ であり，$a_1 = \cdots = a_{30} = 36$ かつ $a_{31} = 30$ をみたす．

$G_2(A_0)$ は明らかに $2$ で割り切れないため，
$$v_2 (f(A_0)) = v_2(G_1(A_0)) + v_2(G_3(A_0))$$
が成り立つ．
$$v_2(1110!) = 1105，v_2(36!) = 34，v_2(30!) = 26$$
が求められる（たとえば，「正整数 $n$ を $2$ 進数表記したときに現れる $1$ の個数を $k$ としたとき $v_2(n!) = n - k$ が成り立つ」という性質を用いればよい）ので，これより
$$v_2(G_1(A_0)) = v_2(1110!) - 30 v_2(36!) - v_2(30!) = 59$$
であり，さらに
$$v_2(G_3(A_0)) = 30 \cdot{}\_{36}\mathrm{C}\_{2} + {}\_{30}\mathrm{C}\_{2} = 19335$$
も得られる．ゆえに求める値は $v_2 (f(A_0)) = \mathbf{19394}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc228/editorial/8546
　すべて区別できる $1111$ 個の島があり，そのうち $1$ 個を**本土**と呼び，残りの $1110$ 個を**離島**と呼びます．これら $1111$ 個の島に対し以下のルールで橋を作ることを考えます．

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**～ルール～**
- 橋は異なる $2$ つの島同士をつなぐものとし，また，どの異なる $2$ つの島についても「橋が $1$ つつながっている」か「橋がつながっていない」のいずれかが成り立つ．
- 任意の異なる $2$ つの島は，一方の島からもう一方の島まで $1$ 回以上橋をたどって移動することができる．

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ルールにしたがって橋を作ったとき，すべての離島に対しその**遠さ**を次のように定めることができます．
- 離島 $X$ に対し，本土から $X$ まで橋をたどって移動するときに橋を経由する回数の最小値を，$X$ の遠さとする．

　ここで，非負整数からなる長さ $1110$ の列 $A = (a_1, a_2, ..., a_{1110})$ であって $a_1 + a_2 + \cdots + a_{1110} = 1110$ なるものを定めます．この列 $A$ に対し，ルールにしたがった橋の作り方の中で次の条件をみたすものの総数を $f(A)$ と表します．
- 各 $i = 1, 2, ..., 1110$ について，遠さが $i$ である離島がちょうど $a_i$ 個存在する．

このような列 $A$ のうち，$f(A)\gt0$ なるものの中で，「$f(A)$ が $37$ で割り切れる最大の回数」が最大になるものを $A_0$ としたとき，$f(A_0)$ は $2$ で最大何回割り切れますか？ここで $A_0$ の存在は一意的であることが保証されます．