　原点を $O$，点 $(11,13)$ を $P$ とする．
このとき円 $C$ に関する点 $P$ の方べきは $$(OP+10)(OP-10)=OP^2-100=(11^2+13^2)-100=190.$$
点 $P$ を通る直線が円 $C$ と $2$ 点で交わるとき，交点のうち点 $P$ に近いほうを点 $Q$ とすると，方べきの定理より
$$PQ(PQ+9)=190.$$
これを解くと $PQ\gt0$ より $PQ=10$．
点 $P$ を中心とし，それぞれ半径 $10,19$ の円を円 $D,E$ とすると，
条件を満たす $A$ の位置は円 $C$ と円 $D$ の交点、および円 $C$ と円 $E$ の交点の $4$ 点である．\
　まず円 $C$ と円 $D$ の交点を $A_1 ,A_2$ とすると四角形 $OA_1 PA_2$ は辺の長さ $10$ のひし形なので $$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}=\overrightarrow{OP}.$$
　次に円 $C$ と円 $E$ の交点を $A_3 ,A_4$ とすると対称性より $\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_4}$ は直線 $OP$ 上にある．$A_1A_2$ の中点を $S$，$A_3A_4$ の中点を $T$ とすると，$OS=SP$ より $OT:TS:SP=1:9:10$ なので $\overrightarrow{OT}=\dfrac{1}{20}\overrightarrow{OP}$．よって
$$\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_4}=2\overrightarrow{OT}=\dfrac{1}{10}\overrightarrow{OP}.$$
ゆえに
$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_4}=\dfrac{11}{10}\overrightarrow{OP}=\dfrac{11}{10}(11,13).$$
したがって求める座標の総和は
$$\dfrac{11\cdot 24}{10}=\dfrac{132}{5}$$
なので，解答すべき値は $132+5=\textbf{137}$ である．なお，$A$ の特徴付け以降は，解と係数の関係を用いてもよい．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/8393
　$A$ としてありうる座標は直線 $OP$ に関して対称な位置に分布することと，$OP=\sqrt{11^2+13^2}=\sqrt{290}$ であることに注目して，$OP$ が $x$ 軸に重なるように動かしてみたいと感じます．ということで，座標平面を原点を中心に $- \varphi\ ( ただし\ \varphi\ は\ \sin \varphi = {13}\/{\sqrt{290}},\ \cos \varphi = {11}\/{\sqrt{290}}\ を満たす角)$ だけ回転→ $\varphi$ だけ回転し戻すという方針で解いてみます．

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　問題文の図全体を原点の周りに $- \varphi $ だけ回転し，$P,A,B$ の移動先の座標を $P^\prime ,A^\prime,B^\prime$ とする． $P^\prime (\sqrt{290},0)$ である．図を描いてみることで，直線 $A^\prime B^\prime$ として考えられるものは傾きが正のものと負のものが $1$ つずつ計 $2$ つ考えられ，それらは $x$ 軸に関して対称である．以下，傾きが正であるものを $\ell_1$ ，負であるものを $\ell_2$ とする．また，$\ell_1$ と円 $C$ の交点を $P^\prime$ に近い順に ${A_1}^\prime({\alpha_1}^\prime,{\beta_2}^\prime),{A_2}^\prime({\alpha_2}^\prime,{\beta_2}^\prime)$ とし，$\ell_2$ と円 $C$ の交点を $P^\prime$ に近い順に ${A_3}^\prime({\alpha_3}^\prime,{\beta_3}^\prime),{A_4}^\prime({\alpha_4}^\prime,{\beta_4}^\prime)$ とする．このとき対称性から

$${\alpha_1}^\prime={\alpha_3}^\prime,\ \ {\alpha_2}^\prime={\alpha_4}^\prime,\ \ {\beta_1}^\prime+{\beta_3}^\prime=0,\ \ {\beta_2}^\prime+{\beta_4}^\prime = 0$$

が成り立つ．座標平面上の点 $(x,y)$ に対して，$(x,y)$ を原点の周りに $\varphi$ だけ回転させると
$$(x,y)\ \ \longrightarrow \ \ (x\cos \varphi  - y \sin \varphi,x\sin \varphi +  y\cos \varphi)$$
となることから，解答すべき値は
$$
\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^4{({\alpha_i}^\prime\cos \varphi  -{\beta_i}^\prime \sin \varphi + {\alpha_i}^\prime\sin \varphi +  {\beta_i}^\prime \cos \varphi}) \\\\
&= (\cos \varphi  +\sin \varphi) \sum_{i=1}^4 {\alpha_i}^\prime + (-\sin \varphi + \cos \varphi) \sum_{i=1}^4 {\beta_i}^\prime\\\\
&= 2 (\cos \varphi  +\sin \varphi) ( {\alpha_1}^\prime + {\alpha_2}^\prime )\\\\
&= \frac{48( {\alpha_1}^\prime + {\alpha_2}^\prime )}{\sqrt{290}}\ \ \ \ \cdots (\star)
\end{aligned}
$$
である（回転方向に注意）．よって，${\alpha_1}^\prime + {\alpha_2}^\prime$ の値が求められれば良い．

　${\alpha_1}^\prime + {\alpha_2}^\prime$ の値を求めよう．$\ell_1$ と $x$ 軸のなす鋭角を $\theta$ とする．このとき，$\ell_1$ の方程式は $\ell_1$ が $P^\prime$ を通ることに注意して $y=(\tan \theta)(x-\sqrt{290})$ で表される．よって， ${\alpha_1}^\prime , {\alpha_2}^\prime$ は以下の二次方程式の $2$ 解である．
$$ x^2 + ((\tan \theta)(x-\sqrt{290}))^2 = 10^2$$
この二次方程式を整理すると
$$(1+\tan^2 \theta)x^2 - 2\sqrt{290}(\tan^2\theta)x + (定数項) =0$$
であり，解と係数の関係により
$${\alpha_1}^\prime + {\alpha_2}^\prime = \frac{2\sqrt{290}\tan^2\theta}{1+\tan^2 \theta}= 2\sqrt{290} \sin^2 \theta$$
であることがわかる．${A_1}^\prime {A_2}^\prime$ の中点を $M$ とする．このとき，三平方の定理を用いることで
$$
\sin^2\theta= \frac{OM^2}{{P}^\prime O^2}= \frac{O{{A_1}^\prime }^2-M{{A_1}^\prime }^2}{{P}^\prime O^2}= \frac{10^2 - (9\/2)^2}{\sqrt{290}^2}=\frac{11}{40}
$$
が成り立つことがわかる．

　$(\star)$ に得られた ${\alpha_1}^\prime + {\alpha_2}^\prime,\sin^2\theta$ の値を代入して計算すると
$$\frac{48}{\sqrt{290}} \cdot 2\sqrt{290} \cdot \frac{11}{40} = \frac{132}{5}$$
となるので，解答すべき値は $132+5=\bf 137$ である．
OPがx軸に重なるように回転する
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/8393/653
　$xy$ 平面上に原点を中心とする半径 $10$ の円 $C$ があり，$C$ 上にある点 $A,B$ が以下の条件をみたします：

- $2$ 点 $A,B$ 間の距離は $9$．
- 直線 $AB$ は点 $(11,13)$ を通る．

　このとき，$A$ の座標 $(α,β)$ としてありうるものすべてについて，$α+β$ の総和を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正の整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表せるので，$m+n$ を解答してください．