　$a,b$ は正整数なので $6^n-a^n+ab\geq 6^n-a^n+1$ が成り立つため，$a\geq 6$ について考えれば十分である．
$a$ と $6$ は互いに素でなければならないことは明らか．逆に $a$ と $6$ が互いに素であるとき，$\varphi$ を Euler の totient 関数とすれば Euler の定理より $6^{\varphi(a)}\equiv 1\pmod{a}$ であるから，$n=\varphi(a)$ とすれば $6^n-a^n+ab=1$ が成立するような正整数 $b$ が存在する．
よって求める個数は $6\leq a\leq100$ かつ $6$ と互いに素な $a$ の個数と一致し，それは $\textbf{31}$ 個．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/3604
　次をみたす正整数 $b,n$ が存在するような $100$ 以下の正整数 $a$ はいくつありますか？
$$6^{n}-a^{n}+ab=1$$