　$a = b = 1$ を代入することで，$f(1)=1$ が分かる．\
　$(a,b) = (2,2), (2, 3), (3,2)$ をそれぞれ代入することで，以下が分かる．
$$f(4)=f(2)^{f(2)}, \quad f(8)=f(2)^{f(3)},\quad f(9)=f(3)^{f(2)}$$
従って $f(2) \leq 2$ であり，
$$f(2)=1\implies f(3) \leq 10, \quad f(2)=2\implies f(3) \leq 3$$
である．また，$a,b$ のうち一方が $4$ 以上のときもう一方は $1$ であるから，上の不等式を満たすとき常に等式は成立する．さらに，$f(5),f(6),f(7),f(10)$ の値は独立に定まるから，求める答えは
$$1×(10+3)×10^4= \bm{130000}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc165/editorial/2735
　集合 $\\{1,2,3, \ldots ,10\\}$ を $S$ とおきます．$S$ の各要素に対して定義され，$S$ 上に値をとる関数 $f$ であって，任意の $a^b \leq 10$ なる $a,b ∈ S$ に対して
$$f(a^b)=f(a)^{f(b)}$$
を満たすものはいくつありますか？