　OMC君がどのように行動を取ったとしても $x+y$ は偶数のままである. 一方でOMC君は
$$(0,0)\to (3,1)\to (2,4)\to (1,1)$$
の要領で斜めに移動できるから, 対称性よりこのような動きを繰り返せば $x+y$ が偶数の点すべてに到達できる.\
　以上より, 解答すべき値は指定された範囲内の $x$ と $y$ の和が偶数である格子点の数であるから,
$$2023\times2023+2022\times2022=\textbf{8181013}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/editorial/2589
　$xy$ 座標平面上において，OMC君ははじめ原点におり，以下のいずれかの行動を $0$ 回以上繰り返すことができます．ただし，複号はそれぞれ任意に選択できるとします．

- 点 $(x,y)$ にいたとき，$(x\pm 1,y\pm 3)$ で表される点にワープする．
- 点 $(x,y)$ にいたとき，$(x\pm 3,y\pm 1)$ で表される点にワープする．

すなわち，それぞれの操作で選択できるワープ先は $8$ か所あります．\
　このときOMC君が最終的に到達し得る格子点のうち，
$$(2022,2022),\quad(2022,-2022),\quad(-2022,2022),\quad(-2022,-2022)$$
を $4$ 頂点とする正方形の内部または周上のものはいくつありますか．