　$T$ の各項について,
$$ \frac{n^3}{n^4+4} =\frac{1}{2}\left(\frac{n-1}{(n-1)^2+1}+\frac{n+1}{(n+1)^2+1}\right) $$
と整理できるから,
$$\begin{aligned}
S-T &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1^2+1}+\frac{99}{99^2+1}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{0}{0^2+1}+\frac{100}{100^2+1}\right) \\\\
&= \frac{50^2}{99^2+1} - \frac{50}{100^2+1}=\dfrac{12256200}{49014901}
\end{aligned}$$
これは既約分数であるから, 解答すべき値は $\textbf{61271101}$ である.\
　なお, 実際に既約であることを確かめる方法の一つとして, 一般に $99$ を $n$ とおいて考えるとよい. このとき
$$S-T=\dfrac{n(n+1)(n^2+n+4)}{4(n^2+1)(n^2+2n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{n^2-n+1}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}\right)$$
などと表せるから, 各表現について分子と分母の最大公約数を多項式の計算によって計算することができる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/editorial/2009
　以下の $2$ 種類の分数の和 $S,T$ について, その差の絶対値を求めてください：
$$ S = \frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{10}+\cdots+\frac{n}{n^2+1}+\cdots+\frac{99}{99^2+1} $$
$$ T=\frac{1}{5}+\frac{8}{20}+\frac{27}{85}+\cdots+\frac{n^3}{n^4+4}+\cdots+\frac{99^3}{99^4+4} $$
ただし, 求める差の絶対値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表されるので, $p+q$ を解答してください.