　$AC$ と $BD$ の交点を $P$，$AC$ と $DE$ の交点を $Q$，$BC$ と $DE$ の交点を $R$ とする．


**解法1.**　以下のように角度計算できることから，三角形 $ABF$ は $CBA$ と相似である．
$$\angle{BAF}=\angle{BAE}=\angle{BDE}=90^\circ-\angle{DQP}=90^\circ-\angle{RQC}=\angle{ACB}$$
よって $\displaystyle BF=5\times\frac{5}{7}=\frac{25}7$ であり，特に解答すべき値は $25+7=\textbf{32}$ である． 

**解法2.**　$ADQ$ と $QCE$ は相似な二等辺三角形であり，$P,R$ はそれぞれの底辺の中点であることがわかる．三平方の定理より $AP=1$ であるから，$CE=CQ=4$ が従う．これより $ABF$ と $CEF$ は $5:4$ で相似だから，
$$\displaystyle FE=\frac45BF, \quad \displaystyle AF=\frac54FC=\frac54(7-BF)$$
よって，$\angle ACF=\angle FCE$ より
$$6:4=AC:CE=AF:FE\displaystyle =\frac54(7-BF):\frac45BF$$
これを解くことで $\displaystyle BF=\frac{25}7$ であり，特に解答すべき値は $25+7=\textbf{32}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc075/editorial/2898
　外接円を $\Gamma$ とする三角形 $ABC$ は，$AB=5,AC=6,BC=7$ をみたします．$B$ から $AC$ におろした垂線と $\Gamma$ の交点のうち $B$ でない方を $D$ とし，$D$ から $BC$ におろした垂線と $\Gamma$ の交点のうち $D$ でない方を $E$ とします．線分 $AE$ と $BC$ の交点を $F$ とするとき，$BF$ の長さを求めてください．\
　ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．