　光線の軌跡は点 $(0,0),\left( \dfrac{22}{41} ,1\right) ,\left( \dfrac{44}{41} ,0\right)$ を頂点とする二等辺三角形と合同な三角形を並べたものを, 正方形 $OABC$ 内に「折り畳んだ」ものであることに注意する．光線が $x$ 方向に距離 $1$ だけ進むたびに線分 $AB$ または $CO$ 上の鏡で反射されて進行方向を変えること，また $x$ 方向に距離 $\dfrac{44}{41}$ だけ進むたびに線分 $OA$ 上の鏡で反射されることから，$x_n$ は以下のように書ける．ここで，$\dfrac{44}{41} n$ の整数部分と小数部分をそれぞれ $m_n,r_n$ とおく．
$$x_n=
\begin{cases}
r_n && (m_n が偶数のとき)\\\\
1-r_n && (m_n が奇数のとき)
\end{cases}$$
　$\dfrac{44}{41}=1.\dot{0} 731\dot{7}$に注意すると，$\dfrac{44}{41}\cdot 10^k$ の整数部分の偶奇および小数部分は $k$ を $5$ で割ったあまりで決定する．したがって次を得る．
$$m_{10^k}\equiv
\begin{cases}
1 && (k\equiv 0\mod 5)\\\\
0 && (k\equiv 1\mod 5)\\\\
1 && (k\equiv 2\mod 5)\\\\
1 && (k\equiv 3\mod 5)\\\\
1 && (k\equiv 4\mod 5)
\end{cases}
\pmod2,\quad
r_{10^k}=
\begin{cases}
3\/41 && (k\equiv 0\mod 5)\\\\
30\/41 && (k\equiv 1\mod 5)\\\\
13\/41 && (k\equiv 2\mod 5)\\\\
7\/41 && (k\equiv 3\mod 5)\\\\
29\/41 && (k\equiv 4\mod 5)
\end{cases}$$
よって $x_{10^k}$ を求めると次の通りである．
$$
x_{10^k}=
\begin{cases}
38\/41 && (k\equiv 0)\\\\
30\/41 && (k\equiv 1)\\\\
28\/41 && (k\equiv 2)\\\\
34\/41 && (k\equiv 3)\\\\
12\/41 && (k\equiv 4)
\end{cases}$$
以上より解答すべきは以下の計算から $\bf{2881}$ となる．
$$\sum_{k=0}^{99}x_{10^k}=20\times \left(\frac{38}{41}+\frac{30}{41}+\frac{28}{41}+\frac{34}{41}+\frac{12}{41} \right)=\frac{2840}{41}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/editorial/5408
　公式解説では $x_{10^k}$ を求める過程において，循環小数を用いているが，これは $44\cdot 10^k \pmod{82}$  を求めていることに等しく，愚直に計算することも出来る．
 $$44\cdot 10^k \equiv \begin{cases} 44&&(k\equiv 0 \pmod{5})\\\\30&&(k\equiv 1 \pmod{5})\\\\54&&(k\equiv 2 \pmod{5})\\\\48&&(k\equiv 3 \pmod{5})\\\\70&&(k\equiv 4 \pmod{5})\end{cases} \pmod{82}$$ 
となることより， $41$ 以上の値の場所では折り返していることに留意すれば，
$$x_{10^k} \equiv \begin{cases} 38\/41&&(k\equiv 0 \pmod{5})\\\\30\/41&&(k\equiv 1 \pmod{5})\\\\28\/41&&(k\equiv 2 \pmod{5})\\\\34\/41&&(k\equiv 3 \pmod{5})\\\\12\/41&&(k\equiv 4 \pmod{5})\end{cases}$$ 
となることが分かる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/editorial/5408/463
　$xy$ 平面上に $4$ 点 $O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)$ があり，線分 $OA,AB,BC,CO$ 上にはそれぞれ鏡が置かれています．いま，点 $O$ から点 $\left( \dfrac{22}{41} ,1\right)$ へと光線を発射しました．発射した光線が $n$ 回目に線分 $OA$ 上の鏡で反射されるとき，反射が起こる点の $x$ 座標を $x_n$ とします．このとき，以下の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．
$$\sum_{k=0}^{99} x_{10^k}$$