　一般に格子点が $n\times n$ である場合について考える.\
　各辺が軸と平行であるような正方形について, 一辺の長さが $k\leq n-1$ であるようなものは $(n-k)^2$ 個存在するから, このようなものの総数は以下で与えられる.
　　$$ \displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(n-k)^2$$
　それ以外の正方形について, $a+b\leq n-1$ であるとき, ある一辺の傾きが $b\/a$ で, 長さが $\sqrt{a^2+b^2}$ であるような正方形は $(n-a-b)^2$ 個存在する. $a+b=k$ なる正整数の組 $(a,b)$ は $k-1$ 個存在するから, このようなものの総数は以下で与えられる.
　　$$ \displaystyle \sum _{k=2}^{n-1}(k-1)(n-k)^2=\sum _{k=1}^{n-1}(k-1)(n-k)^2$$
　以上を総括すれば, 求める値は以下で与えられる. 特に $n=100$ のとき $\textbf{8332500}$ である.
　　$$ \displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k(n-k)^2=\sum _{k=1}^{n-1}k^2(n-k)=\sum _{k=1}^{n}k^2(n-k)=\frac{1}{12}n^2(n^2-1)$$
　実際は各辺が軸に平行な場合は $(a,b)=(0,k)$ とみなせば良かったことになる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc018/editorial/114
　$100\times100$ の格子点の中からから相異なる $4$ 点を選ぶ方法であって，これらを頂点とする四角形が正方形となるようなものは $M$ 通りあります. $M$ を解答してください.\
　ただし, 回転や反転によって一致するものも区別します.\
　以下の図は $5\times 5$ の格子点, およびそれらがなす正方形の例です.

![figure 1](\/images\/pgGvbwbFIaY0mgXYqX74ZphQY8vEBpweBgNltFm3)