　結論から述べれば，以下が条件をみたす唯一の数列である．
$$(4,5,6,1,2,3,10,11,12,7,8,9,16,17,18,13,14,15,22,23,24,19,20,21)$$
　条件「$a_i-a_j=i-j$ または $a_i+a_j=i+j$」は

- $a_i-i=a_j-j$ または $a_i-i=-(a_j-j)$

と言い換えられる．すなわち，$|a_i-i|$ が一定であればよい．この一定値を $n(\neq 0)$ とおけば，数列は前から
$$(n+1,n+2,\ldots,2n,1,2,\ldots,n,3n+1,3n+2,\ldots,4n,2n+1,2n+2,\ldots,3n,5n+1,\ldots)$$
と一意に定まってゆき，長さ $2n$ の「周期」をなす必要があることから $n$ は $12$ の約数である．
このうち $a_1=n+1$ が合成数になるのは $n=3$ のときのみであるから，以上より結論を得る．
特に解答すべき値は $\mathbf{1152}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/editorial/2633
　$(1,2,\ldots,24)$ の並べ替え $(a_1,a_2,\ldots,a_{24})$ は，$1\leq i,j \leq24$ なる任意の組 $(i,j)$ について，以下の $2$ 式の少なくとも一方をみたします．
$$a_i-a_j=i-j, \qquad a_i+a_j=i+j$$
さらに $a_1$ は合成数であるとき，$(a_1,a_2,\ldots,a_{24})$ は一意に定まります．\
　そのような唯一の並べ替えについて，$a_{11}\times a_{12}\times a_{13}$ を求めてください．