　いまタイル張りが無限に続いているとして，あるタイルの頂点にあたる点を**良い点**と呼ぶこととする．\
　$2$ 頂点が良い点である正三角形について，もう $1$ 頂点も良い点であることがわかるから，ある正六角形の頂点が全て良い点であるとき，その中心も良い点である．\
　逆に，中心と $1$ 頂点を良い点に定めたとき，残りの $5$ 頂点が良い点であるような正六角形が定まる．\
　一般に $300$ を $3N$ とし，一辺 $3N$ の正三角形の $3$ 頂点を $A,B,C$ とする．良い点 $P$ について，$P$ を通り $CA$ に平行な直線と線分 $AB$ の交点を $X_P$ とし，同様に $Y_P,Z_P$ を定める．このとき，点 $P$ を中心とする良い点からなる正六角形の個数は，一辺が $\min(PX_P, PY_P, PZ_P)$ の正三角形から $1$ 頂点を選ぶ方法に対応するから，
$$\frac{1}{2}\min(PX_P, PY_P, PZ_P)(\min(PX_P, PY_P, PZ_P) + 1)$$
で表せる．$P$ によらず $PX_P + PY_P + PZ_P = 3N$ であることに留意して，求める答えは
$$
\begin{aligned}
&~~~~\frac{1}{2}\sum_{a + b + c = 3N}\min(a,b,c)(\min(a,b,c) + 1) \\\\
&= \frac{1}{2} \left( 3\sum_{k = 0}^{N-1}k(k+1)(3N - 3k) + N(N + 1) \right) \\\\
&= \frac{1}{2} \left(\frac{3}{4}(N-1)N(N+1)(N+2) + N(N+1) \right) \\\\
&= \frac{1}{8}N(N+1)(3N^2+3N-2) \\\\
&= \bf{38251225}
\end{aligned}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/2335
　[公式解説](.\/)と同様，$300$ を一般に $3N$ とおく．タイル全体の大きな正三角形と同じ向きで，あるタイルの頂点にあたる点 $3$ つを頂点にもつ正三角形について，一辺の長さが $3$ の倍数ではないときは正六角形は内接せず，一辺の長さが $3n\ (n = 1, \ldots, N)$ であるとき，仮定の正六角形は $n$ 個内接する（内接する一辺 $n$ の正六角形と，それに内接する正六角形を考えると良い）．このように，この正三角形すべてについて，対応する正六角形を考えれば，仮定の正六角形は過不足なく現れる．この正三角形の個数は，一辺 $3n$ のとき
$$ 1 + \cdots + (3N - 3n + 1) = \frac{\left(3N - 3n + 1\right) \left(3N - 3n + 2\right)}2 $$
であるから，求める個数は
$$\begin{aligned}
\sum\_{n=1}^N \frac{n \left(3N - 3n + 1\right) \left(3N - 3n + 2\right)}2 &= \sum\_{n=1}^N \frac{9n \left(N - n\right) \left(N - n + 1\right) + 2n}2 \\\\
&= 9\sum\_{n=1}^{N-1} \mathinner{{}\_n\mathrm C_1} \mathinner{{}\_{N-n+1}\mathrm C_2} + \sum\_{n=1}^N n \\\\
&= 9\mathinner{{}\_{N+2}\mathrm C_4} + \frac{N \left(N + 1\right)}2 \\\\
&= \frac{N \left(N + 1\right) \left(3N^2 + 3N - 2\right)}8 \\\\
&= \mathbf{38251225}.
\end{aligned}$$
正三角形との対応
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/2335/48
　一辺 $1$ の正三角形のタイルが $300^2$ 個あり，これらを組み合わせて一辺 $300$ の大きな正三角形を作りました．\
　この大きな正三角形において，あるタイルの頂点にあたる点 $6$ つを頂点にもつ正六角形はいくつありますか？