　 対称性より $BE=CE=2$ である．また $\angle BAE=\angle CAE$ より，角の二等分線定理から
 $$
AD:AC=DE:CE=9:2
 $$ 
であるので，ある正実数 $x$ により $AB=AC=2x, ~ BD=7x$ とおける．方べきの定理より，
 $$
11^2=DC^2 = DB \cdot DA = 7x \cdot 9x
 $$
なので， $x^2=\dfrac{121}{63}$ となる．さらに Stewart の定理より，角の二等分線の長さ $AE^2$ は以下のようにして求められる．
 $$
\begin{aligned}
AE^2& =AD\times AC-DE\times CE\\\\
& =18x^2-18\\\\
& =\dfrac{116}{7}
\end{aligned}
 $$
　特に解答すべき値は $\mathbf{123}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/editorial/11602
（$AB, BD$ の長さを求めるところまでの別解）\
　$AE$ と $BC$ の交点を $M$ とおく．点 $M$ は線分 $BC$ の中点である．\
　Menelaus の定理より，
$$\frac{DE}{EC} \cdot \frac{CM}{MB} \cdot \frac{BA}{AD}=1$$
であり，これより $AB:BD=2:7$．\
　あとは，公式解説同様に方べきの定理を用いれば，$AB=AC=\dfrac{22}{3 \sqrt{7}}$ を得る．

---

（以下，Stewart の定理を用いない別解）\
　再度 Menelaus の定理より，
$$\frac{DB}{BA} \cdot \frac{AM}{ME} \cdot \frac{EC}{CD}=1$$
　よって $AM:ME=11:7$ である．ここで $AM=11t, ME=7t$ とおくと，三平方の定理から
$$BM^2=AB^2-(11t)^2=BE^2-(7t)^2$$
　これより $t^2=\dfrac{29}{567}$ を得る．求めるべきものは
$$AE^2=(18t)^2=\dfrac{116}{7}$$
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/editorial/11602/778
　点 $B$ を通り $AE$ に平行な直線と $CD$ との交点を $F$ とすると，$CE = EF = 2$，$FD = 7$．三角形 $DCB$ と三角形 $DAC$ は相似であるから，$DC:CB = DA:AC = DE:EC = 9:2$ より $BC = \dfrac{22}{9}$．三平方の定理より $BF^2 = 4^2 - \left ( \dfrac{22}{9} \right )^2 = \dfrac{812}{81}$．よって $AE^2 = \left (\dfrac{9}{7}BF \right )^2 = \dfrac{116}{7}$ であるから，求めるべき値は $116 + 7 = \bf{123}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/editorial/11602/780
　 $AB=AC$ なる鋭角二等辺三角形 $ABC$ の外接円に $C$ で接する接線と直線 $AB$ との交点を $D$ とします．$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線が線分 $CD$ と点 $E$ で交わっており，
 $$
BE=2,\quad DE=9
 $$
が成り立つとき，線分 $AE$ の長さを求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\sqrt\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．