　$\angle{BAC}=90^{\circ}$ より，$BC$ の中点を $M$ とすると，$AM=BM=CM$ となる．  
よって， $AD:BC=1:2$ より，$AD=AM$ である．  

- $M$ と $D$ が一致するとき   
 $DA=DC$ より，$\angle{ACB}=\angle{DAC}=90^\circ - 77.7^\circ = 12.3^{\circ}$  となる．

- $B,M,D,C$ がこの順に一直線上に並ぶとき  
$AM=BM$ より， $\angle{MAB}=\angle{MBA}=x$ とおいてよい．$AD=AM$ より，$\angle{ADM}=\angle{AMD}=2x$ となる．よって，三角形 $ABD$ の内角和に着目して，$2x+x+77.7^{\circ}=180^{\circ}$ より，$x=34.1^{\circ}$ であり，$\angle{ACB}=55.9^{\circ}$ となる．  

- $D,B,M,C$ がこの順に一直線上に並ぶとき  
$AM=CM$ より， $\angle{MAC}=\angle{MCA}=x$ とおいてよい．$AD=AM$ より，$\angle{ADM}=\angle{AMD}=2x$ となる．よって，三角形 $ACD$ の内角和に着目して，$2x+x+167.7^{\circ}=180^{\circ}$ より，$x=4.1^{\circ}$ である．  

- $B,D,M,C$ がこの順に一直線上に並ぶとき\
線分 $DM$ の中点を $N$ とすると，$AN \perp BC$ となる．すると，
$$ 90^\circ \gt \angle AMN = 2 \angle ACN = 2 \angle BAN \gt 2 \angle BAD $$ 
より $\angle BAD \lt 45^\circ$ となり，条件を満たさない．

- $B,M,C,D$ がこの順に一直線上に並ぶとき\
$\angle{BAD}\gt90^{\circ}$ となり条件を満たさない．

以上より，$\angle{ACB}$ の値としてあり得る値の総和は $12.3^{\circ}+55.9^{\circ}+4.1^{\circ}=72.3^{\circ}$ であり，特に解答すべき数値は $\textbf{733}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce002/editorial/8691
　$\angle{BAC}=90^{\circ}$ の三角形 $ABC$ に対し，直線  $BC$ 上に点 $D$ をとったところ，
$$AD:BC=1:2, \quad \angle{BAD}=77.7^{\circ}$$ 
となりました．このとき，$\angle{ACB}$ としてあり得る値の総和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\left( \dfrac{a}{b} \right)^\circ$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．