　$S(\triangle XYZ)$ で $\triangle XYZ$ の面積を表す．条件より $\triangle PQR$ は正三角形であり，簡単な角度計算により $\triangle AQR \equiv \triangle BRP \equiv \triangle CPQ$ がわかる．これと $S(\triangle ABC)=25\sqrt{3}$，$S(\triangle PQR)=16\sqrt{3}$ より 
$$S(\triangle AQR)=\dfrac{S(\triangle AQR)+S(\triangle BRP)+S(\triangle CPQ)}{3}=\dfrac{S(\triangle ABC)-S(\triangle PQR)}{3}=3\sqrt{3}$$
 であるから，特に解答すべき値は $\bf{27}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb004/editorial/3329
　一辺の長さが $10$ である正三角形 $ABC$ において, 辺 $BC,CA,AB$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ をとったところ,　$PQ=QR=RP=8$ となりました．このとき三角形 $AQR$ の面積の二乗を求めてください．