　$n-1=m$ とおくと，二項定理より，

 $$ \begin{aligned} n^{n} & = (m+1)^{m+1}=m^{m+1}+{}\_{m+1}\mathrm{C}\_{1} m^{m}+ \cdots + {}\_{m+1}\mathrm{C}\_{m-1} m^{2} + {}\_{m+1}\mathrm{C}\_{m} m +1 \\\\
 & \equiv \frac{(m+1)m^{3}}{2} + (m+1)m +1 \pmod{m^{3}} \\\\ 
 & = \frac{n}{2} (n-1)^{3} +n^{2} -n +1 \pmod{(n-1)^{3}} \end{aligned} $$

となる．よって，与式の値が整数となるのは，

$$ \frac{n}{2} + \frac{n^{2} -n +1+1000n^{2}-2001n+1000}{(n-1)^{3}} = \frac{n}{2} +\frac{1001}{n-1} $$

が整数となるときである． \
　$n$ が偶数のとき，$n-1$ が $1001=7 \times 11 \times 13$ の正の約数となればよく，条件を満たす $n$ の総和は，

$$ (7+1)(11+1)(13+1)+8=1352. $$

$n$ が奇数のとき，$n-1$ が $1001$ の正の約数の $2$ 倍として表されればよく，条件を満たす $n$ の総和は，

$$ 2(7+1)(11+1)(13+1)+8=2696. $$

以上より，求める値は，$1352+2696= \mathbf{4048} $ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/5572
　$2$ 以上の整数 $n$ であって，

$$ \frac{n^{n}+1000n^{2}-2001n+1000}{(n-1)^{3}} $$

が整数となるものの総和を求めてください．