　$f(x)$ を立方完成すると，
$$x^3+12x^2+34x+56=(x+4)^3-14(x+4)+48$$
となるので，$a=4,p=14,q=48$ とおくと $f(x) = (x+a)^3-p(x+a)+q$ となる．ここで，$s = x+a, t = y+a$ とおくと，
$$ \begin{aligned}
(y-x)(f(x)-f(y)) &= (t-s) (s^3 - ps - t^3 + pt) \\\\
&= (s-t)^2 \bigl( p-(s^2+st+t^2) \bigr)
\end{aligned} $$
であり，この式の最大値を求めればよい．ここで，$X=(s-t)^2, ~ Y=s^2+st+t^2$
とおくと，$X+2Y=3(s^2+t^2),~ Y-X=3st$より，

$$-X-2Y\leq 2Y-2X\leq X+2Y$$

が成立し，これを変形すると $0\leq X\leq 4Y$ を得る．逆に，$0\leq X\leq 4Y$ ならば適切に $s,t$ を定めることで $X=(t-s)^2, ~ Y=s^2+st+t^2$ とできる．\
　したがって，$0\leq X\leq 4Y$ のときの $X(p-Y)$ の最大値を求めればよい．$s=t$ のときを考えると最大値は非負である．したがって，$p-Y$ が非負の場合を考えればよく，この状況で $Y$ を固定したとき最大値を実現するのは $Y$ によらず $X=4Y$ のときである．したがって，$4Y(p - Y)$ の最大値を $0\leq Y \le p$ の範囲で求めればよく，これは相加相乗平均の不等式より $Y=\dfrac{p}{2}$ のときに最大値 $p^2=\bf{196}$ を取る．なお，このとき $s=\pm\sqrt{\dfrac{p}{2}}, ~ t=\mp \sqrt{\dfrac{p}{2}}$ より，
$$x=-4\pm \sqrt{7}, \quad y=-4\mp \sqrt{7}$$
である (いずれも複号同順) ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/editorial/10478
　$f(x)=x^3+12x^2+34x+56$ とします．$x,y$ が実数全体を動くとき，
$$(y-x)(f(x)-f(y))$$
のとりうる最大の値を求めてください．