　$(A_s,A_t,A_u)$ を固定し, その総和への寄与を考えることで, 以下の成立が容易にわかる.
$$M=\binom{2021}{3}\times\binom{2021}{3}\times 2018!=\dfrac{1}{6^2}\times 2019\times 2020\times 2021\times 2021!$$
Legendreの定理より, これが $2$ で割り切れる回数は $\textbf{2013}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou1/editorial/2197
　$(1,2,\cdots,2021)$ の置換として得られる組 $(A_1,A_2,\cdots,A_{2021})$ すべてに対し, 以下の値の総和を $M$ とします.

- $s\lt t\lt u$ かつ $A_s\gt A_t\gt A_u$ なる組 $(s,t,u)$ の個数

このとき, $M$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.