　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とする．このとき，有名事実として $M$ は線分 $DH$ の中点である．
<details>
<summary>$M$ が線分 $DH$ の中点であることの証明<\/summary>
　直線 $BH$ と直線 $CD$ はともに直線 $AC$ と垂直であるから，この $2$ 直線は平行である．同様に，直線 $CH$ と直線 $BD$ も平行であるから，四角形 $BDCH$ は平行四辺形である．よって，$M$ はこの平行四辺形の対角線の交点であるから，特に線分 $DH$ の中点である．
<\/details>

　三角形 $AEH$ の外接円と線分 $AB$ との交点を $F^\prime $ とすると，
 $$
\angle AF^\prime H=\angle AEH=90^{\circ}
 $$
よって $C,H,F^\prime $ は共線である．また，
 $$
\angle F^\prime EH=\angle F^\prime AH=\angle F^\prime CM
 $$
より，$E,F^\prime ,M,C$ は同一円周上にある．よって $F=F^\prime $ である．また，$M$ は三角形 $BCF$ の外心なので $FM=MC$ より，$\angle FEH=\angle CEH$ である．よって，$FH:HC=1:4$ と $EH:HM=5:4$ がわかる．$EH=5x$ とおくと方べきの定理などを用いて，
 $$
CH=4\sqrt5x,\quad FH=\sqrt5x,\quad EM=9x,\quad MD=4x
 $$
と表せ，さらに方べきの定理を用いて，$BC=12x$ となる．$CF=5\sqrt5x$ より $BF^2=19x^2$ となるので，$BC^2=\dfrac{144}{19}$ である．よって解答すべき値は $\mathbf{163}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/12304
　直線 $AE$ 上に $\angle BCP=90^\circ$ となるように点 $P$ をとると，$\angle AED=90^\circ$ より
$$\angle ABC=\angle AEC=\angle PMC$$
なので，$AB\parallel PM$ がわかる．よって，四角形 $MCPQ$ が長方形となるように点 $Q$ をとると $B,F,Q$ は同一直線上にあり，$Q$ は三角形 $CEM$ の外接円上にもあるので $\angle AFE=\angle QMC=90^\circ$ がわかる．$CQ\parallel BD$ から，直線 $CQ$ と直線 $DE$ との交点を $R$ とすると $DM=RM$ がわかるので，以降は公式解説と同様である．(実は，$R$ は公式解説での $H$ と一致する)
直接的証明
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/12304/717
　$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AD$ が $\Gamma$ の直径となるような点 $D$ をとります．さらに，直線 $DM$ と $\Gamma$ との交点のうち $D$ でない方を $E$ とすると，三角形 $CEM$ の外接円と線分 $AB$ の交点がちょうど一つ存在したので，それを $F$ とします．このとき，以下が成り立ちました．
 $$
CE : EF =4 : 1,\quad DM : EM=4 : 9,\quad BF=1
 $$
このとき $BC^2$ の値を求めてください．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．