　実数列 $\\{a_n\\}$ は添字が負の範囲にも拡張できることに注意する．

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**補題．** 任意の整数 $n$ と任意の正の整数 $k$ について以下が成り立つ．
$$ a_{10n-7k} = \sum_{i = 0}^k (-1)^i {}\_k\mathrm{C}\_i ~ a_{10(n-i)} $$

**証明．** $k$ についての帰納法で示す．$k=1$ のときは $\\{ a_n \\}$ の漸化式そのものである．また，任意の正整数 $n$ について
$$ a_{10n-7k} = \sum_{i = 0}^k (-1)^i {}\_k\mathrm{C}\_i ~ a_{10(n-i)} $$
を仮定すると，
$$\begin{aligned} 
a_{10n-7(k+1)} 
&= a_{10n-7k} - a_{10(n-1)-7k} \\\\
&= \left( \sum_{i = 0}^k (-1)^i {}\_k\mathrm{C}\_i ~ a_{10(n-i)} \right) - \left( \sum_{i = 0}^k (-1)^i {}\_k\mathrm{C}\_i ~ a_{10(n-i-1)} \right) \\\\
&= \sum_{i = 0}^{k+1} (-1)^i \left( {}\_k\mathrm{C}\_i + {}\_k\mathrm{C}\_{i-1} \right) a_{10(n-i)} \\\\
&= \sum_{i = 0}^{k+1} (-1)^i {}\_{k+1}\mathrm{C}\_i ~ a_{10(n-i)} 
\end{aligned}$$
より示された．
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　いま，任意の整数 $n$ について
$$ a_{10n} - a_{10(n-7)} 
= \sum_{j=0}^{9} ( a_{10n-7j} - a_{10n-7(j+1)} )
= \sum_{j=0}^{9} a_{10(n-1)-7j} $$
であるので，補題を用いて
$$\begin{aligned}
a_{10n} - a_{10(n-7)} 
&= \sum_{j=0}^{9} a_{10(n-1)-7j} \\\\
&= \sum_{j=0}^{9} \sum_{i = 0}^j (-1)^i {}\_j\mathrm{C}\_i ~ a_{10(n-i-1)} \\\\
&= \sum_{i=0}^9 \sum_{j=i}^9 (-1)^i {}\_j\mathrm{C}\_i ~ a_{10(n-i-1)} \\\\
&= \sum_{i=1}^{10} (-1)^{i-1} {}\_{10}\mathrm{C}\_{i} ~ a_{10(n-i)} 
\end{aligned}$$ 
を得る．ここで $n = 10$ とすれば，
$$\begin{aligned} 
a_{100} - a_{30} 
&= \sum_{i=1}^{10} (-1)^{i-1} {}\_{10}\mathrm{C}\_{i} ~ a_{10(10-i)} \\\\
&= {}\_{10}\mathrm{C}\_{1} ~ a_{90} + \frac{1}{11}\sum_{i = 0}^{8}(-1)^{i  - 1}{}\_{11}\mathrm{C}\_{i + 1}\\\\
&= {}\_{10}\mathrm{C}\_{1} ~ a_{90} - 1
\end{aligned}$$
であるので， $a_{90}=\dfrac{37}{440}$ を得る．特に，解答すべき値は $\mathbf{477}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/11770
$a_{90} = \dfrac{1}{10}+x$ とおいて，まず，$x = 0$ として計算を行う．
漸化式を繰り返し用いることで，
$$\begin{aligned}\\\\
a_{10n+3} &= a_{10n+10} - a_{10n} = \frac{-1}{(n+2)(n+1)} \space (0 \leq n \leq 9)\\\\
a_{10n+6} &= a_{10n+13} - a_{10n+3} = \frac{2}{(n+3)(n+2)(n+1)} \space (0 \leq n \leq 8)\\\\
a_{10n+9} &= \frac{-3!}{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)} \space (0 \leq n \leq 7)\\\\
&\vdots\\\\
a_{10n+30} &= \frac{10!}{(n+11)(n+10) \cdots (n+1)} \space (n = 0)
\end{aligned}$$
となるから，$a_{30} = \dfrac{10!}{11!} = \dfrac{1}{11}$．次に，$a_{90}$ が $x$ 増加したときの $a_{30}$ の変化を調べる．
まず，$a_{83}$ が $x$ 増加して $a_{93}$ が $x$ 減少する．さらに，$a_{76}$ が $x$ 増加して $a_{86}$ が $2x$ 減少する．さらに，$a_{69}$ が $x$ 増加して $a_{79}$ が $3x$ 減少する．同様に続ければ，$a_{30}$ は $10x$ 減少することが分かる．したがって，$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{11} - 10x$ より，$a_{90} = \dfrac{1}{10}+x = \dfrac{1}{10} - \dfrac{7}{440} = \dfrac{37}{440}$ となる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/11770/599
　漸化式 $a_{n+10}=a_{n+3}+a_n$ の特性方程式は, 
$$x^{10}=x^3+1$$ であり, 解を $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{10}$ (これらは相異なる)とするとき, $a_n$ は $\alpha_1^n,\alpha_2^n,\dots,\alpha_{10}^n$ の線形和(定数倍同士の和)で表すことができ, $b_n:=a_{10n}$ は $(\alpha_1^{10})^{n},(\alpha_2^{10})^{n},\dots,(\alpha_{10}^{10})^n$ の線形和で表すことができる. よって, $\\{b_n\\}$ の漸化式について, 特性方程式は $$f(x)=(x-\alpha_1^{10})(x-\alpha_2^{10})\cdots(x-\alpha_{10}^{10})=0$$
 となる. $f(x)$ を求めよう. $x^{10}-1=x^3$ について, 両辺 $10$ 乗することで, $y=x^{10}$ についての $10$ 次方程式, 
$$(y-1)^{10}=y^3$$
が導かれる. したがって, $f(x)=(x-1)^{10}-x^3$ であり, これから $\\{b_n\\}$ の漸化式を導出することができ, $b_9(=a_{90})$ を $b_n(=a_{10n})\\:\(1\leq n \leq 10,\\:\ n\neq 9)$ を用いて表すことができる.
特性方程式を考察する解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/11770/608
　実数列 $\\{ a_{n} \\}$ は任意の非負整数 $n$ に対し $a_{n+10} = a_{n+3} + a_{n}$ をみたします．さらに，$0$ 以上 $10$ 以下の $9$ でない整数 $n$ に対して $ a_{10n} = \dfrac{1}{n+1}$が成り立つとき，$a_{90}$ の値は互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ の値を解答してください.