　$n_{(2)}$ で $n$ を $2$ 進法表記したものとすると，操作は次のように書き換えられる. 
- $n_{(2)}$ の一の位が $1$ ならば，それを $0$ にする
- $n_{(2)}$ の一の位が $0$ ならば，それを消去する

このように考えることで，以下のように表せることがわかる．
$$f(n)=\big(n_{(2)}の桁数\big)+\big(n_{(2)}に含まれる 1 の数\big)-1$$
　ここで，$S_N=f(2^{N-1})+\cdots+f(2^N-1)$ を考えると，桁数の寄与はつねに $N$ ずつであり，最上位を除いてちょうど半数で $1$ と $0$ が現れることから，$1$ の数の寄与は平均すると $(N+1)\/2$ とわかる．よって，
$$ S_N=\biggl(N+\dfrac{N+1}{2}-1\biggr) \times 2^{N-1} = (3N-1)2^{N-2}$$
であるから，一般に $24$ を $M$ とおけば求める総和は
$$ \sum_{N=1}^{M} S_N = (3M-4)2^{M-1}+2$$
であり，$M=24$ のときこれは $\textbf{570425346}$ である．ただし，以下の等式を用いた．
$$\sum_{k=1}^{M} k2^{k-1} = (M-1)2^M+1$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/5246
- 一般に整数$n$を二進数表記したときの桁和を$\mathrm{popcount}(n)$と表すことがあります．OMCでは比較的頻出です．
- この問題のように総和で足す方向(順番)を変えることを「主客転倒」と呼ぶことがあります．
- 公式解説の最後の等式は，総和を$t$として$2t-t$を計算することにより証明できます．「等差×等比」などとググれば詳細が出てくると思います．
雑多なtips
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/5246/280
　正整数 $n$ に対し，以下の操作を $n$ が $0$ になるまで繰り返します．
- $n$ が奇数ならば，$n$ から $1$ を引く
- $n$ が偶数ならば，$n$ を $2$ で割る

例えば $14$ は以下のように操作されます：
$$14\rightarrow7\rightarrow6\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1\rightarrow0.$$
　このとき，$n$ が $0$ になるまでに必要な操作の回数を $f(n)$ とします．たとえば $f(14)=6$ です．
$$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2^{24}-2)+f(2^{24} - 1)$$
を求めてください．