　正の約数が奇数個であることは平方数であることと同値であるから,
$$n^4+24n^3=n^2(n^2+24n)$$
より $n^2+24n$ は平方数である. 正整数 $a$ によってこれを $a^2$ とおくと,
$$(n+12)^2-144=a^2 \iff (n+a+12)(n-a+12)=144$$
　$n\pm a+12$ の偶奇が一致することに留意すれば, 組 $(n,a)$ の候補を以下のように列挙できる.
$$(n,a)=(25,35),(8,16),(3,9),(1,5)$$
このうち $n^4+24n^3=(an)^2$ が正の約数を $21$ 個もつのは $(n,a)=(25,35)$ のみであり, 求める値は $\textbf{25}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc026/editorial/156
　$n^4+24n^3$ が正の約数をちょうど $21$ 個もつような, 正整数 $n$ としてあり得る値の総和を求めてください.