　この問題では条件より $AB\lt AC$ がわかることに注意する．まず, 三角形 $ABC$ の辺の長さの比を求める. そのために, $(AB + BC) : CA$ と $(AB + AC ) : BC$ を求める. \
　$(AB + BC) : CA$ を求める. $F$ は三角形 $ABC$ の $A$ に対する傍接円と辺 $BC$ の接点であり, 線分 $DE$ は $\omega$ の直径をなす. $I$ が $PM$ の中点となるように $P$ をとると, 
$$\angle BIP=\angle DIF,　IB:IP=IB:IM=IE:IF=ID:IF$$
より, 三角形 $IBP$ と三角形 $IDF$ は相似である. 従って, $\angle IBP=90^{ \circ}$ である. ここで, 三角形 $ABC$ の 角 $A$ 内の傍心を $I_{A}$ などとすると, $\angle IBI_{A}=90^{ \circ}$ だから, $3$ 点 $B, P, I_{A}$ は共線である. また, $M$ は線分 $I_{B}I_{C}$ の中点であるから, Menelausの定理より, $BI_{B}:BI=4:1$ が成り立つ.\
　ここで, 三角形 $ABC$ の外接円の弧 $CA$ ($B$ を含まない方)の中点を $N$ とすると, これは線分 $II_B$ の中点であり，Ptolemyの定理より
$$ (AB+BC)\times IN = AB\times CN + BC \times AN = CA \times BN$$
が成り立つ. 以上より,
$$(AB+BC):CA=BN:IN=5:3$$
である. \
　$(AB + AC ) : BC$ を求める. 
$$\angle IBM=\frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC) - \angle IBC = \angle BCI$$
であるから, 条件と併せて $4$ 点 $C, F, I, E$ の共円がわかる. また, 線分 $II_A, BC$ の中点をそれぞれ $K, L$ とすると, 
$$KI^2 = KB^2 = KL\times KM$$
であるので, 三角形 $MIL$ の外接円は直線 $IK$ に接する. 従って, ( $\mathrm{mod}~ 180^\circ$ での有向角によって)
$$\begin{aligned}
\measuredangle MIB + \measuredangle LIC
&= \measuredangle IMB + \measuredangle MBI + \measuredangle LIK + \measuredangle KIC\\\\
&= \measuredangle IMB + \measuredangle ICA + \measuredangle KMI + (\measuredangle IAC + \measuredangle ACI)\\\\
&= \measuredangle KMB + \measuredangle IAC\\\\
&= 0^\circ
\end{aligned}$$
を得る. 一方で, $\angle DIF = 180^\circ - \angle EIF = 180^\circ - \angle BIM$ であるから,
$$\angle DIL = \angle FIC$$
である. また, $L$ は線分 $DF$ の中点であるから, 直線 $IL$ と $EF$ は平行である. 従って, 
$$\angle ICF = \angle IEF = \angle DIL = \angle FIC$$
より $CF = FI$ である. 今, 三角形 $IBI_A$ と三角形 $IDC$ は相似であり, その相似において $P$ と $F$ は対応する. 従って, $IP = I_AP$ であるから, $\angle PKI = 90^\circ$ である. よって, $\angle MAI = 90^\circ$ と合わせて三角形 $AIM$ と $KIP$ は合同なので, 
$$(AB+CA):BC=AK:IK=2:1$$
である. 以上より, $$AB:BC:CA=7:8:9$$ である. \
　以下, $ID$ の長さを求める. 
$$\angle AIM = \angle I_AIP = \angle CIF = \angle LID = \frac{1}{2}\angle BCA$$
より, 三角形 $AIM$ と $DIL$ は相似であり, その相似比は
$$AI : ID = 1 : \sin \frac{1}{2}\angle CAB$$
である. 余弦定理などを用いて
$$\tan\frac{1}{2}\angle BCA = \frac{1}{\sqrt5},\quad \sin\frac{1}{2}\angle CAB = \sqrt{\frac{5}{21}}$$
と計算できるので, 求める値は
$$ID = \frac{AM \times \sin\frac{1}{2}\angle CAB}{\tan\frac{1}{2}\angle BCA} = \frac{5}{\sqrt{21}}$$
であり, 特に解答すべき値は $\bf{525}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/editorial/5400
　線分 $DE$ が $\omega$ の直径をなすこと，$4$ 点 $C , F , I , E$ の共円は公式解説と同様．

　$I(0) ,  E(1) , D(-1) , C(-1+ri)$ となる複素座標を考える（ただし $r$ は正の実数）．このとき方べきの定理より $DC\cdot DF=DI\cdot DE$ であるから $DF=\dfrac{2}{r}$ となり，$F$ の座標は $\biggl( -1+\dfrac{2}{r}i \biggr)$，これと $BD=CF$ より $B\biggl( -1-\biggl(r-\dfrac{2}{r}\biggr)i \biggr)$ となる．

　三角形 $BIM$ と三角形 $EIF$ は同じ向きに相似であるが，これを複素座標を用いて解釈すると，
$$\dfrac{(Bの座標)-(Iの座標)}{(Mの座標)-(Iの座標)}=\dfrac{(Eの座標)-(Iの座標)}{(Fの座標)-(Iの座標)}$$
となる．この式に今回の座標を代入して計算することで， $M$ の座標は
$$\biggl( -1-\biggl(r-\dfrac{2}{r}\biggr)i \biggr)\cdot \biggl( -1+\dfrac{2}{r}i \biggr)=\biggl(3-\dfrac{4}{r^2}\biggr)+ \biggl(r-\dfrac{4}{r}\biggr)i $$
となる．

　一方，$M$ の定義より $BM=CM$ であるから，$M$は線分 $BC$ の垂直二等分線上にあり，したがって $M$ の座標の虚部は $\dfrac{1}{r}$ となる．これらより $r-\dfrac{4}{r}=\dfrac{1}{r}$ となり， $r=\sqrt{5}$ となる．

　あとは全体に $\sqrt{5}$ 倍の相似拡大を行って $BD=3 , DC=5 , ID=\sqrt{5}$ のときに $AM$ の値を計算すればよく，これは（手間はかかるが）あまり難しくない．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/editorial/5400/174
私がコンテスト本番にした解法です. 補助点は使っていません.

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まず，有名構図より，$DE$ は直径. 三角形 $ABC$ の内接円と $AB, AC$ の接点を $X, Y$ とすると，三角形 $AXY$ と $MCB$，$EYX$ と $IBC$ はそれぞれ相似であるから，三角形 $YEA$ と $BIM$ は相似であり，よって三角形 $YEA$ と $EIF$ は相似. 以下，簡単な角度計算から $\angle EAY=\angle IFE=90-3x, \angle EYA=\angle IEF=x$ とおけ，$I$ は $DE$ の中点であることから $\tan x:\tan 90-2x=1:2$ が導け，したがって加法定理から $\tan x=1\/\sqrt 5$ となる. さらに，以下方べきの定理などから計算することで $AY=4a, IY=\sqrt 5a, DF=2a$ と表せる. ここで Ptolemy の定理から $(AC-AB)MB=AM×BC$ であり，$MB:BC=\sqrt{21}:\sqrt{20}$ なので，$2\sqrt{21}x=\sqrt{20}$ であり，よって $x=\sqrt{\dfrac{5}{21}}$. したがって，$IY^2=5x^2=\dfrac{25}{21}$ となり，解答すべき値は $\textbf{525}$ である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/editorial/5400/176
詳細な解説ではないですが，自分が解いた過程を記しておきます．考え方の参考になれば幸いです．

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まず，問題に現れる点を精査します．今回だと $E$, $F$ は傍接円にまつわる有名な構図に現れる点で，とくに $DE$ が内接円の直径となります．その他，扱うのが大変な点はなさそうです．

次に，与えられている特殊な条件を眺めます．今回だと三角形 $BIM$ と三角形 $EIF$ の相似をいかに言い換えるかがポイントとなりそうです．加えて $AM=1$ という長さの条件も扱いづらそうに見えますね．

では，本腰を入れてこの相似について調べましょう．三角形 $EIF$ は直角三角形 $EDF$ を中線で割った形と捉えることができます．
一方で三角形 $BIM$ の方はどうかというと，ひとまず $\angle IBM = \angle C\/2$ と計算できます．なので相似で移して $\angle DEF = \angle C \/ 2$ で，これと $\angle DCI = \angle C \/ 2$ を合わせて $2r^2 = DF \cdot DC$ とわかります．

この時点で長さに関して使えそうな情報を得たので，以降は角度を追うなどはあまりせず，相似の言い換えとして長さについての等式が出せないか考えていきます．

相似からわかる条件だと，二辺比夾角相等と考えれば $BM:BI = EF: EI$ で，これは先ほどの角度の条件を合わせると相似条件として必要十分となります．この比を活かしたいですが，$BI$ や $EF$ を求めるのは大変そうです．そこで，先ほどの角度の一致を見て $BM:BI = 2CI:CD$ であることに注目します．すると，$2BI\cdot CI = BM\cdot CD$ で， これは面積についての条件として処理できそうです．実際 $\angle BIC + \angle DCM = 180^\circ$ から，$2\triangle IBC =  \triangle MDC$ となります．この面積なら三角形 $ABC$ の辺の長さや内接円の半径を用いて表せそうです．

ここからは実際に辺の長さを変数で置いて計算します．内接円にまつわる長さだと，三角形の頂点 $A$, $B$, $C$ から接点までの距離をそれぞれ $x$, $y$, $z$ とおくと見通しがいいことがあります．上で言い換えた長さと面積の条件をこれらの式で表すと，$2r^2 = z(z-y)$, $xz = 4r^2$ という等式が得られます．さらに $r^2 = \dfrac{xyz}{x+y+z}$ なので，これらを整理すると $(x, y, z) = (4t, 3t, 5t)$ と表せます．

さて $AM$ の長さの条件を残していました．この長さを愚直に求めにいってもいいですが，外接円の弧の中点周りだとトレミーの定理が刺さりそうです．実際 $AM$ は $AB$, $BC$, $CA$ および $BM$ の式で表されるため，$BM$ だけ頑張って計算すればよく．結果的に $1 = \dfrac{21}{5}t^2$ となります．これで $t$ が求まり，$r^2$ も $x$, $y$, $z$ の式で書けていたのですぐに計算できます．結果は $r^2 = 5t^2 = \dfrac{25}{21}$ ですね．

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解いた過程を振り返ると，**性質の良い点かどうか**，**計算しやすい角度・長さかどうか**，といった意識を常に持っていますね．それによって，不必要な考察で議論が迷宮入りすることを防いでいます．この感覚は非常に大切なので，幾何の問題が苦手な人はぜひ意識してみてください．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/editorial/5400/177
　直線 $IM$ と円 $ABC$ との交点を $P(\not =M)$ とすると，混線内接円の性質から $\angle EFI=\angle PMB=\angle CAF$ なので $AC\parallel IF$ である．よって，$\angle FCI=\angle ACI=\angle CIF$ より $CF=IF$ である．一方，混線内接円の性質から $\triangle BIP\sim \triangle PIC$ なので
$$\angle FCI=\angle PCI-\angle PCF=\angle PIB-\angle PMB=\angle MBI=\angle FEI$$
より $C,E,F,I$ は同一円周上にある．これと $CF=IF,DI=EI$ から $CF:DF=3:2$ がわかる．$A$ から $BC$ へ下した垂線の足を $H$ とすると $\angle ACH=\angle IFD=\angle CED$ より $\triangle ACH\sim \triangle CED$ であり，$F$ と $I$ はこの相似で対応するので $CF=HF$ がわかる．  
　あとは長さが順次わかるので $\omega$ の半径が求まる．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc133/editorial/5400/771
　三角形 $ABC$ において，その内心を $I$，内接円を $ω$ とします．$ω$ と辺 $BC$ の接点を $D$ とし，辺 $BC$ 上に $BD=CF$ をみたす点 $F$ をとります．直線 $AF$ と $ω$ の交点のうち $A$ に近い方を $E$ とし，三角形 $ABC$ の外接円の弧 $BAC$ の中点を $M$ とすると，三角形 $BIM$ と三角形 $EIF$ は相似（点は並び順の通りに対応する）でした．$AM = 1$ であるとき，$ω$ の半径の $2$ 乗は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，**積** $a\times b$ を解答してください．