　$n$ 回目に初めて黒石を選ぶとき，白石は $n+1,n+2,\ldots,100$ 回目のいずれかに選ばれるから，求める値は
$$\sum_{n=1}^{99}(100-n)=1+2+\cdots+99=\dfrac{99\times 100}{2}=\textbf{4950}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/editorial/2991
　$a$ 回目で初めて黒石を選び，その後 $b$ 回目で白石を選ぶとすると，残りの $98$ 回の色は全て一意に定まる．さらに，「白石および黒石を少なくとも $1$ 回以上選ぶ」という条件も満たしている．\
　よって，$100$ 回の試行のうち，特別な $2$ 回を選べばよいので ${ }\_{100}\mathrm{C}\_{2}$ 通りである．
100C2になる理由
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/editorial/2991/524
　無数の白石と黒石があります．OMC君はここから白石または黒石を選ぶことをちょうど $100$ 回繰り返します．このとき，白石および黒石を少なくとも $1$ 回以上選び，かつ初めて黒石を選んで以降はちょうど $1$ 回のみ白石を選ぶ方法は何通りありますか？\
　ただし，白石および黒石はそれぞれ区別しないものとします．