　各辺 $e$ に対して, $e$ が $F,F^\prime$ の辺であるとき, (ただし $F\neq F^\prime$)
$$g(e)=
\begin{cases}
\dfrac{2(11+d_F^2)}{d_F} & (d_F=d_{F^\prime}) \\\\
\dfrac{11+d_{F^\prime}^2}{d_F} & (d_F\lt d_{F^\prime}) \\\\
\dfrac{11+d_{F}^2}{d_{F^\prime}} & (d_F\gt d_{F^\prime})
\end{cases}
$$
と定めれば $f(F)$ の総和は $g(e)$ の総和と等しい. ここで次の補題を示す.

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**補題.**　任意の辺 $e$ について,  
$$g(e)\geq9.$$
等号成立は $(d_F,d_{F^\prime})=(3,4),(4,3),(4,5),(5,4)$ のとき.

**証明.**
- $d_F=d_{F^\prime}$のとき\
$$\begin{aligned}
    g(e)&=\dfrac{2(11+d_F^2)}{d_F}\\\\
    &=2\left(d_F+\dfrac{11}{d_F}\right)\\\\
    &\geq4\sqrt{11}\gt9
\end{aligned}$$
より補題は正しい.

- $d_F\neq d_{F^\prime}$ のとき\
対称性より $d_F\lt d_{F^\prime}$ のときを考えれば良い. $d_F,d_{F^\prime}$ は整数なので $d_{F^\prime}\geq d_F+1$. よって
$$\begin{aligned}
    g(e)&=\dfrac{11+d_{F^\prime}^2}{d_F}\\\\
    &\geq \dfrac{11+(d_F+1)^2}{d_F}\\\\
    &=9+\dfrac{(d_F-3)(d_F-4)}{d_F}\\\\
    &\geq 9
\end{aligned}$$
等号は $d_F=3,4$ のときだから補題は示された.

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　補題より,  $ f(F) $ の総和を $X$ の辺数で割った値は $ 9 $ 以上であり,  $ 9 $ となるのは $ d_F=3,4,5 $ で隣り合う面同士の辺数の差が $ 1 $ であるときである. 従って $ d_F=3,4,5 $ で隣り合う面同士の辺数の差が $ 1 $ であるときの面の数の最大値を求めればよい.\
　$ d_F=3,4,5 $ となる面の数をそれぞれ $ a,b,c $ とし, 辺の数を $ x $, 面の数を $ y(=a+b+c) $ とする.  $ d_F=4 $ を満たす面同士,  $ d_F=3,5 $ を満たす面同士は隣接しないので
$$  x=4b=3a+5c $$
となる. 従って $ a\equiv c\pmod4 $ であるから $ a=4p+r, c=4q+r $ なる非負整数 $ p,q $,  $ 0 $ 以上 $ 3 $ 以下の整数 $ r $ が存在する. また, オイラーの多面体定理より, 
$$ a+b+c-x+24680=2 $$
となる.ことに気をつければ,
$$ b=3p+5q+2r,\quad 5p+11q+4r=24678,\quad y=7p+9q+4r $$
が分かる. 従って $ y-24678=2(p-q) $ なので,  $ y $ を最大化するには $ p-q $ を最大化すれば良い. $5p + 11q = 24678-4r$ に気をつければ, $r = 0,1,2,3$ のとき, $p-q$ の最大値はそれぞれ $4926, 4922, 4934,4930$ であるから, 求める最大値は $34546$ である. 実際に $y = 34546$ となる $X$ が存在することが確認できるので, 解答すべきは $\bf{34546}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/imo2022-day1/editorial/2682
　$X$ を頂点が $24680$ 個ある穴のない多面体とします. $X$ の各面 $F$ に対して $F$ の辺の数を $d_F$ とし, $F$ と一辺を共有する面 $F^\prime$ であって $d_F\leq d_{F^\prime}$ をみたすもの全てについての $\dfrac{11+d_{F^\prime}^2}{d_F}$ の総和を $f(F)$ とします. $f(F)$ の総和を $X$ の辺の数で割った値が最小となるとき, $X$ の面の数としてあり得る最大値を求めてください.