　まず，条件 $\gcd(a,b)\times\gcd(b,c) =\gcd(a,c)$ について考えよう．$a,b,c$ の少なくとも一つを割り切る適当な素数 $p$ について，それぞれを割り切る回数を $x,y,z$ とする．一般性を失わず $x\leq z$ とすれば，条件は
$$\min(x,y)+\min(y,z)=x.$$
　ここで $y\geq z$ のとき，$x\leq z$ より $\min(x,y)=0$ が必要．これは $x=z=0$ を意味する．また $y\lt z$ のとき，$x\lt y$ ならば $y=0$ となり矛盾．すなわち，いずれにせよ $\min(x,y)=\min(y,z)$ であるから，
$$\gcd(a,b)=\gcd(b,c)\bigl(=\gcd(a,b,c)\bigr)$$
が成り立つ．これを $g$ とおく．なお，以下の変形からも証明できる．$\gcd(a,b,c)=\gcd(b,c)$ も同様に得られる．
$$\gcd(a,b,c)=\gcd\bigl(\gcd(a,b),\gcd(a,c)\bigr)=\gcd\bigl(\gcd(a,b), \gcd(a,b)\times\gcd(b,c)\bigr)=\gcd(a,b)$$
　$\gcd(a,c)=g^2$ および $2022=2\times3\times337$ に注意すると，$g$ として考えるべきものは $1,2,3,6$ である．\
　いま，条件 $a+b+c=N$ のもとで $a^2+b^2+c^2$ を最小化するには，$(a-N\/3)^2+(b-N\/3)^2+(c-N\/3)^2$ を最小化すればよいことに注意する．すなわち，感覚的には「$a,b,c$ それぞれを $N\/3$ に近づける」必要がある．\
　$g=6$ とする．このとき，$a=ga^\prime$ などとおけば $a^\prime+b^\prime+c^\prime=337$ であり，最小化すべき値は ${a^\prime}^2+{b^\prime}^2+{c^\prime}^2$ である．いま，$a^\prime,c^\prime$ は $6$ で割り切れることに注意すれば，$337\/3$ の周辺から $108$ や $114$ が候補となる．実際，$(a^\prime,b^\prime,c^\prime)=(108, 115, 114)$ として
$$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\mathrm{gcd} (a,b,c)}=g({a^\prime}^2+{b^\prime}^2+{c^\prime}^2)=\bm{227310}$$
が最小であることがわかる．$g\leq 3$ のとき $(\text{与式}) \geq 3\times 674^2 \/g \geq 454276$ であるから，結局これが求める最小値である．
<details><summary>$g=6$ の場合を厳密に<\/summary>
　条件を緩め，$a^\prime\neq c^\prime, a^\prime \equiv 0, b^\prime\equiv 1, c^\prime\equiv 0 \pmod{6}$ で $({a^\prime}-337\/3)^2+({b^\prime}-337\/3)^2+({c^\prime}-337\/3)^2$ を最小化しよう．まず $b^\prime \equiv 1 \pmod{6}$ に注意すれば，$(b^\prime-337\/3)^2$ 単独では $b^\prime=115$ で最小化される．$(a^\prime-337\/3)^2$ 単独でも同様に $a^\prime=114$ で最小化される．$(c^\prime-337\/3)^2$ も同様に評価したいだが，$a^\prime\neq c^\prime$ に注意すれば，$2$ 番目に小さい値とまとめて次のように評価せねばならない：
$$(a^\prime-337\/3)^2 + (c^\prime-337\/3)^2 \geq (114-337\/3)^2 + (108-337\/3)^2$$
$114+115+108=337$ であり，$\gcd$ に関する条件にも適合するから，今回の状況でもすべての等号が同時に実現できる．
<\/details>
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc139/editorial/2756
　正整数 $a,b,c$ は以下の条件をみたします.
$$a+b+c=2022,\quad \gcd(a,b) × \gcd(b,c) =\gcd(a,c)$$
このとき，以下の式のとりうる最小値を求めてください．
$$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\gcd(a,b,c)}$$