　解と係数の関係から $\alpha + \beta = 2345, \  \alpha \beta = 10000$ であるから，
$$(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^2 = \alpha + \beta + 2\sqrt{\alpha \beta} = 2345 + 2 \sqrt{10000} = 2545$$
である．$50^2 = 2500, ~ 51^2 = 2601$ より
$$50 \lt \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} \lt 51$$ 
であるから，解答すべき値は $\mathbf{50}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/editorial/11973
　$2$ 次方程式 $x^2 - 2345 x + 10000 = 0$ の相異なる $2$ つの正の実数解を $\alpha, \beta$ とするとき，$\displaystyle \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}$ 以下の最大の整数を解答してください．