　全体をグラフとして解釈すれば, それぞれの連結成分は各色の色 $1$ つずつを含み, そのような島の分割はある色の島を固定することで $(3!)^3$ 通りである. また, 各連結成分について橋を $3$ 本以上架ければよいから (ただしちょうど $3$ 本でそれらがループをなす構造は不可), それぞれの架け方は ${}\_{6}\mathrm{C}\_{6}+{}\_{6}\mathrm{C}\_{5}+{}\_{6}\mathrm{C}\_{4}+{}\_{6}\mathrm{C}\_{3}-4=38$ 通りである.\
　以上より, 全体では $(3!)^3\times 38^3=\textbf{11852352}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/editorial/2261
　赤色の島，青色の島，緑色の島，黄色の島がそれぞれちょうど $3$ つずつあり，同色の島同士も区別できます．これらの島に以下の $3$ 条件をみたすようにいくつかの橋を架ける方法は何通りありますか？

- どの $2$ つの島も，ちょうど $1$ 本の橋で結ばれているか結ばれていないかのいずれかであって，橋の両端は相異なる $2$ つの島に繋がっている．橋は両端の島の間の双方向の行き来を可能とする．
- どの同色の島同士も $1$ つ以上の橋を経由して互いに行き来できない．
- どの島も $1$ つ以上の橋を経由して他の $3$ つ以上の島と互いに行き来できる．