　$i=1,2,\ldots,7$ に対し，$i$ から $P_i$ に辺を張ったグラフを考えると，条件はサイクルの大きさがすべて $2$ べきであることが必要十分条件である．サイクルの大きさの組み合わせで場合分けすることにより，答えは$630+210+105+105+21+1=\textbf{1072}$ 通りと求まる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6674
　ある長さ $N$ の順列 $P$ に対して，$P$ を $i~(1\leq i \leq N)$ 番目が $P_{P_i}$ であるような順列に置き換えるという操作を考える．次の条件を満たす長さ $7$ の順列の個数を求めなさい.

 - $k$ 回操作を行った後の順列と $k+1$ 回操作を行った後の順列が等しいような正整数 $k$ が存在する.


　ただし，長さ $N$ の順列とは，$1,2,3,\ldots ,N$ を並び変えたものである．