　集合 $A_n\setminus A_{n-1}$ は正三角形の辺上に等間隔に並ぶ $3n$ 点からなることが容易にわかる. $n$ 回の行動でこれらの点に至るには, $3$ 方向すべてに移動しないことが必要十分条件であるから, そのような経路としてあり得るものの数は
$$3\times\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k-2\right)+3=3\times 2^{n}-3$$
特に $n=10$ のときこれは $3069$ であり, 求める確率は $\dfrac{3069}{3^{10}}=\dfrac{341}{6561}$ より, 解答すべき値は $\textbf{6902}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc066/editorial/1681
　$xy$ 座標平面上の原点に $1$ 匹のアリがいます. はじめにアリは原点に印をつけます.\
　このアリは $x$ 軸の正方向を向いており, いまから次の一連の行動を繰り返し行います：

- 進行方向を変えないか, 左に $120^{\circ}$ 回転するか, 右に $120^{\circ}$ 回転する. これらは等確率に選択される.
- その後, 進行方向に沿ってちょうど距離 $1$ を進み, 到達した地点に印をつける.

　このアリがちょうど $n$ 回続けて行動を終えた時点で, それまでにアリが印をつける可能性のある点の集合を $A_n$ とします. $A_n$ はアリの行動に依存して定まるものではなく, $n$ のみに依るものであることに注意してください.\
　アリが $10$ 回続けて行動を行うとき, 最後に印を付ける点が $A_9$ に属さないような確率を求めてください.\
　ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.