　$|x|\gt1$ のとき，$|y|=|x(4x^2-3)| \gt |x| \gt 1$ を得る．よって $|x| =|2y^2-1| \gt |y|$ となるが，これは矛盾．従って $|x|\leq1$ であるから，$x = \cos \theta$ なる実数 $0\le\theta\le\pi$ が存在する．このとき $y = \cos3\theta$ かつ $y^2 = \cos^2\dfrac{\theta}{2}$
が成立するから，$\theta=0,\dfrac{2\pi}{7},\dfrac{2\pi}{5},\dfrac{4\pi}{7},\dfrac{4\pi}{5},\dfrac{6\pi}{7}$ を得る．\
　ここで，
$$\cos^4\theta = \Bigg(\frac{1+\cos2\theta}{2}\Bigg)^2=\frac{\cos4\theta+4\cos2\theta+3}{8}$$
であるから，任意の正の整数 $n$ について
$$
\sum_{k = 1}^{n}\cos^4\frac{2k\pi}{2n+1} = \frac{1}{8}\sum_{k=1}^{n}\Bigg(4\cos\frac{4k\pi}{2n+1} + \cos\frac{8k\pi}{2n+1}\Bigg) + \frac{3n}{8} = \frac{5}{8}\sum_{k=1}^{n}\cos\frac{2k\pi}{2n+1} + \frac{3n}{8}
$$
を得る．また，$n$ 個のベクトル
$$
\Bigg(\cos\frac{2\pi}{2n+1}, \cos\frac{2\pi}{2n+1}\Bigg) \quad \Bigg(\cos\frac{4\pi}{2n+1}, \cos\frac{4\pi}{2n+1}\Bigg)\quad\dots \quad \Bigg(\cos\frac{2n\pi}{2n+1}, \cos\frac{2n\pi}{2n+1}\Bigg)
$$
の合成を考えることで
$$
\sum_{k=1}^{n}\cos\frac{2k\pi}{2n+1} = -\frac{1}{2}
$$
が分かるから，
$$
\sum_{k = 1}^{n}\cos^4\frac{2k\pi}{2n+1} = \frac{6n - 5}{16}
$$
である．以上より，求める総和は
$$
\cos^40 + \cos^4\frac{2\pi}{5} + \cos^4\frac{4\pi}{5} + \cos^4\frac{2\pi}{7} + \cos^4\frac{4\pi}{7} + \cos^4\frac{6\pi}{7} = 1 + \frac{7}{16} + \frac{13}{16} = \frac{9}{4}
$$
である．特に，解答すべき値は $\bf{13}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/4101
　まず，$x$ だけの方程式にすると，$32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - x - 1 = 0$ が得られる（これが $6$ つの実数解をもつことは，微分を用いて確認することができる）．ここで，今回聞かれているのは $4$ 乗の総和なので，実質的には $2(4x^2 - 3) = 32x^4 - 48x^2 + 18 = 2(4x^2 - 3)^2 = 0$ の $4$ 乗の総和を求めればよく（解説：[ユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc200\/editorial\/4101\/395)），これは $\dfrac{9}{4}$ と求まる．
解を求めずに
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/4101/392
注：これは[ユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc200\/editorial\/4101\/392)のユーザー解説です．[OMC118(E)の公式解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc118\/editorial\/2506)の「別解」も参考になると思います．

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　一般に，変数 $x_1, \cdots, x_n$ の $k$ 次対称式を $S_k$ で表すとき，$x_1,\cdots, x_n$ の $m$ 乗和は $S_1, \cdots, S_m$ の整数係数多項式として表せることが知られています．これは例えば [Newton の恒等式](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1304)から示せます．

　これを仮定すれば，求めるべき $4$ 乗和は $4$ 次までの対称式のみで表せます．解と係数の関係を踏まえれば，$1$ 次以下の項の係数を任意に設定しても解の $4$ 乗和は変化しません．すなわち，次の $2$ つの和は等しいです．

- $32x^6 - 48x^4+18x^2 - x - 1=0$ の（重複込みの）複素数解の $4$ 乗和．
- $32x^6 - 48x^4+18x^2 = 0$ の（重複込みの）複素数解の $4$ 乗和．

解 $x=0$ を含めなくても $4$ 乗和は変化しないので，後者の式の左辺を $x^2$ で割っても変化しません．これで行間が埋まりました．
nmoonさんのユーザー解説の解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/4101/395
　実数 $x,y$ が以下の $2$ 式をともに満たしています：
$$
x^2 = \frac{3x + y}{4x},\quad y^2 = \frac{x+1}{2}.
$$
$x$ としてありうる値すべてについて，それぞれの $4$ 乗の総和を求めてください．ただし，求める答えは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．