公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2024/editorial/11550
作問：宮村

　以下の $\fbox{　　}$ に当てはまる数は，最大公約数が $1$ である整数 $m,n$ を用いて $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答してください．ただし，$n$ は $1$ 以上とします．
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　ある池の周上に地点 $P$ があり，その池の周囲を地点 $P$ から $A$ 君，$B$ 君，$C$ 君の $3$ 人はそれぞれ一定の速さで同じ方向かつ同時に走り出した．最初は $A$ 君が最も速く，$B$ 君が最も遅く走り出し，その後$A$ 君と $C$ 君が $1$ 回すれ違うごとに $A$ 君と $B$ 君はどちらも速さを分速 $\fbox{　　}$ mだけ上げる．$A$ 君と $B$ 君が初めてすれ違った $10$ 分後に $C$ 君は地点 $P$ を $2$ 回目に通過し，走り出してから $87$ 分後に $A$ 君は地点 $P$ を $4$ 回目に通った．$A$ 君は $C$ 君と $2$ 回目にすれ違ってから $3$ km進むと地点 $P$ を $10$ 回目に通った．また $B$ 君と $C$ 君が初めてすれ違ったちょうどそのとき $A$ 君は地点 $P$ を $7$ 回目に，$C$ 君は $5$ 回目に通った．ただし，それぞれの人が地点 $P$ を通った回数，およびそれぞれの $2$ 人がすれ違った回数にスタートは含めない．