　$N=20$ とする．箱には合計でボールが $\dfrac{N(N+1)}{2}$ 個入っているから，期待値は次のように計算できる：
$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{N}n\cdot\frac{n}{\frac{N(N+1)}{2}}
&=\frac{2}{N(N+1)}\sum_{n=1}^{N}n^2\\\\
&=\frac{2}{N(N+1)}\cdot\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\\\\
&=\frac{2N+1}{3}\\\\
&=\frac{41}{3}
\end{aligned}$$
従って解答すべき値は $41+3=\textbf{44}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/editorial/7154
　箱が $1$ つあり，その中には $n=1,2,\dots,20$ について番号 $n$ が書かれたボールが $n$ 個，合計 $210$ 個入っています．OMC君がこの箱からボールを $1$ つ取り出したとき，このボールに書かれている値の期待値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されます．$a+b$ の値を解答してください．ただし，どのボールも等確率で取り出されます．