　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とする．三平方の定理から $\angle PQR = 90^\circ$ であるので，簡単な計算により 
$$\angle ABC =\angle BAP = \angle BCR = 45^\circ$$
が分かる．従って，三角形 $APB$ と三角形 $CPH$が直角二等辺三角形であるから，三角形 $ACP$ と三角形 $BHP$ は合同である．同様にして三角形 $ACR$ と三角形 $HBR$ も合同である．また，$D$ と $H$ は線分 $AC$ に関して対称であることと合わせて，求めるものは次のように変形できる． 
$$
\begin{aligned}
|ABCD| &= |ABC| + |ADC| \\\\
&= |ABC| + |AHC| \\\\
&= |ACP| + |ACR| + |HPB| + |HRB| \\\\
&= 2(|APC| + |ARC|)
\end{aligned}
$$
ここで，三角形 $CPQ$ と三角形 $RPB$ は相似であるから
$$|APC| = \frac{1}{2}\times CP\times AP = \frac{1}{2}\times CP\times PB = \frac12\times QP\times RP = \frac{175}{2}$$
であり，同様にして
$$|ARC| = \frac{1}{2}\times QR\times PR = 300$$
が分かる．以上より求める面積は $\bf{775}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/4338
　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とする. $$\angle CRB=\angle CQB=90^{\circ},　\angle HQC=\angle CPH=90^{\circ}$$ より $R, Q, B, C$ と $Q, H, P, C$ はそれぞれ共円なので，$$\angle RQH=\angle RCB=\angle HCP=\angle HQP,　\angle RBQ=\angle RCQ=\angle HCQ=\angle HPQ$$ より，三角形 $HPQ$ と $RBQ$ は相似. よって，$QH×QB=QP×QR=168$. また，$\angle PQR=90^{\circ}$ が三平方の定理の逆から得られる．$$\angle RBP=90^{\circ}-\angle BCR=90^{\circ}-\angle BQR=90^{\circ}-\angle PQR\/2=45^{\circ}.$$
よって，$PR=BH\sin 45^{\circ}$ より，$BH=25\sqrt 2$. これと $QH×QB=QR×QP=168$ より，$QH=3\sqrt 2$. また，三角形 $AHC$ と三角形 $ADC$ は合同なので，$QD=3\sqrt 2$. さらに，$\angle BAH=\angle HCB=45^{\circ}$ より，$RA=RH, RC=RB$ だから，三角形 $RAC$ と三角形 $RHB$ は合同. よって，$AC=HB=25\sqrt 2$. したがって，四角形 $ABCD$ の面積は，$AC×BD\/2=25\sqrt 2×31\sqrt 2\/2=\textbf{775}$.
計算はやや重いが思いつきやすそう？な解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/4338/294
　円に内接し，$2$ 本の対角線が直交する四角形 $ABCD$ があります．$A$ から直線 $BC$，$B$ から直線 $CA$，$C$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $P,Q,R$ とします．
$$PQ=7, \quad QR=24, \quad RP=25, \quad \angle ABC \lt 90^\circ$$
であるとき，四角形 $ABCD$ の面積を求めてください．