　平面 $\alpha ,\beta ,\gamma$ がそれぞれ $xy,yz,zx$ 平面であるとしてよい.\
　このとき, $xy$ 平面による $P$ の断面の半径を $R_{xy}$ などと表し, $P$ の半径を $R_P$ とする.

**解法1.**　一般性を失わず球の中心の座標を $x,y,z\geq 0$ によって $(x,y,z)$ と表すと,
$$\begin{cases}
R_P^2-z^2=R_{xy}^2=20\\\\
R_P^2-x^2=R_{yz}^2=27\\\\
R_P^2-y^2=R_{zx}^2=21
\end{cases}$$
これより明らかに $R_P^2\geq 27$ である. また条件より $y^2\leq R_{xy}^2=20$ であるから, $R_P^2\leq 41$ が成立する.\
　逆に $R_P^2$ を $27$ および $41$ としてそれぞれ条件を充足できるから, 解答すべき値は $27+41=\textbf{68}$ である.

**解法2.**　$P$ の表面と $x$ 軸との $2$ 交点の座標を $x_1,x_2$ などで表す. ただし, 接する場合は $x_1=x_2$ とする. このとき, 三平方の定理と方べきの定理から次式が成り立つことが確かめられる：
$$4R_{xy}^2=x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2$$
すなわち, 与えられた断面積から次式が導かれ, $x_1^2+x_2^2=28,\\, y_1^2+y_2^2=52,\\\, z_1^2+z_2^2=56$ を得る.
$$\begin{cases}
x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2=80\\\\
y_1^2+y_2^2+z_1^2+z_2^2=108\\\\
z_1^2+z_2^2+x_1^2+x_2^2=84
\end{cases}$$
これと相加・相乗平均の関係式から $\lvert x_1x_2\vert\leq 14$ である. 一方で, 三平方の定理から
$$R_P^2=R_{yz}^2+\left(\frac{|x_1- x_2|}{2}\right)^2=\frac{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2+z_1^2+z_2^2}{4}-\frac{x_1x_2}{2}=34-\frac{x_1x_2}{2}$$
　以上より $\sqrt{34-7}\leq R_P\leq\sqrt{34+7}$ となり, 同じ結論を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc064/editorial/1855
　平面 $\alpha ,\beta ,\gamma$ は互いに直交しており, かつすべて球 $P$ と共通部分をもちます. このとき, 次の条件をともにみたすような球 $P$ の半径としてあり得る最小値を $r$, 最大値を $R$ とします. $r^2+R^2$ を解答してください.
- 平面 $\alpha ,\beta ,\gamma$ のうち, どの $2$ 面の交線も球 $P$ と共通部分を持つ.
-  球 $P$ の平面 $\alpha ,\beta ,\gamma$ による断面積がそれぞれ $20\pi ,27\pi ,21\pi$ である.