　$n^{n^n}$ が平方数でないものを数えればよい．$n$ は奇数である必要があり，さらにこのとき $n$ 自身が平方数でないことと同値である．$1$ 以上 $1110$ 以下の範囲にある奇数 $555$ 個のうち，平方数は $1^2, 3^2, \ldots, 33^2$ の $17$ 個なので，求める個数は $555 - 17 = \mathbf{538}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/editorial/8390
　次の $1110$ 数のうち正の約数の個数が偶数であるものはいくつありますか？
$$1^{1^1},~ 2^{2^2}, ~ 3^{3^3}, \dots , ~ 1110^{1110^{1110}}$$
ただし，指数は右上から計算するものとします．