**はじめに.**　[こちらのユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc115\/editorial\/5532\/111)はより明快かもしれない方針をとっており，オススメである．

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**解答.**　与式は以下のように変形できることがわかる．
$$\begin{aligned}
(\text{与式})
&=\frac{S^4(G-E)+E^4(S-G)+G^4(E-S)}{(S-E)(E-G)(G-S)}\\\\
&=\frac{(S-E)(E-G)(G-S)(S^2+E^2+G^2+SE+EG+GS)}{(S-E)(E-G)(G-S)}\\\\
&=S^2+E^2+G^2+SE+EG+GS\\\\
&=(S+E+G)^2-(SE+EG+GS)
\end{aligned}$$
よって，解と係数の関係より，この式の値は $\biggl(-\dfrac{5}{7}\biggr)^2-\biggl(-\dfrac{3}{7}\biggr)=\dfrac{46}{49}$ であり，解答すべき値は $46+49=\textbf{95}$ である．

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**補足.**
$$f(S,E,G)=S^4(G-E)+E^4(S-G)+G^4(S-E)$$
とすれば，$f(S,E,G)$ は交代式なので， $(S-E)(E-G)(G-S)(S,E,Gの対称式)$ の形に因数分解できる．次数にも注意すれば，
$$f(S,E,G)=(S-E)(E-G)(G-S)(a(S^2+E^2+G^2)+b(SE+EG+GS))$$
とおける．あとは係数を比較して，$a,b$ を求めればよい．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc115/editorial/5532
　以下が確認できる（これは $S,E,G$ が相異なればその値に依らず成立する）：
$$\frac{1}{(S-E)(S-G)} + \frac{1}{(E-G)(E-S)}+\frac{1}{(G-S)(G-E)} = 0, $$
$$\frac{S}{(S-E)(S-G)} + \frac{E}{(E-G)(E-S)}+\frac{G}{(G-S)(G-E)} = 0, $$
$$\frac{S^2}{(S-E)(S-G)} + \frac{E^2}{(E-G)(E-S)}+\frac{G^2}{(G-S)(G-E)} = 1 $$
また $x=S,E,G$ が $7x^3+5x^2-3x-2=0$ を満たすことを用いれば，$x=S,E,G$ について
$$\begin{aligned}
x^4 &= -\frac57 x^3 + \frac37 x^2 + \frac27 x \\\\
&= \frac{25}{49} x^2 - \frac{15}{49} x - \frac{10}{49} + \frac37 x^2 + \frac27 x \\\\
&= \frac{46}{49} x^2 - \frac{1}{49} x - \frac{10}{49}
\end{aligned}$$
と変形できる．従って求める値は
$$\frac{46}{49}\times 1 - \frac{1}{49}\times 0 - \frac{10}{49} \times 0 = \frac{46}{49}$$
であり，解答すべき値は $\textbf{95}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc115/editorial/5532/111
　 $x$ の $3$ 次方程式
$$7x^3+5x^2-3x-2=0$$
の $3$ 解を $x=S,E,G$ とします．このとき，以下の値
$$\frac{S^4}{(S-E)(S-G)}+\frac{E^4}{(E-G)(E-S)}+\frac{G^4}{(G-S)(G-E)}$$
は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので、 $a+b$ を解答してください．