　$a_2 = 2^8$ である．また，任意の正の整数 $n$ に対し，
$$a_{n+2} = \frac{4a_{n+1}^4}{\prod_{k=1}^{n+1}a_k} = \frac{4a_{n+1}^4}{4a_{n}^4} = \frac{a_{n+1}^4}{a_n^4}$$
が成り立つ．よって，$b_n = \log_2a_n$ とすると，数列 $\\{b_n\\}$ は $b_1 = 2, b_2 = 8$ かつ任意の正の整数 $n$ について
$$b_{n+2} = 4b_{n+1} - 4b_{n}$$
をみたす．これを解くと，$b_n = n2^n$ が分かるので，$a_n = 2^{n2^{n}}$ である．\
$$b_{999} = 999\cdot2^{999} \equiv 90\cdot2^{-1} \equiv 45 \pmod{101}$$
より，$\dfrac{b_{999}-45}{101}$ が正整数であることに気をつけると，
$$a_{999} = 2^{b_{999}} = 2^{45} \big((2^{101}-1)+1\big)^{\frac{b_{999}-45}{101}} \equiv 2^{45} \pmod{2^{101}-1}$$
である．よって $r=2^{45}$ でありその約数の個数は $\bf46$ 個である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb013/editorial/7608
　正の整数からなる数列 $\\{a_n\\}$ は $a_1=4$ および，任意の正の整数 $n$ に対して以下を満たします.
$$\prod_{k=1}^{n+1}a_k=4a_n^4$$
　このとき $a_{999}$ を $2^{101} - 1$ で割った余りを $r$ とします．$r$ の正の約数の個数を求めてください．