　対称性より，$P$ が動く範囲のうち三角形 $OBC$ の内部及び周上の部分の面積 $S$ を求め，これを $3$ 倍すればよい．三角形 $OBC$ を $xy$ 平面上に，$B(-\sqrt3,0),C(\sqrt3,0),O(0,1)$ となるように配置する．このとき，点 $P(x,y)$ について満たすべき不等式は$$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} \leq y$$ で表される．これを満たし，三角形 $OBC$ 内にある点 $P$ の面積 $S$ は
$$2\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt3}} \left(\left(-\frac{1}{\sqrt3} x+1\right)-\left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}\right)\right)dx$$
で表され，求める面積は $3S= \dfrac{5\sqrt 3}{9}$ である．特に，解答すべき値は $\bf{17}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/editorial/6820
　1辺 $2\sqrt3$ の正三角形 $ABC$ があり，その外心を $O$ とします．三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ から辺 $BC, CA, AB$ に垂線を引きその足を $D,E,F$ としたとき
$$PO\leq PD,\quad PO\leq PE,\quad PO\leq PF$$
が成立しました．このような点 $P$ が動く範囲の面積は正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$  ($a,c$ は互いに素で $b$ は平方因子をもたない) と表されるので，$a+b+c$ を解答してください．