　$k = \dfrac{2021}2$ とすると，$\ell_t$ が $x$ 切片を持つことと $t \ne k$ は同値であり，$\\{x_n\\}$ について
$$x_{n+1} = \frac{x_n^2 - 4k^2}{2 \left(x_n - k\right)}. $$
このとき，$\tan \theta_n = \dfrac{\sqrt3\\, k}{x_n - k}$ とおけば $\tan \theta_{n+1} = \tan 2\theta_n$ を得るから，$\tan \alpha\pi = \dfrac{\sqrt3\\, k}{a - k}$ なる $\alpha$ について
$$x_n = \frac{\sqrt3\\, k}{\tan\mathopen{}\left(2^{n-1}\alpha\pi\right)} + k. $$
いま $0 \le a \le 2k$ の範囲で考えていることから，$\dfrac13 \le \alpha \le \dfrac23$ としてよい．

　$x_1, x_2, \ldots, x_{20}$ がすべて相異なり，かつ $x_{21} = a$ であることは，$x_{21} = a, x_{11} \ne a, x_5 \ne a$ と同値で，
$$\tan\mathopen{}\left(2^{20}\alpha\pi\right) = \tan \alpha\pi,\qquad \tan\mathopen{}\left(2^{10}\alpha\pi\right) \ne \tan \alpha\pi,\qquad \tan\mathopen{}\left(2^4\alpha\pi\right) \ne \tan \alpha\pi, $$
すなわち $\left(2^{20}-1\right) \alpha$ が整数でかつ $\left(2^{10}-1\right) \alpha$ および $\left(2^4-1\right) \alpha$ がともに整数でないことと同値である．

　$2^{20} - 1$ は $2^{10} - 1, 2^4 - 1$ の倍数である．また正整数 $m$ に対して $2^{2m} - 1$ は常に $3$ の倍数で，さらに
$$\gcd\mathopen{}\left(2^{10} - 1, 2^4 - 1\right) = 2^{\gcd(10,4)} - 1 = 2^2 - 1$$
であるから，$\alpha$ の範囲に注意して，求める非負整数は包除原理より
$$\left(\frac{2^{20} - 1}3 + 1\right) - \left(\frac{2^{10} - 1}3 + 1\right) - \left(\frac{2^4 - 1}3 + 1\right) + \left(\frac{2^2 - 1}3 + 1\right) = \mathbf{349180}. $$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc060/editorial/1484
　関数 $f(x) =x^2 - 2021x + 2021^2$ および任意の実数 $t$ について，$xy$ 座標平面上で曲線 $y=f(x)$ の点 $(t,f(t))$ における接線を $\ell_t$ とします．また実数列 $\\{x_n\\}_{n=1,2,\ldots}$ を，以下のように定義します：

* $a$ を適当な実数として，$x_1=a$ とする．
* $x_n$ が定義されて $ℓ_{x_n}$ の $x$ 切片も存在するならば，この $x$ 切片の値を $x_{n+1}$ とする．
* $x_n$ が定義されるが $ℓ_{x_n}$ の $x$ 切片は存在しないとき，任意の整数 $m\gt n$ に対し $x_m$ は定義されない．

　いま，$x_1,x_2,\ldots,x_{21}$ がすべて定義され，かつ $x_1,x_2,\ldots,x_{20}$ がすべて相異なり，さらに $x_{21}=a$ であったとき，$a$ としてあり得る値のうち $0$ 以上 $2021$ 以下のものの個数を求めてください．