$BC$ の中点を $M$, 三角形 $ABC$ の垂心, 外心をそれぞれ $H,O$ とすれば, $HD:OM=DE:ME=3:1$ であり, well-known-factとして $AH:OM=2:1$ であるので
$$AD:HD=5:3$$
である. また, 
$$\angle{HBD}=90^{\circ}-\angle{BHD}=  90^{\circ}-\angle{ACB}    =\angle{DAC}$$
 であるから三角形 $DBH$ と三角形 $DAC$ は相似であることがわかり, $AD=x$ とおけば以下が従う.  
$$\frac{3}{5}x\times{x}=BD\times CD=21$$
よって $AD=\sqrt{35}$ と求まるから, 三角形 $ABC$ の面積は $5\sqrt{35}$ であり, 特に解答すべき値は $\bf{875}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc140/editorial/4032
こういう問題は直交座標で考えるといいです．\
$A(0,x), B(-3,0), D(0,0), E(3,0), C(7,0)$ とします．\
対称性より，$x\gt0$ としてよいです．\
一般に，$A(0,a), B(b,0), C(c,0)$ のときに垂心は $H\left(0,-\dfrac{bc}{a}\right)$ となることが知られているので， $H\left(0,\dfrac{21}{x}\right)$ となります．\
また，重心は $G\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{x}{3}\right)$ となります．\
$G,H,E$ が同一直線上にあることから $x=\sqrt{35}$ とわかり，$ABC$ の面積は $\mathbf{5\sqrt{35}}$ とわかります．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc140/editorial/4032/188
　三角形 $ABC$ において，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とし，三角形 $ABC$ の[オイラー線](https:\/\/onlinemathcontest.com\/terms)と直線 $BC$ の交点が存在したのでそれを $E$ とすれば，$4$ 点 $B,D,E,C$ はこの順に並びました．
$$BD=DE=3, \quad EC=4$$
であるとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．