　$p \neq q$ より，$p,q$ は互いに素であるから，$(p+1)^2 \equiv 1\equiv q^{p-1} \pmod{p}$ が成り立つ．よって  $p\mid 345$ であるから，$3,5,23$ が $p$ の候補である．

- $p=3$ のとき $4^2+345=q^2$ より $q=19$ が条件を満たす．
- $p=5$ のとき $6^2+345=q^4$．これを満たす $q$ は存在しない．
- $p=23$ のとき $24^2+345=q^{22}$．これを満たす $q$ は存在しない．

　したがって，与えられた等式を満たすものは $(p,q)=(3,19)$ のみであり，解答すべき値は $\mathbf{22}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc208/editorial/5890
　$p=2$ と仮定すると，そのような素数 $q$ は存在しないことがわかる．従って $p$ は奇素数であり，特に $p-1$ は偶数である．\
　このことを活用すれば，次の式を得る：
$$(q^{\frac{p-1}{2}}+p+1)(q^{\frac{p-1}{2}}-p-1)=345$$
　あとは，左辺が $345×1$，$115×3$，$69×5$，$23×15$ となる場合をそれぞれ確かめればよい．
因数分解を用いる方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc208/editorial/5890/416
　相異なる素数の組 $(p,q)$ であって，
$$(p+1)^2+345=q^{p-1}$$
をみたすものすべてについて，$p+q$ の総和を求めてください．