　まずはすべてが $16$ の倍数となるような整数 $3$ つを見つけることを目標にしよう．$3$ 数とも一の位は $2, 4, 6, 8$ のいずれかとなる．もし一の位が $4$ または $8$ であるならば，十の位も偶数でなければならない．このことから $4, 8$ のうち一方は一の位として使うことができない．さらに，下 $2$ 桁が $48$ である $3$ 桁の $16$ の倍数は $448, 848$ に限られるが，いずれも作ることができない数である．\
　したがって $3$ 数は以下のように分類することができ，それらを $a, b, c$ とおくことにする．
- 一の位が $2$ であるもの （ $a$ とおく）
- 一の位が $6$ であるもの （ $b$ とおく）
- 下 $2$ 桁が $84$ であるもの （ $c$ とおく） 

　ここで，$b$ としてあり得る数は $176, 576, 736, 976$ の $4$ 通りに限られることが分かる．したがって $b$ を作るのに $7$ が必ず使われる．すると $c$ としてあり得る数は $384$ に限られ，$b = 736$ は排除される．
- $b = 176$ のときは，$a = 592$ が適する．
- $b = 576$ のときは，$a = 192, 912$ が適する．
- $b = 976$ のときは，$a = 512$ が適する．

この中でも特に，どの $2$ 数の最大公約数も $16$ であるという条件を満たすものは，$\\{176, 384, 592\\}$ に限られる．ゆえに，解答すべき値は $\mathbf{176384592}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/editorial/3974
　$1$ 以上 $9$ 以下の整数をそれぞれ各桁に $1$ 度ずつ用いて $3$ 桁の整数を $3$ つ作ったところ，その中からどの $2$ 数を選んでも最大公約数が $16$ になりました．作った整数を $x\lt y\lt z$ としたときの ${10}^6 x + {10}^3 y + z$ の値を解答してください．なお，このような $3$ 数の組み合わせは一意に決まることが証明できます．