　辺 $AD$ 上に $AE = 5$ なる点 $E$ を取ると，$DE = 3$ であるから三角形 $CDE$ は正三角形である．従って $CE = 3$ であるから，三角形 $ABC$ と $AEC$ は三辺相等で合同である．従って $\angle ABC = \angle AEC = 120^\circ$ が分かるので，余弦定理より $AC = 7$ が分かる．また，
$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$
であるから四角形 $ABCD$ は円に内接するので，Ptolemy の定理より求める値は
$$BD = \frac{AB\times CD + BC\times DA}{AC} = \frac{39}{7}$$
と計算できる．特に解答すべき値は $\bf{46}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/5163
　凸四角形 $ABCD$ は，
$$AB=5,\quad BC=CD=3,\quad DA=8,\quad \angle CDA = 60^\circ$$
を満たします．$BD$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるため，$a+b$ を解答して下さい．