　$N = 119$ とおく．求めるべき値 $A$ は，
$$
A 
= \frac{\sin 46^\circ + \sin 47^\circ + \cdots + \sin 164^\circ}{\sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \cdots + \sin 119^\circ}
= \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sin \frac{(k+45)\pi}{180}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sin \frac{k\pi}{180}}
$$
と表せる．$\sin$ の加法定理から $\sin \left( x+\dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$ であるので，
$$
A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos\frac{k\pi}{180}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sin \frac{k\pi}{180}}\right)
$$

である．ここで，
$\sin x = \cos \left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)$ であることと，和積の式から， 
$$
\begin{aligned}
\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{k\pi}{180}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \sin \frac{k\pi}{180}} 
&= \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{k\pi}{180}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{(90-k)\pi}{180}} \\\\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \bigg(\cos \frac{k\pi}{180}+\cos \frac{(N+1-k)\pi}{180}\bigg)}{\dfrac{1}{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \bigg(\cos \frac{(90-k)\pi}{180}+\cos \frac{(k-N+89)\pi}{180}\bigg)}\\\\
&= \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{(N+1)\pi}{360}\cos \frac{(2k-N-1)\pi}{360}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{N} \cos \frac{(179-N)\pi}{360}\cos \frac{(2k-N-1)\pi}{360}} \\\\
&= \frac{\cos 60^\circ}{\cos 30^\circ} \\\\
&= \frac{1}{\sqrt3}
\end{aligned}
$$
となり，$A=\dfrac{\sqrt3 + 1}{\sqrt6}$ となる．このとき
$$A^2 = \dfrac{\sqrt3 + 2}{3} = \dfrac{\sqrt6}{3}A + \dfrac13$$
より
$$ \frac{2}{3} A^2 = \left( A^2 - \frac13 \right)^2 = A^4 - \frac23 A^2 + \frac19 $$
であるから，$A$ の最小多項式 $f$ は
$$
f(x) = x^4-\frac{4}{3}x^2+\frac{1}{9}
$$
で与えられる．したがって $|f(10)| = \dfrac{88801}{9} = 9866.7\ldots$ なので，解答すべき値は $\mathbf{9866}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc222/editorial/10459
　問題文中に与えられている値を $A$ とする．\
　$\sin (60\degree+x\degree)+\sin(60\degree-x\degree)=2\sin 60\degree \cos x\degree$ および $\sin (105\degree+x\degree)+\sin(105\degree-x\degree)=2\sin 105\degree \cos x\degree$ から
$$A=\dfrac{\sin 105\degree(1+2\cos 1\degree +\cdots +2\cos 59\degree)}{\sin 60\degree(1+2\cos 1\degree +\cdots +2\cos 59\degree)}=\dfrac{\sin 105\degree}{\sin 60\degree}=\dfrac{\sqrt3 +1}{\sqrt6}$$
となり，あとは公式解説に従って求められる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc222/editorial/10459/539
　以下の値の最小多項式を $f$ としたとき，$|f(10)|$ 以下の最大の整数を解答してください．
$$
\frac{\sin 46^\circ + \sin 47^\circ + \sin 48^\circ + \cdots + \sin 164^\circ}{\sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \sin 3^\circ + \cdots + \sin 119^\circ}
$$
<details><summary>最小多項式について<\/summary>
　複素数 $\alpha$ について，$\alpha$ を根にもつ有理数係数多項式が存在するとき，そのうち次数が最小であり，かつ最高次の係数が $1$ であるものを， $\alpha$ の**最小多項式**とここではよびます．
<\/details>