**注意**：以下の解説では, $V(\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.

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　三角形 $AP_1P_6$ と $GP_4P_3$ の相似より直線 $AG,P_1P_4,P_3P_6$ は一点で交わり, これは $Q_1$ に一致する. したがって $AQ_1:GQ_1=P_1P_6:P_3P_4=1:2$ であるから, $OQ_1:OA=1:3$ を得る. 同様にして $OQ_2:OH=1:4,OQ_3:OF=1:2$ であるから, 四面体 $O-AFH$ の体積は $24$ である. ここで
$$ |O-AFH|=|O-AEF|+|O-AEH+|O-EFH|-|A-EFH|=3\times\frac{V}{12}-\frac{V}{6}=\frac{V}{12} $$
が従うから, $V=\textbf{288}$ である. 
![figure 1](\/images\/8qsuth72cFUU9OPMKxuTvffzPMOSk5qP2tVdTBns)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/192
**注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.

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　$\mathfrak{C}$ において, 線分 $AB,BF,FG ,GH,HD,DA,AG,BH,DF$ (両端を除く)が平面 $\alpha$ とすべて交わっています. その交点をそれぞれ $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6,Q_1,Q_2,Q_3$ としたとき, 以下の条件がそれぞれ成立しました.
$$ P_1P_2:P_4P_5=5:3,\ \ P_2P_3:P_5P_6=1:3,\ \ P_3P_4:P_6P_1=2:1 $$
対角線 $AG$ の中点 $O$ について, 四面体 $O-Q_1Q_2Q_3$ の体積が $1$ であるとき, $V(\mathfrak{C})$ を求めてください.