　$\angle AXC=90^\circ$ より点 $X$ は正方形 $ABCD$ の外接円の劣弧 $AB$ 上を動く. これより
$$\angle AXD=\angle ABD=45^\circ=\angle AXZ$$
であるから $D,Z,X$ は同一直線上にあり,  さらに $A$ と $Y$ はこの直線に関して対称である. したがって,

- $DA=DY$ より, 点 $Y$ は $D$ を中心とし $A,C$ を通る円の劣弧 $AC$ 上 (曲線 $K$ とする) を動く.
- $\angle AZD=135^\circ$ より, 点 $Z$ は正方形 $ABCD$ の外接円の劣弧 $AD$ と $AD$ に関して対称な曲線 $L$ 上を動く.

　特に考えるべき領域 $S$ は, 曲線 $K,L$ および対角線 $BD$ で囲まれた部分である. ここで, $K$ および二本の対角線で囲まれた領域と, $L$ と辺 $AD$ に囲まれた領域は面積が等しいことから, $S$ の面積は正方形 $ABCD$ の  $4$ 分の $1$ に等しく, 解答すべき値は $2021+4=\textbf{2025}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/295
　 $A,B,C,D$ はこの順に反時計回りに並んでいるものとし，この正方形の対角線の交点を $O$ とする．\
 $\angle{AXC}=90^\circ$ より， $X$ の軌跡 $J$ は正方形 $ABCD$ の外接円の劣弧 $AB$ の部分．\
ここで， $A$ を中心に反時計回りに $45^\circ$ 回転させ， $\sqrt{2}$ 倍拡大する変換を $f$ とし， $A$ を中心に反時計回りに $90^\circ$ 回転させる変換を $g$ とすれば， $f(X)=Y,g(X)=Z$ なので， $Y$ の軌跡 $K$ および $Z$ の軌跡 $L$ は $f(J)$ および $g(J)$ に他ならない．\
　以上より求める面積は $K,L,BD$ で囲まれた部分であり， $K$ と $AC$ で囲まれた部分と $L$ と $AD$ で囲まれた部分は相似比が $\sqrt{2}:1$ の相似な図形であるから面積比は $2:1$ であり， $K$ と $AC$ と $BD$ で囲まれた部分と $L$ と $AD$ で囲まれた部分の面積は等しいので，求める面積は三角形 $OAD$ の面積 $\dfrac{2021}{4}$ に等しい．\
よって，解答すべき値は $\textbf{2025}$
回転拡大を意識する
https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/295/75
　面積 $2021$ の正方形 $ABCD$ があり, $4$ 点 $P,X,Y,Z$ が以下の条件をみたします.

- $P$ は辺 $AB$ 上にある.
- $X$ と $Y$ は直線 $CP$ 上にあり, $3$ 点 $C,Y,X$ はこの順に並ぶ.
- 四角形 $AXYZ$ は正方形である.

　$P$ が辺 $AB$ 上を動くとき, 線分 $XZ$ の通過する領域と線分 $YZ$ の通過する領域の共通部分の面積を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.