**補題.**　$k=\dfrac{1}{60}$ である．

**証明.**　$\displaystyle x=\frac{3b}{a},y=\frac{4c}{b},z=\frac{5d}{c},w=\frac{ka}{d}$ とおけば $xyzw=60k$ が成り立ち，与式は
$$F(a,b,c,d)=\sqrt{\frac{1}{(1+x)(1+y)}}+\sqrt{\frac{1}{(1+z)(1+w)}}$$
と変形できる．いま，Cauchy-Schwarzの不等式より
$$\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq 1+\sqrt{xy}, \quad \sqrt{(1+z)(1+w)}\geq 1+\sqrt{zw}$$
が成立する．また，一般に正の実数 $u,v$ について，$uv=1$ であるとき
$$\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1+v}=1$$
が成り立つから，特に $xyzw=1$，すなわち $k=\dfrac{1}{60}$ のとき以下が成立する：
$$F(a,b,c,d)\leq \frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+\sqrt{zw}}=1.$$
等号成立条件は $x=y,z=w$ である．逆に $k\neq \dfrac{1}{60}$ のとき条件をみたさないこともわかる．

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　以上の議論によって，以下のことがわかる：
$$F(p,q,r,s)=1 \iff \frac{3q}{p}=\frac{4r}{q}, ~ \frac{5s}{r}=\frac{p}{60s} \iff 3q^2=4pr, ~ 300 s^2=pr.$$
よって，

- $s=1$ のとき，たとえば $(p,q,r,s)=(20,20,15,1)$ で $p+q+r+s$ は最小値 $56$ をとる．
- $s\geq 2$ のとき，$p+r\geq 2\sqrt{pr}=2\sqrt{300s^2}\geq 2\sqrt{1200}\geq 56$．

　以上により，解答すべき値は $\textbf{56}$ である．

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**余談.**　より一般に，$pqrs\leq 1$ なる正の実数 $a,b,c,d,p,q,r,s$ に対して，
$$\sqrt{\frac{ab}{(a+pb)(b+qc)}}+\sqrt{\frac{cd}{(c+rd)(d+sa)}}\leq\dfrac{2}{1+\sqrt[4]{pqrs}}$$
が成り立ちます．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023/editorial/8785
　$k$ を（固定された）正の実数とします．$a,b,c,d$ が正の実数を任意に動くとき，
$$F(a,b,c,d)=\sqrt{\frac{ab}{(a+3b)(b+4c)}}+\sqrt{\frac{cd}{(c+5d)(d+ka)}}$$
と定めると，$F(a,b,c,d)$ のとりうる最大値が存在して $1$ となりました．このような正の実数 $k$ が一意に存在することが保証されます．このとき，$F(p,q,r,s)=1$ となる正整数の組 $(p,q,r,s)$ について，$p+q+r+s$ のとりうる最小値を求めてください．