　$1$ から $9$ までの整数を以下のように分類する．同じグループに属するものはまとめて考えてよい：
$$A\colon\lbrace 1,5,7\rbrace, \quad B\colon\lbrace 2,4,8\rbrace, \quad C\colon\lbrace 3,9\rbrace, \quad D\colon\lbrace 6\rbrace.$$

このように分類したとき，隣り合ってはいけない数の組は $BB,CC,BD,CD,DD$ である．特に，$D$ の両端は $A$ である必要がある．$(A,D,A)$ を固定したとき，残りの $A,B,B,B,C,C$ の並べ方は以下の $10$ 通りである．
- $(B,C,B,C,B)$ の任意の箇所（両端を含む）に $A$ を挿入した $6$ 通り
- $(B,A,B,C,B,C),(B,C,B,A,B,C),(C,B,A,B,C,B),(C,B,C,B,A,B)$

$D$ の位置を固定して，各グループへの数の割り振りを考えれば，求める答えは $10\times 3!\times 3!\times 2!\times 1!=\mathbf{720}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/editorial/5288
　$1$ から $9$ までの整数を $1$ つずつ円環状に並べる方法であって，どの隣り合う $2$ 数も互いに素であるようなものはいくつありますか．ただし，回転して一致するような並べ方は同一視し，反転によって一致するものは区別します．