　$f(x)=x^4+a(x-1)^4+b(x+1)^4+c(x-2)^4+d(x+2)^4$ とすると問題文の下4式より
$$f\bigg(\frac{1}{20}\bigg)
=f\bigg(\frac{1}{30}\bigg)
=f\bigg(\frac{1}{40}\bigg)
=f\bigg(\frac{1}{50}\bigg)=0$$
である．$f(x)$ は $x$ の $4$ 次式なので，ある実数 $r$ が存在して次が恒等的に成り立つ．
$$f(x)
=r\bigg(x-\frac{1}{20}\bigg)
\bigg(x-\frac{1}{30}\bigg)
\bigg(x-\frac{1}{40}\bigg)
\bigg(x-\frac{1}{50}\bigg)$$
両辺の $4$ 次の項の係数，$2$ 次の項の係数，定数項を比較して次の $3$ 式を得る. 
$$\begin{cases}
1+(a+b)+(c+d)=r\\\\
6(a+b)+24(c+d)
=\cfrac{71r}{12\cdot10^3}\\\\
(a+b)+16(c+d)
=\cfrac{r}{12\cdot10^5}
 \end{cases}$$ 
これを解けば
$r=\dfrac{288\times10^5}{288\cdot10^5-355\cdot10^2+6}$
を得る．従って，
$$e=10^4f\bigg(\frac{1}{10}\bigg)
=\frac{2880000}{14382253}$$ 
である．特に解答すべき値は $\mathbf{17262253}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/editorial/5004
$f(x)=a(10x-1)^4+b(10x+1)^4+c(20x-1)^4+d(20x+1)^4$ と定めると
$$\begin{cases}f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=-1\\\e=f(1)+1\end{cases}$$である．因数定理より，実数 $k$ を用いて
$$f(x)=k(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)-1=k(x^4-14x^3+71x^2-154x+120)-1$$
と表すことができる．$k$ を決定するために，$f(x)$ の係数の間の関係式を得たい．$g_\lambda(x)=(\lambda x-1)^4$ と定めると，$f(x)$ は $g_{10}(x),g_{-10}(x), g_{20}(x),g_{-20}(x)$ の線型結合である．そこで $g_\lambda(x)$ の係数の間の関係式を考える．
$$g_\lambda(x)=\lambda^4x^4-4\lambda^3 x^3+6\lambda^2 x^2-4\lambda x+1$$
より $g_\lambda(x)$ の係数は $\lambda^4,-4\lambda^3,6\lambda^2,-4\lambda,1$ である．ここで $\lambda=10,-10,20,-20$ に対して
$$0=(\lambda-10)(\lambda+10)(\lambda-20)(\lambda+20)=\lambda^4-500\lambda^2+40000$$
が成り立つので
$$(g_\lambda(x)\text{の}x^4\text{の係数})-\dfrac{500}{6}(g_\lambda(x)\text{の}x^2\text{の係数})+40000(g_\lambda(x)\text{の定数項})=0$$
となる．この性質は線型結合を取っても保たれるので
$$(f(x)\text{の}x^4\text{の係数})-\dfrac{500}{6}(f(x)\text{の}x^2\text{の係数})+40000(f(x)\text{の定数項})=0$$
が得られる．この式から $k=\dfrac{120000}{14382253}$ であることがわかり，$e=f(1)+1$ が計算できる．
連立方程式を回避する方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/editorial/5004/443
　実数 $a,b,c,d,e$ が次の式を満たします．$e$ を求めてください．
$$\begin{cases}
9^4a&+&11^4b&+&19^4c&+&21^4d&=&-1+e\\\\
19^4a&+&21^4b&+&39^4c&+&41^4d&=&-1\\\\
29^4a&+&31^4b&+&59^4c&+&61^4d&=&-1\\\\
39^4a&+&41^4b&+&79^4c&+&81^4d&=&-1\\\\
49^4a&+&51^4b&+&99^4c&+&101^4d&=&-1
 \end{cases}$$ 
ただし，$e$ は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $e=\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ を解答してください