　$N=2^a3^b5^c7^d\ (a,b,c,d \geq 1)$ とおけば, 二つ目の条件は
$$(2a+1)(2b+1)(2c+1)(2d+1)=999999=3^3\times7\times 11\times 13\times 37$$
各素因数の分配を考えて包除原理を適用することで, 求める場合の数は
$$\sum\_{i=1}^{4} (-1)^i \binom{4}{i}\binom{i+2}{3}i^4=\textbf{2260}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/editorial/1993
包除原理パートの説明です．

$x=2a+1, y=2b+1, z=2c+1, w=2d+1$ と置くと， 求めるものは 「$xyzw=999999$ かつ $x\neq1$ かつ $y\neq1$ かつ $z\neq1$ かつ $w\neq1$ 」を満たす正整数 $(x,y,z,w)$ の組です．ここで，$xyzw=999999$ を満たす $(x,y,z,w)$ の組のうち $x=1$ を満たすものの集合を $X$ と置きます．同様に $y=1, z=1, w=1$ を満たす組の集合を $Y,Z,W$ と置きます．このとき，($xyzw=999999$ を満たすすべての $(x,y,z,w)$ の組の個数)$-|X\cup Y\cup Z\cup W|$ が答えになります．

($xyzw=999999$ を満たすすべての $(x,y,z,w)$ の組の個数) を求めるのは容易です．$3$ の $x,y,z,w$ への分配方法が ${}\_6\mathrm{C}\_{3}$ 通り，$7,11,13,37$ の分配方法がそれぞれ $4$ 通りなので ${}\_6\mathrm{C}\_{3}\times4^4$ 個になります．

また，包除原理より以下が成り立ちます．
$$\begin{aligned}
&|X\cup Y\cup Z\cup W|\\\\
=&|X|+|Y|+|Z|+|W|\\\\
-&|X\cap Y|-|X\cap Z|-|X\cap W|-|Y\cap Z|-|Y\cap W|-|Z\cap W|\\\\
+&|X\cap Y\cap Z|+|X\cap Y\cap W|+|X\cap Z\cap W|+|Y\cap Z\cap W|\\\\
-&|X\cap Y\cap Z\cap W|
\end{aligned}$$

右辺のそれぞれの段について考えてみます．

- 一段目のついて：$|X|$ は「$xyzw=999999$ かつ $x=1$」，すなわち $yzw=999999$ を満たす $(y,z,w)$ の個数です．これは先ほど同様に分配方法を考えることで ${}\_5\mathrm{C}\_{3}\times3^4$ と求めることができます．$|Y|, |Z|, |W|$ も同様です．よって一段目の値は $4\times{}\_5\mathrm{C}\_{3}\times3^4(={}\_4\mathrm{C}\_{1}\times{}\_5\mathrm{C}\_{3}\times3^4)$ です．
- 二段目について：$|X\cap Y|$ は「$xyzw=999999$ かつ $x=1$ かつ $y=1$」，すなわち $zw=999999$ を満たす $(z,w)$ の個数です．これも先ほど同様に分配方法を考えることで ${}\_4\mathrm{C}\_{3}\times2^4$ と求めることができます．他も同様です．よって三段目の値は $6\times{}\_4\mathrm{C}\_{3}\times2^4(={}\_4\mathrm{C}\_{2}\times{}\_4\mathrm{C}\_{3}\times2^4)$ です．
- 三段目について：$|X\cap Y\cap Z|$ は「$xyzw=999999$ かつ $x=1$ かつ $y=1$ かつ $z=1$」，すなわち $w=999999$ を満たす $(w)$ の個数です．これも先ほど同様に分配方法を考えることで ${}\_3\mathrm{C}\_{3}\times1^4$ と求めることができます．他も同様です．よって三段目の値は $4\times{}\_3\mathrm{C}\_{3}\times1^4(={}\_4\mathrm{C}\_{1}\times{}\_3\mathrm{C}\_{3}\times1^4)$ です．
- 四段目について：$|X\cap Y\cap Z\cap W|$ は「$xyzw=999999$ かつ $x=1$ かつ $y=1$ かつ $z=1$ かつ $w=1$」を満たす $(x,y,z,w)$ の個数ですが，これを満たすものは存在しないので $0$ です．

以上の値をもとの式に代入することで，公式解説の式を得ます．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/editorial/1993/113
　以下の条件をともにみたす正整数 $N$ はいくつありますか？

- $N$ がもつ素因数の集合は $\\{2,3,5,7\\}$ である.
- $N^2$ は正の約数をちょうど $999999$ 個もつ.