　$Q(x)=P(x)-(x-11)^2$ とおくと，$Q(x)$ もまた整数係数多項式であり，$Q(3)=Q(8)=Q(13)=0$ をみたす．したがって，因数定理によりある整数係数多項式 $R(x)$ が存在して $Q(x)=(x-3)(x-8)(x-13)R(x)$ をみたし，このとき $P(10)=1-42R(10)$ となるから，$P(10)$ の取り得る値は $42$ で割った余りが $1$ である整数全体である（十分性は $R(x)$ を定数とすることでわかる）．よって，解答すべき値は
$$\sum_{k=0}^{23}(42k+1)=\mathbf{11616}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb016/editorial/8193
　この手の問題は
$$\tag{1} P(3)=64, P(8)=9, P(13)=4$$
を満たす多項式を一つ作れば，あとはそれを基準にしてすべての多項式を表せる場合が多いです．\
　よって，最初にすべきことは式 $(1)$ を満たす多項式をとにかく一つ作ってしまおうということになります．\
　そのための方法として，$f(x)=ax^2+bx+c$ とおいてから
$$f(3)=64, f(8)=9, f(13)=4$$
を解くのも立派な方法です．

　しかしここでは工夫できないか考えてみましょう．
$64,9,4$ はいずれも平方数です．このことに気づけば，何となく平方根をとってみたくなります．普通に正の平方根を取ると，
$$g(3)=8, g(8)=3, g(13)=2$$
となって，何のありがたみもないのですが，$g(13)=2$ の代わりに $g(13)=-2$ としても良いことに気づけば
$$g(3)=8, g(8)=3, g(13)=-2$$
となり，$g(x)=11-x$ が一つの解だとわかります．つまり $f(x)=(11-x)^2=(x-11)^2$ が式 $(1)$ の一つの解であり，これを用いて
$$P(x)=Q(x)(x-3)(x-8)(x-13)+(x-11)^2$$
と表されることがわかります．

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類題として，[176B](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc176\/tasks\/6981)，[B12D](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omcb012\/tasks\/6768)，[190B](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc190\/tasks\/4774)．\
※190Bは本問とは少し違うかもしれませんが，それなりに似ているので置きました．
(x-11)^2にたどり着くまで
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb016/editorial/8193/566
　$x$ の整数係数多項式 $P(x)$ が
$$P(3)=64, \quad P(8)=9, \quad P(13)=4$$
をみたすとき，$P(10)$ のとりうる $1$ 以上 $1000$ 以下の整数値の総和を求めて下さい．