　$N = 2520$ とする．頂点 $1,\\, \ldots,\\, N$ をそれぞれの人に対応させ，頂点を辺で結ぶことを，対応する $2$ 人が仲良しであることに対応させたグラフを $G$ とする．このとき仲良し $n$ 人組はクリーク $K\_n$ に対応し，$G$ の $K\_n$ 全体の集合を $K\_n(G)$ で表すことにする．ここで総和が $N$ である非負整数の組 $\bm x \coloneqq (x\_1, \ldots, x\_N)$ に対し，$f\_r(\bm x)$ を
$$ f\_r(\bm x) = \sum\_{|k\_1\cdots k\_r|\in K_r(G)}\prod\_{i=1}^rx_{k_i} $$
で定めると，$v \ne w,\hspace{314705sp} vw \not\in E(G),\hspace{314705sp} x\_v, x\_w \ne 0$ なる $v,\\, w$ に対し
$$ S\_v \coloneqq \sum\_{|vk_1\cdots k_{r-1}|\in K_r(G)}\prod\_{i=1}^{r-1}x\_{k\_i} \ge \sum\_{|wk_1\cdots k_{r-1}|\in K_r(G)}\prod\_{i=1}^{r-1}x\_{k\_i} \eqqcolon S\_w $$
としても一般性を失わず
$$ y\_k \coloneqq \begin{cases}
x\_v + x\_w & (k = v) \\\\
0 & (k = w) \\\\
x\_k & (\text{otherwise})
\end{cases} $$
とすれば，$f\_r(\bm y) - f\_r(\bm x) = x\_w \left(S\_v - S\_w\right) \ge 0$ より $f\_r(\bm y) \ge f\_r(\bm x)$．  
　ここで $G$ が $K\_{n+1}$ を持たないとき，$\bm x$ から $\bm y$ への変換を可能な限り繰り返して，組の中の正の数を $n$ 個以下にできる．$(1, \ldots, 1)$ に対しこれを行ったものを $\bm c$ とおき，$\bm c$ から $(N - n)$ 個の $0$ を取り去ったものを $(\alpha\_1, \ldots, \alpha\_n)$ とすると
$$ |K\_r(G)| = f\_r(1, \ldots, 1) \le f\_r\mathopen{}\left(\bm c\right) \le \sum\_{1\le k\_1\lt\cdots\lt k\_r\le n}\prod\_{i=1}^r \alpha\_{k\_i}. $$
等号は，$G$ が大きさ $\alpha\_1, \ldots, \alpha\_n$ の部集合を持つ完全 $n$-部グラフのときに成立．さらに Muirhead の不等式より
$$ \sum\_{1\le k\_1\lt\cdots\lt k\_r\le n}\prod\_{i=1}^r\alpha\_{k\_i}\le\mathinner{\binom nr} n^{-r} \left(\sum_{k=1}^n \alpha\_k\right)^r = \binom nr \left(\frac Nn\right)^r\mathclose{}. $$
よって $|K_r(G)| \le \dbinom nr \left(\dfrac Nn\right)^r$ を得る．$n \mid N$ のときは，上の部集合の大きさを揃えれば等号が成立する．  
　これより，$n = 2, \ldots, 10$ のとき
$$ M\_{n+1} = \sum\_{r=2}^n r \mathinner{\binom nr} \left(\frac Nn\right)^r = N\sum_{r=1}^{n-1} \mathinner{\binom{n-1}r} \left(\frac Nn\right)^r=N \left(\left(\frac Nn+1\right)^{n-1} - 1\right) $$
が分かり，$2521 = N + 1$ を法として $M\_{n+1} - 1 \equiv -\mathopen{}\left(\dfrac{n - 1}n\right)^{n-1}$ であるから
$$ \prod\_{n=2}^{10} (M\_{n+1} - 1) \equiv -\prod_{n=2}^{10} \left(\dfrac{n - 1}n\right)^{n-1} = -\frac{9!}{10^9} \equiv \bm{355}. $$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9382
　あるパーティーに $2520$ 人が集まりました．任意の異なる $2$ 人の組に対して，仲良しであるか仲良しでないかのどちらかが決まっているものとします．また，$k$ 人 $(k \ge 2)$ の組み合わせについて，その中の任意の相異なる $2$ 人が仲良しであるとき，その $k$ 人の組合せを**仲良し $k$ 人組**と呼ぶことにします．さらに，$2520$ 人の中に仲良し $k$ 人組が $a\_k$ 個あったとき，パーティーの**親密度**を $\displaystyle\sum\_{k=2}^{2520} ka\_k$ で定めます．\
　いま，$a_3=0$ であるようなパーティーについて，その親密度としてありうる最大値を $M\_3$ とし，同様に $M_4,\ldots, M_{11}$ を定めます．このとき，
$$ (M_3-1)(M_4-1)\cdots (M_{11}-1) $$
を $2521$ で割った余りを求めてください．