　線分 $PQ$ の長さを $x$ とすると，$k$ 回目に $2$ 点が重なるまでに $2$ 点が動いた距離の合計は $(2k-1)x$ である．よって，$k$ 回目に $2$ 点が重なるまでの所要時間は $2k-1$ に比例し，$N=357×\dfrac{17}{3}=\textbf{2023}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc125/editorial/4515
　平面上に線分 $PQ$ があります．いま，点 $A$ と点 $B$ はそれぞれ $P,Q$ から同時に出発し，同じ一定の速さで線分 $PQ$ を往復し続けます．この $2$ 点が $2$ 回目に重なるまでに $357$ 秒かかったとき，$9$ 回目に重なるまでには $N$ 秒かかります．$N$ を解答してください．