　$x=\alpha$ が $f(x) = x$ と $f(x) = x^7$ に共通する複素数解であるとすると，$f(\alpha)=\alpha^7=\alpha$ より，$\alpha$ は 
$$x^7-x=x(x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)=0$$ 
の解である．これらの $7$ 解のうち $1$ つを除いたちょうど $6$ 解を $f(x)-x=0$ はもつ．ここで $f(x)-x$ は $x$ の整数係数多項式なので，$\alpha$ が $f(x)-x$ の根ならば $\bar\alpha$ もこの根となる．したがって $x^4+x^2+1=0$ が実数解をもたないことから $x^7-x=0$ の $7$ 解のうち除かれるものは $x=0, \pm1$ のいずれかとなる．これより，$f(x)$ はある整数係数多項式 $h(x)$ を用いて，
$$ \begin{aligned} f(x) &= x + (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)h(x), &(x &\nmid h(x)) \\\\ 
f(x) &= x + x(x+1)(x^4+x^2+1)h(x), &(x-1 &\nmid h(x)) \\\\ 
f(x) &= x + x(x-1)(x^4+x^2+1)h(x) &(x+1 &\nmid h(x))
\end{aligned}$$
のいずれかの形で書ける．$h(x)$ を適宜調整することで，いずれのケースでも $h(10)$ としてありうる値は整数全体となる．ゆえに，ある整数 $k$ によって $\dfrac{k}{9},\dfrac{k}{10},\dfrac{k}{11}$ のいずれかの形で表せるような実数全体の集合を $A$ とすると，$f(10)$ はある $a \in A$ によって $10+(10^7-10)a$ と表される値全体をとりうる．$9, 10, 11$ はどの $2$ つも互いに素であるため，任意の整数 $m$ について $m$ 以上 $m+1$ 未満の $A$ の元は $8+9+10+1=28$ 個存在する．$111 = 4 \cdot 28 - 1$ であることに注意すれば，$A$ の $0$ 以上の元のうち小さい方から $111$ 番目のものは $\dfrac{39}{10}$ とわかる．したがって，解答すべき値は
$$ 10 + (10^7-10) \cdot \frac{39}{10} = \mathbf{38999971} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce009/editorial/12091
　整数係数多項式 $f$ は以下を満たします．

- $2$ つの方程式 $f(x)=x$ と $f(x)=x^7$ は共通の相異なる複素数解をちょうど $6$ 個もつ．

このとき，$f(10)$ がとりうる正整数値のうち，$111$ 番目に小さいものを求めてください．