　$(n-1)\/4$ を超えない最大の整数を $m$ としたとき，$f(n)=m$ であることを示す．
Aliceは次のような戦略をとることでBobの書き込み方によらず得点を $m$ 以上にできる．

- はじめの $5$ 回は $1,m+1,2m+1,3m+1,4m+1$ を $1$ 回ずつ宣言する．$6$ 回目では，空きマスに隣接しないマスに書かれている数字を再度宣言する. 

一方，Bobは以下の規則に従って数字を書き込むことでAliceの宣言する数字によらず得点を $m$ 以下にできる．
ただし，端から $i$ 番目のマスをマス $i$ とする．

- マス $2$ またはマス $5$ に数字が書かれているとき，好きなマスに書き込む．
- そうでないとき，マス $x$ が空ならばマス $x$ に，そうでないならばマス $y$ に書き込む．
ただし $x,y$ は宣言された数字 $X$ に応じ次のように定める．
$$\begin{cases}
x=1,\ y=2&(1\leq X\leq m+1)\\\\
x=3,\ y=2&(m+2\leq X\leq 2m+2)\\\\
x=4,\ y=5&(2m+3\leq X\leq 3m+3)\\\\
x=6,\ y=5&(3m+4\leq X\leq n)\\\\
\end{cases}$$

　以上より $f(n)=m$ であることが示された．このとき求める値は次のように計算できる．
$$\sum_{n=1}^{2022}f(n)=4\sum_{m=0}^{504}m+2\times 505=\textbf{510050}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc106/editorial/3711
　$n$ を正の整数とします．AliceとBobは以下の手順に従ってゲームを行います．

1. はじめ，何も書き込まれていない $1\times 6$ のマス目がある．
2. まず，Aliceは $1$ 以上 $n$ 以下の整数を $1$ つ宣言する．それまでに宣言した数字と同じものを宣言しても構わない．
3. 次に，Bobはまだ数字が書き込まれていないマスを $1$ つ選び，そこにAliceが宣言した数字を書き込む．
4. その後，すべてのマスに数字が書かれているならばゲームを終了する．そうでないならば，2. へ戻る．

　ゲームが終了したとき，隣り合うマス目に書かれた値の差の絶対値 $5$ つのうち最小のものをこのゲームにおける**得点**とします．また各正整数 $n$ に対し，次を満たす最小の整数 $k$ を $f(n)$ とします.

- Aliceの戦略によらず，Bobは得点を $k$ 以下にすることができる.

　このとき，$f(1)+f(2)+\cdots+f(2022)$ の値を求めてください． 

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【**21:42 追記**】Aliceはマス目の状態をつねに確認できるものとします．