　まず， $z=y^2+2y+3$ とおくと，
 $$
z=(y+1)^2+2
 $$
より， $z\geq 2$ を満たす．$f(x,y)=0$ の解は $x=-z\pm \sqrt{z^2+4}$ となるので，大きい方の解について考えると，
 $$
x=-z+\sqrt{z^2+4}=\dfrac{4}{z+\sqrt{z^2+4}}
 $$
となるので， $z+\sqrt{z^2+4}$ の最小値を考えればよい．
ここで，  $z+\sqrt{z^2+4}$ は $z\gt0$ で単調増加な関数であるので，$z=2$ で最小値 $2+2\sqrt2$ を取る．\
　よって， $y=-1$ のとき $x$ は最大値 $-2+\sqrt8$ をとるので，解答すべき値は $\mathbf{16}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/11333
　$f(x, y) = 2xy^2 + 4xy + x^2 + 6x - 4$ であり，$f(x, y) = 0$ を満たす実数 $y$ が存在するための $x$ に関する条件は，判別式を考えることにより
$$-8x^3 + 16x^2 - 48x^2 + 32x \geq 0 \Longleftrightarrow x(x^2 + 4x - 4) \leq 0$$
と分かる．$x \gt 0$ の場合，これは $x^2 + 4x - 4 \leq 0$ と同値であり，これを満たす最大の実数 $x$ は $2\sqrt{2} - 2$ である．$x \leq 0$ の場合，明らかにこれより小さい値しか $x$ は取り得ないため，求めるべき最大値は $2\sqrt{2} - 2$ と分かる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/11333/560
　実数 $x , y$ に対して関数 $f(x , y)$ を以下のように定義します．
 $$
f(x , y)=x^2+2(y^2+2y+3)x-4
 $$
$f(x , y)=0$ を満たしながら $x,y$ が動くとき，$x$ の最大値を求めてください．ただし求める値は正の整数 $a , b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表せるので， $ab$ の値を解答してください．