　与式を $f(n)$ とおけば，以下が成り立つ．
$$\frac{f(n+1)}{f(n)} = \frac{\frac{2005!}{5^{n+1} \cdot (n+1)! \cdot (2004-n)!}}{\frac{2005!}{5^{n} \cdot n! \cdot (2005-n)!}} =  \frac{2005-n}{5(n+1)}  =\frac{2005-n}{5n+5} $$
したがって，$f(n+1)\/f(n)$  と $1$ の大小関係を比較することで以下が得られ，解答すべき値は $\mathbf{334}$．
$$f(1) \lt f(2) \lt \cdots \lt f(333) \lt f(334) \gt f(335) \gt \cdots \gt f(2005)$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc166/editorial/5125
　$0\leq n \leq 2005$ の範囲において，$\dfrac{{}\_{2005} \mathrm{ C } \_n}{5^{n}}$ が最大値をとるような整数 $n$ を求めてください．ただし，そのような $n$ がちょうど一つ存在することが保証されます．