　$AF$ および $\angle{FAC}$ の二等分線と $BC$ の交点をそれぞれ $P,Q$ とし，$DE$ と $AQ$ の交点を $X$ とすると，三角形 $ABC$ と $AED$ の相似において，$P$ と $X$，$Q$ と $F$ がそれぞれ対応する．よって，ある $x$ によって
$$BP=PQ=3x, \quad QC=4x$$
と表せ，さらに $AP=3y,AC=4y$ と表せる．\
　ここで $ACP$ において三平方の定理より $y=\sqrt{7}x$ が従い，さらに $ABP$ において三平方の定理より
$$x=\dfrac{5 \sqrt 2}{6}$$
を得る．したがって三角形 $ABC$ の面積は $125 \sqrt 7 \/6$ であり，解答すべき値は $125+7+6=\textbf{138}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/3264
　計算主体で解く解法とその思考過程についてです．まず，条件を文字で置きます．$$DF=2k,FE=3k,\angle\mathrm{DAF}=x,\angle\mathrm{FAE}=2x$$ とおく．とりあえず角度を調べてみると$$\angle\mathrm{ADF}=\angle\mathrm{ACB}=\frac{π}{2}-2x,\angle\mathrm{AEF}=\angle\mathrm{ABC}=\frac{π}{2}-x$$ 等が分かります．角度が $x$ を用いて表せるので，$\sin x $ や $\cos x$ が分かれば，$AB=10$ という情報から $AC$ の値が分かり，$\sin \angle\mathrm{BAC}$ の値も分かるので，$\triangle{ABC}$ の面積も求められます．ここで，まだ使っていない $DF,FE$ の情報に着目します．情報は比であることから，$k$ の値を求めるのは難しそうなので，これを用いて $\sin x$ 等の値を求められないか考えると，$\triangle{ADF}$ と $\triangle{AEF}$ に正弦定理を適用して $AF$ に関する式を $2$ つ作ると上手くいきそうです．実際に，$$\frac{DF}{\sin \angle\mathrm{DAF}}=\frac{AF}{\sin \angle\mathrm{ADF}},\frac{FE}{\sin \angle\mathrm{FAE}}=\frac{AF}{\sin \angle\mathrm{AEF}}$$ となり，これを整理すると $\cos 2x= \frac{3}{4}$ が得られ，$3x \lt π$ から，$$\sin x=\sqrt{\frac{1}{8}}, \cos x=\sqrt{\frac{7}{8}} $$ となるから， $$AC=\frac{10 \sqrt{14}}{3},\sin 3x=\frac{5 \sqrt{2}}{8}$$ $$\triangle{ABC}=\frac{1}{2}×10×\frac{10 \sqrt{14}}{3}×\frac{5 \sqrt{2}}{8}=\frac{125 \sqrt{7}}{6}$$ となり，求める値は
 $\bf{138}$ となります．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/3264/182
　$AB=10$ なる三角形 $ABC$ において，垂心を $H$ とし，$C,B$ からそれぞれ対辺におろした垂線の足を $D,E$ とします．また直線 $AH$ と $DE$ の交点を $F$ とすると，以下が成り立ちました．
$$\angle{DAF}:\angle{FAE}=1:2,\quad DF:FE=2:3$$
このとき，三角形 $ABC$ の面積は正の整数 $a,b,c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので（ただし $a,c$ は互いに素で，$b$ は平方因子をもたない），$a+b+c$ を解答してください．