　**補題**：三角形 $ABC$ において $AB:AC=p:q,~ BC=k$ であるとき，その面積の最大値は $\dfrac{pq}{2|p^2-q^2|}k^2$ である．
<details><summary> 証明<\/summary>
　$A$ は $BC$ に対する $p:q$ のアポロニウスの円上にあるので，$A$ と $BC$ の距離の最大値はこの円の半径，すなわち $\dfrac{pq}{|p^2-q^2|}BC$ である．したがって三角形 $ABC$ の面積の最大値は $\dfrac{pq}{2|p^2-q^2|}k^2$ である．
<\/details>
　\
　補題により，四角形 $ABCD$ の面積の最大値は
$$\frac{k^2}{2}\Big(\frac{119\cdot 124}{124^2-119^2}+\frac{127\cdot 129}{129^2-127^2} \Big)=\frac{k^2}{2}\Big(\frac{119\cdot 124}{3^5\cdot 5}+\frac{127\cdot 129}{2^9} \Big)$$
である．既約分数 $\dfrac{119\cdot 124}{3^5\cdot 5}$ および $\dfrac{127\cdot 129}{2^9}$ の分母は互いに素なので，この $2$ つの分数の和を既約分数で表したときの分母は $2^9\cdot 3^5\cdot 5$ である．
　結局，$2^{10}\cdot 3^5\cdot 5$ が $k^2$ を割り切ればよく，このような $k$ の最小値は $2^5\cdot 3^3\cdot 5=\bf4320$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb013/editorial/6450
　$k$ は正の整数とします．自己交差を持たないが，凸とは限らない四角形 $ABCD$ は次を満たします．
$$AB:BC=119:124,\quad AD:DC=127:129,\quad AC=k$$
このような四角形 $ABCD$ の面積としてありうる最大値が整数値となるような $k$ の最小値を求めてください．