　以下では書き込む数全てを区別して考え，$36!$ 通りすべての書き込み方に対するスコアの合計を $S$ とおき，平均を $A$ とおく．このとき，$A$ が元の問題で求める平均と一致することに注意せよ．また，$S = 36! \times A$ である．\
　$36$ 個の数から $6$ 個を選ぶとき，それらがともに同じ行・同じ列・同じ対角線のいずれかにくるような書き込み方は $30! \times 6! \times 14$ 通りあり，その場合に 「$6$ 個の数の和を $7$ で割った余り」 が $S$ に寄与される．\
　$36$ 個の数から $6$ 個を選ぶ ${}\_{36}\mathrm{C}\_{6}$ 通りそれぞれについて，$6$ 個の数の和を $7$ で割った余りを求め，その合計を $T$ とおくと，上の考察から $S = 30! \times 6! \times 14 \times T$ であり，$A = \dfrac{14T}{{}\_{36}\mathrm{C}\_{6}}$ となる．また， ${}\_{36}\mathrm{C}\_{6}$ 通りのうち，$6$ 個の数の和を $7$ で割った余りが $r$ ($0 \leq r \leq 6$) となるものの個数を $U_r$ とおくと，$T = \displaystyle \sum \_{r=1}^{6} r U_r$ となる． \
　以下では，$U_r$ を求めるのに母関数を用いる．次のような $2$ 変数関数 $F(x, t)$ を考える：
$$
F(x, t) = \sum_{n, k} a_{n, k} x^n t^k := \prod_{i=1}^{6} (1+t^i x)^6
$$

すると，$F(x, t)$ の $x^n t^k$ の係数 $a_{n, k}$は，$36$ 個の数から和が $k$ となるように $n$ 個選ぶ場合の数となることが確認できる．特に，$U_r$ は $a_{6,7m+r}$ ($m$ は非負整数) という形の係数の和である．\
　$\omega$ を $1$ の原始 $7$ 乗根として，$0\leq r \leq 6$ に対し $g_r(x) = \displaystyle \sum_{j=0}^{6} \omega ^ {-rj} F(x, \omega ^j)$ とおくと，
$$
g_r(x) = \sum_{j=0}^{6}  \sum_{n, k} a_{n, k} x^n \omega ^{j(k-r)} = \sum_{n, k} \Bigg( \sum_{j=0}^{6} \omega ^{j(k-r)} \Bigg)a_{n, k} x^n
$$ 
と計算できる．ここで $\displaystyle \sum_{j=0}^{6} \omega ^{j(k-r)}$ は， $k-r$ が $7$ で割り切れるときに $7$, そうでないときに $0$ となる．したがって，$g_r(x)$ の $x^6$ の係数は $7U_r$ である．\
　一方 $F(x, \omega ^j)$ について，$j=0$ のとき $(1+x)^{36}$ である．また $1\le j \le 6$ のときは
$$
\prod_{i=1}^{6} (1+\omega^{ij} x)^6 = \prod_{i=1}^{6} (1+\omega^{i} x)^6 = (1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6)^6
$$
となる．$1\leq r \leq 6$ の場合，$\displaystyle \sum_{j=1}^{6} \omega ^ {-rj} = -1$ であるため，$g_r(x)$ は以下のように計算される：
$$
g_r(x) = (1+x)^{36} - (1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6)^6
$$
　$(1-x+\cdots+x^6)^6$ の $x^6$ の係数を求めよう．$-x$ を $x$ とおきなおせば，$(1+x+\cdots+x^6)^6$ の $x^6$ の係数を考えればよく，これはボール $6$ 個と仕切り $5$ つを一列に並べる場合の数，すなわち ${}\_{11}\mathrm{C}\_{5}=462$ に等しい．\
　これより，$g_r(x)$ の $x^6$ の係数は ${}\_{36}\mathrm{C}\_{6}-462$ である．よって，$1\leq r \leq 6$ について $U_r = \dfrac{{}\_{36}\mathrm{C}\_{6}-462}{7}$ で，
$$
T = 21 \times \dfrac{{}\_{36}\mathrm{C}\_{6}-462}{7} = 3 \times ({}\_{36}\mathrm{C}\_{6}-462)
$$
となる．以上より，
$$A = \dfrac{42 \times ({}\_{36}\mathrm{C}\_{6}-462)}{{}\_{36}\mathrm{C}\_{6}}$$
とわかった． ${}\_{36}\mathrm{C}\_{6} = 462\times 4216$ に注意すると，この値は $\dfrac{88515}{2108}$ となり，解答すべき値は $\textbf{90623}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/editorial/3688
　ユーザー解説：母関数を使う代わりに頑張って書き出す解法です（不可能ではない計算量ですが，計算ミスなども考えれば現実的ではないと思います）．

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　行・列・対角線のある一つに注目し，そこに書き込まれた数字の集合 $X$ について考える．**同じ数字も区別すれば** $X$ としてあり得るものは $\binom{36}{6}$ 個あり，そのうち要素の総和が $7$ の倍数であるもの（**綺麗な集合**と呼ぶことにする）の個数を $S$ とすれば本問の答えは $\dfrac{49(\binom{36}{6}-S)}{\binom{36}{6}}$ で求められる．
<details>
<summary>なぜ？<\/summary>
　$\bmod{7}$ で考えたとき任意の $a\in\\{1,2,3,4,5,6\\}$ について $\\{a,2a,3a,4a,5a,6a\\}=\\{1,2,3,4,5,6\\}$ であることに注意すれば，$X$ のうち総和を $7$ で割ったあまりが $1,2,\dots,6$ であるものは全て同じだけ存在することがわかる．これより $X$ の総和を $7$ で割ったあまりの平均は
$$\frac{0\times S+(1+2+3+4+5+6)\times\left(\binom{36}{6}-S\right)\/6}{\binom{36}{6}}=\frac{7(\binom{36}{6}-S)}{2\binom{36}{6}}$$
であり，$14$ 倍すれば本問の答えになる．
<\/details>

　以下**同じ数字は区別せず**に，$X$ は多重集合として考える．$f(X,i)$ で $X$ に含まれる $i$ の個数を表すものとして $X$ に出てくる各数字の個数の多重集合 $F(X):=\\{f(X,i)\mid 1\leq i\leq 6\\}$ を考えると，以下が成り立つ：
$$S=\sum_{X}\prod_{1\leq i\leq 6}\binom{6}{f(X,i)}=\sum_{Y}\\#\\{X\mid F(X)=Y\\}\times\prod_{y\in Y}\binom{6}{y}$$
ただし $X$ は綺麗な集合全体を，$Y$ は綺麗な集合 $X$ に対する $F(X)$ としてあり得るもの全体を動く．実際に $Y$ がとり得るのは次の $9$ 個である．
$$\begin{aligned}
&\\{5,1,0,0,0,0\\},\\{4,2,0,0,0,0\\},\\{4,1,1,0,0,0\\},\\{3,3,0,0,0,0\\},\\{3,2,1,0,0,0\\},\\\\
&\\{3,1,1,1,0,0\\},\\{2,2,2,0,0,0\\},\\{2,2,1,1,0,0\\},\\{1,1,1,1,1,1\\}
\end{aligned}$$

　それぞれに対応する綺麗な集合 $X$ がいくつあるか，全て書き出して数えよう．$X$ の要素の総和が $7$ の倍数であることは総和が $7,14,21,28,35$ のいずれかであることと同値である．ここで $1$ と $6$，$2$ と $5$，$3$ と $4$ をそれぞれ入れ替えれば総和が $7$ と $35$，$14$ と $28$ の場合をそれぞれ一対一で対応づけられるため，実際に書き出して数えるのは $7,14,21$ の場合のみでよい．
<details>
<summary>総和が $7,14,21$ の場合<\/summary>

- $7$ の場合：$\\{1,1,1,1,1,2\\}$ のみ．
- $14$ の場合：次の $16$ 個．
$$\begin{aligned}
&\\{1,1,1,1,4,6\\},\\{1,1,1,1,5,5\\},\\{1,1,1,2,3,6\\},\\{1,1,1,2,4,5\\},\\{1,1,1,3,3,5\\},\\\\
&\\{1,1,1,3,4,4\\},\\{1,1,2,2,2,6\\},\\{1,1,2,2,3,5\\},\\{1,1,2,2,4,4\\},\\{1,1,2,3,3,4\\},\\\\
&\\{1,1,3,3,3,3\\},\\{1,2,2,2,2,5\\},\\{1,2,2,2,3,4\\},\\{1,2,2,3,3,3\\},\\{2,2,2,2,2,4\\},\\\\
&\\{2,2,2,2,3,3\\}
\end{aligned}$$
- $21$ の場合：次の $32$ 個．
$$\begin{aligned}
&\\{1,1,1,6,6,6\\},\\{1,1,2,5,6,6\\},\\{1,1,3,4,6,6\\},\\{1,1,3,5,5,6\\},\\{1,1,4,4,5,6\\},\\\\
&\\{1,1,4,5,5,5\\},\\{1,2,2,4,6,6\\},\\{1,2,2,5,5,6\\},\\{1,2,3,3,6,6\\},\\{1,2,3,4,5,6\\},\\\\
&\\{1,2,3,5,5,5\\},\\{1,2,4,4,4,6\\},\\{1,2,4,4,5,5\\},\\{1,3,3,3,5,6\\},\\{1,3,3,4,4,6\\},\\\\
&\\{1,3,3,4,5,5\\},\\{1,3,4,4,4,5\\},\\{1,4,4,4,4,4\\},\\{2,2,2,3,6,6\\},\\{2,2,2,4,5,6\\},\\\\
&\\{2,2,2,5,5,5\\},\\{2,2,3,3,5,6\\},\\{2,2,3,4,4,6\\},\\{2,2,3,4,5,5\\},\\{2,2,4,4,4,5\\},\\\\
&\\{2,3,3,3,4,6\\},\\{2,3,3,3,5,5\\},\\{2,3,3,4,4,5\\},\\{2,3,4,4,4,4\\},\\{3,3,3,3,3,6\\},\\\\
&\\{3,3,3,3,4,5\\},\\{3,3,3,4,4,4\\}\end{aligned}$$

<\/details>

頑張って数え上げれば $S$ は次のように計算できる．
$$\begin{aligned}
S
&=6\binom{6}{5}\binom{6}{1}+6\binom{6}{4}\binom{6}{2}+6\binom{6}{4}\binom{6}{1}^2+3\binom{6}{3}^2+12\binom{6}{3}\binom{6}{2}\binom{6}{1}\\\\
&\quad+12\binom{6}{3}\binom{6}{1}^3+2\binom{6}{2}^3+18\binom{6}{2}^2\binom{6}{1}^2+\binom{6}{1}^6\\\\
&=278652\left(=\dfrac{\binom{36}{6}+6\binom{11}{5}}{7}\right)
\end{aligned}$$
これより本問の答えは $\dfrac{49(1947792-278652)}{1947792}=\dfrac{88515}{2108}$ と求められた．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/editorial/3688/110
　$6 \times 6$ のマス目に $1$ から $6$ までの整数を $6$ 個ずつ書き込みます．このとき，それぞれの書き込み方について，その**スコア**を以下のように定めます：

- 各行・各列・各対角線について，書かれた $6$ 個の数の和を $7$ で割った余りを求め，それら $14$ 数すべてを足し合わせたものをスコアとする．

　このとき，書き込み方としてありうるものすべてに対するスコアの（相加）平均を求めてください． ただし，求める値は互いに素な正整数 $a$, $b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．\
　なお，回転や裏返しで一致する書き込み方もそれぞれ**別のものとして扱います**． 

<details><summary>スコアの計算例<\/summary>
　たとえば，以下のような書き込み方
$$\begin{aligned}
1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6\\\\
1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6\\\\
1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6\\\\
1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6\\\\
1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6\\\\
1 && 2 && 3 && 4 && 5 && 6\\\\
\end{aligned}$$
について，そのスコアは以下のように計算できます．
$$0\times 8+1+2+3+4+5+6=21$$
<\/details>