　各村人について素直であるかを表す真理値を**素直度**と呼び, $101$ を法とする原始根 $r$ について, $pe\overbrace{p...p}^{f(r^n)}er$ さんの素直度を $s(n)$ で表す. $1\leq n\leq 100$ の範囲外についても, $s(n) = s(n - 100)$ であることに留意する.\
　条件より $pe\overbrace{p...p}^{f(r^{n})}er$, $pe\overbrace{p...p}^{f(r^{2n})}er$, ... , $pe\overbrace{p...p}^{f(r^{100n})}er$ のうちちょうど偶数人が素直であることから, 
$$
\sum_{k = 1}^{100}s(kn) \equiv 0 \pmod{2}
$$
が任意の $n$ で成立する. ここで, $a$ を $10$ と互いに素な整数とし, $n$ に $25a,5a,a$ をそれぞれ代入すると,
$$\begin{aligned}
0 &\equiv \sum_{k = 1}^{100}s(25ak) \equiv s(25) + s(50) + s(75) + s(100) \pmod{2} \\\\
0 &\equiv \sum_{k = 1}^{100}s(5ak) \equiv s(5) + s(10 ) + \cdots + s(100) \pmod{2} \\\\
0 &\equiv \sum_{k = 1}^{100}s(ak) \equiv s(1) + s(2) + \cdots + s(100) \pmod{2} 
\end{aligned}$$
すなわち, $s(25),s(50),s(75),s(100)$ のうちちょうど偶数個が $1$ であり, $25$ の倍数でない $1$ 以上 $100$ 以下の $5$ の倍数 $k$ で $s(k) = 1$ なるものがちょうど偶数個あり, $5$ の倍数でない $1$ 以上 $100$ 以下の整数 $k$ で $s(k) = 1$ なるものがちょうど偶数個ある必要がある. 逆にこれらが十分条件であることもわかるから,
$$
m = \left(\sum_{k = 0}^{2}{\_{4}}{\mathrm{C}}\_{2k}\right)\left(\sum_{k = 0}^{8}{\_{16}}{\mathrm{C}}\_{2k}\right)\left(\sum_{k = 0}^{40}{\_{80}}{\mathrm{C}}\_{2k}\right) = 2^3\times 2^{15}\times 2^{79} = 2^{97}
$$
より, 求める値は $\textbf{194}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc074/editorial/1514
　$peer$ 村には, $peper$ さん, $pepper$ さん, ... , $pe\overbrace{p...p}^{100}er$ さんの $100$ 人が住んでいます. $peer$ 村の住人の性格はどれも**素直**か**照れ屋さん**であり, 性格が素直な者は常に素直に本当のことを言い, 照れ屋さんは常に照れて嘘をついてしまいます. また, $peer$ 村の住人はどの二人も互いの性格が素直であるか照れ屋さんであるかを把握しています.\
　ある時, $peer$ 村に旅人がやってきました. 旅人は, $100$ 以下の正の整数 $n$ それぞれに対して, $pe\overbrace{p...p}^{n}er$ さんに

- $x$ を $101$ で割った余りを $f(x)$ としたとき, $2$ 以上 $100$ 以下の整数 $k$ であって, $pe\overbrace{p...p}^{f(n^k)}er$ さんが素直であるようなものはちょうど奇数個ですか？

と質問しました. すると, すべての村人が「はい」と回答しました.\
　このとき, 村人たちの性格の組み合わせとして考えられるものは $m$ 通りあります. $m$の素因数分解を
$$m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$$
とするとき, $p_1e_1+p_2e_2+\cdots+ p_ke_k$を求めてください. ただし, 各素数 $p_i$ は相異なり, 各 $e_i$ は正とします.