　操作によらず輪に留まる人数は常に偶数人であり， 特に全員を交互に $2$ つのグループに分割したとき，それぞれのグループから偶数人が輪から弾かれることが容易に分かる．したがって $1$ 回で操作が終わることはない．\
　一方で，$2$ 回で操作を終えられるから，これを数え上げよう．

**解法1.**　ここで，以下のようにおく．
$$S(m,n)=\sum_{k=0}^m {n \choose {2k}}{n \choose {2m-2k}},\quad T(m,n)=\sum_{k=0}^{m-1} {n \choose {2k+1}}{n \choose {2m-2k-1}}$$
いま，$(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}$ の両辺の $x^{2m}$ の係数を比較して，
$$S(m,n)+T(m,n)= {{2n} \choose {2m}}$$
一方で，$(1+x)^n(1-x)^n=(1-x^2)^n$ の両辺の $x^{2m}$ の係数を比較して，
$$S(m,n)-T(m,n)= {n \choose m} (-1)^m$$
これらを連立させることで，以下のように求められる．
$$S(m,n)=\dfrac{1}{2} \left( {{2n} \choose {2m}} + {n \choose m} (-1)^m \right)$$
　いま，各グループから一度に弾かれる人の集合を選んだとき，もう一方のグループからの指名の方法はちょうど $2$ 通りあることに留意すれば，$N$ は以下のように計算できる．ただし，$1$ 回目の操作で $2m$ 人が弾かれ，さらに一方のグループから $2k$ 人が弾かれることを意味する．したがって，総和は $m=1,3,5,\ldots,1011$ に渡る．
$$ \begin{aligned} N &= \sum_m 2^4S(m,1011)\\\\
&= 2^3\sum_m \left( {2022 \choose {2m}} - {1011 \choose m}  \right) \\\\
&= 2^3(2^{2020} - 2^{1010}) \\\\
&= 2^{1013}(2^{1010}-1)
\end{aligned}$$ 
これを $2021=43\times 47$ で割った余りは $\textbf{1902}$ である． 

**解法2.**　$1$ 回目の操作で各グループからそれぞれ $a,b$ 人が残るとすれば，同様に求める数は以下でも与えられる．
$$\begin{aligned}
2^4\Biggl(\sum_{a,b}\binom{1011}{a}\binom{1011}{b}\Biggr)
\end{aligned}$$
ただし， $a, b$ は $1$ 以上 $1011 $以下の奇数で，$(a+b)\/2$ が偶数となるもの全体を渡る．これはさらに
$$\begin{aligned}
\left(\sum_{a}\binom{1011}{a}\right)\left(\sum_{b}\binom{1011}{b}\right)
-\left(\sum_{a}(-1)^{(a-1)\/2}\binom{1011}{a}\right)\left(\sum_{b}(-1)^{(b-1)\/2}\binom{1011}{b}\right)
\end{aligned}$$
の $8$ 倍に等しい．ただし，総和はそれぞれ $1,3,\ldots,1011$ を渡る．この表現において，各部分は容易に計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc064/editorial/2717
　円形の輪に並んだ $2022$ 人の生徒がいます.\
　ここで, 以下の操作をちょうど $\ell$ 回繰り返したところ, $\ell$ 回目の操作によって全員が輪の外に出ました. 

- 各人が輪にそって左右の生徒の一方を一斉に指名する. 偶数 ($0$ を含む) 人に指名された人は一斉に輪の外に出る. ただし, 輪に並んだ生徒が $1$ 人であるとき, 自身が輪にそって左右に位置するとみなす.

このとき，$\ell$ が最小となるように操作を行う方法は $N$ 通りです. $N$ を $2021$ で割った余りを求めてください.\
　ただし，すべての生徒は区別するものとし，初めの $2022$ 人の並び方は固定します．