　まず，$ \\{ 1,2,…,30\\} $ の部分集合の要素の総和を $5$ で割った余りが $a$ のときの場合の数を求める．
$$ f(x)=((1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)(1+x^5))^{6} $$
とおくと，$x^5=1$ としたときの $f(x)$ の $x^a$ の係数と一致する． 対称性から，$a$ が $1$ 以上 $4$ 以下の時の係数は全て等しいのでこれを $ s $ とし，$a=0$ の時の係数を $t$ とおく．係数の総和を考えると $4s+t=2^{30}$ が成り立ち，$1$ の $5$ 乗根のうち $1$ 以外のある $1$ つを $ω$ とすると，
$$ t=\frac{f(1)+f(ω)+f(ω^2)+f(ω^3)+f(ω^4)}{5} $$
が成り立つ．ここで，因数定理より
$$(x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$$
であるから，両辺に $x = -1$ を代入することで
$$(1+\omega)(1+\omega^2)(1+\omega^3)(1+\omega^4) = 1$$
である．よって，$t = \dfrac{2^{30} + 2^8}{5}$ と計算できる．これより $ s=\dfrac{2^{30}-2^{6}}{5}$ もわかり，求める場合の数は  $ 6s+2t$ に等しいから，求める答えは $\bf{1717986944}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc167/editorial/4673
公式解説に対してのさまざまな補足です．  

[補足 $1$ ] $x^5=1$ のとき $f(x)$ の $x,x^2,x^3,x^4$ の係数が等しい理由  
$f(x)={((1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)(1+x^5))}^6$  
$\phantom{f(x)}={((1+x^2)(1+x^4)(1+x^6)(1+x^8)(1+x^{10}))}^6$  
であり，$x^2=t$ とおくと，  
$f(x)=(1+t)(1+t^2)(1+t^3)(1+t^4)(1+t^5)$ であり，$f(x)$ の $x$ の係数と $f(x)$ の $t$ の係数は一致するので，$f(x)$ の $x,x^2$ の係数は一致する．$x^3,x^4$ の係数についても同様である．  

[補足 $2$ ] $t$ の計算過程  
$x^5=1$ の解が $x=1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4$ であるので，$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ より，$x^4+x^3+x^2+x+1=0$ の解が $x=\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4$ となり，$(x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4)=x^4+x^3+x^2+x+1$ である．  
この式に $x=-1$ を代入して，$(1+\omega)(1+\omega^2)(1+\omega^3)(1+\omega^4)=1$ である．  
よって，$\omega^5=1$ を加味して，$f(\omega)=f(\omega^2)=f(\omega^3)=f(\omega^4)=2^6,f(1)=2^{30}$ となり，$t=\dfrac{2^{30}+2^8}{5}$

[補足 $3$ ] $s$ の求め方の別解  
$A_k=\\{5k-4,5k-3,\ldots,5k\\}$ の部分集合のうち，$A_k$ 自身でも空集合でもない $2^5-2=30$ 通りに対し，要素の合計を $5$ で割った余りが $0,1,2,3,4$ であるものは $6$ 通りずつある．$\cdots(1)$   
以下，$\\{1,2,\ldots,30\\}$ の部分集合に対し，$5k-4,5k-3,5k-2,5k-1,5k$ を全て要素に含んでいるまたは全て要素に含んでいないという条件を $P_k$ とする．  
 $\\{1,2,\ldots,30\\}$ の部分集合のうち $P_1$ を満たさないものから無作為に一つ選んだ時，要素の合計を $5$ で割った余りが $1$ である確率は $(1)$ 
より $\dfrac{1}{5}$ である．  
同様に，$\\{1,2,\ldots,30\\}$ の部分集合のうち $P_1,\ldots,P_n$ を満たすが $P_{n+1}$ を満たさないものから無作為に一つ選んだ時，要素の合計を $5$ で割った余りが $1$ である確率は $(1)$ より $\dfrac{1}{5}$ であるという事実が $n=1,2,3,4,5$ で成り立つ．
よって，$\\{1,2,\ldots,30\\}$ の部分集合のうち $P_1,\ldots,P_6$ を満たす $2^6$ 通りはいずれも要素を $5$ で割った余りが $0$ となることに注意して，$s=\dfrac{2^{30}-2^6}{5}$ となる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc167/editorial/4673/246
　別解の略解です. \
　$\emptyset$ は条件を満たさないことに注意. \
　$\bmod5$ で $0, 1, 2, 3, 4$ は $6, 7, 7, 7, 6$ 個である. $0$ の寄与は $\times2^6$ すればok. \
　それ以外は, $\bmod5$ の多重集合として
$$\\{2^0, 2^1, 2^2, ..., 2^{25}\\}\equiv\\{1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, ..., 1, 2\\}$$
であり, この部分集合の総和として $0$ から $2^{26}-1$ までを $1$ 回ずつ作れることに注意すれば, 除かれた "$3$" を含めるか含めないかで場合分けをして
$$\left(\left\lceil\dfrac{2^{26}-1}5\right\rceil+\left\lceil\dfrac{2^{26}-1}5\right\rceil\right)×2^6=Ans.$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc167/editorial/4673/248
[3b1b Japan による類題の解説](https:\/\/youtube.com\/watch?v=FR6_JK5thCY)
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc167/editorial/4673/271
　$\\{ 1,2,…,33\\} $ の空でない部分集合のうち，その要素の総和が $5$ で割ると $1$ 余るものの総数を求めてください．