　任意の正の整数 $p, q$ $(p \ge q)$に対して $q\times {}\_{p}\mathrm{C}\_{q} = p \times {}\_{p-1}\mathrm{C}\_{q-1}$ が成り立つので，
$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{1234} \bigl( k\times {}\_{1234}\mathrm{C}\_{k}\bigr)
&=1234\sum_{k=1}^{1234}{}\_{1233}\mathrm{C}\_{k-1}\\\\
&=1234\sum_{k=0}^{1233}{}\_{1233}\mathrm{C}\_{k}\\\\
&= 1234\times2^{1233}\\\\
&= 617\times 2^{1234}
\end{aligned}$$
がわかる．よって，解答すべき値は $\bf{2470}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/editorial/5434
公式解説とやっていることはあまり変わりませんが，形式的多項式を用いて解くことができます．

特に高難易度のC分野では形式的多項式・冪級数を用いると見通しがよくなることがあります．

$$f(x)=(1+x)^{1234}$$とおくと二項定理より
$$f(x)=\sum_{k=0}^{1234} {}\_{1234}\mathrm{C}\_{k} x^k$$この式の両辺を微分すると
$$f^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{1234}  k{}\_{1234}\mathrm{C}\_{k} x^{k-1}$$
よって
$$f^{\prime}(1)=\sum_{k=1}^{1234}  k{}\_{1234}\mathrm{C}\_{k}$$
したがって最初の式を微分して$1$を代入すればよく
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{1234}  k{}\_{1234}\mathrm{C}\_{k}&=\left. \frac{d}{dx}(1+x)^{1234} \right|_{x=1}\\\\
&=1234(1+1)^{1233}\\\\
&=1234×2^{1233}\\\\
&=617×2^{1234}
\end{aligned}
$$

ゆえに，解答すべき値は$\mathbf{2470}$である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/editorial/5434/262
　$n=1234$ とする．
$$\sum_{k=1}^{n}k{}\_{n}\mathrm{C}\_{k}=\sum_{k=0}^nk{}\_{n}\mathrm{C}\_{k}=\frac{1}{2}\left (\sum_{k=0}^{n}k{}\_{n}\mathrm{C}\_{k}+\sum_{k=0}^{n}(n-k){}\_{n}\mathrm{C}\_{k}\right )=\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{n}{}\_{n}\mathrm{C}\_{k}=n2^{n-1}=617\times 2^{1234}$$
よって，解答すべき値は $\mathbf{2479}$ である．
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　$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}f(k)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}f(n-k)$ は俗に *Queen Property* と呼ばれている．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/editorial/5434/264
　次の整数の正の約数の個数を求めてください．
$$\sum\_{k=1}^{1234} \bigl( k\times {}\_{1234}\mathrm{C}\_{k}\bigr)$$