　偶奇を考えれば $2$ 個入りパックを偶数パック購入することと $2$ 個以下入りパックを奇数パック購入することは同値である．$2$ 個以下入りパックと $4$ 個以上入りパックをそれぞれ (偶数, 偶数)，(偶数, 奇数)，(奇数, 偶数)，(奇数, 奇数) 個ずつ購入する場合の数をそれぞれ $a, b, c, d$ とおけば，求めるべきは $|c-d|$ である．\
　一般に $11111$ を $N$ に置きかえ，形式的冪級数を用いて求める．まず，$|a-b+c-d|$，すなわちリンゴが $4$ 個以上入っているパックが偶数パックの場合の数と奇数パックの場合の数の差を考えよう．\
　$2^i$ 個入りのパックを $j$ パック買う場合の数は ${}\_4\mathrm{H}{}\_j= {}\_{j+3}\mathrm{C}{}\_3$ であるので，
$$P_i(x):={}\_4\mathrm{H}{}\_0-{}\_4\mathrm{H}{}\_1x^{2^i}+{}\_4\mathrm{H}{}\_2x^{2\cdot2^i}-{}\_4\mathrm{H}{}\_3x^{3\cdot2^i}+\cdots=(1-x^{2^i}+x^{2\cdot2^i}-x^{3\cdot2^i}\cdots )^4=(1+x^{2^i})^{-4} ,$$
$$Q_i(x):={}\_4\mathrm{H}{}\_0+{}\_4\mathrm{H}{}\_1x^{2^i}+{}\_4\mathrm{H}{}\_2x^{2\cdot2^i}+{}\_4\mathrm{H}{}\_3x^{3\cdot2^i}+\cdots=(1+x^{2^i}+x^{2\cdot2^i}+x^{3\cdot2^i}\cdots )^4=(1-x^{2^i})^{-4}$$ 
と定めれば，求めるべき値は
$$Q_0(x)Q_1(x)P_2(x)P_3(x)\cdots P_{13}(x)$$ 
の $x^N$ の係数（の絶対値）である．ここで，$1$ パックのリンゴの個数の最大値 $2^{13}$ の制限を外しても答えに影響しないことから，
$$R(x):=Q_0(x)Q_1(x)P_2(x)P_3(x)\cdots$$ 
 について考えればよい（ここで，$R(x)$ の各係数は有限の値となり，定義できる）．これは，以下のように計算できる：

$$\begin{aligned}
R(x)&=(1-x)^{-4}(1-x^2)^{-4}(1+x^4)^{-4}(1+x^8)^{-4}(1+x^{16})^{-4}\cdots \\\\
&=((1-x)(1-x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})\cdots )^{-4} \\\\
&=((1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})\cdots )^{-4}\times(1+x^2)^4(1-x)^{-4} \\\\
&=(1+x^2)^4(1-x)^{-4} \\\\
&=(1+4x^2+6x^4+4x^6+x^8)(1+x+x^2+x^3+\cdots )^4
\end{aligned}$$

ここで，上で述べた通り $(1+x+x^2+x^3+\cdots )^4$ の $x^k$ の係数は ${}\_4\mathrm{H}{}\_k$ で与えられるから，$N$ が十分大きいとき $R(x)$ の $x^N$ の係数は，$M:=N-2$ とおくことで
$$\begin{aligned}
&1\times {}\_4\mathrm{H}{}\_{N}+4\times {}\_4\mathrm{H}{}\_{N-2}+6\times {}\_4\mathrm{H}{}\_{N-4}+4\times {}\_4\mathrm{H}{}\_{N-6}+1\times {}\_4\mathrm{H}{}\_{N-8} \\\\
=&1\times {}\_{N+3}\mathrm{C}{}\_{3}+4\times {}\_{N+1}\mathrm{C}{}\_{3}+6\times {}\_{N-1}\mathrm{C}{}\_{3}+4\times {}\_{N-3}\mathrm{C}{}\_{3}+1\times {}\_{N-5}\mathrm{C}{}\_{3} \\\\
=&\frac83M(M^2+11)
\end{aligned}$$​ 
と求まる．よって $|a-b+c-d|=\dfrac83M(M^2+11)$ である．

　次に，$|a-b-c+d|$，すなわち全部で偶数パックの場合の数と奇数パックの場合の数の差を考える．今度は
$$S(x):=P_0(x)P_1(x)P_2(x)P_3(x)\cdots$$
について考えればよいが，
$$\begin{aligned}
S(x)&=(1+x)^{-4}(1+x^2)^{-4}(1+x^4)^{-4}(1+x^8)^{-4}(1+x^{16})^{-4}\cdots \\\\
&=((1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})\cdots )^{-4} \\\\
&=(1-x)^4 
\end{aligned}$$
であるので，$N$ が十分大きいとき $S(x)$ の $x^N$ の係数の絶対値は $0$，すなわち $a-b-c+d=0$ である．\
　以上より，
$$|c-d|=\frac12|(a-b+c-d)-(a-b-c+d)|=\dfrac43M(M^2+11)$$
であり，特に $M=11109$ とすれば解答すべき値は $\mathbf{1827947320304}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc210/editorial/9197
形式的冪級数を使わない解法\
2個入りパックが奇数になる品種を先に決め打ちして，その品種の2個入りパックを1パック先に買う．
2個入りパックが全ての品種で偶数パックの場合のみ考えれば良い．
2,4個入りパック合計で何個各品種の林檎を買うかを先に決める．
この時各品種の個数が4の倍数でなければ不適．
また，8の倍数でない品種が一つでも存在する場合，対称性より良い買い方と悪い買い方の個数が同じになる．
よって，全ての品種が8の倍数の場合だけ考えれば良く，さらに相殺すると2個入りパックを買わず，4個入りパックを偶数個買う場合のみ考えれば良い．
次に，4,8個入りパック合計で何個各品種の林檎を買うかを決める．
すると，同様の議論により，4個入りパックを買わず，8個入りパックを偶数個買う場合のみ考えれば良い．
これを繰り返すと，2個入り以上の全てのパックを買わない場合のみ考えれば良くなる．
先に買った分も考えると，結局2個入りパックを各品種1個以下買い，残りは全て1個入りパックの場合のみ考えれば良い．これは容易に計算可能である．
形式的冪級数を全く使わない解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc210/editorial/9197/428
　OMC君はリンゴを購入するため，八百屋に来ました．八百屋には**ふじ**，**紅玉**，**王林**，**シナノスイート**の $4$ つのリンゴの各品種と各 $j=0,1,2,…,13$ について， 「**\[品種名\]** $2^j$ 個入りパック」がそれぞれ十分たくさんありました．OMC君はこれらのパックを組み合わせてリンゴをちょうど $11111$ 個購入したいです（買わない品種があっても構いません）．このときさらに，$2$ 個入りパックは（すべての品種について合計して）偶数パック購入するようにしたいです．\
　ここで，そのような組み合わせについて，（すべての品種・個数について合計して）全部で偶数パック購入したとき**良い買い方**，奇数パック購入したとき**悪い買い方**とよぶことにします．\
　良い買い方と悪い買い方それぞれの場合の数について，それらの差の絶対値を求めてください．ただし，同じ種類かつ同じ個数入りのパックは互いに区別せず，パックを選ぶ順番も区別しないものとします．また，$0$ は偶数に含むものとします．

<details><summary>買い方の例<\/summary>

- ふじ $2^{13}$ 個入り・ふじ $2^{11}$ 個入り・ふじ $2^9$ 個入り
- 紅玉 $2^8$ 個入り・紅玉 $2^6$ 個入り・ふじ $2^3$ 個入り
- ふじ $2^3$ 個入り・紅玉 $2^3$ 個入り・王林 $2^2$ 個入り
- 王林 $2^2$ 個入り・王林 $2^1$ 個入り・ふじ $2^1$ 個入り
- 紅玉 $2^0$ 個入り・王林 $2^0$ 個入り・シナノスイート $2^0$ 個入り

の $15$ パックを購入したとき，合計で $11111$ 個かつ $2$ 個入りパックは $2$ パックなので条件を満たし，合計は奇数パックなので悪い買い方となります．
<\/details>