　$a_{n+1} = 3{a_n}^2 - 4a_n + 2$ を変形すると，$3a_{n+1} - 2 = (3a_n - 2)^2$ が得られるので，次が成り立つ．
$$3a_{3334}-2=(3a_1-2)^{2^{3333}}=10000^{2^{3333}}=10^{2^{3335}}$$
よって
$$a_{3334} = \cfrac{10^{2^{3335}} + 2}{3}$$
が得られ，これは最高位から $2^{3335} - 1$ 個だけ $3$ が並び，一の位のみ $4$ となるような正整数である．よって，
$$M = 3 \times (2^{3335} - 1) + 4 = 3 \times 2^{3335} + 1$$
と分かる．従って，フェルマーの小定理より
$$M\equiv 3\times2^{5}+1 = \mathbf{97}\pmod{3331}$$
を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/editorial/7166
　$a_1 = 3334, ~ a_{n+1} = 3{a_n}^2 - 4a_n + 2$ $(n \geq 1)$ で定まる数列 $\lbrace a_n \rbrace$ について，$a_{3334}$ は正の整数となるので，$a_{3334}$ の各桁の和を $M$ とします．このとき，$M$ を素数 $3331$ で割った余りを解答して下さい．