　$B$ から $AP$ におろした垂線の足を $Q$, $AC$ と $BQ$ の交点を $R$ とする. このとき,
$$AQ:AP=AR:AC=AB:AC=15:19$$
および $QD:DP=BD:DC=15:19$ が成立するから, $AD=285x$ とおけば $DP=38x$ である.\
　ここで $A,C,H,P$ は共円であるから, 三角形 $ACD$ と $HPD$ の相似より $CD=722x$ がわかり, 特に
$$AD:BC=285x:\dfrac{15+19}{19}\times 722x=15:68$$
すなわち解答すべき値は $\textbf{83}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/234
　$\angle AHC=\angle APC=90^{\circ}$ より, $AHPC$ は共円. この円を $\Gamma$ とする. $\Gamma$ の直径は $AC=19$ であり, $\angle HAP =\theta$ とすると, 正弦定理より, 
$$\sin \theta = \frac{HP}{AC}=\frac{1}{19}$$
が成立. $\angle BAD=\angle CAD =\alpha$ とすると, 
$$AB\cos(\theta-\alpha)=AC\cos(\theta+\alpha)=AH$$
より,
$$\cos \alpha=\frac{17}{\sqrt{17^2+4(19^2-1)}}$$
$$AD=\frac{19\times15\sin 2\alpha}{19+15 \sin \alpha}=\frac{19\times 15}{17}\cos \alpha$$
$$BC=\sqrt{19^2+15^2-2\times 19\times15\cos 2\alpha}=\sqrt{(19+15)^2+4\times19\times15\cos^2 \alpha}$$
よって,
$$\frac{BC}{AD}=\frac{17}{19\times15}\sqrt{\frac{34^2}{\cos^2 \alpha}-1140}$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/234/611
　$AB=15,AC=19$ なる三角形 $ABC$ において, 角 $A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とし, 点 $A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$, 点 $C$ から $AD$ におろした垂線の足を $P$ とします. $HP=1$ が成立するとき, 比 $AD:BC$ は互いに素な正整数 $p,q$ によって $p:q$ と表されるので, $p+q$ を解答してください.