　$\lbrace 0,1,4,9\rbrace$ を考えれば $n\leq 9$ で, さらに $\lbrace 1,4,9,16\rbrace$ を考えることで $n=9$ は不適である.\
　逆に, 平方数を $8$ で割った余りは $0,1,4$ のいずれかであるから, 求める最大値は $\textbf{8}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc025/editorial/150
　次の条件をみたす正整数 $n$ の最大値を求めてください：

- 相異なる $4$ つの平方数を任意にとったとき, $n$ で割った余りが等しい $2$ つが必ず存在する.

　ただし, ここで**平方数**とは, ある整数の $2$ 乗によって表される整数のことを指すものとします.