　対称性より点 $P(-m,-n)$ が第 $3$ 象限にある場合のみ考えて $4$ 倍すればよい. 反射された軸によって光路を折り返し, それを線分に直すことを考えれば, 条件は次のように言い換えられる：
- 点 $P$ を中心とする半径 $15$ の円周上の格子点であって, 第 $1$ 象限 (軸上を含まない) に存在するものがただ一つ存在する.

ここで, 全体の座標を平行移動して点 $P$ を原点に移動させることで, 条件は次のように表現できる.
- 原点を中心とする半径 $15$ の円周上の格子点であって, 点 $(m,n)$ より「右上」にあるものがただ一つ存在する.

$x^2+y^2=15^2$ の正整数解は $(x,y)=(9,12),(12,9)$ のみであることに注意すれば, 点 $P$ としてあり得るもののは, 点 $(0,9),(9,9),(9,12),(0,12)$ を頂点とする長方形, およびこれを $y=x$ で折り返した長方形の内部 (一部の周上を除く) に存在する. したがって, 求める総数は $2\times 8\times 3\times 4=\textbf{192}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc117/editorial/1973
　$xy$ 平面において，軸上にない格子点 $P$ から，以下のような特殊な光線を発射します．

- 合計で距離 $15$ 進むまで減衰せず，距離 $15$ 進んだ時点で消滅する．
- $x$ 軸および $y$ 軸によって，入射角と反射角が等しくなるように反射される．
- ただし，原点に入射した場合は，入射方向にそのまま反射される．\
このとき，各軸で $1$ 回ずつ，計 $2$ 回反射されたものとみなす．

このとき，以下の条件をみたす格子点 $P$ はいくつありますか？

- 軸で $2$ 回反射され，かつ軸上にない格子点で光線が消滅するような光線の発射方向が，一意に存在する．