　$x$ の整数部分を $n~(1\leq n\leq 100)$ とする．$x=n+\lbrace x \rbrace$ と表せるので，次が成り立つ．
$$\lbrace  x^{2} \rbrace = \lbrace  n^{2} + 2 n \lbrace  x \rbrace  + \lbrace  x \rbrace ^{2}\rbrace=\lbrace   2 n \lbrace  x \rbrace  + \lbrace  x \rbrace ^{2}\rbrace$$
これが $\lbrace  x \rbrace ^{2}$ と等しいことは $2 n \lbrace  x \rbrace$ が整数であることと同値なので，$0\leq k\leq 2n-1$ なる整数 $k$ を用いて $\lbrace  x \rbrace=\dfrac{k}{2n}$ と表せる．よって問題文の条件を満たす $x$ は次のように表せる．
$$x=n+\dfrac{k}{2n}\quad (1\leq n\leq 100,0\leq k\leq 2n-1)$$
これらを足し合わせた値は次のように計算できる．
$$\sum_{n=1}^{100}\sum_{k=0}^{2n-1}\Big(n+\dfrac{k}{2n}\Big)=\sum_{n=1}^{100}\Big(2n^2+n-\dfrac{1}{2}\Big)=\mathbf{681700}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/12407
　$1$ 以上 $101$ 未満の実数 $x$ であって，以下の等式をみたすものの総和を求めてください．

$$\lbrace  x^{2} \rbrace =\lbrace  x \rbrace ^{2} $$
　ただし，正の実数 $r$ の小数部分を $\lbrace  r \rbrace$ と表すものとします．