　$N=10^{999}$ とおく. $(x,y-x,z-y)$ を $(x,y,z)$ と置きなおすことで, 以下の問題を解くことと等価である.

- $x\gt y+z$ かつ $3x+2y+z=60N$ をみたす**正整数**の組 $(x,y,z)$ はいくつあるか？

さらにここから $z$ を消去すれば, 以下の問題を解くことと等価である.

- $3x+2y\lt 60N\lt4x+y$ をみたす正整数の組 $(x,y)$ はいくつあるか？

これは座標平面上で以下を $3$ 頂点とする三角形領域 $S$ の内部の格子点を数えることと等価である.
$$(15N,0),(20N,0),(12N,12N)$$
これを愚直に計算してもよいが, Pickの定理を使えば早い. $S$ の面積は $30N^2$ で, 辺上の格子点は $12N$ 個だから, 
$$M=30N^2-6N+1=2\underbrace{999...999}\_{999個}4\underbrace{000...000}\_{998個}1$$
よって, 求める桁和は $\textbf{8998}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/1453
　少し計算が大変です.

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　$n=6\times10^{1000}$ とします.\
　$x\lt y\lt 2x ,x\lt z \lt 2x$ かつ $x+y+z=n$ を満たす整数の組 $(x,y,z)$ の個数を $S$ とし,\
$x\lt y=z \lt 2x$ かつ $x+y+z=n$ を満たす整数の組 $(x,y,z)$ の個数を $T$ とすると, $M=\frac{1}{2}(S-T)$ です.\
　したがって, $S,T$ をそれぞれ $t$ の母関数を用いて求めていきます.
$$
\begin{aligned}
S&=[t^n]\sum_{x=1}^{\infty}\sum_{y=x+1}^{2x-1}\sum_{z=x+1}^{2x-1}t^{x+y+z}\\\\
&=[t^n]\sum_{x=1}^{\infty}t^x\sum_{y=x+1}^{2x-1}t^y\sum_{z=x+1}^{2x-1}t^z\\\\
&=[t^n]\sum_{x=1}^{\infty}t^x\Big(t^{x+1}\frac{1-t^{x-1}}{1-t}\Big)^2\\\\
&=[t^n]\frac{1}{(1-t)^2}\sum_{x=1}^{\infty}(t^{3x+2}-2t^{4x+1}+t^{5x})\\\\
&=[t^n]\frac{1}{(1-t)^2}\Big(\frac{t^5}{1-t^3}-2\frac{t^5}{1-t^4}+\frac{t^5}{1-t^5}\Big)\\\\
&=[t^{n-5}]\frac{1}{(1-t)^2}\frac{1}{1-t^3}-2[t^{n-5}]\frac{1}{(1-t)^2}\frac{1}{1-t^4}+[t^{n-5}]\frac{1}{(1-t)^2}\frac{1}{1-t^5}\\\\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
T&=[t^n]\sum_{x=1}^{\infty}\sum_{y=x+1}^{2x-1}\sum_{z=y}t^{x+y+z}\\\\
&=[t^n]\sum_{x=1}^{\infty}t^x\sum_{y=x+1}^{2x-1}t^{2y}\\\\
&=[t^n]\sum_{x=1}^{\infty}t^x\Big(t^{2x+2}\frac{1-t^{2x-2}}{1-t^2}\Big)\\\\
&=[t^n]\frac{1}{1-t^2}\sum_{x=1}^{\infty}(t^{3x+2}-t^{5x})\\\\
&=[t^n]\frac{1}{1-t^2}\Big(\frac{t^5}{1-t^3}-\frac{t^5}{1-t^5}\Big)\\\\
&=[t^{n-5}]\frac{1}{1-t^2}\frac{1}{1-t^3}-[t^{n-5}]\frac{1}{1-t^2}\frac{1}{1-t^5}\\\\
\end{aligned}
$$
　例えば, $[t^n]\frac{1}{(1-t)^2}\frac{1}{1-t^3}$ は, $x+y+3z=n$ を満たす非負整数の組 $(x,y,z)$ の個数であり, 同様にそれぞれの項について今のような問題を解けば, $S,T$ がそれぞれ求まる. よって, $M$ を計算することができる.
形式的冪級数を用いる解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/1453/627
　$x\lt y\lt z\lt 2x$ かつ $x+y+z=6\times 10^{1000}$ をみたす整数の組 $(x,y,z)$ は $M$ 個あります.\
　$M$ の (十進法での) 各位の数の和を求めてください.