　$a_N\leq7$ である良い数は高々 $14$ 桁であるから, $15$ 桁の良い数について $a_N=8$ または $9$ である.

(i) $a_N=9$ のとき

　$123456789876543210$ から $9$ 以外の $3$ つの数字を消すことを考えればよい. これの桁和は $81$ であるから, $3$ の倍数を得るには, 消す $3$ つの数字の和が $3$ の倍数である必要がある. すなわち, 消す数字を $3$ で割った余りが
　　$$\lbrace0,0,0\rbrace,\lbrace1,1,1\rbrace,\lbrace2,2,2\rbrace,\lbrace0,1,2\rbrace$$
となればよい. $9$ を除く桁のうち, その数字を$3$ で割った余りが $0,1,2$ であるのはそれぞれ $5,6,6$ 個であるから, 求める選び方は ${}_5\mathrm{C}_3+{}_6\mathrm{C}_3+{}_6\mathrm{C}_3+5\times6\times6=230$通りある.

(ii) $a_N=8$ のとき, (i)と同様に, $1234567876543210$ から $8$ 以外の $1$ つの数字を消せば, $6$ 通りである.

　以上より, 求める総数は $\textbf{236}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc020/editorial/126
　正の整数 $n$ が $k$ 桁の**良い数**であるとは, 次の条件をみたすことを指します. 

- $n$ を $10$ 進法表記で $\overline{a_1a_2\cdots a_{k-1}a_k}$ と表したとき, ある整数 $N(1\lt N\lt k)$ が存在して以下が成立する.
$$a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_{N-1}\lt a_N\gt a_{N+1}\gt\cdots\gt a_{k-1}\gt a_k$$
ただし各 $i=1,\cdots,k$ について $0\leq a_i\leq 9$ であり, 特に $a_1\neq 0$ である.

　例えば $12321$ や $1357986420$ は良い数ですが, $123321$ や $12345$ は良い数ではありません.\
　$10$ 進法表記で $15$ 桁の良い数であって, $3$ の倍数であるものは $M$ 個あります. $M$ を解答してください.