　$x$ についての多項式 $(x+1)^{2024}$ を $x^2+1$ で割った余りは $2^{1012}$ である．これは $x$ に虚数単位 $i$ を代入すれば分かる．よって $2^{130}+1$ を法として $(2^{65}+1)^{2024}\equiv 2^{1012}$ が成り立つ．
$1012=130\times 7+102$ なので $2^{1012}\equiv -2^{102}$となり，$n$ として条件を満たす最小のものは $ \mathbf{102}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9838
以降,合同式のmodは具体的な言及がない限り$M=2^{130}+1$とする.

$$(2^{65}+1)^{2024}=(2^{130}+2^{66}+1)^{1012}\equiv 2^{66\times 1012}$$

ここで,

$$2^{66\times 1012}+2^n\equiv 0$$

つまり,

$$2^{66\times 1012}\equiv -2^n$$

であるためには,2と$M$は互いに素なので,

$$2^{66\times 1012-n}\equiv -1$$

であることが必要十分である.

ここで,$\mod{M}$における$2$の位数は260であるため,

$$66\times 1012-n\equiv 130\pmod{260}$$

であることが問の必要十分条件である.

よって,

$$n\equiv 66\times 1012-130\equiv 102\pmod{260}$$

である.

つまり,条件を満たす$n$の最小値は102である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9838/351
　$(2^{65}+1)^{2024}+2^n$ が $2^{130}+1$ の倍数となる最小の正整数 $n$ を求めてください.