　条件より $AB=x-d,BC=x,CA=x+d~(0\leq d\lt x)$ とおける．このとき直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，角の二等分線定理より $BD=(x-d)\/2$ が得られ，再び角の二等分線定理より $AI:ID=2:1$ がわかる．また辺 $BC$ の中点を $M$ とすると，有名事実として $A,G,M$ はこの順に共線で，$AG:GM=2:1$ である．\
　以上より $IG:DM=2:3$ がわかり，$IG=1,DM=d\/2$ より $d=3$ を得る．このとき三角形の成立条件より $x\gt 6$ であるから，特に解答すべき値は $\bm{7}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb002/editorial/167
　平面上の三角形 $ABC$ について, $AB, BC, CA$ の長さはこの順で等差数列をなしています. また, 内心を $I$, 重心を $G$ とすると, $GI=1$ となります. このとき, $BC$ の長さとしてあり得る最小の整数値を求めてください.\
　ただし, $XY$ で線分 $XY$ の長さを表します.