　$a \leq b \leq c$ なる非負整数 $a,b,c,d$ について，方程式 $2^a+2^b+2^c=2^d$ の一般解を考える．$2^c \lt 2^d$ より，
$$\frac{1}{2^{d-a}} + \frac{1}{2^{d-b}} + \frac{1}{2^{d-c}} = 1$$
が成り立つ．$1 \leq d-c \leq d-b \leq d-a$ から，
$$1 = \frac{1}{2^{d-a}} + \frac{1}{2^{d-b}} + \frac{1}{2^{d-c}} \leq \frac{3}{2^{d-c}}$$
より $d-c = 1$ が得られ，残りも同様にして $d-b = d-a = 2$ となる．したがって一般解は $t$ を非負整数として，
$$(a,b,c,d) = (t,t,t+1,t+2)$$
で与えられる．いま，$2^p + 2^{2q} + 2^{3r} = 2^{4s}$ から
$$(p,2q,3r,4s) = (t,t,t+1,t+2),(t,t+1,t,t+2),(t+1,t,t,t+2)$$
の $3$ つのケースに分けられる．
-  $(p,2q,3r,4s) = (t,t,t+1,t+2)$ のとき，$2 \mid t, ~ 3 \mid t+1, ~ 4 \mid t+2$ より，$t \equiv 2 \pmod {12}$．よって，一般解は $k$ を $0$ 以上 $29$ 以下の整数として，
$$(p,q,r,s) = (12k+2,6k+1,4k+1,3k+1)$$ 
で与えられ，このとき $p+q+r+s = 25k+5$ となる．

- $(p,2q,3r,4s) = (t,t+1,t,t+2)$ のとき，$2 \mid t+1, ~ 3 \mid t, ~ 4 \mid t+2$ であるが，これらを同時にみたすような非負整数 $t$ は存在しない．

- $(p,2q,3r,4s) = (t+1,t,t,t+2)$ のとき，$2 \mid t, ~ 3 \mid t, ~ 4 \mid t+2$ より $t \equiv 6 \pmod {12}$．よって，一般解は $k$ を $0$ 以上 $29$ 以下の整数として
$$(p,q,r,s) = (12k+7,6k+3,4k+2,3k+2)$$ 
で与えられ，このとき $p+q+r+s = 25k+14$ となる．

　以上より，求める値は，

$$\sum_{k=0}^{29} (50k+19) = 50 \times \frac{29 \times 30}{2} + 19 \times 30 = \mathbf{22320}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/editorial/11082
　以下の等式を満たす $1$ 以上 $360$ 以下の整数の組 $(p,q,r,s)$ 全てについて，$p+q+r+s$ の総和を求めてください．

$$2^p + 4^q + 8^r = 16^s$$