　三角形 $APQ$ の内接円と $AP,AQ$ との接点をそれぞれ $M,N$ とおき,
$$AM=x,\quad PL=y,\quad QL=z$$
とすれば,
$$PQ=y+z=41,\quad KL=y-z=1$$
であるから，三角形 $APQ$ の面積を $S$ とおけば $S=41\triangle AKL=41\times 6\sqrt{7}$ を得る．一方でHeronの公式から
$$S=\sqrt{xyz(x+y+z)}=\sqrt{420x(x+41)}.$$
これを解いて $x=\dfrac{-205+41\sqrt{85}}{10}$ である．したがって，$S=rx$ とも表せることから
$$r=\frac{S}{x}=\frac{41\times 60\sqrt{7}}{41(\sqrt{85}-5)}=\sqrt{7}(\sqrt{85}+5)=\sqrt{595}+\sqrt{175}$$
となり，解答すべき値は $595+175=\textbf{770}$ である.

![figure 1](\/images\/PXc4QyXPC9bMBtQpw0GL3BQg0LPg3z1sm2KbLoLy)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc135/editorial/2098
　$AB=AC$ なる二等辺三角形 $ABC$ において，直線 $AB,AC$ とそれぞれ $B,C$ で接する円を $\Gamma$ とします．$\Gamma$ の劣弧 $BC$ 上に $BK\lt CK$ なる点 $K$ をとり，$K$ における $\Gamma$ の接線を $\ell$ とし，$\ell$ と直線 $AB,AC$ の交点をそれぞれ $P,Q$ とします．さらに，三角形 $APQ$ の内接円と $\ell$ の接点を $L$ とすれば，以下が成立しました：
$$BP=20,\quad CQ=21,\quad \triangle AKL=6\sqrt{7}$$
このとき，$\Gamma$ の半径 $r$ は正整数 $a,b$ を用いて $r=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．ただし，$\triangle XYZ$ で三角形 $XYZ$ の面積を表すものとします．