　$3^6\equiv3^2\pmod{720}$ より, 手元にあるラムネ瓶の本数 $N$ について引き換えを行っても $3^{N}$ を $720$ で割った余りは不変である. よって $3^n\equiv 3^4\equiv\textbf{81}\pmod{720}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc011/editorial/71
　ある駄菓子屋では, $\displaystyle 1$ 本 $\displaystyle 100$ 円（税込）のラムネが売られています. またここでは, 飲み終わったラムネの瓶を $\displaystyle 6$ 本持っていくと, それと引き換えに新たにラムネが $\displaystyle 2$ 本もらえ, そのラムネもまた引き換えに使うことができます.\
　いま $\displaystyle 100n$ 円持っています($n$ は正整数). このお金を使って, できるだけ多くのラムネを飲んだところ, 手元にはラムネの瓶が $\displaystyle 4$ 本残りました. このとき, $\displaystyle 3^{n}$ を $\displaystyle 720$ で割った余りとして考えられるものをすべて求め, その総和を解答してください.\
　ただし, 途中で瓶の処分は行われないものとします.