　まず有名事実として, 以下の補題1を認める.

**補題1.**　どの $3$ 点も同一直線上に無く, かつ垂心系をなさない $4$ 点 $V,W,Y,Z$ について, 以下で定められる $8$ 円はすべてある一点 (Poncelet点) を通る.

- 三角形 $VWY,WYZ,YZV,ZVW$ の九点円
- $Z$ についての三角形 $VWY$ の垂足円, および同様に定まる $3$ 円

**補題2.**　辺 $BC$ と内接円の接点を $D$ とする. $I$ について $D$ と対称な点を $P$ とすれば, 一般に $M,P,Fe$ は共線である.

**証明.**　辺 $AC$ の中点を $M_B$, 辺 $AC$ と内接円の接点を $E$ とすれば, 補題1より $E,M_B,M,Fe$ の共円がわかる. これより
$$\angle EFeM=\angle AM_BM=\angle ACI=\angle EDP=\angle EFeP$$
が成り立つから, 特に所望の共線が示された.

**補題3.**　$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$, $I$ から $AH$ におろした垂線の足を $U$ とする. また弧 $BC$ の $A$ を含まない方の中点を $N$ とする. このとき, $U,D,N$ は共線である.

**証明.**　円 $ABC$ と $AI$ を直径とする円の交点を $K(\neq A)$ とすれば, 有名事実として $K,D,N$ は共線である, ここで $KN$ と $AH$ の交点として $U^\prime$ を定めれば, 簡単な角度計算によってこれは $AI$ を直径とする円上にあることがわかるから, 特に $U$ に一致することがわかる.

　補題2より, 条件を $M,P,O$ の共線に置き換えてよい.$HI$ の (すなわち $DU$ の) 中点を $V$ とすれば, $MV,PD,ON$ は平行であり, 
$$ID:ON=PI:ON=MP:MO=VD:VN$$
より $V,I,O$ は共線である. したがって $DION$ は等脚台形で, 特に $DN=OI$ である.

　ここで $y=10000$ とおけば, Eulerの定理より $DN^2=OI^2=x(x-2y)$ である. また $BC$ の中点を $M_A$ とすれば $M_AN=(x-y)\/2$ が成り立つ. これより,
$$DM_A^2=DN^2-M_AN^2=\dfrac{1}{4}(3x^2-6xy-y^2)$$
が従い, 右辺が正であることから以下の不等式が成立する.
$$x\gt\left(1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\right)y\gt 21547$$
　逆に $x=\textbf{21548}$ で条件を成立させられることが確認できるから, これが求める最小値である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/215
　$AB\neq AC$ なる三角形 $ABC$ は, 中心が $O$ で半径が $x$ の外接円と, 中心が $I$ で半径が $10000$ の内接円をもちます. $AI$ の中点を $M$ とし, 三角形 $ABC$ のフォイエルバッハ点を $Fe$ とすると, $3$ 点 $M,O,Fe$ は相異なり, かつ同一直線上にありました. このとき, $x$ としてありうる最小の整数値を求めてください.

　ただし, $1.414213\lt\sqrt{2}\lt1.414214$ および $1.73205\lt\sqrt{3}\lt1.732051$ が保証されます.

**注意.**　三角形の内接円と九点円は必ず接することが知られており, その接点を**フォイエルバッハ点**と呼びます.