　$x_1=0$ を考慮すれば，$x_n = a r^{n-1} + b(n - 1) - a$ とおくことができる．ここで階差を $2$ 回とれば，
$$x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n = a(r-1)^2 r^{n-1}$$
が成り立つ．ここで $n = 1, 2$ とすれば，以下を得る．
$$a(r-1)^2 = 128, \qquad a(r-1)^2 r = 192$$
これより $\displaystyle a = 512, r = 3\/2$ であり，$b = -576$ もわかる．したがって，一般項は
$$x_n = 2^{10-n} \cdot 3^{n-1} - 576n + 64.$$
　明らかにこれが整数となるのは $n \leq 10$ の範囲である．また，先ほどの $2$ 回階差が常に正の値をとることと $x_3 = x_4$ から，$\\{x_n\\}$ は $n \geq 4$ の範囲で狭義単調増加となる．よって，求める最大値は $x_{10} = \mathbf{13987}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc114/editorial/4753
　（一つの）等差数列と（一つの）等比数列の和として表される実数列 $\\{x_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$ があり，
$$x_1 = 0, \quad x_2 = -320, \quad x_3 = x_4 = -512$$
をみたします．このとき，$\\{x_n\\}$ に含まれ得る整数値は有限個であることが証明できるので，そのうち最大のものを求めてください．