　$f(x)=5x^4-30x^2$ の $x=t$ における接線は $y=f^\prime (t)(x-t)+f(t)$ であるから,
$$g(t)=15t^4-20xt^3-30t^2+60xt+y$$
について $g(t)=0$ が実数解をもつ条件を考えればよい. ここで $g^\prime (t)=60(t^2-1)(t-x)$ より,
$$g(\pm 1)=y\pm 40x-15,\quad g(x)=y-f(x)$$
より少なくとも一つが $0$ 以下であることが必要十分条件であるから, 求める面積は
$$2\int_{0}^{3}((40x+15)-(5x^4-30x^2))\mathrm{d}x=-10\int_{0}^{3}(x+1)^3(x-3)\mathrm{d}x=\textbf{504}$$
これは, 変曲点 $(\pm1,-25)$ における $2$ 接線 $y=\mp 40x+15$ と境界に囲まれた部分として理解できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc096/editorial/1765
　$xy$ 平面において，$y\geq 5x^4-30x^2$ で定まる領域を $R$ とします．$R$ に含まれ，かつ $R$ の境界の接線が通過し得る部分の面積を求めてください．