　$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $J$ とすると，$BP = PJ$ および平行線の比の性質より
$$AE:EC=JQ:QC=1:5$$
である．また $B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $K$ とすると，$AE = EK$ より
$$AE:EK:KC=1:1:4$$
を得る．$△AJC \sim △BKC$ なので
$$AC:6 = AC : JC=BC:KC=10:\dfrac{2}{3}AC$$ より $AC^2=\bf{90}$ 
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/8432
　鋭角三角形 $ABC$ において辺 $AB$ の中点を $D$ とし，$D$ から直線 $AC$ におろした垂線の足を $E$ とします．$D,E$ から直線 $BC$ におろした垂線の足をそれぞれ $P,Q$ としたとき，$$BP=2, \quad PQ=3, \quad QC=5$$
が成り立ちました．$AC^2$ を求めてください．