　 $N=2^{44}-1$ とする． $N$ を因数分解することで以下のようになる．
 $$
\begin{aligned}
N& =\left(2^{22}-1\right)\left(2^{22}+1\right)\\\\
& =\left(2^{11}-1\right)\left(2^{11}+1\right)\left(2\times2^{10}-2\times2^{5}+1\right)\left(2\times2^{10}+2\times2^5+1\right)\\\\
& =2047\times2049\times2113\times1985
\end{aligned}
 $$
また， $2$ と $23$ は互いに素なので，Fermatの小定理より，
 $$
2^{44}\equiv (2^2)^{22}\equiv1\pmod{23}
 $$
となるので， $N$ が $23$ で割り切れることに注意して素因数分解することにより，以下のようになることがわかる．
 $$
N=23\times89\times3\times683\times2113\times5\times397
 $$
従って素因数の総和は以下のようになる．
 $$
3+5+23+89+397+683+2113=3313
 $$
よって，解答すべき値は $\mathbf{3313}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/10893
　$2^{44}-1=(2^{22}+1)(2^{11}+1)(2^{11}-1)$ であり，$$2^{11}-1=2047=23\times89,2^{11}+1=3\times683,2^{22}+1=4194305=5\times838861$$
であることまでは比較的容易に得られる．では，$2^{22}+1$ の $5$ 以外の素因数 $p$ の見つけ方を考えよう．  
以下，合同式の法は $p$ とする．$2^{44}\equiv1$ より，$2$ の位数は $44$ の約数であり，$2^{22}\equiv-1$ より，$2$ の位数は $22$ の約数ではなく，明らかに $p\ne3,5$ より，$2$ の位数は $4$ でもないことに注意して，$2$ の位数は $44$ となる．  
ここで，フェルマーの小定理より，$2^{p-1}\equiv1$ であるので，$p-1$ は $44$ の 倍数となり，$p$ は $44$ で割って $1$ 余る素数とわかる． よって，$p=89,355,397,\ldots$ に限られ，実際に割り算をすることで，$838861=397\times2113$ を得ることが出来る．
位数の議論
https://onlinemathcontest.com/contests/omc234/editorial/10893/720
　 $2^{44}-1$ は相異なる $7$ つの素数の積として表すことができます．それら $7$ つの素数の総和を求めてください．