　$|x|+|y|+|z|\leq 1$ をみたす点 $(x, y, z)$ からなる領域は，原点を中心とし一辺が $\sqrt 2$ の正八面体になる．したがって本問で考えている立体は，原点を通りある面に平行な平面で正八面体を半分にスライスしたものになっている．\
　ここで $a=\dfrac{\sqrt 2}{2}$ とする．この立体の表面は，
- $1$ 辺 $a$ の正三角形が $3$ 枚
- 辺の長さが $a$ , $a$ , $a$ , $2a$ の等脚台形が $3$ 枚
- $1$ 辺 $2a$ の正三角形が $1$ 枚
- $1$ 辺 $a$ の正六角形が $1$ 枚

の $8$ つの面から構成されている．したがって，求める表面積は
$$3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + 3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} (2a)^2 + \frac{3\sqrt 3}{2} a^2 = \frac{11\sqrt{3}}{4}$$
であり，解答すべき値は $\mathbf{379}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/editorial/11682
　もしスムーズに本問の立体が思い浮かべられた人がいたらすごいです．中々そうはいかない人も多いと思うので，立体想像が苦手な人向けの方針を紹介します．

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$(0)$ $|x| + |y| + |z| = 1$ とは

　まずは $x,y,z \geq 0$ の部分だけ考えてみます．このときの $x+y+z = 1$ の図形なので，平面の $x,y,z \geq 0$ の部分だけを切り取ったような形，つまり三角形になります．この平面は $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ を通るので，この $3$ 点を頂点とする一辺 $\sqrt{2}$ の正三角形になります．\
　これが残りの $7$ つ $($例えば $x,z \geq 0, ~  y \leq 0$  の場合など$)$ についても同じことがいえるので，立体 $|x| + |y| + |z| = 1$ は，正三角形を $8$ つ貼り付けた正八面体になると分かります．

　以下では上の正八面体を $S$ と呼びます．

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$\mathbf{(1)}$ **断面以外の処理**

　平面 $x+y+z = 0$ が $S$ の表面を $2$ 等分するのはなんとなく分かると思います．厳密に言うなら $S$ の表面上の任意の点と，その原点に対しての対称点 $\big( (x,y,z)$ と $(-x,-y,-z) \big)$ が $x+y+z = 0$ をまたぐことから分かります．\
　今 $S$ の表面積は $4\sqrt{3}$ なので，本問の立体の断面以外の表面積は $2\sqrt{3}$ です．

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$\mathbf{(2)}$ **断面の処理** (本題)

　$x+y+z=0$ が $S$ のどこらへんで交わりそうか特徴付けをしてみます．どう見つけても良いんですが，$x+y+z$ の値に注目してみましょう．$S$ の頂点は
$$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ~ と ~ (-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)$$
です．前 $3$ 点と後 $3$ 点で $9$ つのペアが作れますが，このペアの中点はどれも $x+y+z=0$ 上に乗ることが分かります．\
$(x+y+z=1$ 上の点と $x+y+z=-1$ 上の点の中点をとって $x+y+z=0$ になる点を作り出そうとしている$)$

　$3$ 点は原点になるので，残りの $6$ 点を手元に書き込むと，良い感じに正六角形をなしていそうです．(これが正六角形なのかが怪しいですが，対称性を信じると，) 断面は一辺が $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の正六角形なので，面積は $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ と分かります．

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　以上より，答えは $\displaystyle 2\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{11\sqrt{3}}{4}$ で，求める値は $\mathbf{379}$ です．
想像力に限界を感じたら
https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/editorial/11682/668
　$xyz$ 空間内で，
$$|x|+|y|+|z|\leq 1, \quad x+y+z\geq 0$$ 
をともにみたす $(x,y,z)$ からなる領域の**表面積**は，互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\sqrt \dfrac{a}{b}$ と表されます．$a+b$ を解答してください．