　円 $ABC$ の弧 $BAC$ の中点を $E$ とし，円 $EIN$ と直線 $BN$ の交点を $F(\neq N)$ とする．
$$\angle EAI=\angle EBN,　\angle EIA=\angle EFN$$
より，三角形 $EAI$ と三角形 $EBF$ は相似．また，$EB=EC, AB=DC$ かつ $\angle EBA=\angle ECD$ より三角形 $EAB$ と $EDC$ は合同なので，三角形 $EAD$ と $EBC$ は相似である．したがって，四角形 $EAID$ と $EBFC$ は相似である．また，三角形 $EIN$ の外接円は，$N$ を中心とし半径 $NI$ の円（円 $IBC$）で反転すると直線 $IM$ に移るので，
$$NB^2 = NC^2=NI^2=NF×NP$$ が成り立つ．よって，三角形 $NCF$ と $NPC$ は相似だから，
$$\angle NCP=\angle NFC=\angle AID=\angle NIB=\angle NBI$$
が成り立つ．いま，直線 $BI$ と円 $ABC$ の交点を $G (\neq B)$ とすると，
$$\angle GCN+\angle NCP=180^{\circ}-\angle NBI+\angle NCP=180^{\circ}$$ より，$G, C, P$ は同一直線上にある．$BI=a, ~ IG=b$ とおくと，Menelaus の定理より
$$\dfrac{BI}{IG}×\dfrac{GP}{PC}×\dfrac{CM}{MB}=1$$
だから，$GC:CP=(b-a):a$ である．よって，
$$GP=GC×\left(1 + \dfrac{a}{b-a} \right)=GI×\dfrac{b}{b-a}=\dfrac{b^2}{b-a}$$
が成り立つ．いま，$\angle BGN=\angle CGN$ より $GB:GP=NB:NP=5:9$ が成り立つから，$b=\dfrac{3}{2}a$ を得る．したがって，$PC×PG=PN×PB$ より $BI^2=a^2=\dfrac{28}{3}$ を得る．解答すべき値は $\textbf{31}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/8201
　内心が $I$ である三角形 $ABC$ について，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $BI$ と $AC$ の交点を $D$ とします．三角形 $ABC$ の外接円の劣弧 $BC$ の中点を $N$ とし，直線 $IM$ と $BN$ の交点を $P$ とすると，
$$AB=CD,　BN=5,　NP=9$$ 
が成り立ちました．このとき，線分 $IB$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\sqrt\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．