　すべての辺の長さが $1$ の四角錐 $X-Y_1Y_2Y_3Y_4$ において，$X$ から $Y_1Y_2Y_3Y_4$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると，$XH=\dfrac{\sqrt 2}{2}$ である．よって，$QS=RT=1+\sqrt 2$ であり，$P$ と面 $QRST$ の距離は $\dfrac{1+\sqrt2}{2}$ である．以上より，求める体積は 
$$\frac{1}{3}\times\frac{(1 + \sqrt2)^2}{2}\times\frac{1+\sqrt2}{2} = \frac{7+5\sqrt2}{12}$$ 
であるから，特に解答すべき値は $\bf{26}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc004/editorial/4000
　一辺の長さが $1$ の立方体 $ABCD-EFGH$（たとえば $A$ と辺を共有する頂点は $B,D,E$）について，その外部に点 $P, Q, R, S, T$ をとったところ，四角錐
$$P-ABCD, ~ Q-ABFE, ~ R-BCGF, ~ S-CDHG, ~ T-DAEH$$
のすべての辺の長さが $1$ になりました．このとき，四角錐 $P-QRST$ の体積は正の整数 $a,b,c,d$ を用いて $\dfrac{a+b\sqrt c}{d}$ と表せる（ただし $a,b,d$ の最大公約数は $1$ であり，$c$ は平方因子を持たない）ので，$a+b+c+d$ を解答してください．