　それぞれの生徒および係を $12$ 個の頂点とし, 生徒への係の割り当てに従って辺を貼った二部(無向)グラフを考えると, すべての頂点の次数が $2$ であることから, その辺はいくつかのサイクルに分解できる. ここで, 3つ目の条件よりこのサイクルの長さは $4$ ではなく, さらに二部グラフであることからサイクルの長さは奇数ではないから, これらより $6$ 以上である. これより, グラフは長さ $6$ のサイクル二つに分解されるか, 長さ $12$ のサイクル一つから構成されるしかない. 前者の場合の数は以下で与えられる.
$$\dfrac{1}{2}({}\_{6}\mathrm{C}\_{3})^2\times\left(\dfrac{1}{2}\times3\times2\times2\right)^2=7200$$
また後者の場合の数も同様に $\dfrac{1}{2}\times6\times5\times5\times\cdots=\dfrac{1}{2}\times6!\times5!=43200$ 通りである.\
　以上より求める場合の数は $\textbf{50400}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc060/editorial/244
　以下の条件をみたすように, $6$ 人の生徒に $6$ つの係を割り当てる方法は何通りありますか？

- 各人にはちょうど $2$ つの相異なる係を割り当てる.
- それぞれの係はちょうど $2$ 人の生徒が受け持つ.
- どの $2$ つの係についても, その両方を割り当てられた生徒は高々 $1$ 人である. 

ただし, 生徒および係はすべて区別するものとします.