　$D$ は三角形 $ABE$ の外心であるから，$BD=DE=EC=4$ が従う．よって，対称性により $ADE$ は正三角形であることがわかるから，三角形 $ABC$ の $BC$ を底辺としたときの高さは $2\sqrt{3}$ である．従って，面積は 
$$12\times2\sqrt3\div2=12\sqrt{3}=\sqrt{\textbf{432}}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc147/editorial/223
　$AB=AC$ なる二等辺三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ 上の $2$ 点 $D,E$ が
$$AD=BD=4,\quad CE=DE,\quad \angle BAE=90^\circ$$
をみたすとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．