　$2$ 種類の値を $x,y$ とすれば，$a_1$ から $a_{100}$ はすべて異なることから
$$a_1+a_2=x,　a_2+a_3=y,　\dots,　a_{98}+a_{99} = y,　a_{99}+a_{100}=x$$
となるほかない．\
　ここで $a_1, a_3, \ldots, a_{99}$ は公差 $y-x$ の等差数列である．これらは $1$ 以上 $100$ 以下であるから，公差は $\pm1, \pm2$ のみが適することがわかる．一方で $a_2, a_4, \ldots, a_{100}$ は公差 $x-y$ の等差数列であるから，$(a_1, y-x)$ として考えられる組は以下のように列挙できる：
$$(1,1),　(51,1),　(1,2),　(2,2),　(50,-1),　(100,-1),　(99,-2),　(100,-2).$$
それぞれについて $a_1\times a_{100}$ を計算すれば，求める値は $51+2+5000+9900=\textbf{14953}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc116/editorial/5305
　$(1,2,\ldots,100)$ の並べ替え $(a_1, a_2, \ldots, a_{100})$ について，
$$a_1+a_2,　a_2+a_3,　\cdots,　a_{99}+a_{100}$$
の中に現れる値はちょうど $2$ 種類でした．\
　このとき，$a_1\times a_{100}$ がとり得る値すべてについて，それらの総和を求めてください．