**解答1.**　点 $C$ を中心とし, 点 $B$ が $A$ に移るように $\triangle{ABC}$ を $60^\circ$ 回転移動させ, 点 $P$ に対応する点 $Q$ を取る．このとき $AQ^2+PQ^2=BP^2+CP^2=AP^2$ より $\angle AQP=90^\circ$ である．したがって $\angle BPC=\angle AQC=90^\circ+60^\circ=150^\circ$ である．ここで $\triangle{ABC}$ の一辺の長さを $l$ とすると, 余弦定理などより
　　$$AP^2+BP^2=l^2,\ \ BP^2+CP^2=AP^2,\ \ BP^2+CP^2-\sqrt{3}BP\times CP=l^2$$
が従い, これらより $\displaystyle AP=\frac{2}{\sqrt{7}}l,\  BP=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}l,\ CP=\frac{1}{\sqrt{7}}l$ を得る. $\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$ であるから,
　　$$\begin{aligned}\triangle PAB&=\dfrac{1}{2}AP\times BP=\dfrac{\sqrt{3}}{7}=\dfrac{4}{7}S\\\\
　　\triangle PBC&=\dfrac{1}{2}BP\times CP\times \sin150^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{28}=\dfrac{1}{7}S\\\\
　　\triangle PCA&=\frac{1}{2}CP\times AP\times \sin120^\circ= \dfrac{\sqrt{3}}{14}=\dfrac{2}{7}S\end{aligned}$$
　よって $a\times b\times c\times d\times e\times f=4\times7\times1\times7\times2\times7=\textbf{2744}$ である.

**解答2.**　$BC, CA, AB$ に対して $P$ と対称な点をそれぞれ $X, Y, Z$ とすると, 三角形 $AYZ$ に注目すれば $AY=AZ, \angle{YAZ}=120^\circ$ より $YZ=\sqrt{3}AP$ である. 同様に $ZX=\sqrt{3}BP, XY=\sqrt{3}CP$ であるから, $BP^2+CP^2=AP^2$ より $ZX^2+XY^2=YZ^2$ で, 特に $\angle{YXZ}=90^\circ$ が従う. さらに
　　$$\angle{YZX}=\angle{AZB}-\angle{AZY}-\angle{BZX}=30^\circ$$
であるから $XY:YZ:ZX=1:2:\sqrt{3}$ がわかり, $AP:BP:CP=2:\sqrt{3}:1$ である. また
　　$$\angle{BPC}=\angle{BXC}=\angle{BXZ}+\angle{ZXY}+\angle{YXC}=150^\circ$$
がわかり, これより $\angle{CPA}=120^\circ$ が従うから, 以上より三角形 $APB, BPC, CPA$ の面積比は
　　$$PA\times PB:PB\times PC\times \sin\angle{BPC}:PC\times PA\times \sin\angle{CPA}=4:1:2$$
で与えられる. よって, 特に求める値は上と同様に $\textbf{2744}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc022/editorial/138
　面積 $S$ の正三角形 $ABC$ において, その内部の点 $P$ が以下の等式をみたしました.
$$AP^2+BP^2=AB^2,\ \ BP^2+CP^2=AP^2$$
　このとき, 三角形 $PAB, PBC, PCA$ の面積はそれぞれ $\dfrac{a}{b}S, \dfrac{c}{d}S, \dfrac{e}{f}S$ と表せます. ただし $a,b,c,d,e,f$ は正整数であり, $a$ と $b$, $c$ と $d$, $e$ と $f$ はそれぞれ互いに素です. $abcdef$ ($6$ 数の積)を解答してください.