　良い点の一意存在は保障されているから，半直線 $ZX,\\, ZY$ 上にそれぞれ点 $\widetilde X,\\, \widetilde Y$ を，$X\widetilde X,\\, Y\widetilde Y$ が微小で，また $XY = \widetilde X\widetilde Y$ となるようにとったとき，$XY$ と $\widetilde X\widetilde Y$ の交点 $\widetilde W$ に対して，$W\widetilde W$ は微小．よって簡単な長さ計算により，$Z$ から $XY$ に下した垂線の足 $W^\prime$ に対して，$XW = YW^\prime$ となることが分かる．  
　$BC,\\, AC,\\, AB,\\, CD,\\, BE$ の中点を，それぞれ $M\_A,\\, M\_B,\\, M\_C,\\, M\_D,\\, M\_E$ とすると，$M\_C\\,M\_D$ と $M\_B\\,M\_E$ の交点は $T$ で，$M\_D,\\, M\_E$ はそれぞれ線分 $M\_A\\,M\_B,\\, M\_A\\,M\_C$ 上にあって
$$ 2M\_A\\,M\_D = BD,\qquad 2M\_A\\,M\_E = CE. $$
よって $\triangle ABC$ の重心を中心とした $-2$ 倍の相似拡大により $M\_D,\\, M\_E$ が移る点を，それぞれ $H\_1,\\, H\_2$ とすれば，それぞれ辺 $AB,\\, AC$ 上にあって，$AH\_1 = BD,\hspace{314705sp} AH\_2 = CE$ が成立するので，$H\_1,\\, H\_2$ はそれぞれ，$C$ から $AB$ に，$B$ から $AC$ に下した垂線の足で，$CH\_1$ と $BH\_2$ の交点は $\triangle ABC$ の垂心．この点は，上の相似拡大により $T$ が移る点に一致するから，$T$ は $\triangle ABC$ の外心であることが分かった．  
　したがって，$\triangle ABC$の外接円，内接円の半径を，それぞれ $R,\\, r$ とすれば，$R = \dfrac{2468}3$ であるから，$\triangle ABC$ の外心が三角形の内部にあることと合わせて，長さに関する Carnot の定理より
$$ r = \frac{1858\times1202}{2001} - \frac{2468}3 = \frac{195720}{667}. $$
これより，求める面積は $\dfrac{3939r}2 = \dfrac{385470540}{667}$ であるから，解答すべき値は $\bm{385471207}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9383
　良い点の一意存在は以下のようにシムソン線から示される．\
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　三角形 $XYZ$ の外接円を $\Omega$ とし，辺 $XY$ 上に点 $P$ を取る．$\Omega$ の劣弧 $XY$ 上に点 $Q$ を $PQ\perp XY$ を満たすように取る．点 $Q$ から $ZX, ZY$ に下ろした垂線の足を順に $R, S$ とすればシムソン線から $R, P, S$ は同一直線上であり，角度評価から三角形 $QXY$ と三角形 $QRS$ の相似が分かる．相似比から $RS:XY=QR:QX$ であり $\angle QRZ=90\degree$ から $QR\leq QX$ すなわち $RS\leq XY$ が言える．\
　したがって $XY$ の最小性が満たされるのは直線 $XY$ がシムソン線となるときのみであり，これは $W$ を通り $XY$ に垂直な直線と劣弧 $XY$ の交点 $V$ が $VX\perp ZX, VY\perp ZY$ を満たすとき，すなわち $ZV$ が $\Omega$ の直径となるときであり，直線 $ZW$ が $Z$ から $XY$ への垂線の等長共役点であるときだけであることが示される．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9383/292
　問題文にある「$P, Q, R, S$ は同一円周上にあるので」の証明をします．

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三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，$AH, BH, CH$ と対辺の交点を $A_1, B_1, C_1$ とする．いま，$AB$ を直径とする円は $A_1, B_1$ を通り，$CD$ を直径とする円は $C_1$ を通り，$BC$ を直径とする円は $B_1, C_1$ を通るので，この $3$ 円の根心を考え，$PQ, AA_1, BB_1$ は共点 (交点は $H$ である)．また，$AC$ を直径とする円は $A_1, C_1$ を通り，$BE$ を直径とする円は $B_1$ を通るので，この $2$ 円と $BC$ を直径とする円の根心を考え，$RS, AA_1, CC_1$ は共点 (交点は $H$ である)．よって，$$HP×HQ=HA×HA_1=HR×HS$$ より，方べきの定理の逆から $P, Q, R, S$ は共円．
P, Q, R, S が同一円周上にあることの証明
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9383/578
　任意の鋭角三角形 $XYZ$ に対して，辺 $XY$ 上（端点を除く）の点 $W$ であって，それぞれ半直線 $ZX,\\, ZY$ 上（$Z$ を除く）の任意の点 $X^\prime,\\, Y^\prime$ に対して
$$ X^\prime,\\, W,\\, Y^\prime\\ \text{は同一直線上} \implies X^\prime\\, Y^\prime \ge XY $$
となるようなものがただ一つ存在します．そのような $W$ を，三角形 $XYZ$ における辺 $XY$ に関する**良い点**と呼ぶことにします．

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　周長が $3939$ の鋭角三角形 $ABC$ において，辺 $AB,\\, AC$ に関する良い点をそれぞれ $D,\\, E$ とします．このとき，それぞれ線分 $AB,\\, CD$ を直径とする $2$ 円が相異なる $2$ 点 $P,\\, Q$ で，それぞれ線分 $AC,\\, BE$ を直径とする $2$ 円が相異なる $2$ 点 $R,\\, S$ で交わり，$P,\\, Q,\\, R,\\, S$ は同一円周上にあったので，それらを通る円の中心を $T$ とします．  
　点 $T$ と辺 $AB,\\, BC,\\, CA$ それぞれの距離の和が $\rule[-10pt]{0pt}{16pt}\dfrac{1858 \times 1202}{2001}$ であって，かつ $TA + TB + TC = 2468$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,\\, b$ を用いて $\rule{0pt}{14pt}\dfrac ab$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．