　直線 $AH$ と $BC$ の交点を $E$ とし，直線 $BH$ と $AD$ の交点を $F$ とする．\
　台形 $ABCD$ は等脚台形であるから $BE=\dfrac{AD-BC}{2}=1$ である．また，$AB=AC$ より直線 $BH$ は線分 $AC$ の垂直二等分線であるから，$AF = CF$ が成り立つ．また，直線 $AF$ と $BC$ は平行であるので，四角形 $ABCF$ はひし形であり，$AF=7$ がわかる．よって，
 $$AH:EH=AF:EB=7:1$$ 
を得る．以上より，
$$\begin{aligned}
\frac{|ADH|}{|ABCD|} = \frac{AD\cdot AH \/2 }{(AD + BC)\cdot AE \/ 2}
= \frac{9\cdot 7}{(7+9)(7-1)} = \frac{21}{32}
\end{aligned}$$
であるから，特に解答すべき値は $\mathbf{53}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/4221
（発想に至るまで）\
　四角形 $ABCD$ が等脚台形であり，座標と相性が良い（$AD$ または $BC$ を $x$ 軸などにすればよい）．\
　さらに $AH \perp BC$ であることから，点 $A$ を原点，$AD$ が $x$ 軸となるように座標平面を設定すれば，点 $H$ は $y$ 軸上に存在することになる．

---

（計算）\
　点 $A$ が原点，直線 $AD$ が $x$ 軸となるように座標を設定する．$B(1, 4\sqrt{3})$，$C(8,4\sqrt{3})$，$D(9,0)$ である．\
　$AH \perp BC$ より，点 $H$ は $y$ 軸上に存在する．よって直線 $CH$ の $y$ 切片を求めればよい．\
　$AB \perp CH$ より，直線 $CH$ は傾きが $-\dfrac{1}{4 \sqrt{3}}$ であり，点 $C$ を通ることから
$$CH：y=-\dfrac{1}{4 \sqrt{3}}x+\dfrac{14}{3}\sqrt{3}$$
　よって $H(0, \dfrac{14}{3}\sqrt{3})$ である．あとは三角形と台形の面積をそれぞれ求めればよい．
座標を用いる方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/4221/478
　$AH$ と $BC$ の交点を $E$，$BH$ と $AC$ の交点を $M$ とする．Menelausの定理より，
$$\dfrac{AH}{EH}\cdot\dfrac{EB}{BC}\cdot\dfrac{CM}{MA}=1$$
であり，$CM=MA$ に注意すれば，$AH:AE=7:6$ を得るから，求める比は，
$$\dfrac92\cdot7:\dfrac{9+7}{2}\cdot6=21:32$$
である．
Menelausの定理を用いる解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/4221/711
　辺 $AD$ と $BC$ が平行な台形 $ABCD$ は以下を満たします．
$$AB=BC=CD=7,\quad DA=9$$
　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とするとき，三角形 $ADH$ と台形 $ABCD$ の面積比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．