**解答1.**　地球の半径を $r$ とする. また, 祖父の家のある地点を $A$, 赤道上の西経 $165$ 度の地点を $B$, OMC君の自宅のある地点を $C$ とする. 地球の中心 $O$ を原点とし, $O$ から $A$ に向かう方を $x$ 軸の正の向き, $O$ から $B$ に向かう方を $y$ 軸の正の向き, $O$ から北極に向かう方を $z$ 軸の正の向きとする $3$ 次元直交座標を考える.\
　この座標において $A$ は $(r,0,0)$ である. また, 赤道上の東経 $150$ 度の地点が $\left(\dfrac{r}{\sqrt{2}},\dfrac{r}{\sqrt{2}}, 0\right)$ であることを踏まえると, $C$ の座標は $\left(\dfrac{r}{2},\dfrac{r}{2},\dfrac{r}{\sqrt{2}}\right)$ となる. これより, $AC$ 間の直線距離を求めると
　　$$\sqrt{\left(r-\dfrac{r}{2}\right)^{2}+\left(0-\dfrac{r}{2}\right)^{2}+\left(0-\dfrac{r}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=r$$
であるから, 三角形 $OAC$ は正三角形であることがわかる.\
　したがって, $A$ と $C$ を結ぶ大円の劣弧の中心角は $60^\circ$ であり, 特に答えは
$\dfrac{40000}{6}\approx \textbf{6700}$ である.

**解答2.**　諸記号は解答1に則る. $C$ から赤道面におろした垂線の足を $H$ とすると, $\triangle OHC$ は直角二等辺三角形であるから, $\triangle AOH$ も直角二等辺三角形であり, さらに $\triangle AHC$ についても直角三角形であるから, 以上より特に $AC=r$ を得る. 残りは解答1と同様である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc022/editorial/135
　OMC君は, 択捉島にある自宅からシンガポールにある祖父の家まで, プライベートジェットを使って行くことにしました. OMC君の自宅が北緯 $45$ 度, 東経 $150$ 度の地点にあり, 祖父の家が赤道上の東経 $105$ 度の地点にあるとき, $x$ kmの距離を飛ぶ必要があります. $x$ を解答してください.\
　ただし, 地球を完全な球体とみなし, 赤道 $1$ 周の長さはちょうど $40000$ kmであるとします. また, OMC君は地球の表面上を最短距離(大圏コース)で進むものとし, 解答は**十の位を四捨五入して百の位までの概数で**行ってください. 例えば答えが $9876.5$ kmであるとき, $9900$ と解答してください.