　以下では，合同式の法はすべて $p$ とする．\
　$a=0$ の場合，$ax^2 + bxy+cy^2$ は $(x,y) = (1, 0)$ のときに $p$ の倍数になるため条件を満たさない．$c=0$ についても同様であるため，以下では $a\neq 0,c\neq 0$ とする．このとき，全体を $4a$ 倍して議論してもよく，

$$4a^2x^2+4abxy+4acy^2=(2ax+by)^2-(b^2-4ac)y^2$$

を考える．$s=2ax+by, ~ t=y$ とおくと，$a\neq 0$ より 
$$(s,t) \equiv (0,0) \iff (x,y)\equiv(0,0)$$ 
であるから，$D=b^2-4ac$ について $s^2-Dt^2 \equiv 0$ となるような $(s,t) \not\equiv (0,0)$ が存在しないような $(a, b, c)$ の個数を求めればよい．このような $(s, t) \not\equiv (0, 0)$ が存在したと仮定すると，$t\not\equiv 0$ なので $\left(s\cdot t^{-1}\right)^2 \equiv D$ であるが，これの解が存在することは $D$ が $\mathrm{mod} ~ p$ で平方剰余であることと同値である．したがって，$a\neq 0, ~ c\neq 0$ かつ $b^2-4ac$ が $\mathrm{mod} ~ p$ で平方非剰余となるような $(a,b,c)$ の組の個数を数えればよい．\
　$0$ 以上 $p$ 未満の整数で $p$ を法として平方非剰余なものは $\dfrac{p-1}{2}$ 個存在するが，そのうち一つを選び $d$ とし，$a, b$ の値を $a\neq 0$ となるように選ぶと，$d$ は平方非剰余であるから $d \not\equiv b^2$ であるから $4ac \not \equiv 0$ であるので，$d \equiv b^2 - 4ac $ となる $c\neq 0$ がちょうど一つ存在する．よって，求める答えは
$$\frac{p-1}{2}\cdot (p-1) \cdot p= \bm{32080000}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc231/editorial/11681
　$p = 401$ は素数です．以下をみたす $0$ 以上 $p$ 未満の整数の組 $(a,b,c)$ の個数を求めてください：

- 任意の整数 $x, y$ について，命題「$ax^2+bxy+cy^2$ が $p$ の倍数であるならば，$x,y$ はともに $p$ の倍数である」が成り立つ．