　三角形 $BDH$ と 三角形 $ADC$ は相似であるから，
$$3:HD=(4+HD):4$$
が従い，$HD=2$ を得る．すると，三平方の定理から $BH=\sqrt{13}$，$AB=3\sqrt{5}$である．さらに，三角形 $ABH$ と 三角形 $EDH$ は相似であるから，$DE=3\sqrt{5}\times\displaystyle\frac{2}{\sqrt{13}}=\displaystyle\frac{6\sqrt{65}}{13}$ であり，特に解答すべき値は $\mathbf{84}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/9540
　$H$ が垂心であることから $AD$ と $BC$ が直交しているので，$D$ を原点に一致させるように座標平面に配置したくなります．以下，$DH=2$ を求めた後の解答として読んでください．

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　$D(0,0),A(0,6),B(-3,0),C(4,0),H(0,2)$ としてよい．直線 $BD,AC$ の方程式はそれぞれ
$$y=\frac{2}{3}x+2,\ \ \ \  y=-\frac{3}{2}x+6$$
であるから，この交点を考えることで $E(24\/13,42\/13)$ が得られ，
$$DE=\sqrt{\left( \frac{24}{13} \right )^2 + \left( \frac{42}{13} \right )^2} = \frac{6\sqrt{65}}{13}$$
より解答すべき値は $\bf84$ ．
座標で解く
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/9540/749
　$H$ を垂心とする鋭角三角形 $ABC$ があり，直線 $AH$ と線分 $BC$ の交点を $D$，直線 $BH$ と線分 $CA$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました：
$$AH=4, \quad BD=3, \quad CD=4.$$
このとき，線分 $DE$ の長さを求めてください．ただし，求める長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．