　数直線上の移動になぞらえて考える. すなわち, 座標 $0$ からスタートし, 以下の移動 $A,B$ を繰り返して $100$ へ至る.

- 移動 $A$：自身のいる座標を $+2$ する.
- 移動 $B$：自身のいる座標を $-1$ する.

全体で移動 $A,B$ を行った回数をそれぞれ $x,y$ と表せば, $S_n\geq 1$ のとき $n=3m+50\ (m\geq 0)$ と表せ, 
$$(x,y)=(m+50,2m)$$
また, 同じ座標を $2$ 回通らないという条件は, 「各 $B$ の間には最低でも $2$ つの $A$ を入れる必要がある」と表現できることがわかる. すなわち, $2m$ 個の $B$ の間それぞれに $A$ を $2$ 個ずつ入れた文字列
$$BAABAA\cdots BAAB$$
に対して, 残りの $52-3m$ 個の $A$ を加えればよい. これより特に $m\leq 17$ であり, 
$$S_{3m+50}={}\_{(52-3m)+2m}\mathrm{C}\_{2m}={}\_{52-m}\mathrm{C}\_{2m}$$
これを用いて $p_{3m+50}$ をそれぞれ計算することで,
$$p_{50}=0,\quad p_{53}=17,\quad p_{56}=\cdots =p_{65}=47,\quad p_{68}=\cdots =p_{77}=43$$
$$p_{80}=p_{83}=41,\quad p_{86}=\cdots =p_{95}=37,\quad p_{98}=17,\quad p_{101}=7$$ 
であるので, 解答すべき値は $7+2\times (17+41)+4\times (37+43+47)=\textbf{631}$である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc064/editorial/1904
　$n$ を正整数とします. 数列 $\\{a_i\\}_{i=0,1,\cdots,n}$ が以下の条件をみたします：
- $a_0=0,\\,a_{n}=100$
- 任意の $i=1,\ldots,n$ に対し, $a_{i}-a_{i-1}$ は $2$ または $-1$
- $a_0,a_1,\ldots,a_{n}$ はすべて異なる.

このような数列の個数を $S_n$ とおき, さらに $p_n$ を以下で定めます：
$$p_n=
\begin{cases}
S_nに含まれる最大の素因数\ \ (S_n\geq 2)\\\\
0\ \ (S_n\leq 1)
\end{cases}$$
このとき, $p_1+p_2+\cdots +p_{2022}$ を求めてください.