　条件より $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = 0$ および $\displaystyle\lim_{x \to 4}f(x)=0$ が必要であるから，
$$f(x)=\alpha(x+1)(x-4)(x-\beta)$$
と表せ，このとき二つの条件は
$$\displaystyle\lim_{x \to -1}\alpha(x-4)(x-\beta)=\frac{1}{2}, \qquad \displaystyle\lim_{x \to 4}\alpha(x+1)(x-\beta)=-3$$
となる．これを解いて $ \alpha = -1\/10 , \beta = -2 $ がわかるから， 
$$\begin{aligned}\displaystyle
f(x) & = -\frac{1}{10}(x+1)(x+2)(x-4) \\\\
& = -\frac{1}{10}(x^3-x^2-10x-8) \\\\
& = -\frac{1}{10}x^3+\frac{1}{10}x^2+x+\frac{4}{5}.
\end{aligned}$$
係数の総和は $\dfrac{9}{5}$ となり，解答すべき値は $\mathbf{14}$ である．\
　なお $f(x)$ の係数の総和が $f(1)$ に等しいことを利用すれば展開せずに済む．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3947
　実数係数 $3$ 次多項式 $f(x)$ について，
$$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x+1} = \frac{1}{2}, \qquad \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-4} = -3 $$ 
が成り立つとき，$f(x)$ の各次数の係数の総和を求めてください（定数項も係数に含めます）．ただし，解答すべき値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．