　$N$ の約数の個数を $n$ とし，$N$ の任意の $\sqrt{N}$ 以下の約数 $d$ について $T_d = \\{d, N\/d\\}$ とする．このとき, 相異なる $2$ 数 $a, b$ の積が $N$ であることと，ある $\sqrt{N}$ 以下の $N$ の約数 $d$ が存在して $T_d = \\{a, b\\}$ となることは同値である．$\sqrt{N}$ 以下の $N$ の約数の個数は $\lceil n\/2\rceil$ 個であるから，鳩の巣原理より $k$ としてあり得る最小値は $\lceil n\/2\rceil + 1$ である．これが $102$ と等しいことから $n = 201, 202$ を得る．従って $N$ は相異なる素数 $p, q$ を用いて
$$N = p^{200}\quad または\quad N = p^{66}q^2 \quad または\quad N = p^{201} \quad または\quad N = p^{100}q$$
と表されるので，$v_2(N)$ としてあり得る値は $0, 1, 2, 66, 100, 200, 201$ である．従って解答すべき値は $\bf{570}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb013/editorial/4694
　正整数 $N$ に対して，以下の条件を満たす正整数 $k$ の最小値が $102$ でした．
- $k$ は $N$ の正の約数の個数以下である．
-  相異なる $k$ 個の $N$ の正の約数をどのようにとっても，それらの中に積が $N$ であるような相異なる $2$ 数が存在する．

$v_2(N)$ の値としてありうるものの総和を求めてください．\
　ただし，正整数 $M$ について，$M$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2(M)$ と表します．