　$N=9999$ とする．$5^0,5^1,\dots,5^{N-1},5^N$ の代わりに $10^N,5\cdot 10^{N-1},\dots,5^{N-1}\cdot 10,5^N$ ，すなわち
$$5^N,2\cdot 5^N,\dots,2^{N-1}\cdot 5^N,2^N\cdot 5^N$$
について考えても構わない．$a_n$ を $2^n\cdot 5^N$ の桁数とする．このとき $n=1,\dots,N$ に対し，$2^n\cdot 5^N$ の最上位が $1$ ならば $a_n=a_{n-1}+1$，そうでないならば $a_n=a_{n-1}$ であることが確認できる．\
　従って $5^N$ の最上位が $1$ であることに注意すれば，求める値は $a_N-a_0+1=\bm{3011}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb003/editorial/171
　$5^0, 5^1, \\cdots, 5^{9999}$ のうち, 十進法で最高位が $1$ である数はいくつありますか？\
　ただし, $5^{9999}$ は十進法で $6990$ 桁で, 最高位が $1$ であることが保証されます.