　$f$ は整数値のみをとることから, 以下の不等式と $f(10^6)=111222$ を併せればその最大値は $111222$ である.
$$f(n)\leq \dfrac{111222444888}{n}\times\dfrac{n}{10^6}=111222.444888$$
したがって, 以下 $f(n)=111222$ なる $n$ について考えればよい. $111222=2\times3^2\times37\times 167$ に留意せよ.\
　このとき $m=[n\/10^6](\leq 111222)$ について, $m$ は $111222$ の約数で,
$$10^6m\leq n\lt 10^6(m+1)$$
一方で $[111222444888\/n]=111222\/m$ より
$$n \leq (10^6+4)m \lt n+\dfrac{mn}{111222}$$
$m$ の範囲に留意してこれらを総合すれば $10^6m \leq n \leq (10^6+4)m$ である. すなわち, 求めるべき値は
$$\sum_{m\mid 111222}(4m+1)=\textbf{995928}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/editorial/282
　公式解説より $f(n) = 111222$ なる $n$ について考えればよいことが分かる．$n$ を $10^6$ で割った商を $a$ ，余りを $b$ として
$$\left[ \frac{111222444888}{10^6a + b} \right] = \frac{111222}{a}$$
となればよいから，$a$ は $111222$ の約数である．$f(n)$ の値は $111222$ を超えないことに注意すれば
$$\frac{111222444888}{10^6a+b} \geq \frac{111222}{a} \Leftrightarrow 4a \geq b$$
が条件となり，$4a \leq 4 \times 111222 \lt 10^6$ より各 $a$ に対応する余り $b$ は $4a + 1$ 個である．従って，求めるべき値は
$$\sum _{a|111222} (4a + 1) = 4 \times 248976 + 24 = \bm{995928}$$
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補足：最終行の計算では $111222$ の素因数分解が必要になるが，初めに$111222 = 111 \times 1002$ と変形すると計算しやすい．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc050/editorial/282/275
　正整数に対して定義される関数 $f$ は, 任意の正整数 $n$ に対して以下をみたします：
$$f(n)=\biggl[\dfrac{111222444888}{n}\biggr]\biggl[\dfrac{n}{10^6}\biggr]$$
このとき, $f(n)$ が最大値をとるような正整数 $n$ はいくつありますか？\
　ただし, 実数 $x$ に対し $[x]$ で $x$ を超えない最大の整数を表します.