　$x=q+r, y=r+p, z=p+q$ とすれば，条件式は
$$q^2+qr+r^2=\frac{25}{4},\quad r^2+rp+p^2=\frac{49}{4},\quad p^2+pq+q^2=16$$
と置き換えられる．ここで，$X$ を中心とする一辺 $\sqrt3$ の正三角形 $ABC$ に対して，
$$\overrightarrow{XP} = p\overrightarrow{XA},\quad 
\overrightarrow{XQ} = q\overrightarrow{XB},\quad 
\overrightarrow{XR} = r\overrightarrow{XC}$$
となるように $3$ 点 $P, Q, R$ をとると，$QR=5\/2, RP = 7\/2, PQ=4$ となる．また，直線 $QR$ について点 $P$ と反対側に点 $S$ を，三角形 $QRS$ が正三角形となるように取れば，
$$p+q+r=XP+XQ+XR=PS$$
となる．$\angle PQR =60^\circ,QS=QR=5\/2$ であるから，
$$PS=\sqrt{PQ^2 + QS^2 + PQ\times QS} = \frac {\sqrt{129}} 2$$ となるので，$x+y+z=2(p+q+r)=\sqrt{129}$ であるから，求める値は $\mathbf {129}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/6934
1つめの式
$$(y-z)^2+3x^2=25$$

2つめの式
$$(z-x)^2+3y^2=49$$

3つめの式
$$(x-y)^2+3z^2=64$$

1つめの式から2つめの式を引くと
$$(y-z)^2+3x^2-(z-x)^2-3y^2=25-49=-24$$
実は因数分解できる.
$$2(x+y+z)(x-y)=-24$$
$$(x+y+z)(x-y)=-12$$

他のペアについても同様にすると
$$(x+y+z)(y-z)=-\dfrac{15}{2}$$
$$(x+y+z)(z-x)=\dfrac{39}{2}$$

ここで,$x+y+z=k$とおく.

$k^2$を求めればOK


$$x-y=-\dfrac{12}{k},y-z=-\dfrac{15}{2k},z-x=\dfrac{39}{2k}$$

最初の式をすべて足す

$$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3(x^2+y^2+z^2)=25+49+64=138$$

このとき,簡単な計算より,左辺は

$$(x+y+z)^2+2(y-z)^2+2(z-x)^2+2(z-x)^2$$

と等しいことが分かる.

よって,

$$k^2+\dfrac{576}{2k^2}+\dfrac{225}{2k^2}+\dfrac{1521}{2k^2}=138$$

まとめると

$$k^2+\dfrac{1161}{k^2}=138$$

$$k^4-138k^2+1161=0$$

$1161=3^3\times 43$に注意すると

$$(k^2-9)(k^2-129)=0$$

ここで,$k^2=9$であるならば,

$$(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)=9$$
$$5(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)=138$$
であるため,
$$x^2+y^2+z^2=\dfrac{49}{2},xy+yz+zx=-\dfrac{31}{4}\lt 0$$
となって,$x,y,z$が正の実数であることに矛盾.

よって,$k^2=129$でなくてはいけない.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/6934/296
　正の実数 $x,y,z$ は
$$ (y-z)^2+3x^2=25,\quad (z-x)^2+3y^2=49,\quad (x-y)^2+3z^2=64$$
をみたしています．このとき，$(x+y+z)^2$ の値を解答してください．