$$(13!)^2=(2^{10}\cdot3^5\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13)^2=2^{20}\cdot3^{10}\cdot5^4\cdot7^2\cdot11^2\cdot13^2$$
の約数は $21\cdot11\cdot5\cdot3\cdot3\cdot3=31185$ 個ある．$(13!)^2=n,31185=2m-1$ とし, $n$ の約数を小さい順に $d_1,d_2,...,d_{2m-1}$ とする．ただし, 本問では $d_m$ は除くことになる．求めるべきは次の値である．
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}\bigg(\bigg\lfloor \frac{14^2n}{n-d_k^2}\bigg\rfloor +\bigg\lfloor \frac{14^2n}{n-d_{2m-k}^2}\bigg\rfloor \bigg)$$
ここで $d_kd_{2m-k}=n$ より, 次が成り立つ．
$$\displaystyle\frac{14^2n}{n-d_k^2}+\frac{14^2n}{n-d_{2m-k}^2}=\frac{14^2d_{2m-k}}{d_{2m-k}-d_k}+\frac{14^2d_k}{d_k-d_{2m-k}}=14^2$$
したがって次が成り立つ．
$$\displaystyle\bigg\lfloor \frac{14^2n}{n-d_k^2}\bigg\rfloor +\bigg\lfloor \frac{14^2n}{n-d_{2m-k}^2}\bigg\rfloor =14^2-1\quad \bigg(\frac{14^2n}{n-d_k^2}が整数でないとき\bigg)$$
$$\displaystyle\bigg\lfloor \frac{14^2n}{n-d_k^2}\bigg\rfloor +\bigg\lfloor \frac{14^2n}{n-d_{2m-k}^2}\bigg\rfloor =14^2\quad \bigg(\frac{14^2n}{n-d_k^2}が整数であるとき\bigg)$$
　以下, $\displaystyle\frac{14^2n}{n-d_k^2}$ が整数であるような $k$ を数える. $\gcd(d_k,d_{2m-k})=D,d_k=\alpha D,d_{2m-k}=\beta D$ とすると,
$$\displaystyle\frac{14^2n}{n-d_k^2}=\frac{14^2\beta}{\beta-\alpha}$$
が整数になるとき, $\gcd(\alpha,\beta)=1$ より $\beta-\alpha$ は $14^2$ を割り切る．さらに $n=D^2\alpha\beta$ が平方数であることから, $\gcd(\alpha,\beta)=1$ とあわせて $\alpha,\beta$ はいずれも平方数である．以上より $\alpha=a^2,\beta=b^2\\ (0\lt a\lt b)$ について
$$(b+a)(b-a)=7,28,49,196\implies (a,b)=(3,4),(24,25)$$
ここで $\gcd(a,b)=1$ に注意せよ. したがって, $\displaystyle\frac{14^2n}{n-d_k^2}$ が整数であるような $k$ は $2$ 個であり, 求める総和は
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}\bigg(\bigg\lfloor \frac{14^2n}{n-d_k^2}\bigg\rfloor +\bigg\lfloor \frac{14^2n}{n-d_{2m-k}^2}\bigg\rfloor \bigg)=(m-1)(14^2-1)+2=\textbf{3040442}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/editorial/2684
　$13!$ を除く $(13!)^2$ の正の約数 $d$ すべてに対して
$$\displaystyle\biggl\lfloor\frac{(14!)^2}{(13!)^2-d^2}\biggr\rfloor$$
を足し合わせた値を求めてください．ただし, 実数 $x$ に対して $x$ を超えない最大の整数を $\lfloor x\rfloor$ で表します．