　まず，$m$ はある素数 $p$ によって $m=p^{2}$ と表せる．いま，$m,n$ が共通の素因数を持たないならば，$mn$ の正の約数の個数は $m,n$ それぞれの正の約数の個数の積 $12$ に等しいはずであるから，条件をみたさない．よって $n$ は 素因数 $p$ を持つ．これより，$n$ は $p$ と異なる素数 $q$ によって $n=pq$ と表されるか，$n=p^{3}$ と表されるかのいずれかである．それぞれ $mn=p^{3}q,p^5$ となるから，条件をみたすのは前者である．以上より $m^{99}n^{99}=p^{297}q^{99}$ と素因数分解されるから，求める約数の個数は $(297+1)(99+1)=\mathbf{29800}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/editorial/4849
　正整数 $m,n$ について，$m,n,mn$ はそれぞれ正の約数を $3,4,8$ 個もちます．このとき，$m^{99}n^{99}$ の正の約数の個数は一意に定まるので，その値を求めてください．