　$$b_n=a_{n+1}-a_n=\left\lfloor\sqrt{a_n}\right\rfloor,\quad c_n=a_n-b_n^2$$
とおく．
$a_n$ は狭義単調増加，$b_n$ は広義単調増加である．
$b_N\geq 10^{10}$ となるような最小の正の整数 $N$ を求めればよい．
$\left\lfloor\sqrt{a_n}\right\rfloor\leq \sqrt{a_n}\lt \left\lfloor\sqrt{a_n}\right\rfloor+1$ より
$b_n^2\leq a_n\leq b_n^2+2b_n$，すなわち $0\leq c_n\leq 2b_n$ である．\
　$c_n\leq b_n$ のとき，
$$b_n^2\leq a_{n+1}=(b_n^2+c_n)+b_n\lt (b_n+1)^2$$
より $b_{n+1}=b_n$ である．また $c_n\gt b_n$ のとき，
$$(b_n+1)^2\leq a_{n+1}=(b_n^2+c_n)+b_n\lt (b_n+2)^2$$
より $b_{n+1}=b_n+1$ である．まとめれば，以下のようになる．
$$(b_{n+1},c_{n+1})=\begin{cases}(b_n,c_n+b_n) & (c_n\leq b_n)\\\\ (b_n+1,c_n-b_n-1) & (c_n\gt b_n)\end{cases}$$
　これを踏まえれば，組 $(b_n,c_n)$ の遷移は
$$ (b_n,0) \mapsto (b_n,b_n) \mapsto (b_n,2b_n) \mapsto (b_n+1,b_n-1)$$
および
$$ (b_n,c_n) \mapsto (b_n,c_n+b_n) \mapsto (b_n+1,c_n-1) \qquad (c_n\neq 0)$$
の組み合わせで記述できることがわかる．これを踏まえれば，$K$ を固定したとき，$b_n=K$ となる $n$ の個数は，$K$ が $2$ ベキのとき $3$，そうでないとき $2$ であることが，簡単な帰納法によってわかる．\
　したがって $b_n\leq 10^{10}-1$ となる $n$ の個数は，$10^{10}-1$ 以下の $2$ ベキの個数が $34$ 個であることに注意すると，
$$2\cdot (10^{10}-1)+34=2\cdot 10^{10}+32$$
である．すなわち $b_N\geq 10^{10}$ なる最小の $N$ は $2\cdot 10^{10}+33={\bf 20000000033}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/5604
　正整数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\dots}$ を，$a_1=1$ および以下の漸化式で定めます：
$$ a_{n+1}=a_n+\left\lfloor\sqrt{a_n}\right\rfloor\quad (n=1,2,\dots)$$
このとき，$a_N\geq 10^{20}$ となるような最小の正整数 $N$ を求めてください．\
　ただし，実数 $x$ に対し，$\lfloor x\rfloor $ で $x$ 以下の最大の整数を表します．