　明らかに $S_2=2$ であるから, 以下 $n\geq 3$ とする.\
　まず $1$ を書き込む場所の決め方は $n$ 通りある. $1$ の両隣りは $2,3$ となるから, これらの決め方が $2$ 通りある. このとき, $k=2,3,\ldots,n-2$ について順番に, $k$ の隣には $k+2$ を書き込むほかなくなり, 全体が一意に定まる.\
　以上より, 求める値は $2+2\times3+2\times4+\cdots+2\times2022=\textbf{4090502}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc082/editorial/2582
　円周上に $n$ 個の点があり, それぞれに $1$ から $n$ までの数字をちょうど一度ずつ, 以下をみたすように書き込みます.

- 隣り合う $2$ 点において, 書き込まれる $2$ 数の差（の絶対値）は常に $2$ 以下である. 

このような方法が $S_n$ 通りであるとするとき, $S_{2}+S_{3}+\cdots+S_{2022}$ を求めてください.\
　ただし, 回転や反転によって一致するものも区別して考えるものとします.