　$S=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_{777}b_{777}$ としよう．漸化式より $a_{n+2}=10a_n,b_{n+2}=10b_n$ がわかるため，
$$\begin{aligned}
S&=a_1b_1(1+10^2+\cdots+10^{776})+a_2b_2(1+10^2+\cdots+10^{774})\\\\
&=8(1+10^2+\cdots+10^{776})+a_2b_2(1+10^2+\cdots+10^{774})
\end{aligned}$$
が得られる．よって $a_2b_2$ が最小となるとき $S$ は最小になる．相加相乗平均の不等式より
$$\begin{aligned}
a_2b_2&=6\sqrt{2}(2a_1^2+b_1^2)-26a_1b_1\cr
&\geq 6\sqrt{2}\times 2\sqrt{2a_1^2a_2^2}-26a_1b_1\cr
&=-16
\end{aligned}$$
であるから次が得られ，特に解答すべき値は $\bm{3888}$ ．
$$m=8\times 10^{776}-8(1+10^2+\cdots+10^{774})=\underbrace{79191\cdots9192}_{777桁}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc006/editorial/44
　数列 $\\{a_{n}\\}$ と $\\{b_{n}\\}$ は, 任意の正の整数 $n$ について次の式をみたします： 
$$a_{n+1}=3\sqrt{2}a_{n}-2b_{n},\ \ b_{n+1}=4a_{n}-3\sqrt{2}b_{n}$$
　$a_{1},b_{1}$ が $a_{1}b_{1}=8$ を満たしながら動くとき, $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{777}b_{777}$ のとり得る最小値を $m$ とします. $m$ の各桁の総和を求めてください.