　一般に $2$ 行 $n$ 列のマス目に条件を満たすように塗る方法の総数を $a_{n}$ とおく．$n\ge2$ のとき，最左の $2$ マスをともに塗らない場合の残りの塗り方は $a_{n-1}$ 通りであるから，最左の $2$ マスのうち上側 $1$ マスを塗る方法は，対称性より $(a_n-a_{n-1})\/2$ 通りである．一方で，最左の $2$ マスのうち上側 $1$ マスを塗る場合は，$2$ 列目は $2$ マスをともに塗らないか，下側 $1$ マスを塗るかいずれかであるから，$n\ge3$ のとき
$$\dfrac{1}{2}(a_n-a_{n-1}) = a_{n-2} + \dfrac{1}{2}(a_{n-1}-a_{n-2})\$$
すなわち
$$a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$$
を得る．これより，$a_1 = 3, a_2 = 7$ と合わせて順に計算することで $a_{7}=\bf{577}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4102
　 $2$ 行 $7$ 列のマス目があり，それらのマスのうちいくつかを赤く塗ります（$0$ マスでもよい）．このとき，赤く塗られたマスが隣り合わないような塗り方は何通りありますか？　なお，回転や反転によって一致するものも区別します．