　$\angle BAD=90^\circ$ であるから，$BD=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt{2}$ である．円周角の定理より $\angle CBD=\angle CDB=45^\circ$ であるから，$BC=CD=5$ である．よって四角形 $ABCD$ の面積は
$$\frac{1}{2}\times1\times7 + \frac{1}{2} \times 5\times 5 = \bf{16}$$
である. 
![figure 1](\/images\/U7zXY3TeEZovuLThwQBTHqWSkbW4pbqiN0M7zuDB)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/4646
　$\angle{CAB}=\angle{CAD}=45^{\circ}$ であり，四角形 $ABCD$ が円に内接する四角形であることから，$\angle{BAD}=\angle{BCD}=90^\{\circ}$ および $CB=CD$ が成り立つ．  
よって，四角形 $ABCD$ を $C$ を中心に反時計回りに $90^{\circ},180^{\circ},270^{\circ}$ 回転した図形をくっつけると一辺 $8$ の正方形が出来るので，求める面積は $8^2\div4=\textbf{16}$
辺の長さは求めずに
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/4646/281
　円に内接する四角形 $ABCD$ が
$$\angle BAC=\angle CAD=45^{\circ},\quad AB=1,\quad AD=7$$
をみたすとき，その面積を求めてください．