$$\frac{(n+1)n\cdots(n-37)}{39!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-39)}{40!}$$
より， 
$$40(n+1)=(n-38)(n-39)$$
この $2$ 次方程式を解いて，求める $n$ は $n=\textbf{103}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/editorial/3490
　 ${}\_{n+1}\mathrm{C}\_{39}={}\_n\mathrm{C}\_{40}$ をみたす $40$ 以上の整数 $n$ は一意に存在するので，これを求めてください．