　与式を $P(x,y)$ で表す．\
　$x,y,z$ を任意の実数とするとき，$P(x,y), P(y,z), P(z,x)$ を足し合わせることで，
$$f(x)g(y) + f(y)g(z) + f(z)g(x) = f(y)g(x) + f(z)g(y) + f(x)g(z)$$
が分かる．

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**補題.**　実数 $a_x,a_y,b_x,b_y,c_x,c_y$ が以下をみたすとき，$3$ 点 $(a_x,a_y), (b_x,b_y), (c_x,c_y)$ は同一直線上にある．
$$a_xb_y + b_xc_y + c_xa_y = a_yb_x + b_yc_x + c_ya_x$$
**証明.**　両辺に $-a_x(a_y + b_y + c_y) - a_y(-2a_x + b_x + c_x)$ を加えると，
$$(b_x - a_x)(c_y - a_y) = (b_y - a_y)(c_x - a_x)$$
となる．よって示された．
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　補題より，ある実数 $a,b$ が存在して任意の実数 $x$ に対して $g(x) = af(x) + b$ が成り立つ．これを与式に代入して整理すると，任意の実数 $x,y$ に対して
$$bf(x) + af(f(x)^3 + 1) = bf(y) + af(f(y)^3 + 1)$$
が成り立つことが分かるので，ある実数 $c$ が存在して任意の実数 $x$ に対して
$$bf(x) + af(f(x)^3 + 1) = c\tag1$$
である．ここで，$g$ が全射であることから $a\neq 0$ であり，$f$ も全射となるから(1)で $f(x)$ を $\sqrt[3]{x-1}$ におき直してよい．このとき
$$f(x) = \frac{c - b\sqrt[3]{x-1}}{a},\quad g(x) = b + c - b\sqrt[3]{x-1}$$
を得る．また，任意の $a\neq0$ なる実数の組 $(a,b,c)$ に対してこれは与式をみたすことを確認できる．\
　今，$f(0) = 11, f(1) = 4, g(2) = 120$ であるから，$a = 30, b = 210, c = 120$ と求められる．よって，
$$|g(1000)| = 210\sqrt[3]{999} - 330$$
である．いま，
$$10 - \sqrt[3]{999} = \frac{1}{10^2 + 10\cdot 999^{1\/3} + 999^{2\/3}} \lt \frac{1}{3\cdot 9^2} \lt \frac{1}{210}$$
であるので，$210\sqrt[3]{999} - 330$ 以上の最小の整数は，$210 \cdot 10 - 330 = \bf1770$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/editorial/8143
　実数に対して定義され実数値をとる関数 $f,g$ が，任意の実数 $x,y$ に対して
$$f(x)g(y) + g\big(f(x)^3+1\big) = f(y)g(x) + g\big(f(y)^3 + 1\big)$$
をみたしています．さらに，$g$ が全射であり，
$$f(0) = 11, \quad f(1) = 4, \quad g(2) = 120$$ 
が成り立つとき，$g$ が一意に定まるので，$|g(1000)|$ 以上の最小の整数を解答してください．

<details><summary>全射とは<\/summary>
　実数に対して定義され実数値をとる関数 $h$ が**全射**であるとは，任意の実数 $b$ について $h(a) = b$ をみたす実数 $a$ が存在することをいいます．
<\/details>