　実数 $\alpha, \beta$ に対し
$$
\begin{aligned}
2\alpha &= (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) \\\\
2\alpha^2 + 2\beta^2 &= (\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2 \\\\
2\alpha^3 + 6\alpha \beta^2 &= (\alpha + \beta)^3 +(\alpha - \beta)^3
\end{aligned}
$$
が成り立つことに注意し，与えられた $3$ つの等式の両辺をそれぞれ変形しよう．まず，それぞれの右辺は次のように変形できる．
$$
\begin{aligned}
a + 2b &= a + (b + c) + (b - c) \\\\
a^2 + 2b^2 + 2c^2 &= a^2 + (b + c)^2 + (b - c)^2 \\\\
a^3 + 2b^3 + 6bc^2 &= a^3 + (b + c)^3 + (b - c)^3
\end{aligned}
\tag{1}
$$
また，左辺はそれぞれ
$$
\begin{aligned}
3x + 3y &= (x + y) + 2(x + y) \\\\
3x^2 + 8xy + 3y^2 &= (x + y)^2 + 2(x + y)^2 + 2xy \\\\
3x^3 + 15x^2y + 15xy^2 + 3y^3 &= (x + y)^3 + 2(x + y)^3 + 6xy(x + y)
\end{aligned}
$$
と表せるので，$A = x + y, G = \sqrt{xy}$ とおき変形すると以下を得る．
$$
\begin{aligned}
3x + 3y &= A + (A + G) + (A - G) \\\\
3x^2 + 8xy + 3y^2 &= A^2 + (A + G)^2 + (A - G)^2 \\\\
3x^3 + 15x^2y + 15xy^2 + 3y^3 &= A^3 + (A + G)^3 + (A - G)^3
\end{aligned}
\tag{2}
$$
ここで補題を与える．

---

**補題．** \
　$A \geq B \geq C, a \geq b \geq c$ なる実数 $A, B, C, a, b, c$ が
$$
\begin{aligned}
A + B + C &= a + b + c \\\\
A^2 + B^2 + C^2 &= a^2 + b^2 + c^2 \\\\
A^3 + B^3 + C^3 &= a^3 + b^3 + c^3
\end{aligned}
$$
をすべてみたすならば
$$(A, B, C) = (a, b, c)$$
である．

<details><summary>補題の証明<\/summary>
　$3$ つの等式を仮定すると，まず
$$
\begin{aligned}
AB + BC + CA &= \frac{(A + B + C)^2 - (A^2 + B^2 + C^2)}{2} \\\\
&= \frac{(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}{2} = ab + bc + ca
\end{aligned}
$$
が得られ，さらには
$$
\begin{aligned}
ABC &= \frac{A^3 + B^3 + C^3 - (A + B + C)(A^2 + B^2 + C^2 - (AB + BC + CA))}{3} \\\\
&= \frac{a^3 + b^3 + c^3 - (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca))}{3} = abc
\end{aligned}
$$
も得られる．ゆえに任意の実数 $\lambda$ に対し
$$(\lambda - A)(\lambda - B)(\lambda - C) = (\lambda - a)(\lambda - b)(\lambda - c)$$
が成り立ち，特に以下 $2$ つの等式を得る．
$$(A - a)(A - b)(A - c) = 0 \tag{3}$$
$$(a - A)(a - B)(a - C) = 0 \tag{4}$$

ここで $A \neq a$ を仮定すると，式 $(3)$ から $A$ は $b, c$ のいずれかと等しいため $A \lt a$ であるが $A \geq B \geq C$ であることから $a$ は $A, B, C$ のいずれとも等しくない．これは式 $(4)$ が成り立つことに矛盾する．よって $A = a$ である．すると $B + C = b + c, BC = bc$ が成り立ち，同様の議論で
$$(B - b)(B - c) = 0，(b - B)(b - C) = 0$$
が得られる．ここで $B \neq b$ と仮定すると $B = c \lt b$ がしたがい，さらには $C \lt b$ も得られるので $b$ が $B, C$ のいずれとも等しくなく，同じく矛盾する．したがって $B = b$ であり，$C = c$ もしたがう．これで主張が示された．
<\/details>

---

　ここで
$$A - G \lt A \lt A + G，b - c \lt b + c$$
が成り立つので，式 $(1), (2)$ および補題より $(A - G, A, A + G)$ は
$$(b - c, b + c, a)，(b - c, a, b + c)，(a, b - c, b + c)$$
のいずれかに等しい．さらに $A - G, A, A + G$ がこの順で等差数列をなすことに注意すれば以下 $3$ つのケースに分類できる：
- $a = b + 3c$ であり，なおかつ $(A, G) = (b + c, 2c)$ である．
- $a = b$ であり，なおかつ $(A, G) = (b,c)$ である．
- $a = b - 3c$ であり，なおかつ $(A, G) = (b - c, 2c)$ である．

以後 $a, b, c$ は $a + b + c = 1110$ をみたすものとする．また，正の実数 $x, y$ に対し
$$A - 2G = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0$$
であることに注意．それでは下記の通りに場合分けし，適する $(a,b,c)$ の個数を求めよう．

---

- **Case 1.**　$a= b + 3c, (A, G) = (b + c, 2c)$ であるとき： \
　$b + 2c = 555$ が成り立つ．
$$555 - 5c = b - 3c = A - 2G \geq 0$$
より $c \leq 111$ が必要なので，$1 \leq k \leq 111$ なる整数 $k$ を用いて
$$(a, b, c) = (555 + k, 555 - 2k, k)$$
と表せる．逆に $(a,b,c)$ がこのように表せるときに，$(A, G) = (b + c, 2c)$ をみたす $x, y$ が存在する．よってこのケースでは $111$ 個数えられる．

- **Case 2.**　$a = b, (A, G) = (b, c)$ であるとき： \
　$2b+ c = 1110$ が成り立つ．
$$1110 - 5c = 2b - 4c = 2(A - 2G) \geq 0$$
より $5c \leq 1110$ が必要であり，$c$ は偶数である．正整数 $k$ により $c = 2k$ と表すと $k \leq 111$ が成り立つので，$(a,b,c)$ は $1 \leq k \leq 111$ なる整数 $k$ を用いて
$$(a,b,c) = (555 - k, 555 - k, 2k)$$
と表せる．逆に $(a,b,c)$ がこのように表せるときに，$(A, G) = (b,c)$ をみたす $x, y$ が存在する．よってこのケースでは $111$ 個数えられる．

- **Case 3.**　$a=b-3c, (A, G) = (b - c, 2c)$ であるとき： \
　$b - c = 555$ が成り立つ．
$$555 - 4c = b - 5c = A - 2G \geq 0$$
より $4c \leq 555$ が必要なので，$1 \leq k \leq 138$ なる整数 $k$ を用いて
$$(a, b, c) = (555 - 2k, 555 + k, k)$$
と表せる．逆に $(a,b,c)$ がこのように表せるときに，$(A, G) = (b - c, 2c)$ をみたす $x, y$ が存在する．よってこのケースでは $138$ 個数えられる．

---

　以上の議論より，求める個数は $111 + 111 + 138 = \mathbf{360}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc228/editorial/10794
　左辺がいずれも対称式なので，$x+y=s,xy=t$ と置いて書き直そう．
$$\begin{aligned}
3s & = a+2b\\\\
3s^2+2t & = a^2+2b^2+2c^2 \\\\
3s^3+6st & = a^3+2b^3+6bc^2
\end{aligned}$$
　ここから $s,t$ を消去して $a,b,c$ だけの式にすれば，活路が開けるかもしれない．信じて計算してみよう．
$$3s^3+6st = 3s(3s^2+2t)-\dfrac{2}{9}(3s)^3$$
　両辺に，最初の $3$ 本の式をそれぞれ代入していく．
$$a^3+2b^3+6bc^2 = (a+2b)(a^2+2b^2+2c^2)-\dfrac{2}{9}(a+2b)^3$$
　少し計算がたいへんだが，頑張って計算すると次のようになる：
$$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3-9ac^2+9bc^2=0$$
　因数分解して，次の式を得る．
$$(a-b)(a-b+3c)(a-b-3c)=0$$

---

　あとは，$x+y=s,xy=t$ を満たす実数 $x,y$ が存在する必要十分条件が $s^2-4t \geq 0 $であることに気を付けながら，公式解説と同様に場合分けをしていけばよい．
地道な計算も悪くない
https://onlinemathcontest.com/contests/omc228/editorial/10794/601
　$a + b + c = 1110$ なる正整数の組 $(a,b,c)$ であって以下をみたすものは全部でいくつありますか？
- 正の実数の組 $(x, y)$ であって以下 $3$ つの等式をすべてみたすものが存在する．
$$
\left \\{
\begin{aligned}
& 3x + 3y = a + 2b \\\\
& 3x^2 + 8xy + 3y^2 = a^2 + 2b^2 + 2c^2 \\\\
& 3x^3 + 15x^2y + 15xy^2 + 3y^3 = a^3 + 2b^3 + 6bc^2
\end{aligned}
\right .
$$