　チェバの定理，および相加・相乗平均の不等式より
$$
\dfrac{AR}{RB} + 2d\cdot \dfrac{BP}{PC} + 4d^2\cdot \dfrac{CQ}{QA} \geq 6d
$$
であり，等号が成立するのはある正の数 $k$ によって
$$
\dfrac{AR}{RB} = 4d^2k,\quad \dfrac{BP}{PC} = 2dk ,\quad \dfrac{CQ}{QA} = k 
$$
と表せるときである．このとき，再びチェバの定理より $4d^2k \cdot 2dk \cdot k = 1$ なので $k = 1\/2d$． このとき $X$ は内心なのであったから，$X$ と各頂点を結んだ $3$ 直線はいずれも角の $2$ 等分線であり，辺の比を考えることで
$$
4d^2k = 2d = \dfrac{b}{a}, \quad 2dk = 1 = \dfrac{c}{b}, \quad k = \dfrac{1}{2d} = \dfrac{a}{c}
$$
となる．よって $(a,b,c,d) = (a,2da,2da,d)$ となる．逆にこのように与えられる $a,b,c$ は三角不等式を満たしている． \
　条件より $a+b+c = a(1+4d) = 30!$ である．よって $1+4d$ は，$30!$ の正の約数であって，$1$ より大きく $4$ で割って $1$ 余るものに対応するので，そのようなものの個数を $K$ とおく．求める組の個数は $K$ である． \
　ルジャンドルの公式から，$30!$ の素因数分解は
$$30! = 2^{26}\cdot 3^{14}\cdot5^{7}\cdot7^{4}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot17\cdot 19\cdot 23\cdot 29$$ 
となる．$N = \dfrac{30!}{2^{26}}$ とおき，$N$ の  $4$ で割って $1$ 余る $1$ より大きい約数の個数を求めればよい．\
　$N$ の任意の $4$ で割って $1$ 余る正の約数 $d$ に対し，$d$ が $23$ で割れるときは $\dfrac{d}{23}$ が $\dfrac{N}{23}$ の $4$ で割って $3$ 余る正の約数であり，$d$ が $23$ で割れないとき $d$ は $\dfrac{N}{23}$ の $4$ で割って $1$ 余る正の約数である．この対応で，$30!$ の任意の $4$ で割って $1$ 余る正の約数は，$\dfrac{N}{23}$ の正の約数と $1:1$ に対応する．以上より 
$$
K = (14 + 1)(7 + 1)(4+1)(2+1)^2(1+1)^3 - 1= \mathbf{43199}.
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9837
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問1.

$$(\dfrac{AR}{RB},\dfrac{BP}{PC},\dfrac{CQ}{QA})$$

は,点$X$を動かしたときに,任意の$\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\_{\gt 0};xyz=1\rbrace$上の点を取りうるか？

答1.

結論から言うと取りうる.

$\dfrac{AR}{RB}=s,\dfrac{CQ}{QA}=t$となるように辺$AB,AC$を内分するように点$R,Q$を取る.

このとき,

$$\overrightarrow{AR}=\dfrac{s}{1+s}\overrightarrow {AB},\overrightarrow{AQ}=\dfrac{1}{1+t}\overrightarrow{AC}$$

である.任意の$s,t\in (0,\infty)$に対して,うまく点$R,Q$をそれぞれ線分$AB,AC$から取ってくれば条件が満たされる.さらに,点の取り方は一意である.

このとき,$X$の位置は$RC$と$BQ$の交点であると定める.

さらに,

$\dfrac{AR}{RB}=s,\dfrac{CQ}{QA}=t$となるような$X$の取り方はこの場合しか無いのである.

問2. 

このような$X$の取り方において,$X$は必ず三角形の内部(周上を除く)領域に存在しているか?

答2.

結論から言うと常に三角形の内部にあることが保証される.

チェバの定理により,$\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{1}{st}$である.

よって,

$$\overrightarrow{AP}=\dfrac{st}{1+st}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{1+st}\overrightarrow{AC}$$

となる.

さらに,メネラウスの定理より,

$$\dfrac{AX}{XP}\cdot \dfrac{PC}{CB}\cdot \dfrac{BR}{RA}=1$$

であるため,

$$\dfrac{AX}{XP}\cdot \dfrac{st}{1+st}\cdot \dfrac{1}{s}=1$$

より,

$$\dfrac{AX}{XP} =s\cdot \dfrac{1+st}{st}$$

である.よって,

$$\overrightarrow{AX}=\dfrac{1+st}{1+t+st}\overrightarrow{AP}$$

より,

$$\overrightarrow{AX}=\dfrac{st}{1+t+st}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{1+t+st}\overrightarrow{AC}$$

である.

ここで,$s,t\in (0,\infty)$ならば,

$$0\lt \dfrac{st}{1+t+st}\land 0\lt \dfrac{1}{1+t+st} \land \dfrac{st}{1+t+st}+\dfrac{1}{1+t+st}=\dfrac{1+st}{1+t+st}\lt 1$$

であるため,点$X$は三角形内部に存在することが保証される.

注:点$X;\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$が三角形$ABC$の周上を除く内部に存在することの必要十分条件は

$$0\lt x\land 0\lt y\land x+y\lt 1$$

である.さらに,三角形内部の点$X;\overrightarrow{AX}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$に対して,

$$s=\dfrac{x}{1-x-y},t=\dfrac{1-x-y}{y}$$

となるような$(s,t)$が対応する.

結局,

$\lbrace (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\_{\gt 0};xyz=1\rbrace$上の点と三角形ABCの(周上を除く)内部の点が一対一対応しているため,以降の公式解説における議論が成立することが保証される.
補足
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9837/354
本解法は, 公式解説と本質的には同じである.


点 $X$ は三角形 $ABC$ の内部にあるので, $x, y, z \in \mathbb{R}_{\gt 0} \, (x+y+z=1)$ を用いて
$$
\overrightarrow{OX}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}
$$
と一意に表せる.
$$
\frac{AR}{RB}=\frac{y}{x}, \quad \frac{BP}{PC}=\frac{z}{y}, \quad \frac{CQ}{QA}=\frac{x}{z} \quad (\ast)
$$
であるから,
$$
f(x,y,z)=\frac{A R}{R B}+2 d \cdot \frac{B P}{P C}+4 d^2 \cdot \frac{C Q}{Q A}=2d\left(\frac{y}{2dx}+\frac{z}{y}+\frac{2dx}{y}\right)
$$
とおくと, これが最小になるための必要条件は, 
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial z}=0 \quad (\ast\ast)
$$
すなわち $2dx=y=z$ であり, このとき点 $X$ は三角形 $ABC$ の内心 $I$ と一致するので, $2da=b=c \ (\ast\ast\ast)$ を得る.

以降は[公式解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/nfhai2023\/editorial\/9837)を参照のこと.


<details><summary>$(\ast)$ <\/summary>
点$P$ は $AX$ 上にあるので, $k \in \mathbb{R}$ を用いて
$$
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OA}+k\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}\right)=(kx-k+1)\overrightarrow{OA}+ky\overrightarrow{OB}+kz\overrightarrow{OC}
$$
と表せる. また, 点$P$ は 線分 $BC$ 上にあるので, $\frac{BP}{PC}=l \in \mathbb{R}_{\gt 0}$ を用いて
$$
\overrightarrow{OP}=\frac{1}{1+l}\overrightarrow{OB}+\frac{l}{1+l}\overrightarrow{OC}
$$
と表せる. 以上より, $\frac{BP}{PC}=\frac{z}{y}$ を得る. $\frac{CQ}{QA}$と $\frac{AR}{RB}$ も同様である.
<\/details>

<details><summary>$(\ast\ast)$<\/summary>
$x+y+z=1$ より $x, y, z$ は 内 2 つが定まると残り 1 つも定まるので, 実際には等号は 2 つで十分である.
<\/details>

<details><summary>$(\ast\ast\ast)$<\/summary>
一般に
$$
\overrightarrow{OI}=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{OA}+\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{OB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{OC}
$$
が成り立つ.
<\/details>
点Xを明示的に変数設定する
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9837/361
　正の整数の組 $(a,b,c,d)$ であって，次の $2$ つの条件をともにみたすものの個数を求めてください．

- $a+b+c= 30!$ である．
- $AB=c, ~ BC=a, ~ CA = b$ なる（非退化な）三角形 $ABC$ が存在し，かつその三角形の内部（周上を除く）を任意に動く点 $X$ に対し，$A, B, C$ のそれぞれと $X$ とを結んだ直線と各対辺との交点をそれぞれ $P, Q, R$ とするとき，次の実数は $X$ が三角形 $ABC$ の内心であるとき，またそのときに限り最小値をとる：
$$ \dfrac{AR}{RB} + 2d\cdot \dfrac{BP}{PC} + 4d^2\cdot \dfrac{CQ}{QA} $$