　対称性から $x^2+2yz,y^2+2zx,z^2+2xy$ それぞれの総和は等しいので，条件を満たすように $x,y,z$ が動くときの
$$(x^2+2yz)+(y^2+2zx)+(z^2+2xy) = (x+y+z)^2=40000$$
の総和を $3$ で割った値が求める答えとなる．条件を満たす $x,y,z$ の組の数は ${}\_{202}\mathrm{C}\_{2}=20301$ であるので，求める答えは
$$\frac{20301×40000}3=\mathbf{270680000}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/7141
　$x+y+z=200$ をみたす非負整数の組 $(x,y,z)$ すべてに対して，$x^2+2yz$ の総和を求めてください．