　$g(x)$ を，条件 $\rm(i),\rm(ii)$ を満たす $11$ 次以下の多項式とする．因数定理より $\rm(ii)$ は $g(-1)=0$ と同値である．

$$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{11}x^{11}$$

とおく（$a_0,a_1,\cdots,a_{11}$ は $0$ または $1$)．

$$g(-1)=(a_0+a_2+\cdots+a_{10})-(a_1+a_3+\cdots+a_{11})$$

であるので，$a_i=0,1~(i=1,2,\cdots,11)$ かつ $g(-1)=0$ となるためには，$i=0,2,4,6,8,10$ のうち $a_i=1$ となるものの個数と，$i=1,3,5,7,9,11$ のうち $a_i=1$ となるものの個数が等しければよい．両者の個数が $k$ 個 ($1\leq k\leq 6$) になるような $a_i ~ (i=0,1,2,\ldots,11)$ の選び方は ${}\_6\mathrm{C}\_k\cdot {}\_6\mathrm{C}\_k=({}\_6\mathrm{C}\_k)^2$ 通りあるので，$g(x)$ の個数は，

$$\sum_{k=0}^6({}\_6\mathrm{C}\_k)^2={}\_{12}\mathrm{C}\_6=924.$$

また，$h(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{11}$ とおくと，任意の $g(x)$に対し，$h(x)-g(x)$ も $\rm(i)$，$\rm(ii)$を満たす$11$次以下の多項式になり，$g(x)$ と $h(x)-g(x)$ のうちちょうど一方が $11$ 次式である．よって，求めるべき $f(x)$ の個数は，$g(x)$ のうち $11$ 次であるものの個数であるので，
$$\frac{924}{2}=\mathbf{462}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9843
$a_i(i=0,\ldots,10)$が$0$または$1$の値をとり,かつ$a_{11}=1$であるとき,

$$g(x)=a\_0+a\_1x+a\_2x^2+\cdots +a\_{10}x^{10}+a\_{11}x^{11}$$

について

$$(a\_0+a\_2+\cdots + a\_{10})-(a\_1+a\_3+\cdots + a\_{9}+1)=0$$

$$(a\_0+a\_2+\cdots + a\_{10})-(a\_1+a\_3+\cdots + a\_{9})=1$$



となるような場合の数を求める.これはFPS(形式的べき級数)で計算することができる.

つまり,

$$\left[x^{1}\right]\sum\_{a\_0\in\lbrace 0,1\rbrace}\sum\_{a\_1\in\lbrace 0,1\rbrace}\cdots \sum\_{a\_{10}\in\lbrace 0,1\rbrace} x^{(a\_0+a\_2+\cdots + a\_{10})-(a\_1+a\_3+\cdots + a\_{9})}$$

を求めればよいが,これは因数分解することができる.

つまり,

$$\left[x^{1}\right] (1+x)\cdot (1+x^{-1})\cdot (1+x)\cdot (1+x^{-1})\cdot \cdots \cdot (1+x)$$

であり,これは

$$\left[x^{1}\right] (1+x)^6(1+x^{-1})^5$$

全体を$x^5$で掛けると

$$\left[x^{6}\right] (1+x)^6(1+x)^5$$

つまり,

$$\left[x^{6}\right] (1+x)^{11}$$

となるため,答えは${}\_{11}\mathrm{C}\_{6}=462$である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9843/348
　次の条件をともにみたす実数係数 $11$ 次多項式 $f(x)$ の個数を求めてください：

- $f(x)$ の係数はそれぞれ $0$ または $1$．
- $ f(x)$ は $x+1$ で割り切れる．