　どの $2$ 本も端点を共有しないことから, 引ける対角線は高々 $[2021\/2]=1010$ 本であり, さらに $1010$ 本を引こうとすると辺を含んでしまうことが容易にわかる. 逆に, 各頂点を順に $A_1,A_2,\cdots,A_{2021}$ とすると,
$$A_2A_{2021} ,\quad A_3A_{2020} ,\quad\cdots, \quad A_{1010}A_{1013}$$
として $1009$ 本の対角線を引くことができるから, 求める最大値は $\textbf{1009}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/editorial/2245
　正 $2021$ 角形において, その対角線を $1$ 本ずつ引いていきます. このとき, 新しく引く対角線は, それまでに引いたどの対角線とも共有点（**端点を含む**）をもってはいけません. 引くことのできる対角線は最大で何本ですか？