#### 前半：OMC君の問題を解く
　実数 $x,y,z$ に対して $F=\dfrac{ax^4+by^4+cz^4+1}{x^2+y^2+z^2+1}$ の最小値を求めよう．まずCauchy-Schwarzの不等式より
$$(ax^4+by^4+cz^4)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq(x^2+y^2+z^2)^2$$
よって $x^2+y^2+z^2+1=t$ のとき $C=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^{-1}$ とおくと次が成り立つ．
$$F\geq Ct+\frac{C+1}{t}-2C\geq 2\sqrt{C(C+1)}-2C$$
適当な $(x,y,z)$ で等号が成立することは容易に確認できるため，結局次が得られた．
$$M=\frac{2\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+1}-2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}$$
#### 後半：本題を解く
　$\displaystyle u=\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+1}$ とおくと $\displaystyle M=\dfrac{2u-2}{u^2-1}=\dfrac{2}{u+1}$ であるから，
互いに素な正整数 $p,q$ が存在し $M=\dfrac{p}{q}$ となるとき，$u$ は互いに素な正整数 $m,n$ を用いて $u=\dfrac{m}{n}$ と表せて，さらに以下が成り立つ．
$$p+q=
\begin{cases}
m+3n&(m+n\\,が奇数のとき)\\\\
(m+3n)\/2 &(m+n\\,が偶数のとき)
\end{cases}$$
$a,b,c$ が正整数であることから $1\lt u\leq 2$ が成立するので $n\lt m\leq 2n$ であり，次より $p+q\geq 5$ がわかる．
- $m+n$ が奇数のとき，$p+q\gt 4n\geq 4$．
- $m+n$ が偶数のとき，$m,n$ はともに $1$ でないから $p+q\gt 2n\geq 4$．

　一方，次が成り立つことが確認できる．
- $(a,b,c)=(1,1,1)$ のとき $u=2,\ p+q=5$
- $(a,b,c)=(1,8,8)$ のとき $u=3\/2,\ p+q=9$

　$p+q$ の取り得る値で2番目に小さなものは $9$ であることを示そう．そのためには $p+q=6,7,8$ として矛盾を導けばよい．このときあり得るのは $(m,n)=(5,3)$ のみであるが
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{16}{9}$$
をみたす正整数の組 $(a,b,c)$ は確かに存在しないことが容易に確認できる．したがって，以下考えるべきは
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{5}{4}$$
であり，これをみたす正整数の組 $(a,b,c)$ は以下の $4$ 組である．
$$(a,b,c)=(1,5,20),(1,6,12),(1,8,8),(2,2,4)$$
　以上より，特に解答すべき値は $\bm{70}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc069/editorial/2093
　OMC君は次の問題を作りました．ただし $a,b,c$ は $a\leq b\leq c$ をみたす正整数とします．

- **問題**：任意の実数 $x,y,z$ に対して以下が成り立つような，定数 $m$ としてあり得る最大値 $M$ はいくつですか？
$$ax^4+by^4+cz^4+1\geq m(x^2+y^2+z^2+1)$$

　OMC君は $M$ が有理数となるように $a,b,c$ の値を設定したいです．$M=\dfrac{p}{q}$ なる互いに素な正整数 $p,q$ が存在するような組 $a\leq b\leq c$ のうち，$p+q$ の値が**2番目に小さいもの**すべてについて，$a+b+c$ の総和を求めてください.