　$a,b,c$ を解に持つような $3$ 次方程式を考えると，
$$x^3=(a+b+c)x^2 - (ab+bc+ca)x +abc$$
であるから，これに $x=a,b,c$ を代入することで $a^3,b^3,c^3$ はいずれも $80=2^4\cdot 5$ の倍数となることが必要である．すなわち $a,b,c$ はいずれも $20=2^2 \cdot 5$ の倍数となるので $a=20a_1$ などとおくと以下が分かる．
$$\begin{aligned}
\gcd (a+b+c,ab+bc+ca,abc) &= 20\cdot \gcd (a_1+b_1+c_1, 20(a_1b_1+b_1c_1+c_1a_1), 400a_1b_1c_1)\\\\
&=80
\end{aligned}$$
これより以下が必要条件として導かれる：
- 条件：$a_1+b_1+c_1$ は $4$ の倍数である．

$a_1,b_1,c_1$ は相異なるから $a_1+b_1+c_1\geq 6$ となる．$a_1+b_1+c_1=8$ の場合を考えよう．対称性より $a_1\lt b_1\lt c_1$ としてよく，このとき $a_1+b_1+c_1=8$ をみたすのは次の $2$ 組．
$$(a_1,b_1,c_1)=(1,2,5),(1,3,4)$$
これらはいずれも $\gcd (a+b+c, ab+bc+ca, abc) =80$ を満たしており，また
$$a^2+b^2+c^2=400(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$$
の値は $(a_1,b_1,c_1)=(1,2,5)$ のときに $12000$，$(a_1,b_1,c_1)=(1,3,4)$ のときに $10400$ となる．また $a_1+b_1+c_1\geq 12$ のとき凸不等式から
$$19200\leq 400\cdot 3\left( \frac{a_1+b_1+c_1}{3} \right) ^2 \leq 400(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$$
であるから，解答は $\bf{10400}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/8182
　**相異なる** $3$ つの正整数 $a,b,c$ が次の式を満たします．
$$\gcd (a+b+c, ab+bc+ca, abc) =80$$
$a^2+b^2+c^2$ としてあり得る最小値を求めてください．