　 $1$ つ目の条件から， $f(x)$ は以下のようにかける．$c=f(0)$ は整数である．

$$f(x)=ax^{2}+bx+c \quad (a \gt 0)$$

　いま，$f(x)$ が下に凸であることから，$0 \leq x \leq 1$ の範囲での最大値は $x=0$ または $x=1$ でとる．ここで $x=0$ で最大値をとるとき，$-1 \leq x \leq 0$ の範囲での最小値も $x=0$ でとらねばならないが，これは矛盾である．したがって，$3$ つ目の条件は $f(1)=200$ と言い換えられる．\
　以下， $f(x)$ のグラフの軸 $x=-b\/2a$ の場所によって $3$ つの場合を考える．

$(1)$　$-b\/2a \lt -1 $ のとき\
　このとき， $f(-1)=100, f(1)=200$ であるので， $b=50,a+c=150$ を得る．これと $-b\/2a \lt -1$ から $ c \gt 125 $ がわかる．また $a\gt 0$ から $c \lt 150 $ である．したがって， $f(0)=c$ は $126$ 以上 $149$ 以下の整数であり， $c$ の値に応じて $f(x)$ は $1$ つに定まるので， $f(x)$ としてありうるものは $24$ 個ある．

$(2)$　$-1 \leq -b\/2a \lt 0$ のとき\
　このとき， $f(-b\/2a)=100,f(1)=200$ であるから，以下が成り立つ．

$$- \frac{b^{2}}{4a} +c =100, \quad a+b+c=200$$

この $2$ 式から $a$ を消去し， $b$ を $c$ によって表すと， 

$$b=-2(c-100) \pm 20 \sqrt{c-100}$$

　ここで，$b$ が正の実数であることから $c \gt 100$ であり，$\pm$ は $+$ に限られる．また，$f(-1)=a-b+c$ が整数となることから， $2b$ は整数である．したがって， $c-100$ は平方数である．また，$-1 \leq -b\/2a \lt 0$ は $100 \lt c \leq 125$ と言い換えられる．よって， $c$ としては $101,104,109,116,125$ の $5$ つがありうる．それぞれについて，$c$ の値によって $f(x)$ は $1$ つに定まるから， $f(x)$ としてありうるものも $5$ 個ある．

$(3)$　$0 \leq -b\/2a$ のとき\
　このとき $f(0)=100,f(1)=200$ であり，また軸が $x \geq 0$ の範囲にあることから $f(-1) \geq 200$ である．逆に， $f(-1)$ の値を $200$ 以上 $300$ 以下の整数で定めると，それぞれについて適する $f(x)$ が $1$ つ定まる．よって， $f(x)$ としてありうるものは $101$ 個ある．

　以上より， $f(x)$ としてありうるものは $ \mathbf{130} $ 個ある．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5097
　公式解説の $(2)$ に関して別解です．式 $y=a(x-p)^2+q$ を用いようとした方向けです．

　最小値の条件より，$f(x)=a(x-p)^2+100$ とおける（$a \gt 0$，$-1 ≦ p \lt 0$）．\
　最大値の条件より，$a(1-p)^2=100$ である．\
　$f(-1),f(0) \in \mathbb{Z}$ より，$ap^2,a(p+1)^2 \in \mathbb{Z}$ であり，さらに，$a(p-1)^2+a(p+1)^2-2ap^2=2a \in \mathbb{Z}$，$a(p+1)^2-a(p-1)^2=4ap \in \mathbb{Z}$ である．以上から，$p \in \mathbb{Q}$ を得る．\
　$p=-\dfrac{t}{s}$ （既約分数）とおくと，$a(1-p)^2=100$ より $\dfrac{a(s+t)^2}{s^2}=100$．$2a \in \mathbb{Z}$ だったので，$(s+t)^2$ は $200$ の約数であることがわかる．よって，$s+t$ の候補は $2$，$5$，$10$ である．\
　$-1 ≦ p \lt 0$ より $s≧t$ であることに注意すると，$(s,t)$ 候補は，$(1,1)$，$(3,2)$，$(4,1)$，$(7,3)$，$(9,1)$ である．あとは，これら全ての場合について条件を満たしていることを確かめて，$(2)$ は $5$ 通りであることがわかる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5097/276
　実数係数 $2$ 次多項式 $f(x)$ であって，以下の条件をすべてみたすものはいくつありますか．

 - $2$ 次の係数は正である．
 - $-1 \leq x \leq 0$ の範囲での最小値は $100$ である．
 - $0 \leq x \leq 1$ の範囲での最大値は $200$ である．
 - $f(-1),f(0),f(1)$ はいずれも $300$ 以下の整数値である．