　$\angle BAD=\theta$ とする. $AC=6x$ とすると $\angle BAE=\angle EAC=3\theta$ および $BE:EC=2:1$ より $AB=12x$ である.
また $|\triangle ABD|=|\triangle AED|$ より $AB\sin\theta=AE\sin2\theta$ すなわち $AE=6x\/\cos\theta$ である.\
　ここで, 辺 $AC$ 上に $AM=MN=NC$ なる点 $M,N$ をとり, 線分 $AE$ の中点を $L$ とすると, $3$ 点 $D,L,M$ は同一直線上にあり, これは辺 $AB$ に平行である. したがって $\angle ALM=\angle LAM=3\theta$ より $MA=MN=ML$.\
　よって $\angle ALN=90^{\circ}$ より, $AL=AN\cos3\theta$ すなわち
$$\begin{aligned}
\dfrac{3x}{\cos\theta}=4x\cos3\theta &\iff 3=4\cos3\theta\cos\theta\\\\
&\iff 3=2(\cos4\theta+\cos2\theta)\\\\
&\iff 4\cos^22\theta+2\cos2\theta-5=0
\end{aligned}$$
したがって $\displaystyle\cos2\theta=\frac{\sqrt{21}-1}{4}$ を得るので, 解答すべき値は $\textbf{26}$ である.
![figure 1](\/images\/xsExGjsx0tTtLhZANQ7HXL0Ic1QG3D8QP6lLxnfx)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/editorial/2576
　三角形 $ABC$ と辺 $BC$ 上の点 $D,E$ が
$$BD=DE=EC,\quad \angle BAD:\angle DAE:\angle EAC=1:2:3$$
をみたしているとき, $\cos\angle DAE$ の値を求めてください.
ただし, 求める値は正の整数 $a,b,c$ ($a$ は平方因子をもたない) を用いて $\dfrac{\sqrt{a}-b}{c}$ と表されるので $a+b+c$ の値を解答してください.