　上から $i$ 番目，左から $j$ 番目のタイルを $(i,j)$ とし，$i,j$ の偶奇が一致するものを黒く塗り，その他を白く塗る．このとき，$A$ 君は黒と白のマスを交互に移動するので，$A$ 君がうまく移動して$17^2=289$ 個のタイルすべてを訪れるためには，初期盤面において $A$ 君と $L$ ちゃんがどちらも黒のマスにいることが必要である．逆に，これが十分であることを示そう．一般に任意の正整数 $a,b$ に対して，次の命題 $P(m,n)$ が成り立てばよい．
- $P(m,n)$：$(2m+1)\times (2n+1)$ の場合，任意の黒のタイルから他の任意の黒のタイルへ移動することが可能である．

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**証明**\
　$P(1,1)$ が正しいことはただちにわかる．$P(m,n)$ が正しいと仮定して $P(m+1,n)$ が正しいことを示そう．\
　スタートのタイルを $(a,b)$ とゴールのタイルを $(c,d)$ とする．$a\leq c,a\leq 2m+1,d\leq 2n-1$ としても一般性を失わない．$c$ の値によって場合分けして実際の道順を構成する．
- $c\leq 2m+1$ のとき\
仮定より，タイル $(a,b)$ からタイル $(c,d)$ へ移動する方法てあって，下 $2$ 行を除いた $(2m+1)\times (2n+1)$ のタイルを全て訪れるものが存在する．この方法について，次の移動のうちどちらかが行われている．
$$(2m+1,1)\rightarrow (2m+1,0)\quad (2m+1,1)\rightarrow (2m+1,2)$$
この移動を直接せず，下 $2$ 行のタイルを全て訪れてから $(2m+1,0)$ または $(2m+1,2)$ に訪れることは可能であるので，$(2m+3)\times (2n+1)$ の場合の道順が構成できる．
- $c=2m+2$ のとき\
仮定より，タイル $(a,b)$ からタイル $(2m+1,d-1)$ へ移動する方法てあって，下 $2$ 行を除いた $(2m+1)\times (2n+1)$ のタイルを全て訪れるものが存在する．この方法で移動したのち，下 $2$ 行を全て通って $(2m+2,d)$ に移動することは可能である．
- $c=2m+3$ のとき\
仮定より，タイル $(a,b)$ からタイル $(2m+1,1)$ へ移動する方法てあって，下 $2$ 行を除いた $(2m+1)\times (2n+1)$ のタイルを全て訪れるものが存在する．この方法で移動したのち，下 $2$ 行を全て通って $(2m+3,d)$ に移動することは可能である．

以上より $P(m,n)\Longrightarrow P(m+1,n)$ であり，同様に $P(m,n)\Longrightarrow P(m,n+1)$ もわかる．ここで $P(1,1)$ は正しいので，帰納的に任意の正整数に対して $P(m,n)$ は正しい．$\square$

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よって解答すべき値は $145\times 144=\textbf{20880}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb025/editorial/10592
　 $1$ 辺の長さが $1$ である正方形のタイルが $17\times 17$ のマス目状に敷き詰められた床があり，はじめ $A$ 君と $L$ ちゃんが相異なるタイルの上にいます．これを**初期盤面**とし，$A$ 君は次のような移動を繰り返します．
-  今いるタイルと辺を共有しているタイルのうちどれかに移動する．ここで，一度訪れたことのあるタイル（はじめにいたタイルを含む）には移動してはならないものとする．
-  $L$ ちゃんのいるタイルに移動するか，または移動できるタイルがなくなったらその時点で終了する．

すべての初期盤面 $289\times 288$ 通りのうち，$A$ 君がうまく移動を繰り返すことで，$289$ 個のタイルすべてを訪れたうえで移動を終了できるようなものは何通りありますか？