　$(1,2,3,\ldots,8)$ の並べ替え $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_8)$ に対し，$a_i\lt a_{i+1}$ を満たす $1$ 以上 $7$ 以下の整数 $i$ の個数を $A$ とし，逆に並べ替えた $(a_8,\ldots,a_1)$ についても同様に $A^\prime$ を定義する．このとき次が成立する．
$$A+A^\prime=7$$
したがって $A,A^\prime$ のどちらか一方のみが奇数となる．すなわち，$8!$ 通りだけある並べ替え $(a_1,\ldots,a_8)$ のちょうど半分が問題文の条件を満たす．よって求める個数は，$8!\/2=\mathbf{20160}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/12561
　$(1,2,3,\ldots,8)$ の並べ替え $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_8)$ であって，$a_i\lt a_{i+1}$ を満たす $1$ 以上 $7$ 以下の整数 $i$ の個数が奇数となるものはいくつありますか？