　$\lbrace a_n\rbrace$ の公差を $d$, 最大化すべき値を $S$ とおけば, 以下が成立する. すなわち $S=50+25d$ である.
$$100=\sum_{k=1}^{100}a_i=\sum_{k=1}^{50}(2a_{2k}-d)=2S-50d$$
一方で $2=\dfrac{100}{50}=a_1+a_{100}=2a_1+99d$ であり, $a_1\geq 0$ より $d\leq\dfrac{2}{99}$ を得る. 以上より
$$S\leq50+25\times\dfrac{2}{99}=\dfrac{5000}{99}$$
　逆に $\displaystyle a_n=\frac{2}{99}(n-1)$ で等号が成立するから, 特に解答すべき値は $\textbf{5099}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/203
　$100$ 項からなり, 各項がすべて $0$ 以上の等差数列 $\lbrace a_n\rbrace\_{n=1,2,\cdots,100}$ において,
$$a_1+a_2+\cdots+a_{100}=100$$
が成り立つとき, $a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{100}$ としてあり得る最大値を求めてください.\
　ただし, 求める値は互いに素な正整数 $x,y$ によって $\dfrac{x}{y}$ と表されるので, $x+y$ を解答してください.