　$f(n)$ を以下で定めると, $n^2-8n+17=(n-4)^2+1\gt 0$ よりこれは常に正であるから, $a_n$ も常に正である.
　　$$\displaystyle f(n)=\frac{9n+1}{n^2-8n+17}\ \ (n=1,2,\cdots)$$
　このとき, $f(n)$ と $1$ の大小を比較することで容易に以下を得るから, 特に求める値は $33$ である.
　　$$a_1=a_2\lt a_3\lt a_4\lt \cdots\lt a_{16}=a_{17}\gt a_{18}\gt a_{19}\gt\cdots$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc018/editorial/112
　以下をみたす数列 $ \\{a_{n}\\}\_{n=1,2,\cdots} $ において, $a_n$ が最大値をとるような正の整数 $n$ の総和を求めてください.
$$a_{1} =1,\quad a\_{n+1}=\dfrac{9n+1}{n^{2} -8n+17} a_{n}\ \ (n=1,2,\cdots)$$