　$n$ を素因数分解した時の指数を $e_1, e_2, \ldots$ とすれば，条件は
$$(e_1+1)(e_2+1)\cdots=2^{3229}$$
である．このとき，考えるべき総和は以下のように表せる：
$$(1+2+\cdots+(e_1+1))(1+2+\cdots+(e_2+1))\cdots=2^{3229} \biggl(\frac{e_1+2}{2}\biggr)\biggl(\frac{e_2+2}{2}\biggr)\cdots$$
　ここで，$e_k+1$ は $2$ 以上であり，$2$ 以上の整数 $m,n$ について
$$\frac{mn+1}{2}- \biggl(\frac{m+1}{2}\biggr) \biggl(\frac{n+1}{2}\biggr)=\frac{(m-1)(n-1)}{4}\gt 0$$
が成り立つ．従って，考えるべき場合は以下のいずれかである．
- $2^{3229}=2^{3225}\times 4^2$ と分解するとき．
- $2^{3229}=2^{3226}\times 8$ と分解するとき．

　それぞれについて，考えるべき総和は
$$2^{3229} \biggl(\frac32\biggr)^{3225} \biggl(\frac52\biggr)^2 = 2^2\cdot 3^{3225}\cdot 5^2,\quad
2^{3229} \biggl(\frac32\biggr)^{3226} \biggl(\frac92\biggr) = 2^2\cdot 3^{3228}$$
このうち小さいのは前者であるから，求める値は $3\times 3226 \times 3=\bf{29034}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc090/editorial/3229
　正の約数を $2^{3229}$ 個持つ正整数 $n$ について，以下が取り得る値のうち $3$ 番目に小さいものを $S$ とします．$S$ の正の約数の個数を求めてください．
- $n$ の正の約数 $2^{3229}$ 個すべてについて，それぞれの正の約数の個数の総和．