　 $CD$ と $AB$ の交点を $P$ とおくと, 三角形 $ABC$ と三角形 $ACP$ は相似である. よって
$$\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{AC}\times\frac{AC}{AB}=\bigg(\frac{AC}{AB}\bigg)^2=\frac{16}{25}$$
である. 従って, $AP:BP=16:9$ であるから, Menelausの定理より
$$\frac{AD}{DM}=\frac{AP}{BP}\times \frac{BC}{CM}=\frac{16}{9}\times 2=\frac{32}{9}$$
である. よって, 
$$AD=3\times \dfrac{32}{32+9}={\dfrac{96}{41}}$$
である. 特に, 解答すべき値は $\bf{137}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/editorial/4786
　$AM$ の延長上に $AM=ME$ なる点 $E$ をとる．$ABEC$ は平行四辺形となり，$\angle{ACD}=\angle{ABM}=\angle{ECM}$ なので，$CD$ は三角形 $CAE$ の類似中線．よって，類似中線の性質より，$AD:DE={CA}^2:{CE}^2=16:25$ なので，$AD=6\times\dfrac{16}{41}=\dfrac{96}{41}$ であり，特に，解答すべき数値は $\textbf{137}$ となる．
類似中線
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/editorial/4786/267
　三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ としたとき，
$$AB=5,\quad AC=4,\quad AM=3$$
が成立しました．
線分 $AM$ 上に $\angle ABC=\angle ACD$ なる点 $D$ をとったとき，$AD$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので $a+b$ を解答してください．