　方程式の $4$ 解を $x=x_1,x_2,x_3,x_4$ とすると, 解と係数の関係から
$$\begin{cases}
2022=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\\\
n=x_1x_2x_3x_4
\end{cases}$$
このとき, 相加・相乗平均の関係より
$$n\leq \left(\dfrac{2022}{6}\right)^2=113569$$
逆にこの範囲で条件をみたすことが確認されるから, 解答すべき値は $\textbf{113569}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc064/editorial/1833
　以下の条件をみたす正整数 $n$ はいくつありますか？
- ある実数 $p,q$ が存在し, 以下の $x$ についての四次方程式の複素数解がすべて正の実数となる.
$$x^4-px^3+2022x^2-qx+n=0$$