　ある玉の位置を固定し, 鏡映を考慮することで基本的に
$$a_n=\dfrac{1}{2}(n-1)!$$
であるが, $n=1,2$ では鏡映を考慮する必要がなくそれぞれ $1=(n-1)!$ 通りである. すなわち, 求める総和は
$$\dfrac{1}{2}(7!+\cdots+2!)+1!+0!=\textbf{2958}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc116/editorial/2050
　互いに区別できる玉が $n$ 個あるとき，これらをすべて使って数珠を作る（すなわち，円周上に並べるが，回転や裏返しで一致するものは同じものと数える）場合の数を $a_n$ とおきます．このとき，以下の総和を求めてください．
$$a_8+a_7+a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1$$
ただし，$0!=1$ として，以下が保証されます． 
$$7!+6!+5!+4!+3!+2!+1!+0!=5914$$