　 $A$ を中心に（ある決められた方向に） $30^\circ$ 回転し， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍拡大する変換によって，$D$ は $K$ にうつり，$C$ は $L$ にうつるから，$M$ は $N$ にうつる．よって $DM=5\sqrt{3}$ および $AM=2MN=4$ が成り立つ．ここで，正三角形 $ABD,ACE$ の一辺の長さをそれぞれ $p,q$ とおくと，三角形 $ADC$ で中線定理より， $p^2+q^2=182$ となる．よって，
$$S^2=\frac{3}{16}{(p^2+q^2)}^2=\frac{24843}{4}$$
から解答すべき数値は $\textbf{24847}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc093/editorial/3494
　三角形 $ABC$ に対し，三角形 $ABD$ と $ACE$ がともに三角形 $ABC$ の外側の正三角形となるように点 $D,E$ をとります．また，線分 $BD,CE,CD$ の中点をそれぞれ $K,L,M$ とし，線分 $KL$ の中点を $N$ とします．\
　 $KL=15,MN=2$ であるとき，正三角形 $ABD$ と正三角形 $ACE$ の面積の和を $S$ とすると， $S$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．