　正整数 $n$ に対して $n$ 次実数係数多項式 $P_n$ を，任意の $n$ 以下の非負整数 $i$ について $P_{n}(2^i)=i$ をみたすようなものとする．$a_{n}=P_{n-1}(2^{n})$ とし，$a_n$ を求めることを考える．$Q_{n}(x)=P_{n}(2x)-2^nP_{n}(x)$ とすると $Q_{n}(x)$ は $n-1$ 次以下の実数係数多項式であり，$i=0,1,\ldots ,n-1$ で
$$Q_{n}(2^{i}) = P_{n}(2^{i+1})-2^nP_{n}(2^i) = (i+1) - 2^n \cdot i = i(1-2^n) + 1 $$
であるから，$x=2^0,2^1,\ldots ,2^{n-1}$ で
$$Q_{n}(x) -  (P_{n-1}(x) \cdot (1 - 2^{n}) + 1) = 0 $$
が成り立つ．左辺は $n-1$ 次以下の実数係数多項式であるから，上式は任意の実数 $x$ に対して成り立つ．上式に $x=2^{n}$ を代入すると，
$$\begin{aligned}
0 &= Q_{n}(2^n) -  (P_{n-1}(2^n) \cdot (1 - 2^{n}) + 1)  \\\\
&= P_{n}(2^{n+1})-2^nP_{n}(2^n) -  (P_{n-1}(2^n) \cdot (1 - 2^{n}) + 1) \\\\
&= a_{n+1} - 2^{n}\cdot n - a_{n} \cdot (1-2^{n}) - 1 
\end{aligned}$$
から，漸化式
$$ a_{n+1} - (n+1) = (1-2^{n})(a_{n} - n) $$
を得る．これを解いて, 
$$a_{n}=-\prod_{i=1}^{n-1} (1-2^i)  + n$$
がわかるので，$a_{2017}$ を $2^5$ および $5^5$ で割った余りを考えればよい．
$$\prod_{i=1}^{2016} (1-2^i) \equiv  \prod_{i=1}^{4} (1-2^i) \equiv (-1)\cdot(-3)\cdot(-7)\cdot(-15) \equiv -5\pmod{2^5}$$
であり，また任意の正の整数 $k$ に対して $1-2^{4k}\equiv 0 \pmod{5}$ だから, $\prod_{i=1}^{2016} (1-2^i) $ は $5^5$ の倍数である．ゆえに $\prod_{i=1}^{2016} (1-2^i) $ を $10^5$ で割った余りは $46875$ であり，求める値は
$$a_{2017}= - \prod_{i=1}^{2016} (1-2^i)  + 2017 \equiv -46875 + 2017 \equiv \mathbf{55142} \pmod{10^5}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc237/editorial/10587
　$2016$ 次多項式 $Q(x)$ を $Q(x)=P(2x)-P(x)$ と定義する．この時，$Q(0)=0$ かつ任意の $2015$ 以下の非負整数 $i$ に対し，$Q(2^i)=1$ が成り立つ．

　したがって，$$Q(x)=1-\dfrac{(x-1)(x-2)…(x-2^{2015})}{2^{2016×2015÷2}}$$
となる．

　ゆえに，$$P(2^{2017})=P(2^{2016})+Q(2^{2016})=2017-(2^{2016}-1)…(2^2-1)(2^1-1)$$ なので以下は公式解説と同様である．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc237/editorial/10587/748
　$2016$ 次実数係数多項式 $P(x)$ は任意の $2016$ 以下の非負整数 $i$ について $P(2^i)=i$ をみたします．このとき $P(2^\{2017\})$ は整数となるので，これを $10^5$ で割った余りを求めてください.