　一般に $OG:GH=1:2$ であることから $OG=GI$ が成立する. $BC$ の中点 $M$ について $BM=MC=1$ としてよく, $AB=AC=a(\neq 2),AM=h$ とおくと以下の成立がわかる：
$$AG=\frac{2}{3}h,\quad AI=h - \frac{2|\triangle ABC|}{AB + BC + CA} = h - \frac{2h}{2a+2} = \frac{ah}{a+1} = \frac{a(a-1)}{h}$$
また, $AO = BO$ に気をつければ
$$AO^2 = BO^2 = (h - AO)^2 + 1^2$$
より $AO = \dfrac{h^2 + 1}{2h} = \dfrac{a^2}{2h}$ を得る. 
以上を $AO+AI=2AG$ に代入し, $h^2 = a^2 - 1$ を用いて整理することで $(a,h)=(4,\sqrt{15})$ を得る. このとき外接円半径は $AO=8\/\sqrt{15}$, 内接円半径は $h-AI=3\/\sqrt{15}$ であるから, 求める値は $8+3=\textbf{11}$ である.

　なお, Eulerの定理を用いてもよい. 具体的には,
$$2:1=AG:GM=\dfrac{OI}{2}+R:\dfrac{OI}{2}+r$$
より得られる $OI=2R-4r$ を $OI^2=R^2-2Rr$ に代入することで, $R\/r$ の二次方程式を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc082/editorial/1475
複素座標を使った解法を書いておきます．(長くなったので計算の部分だけ読みたい人は後半から読んでください)

well-known fact として以下が成り立ちます．

$3$点$A(a^2),B(b^2),C(c^2)$が単位円上にあるとき重心$G$，内心$I$，垂心$H$について

- $G$の複素座標は$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
- $H$の複素座標は$a^2+b^2+c^2$
- $I$の複素座標は$-ab-bc-ca$

($a,b,c$の符号は適切に定めるとする)

これを使うと問題の条件から\
$\dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)=-ab-bc-ca$\
となり，ここからこの2次方程式を解いてもいいのですが(その場合は$AB=AC$の条件を$a^2=bc$と直して計算を進めます)，$AB=AC$から$A,O,G,I,H$はどれも$BC$の垂直二等分線上にあることがわかり，$A$を実軸上に取るとこれらは全て実軸上にあることになり実部だけを見ればいいことがわかります．\
ここで，外接円の半径は$1$であり，$OI$の長さがわかれば Chapple-Euler の定理から内接円の半径がわかるということも頭に入れておきます．

次のように座標をおきます．\
$a=1,b=-\cos\theta-i\sin\theta,c=-\cos\theta+i\sin\theta$\
$I$の内心の座標のところで$a,b,c$の座標を適切に定める必要があると言っていたように，その辺りを考慮すると $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ となります．

$\\ $

ここまでが前置きでここから計算のパートに入ります．

$\Re\left(\dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)\right)=\dfrac{2}{3}(2\cos2\theta+1)$
$\Re(-ab-bc-ca)=2\cos\theta-1$

これらが等しいので $2$次方程式を解くと $\cos\theta=\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}$ となり，$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ のときは $ABC$ が正三角形になってしまうので $\cos\theta=\dfrac{1}{4}$ となります．

これより$I$の座標は $-\dfrac{1}{2}$ となり， Chapple-Euler の定理から $\sqrt{R^2-2Rr}=OI=\dfrac{1}{2}$ となり，$r=\dfrac{3}{8}$ がわかるので答えは $11$ です．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc082/editorial/1475/39
$\angle OBI=\angle IBH$ より $$OB:HB=OI:HI=2:1.$$ したがって $OB=2, HB=1$ とおける. $AC$ の中点を $M$ とすると，$BH=2OM$ であり，したがって $OM=\dfrac{1}{2}$. よって $$AC=2AM=2\sqrt{AO^2-OM^2}=\sqrt{15}$$
である. ここで，$BC$ の中点を $N$ とすると，$\angle OMC=\angle ONC=90^{\circ}$ より $O, M, C, N$ は共円. よって，$AO×AN=AM×AC$ だから，$AN=\dfrac{15}{4}$. 
ところで，$\angle HBN=\angle OAM$ より，三角形 $HBN$ と $OAM$ は相似だから，$$HN=HB×\dfrac{OM}{AO}=\dfrac{1}{4}.$$
ここで，$IH=\dfrac{OH}{3}=\dfrac{1}{2}$ だから，$IN=\dfrac{3}{4}$ なので，求める比は $OB:IN=2:\dfrac{3}{4}=8:3$. 解答すべき値は $\textbf{11}$ である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc082/editorial/1475/204
　$AB=AC\neq BC$ なる三角形 $ABC$ において, その外心 $O$, 重心 $G$, 内心 $I$, 垂心 $H$ がこの順に等間隔に並んでいるとき, その外接円の半径と内接円の半径の比は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $p:q$ と表されます. $p+q$ を解答してください.