　$X=\log x$ などとおけば, 底の変換公式より最小化すべき値は
$$81\dfrac{Y}{X}+72\dfrac{Z}{Y}+64\dfrac{X}{Z}$$
相加・相乗平均の関係よりこれは $3\sqrt[3]{81\times72\times64}=216$ 以上であり, $8X=9Y=9Z$ で等号が成立するから, 求める最小値は $\textbf{216}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc060/editorial/243
　$1$ より大きい実数 $x,y,z$ に対し, $81\log_{x}y+72\log_{y}{z}+64\log_{z}{x}$ のとり得る最小値を求めてください.