　偶奇を考えることで $p, q, r$ のいずれかは $2$ である．

- $p=2$ のとき\
　$r^4-6=q$ であり，$r\neq 5$ のとき $r^4-6$ は $5$ で割り切れるので， $q, r$ のいずれかは $5$ である．それぞれ調べることで $(p, q, r)=(2, 619, 5)$ を得る．
- $q=2$ のとき\
　$3p+2=r^4$ であるが，平方数は $3$ で割ったあまりが $2$ になり得ないので不適．
- $r=2$ のとき\
　$16\gt 3p$ に注意して探索すると $(p, q, r)=(3, 7, 2)$ を得る．

　以上より求める組は
$$(p, q, r)=(2, 619, 5), (3, 7, 2)$$
であり，求める総積は $\bf{7512}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc108/editorial/3304
　素数の組 $(p, q, r)$ であって，以下の等式
$$3p+q=r^4$$ 
をみたすものすべてについて，$p+q+r$ の**総積**を求めてください．