　特に $20301+n$ が $n$ で割り切れることから, $n$ は $20301=3\times 67\times101$ の約数である. また条件より
$$20301+n\geq n^2 \implies n\leq 142$$
これよりあり得る $n$ を調べれば, $n=1,3,101$ が適するから, 求める値は $1+3+101=\bold{105}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc084/editorial/1955
　$20301+n$ が $n^2$ の倍数であるような正整数 $n$ の総和を求めてください.