　$BD=a,CD=b$ とおけば, 三角形 $ABD$ における余弦定理より
$$AD^2=AB^2+BD^2-2AB\times BD\times\cos 60^\circ=(a+b)^2+a^2-a(a+b)=a^2+ab+b^2$$
一方でこれは $(a+b-20^{22})^2$ にも等しく, これを連立させて成立することで
$$(a-2\times20^{22})(b-2\times 20^{22})=3\times(20^{22})^2=2^{88}\times3\times5^{44}$$
　ここで, $a,b\lt 2\times 20^{22}$ とすると, 相加・相乗平均の関係より
$$4\times 20^{22}-a-b\geq 2\sqrt{(a-2\times20^{22})(b-2\times 20^{22})}=2\sqrt{3}\times20^{22}$$
が成り立ち, これは $a+b=BC=AD+20^{22}\gt 20^{22}$ に反する.\
　したがって,  $AB=2^{88}\times3\times5^{44}$ なる正整数の組 $(A,B)$ について, $A+B$ としてあり得る値はいくつであるか求める問題に帰着された. これは, $2^{88}\times3\times5^{44}$ が平方数でないことに留意すれば, その正の約数の個数の半分に等しく, これは $(88+1)(1+1)(44+1)\/2=\textbf{4005}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/editorial/302
　正三角形 $ABC$ および辺 $BC$ の点 $D$ について，線分 $AD,BD,CD$ の長さはすべて正の整数値であり，さらに $BC=AD+20^{22}$ が成立しました．このとき，辺 $BC$ の長さとしてありうる値はいくつありますか？