$$\overline{ABCDE}\times A=\overline{EEEEEE}=3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37\cdot E$$
より $11\cdot 13\cdot 37\mid\overline{ABCDE}\cdot A$ だが，$A$ は $9$ 以下の正整数なので $11,13,37$ のいずれでも割り切れない．よって $11\cdot 13\cdot 37\mid \overline{ABCDE}$ であり，次を満たす正整数 $k$ が存在する．$$\overline{ABCDE}=5291k\quad (*)$$
$10000\lt\overline{ABCDE}\lt 99999$ より，$2\leq k\leq 19$ を得る．また，$ ( * ) $ の右辺の$1$の位は $k$ の $1$ の位に等しいので，$k=E$ または $k=E+10$ が成り立つ．$ ( * ) $ を問題文の等式に代入して整理することで次を得る．
$$kA=21E$$
-  $k=E$ のとき\
$A=21$ が従い，$A$ が $9$ 以下の正整数であることに反する．
-  $k=E+10$ のとき\
$$(E+10)A=21E\Longleftrightarrow(21-A)(E+10)=210$$
より $(A,E)=(6,4),(7,5)$ を得るので，それに対応して $k=14,15$ となる．$k=14$ のとき $\overline{ABCDE}=74074$ となり不適であり，一方で $k=15$のとき$\overline{ABCDE}=79365$ となり適する．

以上より $\overline{ABCDE}=\bf79365$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb011/editorial/6308
　$\overline{ABCDE}=\frac{E\times 111\times1001}{A}$ が $1001$ の倍数となるとすると，$\overline{ABCDE}$ は ($2$ 桁の整数) $\times1001$ の形をしているはずですが，この時 $A=D, B=E$ となり不適です．    
したがって，$\frac{E\times 111\times1001}{A}$ は $1001=7\times 11\times 13$ の倍数でない，すなわち $A=7$ が分かります.  
この時，$70000\times 7=490000\lt \overline{EEEEEE}\lt 560000=80000\times 7$ より $E=5$ が分かります．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb011/editorial/6308/513
　$A,E$ は $1$ 以上 $9$ 以下の整数，$B,C,D$ は $0$ 以上 $9$ 以下の整数であり，$A,B,C,D,E$ は相異なります．$$\overline{ABCDE}\times A=\overline{EEEEEE}$$が成立する時，$\overline{ABCDE}$ の値は一意に定まるので，この $\overline{ABCDE}$ の値を解答してください．\
　ただし，$$\displaystyle\overline{a_na_{n-1}\cdots a_1a_0}=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots+10a_1+a_0$$ です．