　条件は $ab-(a+b)+1=(a-1)(b-1)$ が $10$ で割って $1$ 余ることと同値である．$10$ で割って $1$ 余る正整数であって，$8$ 以下の正整数 $2$ つの積に表せるものは $1=1\times 1$ と $21=3\times 7$ のみであるから，求める組は $(2,2),(4,8),(8,4)$ である．特に求める総和は $\textbf{28}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/5120
　 $a+b$ と $ab$ の一の位が等しいとき，少なくとも $a+b$ と $ab$ の偶奇は一致することが必要です．\
　 $a$ と $b$ の偶奇で場合分けすると，

- $a$ が奇数， $b$ が奇数のとき， $a+b$ は偶数， $ab$ は奇数となり偶奇は一致しない．
- $a$ が奇数， $b$ が偶数のとき， $a+b$ は奇数， $ab$ は偶数となり偶奇は一致しない．
- $a$ が偶数， $b$ が奇数のとき， $a+b$ は奇数， $ab$ は偶数となり偶奇は一致しない．
- $a$ が偶数， $b$ が偶数のとき， $a+b$ は偶数， $ab$ は偶数となり偶奇は一致する．

　したがって $a+b$ と $ab$ の偶奇が一致することの必要十分条件は $a$ と $b$ が両方偶数であることです． \
　なのでこの問題において， $a,b$ が両方 $1$ 以上 $9$ 以下の偶数である場合（ $16$ 通り）をすべて試すと答えを得ます．
偶奇性に着目した解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc211/editorial/5120/433
　$1$ 以上 $9$ 以下の整数の組 $(a,b)$ であって，$a+b$ と $ab$ それぞれの一の位が等しいものすべてについて，$a+b$ の総和を求めてください．