　円 $O$ による反転を実行する．図形 $A$ がこの反転によって移る先を $A^\prime$ とする．このとき，直線 $P^{\prime}_3$ と $Q^{\prime}_7$ の交点 $X^\prime$ について，${OX^{\prime}}^2$ が求めるべき値である．
![figure 1](\/images\/q77bolfOVKwph5xiVuM1GNKo280LMhW8bw8nqHsh)

　$O$ から直線 $P_3^\prime, Q_7^\prime$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $A,B$ とすると，$OA=8,OB=128$ である．また，$\angle AX^\prime B=60^\circ$ であるから，$O$ を通り $Q_7^\prime$ に平行な直線と $P_3^\prime$ の交点を $C$，$O$ を通り $P_3^\prime$ に平行な直線と $Q_7^\prime$ の交点を $D$ とすると，
$$BX^\prime=BD+OC=\dfrac{OB}{\sqrt{3}}+\dfrac{2OA}{\sqrt{3}}=48\sqrt{3}.$$
以上により，$OX^\prime=\sqrt{BO^2+{BX^\prime}^2}=\sqrt{\textbf{23296}}\\,(=16\sqrt{91})$ を得る．
![figure 1](\/images\/tmtFAKHSaVp9b50FXOQ1YHu5w32m1oPLDzXYaQYA)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc149/editorial/297
　点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円に半径 $\dfrac{1}{2}$ の円 $P_0,Q_0,R_0$ が内接しており，これらの中心は正三角形をなします．ここで下図のように， $2$ 円 $P_0,Q_0$ の $2$ 交点を結ぶ線分を直径とする円を $R_1$ とする要領で，正整数 $n$ に対し円 $P_n,Q_n,R_n$ を帰納的に定めます．$P_3$ と $Q_7$ の交点のうち $O$ でない方を $X$ とするとき，$\dfrac{1}{OX^2}$ を求めてください．
![figure 1](\/images\/cSmbhNazoVpgIyN72cAOLxTO8vMF2FCfIwJCA1l0)