　赤球と青球が入った箱の個数を $x_{RB}$，黄球と緑球が入った箱の個数を $x_{YG}$ などと表す．赤球に注目すれば $x_{RB}+x_{RY}+x_{RG}=150$ であるから，いまこれをみたす非負整数の組 $(x_{RB},x_{RY},x_{RG})$ を任意に固定すると，
$$
\begin{cases}
x_{RB}+x_{BY}+x_{BG} = 200 \\\\
x_{RY}+x_{BY}+x_{YG} = 250 \\\\
x_{RG}+x_{BG}+x_{YG} = 400
\end{cases}
$$
を $x_{BY},x_{BG},x_{YG}$ についての方程式と見立てて解くことで以下のように定まり，$x_{RG}\geq 50$ が必要である：
$$ x_{BY} = x_{RG}-50, \quad x_{BG} = x_{RY}+100, \quad x_{YG}=x_{RB}+150. $$
したがって，答えは $x+y+z=100$ をみたす非負整数の組 $(x,y,z)$ の個数に一致し，これは ${}_{102}{\rm C}_2=\bf{5151}$ である．

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**別解.**　緑球が入っていない $100$ 個の箱に注目すると，「赤青」「赤黄」「青黄」を任意個数ずつ組み合わせられるので，やはり $x+y+z=100$ をみたす非負整数の組の個数を求めればよい．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023/editorial/5603
　赤球，青球，黄球，緑球がそれぞれ $150$ 個，$200$ 個，$250$ 個，$400$ 個（すなわち計 $1000$ 個）あり，箱が $500$ 個あります．同じ色の球が同じ箱に入らないように，それぞれの箱に球をちょうど $2$ 個ずつ入れる方法は何通りありますか．\
　ただし，箱および同じ色の球はそれぞれ**区別しない**ものとします．