　与えられた漸化式は，
$$ x_{n+1}=\frac{x_n^2+x_{n+2}^2}{x_n+x_{n+2}} $$
という形や，
$$x_{n+2}(x_{n+2}-x_{n+1})=x_{n}(x_{n+1}-x_{n})$$
という形に変形できることに注意する．これより
$$S_{k}(n)=x_{n}x_{n+1}(x_{n+1}-x_{n})$$
とすると，任意の $n$ について $S_{k}(n)=S_{k}(n+1)$ がいえる．また，任意の $n$ について $x_{n}, S_{k}(n)$ はどちらも正なので，$x_{n}\lt x_{n+1}$ である．以降，$S_{k}(n)$ を単に $S_{k}$ と書く．  
　$O$ を原点とする直交座標において $A_{n}(x_{n}, x_{n}^2), B(2024, 2024^2)$ とすると，
$$|△OA_{n}A_{n+1}|=\frac{1}{2}S_{k}$$
となる．任意の $n$ について $x_{n}\lt x_{n+1}\lt x_{n+2}$ であることから，直線 $OA_{n+1}$ に対して $A_{n}$ と $A_{n+2}$ は反対側にある．直線 $OA_{2}$ と直線 $OB$ および $y=x^2$ $(314\leq x\leq 2024)$ によって囲まれた領域を $D$ とすると，多角形 $OA_2…A_{m_k}$ は $D$ に含まれるため
$$\begin{aligned}
m_kS_k &=2S_k+2(|△OA_2A_3|+…+|△OA_{m_k-1}A_{m_k}|)\\\\
&\leq 2S_k+2(Dの面積)\\\\ 
&=2S_k+2 \bigg( \int_{0}^{2024}(2024x-x^2)dx-\int_{0}^{314}(314x-x^2)dx \bigg)\\\\
&=2S_{k}+\frac{2024^3-314^3}{3}
\end{aligned}$$
となる．ここで，次の補題を示す．
  
**補題1．** 任意の $n$ について以下が成り立つ．
$$x_{n+1}-x_n\leq x_n-x_{n-1}\leq \cdots \leq x_3-x_2\lt k$$

**証明1．** $2$ 以上の $n$ について
$$x_{n+1}=\frac{x_n^2+x_{n+2}^2}{x_n+x_{n+2}}\geq \frac{x_n+x_{n+2}}{2}$$
より
$$x_{n+1}-x_n\geq x_{n+2}-x_{n+1}$$
がわかるので
$$x_3-x_2\geq x_4-x_3 \geq \cdots \geq x_{n+1}-x_n$$
となる．一方で，
$$\begin{aligned}
x_3-x_2 &=\frac{-x_2+\sqrt{x_2^2+4x_1x_2-4x_1^2}}{2}\\\\
&\lt \frac{-x_2+\sqrt{x_2^2+4x_1x_2+4x_1^2}}{2}\\\\
&=k
\end{aligned}$$
となるから，命題は示された．$\blacksquare$
  
**補題2．** 以下が成り立つ．
$$\lim_{k\to +0}x_{m_k}=2024$$

**証明2．**  補題1と$m_k$ の最大性から
$$\begin{aligned}
0 &\leq2024-x_{m_k} \\\\
&\lt x_{m_k+1}-x_{m_k} \\\\
&\leq x_{m_k}-x_{m_k-1}\\\\
&\leq \frac{1}{m_k-2}\big((x_{m_k}-x_{m_k-1})+(x_{m_k-1}-x_{m_k-2})+\cdots +(x_3-x_2)\big)\\\\
&\leq \frac{1}{m_k-2}(x_{m_k}-x_2)\\\\
&\leq \frac{1}{m_k-2}(2024-314)\\\\
&\lt \frac{1}{m_k-2} \frac{2024-314}{2024-x_3}(x_{m_k+1}-x_3)\\\\
&=\frac{1}{m_k-2} \frac{2024-314}{2024-x_3}\big((x_{m_k+1}-x_{m_k})+(x_{m_k}-x_{m_k-1})+\cdots +(x_4-x_3)\big)\\\\
&\leq \frac{1}{m_k-2} \frac{2024-314}{2024-x_3}(m_k-2)(x_4-x_3)\\\\
&\lt \frac{2024-314}{2024-x_3}k
\end{aligned}$$
これと，
$$ \lim_{k\to +0}x_3 =\lim_{k\to +0}\frac{x_2+\sqrt{x_2^2+4kx_2-4k^2}}{2} = 314 $$
から，
$$\lim_{k\to +0}\frac{2024-314}{2024-x_3}k=0$$
なので，
$$\lim_{k\to +0}x_{m_k}=2024$$
を得る．$\blacksquare$  
  
　補題1より，
$$\begin{aligned}
0 &\lt \frac{2024^3-314^3}{3}-(m_k-2)S_k\\\\
&=\sum_{l=2}^{m_k-1}\int_{x_l}^{x_{l+1}} \big((x_l+x_{l+1})x-x_lx_{l+1}-x^2 \big)dx+|\triangle OA_{m_k}B| \\\\
&\qquad +\int_{x_{m_k}}^{2024} \big((x_{m_k}+2024)x-2024x_{m_k}-x^2 \big)dx\\\\
&=\sum_{l=2}^{m_k-1}\frac{1}{6}(x_{l+1}-x_l)^3+\frac{1}{2}x_{m_k}\cdot 2024(2024-x_{m_k})+\frac{1}{6}(2024-x_{m_k})^3\\\\
&\lt \frac{1}{6}(m_k-2)k^3+\frac{1}{6}(2024^3-x_{m_k}^3)\\\\
&=\frac{1}{6}(m_k-2)S_k\frac{k^2}{314(314-k)}+\frac{1}{6}(2024^3-x_{m_k}^3)\\\\
&\leq \frac{1}{6} \frac{2024^3-314^3}{3} \frac{k^2}{314(314-k)}+\frac{1}{6}(2024^3-x_{m_k}^3)
\end{aligned}$$
となり，補題2より，
$$\lim_{k\to +0}\frac{k^2}{314(314-k)}=0$$
$$\lim_{k\to +0}(2024^3-x_{m_k}^3)=0$$
なので
$$\lim_{k\to +0}(m_k-2)S_k=\frac{2024^3-314^3}{3}$$
となる．したがって，
$$\lim_{k\to +0}S_k=\lim_{k\to +0}x_1x_2(x_2-x_1)=\lim_{k\to +0}314k(314-k)=0$$
とあわせて，
$$
\lim_{k\to +0}km_k =\lim_{k\to +0}\frac{(m_k-2)S_k+2S_k}{314(314-k)}
=\frac{2024^3-314^3}{3\cdot 314^2}
=\frac{688375890}{24649}
$$
より，答える値は $\mathbf{688400539}$ である．

![figure 1](\/images\/EFGLMEPLzFwLaIn9pGRtJgy2MXhY3vdKFWKZEtSH)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/11774
　漸化式より

$$x_{n+2}x_{n+1}(x_{n+2}-x_{n+1})=x_{n+1}x_n(x_{n+1}-x_n)=\cdots=x_2x_1(x_2-x_1)=314k(314-k)$$

特に $x_{n+1}-x_n=\dfrac{314k(314-k)}{x_{n+1}x_n}\gt0$ より $x_{n}\lt x_{n+1}$ である．上式を $n=1$ から $n=m_k$ まで足し上げると，

$$\begin{aligned}
314km_k(314-k)&=\sum_{n=1}^{m_k}x_{n+2}x_{n+1}(x_{n+2}-x_{n+1})\\\\
&=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{m_k}\left(x_{n+2}^3-x_{n+1}^3-(x_{n+2}-x_{n+1})^3\right)\\\\
&=\frac{1}{3}(x_{m_k+2}^3-x_2^3)-\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{m_k}(x_{n+2}-x_{n+1})^3\\\\
\end{aligned}$$

ここで $0\lt x_n\lt x_{n+1}\lt x_{n+2}$ より

$$\begin{aligned}
\frac{x_{n+2}-x_{n+1}}{x_{n+1}-x_{n}}&=\frac{x_n}{x_{n+2}}\lt1\quad \therefore x_{n+2}-x_{n+1}\lt x_{n+1}-x_n\lt\cdots\lt x_3-x_2\\\\
\end{aligned}$$

であり，$x_2\lt x_3$ より

$$x_3-x_2=\frac{x_1}{x_3}(x_2-x_1)\lt \frac{x_1}{x_2}(x_2-x_1)=\frac{k(314-k)}{314}$$

であるので，

$$0\lt\sum_{n=1}^{m_k}(x_{n+2}-x_{n+1})^3\lt \sum_{n=1}^{m_k}(x_3-x_2)^3=m_k(x_3-x_2)^3\lt km_k\cdot\frac{(314-k)^3}{314^3}\cdot k^2\to0\quad(k\to+0)$$

従って $\displaystyle\lim_{k\to+0}\sum_{n=1}^{m_k}(x_{n+2}-x_{n+1})^3\to0$ を得る．また，$m_k$ の定義から $x_{m_k}\leq 2024\lt x_{m_k+1}\lt x_{m_k+2}$ となるので，

$$\begin{aligned}
0&\lt x_{m_k+2}-2024\leq x_{m_k+2}-x_{m_k}\\\\
&=(x_{m_k+2}-x_{m_k+1})+(x_{m_k+1}-x_{m_k})\\\\
&\lt\frac{k(314-k)}{314}+\frac{k(314-k)}{314}\to0\quad(k\to+0)\\\\
\end{aligned}$$

従って $x_{m_k+2}\to2024\ (k\to+0)$ となる．以上より，

$$\begin{aligned}
\lim_{k\to+0}km_k&=\lim_{k\to+0}\frac{1}{314(314-k)}\left\\{\frac{1}{3}(x_{m_k+2}^3-x_2^3)-\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{m_k}(x_{n+2}-x_{n+1})^3\right\\}\\\\
&=\frac{1}{314(314-0)}\left\\{\frac{1}{3}(2024^3-x_2^3)-\frac{1}{3}\cdot0\right\\}\\\\
&=\frac{2024^3-314^3}{3\cdot314^2}=\frac{688375890}{24649}
\end{aligned}$$
積分を使わない別解
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/11774/685
　$k$ を $314$ 未満の正実数とし，正の実数列 $\\{ x_n \\}\_{n=1,2,\ldots}$ を $x_1 = k, ~ x_2 = 314$ および
$$ x_{n+2} = \frac{1}{2} \Big( x_{n+1} + \sqrt{x_{n+1}^2 + 4x_nx_{n+1} - 4x_n^2} \Big) \quad (n = 1, 2, \ldots)$$
によって定めます．各 $k$ について $x_m \leq 2024$ なる最大の正の整数 $m$ を $m_k$ とするとき，右極限
$$\lim_{k\to +0}km_k$$
は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されることが保証されるので，$a+b$ の値を解答してください．