　$\angle{XA_0Y}=\theta$ とおくと, $\angle{A_0A_2A_1}=\theta$ である. また, 任意の $1 \le i \lt n$ について, 
$$\angle A_0A_{i+1}A_i = \angle A_{i+1}A_{i-1}A_i = \angle A_0A_iA_{i+1} + \theta$$
であるから, 
$$ \angle{A_0A_nA_{n-1}}=(n-1)\theta$$
が分かる. また, 三平方の定理より $\angle{A_0A_{n-1}A_n}=90\degree$ であるから, 三角形 $A_0A_{n}A_{n-1}$ の内角について考える事で,
$$ 90^\circ+(n-1)\theta + \theta =180\degree$$
が成立する. これと, $n \geq 2$ である事から, 求める $n$ は $90$ の $1$ を除く正の約数であるので, 
求める答えは $\mathbf{233}$ と計算できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb021/editorial/5057
　$\angle{XA_0Y}$ が度数法で**整数度の鋭角**である半直線 $A_0X, A_0Y$ 上に以下の三つの条件を満たすように相異なる $n  ~ ( \geq 2)$ 個の点 $A_1,A_2, \cdots ,A_n$ を取るとき，$n$ としてあり得る値の総和を求めてください：
-  $k$ が奇数のとき $A_k$ を半直線 $A_0X$ 上に，$k$ が偶数のとき $A_k$ を半直線 $A_0Y$ 上に取る．
- $A_0A_1=A_1A_2=\cdots=A_{n-1}A_n$
- $A_0A_n^2-A_0A_{n-1}^2=A_{n-1}A_n^2 $