　初めに右上か左下どちらの正方形に向かって進むかと, それぞれの正方形についてどちら向きに $1$ 周するかを定めると, それぞれに対して適する道順が一意に対応する. よって求める場合の数は $2^{18}=\textbf{262144}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/editorial/2580
　下図のように, $3$ 種類の大きさの正方形を組み合わせた図形があります．これにおいて, $X$ から出発し, すべての正方形の辺をそれぞれ引き返すことなくちょうど $1$ 回ずつ通って $X$ に戻ってくる道順は何通りありますか？\
　ただし, どの点も複数回通れるものとし, ある道順を逆にたどったものも別の道順とみなします．
![figure 1](\/images\/FR6Utl6dsuafJKk4ezXagrnOb8sBJ6mb5x4L2h1V)