　合同式は以下すべて $x^{10}-1$ を法とする. $x^{10m+n}\equiv{x}^n$ に注意して,
$$\begin{aligned}
&\quad\\,\\,\\, x^{99}+2x^{98}+\cdots+98x^2+99x+100 \\\\
&\equiv{x}^{9}+2x^{8}+\cdots+9x+10+11x^{9}+12x^{8}+\cdots+99x+100 \\\\
&\equiv(1+11+\cdots+91)x^9+(2+12+\cdots+92)x^8+\cdots+(10+20+\cdots+100)
\end{aligned}$$
最終行の $x^k$ の係数を $b_k$ とおくと, 求める余りは
$$(b_8-b_9)x^8+(b_7-b_9)x^7+…+(b_0-b_9)$$
となるので, 求める値は
$$a_8+a_7+\cdots+a_0=(b_8-b_9)+(b_7-b_9)+\cdots+(b_0-b_9)=10+20+\cdots+90=\textbf{450}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc067/editorial/2288
　多項式 $x^{99}+2x^{98}+\cdots+98x^2+99x+100$ を多項式 $x^9+x^8+\cdots+x^2+x+1$ で割った余りは, 実数 $a_0,a_1,\ldots,a_8$ を用いて $a_8x^8+\cdots+a_1x+a_0$ と表されるので, $a_0+a_1+\cdots+a_8$ を解答してください.