　問題文で与えられた $100$ 個の格子点からなる集合を $\mathcal S$ とする．\
　まず，面積が $36$ よりも大きくなるように $\mathcal S$ から格子点を $3$ つ選ぶとき，そのうち少なくとも $1$ 点は $(0,0), (0,9), (9,0), (9,9)$ のいずれかに一致する必要があることを示す．選んだ $3$ つの格子点を $(a,b), (c,d), (e,f)$ とし，これらからなる非退化な三角形を $T$ とするとき，$\mathcal S$ に含まれる $4$ つの格子点
$$ (\min(a,c,e), \min(b,d,f)), (\max(a,c,e), \min(b,d,f))$$
$$(\min(a,c,e), \max(b,d,f)), (\max(a,c,e), \max(b,d,f)) $$
を $4$ 頂点に持つ長方形 $R$ は $T$ を被覆する．$T$ の面積は $R$ の半分以下であるため，$R$ の面積は $72$ より大きい．ここで，$R$ が $(0,0), (0,9), (9,0), (9,9)$ からなる長方形に一致しない場合，$R$ の面積は高々 $8 \times 9 = 72$ であり矛盾する．従って
$$ \min(a,c,e) = \min(b,d,f) = 0 $$
$$ \max(a,c,e) = \max(b,d,f) = 9 $$
より $\\{ a,c,e \\} \supset \\{0, 9\\}$ および $\\{ b,d,f \\} \supset \\{0, 9\\}$ となるが，このとき $(a,b), (c,d), (e,f)$ のうち少なくとも $1$ つが $(0,0), (0,9), (9,0), (9,9)$ に一致することは容易にわかる．よって示された．\
　いま，対称性により，$T$ が $(0,0)$ を頂点に持つ場合を考える．頂点は選ぶ順序を問わないので，$(e,f) = (0,0)$ としてよい．このとき $T$ の面積は $\dfrac{1}{2}|bc-ad|$ となるため，$bc-ad \gt 72$ または $ad-bc \gt 72$ となることが分かる．やはり $(a,b)$ と $(c,d)$ は選ぶ順序を問わないため，$bc-ad \gt 72$ の場合のみ考えればよい．このとき $bc \gt 72$ となることから $b = c = 9$ および $ad \lt 9$ がわかる．これを満たす $(a, d)$ の組は
$$ (a,d) = (0, 0), (0, 9), (9, 0), (0, i), (i, 0), (1, 1), (1, j), (j, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (4, 2) $$
$$ (i = 1, 2, \dots, 8, \quad j = 2, 3, \dots, 8) $$
がすべてなので，条件を満たしかつ $(0,0)$ を頂点として含む三角形 $T$ は合計で $39$ 個あると分かる．このうち，$(0,0), (0,9), (9,0), (9,9)$ のうちちょうど $3$ つを頂点に持つものは $(a,d) = (0,0), (0,9), (9,0)$ の $3$ 個，ちょうど $2$ つを頂点に持つものは $(a,d) = (0,i), (i,0)$ の $16$ 個，ちょうど $1$ つを頂点に持つものは残りの $20$ 個あるため，求めるべき三角形の個数は 
$$ \dfrac{3 \times 4}{3}+ \dfrac{16 \times 4}{2} + 20 \times 4  = 116 $$
より $\mathbf{116}$ 個である．( $(0,0), (0,9), (9,0), (9,9)$ のうち$3$ つを頂点に持つ三角形は $3$ 回，$2$ つを頂点に持つ三角形は $2$ 回，それぞれ重複して数えていることに注意．)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/editorial/7530
　$xy$ 平面上に座標が $(i,j)$（ただし $i,j$ は $0$ 以上 $9$ 以下の整数）で表される $100$ 個の格子点があります．これらの点から $3$ 点を選ぶ方法のうち，選んだ $3$ 点が非退化な三角形をなし，かつその面積が $36$ よりも大きくなるような選び方は何通りありますか？