　以下, 合同式は全て $\bmod 11$ で計算する. 辺 $A_{k}A_{k+1}$ に割り当てられた整数を $L_{k}$ とおく. ただし $A_{n}$ は $A_{0}$ を指すものとする. このとき条件は  $L_{k} \equiv -L_{k-1}+k^2 $ であり, これを漸化式と見なして $L_{k}$ の一般項を求めると
$$L_{k}\equiv (-1)^k\times \Bigl(L_{0}+ \sum_{i=0}^k (-1)^i i^2 \Bigr)\equiv (-1)^k L_{0} + \dfrac{k(k+1)}{2}$$
このとき, $L_{0}+L_{n-1}\equiv 0$ となるような $L_{0}$ が存在することが必要十分条件である. $n$ が奇数の場合,  $$2L_{0}+\dfrac{n(n-1)}{2}\equiv 0 $$
と表現され, $2$ と $11$ は互いに素なので必ず存在する. $n$ が偶数の場合,
$$\dfrac{n(n-1)}{2}\equiv 0$$
と表現され, これは $n\equiv 0,1$ で成り立つ.\
　$3\leq n\leq 1000$ において, 奇数および $11$ で割って $0$ または $1$ 余る偶数は $\textbf{589}$ 個存在する.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/editorial/3563
　$3$ 以上の整数 $n$ に対して，正 $n$ 角形 $A_{0}A_{1}\cdots A_{n-1}$ を考え，その各辺に整数を割り当てます．このとき，$k=0,1,\ldots,n-1$ に対し頂点 $A_{k}$ の**スコア**を，頂点 $A_{k}$ に接続する $2$ 辺に割り当てられた整数の和から $k^2$ を減じたものと定義します．\
　適当に辺に整数を割り当てることで，すべての頂点のスコアを $11$ の倍数にすることが可能な $n$ は，$3\leq n \leq 1000$ の範囲にいくつあるか求めてください．