　正整数 $n$ に対し，$10^n$ 未満の非負整数の組 $(x, y)$ すべてに対する $f(x, y)$ の平均を $c_n$ と表す．$10$ 未満の非負整数 $x, y$ に対しては $f(x, y) = x + y$ が成り立ち，したがって $c_1 = 9$ であることが分かる．\
　ここで $10^n$ 未満の非負整数 $x, y$ を，$10$ 未満の非負整数 $a_0, \cdots, a_{n-1}, b_0, \cdots, b_{n-1}$ により
$$x = a_0 + 10a_1 + \cdots + 10^{n-1}a_{n-1} \\\\
y = b_0 + 10b_1 + \cdots + 10^{n-1}b_{n-1}$$
と $10$ 進数展開したとき，$a_0 + b_0, a_1 + b_1, \cdots, a_{n-1} + b_{n-1}$ の中で $10$ 以上であるものの個数を $g(x, y)$ と表す．このとき，$10^n$ 未満の非負整数 $x, y$ と $10$ 未満の非負整数 $w, z$ に関して以下が成り立つ．
$$f(x + 10^n z, y + 10^n w) = f(x, y) + 10^{n + g(x, y)} (z + w)$$
この式の両辺を $(x, y, z, w)$ 全体で平均化することで以下の漸化式が得られる．
$$c_{n+1} = c_n + 9 \cdot 10^n G$$
ただし $G$ は $10^n$ 未満の非負整数の組 $(x, y)$ すべてに対する $10^{g(x, y)}$ の平均である．\
　$10$ 未満の非負整数の組 $(x, y)$ であって $x + y \geq 10$ となるものの個数は $45$ 個であり，そうでないものは $55$ 個ある．このことから，多項式 $P(X) = (45X + 55)^n$ における $X^k$ の係数が，$g(x, y) = k$ なる $10^n$ 未満の非負整数の組 $(x, y)$ の個数に一致することが分かる．ゆえに，
$$G = \frac{P(10)}{10^{2n}} = \left(\frac{101}{20}\right)^n$$
であり，これより，
$$c_{n+1} = c_n + 9 \left(\frac{101}{2}\right)^n$$
が得られ，この漸化式から $c_n$ の一般項を次のように得ることができる．
$$c_n = \frac{101^n - 2^n}{11 \cdot 2^{n-1}}$$
　求める平均は $\displaystyle c_6 = \frac{96501831867}{32}$ であり，特に解答すべき値は $\mathbf{96501831899}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/editorial/5811
　$\left\\{c\_n\right\\}$ の漸化式は，添え字を $1$ 増やして，$a\_0,\\, b\_0$ を新たに加えることを考えても求められる．  
　すなわち，追加する $(a\_0, b\_0)$ について，その値の組として考えられる $100$ 通りのうち，$45$ 通りは和が $10$ 以上，残りの $55$ 通りは和が $10$ 未満であるから，$c\_1 = 9$ および，期待値の線形性より
$$ c\_{n+1} = \left(\frac{45}{100} \times 10^2 + \frac{55}{100} \times 10\right) \times c_n + 9, \qquad \therefore c\_{n+1} = \frac{101}2\\, c_n + 9 $$
という漸化式が立つ．
もう 1 つの漸化式
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/editorial/5811/231
　非負整数 $x, y$ について，$0$ 以上 $9$ 以下の整数 $a_0,a_1,\ldots$ および $b_0,b_1,\ldots$ を用いて
$$x = \sum_{k = 0}^{\infty} 10^ka_k,\quad y = \sum_{k = 0}^{\infty}10^kb_k$$
と表したとき（ただし，$a_0,a_1,\ldots$ および $b_0,b_1,\ldots$ はそれぞれ十分先では $0$ であるとします．このような表し方は一意に存在します），
$$d_k = \begin{cases}
2 & (a_k + b_k \ge 10)\\\\
1 & (a_k + b_k \lt 10)
\end{cases}$$
とし，次のようにおきます：
$$f(x, y) = (a_0 + b_0) + \sum_{k = 1}^{\infty}(a_k + b_k)10^{d_0 + d_1 + \cdots + d_{k-1}}.$$
　$0$ 以上 $10^6$ 未満の整数の組 $(x, y)$ すべてに対する $f(x, y)$ の（相加）平均を解答してください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $s, t$ によって $\dfrac{s}{t}$ と表せるので，$s + t$ を解答してください．