　距離 $1$ である $2$ 点の間に線分が張られているとき，$9$ つの点をちょうど一度ずつ辿る経路の数を問う問題であると解釈できる．このとき，中心または $4$ 隅の格子点のみが始点となり得ることが確認できる．\
　中心を始点としたとき，最初に進む向きが $4$ 通り，次に進む向きが $2$ 通りあり，残りは一意に定まる．\
　$4$ 隅に位置するある格子点を始点としたとき，最初に進む向きが $2$ 通りあり，残りは $4$ 通りあることが確認できる（$2$ 本目で同じ向きに進んだ場合が $3$ 通りで，直交する向きに進んだ場合は一意に定まる）．\
　以上より，求める場合の数は $4\times 2+4\times 2\times 4=\mathbf{40}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc108/editorial/3552
　直交座標平面上に，以下で定義される $9$ つの格子点があります．
$$\begin{aligned}
P_1&=(-1,1), & P_2&=(0,1), & P_3&=(1,1) \\\\
P_4&=(-1,0), & P_5&=(0,0), & P_6&=(1,0) \\\\
P_7&=(-1,-1), & P_8&=(0,-1), & P_9&=(1,-1)
\end{aligned}$$
　$1,2,\ldots,9$ の並べ替え $p_1,p_2,\ldots,p_9$ であって，以下の条件をみたすものは何通りありますか？
- $i=1,2,\ldots,8$ に対し，$P_{p_i}$ と $P_{p_{i+1}}$ の距離は $1$ である．