　まず切断されるチョコレートの個数を数える． $n, 1000-n$ の最大公約数を $g$ とし，縦の長さ $p=n\/g$ ，横の長さ $q=(1000-n)\/g$ の長方形を**小長方形**と呼ぶことにする．小長方形を切断した場合 $p+q-1$ 個のチョコレートが切断されることが容易にわかるから，全体ではこれを $g$ 倍した $1000-g$ 個のチョコレートが切断される．\
　さらに，$p,q$ がいずれも奇数であるときに限り，各小長方形の中央にあるチョコレートがちょうど面積 $1\/2$ ずつに切断されるので，$p,q$ が奇数であれば面積 $1\/2$ 以下の断片は $1000$ 個，そうでなければ $1000-g$ 個生成される．\
　 $p,q$ がいずれも偶数とならないことに留意すれば，後者は $p+q=1000\/g$ が奇数であることと同値であるから，このとき $g$ としてあり得る値は $8,40,200$ のいずれかで，いずれも $n=8,40,200$ とすることで達成できる．\
　結局 $m$ としてありうる値は $800, 960, 992, 1000$ の $4$ 通りで，特に解答すべき値は $\bm{3752}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc077/editorial/2320
　$999$ 以下の正整数 $n$ に対し，辺の長さが $1$ の正方形のチョコレートを縦に $n$ 個，横に $1000-n$ 個，すき間なく並べて周長 $2000$ の長方形を作り，十分長いナイフでこの長方形の $1$ 本の対角線に沿ってチョコレートたちを切断します．このとき，面積が $1\/2$ 以下であるチョコレートの断片が $m$ 個残りました．$m$ としてありうる非負整数値の総和を解答してください．ただし，ナイフの幅は考えないものとします．