　$A$ の次に通る点を $P$，その次に通る点を $Q$ とする．$(P,Q)$ の定め方は $3 \times 2 = 6$ 通りあり，$Q$ から $G$ へと向かう方法はちょうど $3$ 通り存在する（対称性があることに注意）．したがって答えは $6 \times 3 = \mathbf{18}$ 通りである．

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**例．**たとえば $(P,Q) = (B,C)$ のとき，$C$ から $G$ へ行く方法は
- $C \to G$
- $C \to D \to H \to G$
- $C \to D \to H \to E \to F \to G$

の $3$ 通り存在する．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb011/editorial/11081
　$A$ の直後に通る頂点を $P$ とし，$G$ の直前に通る頂点を $Q$ とすると，各 $P,Q$ に対して経路が $2$ 通り存在します．考えられる経路はこれで全てなので，求める値は以下のようになります．
　
$$3 \times 3 \times 2 = \mathbf{18}$$

![figure 1](\/images\/Pdzd3BeGB1nfhIL7pNU4apx8CcQeG64upqa1nWDB)
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb011/editorial/11081/510
　立方体 $ABCD - EFGH$ において，線分 $AG$ は立方体の体対角線（内部を通る最も長い対角線）です．頂点 $A$ から辺上のみを通って頂点 $G$ まで途中で来た道を戻らずに移動する方法のうち，同じ頂点を $2$ 回以上通過しないものはいくつありますか？\
　ただし，スタート地点の $A$ やゴール地点の $G$ も出発，到着した時点で通過したとみなします．