　$P$ の経路は，$x$ 座標を $1$ 増やす移動を $A$，$y$ 座標を $1$ 増やす移動を $B$ とすると，$2024$ 個の $A$ と $2025$ 個の $B$ を並べた $4049$ 文字の文字列とみなすことができる．このとき $P$ が曲がる回数は，文字列に $AB$ もしくは $BA$ という並びが現れる回数に等しい．\
　いま，$A$ と $B$ を並べた文字列に対して，$i$ 文字目が $A$ で $i+1$ 文字目が $B$ となるものを数えると，のこりの $2023$ 個の $A$ と $2024$ 個の $B$ を並べたものを数えればよいため，$ {}\_{4047}\mathrm{C}\_{2023}$ 個ある．$i$ として取りうる値は $4048$ 個あり，$i$ 文字目が $B$ で $i+1$ 文字目が $A$ のケースも考慮することで，すべての経路に対する曲がった回数の総和は
$$ 
{}\_{4047}\mathrm{C}\_{2023} \times 4048 \times 2 =\frac{4047!\times 4048 \times 2}{2024!\times 2023!}
$$
と計算できる．一方で経路は全部で $ {}\_{4049}\mathrm{C}\_{2024}$ 通りあるので，曲がった回数の平均値は
$$ 
\frac{4047!\times 4048 \times 2}{2024!\times 2023!}\div {}\_{4049}\mathrm{C}\_{2024}=\frac{2025 \times 2024 \times 4048 \times 2}{4049 \times 4048} = \frac{8197200}{4049}
$$
となり，求める値は $\mathbf{8201249}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc235/editorial/9854
　公式解説と本質的には変わりはないですが，以下のよう考えると，公式解説のような大きい数を扱わずにストレスなく，さらりと立式が出来ます．  

　$2024$ 個の $A$ と $2025$ 個の $B$ を無作為に左右一列に並べるとき，$AB$ もしくは $BA$ という並びが現れる回数 $X$ の期待値を求めたい．   
$E(X_k)=
\begin{cases}
1　(k文字目とk+1文字目が異なる)\\\\
0　(k文字目とk+1文字目が同じ)
\end{cases}$ 
と定める．  
$X=X_1+X_2+\cdots+X_{4048}$ である．  
ここで，$k$ 文字目と $k+1$ 文字目が異なる確率を $p_k$ とすると，$$E(X_k)=1\times p_k+0\times(1-p_k)=p_k=\dfrac{2\times2024\times2025}{4049\times4048}$$  
なので，
$$\begin{aligned}
E(X) & =  E(X_1+X_2+\cdots+X_{4048})=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_{4048})\\\\
& =\dfrac{2\times2024\times2025}{4049\times4048}\times4048=\dfrac{8197200}{4049}
\end{aligned}$$
となり，解答すべき値は $\textbf{8201249}$ となる．  

　[直感的な説明]  
　隣り合う文字が異なる場所に対し，$1$ ポイントを与えることにする．求めるべきはポイントの合計の平均値である．  
まず，$1$ 文字目と $2$ 文字目で $1$ ポイントがもらえる確率は，$\dfrac{2\times2024\times2025}{4049\times4048}$ であるので，「最初の $2$ 文字では平均して $\dfrac{2\times2024\times2025}{4049\times4048}$ ポイントもらえる」と考えることが出来る．  
そして，これは最初の $2$ 文字だけでなく，どの隣り合う $2$ 文字についても同様なので，ポイントの合計の平均値は $\dfrac{2\times2024\times2025}{4049\times4048}\times4048$ で求まると考えられる．

　一般に，「個数・回数の期待値」を「求めたいものの個数・回数が増えるたびに $1$ ポイントを与える」と考えることによって求めるという方針は有用である．
期待値の線形性の利用と直感的な説明
https://onlinemathcontest.com/contests/omc235/editorial/9854/736
　動点 $P$ が原点 $(0,0)$ から $(2024,2025)$ へ，$P$ の $x$ 座標と $y$ 座標のうち少なくとも一方が整数である状態を保ちながら最短距離で向かいます．$P$ がとりうる経路すべてについて，経路上で $P$ が曲がった回数の平均値を求めてください．ただし，求める平均値は互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

<details>
<summary>「曲がった回数」とは<\/summary>

　$P$ が曲がった回数とは，経路において $90$ 度方向転換した回数のことを指します．たとえば下図の経路で曲がった回数は $4$ 回です．始点と終点は含めないことに注意してください．
![figure 1](\/images\/8tSATl3RAvzFf5YMIoCEOtZSynKXlN2ju6vy6rvM)
<\/details>