$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{2032}a_{4k-3}=a_{1}+a_{5}+\cdots+a_{8125}=A\\\\
\sum_{k=1}^{2032}a_{4k-2}=a_{2}+a_{6}+\cdots+a_{8126}=B\\\\
\sum_{k=1}^{2032}a_{4k-1}=a_{3}+a_{7}+\cdots+a_{8127}=C\\\\
\sum_{k=1}^{2032}a_{4k}=a_{4}+a_{8}+\cdots+a_{8128}=D\\\\
\end{aligned}$$
とする. ここで求めるものは $A+B+C+D$ である. ここで
$$
\begin{aligned}
x&=(a_{1}-a_{3})+(a_{5}-a_{7})+\cdots+(a_{8125}-a_{8127})\\\\
    &=-a_{2}-a_{6}-\cdots-a_{8126}\\\\
    &=-B
\end{aligned}
$$
同様に $C=-y$ を得る. また, 簡単な計算により $A=C-B$ , $D=B+C$ であることが分かる. よって
$$
\begin{aligned}
A+B+C+D&=(C-B)+B+C+(B+C)\\\\
&=B+3C\\\\
&=-x-3y\quad 
\end{aligned}
$$
となるから, 解答すべき値は $\textbf{4}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/editorial/2126
　実数 $a_1,a_2,\cdots,a_{8128}$ は $1\leq n\leq 8126$ なる任意の整数 $n$ に対して $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ をみたします.
$$\begin{aligned} x&=a_1-a_3+\cdots +a_{8125}-a_{8127}\\\\  y&=a_2-a_4+\cdots+a_{8126}-a_{8128}\end{aligned}$$
とするとき, $a_1+a_2+\cdots+a_{8128}$ は整数 $a,b$ を用いて $ax+by$ と常に表せるので, $|a+b|$ を解答してください.