　線分 $AB, AC$ の中点をそれぞれ $M, N$ とすると，
$$\angle AMN=\angle ABC=\angle AED$$
より $4$ 点 $M, N, D, E$ は同一円周上にある (以下，この円を $\Gamma$ とする) ．また，三角形 $GBC$ は三角形 $GNM$ を点 $G$ を中心に $-2$ 倍相似拡大してできる図形であるから，三角形 $GNM$ の外接円 $\omega$ と $\Omega$ は $G$ で接する．よって $\Gamma, \omega, \Omega$ の三円の根心は $P$ であるので，特に $3$ 点 $M, N, P$ が一直線上に並ぶ．したがって，方べきの定理より
$$PN(PN+11)=30^2$$
であるからこれを解いて $PN=25$ を得る．よって，メネラウスの定理から
$$\frac{AQ}{CQ} = 1 + 2\times\frac{QN}{CQ} = 1 + 2\times\frac{NP}{PM}\times \frac{MG}{GC} = 1 + 2\times \frac{25}{25 + 11} \times \frac{1}{2} = \frac{61}{36}$$
を得る．特に解答すべきは $\bf{97}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc235/editorial/4705
　$AB\lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ において，その重心を $G$ とし，三角形 $GBC$ の外接円 $\Omega$ と直線 $AB, AC$ が，それぞれ $B,C$ でない点 $D, E$ で交わりました．$G$ における $\Omega$ の接線と $DE$ との交点を $P$ とすると，
$$BC=22,\quad GP=30$$
が成り立ちました．直線 $AC$ と直線 $GP$ の交点を $Q$ とするとき，$\dfrac{AQ}{CQ}$ を求めてください．ただし，求める値は互いに素な $2$ つの正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．