　$k\equiv 2\pmod 4$ より $x^k+y^k$ が $x^2+y^2$ で割り切れることに留意すれば, LTEの補題より
$$n=v_{p}(x^k+y^k)=v_{p}(x^2+y^2)+v_{p}(k\/2)$$
したがって特に $x^k+y^k\leq k\/2\times (x^2+y^2)$ であり, このとき $k=2$ が必要であることが容易にわかる.\
　ここでwell-known factとして $p\equiv 1 \pmod 4$ であり, さらに $x^2+y^2=p^n$ をみたす正整数 $x\leq y$ の組は $\lfloor (n+1)\/2 \rfloor$ 個あるから, これと $n-2$ の場合を比較することで, 特に $\gcd(x,y)=1$ であるものはちょうど一つ存在することがわかる. このような組を $n$ における**良い**組と呼ぶこととする.\
　以下, 良い組について $v_{2}(xy)$ を考察する. この議論においては, $x$ と $y$ の偶奇のみを考え, 順序や正負については考慮しない. $n=1$ について良い組を $(q,s)$ とおく. ただし $q$ が偶数であるとする. 

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**補題1.**　数列 $x_{n},y_{n}$ を, $x_{1}=q,\ y_{1}=s$ および漸化式 $$x_{n+1}=sx_{n}+qy_{n},\ \ y_{n+1}=-qx_{n}+sy_{n}$$
で定めれば, $(x_{n},y_{n})$ は $n$ についての良い組である.\
**証明.**　$x_{n}^2+y_{n}^2=p^n$ は容易に確認できるから, $\gcd(x_{n},y_{n})\neq 1$ と仮定して矛盾を導けばよい. このとき, 
$$(x^\prime_{n},y^\prime_{n})=(-sx_{n-1}+qy_{n-1},-qx_{n-1}-sy_{n-1})$$
は $n$ における良い組である. このとき, $i$ を虚数単位とすれば, 以下のように表現できることがわかる.
$$x^\prime_{n}i+y^\prime_{n}=(qi+s)^{n-1}(qi-s)=p(qi+s)^{n-2}$$
これは $x^\prime_{n}$ および $y^\prime_{n}$ が $p$ の倍数であることを表すから, これは矛盾である.

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　補題1の証明より $x_{n}i+y_{n}=(qi+s)^n$ であるから, そのうち偶数である方 $x_{n}$ について以下が従う.
$$x_{n}=\sum_{j=1}^{\lceil n\/2\rceil}(-1)^{j+1}{}\_{n}\mathrm{C}\_{2j-1}\times q^{2j-1}s^{n-2j+1}$$

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**補題2.**　$b$ が奇数のとき, $v_{2}({}\_{a}\mathrm{C}\_{b})\geq v_{2}(a)$ である.\
**証明.**　$a$ が奇数のときは明らか. 偶数のとき, 等式 $(a-b)\times {}\_{a}\mathrm{C}\_{b}=a\times{}\_{a-1}\mathrm{C}\_{b}$ より明らかに成立する.

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　補題2より, $v_{2}(x_{n})=v_{2}(qn)$ である. $p=5,13$ のとき $v_{2}(q)=1$, $p=17$ のとき $v_2(q)=2$ であることに留意すれば, $\gcd(x,y)=1$ を解除した場合を含めることで, 結局のところ以下の $S$ を計算する問題に帰着された.
$$S=\sum_{n=1}^{2^{1000}} (v_{2}(n)+v_{2}(n-2)+v_{2}(n-4)+\cdots+v_{2}(1\ {\rm or}\ 2))$$
ここで $d$ に等しい項は $(2^{998}+1)2^{999-d}$ 回現れることがわかるから(ただし $d=1000$ は $1$ 回),
$$\begin{aligned}
S&=\sum_{d=1}^{999}d\times (2^{998}+1)2^{999-d}+1000\\\\
&=(2^{998}+1)(2^{1000}-1001)+1000\ \ \ \ \left(\because\ \ \sum_{d=1}^{a} d\times 2^{a-d}=2^{a+1}-a-2 \right)\\\\
&\equiv -994 \pmod{2^{998}-1}
\end{aligned}$$
したがって, $q$ の寄与を考慮して求めるべき値 $Q$ を計算すれば,
$$\begin{aligned}
Q&=3S+2^{999}(2^{999}+1)\times(1+1+2) \\\\
&\equiv 3\times(-994) + 2\times3\times4 \pmod{2^{998}-1}\\\\
&\equiv -\textbf{2958}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc053/editorial/216
　正の整数の組 $(k,n,p,x,y)$ は以下の条件をみたします.

- $k$ は $4$ で割って $2$ 余る
- $n\leq 2^{1000}$
- $p$ は $3\leq p\leq 19$ なる素数
- $x\leq y$
- $x^k+y^k=p^n$

このような組すべてについて $xy$ の**総積**を考え, これが $2$ で割り切れる回数を $Q$ とします.\
　$Q$ を $2^{998}-1$ で割った余りを $R$ としたとき, $(2^{998}-1)-R$ を求めてください.