　三角形の各辺を $x+y,y+z,z+x$ と表し,面積を $S$, 外接円・内接円の半径をそれぞれ $R,r$ とすれば,
$$S=\sqrt{xyz(x+y+z)},\quad r=\dfrac{S}{x+y+z}=\sqrt{\dfrac{xyz}{x+y+z}}$$
これより $Sr=xyz=1001$ であり, さらに $x+y+z=\dfrac{S^2}{xyz}=31$ である.したがって,
$$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)=4RS=8640$$
より $xy+yz+zx=311$ を得るから, 解と係数の関係より $x,y,z$ は以下の $t$ の方程式の $3$ 解である：
$$t^3-31t^2+311t-1001=0$$
$1001=7\times 11\times 13$ に留意してこれを解けば
$$t^3-31t^2+311t-1001=(t-7)(t-11)(t-13)$$
を得るから, 特に解答すべき辺の長さは $7+13=\bm{20}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/editorial/2040
https:\/\/youtu.be\/Qei7nVOUQmI
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/editorial/2040/98
　面積が $\sqrt{31031}$, 外接円の半径が $\dfrac{2160}{\sqrt{31031}}$, 内接円の半径が $\sqrt{\dfrac{1001}{31}}$ であるような三角形において, $2$ 番目に長い辺の長さを求めてください. ただし, 求める三角形においてすべての辺の長さが異なることが保証されます.