　$x\geq 0$ において $f(x)=x^2+\lfloor2x\rfloor+7x\/2$ であり，これは $x$ について単調増加であるから，$f(0)=0$ で最小値を取る．したがって，$x\lt 0$ において $f(x)\lt 0$ となる部分についてのみ考えれば良い．$x\lt 0$ において
$$f(x)=x^2-\lfloor2x\rfloor+\dfrac{9}{2}x$$
であり，$x\leq -5\/2$ において
$$f(x) \ge x^2 - 2x + \frac92x = \frac12x(2x-5)$$
であるから $f(x)$ は非負である．$x\gt -5\/2$ の範囲で $1\/2$ ごとに調べれば，$f(-3\/2)=f(-1)=-3\/2$ が求める最小値であることがわかり，特に解答すべき値は $\textbf{5}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc171/editorial/2031
　実数 $x$ に対して，以下で定まる関数 $f(x)$ のとり得る最小値を求めてください．
$$f(x)=x^2+\bigl\lvert\lfloor2x\rfloor\bigr\rvert+4x-\biggl\lvert\frac{x}{2}\biggr\rvert$$
ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ によって $-\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ を解答してください．ここで，$\lfloor x\rfloor$ で $x$ を超えない最大の整数を表すものとします．