　条件をみたす数 $X$ が $10$ 進法で $\overline{x_1x_2x_3x_1x_2x_3}\_{(10)}$，$12$ 進法で $\overline{y_1y_2y_3y_1y_2y_3}\_{(12)}$ と表せるとする．

$$\begin{aligned}
& \overline{x_1x_2x_3x_1x_2x_3}\_{(10)}=(10^3+1) \times \overline{x_1x_2x_3}\_{(10)}=7 \times 11 \times 13 \times \overline{x_1x_2x_3}\_{(10)} \\\\
& \overline{y_1y_2y_3y_1y_2y_3}\_{(12)}=(12^3+1) \times \overline{y_1y_2y_3}\_{(12)}=7 \times 13 \times 19 \times \overline{y_1y_2y_3}\_{(12)}
\end{aligned}$$

であるから，正の整数 $M$ を用いて $X=7 \times 11 \times 13 \times 19 \times M$ と表せ，このとき，

$$\overline{x_1x_2x_3}\_{(10)}=19M, \quad \overline{y_1y_2y_3}\_{(12)}=11M$$

である．また，

$$10^2 \leq \overline{x_1x_2x_3}\_{(10)} \lt 10^3, \quad 12^2 \leq \overline{y_1y_2y_3}\_{(12)} \lt 12^3$$

であるから，$14 \leq M \leq 52$ の範囲で適する $X$ が得られる．よって $X$ は $\bm{39}$ 通り．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/editorial/5043
　$2$ 以上の整数 $n$ に対し，正の整数 $N$ が $\bm{n}$ **進法における良い数**であるとは，次を全て満たすことを指します．

- $N$ は $n$ 進法表記で $6$ 桁である．つまり，$n^5 \le N \lt n^6$ を満たす．
- $N$ を $n$ 進法で表したとき，$n^5$ の位と $n^2$ の位，$n^4$ の位と $n$ の位，$n^3$ の位と $1$ の位がそれぞれ等しい．

　$10$ 進法における良い数であり，かつ $12$ 進法における良い数でもある正の整数はいくつありますか．