　$ABCD$ に対する $P,Q$ の位置関係は $2$ 通りあり得るが, そのうち $BP$ と $CQ$ が交わる方が最小値を実現する. 一辺の長さを $k$ とし, $P$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とすれば, 三角形 $BHP$ における三平方の定理より
$$\left(\dfrac{k}{2}+1\right)^2+\left(\dfrac{k}{2}\right)^2=3^2$$
これを解いて$k\gt 0$ より $k=\sqrt{17}-1$ を得るから, 解答すべき値は $\textbf{16}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/editorial/199
　正方形 $ABCD$ の内部に $2$ 点 $P,Q$ があり, 以下の条件をみたします.
$$AP=BP=CQ=DQ=3,\ \ PQ=2$$
このとき, $ABCD$ の一辺の長さとしてあり得る最小値を求めて下さい.\
　ただし答えは整数 $p,q$ によって $p+\sqrt{q}$ と表されるので, $p+q$ を解答してください.