　$\angle A=3\theta$，$\angle PAT=\alpha$ とおけば，
$$90^\circ=\angle ABT=\angle B+\theta-\alpha,\quad 45^\circ=\angle ACT=\angle C+\alpha$$
が成立するから，$\angle B+\angle C+3\theta=180^\circ$ とあわせて $\theta=22.5^\circ$，すなわち $\angle A=67.5^\circ$ を得る．\
　これにより，円周角を考えることで $\angle LBQ=\angle KCP=22.5^\circ$ を得るから，三角形 $XBC$ は $\angle X=135^\circ$ なる二等辺三角形であり，特に $X$ は $ABC$ の外心であることが従う．よって，以下の計算から解答すべき値は $\textbf{684}$ である．
$$AX^2=BX^2=\left(\dfrac{3}{\cos 22.5^\circ}\right)^2=\dfrac{18}{\cos45^\circ+1}=36-18\sqrt{2}$$
![figure 1](\/images\/a9R4DhRUb8yEZ3bIraA6ZzzS3SHT4DjmYVHyVxJQ)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc146/editorial/1804
　$BC=6$ なる三角形 $ABC$ において，角 $A$ の（内角の）三等分線と辺 $BC$ の交点のうち，$B,C$ に近い方をそれぞれ $P,Q$ とします．三角形 $ABQ,ACP$ の外接円をそれぞれ $\Omega,\Gamma$ とし，それぞれの中心を $V,W$ としたとき，$\Omega$ と $\Gamma$ の交点のうち $A$ でないもの $T$ について，$V$ は線分 $AT$ 上にあり，$W$ は $\Omega$ 上にありました．$\Gamma$ と辺 $AB$ の交点のうち $A$ でないものを $K$ ，$\Omega$ と辺 $AC$ の交点のうち $A$ でないものを $L$ とし，直線 $BL$ と直線 $CK$ の交点を $X$ としたとき，$AX^2$ を求めて下さい．ただし，求める値は正整数 $a,b$ によって $a-\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください.