　立体 $B$ は正八面体，立体 $C$ は立方体になる．正八面体 $B$ の頂点に名前をつけて $P-QRST-U$ とする．辺 $QR,RS$ の中点をそれぞれ $M,N$，三角形 $PQR,PRS$ の重心をそれぞれ $G,H$ とする．重心の性質から，
$$PG:GM=PH:HN=2:1$$
が成り立つので，$MN:GH=3:2$ である．これと $QS:MN=2:1$ より，次を得る．
$$QS:GH=3:1$$
辺 $QS$ の長さは $A$ の一辺の長さに等しく，辺 $GH$ は $C$ の一辺そのものである．よって立方体 $A,C$ の相似比は $1:3$ である．以上より，$A$ の体積は $C$ の体積の $3^3$ 倍であり，これは $\mathbf{8100}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/4256
　立方体 $A$ に関して，各面の対角線の交点を結んでできる立体を $B$ とします．また，立体 $B$ の各面の重心を結んでできる立体を $C$ とします．立体 $C$ の体積が $300$ のとき，立方体 $A$ の体積を求めてください．