　 $0.1=a$ として問題文の条件を変形していく.
$$\begin{aligned}
\sqrt{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}} \leq a &\Longleftrightarrow \sqrt{n+4}\leq \sqrt{n}+a^2\\\\
&\Longleftrightarrow 4\leq 2a^2\sqrt{n}+a^4\\\\
&\Longleftrightarrow n\geq \Big(\frac{4-a^4}{2a^2}\Big)^2=\frac{4}{a^4}-2+\frac{a^4}{4}
\end{aligned}$$
よって $n$ の最小値は $\dfrac{4}{a^4}-1=\mathbf{39999}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/8401
　問題文の条件は以下のように変形できる.
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}\leq\frac{1}{10}&\iff \sqrt{n+4}-\sqrt{n}\leq\frac{1}{100}\\\\
&\iff (\sqrt{n+4}-\sqrt{n})(\sqrt{n+4}+\sqrt{n})\leq\frac{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}{100}\\\\
&\iff 400\leq\sqrt{n+4}+\sqrt{n}\\\\
\end{aligned}
$$
　ここで十分大きい $n$ に対し, $\sqrt{n+4}$ は $\sqrt{n}$ と近い値を取るから, $$\sqrt{n}+\sqrt{n}=400\iff n =40000$$ 付近を電卓を用いて調べると, $400\leq\sqrt{n+4}+\sqrt{n}$ を満たす最小の正整数は $n=\mathbf{39999}$ だと分かる.
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/8401/480
　$\sqrt{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}$ の値が $0.1$ 以下となる正整数 $n$ の最小値を求めてください.