　$0$ でない実数 $c$ を用いて $f(x) = c(x-p)(x-q)(x-r)$ と表せる．このとき $x=p,q,r$ における微分係数は
$$ \begin{aligned}
f^\prime(p) &= c(p-q)(p-r) \\\\
f^\prime(q) &= c(q-p)(q-r) \\\\
f^\prime(r) &= c(r-p)(r-q)
\end{aligned} $$
と計算できる．$p-q=k, ~ q-r=l$ とおくと，$p-r=k+l$ であることに注意すれば，
$$ \begin{aligned}
f^\prime(p) &= ck(k+l) \\\\
f^\prime(q) &= -ckl \\\\
f^\prime(r) &= cl(k+l)
\end{aligned} $$
と表せる．与えられた条件から $ck(k+l)=9, ckl=7$ であり，辺々の差をとって
$$ck^2=2$$
を得る．さらに，
$$cl^2 = \frac {(ckl)^2}{ak^2} = \frac {49}2$$
が成り立つ．したがって，求める値は
$$cl(k+l) = ckl + cl^2 = 7 + \frac {49}2 = \frac {63}2$$
であり，答えるべき値は $63+2=\mathbf{65}$ である．\
　なお，例えば $\displaystyle f(x) = \frac 12x(x-2)(x-9)$ などが問題の条件を満たす．

------

**別解．**\
　一般に，相異なる複素数 $a,b,c$ に対して恒等式
$$\frac 1{(a-b)(a-c)} + \frac 1{(b-a)(b-c)} + \frac 1{(c-a)(c-b)} = 0$$
が成り立つ (通分することにより容易に確かめられる)．したがって
$$\frac 1{f^\prime(p)} + \frac 1{f^\prime(q)} + \frac 1{f^\prime(r)} = 0$$
であり，ここから $f^\prime(r) = \dfrac {63}2$ が従う．なお一般に，重根を持たない $2$ 次以上の多項式の根における微分係数の逆数和は $0$ になる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/10371
$f(x)=a(x-p)(x-q)(x-r)$ とおくと，積の微分から，$f^\prime(x)=a((x-p)(x-q)+(x-q)(x-r)+(x-r)(x-p))$ となるので，$f^\prime(p)=a(p-q)(p-r),f^\prime(q)=a(q-r)(q-p),f^\prime(r)=a(r-p)(r-q)$ がわかる．よって，$t=f^\prime(r)$とおくと，

$$\begin{aligned}
  a(p-q)(p-r) &=9 \\\\
  a(q-r)(q-p) &=-7 \\\\
  a(r-p)(r-q) &=t
\end{aligned}$$

が得られる．第 $1$ 式と第 $2$ 式を足し合わせると $a \gt 0$ がわかり，またこれらを掛け合わせると，$t\gt 0$ と，

$$\begin{aligned}
  \pm a\sqrt{a}(p-q)(q-r)(r-p) = \sqrt{63t}
\end{aligned}$$

がわかり，$+$の場合は

$$\begin{aligned}
  -9(q-r)\sqrt{a} &= \sqrt{63t} \\\\
  7(r-p)\sqrt{a} &= \sqrt{63t} \\\\
  -t(p-q)\sqrt{a} &= \sqrt{63t}
\end{aligned}$$

となる．第 $1$ 式，第 $2$ 式より，$(p-q)\sqrt{a}=-\dfrac{2}{63}\sqrt{63t}$ となり，これと第 $3$ 式から $t=\dfrac{63}{2}$ がわかる．$-$ の場合も同様．
対称性を最後まで残す
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/10371/604
　実数係数 $3$ 次多項式 $f(x)$ について，方程式 $f(x)=0$ は相異なる $3$ つの実数解 $p,q,r$ を持ち，$x=p,q$ における $f(x)$ の微分係数がそれぞれ $9,-7$ でした．このとき，$x=r$ における $f(x)$ の微分係数を求めて下さい．ただし，求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答して下さい．