　一万の位と一の位のほかに $1$ となり得るのは百の位のみであり，そのようなものは $9^2=81$ 通り存在する．そうでないものについては，まず百の位が $9$ 通り存在し，それぞれについて残りの位が独立に $8$ 通りずつ存在するから，全体では $81+9\times8^2=\textbf{657}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc145/editorial/4376
　十進法表記で以下の条件をみたす $5$ 桁の正整数はいくつありますか？
- 一万の位と一の位はともに $1$ である．
- 任意の隣り合う $2$ 桁には相異なる数が並ぶ．