　$AB=x,AC=y,BP=PQ=QC=a$ とする. このとき, 中線定理より以下の$2$つが成立する：
$$x^2+24^2=2(a^2+18^2),\quad y^2+18^2=2(a^2+24^2)$$
これらを整理することで $(y+x)(y-x)=756$ を得る. 大小関係や偶奇に注意して考えれば,
$$(x,y)=(188,190),(60,66),(20,34),(12,30)$$
を得る. さらに, 三角形の成立条件に留意すれば, $(x,y)=(20,34)$ のみが適し, 求める値は $\bf{ 680 }$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/editorial/2617
　$AB,AC$ の長さがともに正整数値である非退化な（面積が正の）三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ の三等分点を $B$ に近い方から順に $P,Q$ としたとき, $AP=18,AQ=24$ が成立しました. このとき, $AB\times AC$ としてあり得る値の総和を求めてください.