　$Q(x)=(x-1)P(x)$ とおくと, 問題文の条件より以下のように表せる：
$$Q(x)=\sum^t_{i=1}x^{A_i}-\sum^s_{i=1}x^{B_i}-8$$
ただし, $A_i$ および $B_i$ に重複はなく, $A_1=17$ とする. また $Q(1)=0$ より $t=s+8$ であり, このとき $Q$ と問題の前半の条件をみたす $P$ は一対一に対応する. さらに, 簡単な評価によって $P$ は $1$ を根にもたないから, 以下 $1$ 以外の有理数根をもつ $Q$ について考えればよい. 有理数根 $q$ の候補は $-1,\pm2,\pm4,\pm8$ である.\
　ここで $q\neq -1$ のとき, $2$ べきの加減で $0$ を作ることとなる. 重複し得るのは $8$ のみであり, あり得る唯一の形は
$$2^N-2^{N-1}-2^{N-2}-\cdots-16-8-8=0$$
しかし, これは $t=s+8$ に反することが容易にわかる. すなわち $q=-1$ である.\
　このとき, $Q(x)$ の $\sum x^{A_i}-\sum x^{B_i}$ 部分において, 指数が偶数で符号が正・負の項数をそれぞれ $\alpha,\beta$ とおけば,
$$0=Q(-1)=(\alpha-(s+8-\alpha))-(\beta-(s-\beta))-8=2\alpha-2\beta-16$$
これより $(\alpha,\beta)=(8,0)$ であるから, 求める場合の数は単純な二項係数の総和で表せる. 具体的には
$${}\_8\mathrm{C}\_0\times{}\_{8-0}\mathrm{C}\_1+{}\_8\mathrm{C}\_1\times{}\_{8-1}\mathrm{C}\_2+{}\_8\mathrm{C}\_2\times{}\_{8-2}\mathrm{C}\_3+{}\_8\mathrm{C}\_3\times{}\_{8-3}\mathrm{C}\_4=\textbf{1016}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/editorial/1933
　整数係数の $x$ の $16$ 次多項式
$$P(x)=a_{16}x^{16}+a_{15}x^{15}+\cdots+a_1x+a_0$$
について，$a_{16} =1,~ a_0=8$ であり，$i=1,2,\ldots,16$ に対して $|a_i - a_{i-1}|\leq 1$  が成立しています．このような $P$ であって，$x$ の方程式 $P(x)=0$ が有理数解をもつものはいくつありますか？