　半直線 $AB$ 上に $BE=9$ なる点 $E$ をとると，四角形 $BECD$ は平行四辺形であり，
$$AE=17,\quad CE=6,\quad \angle AEC=60^\circ$$
よって三角形 $ACE$ に対して余弦定理を用いることで $AC=\sqrt{\textbf{223}}$ を得られる。
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc079/editorial/2959
　凸四角形 $ABCD$ は
$$AB=8,\quad BD=6,\quad CD=9,\quad \angle ABD=\angle BDC=60^\circ$$
を満たしています．このとき，対角線 $AC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．