　以下では，有限集合 $A$ に含まれるすべての要素についての積を $\displaystyle \prod_{a \in A}$ で表し，特に正の整数 $n$ について $A = \\{ 1, 2, \ldots, n \\}$ であるとき $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}$ と表す．

　正の整数 $x$ が相異なる素数 $p_1, p_2, \ldots, p_k$ と正の整数 $e_1, e_2, \ldots, e_k$ を用いて
$$x = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$$ 
と素因数分解されるとき，$\varphi(x)$ は
$$ \varphi(x) = \prod_{i=1}^k \big( p_i^{e_i} - p_i^{e_i - 1} \big) = x \cdot \prod_{i=1}^k \frac{p_i - 1}{p_i} $$
と表されるため，$m, n$ の素因数すべてからなる集合をそれぞれ $P, Q$ とすると
$$ \frac{\varphi(m)}{m} = \prod_{p \in P} \frac{p-1}{p}, \quad \frac{\varphi(n)}{n} = \prod_{p \in Q} \frac{p-1}{p} $$
となる．このとき $mn$ の素因数すべてからなる集合は $P \cup Q$ であるから，
$$ \frac{\varphi(mn)}{mn} = \prod_{p \in P \cup Q} \frac{p-1}{p} $$
も成り立ち，これと与式を合わせると
$$ \prod_{p \in P \cap Q} \frac{p-1}{p} = \frac{4}{11} $$
を得る．これにより $P \cap Q = \\{2, 5, 11 \\}$ を得る．

<details><summary>詳細<\/summary>
　$R = P \cap Q$ とおくと $11 \in R$ が必要であり，$R$ から $11$ を除いたものを $R^\prime$ とすると
$$ \prod_{p \in R^\prime} \frac{p-1}{p} = \frac{4}{11} \div \frac{10}{11} = \frac{2}{5} $$
となるから，$5 \in R^\prime$ が必要である．$R^\prime$ から $5$ を除いたものを $R^{\prime \prime}$ とすると，
$$ \prod_{p \in R^{\prime \prime}} \frac{p-1}{p} = \frac{2}{5} \div \frac{4}{5} = \frac{1}{2} $$
となり，これをみたす素数の集合 $R^{\prime\prime}$ は $\\{ 2 \\}$ しかない．
<\/details>

　したがって，$m, n$ に共通する素因数が $2, 5, 11$ のみであるような組 $(m, n)$ の個数を求めればよい．$m, n$ は $2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$ の倍数であるので，$9$ 以下の正の整数 $a, b$ を用いて 
$$(m, n) = (110a, 110b)$$ 
とおける．このとき $a, b$ をともに割り切る素数が（存在するならば）$2, 5$ のみであることは，$a, b$ の最大公約数が $3$ の倍数でも $7$ の倍数でもないことと同値であるため，求める $(m, n)$ の個数は
$$ 9 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 1 = \mathbf{71} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2024/editorial/12285
　$1000$ 以下の正の整数の組 $(m, n)$ であって，
$$ \frac{\varphi(mn)}{\varphi(m) \varphi(n)} = \frac{11}{4} $$
をみたすものの個数を求めてください．ただし，正の整数 $x$ に対して，$x$ 以下の正の整数であって $x$ と互いに素なものの個数を $\varphi(x)$ で表します．