　$4$ 解を (重複度を込めて) $s\leq t\leq u\leq v$ とすれば，解と係数の関係により
$$(s+1)(t+1)(u+1)(v+1)=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+1=120.$$
したがって，$(s,t,u,v)$ としてあり得るものは
$$(1,2,3,4),\quad (1,1,4,5),\quad (1,1,2,9),\quad (1,1,1,14)$$
である．$a_{1}=s+t+u+v$ より，特に求める値は $\textbf{51}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/editorial/2847
　$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=119$ なる実数 $a_1,a_2,a_3,a_4$ に対し，$x$ の $4$ 次方程式
$$x^4-a_{1}x^3+a_{2}x^2-a_{3}x+a_{4}=0$$
のすべての複素数解が正整数であるとき，$a_{1}$ としてありうる値の総和を求めてください．