　$\angle ABC=2x$ とおく．三角形 $ABP$ が正三角形であることから $\angle BAC=60^{\circ}$ である．一方で，三角形 $ABQ$ と三角形 $QAC$ が二等辺三角形であることから，$\angle BAC$ は
$$\angle{BAQ}+\angle{QAC}=(180^\circ-4x)+x=180^{\circ}-3x$$
と表されるから，$x=40^{\circ}$ がわかり，解答すべき値は $\textbf{80}$ とわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/3130
　三角形 $ABC$ において，それぞれ辺 $AC,BC$ 上（端点を除く）にそれぞれ点 $P,Q$ があり，以下の条件をみたしました：
$$AB=AP=AQ=BP=CQ.$$
このとき，$\angle ABC$ の大きさを度数法で解答してください．