　$(6,6)$ を途中で経由できるのは $12$ 回目の移動後か $14$ 回目の移動後である．\
　$12$ 回目に $(6,6)$ を経由する移動方法を考える．$12$ 回目までは最短経路より ${}\_{12}\mathrm{C}\_{6}$ 通り．$13$ 回目以降は $\\{A,B\\}$ と $\\{C,D\\}$ を組み合わせて（同じものを $2$ 回用いてもよい）得られるから，その総数は以下で与えられる．
$${}\_{12}\mathrm{C}\_{6}×(2× {}\_{4}\mathrm{C}\_{2}+4!)=33264$$
　$14$ 回目に $(6,6)$ を経由する移動方法を考える．$14$ 回目までは，以下のいずれかである．
- $A$ を $7$ 回，$B$ を $1$ 回，$C$ を $6$ 回
- $A$ を $6$ 回，$C$ を $7$ 回，$D$ を $1$ 回

また $15$ 回目以降は $\\{A,B\\}$ か $\\{C,D\\}$ のいずれかだから，総数は以下で与えられる．
$$\biggl(2×\dfrac{14!}{7!\times 6!\times 1!}\biggr)×4=192192$$
　一方で，重複する $12$ 回目と $14$ 回目にともに $(6,6)$ を経由する移動方法の総数は，以下で与えられる．
$${}\_{12}\mathrm{C}\_{6}×4^2=14784$$
　以上より，全体では $33264+192192-14784=\textbf{210672}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc157/editorial/5550
　$xy$ 座標平面上の $(0,0)$ に点 $P$ があり，点 $P$ は以下のような移動 $A,B,C,D$ を行えます.

- $A: (x,y)$ から $(x,y+1)$ に瞬間移動する.
- $B: (x,y)$ から $(x,y-1)$ に瞬間移動する.
- $C: (x,y)$ から $(x+1,y)$ に瞬間移動する.
- $D: (x,y)$ から $(x-1,y)$ に瞬間移動する.

いま，移動 $A,B,C,D$ を合計で $16$ 回行ったとき，点 $P$ は $(6,6)$ に到達し，それより前にも $1$ 度以上 $(6,6)$ を経由していました．このとき，点 $P$ の移動方法としてありうるものは何通りありますか？\
　ただし，$A, B, C, D$ のうち，一度も使わない移動があっても良いものとします．