　$Q_2$ を通り $Q_1Q_2$ に垂直な直線と $P_2P_3$ の交点を $Y$ とすれば, 三角形 $P_1Q_2X$ と $P_2Q_2Y$ が合同であることが容易にわかるから,
$$(P_2Q_1-P_1X)^2=(P_2Q_1-P_2Y)^2=Q_1Y^2=\left(\dfrac{5}{\cos18^\circ}\right)^2=50-10\sqrt{5}$$
特に解答すべき値は $50+500=\textbf{550}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/editorial/303
　平面上に正五角形 $P_1P_2P_3P_4P_5$ および正二十角形 $Q_1Q_2\cdots Q_{19}Q_{20}$ があり (ただし頂点の番号はいずれも時計回りであるとする), 以下の条件をともにみたしています.

- 正五角形の中心は $Q_2$ である.
- $4$ 点 $Q_1,P_3,P_2,Q_4$ はこの順に同一直線上にある.

　正二十角形の一辺の長さが $5$ であるとき, $P_1P_2$ と $Q_2Q_3$ の交点 $X$ について $(P_2Q_1-P_1X)^2$ を求めてください. ただし, 求める値は正整数 $a,b$ によって $a-\sqrt{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.\
　ここで, $\sin18^\circ=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ および $\cos36^\circ=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$ を用いても構いません.