　$\angle{PAR}=\angle{QAR}$ より $DR=RP,QR=RE$ であり, 簡単な角度計算で $\angle{DRQ}=\angle{PRE}$ と併せて $DRQ$ と $PRE$ は合同であり, 特に $DQ=PE$ である. また, 円周角の定理より $\angle{DQC}=\angle{PEB},\angle{QDC}=\angle{EPB}$ が従うから, $DQC$ と $PEB$ は合同であり, $DC=13,BE=11$ より $BC$ は $18$ で一定である. したがって, あとは $A$ から $BC$ におろした垂線の長さ $h$ を最大化すればよい.\
　ここで, 円周角の定理より $DQC$ と $DEA$ は相似であるとわかり, $AD:AE=13:11$ である. すなわち $D,E$ を固定したとき, $A$ はアポロニウスの円上を動く. よって, $h$ の最大値はこの円の半径 $143\/8$ であり, 求める面積の最大値は $1287\/8$ であるから, 解答すべき値は $\textbf{1295}$ である.\
　なお, この最大値を実現する点 $A$ は, 確かに問題の条件をすべて充足することがわかる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc067/editorial/2291
　三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に $B,D,E,C$ の順に並ぶ点 $D,E$ が $DE=6$ をみたしており, 三角形 $ABD,ACE$ の外接円をそれぞれ $O_1,O_2$ とします. また, 線分 $AE$ と $O_1$ が $A$ 以外の点で交わったのでこれを $P$, 線分 $AD$ と $O_2$ が $A$ 以外の点で交わったのでこれを $Q$ とすると,  $BP=13,CQ=11$ が成立しました. さらに, $O_1$ と $O_2$ は三角形 $ADE$ の内部の点 $R (\neq A)$ で交わり, $\angle{PAR}=\angle{QAR}$ が成立しました. このとき, $ABC$ の面積としてあり得る最大値は, 互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ の値を解答してください.