　$f(x)=\sum^{16}\_{n=1}n^2x^{17-n}-2022$ とおけば, $g(x)=(x-1)^3f(x)$ について
$$g(x)=x^{19}+x^{18} -2311 x^3 + C_2 x^2 +C_1x +C_0$$
($C_2,C_1,C_0$は整数)となる. よって, 求めるべきはこれの $19$ 個の根の $16$ 乗和から $3$ を引いたものである. \
　ここで, $19$ 個の変数 $x_1,\cdots,x_{19}$ の $k$ 次基本対称式を $S_k$ で表す. すると, $\sum_{n=1}^{19}x_n^{16}$ は $S_1,\cdots,S_{16} $ の整数係数多項式として一意に表せる. さらに多項式 $g$ について, 根の $1,16$ 次基本対称式の値はそれぞれ $-1,-2311$ であり, $2$ 次以上 $15$ 次以下の基本対称式の値はすべて $0$ となるので, $\sum_{n=1}^{19}x_n^{16}$ を基本対称式で表した際の $S_1^{16}$ の係数 $a$ と $S_{16}$ の係数 $b$ についてのみ考えればよい.\
　$a$ は $x_1^{16}$ の係数を考えることで $1$ であり, $b$ は例えば $19$ 次多項式 $x^{19}-x^3$ を考えると, その根の $16$ 乗和は $16$, $16$ 次基本対称式の値は $-1$ となり, $15$ 次以下の基本対称式の値はすべて $0$ であるので, $b=-16$ と分かる.\
　以上より, 求めるべき値は $1\times(-1)^{16}+(-16)\times(-2311)-3=\mathbf{36974}$. 
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**別解.** 本解からわかる通り $C_2,C_1,C_0$ は何でもよいから, $C_2=-2311$, $C_1=C_0=0$ とした多項式を $h(x)$ として, $h(x)$ の根の $16$ 乗和を考えればよい. $h(x)=x^2(x+1)(x^{16}-2311)$ であるから, これは簡単に求められる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/editorial/2506
　別解です

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　簡単のため公式解説と同様に $(x-1)^3$ を掛けて係数が $0$ でない項を減らし，
$$f_0(x)=x^{19}+x^{18}-Nx^3+C_2x^2+C_1x+C_0=0$$
（$N=2311$，$C_2,C_1,C_0$ は整数）の複素数解の $16$ 乗和を求めることを考えます．

<details>
<summary>$(x-1)^3$ を掛ける動機<\/summary>

　次のことから $(x-1)^3$ を掛けると多くの係数が $0$ になることが予想できます．
- $n^2$ に対し，$n$ についての差分を $3$ 回とれば $0$ になること
- 多項式に $x-1$ を掛ければ，"隣接する項"の係数の差をとることができる

あるいは次の式の両辺を $x$ で微分し，両辺に $x$ を掛けて再度微分した式を考えることでも推測できます．
$$x^{16}+x^{15}+\cdots+x+1=\frac{x^{17}-1}{x-1}$$
<\/details>

　モニック多項式 $f_n(x)$ を，方程式 $f_{n-1}(x)=0$ の複素数解の $2$ 乗を解に持つ方程式が $f_n(x)=0$ であるように定めます．このとき特に方程式 $f_0(x)=0$ の複素数解の $2^4=16$ 乗を解に持つ方程式は $f_4(x)=0$ であるため，$f_4(x)$ の $x^{18}$ の係数を $A$ とすると，解と係数の関係より求める値は $-A-3$ で得られます．

　ここで，一般に $19$ 次方程式 $$(a):\quad a_{19}x^{19}+a_{18}x^{18}+\cdots+a_1x+a_0=0$$ について，次の方程式 $(b)$ は $(a)$ の複素数解の $2$ 乗を解に持つ方程式になっています．
$$(b):\quad (a_{19}x^9+a_{17}x^8+\cdots+a_3x+a_1)^2x-(a_{18}x^9+a_{16}x^8+\cdots+a_2x+a_0)^2=0$$

<details>
<summary>動機／証明<\/summary>
**動機．** $(a)$ の $x$ を形式的に $\sqrt{x}$ で置き換え，適当に整理することを考えます．

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**証明．** $(a),(b)$ の左辺をそれぞれ $F(x),G(x)$，方程式 $F(x)=0$ の複素数解を重複込みで $\alpha_1,\dots,\alpha_{19}$ とすると次が成り立つ．
$$\begin{aligned}
G(x^2)
&=(a_{19}x^{18}+a_{17}x^{16}+\cdots+a_3x^2+a_1)^2x^2-(a_{18}x^{18}+a_{16}x^{16}+\cdots+a_2x^2+a_0)^2\\\\
&=-F(x)F(-x)\\\\
&=(x^2-\alpha_1^2)\cdots(x^2-\alpha_{19}^2)
\end{aligned}$$

これより $G(x)=(x-\alpha_1^2)\cdots(x-\alpha_{19}^2)$ が得られるから，$G(x)=0$ の解は $\alpha_1^2,\dots,\alpha_{19}^2$ である．
<\/details>

　これを用いて愚直に $f_1(x),\dots,f_4(x)$ を計算することもできますが，$A$ を得るためには低次の項は無視して構わないことがわかります．具体的には，$f_3(x)$ の $16$ 次以下の項，$f_2(x)$ の $14$ 次以下の項，$f_1(x)$ の $10$ 次以下の項は無視できます．これに注意して計算すれば次のようになります．

$$\begin{aligned}
f_1(x)&=(x^9-Nx+C_1)^2x-(x^9+C_2x+C_0)^2&&=x^{19}-x^{18}-2Nx^{11}+O(x^{10}),\\\\
f_2(x)&=(x^9-2Nx^5+O(x^4))^2x-(-x^9+O(x^5))^2&&=x^{19}-x^{18}-4Nx^{15}+O(x^{14}),\\\\
f_3(x)&=(x^9-4Nx^7+O(x^6))^2x-(-x^9+O(x^7))^2&&=x^{19}-x^{18}-8Nx^{17}+O(x^{16}),\\\\
f_4(x)&=(x^9-8Nx^8+O(x^7))^2x-(-x^9+O(x^8))^2&&=x^{19}-(16N+1)x^{18}+O(x^{17})
\end{aligned}$$

これより求める値は $(16N+1)-3=\bf{36974}$ とわかりました．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/editorial/2506/129
　$$f(y)=2022y^{16}-256y^{15}-225y^{14}-\dots-9x^2-4x-1=0$$ 
は問題の方程式の解の逆数を解に持つ. よって, 
$$-[y^{15}]\dfrac{f^{\prime}(y)}{f(y)}$$ を求めればよい. 理由は [OMC180-Dユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc180\/editorial\/7032\/613) 参照.以下, 多項式は $\mathrm{mod}{y^{16}}$ にて計算する. よって $y$ の $16$ 次以降の項を無視した変形を行うので注意.
$$
\begin{aligned}
-\frac{f^{\prime}(y)}{f(y)}
&=-\frac{16\times2022y^{15}-15\times256y^{14}-14\times225y^{13}-\dots-2\times9y-4}{2022y^{16}-256y^{15}-225y^{14}-\dots-9y^2-4y-1}\\\\
&= \frac{32352y^{15}-\sum_{k=0}^{14}(k+2)^2(k+1)y^k}{1+4y+9y^2+\dots+225y^{14}+256y^{15}-2022y^{16}}\\\\
&\equiv\frac{32352y^{15}-\sum_{k=0}^{14}(k+2)^2(k+1)y^k}{\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^2y^k}\\\\
&\equiv\frac{(32352y^{15}-(\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)^2(k+1)y^k-16\times17^2 y^{15}))}{\frac{1+y}{(1-y)^3}}\\\\
&\equiv\frac{(32352y^{15}-(\frac{4+2y+18y^2}{(1-y)^4}-16\times17^2 y^{15}))}{\frac{1+y}{(1-y)^3}}\\\\
&\equiv\frac{1}{1+y}\Bigl((1-y)^3\times(320352+16\times289)y^{15}-\frac{4+2y+18y^2}{1-y}\Bigr)\\\\
&\equiv\frac{1}{1+y}\Bigl(36976y^{15}-\frac{4+2y+18y^2}{1-y}\Bigr)\\\\
&=\frac{36976y^{15}}{1+y}-\frac{4+2+18y^2}{1-y^2}
\\\\\end{aligned}
$$
したがって求める答えは,
$$
\begin{aligned}
-[y^{15}]\frac{f^{\prime}(y)}{f(y)}
&=[y^{15}]\Big(\frac{37126y^{15}}{1+y}-\frac{4+2+18y^2}{1-y^2}\Big)\\\\
&=[y^{15}]\frac{36976y^{15}}{1+y}-[y^{15}]\frac{4+2y+18y^2}{1-y^2}\\\\
&=36976-2=\mathbf{36974}.
\end{aligned}
$$

---

ただし,
$$\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)^2(k+1)y^k=\frac{4+2y+18y^2}{(1-y)^4},\quad \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^2y^k=\frac{1+y}{(1-y)^3}$$
 については, $y$ の $k$ 次の係数が $k$ の $m$ 次式であるような冪級数は 
$$\frac{yの m 次以下の多項式}{(1-y)^{m+1}}$$
 の形で表されていることが知られているから, 
$$\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)^2(k+1)y^k,\quad \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^2y^k$$
 それぞれに$(1-y)^4,(1-y)^3$ をかけて, 分子 $4+2y+18y^2,1+y$ を得た.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/editorial/2506/612
　以下の $x$ の $16$ 次方程式は（重複度を込めて）$16$ 個の複素数解をもちます．
$$x^{16}+4x^{15}+\cdots+225x^2+256x\left(=\sum^{16}_{n=1}n^2x^{17-n}\right)=2022$$ 
このとき，$16$ 個の解それぞれの $16$ 乗の総和を求めてください．