　解説は未作成です．ご了承ください．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct001/editorial/2879
　$\gcd(A,B,C,D)$ が $2$ 以外の素因数を持たないことを雑に示します.

- $\gcd(A,B,C,D)$ が $3$ の倍数になるか？\
桁和より $A+B+C+D$ が $3$ の倍数にならない．
- $\gcd(A,B,C,D)$ が $5$ の倍数になるか？\
下一桁より自明．
- $\gcd(A,B,C,D)$ が $7$ の倍数になるか？\
$3,5,6$ の使い道が$35,56,63$しかないので $3,5,6$ のどれかが余る．
- $\gcd(A,B,C,D)$ が $11$ の倍数になるか？\
ぞろ目にならないので自明．
- $\gcd(A,B,C,D)$ が $13$ の倍数になるか？\
$2,5,6$ の使い道が$26,65,52$しかないので $2,5,6$ のどれかが余る．
- $\gcd(A,B,C,D)$ が $17$ の倍数になるか？\
$(34,51,68,85)$ は条件を満たさない．
- $\gcd(A,B,C,D)$ が $19$ の倍数になるか？\
$7$ を含まない $19$ の倍数が $3$ つしかない．
- $\gcd(A,B,C,D)$ が $23$ の倍数になるか？\
$(23,46,69,92)$ は条件を満たさない．
- $\gcd(A,B,C,D)$ が $29$ 以上の倍数になるか？\
$D\gt 100$ になってしまうのでありえない．

以上より $\gcd(A,B,C,D)$ は $2$ 以外の素因数を持たない．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct001/editorial/2879/8
　$A, B, C, D$ の最大公約数は $1$ または $2$ べきであることを示す：
- いずれも $3$ の倍数であるとき，$A, B, C, D$ の各桁に登場する $8$ 個の整数の和は $3$ の倍数になるが，和は $38$ であるため $3$ は公約数に持たない
- $5$ の倍数は高々一つしか登場しないので $5$ は公約数に持たない
- いずれも $7$ の倍数であるとき，$3$, $5$ ,$6$ が登場するものがそれぞれ $35$, $56$, $63$ のみであり，このとき必ず重複があらわれるので $7$ は公約数に持たない
- 二桁の $11$ の倍数はいずれも十の位と一の位が等しいことから $11$ は公約数に持たない
- $13, 17, 19, 23$ のそれぞれを公約数にもつとき，それぞれ $4, 2, 2, 5$ に注目すればいずれも矛盾
- $25$ 以上の素数 $p$ について $10$ 以上 $100$ 未満に $p$ の倍数は高々 $3$ 個しか登場しないのでそれらを公約数に持つことはない

「$2$ を公約数に持つ $\iff$ $A, B, C, D$ の一の位がいずれも偶数」が成立することに留意すれば，求めるべき場合の数は ${}\_8 \mathrm{C} {}\_4\times4!-4!=\mathbf{1656}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct001/editorial/2879/9
　以下の条件をみたす整数の組 $A\lt B\lt C\lt D$ は何通りありますか？

- $A,B,C,D$ はすべて $2$ 桁の正整数であり，各桁には $1,2,3,4,5,6,8,9$ がちょうど一度ずつ現れる．
- $A,B,C,D$ の最大公約数は $1$ である．