　$1,2,3$ のうち一つが書かれたカードがそれぞれ $3$ 枚ずつある状況を考えても同じである. さらに, 選んだカード $3$ 枚の総和が $3$ で割り切れるかについて考えればよく, 特に順序は無視してよい. このとき, $3$ 枚の数の組み合わせとしてあり得るものは
$$\lbrace1,1,1\rbrace,\lbrace1,2,3\rbrace,\lbrace2,2,2\rbrace,\lbrace3,3,3\rbrace $$
よって, 求める確率は $\dfrac{1+3^3+1+1}{{}\_{9}\mathrm{C}\_{3}}=\dfrac{5}{14}$ であり, 解答すべき値は $\textbf{19}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc072/editorial/1229
　$1$ から $9$ までの整数のうちちょうど $1$ つが書かれたカードが $1$ 枚ずつあります. これの中から $1$ 枚ずつ引き, 左から並べて $3$ 桁の整数を作ったとき, これが $3$ で割り切れる確率を求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.