　$N = 2^{22} × 3^{33} × 5^{55} × 7^{77}$ とおく．$g = \textrm{gcd} (a,b)$ および互いに素な正整数 $a^\prime, b^\prime$ を用いて $a = ga^\prime, \ b = gb^\prime$ と表すと，条件式は
$$ \frac{1}{g} + \frac{1}{ga^\prime b^\prime} = \frac{1}{N} ~ \Longleftrightarrow ~ (g-N)a^\prime b^\prime = N$$
と変形することができる．\
　ここで，$a^\prime b^\prime$ は $N$ の正の約数であり，かつ $a^\prime b^\prime$ の値を決めたとき $g$ の値は一意に定まる．さらに $a^\prime b^\prime = 2^s × 3^t × 5^u × 7^v$ としたとき，組 $(a^\prime, b^\prime)$ としてありうるものの個数は，$s, t, u, v$ のうち $0$ でないものの個数を $x$ としたとき $2^x$ に一致する．以上より，$a_1 = 22, a_2 = 33, a_3 = 55, a_4 = 77$ とすると，求める答えは
$$
2^4a_1a_2a_3a_4 + \cdots + 2^1(a_1 +\cdots + a_4) + 1
= (2a_1 + 1)(2a_2 + 1)(2a_3 + 1)(2a_4 + 1)= \bf51873075
$$
と計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/editorial/10066
　正整数の組 $(a,b)$ であって，
$$\dfrac{1}{\textrm{gcd} (a,b)} + \dfrac{1}{\textrm{lcm} (a,b)} = \dfrac{1}{2^{22} × 3^{33} × 5^{55} × 7^{77}}$$
をみたすものはいくつありますか？