　$n = 100$ とする．相加相乗平均の不等式より
$$\begin{aligned}
P(a,b,c)&=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}-(a+b+c^n)\\\\
&\leq\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}-(a+b+c^n)\\\\
&=c-c^n
\end{aligned}$$
であり，等号は $a=b=c$ のときのみ成立する．
また再度相加相乗平均の不等式より
$$
c - c^n
= \big(nc^n\big(n^{-1\/(n - 1)}\big)^{n - 1}\big)^{1\/n} - c^n
\leq \cfrac{nc^n + \cfrac{n - 1}{n^{1\/(n - 1)}}}{n} - c^n
= \dfrac{n-1}{n^{n\/(n-1)}}$$
であり，等号は $c=n^{-1\/(n-1)}$ のときのみ成立する．なお，微分を用いても同様のことが確認できる．以上より次が確認できる：
$$M=\dfrac{n-1}{n^{n\/(n-1)}},\quad A=\dfrac{1}{n^{1\/(n-1)}}$$
このとき $\dfrac{M}{A}=\dfrac{n-1}{n} = \dfrac{99}{100}$ であるから，解答すべき値は ${\bf 199}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4732
　厳密性には欠けますが，最大値の存在を仮定して解く方法です．
***
　$P(a,b,c)$ を $a,b,c$ でそれぞれ偏微分すると
$$ \frac{\partial P}{\partial a} = \frac{\sqrt{b}}{2 \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{c}}{2 \sqrt{a}} - 1$$
$$ \frac{\partial P}{\partial b} = \frac{\sqrt{a}}{2 \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{c}}{2 \sqrt{b}} - 1$$
$$ \frac{\partial P}{\partial c} = \frac{\sqrt{b}}{2 \sqrt{c}} + \frac{\sqrt{a}}{2 \sqrt{c}} - 100c^{99}$$
となる．ここで，$P(a,b,c)$ が極大値をとるとき $ \displaystyle \frac{\partial P}{\partial a} =  \frac{\partial P}{\partial b}  = \frac{\partial P}{\partial c} = 0$ が成り立つ．これを解いて $a = b = c = 100^{-\frac{1}{99}}$ を得る．\
　あとは公式解説と同様に $M,A$ が求まり，答えは $\mathbf{199}$ となる．
偏微分による解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4732/308
　正の実数 $a, b, c$ について，$P(a,b,c)$ を以下で定めます：
$$P(a,b,c)=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}-(a+b+c^{100})$$
　$a,b,c$ が正の実数全体を動くときの $P(a,b,c)$ の最大値を $M$ とし，$P(a,b,c)=M$ なる組 $(a,b,c)$ すべてについての $a$ の総和を $A$ とするとき，$\dfrac{M}{A}$ を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p,q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ を解答してください．