$$\angle BDP = \angle BDC - \angle CDP = \angle BAC - \angle AEF = \angle AFE$$
であり，同様に $\angle DBP = \angle AGE$ である．よって，正弦定理より次がわかる．
$$\begin{aligned}
\frac{FQ}{GQ}
&= \frac{\sin \angle FCQ}{\sin \angle GCQ}\\\\
&= \frac{\sin\angle CDP\cdot (DP\/CP)}{\sin\angle CBP\cdot (BP\/CP)}\\\\
&= \frac{DP\sin\angle AEF}{BP\sin\angle AEG}\\\\
&= \frac{\sin\angle DBP\sin\angle AEF}{\sin\angle BDP\sin\angle AEG}\\\\
&= \frac{\sin\angle AGE\sin\angle AEF}{\sin\angle AFE\sin\angle AEG}\\\\
&= \frac{\sin \angle AEF}{\sin \angle AFE}\cdot\frac{\sin \angle AGE}{\sin \angle AEG}\\\\
&= \frac{AF}{AE}\cdot\frac{AE}{AG}\\\\
&= \frac{AF}{AG}
\end{aligned}$$
である．また，
$$\angle FQG = 180^\circ - \angle FCG = 180^\circ - \angle BCD = \angle BAD = \angle FAG$$
であるから，三角形 $AFG$ と三角形 $QFG$ は合同である．よって，$A$ と $Q$ は直線 $FG$ に関して対称である．\
　ここで，四角形 $ABCD$ の外接円の中心を $O$ とし，四角形 $ABCD$ のミケル点を $M$ とする．このとき，
$$\angle FMG = \angle AMF + \angle AMG = \angle ADF + \angle ABG = \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$$
より，$M$ は直線 $FG$ 上にある．また，
$$\measuredangle AMC
= \measuredangle AMF + \measuredangle FMC
= \measuredangle ADF + \measuredangle FBC
= \measuredangle ADC+ \measuredangle ABC
= \measuredangle  AOC$$
であるから，$4$ 点 $A, C, M, O$ は同一円周上にあり，同様に $4$ 点 $B, D, M, O$ も同一円周上にある．よって，この二円と四角形 $ABCD$ の外接円の根心を考えることで，$3$ 点 $E,M,O$ は同一直線上にあることがわかる．さらに，
$$\angle QMF = \angle AMF=180^\circ - \angle ADF = \angle CDG = \angle CMG$$
であることから $3$ 点 $C, M, Q$ は同一直線上にある．また，$AO = CO$ より $\angle AMO = \angle CMO$ であるので，$\angle AMF = \angle CMG$ とあわせて $\angle OMF = \angle OMG$ である．よって，直線 $FG$ と $MO$ は直交する．さらに，
$$\angle OCE = \angle OCA = \angle OMA = \angle OMC$$
なので，三角形 $OEC$ と三角形 $OCM$ は相似である．よって，直線 $MO$ と $AQ$ が平行であることから， 
$$CQ=CM\cdot\frac{AC}{CE} = CE\cdot\frac{OC}{OE}\cdot\frac{AE + CE}{CE} = \frac{1230}{OE}$$
となる．$E$ から四角形 $ABCD$ の外接円への方べきを考えることで
$$OE^2=OA^2-AE・CE = 690$$
が成り立つので，
$$CQ^2=\frac{1230^2}{OE^2} = \frac{50430}{23}$$
と求まる．特に解答すべき値は $\bf50453$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/editorial/9560
　「 $Q$ は $FG$ に関して $A$ と対称な点である」までは公式解説と同様です．\
　Brocard の定理より，円 $ABC$ において，$FG$ は極を $E$ とする極線です．従って，$E$ から $FG$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると，$O,E,H$ は一直線上にあり，$OE \times OH = 30^2$ が成立します．一方で $OE^2$ は方べきの定理から求められますから，$EH = OH-OE$ の値もこの時点で計算することができます．\
　一方で，直線 $CA$ と $FG$ の交点を $R$ とすると，完全四辺形の性質から $C,E,A,R$ は調和点列ですから，$AR$ の長さが求められます．\
　以上より，直線 $FG$ と $C,E,A$ それぞれとの距離（従って $Q$ との距離も）を計算することが可能になりました．あとは愚直に三平方の定理を用いて計算することで $CQ$ の長さを求めることができます．

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　こういう「三平方の定理でゴリ押せないか？」という思考は、エレガントではないかもしれませんが、OMC で役に立つことは多いです。
ゴリ押し？
https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/editorial/9560/448
　半径 $30$ の円に内接する四角形 $ABCD$ があり，対角線の交点を $E$ とすると，
$$AE=6,\quad BE=10,\quad CE=35,\quad DE=21$$
が成り立ちます．  
　直線 $AB$ と直線 $CD$，直線 $AD$ と直線 $BC$ がそれぞれ $F, G$ で交わっており，三角形 $BCD$ の内部に点 $P$ をとったところ，
$$\angle CBP=\angle AEG,\quad \angle CDP=\angle AEF$$
が成り立ちました．  
　直線 $CP$ と三角形 $CFG$ の外接円との交点のうち $C$ でない方を $Q$ とするとき，線分 $CQ$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を答えてください．