　$N=101^{101}$ とおく．二項定理より，
$$101^N=(1+100)^N\equiv 1+100N+10000{}_N\text{C}_2\pmod{1000000}$$
となる．再び二項定理より，
$$N=(1+100)^{101}\equiv 1+100×101\equiv 101\pmod{10000}$$
であるので，整数 $k$ を用いて $N=10000k+101$ と表せる．これを初めの合同式に代入して
$$\begin{aligned}
101^N&\equiv 1+100(10000k+101)+10000\cdot\frac{(10000k+101)(10000k+100)}{2}&\pmod{1000000}\\\\
&\equiv 1+10100+500000&\pmod{1000000}\\\\
&\equiv510101
\end{aligned}$$
以上より求めるべき値は $\mathbf{510101}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb024/editorial/9111
　$101^{101^{101}}$ を $10^6$ で割った余りを求めてください．ただし，指数は右上から先に計算します．