　$t=x^2+x+1$ とおくと，与式は $t$ の関数として以下のように書きかえられる：
$$\biggl(f(t):=\biggr)t+1+\dfrac{1}{9t}$$
ここで $t$ は $3\/4$ 以上の実数値をとることに留意せよ．ここで，$a\gt b\geq 3\/4$ について
$$f(a)-f(b)=\dfrac{(a-b)(9ab-1)}{9ab}\gt 0$$
により，この範囲で $f$ は単調増加であるから，求める最小値は $f\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{205}{108}$ であり，特に解答すべき値は $\textbf{313}$ である．安直に相加・相乗平均の関係に飛び付くと $\dfrac{5}{3}$ になりそうだが，等号成立条件の考慮も評価と同等に重要である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc001/editorial/1711
　$x$ が実数全体を動くとき，以下のとりうる最小の値を求めてください：
$$x^2+x+2+\dfrac{1}{9x^2+9x+9}$$
ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．