　$ 1,2, \cdots ,5 $ の番号を付けた $5$ 個の頂点に対して，点 $n$ から点 $f(n)$ への有向辺を加えたグラフを
$G$ とする．このとき，$f$ が条件を満たすことは次のように言い換えられる．
- ある $1$ 以上 $5$ 以下の整数 $m$ が存在し，点 $m$ からは点 $m$ 自身に向かって有向辺が伸びている．また，点 $m$ 以外の頂点からは 点 $m$ に向かう単純有向パスが存在する．

　これを満たすような $G$ としてあり得るものの総数を求めればいい．対称性より, $m = 1$ の場合を数え上げて，それを $5$ 倍したものが答えである．まず，点 $1$ に直接有向辺が伸びている，点 $1$ 以外の頂点の個数で場合分けする. 
- 頂点の個数が $4$ 個のとき\
　全ての頂点から点 $1$ に有向辺が伸びていることになるため，条件を満たすグラフは $1$ 通りである．
- 頂点の個数が $3$ 個のとき\
　点 $1$ に直接有向辺が伸びている $3$ 点の選び方が $4$ 通り，残りの $1$ 点からどの $3$ 点に有向辺が伸びているかで $3$ 通りあるため，条件を満たすグラフは $12$ 通りある．
- 頂点の個数が $2$ 個のとき\
　点 $1$ に直接有向辺が伸びている $2$ 点の選び方が $6$ 通りある．ここで，一般性を失わずに，その $2$ 点を点 $2, 3$ とする．このとき，点 $4$ と点 $5$ が共に点 $2$ に向かって有向辺を伸ばしている場合，以下の $3$ 通りある．（以下, $ a \rightarrow b $ で点 $a$ から点 $b$ に有向辺が伸びていることを表す）
$$ 4 \rightarrow 2 \ かつ \ 5 \rightarrow 2 ,\quad 4 \rightarrow 5 \ かつ \ 5 \rightarrow 2 ,\quad 4 \rightarrow 2 \ かつ \ 5 \rightarrow 4$$
点 $4$ と点 $5$ が共に点 $3$ に向かって有向辺を伸ばしている場合も同様に $3$ 通りある. そして, 点 $4$ と点 $5$ が異なる頂点に向かって有向辺を伸ばしている場合は, $2$ 通りあるため, 条件を満たすグラフは全部で $6 × 8 = 48$ 通りある.
- 頂点の個数が $1$ 個のとき\
　 点 $1$ に直接有向辺が伸びている $1$ 点の選び方が $4$ 通りある．ここで，一般性を失わずに，その $1$ 点を点 $2$ とする．このとき，残りの $3$ 点からどのように有向辺が伸びているかについては，点 $2$ に直接有向辺が伸びている頂点の個数で場合分けするとよい．以下より，全部で $16$ 通りあるので，条件を満たすグラフは全部で $4 × 16 = 64$ 通りある．
    - $3$ 個のとき・・・ $1$ 通り
    - $2$ 個のとき・・・ $2$ 点の選び方が $3$ 通り，残りの $1$ 点からの有向辺の伸ばし方が $2$ 通りで計 $6$ 通り
    - $1$ 個のとき・・・ $1$ 点の選び方が $3$ 通り，残りの $2$ 点からの有向辺の伸ばし方が $3$ 通りで計 $9$ 通り

以上を踏まえて，$m = 1$ の場合に $G$ としてあり得るものが $125$ 通りあるため，答えは $125 × 5 = \mathbf{625}$ 通りと分かる．

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**参考.**　一般に，$n$ 個のラベル付き頂点を持つ木は $n^{n-2}$ 種類あり（Cayleyの公式），簡潔な証明が複数知られる．\
　この問題において，自己ループになる頂点の番号を固定したとき，数え上げるものは $5$ 個のラベル付き頂点を持つ木の数であり，これは $5^{5-2} = 125$ 個ある．よって求める答えは $125\times5=\bf625$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7909
　$1$ 以上 $5$ 以下の整数に対して定義され，$1$ 以上 $5$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であって，以下の条件を満たすものはいくつありますか？

- ある正の整数 $k$ が存在して，$f^{k}(1) = f^{k}(2) = \cdots = f^{k}(5)$ が成立する．

ただし，$f^{1}(x) = f(x)$ とし，任意の正の整数 $k$ について $f^{k+1}(x) = f(f^{k}(x))$ が成り立つものとします．