　$n$ が奇数のとき,
$$2A_n=A_{n+1}+3A_{n-1}+A_{n-2}=A_{n}+A_{n-1}+A_{n-2}$$
すなわち, $A_n=A_{n-1}+A_{n-2}$ である. これを用いて, $\\{A_n\\}$ を前から計算すれば
$$1,1,2,0,2,2,4,0,4,4,\cdots$$
これが確かに与条件をみたすことは数学的帰納法によって示される. これより, 求める総和は
$$2+3\times(2^1+2^2+\cdots+2^{504})+2\times 2^{505}=2^{507}+2^{505}-2^2$$
これを $2$ 進法で表記したときの各位の和は $\textbf{504}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc119/editorial/2403
　数列 $\\{A_n\\}$ は，$A_1=A_2=1$ および以下の条件をみたします.

- $n\geq 3$ が偶数のとき，$A_n=A_{n-1}-2A_{n-2}$.
- $n\geq 3$ が奇数のとき，$A_n=\dfrac{1}{2}(A_{n+1}+3A_{n-1}+A_{n-2})$.

このとき，$A_1+A_2+\cdots+A_{2021}$ の $2$ 進法表記での各桁の和を求めてください．