　$p={10}^{100}-1$ とする．$i$ 行目 $j$ 列目のマス目を含むような部分長方形の総数を $T(i,j)$ とすると，$T(i,j)$ は部分長方形の左上の頂点の選び方 $i\times j$ 通り，右下の頂点の選び方 $(p-i+1)\times(p-j+1)$ 通りの積であるから，求めるスコアの総和 $S$ は次の通りである．
$$S=\sum_{i,j=1,3,5,\cdots ,p}T(i,j)=\Biggl(\sum_{i=1,3,5,\dots,p}i(p-i+1)\Biggr)^2$$
　ここで一般に正整数 $m$ について
$$\sum_{i=1}^{m}i(m-i+1)=1\times m+2\times(m-1)+\cdots+(m-1)\times2+m\times 1= {}\_{m+2}\mathrm{C}\_{3}$$
が成り立つため，$p$ が奇数であることに注意すれば次のように計算できる．
$$\begin{aligned}
\sqrt{S}=\sum_{i=1,3,5,\dots,p}i(p-i+1)&=\sum_{i=1}^{p}i(p-i+1)-\sum_{i=1}^{(p-1)\/2}2i(p-2i+1)\\\\
&=\sum_{i=1}^{p}i(p-i+1)-4\sum_{i=1}^{(p-1)\/2}i\Bigl(\frac{p-1}{2}-i+1\Bigr)\\\\
&= {}\_{p+2}\mathrm{C}\_{3}-4 \times {}\_{\frac{p+3}{2}}\mathrm{C}\_{3}\\\\
&=\dfrac{(p+1)(p^2+2p+3)}{12}\\\\
&= \dfrac{10^{100}\times 5\overbrace{00\cdots00}^{198個}1}{6}=8\overbrace{33\cdots33}^{198個}5\times10^{99}\end{aligned}$$
　これより解答すべき値は $\bf{607}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc155/editorial/3291
　$({10}^{100}-1)\times ({10}^{100}-1)$ のマス目があり，上から奇数行目かつ左から奇数列目のマス（ただし，$1$ から始めるものとする）が黒く，他のマスは白く塗られています．一つの長方形状に並んだ $1$ つ以上のマスからなる集合を**部分長方形**とよび，部分長方形に対する**スコア**をその部分長方形が含む黒いマスの個数で定めます．\
　いま，すべての部分長方形に対するスコアの総和を $S$ とします．このとき $\sqrt{S}$ は非負整数になるので，$\sqrt{S}$ を十進法で表記したときの各桁の総和を求めてください．

---
　形式的には，**部分長方形**とは，ある $1\leq i_1\leq i_2\leq 10^{100}-1$，$1\leq j_1\leq j_2\leq 10^{100}-1$ について，$i_1,i_1+1,\dots,i_2$ 行目のいずれかにあり，かつ $j_1,j_1+1,\dots,j_2$ 列目のいずれかにあるマス全体のことをさします．