　$\angle IAB=\angle IAQ$ かつ $IB=IQ$ より，三角形 $AIB$ と三角形 $AIQ$ は合同．また，$\angle ICB=\angle ICP$ かつ $IB=IP$ より，三角形 $CIB$ と三角形 $CIP$ も合同．したがって，$AC=x$ とすると，$AB=x-11, ~ BC=x-10$ だから，三平方の定理より $(x-11)^2+(x-10)^2=x^2$．よって $x\gt 21$ に注意して $x=21+2\sqrt{55}$ だから，解答すべき値は $\textbf{241}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5479
　$\angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ において，内心を $I$ とします．$I$ を中心とし，$B$ を通る円が辺 $AC$（端点を除く）と $2$ 点で交わったので，それらの交点を $A$ に近い方から $P, Q$ とすると，$AP=10, ~ QC=11$ が成立しました．このとき，辺 $AC$ の長さは正整数 $a, b$ を用いて $a+\sqrt b$ と表せるので，$a+b$ を解答してください.