　$\operatorname{ord}\_{p}(N)$ で整数 $N$ が素数 $p$で割り切れる最大の回数を，$\operatorname{s}\_{p}(N)$ で整数 $N$を $p$ 進数表示したときの桁和を表すものとする．\
　$n$ 以下の素数 $p$ を任意にとる（$n$より大きい素数については分母・分子のいずれにも表れないので考える必要はない）．分子について，$\operatorname{ord}\_{p}(\operatorname{lcm}\\{1,2,\cdots ,n\\})=\lfloor \log\_{p}{n} \rfloor$ である．分母が$p$で割り切れる回数について考察するために，以下の定理（クンマーの定理）を示す．

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**定理.** $x+y=z$ なる正整数 $x,\ y,\ z$ について，${}\_{z} \mathrm{C}\_{x}$ が素数 $p$ で割り切れる最大の回数は $\dfrac{s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}-s_{p}{(z)}}{p-1}$ であり，この値は，$p$ 進法での $x+y=z$ の筆算で起こる繰り上がりの回数に等しい．

**証明.** $n=n_{r}p^r+n_{r-1}p^{r-1}+\cdots +n_0p^{0}$ と $p$ 進数表記されているとき，$n!$ が $p$ で割り切れる最大の回数はルジャンドルの定理より，
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{\infty} \Bigl\lfloor \dfrac{n}{p^k} \Bigl\rfloor 
&= (n_{r}p^{r-1}+n_{r-1}p^{r-2}+\cdots +n_1p^{0})+(n_{r}p^{r-2}+n_{r-1}p^{r-3}+\cdots +n_2p^{0}) + \cdots + n_{r}p^{0}\\\\
& = n_{r} \dfrac{p^r-1}{p-1} +n_{r-1} \dfrac{p^{r-1}-1}{p-1} + \cdots+ n_{1} \dfrac{p^1-1}{p-1} +n_{0} \dfrac{p^0-1}{p-1}\\\\
& = \dfrac{n-s_p(n)}{p-1}
\end{aligned}
$$
であるから，${}\_{x} \mathrm{C}\_{y}$ は素数 $p$ で最大 $\dfrac{s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}-s_{p}{(z)}}{p-1}$回割り切れる．\
　繰り上がりについて，$p$ 進数での $x+y$ の筆算で繰り上がりが起こらないとき，$s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}=s_{p}{(z)}$となるから，主張は正しい．次に，$r$ 桁目のみで繰り上がりが起こるとすると，$x,\ y,\ z$ の $r$ 桁目の数字を $x_r,\ y_r,\ z_r$ とすれば $x_r+y_r=z_r+p$ となり，$r+1$ 桁目では繰り上がりにより $1+x_{r+1}+y_{r+1}=z_{r+1}$ となるから，$s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}-s_{p}{(z)}$ の値は $p-1$ だけ増加する．繰り上がりの回数が増えても同様な議論ができ，一回の繰り上がりにつき $s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}-s_{p}{(z)}$ の値は $p-1$ だけ増加することがいえるので，定理を示すことができた．（証明終）

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　クンマーの定理より，ある素数 $p$ によって $n+1=p^r$ と表されるとき，例えば $x=(p^r-1)\/(p-1)$ とすれば， $p$ 進数での $x+(n-x)$ の筆算において $r$ 回繰り上がりが生じるので，
$$
\operatorname{ord}\_{p}\\{{}\_{n+1} \mathrm{C}\_{1},{}\_{n+1} \mathrm{C}\_{2},\ldots,{}\_{n+1} \mathrm{C}\_{n}\\}=r\gt \lfloor \log\_{p}{n} \rfloor
$$
である．したがって，与えられた値は整数値になりえない．\
　一方，$p^{r} \lt n+1 \lt p^{r+1}$ を満たす非負整数 $r$ が存在するとき，どのような整数 $1\leq x \leq n$ をとってきても $p$ 進数での $x+(n-x)$ の筆算において繰り上がりは高々 $r\leq \lfloor \log\_{p}{n} \rfloor$ 回しか生じないので，約分をおこなうことで分母には素因数 $p$ が現れない．以上より，題意を満たす必要十分条件は $n+1$ が素数べきではないことである．

　$3$ 以上 $1001$ 以下の整数は $999$ 個あり，素数表より $1001$ 未満の素数は $168$ 個存在する．この範囲において，
 - $2$ の素数べき：$2^2$ から $2^9$ までの $8$ 個
 - $3$ の素数べき：$3^1$ から $3^6$ までの $6$ 個
 - $5$ の素数べき：$5^1$ から $5^4$ までの $4$ 個
 - $7$ の素数べき：$7^1$ から $7^3$ までの $3$ 個
 - $11,13,17,19,23,29,31$ の素数べき：指数として考えられるものは $1,2$ であり合計 $14$ 個
 - $37$ 以降の素数の素数べき：指数として考えられるものは $1$ のみであり合計 $157$ 個

であるから，題意を満たす整数は $999-(8+6+4+3+14+157)=\textbf{807}$ 個存在する．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9396
　$2$ 以上 $1000$ 以下の整数 $n$ であって，
$$
\dfrac{\mathrm{lcm}\\{1,2,\ldots,n\\}} {\mathrm{lcm}\\{ {}\_{n+1}\mathrm{C}\_{1},\\, {}\_{n+1}\mathrm{C}\_{2},\\, \ldots ,\\,{}\_{n+1}\mathrm{C}\_{n} \\}}
$$
が整数であるものはいくつありますか？　ただし，$\mathrm{lcm}\\{x_1, x_2, \ldots, x_n\\}$ で，$n$ 個の整数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ の最小公倍数を表すものとします．