　$p = 2^8+1$ とする．$2^{16}\equiv 1 \pmod{p}$ であり，$2^0,2^1,\ldots,2^{15}$ を $p$ で割った余りは相異なることに注意すると，$0$ 以上 $15$ 以下の整数からなる数列 $\\{b_n\\}\_{n=0,1,\ldots}$ であって，任意の $n\geq 0$ について $b_n\equiv a_n \pmod{16}$ であり，かつ（$k$ によらないある関数 $f$ が存在して）$b_{n+1}=f(b_n)$ が成り立つものが存在する．問題で与えられた漸化式より，
$$ f(x) = \bigl( (2^x + 216) \\% p \bigr) \\% 16 $$
と表せることに注意すると，$f$ の値は次のように計算できる：
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6-8 & 9 & 10 & 11 & 12-15  \\\\ \hline
f(x) & 9 & 10 & 12 & 0 & 8 & 8 & 7 & 6 & 4 & 0 & 8 
\end{array}$$
これをふまえると，$\\{b_n\\}$ は十分先でかならず $7$ で一定になり，$\\{a_n\\}$ は十分先でかならず $87$ で一定になることがわかる．したがって各 $k$ について，$a_{m_k} = 87$ をみたす最小の $m_k$ を求めればよい．\
　まずは各 $k$ について，$b_{n_k} = 7$ すなわち $f^{n_k}(k) = 7$ をみたす最小の正整数 $n_k$ を計算する．これは以下で与えられる：
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6-8 & 9 & 10 & 11 & 12-15  \\\\ \hline
n_k & 3 & 4 & 3 & 4 & 2 & 2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 2 
\end{array}$$
　ここで，$a_{m_k} = 87$ となるのは $a_{m_k-1} \equiv 7 \pmod{16}$ すなわち $f^{m_k-1}(k) = 7$ となったときであるので，$k \equiv 7 \pmod{16}$ のときを除いて $m_k = n_k + 1$ が成立する．すなわち，$m_k$ は以下で与えられる：
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
k \bmod 16 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12-15  \\\\ \hline
m_k & 4 & 5 & 4 & 5 & 3 & 3 & 2 & \mathbf{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 3 
\end{array}$$
　以上より，求める総和は以下のように計算できる：
$$ 1 \cdot (2^{4}) + 2 \cdot (2 \cdot 2^{4}) + 3 \cdot (7 \cdot 2^{4}) + 4 \cdot (3 \cdot 2^{4} + 1) + 5 \cdot (3 \cdot 2^{4}) = \mathbf{852}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/editorial/9426
　$0$ 以上 $256$ 以下の整数 $k$ に対して，$0$ 以上 $256$ 以下の整数からなる数列 $\\{a_n\\}_{n=0,1,\ldots}$ が以下の条件をみたしました：
  
- $a_0=k$  であり，かつ任意の非負整数 $n$ について
$$a_{n+1}\equiv 2^{a_n}+216 \pmod{257}.$$

このとき，$a_m=a_{m+t}$ をみたす**正整数** $m,t$ が存在するので，それぞれの $k$ に対して $m$ としてありうる最小のものを $m_k$ とおきます．
$$m_0+m_1+m_2+\cdots+m_{256}$$
を求めてください．