　$AD$ の中点を $M$ とすれば $AB:AM=5:3=DM:CD$ であり, $\angle BAD=\angle ADC$ と合わせて三角形 $ABM$ と $DMC$ は相似である. さらにこのとき, $BM:CM=5:3$ であり,
$$\angle BMC=180^\circ-\angle AMB-\angle CMD=180^\circ-\angle AMB-\angle ABM=\angle BAM$$
より三角形 $MBC$ も同じく相似である.\
　したがって, $AB:BM=BM:BC$ から $BM=10\sqrt{13}$ であり, 余弦定理より $\cos A=-3\/5$ と計算できる. よって三角形 $ABM$ の面積は $150$ であり, 相似より全体の面積は $150+312+54=\textbf{516}$ と計算できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc026/editorial/157
　凸四角形 $ABCD$ が以下の条件をみたすとき, その面積を求めてください.
$$AB=25,\ BC=52,\ CD=9,\ DA=30,\ \angle{BAD}=\angle{ADC}$$
　ただし, $XY$ で線分 $XY$ の長さを表すものとします.