　$3\times 3$ のマス目の各マスに $0$ と $1$ を書き込んだとき, 各行および各列にならぶ数字の和がどれも偶数となるような書き込み方を考えると, これは $2^4$ 通りある. このうち, $1$ が登場する回数が $0$ 回のものが $1$ 通り, $4$ 回のものが $9$ 通り, $6$ 回のものが $6$ 通りである. $0$ の場所を $1$ 以上 $18$ 以下の偶数, $1$ の場所を $1$ 以上 $18$ 以下の奇数に置き換えることを考えれば, 解答すべき値について
$$\dfrac{M}{9!}=\dfrac{{}\_9\mathrm{P}\_9+9\cdot{}\_9\mathrm{P}\_4\cdot{}\_9\mathrm{P}\_5+6\cdot{}\_9\mathrm{P}\_6\cdot{}\_9\mathrm{P}_3}{9!}=1+9\cdot{}\_9\mathrm{C}\_4+6\cdot{}\_9\mathrm{C}\_3=\textbf{1639}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/228
　$3\times 3$ のマス目の各マスに $1$ 以上 $18$ 以下の整数を**重複なく**書き込みます. このとき, 各行および各列にならぶ整数の和がどれも偶数となるような書き込み方は $M$ 通りあります. $\displaystyle \frac{M}{9!}$ を求めてください.\
　ただし, 回転や反転によって一致するものも区別して数えるものとします.