　四角形 $BCED$ が内接円を持つことは，$BC + DE = BD + CE$ と同値である．従って，三角形 $ADE$ の周長は
$$(AB - BD) + (AC - CE) + DE = AB + AC - (BD + CE - DE) = AB + AC - BC = 30$$
である．また，三角形 $ABC$ の周長は $AB + BC + CA = 44$ である．三角形 $ABC$ と三角形 $AED$ は相似であるから，この相似の相似比は $22 : 15$ である．従って
$$BD = AB - AD = 19 - 18\times\frac{15}{22} = \frac{74}{11}$$
を得る．特に解答すべきは $\bf{85}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc138/editorial/4295
　$AB=19,BC=7,CA=18$ なる三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$，辺 $AC$ 上に点 $E$ があります．四角形 $BCED$ が外接円と内接円をともにもつとき， $BD$ の長さは互いに素な $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．