　$x_1,x_2,\ldots,x_6 \neq 0$ より条件式は次の式 $A$ と同値である．
$$\frac{x_1}{x_2}=\Big( \dfrac{x_2}{x_3} \Big)^2, ~~\frac{x_2}{x_3}=\Big( \dfrac{x_3}{x_4} \Big)^2, ~~\frac{x_3}{x_4}=\Big( \dfrac{x_4}{x_5} \Big)^2, ~~\frac{x_4}{x_5}=\Big( \dfrac{x_5}{x_6} \Big)^2, ~~\frac{x_5}{x_6}=\Big( \dfrac{x_6}{x_1} \Big)^2$$
したがって次の式が成り立つ．
$$\dfrac{x_1}{x_2}=\Big( \dfrac{x_2}{x_3} \Big)^2=\Big( \dfrac{x_3}{x_4} \Big)^4=\Big( \dfrac{x_4}{x_5} \Big)^8=\Big( \dfrac{x_5}{x_6} \Big)^{16}=\Big( \dfrac{x_6}{x_1} \Big)^{32}$$
この値を $\alpha$ とおけば，
$$ \alpha^{63} = \alpha^{32+16+8+4+2+1} = \Big( \dfrac{x_1}{x_2} \Big)^{32}\Big( \dfrac{x_2}{x_3} \Big)^{32}\Big( \dfrac{x_3}{x_4} \Big)^{32}\Big( \dfrac{x_4}{x_5} \Big)^{32}\Big( \dfrac{x_5}{x_6} \Big)^{32}\Big( \dfrac{x_6}{x_1} \Big)^{32}=1 $$
となるから，$\alpha$ は $1$ の $63$ 乗根である．また，式 $A$ より$(x_1,x_2,\ldots,x_6)$ としてありうるものは
$$(1,\alpha^{62},\alpha^{30},\alpha^{14},\alpha^6,\alpha^2)$$
のみであることが分かり，逆にこの形のものは与式を満たす．$\alpha$ としてありうる値は $63$ 個あるため，求める答えは $\mathbf{63}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc207/editorial/7037
　$x_1=1$ かつ，いずれも $0$ でない複素数の組 $(x_1,x_2,\ldots,x_6)$ であって，
$$x_1x_3^2=x_2^3,　x_2x_4^2=x_3^3,　x_3x_5^2=x_4^3,　x_4x_6^2=x_5^3,　x_5x_1^2=x_6^3$$
をすべてみたすものはいくつありますか？