　まず，赤色の玉 $10$ 個を横一列に並べる．ここに青色と黄色の玉を入れることを考える．すると，赤色の玉同士の間には青色または黄色の玉をすくなくとも一つは入れないといけないとわかる．ここで，青色の玉と黄色の玉の個数の合計が $10$ 個であることを考えると， 
- 青色の玉 $1$ 個のみを端に並べて，残りの青色または黄色の玉は全て赤色の玉の間に入れる $\cdots (1)$
- 黄色の玉 $1$ 個のみを端に並べて，残りの青色または黄色の玉は全て赤色の玉の間に入れる $\cdots (2)$
- 青色または黄色の玉を全て赤色の玉の間に入れる $\cdots (3)$        

の $3$ つのパターンが考えられる．\
　$(1)$ の場合については， 赤色の玉同士の間に青色の玉 $4$ 個と黄色の玉 $5$ 個を並べる方法が ${}\_{9}\mathrm{C}\_{4} = 126$ 通り，青色の玉 $1$ 個を左右どちらの端に並べるかが $2$ 通りあるので，全体で $252$ 通りあるとわかる．\
　$(2)$ の場合も同様にして $252$ 通りあるとわかる．\
　$(3)$ の場合については， どの赤色の玉同士の間に青色の玉と黄色の玉を $1$ つずつ入れるかが $9$ 通り，青色の玉 $1$ つと黄色の玉 
 $1$ つをどの順番で並べるかが $2$ 通り，残りの青色の玉 $4$ つと黄色の玉 $4$ つをどのように並べるかが 
${}\_{8}\mathrm{C}\_{4} = 70$ 通りあるので，全体で $1260$ 通りあるとわかる．\
　以上より，求めるべき答えは $252 + 252 + 1260 = \mathbf{1764}$ 通りとわかる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/editorial/7309
　赤色の玉 $10$ 個と青色の玉 $5$ 個と黄色の玉 $5$ 個を横一列に並べる方法のうち，どの隣り合う $2$ 個の玉も色が異なるように並べる方法は何通りありますか．ただし，同じ色の玉同士は区別しないものとします．