　直線 $BC$ と直線 $DE, DF$ との交点をそれぞれ $Q, R$ とする．このとき，$\angle ADE = \angle ABF \lt \angle ABC$ より $Q$ は辺 $BC$ の $B$ 側の延長線上にあり，$P$ は $C$ を含まない弧 $AB$ 上にある．したがって，
$$\angle AFD = \angle PAD = \angle PCB \lt \angle ACB$$
より，$R$ は辺$BC$ の $C$ 側の延長線上にあるので，
$\angle APB=\angle FCR$ である．また，接弦定理より 
$$\angle BAP=\angle AFD=\angle CFR$$
であることから三角形 $ABP$ と三角形 $FRC$ は相似である．よって $\angle DBP = \angle FRB$ を得る．また，miquel点の性質から $P$ は三角形 $BDQ$ の外接円上にあるので，
$$\angle FBR = \angle DQR = \angle DPB$$
である．したがって，三角形 $BDP$ と三角形 $RFB$ も相似であるから，
$$BR:CR=BP : BP\times\frac{BD}{BP}\times\frac{BP}{AB} = AB : BD = 21 : 11$$
を得る．よって，メネラウスの定理より
$$\dfrac{AF}{FC}=\frac{AD}{DB}\times\frac{BR}{RC}=\frac{10}{11}\times\frac{10+11}{11}=\frac{210}{121}$$
である．以上より，
$$CF = \frac{CF}{AF+CF}AC = \frac{121\times 21}{331} = \frac{2541}{331}$$ 
を得る．特に解答すべきは $\bf{2872}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/4054
　接弦定理と円周角の定理から
$$\angle{AFD} = \angle{PAB} = \angle{PED} = \angle{PCB}$$

$$\angle{DPE} = \angle{DAF} = \angle{BPC}$$

なので，三角形 $ADF$ と三角形 $PDE$ と三角形 $PBC$ はそれぞれ相似なことがわかる．ここで，$DE \parallel BF$ より $AE = 10x , EF = 11x$ とおける．よって

$$PB : PC = AD : AF = 10 : 21x$$

が得られる．また，回転相似から三角形 $BPD$ と三角形 $CPE$ は相似なので

$$PB : PC = BD : CE = 11 : 21 - 10x$$

なので，あとはこれらを連立させて解くと $x = \dfrac{210}{331}$ が得られる．以上より，

$$CF = 21 - 21x = \dfrac{2541}{331}.$$

よって，求める答えは $\bf{2872}$ である．
補助線を使わずに
https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/4054/340
　一般に，$2$ 円 $O_1,O_2$ が $2$ 点 $P,Q$ で交わっており，$P$ を通る直線と円 $O_1,O_2$の交点のうち $P$ でないものをそれぞれ $A,B$ とし，$Q$ を通る直線と円 $O_1,O_2$の交点のうち $Q$ でないものをそれぞれ $C,D$ とすると，$AC\/\/BD$ となることが知られている．  
(これは，aminoの補題という愛称で一部の人たちに知られているが，これは正式名称ではない．なお，この性質は角度追跡により容易に証明が出来る．)  

　今回は，$PE$ と $BF$ の交点を考えることでaminoの補題の構図が作れることに着目しよう．  

　$PE$ と $BF$ の交点を $Q$ とする．$\angle{PQB}=\angle{PED}=\angle{PAB}$ より，$Q$ は三角形 $ABC$ の外接円上にある．  
$\angle{DEF}=\angle{EFQ},\angle{DFE}=\angle{DAP}=\angle{EQF}$ より，$\triangle{DEF}$ と $\triangle{EFQ}$ は相似．  
よって，$AE=10x,EF=11x,FC=21-21x,DE=10y,BF=21y$ とおくと，$10y:11x=11x:FQ$ より，$FQ=\dfrac{121x^2}{10y}$ となる．  
方べきの定理より，$AF\times FC=BF\times FQ$ から，$21x(21-21x)=21y\times\dfrac{121x^2}{10y}$ なので，$x=\dfrac{210}{331}$ となり，$CF=\dfrac{2541}{331}$．
aminoの補題
https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/4054/362
　 $AB=AC$ なる三角形 $ABC$ があります．辺 $AB$ 上（端点を除く）に点 $D$ が，辺 $AC$ 上（端点を除く）に点 $E, F$ があり，
$$AD=10, \quad BD=11, \quad DE\parallel BF$$
をみたしています．いま，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $ADE$ の外接円が $A$ でない点 $P$ で交わっており，三角形 $ADF$ の外接円は直線 $AP$ と接していました．このとき，線分 $CF$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．