　$a,b,c\in S$ が $a^2+b^2=c^2$ を満たすとき，$a,b$ を**縦横数**，$c$ を**斜数**と呼ぶことにする．このような組で $a\leqq b\leqq c$ であるものは
$$
(a,b,c)=(3,4,5), (6,8,10), (5,12,13)
$$
であるので，次が分かる．
- $3,4,5,6,8,12$ は縦横数である．
- $5,10,13$ は斜数である．
- $5$ は縦横数でかつ斜数である．
- $1,2,7,9,11$ は縦横数でも斜数でもない．

　条件から，関数 $f$ は縦横数を縦横数に，斜数を斜数に移す．よって $f(5)=5$ であり，$f(3)^2 + f(4)^2 = 25$ かつ $25 + f(12)^2 = f(13)^2$ なので
$$
(f(3),f(4))=(3,4), (4,3),\qquad (f(12), f(13)) = (12,13)
$$
と決まる．さらに $f(6)^2 + f(8)^2 = f(10)^2$ となるような $(f(6),f(8),f(10))$ の決め方は，$f(10)$ を斜数 $3$ つのいずれかに定め，それに対応して $f(6),f(8)$ の決め方が $2$ 通り決まる．$1,2,7,9,11$ についてはどのように移してもよいので $13^{5}$ 通りの決め方がある．以上より，求める $f$ の個数は
$$
2\times 3 \times 2  \times 13^5 = \mathbf{4455516}
$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb033/editorial/11894
　$S=\\{1,2,3,\dots ,13\\}$ とおきます．$S$ の要素に対して定義され $S$ 上に値を取る関数 $f$ であって，次の条件を満たすものの個数を解答してください．

- $a,b,c\in S$ について，$a^2+b^2=c^2$ ならば $f(a)^2+f(b)^2=f(c)^2$ である．