　任意の正の整数 $n$ に対して $f^n(x)$ は一次関数なので，
$$
f^{10}(x)=f^{401}(x)
$$
の両辺はともに一次関数である．また，両辺は関数として相異なるので，解は高々 $1$ 個である．一方で
$$
f(x)=x
$$
の解 $r$ は任意の正の整数 $n$ に対して $f^n(r)=r$ を満たすため，上記の方程式を満たす．したがって，求める解は $r=\dfrac{246}{135 - 1} = \dfrac{123}{67}$ のみであり，特に解答すべき値は $\mathbf{190}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/editorial/10401
　ここでは一次関数 $f$ を一般に $f(x) = ax + b$ とおき，もう少し詳しく考察してみましょう．ただし $b$ は実数とし，$a$ は $1$ でない正の実数とします．このとき $f$ の $n$ 回合成を表す $xy$ 平面上の直線 $y = f^n(x)$ は，合成回数を増やすたびにどのように変化するでしょうか．

---

　$f$ によって値が変わらない実数，すなわち $f(x) = x$ なる $x$ を求めると
$$x = - \frac{b}{a - 1}$$
が得られる．したがって，$xy$ 平面における直線 $y = f(x)$ は点 $\left (- \dfrac{b}{a - 1}, - \dfrac{b}{a - 1} \right )$ を通過する（以後この点を $P$ と呼ぶ）．このことが分かるよう，$f(x)$ を以下の形に変形しよう．
$$f(x) = a \left ( x + \dfrac{b}{a - 1} \right ) - \dfrac{b}{a - 1} \tag{1}$$
すると任意の正整数 $n$ に対し，$f^n (x)$ は
$$f^n(x) = a^n \left ( x + \dfrac{b}{a - 1} \right ) - \dfrac{b}{a - 1} \tag{2}$$
と表されることが帰納法により簡単に示すことができる．
<details><summary>証明<\/summary>
　式 $(1)$ より $n = 1$ のときは明らかに成り立つ．$n = k$ で式 $(2)$ が成り立つと仮定する．このとき
$$
\begin{aligned}
f^{k + 1}(x) = f(f^k(x)) &= f \left (a^k \left ( x + \frac{b}{a - 1} \right ) - \frac{b}{a - 1} \right ) \\\\
&= a \left (a^k \left ( x + \frac{b}{a - 1} \right ) - \frac{b}{a - 1} + \frac{b}{a - 1} \right ) - \frac{b}{a - 1} \\\\
&= a^{k + 1} \left ( x + \frac{b}{a - 1} \right ) - \frac{b}{a - 1}
\end{aligned}
$$
が得られるので，$n = k + 1$ のときも式 $(2)$ が成り立つ．
<\/details>

　要するに $f$ の合成回数 $n$ を $1$ から順に増やしていくと，直線 $y = f^n(x)$ は点 $P$ を中心として回転するように傾きが $a \rightarrow a^2 \rightarrow a^3 \rightarrow \cdots$ と変化する．特に $n_1 \neq n_2$ なる $2$ つの正整数 $n_1, n_2$ に対し，$2$ 直線 $y = f^{n_1}(x), y = f^{n_2}(x)$ のそれぞれの傾き $a^{n_1}, a^{n_2}$ は異なっているため，これらは平行でなく共有点は点 $P$ ただ一つである（ちなみに公式解説で $f^{10}(x), f^{401}(x)$ が関数として相異なると述べているが，この議論の通りそもそも傾きが等しくない）．このことから，方程式
$$f^{n_1}(x) = f^{n_2}(x)$$
の解が $x = - \dfrac{b}{a - 1}$ のみであることもわかる．
さらに考察
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/editorial/10401/673
　$f(x)=135x-246$ とします．正整数 $n$ に対して，$f^n(x)$ で $\underbrace{f\big(f\big(\cdots f}_{n個}(x)\cdots\big)\big)$ を表すものとします．
$$
f^{10}(x)=f^{401}(x)
$$
を満たす実数 $x$ としてありうる値の総和を求めてください．ただし，求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて， $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるため， $a+b$ を解答してください．