$$\frac{T(n)}{S(n)}=n!\times \frac{2}{n(n+1)}=\frac{2(n-1)!}{n+1}$$
が整数となることが条件である．$n=1,3$ は適する．$n+1$ が奇素数であるとき明らかに不適である．\
　$n+1$ が $6$ 以上の合成数であるとき適することを示す．ある奇素数 $p$ によって $n+1=p^2$ と表せるとき，
$$\frac{n-1}{p}=p-\frac{2}{p}\geq 2$$
より $(n-1)!$ は $p$ で $2$ 回以上割り切れる．それ以外のとき，$n+1$ は $n-1$ 以下の相異なる正整数 $2$ つの積として表せるから，$(n-1)!$ を割り切る．\
　以上より，$n+1$ が奇素数でない $n$ を数えればよく，これは $\textbf{36}$ 個である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc123/editorial/3201
　 $50$ 以下の正整数 $n$ について，$1$ 以上 $n$ 以下の整数の総和を $S(n)$，総積を $T(n)$ とするとき，$T(n)$ が $S(n)$ で割り切れるような $n$ はいくつありますか？