　$x$ の二次方程式 $x^2-ax+b=0,x^2-bx+a=0$ の判別式をそれぞれ $D_1,D_2$ とする. すなわち
$$ D_1=a^2-4b,\ \ D_2=b^2-4a $$
条件より, このうち少なくとも一方は非負である. ここで一方が正で一方が負のとき, すなわち以下のいずれかが成り立つとき, 条件は常に成立する.

- $a^2\gt 4b$ かつ $b^2\lt 4a$
- $a^2\lt 4b$ かつ $b^2\gt 4a$

　したがって,  以下 $D_1,D_2$ がともに非負である場合について考えればよい. このとき, 与えられた四次方程式はある実数 $\alpha\neq\beta$ によって以下の形式に表せる.
$$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2=0\ \text{または}\ (x-\alpha)^3(x-\beta)=0$$
　$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2=0$ のとき, 以下のいずれかの形式である.

- $x^2-ax+b=(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-bx+a$
- $x^2-ax+b=(x-\alpha)^2$ かつ $x^2-bx+a=(x-\beta)^2$

　前者のとき $a=b$ で, $D_1\gt 0$ と併せて $a \gt 4$ または $a\lt 0$ である.\
　後者のとき $D_1=D_2=0$ より $a=b=0,4$ であるが, このとき $\alpha=\beta$ で不適である.

　$(x-\alpha)^3(x-\beta)=0$ のとき, 以下のいずれかの形式である.

- $x^2-ax+b=(x-\alpha)^2$ かつ $x^2-bx+a=(x-\alpha)(x-\beta)$
- $x^2-ax+b=(x-\alpha)(x-\beta)$ かつ $x^2-bx+a=(x-\alpha)^2$

　前者のとき,  係数を比較して適当に解けば
$$(a,b,\alpha,\beta)=(0,0,0,0),(4,4,2,2),(-2,1,-1,2)$$
を得て, $(a,b)=(-2,1)$ のみが適する. 同様に後者についても $(a,b)=(1,-2)$ を得る.

　以上より, 条件を満たす点 $(a,b)$ の範囲を $ab$ 平面上に図示すると以下の図のようになる.\
　特にこの内部の $-6\leq a,b\leq 6$ なる格子点の数を数えることで, 求める場合の数は $\textbf{82}$ であるとわかる.

![figure 1](\/images\/dbwcK6vtCsrJ5khel97vXCZ0Lj5p2LeqhQsByjRI)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/editorial/268
　$x$ の四次方程式
$$(x^2 - ax + b)(x^2 - bx + a) = 0$$
が相異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような, $-6$ 以上 $6$ 以下の**整数**の組 $(a,b)$ はいくつありますか？