　赤, 青のカードをそれぞれ $1$, $-1$ に対応させることで, $A-B$ が以下の値に等しいことがわかる.

- それぞれ $2n$ 個の $1$ と $-1$ の中から $2n$ 個を選ぶ方法すべてについて, その総積の総和.

これは $(x+1)^{2n} (x-1)^{2n}$ の $x^{2n}$ の係数に等しいから, 結局 $|A-B|= {}\_{2n} \mathrm{C}\_{n}$ である.$\\\\$
　このとき, $f(n)$ は $n$ の $2$ 進法での各位の和となるから (**[OMC039(D)の解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc039\/editorial\/262)** を参照せよ), 求める値は
$$\sum _{n=1}^{500} f(n)=\sum _{n=1}^{2^{9}-1} f(n)-82=256 \times 9-82=\mathbf{2222}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc104/editorial/2562
　$n$ を正整数とします．計 $4n$ 枚の**互いに区別できる**カードがあり，このうち $2n$ 枚が赤色に，残りの $2n$ 枚が青色に塗られています．この中から $2n$ 枚を選ぶ方法のうち，赤・青それぞれの色がともに偶数枚であるものの総数を $A$ とし，ともに奇数枚であるものの総数を $B$ とします．さらに $A$ と $B$ の差（の絶対値）が $2$ で割り切れる最大の回数を $f(n)$ で表します．このとき，以下の総和を求めてください．
$$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(500)$$
　ただし，任意の $n$ で $A\neq B$，すなわち $f(n)$ が定義できることが保証されます．