　対称性より $a\geq b$ としてよい．$a+b+c=120$ を用いて与式を変形して，次を得る．
$$\dfrac{1}{2}ab=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)}{2}\cdot\dfrac{(-a+b+c)}{2}\cdot\dfrac{(a-b+c)}{2}\cdot\dfrac{(a+b-c)}{2}}$$
これは$3$辺が $a,b,c$ である三角形が存在して，その面積が $\dfrac{1}{2}ab$ に等しいことを表している．したがってこの三角形は長さ $c$ の辺を斜辺とする直角三角形である．結局，次の式を満たす組 $(a,b,c)$ を求めることに帰着される．
$$\begin{cases}
a+b+c=120\\\\
a^2+b^2=c^2
\end{cases}$$
 $c$ を消去して変形すると次を得る．ここで，$120-a=A,120-b=B$ と置いている．
$$AB=7200$$
 $A\leq B \lt120$ より $60\lt A\lt 84\lt B\lt 120$ であることに注意すると，考えられる $(A,B)$ の組は $(72,100),(75,96),(80,90)$ である．$c=120-a-b=A+B-120$ より，$c$ としてありうる値は $52,51,50$ である．
特に解答すべきは $\bf153$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/editorial/8442
　$a+b-60=A, ab=B$ とすると，$a+b+c=120$ より，$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(2a+2b-120)(120-2a)(120-2b)=8A(B-60A)$ であるから，与式は $B^2-240AB+14400A^2=0$ と書き換えられる．よって $B=120A$ すなわち $ab=120a+120b-7200$ で，$(120-a)(120-b)=7200$ である．以下本解と同様である．

　なお，いきなり $a+b-60=A$ とする置換が思いつかなくとも，基本対称式 $a+b=A, ab=B$ を用いて与式を表してから $A’=A-60$ とすれば自然な発想である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb007/editorial/8442/477
　$a+b+c=120$ なる正の整数 $a, b, c$ が
$$
a^2b^2 = 30(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
$$
をみたしているとき，$c$ の値としてあり得るものの総和を求めてください．