公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8474
$O(0,0),P(15,0),Q(15,15),R(0,15),S(12,0),T(0,5)$ とする．$ST$ と $QR$ の交点を $U$ とし，$Q$ から $SU$ に下ろした垂線の足を $H$ とする．  
$\triangle{OST},\triangle{RUT},\triangle{HUQ}$ は三辺比が $5:12:13$ の直角三角形なので，$U(-24,15)$ となり，$UQ=39$ から $UH=36$ となる．  
よって，$TH=TR=10,SH=SP=3$ に注意して，$\triangle{QRT}\equiv\triangle{QHT},\triangle{QPS}\equiv\triangle{QHS}$ となり，$\angle{SQT}=45^\circ$ となる．
よって，$\triangle{ABC}$ は $\triangle{QUS}$ を $\dfrac{1}{13}$ 倍に相似拡大したものと合同で，$\triangle{ABC}=\dfrac{\triangle{QUS}}{169}=\dfrac{1}{2}\cdot39\cdot15\cdot\dfrac{1}{169}=\dfrac{45}{26}$ であり，特に解答すべき数値は $\textbf{30420}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8474/217
作問：小出

　以下の $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまる数は，最大公約数が $1$ である整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答して下さい．ただし，$n$ は $1$ 以上とします．
***
　下図において，三角形 $ABC$ の面積は $\boxed{\phantom{nada}} ~ \textrm{cm}^2$ です．ただし，三辺の長さの比が $3:4:5$，$5:12:13$，$7:24:25$，$8:15:17$ の三角形がそれぞれ直角三角形であることを用いても構いません．
 
![figure 1](\/images\/lfZ881eMmDQHMIBaRSzXqSYWBsUg7pHs7lzY9YIh)