　$6\times10^8$ 子を除く全員が先に撫でる人を予め決めておくとすれば, $x$ 子の操作は以下のように読み替えられる.

- 予め決めた人を $x^2$ 回撫でる. ただし全ての人は, 自分が撫でられた直後にも予め決めた人を撫でる.

　$n\leq 3\times10^8+7$ について $n$ 子の操作を考えると, $3\times10^8+8$ 子が撫でられることは

- $3\times10^8+8\text{子},3\times10^8+9\text{子},\cdots,6\times10^8$ 子の中で最初に $3\times10^8+8$ 子が撫でられること

と同値であるから, $3\times10^8+8$ 子が撫でられる確率は $1\/(3\times10^8-7)$ である.

　この事実が直感的に信じ難ければ, 次のような施策を取ってもよいだろう：

- sima姉妹が $y$ 人からなるとして, $x$ 子が撫でられる確率, すなわち $x\text{子},\cdots,y$ 子の中で最初に $x$ 子が撫でられる確率を $p_{x,y}$ とおく. このとき, $1$ 子が撫でる先を考えることで以下が成立する：
$$p_{x,y}=\frac{1}{y-1}(p_{x-1,y-1}+p_{x-2,y-2}+\cdots+p_{2,y-x+2}+1)$$
これより帰納的に $p_{x,y}=\dfrac{1}{y-x+1}$ が成立する.

　結局, 求める期待値は以下のように計算できるから, 解答すべき値は $\textbf{17150000133}$ である.
$$\sum_{k=1}^{3\times10^8+7}\frac{k^2}{3\times10^8-7}=\frac{9000000675000016850000140}{299999993}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/14
　sima姉妹は $6\times10^8$人の女子からなり, 生まれが早い方から $1\text{子},2\text{子},\cdots,6\times10^8$ 子と名付けられています. ここで各人の生年月日は異なるものとします. 各 $x=1,2\cdots,6\times10^8-1$ の順に, $x$ 子が以下の操作を行います.

- 自分の妹 $(6\times10^8-x)$ 人から等確率に一人を選び, $(\text{今まで自分が撫でられた回数}+x^2)回$ 撫でる.

このとき $3\times10^8+8$ 子が撫でられる回数の期待値を求めてください.\
　ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を $10^{12}$ で割った余りを解答してください.