　$10^i$ の位 $(i=0,\cdots,19)$ が $t$ であるような $10^{20}-1$ 以下の正整数の総和を $S(t,i)$ とおくと,
$$\begin{aligned}
 S(t,i) &= (0+1+\cdots+9)(1+10+\cdots+10^{i-1}+10^{i+1}+\cdots+10^{19})\times 10^{18}+10^{i}t\times 10^{19} \\\\ 
 &= 45\left(\frac{1}{9}(10^{20}-1)-10^i\right)\times 10^{18}+10^{i+19}t \\\\
 &= 5(10^{20}-1)10^{18}+(10t-45)10^{i+18}
\end{aligned}$$
よって以下のように計算でき, その桁和は $\textbf{129}$ である.
$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{10^{20}-1}nf(n)&=
\sum_{t=0}^{9} \sum_{i=0}^{19} t\times S(t,i) \\\\
&= \sum_{t=0}^{9}\left(5t\times 20(10^{20}-1)10^{18}+\frac{1}{9}t(10t-45)(10^{20}-1)10^{18}\right) \\\\
&=\frac{25}{3}\times 551(10^{20}-1)10^{18} \\\\
&=4591\overbrace{66\cdots66}^{16\text{個}}2075\times 10^{18}
\end{aligned}$$

　ちなみに, 一般に正整数 $a$ に対し同様に以下が成立する.
$$\sum_{n=1}^{10^{a}-1}nf(n)=\frac{25}{3}(27a+11)(10^a-1)10^{a-2}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/editorial/218
　正の整数 $n$ について, その十進法での各位の和を $f(n)$ で表すとき, 以下を求めてください. 
$$\displaystyle f\Biggl(\sum^{10^{20}-1}_{n=1} nf(n)\Biggr)$$