　ある正整数が $3$ で割り切れることはその正整数の（十進表記での）各桁の和が $3$ の倍数であることと同値であるから，条件をみたす数において桁に用いられなかった $2$ つの数字を $a\lt b$ とすれば，条件は $a+b$ が $3$ で割り切れることと同値である．そのような組 $(a,b)$ は $15$ 通りと数えられ，特に $a=0$ のものが $3$ 通りである．$a=0$ のとき対応する数は $8!$ 通りあり，$a\neq 0$ のとき対応する数は $7\times 7!$ 通りあるから，求める値は $\textbf{544320}$ であるとわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/3022
　十進法表記において $8$ 桁の正の整数であって，各桁の数がすべて異なり，$3$ で割り切れるものはいくつありますか？\
　ただし，最高位は $0$ ではないものとします．