　$A, B, C, D$ は
$$A + B + C + D = 1110 \tag{1}$$
$$10(AD + BC) = 11CD \tag{2}$$
を満たしている．式 $(2)$ において左辺が $10$ の倍数であり，かつ $C, D$ がどちらも $10$ で割り切れないことから，$C, D$ のうち一方は $5$ で割り切れない $2$ の倍数であり，もう一方は $2$ で割り切れない $5$ の倍数であることが分かる．\
　まずは $C$ が $5$ で割り切れない $2$ の倍数であると仮定しよう．すると $C = 2X, D = 5Y$ なる正整数 $X, Y$ であって
- $A$ と $X$ は互いに素である．
- $B$ と $Y$ は互いに素である．
- $X$ は $5$ で割り切れない．
- $Y$ は $2$ で割り切れない．

をすべて満たすものがとれる．すると式 $(2)$ から
$$5AY + 2BX = 11XY \tag{3}$$
が得られ，この式から
$$X \mid 5AY，Y \mid 2BX$$
が従う．これらは先ほどの条件からそれぞれ
$$X \mid Y，Y \mid X$$
と同値であることが分かり，$X = Y$ が従う（よって $X$ は $2$ で割り切れない）．すると，式 $(1), (3)$ から
$$A + B + 7X = 1110，5A + 2B = 11X$$
が得られ，これらを連立させ $B$ を消去すると
$$25X - 3A = 2220$$
が得られる．この不定方程式の解は整数 $k$ によって $A = 25k - 15$，$X = 3k + 87$ と表すことができ，さらに $B = 516 - 46k$ と表せる．$A, B, X \gt 0$ より $1 \leq k \leq 11$ が分かり，さらに $X$ が $2, 5$ のいずれでも割り切れないことから $k = 2, 4, 8, 10$ に絞られる．それぞれの $k$ に対する $(A, B, X)$ は
$$(35, 424, 93)，(85, 332, 99)，(185, 148, 111)，(235, 56, 117)$$
である．このうち $(185, 148, 111)$ のみ $B$ と $X$ が互いに素とならないため不適であるが，残り $3$ 組については適する $(A, B, C, D)$ を得ることができ，$C$ のとり得る値として $2 \times 93, 2 \times 99, 2 \times 117$ の $3$ つが得られる．\
　 $C$ が $2$ で割り切れない $5$ の倍数であると仮定した場合は $A$ と $B$， $C$ と $D$ をそれぞれ入れ替えて先ほどと同様に議論することができるので，$C$ のとり得る値として $5 \times 93, 5 \times 99, 5 \times 117$ の $3$ つが得られる．\
　以上より，求める総和は $(2 + 5)(93 + 99 + 117) = \mathbf{2163}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc202/editorial/7901
　正整数 $A, B, C, D$ が $2$ つの等式
$$ A + B + C + D = 1110, \quad \frac{A}{C} + \frac{B}{D} = \frac{11}{10}$$
をともにみたし，さらに以下の条件をすべてみたしました：
- $A$ と $C$ は互いに素である．
- $B$ と $D$ は互いに素である．
- $C$ は $10$ で割り切れない．
- $D$ は $10$ で割り切れない．

このとき，$C$ のとりうる値の総和を解答してください．