　まず，$7$ の倍数は $7$ のみであることから，$a_{10}=7$ が必要である．また，以下では各平方数を構成する $3$ つの整数を**グループ**と呼ぶ．$3,5$ の倍数に着目すると，$3$ と $6$，$5$ と $10$ はそれぞれ同じグループに属することが分かる．さらに，これらのグループのもう $1$ つの要素として適するものはいずれも $2,8$ であり，逆にこのとき十分性を満たす．\
　以上より，$2,8$ の属するグループ，グループとその要素の順番を考えることで，求める答えは
$$2×3!×(3!)^3=\mathbf{2592}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb009/editorial/7634
　$1,2,3,\ldots,10$ の並べ替え $a_1,a_2,a_3 ,\ldots,a_{10}$ であって，以下を満たすものはいくつですか？

- $\sqrt{a_1a_2a_3},\sqrt{a_4a_5a_6},\sqrt{a_7a_8a_9}$ はいずれも整数である．