　$h(x) = f(x) - g(x)$ とすると，$f(x)$ と $g(x)$ の $x^3$ の係数がともに $1$ であることから，$h(x)$ は $2$ 次多項式となる．また，問題文の上 $2$ 式より，$x=-2,-6$ は方程式 $h(x)+x^2$ の $2$ 解であるので，ある実数 $a$ が存在して次が成立する．
$$h(x)+x^2=a(x+2)(x+6)$$
この式に $x=2$ を代入して $h(2)=4$ を用いると，$8=32a$ より $a=\dfrac{1}{4}$ を得る．以上より，
$$f(x)-g(x)=\frac{1}{4}(x+2)(x+6)-x^2$$
なので，$g(6)=f(6)-\dfrac{1}{4}\cdot 8\cdot 12+6^2=\mathbf{108}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/editorial/11373
　ともに $x^3$ の係数が $1$ である実数係数 $3$ 次多項式 $f(x),g(x)$ が以下を満たしています．

$$
\left\lbrace
\begin{aligned}
&f(-6) = g(-6) - 36 \\\\
&f(-2) = g(-2) - 4 \\\\
&f(2) = g (2) + 4 \\\\
&f(6) = 96
\end{aligned}
\right.
$$

　このとき，$g(6)$ としてあり得る値の総和を解答してください．