　$P, Q, R, S$ の順で値を定めることを考えよう．\
　まず $P$ の選び方は $1110$ 通りある．それぞれの $P$ に対する $Q$ の値の候補は
$$P - 1000，P - 100，P - 10，P + 110，P + 1010，P + 1100$$
の $6$ つであるが，そのうち $1$ 以上 $1110$ 以下の範囲に含まれるものは（$P$ の選び方によらず）ちょうど $3$ つである．

<details><summary>理由<\/summary>
$$\begin{aligned}
Q_1 &= P - 1000, &Q_2 &= P - 100, &Q_3 &= P - 10 \\\\
Q_4 &= P + 110, &Q_5 &= P + 1010, &Q_6 &= P + 1100
\end{aligned}$$
とおく．いま，
$$ 1000 + 110 = 100 + 1010 = 10 + 1100 = 1110 $$
であることに注意すると，
$$\begin{aligned}
Q &= Q_4, Q_5, Q_6 &&(1 \leq P \leq 10) \\\\
Q &= Q_3, Q_4, Q_5 &&(11 \leq P \leq 100) \\\\
Q &= Q_2, Q_3, Q_4 &&(101 \leq P \leq 1000) \\\\
Q &= Q_1, Q_2, Q_3 &&(1001 \leq P \leq 1110) 
\end{aligned}$$
しかありえないため，$Q$ としてありうる値はちょうど $3$ つとなる．
<\/details>

　よって $Q$ の選び方は $3$ 通り存在する．残りの $2$ 数についても同様に選び方が $3$ 通りずつ存在することが分かるから，条件をみたす組の個数は全部で $1110 \times 3^3 = \mathbf{29970}$ 個である．

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 **別解．** $S, R, Q, P$ の順に $4$ 数を定めることでも，変分の正負が変わるのみでほとんど同様に解くことができる．どのような定め方をするにせよ，$1110$ を法として考える（$n$ から $110$ を引くことは，$\mathrm{mod} ~ 1110$ では $1000$ を足すことと等しい）ことが重要である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce003/editorial/8763
　$1$ 以上 $1110$ 以下の整数の組 $(P, Q, R, S)$ であって，以下をみたすものは全部でいくつありますか？
- $P - Q, Q - R, R - S$ はいずれも 
$$-1100, -1010, -110, 10, 100, 1000$$ 
のいずれかに等しい．