　$S = p + q + r + s + t + u + v + w$ とおく．与えられた等式を変形することで，
$$\frac{p^2 - 145}{t} = \frac{q^2 - 145}{u} = \frac{r^2 - 145}{v} = \frac{s^2 - 145}{w}$$
が得られる．$p \leq 11$ のときは $\dfrac{p^2 - 145}{t} \lt \dfrac{q^2 - 145}{u}$ となるので $p \geq 13$ が必要である．つまり与えられた $8$ つの素数はすべて $13$ 以上である．\
　一般に $2$ でも $3$ でも割り切れない整数 $n$ はすべて，$n^2$ を $24$ で割ると余りが $1$ となることが確かめられる．このことから，$13$ 以上の素数から正整数への関数 $F$ を以下のように定めることができる．
$$F(x) = \frac{x^2 - 145}{24}$$

　$F(p), F(q), F(r), F(s)$ の最大公約数を $g$ としたとき，$F(p) : F(q) : F(r) : F(s) = t : u : v : w$ より
$$F(p) = gt, \quad F(q) = gu, \quad F(r) = gv, \quad F(s) = gw$$
であることが分かる．また，$13$ 以上の素数から相異なる $5$ つを選んだとき，これらの最大値と最小値の差の絶対値は $12$ 以上であることが確かめられるので，$t \geq p + 12$ が成り立ち，したがって $F(p) \geq g(p + 12)$ が得られる．\
　$g = 1$ のとき，不等式 $F(p) \geq p + 12$ を満たす $p$ の範囲は $p \geq 37$ であり，$F(p), F(q), F(r), F(s)$ はいずれも素数となる必要がある．そこで $37$ 以上の素数 $x$ であって $F(x)$ が素数となるものを小さい順に列挙すると $43, 59, 61, 67, ...$ であり，
$$F(43) = 71,\quad F(59) = 139,\quad F(61) = 149,\quad F(67) = 181$$
が成り立つ．よって
$$(p, q, r, s, t, u, v, w) = (43, 59, 61, 67, 71, 139, 149, 181)$$

は，$g = 1$ で条件を満たす組のうち $S$ が最小となるものであり，このとき $S = 770$ である．\
　$g = 2$ のとき，不等式 $F(p) \geq 2(p + 12)$ を満たす $p$ の範囲は $p \geq 61$ であり，$F(p)$ は素数の $2$ 倍となる必要があるが，$F(x)$ が素数の $2$ 倍となるような $61$ 以上の素数 $x$ のうち最も小さいのは $x = 79$ であり，$F(79) = 2 \times 127$ が成り立つ．したがってこの場合では $p \geq 79, t \geq 127$ が必要となるので，
$$S \geq 79 + 83 + 89 + 97 + 127 + 131 + 137 + 139 \gt 770$$

である．$g \geq 3$ のときについては $F(p) \geq 3(p + 12)$ であるから $p \geq 89$ が必要となるため，
$$S \geq 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 \gt 770$$

が得られる．\
　以上より，$S$ の最小値は $\mathbf{770}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/6235
　$8$ つの素数の組 $(p, q, r, s, t, u, v, w)$ が以下の条件
$$\begin{cases}
p \lt q \lt r \lt s \lt t \lt u \lt v \lt w\\\\
p^2 u - q^2 t = 145 (u - t)\\\\
p^2 v - r^2 t = 145 (v - t)\\\\
p^2 w - s^2 t = 145 (w - t)
\end{cases}$$
をすべてみたすとき，
$$p + q + r + s + t + u + v + w$$
のとりうる最小の値を解答してください．