　以下をみたす点 $E$ を，辺 $BC$ について点 $A$ と同じ側にとると，$\triangle EAB \sim \triangle EDC$ および $\triangle EAD \sim \triangle EBC$ が成り立つ．
$$BE:CE=16:17,\quad \angle BEC=45^\circ$$
　点 $D$ が直線 $EC$ に対して点 $B$ と同じ側にあるとき，四角形 $ABCD$ の面積は
$$(\triangle EBC -\triangle EAD)+ \triangle EAB -\triangle EDC. $$
一方で，点 $D$ が直線 $EC$ に対して点 $B$ と反対側にあるとき，四角形 $ABCD$ の面積は
$$(\triangle EBC -\triangle EAD)+\triangle EDC- \triangle EAB.$$
また，点 $D$ が直線 $EC$ 上にあるとき，四角形 $ABCD$ の面積は
$$\triangle EBC -\triangle EAD.$$
　ここで，$\triangle EBC $ と $\triangle EAD$ の面積は常に一定である．また，$\triangle EAB$ と $ \triangle EDC$ では $\triangle EDC$ の方が面積が常に大きい．よって，点 $D$ が直線 $EC$ に対して点 $B$ と同じ側にある時に最小値をとり，違う側にある時に最大値を取る．\
　また，$EA,EB,EC,ED$ は一定であるため，$|\triangle EAB -\triangle EDC|$ が最大になる条件は以下で与えられる．
$$\angle AEB=\angle DEC = 90^\circ$$
点 $D$ がどちら側でもそのような図形は存在する．ここで，$ABCD$ は**いずれも凸ではない**ことに注意せよ．\
　このとき面積の差は以下で与えられ，求める値はこれの $2$ 倍である．
$$|\triangle EAB -\triangle EDC|=\frac{1}{2}(ED\times EC - EB \times EA)$$
いま $EB=16x,EC=17x$ とおけば，相似の関係より
$$S-T=\dfrac{17}{5}x\times 17x-\dfrac{16}{5}x\times 16x=\dfrac{33}{5}x^2.$$
ここで三角形 $EBC$ において余弦定理より
$$5^2=(16x)^2+(17x)^2-\sqrt{2}(16x)(17x) \implies x^2=\dfrac{25(545+272\sqrt{2})}{149057}.$$
すなわち $\displaystyle S-T=\frac{89925+44880\sqrt2}{149057} $ となるから，解答すべき値は $ \mathbf {283864}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc100/editorial/2630
　（凸とは限らない）四角形 $ABCD$ が以下の条件をみたすとき，その面積としてあり得る最大値および最小値が存在するので，それぞれ $S,T$ とします．
$$AB:CD=16:17,\quad BC=5,\quad AD=1, \quad \angle B + \angle C=135^\circ$$
　このとき，ある正整数 $a,b,c,d$ が存在して以下のように表せます．ただし，$c$ は平方因子をもたず，$a,b,d$ の最大公約数は $1$ です．$a+b+c+d$ を解答してください．
$$S-T=\displaystyle\frac{a+b\sqrt c}{d}$$