**解答1.**　$3$ 本の対角線が互いに端点以外で交点を持ち, かつ $1$ 点で交わらないことが必要十分条件である. ここで, 前者の条件のみをみたす選び方は, 正八角形の頂点から $6$ つを選ぶ方法 $28$ 通りと一対一に対応する. さらに, 正八角形内で $3$ 本以上の対角線が交わり得る点は $9$ 個あり, そのうち中心のみ $4$ 本の対角線が通るから, 前者をみたし後者をみたさないものは $12$ 通りである. 以上より, 求める場合の数は $\textbf{16}$ 通りである.

**解答2.**　$3$ 本の対角線が紙片を $7$ つに分かつとき, 中心には必ず三角形の領域が生まれる. 逆に対角線のすべて書き込まれた正八角形において, 頂点を正八角形と共有しないような小三角形それぞれから, 条件をみたす対角線 $3$ 本の選び方が復元できる. よって, そのような小三角形の数を数えればよく, これは $\textbf{16}$ 個である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc015/editorial/95
　正八角形の紙片があります. $3$ 本の対角線の選び方であって, これらに沿って紙片を切ると $7$ 枚に分かれるようなものは $M$ 通りあります.\
　$M$ を解答してください. ただし, $8$ つの頂点は区別するものとします.