　$0$ 以上 $9$ 以下の整数からなる狭義単調増加列 $C=(c_1,c_2,\dots,c_n)$ それぞれについて
$$(|a_{1}-b_{1}| , |a_{2}-b_{2}| , \cdots , |a_{n}-b_{n}|) = (c_{1},c_{2},\cdots , c_{n})$$
となるような $(A,B)$ の個数を求めればよい．明らかに $n\leq 10$ である．\
　$0$ 以上 $9$ 以下の整数 $x$ について $|a-b|=x$ を満たすような $10$ 以下の正の整数の組 $(a,b)$ の個数を $f(x)$ とすれば，各 $C$ について対応する組 $(A,B)$ の個数は
$$\prod_{k=1}^{n} f(c_{k})$$
である．ここで
$$f(x)=\begin{cases}
10 & (x=0)\\\\
2(10-x) & (1 \leq x \leq 9)
\end{cases}$$
が成り立つことに注意すれば，$C$ としてあり得るものすべてに対する上式の総和，すなわち解答すべき値は次のように求められる(展開した様子を考えよ)．
$$\begin{aligned}
&\quad\bigl(f(0)+1\bigr)\bigl(f(1)+1\bigr)\cdots \bigl(f(9)+1\bigr)-1\\\\
&=11\times 19\times 17\times\cdots\times 3-1\\\\
&={\bf 7202019824}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc153/editorial/3818
　難易度に対して解説がいかつい気がするので噛み砕いた感じに書いてみます．本質は一緒です．

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　数列の個数が指定されていないので，よくある下の問題みたいな感じで解きたいですね．

- 全ての数字が $1$ 以上 $10$ 以下である，$1$ つ以上の項からなる単調増加な数列はいくつ？

この問題では最初に数列 $\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\rbrace$ を考え，そこからそれぞれの数値について消す，消さないを選べばいいので $2^{10}-1=\boxed{1023}$ 個だと分かりますね．全部の項が消えるやつを引くのを忘れずに．(自戒)

　元の問題に戻りましょう．$a_k$ と $b_k$ の差として考えられる値が $0$ から $9$ まであって，それらが単調増加になればOK．で，差が $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ になる組はそれぞれ $10,18,16,14,12,10,8,6,4,2$ 個あるので，求める組の個数は以下のようになります．
$$(10+1)(18+1)(16+1)\cdots(4+1)(2+1)-1=\boxed{でっかい数}$$
ここで，全部に $1$ を足しているのはその項を消すパターンを含めるためで，最後に引いてるのは全部の項が消えるパターンのやつです．これ忘れずに．(自戒)


　
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc153/editorial/3818/222
　次の条件をすべてみたす整数列の組 $(A,B)$ はいくつありますか？
- $A,B$ の各要素はいずれも $1$ 以上 $10$ 以下である．
- $A,B$ の長さは等しく $n\~(\geq 1)$ である．
- $A,B$ の $k$ 番目の要素をそれぞれ $a_k,b_k$ とするとき，
$$|a_1-b_1|\lt|a_2-b_2|\lt\cdots\lt|a_n-b_n|$$
が成り立つ（$n=1$ の場合はつねに成り立つものとする）．