　$k$ 人座るとき，座っている席の番号を小さい順に $a_1,a_2,\dots,a_k$ とする．
$b_i=a_i-4(i-1)$ とすれば，
$$1\leq b_1\lt b_2\lt\cdots\lt b_k\leq 20-4(k-1)$$
なる整数の組 $(b_1,b_2,\dots,b_k)$ を考えることと等価である．そのような組 $(b_1,b_2,\dots,b_k)$ は $\binom{24-4k}{k}$ 組存在するため，求める個数は次で求められる．
$$\binom{20}{1}+\binom{16}{2}+\binom{12}{3}+\binom{8}{4}=\textbf{430}．$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc143/editorial/3193
　漸化式を用いた解法です．

　問題の椅子の個数が $n$ 個である時の座り方の総数を $a_n$ とおく．$n+1$ 個の椅子がある時，最も左の椅子に人が座っている場合の座り方の総数は $a_{n-5}$，座っていない場合の座り方の総数は $a_{n-1}$ と表せることから，$$a_n=a_{n-1}+a_{n-5},a_1=2,a_2=3,a_3=4,a_4=5,a_5=6$$ が成立し，これを用いて $a_{20}$ を求めればよく，求める値は $a_{20}-1=\bf{430}$ である．(誰も座っていない時も含まれていることに注意する．)
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc143/editorial/3193/192
　ステージに向かって $20$ 個の椅子 $1,2,\ldots, 20$ がこの順に横一列に並んでいます．いま，これらにお客さんを座らせたいのですが，ソーシャルディスタンスを保つため，隣の人とは最低でも椅子 $4$ 個分は空けておきたいです．たとえば，椅子 $2,7,15,20$ を選んで座らせることは可能ですが，椅子 $10,14$ を選んで座らせることはできません．$1$ 人以上のお客さんを座らせるとき，人が座っている椅子の集合としてありうるものはいくつありますか？