　$$\sum_{k = 0}^{1012} 2024^ {1012-k} x^{2k} = \dfrac{x^{2026} - 2024^{1013}}{x^{2} - 2024}$$ 
であるため，$ω = \cos \dfrac{2\pi}{2026} + i \sin \dfrac{2\pi}{2026}$ とおくと，方程式が持つ $2024$ 個の複素数解は 
$$ \pm \sqrt{2024} × ω^{k} \quad (1 \leq k \leq 1012) $$

と表されることが分かる．ここで，$ω^{k}$ が実数になるための必要十分条件は，$\dfrac{2k}{2026} = \dfrac{k}{1013}$ が整数になること，すなわち $k$ が $1013$ の倍数になることであり，また, $|ω^{k}| = |ω|^{k} = 1$ であることから，これは $\omega^k$ が整数になるための必要十分条件であることも分かる．また, $\sqrt{2024}$ が無理数であることから，この問題は次のように言い換えられる．

- 全部で $2024$ 枚のカードがあり，それぞれには $1$ つずつ整数が書かれている．また, $1$ から $1012$ までの全ての整数について，それが書かれたカードは $2$ 枚ずつ存在する．全てのカードを区別するとき，これらのカードの中から $1$ 枚以上かつ偶数枚選んで書かれた整数の和が $1013$ の倍数になるようにする方法は何通りあるか？

　まず，$1$ 枚以上という条件をなくして考える．カードを偶数枚選んで和が $1013$ の倍数になるようにする場合の数を $A$，奇数枚選んで和が $1013$ の倍数になるようにする場合の数を $B$ とする．このとき，$A+B$ は $$\sum_{n = 0}^{\infty} \ [x^{1013n}] \ (x + 1)^{2}(x^{2} + 1)^{2}\cdots(x^{1012} + 1)^{2}$$
と表されることが分かる．また，$A-B$ は 
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \ [x^{1013n}] \ (x - 1)^{2}(x^{2} - 1)^{2}\cdots(x^{1012} - 1)^{2}$$
と表されることも分かる ( $-1$ が選ばれる回数を考えることにより，$B$ に対応する項のみがすべて $-1$ 倍されることを確認せよ)．ただし多項式 $p$ と非負整数 $d$ について $[x^d]p(x)$ で $p(x)$ の $x^d$ の係数を表す．以下
$$ f(x) = (x + 1)^{2}(x^{2} + 1)^{2}\cdots(x^{1012} + 1)^{2} $$
$$ g(x) = (x - 1)^{2}(x^{2} - 1)^{2}\cdots(x^{1012} - 1)^{2} $$
とする．ここで，$ω^{\prime}$ を $ω^{\prime} = \cos \dfrac{2\pi}{1013} + i \ \sin \dfrac{2\pi}{1013}$ で定めたとき，整数 $k$ に対して 
$$1+{ω^{\prime}}^{k}+{ω^{\prime}}^{2k}+\cdots+{ω^{\prime}}^{1012k} = \begin{cases} 0 & (1013 \nmid k) \\\\ 1013 & (1013 \mid k) \end{cases}$$
であることから，
$$A+B = \dfrac{1}{1013} \left( f(1) + f(ω^{\prime}) + f({ω^{\prime}}^{2}) + \cdots + f({ω^{\prime}}^{1012}) \right)$$
$$A-B = \dfrac{1}{1013} \left( g(1) + g(ω^{\prime}) + g({ω^{\prime}}^{2}) + \cdots + g({ω^{\prime}}^{1012}) \right)$$

が成り立つことが分かる．いま，
$$ F(x) = (x - ω^{\prime})(x - {ω^{\prime}}^{2})\cdots(x - {ω^{\prime}}^{1012}) = x^{1012} + x^{1011} + \cdots + x + 1 $$
と定義すると，整数 $1 \le k \le 1012$ に対して $ f({ω^{\prime}}^{k}) = F(-1)^2 = 1$ および $ g({ω^{\prime}}^{k}) = F(1)^2 = 1013^2 $がわかる．これと $f(1) = 2^{2024}, g(1) = 0$ を合わせて，
$$ A+B =  \dfrac{2^{2024} + 1012}{1013}, \quad A-B = 1012 \cdot 1013 $$
がわかるので，
$$A = \dfrac{1}{2026} × (2^{2024} + 1012 + 1012 × 1013^{2})$$
が従う．カードを一枚も選ばない場合を除かなくてはいけないため，求めるべきは $A-1$ を $1009$ で割った余りであり，フェルマーの小定理を用いるなどすればこれは $\mathbf{668}$ と分かる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce004/editorial/8808
　$x$ に関する $2024$ 次方程式 
$$ \sum_{k = 0}^{1012} 2024^ {1012-k} x^{2k} = 0 $$
 は相異なる $2024$ 個の複素数解を持つので，それら全てを要素として持つ集合を $S$ とします．このとき，$S$ の**空でない**部分集合であって，要素として含まれる複素数を全て掛け合わせると整数となるようなものの個数を素数 $1009$ で割った余りを解答して下さい．