　$F_N$ が $2$ で割り切れる回数と $3$ で割り切れる回数を求めればよい．結論から述べれば，一般に
$${\rm ord}\_2(F_{6m})={\rm ord}\_2(m)+3, \quad {\rm ord}\_3(F_{4m})={\rm ord}\_3(m)+1$$
が成立する．このことを示す．まず，$\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},~\beta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ とすると，
$$F_n=\dfrac{\beta^n-\alpha^n}{\beta-\alpha}$$
となる．ここで，$L_n:=\alpha^n+\beta^n$ と定める．\
　このとき，$L_n\mod{4}$ および $F_n\mod{4}$ は，以下によりともに周期 $6$ をもつ．
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \cdots \\\\ \hline
L_n \mod{4} & 2 & 1 & 3 & 0 & 3 & 3 & 2 & 1 & \cdots \\\\ \hline
F_n \mod{4} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & \cdots \\\\
\end{array}$$
　$x_n=F_{6n}\/8$ とおくと，$x_0=0, ~ x_1=1, ~ x_{n+2}=18x_{n+1}-x_n$ であるから，$m$ が奇数のとき $F_{6m}\/8$ は奇数である．すなわち，$F_{6m}$ は $2$ でちょうど $3$ 回だけ割れる．さらに，$n$ が $6$ の倍数であるとき，
$$\dfrac{F_{2n}}{F_n}=L_n\equiv 2\pmod{4}$$
であるため，$F_{2n}\/F_n$ は $2$ でちょうど $1$ 回だけ割れる．以下，帰納的に議論することで，
$${\rm ord}\_2(F\_{6m})={\rm ord}\_2(m)+3$$
が従う．\
　$L_n\mod{9}$ および $F_n\mod{9}$ は，以下によりともに周期 $24$ をもつ．
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12  & 13 & 14 \\\\ \hline
L_n \mod{9} & 2 & 1 & 3 & 4 & 7 & 2 & 0 & 2 & 2 & 4 & 6 & 1 & 7 & 8 & 6 \\\\ \hline
F_n \mod{9} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 4 & 3 & 7 & 1 & 8 & 0 & 8 & 8 \\\\
\end{array}$$
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
n & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 &  \cdots \\\\ \hline
L_n \mod{9} & 5 & 2 & 7 & 0 & 7 & 7 & 5 & 3 & 8 & 2 & 1 & \cdots \\\\ \hline
F_n \mod{9} & 7 & 6 & 4 & 1 & 5 & 6 & 2 & 8 & 1 & 0 & 1 & \cdots \\\\
\end{array}$$
　$n$ が $4$ の倍数であって $3$ の倍数でないとき，表により $F_n \mod{9}=3,6$ である．すなわち，$F_n$ は $3$ でちょうど $1$ 回だけ割り切れる．\
　また，$n$ が $4$ の倍数であるとき，
$$\dfrac{F_{3n}}{F_n}=\alpha^{2n}+\alpha^n\beta^n+\beta^{2n}=L_{2n}+1$$
となる．ここで，$2n$ は $8$ の倍数であることに注意すると，表から
$$L_{2n}+1\equiv 2+1\equiv 3\pmod{9}$$
となるため，$F_{3n}\/F_n$ は $3$ でちょうど $1$ 回だけ割り切れる．よって帰納的に
$${\rm ord}\_3(F_{4m})={\rm ord}\_3(m)+1$$
が成り立つ．\
　$N$ は $6$ の倍数であり，かつ $N$ が $2$ で割り切れる回数は $97$ 回なので，$F_N$ が $2$ で割り切れる回数は $97-1+3=99$ 回である．また，$N$ は $4$ の倍数であり，$N$ が $3$ で割り切れる回数は $48$ 回なので，$F_N$ が $3$ で割り切れる回数は $48+1=49$ 回である．$99,49\lt N=100!$ に注意すると，
$${\rm gcd}(F_N,6^N)=2^{99}\cdot 3^{49}$$
なので，正の約数の個数は $(99+1)\times (49+1)=\bm{5000}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9864
この解説は __Lim\_Rim\___ が書いたものを代理投稿したものです.

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公式解答の序盤に現れた
$$ \mathrm{ord}\_{2} (F_{6m}) =  {\rm ord}\_{2}(m) + 3$$
$$ {\rm ord}\_{3}(F_{4m}) =  {\rm ord}\_{3}(m) + 1$$
は，「代数体上のLTEの補題」から得ることもできる（参考: https:\/\/mathlog.info\/articles\/886 ）．

　$K$を代数体，$\mathfrak{p}$をその整数環 $\mathcal{O}_{K}$の極大イデアル，$p$ を 剰余体 $\mathcal{O}_K\/\mathfrak{p}$の標数，$e$を$\mathfrak{p}\/p\mathbb{Z}$の分岐指数，すなわち $p(\mathcal{O}_K)_\mathfrak{p} = \mathfrak{p}^{e}(\mathcal{O}_K)_\mathfrak{p} $を満たす正の整数$e$とする．

$v: K\to \mathbb{Z}\cup \\{\infty \\}$ を$\mathfrak{p}$進付値とする．$v(p)=e$である.

**定理.**
$x,y \in K$ が $v(x) = 0, v(y) = 0, v(x-y) \gt \frac{e}{p-1}$を満たすとき，$n$ を任意の整数とすると
$$ v(x^n - y^n) = v(x-y) + v(n) $$
が成立する．

　本問では，$K = \mathbb{Q}(\sqrt{5})$，$\mathfrak{p} = p\mathcal{O}_K$ で定理を適用する．なお，$p$ は不分岐 ($e=1$) であり，$p\mathcal{O}_K$ は 極大イデアルとなることに注意せよ．

　$p=2, 3$ に対して，$K$ 上の $p$進付値も${\rm ord}_{p}$で表す．$\alpha = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\beta = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$として $x=\alpha^{6}$, $y=\beta^{6}$ とする．$x-y= 8\sqrt{5}$ だから${\rm ord}\_{2}(x-y) = 3 \gt \frac{1}{2-1}$ であり，定理が適用できて，
$$
\begin{aligned}
 {\rm ord}\_{2}(F\_{6m}) &= {\rm ord}\_{2}\left( \alpha\^{6m} - \beta\^{6m} \right) - {\rm ord}\_{2}(\alpha^6 - \beta^6) +  {\rm ord}\_{2}\left( \dfrac{\alpha^{6} - \beta^{6}}{\sqrt{5}} \right) \\\\
& \overset{\text{LTE}}{=} {\rm ord}\_{2} (m) +  {\rm ord}\_{2}\left( 8 \right) \\\\
& = {\rm ord}\_{2} (m) +  3
\end{aligned}
$$
を得る．

　${\rm ord}\_{3}(F_{4m}) =  {\rm ord}\_{3}(m) + 1$ についても，$x = \alpha^4$, $y=\beta^4$として定理を適用すれば得られる．(${\rm ord}\_{3}(x-y) = {\rm ord}\_{3}(3\sqrt{5}) = 1 \gt \frac{1}{3-1}$なので適用可能)．
解説（Lim_Rim_の代理投稿）
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9864/357
　$N=100!$ とします．実数列 $\\{F_n\\}_{n=0,1,\ldots}$ は $F_0=0, ~ F_1=1$ および
$$F\_{n+2}=F\_{n+1}+F\_n \quad (n=0,1,\ldots)$$
を満たします．このとき，$F_N$ と $6^N$ の最大公約数について，その正の約数の個数を求めてください．