　求める半径を $r$ とおき，この円の中心を $O$ とおく．このとき, $O$ から辺 $CD$ に垂線をおろし，その足を $H$ とおくと，
$$OD = r + \frac{1}{3}, \quad OH = \frac{1}{2}, \quad DH = 1 - r$$
であるから，三角形 $DOH$ について三平方の定理より
$$\left(r + \frac{1}{3} \right)^2 = (1 - r)^2 + \frac{1}{4}$$
これを解くことで $r = \dfrac{41}{96}$ が得られ，解答すべき値は $\mathbf{137}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb014/editorial/5732
　一辺の長さが $1$ の正方形 $ABCD$ について，点 $A, D$ をそれぞれ中心とし，半径がともに $\dfrac{1}{3}$ の $2$ つの円を考えます．この $2$ つの円に外接し，辺 $BC$ とも接する円の半径を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．