　$\angle FEA = \angle FAE = \angle FDC$ より $4$ 点 $C, D, F, E$ は共円である．また $CE = EF$ と円周角の定理と $C$ が $\triangle ABD$ の外心であることより，
$$ \angle ADB = \angle FCE = \angle CFE = \angle CDE = \angle CBD $$
から $AD \parallel BC$ がわかる．$AC = BC = CD = x$ とおく．
$$\angle GAF = \angle ABC = \angle BAC $$
より $\angle GAC = \angle BAD$ であり，円周角の定理による $\angle GCA = \angle BDA$ とあわせて $\triangle GAC \sim \triangle BAD$ である．これより $AD = \dfrac{14}{9} x$ であり，$\cos \angle CDA = \dfrac{7}{9}$ とわかる．$\angle ACB = \angle CDA$ より $\triangle ABC$ に余弦定理を用いることで，
$$ AB = \sqrt{x^2 + x^2 - 2x^2 \cdot \dfrac{7}{9} \ } = \dfrac{2}{3} x $$
が成り立ち，$GB = \dfrac{23}{21} x$ とわかる．以上より解答すべき値は $\mathbf{44}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc204/editorial/2416
　凸四角形 $ABCD$ において，$C$ は三角形 $ABD$ の外心です．四角形 $ABCD$ の対角線の交点を $E$ としたとき，辺 $DA$ 上に $CE = EF = FA$ なる点 $F$ を取ることができました．直線 $AB$ と $CF$ の交点 $G$ について $GA : AB = 9 : 14$ が成り立つとき，比 $GB : BC$ は互いに素な正の整数 $p, q$ を用いて $p : q$ と表されるので，$p+q$ の値を解答してください．