　白い碁石を $1$ に，黒い碁石を $0$ に対応させ，北側が $1$ の位となるように $2$ 進法表示した非負整数に対応させることを考える．碁石の色と非負整数は一対一に対応する．このとき，**操作**は操作前の正整数を超えないような $2$ べきを減じることに対応する．これを $0$ にした方が負けであり，対応する非負整数は必ず減少するから，特に勝敗が必ず決する．\
　$n=1,\ldots,32767$ に対し関数 $f(n)$ を，最初の正整数が $n$ で先攻が勝つならば $1$，後攻が勝つならば $0$ として定めると，$f(1) = 0$ および $f(2)=f(3)=1$ が直ちに分かる．また任意の $n$ に対し，$f(n) = 0$ と，$2^k \lt n$ なる任意の非負整数 $k$ に対して $f(n-2^k) = 1$ が成り立つことは同値であることが分かる．\
　以下，$f(n)$ の値が $n\bmod3$ で定まることを帰納的に示そう．ある正整数 $m$ について $n \le 3m$ で成立すると仮定する．$f(n\_0) = 0$ となる任意の $n\_0 \le 3m$ に対して，ある正整数 $m\_0$ が存在して $n\_0 = 3m\_0 + 1$ と表されるから
$$ 3m + 1 - n\_0 = 3m + 1 - \left(3m\_0 + 1\right) = 3\left(m - m\_0\right) $$
となり，これは $2$ のべきになり得ないから $f(3m + 1) = 0$ が分かる．一方で
$$ 3m + 1 = 3m + 2 - 2^0 = 3m + 3 - 2^1 $$
より $f(3m + 2) = f(3m + 3) = 1$ が分かるから，示された．  
　したがって求める値は，$1,\ldots,32767$ のうち $3$ で割ったあまりが $1$ ではないものの個数 $\mathbf{21844}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc081/editorial/2530
　南北一列に $15$ 個の碁石が並んでいます．それぞれの碁石は白色または黒色であり，すべて黒色ではありません．\
　$2$ 人のプレイヤーがこれらを用いてゲームを行います．先攻から始めて，以下の**操作**を交互に行います：

- **操作**：$0$ 個以上の黒い碁石と $1$ 個の白の碁石が，**北から順に**連続して「黒黒$\ldots$黒白」のように置かれている箇所を一つ選び，そこに含まれる碁石の色をすべて入れ替える．

　例えば，$4$ 個の碁石が北から順に「白黒黒白」と並んでいるとき，一度の操作によって「黒黒黒白」「白黒黒黒」「白黒白黒」「白白白黒」のいずれかに変化します．先にすべての碁石を黒色にした人が**負け**となります．\
　はじめの碁石の配置は $2^{15}-1=32767$ 通りありますが，両者が自身の勝ちを目指して最適に行動し続けると仮定したとき，有限回で決着が付き，かつ先攻が勝つ配置はこのうちいくつありますか？