　$k=\sqrt{m+n}$ とおき，$n=k^2-m$ として条件を $k,m$ によって書きかえれば，
$$ k+m^2 = k^2-m-40\iff (k+m)(k-m-1)=40$$
となる．$k\pm m$ の偶奇が一致することに注意して探索すれば，
$$(k+m,k-m)=(8,6),(40,2) \iff (m,n)=(1,48),(19,422)$$
が解として得られる．特に，求める値は $48+8018=\mathbf{8066}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/editorial/9497
　以下をみたす正整数の組 $(m,n)$ すべてについて，$mn$ の総和を求めてください．
$$
\sqrt{m+n}+m^2=n-40
$$