　$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{F_n-1}f(k)$ と定めれば, これは漸化式 $S_{n}=S_{n-1}+S_{n-2}+F_{n-2}$ をみたすから, これを解いて 
$$S_n=\dfrac{1}{5}\left((n-2)F_{n}+nF_{n-2}\right)\quad (n=2,3,\cdots)$$
ここで $2021=F_{17}+F_{14}+F_{9}+F_{7}$ であるから, 以下のように区間を分割して計算すればよい：
- $0\leq k\lt F_{17}$ について, $S_{17}=6865$.
- $F_{17}\leq k\lt F_{17}+F_{14}$ について, $S_{14}+F_{14}=1685$.
- $F_{17}+F_{14}\leq k\lt F_{17}+F_{14}+F_{9}$ について, $S_9+2F_9=139$.
- $F_{17}+F_{14}+F_{9}\leq k\lt F_{17}+F_{14}+F_{9}+F_{7}$ について, $S_7+3F_7=59$

以上より, 求めるべき総和は $6865+1685+139+59=\textbf{8748}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/editorial/1709
https:\/\/youtu.be\/Ud3GTbNUKGI
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/editorial/1709/99
　数列 $\\{F_{n}\\}$ は以下の条件をみたします：
$$F_0=0,\quad F_1=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\ (n=2,3,\cdots)$$
非負整数 $k$ に対して関数 $f(k)$ を $f(0)=0$ および以下の規則で定めたとき, $\displaystyle \sum_{k=0}^{2020}f(k)$ を求めてください.

- $k\geq 1$ について, $F_n\leq k \lt F_{n+1}$ であるような唯一の非負整数を $n$ として, $f(k)=f(k-F_n)+1$.