　線分 $AH$ と $OM$ は平行で, 長さの比が $2:1$ であるから, $P$ は $O$ に関して $A$ と対称な点であり, 四角形 $BPCH$ は平行四辺形であるから, 求める長さは四角形 $ABPC$ の周長 $L$ に等しい. ここで,
$$(AB+BP)^2-(PC+CA)^2=(AB+BP+PC+CA)\times \\{AB+BP-(PC+CA)\\}=L\times 5$$
一方で $\triangle ABP ,\triangle PCA$ がいずれも $PA$ を斜辺とする直角三角形であることに注意すれば, 左辺は
$$AB^2+BP^2-\left(PC^2+CA^2\right)+4\left(\frac{1}{2}AB\times BP-\frac{1}{2}PC\times CA\right)=4\times 217=868$$
とも計算できる. したがって, 解答は $868+5=\textbf{873}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc097/editorial/2175
　$AB\neq AC$ である三角形 $ABC$ において，その垂心を $H$，外心を $O$，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．さらに，直線 $HM$ と直線 $AO$ の交点を $P$ とすると，三角形 $ABP$ と $ACP$ について，面積は前者が $217$ 大きく，周長は前者が $5$ 長いことがわかりました．このとき，四角形 $ABHC$ の周長は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください.