　千の位から順に考えると，どの位も数の選び方は $9$ 通りある（千の位は $1,2,\dots,9$，それ以降の位は $0,1,\dots,9$ のうち一つ前の位と異なるもの）．
よって求める個数は $9^{4}=\mathbf{6561}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc107/editorial/4782
　どの隣り合う $2$ つの位の数も異なるような，十進法表記で $4$ 桁（$1000$ 以上 $9999$ 以下）の正整数はいくつありますか？