　$n=2021$ とおいたとき，以下の変形に留意する．
　　$$\begin{aligned}x^2+4xy+8y^2=10^{n}&\iff 4xy = 10^{n}-x^2-8y^2\\\\
　　&\implies (4xy)^2=(10^{n}-x^2-8y^2)^2\\\\
　　&\iff(x^2-10^{n})^2+(8y^2-10^{n})^2=10^{2n}\end{aligned}$$
　さらに，$(a-10^{n})^2+(8b-10^{n})^2=10^{2n}$ の整数解 $(a,b)$ に対して，題意をみたす組 $(x,y)$ が $2$ つずつ対応するから，以下そのような $(a,b)$ について考えればよい．$a$ は $8$ で割り切れるから，$8a^\prime=a$ と置きなおせば
　　$$(a^\prime-2^{2018}\times 5^{2021})^2+(b-2^{2018}\times 5^{2021})^2=2^{4036}\times 5^{4042}.$$
　これは整数解を $4\times(4042+1)=16172$ 個持つから，求める場合の数は $2\times 16172=\textbf{32344}$ である．

#### $x^2+y^2=2^m5^n$ の整数解 $(x,y)$ の個数について

　これが $4(n+1)$ 個であることを示す．$m\geq 2$ のとき ${\rm mod}\ 4$ を考えることで $x,y$ はともに偶数であるから，$m=0,1$ に帰着される．今回は $m=0$ となるのでこれで良いが，$m=1$ の場合も，一般に奇数 $s$ に対し $x^2+y^2=s$ と $x^2+y^2=2s$ で整数解 $(x,y)$ の個数が等しいことが知られている（演習：なぜ？）．\
　さらに $x,y$ をそれぞれ最大公約数 $d$ で割って考えることで，$d=1$ のとき（順序と符号を無視して）ちょうど $1$ 通りであることを示せば十分である（演習：なぜ？）．まず，以下の恒等式（複号同順）
　　$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac\pm bd)^2+(ad\mp bc)^2$$
に留意すれば，$5=2^2+1^2$ と合わせて少なくとも $1$ 通り存在することがすぐにわかる．\
　逆に, 正整数 $a\geq b,c\geq d$ について $5^n=a^2+b^2=c^2+d^2$（ただし $a$ と $b$, $c$ と $d$ はそれぞれ互いに素）であるとすると，
　　$$(ac+bd)(ac-bd)=(5^n-b^2)(5^n-d^2)-b^2d^2=5^n(5^n-b^2-d^2)$$
ここで互いに素の仮定より $ac\pm bd$ が同時に $5$ の倍数にはなり得ないことに留意すれば，そのいずれかは $5^n$ で割り切れる．$ac+bd$ が $5^n$ で割り切れるとき，特に $ac+bd\geq 5^n$ であるから再び上の恒等式より $ac-bd=0$ となるほかないが，このとき $(a,b)=(c,d)$ を得る．$ac-bd$ が $5^n$ で割り切れる場合も同様に解決する．
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【参考】2つの「演習」の解答例：masa_kasaさんの[ユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc022\/editorial\/139\/106)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc022/editorial/139
　[公式解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc022\/editorial\/139) 中の（演習：なぜ？）に対する証明です. 演習したい方はブラウザバックすることをお勧めします. 

【2024\/01\/13 22:56 追記】証明に適切な言葉を補い分かりやすくしました. 
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**演習1.** 　奇数 $s$ に対し, $x^2+y^2= s$ と $x^2+y^2=2s$ で整数解 $(x,y)$ の個数が等しいことを示せ. 

**証明1.** 　$x^2+y^2=2s$ に $x=a+b$ , $y=a-b$ を代入すれば $a^2+b^2=s$ となる.  $2s\equiv 2 \pmod{4}$であるから, $a,b$ は必ず整数になることが示される(演習：なぜ？).

【2022\/08\/02 22:04 追記】[locker_kunのユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc022\/editorial\/139\/107)：上記の(演習：なぜ？)の解説です. 
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**演習2.**　 $x^2+y^2=2^m5^n$ の整数解 $(x,y)$ のうち $(x,y)$ が互いに素な組が(順序と符合を無視して)ちょうど $1$ 個のとき, 整数解 $(x,y)$ の組は $4(n+1)$ 個あることを示せ. ただし $m,n$ は偶数とする. 

**証明2.** 　$(x,y)$ の最大公約数を $d$ とする. 正整数解 $(x,y)$ の個数を求めよう. 公式解説中に説明がある通り, $m$ に解の個数は依存せず, $m=0$ に変えても整数解 $(x,y)$ の組の個数は変わらないため, $m=0$ とする. 与式の両辺を $d^2$ で割ると
$$\left(\frac{x}{d}\right)^2+\left(\frac{y}{d}\right)^2=\frac{2^{m}5^{n}}{d^2} = \frac{5^n}{d^2}$$
　 偶奇性より $x=y$ はあり得ない. $x,y$ を正整数とすれば, $\gcd(x\/d,y\/d)=1$ より固定された$5^{n\/2}$ 以外の $d$ に対して $(x\/d, y\/d)$ の組の個数は順序を無視して $1$ 個ある. これは公式解説中で示されている. $d$ としてありうる $d=5^{n\/2}$ 以外の整数は $n\/2$ 個あるため, 条件をみたす正整数の組 $(x,y)$ の組の個数は順序を無視して $n\/2$ 個である. $d=5^{n\/2}$ のとき, 正整数の組 $(x,y)$ は存在しない. 
 整数 $x,y$ のどちらかが $0$ となる組はちょうど $4$ 組ある. したがって, 条件をみたす整数 $(x,y)$ の組の個数は
$$\frac{n}{2}  \cdot 2^2 \cdot 2 +4 = 4(n+1)$$
　個である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc022/editorial/139/106
　[masa_kasa のユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc022\/editorial\/139\/106)中の (演習：なぜ？) の部分の解説です．需要はありません．

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**演習.**　整数 $x,y$ について，$x^2+y^2$ が ( $4$ で割って $2$ 余る) 偶数であるとき，$x=a+b$ , $y=a-b$ なる $a,b$ は整数となる．

**証明.**　条件より $x^2+y^2\pm 2xy = (x\pm y)^2$ は偶数だから $x+y,x-y$ も偶数となり，これより
$$a=\frac{x+y}{2},　b=\frac{x-y}{2}$$
はいずれも整数である．(証明終)
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc022/editorial/139/107
　$x^2+4xy+8y^2=10^{2021}$ かつ，$x^2, y^2$ がともに整数であるような，複素数の組 $(x,y)$ は $M$ 個あります．$M$ を解答してください．\
　ただし，そのような組は有限個であることが証明できます．