　鋭角三角形 $ABC$ は $\angle BHC=180^{\circ}-\angle A$ などが成り立つから，一つ目の条件は次のように変形できる．
$$3\angle B - 3\angle C = 180^\circ - \angle A = \angle B + \angle C$$
したがって，$\angle B=2\angle C$ を得る．また，点 $C$ の直線 $AH$ に関する対称点を $D$ とすると，
$$\angle DAB = \angle B - \angle C = \angle C$$
であるから $BA=BD$ であり，二等辺三角形 $BAD,ADC$ は相似である．また，面積比は $DB:DC=4:9$ であるので，相似比は $2:3$ となる．よって，
$$AB : AC = 2 : 3,\quad AB : BC = DB : BC = 4 : 5$$
であるから，$AB : BC : CA = 4 : 5 : 6$ を得る．\
　三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とおくと，$AH = 2R\cos A$ などが成り立ち，さらに余弦定理より
$$\cos A = \frac{9}{16},\quad \cos B = \frac{1}{8},\quad \cos C = \frac{3}{4}$$
である．いま，三つ目の条件より
$$2R( - \cos A + \cos B + \cos C) = 1000$$
が成り立つので，これを解くことで $R = \textbf{1600}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/1844
　$AH$ と $BC$ の交点を $D$ とし，$BD=x,DC=9x$ とします．$\angle B=2\angle C$ から $9\tan{2C}=\tan{C}$ が分かり，倍角公式から $\tan{C}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}$ が分かります．したがって $AD=3\sqrt{7}x$ となり，良い感じに図形が確定してくれました．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/1844/255
　垂心を $H$ とする鋭角三角形 $ABC$ が以下の条件をみたすとき，その外接円の半径を求めてください：

- $3(\angle AHB-\angle AHC)=\angle BHC$．
- 三角形 $AHC$ の面積は $AHB$ の面積の $9$ 倍である．
- $BH+CH=AH+1000$．