　$\triangle{ABC}$ の垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．簡単な角度追跡から四角形 $HBDC$ が平行四辺形であることがわかるので，$D$ は $\Gamma$ 上に存在し，$AD$ は $\Gamma$ の直径である．同様なことが $E,F$ についてもいえる．\
　$\triangle{ABC}$ の面積を $S$ とおくと，$R_1, R_2, R_3$ の面積はすべて $2S$ である．また，$\triangle{ABF}\equiv \triangle{DEC}$ などがわかるから，
$$
x+y+z+S= \operatorname{Area}(R_2) = 2S \Longrightarrow\ x+y+z=S
$$
を得る．さらに，$\triangle{BDE},\ \triangle{CEF},\ \triangle{AFD}$ について以下が成り立つ：
$$
\begin{cases}
\operatorname{Area}(\triangle{BDE}) = S - x = 23\\\\
\operatorname{Area}(\triangle{CEF}) = S - y = 24\\\\
\operatorname{Area}(\triangle{AFD}) = S - z = 25
\end{cases}.
$$
　これを解くことで，$x=13,\ y=12,\ z=11$ を得るから，回答すべき値は $\textbf{1716}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9394
　鋭角三角形 $ABC$ があり，$3$ つの長方形 $R_1,R_2,R_3$ が以下の条件をみたします：

 - 長方形 $R_1$ のある一辺は線分 $CA$ であり，その向かい合う辺は点 $B$ を通る．
 - 長方形 $R_2$ のある一辺は線分 $AB$ であり，その向かい合う辺は点 $C$ を通る．
 - 長方形 $R_3$ のある一辺は線分 $BC$ であり，その向かい合う辺は点 $A$ を通る．

　さらに，$R_1, R_2$ 両方の辺上にあって，いずれの長方形の頂点でもない点がただ $1$ つ存在するので，それを点 $D$ とします．同様に $R_2,R_3$ に対して点 $E$ を，$R_3,R_1$ に対して点 $F$ をそれぞれ定めると，以下が成立しました：
$$
\operatorname{Area}(\triangle{BDE})=23,\quad \operatorname{Area}(\triangle{CEF})=24,\quad \operatorname{Area}(\triangle{AFD})=25.
$$
このとき，
$$
\operatorname{Area}(\triangle{ABF})=x,\quad \operatorname{Area}(\triangle{BCD})=y, \quad \operatorname{Area}(\triangle{CAE})=z
$$
なる実数 $x,y,z$ について，それらの積 $xyz$ を解答してください．\
　ただし，$\operatorname{Area}(\triangle{XYZ})$ で $\triangle{XYZ}$ の面積を表すものとします．