　$N$ を正整数とし，$N$ 項からなる実数列 $\\{ a_n \\}\_{n = 0, 1, ..., N - 1}$ を与えたとき，
$$
\begin{aligned}
\sum_{n = 1}^N \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{i = 0}^k a_i &= a_0 + (a_0 + (a_0 + a_1)) + (a_0 + (a_0 + a_1) + (a_0 + a_1 + a_2)) \\\\
&+ \cdots + (a_0 + (a_0 + a_1) + \cdots + (a_0 + \cdots + a_{N - 1}))
\end{aligned}
$$
と表せる．各 $n = 1, ..., N$ に対し，この等式の右辺で $a_{N - n}$ は $1 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ 回現れるので，
$$\sum_{n = 1}^N \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{i = 0}^k a_i = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^N n(n + 1)a_{N - n}$$
が成り立つ．
$$N = 1110，a_n = \frac{1}{1111 - n} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{1110 - n}} - \frac{1}{1110 - n} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{1111 - n}}$$
としてこの事実を適用すれば以下のように $S$ の値を求めることができる．
$$
\begin{aligned}
S &= \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{1110} n(n + 1) \left (\frac{1}{n + 1} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{n}} - \frac{1}{n} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1}} \right ) \\\\
&= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \sum_{n = 1}^{1110} (\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 1}) \\\\
&= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \sum_{n = 1}^{1110} (\sqrt{(n + 1)^2 - 1} - \sqrt{n^2 - 1}) \\\\
&= \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\sqrt{(1110 + 1)^2 - 1} - \sqrt{1^2 - 1}) = \sqrt{\mathbf{154290}}
\end{aligned}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/editorial/8945
　$S$ を以下のように定めます．このときの $S^2$ の値を解答してください．
$$S = \sum_{n = 1}^{1110} \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{i = 0}^k \left (\frac{1}{1111 - i} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{1110 - i}} - \frac{1}{1110 - i} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{1111 - i}} \right )$$