　問題文中の条件を上から, 条件 $1$, 条件 $2$, 条件 $3$ とする.\
 　$p$ を素数, $k$ を正整数として, 条件 $1$ に $(m,n)=(p,p^k)$ を代入することで, $f(p^{k+1})=f(p^k)$ が任意の正整数 $k$ で成り立つことがわかり, ここから任意の正整数 $k$ に対して $f(p^k)=f(p)$ が示される. 再び条件 $1$ により,
$$f(3248)=f(2^4)f(7)f(29)=f(2)f(7)f(29)$$
で, これは条件 $3$ により $3\times 2\times 2=12$ 以上の値を取る. 一方で, $f$ の素数での挙動について, 以下のように定めるとすべての条件を満たすことがわかるので, 答えは $\textbf{12}$ である. ただし $p_n$ は $n$ 番目の素数を表す.\
$$f(p_n)=
\begin{cases}
3 & (p_n=2) \\\\
2 & (p_n=7,29) \\\\
p_{n+9} & (\text{otherwise}) 
\end{cases}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc121/editorial/3248
　正整数に対して定義され，正整数値をとる関数 $f$ が，以下の条件をすべてみたします.

- 任意の正整数 $m$, $n$ に対して，$f(mn)f(\gcd(m, n))=f(m)f(n)$ をみたす．
- $f(n)=1$ は $n=1$ と同値である．
- 任意の $2$ 以上の正整数 $n$ に対して，$f(n)$ は $n$ で割りきれない．

このとき，$f(3248)=f(2^4\times 7\times 29)$ のとりうる最小値を求めてください．\
　ただし，$\gcd(m, n)$ で，$m$ と $n$ の最大公約数を表すものとします．