$$\begin{aligned}
z&=x^6+y^6+3^3-9x^2y^2\\\\
&=(x^2+y^2+3)(x^4+y^4+3^2-x^2y^2-3x^2-3y^2)\\\\
&=(x^2+y^2+3)\times\frac{(x^2-3)^2+(y^2-3)^3+(x^2-y^2)^2}{2}\\\\
\end{aligned}$$
と変形できる．$x,y$ は正整数より $x^2+y^2+3\geq 5$ が成り立つため，$z$ が素数であることから次を得る．
$$\begin{cases}x^2+y^2+3=z\\\\ (x^2-3)^2+(y^2-3)^2+(x^2-y^2)^2=2\end{cases}$$
2式目をみたすのは $(x,y)=(2,2)$ のみ．このとき $z=11$ でこれは素数である．従って解答すべき値は $\bm{44}$ である ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc002/editorial/25
　正の整数 $x, y$ と素数 $z$ は，以下の等式をみたします：
$$x^6+y^6-9x^2y^2=z-27.$$
このような組 $(x,y,z)$ すべてについて，$xyz$ の総和を求めてください．

　**こちらの問題の提供者を探しています．心当たりのある方はご連絡ください．**