　まず, $P(i,j)$ は以下のように計算できることが容易にわかる. ここで, $l$ は抽選が行われる回数に対応する.
$$P(i,j)=\frac{1}{{}\_{ij}\mathrm{C}\_i}\sum_{l=i}^{ij}\left(l\times{}\_{l-1}\mathrm{C}\_{i-1}\right)
=\frac{i}{{}\_{ij}\mathrm{C}\_i}\sum_{l=i}^{ij}{}\_{l}\mathrm{C}\_{i}
=\frac{i}{{}\_{ij}\mathrm{C}\_i}\times{}\_{ij+1}\mathrm{C}\_{i+1}=\dfrac{i(ij+1)}{i+1}$$
　$i=n$ を固定し, まずこれが整数となる条件を考える. $n$ と $n+1$ が互いに素であることから, $\dfrac{jn+1}{n+1}=m$ は整数であり, これは $j=m+\dfrac{m-1}{n}$ と表せるから, $m$ を $kn+1$ と書き換えてよく ($k$ は非負整数), このとき
$$P(i,j)=n(kn+1)$$
であり, これが $210$ となるような組 $(n,k)$ は
$$(1,209),(2,52),(3,23),(10,2),(14,1),(210,0)$$
これを組 $(i,j)$ に書き換えれば以下のようになるから, 求める総和は $\textbf{949}$ である.
$$(1,419),(2,157),(3,93),(10,23),(14,16),(210,1)$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc078/editorial/1870
**補題.**　$1,2,\ldots,n$ から異なる $m$ 個を無作為に選ぶとき， $m$ 個のうち $k$ 番目に小さい値の期待値は $\dfrac{k(n+1)}{m+1}$ である．\
**証明.**　選んだ $m$ 個の数を小さい方から順に $x_1,x_2,\ldots,x_m$ とし， $i=0,1,\ldots,m$ に対し， $y_i=x_{i+1}-x_i$
とおく．ただし， $x_0=0,~ x_{m+1}=n+1$ とする．すると， $y_0,y_1,\ldots,y_m$ は和が $n+1$ であり， $y_0,y_1,\ldots,y_m$ それぞれの期待値は対称性より等しいから $\dfrac{n+1}{m+1}$ である．故に， $x_k=y_0+y_1+\cdots+y_{k-1}$ の期待値は $\dfrac{k(n+1)}{m+1}$ となる．

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　本問における $P(i,j)$ は**補題**において $n=ij, ~ m=i, ~ k=i$ としたものであるから， $P(i,j)=\dfrac{i(ij+1)}{i+1}$ となる（あとは公式解答と同様にして答を得る）．\
　ちなみに，以上の補題を用いることで見通しよく解けるOMCの問題として、私が作問したOMC067Dが挙げられるので，興味がある人は考えてみてください！
k番目に小さな値の期待値の公式の利用
https://onlinemathcontest.com/contests/omc078/editorial/1870/32
　正整数 $i,j$ について, $j$ 種類の球がそれぞれ $i$ 個ずつ入っており, これらを一つずつランダムに排出する抽選機があります. $j$ 種類の中からランダムに $1$ 種類を選んだとき, その球が $i$ 個すべて出てくるまでに, 抽選が行われる回数の期待値を $P(i,j)$ とします. ただし, 一度排出された球は戻さないものとします.\
　$P(i,j)=210$ なる組 $(i,j)$ すべてについて, $i+j$ の総和を求めてください.