　正の整数 $a,b\lt\min(10,N)$ について条件より
$$10a+b=Nb+a \iff 9a=(N-1)b$$
$N=2,3$ ではこのようなことはあり得ず, $N=4$ では $(a,b)=(1,3)$ が適するから, 求める最小値は $\textbf{4}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc068/editorial/2246
　ある正の整数を $10$ 進法で表記すると $\overline{ab}$ であり, $N$ 進法で表記すると $\overline{ba}$ でした. このようなことが起こり得る正の整数 $N(\geq2)$ の最小値を求めてください. ただし, $a,b$ は $1\leq a,b\lt \min(N,10)$ を満たすものとします.