　三角形 $ABC$ の辺の長さを $BC = a, CA = b, AB = c$ とおく．$\omega$ の中心を $I$，辺 $BC$ と $\omega$ の接点を $D$，辺 $BC$ の中点を $M$ とする．また，$\omega$ の半径を $r$ とする． \
　線分 $P_BP_C$ が $\omega$ の直径となることから，直線 $PP_B$ と $PP_C$ が垂直に交わる．このような点 $P$ がただ一つであることから，$\omega$ 上で $\angle BPC =90^\circ$ を満たす点はちょうど一つであり，したがって，線分 $BC$ を直径とする円と $\omega$ が接する．よって，この接点を $T$ とすれば，
$$\frac{a}{2} = BM = TM = IT + IM = r + \sqrt{r^2 + DM^2}$$
が成り立ち，これを変形することで，
$$ar = \frac{a^2}{4} - DM^2\tag1$$
が分かる．いま，
$$DM = \frac{|BD - CD|}{2} = \frac{|b-c|}{2}$$
であり，また，ヘロンの公式より
$$\begin{aligned}
r &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(-BC + CA + AB)(BC - CA + AB)(BC + CA - AB)}{BC + CA + AB}}\\\\
&= \frac{1}{2}\sqrt\frac{(a^2 - (b-c)^2)(b+c-a)}{b+c+a}
\end{aligned}$$
が成り立つ．よって，これらを $(1)$ に代入して次のように整理していくことで，次を得る．
$$\begin{aligned}
(1)
&\iff  \frac{a}{2}\sqrt\frac{(a^2 - (b-c)^2)(b+c - a)}{a+b+c} = \frac{a^2 - (b-c)^2}{4}\\\\
&\iff 2a\sqrt{b+c - a}= \sqrt{(a^2 - (b-c)^2)({a+b+c} )}\\\\
&\iff 5 a^3 - 3(b+c) a^2 - (b-c)^2 a - (b+c) (b-c)^2 = 0 \\\\
&\iff 5 a^3 - 63 a^2 - a - 21 = 0
\end{aligned}$$
方程式 $5 x^3 - 63 x^2 - x - 21 = 0$ は有理解をもたないため，
$$ f(x) = x^3 - \frac{63}{5} x^2 - \frac{1}{5} x - \frac{21}{5} $$
である．したがって 
$$ \left\lfloor f(100) \right\rfloor  = \left\lfloor \frac{4369879}{5} \right\rfloor = \bf873975$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/editorial/8636
　$AB=11, AC=10$ なる三角形 $ABC$ の内接円を $\omega$ とします．$\omega$ 上の点 $P$ に対し，直線 $BP$ と $\omega$ の $P$ 以外の交点を $P_B$ とし，直線 $CP$ と $\omega$ の $P$ 以外の交点を $P_C$ とします．ただし，直線 $BP$ が $\omega$ に接する場合は $P_B=P$ とし，同様に直線 $CP$ が $\omega$ に接する場合は $P_C=P$ とします．\
　$P_B$ と $P_C$ が異なり，かつ，線分 $P_BP_C$ が $\omega$ の直径となるような点 $P$ が $\omega$ 上にちょうど一つ存在しました．辺 $BC$ の長さの最小多項式を $f$ とするとき， $\lfloor f(100) \rfloor$ の値を解答してください．

<details><summary>最小多項式とは<\/summary>
　$m$ を根にもつ有理数係数多項式のうち，次数が最小であり，かつ最高次の係数が $1$ であるものを（このようなものは一意に存在する）， $m$ の**最小多項式**とよびます．
<\/details>