　$T$ の体積を $V$とおけば $r=\dfrac{\sqrt{3}}{8}V$ が成立することがわかるから, $V$ の最大化について考えればよい. 等面四面体は一般に直方体に埋め込めるから, その $3$ 辺の長さを $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}$ とすれば, 外接球の半径, 表面積, 体積を計算することで, 以下の式が成り立つことが確認できる：
$$x+y+z=20,\quad xy+yz+zx=48,\quad xyz=9V^2$$
したがって, $t$ の方程式 $t^3-20t^2+48t=9V^2$ が正の実数解のみをもつような $9V^2$ の最大値を求めればよく, これはグラフを描けば $832\/27$ とわかる. よって $r_M^2=(9V^2)\/192=13\/81$ で, 解答すべき値は $\textbf{94}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/257
　表面積が $8\sqrt{3}$, 外接球の半径が $\sqrt{5}$ である等面四面体 $T$ において, その内接球の半径 $r$ としてあり得る最大値 $r_{M}$ を求めてください. ただし, $r_M$ は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. 

　ここで**等面四面体**とは, すべての面が合同であるような四面体のことをいいます.