　$n=1$ は適する一方で, $n=2,3$ は適さないことが容易にわかる. 以下 $n\geq 4$ で考える.\
　$n$ が素数であるとき, Wilsonの定理より $(n-2)!-1$ は $n$ で割り切れるから, 特に条件をみたす. \
　ここで $n\leq 120$ が素数でないとき, これは $2,3,5,7$ の少なくとも一つで割り切れる. 一方で $m\geq 6$ について $m!-1$ は $2,3,5,7$ のいずれでも割り切れないことから, 以下の $4$ 数について見れば十分である.
$$2!-1=1,\quad3!-1=5,\quad4!-1=23,\quad5!-1=119=7\times17$$
以上の議論より, $n\leq 120$ で条件をみたすのは, $2,3$ を除く素数および $1,119$ である. これらでちょうど $30$ 個であるから, 特に求める積は $31\times73\times119=\textbf{269297}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc081/editorial/1265
　以下の条件をみたす正整数 $n$ のうち, $10,20,30$ 番目に小さいものの**積**を求めて下さい：

- ある整数 $m\ge2$ が存在して, $m!-1$ が $n$ の倍数である.