　$\angle DAP+\angle PRD=180^\circ$ より $A, P, R, D$ は共円である．円周角の定理より $\angle RAP=\angle RDP=\angle RPD=\angle RAD$ であるから，$R$ は $AC$ 上にある．\
　$PD$ と $AC$ の交点を $S$ とおく．$\triangle BRS$ を $AC$ に関して線対称移動した図形が $\triangle DRS$ である．よって，$\angle RBS=\angle RDS=\angle RPS$ となるから $B, R, S, P$ は共円である．\
　$AP=x\ (0\leq x \leq 1)$ とおく．$AB \parallel CD$ より，
$$AS:SC=AP:CD=x:1,\quad AR:RC=AB:CQ=1:\bigg(1-\dfrac{9}{10}x\bigg)$$
よって，$AC=k(x+1)\bigg(2-\dfrac{9}{10}x\bigg)\ (k\geq 0)$ とおけば，$AS=kx \bigg(2-\dfrac{9}{10}x \bigg),\ AR=k(x+1)$．方べきの定理より $AP \times AB=AS \times AR$ であるから，
$$k=\cfrac{1}{\sqrt{(x+1) \bigg(2-\cfrac{9}{10}x \bigg)}}$$
従って，
$$AC=\sqrt{(x+1) \bigg(2-\dfrac{9}{10}x \bigg)}$$
であり，この値は $x=\dfrac{11}{18}$ のとき，最大値 $\dfrac{29 \sqrt{10}}{60}$ をとる．よって，特に解答すべき値は $\bm {99}$．

![figure 1](\/images\/pQl93jZ9i9HlqShSiMuvLPbbMTcQqSIeg17AQkzV)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/5046
　公式解説同様, $A,R,C$ は共線であり, $AC$ は $BD$ の垂直二等分線であるから, $RD=RB$ が成り立つ.
したがって, $AP=10x(\iff DQ=9x)$ とし, $R$ から $AB,CD$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $H_1,H_2$ とすると, $PR=RB$ より, 
$$PH_1=H_1B=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}-5x$$
$\triangle RAB$ と $\triangle RCQ$ は相似で, $H_1,H_2$ はこれらの相似において, それぞれ対応関係にあるから,
$$H_2Q=\frac{CQ}{AB}H_1B=\Big(1-9x\Big)\Big(\frac{1}{2}-5x\Big)$$
したがって, 
$$
\begin{aligned}
AH_1&=AP+PH_1=5x+\frac{1}{2}\\\\
DH_2&=DQ+QH_2=45x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
が成立し, $\angle DAB=\theta$ とおくと, $AH_1=DH_2+AD\cos{\theta}$ が成立し, これを整理すると, $\cos{\theta}$ と $x$ について, 以下を得る.
$$\cos{\theta}=-45x^2+\frac{11}{2}x$$
$0\lt 10x \lt 1$ の範囲で上の式は $x=\dfrac{11}{180}$ のとき, 最大値 $\dfrac{121}{720}$ をとり, 実際 $x=\dfrac{11}{180}$ を満たす図は存在するので, 
$$AC=2AB\cos{\dfrac{\theta}{2}}=2\sqrt{\frac{\cos{\theta}+1}{2}}$$
は, $\cos{\theta}=\dfrac{121}{720}$ のとき最大値 $\dfrac{29\sqrt{10}}{60}$ をとる.
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/5046/520
　ラストの二次式立てのときにPtolemyの定理を用いる方法です．

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　$A, P, R, D$ が共円であること，および $R$ が $AC$ 上にあることは公式解説と同様に確かめられる．また，$AB \parallel DC$ から $\triangle ABR \sim \triangle CQR$ を導くことができ，$AB = BC, PR = RD, \angle ABC = \angle PRD$ から $\triangle ABC \sim \triangle PRD$ を導くことができる． \
　$CQ = x, AC = y$ とおく．すると
$$AP = \frac{10}{9}DQ = \frac{10}{9}(1 - x)$$
が得られ，$\triangle ABR, \triangle CQR$ の相似比が $1 : x$ であることから
$$AR = \frac{1}{x + 1}AC = \frac{y}{x + 1}$$
が得られ，さらに $\triangle ABC \sim \triangle PRD$ より
$$\frac{DP}{PR} = \frac{AC}{AB} = y$$
が得られる．四角形 $APRD$ に関してPtolemyの定理を用いると
$$AR \times DP = AD \times PR + AP \times RD = (AD + AP) \times PR$$
より，
$$\frac{y^2}{x + 1} = AR \times \frac{DP}{PR} = AD + AP = \frac{10}{9}(1 - x) + 1$$
が成り立つので，これより
$$y = \frac{1}{3}\sqrt{(19 - 10x)(x + 1)}$$
を得る．この右辺は $x = \dfrac{9}{20}$ で最大値 $\dfrac{29\sqrt{10}}{60}$ をとる（$x$ がこの値のときの図は確かに存在する）．よって，解答すべき値は $\mathbf{99}$ である．
Ptolemyの定理を使う
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/5046/528
　$A,R,C$ が共線であることの別証明を紹介する．\
　点 $P$ が辺 $AB$ 上を動き，それに合わせて点 $R$ が条件を満たすように動くことを考える．\
　このとき $\overrightarrow{DR}$ は，$\overrightarrow{DP}$ を定数倍して，点 $D$ 中心に一定の角度回転させたベクトルである．勘の良い人であれば，以上の説明だけで，点 $R$ がある直線上に存在すると直観するかもしれない（ちなみに私は勘が良くない）．\
　より具体的に説明すると，①点 $D$ を原点とした直交座標系を取れば，点 $P,R$ はある行列によって座標変換した関係だと言えるし，②点 $D$ を原点とする複素数平面を取れば，点 $P,R$ はある複素数倍した関係だと言える．いずれにしても，直線を直線に移す変換であることが言える．\
　あとは，点 $P$が 点 $A$ に一致する場合，点 $P$ が点 $B$ に一致する場合について確かめれば，$A,R,C$ が共線であることを示せる．

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　せっかくなので，この後の別解について，ベクトルを使ったものを書いておく．\
　$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$ とおく．実数 $s,t$ を用いて　$\overrightarrow{AP}=10t\overrightarrow{b},\overrightarrow{AQ}=9t\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d},\overrightarrow{AR}=s(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})$ とおける（$0 \lt s \lt 1$，$0 \lt t \lt \dfrac{1}{10}$である）．\
　$\overrightarrow{BR} \ \/\/ \ \overrightarrow{BQ}$ を用いれば次の式を得る：
$$t=\dfrac{2s-1}{9s}$$
　また $|\overrightarrow{DR}|^2=|\overrightarrow{DP}|^2$ を用いれば次の式を得る（$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}=\alpha$ とおいた）：
$$\alpha=\dfrac{10t-2s+1}{2s}$$
　以上の 2 式を用いれば，次のように計算できる：
$$\alpha=-\dfrac{5}{9} \left( \dfrac{1}{s}- \dfrac{29}{20}\right)^2+\dfrac{121}{720}$$
　$AC^2=2+2\alpha$ より $\alpha=\dfrac{121}{720}$ のとき $AC$ は最大である．
A,R,C が共線であることの別証明など
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/5046/529
　一辺の長さが $1$ のひし形 $ABCD$ があり，辺 $AB$ 上に点 $P$，辺 $CD$ 上に点 $Q$，線分 $BQ$ 上に点 $R$ をとります．いま，
$$AP:DQ=10:9,\quad PR=RD,\quad \angle ABC=\angle PRD$$
が成り立つとき，線分 $AC$ の長さとしてありうる最大値を求めてください（存在が保証されます）．ただし，求める値は正整数 $a, b, c$（$a, c$ は互いに素であり，$b$ は平方因子をもたない）を用いて $\dfrac{a \sqrt b}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください．