　正方形の面に $8$ 以下が書き込まれることは無いから, 正方形の面にはちょうど $2$ 種類の数が書き込まれている. ここで $5$ および $7$ が書き込まれた面が同じ正方形の面に隣接しているとき, 明らかに正方形の面には $3$ 種類以上の数が書き込まれることに留意すれば, 適当に三角形の各面に文字を割り振ることで, 条件は以下のように表現できる：
$$X=abc=ade=cdf,\quad Y=abe=bcf=def$$
ここで $X,Y$ は $\textrm{lcm}(1,2,3,4,6,8)=24$ の倍数であり, $XY=abcdef=2\times 24^2$ と併せてあり得る組は
$$(X,Y)=(24,48),(48,24)$$
これより, 書き込まれる数は高々 $7\times 48=\textbf{336}$ であり, これは確かに以下のように実現できる：
$$(a,b,c,d,e,f)=(1,6,4,3,8,2)$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/editorial/1837
　**立方八面体**とは, 立方体の各頂点について以下の操作を行うことで得られる立体です：

- 各頂点について, それを端点とする $3$ 辺の中点を通る平面を考え, これに沿って頂点側を切り落とす.

　Masa君は立方八面体のサイコロに数を書き込みたいです. 彼はまず正三角形の面に $1$ から $8$ までの整数を一つずつ書き込み, それぞれの正方形の面に隣接する正三角形の面に書き込まれた $4$ 数の積を書き込みました. すると, サイコロにはちょうど $10$ 種類の整数が書き込まれていました. 書き込まれる整数としてあり得る最大値を求めてください.