　集合 $A$ の $n$ 番目の要素を $b_n$ とおき, $A$ の要素の最小値を $m$ とおく.\
　まず, 以下の不等式より $m\leq8000$ がわかる.
$$500m\leq\displaystyle\sum_{n=1}^{500}b_{n}=\left(\sum_{n=1}^{500}a_n\right)^2\leq4000000$$
　逆に $a_{n}=\sqrt{8000}(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$ とすれば, $a_{1}+\cdots+a_{500}=2000$ であり, かつ任意の $n$ について $b_{n}=8000$ であるから, 求める最大値は $\textbf{8000}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc010/editorial/67
　正の実数からなる数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{500}$ は $a_{1}+a_{2}+...+a_{500}\leq2000$ を満たすとします. このとき,
$$A=\lbrace a_{1}^{2}, a_{2}^{2}+2a_{2}a_{1}, a_{3}^{2}+2a_{3}(a_{1}+a_{2}), \cdots , a_{500}^{2}+2a_{500}(a_{1}+a_{2}+...+a_{499})\rbrace$$
に含まれる数の最小値としてあり得る, 最大の値を求めてください.\
　形式的には, 集合 $A$ において $n$ 番目の要素は, $a_{0}=0$ として $a_{n}^{2}+2a_{n}\displaystyle \sum^{n-1}_{k=0}a_k$ のように表されます.