　$AD,BC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とすれば, 中線定理より $BM=CM=\sqrt{113}$ であるから, $MN$ は $BC$ に垂直で, $MN=10$ である. ここで $BC$ を含み $MN$ に垂直な平面を $U$ とし, これに $A,D$ からおろした垂線の足をそれぞれ $A^\prime,D^\prime$ とすれば, $N$ は $A^\prime D^\prime$ の中点でもあるから $A^\prime BD^\prime C$ は平行四辺形である. さらに四角錘 $M-A^\prime BD^\prime C$ の体積は四面体 $ABCD$ と等しく $40$ であるから, $A^\prime BD^\prime C$ の面積は $12$ である.\
　このとき $A^\prime$ から(すなわち $A$ から) $BC$ におろした垂線の足を $H$ とすれば, $AH=33\/\sqrt{13},A^\prime H=6\/\sqrt{13}$ より $AA^\prime=9$ である. よって $DD^\prime=11$ で, $D^\prime H=6\/\sqrt{13}$ と併せて三角形 $BCD$ の面積は $\sqrt{\textbf{1609}}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc026/editorial/159
　$AD=2\sqrt{5},BC=2\sqrt{13}$ なる四面体 $ABCD$ は, 体積が $40$ で, さらに以下の条件をみたします.
$$AB^2+BD^2=AC^2+CD^2=236$$
　三角形 $ABC$ の面積が $33$ であるとき, 三角形 $BCD$ の面積は正整数 $S$ によって $\sqrt{S}$ と表されます.\
　$S$ を解答してください. ただし, $XY$ で辺 $XY$ の長さを表すものとします.