　$x + y = 1, ~ xy = \dfrac{1}{1110}$ なる実数 $x, y$ をとることができる．この $x, y$ と任意の非負整数 $n$ について，
$$
\begin{aligned}
1 &= (x + y)^{2n + 1} = \sum_{k=0}^{2n + 1} {}\_{2n + 1}\mathrm{C}\_{k} x^k y^{2n + 1 - k} \\\\
&= \sum_{k=0}^{n} ({}\_{2n + 1}\mathrm{C}\_{k} x^k y^{2n + 1 - k} + {}\_{2n + 1}\mathrm{C}\_{2n + 1 - k} x^{2n + 1 - k} y^k) \\\\
&= \sum_{k=0}^{n} {}\_{2n + 1}\mathrm{C}\_{k} (xy)^k (x^{2(n - k) + 1} + y^{2(n - k) + 1}) \\\\
&= \sum_{k=0}^{n} \frac{{}\_{2n + 1}\mathrm{C}\_{k} (x^{2(n - k) + 1} + y^{2(n - k) + 1})}{1110^k}
\end{aligned}
$$
が成り立つので，以下の等式が得られる．
$$
\sum_{k = 0}^n \frac{{}\_{2n+1}\mathrm{C}\_{k} \cdot a_{n-k}}{1110^k} = \frac{11}{10} \sum_{k=0}^{n} \frac{{}\_{2n + 1}\mathrm{C}\_{k} (x^{2(n - k) + 1} + y^{2(n - k) + 1})}{1110^k}
$$
この等式に $n = 0, 1, 2, ...$ と順に代入することで，$a_n$ の値を $a_0, a_1, a_2, ...$ の順に確定させることができ，一般項は
$$a_n = \frac{11}{10}(x^{2n + 1} + y^{2n + 1})$$
と表せる．$0 \lt x \lt 1, 0 \lt y \lt 1$ であることに注意すると，$S_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n$ の一般項は
$$S_n = \frac{11}{10} \left ( \frac{x(1 - x^{2(n+1)})}{1 - x^2} + \frac{y(1 - y^{2(n+1)})}{1 - y^2} \right )$$
であり，
$$T = \frac{11}{10} \left ( \frac{x}{1 - x^2} + \frac{y}{1 - y^2} \right )$$
とおくと，任意の $n$ で $S_n \lt T$ が成り立つ．また，$C \lt T$ なる実数 $C$ を任意に選んだとき，$n$ を十分大きくとれば $S_n \geq C$ が成り立つ．ゆえに求める最小値は $T$ である．ここで，
$$
\begin{aligned}
\frac{x}{1 - x^2} + \frac{y}{1 - y^2} &= \frac{x(1 - y^2) + y(1 - x^2)}{(1 - x^2)(1 - y^2)} \\\\
&= \frac{(x + y)(1 - xy)}{1 - (x + y)^2 + 2xy + (xy)^2} \\\\
&= \frac{1 - 1\/1110}{2 \/ 1110 + (1 \/ 1110)^2} \\\\
&= \frac{1230990}{2221}
\end{aligned}
$$
と変形できるので $T = \dfrac{1354089}{2221}$ であり，特に解答すべき値は $\mathbf{1356310}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/editorial/8790
まず，数式の右辺の $\dfrac{11}{10}$ に関しては斉次式でありますから，$a_i$ に定数倍がかかるだけです．結果を見やすくするために最後に $\dfrac{11}{10}$ 倍することにしましょう．

方針としては $1110$ を変数とみて一般化した以下のような式を考えます．


$$\sum_{k=0}^{n} \dfrac{{}_{2n+1} \mathrm{C}_k ･ a\_{n-k} }{m^k} = 1$$

これを満たす数列について問題と同様に $\alpha$ を定義します．いま $m$ が小さい時に数列がどのような値を取るのか実験してみます．
$$m = 2 \\;のとき\\; a_0 = \dfrac{1}{1},\\: a_1 = -\dfrac{1}{2},\\: a_2 = -\dfrac{1}{4},\\: a_3 = \dfrac{1}{8},\\: a_4 = \dfrac{1}{16},\\:...$$
$$m = 3 \\;のとき\\; a_0 = \dfrac{1}{1},\\: a_1 = 0,\\: a_2 = -\dfrac{1}{9},\\: a_3 = -\dfrac{1}{27},\\: a_4 = 0,\\:...$$
$$m = 4 \\;のとき\\; a_0 = \dfrac{1}{1},\\: a_1 = \dfrac{1}{4},\\: a_2 = \dfrac{1}{16},\\: a_3 = \dfrac{1}{64},\\: a_4 = \dfrac{1}{256},\\:...$$
それぞれの $m$ について一般項に予想は立ちますか？手元でやる際はもう少し大きい $n$ まで実験してもいいかもしれません．（余談ですが，各項の分子が $-1$ から $1$ までで構成されているのは $m= 4$ までのようなので，これより大きい $m$ について実験しても得られるものは少ない気がします）
実際には分母は $m^n$ となり，分子は
$$m = 2 \\;のとき\\; 1,-1,-1,1,...$$
$$m = 3 \\;のとき\\; 1,0,-1,-1,0,1,...$$
$$m = 4 \\;のとき\\; 1,...$$

を繰り返します．この時 $\alpha$（ $\alpha$ は $m$ の関数ですので $\alpha_m$ とします）は簡単に等比級数の和から求めることができ
$$\alpha_2 = \dfrac{2}{5},\\:  \alpha_3 = \dfrac{6}{7}, \\: \alpha_4 = \dfrac{4}{3} \left(= \dfrac{12}{9}\right)$$

となります．一般項についても
$$\alpha_m = \dfrac{m(m-1)}{2m+1}$$
と予想がつきます．あとは $\alpha\_{1110}$ について求めて，忘れずに $\dfrac{11}{10}$ をかければCAです．

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##### モチベーションについて
この数式のはじめ数項を計算してみると，分母がとても速いスピードで大きくなるために計算が大変であることに気づくでしょう．また，$a_i$ の値があまり小さくならないため本当に収束するのか不安になります．

ところで，与えられた数式において分母の $1110$ は大きな意味を持っているようには見えないです．つまり $1110$ で極限が存在するのであれば $4635$ でも他のあなたの好きな数字でも同じように極限が存在しそうな感じがします．また $m$ が小さいと計算もラクそうですね．そのため，極限を直接求めることを諦めて，極限をかき集めた数列 $\\{\alpha_m\\}_{m=2,3,...}$ の $\alpha\_{1110}$ を求める事を考えてみる価値がありそうです．実際に手を動かしてみると $\alpha\_{2}$，$\alpha\_{3}$，$\alpha\_{4}$ はとても収束が速く，また，一般項も予想しやすい形になります．
いわゆる実験・エスパー解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/editorial/8790/738
　実数列 $\\{a_n\\}\_{n=0, 1, ...}$ は，任意の非負整数 $n$ に対して
$$\sum_{k = 0}^n \frac{{}\_{2n+1}\mathrm{C}\_{k} \cdot a_{n-k}}{1110^k} = \frac{11}{10}$$
をみたしています．このとき，
$$a_0 + a_1 + \cdots + a_n \lt \alpha$$ 
が非負整数 $n$ の値によらず常に成り立つような実数 $\alpha$ の最小値を求めてください．ただし，求める最小値は互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p + q$ の値を解答して下さい．