　偶数同士はペアにできないことから，それぞれの偶数に対して奇数を $1$ つずつ割り当てることを考えればよい．$\mathrm{mod}\ 6$ で考えると
- $ 0 $ がペアにできるのは $1$ か $5$
- $ 2 $ がペアにできるのは $3$ か $5$
- $ 4 $ がペアにできるのは $1$ か $3$

である．$6$ と $12$ のそれぞれのペアの相手が $\mathrm{mod}\ 6$ が一致するとき，残りの偶数についても相手 $\mathrm{mod}\ 6$ が確定するから，このようなものは $2\cdot 8=16$ 通りある．そうでないとき，$8\times 8=64$ 通りあることが分かるから，求める値は $\mathbf{80}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc173/editorial/6804
　$ 1 $ 以上 $ 12 $ 以下の正整数を $2$ 数ずつ $6$ 組のペアに分けたとき，どのペアも $2$ 数の和が $ 2 $ でも $ 3 $ でも割り切れませんでした．このような分け方の個数を求めてください．ただし，ペア同士や，同じペアの $2$ 数の順序は区別しないものとします．