　前者の条件は，ある複素数係数多項式 $Q$ によって
$$ \begin{aligned} 
P(x) &= Q(x)\cdot\prod_{n=1}^{3000} \bigg( x- \bigg(\cos{\frac{2n}{3001}\pi}+i\sin{\frac{2n}{3001}\pi} \bigg) \bigg) +3001 \\\\
&=Q(x)(x^{3000}+x^{2999}+\ldots+x+1)+3001
\end{aligned}$$

と表せることと同値であり，後者は同様にある複素数係数多項式 $R$ によって
$$P(x)=R(x)(x^{7000}+x^{6999}+\ldots+x+1)+7001$$
と表せることと同値である．以下では
$$A(x)=x^{3000}+x^{2999}+\cdots+1, \quad B(x)=x^{7000}+x^{6999}+\cdots+1$$ 
とする．このとき $A$ と $B$ が互いに素であることに注意する．\
　まず，このような $Q, R$ をひとつ見つける．$(m, n)=(1752,751)$ とおくと，これは $3001m-7001n=1$ をみたす．したがって，
$$\begin{aligned}
Q_1(x) &= 4000(x^{3001(m-1)}+x^{3001(m-2)}+\ldots+1),\\\\
R_1(x) &= 4000x(x^{7001(n-1)}+x^{7001(n-2)}+\ldots+1)
\end{aligned}$$
とすれば，$Q = Q_1, ~ R = R_1$ が $Q(x)A(x)-R(x)B(x)=4000$ をみたす一つの構成となっている．$A, B$ が互いに素であることから，一般にある整数係数多項式 $S(x)$ によって 
$$ Q = Q_1 + BS, \quad R = R_1 + AS $$
と表される．これより，$R_1$ を $A$ で割ったあまりを $R_2$ とおくと，$R$ としてありうるもののうち次数が最小となるのは $R_2$ であるので，求める値は $P_2 = R_2B+7001$ としたときの $P_2(1)$ の値である．\
　$R_2(x)$ は $R_1(x)$ を $(x-1)A(x)=x^{3001}-1$ で割ったのちに $A(x)$ で割ったあまりに等しい．$R_1(x)$ を $x^{3001}-1$ で割ったあまりは，非負整数 $j$ に対して $7001j$ を $3001$ で割ったあまりを $r_j$ として，
$$4000(x^{r_{n-1}}+x^{r_{n-2}}+\ldots+x^{r_1}+1)$$
に等しい．$r_1, r_2, \ldots,r_{n-1}$ のうち $3000$ に等しいものは存在しないため，
$$ R_2(x) = 4000(x^{r_{n-1}}+x^{r_{n-2}}+\ldots+x^{r_1}+1) $$
が成り立つ．したがって，解答すべき値は
$$ P_2(1) = R_2(1)B(1) + 7001 = 4000 \cdot 752 \cdot 7001 + 7001 = \mathbf{21031011001} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/13124
　公式解説と同様に，
$$\begin{aligned}
P(x) &= Q(x)(x^{3000}+x^{2999}+\cdots +x+1)+3001\\\\
& = R(x)(x^{7000}+x^{6999}+\cdots +x+1)+7001
\end{aligned}$$
とおく．まずは $P(x),Q(x),R(x)$ の次数を考えよう．\
　$R(x)$ が $k$ 次式だとすれば，$Q(x)$ は $(k+4000)$ 次式であり，それぞれ $(k+1), (k+4001)$ の係数（定数項含む）の値が未知数となる．一方，$P(x)$ は$(k+7000)$ 次式なので，最初の式より $(k+7001)$ 個の方程式ができる．方程式が解を持つためには未知数以上の方程式の本数が必要なので，$k \geq 2998$ であれば解を求められる．\
　以下，
$$R(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+ \cdots + a_{2997} x^{2997}+ a_{2998} x^{2998}$$
とおいて，$R(x)$ の係数たちを決定していく．\
　最初の式を $(x-1)$ 倍すると，
$$R(x)(x^{7001}-1)+4000(x-1)$$
は $(x^{3001}-1)$ を因数に持つ．次数を落として，
$$R(x)(x^{999}-1)+4000(x-1)$$
が $(x^{3001}-1)$ で割り切れればよい．ここで $R(x)=\sum a_k x^k$ の式を用いて整理すると上の式は次のように書ける：
$$\begin{aligned}
&a_{2998}x^{3997}+\cdots+a_{2004}x^{3003}+a_{2003}x^{3002}+a_{2002}x^{3001}\\\\
&+a_{2001}x^{3000}+a_{2000}x^{2999}+(a_{1999}-a_{2998})x^{2998}+\cdots+(a_0-a_{999})x^{999}-a_{998}x^{998}-a_{997}x^{997}\\\\
&-a_{996}x^{996}\cdots-a_3x^3-a_2x^2-(a_1-4000)x-(a_0+4000)
\end{aligned}$$
以上の式が $(x^{3001}-1)$ で割り切れることから，以下のことがわかる：

- $a_0+4000=a_{2002}, a_1-4000=a_{2003}$
- $a_k=a_{k+2002}$　ただし $2 \leq k \leq 996$
- $a_{997}, a_{998}, a_{2000}, a_{2001}$ はいずれも $0$
- $a_k=a_{k+999}$　ただし $0 \leq k \leq 1999$

　上から条件 1, 2, 3, 4 と呼ぶことにする．\
　条件 2 と条件 4 から，$2 \leq k \leq 996$ の範囲で $a_k=a_{k+4}$ である．このこととと条件 3，条件 4 を用いると $a_2, a_3, a_5$ はいずれも $0$ である．（なお，さらに条件 2，条件 4 を用いれば $a_n=0$ を満たす $n$ はたくさんある．）\
　$a_{2003}=0$ より $a_1=4000$ を得，これより
$$a_1=a_4=\cdots=a_{1000}=a_{1003}=\cdots=a_{1999}=a_{2002}=\cdots=a_{2998}=4000$$
である．最後に，$a_0=0$ を得る．

　求めたいものは $P(1)$ だった．$R(1)=4000 ×751=3004000$ であり，
$$P(1)= 3004000\cdot 7001 +7001=\mathbf{21031011001}$$
地道に計算する
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/13124/759
　複素数係数多項式 $P$ は，
 - $n=1,2,\ldots,3000$ に対して，$$P\bigg(\cos{\frac{2n}{3001}\pi}+i\sin{\frac{2n}{3001}\pi}\bigg)=3001$$ 
 - $n=1,2,\ldots,7000$ に対して，$$P\bigg(\cos{\frac{2n}{7001}\pi}+i\sin{\frac{2n}{7001}\pi}\bigg)=7001$$

を満たしています．このような $P(x)$ のうち次数が最小であるものについて，$P(1)$ の値を解答してください．