公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2022/editorial/3880
　注・以下の解答では単位の $\rm{cm}$ は省略しています．

　正方形 $ADEB$, $BFGC$, $CHIA$ の中心をそれぞれ $P$, $Q$, $R$ とおきます．このとき，三角形 $AHE$ は三角形 $ARP$ を点 $A$ を中心に $2$ 倍に相似拡大したものになっていて，とくに直線 $HE$ と $RP$ は平行です．同様に直線 $DG$, $FI$ はそれぞれ $PQ$, $QR$ と平行なので，三角形 $JKL$ と三角形 $QRP$ は相似です．ここで，三角形 $ARP$, $BPQ$, $CQR$ および $QRP$ の面積をそれぞれ $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S$ とおくと，相似比を考えることで三角形 $JKL$ の面積 $T$ は以下のように表せます：

$$
T = S \times \Biggr(\frac{S-S_1-S_2-S_3}{S}\Biggl)^2
$$

　以下，それぞれの面積について考えます．まず $S$ について，$RP$ = $\dfrac{1}{2}HE = \dfrac{15}{2}$ で， 同様に $PQ = \dfrac{13}{2}$, $QR = 7$ であることから，三角形 $PQR$ は三辺の長さが $13$, $14$, $15$ の三角形を $\dfrac{1}{2}$ 倍したもので，その面積は $\dfrac{84}{4} = 21$ です．

　次に $S_1$ について考えます．点 $X$ を，四角形 $APBX$ が正方形となるようにとると，三角形 $ABX$ と $CBQ$ が共に直角二等辺三角形なので，三角形 $ABC$ と $XBQ$ は相似です．また相似比を考えることで $XQ = AR$ とわかります．また $AP = AX$, $\angle RAP  = \angle BAC  + 90^{\circ} = \angle QXA$ となるので， 三角形 $ARP$ と $XQA$ は合同で，とくにこれらは $90^{\circ}$ 回転した形になっています．したがって，線分 $RQ$ と $QA$ は長さが等しく，かつ垂直に交わります．よって，四角形 $APQR$ の面積 $S_1+S$ は $\dfrac{1}{2}RP^{2} = \dfrac{225}{8}$ とわかり，$S_1 = \dfrac{57}{8}$ となります．同様の議論で $S_2 = \dfrac{1}{8}$, $S_3 = \dfrac{7}{2}$ と計算できます．

 以上より，求めるべき面積 $T$ を計算すると $21\times \Biggr(\dfrac{41}{84}\Biggr)^2 = \dfrac{1681}{336}$ となります．回答すべき値は $\mathbf{189778176}$ です．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2022/editorial/3880/51
作問：松田

　以下の $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまる数は, 最大公約数が $1$ である整数 
$m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表せます. $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまる数を全て求め, それぞれについて $m\times n\times n$ を計算し, その値の総和を解答して下さい. ただし, $n$ は $1$ 以上とします.
***
　下図において四角形 $ADEB$ , $BFGC$, $CHIA$ はそれぞれ三角形 $ABC$ の外側にある正方形である. 
$$\begin{aligned}
DG=13\text{cm}, && FI=14\text{cm}, && HE=15\text{cm}
\end{aligned}$$
のとき, 三角形 $JKL$ の面積は $\boxed{\phantom{nada}}\ \text{cm}^2$ である.\
　なお, 三辺の長さがそれぞれ $13\text{cm}, 14\text{cm}, 15\text{cm}$ の三角形の面積は $84\text{cm}^2$ である.

![figure 1](\/images\/QFbqCzGbzgZjUyHzAaB64pQYZBOijyOiqc4HKxh4)