　一般に, 球の番号が $1, 2, \cdots n $ , 箱が $X_1, X_2, \cdots X_m$ の $m$ 個あり, 箱のスコアの分母が $m$ の累乗であるとする. また, $1$ から $n$ までの数字の中から $k$ 個の数字を選び取る方法すべてにおいて, 選び取った数字の積の総和を $a_k$ とおく.

　はじめに, すべての分配における箱 $X_1$ のみのスコアの総和を求める.
 - 箱 $X_1$ に球が入らない場合\
$S(X_1)=1$ であり, $n$ 個の球を箱 $X_1$ 以外の $m-1$ 個の箱のいずれかに分配する場合の数は $(m-1)^n$ である. したがって, この場合について箱 $X_1$ のスコアの総和は $(m-1)^n$ である. 
 - 箱 $X_1$ に球が $k$ 個入る場合（$k=1, 2, \cdots ,n$）\
箱 $X_1$ に入った球の番号を $b_1, b_2, \cdots ,b_n  (1 \leq b_1 \lt b_2 \lt \cdots \lt b_n \leq n)$ とすると, $S(X_1)=\dfrac{b_1 b_2 \cdots b_n}{m^k}$ であり, 残り $n-k$ 個の球を箱 $X_1$ 以外の $m-1$ 個の箱のいずれかに分配する場合の数は $(m-1)^{n-k}$ である. 考えられる $(b_1, b_2, \cdots ,b_n)$ の組すべてについて $(m-1)^{n-k} S(X_1)$ を求めその総和を取ると, これは $\dfrac{(m-1)^{n-k} a_k}{m^k}$ である.

　箱 $X_2, X_3, \cdots X_m$ についても同様に, すべての分配における特定の箱のみのスコアの総和を求められることに注意する. これらの合計
$$
m \Bigl( (m-1)^n + \sum_\{k=1\}^\{n\} \frac{(m-1)^{n-k} a_k}{m^k} \Bigl)
$$
こそが, 求める分配のスコアの総和にほかならない. ここで, 括弧の中身については, 以下の恒等式
$$
x^n + a_1 x^{n-1}+ a_2 x^{n-2}+ \cdots +a_{n-1} x +a_n =(x+1)(x+2)\cdots (x+n)
$$
に $x=m(m-1)=m^2-m$ を代入したのちに両辺を $m^n$ で除することにより
$$
(m-1)^n + \sum_\{k=1\}^\{n\} \frac{(m-1)^{n-k} a_k}{m^k} =\frac{(m^2-m+n)! }{m^n \cdot (m^2-m)!}
$$
と計算できる. これより, 分配のスコアの総和は $\dfrac{(m^2-m+n)! }{m^{n-1} \cdot (m^2-m)!}$ である.

今回の場合, $n=1357, m=35$ であるから, 分配のスコアの総和は
$$
\frac{2547!}{1190!\times 35^{1356}}=\frac{2547\times 2546 \times \cdots \times 1191}{5^{1356}\times 7^{1356}}
$$
である. 分母の素因数は $5, 7$ のみであるから, その指数部について考えればよい. $2547!$ が $5, 7$ でそれぞれ最大 $634, 422$ 回, $1190!$ が $5, 7$ でそれぞれ最大 $295, 197$ 回割り切れることから, 分配のスコアの総和を既約分数で表したときの分母は $5^{1356+295-634}\times 7^{1356+197-422}=5^{1017}\times 7^{1131}$ であり, 求める値は $(1017+1)(1131+1)=\mathbf{1152376}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc162/editorial/3919
　スコアと，そのスコアになる組み合わせ数を同時に求めます．

　球を順番に入れていき，球 $i$ を箱 $1$ に入れたら箱 $1$ のスコアを $\frac{i}{35}$ 倍，入れなければ $1$ 倍すると考えます．  
すると，各球 $i$ について, 箱 $1$ に球 $i$ を入れない $34$ 通りと，箱 $1$ に入れる $1$ 通りがあるので，スコアの総和 (の箱 $1$ の寄与) は
$$\prod\_{i=1}\^{1357}\left(1\times 34+\frac{i}{35}\times 1\right)$$
となります．  

後は公式解説と同様の計算です．
スコアと数式の対応付けによる解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc162/editorial/3919/236
　$1$ から $1357$ までの整数のうちちょうど $1$ つが書かれた球が $1$ つずつあります．これら $1357$ 個の玉を，区別できる $35$ 個の箱 $X_1, X_2, \cdots , X_{35}$ に分配します．ここで，球が $1$ つも入らない箱が存在しても構いません．分配後において，箱 $X_i$ の**スコア** $S(X_i)$ を次のように定めます．ただし，$P(X_i)$ は箱 $X_i$ に入っている球に書かれた番号の積，$|X_i|$ は箱 $X_i$ に入っている球の数を表すものとします：

 - 箱 $X_i$ に球が入っていないとき，$S(X_i) =1$
 - 箱 $X_i$ に球が入っているとき，$S(X_i)=\dfrac{P(X_i)}{35^{|X_i|}}$ 

さらに，各分配についてその**スコア**を $35$ 個の箱のスコアの合計 $\sum\limits_\{i=1\}^{35} S(X_i)$ として定めます．ありうる $35^{1357}$ 通りすべての分配に対して，分配のスコアを求めてそれらの総和をとると，これは既約分数として表せます．この既約分数の分母がもつ正の約数の個数を解答してください．