　ある黒マスから $1179$ 手以内で移れる範囲を表現する図形 $S$ を考える.
![figure 1](\/images\/ow4Nm4IlTqZVT8njLvs0hPjz48MXx8uDg5ougG0u)
すると, これによって無限マス目は隙間や重複なく充填可能である.
![figure 1](\/images\/zurV4jGHF9Se1VKyg0DeiTnquOaytjhJL3v6gvP5)

上の各図は $5$ 手の場合を示しているが, $1179$ 手の場合も同様である.

　この充填において, 適当に $10^{1341398}\times 10^{1341398}$ の部分マス目を切り出す. このとき, いくつかの $S$ は部分的に現れる. ここで $S$ は $4173661$ マスからなるから, それぞれの $S$ の各マスに $1,2,\cdots,4173661$ を同じ配置で書き込んで上の充填を行うことを考える. このとき, 同じ数の書き込まれたマスを黒く塗ればこれらは「草cial distance」を保っているから, 鳩の巣原理より $x\geq 1\/4173661$ がわかる. 特に $p\geq 1\/4173661$ である.\
　ところで, 部分的に現れる $S$ に属するマス目は, 外周から $2358$ マス以内に存在することに留意すれば, 逆に
$$x\leq \dfrac{1}{4173661}+\dfrac{4\times2358}{10^{1341398}}$$
と評価できる. この範囲には明らかに分母が $10^{20}$ 以下である既約分数が $1\/4173661$ のほかに存在しないから, 結局これが $p$ であり, 解答すべき値は $\textbf{4173662}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/15
　魔王・死魔死魔に敗れた勇者・しおしおの飛ばされた異世界では, 将棋のルールに**草将**という駒が追加されていました. この駒は, 以下に示された $6$ マスのいずれかに $1$ 手で移動できます.

![figure 1](\/images\/dJKKWJ4kYFW7og4wqOs2D8Tj4u1wVvAzQVkDzRqU)

　$10^{1341398}\times 10^{1341398}$ の正方形状のマス目があり, そのうちいくつかのマスを黒く塗ります. どの黒マスに草将を置いても, 他の黒マスへ草将が $2358$ 手以内に移ることができない状態を「**草cial distance**」**が保たれている**と呼ぶことにします.\
　しおしおは「草cial distance」を保ったまま黒マスを出来るだけたくさん塗りたいです. このとき, マス全体に占める黒マスの割合を $x$ とおきます. 分母が $10^{20}$ 以下の正整数であるような既約分数であって, $x$ 以下で最大のもの $p$ について, その分母と分子の和を求めてください.