公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2022/editorial/3881
　 $ADGH$ は等脚台形なので $HD=AG=HB$ となり， $H$ は $EG$ の中点となる．よって， $AD=GH=HE=\frac{3}{2}$\
 ここで，$AF$ と $BD$ の交点を $P$ とすると， $AP=HF=\frac{3}{2}$ であるから， $△ABP=△FHB$\
 よって， $(ABHFCGの面積)=(APBCの面積)+(ACGの面積)である．$ \
 $△ABD$ を $D$ を中心に $60^\circ$ 回転したものが $△PCD$ であり， $PC=AB=4$ となり， $PC$ と $AB$ のなす角が $60^\circ$ となるので，四角形 $APBC$ の面積は一辺 $1$ の正三角形の面積の $4^2=16$ 倍．\
また， $△ACG=△FCG$ の面積は一辺 $1$ の正三角形の面積の $3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$ 倍．\
以上より，六角形 $ABHFCG$ の面積は一辺 $1$ の正三角形の面積の $16+\frac{9}{2}=\frac{41}{2}$ 倍となるので，答えるべき数値は $41\times2\times2=\textbf{164}$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2022/editorial/3881/49
作問：加持

　以下の $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまる数は, 最大公約数が $1$ である整数 
$m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表せます. $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまり得る数を全て求め, それぞれについて $m\times n\times n$ を計算し, その値の総和を解答して下さい. ただし, $n$ は $1$ 以上とします.
***
　下図において $AD$ と $BC$ は平行で, 三角形 $DBC$ と三角形 $HEF$ はともに正三角形である.
$$\begin{aligned}
AG=BH, && AB=4\text{cm}, && GC=3\text{cm}
\end{aligned}$$
のとき, 六角形 $ABHFCG$ の面積は一辺 $1\text{cm}$ の正三角形の面積の $\boxed{\phantom{nada}}$ 倍である. 

![figure 1](\/images\/swymx6xtpb6bog1y34eHOEF0T3tCLBjrqFaeunBw)