　$X=d(d(n))$ は $3$ 以上の素数である．このとき $d(n)$ は素数の $X-1$ 乗数であり，$d(n)\leq 2\lfloor \sqrt{n}\rfloor \leq 20$ なので
$$d(n)=4,~ 9,~ 16$$
このうち $d(n)=16$ について，$n$ としてあり得る最小値は $120\gt 100$ であるので不適である．実際には $100$ 以下の正整数がもつ正の約数は高々 $12$ 個である．（[証明](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc205\/editorial\/3063\/405)）\
　よって $n$ は相異なる素数 $p,q$ を用いて次のいずれかの形式で表される．
$$p^3,\quad pq,\quad p^2q^2,\quad p^8$$
したがって求める $n~(\leq100)$ の個数は $2+30+2+0=\textbf{34}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/editorial/3063
　数学的な経験や勘から $n≦100$ ならば $d(n) \lt 16$ だろうと予想することもできますが，証明することも可能です．\
　以下，$n ≦100$ とします．

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　$d(n) ≦ 18$ の証明\
　$d$ が $n$ の約数であれば，$\dfrac{n}{d}$ も $n$ の約数である．このことから，$n$ の約数の個数は $2 \lfloor \sqrt{n} \rfloor $ 以下であることが従う．（なお，同様の議論を用いて，$d(n)$ が奇数であれば，$n$ は平方数であることが従う．このことは後で用いる．）\
　$ d(100)=9$ であり，$n≦99$ の範囲では，$d(n) ≦ 18$

　$d(n)≦14$ の証明\
　先ほどの議論より，集合 $U=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace$ のうち，いくつを約数として持てるか考えれば十分である．\
　特に集合 $S=\lbrace 5, 7, 8, 9 \rbrace$ を考えると，これらの要素はいずれも互いに素である．また，どの $3$ 数の積をとっても $100$ を超えるので，集合 $S$ のうち，$2$ 個までしか $n$ の約数になり得ない．\
　よって集合 $U$ のうち $n$ の約数に同時になり得るのは最大で $7$ 個であり，これより $d(n)≦14$ が従う．

　$d(n)≦12$ の証明\
　（方針１）同様の手法を貫くのであれば，以下の方針が考えられる．\
　集合 $U$ の部分集合であって，要素を $7$ 個持つもので，その全ての要素がある自然数 $n$ の約数であるものは，$\lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9\rbrace$ だけであることがわかる．\
　このとき $n=72$ が従い，$d(n) \lt 14$ である．\
　一方，$d(n)=13$ を満たす数は平方数であり，$d(n)≦18$ の際の議論から $49, 64, 81$ のいずれかが候補としてあり得るが，いずれの場合も $d(n) \lt 13$ である．

　（方針２）$d(n)=14,13$ をそれぞれ確かめる方針．\
　約数を $14$ 個持つ自然数は，$p^{13}$，$p^6q$ のいずれかの形式である．それぞれ考えて，$2^6×3=192$ が最小である．\
　約数を $13$ 個持つ自然数は，$p^{12}$ の形式であり，最小は $2^{12}=4096$ である．

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　なお，$d(n)≦14$ までの証明は，ある程度一般化することが可能です．ただし，必ずしもよい評価になるわけではありません．\
　例えば $n≦1000$ のとき，同様の方針で $d(n)≦k$ を満たす $k$ を評価してみます．$S=\lbrace 7, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31 \rbrace$ 等を考えれば簡単に $d(n)≦44$ まではたどり着きますが，実際は $d(840)=32$ が最大値になります．\
　$n≦10000$ であれば，$S=\lbrace 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81,  83, 89, 97 \rbrace$ 等を考えれば$d(n)≦160$ となりますが，実際は $d(7560)=64$ が最大値です．
d(n)≦12 の証明（読み物としてどうぞ）
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/editorial/3063/405
　$d(x)$ で正整数 $x$ の正の約数の個数を表すとき，
$$d(d(n)) \gt 2, ~~ d(d(d(n)))=2$$
を満たす $100$ 以下の正整数 $n$ はいくつありますか？