　$a_n+a_{n+1} \gt a_na_{n+1}$ となるのは，$a_n$ と $a_{n+1}$ の少なくとも片方が $1$ となるときに限られる．従って，$\lbrace a_n \rbrace $ は以下のようになるとわかる. \
$$a_1=a_2=1,\quad a_3=2,\quad a_4=3,\quad a_{n+2}=a_na_{n+1}\quad (n=3,4,\ldots)$$
　ここで，フィボナッチ数列の第 $n$ 項を $F_{n}$ と表すことにする．つまり，次のように数列 $\\{F_n\\}$ を定める．
$$F_{-1}=1,\quad F_{0}=0,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$$
このとき，帰納的に $n\geq 3$ では $a_n = 2^{F_{n-4}}\times 3^{F_{n-3}}$ であることが確かめられる．よって，$a_n$ の約数の個数は $(F_{n-4}+1)(F_{n-3}+1)$ であるから，$k=14$ が分かる．$a_{14}=2^{55}\times3^{89}$ なので，特に解答すべき値は $\bf{29370}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb014/editorial/6090
　数列$\lbrace a_n \rbrace$ を以下のように定めます. \
$$
a_1=a_2=1,\quad a_{n+2}=\max (a_n+a_{n+1} , a_na_{n+1})\quad(n=1,2,\ldots)
$$ 
このとき，正の約数を $5040$ 個持つ項 $a_k$ がちょうど一つ存在します．$a_k$ は素数 $p,q$ と正の整数 $a,b$ を用いて $a_k=p^a\times q^b \space$ と表せるので，$abpq$ を解答してください.