　三角形 $ABC$ の外心を $O$, 外接円を $\Gamma$ とおき, $\Gamma$ での $A$ の対蹠点を $Q$ とおくと, well-known factとして $3$ 点 $H, M, Q$ は同一直線上に等間隔に並ぶ. いま, 点 $A$ を中心とした半径 $\sqrt{AF\times AB}$ の円による反転を考える. 方べきの定理より, 三角形 $PHD$ の外接円は反転によって不変であり, $\Gamma$ は直線 $EF$ に移ることがわかる. すなわち $X$ は $\Gamma$ 上にあり, $\angle MXQ=\angle AXQ=90^\circ$ であるから, 三角形 $MHY$ と $MQX$ の合同から $HY$ と $AM$ は直交する.\
　したがって三角形 $AHY$ と三角形 $AMD$ は相似であり,
$$YH=\dfrac{MD\times AH}{AM}$$
が成立するので, $AM, MD, AH$ の長さをそれぞれ求めればよい.

- $AM$ について, 中線定理より $2(AM^2+BM^2)=AB^2+AC^2$ であるから $AM=\dfrac{\sqrt{129}}{2}$ である.
- $MD$ について, $CD=\dfrac{5}{7}$ が容易にわかるから, $MD=\dfrac72-CD=\dfrac{39}{14}$ である.
- $AH$ について,  $\angle BOM=\angle BAC=60^\circ$ より $AH=2OM=2\times\dfrac72\times\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{7\sqrt3}{3}$ である.

以上より $YH=\dfrac{13\sqrt{43}}{43}$ であるから, 求めるべき値は $13+43+43=\mathbf{99}$ である. 

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**注意．** $X$ が $\Gamma$ 上にあることは反転を用いなくても示される：$F$, $B$, $X$, $P$ は方べきの定理より同一円周上にあるから, $\angle AXB=\angle AFP=\angle AFE=\angle ACB$ が成り立つ.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc126/editorial/2701
　三角形の形状があらかじめわかっているので, 座標計算でゴリ押してみましょう.  
　余弦定理から $\angle{BAC}=60^{\circ}$ がわかるので, $A(0,0), B(4,4\sqrt3), C(5,0)$ とおいてみます. 今, 簡単な計算により $$M\left(\frac{9}{2}, 2\sqrt3\right), E(4,0), F\left(\frac{5}{4}, \frac{5\sqrt3}{4}\right), H(4,\dfrac{1}{\sqrt3}), P\left(\frac{180}{89}, \frac{80\sqrt3}{89}\right)$$ がわかります. なお, $P$ については, $2$ 直線の交点として愚直に計算しても出ますし, 直線 $AP$ が三角形 $AEF$ のsymmedianであることから, $EP:FP=AE^2:AF^2=64:25$ であることを使っても出ます.  
　さて, $4$ 点 $D,H,P,X$ が同一円周上にあることから, 方べきの定理より $$AP\times{AX}=AH\times{AD}$$ であり, また$$AH\times{AD}=AE\times{AC}=20$$ だから $AP\times{AX}=20$ です. 今,$$AP=\sqrt{\left(\frac{180}{89}\right)^2+\left(\frac{80\sqrt3}{89}\right)^2}=\frac{20\sqrt{129}}{89}$$ であるから $AX=\dfrac{89}{\sqrt{129}}$ であり, 計算することによって, $X$ の $x$ 座標が $\dfrac{267}{43}$ と求まります.  
　したがって,  $Y$ の $x$ 座標は $$2\times\frac{9}{2}-\frac{267}{43}=\frac{120}{43}$$ であり,  $Y\left(\dfrac{120}{43}, \dfrac{160\sqrt3}{129}\right)$ となるから, 線分 $YH$ の長さは, $$\sqrt{\left(\frac{120}{43}-4\right)^2+\left(\frac{160\sqrt3}{129}-\frac{1}{\sqrt3}\right)^2}=\frac{13\sqrt{43}}{43}$$ と求まりました.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc126/editorial/2701/143
$$AB=8,\quad BC=7,\quad CA=5$$
をみたす三角形 $ABC$ において, 辺 $BC$ の中点を $M$, 点 $A, B, C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ とし, 垂心を $H$ とします. さらに $AM$ と $EF$ の交点を $P$, 三角形 $PHD$ の外接円と直線 $AM$ の交点のうち $P$ でないものを $X$, $M$ を中心に $X$ と対称な位置にある点を $Y$ としたとき, 線分 $YH$ の長さを求めてください.\
　ただし, 答えは互いに素な正整数 $a, c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので $a+b+c$ を解答してください.