　良い配置において，任意に $2$ 行（列）を選びそれらの行（列）に置かれた石を入れ替えても良い配置である．$R_1\leq R_2\leq\cdots \leq R_{13}$ および $C_1\leq C_2\leq\cdots\leq C_{11}$ をみたすように適当に行，列を入れ替える操作を**正規化**と呼ぶこととする．\
　以下，$(i,j)$ に置かれた石の個数を $C(i,j)$ で表す．正規化された良い配置について考える．ある $i,j$ であって $C(i,j)=1,C(i+1,j)=0$ をみたすものが存在すると仮定すると，$R_i\leq R_{i+1}$ よりある $k$ が存在して $C(i,k)=0,C(i+1,k)=1$ となるものが存在する．このとき $4$ マスの「石が置かれているか」を反転させた配置は同じ特性組を持つため，もとの配置が良い配置であるという仮定と矛盾する．従って $C(i,j)=1$ ならば $C(i+1,j)=1$ が従う．この議論より，良い配置は正規化すると階段状になっているもの（図を参照）に限られることを意味する．逆に，正規化した後で階段状になっている配置が良い配置であることもわかる．\
　また，例えば左側の図のような正規化された良い配置について，良い駒が置かれたマス全体は図で赤く塗られたマスである．一般の配置についても同様である．これより，良い配置において良い駒をすべて同時に取り除いても良い配置であり，また $1$ 個以上石の置かれている良い配置においては良い駒が $1$ 個以上存在することがわかる．よって $4$ 回の操作後に駒は $0$ 個になり，操作を逆に辿れば，右側の図（またはその行と列を入れ替えたもの）のように黒，黄，青，赤の順に駒の配置が定まる．それぞれに対し正規化する前の配置としてあり得るものの個数を考えれば，求める値は
$${}\_{13}\mathrm{P}\_{4}\times\frac{{}\_{11}\mathrm{P}\_{7}}{2^3}+{}\_{11}\mathrm{P}\_{4}\times\frac{{}\_{13}\mathrm{P}\_{7}}{2^3}={\bf 12129717600}.$$ 

![figure 1](\/images\/UANDU8I4lrwlSamns7CSKKLTrMB7AMhH8nbl4VuA)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc156/editorial/4390
　$13$ 行 $11$ 列のマス目があり，各マスにつき高々 $1$ 個の駒を置くことを考えます．\
　それぞれの駒の配置について，上から $i$ 行目に置かれた駒の総数を $R_i$，左から $j$ 列目に置かれた駒の総数を $C_j$ とするとき，順序付いた組 $(R_1,R_2,\dots,R_{13},C_1,C_2,\dots,C_{11})$ を**特性組**と呼ぶこととします．いま，特性組から駒の配置が一意に決定されるとき，その配置を**良い配置**と呼ぶこととします．また（良い配置であってもなくてもよい任意の）駒の配置において，置かれている駒のうち，その駒のみを取り除くと良い配置であるような駒を**良い駒**と呼ぶこととします．
<details><summary>良い配置・良い駒の例<\/summary>
　上から $i$ 行目，左から $j$ 列目のマスを $(i,j)$ で表します．\
　たとえば，$(1,1),(1,2),(2,1)$ のみに駒を置いた配置は良い配置です．またこの配置で $(1,2),(2,1)$ に置かれた駒は良い駒ですが，$(1,1)$ に置かれた駒は良い駒ではありません．
<\/details>

　次の条件をすべてみたす良い配置はいくつありますか？
- はじめに，良い駒は $7$ 個ある．
- 各時点での良い駒をすべて同時に取り除く操作を $4$ 回繰り返すとき，$1,2,3,4$ 回目の操作後の良い駒の個数がそれぞれ $5,3,2,0$ 個である．