　$n=100$ とする．
$$S_1=\sum_{k=1}^{n^2} \bigg\lfloor\dfrac{k^2}{n^2}\bigg\rfloor,\quad
S_2=\sum_{k=1}^{n^2}\Big\lfloor n\sqrt{k}\Big\rfloor$$
とおく．このとき，$S_1$ は $1\le x\le n^2$ の領域内の $y=\dfrac{x^2}{n^2}$ と $x$ 軸で囲まれた領域に含まれる格子点の数に等しく，$S_2$ は $1\le x\le n^2$ の領域内の $y=n\sqrt x$ と $x$ 軸で囲まれた領域に含まれる格子点の数に等しい．（それぞれ $x$ 軸上は含まず，それ以外の境界上の格子点は含む）\
　ここで，$y=\dfrac{x^2}{n^2}$ と $y=n\sqrt x$ は 直線 $y=x$ で対称であるから，$S_1+S_2$ は $1\le x,y\le n^2$ の領域内の格子点の数と，この領域内の $y=n\sqrt x$ 上の格子点の数の和に等しい．従って，求める総和は $n^4 + n=\bf{100000100}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc220/editorial/7444
　以下の値を求めてください.
$$\sum_{k=1}^{10000} \biggl( \bigg\lfloor\frac{k^2}{10000}\bigg\rfloor+\Big\lfloor 100\sqrt{k}\Big\rfloor \biggr)$$