　$n\leq 8$ で条件をみたすものは $1,2,5$ のみである．また $n\geq 9$ のときは，$(n+1)!$ は $n!$ の $10$ 倍以上であるから必ず桁数が増える．よって求める総和は $\mathbf{8}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/editorial/4438
　$n!$ と $(n+1)!$ が十進法表記で同じ桁数となるような，正整数 $n$ の総和を求めてください．