　各村人について素直であるかを表す真理値を**素直度**と呼ぶ. $pe\overbrace{p...p}^{n}er$ さんと $pe\overbrace{p...p}^{f(10^n)}er$ さんの素直度は等しい. ここで, 合同式の法を $4$ とすれば,
$$f(10^n) = \begin{cases} 1 &(n \equiv 0) \\\ 10 \equiv 2 &(n \equiv 1) \\\ 100 \equiv 0 &(n \equiv 2) \\\ 91 \equiv 3 &(n \equiv 3) \end{cases} $$
よって, 以下のように必要十分条件を表現することができるから, 求める場合の数は $2^2 = \textbf{4}$ である. 

- $n\equiv 0,1,2$ なる $n$ について $pe\overbrace{p...p}^{n}er$ さんの素直度がすべて等しい.
- $n\equiv 3$ なる $n$ について $pe\overbrace{p...p}^{n}er$ さんの素直度がすべて等しい.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc074/editorial/1516
　$peer$ 村には, $peper$ さん, $pepper$ さん, ... , $pe\overbrace{p...p}^{100}er$ さんの $100$ 人が住んでいます. $peer$ 村の住人の性格はどれも**素直**か**照れ屋さん**であり, 性格が素直な者は常に素直に本当のことを言い, 照れ屋さんは常に照れて嘘をついてしまいます. また, $peer$ 村の住人はどの二人も互いの性格が素直であるか照れ屋さんであるかを把握しています.\
　ある時, $peer$ 村に旅人がやってきました. 旅人は, $100$ 以下の正の整数 $n$ それぞれに対して, $pe\overbrace{p...p}^{n}er$ さんに

- $x$ を $101$ で割った余りを $f(x)$ としたとき, $pe\overbrace{p...p}^{f(10^n)}er$ さんは素直ですか？

と質問しました. すると, すべての村人が「はい」と回答しました.\
　このとき, 村人たちの性格の組み合わせとして考えられるものはいくつありますか？