　$N=20$ とする．$A$ としてあり得るものの総数は $(a_2,a_3,\dots,a_{N-1})$ としてあり得るものの総数であるから，これは $5\times (N-2)$ の網目状の道を左上から右下の頂点まで最短経路で移動する方法の総数と一致することがわかる．これは ${}\_{N+3}\mathrm{C}\_{5}$ である．  
　また，$T(A) = a_2+a_3+\dots+a_{N-1}$ は経路を移動した軌跡より下部分の面積と等しい．この経路を上下左右反対にした経路と足し合わせると $2$ つでちょうど $5(N-2)$ の長方形となる組み合わせを作れるので，$T(A)$ の総和は $\dfrac{5(N-2)\_{N+3}\mathrm{C}\_{5}}{2}$ である．これに $a_1=5,a_N=0$ を加えることで，$S(A)$ の総和は 
$$\dfrac{5}{2}(N-2)\_{N+3}\mathrm{C}\_{5}+5\_{N+3}\mathrm{C}\_{5}=\dfrac{5}{2}N\_{N+3}\mathrm{C}\_{5}$$

となる．特に解答すべき値は $\dfrac{5}{2} \times 20 \times {}\_{23}\mathrm{C}\_{5} = \mathbf{1682450}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb025/editorial/11297
$S(A)$ の平均値を考えると, これは $A$ の各項の平均値の総和です.  
対称性から, $a_k+a_{21-k}$ の平均値は $5$ であるとわかります.  
よって, $S(A)$ の平均値は $50$ であるのでこれに $A$ としてとりうる数列の総数を掛ければよいです.   

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あるいは以下のように言い換えてから対称性を見出すのも良いでしょう.

$k=1,2,3,4,5$ に対し, $a\_i\ge k$ なる最大の $i$ を $b\_k$ とおきます.  
$A$ が広義単調減少であるので, 数列 $b$ は広義単調増加であり, また, $1\le b\_1,b_5\le 19$ を満たします.  
広義単調増加であり, また, $1\le b\_1,b_5\le 19$ な数列 $b$ から $A$ を復元することができます.  
さらに, 主客転倒により $S(A)=\sum\_{k=1}\^{5}b\_k$ と表せます.  
よって, 求める答えは
$$\sum\_{1\le b\_1\le b\_2\le\dots\le b\_5\le19}b_i$$
となります. こちらの方が対称性が見やすいかもしれません.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb025/editorial/11297/676
　$a_1=5,a_{20}=0$ であり，広義単調減少な整数の列 $A=\\{a_1,a_2,\dots,a_{20}\\}$ があります．$A$ の $20$ 項の総和を $S(A)$ とするとき，$A$ としてありうるものすべてについての $S(A)$ の総和を解答してください.