　桁数ごとに適するものの個数を数えれば，以下のように計算できる：
$$ 4 + 4\times 4 + 4\times 4\times 3 + 4\times 4\times 3\times 2 + 4\times 4\times 3 \times 2\times 1=\mathbf{260}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5320
　五進法表記ですべての桁が相異なる正整数はいくつありますか？\
　ただし，最高位は $0$ でないように表記するものとします．
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【21:03追記】五進法表記で $1$ 桁のものも含みます．