　線分 $BD$ の垂直二等分線に関して $C$ と対称な点を $C^\prime$ とする. $A,B,C^\prime,D$ が共円であることに気をつければ
$$\triangle ABC^\prime = AB\times BC^\prime \times \sin \angle ABC^\prime = C^\prime D\times DA\times\sin\angle C^\prime DA = \triangle C^\prime DA$$
であるから, 線分 $AC^\prime$ と線分 $BD$ の交点は線分 $BD$ の中点である. よって方べきの定理より
$$BM^2 = AM\times C^\prime M = AM\times CM$$
を得る. また, 中線定理より
$$
AB^2 + AD^2 = 2(BM^2 + AM^2)
$$
が成立する. 上の二式をあわせて解くことで $AM = \bf{113}$ を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/4120
　補助点を取らない，計算メインの解法です

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　中線定理および余弦定理，また四角形 $ABCD$ は円に内接することより次が成り立つ．
$$AB^2+AD^2=2(BM^2+AM^2),\quad BC^2+CD^2=2(BM^2+CM^2),$$
$$\frac{AB^2+AD^2-BD^2}{2AB\cdot AD}+\frac{BC^2+CD^2-BD^2}{2BC\cdot CD}=0$$
$BC=127x,CD=129x,BM=y$ とおき，$127^2+129^2=2(128^2+1)$ を用いて整理すれば次を得る．
$$AM^2=-y^2+128^2+1,\quad (128^2+1)x^2=y^2+32^2,\quad (128^2+1)x^2-(x^2+1)y^2=0$$
後二式より $y^2=3616$ であるから $AM^2=12769={\bf 113}^2$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/4120/46
　[公式解説](.\/)の $C^\prime$ に気づけなくても $BM^2 = AM \times CM$ を得る方法です！

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　まず，仮定より $BC : DC = AB : AD$．$M$ を中点連結定理で活かしたいので，$AB$ の中点を $N$ とおくと，仮定と合わせて
$$ AN : MN = \frac{AB}2 : \frac{AD}2 = AB : AD = BC : DC. $$
また $AD \mathrel{\/\\!\/} NM$ および円に内接する四角形の性質を用いて
$$ \angle ANM = 180^\circ - \angle BNM = 180^\circ - \angle BAD = \angle BCD. $$
よって二辺比夾角相等より $\triangle ANM$ と $\triangle BCD$ は相似であり
$$\angle BAM = \angle NAM = \angle CBD = \angle CBM. $$
同様の議論で $\angle ABM = \angle BCM$ も分かるので，二角相等より $\triangle ABM$ と $\triangle BCM$ も相似．したがって $AM : BM = BM : CM$ より $BM^2 = AM \times CM$．
対称点を取らない方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/4120/47
　円に内接する四角形 $ABCD$ は $AB\times CD = AD\times BC$ を満たします. 線分 $BD$ の中点を $M$ とします. 
$$\begin{aligned}
AB = 127,&& AD = 129,&& CM = 32
\end{aligned}$$
であるとき $AM$ の長さを求めて下さい.