　 $A$ さんが勝つ確率と $A$ さんが負ける確率は等しいので，あいこになる確率は $54~ \\%$ である．一方であいこになる確率は $(x^2+y^2+z^2)~ \\%$ とも表せるので，$x+y+z=10$ かつ $x^2+y^2+z^2=54$ なる $x,y,z$ を探せばよい．これは $(1,2,7)$ が唯一であるから，解答すべき値は $\textbf{127}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/4294
　次の条件を全て満たす正整数の組 $(x,y,z)$ はただ $1$ 通りあるので，この組に対して $100x+10y+z$ の値を求めてください．

- $x+y+z=10$
- $x\lt y\lt z$
- ジャンケンにおいて，$10x~ \\%, 10y~ \\%,10z~ \\%$ の確率でそれぞれグー，チョキ，パーを出す $A,B$ さんがジャンケンを $1$ 回するとき，あいこにならずに $A$ さんが $B$ さんに勝つ確率は $23 ~\\%$ である．