　$b_i=a_i-i+1 ~ (i=1,2,\ldots,7)$ と定める．このとき，$1 \leq b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_7 \leq 9$ であり，$b_1,b_2,\ldots,b_7$ の偶奇は全て等しい．$b_1,b_2,\ldots,b_7$ が全て奇数のとき ${}_5 \mathrm{H}_7=330$ 通り，偶数のとき ${}_4 \mathrm{H}_7=120$ 通りあるため，解答すべき値は $330+120=\mathbf{450}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/editorial/5144
　公式解説の方法はエレガントですが，もう少し地道にやる方法も紹介します．

  　$a_7-a_1$ は，$6$ 以上 $14$ 以下の偶数なので，この値が $6$，$8$，$10$，$12$，$14$ の $5$ 種類の場合を考えればよい．それぞれ計算すると，$9+42+105+168+126=\mathbf{450}$ である．\
  　それぞれの値の導出については，全て書くとたいへんなので，$a_7-a_1=10$ の場合のみ説明する．\
  　まず $a_1$ の取り方は，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$ の $5$ 通りである．\
  　次に，$a_2-a_1$，…，$a_7-a_6$ は全て奇数で，その合計が $10$ である．そこで $a_2-a_1=1+2b_1$，…，$a_7-a_6=1+2b_6$ とおくと，$b_1+…+b_6=2$ となる場合の数を求める問題に帰着される（ここで $b_n$ は全て非負整数）．そのような場合の数は ${}_7 \mathrm{C}_2$ 通りである．\
  　よって，$a_7-a_1=10$ を満たす場合の数は，$5×{}_7 \mathrm{C}_2=105$ 通り．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/editorial/5144/225
　$1\leq a_1\lt a_2 \lt \dots \lt a_7\leq 15$ に対し,
 - $b_1=a_1-1$.
- $b_i=b_i-b_{i-1}\\;\(i=2,\dots,7)$
- $b_{8}=15-a_7$.

とすると, $b_i$ は非負整数であり, 以下を満たす.

- $b_1+b_2+\dots+b_{8}=15-1=14$.
- $b_2,b_3,\dots,b_7$ はそれぞれ奇数..

よって, 答えは以下のように計算できる.

$$
\begin{aligned}
&\[x^{14}\](1+x+x^2+\dots)(x+x^3+x^5+\dots)^6(1+x+x^2+\dots)\\\\
&=\[x^{14}\]\frac{1}{1-x}\Big(\frac{x}{1-x^2}\Big)^6\frac{1}{1-x}\\\\
&=\[x^{14}\]\frac{1+x}{1-x^2}\Big(\frac{x}{1-x^2}\Big)^6\frac{1+x}{1-x^2}\\\\
&=\[x^{14}\]\frac{x^6(1+2x+x^2)}{(1-x^2)^8}\\\\
&=\[x^{8}\] \frac{1+2x+x^2}{(1-x^2)^8}\\\\
&=\[(x^2)^4\] \frac{1}{(1-x^2)^8}+\[(x^2)^3\] \frac{1}{(1-x^2)^8} \\\\
&=\binom{4+7}{7}+\binom{3+7}{7}\\\\
&=330+120=\mathbf{450}.
\end{aligned}
$$
形式的冪級数を用いる解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/editorial/5144/699
　$1 \leq a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_7 \leq 15$ を満たす整数の組 $(a_1,a_2,\ldots,a_7)$ であって，
$$a_2-a_1,　a_3-a_2,　\ldots　a_7-a_6$$
が全て奇数であるようなものはいくつありますか．