　三角形 $ABC$ が鋭角三角形であることより，$∠BHC = ∠BOC = ∠BIC = 120^\circ$ であること，及び，$3$ 点 $H$,  $O$,  $I$ が辺 $BC$ に関して同じ側にあることが分かる．よって  $5$ 点 $B, H, O, I, C$ は同一円周上にあり，三角形 $BOC$ の外接円の半径が $\cfrac{14}{\sqrt{3}}\$ となることが分かる．$∠BOC= 120^\circ$ より，$BC = 14$ が分かり，$AB = a,  AC = b$ とおくことで，余弦定理より
$$a^2 + b^2 - ab = 196$$
が従う．$a,b$ がともに整数であること，三角形 $ABC$ が鋭角三角形であること，及び $H, O, I$ が三角形をなすこと（つまり，三角形 $ABC$ が正三角形ではないということ）を踏まえると，$\min(a,b)^2\lt196=14^2$ が分かるので，この範囲で順に代入することで $\\{a,b\\}=\\{10,16\\}$ が分かる．従って，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗としてあり得る値は $\mathbf{4800} $ のみである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc212/editorial/7165
　$∠A = 60^\circ$ であり，全ての辺の長さが整数であるような鋭角三角形 $ABC$ の垂心，外心，内心をそれぞれ $H,O,I$ とします．$3$ 点 $H,O,I$ が三角形を成し，その外接円の面積が $\cfrac{196}{3}\pi$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗としてありうる値の総和を解答して下さい.