　すべての順列に対するスコアの総和 $S$ を求めればよい. これは $272$ 以下の正整数 $i,j$ に対して $|i-j|$ の寄与がそれぞれ $2\times256\times 270!$ 回であることに留意すれば,
$$\begin{aligned}
S&=\displaystyle 2\times256\times 270!\times\sum_{i=1}^{272}\sum_{j=1}^{i}(i-j)\\\\
&=256\times270!\times\sum_{i=1}^{272}(i^2-i)\\\\
&=\dfrac{1}{3}\times 256\times 273!
\end{aligned}$$
　以上より求める平均は $S\/272!=256\times273\/3=\textbf{23296}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/editorial/272
$$\mathrm{Exp} \left( \sum\limits_{i=1}^{256}|a_i-a_j| \right)=\sum\limits_{i=1}^{256} \mathrm{Exp}\left( |a_i-a_j| \right)=256\ \mathrm{Exp}\left( |a_i-a_j| \right)$$
　よって $\mathrm{Exp}\left( |a_i-a_j| \right)$ を求めればよい．${}\_{272}\mathrm{C}\_{2}$ 通りについて $|a_i-a_j|$ の値を考えれば，
$$\sum\limits_{{}\_{272}\mathrm{C}\_{2} 通り}|a_i-a_j|=1×271+2×270+ \cdots +271×1$$
であることがわかる（表などを書いて考えよ）．右辺は ${}\_{273}\mathrm{C}\_{3}$ に等しいから，結局求めたい値は
$$256×\dfrac{{}\_{273}\mathrm{C}\_{3}}{{}\_{272}\mathrm{C}\_{2}}=256×91=23296$$
平均（期待値）を使う
https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/editorial/272/536
　$272$ 項からなる整数列 $\\{a_i\\}\_{i=1,\ldots,272}$ の**スコア**を以下で定めます. 
$$ \sum_{i=1}^{256} |a_i-a_{i+16}| $$
$1,2,\ldots,272$ を並べ替えてできる整数列は $272!$ 通り考えられますが, それらのスコアの平均値を求めてください.\
　ただし, この平均値は整数値になることが証明できます.