　サイコロを $n$ 回投げたときの総積は $(平方数)$ , $(平方数)×2$ , $(平方数)×3$ , $(平方数)×6$ , のいずれかで表される．それぞれについて目の出方が $a_n$, $b_n$, $c_n$, $d_n$ 通りあるとすると，以下の関係式が成立する．$$a_{n+1}=c_{n+1}=2a_n+b_n+2c_n+d_n,\quad a_n+b_n+c_n+d_n=6^n$$
すなわち $a_{n+1}=2a_n+6^n$ であり，これと $a_1=2$ から $$a_n=\frac{2^n+6^n}{4}$$ を得る．
求める答えは $a_{10^9+12}$ を $ 10^9+7 $で割った余りであるから,  Fermatの小定理より$$\begin{aligned}
a_{10^9+12}&=2^4\cdot2^{10^9+6}+2^4\cdot3^6\cdot6^{10^9+6}\\\\
&\equiv{2^4+2^4\cdot3^6}\pmod {10^9+7}\\\\
&\equiv{\mathbf{11680}}\pmod{10^9+7}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/editorial/1295
少々ゴリ押し解法です. 式を見やすくするために $n = 10^9 + 12$ とします. サイコロの目は $2^x \cdot 3^y (x,y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1)$ の形で表される $6$ つの数なので, $i$ 回目に投げたサイコロの目を $2^{x_i} \cdot 3^{y_i} (x_i, y_i \in \mathbb{Z})$ とすると,
$$\sum_{i = 1}^{n}{x_i}, \quad \sum_{i = 1}^{n}{y_i}$$
がともに偶数になる $(x_1, x_2,\ldots,x_n)$ および $(y_1, y_2,\ldots,y_n)$ の数をそれぞれ数えればよいので, $x_i$ の和が偶数になる $(x_1, x_2,\ldots,x_n)$ の数と, $y_i$ の和が偶数になる $(y_1, y_2,\ldots,y_n)$ の数をそれぞれ数えてそれらをかけ合わせればよいです.\
　$x_i$ について,  $x_i = 1$ となる $i$ の数を $2k$ 個 $(0 \leq k \leq n \/ 2)$ とすると, $(x_1, x_2,\ldots,x_n)$ の数は
$$\sum_{k = 0}^{n\/2}{{}\_n\text{C}\_{2k}2^{n - 2k}} = \sum_{k = 0}^{n\/2}{{}\_n\text{C}\_{2k}2^{2k}}$$
となりますが, 二項定理から
$$\sum_{i = 0}^{n}{{}\_n\text{C}\_i2^{i}} = 3^n,\quad \sum_{i = 0}^{n}{{}\_n\text{C}\_i2^{i}(-1)^{i}} = 1$$
となるので
$$\sum_{k = 0}^{n\/2}{{}\_n\text{C}\_{2k}2^{2k}} = \frac{3^n + 1}{2},\quad \sum_{k = 1}^{n\/2}{{}\_n\text{C}\_{2k - 
 1}2^{2k - 1}} = \frac{3^n - 1}{2}$$
となります. 次に $y_i$ の和について, $y_i = 1$ となる $i$ の数を $2k$ 個 $(0 \leq k \leq n \/ 2)$ とすると, $(y_1, y_2,\ldots,y_n)$ の数は
$$\sum_{k = 0}^{n\/2}{{}\_n\text{C}\_{2k}}$$
となりますが, 二項定理から
$$\sum_{i = 0}^{n}{{}\_n\text{C}\_i} = 2^n,\quad \sum_{i = 0}^{n}{{}\_n\text{C}\_i(-1)^i} = 0$$
なので,
$$\sum_{k = 0}^{n\/2}{{}\_n\text{C}\_{2k}} = \sum_{k = 1}^{n\/2}{{}\_n\text{C}\_{2k - 1}} = 2^{n - 1}$$
です. 以上から $N = 2^{n - 2}(3^n + 1)$ となります.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/editorial/1295/68
　$M=10^9+12$ とする．素因数 $2$ を $x$，$3$ を $y$ に対応付ければ，次の多項式を展開した時に現れる項のうち $x$ の次数，$y$ の次数が共に偶数であるものの係数の総和が $N$ である．
$$f(x,y)=(1+x+y+x^2+xy+x^2y)^M=(1+x+x^2)^M(1+y)^M$$
ここで実際に展開した様子を考えれば次が成立するため $N$ が求められた．あとは公式解説と同様である．
$$N=\frac{f(1,1)+f(1,-1)+f(-1,1)+f(-1,-1)}{4}=2^{M-2}(3^M+1)$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/editorial/1295/71
　各面に $1,2,3,4,6,12$ が書かれた六面体のサイコロを順に $10^9+12$ 回振ったとき，出た目の総積が平方数となるような目の出方は $N$ 通りあります．$N$ を素数 $10^9+7$ で割った余りを求めてください．