　長針・短針はそれそれ $1$ 分間で $6^\circ$ および $0.5^\circ$ 進む. $11$ 時の時点で長針と短針のなす角は $30^\circ$ であるから,
$$6M=30-0.5M$$
すなわち $M=60\/13$ を得る. よって, 解答すべき値は $\textbf{73}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc079/editorial/1872
　一般的なアナログ時計において, $11$ 時を過ぎて初めて長針と短針が $12$ と $6$ の目盛りを結んだ直線に対して線対称となるのは, $11$ 時 $M$ 分です. このとき, 互いに素な正整数 $a,b$ によって $M=\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.