　$V$ の頂点の数を $v$，辺の数を $e$，正三角形の面の数を $f_3$，正五角形の面の数を $f_5$ とする．このとき，$V$ は凸であるからEulerの多面体定理により
$$v - e + f_3 + f_5 = 2\tag1$$
が成立する．\
　一つの頂点に集まる面の数は $3$ 以上であり，正三角形と正五角形が同数（これを $n$ とする）集まるので偶数である．また，$V$ は凸であるから，一つの頂点に集まる角の大きさの総和は $360^\circ$ 未満である．つまり，$$n(60^\circ + 108^\circ) \lt 360^\circ$$
が成立するので，$n=2$ である．特に，どの頂点にもちょうど $4$ 個の面が集まるので，どの頂点にもちょうど $4$ 本の辺が接続する．さらに，どの辺もちょうど二つの頂点に接続するので，
$$v = \frac{2e}{4} = \frac{1}{2}e\tag2$$
が成立する．\
　各辺は，ちょうど一つの正三角形とちょうど一つの正五角形に接しているので，次が成り立つ．
$$3f_3 = e = 5f_5$$
従って，ある正の整数 $a$ が存在して
$$f_3 = 5a,\quad f_5 = 3a,\quad e = 15a\tag3$$が成立する．\
　以上により，$(1),(2),(3)$ を連立して解くことで，$e = 60$ を得る．よって，求める答えは $\mathbf{60}$ である．\
　なお，実際に**二十・十二面体**（[icosidodecahedron](https:\/\/ja.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%8C%E5%8D%81%E3%83%BB%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93)）などと呼ばれる準正多面体が条件をみたす．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc151/editorial/1648
　以下の条件をすべてみたす凸多面体 $V$ があります：

- すべての辺の長さが等しく，各面は正三角形または正五角形である．
- すべての辺について，正三角形の面と正五角形の面が一つずつ接している．

このとき，$V$ の辺数としてありうる正整数の総和を求めてください．