　直線 $XY$ と $\Gamma_2$ の交点を $R$ とする．

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**補題.** 直線 $XY$ は $∠PXQ$ の二等分線である．

**証明.** $\Gamma_1,\Gamma_2$ の中心をそれぞれ $O_1,O_2$ とする．このとき，$X$
を中心とする $\Gamma_1$ を $\Gamma_2$ に移す拡大によって $Y$ は $R$ に，$O_1$ は $O_2$ にそれぞれ移る．特に直線 $YO_1$ と $RO_2$ は平行であり，また $YO_1$ は $PQ$ に垂直であるから，$RO_2$ は $PQ$ に垂直である．これより $PR=QR$ が成り立つため，$∠PXY=∠QXY$ が示された．
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　補題より，$PY:QY=20:23$ であるから $PY=20x, ~ QY=23x$ とおける．さらに，$XY:YR=4:5$ であるから，方べきの定理より
$$XY×YR=PY\times QY = 460x^2$$
が成立することと併せて，$XY^2=368x^2$ を得る．また，Stewartの定理より
$$XY^2=XP×XQ-PY×QY=460-460x^2$$
が成立するので，これを解いて $x^2=\dfrac{5}{9}$ を得る．従って，$XY^2=\dfrac{1840}{9}$ であるから，特に解答すべき値は $\mathbf{1849}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/editorial/5557
　円 $\Gamma_1$ と $XP, XQ$ の交点をそれぞれ $ P^{\prime}, Q^{\prime}$ とおく．このとき接弦定理より，$\triangle XPQ$ と $\triangle XP^{\prime}  Q^{\prime}$ は相似であり，外接円の半径の比から，その相似比は $9:4$ である．\
　従って，$XP^{\prime}, XQ^{\prime}$ の長さがそれぞれ求まり，方べきの定理を用いて $YP,YQ$ の長さがそれぞれ求まる．\
　この後の方針は，公式解説と同様に Stewart の定理を用いてもよいし，公式解説の点 $R$ を用いて $XY:YR=4:5$ と点 $Y$ の周りの方べきの定理を用いてもよい．
相似を用いる方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc213/editorial/5557/438
　二つの円 $\Gamma_1,\Gamma_2$ があり，$\Gamma_1$ は $\Gamma_2$ に点 $X$ で内接しています．また，$\Gamma_1$ 上に $X$ でない点 $Y$ を取ると，$\Gamma_1$ の点 $Y$ における接線と $\Gamma_2$ が相異なる $2$ 点 $P,Q$ で交わりました．
$$XP=20,\quad XQ=23$$
が成り立ち，$\Gamma_1$ の半径と $\Gamma_2$ の半径の比が $4:9$ であるとき，線分 $XY$ の長さの二乗を求めて下さい． \
　ただし，求める値は，互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて ${\dfrac{a}{b}}$ と表せるので，$a+b$ を解答して下さい．