　一度に入れられるビー玉の個数は $1, 2, 7, 8$ 個のどれかであるが，$7, 8$ 個入れるのは合計で高々 $1$ 回である．
* 必ず $1$ または $2$ 個ずつ入れる場合：  
　$12$ を一般に $n$ とおき，入れ方を $a_n$ 通りとおくと，
$$a_1 = 1,\qquad a_2 = 2,\qquad a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$$
が成立するから，$a_n$ を順に求めて $a_{12} = 233$ を得る．

* $1$ 回だけ $7$ または $8$ 個入れる場合：  
　はじめ $7, 8$ を $1, 2$ と扱い，後で $6$ を加えることを考える．$1, 2$ 個ずつ $6$ 個のビー玉を入れる入れ方は
$$(1,1,1,1,1,1),\quad(1,1,1,1,2),\quad(1,1,2,2),\quad(2,2,2)$$
とその並び替えであるから，求める場合の数は
$$ 6 \times {}\_6\mathrm C\_0 + 5 \times {}\_5\mathrm C\_1 + 4 \times {}\_4\mathrm C\_2 + 3 \times {}\_3\mathrm C\_0 = 58. $$

　よって答えは $233 + 58 = \mathbf{291}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3487
　$n$ 個のビー玉の入れ方の総数を $f(n)$ とする(ただし，$f(0)=1, f(n) = 0 (n \lt 0))$ と，$1$ 回目に入れるビー玉の個数を考えることで
$$f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-6) +f(n-7)$$
を得るから，
$$f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5,\\\\
f(5) = 8, f(6)=13, f(7)=22, f(8)=37,\\\\
f(9)=62, f(10)=104, f(11)=174, f(12)=\bf{291}$$
となる．
素直に解く
https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3487/517
　冪級数にて考えてみます。
条件をみたしながら $k$ 回に分けて玉を合計 $n$ 個入れるとき答えは以下の$x^n$ の係数になります.
$$(x+x^2+x^7+x^8+\dots)^k=\Bigr(\frac{x+x^2}{1-x^6}\Bigl)^k$$
よって答えはこれを $k\geq1$ にて, 和を取った以下の $x^n$ の係数になります.
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{\infty}\Bigr(\frac{x+x^2}{1-x^6}\Bigl)^k
&=\frac{x+x^2}{1-x^6}\frac{1}{1-\frac{x+x^2}{1-x^6}}\\\\
&=\frac{x+x^2}{1-x-x^2-x^6}
\end{aligned}
$$
　上の冪級数を $\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ とすると, 以下が成立. ( $n\lt 0$ について, $a_n=0$ とします.)
$$(1-x-x^2-x^6)\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k=\sum_{k=0}^{\infty}(a_k-a_{k-1}-a_{k-2}-a_{k-6})x^k$$
　一方これは $\dfrac{x+x^2}{1-x-x^2-x^6}\times(1-x-x^2-x^6)=x+x^2$ であるため, $k\geq 3$ にて, $a_k-a_{k-1}-a_{k-2}-a_{k-6}=0$ が成立します. $a_1=1,a_2=2$ であるため漸化式から順に計算することによりこの問題を解くことができます.

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【余談】$1,2,6$ 個ビー玉を入れる操作をそれぞれ操作 $X,Y,Z$ と名づけると, $6n+1$ 個ビー玉を入れる操作は 操作 $X$ を $1$ 回行ったのち 操作 $Z$ を $n$ 回繰り返したと考え、$6n+2$個ビー玉を入れる操作も操作 $Y$ を $1$ 回行ったのち操作 $Z$ を $n$ 回繰り返すと考えられる. すると全体の操作は最初に 操作 $X,Y$ いずれかを $1$ 回行ったのち操作 $X,Y,Z$ のいずれか選んで行うことを袋の中のビー玉が $N$ 個になるまで行うと解釈しても同様に漸化式を立てることができる.
形式的冪級数による解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc092/editorial/3487/614
　**区別のない** $12$ 個のビー玉があり，これらを何回かに分けて $1$ つの袋に入れることを考えます．袋に一度に入れるビー玉の個数が，常に $6$ で割ると $1$ か $2$ 余る正整数になるようにするとき，入れ方は何通りありますか？