$a,b$ の最大公約数を$g$ とし, 互いに素な正整数 $a^\prime, b^\prime$ によって $a = ga^\prime, b = gb^\prime$ と表されたとする. このとき, 
$$\gcd(b^2-a^2, b^2+a^2) = g^2\gcd({b^\prime}^2-{a^\prime}^2, {b^\prime}^2+{a^\prime}^2) = g^2\gcd(2{b^\prime}^2, {b^\prime}^2+{a^\prime}^2)$$
となる. ここで, 
$\gcd(2{b^\prime}^2, {b^\prime}^2+{a^\prime}^2)$ が奇素数 $p$ で割り切れたとすると，$a^\prime$ と $b^\prime$ が共に $p$ で割り切れることとなり，この $2$ つが互いに素であることに矛盾する．また，$a^\prime$ と $b^\prime$ の内少なくとも一方は奇数であるから，$a^{\prime2} + b^{\prime2}$ は $4$ の倍数でない．よって，$$\gcd(b^2-a^2, b^2+a^2) = g^2,2g^2\tag1$$
と分かる．従って，最後に書かれた数 $c$ を割り切る素数は，$2$ または最初に書かれた $2024$ 個の数を全て割り切る素数のみであり，最初に書かれた $2024$ 個の数の最大公約数は $1$ であるから，$c$ は $2$ べきである．\
　以下では，$c$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求める．$k$ 回操作された後に黒板に書かれている $2024-k$ 個の数のうち，$2$ で割り切れる回数が最も少ないものの $2$ で割り切れる回数を $e_k$ とする．このとき，(1)より $e_{k+1}\le 2e_{k}+1$ であり，$e_0 = 0$ であるから，$e_{2023} \le 2^{2023}-1$ である．また，黒板に
$$1,\quad 3,\quad 2^{2^{1}-1},\quad 2^{2^{2}-1},\quad \ldots,\quad 2^{2^{2022}-1}$$
が書かれているとき，毎回左の二つを選んで操作を行うことで等号が達成される．よって，$N = 2^{2^{2023}-1}$ である．従って，フェルマーの小定理より，求める答えは $\bf{127}$ と計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc212/editorial/7380
　OMC君は，黒板に最大公約数が $1$ であるような相異なる $2024$ 個の正整数を書いた後，次の操作を $2023$ 回行うことにしました．
 - 黒板に書かれた数の中から $2$ つの整数 $a,b$ を選んで黒板から消し，代わりに $\gcd(b^2-a^2, b^2+a^2)$ を黒板に書く．ただし，同じ整数が $2$ つ以上書かれている場合はそれらの中から $2$ つ選んでも良い．

　このとき，黒板にはちょうど $1$ つの整数が書かれた状態になります．OMC君が最初に書いた数や行う操作によらず，この整数が必ず $n$ 以下となるような整数 $n$ のうち最小のものが存在するので，それを $N$ とします．$N$ が $1$ 桁の素数で割り切れる回数の合計を素数 $2017$ で割った余りを解答して下さい．
<details><summary>$1$ 桁の素数で割り切れる回数の合計とは<\/summary>
$1320 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 11$ が $1$ 桁の素数で割り切れる回数の合計は $3+1+1 = 5$ 回である．
<\/details>