　各操作とそれに伴う移動は，以下の3つのいずれかに分類できる．

1. 　1番目の操作を選ぶことにより, 初めて訪れるマスに到達する
2. 　2番目の操作を選ぶことにより, マス $x$ からマス $x-1$ に戻る
3. 　いずれかの操作を選ぶことにより, マス $x$ から既に訪れたことのあるマス $x+1$ に移る

このうち，1.は24回または25回行われ，3.は 2.の直後のみに行われる．\
　1.が24回行われる時，2.および 3.は3回ずつ行われる．何回目の 1.の後に 2. および 3.を行うか，また 3.においてどちらの操作を行うかの選択があるので，この場合は ${}\_{26}\mathrm{C}\_{3}\times 2\^{3}$ 通りである．\
　1.が25回行われる時，30回目の移動は 2.であり，それ以外で 2. および 3.は2回ずつ行われる．上と同様に考えれば，この場合は ${}\_{26}\mathrm{C}\_{2}\times 2\^{2}$ 通りである．\
　よって，求める答えは ${}\_{26}\mathrm{C}\_{3}\times 2\^{3}+{}\_{26}\mathrm{C}\_{2}\times 2\^{2}=\mathbf{22100}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/4323
　$n$ 回の操作後にマス $k$ にいるような操作方法の総数を $a_{n,k}$ とおく．  
$n$ 回の操作後にマス $k$ にいるのは $n-1$ 回の操作後にマス $k-1$ にいて操作 $1$ を行うか，$n-2$ 回の操作後にマス $k$ にいて $n-1$ 回目の操作に操作 $1$ か操作 $2$ を行った後に $n$ 回目の操作で操作 $2$ を行うときなので，$a_{n,k}=a_{n-1,k-1}+2a_{n-2,k}$ となる．  
 $a_{n,n}=1(n\geqq2)$ および $a_{2n,0}=2^{n-1}(n\geqq1)$ から漸化式を解くと，$$a_{n+2,n}=2n+1\ ,\ a_{n+4,n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}2(2k+1)=2{(n+1)}^2\ ,\ a_{n+6,n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}4{(k+1)}^2=\dfrac{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3)$$ となり，求める操作方法の総数は $a_{30,24}=\dfrac{2}{3}\cdot25\cdot26\cdot51=\textbf{22100}$．
漸化式を立てる
https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/4323/286
　左右一列に $31$ 個のマスが並んでおり，左から順に $0,1,2,\dots,30$ と番号が付いています．はじめ，マス $0$ にコマが一つあり，このコマに対して操作をちょうど $30$ 回行います．$i$ 回目の操作（$i=1,\ldots,30$）では，以下の $2$ 種類の行動のうち，ちょうど一方を行えます：

1. 　現在コマのあるマスを $x$ とするとき，コマをマス $x+1$ に動かす.  
2. 　$i-1$ 回目の操作の直前にコマがあったマスを $y$  とするとき，コマをマス $y$ に動かす.  

ただし，$1$ 回目に2番目の操作を選ぶことはできないとします．\
　操作の選び方は全体で $2\^{29}$ 通りありますが（コマの動きが一致する場合も，$2$ 種類の操作は区別するものとします），このうち 最終的にコマがマス $24$ にあるような操作の選び方は何通りありますか？