　整数 $a$ が素数 $p$ で割り切れる回数を $v_p(a)$ で表す．
カードに書かれた整数を $a_1,\dots,a_n$ とするとき，条件は各 $k=1,\dots,n$ に対し次が成り立つことと同値．

- (a)：任意の素数 $p$ に対し $\begin{cases}v_p(a_k)\leq 50&(p\leq 50)\\\\ v_p(a_k)=0&(p\gt 50)\end{cases}$．

- (b)：ある素数 $p(\leq 50)$ が存在して $v_p(a_k)\gt\bigl(\sum_{i=1}^{n}v_p(a_i)\bigr)-v_p(a_k)$．

$2$ つ以上の $k$ に対し(b)の条件式をみたす $p$ は存在しないため，$50$ 以下の素数の個数を考えれば $n\leq 15$．逆に $n=15$ の場合に条件をみたす例は容易に構築できるため $m=15$ である．

　$n=15$ のとき，各 $k=1,\dots,15$ に対し(b)をみたす $p$ がただ一つ対応する．よって次を満たす整数組 $(x_1,\dots,x_{15})$ の個数を $M$ とすれば $K=15!\cdot M^{15}$ である．

$$x_1\gt\sum_{i=2}^{15}x_i,\quad 0\leq x_i\leq 50$$

$x_1^{\prime}=50-x_1$ と置き換えれば容易に $M=\binom{64}{15}$ が得られるため，Legendreの公式を用いれば $K$ は $2$ で $\bf{101}$ 回割り切れる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc009/editorial/62
　$n$ を正の整数とします. 次の条件を満たすように, 区別できる $n$ 枚のカードに $1$ つずつ $2$ 以上の整数を書き込みます. 

- 任意のカードに書かれた整数 $a$ と, その素因数 $p$ について, $p\leqq 50$ であり, $p^{51}$ は $a$ を割り切らない. 
- $n$ 枚のカードからどのように $1$ 枚以上 $n-1$ 枚以下カードを選んでも, 選ばれたカードに書かれた整数の積は, 選ばれなかったカードの積で割り切れない. 

　このような書き込み方が存在する $n$ として考えられる最大の値を $m$ とすると, $n=m$ のとき書き込み方は $K$ 通りあります. $K$ が $2$ で割り切れる回数を求めてください. \
　ただし, 書く数字の組み合わせが同じでも, どの数字をどのカードに書くかが異なれば別の書き込み方として数えることに注意してください.