　まず $\angle BDC=\angle BOC=2\angle BAC$ より $AD=CD$ が従い, 同様に $AE=BE$ である. また, 三角形 $ABC$ と三角形 $AED$ は相似であることに留意する.\
　ここで $BC=x$ とおく. このとき三角形 $ABC$ と三角形 $AED$ の相似比は $2:x$ であるから,
$$AD=CD=\frac{10}{x},\ \ AE=BE=\frac{8}{x}$$
が成り立ち, 四角形 $BCED$ にPtolemyの定理を適用することで
$$2x+\left(4-\frac{10}{x}\right)\left(5-\frac{8}{x}\right)=\frac{10}{x}\times\frac{8}{x}$$
を得る. これを解けば $x\gt 0$ より $x=-5+\sqrt{66}$ となり, 特に解答すべき値は $\textbf{61}$ である. \
　なお $\cos \angle BAC$ を2通りに表現して比較しても解くことができる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/225
　$AB=4$, $AC=5$ なる三角形 $ABC$ において, 外心を $O$ とすると, 三角形 $OBC$ の外接円は線分 $AB$ と $B$ でない点 $D$ で, 線分 $AC$ と $C$ でない点 $E$ で交わり, $DE=2$ が成り立ちました. このとき $BC$ の長さを求めてください. ただし, 答えは整数 $a, b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表されるので $a+b$ を解答してください.