　 $d$ を $n$ の正の約数とする．$\gcd(k,n)=d$ となる必要十分条件は， $k$ が $d$ の倍数かつ $\gcd \left( \dfrac kd, \dfrac nd \right) = 1$ となることである．したがって，$\gcd(k,n)$ を固定して数え上げると，
$$\begin{aligned}
f(n) &= \sum_{d \mid n}d\times\phi\bigg(\frac{n}{d}\bigg) \\\\
&= \sum_{d\mid n}\frac{n}{d}\times\phi(d) \\\\
&= n\sum_{d\mid n}\dfrac{\phi(d)}{d}
\end{aligned}$$
を得る．ここで， $g(d)=\dfrac{\phi(d)}{d}$ は乗法的関数（任意の互いに素な正整数 $\ell, m$ に対して $g(\ell m)=g(\ell)g(m)$ が成り立つ関数）であるから，
$$\begin{aligned}
n\sum_{d\mid n}\frac{\phi(d)}{d}
&= n\prod_{p|n}\sum_{k=0}^{\mathrm{ord}_ p(n)}\frac{\phi(p^k)}{p^k} \\\\
&= n\prod_{p|n}\left(1+\sum_{k=1}^{\mathrm{ord}_ p(n)}\frac{p-1}{p}\right) \\\\
&= n\prod_{p|n}\frac{(p-1)\mathrm{ord}_ p(n)+p}{p} \\\\
&= \prod_{p|n} p^{\mathrm{ord}_ p(n)-1}\big((p-1)\mathrm{ord}_ p(n)+p\big)
\end{aligned}$$
となる．ここで $p$ が奇素数のとき，$ p^{\mathrm{ord}_ p(n)-1}\big((p-1)\mathrm{ord}_ p(n)+p\big)$ は奇数になるから，

$$\mathrm{ord}_ 2(f(n))=\mathrm{ord}_ 2(\mathrm{ord}_ 2(n)+2)+\mathrm{ord}_ 2(n)-1$$

となる．いま $e=\mathrm{ord}_ 2(n)+2$ とおくと問題文の条件は

$$\mathrm{ord}_ 2(e)+e=2^{2023}+2059$$

と同値である．$e\leq2^{2023}$ のとき，$\mathrm{ord}_ 2(e)+e\le2023+2^{2023}$ より不適である．$e\gt2^{2023}$ のとき，$e=2^{2023}+2059-t$（ $t$ は $2059$ 未満の非負整数）とおくと，$\mathrm{ord}_ 2(2059-t)=t$ より $t=0,1,3,11$，すなわち $e=2^{2023}+2048+k$（ $k=0,8,10,11$ ）のとき適することがわかる．\
　以上より，$\mathrm{ord}_ 2(f(n))=2^{2023}+2056$ の必要十分条件は $\mathrm{ord}_ 2(n)=2^{2023}+2046+k$（ $k=0,8,10,11$ ）が成り立つことである．これを満たす正整数 $n$ は周期的であることに留意して，$10000$ 番目に小さい正整数 $n$ は $19891\times2^{2^{2023}+2046}$ と求まる．よって，求めるべき値は $19891+2^{2023}+2046\equiv\mathbf{876}\pmod{1009}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/9471
　$\mathrm{ord}_2(f(n))$ の求め方についてです．\
　数学的に好ましい方法ではない（厳密性に欠ける）のですが，この手の整数論の問題は公式解説のように乗法的関数が絡む可能性が高いので，$n$ の素因数が $1$ 個の場合，素因数が $2$ 個の場合を考えて，そこから帰納的に推測することも可能です．以下，実際に計算してみます．\
　$n=p^x$ とすると，
$$\begin{aligned}
f(n) &= 1×n \left( 1-\dfrac{1}{p}\right)+p×n \left( \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p^2}\right)+p^2×n \left( \dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{p^3}\right)+ \cdots +p^{x-1}×n\left( \dfrac{1}{p^{x-1}}-\dfrac{1}{p^x}\right)+p^x \\\\
& = n \left\lbrace \left( 1-\dfrac{1}{p}\right)x+1 \right\rbrace
\end{aligned}$$
　$n=p^x q^y$ とすると（ここがやや難しいです），

$$\begin{aligned}
f(n) & = \sum_{i≦x-1,j≦y-1} p^i q^j×n \left( \dfrac{1}{p^i}-\dfrac{1}{p^{i+1}}\right)\left( \dfrac{1}{q^j}-\dfrac{1}{q^{j+1}}\right) \\\\
& + \sum_{i=x,j≦y-1}  p^x q^j×n \cdot \dfrac{1}{p^x}\left( \dfrac{1}{q^j}-\dfrac{1}{q^{j+1}}\right) +\sum_{i≦x-1,j=y}  p^i q^y×n \cdot \dfrac{1}{q^y}\left( \dfrac{1}{p^i}-\dfrac{1}{p^{i+1}}\right) +p^xq^y\\\\
& = xyn\left( 1-\dfrac{1}{p}\right)\left( 1-\dfrac{1}{q}\right)+yn\left( 1-\dfrac{1}{q}\right)+xn\left( 1-\dfrac{1}{p}\right)+n\\\\
& = n\left\lbrace \left( 1-\dfrac{1}{p}\right)x+1 \right\rbrace\left\lbrace \left( 1-\dfrac{1}{q}\right)y+1 \right\rbrace
\end{aligned}$$ 
　以上の結果より，$n=p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots$ であれば，$f(n)=n\left\lbrace \left( 1-\dfrac{1}{p_1}\right)x_1+1 \right\rbrace\left\lbrace \left( 1-\dfrac{1}{p_2}\right)x_2+1 \right\rbrace \cdots$ であると推測できます．\
　公式解説とは見た目が全く違いますが，上式が $\prod\limits_{p|n}p^{\mathrm{ord}_p(n)-1}((p-1)\mathrm{ord}_p(n)+p)$ と一致しています．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/9471/307
　乗法的関数に関する知識がなくても、以下のようにして解くことができる。
　 $n={p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}\cdots {p_m}^{q_m}$ において， $\mathrm{gcd}(k,n)=\mathrm{gcd}(k,{p_1}^{q_1})\mathrm{gcd}(k,{p_2}^{q_2})\cdots \mathrm{gcd}(k,{p_m}^{q_m})$ である．また，中国剰余定理より， $1$ 以上 $n$ 以下の整数 $i$ は，以下を満たす $m$ 個の整数の組と一対一対応できる．$$A_i=({a_i}\_{1},{a_i}\_{2},\cdots,{a_i}\_{m})(0\leq a_j \leq {p\_{j-1}}^{q\_{j-1}},i \equiv {a_i}_s \pmod {{p_s}^{q_s}})$$
　ここで， $\mathrm{gcd}(k,{p_s}^{q_s})=\mathrm{gcd}(k \pmod {{p_s}^{q_s}},{p_s}^{q_s})=\mathrm{gcd}({a_k}\_s,{p_s}^{q_s})$ となるので，

 $\mathrm{gcd}(k,n)=\mathrm{gcd}({a_k}\_1,{p_1}^{q_1})\mathrm{gcd}({a_k}\_2,{p_2}^{q_2})\cdots \mathrm{gcd}({a_k}\_m,{p_m}^{q_m})$ と書き換えられる．よって， $a_k\_s$ に， $0$ 以上 ${p_s}^{q_s}$ 以下の数が全て同じ回数現れることより，

 $f(n)=\sum\limits\_{k=1}^{n} \mathrm{gcd}(k,n) $

 $= (\mathrm{gcd}(0,{p_1}^{q_1})+\mathrm{gcd}(1,{p_1}^{q_1})+\cdots +\mathrm{gcd}({p_1}^{q_1}-1,{p_1}^{q_1})) \cdots (\mathrm{gcd}(0,{p_m}^{q_m})+\mathrm{gcd}(1,{p_m}^{q_m})+\cdots +\mathrm{gcd}({p_m}^{q_m}-1,{p_m}^{q_m})) $

$=\prod\limits\_{x=1}^{m} ((q_x+1)p_x-q_x){p_x}^{q_x-1}$ となり，

これは本解説の $\prod\limits\_{p|n} p^{\mathrm{ord}_p (n)-1}((p-1)\mathrm{ord}_p (n) +p)$ と同値である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/9471/310
　正の整数 $n$ に対し，正の整数 $f(n)$ を
$$f(n)=\sum_{k=1}^{n}\gcd(k,n)$$ 
により定義します．このとき，
$$\mathrm{ord}_2(f(n))=2^{2023}+2056$$ 
を満たす正の整数 $n$ のうち $10000$ 番目に小さいものを $M$ とします．$M$ は正の奇数 $a$ と非負整数 $b$ を用いて $a\times2^b$ と一意に表せるので，$a+b$ を素数 $1009$ で割ったあまりを求めてください． \
　ただし，正の整数 $\ell, m$ に対し，$\gcd(\ell, m)$ は $\ell$ と $m$ の最大公約数を，$\mathrm{ord}_p(m)$ は $m$ が素数 $p$ で割り切れる最大の回数をそれぞれ表します．