　$m=n^a,m^2-m+6=2(n+1)^b$ より $$n^{2a}-n^a+6=2(n+1)^b$$ である．両辺の剰余を考えれば次がわかる．
$$\begin{aligned}6&\equiv 2\pmod{n},\\\\ 7-(-1)^a&\equiv 0\pmod{n+1}\end{aligned}$$
上式より $n$ は $2,4$ のどちらかとわかり，それぞれについて下式を考えれば
- $n=2$ のとき $1\equiv (-1)^a\pmod{3}$ より $(a,b,m)=(2,2,4)$．
- $n=4$ のとき $2\equiv (-1)^a\pmod{5}$ で，このような $a$ はない．

　以上より $(m,n)=(4,2)$ のみが解として得られ，特に解答すべき値は $\bm{6}$  である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc003/editorial/30
　$2$ 以上の正の整数 $m, n$ に対し，以下のように定めます：
$$a=\log\_{n}m,\quad b=\log\_{(n+1)}\left(\dfrac{m^2-m+6}{2}\right).$$
$a, b$ がともに素数となるようなすべての組 $(m,n)$ に対して，$m+n$ の総和を求めてください．

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