　与えられた立体を一辺の長さが $4$ の正四面体の内部に適切に埋め込むことを考えれば, 貼り合わせによって隣り合った面は同一平面上にある. よって題意の三角形は辺の長さが $2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 2$ の二等辺三角形で, その面積は $\sqrt{\textbf{11}}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc054/editorial/2070
　一辺の長さが $2$ の正四面体と, すべての辺の長さが $2$ の正四角錐があります.  それぞれから適当に正三角形の面を選び, それらに沿って $2$ 立体を外側に (面を除いて共通部分をもたないように) 貼り合わせたとき, 貼り合わせに用いなかった $3$ 頂点からなる三角形の面積の $2$ 乗を求めてください.