　$2$ 回戦が終わった時点で，$2$ 連勝中の選手が $1$ 人，$1$ 連勝中の参加者が $2$ 人おり，この $3$ 人が $3$ 回戦の第 $1$ 試合で対戦する．$2$ 回戦が終わった時点の成績に応じて，以下のように文字をおく．

- $x$：$2$ 連勝中の選手が優勝する確率
- $y$：$1$ 連勝中の選手それぞれが優勝する確率
- $z$：$3$ 回戦の第 $2,3$ 会場に出場する選手それぞれが優勝する確率
- $w$：$3$ 回戦で待機する選手が優勝する確率

　このとき，次が成り立つ.
$$ x=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}z+\frac{1}{3}w,\quad y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}z+\frac{1}{6}w,\quad z=\frac{2}{9}y+\frac{4}{9}z,\quad w=\frac{2}{3}z $$

<details><summary>例：2つ目の式が成り立つ理由<\/summary>

　$1$ 連勝中の選手 $\mathrm{A}$ について，
- $1$ 位になった場合，$\mathrm{A}$ が $2$ 連勝した選手となる．
- $2$ 位になった場合，$1\/2$ の確率で $2$ 連勝した選手が $3$ 連勝しており，試合が終了する．そうでないとき，$\mathrm{A}$ が第 $2$ 会場に進む．
- $3$ 位になった場合は上と同様．

<\/details>

<details><summary>例：3つ目の式が成り立つ理由<\/summary>

　$3$ 回戦の第 $2,3$ 会場に出場する選手 $\mathrm{A}$ について，$1\/3$ の確率で $2$ 連勝中の選手が $3$ 連勝し，試合が終了する．そうでないときのうち，$1\/3$ の確率で $\mathrm{A}$ は $1$ 連勝し，$2\/3$ の確率で $\mathrm{A}$ は第 $2,3$ 会場に出場する．

<\/details>

<details><summary>極限の正当化<\/summary>

　$x_n$ を $2$ 連勝中の選手があと $n$ 回以内の試合後に優勝する確率などとすると，
$$x_{n+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}z_n+\frac{1}{3}w_n$$
などの漸化式が成り立つ．ここで，例えば $\\{x_n\\}$ は広義単調増加であり，すべて $1$ 以下だから収束する．$\\{y_n\\},\\{z_n\\},\\{w_n\\}$ についても同様である．漸化式を $n\to\infty$ とすれば上の式が得られる．

<\/details>

これを解いて次を得る.
$$ x=\frac{4}{11},\quad y=\frac{3}{22},\quad z=\frac{3}{55},\quad w=\frac{2}{55} $$ 
これより，求める確率それぞれについて
$$ P_1=\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y+\frac{2}{3}z+\frac{1}{9}w=\frac{19}{198},\quad P_{10}=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}z=\frac{9}{110}$$
よって求める比は $95:81$ であり，特に解答すべき値は $\textbf{176}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc146/editorial/2640
　$A_1$ から $A_{10}$ までの $10$ 人の選手が，次の要領で試合を行います．

- 一度の試合には $3$ 人が参加し，$1,2,3$ 位と重複なく順位が付く．
- $10$ 人の選手の実力は互いに対等で，各試合について $3$ 人の順位の組み合わせ $6$ 通りは均等に現れる．
- $1$ 回戦の第 $j$ 会場（$j=1,2,3$）では $A_{3j-2}$, $A_{3j-1}$, $A_{3j}$ の $3$ 選手が対戦し，$A_{10}$ は待機する．
- $n$ 回戦の結果に応じて，$n+1$ 回戦の割り振りを下図のように行う（$n\geq 1$）：

![figure 1](\/images\/8nKnXwuu826KI4oVHHcr1dwE4grkMn4qdoDth5Pl)

　$3$ 試合連続で $1$ 位となった選手が初めて現れたとき，その選手を優勝者として終了します（ルールにより，優勝者は存在すれば一意です）．遅くとも $N$ 回戦までに優勝者が $A_j$ に定まる確率を $P_{N,j}$ とし，その $N\to\infty$ での極限を $P_{j}$ と定めます．\
　このとき，比 $P_{1}:P_{10}$ は互いに素な正整数 $s,t$ を用いて $s:t$ と表されるので，$s+t$ を解答してください.