　与式を以下のように変形すると、$n+10$ が $9000$ の約数になることが条件であることがわかる．
$$\begin{aligned}
\dfrac{n^3+10^4}{n+10}=n^2-10n+100+\dfrac{9000}{n+10}
\end{aligned}$$ 
$9000=2^3\times 3^2 \times 5^3$ の正の約数は $48$個で，そのうち $n\gt 0$ とならないものは
$$n+10=1,2,3,4,5,6,8,9,10$$
である．これらを除く $39$ 組全てに対して，$n+10$ の総和は
$$\begin{aligned}
(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5+25+125)-48=30372
\end{aligned}$$
より，求める総和は $30372-10\times 39=\bf{29982}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/editorial/2013
　$\dfrac{n^3+10^4}{n+10}$ が整数となるような正整数 $n$ の**総和**を解答してください．