　一般に正の実数 $a, b, c$ がこの順で等比数列をなし，その公比が $1$ より大きい場合，
$$a^2 \lt bc，b^2 = ac，c^2 \gt ab$$
が成り立つので，与えられた条件から $x, z, y$ がこの順で公比 $\dfrac{11}{10}$ の等比数列をなすことがわかり
$$y = \frac{11^2}{10^2} x，z = \frac{11}{10} x$$
と表せる．よって
$$\frac{11^4}{10^4} x^2 = y^2 = xz + 1 = \frac{11}{10} x^2 + 1$$
であるから，これを解いて $x = \sqrt{\dfrac{10000}{3641}}$ を得る．ゆえに，解答すべき値は $\mathbf{13641}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/editorial/10137
　正の実数 $x, y, z$ が与えられており，これらを小さい方から順に並べると等比数列をなし，その公比は $\dfrac{11}{10}$ でした．また，以下 $2$ つの等式をともにみたしています．
$$y^2 = xz + 1，z^2 = xy$$
このときの $x$ の値を求めて下さい．ただし，互いに素な正整数 $p, q$ によって $x = \sqrt{\dfrac{p}{q}}$ と表すことができるので，$p + q$ の値を解答して下さい．