　直線 $AB$ と $CD$, $CD$ と $EF$, $EF$ と $GH$, $GH$ と $AB$ の交点をそれぞれ $X, Y, Z, W$ とする．条件より
$$ \angle B + \angle C = \angle D +\angle E = \angle F + \angle G = \angle H + \angle A = 270^\circ $$
であるから，三角形 $BCX, DEY, FGZ, HAW$ は合同な直角三角形となる．したがって四角形 $XYZW$ は正方形である．
$$BX = DY = FZ = HW = x, \quad CX = EY = GZ = AW = y$$
とおけば，三平方の定理より
$$x^2 + y^2 = 13^2$$
である．また，$AB\parallel CG$ であるから，
$$x + 7 = y$$
であるので，これらを連立して解くことで $x = 5, y = 12$ を得る．以上より，求める面積は
$$(x + y + 7)^2 - 4\times\frac{1}{2}xy = \bf{456}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/editorial/5358
　以下の条件をすべてみたす凸八角形 $ABCDEFGH$ の面積を求めてください：
- $AB \parallel CG$
- $\angle A = \angle C = \angle E = \angle G$
- $\angle B = \angle D = \angle F = \angle H$
- $AB = CD = EF = GH = 7$
- $BC = DE = FG  = HA = 13$