　スコアを最大化する $X$ について考える．ある整数 $a$ を十進法表記したとき $a = \overline{a_1a_2 \cdots a_{2021}}$ と表せるとする. さらに $b_i = 9 - a_i$ とすれば，$a \in X$ となるための必要十分条件は $\oplus$ を排他的論理和として
$$b_1 \oplus b_2 \oplus \cdots \oplus b_{2021} = 0 \tag{1}$$
となることを示す．スコアの定義より，$S$ の元を大きい方から順に見て，$X$ の元となり得るものを貪欲に選択していくのが最善である．したがって，$a \gt k$ での同値性を仮定し，$a = k$ で成立を示せばよい．\
　$k$ が $(1)$ をみたすとき，$k$ とちょうど $2020$ 桁が一致する数は，$(1)$ の左辺において $k$ から一文字のみが変化するから，$(1)$ をみたさない．仮定よりそのような数は $X$ に含まれないから，$k\in X$ である．\
　逆に $k$ が $(1)$ をみたさないとき，$(1)$ の左辺の値を二進法で表したときに，$1$ となる桁の中で最も位の大きなものをとれる．$b_i$ の中から同じ桁が $1$ となるものを一つ任意にとり，$(1)$ が成立するような $b^\prime_i$ に変更してできた数を $a^\prime$ とすれば，$b_i \gt b^\prime_i$ より $a \lt a^\prime$ で，さらに $a^\prime \in X$ であるから，$a \notin X$ が従う．\
　したがって，以下 $(1)$ をみたす組 $(b_1, \ldots, b_{2021})$ を数え上げればよい. $b_1, \ldots , b_{2021}$ の中で $8$ の位が $0$ であるものが存在するから，その中で最も添字の大きいもので $1, 2, 4$ の位を調整することを考えれば，求める値は
$$\begin{aligned}
\lvert X \rvert &= \sum_{n=0}^{1010} \Bigl({}\_{2021}\mathrm{C}\_{2n} \times 8^{2021-2n-1}\times 2^{2n}\Bigr) \\\\
&= 2^{2017}\times2\sum_{n=0}^{1010} \Bigl({}\_{2021}\mathrm{C}\_{2n} \times 4^{2021-2n}\Bigr) \\\\
&= 2^{2017}((4+1)^{2021}+(4-1)^{2021}) = 2^{2017}(5^{2021} + 3^{2021})
\end{aligned}$$
Fermatの小定理などよりこれを $1009$ で割った余りは $\textbf{682}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/editorial/312
　$S = \\{0, 1, 2, \ldots,10^{2021}-1\\}$ とし，$S$ の部分集合 $\\{a_1, a_2, \ldots, a_n\\}$ に対しその**スコア**を以下で定めます：
$$2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_n}$$
　以下の条件をみたす $S$ の部分集合 $X$ であって，そのスコアが最大になるものは一意に存在することが保証されます．その元の個数を素数 $1009$ で割った余りを求めてください．

- 任意の $a,b \in X$ に対して，$a,b$ の十進法表記で各桁を比較すると，ちょうど $2020$ ヵ所が一致することはない．

　ただし, 上の条件において $a,b$ が十進法表記で $2021$ 桁に満たない場合は，例えば $1$ ならば $000 \cdots 001$ のように，先頭に $0$ を適当に補うことで $2021$ 桁の数とみなして考えるものとします．