　下 $2$ 桁の和の最大値は $9+9=18$ であるから, 上 $2$ 桁の和としてあり得るものは $1$ から $9$ である. ここで, 千の位が $0$ にならないことに注意する.

- 上 $2$ 桁の和が $k~(k\leq4)$ のとき\
 上 $2$ 桁としてあり得るものは $k$ 通り,下 $2$ 桁としてあり得るものは $2k+1$ 通り存在. 

- 上 $2$ 桁の和が $k~(k\geq5)$ のとき\
 上 $2$ 桁としてあり得るものは $k$ 通り, 下 $2$ 桁としてあり得るものは $(18-2k)+1$ 通り存在. 

　よって, 求める答えは
$$\sum_{k=1}^4k(2k+1)+\sum_{k=5}^9k((18-2k)+1)=\mathbf{225}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc107/editorial/4137
　$4$桁の正整数のうち, 以下の条件を満たすものはいくつですか？

- 下 $2$ 桁の和が上 $2$ 桁の和の $2$ 倍である. 

例えば, $2022$ は条件を満たし, $2021$ や $2023$ は条件を満たしません.