　$\angle BAI=\alpha, \angle CBI=\beta$ とおく. 円周角の定理および接弦定理から
$$\angle IPQ =\angle IQP =\angle PIB =\alpha$$
であり, $BI\/\/PQ$ が成り立つ. これより
$$\angle AIQ =\angle APQ =\angle ABI =\beta$$
であり, $\triangle AIQ \sim \triangle IBP$ が分かる. したがって, 
$$IP:AQ=IQ:AQ=BP:IP \quad \therefore BP=\frac{25}{4}$$
さらに, $\triangle ABI \sim \triangle AIQ$ より
$$AB:AI=AI:AQ \quad \therefore AI^2=53$$
　ここで, 直線 $QI$ と $BC$ との交点を $D$ とすると, 
$$\angle BID =180\degree - (180\degree -\alpha -\beta ) - \beta =\alpha, \quad \angle DBI=\beta$$
であるから $\triangle IBP \equiv \triangle IBD$ であり
$$\angle BIC =90\degree +\alpha \quad \therefore \angle CID=90\degree$$
ここで, $\triangle AIQ$ に関する余弦定理より
$$\cos (180\degree -\alpha -\beta )=\frac{16+25-53}{2\cdot 4\cdot 5} =-\frac{3}{10}$$
であるから, 
$$CD=\frac{ID}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{50}{3}$$
したがって, 解答は以下の計算から $\bf{287}$ となる.
$$BC=BD+CD=BP+CD=\frac{25}{4} +\frac{50}{3} =\frac{275}{12}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/editorial/5391
　今回は殆ど計算しないで解いてみようと思います。

　 $QI$ と $BC$ の交点を $D$ ， $I$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $X$ とする．
 $$\angle PIB = \angle IAB = \angle IAQ，\angle IPB = \angle AQI$$
より，三角形 $IPB$ ，三角形 $AIB$ ，三角形 $AQI$ は全て相似である。
また，
 $$\angle DIB = \angle DIP - \angle PIB，\angle IBD = \angle IBP$$ 
より，三角形 $IPB$ と三角形 $IDB$ は合同である．
 $$ID:DB = AI:IB = AQ:IP = 4:5$$ 
より， $DB = 5\times \frac{5}{4}=\frac{25}{4}$ である．
 $\angle AQI = \angle IDB$ より三角形 $CQD$ は二等辺三角形なので， $CD = n$ とすると， $2CX = AC + CB - AB$ より， $CX = n-\frac{3}{2}$となる．
三角形 $IDX$ と三角形 $CDI$ は相似なので， $CD = 5 \times \frac{5}{\frac{3}{2}} = \frac{50}{3}$ である．

　よって，求めるべき値は $\frac{50}{3} + \frac{25}{4} = \frac{275}{12}$ となる．
なるべく計算しない方法(推奨)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/editorial/5391/407
　$BI$ と $AC$ の交点を $E$ とする．公式解説およびユーザー解説に載っている相似から $$BA=\dfrac{53}{4},AE=\dfrac{53}{7},BE=BI+IE=\dfrac{5\sqrt{53}}{4}+\dfrac{5\sqrt{53}}{7}=\dfrac{55\sqrt{53}}{28}$$ がわかる． $\angle{ABE}=\angle{CBE}$ より，$BC=7k,CE=4k$ とおけ，$BA\times BC-EC\times EA={BE}^2$ より，$k=\dfrac{275}{84}$ となり，$BC=\dfrac{275}{12}$ を得る．
IQとBCの交点を考えない方針
https://onlinemathcontest.com/contests/omc205/editorial/5391/408
　三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします．$A$ を通り $I$ で直線 $BI$ に接する円が直線 $AB,AC$ それぞれと $A$ でない点で交わったので，その交点をそれぞれ $P,Q$ としたところ，
$$AP=7,\quad AQ=4,\quad IP=5$$
が成り立ちました．このとき，線分 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．