　まず一般の $n$ に対し，黒を向いた石が $1$ つあり，その右側に白を向いた石が $n$ 個ある場合の方法の数 $a_n$ について考える．$a_1=1, ~ a_2=2$ である．\
　$n\geq3$ の場合について，次のように場合分けして考える：

(i)　最初に左から2番目にある石を裏返す場合：\
　残りの石の状態は $n-1$ での初期状態と同じとみなせるので，この場合は $a_{n-1}$ 通り.

(ii)最初に左から3番目にある石を裏返す場合：\
　左から3番目以降にある石の状態は $n-2$ での初期状態と同じとみなせるので，左から4番目以降のオセロを裏返す順番は $a_{n-2}$ 通りある．そのうち一つを選んだあと，左から2番目にある石を任意のタイミングで裏返すことができるから，まとめるとこの場合は $(n-1)a_{n-2}$ 通りである．

よって，$n\geq3$ のとき $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ が成り立つ．順次計算することで，$a_{10}=\mathbf{9496}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10083
黒石が$x$個あって,かつ一番左の黒石から一番右までの黒石までの間に白石が$y$個ある状態にするための操作列の場合の数を$dp(x,y)$とおくと,

$$dp(1,0)=1$$

$$dp(1,y)=0;(y\neq 0)$$

$$dp(x,y)=dp(x-1,y-1)+dp(x-1,y)+dp(x-1,y+1)(y+1);(x\gt 1,y\gt 0)$$

$$dp(x,y)=dp(x-1,y)+dp(x-1,y+1)(y+1);(x\gt 1,y= 0)$$


という漸化式が成立する.これをもとにして表を書くと

$$
\begin{array}{r | r  r  r  r  r  r  r  r  r  r  r  r }
dp(x,y) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\\\
\hline
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
3 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
4 & 4 & 6 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
5 & 10 & 16 & 12 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
6 & 26 & 50 & 40 & 20 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
7 & 76 & 156 & 150 & 80 & 30 & \color{blue} 6 & \color{blue} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
8 & 232 & 532 & 546 & 350 & \color{blue} 140 & \color{blue} 42 & \color{blue} 7 & \color{blue} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\
9 & 764 & 1856 & 2128 & \color{blue} 1456 & \color{blue} 700 & \color{blue} 224 & \color{blue} 56 & \color{blue} 8 & \color{blue} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\
10 & 2620 & 6876 & \color{blue} 8352 & \color{blue} 6384 & \color{blue} 3276 & \color{blue} 1260 & \color{blue} 336 & \color{blue} 72 & \color{blue} 9 & \color{blue} 1 & 0 & 0 \\\\
11 & \color{red} 9496 & \color{blue} 26200 & \color{blue} 34380 & \color{blue} 27840 & \color{blue} 15960 & \color{blue} 6552 & \color{blue} 2100 & \color{blue} 480 & \color{blue} 90 & \color{blue} 10 & \color{blue} 1 & 0 \\\\
\end{array}
$$

より,答えは$dp(11,0)=9496$である.なお,この問題を解答するにあたっては,上記の表における青文字の部分は計算する必要は無いことに注意.

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余談だが,

$$a_N=dp(N+1,0)=\sum_{n=0}^{\lfloor N\/2\rfloor }{}\_{N}\mathrm{C}_{2n}\cdot (2n-1)!!$$

が成立する.

ここで,シグマの各項は「黒を向いた石の2つ隣にある白石をひっくり返す」操作をちょうど$n$回行うときの操作列の場合の数となっている.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10083/349
　オセロの石が左右一列に $11$ 個並んでおり，左端の $1$ 個のみが黒を，残りの $10$ 個が白を向いています．ここから，次の規則に従って白を向いた石を $1$ 枚ずつ順に裏返していきます：

- 「黒を向いた石に隣接する」または「黒を向いた石の $2$ つ隣にある」とき，裏返すことができる．

$10$ 回繰り返すことですべての石を黒にする方法は何通りありますか？