　一般に正 $n$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{n}$ として考え, その外接円の周長が $n$ であるとしてよい.
いま $\angle A_iPA_j$ は弧 $A_iA_j$ と弧 $A_kA_l$ に対する円周角の和であることに留意せよ. 以下 $A_0=A_n,A_1=A_{n+1}$ とする.\
　ここで弧 $A_0A_i,A_iA_j,A_jA_k,A_kA_l,A_lA_{n+1}$ の長さをそれぞれ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ とおくと, これらはすべて正整数であり, 総和は $n+1$ である. 対称性よりそれぞれの値の期待値は $(n+1)\/5$ である. したがって, 上の注意より $\angle A_iPA_j$ の期待値は $180^{\circ}\times(n+1)\/(5n)\times2$ で, 特に $n=100$ で解答すべき値は $1818+25=\textbf{1843}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc067/editorial/2289
　正 $100$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{100}$ において, $1\leq{i}\lt{j}\lt{k}\lt{l}\leq{100}$ なるすべての組に対し四角形 $A_iA_jA_kA_l$ を考えるとき, その対角線の交点 $P$ について $\angle{A}_iPA_j$ の平均値 $K$ を考えます.\
　$K$ を度数法で表した時の値は, 互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ の値を解答してください.