　順位が下がった人は必ず存在し，かつ $200$ 人以下である．\
　逆に，$1$ 日目終了時点に $i$ 位だった人を $A_i$ とすれば，$200$ 以下の正整数 $n$ に対し $2$ 日目の成績が $1$ 位から順に
$$A_{n+1},A_{n+2},\cdots,A_{n+200},A_{1},A_{2},\cdots,A_{n},A_{n+201},\cdots,A_{400}$$
である場合を考えることで，ちょうど $n$ 人の順位が下がる状況が得られる．\
　以上より，解答すべき値は $1+2+\cdots+200=\textbf{20100}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc147/editorial/229
　あるコンテストは $2$ 日間からなり，$400$ 人が参加しました．$1$ 日目終了時点と $2$ 日目終了時点の成績を比較したときに，順位の上がった人がちょうど $200$ 人いたとき，順位の下がった人の数としてありうる値の総和を解答してください．\
　ただし，各日終了時点で $2$ 人以上が同じ順位になることは無いものとします．