　$105$ 以下の正整数は, $3,5,7$ で割った余りをそれぞれ定めることで一意に定まることに留意せよ.\
　$S$ において, $3,5,7$ の倍数はそれぞれ高々一つであるから, いずれの倍数でもない元について考える. これらについて, $3,5,7$ で割った余りは高々 $1,2,3$ 通りであるから, $N\leq 3+1\times 2\times 3=9$ が従う.\
　以下, $N=9$ なる良い集合を数え上げる. 例えば $7$ で割った余りについて, $(1,6),(2,5),(3,4)$ の各ペアから一つずつを選択することになる. また, 例えば唯一の $3$ の倍数について, $5,7$ で割った余りの選び方がそれぞれ $2,3$ 通り存在する. 他の場合も同様に考えることで, 求める個数は $2^{1+2+3}\times(1\times2)\times(1\times3)\times(2\times 3)=\textbf{2304}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc048/editorial/1615
　集合 $\\{1,2,3,\cdots,105\\}$ の $2$ 元以上からなる部分集合について, どの相異なる $2$ 元についてもその和が $105$ と互いに素であるとき, これを**良い**集合と呼びます. 良い集合の要素数としてあり得る最大値を $N$ としたとき, $N$ 元からなる良い集合はいくつありますか？