　一般に正の整数 $n$ に対して 
$$\frac{1}{(n+2)n!}=\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}$$
が成り立つから,
$$\begin{aligned}\sum_{n=1}^{10}  \frac{1}{(n+2)n!} &= 
\sum_{n=1}^{10}\left\\{\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!} \right\\} \\\\
&= \frac{1}{2!}-\frac{1}{12!}\\\\
&=\frac{6\cdot 11!-1}{12!}
\end{aligned}$$
最後の分数は既約であるから，特に解答すべき値は $6\cdot 11!-1=\mathbf{239500799}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc153/editorial/4851
$$\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(n+2)n!}  $$
の値を既約分数で表したときの分子を求めてください．