　一般に $234$ を $m$ とおく. $Q(x)=1-xP(x)$ とおくと, 因数定理よりこれは $(x-1)(x-2)\cdots(x-m)$ で割り切れ, $Q(0)=1$ と合わせて $Q(x)=\dfrac{(-1)^m}{m!}(x-1)\cdots(x-m)$ である.

　ここで, $(x-1)\cdots(x-m)$ の $m-2$ 次の係数は
$$\begin{aligned}
\sum_{1\leq i\lt j\leq m} ij
&=\frac12\left(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}ij-\sum_{i=1}^{m}i^2\right)\\\\
&=\frac12\left(\left(\frac{m\left(m+1\right)}2\right)^2-\frac{m\left(m+1\right)\left(2m+1\right)}6\right)\\\\
&=\frac{1}{24}\left[m(m+1)\left(3m\left(m+1\right)-2\left(2m+1\right)\right)\right]\\\\
&=\frac{1}{24}\left[(m-1)m(m+1)\left(3m+2\right)\right]
\end{aligned}$$
　これより, $P(x)$ の $m-3$ 次の係数は
$$(-1)^{m+1}\dfrac{(m+1)\left(3m+2\right)}{24\cdot (m-2)!}=-\dfrac{235\times11\times2^3}{3\times232!}$$
で, 求める値はLegendreの定理より $228-3=\textbf{225}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc027/editorial/5
　$233$ 次の多項式 $P(x)$ は, 任意の $n=1,2,\cdots,234$ について $P(n)=\dfrac{1}{n}$ をみたします. このとき $P(x)$ の $231$ 次の係数は, 互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $-\dfrac{a}{b}$ と表せます. $b$ が $2$ で割り切れる回数を求めてください.