　正整数 $k$ に対して, 以下が $n$ に関する恒等式になるような実数 $b_1,\cdots,b_k$ を考える.
$$n^k={b_1}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_1+{b_2}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_2+\cdots+{b_{k-1}}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{k-1}+{b_k}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_k
$$
そのうち添え字の偶奇が $k$ と一致するものの和を $C(k)$ とし, そうでないものの和を $D(k)$ とすると,
$$
\begin{aligned}
n^{k+1} &=nb_{1}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{1}+nb_{2}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{2}+\cdots+nb_k\cdot{\_n}\mathrm{C}\_k \\\\
&= b_1(1\cdot{\_n}\mathrm{C}\_1+2\cdot{\_n}\mathrm{C}\_2)+\cdots+b_{k}(k\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{k}+(k+1)\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{k+1}) \\\\
&= b_1\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{1}+2(b_1+b_2)\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{2}+\cdots+k(b_{k-1}+b_{k})\cdot {\_n}\mathrm{C}\_{k}+(k+1)b_{k}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{k+1}
\end{aligned}$$
より $C(k+1)-D(k+1)=C(k)-D(k)$ であり, 特に $C(k)-D(k)=1$ が成立する.\
　いま $a_i=kb_i$ であることから, $A(k)-B(k)=k$ となる. これに留意して計算する.
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{2020} \dfrac{A(k)^3-B(k)^3+2k^3}{A(k)^2+B(k)^2+k^2}&=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{(A(k)-B(k))^3+3A(k)B(k)(A(k)-B(k))+2k^3}{(A(k)-B(k))^2+2A(k)B(k)+k^2}\\\\
&=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{3k^3+3kA(k)B(k)}{2k^2+2A(k)B(k)}\\\\
&=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{3}{2}k
\end{aligned}
$$ 
以上より解答すべき値は $\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2020\cdot2021}{2}=\textbf{3061815}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/editorial/2196
　正整数 $m$ に対して，$m$ 次関数 $f_m$ を
$$f_m(x)=\dfrac{1}{m!}x(x-1)\cdots(x-m+1)$$
として定義すると，
$$kn^k=a_1f_1(n)+a_2f_2(n)+\cdots +a_kf_k(n) \tag{1}$$
は正整数 $n$ に関する恒等式である．ここで
$$kn^k-a_1f_1(n)-a_2f_2(n)-\cdots -a_kf_k(n)$$
は $n$ について高々 $k$ 次の多項式であるため，因数定理より，これは恒等的に $0$ であることがわかる．従って，$(1)$ は任意の実数 $n$ に関する恒等式である．\
　ここで，$n=-1$ を代入すると，
$$k(-1)^k=a_1(-1)+a_2(-1)^2+\cdots+a_k(-1)^k.$$
ゆえに，$k=A(k)-B(k)$ であるため，これに留意して計算する．
$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{2020} \dfrac{A(k)^3-B(k)^3+2k^3}{A(k)^2+B(k)^2+k^2}&=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{(A(k)-B(k))^3+3A(k)B(k)(A(k)-B(k))+2k^3}{(A(k)-B(k))^2+2A(k)B(k)+k^2}\\\\ &=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{3k^3+3kA(k)B(k)}{2k^2+2A(k)B(k)}\\\\
&=\sum_{k=1}^{2020}\dfrac{3}{2}k. \end{aligned}$$
以上より解答すべき値は $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2020\times2021}{2}=\textbf{3061815}$ である．

　なお，$(1)$ に $n=1,2,\ldots,k$ を代入して $a_1,a_2,\ldots,a_k$ が一意に得られ，上と同様に因数定理を用いることにより，それが問題の条件をみたすことが確認できる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omckoukou2/editorial/2196/22
　任意の正整数 $k$ に対して,
$$kn^k={a_1}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_1+{a_2}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_2+\cdots+{a_{k-1}}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_{k-1}+{a_k}\cdot{\_n}\mathrm{C}\_k
$$
が正整数 $n$ に関する恒等式となるような実数 $a_1,\cdots,a_k$ が一意に定まります. このとき, $a_1,\cdots,a_k$ のうち添え字の偶奇が $k$ と一致するものの和を $A(k)$ とし, そうでないものの和を $B(k)$ として, 以下の値を求めてください.
$$\sum_{k=1}^{2020} \dfrac{A(k)^3-B(k)^3+2k^3}{A(k)^2+B(k)^2+k^2}
$$