　まず，以下 $2$ つの事実が成り立つ：
- 格子点 $(a, b), (c, d)$ が $a \geq c, b \leq d$ をみたし，$(a, b)$ が $A$ に属するならば，$(c, d)$ は $A$ に属する．
- 格子点 $(a, b), (c, d)$ が $a \geq c, b \leq d$ をみたし，$(c, d)$ が $B$ に属するならば，$(a, b)$ は $B$ に属する．

このことから，$9$ 点のうち $A$ に属する $3$ 点の内訳としてあり得るものは次の $3$ 通りに限られる：
- **内訳 1．** $(x_1, y_2), (x_1, y_3) ,(x_2, y_3)$
- **内訳 2．** $(x_1, y_1), (x_1, y_2) ,(x_1, y_3)$
- **内訳 3．** $(x_1, y_3), (x_2, y_3) ,(x_3, y_3)$

それぞれの内訳に対し，下記の事実を得る：
- $A$ に属する $3$ 点が内訳 1. の通りになることは $(x_1, y_2), (x_2, y_3) \in A$ かつ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \in B$ と言い換えられ，これは
$$1 \leq y_1 \lt x_1 \lt y_2 \lt x_2 \lt y_3 \lt x_3 \leq 12$$
と同値である．

- $A$ に属する $3$ 点が内訳 2. の通りになることは $(x_1, y_1) \in A$ かつ $(x_2, y_3) \in B$ と言い換えられ，これは
$$1 \leq x_1 \lt y_1 \lt y_2 \lt y_3 \lt x_2 \lt x_3 \leq 12$$
と同値である．

- $A$ に属する $3$ 点が内訳 3. の通りになることは $(x_3, y_3) \in A$ かつ $(x_1, y_2) \in B$ と言い換えられ，これは
$$1 \leq y_1 \lt y_2 \lt x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt y_3 \leq 12$$
と同値である．

$A$ に属する点の内訳がどの場合であったとしても，適する整数の組の個数は $1$ 以上 $12$ 以下の整数から $6$ つを選ぶ方法の個数に等しく ${}\_{12}\mathrm{C}\_{6}$ である．ゆえに求める個数は
$$3 \times {}\_{12}\mathrm{C}\_{6} = \mathbf{2772}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/editorial/12195
　$xy$ 平面上の点の集合 $A, B$ を次のように定めます：
- 格子点 $(x, y)$ であって $x \lt y$ をみたすものの集合を $A$ とする．
- 格子点 $(x, y)$ であって $x \gt y$ をみたすものの集合を $B$ とする．

$6$ つの整数の組 $(x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3)$ であって以下をすべてみたすものは全部でいくつありますか？
- $1 \leq x_1 \lt x_2 \lt x_3 \leq 12$ かつ $1 \leq y_1 \lt y_2 \lt y_3 \leq 12$ をみたす．
- $1$ 以上 $3$ 以下の整数 $i, j$ によって座標を $(x_i, y_j)$ と表せる $9$ つの点のうち，ちょうど $3$ つは $A$ に属し，ちょうど $6$ つは $B$ に属する．