　$a,b$ は $10^{10}$ の約数であることから, 以下のように表せる.
　　$$a=2^p5^q,\ b=2^r5^s\ (0\leq p,q,r,s\leq10)$$
　このとき, 最小公倍数の条件は
　　$$\max\lbrace p,r\rbrace=\max\lbrace q,s\rbrace=10$$
と表現でき, $a\leq b$ を無視すればこのような $(p,q,r,s)$ の組は $(11\times 2-1)^2=441$ 通りある. このうち $a=b$ なる組はちょうど一つ存在することに留意すれば, 求める場合の数は $(441+1)\/2=\textbf{221}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc021/editorial/131
　$a\leq b$ なる正整数の組 $(a,b)$ であって, $a$ と $b$ の最小公倍数が $10^{10}$ となるものはいくつありますか？