**解法1.**　全体を $169$ 倍に拡大して考えてもよい. このとき,
$$A:(0,845),\ \ B:(0,0),\ \ C:(2028,0)$$
として直交座標を定めると, 以下のように順次計算できる.
$$D:(120,795),\ \ E:(915,675),\ \ F:(732,540)$$
これより $BF:FE=4:1$ および $CF:FD=36:17$ を得るから, 解答すべき値は $144+17=\textbf{161}$ である. 

**解法2.**　$B$ から $AC$ におろした垂線の足を $H$ とすれば, $AH:BH=BH:CH=5:12$ などより
$$AH=\dfrac{25}{13},\ \ BH=\dfrac{60}{13},\ \ DH=\dfrac{15}{13}$$
と計算できる. すなわち $\tan\angle DBH=1\/4$ であるから, 
$$\dfrac{FH}{BH}=\tan\angle FBH=\tan(45^\circ-\angle DBH)=\dfrac{3}{5}$$
これより $FH=36\/13$ であるから, 以上より $CF:DF=36:17$ と計算できる.\
　ここで, $D$ から $BE$ におろした垂線の足を $H^\prime$ とすれば, 直角三角形 $BFH$ と $DFH^\prime$ の相似より
$$DH^\prime:FH^\prime=BH:FH=5:3$$
一方で $BH^\prime=DH^\prime=EH^\prime$ が成立するから, $BF:EF=(5+3):(5-3)=4:1$ がわかる. 以下同様.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/212
　$AB=5,BC=12,AC=13$ なる三角形 $ABC$ において, $AC$ を $10:159$ に内分する点を $D$ とし,$$BD=DE,\ \ \angle{BDE}=90^\circ$$なる点 $E$ を直線 $DB$ に関して点 $A$ と反対側にとります. $AC$ と $BE$ の交点を点 $F$ とするとき, 三角形 $BCF$ と $DEF$ の面積比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されます. $a+b$ を解答してください.