　$(n_1, n_2, \ldots, n_{11})$ が条件を満たす必要十分条件は，すべて $1110 = 2 \times 3 \times 5 \times 37 $ の約数であり，その上で各 $p \in \\{2, 3, 5, 37\\}$ に対し，任意の $1 \leq i \leq 10$ なる整数 $i$ について以下が成り立つことであることが確認できる．
- $n_i$ と $n_{i+1}$ のうち少なくとも一方は $p$ で割り切れる．

　したがって，$n_1, n_2, \ldots, n_k$ が $p$ で「割り切れる」か「割り切れないか」決める方法は，
$n_1, n_2, \ldots, n_k$ を順に，$p$で割り切れるならば $P$，割り切れないならば $Q$ と置き換えて $k$ 文字の文字列をつくるとき，$Q$ が $2$ つ連続しないような文字列の個数 $X_k$ に対応する．また，各 $p \in \\{2, 3, 5, 37\\}$ に対し，$p$ で割り切れるか割り切れないか定めることで $1110$ の約数が一意に定まるので，求める組の個数は $X^4_{11}$ に等しい．\
　$X_1 = 2, X_2 = 3$ を満たし，$k \geq 3$ のときは一番右に $P, Q$ を配置した場合の個数がそれぞれ $X_{k-1}, X_{k-2}$ であることが分かるので，$X_k = X_{k-1} + X_{k-2}$ が成り立つ．以上で $X_{11} = 233$ が導けるので，条件を満たす組は全部で $\mathbf{2947295521}$ 個である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/7977
　正整数 $11$ 個の組 $(n_1, n_2, \ldots, n_{11})$ であって，以下をみたすものは全部で何通りありますか？
- 任意の $1 \leq i \leq 10$ なる整数 $i$ について，$n_i$ と $n_{i+1}$ の最小公倍数は $1110$ である．