　$C$ を正答した $3$ 人がいずれも $A,B$ を正答できなかった場合を考えれば, 残り全員が $A$ を正答していることから, $100$ 点が $2$ 名, $300$ 点が $8$ 名となる. したがって, CMO君は $1$ 位から $8$ 位のすべてをとり得る.\
　一方で, 全員の獲得した点数が合計で $2600$ 点であることから, $300$ 点以上獲得した人は高々 $8$ 名である.\
　以上より, 解答すべき値は $1+2+\cdots+8=\textbf{36}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc076/editorial/2749
　CMO君はOMCのあるコンテストに参加しました. そのコンテストは $A,B,C$ の $3$ つの問題で構成され, 配点はそれぞれ $100,200,300$ 点でした. また参加者は $10$ 名で, $A,B,C$ の正答者はそれぞれ $7,5,3$ 名でした. CMO君が $A$ と $B$ の $2$ 問のみ正答したとき, CMO君のとり得る順位としてあり得るものの総和を求めてください. \
　ただし, 順位は $1$ 以上 $10$ 以下の整数値として表現され, 同着はなかったものとします. また, 得点の総和が大きい方が上位となり，同点の場合には最後の正答の早い方が上位となります. また, 誤答によるペナルティはないものとします.