　商品 $X, Y, Z$ が入った福袋の個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると，$x+y+z \leq n$ が成り立つ．$2023$ 個の福袋を買えば必ず商品 $X$ を $1$ つ以上手に入れられるため，商品 $X$ が入っていない福袋は $2022$ 個以下である，すなわち $n - x \leq 2022$ が成り立つ．同様に，
$$ n - y \leq 2023, \quad n - z \leq 2024 $$
が成り立つので，これらを足し合わせて
$$ 2022 + 2023 + 2024 \geq 3n - x - y - z  \geq 2n $$
となり，$n \leq 3034$ が成り立つ．等号は例えば $(x, y, z) = (1012, 1011, 1010)$ のときに成り立つ（このとき何も入っていない福袋が $1$ つあることに注意）．以上より，$n$ の最大値は $\bf{3034}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/editorial/9609
　 OMC君は福袋を買いに行きます．ある店では $n$ 個の福袋が売っており，それぞれの福袋の中身は以下のいずれかです：

- 何も入っていない．
- 商品 $X$ のみがちょうど $1$ つ入っている．
- 商品 $Y$ のみがちょうど $1$ つ入っている．
- 商品 $Z$ のみがちょうど $1$ つ入っている．

いま，次がすべて成り立つとき，正整数 $n$ としてありうる最大の値を求めてください：

- $2023$ 個の福袋をどのように買っても，必ず商品 $X$ が $1$ つ以上手に入る．
- $2024$ 個の福袋をどのように買っても，必ず商品 $Y$ が $1$ つ以上手に入る．
- $2025$ 個の福袋をどのように買っても，必ず商品 $Z$ が $1$ つ以上手に入る．