　すべてのボールを取り出すまでゲームを終了しないとして構わない．このとき求める確率は，最後に取り出されたボールが赤色である確率に一致し，これは明らかに $1001\/2000$ である．よって解答すべき値は $\bm{3001}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb002/editorial/165
　箱の中に $999$ 個の白いボールと $1001$ 個の赤いボールがあります. ここからランダムに等確率でボールを $1$ つずつ取り出していき, 白いボールか赤いボールのどちらかが全て取り出されたらゲームを終了します. このとき, 白いボールが全て取り出されて終わる確率は, 最大公約数が $1$ である正の整数 $p, q$ を用いて $\displaystyle \\frac{p}{q}$ と表されます. $p+q$ を解答してください.