　$\mathcal{P}$ の軸が $y$ 軸と平行であるような直交座標を考えると，たとえば $A$ の $x$ 座標は $S$ と $U$ の $x$ 座標の平均となることが知られている．\
　今回の設定でこの事実からの帰結をまとめることで，以下の成立が分かる：
$$ SB:BA=BT:TC=AC:CU=3:2. $$
ここで，線分 $SU$ 上に $SX:XU=3:2$ なる点 $X$ をとると，四角形 $ABXC$ は長方形であるから，$X$ は $ABC$ の外接円上にあり，これにより $A$ から $SU$ におろした垂線の足 $H$ も同じ円上にある．辺の比を考えれば，
$$SH:HU=SA^2:UA^2=\left(4\times \dfrac{5}{2}\right)^2:\left(7\times \dfrac{5}{3}\right)^2=36:49.$$
これにより $H=K$, $X=L$ と対応し，求める比は $ SK:KL:LU=36:15:34$ となるから，解答すべき値は $\textbf{18360}$ である．
![figure 1](\/images\/nlEb472UuYzhNGojE4CPt7QEPHCRMMwEw48Y7Qhx)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/2211
　放物線 $\mathcal{P}$ 上に $3$ 点 $S,T,U$ をこの順に並ぶようにとり，各点における $\mathcal{P}$ の接線を $l_S,l_T,l_U$ とします．$l_S$ と $l_U$ の交点を $A$ とし，$l_S$ と $l_T$ の交点を $B$ とし，$l_T$ と $l_U$ の交点を $C$ とすると，以下が成り立ちました：
$$\angle BAC=90^\circ,\quad AB:AC=4:7,\quad BT:TC=3:2.$$
さらに，三角形 $ABC$ の外接円は線分 $SU$ と $2$ 点で交わりました．それらの交点を $S$ に近い方から $K,L$ としたとき，$SK:KL:LU$ を求めてください．ただし，求める比は互いに素な正整数 $p,q,r$ を用いて $p:q:r$ と表せるので，$pqr$ を解答してください．