　正の実数 $y$ の整数部分を $\lfloor y \rfloor$ で表すこととすると，$\\{ y \\} = y - \lfloor y \rfloor$ である．正の整数 $m,n$ により $m = \lfloor x^{2} \rfloor, ~ n = x - \\{ x^2 \\}$ とおくと，次をすべて満たす $(m,n,x)$ の組を考えればよいとわかる．
$$ x - x^2 + m = n, \quad m \le x^2 \lt m+1, \quad n \le 100 $$
ここで $x^2 = x+m-n$ より，上は以下と同値である．
$$ x^2 - x - m + n = 0, \quad n \le x \lt n+1, \quad n \le 100 $$
いま，$f(x) =  x^2 - x - m + n$ とおくと，$ n \leq x \lt n+1 $ は次の二つの条件をともに満たすことと同値である．
$$ f(n) \leq 0, \quad f(n+1) \gt 0 $$
これより，次をみたす $(m,n,x)$ の組を考えればよい．
$$ x^2 - x - (m - n) = 0, \quad n(n-1) \le m-n \lt n(n+1), \quad n \le 100 $$
すなわち，$m-n = 0, 1, \ldots, 10099$ のそれぞれについて対応する $x \gt 0$ がただ $1$ つ存在する．これより，求める $x$ の個数は $\mathbf{10100} $ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/editorial/10925
　公式解説に比べて遠回りですが，$x$ を整数部分と小数部分とに分けて考えた場合は，以下のような解答が考えられます．

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　$n=x-\\{x^2\\}$，$a=\\{x^2\\}$ とおく．このとき $x=n+a$ であり，
$$x-\\{x^2\\}=n+a-\\{(n+a)^2\\}=n+a-\\{2na+a^2\\}$$
である．ここで $0 \leq a \lt 1$，$0 \leq \\{2na+a^2\\} \lt 1$ であることから，与条件を満たす必要十分条件は $a=\\{2na+a^2\\}$ であり，これはさらに $a^2+2na-a \in \mathbb{Z}$ だと言い換えられる．\
　従って次の問いを考えればよい．\
　問１：自然数 $n$ に対して，$a^2+2na-a \in \mathbb{Z}$ を満たす実数 $a$ は $0 \leq  a \lt 1$ の範囲にいくつあるか．

　この問いはさらに，次のように書き換えられる．（注参照）\
　問２：自然数 $n$ に対して，二次方程式 $a^2+2na-a=k$ が $0 \leq  a \lt 1$ の範囲に解を持つような整数 $k$ はいくつ存在するか．

　あとは二次関数の問題である．$f(a)=a^2+2na-a-k$とおく．\
　二次関数 $f(a)$ の軸は $a \lt 0$ の範囲にあるため，$0 \leq  a \lt 1$ の範囲に解を持つ必要十分条件は，$f(0) \leq 0$ かつ $f(1) \gt 0$．すなわち $0 \leq k \lt 2n$ である．\
　よって自然数 $n$ に対して条件を満たす整数 $k$ は $2n$ 個あることがわかった．求めるべき値は $\sum\limits_{n=1}^{100} 2n=10100$．

注）$a$ についての二次方程式 $a^2+2na-a=k$ の軸の条件から $0 \leq  a \lt 1$ の範囲には高々一つしか解を持たないことを用いている．
xを整数部分と小数部分とに分けると…
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/editorial/10925/716
条件は$x-x^2=n(nは整数)$かつ$1\leq x \lt 101$と同値である.

二次方程式を解くと$x=\frac{1\pm\sqrt{1-4n}}{2}$となる.


よって,$1\leq \frac{1-\sqrt{1-4n}}{2} \lt 101$を満たす整数$n$が存在しないことに注意すると,
$1\leq \frac{1+\sqrt{1-4n}}{2} \lt 101$を満たす整数$n$の個数を求めればよいことが分かる.

このような$n$は$0,-1,\dots ,-10099$の$\textbf{10100}$個である.
シンプルな解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/editorial/10925/728
　正の実数 $x$ であって，$ x - \\{ x^2 \\} $ が $100$ 以下の正の整数であるものはいくつありますか？ただし，正実数 $y$ に対して $ \\{ y \\} $ で $y$ の小数部分を表します．