　$B, D, H, P$ の共円より $\angle BPH = 90^\circ$ であり，同様に $\angle CQH = 90^\circ$ も成り立つから，$B, C, Q, P$ の共円より，四角形 $BCQP$ は長方形．よって $BQ$ と $CP$ の交点 $O$ は三角形 $ABC$ の外心である．$O$ から $AH$ に下した垂線の足を $E$，三角形 $ABC$ の外接円と $AH$ の交点を $F$ とすると
$$ AE = FE,\qquad HE = DE,\qquad HD = FD $$
となり，特に $AD : AE = 4 : 3$ である．したがって
$$ \triangle ABC = \frac43 \left(\triangle ABO + \triangle ACO\right) = \frac23 \left(\triangle ABQ + \triangle ACP\right) = \frac{655}{336} $$
が得られ，特に解答すべき値は $\bm{991}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce006/editorial/5753
　鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．三角形 $BDH, CDH$ の外接円が，三角形 $ABC$ の外接円とそれぞれ $B, C$ ではない点 $P, Q$ で交わっており，$3$ 点 $H, P, Q$ は同一直線上にありました．  
　三角形 $ABQ, ACP$ の面積がそれぞれ $\displaystyle\frac{23}{14}, \frac{41}{32}$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．