　$a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_{100}$ として考えてもよい．このとき，三角不等式より次が成り立つ．
$$\begin{aligned}
f(x)
&=\sum_{k=1}^{50}\big(\left|x+a_{k}\right|+\left|x+a_{101-k}\right|\big)\\\\
&\geq\sum_{k=1}^{50}\big|\left(x+a_{k}\right)-\left(x+a_{101-k}\right)\big|\\\\
&\geq\sum_{k=1}^{50}(a_{k}-a_{101-k})
\end{aligned}$$
一方で次が成り立つから，以上より $f(x)$ の最小値は $f(-a_{50})$ であることがわかる．
 $$f(-a_{50})=\sum_{k=1}^{50}\big((-a_{50}+a_{k})+(a_{50}-a_{101-k})\big)=\sum_{k=1}^{50}(a_{k}-a_{101-k})$$ 
　さて，$a_1+\cdots+a_{100}=10000$ とあわせれば，$f(-a_{50})=1104$ は次と同値であることがわかる．
$$a_1+\cdots+a_{50}=5552, \qquad a_{51}+\cdots+a_{100}=4448$$
第2式より $50a_{51}\geq 4448$ すなわち $a_{51}\geq 89$ であるから，$a_1\leq 5552-49\times 89=1191$ が従う．逆に
$$(1191,89,\ldots,89,88,88)$$
は条件をみたすから，解答すべき値は $\bf1191$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/editorial/4727
　(公式解説と同様に) $f(x)$ が最小値をとるのは $x=-a_{50}$ で, $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} |a_k-a_{50}|=1104$ である. $a_1-a_{50}$ を最大化したい(他との差別化を図ることで $a_1$ を大きくする).  $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} a_k$ が $100$ の倍数なので $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} a_k-a_{50}$ も $100$ の倍数であることに留意する.   
$$(a_1-a_{50}, a_2-a_{50}, \dots ,a_{100}-a_{50})=(1104,0,\dots,0)$$ 
上のときそれらの和は $100$ で割ると $4$ 余るので割り切れるように調整すると
$$(a_1-a_{50}, a_2-a_{50}, \dots ,a_{100}-a_{50})=(1102,0,\dots,-2)$$ 
などが見つかる. これを $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} a_k=10000$ になるように調整すると $a_{50}=89$ となり, このとき $a_1=1102+89=\textbf{1191}$ .
感覚的な説明
https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/editorial/4727/159
　非負整数の組 $(a_1,\dots,a_{100})$ が以下の $2$ 条件をみたすとき，$a_1$ のとり得る最大値を求めてください．
- $a_1+\cdots+a_{100}=10000$ である．
- $x$ が実数全体を動くとき，以下で定まる関数 $f(x)$ の最小値は $1104$ である．
$$f(x)=\sum_{k=1}^{100}|x+a_k|$$