　三平方の定理の逆から $\angle BAC=\angle BAD=\angle CAD=90^\circ$ が分かるので，四面体 $ABCD$ の体積は，

$$\dfrac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot AD=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

となる．解答すべき値は $\bold{11}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12517
$$AB=\sqrt{1}, \quad AC=\sqrt{2}, \quad  BC=\sqrt{3}, $$
$$ AD=\sqrt{4}, \quad  BD=\sqrt{5}, \quad  CD=\sqrt{6}$$ 
を満たす四面体 $ABCD$ の体積を求めてください．求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．