**補題.**　$AC = AD\/2$．\
**証明.**　$\angle BAM = x, \angle CAM = 2x$ とする．$AD$ 上に点 $P$ を $AM = MP$ を満たすように取る．$BM = MC$ であるから，四角形 $ABPC$ は平行四辺形である．よって，$BP = AC$．三角形 $ABD$ は直角三角形であるから，$AD$ の中点を $T$ とすると，$AT = BT = AD\/2$ が従う．さらに $\angle BTP = \angle BPT = 2x$ より $BT = BP$ となる．以上より，$AC = BP = BT = AD\/2$ となり主張が従う． 
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　これより，$AC$ の長さは $\dfrac{1}{2} \sqrt{20^{2}+22^{2}} = \sqrt{\mathbf{221}}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/3347
　正弦定理や余弦定理から始めても比較的すぐに解くことができます．

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**解法1：正弦定理．** 正弦定理より次が成り立ちます．
$$\frac{AB}{\sin\angle AMB}=\frac{BM}{\sin\angle BAM},\quad\frac{AC}{\sin\angle AMC}=\frac{CM}{\sin\angle CAM}$$
$\sin\angle AMB=\sin\angle AMC,BM=CM$ を用い整理すれば
$$AC=\frac{\sin\angle BAM}{\sin\angle CAM}\cdot AB=\frac{\sin\angle BAM}{\sin(2\angle BAM)}\cdot AB=\frac{AB}{2\cos\angle BAM}$$
となり，$\angle BAM=\angle BAD$ および $\angle DBA=90^\circ$ に注意すれば $AC=AD\/2=\sqrt{\bf 221}$ とわかりました．

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**解法2：余弦定理．** $AB=x,AC=y,AM=z,BM=w,\angle BAM=\theta$ とおきます．余弦定理より次が成り立ちます．
$$2xz\cos\theta=x^2+z^2-w^2,\quad 2yz\cos2\theta=y^2+z^2-w^2$$
これらは中線定理 $x^2+y^2=2(z^2+w^2)$ を用いれば次のように変形できます．
$$x\cos\theta+y\cos2\theta=2z,\quad 2z(x\cos\theta-y\cos2\theta)=x^2-y^2$$
$z$ を消去すると
$$x^2\cos^2\theta-y^2\cos^22\theta=x^2-y^2$$
となり，三角関数の基本的な公式を用いて計算すれば $y=\dfrac{x}{2\cos\theta}$ が得られます．後は上の解法と同様です．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/mathpower2022/editorial/3347/132
　三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とし，直線 $AM$ 上に $\angle ABD = 90^{\circ}$ をみたす点 $D$ をとると，以下の条件が成立しました：
$$AB=20,\quad BD=22,\quad \angle BAM : \angle CAM = 1 : 2$$
このとき，$AC$ の長さの $2$ 乗を求めてください．