　正二十面体の各面は正三角形で，辺は全部で $30$ 本あることから，全ての辺の塗り方は ${}\_{30}\mathrm{C}\_{22}$ 通り，ある面に対してその面の辺が全て赤で塗られているような辺の塗り方は ${}\_{27}\mathrm{C}\_{22}$ 通りある．
よって求める期待値は次のように求められる．
$$\frac{{}\_{27}\mathrm{C}\_{22}\times 20}{{}\_{30}\mathrm{C}\_{22}}=\frac{8}{29}$$ 
特に，解答すべき値は $\bf37$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/2450
　すべての辺が赤く塗られた正二十面体があります．この正二十面体の辺から無作為に $22$ 本選び青く塗るとき，塗り終わった後で全ての辺が赤く塗られている面の数の期待値は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せます．$a+b$ の値を求めてください．\
　なお，正二十面体の各面は正三角形であり，辺の本数は $22$ 本以上です．