　$ID$ は $\gamma$ の直径であり，特に対称性より $AE=AB=5$ である．したがって，方べきの定理より
$$AI\times AD=AE\times AC=100$$
であるから $ID=80\/3$ が成立する．ここで，$AI$ と $BC$ の交点を $T$ とすれば
$$BT:TC=AB:AC=1:4,\quad BT:TI=AB:AI=3:2$$
が成立するから，方べきの定理より
$$BT\times TC=IT\times TD$$ 
とあわせて $BC=20=AC$ がわかる．以上より，$EI=BI=AI=10\/3$ であり，$\angle{DEI}=90^\circ$ より
$$DE^2=ID^2-EI^2=\left(\dfrac{80}{3}\right)^2-\left(\dfrac{10}{3}\right)^2=\textbf{700}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/editorial/2607
　$\mathrm{AE}=5$，$\mathrm{AI}=\dfrac{10}{3}$，$\mathrm{ID}=\dfrac{80}{3}$（直径）までたどり着けば，座標系を用いても解くことは可能です。\
  　例えば円 $\gamma$ の中心（$\mathrm{ID}$ の中点）を原点，直線 $\mathrm{ID}$ が $x$ 軸であるとすれば，点 $\mathrm{E}$ は次の二つの円の交点になります。\
  　$x^2+y^2=\left( \dfrac{40}{3} \right) ^2$\
  　$\left(x- \dfrac{50}{3} \right)^2+y^2=5^2$（点 $\mathrm{A}$ 中心，半径 $5$ の円）\
  　あとは，$\mathrm{DE}$ の長さを三平方の定理等で求めればOKです。
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/editorial/2607/157
　$AB=5,AC=20$ なる三角形 $ABC$ において，その内心を $I$ とし，三角形 $BIC$ の外接円を $\gamma$ とおきます．いま，直線 $AI$ と $\gamma$ の交点のうち $I$ でない方を  $D$ とすると，$AD=30$ が成立しました．辺 $AC$ と $\gamma$ の交点のうち $C$ でない方を $E$ としたとき，線分 $DE$ の長さの $2$ 乗を求めてください．