　$p=q$ のとき，$p^2 \mid 90$ が必要であり，$(p, q)=(3,3)$ は実際に条件をみたす．\
　$p\neq q$ のとき，Fermatの小定理より $p^q\equiv p \mod q$ が成立するから $90=qy-p$ と表せ，さらにこれが $p$ の倍数であることから $y=pz$ とおけば $90=p(qz-1)$ と表せる．
$$90=2\times 45=3\times 30=5\times 18$$
であるので，それぞれに対応する組を考えることで
$$(p, q)=(2, 23), (3, 31), (5, 19)$$
を得る．これらはすべて条件をみたすから，以上より求める総積は $\bf{122400}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc101/editorial/3337
　素数の組 $(p, q)$ であって，$p^q+90$ が $pq$ で割り切れるものすべてについて， $p+q$ の**総積**を求めてください．