　一般に $1111$ を整数 $n\geq 2$ におきかえ，$S$ にあたるものを $S(n)$ とおく．正整数 $k \le n$ について，
$$ \min_{1 \le i \le n-1} \max_{} (p_i, p_{i+1}) \ge k \tag{☆}$$
をみたす並べ替えの個数を $h(n, k)$ とするとき，
$$S(n) = \sum_{k=1}^n h(n, k)$$
となる．ここで条件 (☆) は，「$\\{ 1, 2, \ldots, k-1 \\}$ の元どうしが隣接しない」と言いかえられるので，$2k \le n+3$ のとき
$$ h(n, k) = \binom{n-k+2}{k-1} \cdot (k-1)! \cdot (n-k+1)! = \frac{(n-k+2)! \cdot (n-k+1)!}{(n-2k+3)!} $$
であり，$2k \ge n+4$ のとき $h(n, k) = 0$ である．したがって，
$$ S(n) = \sum_{k=1}^{\lfloor \frac{n+3}{2} \rfloor} \frac{(n-k+2)! \cdot (n-k+1)!}{(n-2k+3)!} = \sum_{l=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor} \frac{(n-l+1)! \cdot (n-l)!}{(n-2l+1)!} $$
とわかる．さて，
$$ S(1111) = \sum_{l=0}^{556} \frac{(1112-l)!}{(1112-2l)!} \cdot (1111-l)! $$
の各項について，$l \le 555$ の場合は $557!$ で割り切れ，$l = 556$ の場合は $557!$ で割り切れずかつ $556!$ で割り切れることが確認できるため，求める値は $\mathbf{556}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce012/editorial/8688
　$1111!$ 個の $(1, 2, \ldots, 1111)$ の並べ替え $(p_1, p_2, \ldots, p_{1111})$ すべてについて，
$$\displaystyle \min_{1 \le i \le 1110} \max\\{p_i, p_{i+1}\\}$$ 
を足し合わせたものを $S$ とします．このとき，$k!$ が $S$ を割りきるような最大の正整数 $k$ を求めてください．\
　ただし，実数 $a, b$ について $\max \\{ a, b \\}$ で $a, b$ の最大値を表し，実数 $a_1, a_2, \ldots, a_{1110}$ について $\displaystyle \min_{1 \le i \le 1110} a_i$ で $a_1, a_2, \ldots, a_{1110}$ の最小値を表します．