　一般性を失わず $x \leq y \leq z$ として考えると $x^3+3x\leq 33$ であり，これより $x=1,2$ である．\
　$x=1$ のとき，$yz+y+z=32$ より
$$(y+1)(z+1)=33$$
であり，$y+1\geq 2$ より $y+1=3,z+1=11$ となるほかない．よって $(x,y,z)=(1,2,10)$．\
 　$x=2$ のとき，$2yz+y+z=31$ より
$$(2y+1)(2z+1)=63$$
であり，$2y+1\geq 2x+1=5$ より
$(2y+1,2z+1)=(7,9)$ となるほかない．よって $(x,y,z)=(2,3,4)$．\
　$x \leq y \leq z$ の仮定を外すと，それぞれ $3!$ 通りあるので求める総和は
$$\\{(1+2+10)+(2+3+4)\\}×3!=\textbf{132}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/3194
　$xyz+x+y+z=33$ をみたす正の整数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，
$x+y+z$ の総和を答えてください．