　方程式 $f(x)=0$ の複素数解が $x=1,5$ のみであることから,正の整数 $m,n$ を用いて
$$f(x)=(x-1)^m(x-5)^n$$
と表せる．この式に $x=3,9$ を代入して次の $2$ 式を得る．
$$(-1)^n 2^{m+n}=2^{1000},\quad 2^{3m+2n}=2^{2022}$$
したがって $n\equiv0\pmod 2,m+n=1000,3m+2n=2022$ より $(m,n)=(22,978)$ を得る．すなわち
$$f(x)=(x-1)^{22}(x-5)^{978}$$
より,定数項 $f(0)=5^{978}$ が $5$ で割り切れる回数は $\textbf{978}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc134/editorial/2980
　整数係数多項式 $f(x)$ は最高次の係数が $1$ であり，
$$f(3)=2^{1000},\quad f(9)=2^{2022}$$
をみたしています．$x$ の方程式 $f(x)=0$ の複素数解が（重複度を込めて） $x=1,5$ のみであるとき，$f(x)$ の定数項が $5$ で割り切れる最大の回数を求めてください．