　$f$ の定義より，$f(n)$ は $n$ の相異なる素因数のうち，素因数分解したときの指数が奇数であるものの総積である．\
　まず，$n$ が平方数である場合を考える．このとき，$f(n)=1$ であることから，与式は
$$d(n^2-1)=3+d(1)=4$$
となる．$n$ は正の整数 $m$ を用いて $n=m^2$ と表されるので，
$$d(m^4-1)=4$$
となる．$m^4-1=(m-1)(m+1)(m^2+1)$ であり，$m\geq 3$ とすると，
$$1\lt m-1\lt m+1\lt m^2+1\lt m^4-1$$
が成り立つから，相異なる約数を少なくとも $5$ つもつため不適．$m=2$ とすると，$d(m^4-1)=d(15)=4$ となるから，$n=2^2=4$ は条件を満たす．

　$n$ が平方数でない場合を考える．このとき $f(n)\neq1$ であり，$f(n)$ は相異なる素数の積 $p_1\cdots p_k$ 
 ($k\geq 1$) と表されるので， $d(f(n))=2^k$ となる．また，$f(n)$ は $n$ の約数であり，$n$ と $n^2-1$ は互いに素であるから，$f(n)$ と $n^2-1$ も互いに素であり，
$$d(f(n)(n^2-1))=d(f(n))d(n^2-1)=2^kd(n^2-1)$$ 
を得る．よって与式より， $f(n)$ も $2^k$ の倍数である．一方，$f(n)=p_1\cdots p_k$ は素因数 $2$ を高々 $1$ つしか含まないので，$k=1$ であり，$f(n)=p_1=2$ となる．よって，$n$ はある正の整数 $m$ を用いて，$n=2m^2$ と書ける．\
　$n=2m^2$ を与式に代入すると，$f(n)=2$ より，
$$d(2)d(4m^4-1)=6+d(2)=8$$
であり，$d(4m^4-1)=4$ となる．よって，$4m^4-1$ は，ある素数 $p$ を用いて $4m^4-1=p^3$ と表されるか，$2$ つの素数 $q\gt r$ を用いて $4m^4-1=qr$ と表される．

- $4m^4-1=p^3$ の場合，$(2m^2+1)(2m^2-1)=p^3$ となり，$(2m^2+1,2m^2-1)=(p^3,1),(p^2,p)$ となる．前者の場合，$2m^2-1=1$ より $m=1$ となるが，$4m^4-1=3$ は立方数ではないので不適．後者の場合，$p^2-p=(2m^2+1)-(2m^2-1)=2$ より $p=2$ となるが，$4m^4-1=p^3$ は奇数であるので不適．

- $4m^4-1=qr$ $(q>r)$ の場合，$(2m^2+1)(2m^2-1)=qr$ となるので，$(2m^2+1,2m^2-1)=(qr,1),(q,r)$ となる．前者の場合，$2m^2-1=1$ より $m=1$ となるが，$4m^4-1=3$ は $2$ つの素数の積でないので不適．後者の場合，$m$ が $3$ の倍数でない場合，$2m^2+1=q$ は $3$ の倍数かつ素数なので $2m^2+1=q=3$ となるが，このとき $2m^2-1=r=1$ となり不適．よって $m$ は $3$ の倍数である．$n=2m^2\leq 1000$ より $m\leq 22$ であるので，$m=3,6,9,12,15,18,21$．このうち $2m^2\pm1$ がどちらも素数になるのは $m=3,6,21$ の時であり，このとき $n=2m^2=18,72,882$

　以上より，求める総和は，$4+18+72+882=\bold{976}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce009/editorial/11810
　正の整数 $n$ に対して，$\sqrt{mn}$ が整数となるような正の整数 $m$ の最小値を $f(n)$ で表します． このとき，以下を満たす $2$ 以上 $1000$ 以下の整数 $n$ の総和を求めてください．
$$d\big(f(n)(n^2-1)\big)=3f(n)+d\big(f(n)\big)$$
ただし，$d(n)$ で $n$ の正の約数の個数を表すものとします．