　$L=\dfrac{b}{a}$，$M=\dfrac{c}{a}$，$N=\dfrac{d}{a}$ とおくと
$$L+N=p^t,\quad (M+p^t)^{b}=M^{d}$$
となるため $b\lt d$ および $M$ は整数かつ $p^t$ は $M$ の倍数であることがわかる．
よって整数 $s\~(0\leq s\leq t)$ により $M=p^s$ とおけて，このとき代入し整理すれば次を得る．
$$(p^{t-s}+1)^{b}=p^{s(d-b)}$$
　$s=0$ のとき $1\lt(p^t+1)^b=1$ となり不適，また $0\lt s\lt t$ のとき，左辺は $p$ の倍数でないのに対して右辺は $p$ の倍数であるため不適であるから結局 $t=s$ を得る．
これを代入すれば $2^b=p^{t(d-b)}$ より $p=2,b=t(d-b)$ であるから，$L+N=p^t=2^t$ と合わせれば
$$L=\frac{b}{a}=\frac{2^tt}{2t+1},\quad N=\frac{d}{a}=\frac{2^t(t+1)}{2t+1}$$
が得られる．$a$ と $b$ は互いに素であることに注意すれば，以上より次が得られた．
$$a=2t+1，b=2^tt，c=2^t(2t+1)，d=2^t(t+1)，p=2$$
逆にこれが与えられた条件を全て満たすことは確認できるため，$1001$ 番目に小さい $b$ は $b=2^{1001}\times1001$．
したがってEulerの定理より求める値は
$$2^{1001}\times1001\equiv 2^1\times 1001\equiv\bf{891}\rm \pmod{1111}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc128/editorial/4681
　正整数 $a,b,c,d,t$（$a,b$ は互いに素）および素数 $p$ は次をみたします：
$$a^d(b+c+d)^b=a^bc^d,\quad b+d=ap^t$$
$b$ としてありうる値のうち $1001$ 番目に小さいものについて，それを $1111$ で割った余りを求めてください．