　$f$ が偶数次の項からなることより $f$ は偶関数なので, $f(-1)=f(-2)=f(-3)=f(-4)=5$ である. 従って, 
$$f(x)=(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5$$
が分かるから, $f(5)=\mathbf{72581}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/6768
　条件から $f(x)=x^8+ax^6+bx^4+cx^2+d$ と表せることが分かります．このとき $t=x^2$ とおくと
$$f(x)=\left(x^4\right)^2+a\left(x^3\right)^2+b\left(x^2\right)^2+c\left(x^2\right)+d=t^4+at^3+bt^2+ct+d$$
というように見ることができます．与えられている $f(i)$ の値がすべて $5$ であることから，$f$ から $5$ を引くと因数定理を使える形にできそうです．$g(t)=(t^4+at^3+bt^2+ct+d)-5$ とおくと，条件から $g(1)=g(4)=g(9)=g(16)=0$ であるので，因数定理より
$$g(t)=(t-1)(t-4)(t-9)(t-16)$$
と表せます（$x^8$ の係数，すなわち $t^4$ の係数が $1$ であることに注意！）．求めたいもの（に近いもの）は $g(25)$ であり，その値は
$$24\times 21\times 16\times 9=72576$$
です．以上より $f(5)=g(25)+5=\boxed{72581}$ と求まりました．
置換してみよう（for beginners）
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb012/editorial/6768/534
　以下を全て満たす $8$ 次の実数係数多項式 $f$ は一意に存在するので，$f(5)$ を解答してください. 
- 奇数次の項の係数は全て $0$ である. 
- $8$ 次の項の係数は $1$ である. 
- $f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=5$.