**解法1.**　平行四辺形の辺の長さを $x, y$ とおくと，余弦定理より
$$x^2+y^2-2xy\cos89^\circ=199^2,\quad x^2+y^2+2xy\cos89^\circ=201^2$$
であるから，
$$xy=\dfrac{201^2-199^2}{4\cos89^\circ}=\dfrac{200}{\cos89^\circ}$$
を得る．よって，
$$S=xy\sin89^\circ=200\tan89^\circ$$
と表せる．また，頂角が $2^\circ$，底辺の長さが $1$ である二等辺三角形の面積は $\tan89^\circ\/4$ であり，$T$ はこれを $180$ 倍したものであるから，$T=45\tan89^\circ$ と表せる．したがって，$\dfrac{S}{T}=\dfrac{40}{9}$ であり，特に解答すべき値は $\mathbf{49}$ である．

**解法2.**　平行四辺形を対角線で二等分して得られる $2$ 種類の三角形（図の $P, Q$）を $180$ 個ずつ用意して，図のように互い違いに並べると，一辺の長さが $201$ の正 $180$ 角形から一辺の長さが $199$ の正 $180$ 角形をくり抜いた図形を得る．よって，
$$S\times180=T\times(201^2-199^2)$$
が成り立ち，$\dfrac{S}{T}=\dfrac{40}{9}$ とわかる．
![figure 1](\/images\/4KipiFFWMcOER2BXIrTFnGm6WYPz4oz1oY0rVzMS)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/7797
　内角のひとつが $89^\circ$ であって，$2$ 本の対角線の長さがそれぞれ $199$ と $201$ である平行四辺形の面積を $S$，一辺の長さが $1$ である正 $180$ 角形の面積を $T$ とおくとき，$\dfrac{S}{T}$ を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．