　$5$ 個のボールに対して, 以下で定まる操作 $k\ \ (k=1,2,3,4,5)$ を考える (操作 $0$ では何も行わない)：

- 操作 $k$：操作 $k-1$ までに選ばれていないボールから, $a_k$ 個を選んで $k$ を書き込む.

すると, 操作 $k$ の施し方は $\_{5-a_1-...-a_{k-1}}\mathrm{C}\_{a_k}$ 通りであるから, 求める総和は操作 $5$ 回を通しての施し方の場合の数に等しいことがわかる. 一方で, この操作 $5$ 回は各ボールに $1,2,3,4,5$ のいずれかを割り振ることと等価であるから, 求める総和は $5^5=\textbf{3125}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc059/editorial/1248
　$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5$ なる非負整数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ すべてについて, 以下の値
$$\_{5}\mathrm{C}\_{a_1}\times{}\_{5-a_1}\mathrm{C}\_{a_2}\times{}\_{5-a_1-a_2}\mathrm{C}\_{a_3}\times{}\_{5-a_1-a_2-a_3}\mathrm{C}\_{a_4}\times{}\_{5-a_1-a_2-a_3-a_4}\mathrm{C}\_{a_5}$$
を足し合わせたものを解答してください．