　$\gamma$ と辺 $BC$ の接点を $D$ とし，直線 $AD$ と $\Omega$ の交点のうち $A$ でない方を $E$ とおくと次が成り立つ．
$$BE=CE$$
<details><summary> 証明<\/summary>
　$\gamma$ と $\Omega$ は点 $A$ を中心に相似なので $D$ における $\gamma$ の接線，すなわち直線 $BC$ と $E$ における $\Omega$ の接線は平行である．したがって $BE=CE$ が成り立つ．$\square$
<\/details>
特にこの長さは三角形 $ABC$ の内心 $I$ と $E$ の距離 $EI$ に等しい．
<details><summary> 証明<\/summary>
　$360^\circ-\angle BEC=180^\circ+\angle BAC=2\angle BIC$ より $E$ は三角形 $BIC$ の外心である．よって示された．$\square$
<\/details>
円周角の定理より $\angle BAE=\angle DBE$ がしたがうので三角形 $BAE$ と三角形 $DBE$ は相似である．よって
$$EI^2=EB^2=ED\times EA$$
である．ここで問題文の条件より $\Omega$ と $\gamma$ の相似比が $121:21$ であるので，$AD:AE=21:121$ が成り立つ．よって先ほどの等式と合わせて，
$$ED:EA:EI=100:121:110$$
であり，特に $DI:DE=1:10$ である．この比は三角形 $ABC$ の内接円の半径と，$E$ と直線 $BC$ の距離の比に等しい．したがって三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると
$$1:10=r:121\times\frac{3}{2}$$
これを解いて $r=\dfrac{363}{20}$ を得るので，特に解答すべき値は $\mathbf{383}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/7534
　三角形 $ABC$ の面積を $S$，内接円の半径を $r$ とし，$BC=a, CA=b, AB=c$ とおく．

---

方針:

- $\displaystyle S= \frac{r}{2} (a+b+c)$ を用いて $r$ を求めたい．

- $a$ はすぐわかる(下記参照)ので，$b+c$ や $bc$ を求めれば良さそう．

- 余弦定理によって，$b+c$ と $bc$ の関係式が1つ得られる．

- $\displaystyle S=\frac 12 bc \sin 120^{\circ}$ より，三角形 $ABC$ の面積が求まれば $bc$ も求まる．

- $BC$ は分かっているので，$BC$ を底辺としたときの高さが求まれば良い．これは相似を用いた初等的な考察で出来そうである．

---

　円 $\Omega$ の中心を $O$，円 $\gamma$ の中心を $O^\prime$ とする．
$\angle BAC = 120^{\circ}$ より，円周角の定理から $\angle BOC=120^{\circ}$ である．
さらに三角形 $BOC$ が $BO=CO=121$ の二等辺三角形であることから，

$$BC = 2 \cdot 121 \cos 30^{\circ} =121 \sqrt 3$$

を得る．また，円 $\gamma$ が円 $\Omega$ に内接していることから，3点 $A,O,O^\prime$ は同一直線上にあり，

$$AO = 121, \qquad AO^\prime = 21, \qquad OO^\prime = 100$$

である．\
　次に，3点 $A,O,O^\prime$ それぞれから線分 $BC$ に垂線を下ろし，それぞれの足を $D,H,H^\prime$ とおく．
さらに線分 $AO$ と線分 $BC$ の交点を $E$ とおけば，三角形 $ ADE$, 三角形 $OHE$, 三角形 $O^\prime H^\prime E$ は相似である．
三角形 $OHE$ と 三角形 $O^\prime H^\prime E$ の相似比は

$$OH : O^\prime H^\prime = 121 \sin 30^\circ : 21 = 121 : 42$$

である．よって

$$O^\prime E = 100 \cdot \frac{42}{121 + 42} = \frac{100 \cdot 42}{163}$$

を得る．さらに

$$AO^\prime : O^\prime E = 21 : \frac{100 \cdot 42}{163} = 163 : 200$$

であるので，三角形 $ADE$ と 三角形 $O^\prime H^\prime E$ の相似比は

$$O^\prime E : AE = 200 : (163 + 200) = 200 : 363$$

であり，したがって

$$AD = 21 \cdot \frac{363}{200} = \frac{3^2 \cdot 7 \cdot 11^2}{200}$$

を得る．\
　ここで，三角形 $ABC$ において，余弦定理より

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos 120^{\circ},$$

すなわち

$$b^2+c^2 + bc = 3 \cdot 11^4$$

を得る．一方，三角形 $ABC$ の面積に着目すれば

$$S = \frac 12 bc \sin 120^{\circ} = \frac 12 \cdot BC \cdot AD = \frac 12 \cdot 121 \sqrt 3 \cdot \frac{3^2 \cdot 7 \cdot 11^2}{200} = \frac{3^2 \cdot 7 \cdot 11^4 \sqrt 3}{400}$$

となり，整理すれば

$$bc = \frac{3^2 \cdot 7 \cdot 11^4}{100}$$

を得る．したがって

$$(b+c)^2 = (b^2+c^2+bc) + bc = 3 \cdot 11^4 + \frac{3^2 \cdot 7 \cdot 11^4}{100} = \frac{363 \cdot 11^4}{100} = \frac{3 \cdot 11^6}{100}$$

より

$$b+c = \frac{11^3 \sqrt 3}{10}$$

となる．\
　最後に，公式 $\displaystyle S = \frac 12 r (a+b+c)$ を用いれば，

$$\frac{3^2 \cdot 7 \cdot 11^4 \sqrt 3}{400} = \frac 12 r \left( 121 \sqrt 3 + \frac{11^3 \sqrt 3}{10} \right)$$

から $\displaystyle r = \frac{363}{20}$ を得る．
S=(r/2)(a+b+c) を用いる
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/7534/786
（座標を用いる発想に至るまで）

　ユーザー解説同様，三角形の面積の公式 $S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$ を用いたい．\
　$BC=121 \sqrt{3}$ はすぐにわかるので，点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $H$ としたとき，$AH$ と $AB+AC$ の値がわかれば $r$ が求まる．\
　ここで，円 $\Omega$ の点 $A$ を含まない弧 $BC$ の中点を $M$ とすると，$AB+AC=AM$ である（四角形 $ABMC$ に Ptolemy の定理を適用すればよい）．よって，$AH$ と $AM$ の値がわかれば $r$ の大きさが求まる．\
　以上の考察から，円 $\Omega$ の中心を原点とし，直線 $OM$ が $x$ 軸となるように直交座標を設定すれば問題が解けるだろうと考えられる．

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　円 $\Omega$ の中心を原点とし，
$$B\left(\dfrac{121}{2},\dfrac{121}{2}\sqrt{3}\right), C\left(\dfrac{121}{2},-\dfrac{121}{2}\sqrt{3}\right),M(-121,0)$$
となるように座標軸を設定する．\
　円 $\gamma$ の中心を $P$ とすると，$P$ の $x$ 座標は$\dfrac{163}{2}$ であり，$OP=100$ である．三平方の定理から $P\left( \dfrac{163}{2}, \dfrac{11}{2}\sqrt{111}\right)$ である．\
　次に $\overrightarrow{OA}=\dfrac{121}{100}\overrightarrow{OP}$ より，$A\left(\dfrac{121 \cdot 163}{200},\dfrac{11^3}{200}\sqrt{111}\right)$ である．\
　あとは計算さえ頑張ればよい．$AH=\dfrac{121 \cdot 163}{200}-\dfrac{121}{2}=\dfrac{121 \cdot 63}{200}$，$AM$ は三平方の定理を用いれば $\dfrac{11^3 \sqrt{3}}{10}$ となる．\
　最後に，ここまでで得た値を $S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)$ に代入していけば，$r$ の大きさが求まる．
面積を用いる別解その２（座標）
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb034/editorial/7534/787
　$\Omega$ を外接円に持つ三角形 $ABC$ は $\angle BAC=120^\circ$ を満たしています．また，円 $\gamma$ は $\Omega$ に $A$ で**内接**し，さらに辺 $BC$ に接しています．$\Omega$ の半径が $121$，$\gamma$ の半径が $21$ であるとき三角形 $ABC$ の内接円の半径を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください.