　一般に $2022$ を $2N$ とおく. $xyz$ 空間上で $(x,y,z)$ の取り得る領域を考えれば, これは
$$(0,0,0), (N,N,0), (N,0,N), (0,N,N)$$
を頂点とする正四面体の表面を含まない内部である.$\\\\$
　$z=1,2,\cdots,N-1$ におけるこれの断面について, それぞれPickの定理を用いれば, 求める個数は
$$\begin{aligned}
\sum_{z=1}^{N-1} \\{2z(N-z)-N+1\\} &= - \frac{N(N-1)(2N-1)}{3} +N^2(N-1)-(N-1)^2 \\\\
&= \frac{(N-1)(N^2-2N+3)}{3}
\end{aligned}$$
であり, 特に $N=1011$ のとき $\bf{343434340}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/2810
　立体のまま考える解法です

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　$(0,0,0),(N,N,0),(N,0,N),(0,N,N)$ を頂点とする正四面体 $P$ の内部の格子点の個数は，次の $A,B,C,D$ を用いて $A-4B+C+D$ で得られる．
- $(0,0,0),(N,0,0),(0,N,0),(0,0,N)$ を頂点集合に含む立方体の表面および内部の格子点の個数 $A$．
- $(0,0,0),(N,0,0),(0,N,0),(0,0,N)$ を頂点とする四面体の表面および内部の格子点の個数 $B$．
- $P$ の辺上の格子点の個数 $C$．
- $P$ の頂点の個数 $D$．

$A,B,C,D$ はそれぞれ簡単な議論によって
$$A=(N+1)^3,\quad B=\dfrac{(N+1)(N+2)(N+3)}{6},\quad C=6N-2,\quad D=4$$

と求められるため，求める値は次のように計算できる．

$$(N+1)^3-4\times\frac{(N+1)(N+2)(N+3)}{6}+6N-2+4=\frac{N^3-3N^2+5N-3}{3}$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/2810/134
　よく見たら前半 3 つの条件って三角形の成立条件そのまんまですね．[OMC055(D) のユーザー解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc055\/editorial\/258\/34)を思い出して解いてみます．\
　こっちの方が本解説よりも綺麗かもしれません（ごめんなさい）

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　前半 2 式を足し合わせることで $z\gt 0$ を得る．同様に $x,y\gt 0$ である．$x+y+z$ の値によって場合分けして求めよう．

- $x+y+z$ が偶数のとき\
　$x+y+z=2n$ とおく．条件より $x,y,z \leq n-1$ であり，$x^\prime=(n-1)-x$ のようにすれば $x^\prime + y^\prime + z^\prime =n-3$ なる非負整数 $x^\prime, y^\prime, z^\prime$ の組の総数を求めることに帰着されるから，この場合の総数は ${}\_{3} \mathrm{H}\_{n-3}={}\_{n-1} \mathrm{C}\_{2}$ である．

- $x+y+z$ が奇数のとき\
　$x+y+z=2n+1$ とおく．条件より $x,y,z \leq n$ であり，上と同様にしてこの場合の総数は ${}\_{3} \mathrm{H}\_{n-1}={}\_{n+1} \mathrm{C}\_{2}$ である．

特に 4 つ目の条件が $x+y+z \lt 2N$ である場合，求める総数は
$$\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\cdots+\binom{N}{2}+\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\cdots+\binom{N-2}{2}=\binom{N+1}{3}+\binom{N-1}{3}$$
となる．$N=1011$ のときこの値は $\textbf{343434340}$ である．

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　答えが綺麗ですね（偶然です）。答え綺麗シリーズに [OMC104(E)](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc104\/tasks\/2562) もあるので解いてみてくださいね。
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc122/editorial/2810/136
　以下の条件をすべてみたす整数の組 $(x,y,z)$ はいくつありますか？
$$ x \lt y+z,\quad y \lt x+z,\quad z \lt x+y,\quad x+y+z \lt 2022$$