　池の一周を $L$ m とすると，$A$ さん，$B$ さん，$C$ さんの速さはそれぞれ，分速 $ \dfrac{L}{3}$ m，分速 $ \dfrac{L}{5}$ m，分速 $ \dfrac{L}{7}$ mと表される．よって， $A$ さんと $B$ さんが初めて出会うのは，$ \cfrac{L}{ \cfrac{L}{3} - \cfrac{L}{5} } = \dfrac{15}{2} $ 分後である．同様にして，$A$ さんと $C$ さんが初めて出会うのは，$ \dfrac{21}{4} $ 分後と計算できる．したがって，$3$ 人全員が同時に出会うのは，$ \dfrac{15}{2} $ 分の正の整数倍と $ \dfrac{21}{4} $ 分の正の整数倍が一致するときである．よって，$3$ 人が初めて同時に出会うのは $ \dfrac{105}{2} $ 分後であるから，求める答えは $105+2= \mathbf{107} $．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/editorial/12103
　$A$ さん，$B$ さん，$C$ さんは，ある池の周りを常に一定の速さで移動し，池の周りを一周するのにそれぞれ $3$ 分， $5$ 分， $7$ 分かかります．$3$ 人が池の周りの同じ地点から同時にスタートして同じ向きに移動するとき，$x$ 分後に $3$ 人全員が同時にスタート地点ではないある地点で初めて出会いました．$x$ は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので $a+b$ の値を解答してください．