　まず，一つ目の条件より $f$ は素数での値を決めれば一意に定まることに注意し（$n=m=1$ より $f(1)=1$ である），さらに $f, \sigma, d$ はいずれも乗法的関数であることから，二つ目の条件は $n$ が素べきのときでの成立が必要十分である．\
　$p$ を素数，$m$ を正整数とすると，二つ目の条件は
$$1\le\frac{d(p^m)\sigma(p^m)}{f(p^m)}=\frac{(m+1)(p^m+p^{m-1}+\cdots+1)}{f(p)^m}=\frac{(m+1)(p^{m+1}-1)}{(p-1)f(p)^m}$$
となる．特に $m\to\infty$ とすることで $f(p)\le p$ が従い，逆にこのとき任意の $m$ に対して不等式の成立が確認できる．また，$p=2, 3, 5, 7$ について $f(p)$ の値を $1, 2, \cdots, p$ から任意に定めたとき，$11$ 以上の素数 $p$ に対して $f(p)=1$ とすることで実際に条件を満たす関数を構成できる．\
　従って，$f(2\times3^{10}\times5^{100}\times7^{1000})=f(2)\times f(3)^{10}\times f(5)^{100}\times f(7)^{1000}$ として取り得る値は
$$2\times3\times5\times7=\mathbf{210}$$
通りである．ただし，各因子の指数の差が十分大きいことから， $f(2\times3^{10}\times5^{100}\times7^{1000})$ として取り得る値と組 $(f(2), f(3), f(5), f(7))$ が一対一に対応することに注意する．


<details><summary> 乗法的関数について <\/summary>

　$\mathbb N$ 上で定義された関数 $g$ が**乗法的関数**であるとは，任意の互いに素な正整数 $m, n$ について
$$ g(mn) = g(m) g(n) $$
が成り立つことをいう．乗法的関数 $g, h$ に関して次の特徴が知られている．
- 素べきが $g$ によって移る先をすべて定めれば，正整数が $g$ で移る先がすべて定まる．
- $g(n)h(n)$ や $\sum_{d \mid n} g(n)$ を返す関数も乗法的となる．

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公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc210/editorial/8203
　正の整数に対して定義され，正の整数値をとる関数 $f$ が，以下の条件をともにみたします：
- 任意の正の整数 $n, m$ に対して $f(nm)=f(n)f(m)$．
- 任意の正の整数 $n$ に対して $f(n)\le \sigma(n)d(n)$．

　このとき，$f(2\times3^{10}\times5^{100}\times7^{1000})$ としてありうる値はいくつありますか？ここで，$\sigma(n)$ は $n$ の正の約数の総和を表し，$d(n)$ は $n$ の正の約数の個数を表します．