　数列 $\lbrace F_n \rbrace$ を以下の漸化式によって定める.

$$
F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)
$$

　$i = 1, 2, \ldots, n$ に対して $b_i = a_i - F_{2i - 1}$, $t = s - F_{2n}$ とすることで, 
$f(n, s)$ が以下の条件を満たす**非負整数**の組 $b_1, b_2, \ldots, b_n$ の個数に等しいことがわかる.

- $b_1 + b_2 + \cdots + b_n = t$ 
- $1$ 以上 $n - 1$ 以下の全ての整数 $k$ について,
$$ b_{k + 1} \geq kb_1 + (k - 1)b_2 + \cdots +2b_{k - 1} + b_k$$

　$F_1, F_3, \ldots, F_{2n - 1}$ をそれぞれ非負整数個ずつ選んで総和を 
$t$ とする方法の個数を $g(n, t)$ と表すことにして, $f(n, s) = g(n, t)$ を示す. 
条件を満たす整数の組は全て以下のようにして構成できる.

- はじめ $b_1 = b_2 = \cdots = b_n = 0$ とする. $k = 1, 2, \ldots, n$ の順に以下の操作を行う.
  - $b_k$ に非負整数を加えて最終的な値に一致させる.
  - $k \lt n$ のとき, $k^{\prime} = k, k + 1, \ldots n - 1$ の順に, $b_{k^{\prime} + 1}$ に非負整数を加えて
$$ k^{\prime} b_1 + (k^{\prime} - 1)b_2 + \cdots + 2b_{k^{\prime} - 1} + b_{k^{\prime}} $$
に一致させる.

　要素の総和 $b_1 + b_2 + \cdots + b_n$ に対する $k$ 回目の操作の寄与を考える.
一つ目の操作で $b_k$ に加えた非負整数を $d_k$ とするとき, 
二つ目の操作では $k^{\prime} = k, k + 1, \ldots n - 1$ について, 
$b_{k^{\prime} + 1}$ に $F_{2(k^{\prime} - k + 1)} d_k$ を加えることになるため, 
これらをまとめると総和は $F_{2(n - k) + 1} d_k$ だけ増加することになる. 
整数の組 $b_1, b_2, \ldots, b_n$ と $d_1, d_2, \ldots, d_n$ は一対一対応するため示せた.


　$F_{15} \gt 900 - F_{14} = 523$ より, 

$$
g(7, 523) = g(8, 523) = g(9, 523)
$$

であるため, $s_1 = 523 + F_{16} = 1510$ および $s_2 = 523 + F_{18} = 3107$ はそれぞれ条件を満たす.
 さらに, $F_1$ を用いる個数に着目して得られる $g$ の単調性などより, 
これらに限られることも確認できる.
 以上より, 特に解答すべき値は $1510 \times 3107 = \mathbf{ 4691570 }$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc130/editorial/5349
　正整数 $n$, $s$ を固定したとき，以下の条件をみたすような正整数の組 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ の個数を $f(n, s)$ とします．

- $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = s $．
- $k=1,2,\ldots, n-1$ それぞれについて, 
$$ a_{k + 1} \geq 1 + ka_1 + (k - 1)a_2 + \cdots + 2a_{k - 1} + a_k. $$

$f(7, 900) = f(8, s_1)$ をみたすような正整数 $s_1$ の総和を $X$，
$f(7, 900) = f(9, s_2)$ をみたすような正整数 $s_2$ の総和を $Y$ とするとき，
積 $XY$ を求めてください．ただし, $s_1,s_2$ が存在することは保証されます．