　$N = 7$ とする．$i \in \\{1, 2, 3\\}, j \in \\{0, 1, 2\\}$ に対し，$n_i$ を $3$ 進数表記したときに現れる $j$ の個数を $G(i, j)$ と表すと，以下が成り立つ．
- 任意の $i \in \\{1, 2\\}, j \in \\{0, 1, 2\\}$ に対し，$F(i, j) = G(i + 1, j) - G(i, j) $
- 任意の $i \in \\{1, 2, 3\\}$ に対し，$G(i, 0) + G(i, 1) + G(i, 2) = N$

これらのことから問題文にある $2$ 条件はそれぞれ次の条件と同値であることが分かる．
$$G(1, 0) + G(2, 2) + G(3, 1) = N，G(1, 2) + G(2, 1) + G(3, 0) \gt N$$

　したがって，$n_2$ に対し，$3$ 進数表記において各桁を $0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 0$ と巡回して置換した数を $n_2^{\prime}$ とし，$n_3$ に対し，$3$ 進数表記において各桁を $0 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 0$ と巡回して置換した数を $n_3^{\prime}$ とすれば，$n_1, n_2^{\prime}, n_3^{\prime}$ の $3$ 進数表記には合計してちょうど $N$ 回の $0$ が現れ，かつ $2$ が現れる回数は $N$ より多い．このような $n_1, n_2^{\prime}, n_3^{\prime}$ の組が何組あるのかを求めればよく，それは以下のように計算できる．
$${}\_{3N}\mathrm{C}\_N ({}\_{2N}\mathrm{C}\_{N+1} + \cdots + {}\_{2N}\mathrm{C}\_{2N}) = \frac{{}\_{3N}\mathrm{C}\_N(2^{2N} - {}\_{2N}\mathrm{C}\_N)}{2} = \mathbf{753029280}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc135/editorial/4856
　FPS での解法です．少し省略しています．

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　$G(i,j)$ を公式解説と同様に定義する．このとき条件は
$$G(2,0)+G(2,1) = G(1,0)+G(3,1),　G(2,0)+G(2,2) \lt G(1,2)+G(3,0)$$
である．よって，求める場合の数は形式的冪級数
$$\left(\frac 1a + 1 + \frac 1b \right)^7 (ab+a+b)^7 \left(\frac 1b + \frac 1a + 1\right)^7$$
において，$a$ の次数が $0$ かつ $b$ の次数が負である項の係数の総和として表せる．すなわち， $(ab+a+b)^{21}$ において $a$ の次数が $14$ かつ $b$ の次数が $13$ 以下である項の係数の総和を求めればよい．  
　$(ab+a+b)^{21}$ を $a$ の関数と捉えたとき，その $a^{14}$ の係数は
$$\binom{21}{14}(b+1)^{14}b^7$$
であることが二項定理より分かる．さらに，$(b+1)^{14} b^7$ において $b$ の次数が $13$ 以下である項の係数の総和は
$$\binom{14}{0}+\binom{14}{1}+\cdots+\binom{14}{6} = \frac{2^{14}-\binom{14}{7}}{2}$$
である．従って求める答えは
$$\binom{21}{14} \times \frac{2^{14}-\binom{14}{7}}{2} = \textbf{753029280} .$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc135/editorial/4856/179
　$0$ 以上 $3^7-1$ 以下の整数 $3$ つからなる列 $(n_1, n_2, n_3)$ が与えられています．\
　この列および $i \in \\{1, 2\\},  ~ j \in \\{0, 1, 2\\}$ に対し，$F(i, j)$ を以下で定めます．

- $n_{i+1}$ の $3$ 進法表記（ $7$ 桁）で $j$ が現れる回数から，$n_{i}$ の $3$ 進法表記（ $7$ 桁）で $j$ が現れる回数を引いて得られる値．ただし，「 $3$ 進法表記（ $7$ 桁）」とは，必要ならば先頭に $0$ を加えてちょうど $7$ 桁として表記することを意味する．

<details><summary>具体例<\/summary>
　たとえば，与えられた列が
$$(500, 800, 1000) = (0200112_{(3)}, 1002122_{(3)}, 1101001_{(3)})$$
の場合，$F(1, 0) = -1, F(2, 1) = 2$ などが成り立ちます．
<\/details>

　列の与え方は全部で $3^{21}$ 通りありますが，そのうち
$$F(1, 0) = F(2, 1), \quad F(1, 2) \lt F(2, 0)$$
を同時にみたすものはいくつありますか？