**解法1.**　与式を利用して適当に加減を行うことで, 多項式
$$P(x)=x(x-1)(x-2)(x-333)(x-335)\cdots (x-2021)$$
について以下が成立する.
$$ S=\sum_{k=0}^{2021} P(k)a_k = -(334!)\times(2021-334)!\times a_{334}$$
したがって, 求める $m$ は結局 $334!\times(2021-334)!$ が $5$ で割り切れる回数 $\textbf{500}$ である.

**解法2.** 　与式を利用して適当に加減を行うことで, $0 \leq i \lt 2021$ なる整数 $i$ に対し以下の成立が分かる：
$${}\_0\mathrm{P}\_i \times a_0 + {}\_1\mathrm{P}\_i \times a_1 + \cdots + {}\_{2021}\mathrm{P}\_{i} \times a_{2021} = 0\quad \cdots\cdots (1)$$
ただし ${}\_0\mathrm{P}\_0 = 1$, $n \lt r$ のとき ${}\_n\mathrm{P}\_r = 0$ とする. これを用いて, $0 \leq i \leq 2021$ なる任意の整数 $j$ に対し,
$$a\_j = (-1)^{2021-j}{}\_{2021}\mathrm{C}\_{j}\times a\_{2021}\quad \cdots\cdots (2)$$
であることを帰納法によって示す. ただし通常の帰納法と逆順に辿るものとする. すなわち, ある整数 $k\lt 2021$ に対し, $j\gt k$ で成立を仮定し, $j=k$ での成立を示す. ここで $j = 2021$ の場合は明らかであることに留意せよ.\
　　$(1)$ で $i=k$ としたものから始め, 帰納法の仮定および ${}\_{s}\mathrm{C}\_{t} \times {}\_{t}\mathrm{P}\_{u} = {}\_{s-u}\mathrm{C}\_{t-u} \times {}\_{s}\mathrm{P}\_{u}$ を利用することで
$$\begin{aligned}
k! \times a_k &= -\left({}\_{k+1}\mathrm{P}\_{k} \times a_{k+1} + \cdots + {}\_{2021}\mathrm{P}\_{k} \times a_{2021}\right) \\\\
&= -\left\\{(-1)^{2021-k-1}{}\_{k+1}\mathrm{P}\_{k} \times {}\_{2021}\mathrm{C}\_{k+1}+ \cdots + (-1)^0{}\_{2021}\mathrm{P}\_{k} \times {}\_{2021}\mathrm{C}\_{2021}\right\\}a_{2021} \\\\
&= -\left\\{(-1)^{2021-k-1}{}\_{2021-k}\mathrm{C}\_{1} + \cdots + (-1)^0{}\_{2021-k}\mathrm{C}\_{2021-k}\right\\}{}\_{2021}\mathrm{P}\_{k} \times a_{2021} \\\\
&= (-1)^{2021-k}{}\_{2021}\mathrm{P}\_{k} \times a_{2021}
\end{aligned}$$
ただし最後は二項定理である. これより成立が示され, 特に
$$-334!\times(2021-334)!\times a_{334}=2021\times a_{2021}$$
に留意すれば, 以下のように変形できる.
$$\begin{aligned}
S&=\sum_{k=0}^{2021} k^{2021}a_k \\\\
&= a_{2021} \sum_{k=0}^{2021} k^{2021}(-1)^{2021-k}{}\_{2021}\mathrm{C}\_{k}\\\\
&=2021!\times a_{2021}=-(334!)\times(2021-334)!\times a_{334}
\end{aligned}$$
ただし, 途中の等号は包除原理の発想による. したがって, 解法1と同様に求める $m$ は $\textbf{500}$ である.

**補足.**　$A$ の母関数 $f$ をとる. すなわち
$$f=a_0x^0+a_1x^1+\cdots+a_{2021}x^{2021}$$
このとき, 与条件は「整数 $0 \leq i \lt 2021$ に対し $f^{(i)}(1) = 0$」と言いかえられる. すなわち $1$ は $f$ の $2021$ 重根であるから, $f$ が高々 $2021$ 次であることと併せて $f=a_{2021}(x-1)^{2021}$ と表せ, 特に $(2)$ が成立する.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/editorial/311
　一般に $2021$ を $N$ とおく．非負整数 $j,\ell$ に対し，第二種 Stirling 数を $\mathscr S(j,\ell)$ と表すと，$0^0=1$ とみなせば
$$ \mathscr S(j,\ell) = \frac1{\ell!}\sum_{k=0}^\ell(-1)^{\ell-k}\mathinner{{}\_\ell\mathrm C\_k}k^j $$
である．また $\mathscr S(j,j) = 1$ および $j \lt \ell$ で $\mathscr S(j,\ell) = 0$ が成り立つ．\
　$S$ を固定すると $A$ は一通りに定まるから，仮定の式と $\mathscr S(i,N)$ を照らし合わせることで，各 $k$ に対して
$$ a_k = \frac{S\mathinner{(-1)^{N-k}}{}\_N\mathrm C\_k}{N!} \implies S = (-1)^{N-k}\mathinner{k!}\mathinner{(N-k)!}a_k $$
が分かる．よって $N$ を元に戻し $k = 334$ とすることで，求める $m$ として，$334!\mathinner{(2021-334)!}$ が $5$ で割り切れる回数 $\mathbf{500}$ を得る．
第二種 Stirling 数
https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/editorial/311/5
　$c = 5^m \times n$ とおく．与えられた条件式より，$(a_i)\_{0 \leq i \leq 2021}$ は次の一次連立方程式を満たす：
$$
\begin{pmatrix}
0^0 & 1^0 & \cdots & 334^0 & \cdots & 2021^0 \\\\
0^1 & 1^1 & \cdots & 334^1 & \cdots & 2021^1 \\\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
0^{2020} & 1^{2020} & \cdots & 334^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\\\
0^{2021} & 1^{2021} & \cdots & 334^{2021}-c & \cdots & 2021^{2021} \\\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\\\
a_1 \\\\
\vdots \\\\
a_{2020} \\\\
a_{2021} \\\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\\\
0 \\\\
\vdots \\\\
0 \\\\
0 \\\\
\end{pmatrix}
$$

左辺の係数行列を $A$ とおく．
$S \neq 0$ より $a_{334} \neq 0$ なので，この連立方程式には非自明な解が存在する．
よって，$\det(A) = 0$ が成り立つ．
行列式の多重線型性と展開公式を用いて，
$$
\begin{aligned}
\det(A) &= \det
\begin{pmatrix}
0^0  & \cdots & 333^0 & 334^0 & 335^0 & \cdots & 2021^0 \\\\
0^1  & \cdots & 333^1 & 334^1 & 335^1 & \cdots & 2021^1 \\\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
0^{2020} & \cdots & 333^{2020} & 334^{2020} & 335^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\\\
0^{2021} & \cdots & 333^{2021} & 334^{2021} & 335^{2021} & \cdots & 2021^{2021} \\\\
\end{pmatrix} \\\\
& \quad\quad+\det
\begin{pmatrix}
0^0 & \cdots & 333^0 & 0 & 335^0 & \cdots & 2021^0 \\\\
0^1 & \cdots & 333^1 & 0 & 335^1 & \cdots & 2021^1 \\\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
0^{2020} & \cdots & 333^{2020} & 0 & 335^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\\\
0^{2021} & \cdots & 333^{2021} & -c & 335^{2021} & \cdots & 2021^{2021} \\\\
\end{pmatrix} \\\\
&= \det
\begin{pmatrix}
0^0  & \cdots & 333^0 & 334^0 & 335^0 & \cdots & 2021^0 \\\\
0^1  & \cdots & 333^1 & 334^1 & 335^1 & \cdots & 2021^1 \\\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
0^{2020} & \cdots & 333^{2020} & 334^{2020} & 335^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\\\
0^{2021} & \cdots & 333^{2021} & 334^{2021} & 335^{2021} & \cdots & 2021^{2021} \\\\
\end{pmatrix} \\\\
& \quad\quad +c\det
\begin{pmatrix}
0^0 & \cdots & 333^0 & 335^0 & \cdots & 2021^0 \\\\
0^1 & \cdots & 333^1 & 335^1 & \cdots & 2021^1 \\\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
0^{2020} & \cdots & 333^{2020} & 335^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
を得る．ここで Vandermonde の行列式を用いてさらに計算を進めると，
$$
\det(A) = \prod_{0 \leq i \lt j \leq 2021} (j-i) + c \prod_{\substack{0 \leq i \lt j \leq 2021 \\\\ i,j \neq 334}} (j-i)
$$
となるので，$\det(A) = 0$ より，
$$
c = -\prod_{i = 0}^{333}(334-i) \times \prod_{j = 335}^{2021}(j-334) = -334! \times (2021-334)!
$$ 
を得る．
$c$ は $5$ で最大 $500$ 回割り切れるので，求める答えは $\textbf{500}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc051/editorial/311/15
　ある数列 $A=\\{a_0,a_1,\cdots,a_{2021}\\}$ について, 以下の条件が成立しました. ただし, $0^0=1$ とします.
$$ \sum_{k=0}^{2021} k^{i}a_{k}= \begin{cases}
0 & (i=0,1,\cdots,2020) \\\\
S\neq 0 & (i=2021)
\end{cases}$$
特に $S$ が整数 $m,n$ を用いて $S=5^m \times n\times a_{334}$ と表せるとき, $m$ としてあり得る最大の値を求めて下さい.