　$x,y,z$ はいずれも $0$ でないことが容易に分かる. 上式を変形することで以下を得る.
$$x^2y^2z^2-2xyz(x+y+z)+x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=102^2$$
一方で, 下式を変形することで以下を得る.
$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)-2(xy+yz+zx)+1=91^2$$
これらを辺々足し合わせることで, 以下を得る.
$$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=5\times 37\times 101=(2^2+1)(6^2+1)(10^2+1)$$
　あるいは次のようにしてもよい. まず, 
$$(t+x)(t+y)(t+z)=t^3+(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t+xyz$$
である. これに $t=i$ (虚数単位)を代入すると, 問題の条件より以下を得る. 
$$(i+x)(i+y)(i+z)=102+91i$$
両辺の絶対値を見ると, 同じ式を得られる. \
　$xyz\neq 0$ と併せて, あり得る組は $(\pm 2,\pm 6,\pm 10)$ (複号任意) およびその入れ替えのみである. このうち与式をみたすのはすべての符号が正であるもののみであるから, 解答すべき値は $18\times 3!=\textbf{108}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/editorial/1819
　以下をみたす整数の順序付いた組 $(x,y,z)$ すべてについて, $x+y+z$ の総和を求めてください.
$$\begin{cases}xyz=x+y+z+102\\\\xy+yz+zx=92\end{cases}$$