　$\\{a_i\\}$ に対して数列 $\\{b_i\\}$ を次のように定義する:
 - $n$ 以下の正整数 $i$ であって，$(a_i,a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ なるもの全てに対して，$a_{i+1}$ を削除した数列．

このとき，$\\{b_i\\}$ の要素数は $n-123$ であり，$b_{n-122}=b_1, ~ b_{n-121}=b_2$ と定義すると，全ての $n-123$ 以下の正整数 $k$ で $b_{k-1} \neq b_k$ が成り立ち，かつ $n-123$ 以下の正整数 $i$ のうち，
 - $(b_i,b_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $255$ 個 $\tag$
 - $(b_i,b_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
 - $(b_i,b_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
 - $(b_i,b_{i+1},b_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $0$ 個

ずつ存在する．逆に，正の整数 $n$ に対してこのような $\\{b_i\\}$ が存在すれば，条件を満たす $\\{a_i\\}$ も存在する．\
　さて，頂点を $1,2,3$ とし，$n-123$ 本の辺 $e_1, e_2, \ldots, e_{n-123}$ をもつ有向グラフであって，辺 $e_i$ が $b_i$ と $b_{i+1}$ をこの順に結んでいるようなものを考える．このとき $b_{k-1} \neq b_k$ より自己ループは存在せず，さらに
 - $1$ から $3$ へのびる辺は $255$ 本
 - $2$ から $1$ へのびる辺は $213$ 本
 - $3$ から $2$ へのびる辺は $321$ 本

ずつ存在する．$1$ から $2$ へ向かう辺の本数を $m \ge 0$ とすると，頂点 $k$ を始点・終点とする辺の数は $k$ によらず等しいので，
 - $2$ から $3$ へのびる辺は $m+108$ 本
 - $3$ から $1$ へのびる辺は $m+42$ 本

だけ存在する．ここで $m \gt 213$ のとき，鳩ノ巣原理より $e_i$ が $1$ から $2$ へ向かい，$e_{i+1}$ が $2$ から $3$ へ向かうような $i$ が存在し，題意に則さない．したがって $m \le 213$ である．逆に，$m\leq 213$ である限り，対応する $\\{b_i\\}$ であって $(b_i,b_{i+1},b_{i+2})=(1,2,3)$ となる $i$ が存在しないようなものを構成することができるから，$m=0,\ldots,213$ の場合，またその場合に限り，$\\{b_i\\}$ を構成できる．

<details><summary>具体的な構成<\/summary>

- $1$ と $2$ を往復することを $m$ 回
- $2$ と $3$ を往復することを $m+108$ 回
- $3$ と $1$ を往復することを $m+42$ 回
- $1 \to 3 \to 2\to 1$ の順に巡ることを $213-m$ 回

を，$1 \to 2 \to 3$ の順番で巡ることのないように適切な順序で行えばよい．
<\/details>

　さて，$\\{b_i\\}$ の要素数はグラフの辺の総本数 $3m+939$ に等しいため，$n=3m+1062$ であり，求める値は
$$ \sum_{m=0}^{213} (3m+1062)=\mathbf{295641}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/3773
　問題文の箇条書きの条件を，上から順に条件 1，条件 2，条件 3，条件 4 と呼ぶことにする．\
　数列 $\\{ a_n \\}$ に対して，$a_i=1$ を満たす項数が $x$，$a_i=2$ を満たす項数が $y$，$a_i=3$ を満たす項数が $z$ であるとしよう．このとき条件 1 から $(a_i, a_{i+1})=(1,2)$ となるものは $(x-132)$ 個存在し，一方で条件 3 から $(x-132)+321=y$ なので，$y=x+189$ を得る．同様にして $z=x+108$ であり，$n=3x+297$ である．\
　次に，残された条件 4 を用いたい．先ほどの議論から，

- $(a_i, a_{i+1})=(1, 2)$ となるものがちょうど $(x-132)$ 個
- $(a_i, a_{i+1})=(2, 3)$ となるものがちょうど $(x-24)$ 個

ずつ存在することがわかっている．\
　明らかに $\min(x-132, x-24)=x-132 \geq 123 $である．よって $x \geq 255$ を得る．\
　次に $x$ の最大値を考えよう．$(a_i, a_{i+1}, a_{i+2})=(1, 2, 1)$ となるものの個数を $t$ と置くと，$x-132=t+123$ である．$t \leq 213$ なので，$x \leq 468$ である．\
　あとはそのような数列の構成ができればよいが，$1 \to 2 \to 3 \to 2 \to 1$ のループを $123$ 回して，あと必要な回数だけ $1 \to 2 \to 1$ の往復，$2 \to 3 \to 2$ の往復，$1 \to 3 \to 1$ の往復，$1 \to 3 \to 2 \to 1$ のループをさせれば，任意の $255 \leq x \leq 468$ を満たす $x$ に対して，数列 $\\{ a_n \\}$ を構成できる．\
　よって求めるべき値は
$$\sum_{x=255}^{468} (3x+297)=\mathbf{295641}$$
a_i=1,2,3を満たす項数を考える
https://onlinemathcontest.com/contests/omce011/editorial/3773/757
　$a_1, a_2, \ldots, a_n$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{n+1}=a_1, ~ a_{n+2}=a_2$ と定義すると，全ての $n$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1}≠a_k$ が成り立ち，かつ $n$ 以下の正整数 $i$ のうち，
 - $(a_i,a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
 - $(a_i,a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
 - $(a_i,a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
 - $(a_i,a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します．このような正の整数 $n$ としてありうるものは有限個なので，これらすべての総和を求めてください．