　$(x+1)^4 = x^4+4x^3+6x^2+4x+1$ に留意すれば，方程式は次のように変形できる．
$$(n+1)x^4=(x+1)^4$$
また，$x \neq 0$ より
$$\Big(1 + \dfrac{1}{x} \Big)^4 = n+1$$
である．$1+\dfrac{1}{x}$ が有理数であるためには $n+1$ が整数の $4$ 乗となればよく，求める答は $15+80+255=\mathbf{350}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb018/editorial/10005
　$n$ を $1$ 以上 $300$ 以下の整数とします．$x$ についての方程式
$$nx^4-4x^3-6x^2-4x-1=0$$
が有理数解を持つとき， $n$ としてあり得る値の総和を求めて下さい．