　非負整数の組 $(a_0, a_1\ldots, a_{10})$ であって，
$$ 0 \le a_0 \le a_1 \le \cdots \le a_{10} \le 10 $$
を満たすものを考えると，これは $x$ 軸あるいは $y$ 軸正方向に $1$ だけ移動することを繰り返して $(0, 0)$ から $(11, 10)$ まで移動する方法と一対一に対応する（組 $(a_0, a_1, \ldots, a_{10})$ と線分 $\\{ (x, a_n) \mid n \le x \le n+1 \\}$ を通るような道順を対応づければよい）．このような方法は ${}\_{21} \mathrm{C}\_{10}$ 通りある．また，組 $(a_0, a_1, \ldots, a_{10})$ と組 $(10-a_{10}, 10-a_9, \ldots, 10-a_{0})$ を対応づけることにより，$a_5 \le 4$ をみたす組と $a_5 \ge 6$ をみたす組の数は等しい．$a_5 = 5$ をみたす組は $({}\_{10} \mathrm{C}\_{5})^2$ 個あるので，求める値は
$$ \frac{{}\_{21} \mathrm{C}\_{10} + ({}\_{10} \mathrm{C}\_{5})^2}{2} = \mathbf{208110} $$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc238/editorial/11653
　広義単調増加な非負整数列 $a_0,a_1,...,a_{10}$ であって，$a_5 \le 5$ かつ $a_{10} \le 10$ をみたすものは何通りありますか．