　三角形 $ABT$ を（$A$ を中心に）反時計回りに $120^\circ$ 回転すると三角形 $AFP$ と一致する．三角形 $AFP$ は $AF$ を底辺と見ると高さが $\dfrac{5}{6}AC=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ であるから， $X = \dfrac{1}{2}\cdot3\cdot\dfrac{5\sqrt{3}}{2}=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$ である．よって，$X^2=\dfrac{675}{16}$ より，特に解答すべき数値は $\textbf{691}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc142/editorial/2726
　一辺の長さが $3$ の正六角形 $ABCDEF$ において，辺 $BC$ 上に $BP=2$ なる点 $P$ をとり，正六角形 $APQRST$ を作りました．ここで，$A,B,C,D,E,F$ はこの順に**反時計回り**に並び，$A,P,Q,R,S,T$ はこの順に**時計回り**に並んでいるものとします．\
　三角形 $ABT$ の面積を $X$ とするとき，$X^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．