　$d_O+d_M+d_C=8$ より，条件は
$$2=|d_O-d_M+d_C|=|8-2d_M|$$
となるから，$d_M$ が $3$ または $5$ であることが必要十分条件である．\
　一般に, $d_M=i$ となるような文字列は ${}_8\mathrm{C}_i \times 2^{8-i}$ 個あるから, 解答すべき値は
$${}_8 \mathrm{C}_3 \times 2^5+{}_8 \mathrm{C}_5 \times 2^3=\mathbf{2240}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc166/editorial/5766
　各文字が $O, M, C$ のいずれかであり，かつ $8$ 文字からなる文字列は $3^8$ 通りあります．そのうち，含まれる文字 $O,M,C$ の個数をそれぞれ $d_O, d_M, d_C$ としたときに
$$|d_O-d_M+d_C|=2$$
が成り立つものはいくつありますか．\
　ただし，使われない文字があってもよいものとします．