　与式で $n = 1$ の場合を考え，$a_1 = 0$ である．また，$m$ を $2$ 以上 $N$ 以下の整数とするとき，与式で $n = m$ の場合から $n = m-1$ の場合を引くことで，
$$\sum_{d\mid m} a_d = \begin{cases}
0 &(m \equiv 1 \mod 3)\\\\
1 &(m \not\equiv 1 \mod 3)
\end{cases}\tag1$$
を得る．$a_1 = 0$ と $(1)$ を同時に満たすような $a_1, a_2, \ldots, a_{N}$ は一意に定まることに気をつける．\
　ここで，$n$ を任意の $1$ 以上 $N$ 以下の整数とし，$n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_t^{e_t}$ を素因数分解とするとき，$b_n$ を次のように定める．
- $n = 1$ のとき $b_n = 0$ とし，$n = 3$ のとき $b_n = 1$ とする．
- $n$ が $9$ の倍数であるか，$p_1, p_2,\ldots, p_t$ の中に $3$ で割って $1$ 余る素数が含まれるとき，$b_n = 0$ とする．
- $n$ が $3$ の倍数でなく，$p_1, p_2,\ldots, p_t$ の中に $3$ で割って $1$ 余る素数が含まれないとき，$b_n = (-1)^{e_1 + e_2 + \cdots + e_t + 1}2^{t - 1}$ とする．
- $n$ が $3$ の倍数であるが $9$ の倍数でなく，$p_1, p_2,\ldots, p_t$ の中に $3$ で割って $1$ 余る素数が含まれず，$t \ge 2$ であるとき，$b_n = (-1)^{e_1 + e_2 + \cdots + e_t + 1}2^{t - 2}$ とする．

　以下，このように定めた $b_n$ たちが $a_n$ たちの条件，つまり，$b_1 = 0$ と $(1)$ を同時に満たすことを示す．\
　まず，$a_1 = b_1 = 0$ であり，$(1)$ で $m = 3$ の場合を考えれば，$a_3 = b_3 = 1$ となることがわかる．\
　$n$ が $9$ の倍数の場合，
$$\sum_{d\mid n} b_d
= \sum_{d\mid (n\/3^{v_3(n) - 1})} b_d + \sum_{9\mid d\mid n} b_d
= \sum_{d\mid (n\/3^{v_3(n) - 1})} b_d$$
となり，$n$ が $3$ の倍数であるが $9$ の倍数でない場合に帰着される．\
　$n$ が $3$ で割って $1$ 余る素因数を持っているとき，そのうち一つを $p$ とすると，
$$\sum_{d\mid n} b_d
= \sum_{d\mid (n\/p^{v_p(n)})} b_d + \sum_{p\mid d\mid n} b_d
= \sum_{d\mid (n\/p^{v_p(n)})} b_d$$
となり，$n$ が $3$ で割って $1$ 余る素因数を持たない場合に帰着される．\
　$n$ が $3$ の倍数であるが $9$ の倍数でなく，$3$ で割って $1$ 余る素因数を持たないとき，
$$\sum_{d\mid n} b_d
= \sum_{d\mid (n\/3)} (b_d + b_{3d})
= b_1 + b_3 + \sum_{1 \lt d\mid (n\/3)} (b_d - b_d)
= 1$$
となり，条件を満たす．\
　$n$ が $3$ の倍数でなく，$3$ で割って $1$ 余る素因数を持たないとき，$n$ の素因数のうち $1$ つを $p$ とすると，
$$\begin{aligned}
\sum_{d\mid n} b_d
&= \sum_{d\mid (n\/p^{v_p(n)})} \sum_{k = 0}^{v_p(n)}b_{p^kd}\\\\
&= \sum_{k = 1}^{v_p(n)}b_{p^k}+
\sum_{1 \lt d\mid (n\/p^{v_p(n)})} \Bigg(b_d + \sum_{k = 1}^{v_p(n)}(-1)^k2b_{d}\Bigg)\\\\
&= \begin{cases}
\displaystyle\sum_{d\mid (n\/p^{v_p(n)})} b_d &(v_p(n) \equiv 0 \mod 2)\\\\
\displaystyle1 - \sum_{d\mid (n\/p^{v_p(n)})} b_d &(v_p(n) \equiv 1 \mod 2)
\end{cases}
\end{aligned}$$
となる．ここで，$v_p(n)$ が偶数ならば $n$ と $n\/p^{v_p(n)}$ を $3$ で割った余りは等しく，奇数ならば等しくないことに気をつけると，$b_1 = 0$ とあわせて条件を満たすことがわかる．\
　以上より，この $b_n$ たちが問題の $a_n$ たちであることがわかった．さて，$3$ で割って $2$ 余る素数は小さい順に $2, 5, 11, 17, 23, 29,41,47,...$ であるが，
$$2\times 5\times 11\times\cdots \times41 \lt N \lt 2^2\times 5\times 11 \times\cdots \times 41$$
であるので，$a_N$ たちの中に現れる実数は $0, \pm1, \pm 2, \pm 4, \ldots, \pm32, 64$ のみである．よって，求める総和は $\bf190$ である．
公式解説
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$D_3(n)$ を，$n$ が3の倍数のとき1，そうでないとき0である関数とします．以降 $n \gt 1$ とします． \
$\sum_{d|n} a_d = 1 - D_3(n+2)$ となり，メビウスの反転公式より $$a_n = \sum_{d|n} \mu(n\/d) (1-D_3(d+2)) = - \sum_{d|n} \mu(n\/d) D_3(d+2)$$ となります( $\mu(n)$ はメビウス関数)．\
ここで，$D_3(n+2)$ はほとんど乗法的な関数です．つまり，$i,j$ がどちらも3で割って2余る場合を除き $D_3(i+2)D_3(j+2) = D_3(ij+2)$ です．ここから，$i,j$ が互いに素なら，$i,j$ のどちらも3で割って2余る素数を素因数に持つ場合を除いて $(-a_i)(-a_j) = -a_{ij}$ であることがわかります．よって $a_n$ を求めるためには
- $n$ が3で割って1余る素数の冪乗である場合
- $n$ が3の冪乗である場合
- $n$ が3で割って2余る素数の積の場合

の $a_n$ が分かれば良いです．前二つはメビウス関数の定義を知っていれば求まるので $n$ が3で割って2余る素数の積の場合だけ求めます．\
$n = \prod_{i = 1}^m p_i^{e_i} \hspace{8pt} (e_i\gt 0,p_iは相異なる3で割って2余る素数)$ のとき $n_0 = \prod_{i = 1}^m p_i$ とすると，
$$a_n = - \sum_{d|n} \mu(n\/d) D_3(d+2) = - \sum_{d|n} \mu(d) D_3(n\/d+2) = - \sum_{d|n_0} \mu(d) D_3(n\/d+2)$$
ここで，$\omega (n)$ を $n$ を割り切る素数の個数，$\Omega (n)$ を $n$ の素因数の重複を含めた個数とすると，式中の $\mu(d)$ は $(-1)^{\omega (d)}$ に等しく，$D_3(n\/d+2)$ は $((-1)^{\Omega(n\/d)} + 1)\/2$ に等しいです．よって
$$
\begin{aligned}
a_n = - \sum_{d|n_0} (-1)^{\omega (d)} ((-1)^{\Omega(n\/d)} + 1)\/2 &= - \frac{1}{2} \sum_{d|n_0} (-1)^{\omega (d)} (-1)^{\Omega(n\/d)} &- \frac{1}{2} \sum_{d|n_0} (-1)^{\omega (d)} \\\\
&= - \frac{(-1)^{\Omega(n)}}{2} \sum_{d|n_0} 1 - 0 \\\\
&= (-1)^{\Omega(n) + 1} 2^{\omega(n) - 1}
\end{aligned}
$$
一般項の見つけ方
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　$n\geq 2$ について考える．$n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_t^{e_t}$ とおくと，包除原理の要領で
$$
a_n
=\displaystyle\sum_{d|n}a_d-\sum_{1\leq i\leq t}\sum_{d|\frac{n}{p_i}}a_d+\sum_{1\leq i\lt j\leq t}\sum_{d|\frac{n}{p_ip_j}}a_d-\cdots +(-1)^t\sum_{d|\frac{n}{p_1p_2\cdots p_t}}a_d
$$
　と変形できる．
<details> <summary> 具体例 <\/summary>

　$n=pq$ のとき
$$
a_{pq}
=(a_{pq}+a_p+a_q+a_1)-(a_p+a_1)-(a_q+a_1)+a_1$$

　$n=p^2q$ のとき
$$
a_{p^2q}=(a_{p^2q}+a_{p^2}+a_{pq}+a_p+a_q+a_1)-(a_{pq}+a_p+a_q+a_1)-(a_{p^2}+a_p+a_1)+(a_p+a_1)$$
<\/details>

$$
\displaystyle\sum_{d|m}a_d
=
\begin{cases}
0 & (m \equiv 1 \mod 3)\\\\
1 & (m \not\equiv 1 \mod 3)
\end{cases}$$

　は扱いづらいので，両辺を $2$ 倍して右辺から $(1-1)^t$ を引くと

$$
2a_n
=S_n-\sum_{1\leq i\leq t}S_{\frac{n}{p_i}}+\sum_{1\leq i\lt j\leq t}S_{\frac{n}{p_ip_j}}-\cdots +(-1)^tS_{\frac{n}{p_1p_2\cdots p_t}}$$

　ただし，

$$
S_m=
2\sum_{d|m}a_d-1=
\begin{cases}
-1 & (m \equiv 1 \mod 3)\\\\
1 & (m \not\equiv 1 \mod 3)
\end{cases}$$

　とした．
- $n$ が $3$ の倍数でないとき

　$i,j$ がともに $3$ の倍数でないとき，$(-S_i)(-S_j)=-S_{ij}$ \
　またこれより $S_{\frac{n}{m}}S_m=-S_n$ ，よって $S_{\frac{n}{m}}=-S_nS_m$ が成り立つことに注意すれば

$$\begin{aligned}
2a_n
&=S_n-\sum_{1\leq i\leq t}S_{\frac{n}{p_i}}+\sum_{1\leq i\lt j\leq t}S_{\frac{n}{p_ip_j}}-\cdots +(-1)^tS_{\frac{n}{p_1p_2\cdots p_t}}\\\\
&=-S_n\left\lbrace S_1-\sum_{1\leq i\leq t}S_{p_i}+\sum_{1\leq i\lt j\leq t}S_{p_ip_j}-\cdots +(-1)^tS_{p_1p_2\cdots p_t}\right\rbrace\\\\
&=S_n(1+S_{p_1})(1+S_{p_2})\cdots (1+S_{p_t})
\end{aligned}$$
　この値は\
　　$p_i\equiv 1(\text{mod} 3)$ なる $n$ の素因数 $p_i$ が存在するとき $0$\
　　そうでないとき $a_n=(-1)^{e_1+e_2+\cdots +e_t+1}2^{t-1}$ となる．

- $n$ が $3$ の倍数であって $9$ の倍数でないとき

　$p_1=3$ とすると．
$$\begin{aligned}
2a_n
&=S_n-\sum_{1\leq i\leq t}S_{\frac{n}{p_i}}+\sum_{1\leq i\lt j\leq t}S_{\frac{n}{p_ip_j}}-\cdots +(-1)^tS_{\frac{n}{p_1p_2\cdots p_t}}\\\\
&=\left\lbrace S_n-\sum_{1\lt i\leq t}S_{\frac{n}{p_i}}+\sum_{1\lt i\lt j\leq t}S_{\frac{n}{p_ip_j}}-\cdots (-1)^{t-1}S_{\frac{n}{p_2p_3\cdots p_t}}\right\rbrace - \left\lbrace S_{\frac{n}{p_1}}-\sum_{1=i\lt j\leq t}S_{\frac{n}{p_ip_j}}+\cdots +(-1)^{t-1}S_{\frac{n}{p_1p_2\cdots p_t}}\right\rbrace
\end{aligned}$$

　$2$ 行目の前半の項はすべて $3$ の倍数なので $(1-1)^{t-1}$ と等しく，後半の項は $2a_{\frac{n}{3}}$ と等しいから．
$$a_n=-a_{\frac{n}{3}}$$
　ただし $a_3=1$ である．

- $n$ が $9$ の倍数のとき

$$\begin{aligned}
2a_n
&=S_n-\sum_{1\leq i\leq t}S_{\frac{n}{p_i}}+\sum_{1\leq i\lt j\leq t}S_{\frac{n}{p_ip_j}}-\cdots +(-1)^tS_{\frac{n}{p_1p_2\cdots p_t}}\\\\
&=1-\sum_{1\leq i\leq t}1+\sum_{1\leq i\lt j\leq t}1-\cdots +(-1)^t\\\\
&=(1-1)^t=0
\end{aligned}$$
一般項の見つけ方(別解)
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　$N = 10^{8}$ とします．$N$ 個の実数 $a_1, a_2, \ldots, a_{N}$ が，任意の $1$ 以上 $N$ 以下の整数 $n$ について以下の式を満たしています．
$$\bigg\lfloor \frac{2n}{3} \bigg\rfloor = \sum_{k = 1}^{n} a_k \bigg\lfloor \frac{n}{k} \bigg\rfloor$$
　$S = \\{a_k\mid 1 \le k \le N\\}$ とするとき，$\sum_{a\in S}|a|$ を解答してください．すなわち，$a_1,\ldots, a_{N}$ の中に現れる実数すべてについて，その絶対値の総和を解答してください．\
　ただし，このような $a_1, a_2, \ldots, a_{N}$ は一意に定まることが保証されます．