　$6.125 = \dfrac{49}{8}$ であるから $n$ は $8$ の倍数である．このとき $n=8k$ について $A_6,\ldots,A_n$ の合計得点は $49k-35$ である．この $n-5$ 人がとり得る合計得点は高々 $6(8k-5)$ 点であり，これが $49k - 35$ 以上であることから $k\leq 5$ を得る．このとき求める場合の数は，横一列に並んだ $6(8k - 5) - (49k - 35)$ 個の玉を $8k-6$ 個の仕切りで分ける方法の数と同じだから，${}\_{7k-1}\mathrm{C}\_{5-k}$ 通りである．以上より求める総和は
$$\sum_{k=1}^5 {}\_{7k-1}\mathrm{C}\_{5-k} =\textbf{519}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/1760
　$n$ を $6$ 以上の整数とします．$n$ 人の学生 $A_1,\ldots,A_n$ が $7$ 点満点のテストを受験したところ，その平均点は $6.125$ 点であり，$A_1,\ldots,A_5$ の $5$ 人のみが満点を獲得しました．テストの得点としてありうるものが $0$ から $7$ までの整数値であるとき，$A_6,\ldots,A_n$ の得点の組み合わせ（各学生を区別する）としてありうるものの個数をそれぞれの $n$ について求め，すべての $n\geq 6$ についてそれらの総和を解答してください．