　OMCくんが最初に思い浮かべていた数を $n$ とすると，OMCくんが思い浮かべている数は次のように変化する．

$$\begin{aligned}
n&\longrightarrow 10n \longrightarrow 10n+a \longrightarrow 110n+11a \longrightarrow 110n + 11a - b \\\\
&\longrightarrow \dfrac{110n+11a-b}{a} \longrightarrow \dfrac{(110-a)n+11a-b}{a}
\end{aligned}$$
最終的な計算結果が $n$ によらないとき，$110-a=0$ であるので $a=110$ ．計算結果は $\dfrac{1210-b}{110}$ となり，これが $1$ と等しいので $b=1100$ を得る．したがって $a+b=\bf1210$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb014/editorial/9747
　OMC くんがある正整数を一つ思い浮かべています．ここで，あなたは正整数 $a,b$ を用いて以下のような計算をするように OMC くんに指示をします：
- 思い浮かべている数を $10$ 倍して $a$ を足し，それを $11$ 倍してから $b$ を引いて，さらにそれを $a$ で割ってから最初に思い浮かべていた数を引く．

このとき，最終的な計算結果は，OMC くんが最初に思い浮かべている数によらず $1$ となります．$a+b$ の値を求めてください．