　 $ \angle BAC=120^\circ$ であることから次を得る．

$$ \angle BIC=150^\circ , \quad  \angle BOC=120^\circ$$

　ここで，直線 $OC$ に関して $B$ と反対側に点 $D$ を，三角形 $BOI$ と三角形 $COD$ が合同となるようにとる．このとき，$ \angle DCI=90^\circ, \angle IOD=120^\circ$ であるから，

$$IB^{2}+IC^{2}=CD^{2}+IC^{2}=DI^{2}= \bigl (20 \sqrt{3} \bigr )^{2}=1200$$

これより $IC=\sqrt{359}$ を得るから，三角形 $IBC$ について余弦定理を適用すれば，

$$BC^{2}=1200 +29 \sqrt{1077} $$

　したがって，解答すべき値は $ \mathbf{2306} $ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5098
　以下, 三角形 $ABC$ の外接円の半径を$R$, 内接円の半径を $r$, $CI = x$ とする. まず, オイラーの定理より, $R^{2} - 2Rr = OI^{2} = 400$ が従う. また, $∠BIC = 150^{\circ}$ であることから, 余弦定理を用いることで, $x^{2} + 841 + 29\sqrt{3}x = BC^{2} = 3R^{2}$ が従う. ($BC = \sqrt{3}R$ は $OB = OC = R, ∠BOC = 120^{\circ}$ から分かる.) そして, 三角形 $BIC$ の面積を $2$ 通りで表すことで, $\sqrt{3}Rr = \cfrac{29x}{2}$ も従う. 未知数が $3$ つ, 式が $3$ つなので, 後はこれを解けばよく, 計算すると $x = \sqrt{359}$ が求まるので, $x^{2} + 841 + 29\sqrt{3}x = BC^{2}$ に代入すると, $BC^{2} = 1200 + 29\sqrt{1077}$ が得られる.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5098/278
　 $ \angle BAC=120^\circ$ をみたす三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$，外心を $O$ とすると，以下が成り立ちました：
$$OI=20, \quad IB=29.$$
　このとき，辺 $BC$ の長さの $2$ 乗は，平方因子を持たない正整数 $r$ および 正整数 $p,q$ を用いて $p+q \sqrt{r} $ と表されます．$p+q+r$ を解答してください．