　一般に $3×n$ のマス目に条件を満たすように $1$ 以上 $n$ 以下の整数をそれぞれ $1$ 個ずつと $0$ を $2n$ 個書き込む方法が $T_n$ 通りあるとする. $0$ と書き込まれたマス目の右側は必ず $0$ が書き込まれるので, $1$ 以上 $n$ 以下の整数を左端から詰めて書き込み, 残りのマスに全て $0$ を書き込めばよい. したがって, 以下 $0$ は空白扱いして議論を進める. \
　さて, $3×(n-1)$ のマス目に条件を満たすように書き込まれたものに, $n$ が書かれたマスを挿入して同じ行を右にシフトすることを考えればよい. 左端の $3$ マスと,  $n\/2$ 以上の整数が書き込まれたマスの右隣りに挿入可能であり,
$$T_{n}=T_{n-1}\times \left( \left\lfloor \dfrac{ n }{ 2 } \right\rfloor+3\right)$$
$T_1=3$ から計算を行えば $T_{8}=3×4×4×5×5×6×6×7=\textbf{302400}$ が求めるべき答えである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc166/editorial/2846
　$0$ の隣に $0$ 以外の数が来ることはないので,  $1,2,\dots,8$ を問の条件を満たす(順序を区別する) $3$ つの数列(空でも良い)に分割することを考える. このとき, 隣りあったとき条件に違反してしまうのは, 以下の組である.
$$
\begin{aligned}
(1,3),(1,4),(1,5),&(1,6),(1,7),(1,8),\\\\
(2,5),(2,6),&(2,7),(2,8),\\\\
(3,7),&(3,8)
\end{aligned}
$$
違反してしまう組について, 必ず左側は $1,2,3$ のいずれかであるから, 一度に違反してしまう組は高々 $3$ 組である. よって, 上の組のうち必ず違反してしまう組が $i\\:\(i=0,1,2,3)$ 組 (それ以外の組が違反しないとは限らない) あるようなものの分割の仕方を $a_i$ 通りとする.

- $a_0$の計算\
　何も制約はないので, $1,2,3,\dots,8$ と $2$ つの仕切りを並び変えたのち仕切りに分割された $3$ つの整数の並んだ部分をそのまま数列として解釈すればよく, これは $a_0=\frac{10!}{(1!)^82!}=1814400$ 通り.
- $a_1$ の計算\
　違反してしまう組が $(x,y)$ であるとき, $x,y$ の並びを一つのブロックとして捉え, $a_0$ のときと同様に $7$ つの区別できる数字(かブロック)と $2$ つの仕切を並び替える. 違反してしまう組の選び方は, $12$ 通りより, $a_1=12\times\frac{9!}{(1!)^72!}=2177280$.
- $a_2$ の計算\
　違反してしまう組が $(x,y),(z,w)$ ($x,y,z,w$ は相異なる) のとき, $a_1$ の計算と同様にそれぞれを一つのブロックとして, 捉えると合計 $6$ つの数字(かブロック)を $2$ つの仕切りとともに並び替える事になる.\
　違反してしまう組が $(x,y),(y,z)$ であるとき, $x,y,z$ の並びをブロックとして捉えると合計 $6$ つの数字(かブロック)を $2$ つの仕切りとともに並び替えることになる.よって, 同時に違反させることが可能な $2$ つの選び方それぞれについて分割の仕方は $\frac{8!}{(1!)^62!}$ 通りであり, 同時に違反させることが可能な $2$ つの組の選び方は,愚直に数え上げると $36$ 通り. よって, $a_2=36\times\frac{8!}{(1!)^62!}=725760 $.
- $a_3$ の計算\
　実は $a_2$ の計算の時と同様に違反させる組同士に数字の重複があってもなくても,その後の分割の仕方は変わらない.なぜなら一つ違反させるとき, 数字 $1$ つ分他の数字(かブロック)と合体して減るからである. よって, 違反させる $3$ つの組を選んだとき, 分割の仕方は $\frac{7!}{(1!)^52!} $ 通りである. 同時に違反させることが可能な $3$ つの組みの選び方は, 愚直に数え上げると(左側が $3,2,1$ の組から順番に決めていくと数えやすい) $24$ 通りであるので, $a_3=24\times\frac{7!}{(1!)^52!}=60480$.

　よって, 包除原理より求める答えは, $a_0-a_1+a_2-a_3=\mathbf{302400}$ と計算できる.
包除原理を用いる解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc166/editorial/2846/648
　$3$ 行 $8$ 列のマス目に，非負整数を $1$ つずつ書き込みます．ここで，$1$ 以上 $8$ 以下の整数がちょうど $1$ 回ずつ使われており，残りの $16$ 個はすべて $0$ であるとします．このとき，次の条件をみたすような書き込み方は何通りありますか？

 - 最も左の列以外に属する任意のマス目について，書き込まれた数が左隣に書き込まれた数の $2$ 倍以下となる．

　ただし，回転や反転によって一致するものも区別するものとします．