　$\Gamma$ の面積を $S$ とおく. $AB,CD$ の中点を $M,N$ とすれば, $AP^2+BP^2$ のとり得る値の範囲は
$$\dfrac{2S}{\pi}=AB^2\/2\leq2(AM^2+MP^2)=AP^2+BP^2\leq AB^2=\dfrac{4S}{\pi}$$
したがって,
$$NQ^2=\dfrac{1}{2}(CQ^2+DQ^2)-CN^2=\dfrac{1}{2}(AP^2+BP^2)-36$$
より,  $Q$ の通過し得る領域は半径 $\sqrt{2S\/\pi-36}$ の円盤から半径 $\sqrt{S\/\pi-36}$ の円盤を取り除いたものである (ただし $S\lt36\pi$ ならば穴は開かない). ここで $S\geq36\pi$ と仮定すれば, 条件より $S=30$ となり矛盾である. したがって $2S-36\pi=30$ より $S=18\pi+15$ であり, これは $S\lt36\pi$ をみたす. 特に解答すべき値は $\textbf{33}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc059/editorial/250
　円盤の半径を $r$ とおく．点 $P$ が円盤の周上または内部にあるとき，$AP^2+BP^2 \leq 4r^2$ とおける．
<details><summary>証明<\/summary>
　$AP$ と円盤の周の交点を $T$ とおくとき，$AP^2+BP^2=AP^2+(PT^2+BT^2) \lt (AP+PT)^2+BT^2 =AB^2$
<\/details>

　さて，$C(-6,0), D(6,0)$ とおこう．$Q(x,y)$ とおくと，$CQ^2+DQ^2 \leq 4r^2$ より，$x^2+y^2=2(r^2-18)$ を得る．\
　従って，点 $Q$ が通過し得る領域の面積は $r$ を用いて表すと，$2(r^2-18)\pi$ である．この面積が $30$ だったので，$r^2\pi=18\pi+15$ を得る．
座標を用いる方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc059/editorial/250/466
　平面上に定点 $A,B,C,D$ および $AB$ を直径とする円盤 $\Gamma$ があり, $CD$ の長さは $12$ です. 点 $P$ が $\Gamma$ 内を動くとき, 以下の条件
$$AP=CQ,\ \ BP=DQ$$
をみたす点 $Q$ が通過し得る領域の面積は $30$ でした. このとき, $\Gamma$ の面積を求めてください.\
　ただし, 答えは整数 $a,b$ を用いて $a+b\pi$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.