　Fermatの小定理より
$$1^{79}+3^{79}+\cdots  +(2n+1)^{79} \equiv 1+3+\cdots  +(2n+1) = (n+1)^2 \equiv 0\pmod{79}$$
となれば良いので求める $n$ の最小値は $\mathbf{78}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb005/editorial/5463
　次の値が素数 $79$ で割り切れるような正の整数 $n$ の最小値を求めてください．
$$1^{79}+3^{79}+\cdots +(2n+1)^{79}$$