　$N = 10^5$ とする．\
　$b_n = 3n + 2 - a_n$ とすると，問題の条件は以下のように書き換えられる．
$$0\leq b_n\leq n+1,\quad b_n\leq b_{n+1}$$
ただし，例外として $b_1 = 3$ となり得ることに注意せよ．
- $b_1\lt 3$ の場合\
　座標平面上で，$(1,0)$ から $(N+1,N+2)$ へ隣り合う格子点を通って行く最短経路のうち，領域 $y \le x+1$ 内の点のみを通るものを一つ選び，$i = 1,2,\ldots,N$ について，その経路の中で最も最初に $x$ 座標が $i + 1$ になった点の $y$ 座標を $b_i$ とすると，得られた数列 $\\{b_n\\}$ は上の条件を満たす．また，上の条件を満たす $\\{b_n\\}$ について，
$$(1,0),\quad (1,b_1),\quad (2,b_1),\quad (2,b_2),\quad (3,b_2),\quad \ldots,\quad (N+1,b_{N}),\quad (N+1,N+2)$$
を通るような $(1,0)$ から $(N+1,N+2)$ への最短経路は，常に領域 $y\le x+1$ 内を通る．従って，$\\{b_n\\}$ の数とこのような経路の数は等しい．このような経路の数は，$(-1,0)$ から $(N+1,N+2)$ まで領域 $y\le x+1$ 内を通って行く最短経路のうち，$(0,1)$ を通らない経路の数と一致するので，Catalan数 $C_n = \dfrac{2n!}{(n+1)!\ n!}$ を用いて $C_{N+2} - C_{N+1}$ と表せる．

- $b_1 = 3$ の場合\
　$b_1\le b_2 \le 3$ より $b_2 = 3$ であることに注意すると，上の場合と同様にして，$(2,3)$ から $(N+1,N+2)$ へ領域 $y\le x+1$ 内を通っていく最短経路の数を求めればよく，これは $C_{N-1}$ である．

　以上より，
$$X = C_{N+2} - C_{N+1} + C_{N-1} = \frac{(2N-2)!(N+1)(49N^2 + 5N - 6)}{(N-1)!(N+3)!}$$
であるから，$11$ 桁の素数は $49N^2 + 5N - 6$ の約数である．
$49N^2 + 5N - 6 = 2\times3\times81666749999$ と素因数分解されるので，$\bf81666749999$ が求める答えである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/6880
　正の整数の組 $(a_1, a_2, \ldots, a_{10^5})$ であって，任意の $1$ 以上 $10^5 - 1$ 以下の整数 $n$ について以下が成立するものの個数を $X$ とします．
$$2n\le a\_{n+1}-3\le a_n\le 3n+2$$
$X$ を割り切る十進法で $11$ 桁の素数がただ一つ存在するので，それを解答してください．