　辺 $BC$ 上に $BQ=CP$ なる点 $Q$ をとる．このとき，三角形 $ABQ$ と三角形 $ACP$ は合同であるから，
$$AP=AQ,\quad PQ=18,\quad \angle PAQ=120^\circ$$
成り立つ．これにより $AP=6\sqrt{3}=\sqrt{\mathbf{108}}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc003/editorial/6874
　$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ があり，辺 $BC$ 上に点 $P$ をとったところ
$$BP=20, \quad CP=2,\quad \angle BAP-\angle CAP=120^\circ$$
が成立しました．このとき，線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を求めてください．