　$2$ でちょうど $k$ 回割り切れるような正整数 $m$ について, 袋 $m$ から $2$ でちょうどある回数割り切れる数が書かれた球が取り出される確率は常に $1\/(k+1)$ であることに留意せよ. これより, まず総積が奇数となる確率 $Q$ は
$$Q=\left(\dfrac{1}{1}\right)^{256}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{128}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{64}\times\cdots\times\left(\dfrac{1}{8}\right)^{2}\times\left(\dfrac{1}{9}\right)^{1}\times\left(\dfrac{1}{10}\right)^{1}=\dfrac{1}{2^{207}\times3^{74}\times5^{17}\times7^4}$$
同様にして「$2$ でちょうど $1$ 回割れる数を $2$ つ選ぶ方法」および「$4$ の倍数を一つ選ぶ方法」を考えれば,
$$P=\left({}\_{2^8}\mathrm{C}\_{2}+2^7\right)Q=2^{15}Q=\dfrac{1}{2^{192}\times 3^{74}\times 5^{17}\times 7^4}$$
特に解答すべき値は $192+74+17+4=\textbf{287}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc004/editorial/2019
　$1$ から $2^9$ までの整数が振られた $2^9$ 個の袋がそれぞれ一つずつあり，袋 $n$ にはすべての $n$ の正の約数についてそれが書かれた球がそれぞれ一つずつ入っています，例えば，袋 $12$ には $6$ 個の球が入っています．それぞれの袋から等確率に一つずつ球を取り出したとき，それらに書かれた $2^9$ 個の数の総積が $2$ でちょうど $2$ 回割り切れる確率を求めてください．ただし，求める確率 $P$ は正整数 $a,b,c,d$ を用いて以下のように表されるので，$a+b+c+d$ を解答してください：
$$P=\dfrac{1}{2^a×3^b×5^c×7^d}.$$