$$\frac{1}{S(n)}=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac 1n-\frac{1}{n+1}\right)$$
が成り立つから, 求める総和は
$$2\left\\{\left(1-\frac 12\right)+\left(\frac 12-\frac 13\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)\right\\}=2\left(1-\frac{1}{2022}\right)=\frac{2021}{1011}$$
特に解答すべき値は $\textbf{3032}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/editorial/254
　$n$ 以下の正整数の総和を $S(n)$ で表すとき, 以下の総和を求めてください.
$$\frac{1}{S(1)}+\frac{1}{S(2)}+\cdots+\frac{1}{S(2021)}$$
　答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.