　$N(m)$ については，$m=1,2,\ldots,8$ のとき Legendre の定理により $N(m)=p^{p-1} + p^{p-2} + \cdots +p+1$ と求まる（これを $N$ とおく）．\
　$R_{m,n}$ について考える．以下，合同式の法は特に明示されていない限り $p$ とする．$1$ から $p^p-1$ までの整数であって，$p^k$ で割り切れるが $p^{k+1}$ では割り切れないものの集合を $A_k$ とおく（ただし, $k$ は $0$ 以上 $p-1$ 以下の整数）．このとき，
$$
|A_k|=(p-1) p^{p-1-k}
$$
である．また，各 $i=1, 2, \cdots p-1$ について，$\dfrac{x}{p^k} \equiv i$
を満たす整数  $x\in A_k$ はそれぞれ
$$
\dfrac{|A_k|}{p-1}=p^{p-1-k}
$$
個存在するから，Willson の定理より
$$
\prod_{x\in A_k} \frac{x}{p^k} \equiv \\{ (p-1)! \\}^{p^{p-1-k}} \equiv -1
$$ 
である．これを $k=0, 1, \cdots p-1$ の場合まで掛け合わせたのちに，$p^p (p^p+1)\cdots (p^p+m)$ を乗じれば
$$
\frac{(p^p+m)!}{p^{N}} \equiv - m!
$$
を得る．さらに，$2^{n}$ が $p$ と互いに素であることをふまえると，次のようになる．
$$
\frac{(p^p+m)!}{(2^{n} p)^{N}} \equiv - m! \cdot 2^{-nN}
$$
ここで，$N \equiv 1 \pmod {p-1}$ と Fermat の小定理から $2^N \equiv 2$ を得るので，$2^{-nN}\equiv 2^{-n}$ となる．以上と $2^{2203}\equiv 1$ に留意すれば，
$$
\frac{(p^p+m)!}{(2^{n} p)^{N}}  \equiv  - m! \cdot 2^{2203-n} 
$$
を得る．この左辺は整数であるから，
$$ R_{m, n} = - m! \cdot 2^{2203 - n} - p \cdot \left \lfloor \frac{-m! \cdot 2^{2203-n}}{p} \right \rfloor $$
となるが，
$$ - \left( \frac{m!}{2^n} + 1 \right) \le - \frac{m! \cdot 2^{2203-n}}{p} = - \frac{m!}{2^n} \cdot \frac{2^{2203}}{2^{2203}-1} \lt - \frac{m!}{2^n} $$
であるので，
$$
R_{m, n}=\Bigl( \Bigl\lfloor \frac{m!}{2^n} \Bigl\rfloor + 1 \Bigl) p - m! \cdot 2^{2203-n} 
$$
と表せる．整数 $a$ を二進数表記したときの桁和を $\mathrm{popcount}(a)$ と表記することにすると，これらの総和は
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{2203} R_{m, n}
& = 2203p + p \sum_{n=1}^{2203} \Bigl\lfloor \frac{m!}{2^n} \Bigl\rfloor - m! \sum_{n=0}^{2202} 
 2^n \\\\
& = 2203p + (m! - \mathrm{popcount}(m!))p - m!\cdot p\\\\
& = (2203 - \mathrm{popcount}(m!))p
\end{aligned}
$$
となる．$m=1, 2, \cdots , 8$ について，$\mathrm{popcount}(m!)$ の値はそれぞれ $1, 1, 2, 2, 4, 4, 6, 6$ だから，求める答えは以下の計算で求められる．
$$
2203\times 8 - (1+1+2+2+4+4+6+6)=\mathbf{17598}
$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc170/editorial/6411
　$p=2^{2203}-1$ は素数です．$1 \le m \le 8$ および $1 \le n \le 2203$ をみたす整数 $m, n$ に対し，$(p^p+m)!$ が $p$ で割り切れる最大の回数を $N(m)$ とすると，
$$\dfrac{(p^p+m)!}{(2^{n} p)^{N(m)}}$$
は整数となるので，これを $p$ で割った余りを $R_{m, n}$ とします．\
　このとき，以下は整数となるので，その値を解答してください：
$$
\sum_{m=1}^{8} \sum_{n=1}^{2203} \frac{R_{m, n}}{p} .
$$