　$\mathrm{ord}\_2(x)$ で $x$ が $2$ で割り切れる最大の回数を表すとき
$$\mathrm{ord}\_2(P_1)=2,　\mathrm{ord}\_2(P_2)=2,　\mathrm{ord}\_2(P_3)=5$$
が直ちにわかる．さて，次に任意の $n\geq 4$ について $\mathrm{ord}\_2(P\_n)=n$ であることを帰納法で示そう．$n=4$ の場合は容易である．$k\geq 4$ について，$n=k$ で成立を仮定し，$n=k+1$ の場合を示す．
$$P_{k+1}=P\_{k}\times 10^{(2^{k+1} の桁数)}+2^{k+1}$$
であり，$2^{k+1}$ は $2$ 桁以上であることと帰納法の仮定より，右辺の第 $1$ 項は $2$ で $k+2$ 回以上割り切れる．よって $n=k+1$ の場合も成り立つことがわかるから，命題は示された．\
　以上より，求める値は
$$\begin{aligned}
\mathrm{ord}\_2 (P_1\times P_2\times \cdots \times P_{4605})&=\mathrm{ord}\_2(P_1)+\cdots+\mathrm{ord}\_2(P_{4605})\\\\
&= 2+2+5+4+5+\cdots+4605 \\\\
&= \textbf{10605318}.
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc159/editorial/4605
　正整数 $n$ について，$2^n$ 以下の $2$ べきを小さい順にすべて続けて並べてできる数を $P_n$ で表します．例えば $P_1=12$，$P_4=124816$ です．\
　このとき，以下の値は $2$ で最大何回割り切れますか？
$$P_1\times P_2\times \cdots \times P_{4605}$$