　$2$ 数を $m,m+1000$ とすれば，互除法により $\gcd (m,m+1000)=\gcd (1000,m)$ であり，逆に適当に $m$ を選べば最大公約数として $1000$ の任意の正の約数が実現可能である．$1000=2^3\times 5^3$ の正の約数は $\textbf{16}$ 個である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc135/editorial/2301
　差が $1000$ である $2$ つの正整数の最大公約数としてありうる値はいくつありますか？