　多面体の頂点の個数を $v$，辺の本数を $e$，面の個数を $f$ と表すことにする．任意の多面体に対して，頂点全体が同一の平面上にないことから $v \geq 4$，多面体の内部が閉じた空間であることから $f \geq 4$ が従う．  
　$f = 4$ または $v = 4$ のとき，どちらも四面体になり，$e = 6$．また $f \geq 5$ かつ $v \geq 5$ のとき，Euler の多面体定理より $e \geq 8$ である．ここで四角錐，五角錐はそれぞれ $e = 8, 10$ であることに留意する．  
　ここで，凸多面体において $3$ 本の辺の集まる頂点における切頂を考えると，$e$ が $3$ 増え，$3$ 本の辺の集まる頂点が $2$ つ増えた凸多面体になる．四面体，四角錐，五角錐にそれぞれこの切断を繰り返すことで，$e$ として**考えられる**数は $8$ 以上の整数および $6$ であることが分かり，求める総積は $\mathbf{840}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc081/editorial/2499
　凸多面体の辺の本数に**なり得ない**正整数の**総積**を求めてください．ただし，すべての頂点が同一の平面にあるものは多面体とはみなさず，また多面体が凸であるとは以下の条件をみたすことを指します．

- すべての辺において, それを辺にもつ $2$ 面のなす角が $180^\circ$ 未満である
- 自己交差をもたない