公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8476
　一辺 $3$ の立方体の各面に対し，中心から右に $1$，上に $\dfrac{1}{2}$ だけ進んだ点を一つの頂点とする元の正方形と中心が一致するような一辺が $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ の正方形を描き，それら $6$ つの正方形の頂点 $24$ 個を適切に結ぶことで，求める立体を得る．  
あとは体積を頑張って計算すると $\dfrac{41}{2}$ となり，特に解答すべき数値は $\textbf{164}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8476/219
作問：佐藤

　以下の $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまる数は，最大公約数が $1$ である整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表せます．$m\times n\times n$ を解答して下さい．ただし，$n$ は $1$ 以上とします．
***
　下図の展開図は，正方形 $6$ 個，合同な二等辺三角形 $24$ 個，正三角形 $8$ 個からなり，これを組み立てると正方形が $2$ 個ずつ $3$ 組平行に向かい合い，正三角形が $2$ 個ずつ $4$ 組平行に向かい合いました．また，向かい合う正方形の間の距離は $3 ~ \textrm{cm}$ になり，向かい合う正三角形の間の距離は一辺 $2 ~ \textrm{cm}$ の立方体の対角線（体対角線）の長さに等しくなりました．このとき，組み立てて出来る立体の体積は $\boxed{\phantom{nada}} ~ \textrm{cm}^3$ です．

![figure 1](\/images\/KWXjQKezCWvnoHCcCWzzjMzVhESAWqdpqB6qEbLm)