　非負整数 $n$ に対して $n$ の各位の和を $S(n)$ と表す．$S(n)\equiv n\mod 9$ に留意すれば条件 $C,D$ が同時に満たされることはない．よって $N$ が条件 $A,B,C$ を満たす場合と条件 $A,B,D$ を満たす場合に分けて考えれば良い．\
　$N$ が条件 $A,B,C$ を満たすとする．条件 $C$ から $N\equiv 2 \mod 9$ が導かれるので，条件 $A,B$ と合わせて，
$$\begin{cases}
1 \leq N \leq 1000\\\\
N\equiv 0 \mod 11\\\\
N\equiv 2 \mod 9
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
1 \leq N \leq 1000\\\\
N\equiv 11 \mod 99\\\\
\end{cases}
\Longleftrightarrow
N=11+99k　(k=0,1,...,8)
$$
を得る．$11+99k=100k+(11-k)$ より次が成り立つ．
$$S(N)=k+S(11-k)=
\begin{cases}
2　(k=0,1)\\\\
11　(k=2,3,...,9)
\end{cases}$$
したがって $N=11+99k~(k=2,3,...,9)$ が条件 $A,B,C$ を満たす．これらの総和は $\displaystyle\sum_{k=2}^9 (11+99k)=4444$．\
　次に $N$ が条件 $A,B,D$ を満たすとする．このとき
$$\begin{cases}
1 \leq N \leq 1000\\\\
N\equiv 0 \mod 11\\\\
N\equiv 0 \mod 3
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
1 \leq N \leq 1000\\\\
N\equiv 0 \mod 33\\\\
\end{cases}
\Longleftrightarrow
N=33k　(k=1,...,30)
$$
よって条件 $A,B,D$ を満たす $N$ の総和は $\displaystyle\sum_{k=1}^{30} (33k)=15345$．\
　以上より求める整数 $N$ の総和は $4444+15345=\textbf{19789}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/8209
　次の条件 $A,B,C,D$ のうちちょうど $3$ つをみたす（＝ちょうど $1$ つだけみたさない）ような正整数 $N$ の総和を求めてください．
- 条件 $A$ ：$N$ は $1000$ 以下である．
- 条件 $B$ ：$N$ は $11$ の倍数である．
- 条件 $C$ ：$N$ を十進表記したときの各位の和は $11$ である．
- 条件 $D$ ：$N$ は $3$ の倍数である．