　$P(x, y)$ で与式への代入を表す．$P(0,x)$ より $s=(\alpha+2)f(0)+2022$ とすれば 
$$f(f(x))=4x+s\tag{1}$$
が成立．これと $P(0,f(x))$ より
$$f(4x+s)=4f(x)+s\tag{2}$$
を得る．また $P(s\/\alpha,x-s\/\alpha)$ より
$$f\left(f(x)+s\right)=(\alpha+2)f\left(\frac{s}{\alpha}\right)+4\left(x-\frac{s}{\alpha}\right)+2022$$
であり，$(2)$ を用いて変形すると
$$f\left(\frac{1}{4}f(x)\right)=x-\frac{s}{\alpha}+\frac{1}{4}\left((\alpha+2)f\left(\frac{s}{\alpha}\right)+2022\right)$$
とできる．$t=\frac{1}{4}\left((\alpha+2)f\left(\frac{s}{\alpha}\right)+2022\right)-\frac{s}{\alpha}$ として両辺を $f$ で送ると
$$f(x)+s=f(x+t)\tag{3}$$
が得られる．この両辺をさらに $f$ で送り，$(1)$ より $f$ が全射であることを用いれば
$$f(x+s)=f(x)+4t\tag{4}$$
が得られる．$\alpha$ は正整数であることに注意すると，$(3),(4)$ を用いて $P(0,0)$ と $P(t,0)$ を比較することで $s=2t$ を得る．このとき $(2),(4)$ で $x=0$ とすれば $s=3f(0)$ が得られ，$s$ の定義とあわせれば $\alpha\neq 1$，$f(0)=\dfrac{2022}{1-\alpha}$ を得る．よって条件をみたす $f$ が存在するためには $\alpha-1$ が $2022$ の約数でなければならない．逆に $\alpha-1$ が $2022$ の約数であるとき 
$$f(x)=2x+\frac{2022}{1-\alpha}$$
は条件をみたす．従って $2022=2\times 3\times 337$ より求める値は
$$(1+2)(1+3)(1+337)+(1+1)(1+1)(1+1)=\bm{4064}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6678
　実数 $\alpha$ に対して与式をみたす関数 $f$ を求める．\
$P(x,y)$ で与式への代入を表す．$f$ 
は全射であるため，任意の実数 $s,t$ に対して $f(s^{\prime})=s, f(t^{\prime})=t$ なる実数 $s^{\prime},t^{\prime}$ が存在する．
- $\alpha \neq 0$ のとき
$$g(x)=(\alpha +2)f\Bigl(\dfrac{x}{\alpha}\Bigr)-\dfrac{4x}{\alpha}+2022$$
とおくと，
$$P\Bigl(\dfrac{u}{\alpha},s^{\prime}-\dfrac{u}{\alpha}\Bigr), P\Bigl(\dfrac{u}{\alpha},t^{\prime}-\dfrac{u}{\alpha}\Bigr), P\Bigl(\dfrac{v}{\alpha},s^{\prime}-\dfrac{v}{\alpha}\Bigr), P\Bigl(\dfrac{v}{\alpha},t^{\prime}-\dfrac{v}{\alpha}\Bigr)$$ より
$$f(s+u)=g(u)+4s^{\prime}\\\\
f(t+u)=g(u)+4t^{\prime}\\\\
f(s+v)=g(v)+4s^{\prime}\\\\
f(t+v)=g(v)+4t^{\prime}$$
よって，
$$f(s+u)+f(t+v)=f(s+v)+f(t+u)$$
が成立し，$x+y=z+w$ ならば $f(x)+f(y)=f(z)+f(w)$ である．特に
$$f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)$$
である．
また，$P(0,y)$ より 
$$f\bigl(f(y)\bigr)=(\alpha+2)f(0)+2022+4y$$
が成り立つため，これらを用いて与式を変形すると
$$(\alpha+1)f(0)+4x+f(\alpha x)=(\alpha+2)f(x)$$
がわかる．
よって，
$$f\bigl(\alpha f(x)\bigr)=(\alpha+2)f\bigl(f(x)\bigr)-4f(x)-(\alpha+1)f(0)$$
従って
$$\begin{aligned}
f\bigl(\alpha f(x)\bigr)-f\bigl(\alpha f(0)\bigr)&=(\alpha+2)\Bigl(f\bigl(f(x)\bigr)-f\bigl(f(0)\bigr)\Bigr)-4f(x)+4f(0)\\\\
&=4(\alpha+2)x-4f(x)+4f(0)
\end{aligned}$$
また，
$$\begin{aligned}
f\bigl(\alpha f(x)\bigr)&=f\bigl((\alpha+1)f(0)+4x+f(\alpha x)-2f(x)\bigr)\\\\
&=f\bigl(\alpha f(0)\bigr)+4f(x)+f\bigl(f(0)\bigr)+f\bigl(f(\alpha x)\bigr)-2f\bigl(f(x)\bigr)-4f(0)\\\\
&=f\bigl(\alpha f(0)\bigr)+4f(x)+4(\alpha x-2x)-4f(0)\\\\
&=f\bigl(\alpha f(0)\bigr)-4f(0)+4f(x)+4(\alpha-2) x
\end{aligned}$$
ゆえに，$f(x)=2x+f(0)$ である．
なお，今回出題されているのは $\alpha$ が正整数のときのみについてであるため，Cauchyの関数方程式の要領で
$$f(\alpha x)=\alpha f(x)-(\alpha-1)f(0)$$
がわかり，これを用いるとより簡単に $f(x)=2x+f(0)$ がわかる．
よって，$f\bigl(f(x)\bigr)=4x+3f(0)$ より，$f(0)=\dfrac{2022}{\alpha-1}$ である．(ただし，$\alpha=1$ のときは矛盾．)
また，$f(x)=2x+\dfrac{2022}{\alpha-1}$ は与式をみたす．

- $\alpha=0$ のとき\
$P(x,0)$ と $P(0,x)$ を比較して $f(x)=2x+f(0)$ を得る．上と同様に $f(0)=-2022$ で，$f(x)=2x-2022$ は与式をみたす．

　以上より，$\alpha=1$ のときは解は存在せず，$\alpha\neq1$ のときは $f(x)=2x+\dfrac{2022}{\alpha-1}$ のみが解である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6678/160
　以下の条件をみたす実数から実数への関数 $f$ が存在するような，正整数 $\alpha$ の総和を求めよ．
- 任意の実数 $x,y$ について$$f\bigl(f(x+y)+\alpha x\bigr)=(\alpha +2)f(x)+4y+2022$$が成り立ち，かつ $f(0)$ は整数値である．