$$i(k-i+1)=-\biggl(i-\displaystyle\frac{k+1}{2} \biggr)^2+\displaystyle\frac{(k+1)^2}{4}$$
より, $k$ が奇数 $2m-1$ のとき $M_k=m^2$, 偶数 $2m$ のとき $M_k=m(m+1)$ である. よって求める総和は
$$\displaystyle\sum_{m=1}^{60}m^2+\displaystyle\sum_{m=1}^{59}m(m+1)=\textbf{145790}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/editorial/1331
　$k=1,2,\cdots,119$ のそれぞれに対し, $k$ 項からなる数列 $\\{a_{k,i}\\}\_{i=1,2,\cdots k}$ を
$$a\_{k,i}=i(k-i+1)\ \ (i=1,2,\cdots k)$$
で定め, その中での最大値を $M_k$ とおきます. $M_1+M_2+\cdots M_{119}$ を求めてください.