$$\angle BAF = \angle DAE, \quad \angle AFB = 180^\circ - \angle BFE = 180^\circ - \angle BEF = \angle AED$$
より三角形 $ABF$ と三角形 $ADE$ は相似. また, 
$$\angle BAE = \angle GAF, \quad \angle AEB = \angle BFE = \angle AFG$$
より三角形 $ABE$ と三角形 $AGF$ も相似. 
従って, $4$ 点の組 $(A,B,D,E)$ と $(A,G,B,F)$ の位置関係は相似であるから
$$BE = BD\times\frac{BE}{BE + DE} = BD \times \frac{AB}{AB + AD} = BD\times \frac{BG}{BG + BD} = \frac{20}{9}.$$
また, 三角形 $BCE$ と三角形 $ADE$ は相似であるから, 三角形 $BCE$ と三角形 $ABF$ は相似. 従って, 
$$BC = BE\times\frac{BC}{BE} = BE\times\frac{AB}{AF} = \frac{20}{9}\times\frac{7}{6} = \frac{70}{27}$$
を得る. 特に解答すべき値は $\bf{97}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc091/editorial/3377
　円に内接する四角形 $ABCD$ は, $AB\lt AD$ を満たし, 対角線 $AC$ は角 $A$ を二等分します. 対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とおき,  直線 $AC$ 上に $BE=BF$ なる $F(\neq E)$ をとり, 直線 $AD$ と $BF$ の交点を $G$ とすれば, 以下が成立しました. 
$$AB:AF=7:6,\quad BD=5,\quad BG=4$$
このとき, $BC$ の長さを求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.