　題意を満たす数を**良い整数**とよぶ．$2$ つ目の条件より，良い整数は $2,17,167$ を素因数に持ち，特に素因数を少なくとも $3$ つ持つ．これと $1$ つ目の条件より，良い整数は素因数 $\lbrace p, q, r \rbrace = \lbrace 2, 17, 167 \rbrace$ により $p q^{16} r^{166}$ と表される．したがって，良い整数は $6$ つ存在し，それらの総積は
$$ P = 2^{(1+16+166) \times 2} \times 17^{(1+16+166) \times 2} \times 167^{(1+16+166) \times 2}
= 2^{366} \times17^{366}\times  167^{366}$$
となる．よって，求めるべき値は $367^3=\textbf{49430863}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb023/editorial/5126
　次の $2$ つの条件を満たす自然数は有限個であることがわかっています．
 - 正の約数をちょうど $5678$ 個持つ．
 - $5678$ を約数として持つ．

このような自然数すべての積を $P$ としたとき，$P$ の正の約数の個数を求めてください．\
　なお，$5678$の素因数分解は $5678=2 \times 17 \times 167$ です．