　半直線 $AB$ 上に点 $P$ を $\angle APC=2\angle C$ となるようにとり, $Q$ を直線 $AH$ と直線 $PC$ の交点とすると,
$$AP=AC,\quad AH=HQ$$
が成立する. これより, メネラウスの定理を使うと
$$\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{2BP}{AP}-1=\dfrac{AC-2AB}{AC}=\dfrac{21}{2021}$$
を得るから, 求めるべき値は $a+b=21+2021=\textbf{2042}$ である. なお, 三角関数を使って解くこともできる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1895
　三角形 $ABC$ は $AB:AC=1000:2021$ および $\angle ABC=3\angle ACB$ をみたします. $A$ から直線 $BC$ におろした垂線の足を $H$ とするとき, $\dfrac{BH}{HC}$ を求めてください.  ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.