　$A$ を $(0,0)$ とし，小正方形の頂点のうち $A$ から最も離れたものを $(n,n)$ として座標を定める．いま，小正方形の頂点全てを頂点とし，$S$ に**含まれない**道全てを辺とするグラフ $G$ を考えれば，Euler の定理より $G$ に対応する OMC 君の経路が存在することの必要十分条件は次のように表せる：
-  $G$ の補グラフ（すなわち $S$ を辺集合とするグラフ）の全ての頂点の次数が偶数である．\
$\iff$ $G$ の $(0,k), (n,k), (k,0), (k,n) ~ (k=1,\ldots,n-1)$ の次数が奇数であり，それ以外の頂点の次数が偶数である．
- $G$ の補グラフの連結成分がちょうど一つであり，かつ $A$ に接続する辺が存在する．

この条件の下で $G$ の辺の数を最小化すればよく，これは各頂点の次数の総和を最小化することと言い換えられる．奇数次の頂点が $4n-4$ 個存在することから，次数の総和は最小でも $4n-4$ である．\
　$n$ が奇数のとき，次数の総和が $4n-4$ であるように辺を設定できることが分かり，またこれは一意であるから $f(n)=1$ である．\
　$n$ が偶数のとき，$i+j$ が偶数となる $(i,j)$ を白，奇数となる $(i,j)$ を黒で塗ることを考える．このとき黒で塗られた頂点の次数の総和は最小でも $2n$ であり，$2$ 色それぞれの次数の総和は等しいことから，次数の総和は最小でも $4n$ である．逆に，以下の $6$ 通りの方法で次数を定めることで次数の総和が $4n$ となり，さらに次数が合うようにそれぞれ一意に辺を設定できる：
- 奇数次の頂点の次数を $1$，偶数次の頂点を $0$ とする．ただし以下の $2$ 頂点のみ次数を $2$ とする：
	- $(1,1)$ と，$(n-1,n-1)$ と $(n,n)$ の中から一つ．
	- または，$(n,0)$ と $(n-1,1)$ の中から一つと，$(0,n)$ と $(1,n-1)$ の中から一つ．

ここで $A$ の次数が $2$ になり得ないことに留意せよ．これ以外の次数の定め方には対応するように辺を設定できないことが確認できるから，$f(n)=6$ である．ただし，$n=2$ では $n-1=1$ に留意して $f(n)=5$ である（また，$n=2$ に限り，次数 $4$ の $1$ 頂点を作る構成が生まれることに注意せよ）．\
　以上より，求める値は
$$1+5+1+6+\cdots+6+1=7\times (3574\div 2)=\textbf{12509}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc153/editorial/3575
　$n$ を正整数とします．頂点の一つを $A$ とする一辺 $n$ の正方形が一辺 $1$ の小正方形に分割されており，小正方形の辺を**道**と呼ぶこととします．ここで，複数の小正方形に共有されている道も一つと数えます．すなわち，道は全部で $2n(n+1)$ 本存在します．\
　いま OMC 君は $A$ を出発して道のみを通り，道の途中で引き返すことなく，同じ道は高々 $1$ 回だけ通って $A$ まで戻ってきたいです．OMC 君が通った道の集合（**通る順序は考えない**）を $S$ とし，$S$ としてあり得るもののうち その要素数が最大値をとるものの個数を $f(n)$ で表します．以下の総和を求めてください：
$$f(1)+f(2)+\cdots+f(3575)$$