　実数 $a_k$, $a_{k+1}$ が $a_k+\dfrac{1}{a_k}=a_{k+1}+\dfrac{1}{a_{k+1}}$ をみたすことは，$a_k=a_{k+1}$ または $a_k=\dfrac{1}{a_{k+1}}$ であることと同値である．よって $a_1$ から $a_{3939}$ はすべて $a_1$ または $\dfrac{1}{a_1}$ であるから，このうち $a_1$ の数を $n$ 個とすると（$a_1=1$ のときは $n$ はいくつとしてもよい），
$$a_1n+ \frac{3939-n}{a_1}=3939$$
である．これは $(n(a_1+1)-3939)(a_1-1)=0$ と同値であるから，条件をみたす $a_1$ は $(3939の約数)-1$ で表せるものか $1$ である．$3939=3\times13\times101$ より，$3939$ の約数の個数は $2^3=8$ 個，約数の総和は $4\times14\times102=5712$ なので，求める総和は $5712-8+1=\mathbf {5705}$ とわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc148/editorial/4606
　正の実数からなる数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,..3939}$ は，任意の $1$ 以上 $3938$ 以下の整数 $k$ について
$$a_k+\dfrac{1}{a_k}=a_{k+1}+\dfrac{1}{a_{k+1}}$$
をみたします．さらに $a_1+a_2+\cdots+a_{3939}=3939$ であるとき，$a_1$ としてありうる**正の整数値**の総和を求めてください．