　Pickの定理より,  格子多角形のスコアは $2(\text{面積}+1)$ に等しいから,  四角形の面積の期待値 $E$ について考えればよい. ここで, 各四角形は $S$ から $4$ 個の三角形を除いたものであるとみなすことで, $E$ について
$$E = 101^2 - 4\left(\frac{1}{2}\left(\frac{101}{2}\right)^2\right)=\dfrac{10201}{2}$$
を得る. 以上より, 求めるスコアの総和は
$$2\left(\dfrac{10201}{2} +1\right) \times 100^4 = \textbf{1020300000000}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/editorial/1308
　直交座標平面上の格子点を頂点とする四角形 $R$ について, その**スコア**を以下で定めます.
$$R\ \text{の辺上の格子点の個数} + 2\times(R\ \text{の内部にある格子点の個数})$$
ただし, $R$ の内部に辺上は含まないものとします.\
　$4$ 点 $(0,0),(101,0),(101,101),(0,101)$ を頂点とする正方形を $S$ とします. $S$ の $4$ 辺 (端点を除く) それぞれから格子点を一つずつ選び, それらを頂点とする四角形を考えます. このような四角形としてあり得るものは $100^4$ 通りありますが, それらすべてについてスコアの総和を求めてください.