　選んだ $3$ 点をすべて内部または周上に含むどの辺も $x$ 軸または $y$ 軸に平行な最小の長方形を $R$ とする．

<details><summary>形式的な $R$ の定義<\/summary>
選んだ $3$ 点の $x$ 座標のうち最大のもの，最小のものをそれぞれ $M_x, m_x$ として，$y$ 座標についても同様に定めたとき，$4$ 直線 $x = m_x, x = M_x, y = m_y, y = M_y$ で囲まれる長方形を $R$ とする．
<\/details>

　$R$ の $4$ 頂点のうちいくつに選ばれた点があるかで場合分けを行う．少なくとも $1$ 以上であることに注意する．

- $3$ つあるとき：$R$ の $x$ 軸に平行な辺と $y$ 軸に平行な辺の長さの和は $10$ 以上であるから，$R$ は $5\times5$ の正方形となる他ない．よって，この場合は $4$ 通りである.  
- $2$ つあるとき：それらの $x$ 座標も $y$ 座標も違う場合と，片方は同じ場合がある.
	- 前者の場合：$3$ つ置かれているときと同様の議論により $R$ は $5\times5$ の正方形となる他なく，残り $1$ つは対角線上に並ぶから，$2×4=8$ 通り．
	- 後者の場合：$R$ の頂点の $2$ 点は $y$ 座標が等しく，残りの $1$ つより $y$ 座標が小さいとする．このとき，頂点の $2$ 点の $x$ 座標の差は $5$ 以上であるから片方が $0$，もう片方が $5$ になる他ない．また，$y$ 座標は，$0,1,2$ のいずれかになる他ないが，それぞれもう $1$ つの点として考えられる位置は $10,6,2$ 通りあることが確かめられる．すなわち全体では $4\times(10+6+2) = 72$ 通りある．
- $1$ つあるとき：まず $R$ が $a\times b$ のとき，$R$ としてあり得るものは $(7-a)\times (7-b)$ 通り存在する．これを踏まえて，$R$ を固定して考える．$R$ の頂点のうち選ばれた点は $x$ 座標も $y$ 座標も最大の頂点であるとしてよい．このとき，残り $2$ つの点は $R$ の頂点でない $x$ 座標が最小の辺と $y$ 座標が最小の辺にある．これより，$R$ の外周は $15$ 以上でなければならないから，$a+b\ge 8$ が必要である．$(a,b)=(3,5),(4,4),(4,5),(5,5)$ のとき，それぞれ残り $2$ 点の配置は $1,3,6,10$ 通りあることが確かめられるので，全体では
$$4\times(2\times 3\times 1+ 4\times 3+2\times 2\times 6+1\times 10)=208$$
通りある．

　以上より，解答すべき値は $4+8+72+208=\bf{292}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/4037
　$x$ 座標と $y$ 座標がともに $0$ 以上 $5$ 以下の整数であるような相異なる $3$ 点を選ぶ方法であって（選ぶ順序は考えない），どの $2$ つのマンハッタン距離も $5$ 以上であるようなものは何通りありますか？

<details><summary>マンハッタン距離とは<\/summary>
　$xy$ 平面上の $2$ 点 $A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$ のマンハッタン距離は
$$|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$$
です．
<\/details>