**補題.**　$ ζ = \cos 72^\circ + i \sin 72^\circ$ としたとき，有理数 $a,b,c,d,e$ に対して次が成り立つ．
$$ a + bζ + cζ^2 + dζ^3 + eζ^4 = 0 \iff a = b = c = d = e.$$

**証明.**　$\zeta$ の最小多項式が $X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ であることから従う．

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　$\mathcal{S}$ に $T$ が $n$ 文字含まれているとし，$k=2,3,\ldots$ に対して，左から見て $k-1$ 番目の $T$ と $k$ 番目の $T$ の間にある $G$ の個数を $a_k$ とおく．また，最も左にあるの $T$ の左側にある $G$ の数を $a_1$ とし，最も右にあるの $T$ の右側にある $G$ の数を $a_{k+1}$ とする．このとき，状況を複素数平面で解釈することで，条件は次のように言いかえられる：
$$ (a_1 + a_6 + \cdots) + (a_2 + a_7 + \cdots )ζ + \cdots + (a_5 + a_{10} + \cdots )ζ^4 = 0. $$
補題により，これは以下と同値である：
$$ a_1 + a_6 + \cdots = a_2 + a_7 + \cdots  = a_3 + a_8 + \cdots  = a_4 + a_9 + \cdots = a_5 + a_{10} + \cdots . $$
特に，$\mathcal{S}$ の長さが $5$ の倍数であることとあわせて，$n$ も $5$ の倍数である．明らかに $n=0$ は不適である．

- $n = 5$ のとき：$a_1 + a_6 = a_2 = a_3 = a_4 = a_5 = 4$ が成立することが必要十分条件である．これを満たす非負整数の組 $(a_1 , \ldots , a_6)$ の数は $5$ 個である．
- $n = 10$ のとき：$a_1 + a_6 + a_{11} = a_2 + a_7 = \cdots = a_5 + a_{10} = 3$ が成立することが必要十分条件である．これを満たす非負整数の組 $(a_1 , \ldots , a_{11})$ の数は ${}\_{5}\mathrm{C}\_{2} × ({}\_{4}\mathrm{C}\_{1})^4 = 2560$ 個である．
- $n = 15$ のとき：同様にして ${}\_{5}\mathrm{C}\_{3} × ({}\_{4}\mathrm{C}\_{2})^4 = 12960$ 個である．
- $n = 20$ のとき：同様にして ${}\_{5}\mathrm{C}\_{4} × ({}\_{4}\mathrm{C}\_{3})^4 = 1280$ 個である.
- $n = 25$ のとき：明らかに $1$ 個である.

　以上をあわせて，解答すべき値は $5 + 2560 + 12960 + 1280 + 1 = \mathbf{16806}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/OMC233/editorial/8288
　ここでは，補題の証明の補足を書いておきます．( $\zeta$ は公式解説と同様に定義します．)

- $\zeta$ の最小多項式が $X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ であることについて

$X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ が $\zeta$ を根として持つことは容易に確かめられるため，$X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ が有理数係数の範囲で因数分解できないことを示せばよいと分かる．ここで，$X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ は $\zeta, \zeta^2, \zeta^3, \zeta^4$ の $4$ つの複素数を根として持ち，これらはいずれも実数ではないことから，$X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ は有理数係数の一次式を因数に持たないと分かる．よって，因数分解できたと仮定すると，有理数係数の二次式 $f(X), g(X)$ によって 
$$X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 = f(X)g(X)$$
と表されることが分かる．このとき，一般性を失わずに $f(X)$ が $\zeta$ を根として持つとできる．すると，$f(X)$ は $\zeta$ と共役な複素数である $\zeta^4$ も根として持つため，解と係数の関係より，$\zeta + \zeta^4$ は有理数ということになる．しかし，$\zeta + \zeta^4 = 2 \cos 72^\circ = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ であり，これは無理数であるため矛盾する．よって，背理法より，$X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ が有理数係数の範囲で因数分解できないと示されたため，最小多項式であることも示された．

- $a + b\zeta + c\zeta^2 + d\zeta^3 + e\zeta^4 = 0 \Longleftrightarrow a = b = c = d = e$ について

$\Longleftarrow$ については，$1 + \zeta + \zeta^2 + \zeta^3 + \zeta^4 = 0$ より明らかである．以下，$\Longrightarrow$ を示す．$a + a\zeta + a\zeta^2 + a\zeta^3 + a\zeta^4 = 0$ と合わせて $(b-a) + (c-a)\zeta + (d-a)\zeta^2 + (e-a)\zeta^3 = 0$ が従う．ここで，$b-a, c-a, d-a, e-a$ の中に $0$ でないものが存在する場合，$\zeta$ を根として持つ $3$ 次以下の有理数係数多項式が存在することになり，$\zeta$ の最小多項式が $4$ 次であることに矛盾する．よって，$a = b = c = d = e$ が従う．
補題の証明の補足
https://onlinemathcontest.com/contests/OMC233/editorial/8288/690
　座標平面上の原点に OMC 君がおり，$x$ 軸の正方向を向いています．いま，各文字が $G$ と $T$ のみからなる（一方のみでもよい）長さ $25$ の文字列 $\mathcal S$ があり，これに基づいて以下のような $25$ 回の操作を行います：

- $i$ 回目の操作 ($1 \leq i \leq 25$) では，$\mathcal S$ の $i$ 文字目が $G$ ならば OMC 君をいま向いている方向に $1$ 進め，$T$ ならばその場で OMC 君の向いている方向を反時計回りに $72 ^ \circ$ 回転させる（移動はしない）．

すべての操作が終わった後に OMC 君が原点にいたとき，文字列 $\mathcal{S}$ としてありうるものはいくつありますか．