　$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすれば，互いに素な整数の組 $(p,q)$ (ただし$p\lt q$ ) によって $a=gp,b=gq$ と表せる．このとき $L=gpq$ であるから，条件は
$$112=ab-L=g^2pq-gpq=g(g-1)pq$$
と表せる．いま，$g(g-1)$ が $112$ の約数であることから，$g=2,8$ が必要である．
 $g=2$ のとき $(p,q)=(1,56),(7,8)$ が，$g=8$ のとき $(p,q)=(1,2)$ が適するから，それぞれを $(a,b)$ に直すことで求める値は $224+224+128=\mathbf{576}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/3976
　$a\leq b$ なる正整数 $a,b$ について，それらの最小公倍数を $L$ とすると，
$$ab-L=112$$
が成り立ちました．このとき，組 $(a,b)$ としてありうるものすべてについて，$ab$ の総和を求めてください．