　解と係数の関係より，$x_1+x_2+\cdots+x_{100}=-4$ が成り立つ．また，$x^{100}+4x^{99}-13=0$ は $x\neq 0$ のとき $\dfrac{x+4}{13}=\dfrac{1}{x^{99}}$ と変形できるので，
$$\begin{aligned}
\sum_{i = 1}^{100}\sum_{j = 1}^{100}\frac{x_i}{x_j^{99}}
& = \Bigg(\sum_{i = 1}^{100} x_i\Bigg)\Bigg(\sum_{j = 1}^{100} \frac{1}{x_j^{99}}\Bigg)\\\\
& = \Bigg(\sum_{i = 1}^{100} x_i\Bigg)\Bigg(\sum_{j = 1}^{100} \frac{x_j+4}{13}\Bigg)\\\\
& = (-4)\cdot\frac{-4+4\times100}{13} \\\\
& = -\frac{1584}{13}
\end{aligned}
$$
と計算できる．よって解答すべき値は $\textbf{1597}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/7499
　$x^{100}+4x^{99}-13=0$ の複素数解を $x_1, x_2, …, x_{100}$ とするとき，
$$\sum_{i = 1}^{100}\sum_{j = 1}^{100}\frac{x_i}{x_j^{99}}$$
の値は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $-\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．