　与式を $k$ とおけば, 以下のように変形できる.
　　$$(k+a)(k-a)=2^83^{10}5^{12}$$
　ここで $k\pm a$ の偶奇は一致するから, 特にいずれも偶数である. すなわち, 以下をみたす正整数の組 $x\geq y$ の数を求めることに帰着される.
　　$$xy=2^63^{10}5^{12}$$
　ところで $2^63^{10}5^{12}$ は正の約数を $(6+1)(10+1)(12+1)=1001$ 個もつが, 平方数であることから $x=y$ なる組が一つ存在することに留意すれば, 求める値は $\textbf{501}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc011/editorial/72
　$\displaystyle \sqrt{a^{2} +2^{8} 3^{10} 5^{12}}$ が整数となるような非負整数 $\displaystyle a$ としてあり得る値はいくつあるか求めてください.