　棒の長さを短い順に $a_1, a_2, \cdots a_9$ とする. これらを使って非退化な $M$ 角形が作れないための必要条件は
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{M-1} a_i \leq a_M$$
であるから, 帰納的に計算することで $a_9\geq 2^{7}=128$ を得る. 逆に棒の長さが $1,1,2,4,8,16,32,64,128$ であるとき, 非退化な多角形を作れないことが容易に確認できるから, 求める最小値は $\textbf{128}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc006/editorial/43
　$9$ 本の棒があります. 一番短い棒の長さは $1$ です. この棒のうち, 何本かの棒を使って(非退化な)多角形を作ろうとしましたが, どうやっても作ることはできませんでした. このとき, 一番長い棒の長さとしてあり得る最小値を求めてください.