$$2520^3=(2^3\times3^2\times5\times7)^3=2^9\times3^6\times5^3\times7^3$$
であるから, $a$ を $9$ 以下の非負整数, $b,c$ を $3$ 以下の非負整数として,

- $2520^3$ の正の約数のうち, $3$で割って $1$ 余るものは $2^a\times5^b\times7^c\ $($a,b$ の偶奇が一致) の形.
- $2520^3$ の正の約数のうち, $3$で割って $2$ 余るものは $2^a\times5^b\times7^c\ $($a,b$ の偶奇が異なる) の形.

よって, $S-T$ は以下の式で求められる (実際に展開してみたときの様子を想像せよ).
$$\begin{aligned}
S-T &=(2^0-2^1+\cdots+2^8-2^9)\times(5^0-5^1+5^2-5^3)\times(7^0+7^1+7^2+7^3) \\\\
&= \frac{1-2^{10}}{1-(-2)}\times\frac{1-5^{4}}{1-(-5)}\times\frac{1-7^{4}}{1-7}\\\\
&=(-341)\times(-104)\times400 \\\\
&=\textbf{14185600}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1701
　$2520^3$ の正の約数のうち, $3$ で割って $1,2$ 余るものの総和をそれぞれ $S,T$ とするとき, $S-T$ を求めてください.