　$1$ 以上 $22$ 以下の整数からなる組 $(a,b)$ について，$ab$ を $23$ で割った余りが $A$ に属するものと $B$ に属するものは同数存在する．また，$1$ 以上 $22$ 以下の整数からなる組 $(a,b)$ について，$a$ と $b$ の属する集合が異なるものと同じものも同数存在する．ゆえに，$A$ の任意の元 $a$ と $B$ の任意の元 $b$ について $ab$ を $23$ で割った余りが $A$ に属することと，属する集合が同じである任意の整数 $a,b$ について  $ab$ を $23$ で割った余りが $B$ に属することは同値である．よって，任意の $1$ 以上 $22$ 以下の整数 $a$ について $a^2$ を $23$ で割った余りが $B$ に属する．このことから
$$B=\\{ 1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\\}$$ 
と分かる．この時，$B$ の各元が $23$ の平方剰余で $A$ がそれ以外であることから条件を満たすことが分かる．従って解答すべき値は $$12\times 13 \times 16 \times 18=\mathbf{44928}$$ である．

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<summary>解答前半の補足<\/summary>

　以下では $a, b \in \\{ 1, 2, \ldots, 22 \\} $ とする．問題の条件より，$ \\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \\}$ および $ \\{ (a, b) \mid a \in B, b \in A \\}$ は共通部分を持たない $ \\{ (a, b) \mid ab \bmod 23 \in A \\} $ の部分集合であり，
$$ \\# \\{ (a, b) \mid ab \bmod 23 \in A \\} \ge \\# \\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \\} + \\# \\{ (a, b) \mid a \in B, b \in A \\} = \frac{22^2}{2} \tag{☆} $$
が成り立つ．一方で，各 $x = 1, 2, \ldots, 22$ について $ab \equiv x \pmod{23}$ なる $(a, b)$ の個数は $x$ によらず $22$ 個なので，
$$ \\# \\{(a, b) \mid ab \bmod 23 \in A \\} = \\# \\{ (a, b) \mid ab \bmod 23 \in B \\} = \frac{22^2}{2} $$ 
となる．したがって $(☆)$ は等号が成立し，
$$ \\{ (a, b) \mid ab \bmod 23 \in A \\} = \\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \\} \cup \\{ (a, b) \mid a \in B, b \in A \\} $$
となる．これの補集合をとると (正確には，上の解では $ab \bmod 23 \in B$ となる $(a, b)$ の個数を上から抑えることで以下の式を得ている)，
$$ \\{ (a, b) \mid ab \bmod 23 \in B \\} = \\{ (a, b) \mid a, b \in A \\} \cup \\{ (a, b) \mid a, b \in B \\} $$
となる．任意の $(a, a)$ はこの集合に含まれるから，$a^2 \bmod 23 \in B$，すなわち $B$ にはすべての平方剰余が含まれることがわかる．
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<summary>別解 (略解)<\/summary>
　${} \bmod 23$ の原始根 $r$ をとる．このとき $A = \\{ r^{c_1}, \ldots, r^{c_{11}} \\}, B = \\{ r^{d_1}, \ldots, r^{d_{11}} \\}$ と表せるので，$C = \\{ c_1, \ldots, c_{11} \\}, D = \\{ d_1, \ldots, d_{11} \\}$ とする．このとき問題の条件より，
$$C \cap D = \empty, \quad C \cup D = \\{ 0, 1, \ldots, 21 \\}$$
および任意の $i, j \in \\{ 1, 2, \ldots, 11\\}$ について $(c_i + d_j) \bmod 22 \in C$ が成り立つ．背理法により $0 \in D, 1\in C$ がわかる．$D$ の元 $d$ であって  $22$ と互いに素なものが存在するとき，$1+d, 1+2d, 1+3d, \ldots \in C$ となり $|C| = 11$ に矛盾するから，
$$ D \subset \\{0, 2, 4, \ldots, 20 \\} \cup \\{ 11 \\} $$
となる．いずれにせよ $2$ と $6$ の一方は $D$ に含まれるので，これを $1$ に加えていくことで
$$ C = \\{ 1, 3, 5, \ldots, 21 \\}, \quad D = \\{ 0, 2, 4, \ldots, 20 \\} $$
を得る．これは $D$ が ${} \bmod 23$ での平方剰余のみからなる集合であることを意味する ( $r = 5$ に対して具体的に計算してもよい)．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/3888
　まず，$1$ が $B$ に，$22$ が $A$ に属することが（割と簡単に）分かります．$1$ が $A$ にないことから，$\bmod 23$での逆元の組（$(2,12),(3,8),(4,6)\dots$ など）がそれぞれ同じ集合にあることが従うので，頑張ってパズルをする（ちょっとだけ重いです）ことにより解けます．
パズルをしよう
https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/3888/297
　$1$ 以上 $22$ 以下の整数からなる要素数 $11$ の集合 $A$ と $B$ であって，次の $2$ 条件をみたすものは一意に定まります：
- $A \cap B = \empty$ 
- 任意の $a \in A$ と $b \in B$ について，$ab$ を $23$ で割ったあまりは $A$ に属する．

　この $A, B$ について，$B$ の $10$ 以上の元の総積を求めてください．