　$BC$ について $A$ と対称な点を $A^\prime$, $CA^\prime$ について $B$ と対称な点を $B^\prime$ とし, 線分 $CA^\prime,A^\prime B^\prime$ 上にそれぞれ $CR=CR^\prime,AP=A^\prime P^\prime$ となる点 $R^\prime,P^\prime$ をとると,
$$PQ+QR+RP=PQ+QR^\prime+R^\prime P^\prime \geq PP^\prime$$
より, 等号成立条件を考えることで $4$ 点 $P,Q,R^\prime,P^\prime$ はこの順に同一直線上に存在する.\
　三角形 $A^\prime BC$ の重心を $G$ とすると, 条件は $G$ が $PP^\prime$ 上にあることである. $A^\prime G$ と $BC,AB$ との交点をそれぞれ $D,E$ とすると, $A^\prime E\parallel B^\prime A$ であるから, $A^\prime G:GD=2:1,A^\prime D:DE=2:1$ より $A^\prime G:GE=4:5$ が従う. ここで $AP:PB=(2-a):a$ とおき, 三角形 $BA^\prime E$ と直線 $PP^\prime$ にMenelausの定理を用いると
$$\dfrac{1-a}{a}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{4-a}{2-a}=1$$
これを解くと $a=\dfrac{2}{3}$ を得るから, $AP:PB=\left(2-\dfrac{2}{3}\right):\dfrac{2}{3}=2:1$ で, 特に求める値は $2+1=\bm{3}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc071/editorial/2497
　$\angle{A}=90^\circ,\angle{B}=30^\circ$ なる直角三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上（両端を除く）の定点 $P$ について，三角形 $PQR$ の周長が最小となるように $2$ 点 $Q,R$ をそれぞれ辺 $BC,CA$ にとります．三角形 $ABC$ の重心が線分 $QR$ に存在するとき，$AP:PB$ は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．