　$BC=2CN=2CH$ より $CN=CH$ は $\angle C = 60^{\circ},120^\circ$ と同値で, これより $AB$ は長さ $12\sqrt{3}$ で一定だから, $A,B$ を周上に含む定円 $\Gamma$ 上を $C$ が動くとして良い. このとき, $OMC$ の面積が最大化されるのは, 直線 $AB$ と平行な $O$ を通る直線と $\Gamma$ の交点を $C$ としたときである. $OM=6$ より求める最大値は $6\times 12\/2=\textbf{36}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc124/editorial/2675
　外心を $O$ とする三角形 $ABC$ において，辺 $AB,BC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，$B$ から直線 $AC$ におろした垂線の足を $H$ とします．
$$CN=CH, \quad CO=12$$
が成り立つとき，三角形 $OMC$ の面積のとりうる最大値を求めてください．