　　線分 $AC$ の中点を $F$ とし, 線分 $DE$ 上に $AB\parallel FG \parallel CE$ なる点 $G$ をとると, $ABF$ は正三角形であり,
$$\angle BFG=\angle ABF=60^\circ=\angle BDG$$
より $B,D,F,G$ は共円, さらに $BDG$ も正三角形である. したがって
$$DF:DC=DG:DE=BD:DE=2:5$$
ここで $AC=12x$ とおき, $AF$ の中点を $M$ とすれば, $BDM$ における三平方の定理より
$$28x^2=(3\sqrt{3}x)^2+x^2=BM^2+DM^2=BD^2=4$$
よって $AC=12\/\sqrt{7}$ であり, 特に解答すべき値は $144+7=\textbf{151}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/275
　$CE=CF$ なる点 $F$ を $D,C,F$ がこの順に同一直線上にあるようにとると，三角形 $ADB$ と三角形 $FED$ は相似であり，$AB=x, ~ CE=y$ とおくと $\dfrac{5}{2}x=2x+\dfrac{3}{5}y$ より $y=\dfrac{5}{6}x$ が分かる．余弦定理から $BE=\sqrt{19}$ で，$BC=\sqrt{3}x$ なので，三平方の定理から $x=\sqrt{\dfrac{36}{7}}$ と求まる．よって $AC=2x=\sqrt{\dfrac{144}{7}}$ であり，特に解答すべき値は $144+7=\mathbf{151}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/275/3
　$\angle A=60^\circ, \angle B=90^\circ$ なる三角形 $ABC$ において, 辺 $AC$ 上の点 $D$ が $BD=2$ をみたしました. さらに, 点 $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に $\angle BDE=60^\circ$ なる点 $E$ をとると, $DE=5$ が成り立ちました.\
　このとき $AC$ の長さは, 互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.