$$D(0,1,0), \quad E(1,0,0), \quad F(1,0,1), \quad G(1,1,0)$$
とすると，四面体 $OABC$，$OAFC$，$OEFC$，$OEGC$，$ODGC$，$ODBC$ は全て合同で，立方体 $OABD-EFCG$ を重複なく埋め尽くす．点 $O$ にはこれら $6$ つの四面体の対応する頂点が集まっているので，$O$ を中心とする半径 $1$ の球 $O$ との共通部分の体積はどれも等しい．一方，球 $O$ と立方体 $OABD-EFCG$ の共通部分の体積は，半径 $1$ の球 $O$ の体積の $8$ 分の $1$ なので，$\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{4}{3}\pi=\dfrac{1}{6}\pi$ である．よって，求める体積は，このさらに $6$ 分の $1$ だから，$\dfrac{1}{36}\pi$ である．従って，求める値は $1+36=\mathbf{37}$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9840
以下の重積分を求めればよい.

$$V=\iiint_D dxdydz$$
ただし領域$D$の定義は以下の通りである.
$$D=\lbrace (x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2+z^2\leq 1,0\leq x\leq y\leq z\leq 1\rbrace$$

以下の変数変換をする.

$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi},y=r\sin{\theta}\sin{\phi},z=r\cos{\theta}$$

このとき,ヤコビアンは$r^2\sin{\theta}$であるので,

$$dxdydz=r^2\sin{\theta} dr d\theta d\phi $$

である.

ここで,変数変換後のパラメータの取りうる値の範囲を計算する.

$\theta,\phi$の値にかかわらず$0\leq r\leq 1$である.

さらに,$\pi\/4 \leq \phi\leq \pi\/2$が成り立つ.

このときの$\theta$の取りうる値の範囲は$0\leq  \tan{\theta}\leq 1\/\sin{\phi}$

より,$0\leq \theta \leq \tan^{-1} (1\/\sin{\phi})$

よって,

$$V=\int_{0}^{1} \int_{\pi\/4 }^{\pi\/2} \int_{0}^{\tan^{-1} (1\/\sin{\phi})}r^2 \sin{\theta} d\theta  d\phi dr$$

$$V=\int_{0}^{1}r^2 dr\cdot  \int_{\pi\/4 }^{\pi\/2} \int_{0}^{\tan^{-1} (1\/\sin{\phi})} \sin{\theta} d\theta  d\phi$$

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot  \int_{\pi\/4}^{\pi\/2} \left[-\cos{\theta}\right]_{\theta=0}^{\theta=\tan^{-1} (1\/\sin{\phi})}   d\phi$$

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot  \int_{\pi\/4}^{\pi\/2} 1-\cos (\tan^{-1} (1\/\sin{\phi}))   d\phi$$

ここで,実数$t$について$\cos(\tan^{-1}(t))=\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$が成り立つため,

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot  \int_{\pi\/4}^{\pi\/2} 1-\dfrac{1}{\sqrt{1+(1\/\sin{\phi})^2}}   d\phi$$

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot  \int_{\pi\/4}^{\pi\/2} 1-\dfrac{\sin{\phi}}{\sqrt{1+\sin^2{\phi}}}   d\phi$$

$$V=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{3}  \int_{\pi\/4}^{\pi\/2} \dfrac{\sin{\phi}}{\sqrt{2-\cos^2{\phi}}}   d\phi$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3}  \int_{0}^{1\/\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2-u^2}}   du$$

(ただし$\cos{\phi}=u$と置換)

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3}  \int_{0}^{1\/2} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-2v^2}}   dv$$

(ただし$u=\sqrt{2}v$と置換)

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3}  \int_{0}^{1\/2} \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}}   dv$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3}  \left[\sin^{-1}(v)\right]_{0}^{1\/2}$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3}  (\sin^{-1}(1\/2)-\sin^{-1}(0))$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{3}  \cdot \dfrac{\pi}{6}$$

$$V=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\pi}{18}=\dfrac{\pi}{36}$$

よって体積は$\dfrac{1}{36}\pi$と書けるので、解答するべき値は$1+36=37$である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9840/342
　$xyz$ 空間内において， $x^2+y^2+z^2\leq1,x\geq0,y\geq0,z\geq0$ で表される立体を $D$ とし，$D$ のうち $x\leq y\leq z$ を満たす部分の立体を $E$ とする．  
$D,E$ の体積をそれぞれ $V,W$ とすると，$V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{\pi}{6}$ である．  
また，$\dfrac{W}{V}$ は領域 $D$ 内から無作為にとった点 $(x,y,z)$ が $x\leq y\leq z$ を満たす確率なので，それは $\dfrac{1}{3!}=\dfrac{1}{6}$ に等しい．  
以上より，求める体積は $W=\dfrac{V}{6}=\dfrac{\pi}{36}$．
確率で求める体積
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9840/358
　座標空間上の $4$ 点 $O(0,0,0), ~ A(0,0,1), ~ B(0,1,1), ~ C(1,1,1)$ を頂点とする四面体と，$O$ を中心とする半径 $1$ の球の共通部分の体積を求めてください．ただし，答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}\pi$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．