　直線 $AI$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とする．このとき，
$$ \angle PAQ = \angle PAB + \angle BAQ = \angle ACQ + \angle CAQ = \angle PQA $$
より $PA = PQ$ であり，直線 $AQ$ と直線 $DE$ が垂直なことから四角形 $ADQE$ はひし形である．$\triangle DBQ \sim \triangle ABC \sim \triangle EQC$ であるため，
$$DQ=QE=\sqrt{BD\cdot CE}=35$$
である．また $BQ : CQ = AB : AC = 5 : 7$ より $BQ = 5x, ~ CQ = 7x$ とおける．すると
$$ AI : IQ = AB : BQ = 12 : x $$
より $IQ = 3x$ を得る．ここで，直線 $AI$ と $\Gamma$ の交点のうち点 $A$ でないものを $M$，三角形 $ABC$ の角 $A$ 内の傍心を $J$ とすると，
$$AI\cdot AJ=AB\cdot AC=(25+35)(49+35)=5040$$
より $AJ=140$ であり，$M$ は $IJ$ の中点であるため $MI=MB=MC=52$ を得る．$\triangle ADQ \sim \triangle BMC$ より $AD : AQ = BM : BC$ から
$$ 35 : (36+3x) = 52 : 12x \iff x = \frac{78}{11}$$
となる．したがって $BC = \dfrac{936}{11}$ より，答えるべき値は $\mathbf{947}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/editorial/9671
　$PA$ が $\Gamma$ に接することより, $\angle{PAB}=\angle{C}$ であり, 
$$\angle{APB}=\angle{B}-\angle{PAB}=\angle{B}-\angle{C}$$ . 
また, $AI$ と $PE$ の交点を $H$ とすると, $\angle{AHP}=90^{\circ}$ より, 
$$\angle{APH}=90^{\circ}-\angle{PAH}=90^{\circ}-(\angle{C}+\frac{1}{2}\angle{A})=\frac{\angle{B}-\angle{C}}{2}$$
よって, $PE$ は $\angle{APB}$ の二等分線であり, $\triangle{APB}\sim\triangle{CPA}$ において, $D$ と $E$ は対応関係にあるから, $\angle{PDB}=\angle{PEA}$ であり, $\angle{PDB}=\angle{ADE}$ より, 
$$AD=AE$$
 となる. また 
$$AD\/BD=CE\/AE$$ より, 
$$AD=AE=35$$
がわかる. よって, 後は 
$$AB=60,\\;\ AC=84,\\;\ AI=36$$
 となる三角形 $ABC$ について $BC$ の長さを求める.\
$BC=x,\\;\ \dfrac{1}{2}\angle{A}=\theta$とおき, 内接円の半径を $r$ とすると,
$$r=AI\sin{\Big(\frac{1}{2}\angle{A}\Big)}=36\sin\theta$$
が成立. また三角形 $ABC$ の面積 $S$ を $2$ 通りの方法で表すと,
$$
\begin{aligned}
S&=\frac{1}{2}AB\times AC\sin{\angle{A}}=60\times 84\sin\theta\cos\theta\\\\
S&=\frac{1}{2}(AB+BC+CA)r=18(144+x)\sin\theta
\end{aligned}
$$
より, 
$$x=280\cos\theta-144$$
であり, 
$$x^2=AB^2+AC^2-2AB\times AC\cos{\angle{A}}=10656-2\times 60\times 84\cos\theta$$
であるから, $x=280\cos\theta-144$ を両辺 $2$ 乗して整理することで, $\cos\theta=\dfrac{9}{11}$ が得られ, $x=280\times\dfrac{9}{11}-144=\dfrac{936}{11}$ が計算できる.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc232/editorial/9671/677
　$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外接円を $\Gamma$ とします．$\Gamma$ の点 $A$ における接線と直線 $BC$ の交点を $P$ とし，$P$ を通り直線 $AI$ に垂直な直線が直線 $AB, AC$ と交わる点をそれぞれ $D, E$ とします．
$$BD=25, \quad CE=49, \quad AI=36$$
が成り立つとき，辺 $BC$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．