　$4$ 点 $A,B,D,C$ の共円は容易に分かる. ここで, 辺 $BC$ 上に $AQ=8$ なる点 $Q(\neq C)$ をとれば, 先の事実と併せて三角形 $ABD$ と $AQC$ は相似であり, 特に $\angle BAD=\angle QAC$, 同時に $\angle BAQ=\angle PAC$ である. したがって,
$$BQ:PC=(14 \times8):(7 \times8)=2:1,\quad BP:QC=(14 \times7):(8 \times8)=49:32$$
より $BQ:QP:PC=34:15:17$ を得る. 方べきの定理より $BP=\dfrac{49}{\sqrt{17}}$ であり, 求める値は $\bf{ 2418 }$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc062/editorial/2033
　僕の解法ではないのですが別解紹介です．以下，表記簡略化のため，三角形 $ABC$ の面積を $|\triangle ABC|$ などと表すことにします．  

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　三角形 $ABD$ と三角形 $ACE$ は相似で，相似比が $14:8$ なので，$|\triangle ACE|=64x$ とおけば  $|\triangle ABP|=\dfrac{14^2x}{2}=98x$ となる．ところで，三角形 $ABC$ と三角形 $ADE$ は合同であるから，$$|\triangle DCP|+ |\triangle ACE|= |\triangle ABP|$$ となるので $|\triangle DCP|=34x$ で，$|\triangle ACP|=34x$ が従う．  

　よって $BP:PC=|\triangle ABP|:|\triangle ACP| =49:17$ が得られ，あとは本解説と同様に方べきの定理を適用することで $BP=\dfrac{49}{\sqrt{17}}$ を得る．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc062/editorial/2033/76
$4$ 点 $A$,$B$,$D$,$C$ は共円なので，$BP=x$ と置くと，$BD=\dfrac{8x}{7}$ である。\
  $\triangle ABD$ に中線定理を適用すれば $x$ が求まる。
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc062/editorial/2033/126
　$AB=14,AC=8$ なる三角形 $ABC$ と (向きを込めて) 合同な三角形 $ADE$ について, $C$ は辺 $DE$ 上にあり, 辺 $AD$ と辺 $BC$ の交点 $P$ が $AP=PD$ をみたしました. このとき, $BP$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.