　$y_n = x_{n+1} - x_n$ とすると，与えられた等式は
$$y_n^2 - 2c_{n+1} y_n  + 2c_{n+1}c_n = 0$$
と変形することができる．これを $y_n$ についての $2$ 次方程式とみなしたときの判別式（の $4$ 分の $1$）を
$$D_n = c_{n+1} (c_{n+1} - 2c_n)$$
とおくと，条件より $D_1, D_2, ..., D_8$ のうち $1$ つのみが正で，残りは $0$ でなければならない．先ほどの $2$ 次方程式を実際に解くと，$D_n \gt 0$ ならば
$$y_n = c_{n+1} \pm \sqrt{D_n}$$
が解であり，$D_n = 0$ ならば
$$y_n = c_{n+1}$$
が解である．したがって $D_n \gt 0$ なるただ一つの $n$ を $r$ とすると
$$x_9 = \sum_{k = 1}^9 c_k \pm \sqrt{D_r}$$
であるので，これより以下をみたせばよい．
$$\sum_{k = 1}^9 c_k = 0，D_r = 3^2 \cdot 73 \tag{1}$$
ここで次の事実に注意せよ．
- $c_1, …, c_9$ の中に正のものと負のものが，どちらも $1$ つ以上含まれる．
- $D_n = 0$ ならば $c_{n+1} = 2 c_n$ が成り立つ．

これらの事実により $C$ は次のような形で表される．ただし $\alpha, \beta$ は $0$ でない整数であり，互いに同符号であるとする．
$$(\alpha, 2 \alpha, …, 2^{r-1} \alpha, -\beta, -2 \beta, …, -2^{8-r} \beta)$$

すると条件 $(1)$ から
$$\alpha = \frac{2^{9-r} - 1}{2^r - 1}\beta，\beta(\beta + 2^r \alpha) = 3^2 \cdot 73$$
がしたがい，これより
$$|\beta| = 3 \sqrt{\frac{2^r - 1}{7}}$$
が得られる．$\alpha, \beta$ がともに整数となるのは $r = 3, 6$ のときであり，したがって以下の $C$ が適する（それぞれ複号同順である）．
$$
(\pm 27, \pm 54, \pm 108, \mp 3, \mp 6, \mp 12, \mp 24, \mp 48, \mp 96) \\\\
(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \mp 9, \mp 18, \mp 36)
$$

　以上の議論から，適する $C$ は複号の定め方の違いを含めて全部で $4$ 個あることが分かり，それぞれの最大値の和は以下のように計算できる．
$$108 + 96 + 32 + 36 = \mathbf{272}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/7484
　$9$ つの**整数**からなる列 $C = (c_1, c_2, \ldots, c_9)$ が与えられており，$c_1, c_2, \ldots, c_9$ はいずれも $0$ でないとします．すると，以下をみたすような $9$ つの実数からなる列 $X = (x_1, x_2, \ldots,  x_9)$ が，ちょうど $2$ つ存在しました：

- $x_1 = c_1$ をみたし，なおかつ各 $n=1, 2, \ldots, 8$ について
$$x_{n+1}^2 + x_n^2 = 2(x_{n+1}x_n + c_{n+1}x_{n+1} - c_{n+1}x_n - c_{n+1}c_n)$$
が成り立つ．

さらに，こうして得られる $2$ つの列 $X$ は，一方が $x_9 = 3\sqrt{73}$ をみたし，もう一方が $x_9 = -3\sqrt{73}$ をみたしました．このとき，$C$ としてありうるものすべてに対して，$C$ に含まれる項の最大値の総和を解答してください．