　$BO_1 = CO_1 = DO_1$ と直線 $O_1O_2$ が面 $BCD$ と垂直であることより，$BO_2 = CO_2 = DO_2$ が分かる．これを $d$ とすれば，$B,C,D$ から四面体 $APQR$ の外接球への方べきを考えると
$$d^2 - AO_2^2 = BP\times AB = CQ\times AC = DR\times AD$$
が分かる．これらの値は全て $BP\times AB = 60$ に等しいので，$CQ = \dfrac{15}{4},DR = \dfrac{20}{7}$ を得る．よって，常に
$$\frac{V_2}{V_1}
= \frac{AP\times AQ \times AR}{AB\times AC\times AD}
= \frac{AP(AC-CQ)(AD-DR)}{AB\times AC\times AD}
= \frac{1397}{2880}$$
であると分かる．特に，解答すべき値は $\bf{4277}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/7188
　四面体 $ABCD$ および線分 $AB$ 上の点 $P$ は
$$AB=15,\quad AC=16,\quad AD=21,\quad AP=11$$
をみたします．線分 $AC,AD$ 上（端点を除く）にそれぞれ点 $Q,R$ をとり，四面体 $ABCD, APQR$ の外心をそれぞれ $O_1, O_2$ としたところ，直線 $O_1O_2$ は面 $BCD$ に垂直でした．四面体 $ABCD$ の体積を $V_1$，四面体 $APQR$ の体積を $V_2$ としたとき，$\dfrac {V_2} {V_1}$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

<details> <summary> 四面体の外心とは <\/summary>

　非退化な（$4$ 頂点が同一平面上にない）四面体には，その $4$ 頂点をすべて通るような球面が一意に存在します．この球の中心を四面体の**外心**といいます．
<\/details>