　命題は「$1$ 以上 $N^2$ 未満の整数の総和は $9N^3+9N^2$ である」と表現できるから, 方程式
$$\dfrac{1}{2}(N^2-1)N^2=9N^3+9N^2$$
を解いて $N=\textbf{19}$ を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc055/editorial/222
　「$1$ 以上 $100$ **未満**の整数の総和は $9900$ である」という命題が $N$ 進法表記で解釈すると真であるとき, $N$ としてあり得る $10$ 以上の整数の総和を求めてください.\
　ただし, 記数の割り当て順序は一般的なもの ($0,1,\cdots,9,a,b,\cdots$) に従います.