　角度追跡によって $A,O,I_A$ は同一直線上に，$A,B,C,O$ は同一円周上にあることがわかる．よってPtolemyの定理より $BC$ の長さは $\dfrac{(4+5)\times3}{8-3}=\dfrac{27}{5}$ と求まるので，解答すべき値は $\textbf{32}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6673
　$AB=4,AC=5$ なる三角形 $ABC$ において，その角 $A$ 内の傍心を $I_A$ とし，三角形 $BCI_A$ の外心を $O$ とすると，$AI_A:OI_A=8:3$ が成り立った．このとき $BC$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答せよ．