　辺$AB, BC, CD, DA$ の中点を $P, Q, R, S$ とする．中点連結定理より
$$PQ \parallel AC \parallel SR,\quad QR \parallel BD \parallel PS$$
が成り立つ．さらに，$AC \perp BD$ であるから四角形 $PQRS$ は長方形であり，特に $PQ=AC\/2=BD\/2=QR$ であるから四角形 $PQRS$ は正方形である．\
　ここで対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $M$ とすると，
$$PM = PA = 2, \quad RM = RD = \frac52$$
であり，
$$\angle PMR = \angle PMQ + \angle QMR = \angle PBQ + \angle QCR = \angle ABC + \angle BCD = 120^{\circ}$$
も成り立つので，余弦定理より次がわかる．
$$PR^2 = PM^2+RM^2 - 2PM \cdot RM \cos\angle PMR = \frac{61}{4}$$
さて，正方形 $PQRS$ の面積は $PR^2\/2$ であり，四角形$ABCD$の面積は正方形 $PQRS$ の面積の $2$ 倍であるから，求める面積は $PR^2$ に等しく，特に解答すべき値は $\bf65$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc237/editorial/8454
　対角線の交点を $O$ とし，$\angle OBA=\theta$ とおく．このとき $\angle OCD=30^{\circ}-\theta$ であり，$OA+OC=OB+OD$ より
　$$4 \sin \theta+5 \cos (30^{\circ}-\theta)=4 \cos \theta+5 \sin (30^{\circ}-\theta)$$
　加法定理を使ってから整理すると，
$$\tan \theta =\dfrac{13-5 \sqrt{3}}{13+5 \sqrt{3}}$$
を得る．従って，一つの鋭角が $\theta$ であるような直角三角形の三辺の長さの比は $(13+5 \sqrt{3}) : (13-5 \sqrt{3}) : 2 \sqrt{122}$ であることがわかり，
$$\sin \theta =\dfrac{13-5 \sqrt{13}}{2 \sqrt{122}}, \cos \theta =\dfrac{13+5 \sqrt{13}}{2 \sqrt{122}}$$
である．これを用いて $AC=BD$ を計算すると $\dfrac{\sqrt{122}}{2}$ となり，四角形の面積は，$\dfrac{1}{2}×\left( \dfrac{\sqrt{122}}{2} \right)^2=\dfrac{61}{4}$
三角比
https://onlinemathcontest.com/contests/omc237/editorial/8454/743
　求めるべき面積は $\dfrac{1}{2} × AC×BD$ であり，$AC=BD$ が求まればよい．\
　ここで，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}$ を満たすような補助点 $E$ を取ろう．$△ BDE$ は直角二等辺三角形なので，$DE$ の長さを求めたい．\
　一方 $\triangle CDE$ について，$CD=5$，$CE=AB=4$，$\angle ECD=120^ \{\circ}$ より，余弦定理を用いれば $DE=\sqrt{61}$ である．\
　あとは適当に計算すれば四角形の面積も求まる．
別解
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　($AC,BD$ は長さが等しくかつ直交している．そこで，$AC$ を $BD$ に移すときの回転の中心を考えよう．具体的には… )   

　$AB,CD$ の垂直二等分線の交点を $P$ とする．三辺相等より，$\triangle{PAC}\equiv\triangle{PBD}$ であり，$AC\perp BD$ より，$\triangle{PBD}$ は $\triangle{PAC}$ を $P$ を中心に $90^{\circ}$ 回転したものなので，$\angle{APB}=\angle{CPD}=90^{\circ}$ となり，$\triangle{PAB},\triangle{PCD}$ は直角二等辺三角形となる．  
　よって，$\angle{B}+\angle{C}=120^{\circ}$ より，角を追うと，$\angle{BPC}=150^{\circ},\angle{APD}=30^{\ciirc}$ となるので，求める面積は $$\triangle{PAB}+\triangle{PBC}+\triangle{PCD}+\triangle{PDA}=4+\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{61}{4}$$
回転の中心を考える
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　凸四角形 $ABCD$ の二本の対角線は長さが等しく，垂直に交わります．
$$AB=4, \quad CD=5,  \quad \angle B +  \angle C = 120^{\circ}$$
をみたすとき，四角形 $ABCD$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せます．$a+b$ を解答してください．