　$2$ 回用いる文字が $2$ 個あるか, $3$ 回用いる文字が $1$ 個あるかのいずれかである.\
　前者のとき, 例えば $A,A,C,C,G,N$ の並び替えは $6\times5\times_4\mathrm{C}_2=180$ 通りであり, $2$ 回用いる文字の選び方が $_4\mathrm{C}_2=6$ 通りであるので, 全体では $180\times6=1080$通りである.\
　後者のとき, 例えば $A,A,A,C,G,N$ の並び替えは $6\times5\times4=120$ 通りであり, $3$ 回用いる文字の選び方が $4$ 通りであるので, 全体では $120\times4=480$ 通りである.\
　以上より, 求める場合の数は $1080+480=\textbf{1560}$ 通りである.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1699
　包除原理より，求める場合の数は $4^6-4\times3^6+6\times2^6-4=\textbf{1560}$
包除原理
https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1699/121
　$A,C,G,N$ を横一列に計 $6$ 個並べてできる文字列はいくつありますか？\
　ただし, どのアルファベットも少なくとも $1$ 回は用いるものとします.