　 $\omega$ は $x^3=1$ の解であるので $\omega^3=1$ を満たし， $(\omega^2)^3=\omega^6=1$ より， $\omega^2$ も $1$ の三乗根であるとわかる．$\omega \neq \omega^2$ より，
 $$
a^3-b^3=(a-b)(a-b\omega)(a-b\omega^2)
 $$
と因数分解できるので，以下のようにして値が求まる．
 $$
\begin{aligned}
\prod_{k=1}^{5} (17-2\omega^k) 
&= (17-2\omega)(17-2\omega^2)(17-2\omega^3)(17-2\omega^4)(17-2\omega^5) \\\\
&= \frac{1}{15} \cdot \left( (17-2)(17-2\omega)(17-2\omega^2) \right)^2 \\\\
&= \frac{1}{15} \cdot (17^3-2^3)^2\\\\
& =\mathbf{1603935}
\end{aligned}
 $$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/11338
　与式を少し変形して，式 $15 \\{ (17-2\omega)(17-2\omega ^2) \\}^2$ の値を求めたい．\
　$\omega+\omega ^2=-1$ より，
$$(17-2\omega)(17-2\omega ^2)=289-34(\omega + \omega ^2)+4=327$$
　よって，求めるべき値は $15×327^2=\mathbf{1603935}$．

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補足：$\omega+\omega ^2=-1$ の求め方については，例えば以下のような方針があり得る．
- $\omega^3-1=0$ から因数分解をする．$\omega \neq 1$ より $\omega ^2 + \omega +1=0$ すなわち $\omega+\omega ^2=-1$ を得る．
- $\omega ^2$ を求めて，実際に $\omega+ \omega^2$ を計算する．
a^3-b^3 の因数分解を使わない方針
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/11338/729
　 $i$ を虚数単位とします．$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ としたとき，次の値は正の整数となるので，その値を求めてください．
$$
(17-2\omega)(17-2\omega^2)(17-2\omega^3)(17-2\omega^4)(17-2\omega^5)
 $$