　$v_{2}(n)v_{3}(n)$ は次のように言いかえられる：

- $n$ を割り切る $2$ 以上の $2$ べき $2^a$ と $3$ 以上の $3$ べき $3^b$ のペア $(2^a,3^b)$ の個数．

$(2^a,3^b)$ を固定したとき，双方で割れる（すなわち $2^a3^b$ で割れる）$3^6+1\leq N \leq 3^7$ の個数は，
$$ \left \lfloor \dfrac{3^7}{2^{a}3^{b}} \right \rfloor - \left \lfloor \dfrac{3^6}{2^{a}3^{b}} \right \rfloor.$$
で与えられるから，すべての $(a, b)$ に対してこれの総和をとればよい．
$$ \left ( \sum_{a = 1}^{\infty} \left \lfloor \dfrac{3^6}{2^{a}} \right \rfloor + \sum_{a = 1}^{\infty} \left \lfloor \dfrac{3^5}{2^{a}} \right \rfloor + \cdots + \sum_{a = 1}^{\infty} \left \lfloor \dfrac{1}{2^{a}} \right \rfloor \right ) - \left ( \sum_{a = 1}^{\infty} \left \lfloor \dfrac{3^5}{2^{a}} \right \rfloor + \sum_{a = 1}^{\infty} \left \lfloor \dfrac{3^4}{2^{a}} \right \rfloor + \cdots + \sum_{a = 1}^{\infty} \left \lfloor \dfrac{1}{2^{a}} \right \rfloor \right )$$
と変形することで，$\displaystyle \sum_{a = 1}^{\infty} \left \lfloor \dfrac{3^6}{2^{a}} \right \rfloor = \mathbf{723}$  と求められる．なお，最後の総和は $v_2(3^6!)$ に等しく，これは $3^6$ から $3^6$ の二進法表記での桁和を減じることで求められることが知られている．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/9335
　一般に，相異なる素数 $p,q$ および非負整数 $n$ に対して
$$\sum_{N=p^n+1}^{p^{n+1}}v_p(N)v_q(N)=v_q(p^n!)$$
が成り立つことを $n$ に関する数学的帰納法で示そう．

- $n=0$ のときは両辺とも値は $0$ となり等式が成立する．
- ある非負整数 $n$ で等式が成立すると仮定する．$p\nmid N$ のとき $v_p(N)=0$ であることに注意すると，
$$\begin{aligned}
\sum_{N=p^{n+1}+1}^{p^{n+2}}v_p(N)v_q(N)&=\sum_{N=p^{n}+1}^{p^{n+1}}v_p(pN)v_q(pN)\\\\
&=\sum_{N=p^{n}+1}^{p^{n+1}}(v_p(N)+1)v_q(N)\\\\
&=\sum_{N=p^{n}+1}^{p^{n+1}}v_p(N)v_q(N)+\sum_{N=p^{n}+1}^{p^{n+1}}v_q(N)\\\\
&=v_q(p^n!)+v_q\Big(\frac{p^{n+1}!}{p^n!}\Big)\\\\
&=v_q(p^{n+1}!)
\end{aligned}$$
より，$n+1$ のときも等式が成立する．

よって示された．\
　特に本問は $p=3,q=2,n=6$ の場合である．
なぜv_2(3^6!)に等しいか？
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/9335/558
$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{3^7} v_2(n) v_3(n) &= \sum_{n=1}^{3^6} (v_2(3n-2) v_3(3n-2) + v_2(3n-1)v_3(3n-1) + v_2(3n) v_3(3n))\\\\
&= \sum_{n=1}^{3^6} (0 + 0 + v_2(n) (v_3(n) + 1))\\\\
&= \sum_{n=1}^{3^6} v_2(n) v_3(n) + \sum_{n =1}^{3^6} v_2(n)
\end{aligned}$$
より
$$\begin{aligned}
\sum_{n= 3^6 + 1}^{3^7} v_2(n) v_3(n) &= \sum_{n=1}^{3^6} v_2(n)\\\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \left( \left\lfloor \frac{3^6}{2^k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{3^6}{2^{k+1}} \right\rfloor \right) \times k\\\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{3^6}{2^k} \right\rfloor\\\\
&= \bf{723}
\end{aligned}$$
となる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/9335/563
　正整数 $n$ が素数 $p$ で割り切れる最大の回数を $v_{p}(n)$ で表すとき，
$$\displaystyle \sum_{n = 3^6+1}^{3^7} v_{2}(n)v_{3}(n)$$
を求めてください．