　ある既約分数 $\dfrac{p}{q}$ が有限小数であるとき，$q$ は $2,5$ 以外の素因数を持たないことに注意する.\
　$m,n$ の素因数分解に現れる $5$ 以外の奇素数を，適当に $p_1,p_2,\cdots$ とする．このとき
$$m=5^s p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots,\quad n=5^t p_1^{b_1} p_2^{b_2}\cdots$$
と表せば，$s,t$ の少なくとも一方は $0$ である．ここで，$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{m+n}{mn}$ が有限小数となるには
$$(m+n\ が\ p_i\ で割り切れる回数)\geq (mn\ が\ p_i\ で割り切れる回数)$$
がすべての $i$ に対して成り立てばよい．$a_i\neq b_i$ のとき，上式は
$$\min \\{a_i,b_i\\}\geq a_i +b_i$$
となり，これは明らかに成り立たない．したがって，任意の $i$ について $a_i=b_i$ であるから，$m\lt n\lt 1000m$ より $s=0$ および $t=1,2,3,4$ である．このとき,
$$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{m+n}{mn}=\dfrac{(5^t+1)m}{5^tm^2}=\dfrac{5^t+1}{5^t}\times\dfrac{1}{m}$$
したがって，$m$ が $5^t+1$ の約数であればよい．$t=1,2,3,4$ に対し，それぞれ
$$5^1+1=2\times3,\quad 5^2+1=2\times13,\quad 5^3+1=2\times3^2\times 7,\quad 5^4+1=2\times313$$
であるから， 解答は $13+(1+3+3^2)\times (1+7)+313=\textbf{430}$ である．$3$ の重複に注意せよ.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc135/editorial/2504
　正の**奇数**の組 $(m,n)$ が以下の条件をすべてみたします．
- $m\lt n\lt 1000m$．
- $m$ と $n$ の少なくとも一方は $5$ で割り切れない．
- $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$ は（十進法表記で）有限小数として表現できる．

このとき，$m$ としてありうる値の総和を求めてください．