　$AC = x$ とし, $AC$ から点 $B, D$ への距離をそれぞれ $y, z$ とする.
$x, y$ を固定したとき, $S(ABC) = \displaystyle\frac{xy}2$ であり,
$AB^2 + BC^2$ は $AB = BC$ のときに最小値 $\displaystyle \frac{x^2}2 + 2y^2$ をとる.
実際, $H$ を $B$ から $AC$ に下ろした垂線の足とすると,
三平方の定理から
$AB^2 + BC^2 = 2y^2 + AH^2 + CH^2$ がわかり,
この右辺は $AH = CH = \displaystyle\frac{x}2$ のときに最小化されるのでよい.
$D$ についても同様なので, $K$ は不等式
$$
     x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge k\biggl( \frac{3xy}2 + \frac{5xz}2 \biggr)
$$
を満たす最大の $k$ であることがわかる.
相加・相乗平均の不等式を使うことで,
$$
    x^2 + 2y^2 + 2z^2 = \biggl(\frac{9x^2}{34} + 2y^2\biggr) +
    \biggl(\frac{25x^2}{34} + 2z^2\biggr)
    \ge \frac{6xy}{\sqrt{17}} + \frac{10xz}{\sqrt{17}}
$$
が得られ, 実際に $y = \displaystyle \frac{3x}{2\sqrt{17}}$,
$z = \displaystyle \frac{5x}{2\sqrt{17}}$ のときに等号が成立する.
したがって, $K = \displaystyle\frac4{\sqrt{17}}$ であり, 解答は $\bm{33}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc106/editorial/3733
※幾何的な工夫を必要としない，不等式でゴリ押しする解法です

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　$AB = a,\\, BC = b,\\, CD = c,\\, DA = d,\\, AC = x$ とおく．このとき Heron の公式を用いるか，または以下のような，第二余弦定理を用いた式変形によって
$$ S(ABC) = \frac{ab}2 \sin B = \frac{ab}2 \sqrt{1 - \cos^2 B} = \frac{ab}2\sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - x^2}{2ab}\right)^2} = \frac12\sqrt{(ab)^2-\left(\frac{a^2 + b^2 - x^2}2\right)^2} $$
となり，同様に
$$ S(ACD) = \frac12\sqrt{(cd)^2-\left(\frac{c^2 + d^2 - x^2}2\right)^2}. $$
　したがって
$$\begin{aligned}
\frac{AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2}{3S(ABC) + 5S(CDA)} &= \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{\frac32\sqrt{(ab)^2-\left(\frac{a^2 + b^2 - x^2}2\right)^2} + \frac52\sqrt{(cd)^2-\left(\frac{c^2 + d^2 - x^2}2\right)^2}} \\\\
&\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\:\stackrel{\smash{\text{AM-GM}}}\ge\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\: \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{\frac32\sqrt{\left(\frac{a^2 + b^2}2\right)^2-\left(\frac{a^2 + b^2 - x^2}2\right)^2} + \frac52\sqrt{\left(\frac{c^2 + d^2}2\right)^2-\left(\frac{c^2 + d^2 - x^2}2\right)^2}} \\\\
&= \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{\frac32\sqrt{\frac{x^2}2 \left(a^2 + b^2 - \frac{x^2}2\right)} + \frac52\sqrt{\frac{x^2}2 \left(c^2 + d^2 - \frac{x^2}2\right)}} \\\\
&= \frac1{\frac32\sqrt{X \left(P - X\right)} + \frac52\sqrt{X \left(1 - P - X\right)}} \\\\
&= \frac2{\sqrt{34}} \left(\frac{\left(3\sqrt{X \left(P - X\right)} + 5\sqrt{X \left(1 - P - X\right)}\right)^2}{3^2 + 5^2}\right)^{-\frac12} \\\\
&\\!\\!\\;\stackrel{\text{CS}}\ge\\!\\!\\; \sqrt{\frac2{17}} \left(\frac{3^2\\, X \left(P - X\right)}{3^2} + \frac{5^2\\, X \left(1 - P - X\right)}{5^2}\right)^{-\frac12} \\\\
&= \sqrt{\frac2{17}} \times \frac1{\sqrt{X \left(1 - 2X\right)}} = \frac1{\sqrt{17X \left(\frac12 - X\right)}} \\\\
&\ge \frac1{\sqrt{17 \left(\frac14\right)^2}} = \sqrt{\frac{16}{17}}.
\end{aligned}$$
ただし
$$P \coloneqq \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2},\qquad X \coloneqq \frac{x^2}{2 \left(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\right)}. $$
このとき，各不等式の等号成立条件：
$$ a = b\quad \text{and}\quad c = d,\qquad \frac19 \left(P - X\right) = \frac1{25} \left(1 - P - X\right) \iff P = \frac9{34},\qquad X = \frac14 $$
は与えられた図で実現可能であるから， $K = \sqrt{\dfrac{16}{17}}$ が分かり，答えは $\textbf{33}$．
不等式でゴリ押せ！
https://onlinemathcontest.com/contests/omc106/editorial/3733/93
　平面上の任意の四角形 $ABCD$（凸とは限らない）に対して，
$$ AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 \geq k(3S(ABC) + 5S(ACD)) $$
をみたすような実数 $k$ としてあり得る最大の値を $K$ とします．このとき，互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $K = \displaystyle\sqrt{\frac{a}b}$ と表せるので，$a + b$ を解答してください．\
　ただし，平面上の三角形 $XYZ$ に対して，$S(XYZ)$ でその面積を表します．