　問題文中にある $2255222255255552$ を $A$ とおく．$A$ の下 $m$ 桁 $(1\leq m\leq 15)$ からなる整数は $2^m$ の倍数なので，$m+1$ 桁以上の整数で下 $m$ 桁が $A$ と一致し $m+1$ 桁目が異なるものは $2$ でちょうど $m$ 回割ることができる（$m=0$ でも意味を持つが，それはすなわち奇数であるという意味なので，考慮しなくてよい）．
$m+1$ 桁以上 $16$ 桁以下の整数で下 $m$ 桁が $A$ と一致し $m+1$ 桁目が異なる整数は $2^{16-m}-1$ 個あるので，これらの積が $2$ で割れる回数は $\sum_{m=1}^{15} m(2^{16-m}-1)$ で表される．\
　$A$ の下 $m$ 桁からなる整数が $2$ で割れる回数は，$A$ の $1$ 桁目から $k$ 桁目と $m+1$ 桁目から $m+k$ 桁目が一致するような $k$ の最大値 $f(m)$ を用いて $m+f(m)$ 回となる（$1$ 桁目と $m+1$ 桁目が異なる場合は $f(m)=0$ とする）．実際に計算すれば，$f(5)=f(11)=3, f(8)=f(9)=f(10)=f(14)=f(15)=1$ で，他は全て $0$ である．\
　上記と $A$ で $2$ と $5$ からなる $16$ 桁以下の正の整数は網羅されるので，求める値は
$$\sum_{m=1}^{15} \big( m(2^{16-m}-1)+m+f(m)\big)+17=\sum_{m=1}^{15}(m×2^{16-m}) +28=(2^{17}-34)+28=\mathbf{131066}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc222/editorial/9299
　各桁が $2$ または $5$ である $16$ 桁以下の正整数のうち，$2$ で割り切れる回数が最も多いのは
$$2255222255255552$$
のただ一つで，これは $2$ で最大 $17$ 回割り切ることができます．\
　各桁の数が $2$ または $5$ からなる $16$ 桁以下の正整数すべての積を $N$ としたとき，$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．