　$AB$ の長さを $171.4x$ とおく. また, 与式の左辺を $f(P)$ とおく.\
　$\triangle ABC-P$ が整数となる点 $P$ が存在するような $171$ 面で正四面体を分割する. 同様に, 他 $3$ 面に沿ってさらに分割すると, $P$ が同じ領域にあれば $f(P)$ は一定であり, 面を跨げば値がちょうど $1$ 変化する.\
　一例として, 以下に $\triangle ABC-P$ がそれぞれ $167+\delta,168-\delta$ であるような面での断面を提示する. 点 $P$ が赤, 青, 黄, 緑の領域にあるとき, それぞれ $f(P)$ の値は $171,170,169,168$ である. 特に黄色の各領域は, 一辺 $1.6x$ の正四面体から一辺 $0.6x$ の正四面体 $4$ つを取り除いた立体であり, 体積は $404\/3672245$ である. 
![figure 1](\/images\/34GbDD0G9QDH1vVab0H2mOibe8XiEs0w7T3FicyI)
　これが $\_{172}{\rm C}\_{3}=833340$ 個存在するから, 黄色全体での体積は $\dfrac{67333872}{734449}$ で, 求める値は $\textbf{68068321}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc015/editorial/99
　正四面体 $ABC-D$ があり, その体積は $171.4$ です.\
　$\triangle WXY-Z$ で四面体 $WXY-Z$ の体積を表し, $\lfloor x\rfloor$ で $x$ を超えない最大の整数を表すとき,
$$\lfloor \triangle ABC-P\rfloor +\lfloor \triangle ABD-P\rfloor +\lfloor \triangle ACD-P\rfloor +\lfloor \triangle BCD-P\rfloor =169$$
なる正四面体の内部の点 $P$ が存在し得る領域の体積を求めてください.\
　ただし, 求める体積は最大公約数が $1$ である正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.