　$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ および $T_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} S_{k}$ とする．$\\{a_{n}\\}$ の漸化式は
$$
a_{n+1} =\frac{n^{3}+4n^{2}+6n+3}{n^{2}+n+1}a_{n}
=\frac{(n+1)(n^{2}+3n+3)}{n^{2}+n+1}a_{n}
$$
より，これを変形して
$$
\frac{1}{(n+1)^2 + (n+1) + 1} \cdot \frac{a_{n+1}}{(n+1)!}  = \frac{1}{n^{2}+n+1} \cdot \frac{a_n}{n!}
$$
を得るから，この値は $n$ によらず一定で，
$$ \frac{1}{1^{2}+1+1} \cdot \frac{a_1}{1!} = 1 $$
に等しい．したがって一般項
$$a_{n}=(n^2+n+1)\cdot n!$$
を得る．これは
$$ a_n = (n+1) \cdot (n+1)!-n\cdot n! $$
と変形できるため，$S_{n}=(n+1) \cdot (n+1)!-1$ である．さらに，これは
$$S_n = (n+2)!-(n+1)!-1$$
と変形できるため，$T = 2026! - 2026$ を得る．$2026!$ は 末尾に $0$ が $505$ 個並ぶ整数であり，そこから $2026$ を引くと，下 $4$ 桁は $7974$ になり，下 $5$ 桁目から $100$ 桁目までは $9$ が並ぶ．したがって，$T$ の下 $100$ 桁は

$$\underbrace{99 \cdots 99}_{96\text{個}} 7974 $$

となり，この範囲の各位の和は

$$ 9 \cdot 96 + 7 + 9 + 7 + 4 = \mathbf{891}$$ 

と計算される．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12661
　実数列 $\\{a_{n}\\}\_{n=1,2,\ldots}$ を $a_1 = 3$ および
$$a_{n+1}=\dfrac{n^3+4n^2+6n+3}{n^2+n+1}a_{n} \quad (n= 1, 2, 3, \ldots) $$
によって定めます．このとき，
$$T = \sum_{n=1}^{2024} \sum_{k=1}^{n}a_{k}$$ 
は $100$ 桁以上の正の整数となるので，$T$ の下 $100$ 桁の各位の和を解答してください．

<details><summary>解答形式の例<\/summary>
　たとえば，$1234567890$ の下 $4$ 桁の各位の和は，
$$7+8+9+0=24$$
により $24$ になります．
<\/details>