　$N=1$ の寄与は明らかであるから, 以下 $N\geq 2$ であるとする. まず固定された $\sigma\in S_N$ について $\prod$ の中身を考える. $3$ を底とした対数をとれば, 結局 $\textrm{inv}(\tau)$ の総和を考えればよく, これは各組 $1\leq i\lt j\leq N$ の寄与を考えることで計算できる. 具体的には, これらをともに含む $\tau$ は $2^{N-2}$ 個あり, $\sigma(i)\gt\sigma(j)$ であるときのみ勘定されるから, 
$$\sum_{\tau\subseteq \sigma}\textrm{inv}(\tau)=2^{N-2}\textrm{inv}(\sigma)$$
さらに, 長さが $N$ の順列であって転倒数が $k$ であるものの総数は
$$1 \times (1+x)\times (1+x+x^2)\times \cdots \times (1+x+\cdots+x^{N-1})$$
の $x^k$ の係数に一致することが容易にわかるから, 総積で $N$ が関わる部分 $F(N)$ について
$$F(N)=\sum_{\sigma \in S_N}3^{2^{N-2}\textrm{inv}(\sigma)}=\prod_{k=1}^{N}\left(\sum_{i=0}^{k-1}3^{2^{N-2}\times i}\right)=\prod_{k=1}^{N}\left(\left(3^{2^{N-2}k}-1\right)\left(3^{2^{N-2}}-1\right)^{-1}\right)$$
よって, $K$ が $2$ で割り切れる最大回数を $v_2(K)$ とおくと,
$$v_2(F(N))=\sum_{k=1}^{N}\left(v_2(3^{2^{N-2}k}-1)-v_2(3^{2^{N-2}}-1)\right)$$
ここで, 偶数 $m$ について $v_2(3^m-1)=v_2(m)+2$ であることに注意すると, $N\geq 3$ のとき
$$v_2(F(N))=\sum_{k=1}^{N}\Bigl(\bigl((N-2)+v_2(k)+2\bigr)-\bigl((N-2)+2\bigr)\Bigr)=\sum_{k=1}^{N}v_2(k)=v_2(N!)$$
$v_2(F(1))=v_2(1!)$ および $v_2(F(2))=v_2(2!)+1$ と併せれば
$$v_2(X)=1+\sum_{N=1}^{2^{2021}-1}v_2(N!)=1+\sum_{N=1}^{2^{2021}-1}\bigl(N-\mathrm{popcount}(N)\bigr)$$
ここで $\mathrm{popcount}(N)$ は  $N$ を二進法で表記したときの各桁の和である. 以上より, $2017$ を法として
$$\begin{aligned}
v_2(X) &= 1+(2^{2021}-1)\times 2^{2020}-2021\times 2^{2020} \\\\
&\equiv 1+(2^5-1)\times2^4-4\times2^4 \\\\
&\equiv \textbf{433}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/editorial/2193
https:\/\/youtu.be\/ZbBoBYZnNJg
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/editorial/2193/102
　以下で定まる $X$ について, 「$2$ で割り切れる最大回数」を素数 $2017$ で割った余りを求めてください.

$$X=\prod_{N=1}^{2^{2021}-1}\sum_{\sigma \in S_N}\prod_{\tau\subseteq \sigma}3^{\textrm{inv}(\tau)}$$
ただし, それぞれの記号の定義は以下の通りです.

- 正の整数 $N$ に対し, $S_N$ は $1$ から $N$ までがちょうど一つずつ現れる数列 $N!$ 個全体の集合である.
- $\tau\subseteq \sigma$ の総積とは, $\tau$ が $\sigma$ の**連続するとは限らない**部分列 $2^{N}$ 個すべてを走るときの総積である. 例えば, 数列 $(1,2,3)$ の部分列は $(),(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)$ の $8$ つである.
- $\textrm{inv}(\tau)$ は数列 $\tau$ の転倒数である. ここで, (重複する要素を含まない) 数列 $a_1,\ldots,a_n$ の**転倒数**とは, $i\lt j$ かつ $a_i\gt a_j$なる組 $(i,j)$ の総数のことであり, また空数列の転倒数は $0$ であるとする.