　与式の値は
$$\begin{aligned}
1+ \sum_{k=0}^{100}\left(\sum_{m=1}^{90}{}\_{101}\mathrm{C}\_{k}m^k\right)&=1+\sum_{m=1}^{90} \left(\sum_{k=0}^{101}{}\_{101}\mathrm{C}\_{k}m^k\right) -\left(1^{101}+\cdots +90^{101}\right) \\\\
&=1+\sum_{m=1}^{90} (m+1)^{101} -\left(1^{101}+\cdots +90^{101}\right) \\\\
&=91^{101}=7^{101}\times 13^{101}
\end{aligned}$$
である. したがって解答は $7+101+13+101=\bf{222}$ となる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc131/editorial/3163
　非負整数 $n$ に対し, $a_n$ を以下で定めます.
$$a_n=1^n+2^n+\cdots +89^n+90^n$$
このとき, 以下の値を素因数分解すると $a^b\times c^d$ と表せるので, $a+b+c+d$ を解答してください.
$$1+{}\_{101}\mathrm{C}\_{0}\cdot a_0+{}\_{101}\mathrm{C}\_{1}\cdot a_1+\cdots +{}\_{101}\mathrm{C}\_{99}\cdot a_{99}+{}\_{101}\mathrm{C}\_{100}\cdot a_{100}$$