　正整数 $m$ と $2$ 以上の整数 $n$ を用いて $x = m + \dfrac{1}{n}$ と表される実数 $x$ について，$\lfloor x \rfloor = m$，$\lceil x \rceil = m + 1$ であることから 
$$f(x) = m + \frac{1}{2n}，g(x) = m + 1 + \frac{1}{n - 1}$$
が成り立つ．そこで $xy$ 平面における格子点から格子点への関数 $F, G$ を
$$F((m, n)) = (m, 2n)，G((m, n)) = (m + 1, n - 1)$$
と定める．正整数 $m, n$ に対する $x = m + \dfrac{1}{n}$ を格子点 $(m, n)$ と対応付け，$f, g$ の適用をそれぞれ格子点に対する $F, G$ の適用と見なそう．$\dfrac{11}{10} = 1 + \dfrac{1}{10}, 1110 = 1109 + \dfrac{1}{1}$ はそれぞれ $(1, 10), (1109, 1)$ と対応付けられるので，次のようなことが起こり得る $N$ について考えればよい．
- $xy$ 平面上の点 $P$ は最初 $(1, 10)$ にあるとする．$P$ を $F(P)$ か $G(P)$ のどちらかに移す操作を繰り返したとき，$N$ 回目の操作を終えた時点で $P$ の $y$ 座標が初めて $1$ となり，かつそのときの $P$ の座標は $(1109, 1)$ である．

　$(1, 10)$ が $(1109, 1)$ に移るまでに必要な $G$ の適用回数は $1108$ 回と決まるので，$F$ を適用する回数を $M$ として，$M$ のとり得る最大値・最小値を求めよう．$G$ で格子点を移したとき，$x, y$ 座標の和は不変であり $y$ 座標は移す前よりも小さくなることに注意すれば
$$1 + 10 \times 2^M \geq 1110$$
が得られる（すなわち，$F$ により $x, y$ 座標の和をなるべく大きくしたければ，$y$ 座標が最大のときに $F$ を適用するのが最善であると考えよ）．また，$y$ 座標が $2$ 以上の範囲にいる限りは $F$ により $x, y$ 座標の和が少なくとも $2$ は増加するので，これより
$$11 + 2M \leq 1110$$
が従う．よって，$7 \leq M \leq 549$ が得られる．\
　一方で，$F, G$ の適用手順であって $M = 7$ なるもの，および $M = 549$ なるものの存在を示すことができる．以上より，$N = 1108 + M$ のとり得る最大値・最小値はそれぞれ $1115, 1657$ であるので，特に解答すべき値は $1115 \times 1657 = \mathbf{1847555}$ である．

<details><summary> $M = 7$ なる適用手順の例 <\/summary>
　以下の手順で適用すればよい．

**手順 1.**　$F$ を $6$ 回適用し，$(1, 10) \rightarrow (1, 640)$ とする．\
**手順 2.**　$G$ を $171$ 回適用し，$(1, 640) \rightarrow (172, 469)$ とする．\
**手順 3.**　$F$ を $1$ 回適用し，$(172, 469) \rightarrow (172, 938)$ とする．\
**手順 4.**　$G$ を $937$ 回適用し，$(172, 938) \rightarrow (1109, 1)$ とする．
<\/details>

<details><summary> $M = 549$ なる適用手順の例 <\/summary>
　以下の手順で適用すればよい．

**手順 1.**　$G$ を $7$ 回適用し，$(1, 10) \rightarrow (8, 3)$ とする．\
**手順 2.**　$F$ を $1$ 回適用し，$(8, 3) \rightarrow (8, 6)$ とする．\
**手順 3.**　$G$ を $4$ 回適用し，$(8, 6) \rightarrow (12, 2)$ とする．\
**手順 4.**　「$F$ を $1$ 回，$G$ を $2$ 回」の順で適用する操作を $548$ 回繰り返し，$(12, 2) \rightarrow (1108, 2)$ とする．\
**手順 5.**　$G$ を $1$ 回適用し，$(1108, 2) \rightarrow (1109, 1)$ とする．

<\/details>
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc202/editorial/7830
　実数 $x$ に対し，$x$ 以下で最大の整数を $\lfloor x \rfloor$，$x$ 以上で最小の整数を $\lceil x \rceil$ と表します．また，関数 $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ と，$g\colon \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ を，それぞれ以下のように定義します：
$$f(x) = \frac{x + \lfloor x \rfloor}{2}, \quad g(x) = \lfloor x \rfloor + \frac{1}{\lceil x \rceil - x}$$

ここで正整数 $N$ を定めたところ，長さ $N + 1$ の実数列 $(a_0, a_1, \ldots, a_N)$ であって，以下 $3$ 条件をすべてみたすものが存在しました：
- $a_0 = \dfrac{11}{10}$ かつ $a_N = 1110$ である．
- $a_1, \ldots, a_{N-1}$ は，いずれも整数でない．
- 任意の $1$ 以上 $N$ 以下の整数 $n$ について，$a_n = f(a_{n - 1})$ または $a_n = g(a_{n - 1})$ が成り立つ．

このような $N$ のとりうる最大値と最小値の積を解答してください．