　任意の正整数 $m,n$ について $m^n\equiv m \pmod2$ が成り立つので $a,b$ の偶奇は一致することに注意する．以下，合同式はすべて $8$ を法として考える．
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$(1)$　$a,b$ が奇数のとき

　$1^2\equiv 3^2\equiv 5^2\equiv 7^2\equiv 1$ より，$a^2\equiv 1$ なので $a^b\equiv a^1\equiv a$ で，同様に $b^a\equiv b$ である．よって，
$$a^b\equiv b^a\iff a\equiv b$$
　$1$ 以上 $100$ 以下で，$8$ で割って $1,3,5,7$ 余るものはそれぞれ $13,13,12,12$ 個ある．よって求める組の個数は
$$2\times {}\_{13}\mathrm{C}\_{2}+2\times {}\_{12}\mathrm{C}\_{2}=288.$$
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$(2)$　$a,b$ が偶数，かつ $a\geq 4$ のとき

　$a^b,b^a$ はともに $2^3$ で割り切れる．すなわち $a^b\equiv b^a\equiv 0$ であるから，求める組の個数は
$${}\_{49}\mathrm{C}\_{2}=1176.$$
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$(3)$　$a,b$ が偶数，かつ $a=2$ のとき

　$b\gt 3$ から $a^b\equiv 0$ である．一方で, $b^2=b^a\equiv 0 \iff 4\mid b$ より，求める個数は $25$ とわかる．
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　以上より，全体で求める個数は $288+1176+25={\bf 1489}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/3251
　$a^b\equiv b^a\pmod 8$ かつ $1\leq a\lt b\leq 100$ を満たす整数の組 $(a,b)$ はいくつありますか？