　$ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)$ と因数分解されることに留意せよ. ある非負整数 $n$ を $2$ つの非負整数の和に分解する方法は $n+1$ 通りあるから, すべての $1000$ の正の約数 $t$ について
$$(t+1)\left(\frac{1000}{t}+1\right)=t+\dfrac{1000}{t}+1001$$
の総和を求めればよい. $1000=2^3\times5^3$ は正の約数を $16$ 個もち, それらの総和は $2340$ であるから, これは
$$2340\times 2+1001\times 16=\textbf{20696}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1434
　$ab+bc+cd+da=1000$ なる非負整数の組 $(a,b,c,d)$ はいくつありますか？