　$N$ を $k$ 進数表記した際に末尾に $0$ がちょうど $(n-k+1)$ 個並ぶことは，$N$ が $k$ で最大 $(n-k+1)$ 回割り切れると言い換えられる．同一の $N$ については条件をみたす $n$ は高々 $1$ 個であることに注意する．\
　$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数 $v_2(N)$ は，$k=2$ を考えれば $v_2(N)=n-1$．一方で，$n\geq4$ のとき $k=4$ を考えれば $v_2(N)=2(n-3)$ または $v_2(N)=2(n-3)+1$ である．これらが一致することから，$n\leq 5$ について考えれば十分とわかる．以下 $m_i$ で $i$ と互いに素な整数を表す．
- $n=2$ で条件を満たすのは，$N=2\times m_2$ と表される $2500$ 個．
- $n=3$ で条件を満たすのは，$N=2^2\times3\times m_6$ と表される $278$ 個．
- $n=4$ で条件を満たすのは，$N=2^3\times3^2\times m_6$ と表される $46$ 個．
- $n=5$ で条件を満たすのは，$N=2^4\times3^3\times5\times m_{30}$ と表される $1$ 個．

　以上を合計すれば，解答すべき値は $\bf{2825}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc136/editorial/3277
　次の条件を満たす $2$ 以上の整数 $n$ が存在するような，$10000$ 以下の正整数 $N$ は何個ありますか？
- $2\leq k \leq n$ なる任意の整数 $k$ について，$N$ を $k$ 進法で表記すると末尾に $0$ がちょうど $(n-k+1)$ 個並ぶ．