　実数 $x$ において，$\lfloor x \rfloor \lt x$ をみたすことは $x$ が整数でないことと同値であり，また $x \lt |x|$ をみたすことは $x \lt 0$ と同値である．よって，$f(n)$ が整数でない負の数となればよく，これは下記 $2$ 条件を同時にみたすことと言い換えられる．
- $2n \lt 12345$
- $2n - 12345$ は $1110$ を割り切らない．

$1$ 番目の条件をみたす $n$ は $n = 1, ... ,6172$ である．$n$ をこの範囲で動かしたとき，$2n - 12345$ は $-12343$ 以上の負の奇数全体を $1$ 回ずつ網羅する．一方で $1110$ を割り切る負の奇数は全部で $8$ 個存在する（$1110 = 2 \times 3 \times 5 \times 37$ なので $3 \times 5 \times 37$ の約数を考えればよい）．これら $8$ 個は先ほど網羅した奇数に含まれるので，結局 $n = 1, ..., 6172$ のうち $2$ 番目の条件をみたさないものは $8$ 個含まれる．ゆえに求める個数は
$$6172 - 8 = \mathbf{6164}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb026/editorial/11904
　正整数 $n$ に対し有理数 $f(n)$ を次のように定めます：
$$f(n) = \frac{1110}{2n - 12345}$$
このとき，次の不等式をみたす正整数 $n$ の個数を求めて下さい．
$$\lfloor f(n) \rfloor \lt f(n) \lt |f(n)|$$