公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcnakamoto/editorial/180
作問: 中井　**解答ルールが通常のコンテストと異なります. 末尾をご確認ください.**

　下図のように，時，分，秒を表示するデジタル時計があり，$1$ 秒ごとに時刻を刻んでいます．このデジタル時計に書かれている数字の和を $X$ とおきます．たとえば下図の場合，$X=1+2+3+4+5+6=21$ となります．

　香澄はある日の $0$ 時 $0$ 分 $0$ 秒から始めて，$1$ 日間 $X$ の値を $1$ 秒ごとに，その日の $23$ 時 $59$ 分 $59$ 秒まで $86400$ 個足した値を求めようと思いました．この日の $\displaystyle 0$ 時 $\displaystyle 0$ 分 $\displaystyle 0$ 秒の時点で，この時計は $\displaystyle 24$ 時制で時刻を表示していました．

　しかし，ある時刻に変わる瞬間に時計の表示が $\displaystyle 24$ 時制から $\displaystyle 12$ 時制になってしまいました．ところが，上で定めた $X$ の総和は，$\displaystyle 1$ 日中 $\displaystyle 24$ 時制であったときのものと同じでした．

　このとき，時計が $\displaystyle 24$ 時制から $\displaystyle 12$ 時制に変わった直後の時刻として考えられる時刻をすべて求めてください. 解答は，求めた時刻を $\displaystyle 24$ 時制で表し，それを時→分→秒の順番で並べることで $5$ 桁または $\displaystyle 6$ 桁の整数とし (下図の場合 $\displaystyle 123456$)，得られたすべての時刻におけるその値の総和によって行ってください.

　なお，このデジタル時計は $\displaystyle 12$ 時制で時刻を刻むとき，午前と午後の $\displaystyle 12$ 時台はともに「$\displaystyle 0$ 時\_\_分\_\_秒」と表示するものとします．

![figure 1](\/images\/7dpL3lCzLwf95n4NCKI0nJm6aZn6DL63yfXW02D5) 

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 　中本杯の問題の答えはすべて整数値になるとは限りません. 答えが整数になった場合は, その整数をそのまま解答してください. 整数にならなかった場合は, 分母も分子も整数の分数で表せる値になっています. その場合, 答えをこれ以上約分できない仮分数で表し, 分子→分母をこの順で並べて $1$ つの整数のように解答してください. 

- 答えが $5$ であるとき, $5$ と解答する.
- 答えが $\dfrac{2}{3}$ であるとき, $23$ と解答する.
- 答えが $17\dfrac{1}{2}$ であるとき, $352$ と解答する.
- 答えが $1.375$ であるとき, $118$ と解答する.

　単位はつけず, 数値のみを解答してください. すい体の体積は, 同じ底面積と高さを持つ柱体の体積の $\displaystyle \frac{1}{3}$ 倍です.