　$M$ に関して $P$ と対称な点を $Q$ とすれば，四角形 $APCQ$ は平行四辺形である．よって，
$$\angle BQC = \angle APM = \angle MCB$$
であるから三角形 $BCM$ と三角形 $BQC$ は相似であり，$BC=AP=CQ$ より $BM = CM$ もわかる．ここで，$BM=x$ とおけば，先ほどの相似より，
$$x(2x-2)=70$$
が成り立つので，これを解いて $x=\dfrac{1+\sqrt{141}}{2}$ を得る．\
　ここで，$AM=CM=BM$ より $\angle{ABC} = 90^\circ$ であるので，三平方の定理から，
$$AB^2=(2x)^2-70= 72+2\sqrt{141}$$
である．特に，解答すべき値は $\bf{636}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb021/editorial/9301
　三角形 $ABC$ について，辺 $AC$ の中点を $M$ とし，線分 $BM$ 上に点 $P$ を取ると，
$$
AP=BC=\sqrt{70},\quad BP=2,\quad \angle{APM}=\angle{ACB}
$$
が成立しました．このとき，辺 $AB$ の長さの $2$ 乗の値を求めてください．ただし，求める答えは正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}+b$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．