　$a_{1997}$ は奇数であるから, 正整数$k$ を用いて $a_{1997} = 2k + 1$ と表すと,
$$a_{1998} = 3^{2k + 1} = 9^k \times 3 \equiv 3 \pmod 8$$
よって正整数 $l$ を用いて $a_{1998} = 8l + 3$ と表すと,
$$a_{1999} = 3^{8l + 3} = 81^{2l} \times 27 \equiv (-1)^{2l} \times 27 = 27 \pmod {82}$$
より答えは $\textbf{27}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc105/editorial/3279
【公式解説を一般化し, $n\geq2$ に対して $a_n \equiv 27 \pmod{82}$ であることを示す.】

$3^8\equiv1\pmod{82}$ より, $a_n\mod{8}$ について考える.
帰納的に $a_n$ は正の奇数であるから, 非負整数  $k_n$ を用いて, $a_n=2k_n+1$ と表せる.
よって, 
$$a_{n+1}=3^{2k_n+1}=9^{k_n} \times 3 \equiv 1^{k_n} \times 3 = 3 \pmod{8}$$
および $a_1=3\equiv3\pmod{8}$ より, $n \geq 1$ に対して $a_n \equiv 3\pmod{8}$.

よって, 非負整数  $l_n$ を用いて, $a_n=8l_n+3$ と表せる.
以上より,
$$a_{n+1}=3^{8l_n+3}=\left(3^8\right)^{l_n} \times 27 \equiv 1^{l_n} \times 27=27\pmod{82}$$
すなわち, $n\geq2$ に対して, $a_n \equiv 27 \pmod{82}$ である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc105/editorial/3279/91
　以下で定まる数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$ について，$a\_{1999}$ を $82$ で割った余りを求めて下さい．
$$a_1 = 3,\quad a_{n + 1} = 3^{a_n} \quad (n = 1,2,\ldots)$$
　