　与式を $S\_n$ とおくと $S\_1 = -1$．以下 $n\ge 2$ とする．  
　$s = r + k$ として
$$ S\_n = \sum\_{s=0}^ns^n\\, \sum\_{r=0}^s \left(-1\right)^r\left(s - r + 1\right) \binom nr. $$
また
$$ \sum\_{r=0}^s \left(-1\right)^r \binom nr = \sum\_{r=0}^s \left(\left(-1\right)^r \binom{n - 1}r - \left(-1\right)^{r-1} \binom{n - 1}{r - 1}\right) = \left(-1\right)^s \binom{n - 1}s, $$
$$ \sum\_{r=0}^s \left(-1\right)^r \left(s - r + 1\right) \binom nr = \sum\_{r=0}^s \sum\_{i=r}^s \left(-1\right)^r \binom nr = \sum\_{i=0}^s \sum\_{r=0}^i \left(-1\right)^r \binom nr = \left(-1\right)^s \binom{n - 2}s. $$
<details>
<summary>因みに<\/summary>

　同様の議論により，一般に
$$ \sum\_{r=0}^s \left(-1\right)^r \mathinner{\binom{s - r + m}m} \binom nr = \left(-1\right)^s \binom{n - m - 1}s $$
が成立する．
<\/details>

　よって
$$ \left(-1\right)^n S\_n = \sum\_{s=0}^n \left(-1\right)^{n+s} \mathinner{\binom{n - 2}s} s^n = \sum\_{s=0}^{n-2} \left(-1\right)^{n-s-2} \mathinner{\binom{n - 2}s} s^n $$ となるが，これは OMC008(F) 公式解説中の「補題」と同様に，$n$ 個のボールをちょうど $(n - 2)$ 色で塗り分ける場合の数に等しい．したがって
$$ \left(-1\right)^n S\_n = \binom{n - 2}2 \times \frac{n!}{(2!)^2} + \binom{n - 2}1 \times \frac{n!}{3!} = \frac{\left(n - 2\right) \left(3n - 5\right) n!}{24} $$
が分かり，特に $S\_2 = 0$．  
* $\rule[-8pt]{0pt}{0pt}3 \le n \le 16$ のとき  
　$n - 2,\\, 3n - 5 \gt 0$ は互いに素より，同時に $17$ の倍数にならず，常に $2023 \nmid S\_n$．  
* $\rule[-8pt]{0pt}{14pt}17 \le n \le 33$ のとき  
　$\color{red}{2023 \mid S\_n}$ と，$\color{red}{n - 2,\hspace{314705sp} 3n - 5\\ の一方が\\ 17\\ の倍数であること}$ は同値で，それは $n = 19, 30$．
* $\rule[-8pt]{0pt}{14pt}n \ge 34$ のとき  
　常に $2023 \mid S\_n$．

　ゆえに，求める総和は
$$ 1 + \mathord{\stackrel{\widehat 2,\\, \widehat{19},\\, \widehat{30}}{\cdots\cdots}} + 33 = \frac{34 \times 33}2 - 2 - 19 - 30 = \bm{510}. $$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9381
　次の値が $2023$ の倍数に**ならない**ような正整数 $n$ の総和を求めてください：
$$ \sum_{r=0}^n(-1)^r\mathinner{{}\_n\mathrm C\_r} \sum_{k=0}^{n-r} \left(k + 1\right) \left(k + r\right)^n\mathclose{}. $$