$$\dfrac{1}{S+E}=x,\quad \dfrac{1}{E+G}=y,\quad \dfrac{1}{G+S}=z$$
とおくと，方程式は以下のようになり，これを解くと $x=-6,y=3,z=2$ となる．
 $$
\begin{cases}
 2x+3y+5z=7 \\\\
 3x+5y+7z=11 \\\\
 5x+7y+11z=13 \\\\
\end{cases}
$$
よって，
$$S+E=-\frac{1}{6},\quad E+G=\frac{1}{3},\quad G+S=\frac{1}{2}$$
となり，辺々を足し合わせたのち $2$ 
 で割ることで $S+E+G=\dfrac{1}{3}$ となるので，解答すべき数値は $1+3=\textbf{4}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc115/editorial/5529
　以下をみたす実数 $S,E,G$ は一意に存在します．
$$
\begin{cases}
 \dfrac{2}{S+E}+\dfrac{3}{E+G}+\dfrac{5}{G+S}=7 \\\\
\\\\
 \dfrac{3}{S+E}+\dfrac{5}{E+G}+\dfrac{7}{G+S}=11 \\\\
\\\\
 \dfrac{5}{S+E}+\dfrac{7}{E+G}+\dfrac{11}{G+S}=13 \\\\
\end{cases}
$$
このとき，$S+E+G$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．