$$S_k=\sum_{i=4}^{k}\dfrac{1}{2}i(i-3)=\sum_{i=1}^{k-3}\dfrac{1}{2}i(i+3)=\dfrac{1}{6}(k-3)(k-2)(k+2)$$
$2021=43\times 47$ より $k=\textbf{45}$ で $S_k$ は $2021$ の倍数となり, 最小性も容易に従う.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc058/editorial/1999
　$k\geq 4$ なる整数 $k$ に対し, 凸 $k$ 角形の対角線の本数を $a_k$ とし, さらに $S_k$ を以下で定めます：
$$S_k=a_4+a_5+\cdots+a_k$$
このとき, $S_k$ が $2021$ の倍数となる最小の $k$ を求めてください.