　$B_1$ から順に選択していくことを考えると，ある時点ですでに選ばれた頂点はすべて連続していることがわかる．二つ目の条件をいったん無視すれば，$B_1$ がまず $10$ 通り，それ以降は $B_9$ までそれぞれ $2$ 通りずつの選択が可能である．\
　さて，二つ目の条件を「対角線にあたる線分が $4$ 本」と読み替える．$B_1B_2$ と $B_9B_{10}$ は対角線となり得ないことに注意する．$B_3$ から $B_9$ までを選ぶとき，$2$ 通りのうち一方が辺を，もう一方が対角線を生み出すから，以上により求める総数は $10×2×{}_7\mathrm{C}_4=\mathbf{700}$ 通りであることがわかる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc002/editorial/4810
　正十角形 $A_1A_2\cdots A_{10}$ があります．$10$ 個の頂点 $A_1,A_2,\ldots,A_{10}$ の並べ替え $B_1,B_2,\ldots,B_{10}$ であって，以下の条件をともにみたすものは何通りありますか？

- 線分 $B_1B_2,B_2B_3,\ldots,B_9B_{10}$ は，どの二つも（端点を除いて）交わらない．
- 線分 $B_1B_2,B_2B_3,\ldots,B_9B_{10}$ のうち，正十角形の辺にあたるものはちょうど $5$ 本である．