　移り変わるモニターの整数に全て $1$ を足すことを考えると，問題は $N$ を $2N$ または $N+1$ にすることで $1$ を $M+1$ にすることと同じである．それぞれの操作を $A^\prime ,B^\prime $ とする．正整数 $N$ に対して $2$ 進数表記での $N$ の桁数を $v(N)$，桁和を $popcount(N)$ と表すと，次が成り立つ．
- 操作 $A^\prime$ によって $v(N)$ は $1$ 増加し，$popcount(N)$ は不変である．
- 操作 $B^\prime$ によって $v(N),popcount(N)$ は高々 $1$ 増加し，どちらも増加することはない．

したがって操作 $A^\prime,B^\prime$ は合計で少なくとも $v(M+1)+popcount(M+1)-2$ 回行われ，実際にこの回数で $1$ を $M+1$ にすることは可能である．以上より次を得る．
$$f(M)=v(M+1)+popcount(M+1)-2$$
ここで，
$$\begin{aligned}
\sum_{k=2^n-1}^{2^{n+1}-2}f(k)&=\sum_{k=0}^{2^n-1}f(2^n-1+k)\\\\
&=\sum_{k=0}^{2^n-1}(v(2^n+k)+popcount(2^n+k)-2)\\\\
&=\sum_{k=0}^{2^n-1}(popcount(k)+n)\\\\
&=n\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^n\\\\
&=3n\cdot 2^{n-1}
\end{aligned}$$
が成り立つので，求めるべき値は次のように求められる．
$$\begin{aligned}
&\sum_{n=1}^{10}\sum_{k=2^n-1}^{2^{n+1}-2}f(k)+f(2047)+f(2048)+f(2049)+f(2050)\\\\
=&3\sum_{n=1}^{10}n\cdot 2^{n-1}+11+12+12+13\\\\
=&\bf27699
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/10590
**補題**． $f(2N+1)=f(N)+1$

　補題が成り立たないと仮定すると，$f(2N+1)=f(2N-1)+2$ を経由することになる．このあと $f(N-1)+3$ と変形すると最小性に矛盾する（$f(N)+1 \leq f(N-1)+2$ である）．$f(2N+1)=f(2N-3)+4$ などと変形しても同様である．\
　この補題より，$f(2N+2)=f(N)+2$ すなわち $f(2N)=f(N-1)+2$ も直ちに従う．

---

　$$S_n=f(2^{n-1})+f(2^{n-1}+1)+\cdots+f(2^n-1)$$
とおくと，
$$\begin{aligned}
S_{n+1} &= f(2^n)+\cdots+f(2^{n+1}-1) \\\\
&= \\{f(2^n)+f(2^n+2)+ \cdots + f(2^{n+1}-2)\\}+\\{f(2^n+1)+f(2^n+3)+ \cdots + f(2^{n+1}-1)\\}\\\\
&= \\{f(2^{n-1}-1)+f(2^{n-1})+ \cdots + f(2^n-2)+2 \cdot 2^{n-1}\\}+\\{f(2^{n-1})+ \cdots + f(2^n-1)+2^{n-1}\\} \\\\
&= \\{f(2^{n}-1)-1+f(2^{n-1})+ \cdots + f(2^n-2)+2 \cdot 2^{n-1}\\}+\\{f(2^{n-1})+ \cdots + f(2^n-1)+2^{n-1}\\}\\\\
&= 2S_n+3 \cdot 2^{n-1}-1
\end{aligned}$$

　$S_1=1$ を用いて漸化式を解けば $S_n=3(n-1)2^{n-2}+1$ を得る．\
　求めたい値は $S_1+\cdots+S_{11}+f(2048)+f(2049)+f(2050)$ であり，あとは計算すればよい．
別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/10590/752
　$1$ つの整数を映すモニターとボタン $A,B$ があります．モニターに整数 $N$ が映されているとき，ボタン $A,B$ を押すことでモニターの整数はそれぞれ $2N+1,N+1$ に変わります．例えばモニターに $3$ が映されているとき，$A,B,A$ の順にボタンを押すことでモニターの数は $3\rightarrow 7\rightarrow 8\rightarrow 17$ と変化します．\
　$0$ が映されたモニターに対して，ボタン $A,B$ を合計 $n$ 回押して整数 $M$ が映ったとき，$n$ として考えうる最小値を $f(M)$ とします．次の値を求めてください．
$$f(1)+f(2)+\dots+f({2050})$$