　一般に，三角形 $T$ の面積が $S$，周長が $p$ であるとき，$T$ の内接円半径は $\dfrac{2S}{p}$ であることに注意する．\
三角形 $ABC$ の面積を $s$ とすると，三角形 $ABM, ACM$ の面積はそれぞれ $\dfrac{s}{2}$ である．また，$\angle A = 90^\circ$ であるから 
$$AM = BM = CM = \frac{5}{2}$$
であることに注意すると，三角形 $ABC, ABM, ACM$ の周長はそれぞれ $12, 8, 9$ である．以上から，求める比は
$$\frac{2s}{12} : \frac{s}{8} : \frac{s}{9} = 12 : 9 : 8$$
である．特に，解答すべき値は $\bf{29}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc207/editorial/5065
　 $AB=3,BC=5,CA=4$ なる三角形 $ABC$ について，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．三角形 $ABC$，三角形 $ABM$，三角形 $ACM$ の内接円の半径の比は最大公約数が $1$ である正整数 $a,b,c$ を用いて $a:b:c$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．