　盤面に対して**スコア**を以下で定義すると，これは操作を行っても一定である．
- マス $(m,n)$ に $2^{101-m-n}$ を書き込む．
- 表を上にしてコインが置かれているマスに書き込まれた数の総和と，裏を上にしてコインが置かれているマスに書き込まれた数の逆数の総和の和を**スコア**とする．

条件のようにコインを置いたとき，スコアは $396_{(10)} = 110,001,100_{(2)}$ であるから，最初に $2^{2}, 2^{3}, 2^7, 2^8$ が書き込まれたマスに $1$ つずつコインを置いたとき，またそのときに限り，最初にコインが置かれていたマスの個数が最小となる．従って，最初のコインの配置とありうるものは
$$98\times97\times93\times92 = {81333336}$$
通りあり，これらの配置から目標の状態を作ることができることが確認できるので，求める答えは $\bf{81333336}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/7315
　公式解説の**スコア**が天下り的に登場しているので，その発想に至る思考について書きます．なお，本解説は厳密性には欠けています．\
　表向きのコインについて考えると，問題文の条件１は，「$m+n$ の値を $1$ 増やすと，コインの枚数が $2$ 倍になる」と読み替えられます．また，問題文の条件４については，「$m+n$ の値を変えない範囲では，コインは自由に動かせる」と読み替えられます．\
　裏向きのコインに関する条件は，問題文の条件２を，「$m+n$ の値を $1$ 減らすと，コインの枚数が $2$ 倍になる」と読み替えられ，条件３は，「コインを裏返すことで，$m+n=k$ の値を $202-k$ とできる」といった具合に読み替えられます．\
　以上のことから，問題文に書かれている最終状況は，ちょっと乱暴ですが「$m+n=100$ のところに，表向きのコインが $198$ 枚ある」と考えることが可能です．

　次に，このコインに適切な操作をして，コインを最小の枚数にもっていきます．\
　まず $198$ 枚のコインを全て $m+n=99$ のところにもっていけば，コインは半分の枚数になり，$99$ 枚になります．このうち $1$ 枚はどうやっても $m+n=98$ のところにもっていけないので，$1$ 枚を除いて，残る $98$ 枚を $m+n=98$ のところにもっていき，$49$ 枚にします．また奇数なので，$1$ 枚は $m+n=98$ のところに置いたまま，$m+n=97$ のところにコイン $48$ 枚をもっていきます．……以下同様に考えると，最終的に，$m+n=99,98,94,93$ のところにコインが $1$ 枚ずつあることになり，この場合が最小の場合です．

　以上の議論は最初に書いた通り，厳密性には欠けますが，感覚的にはこんな説明でもよさそうです．これを厳密に書くと，例えば公式解説のように操作の間で変化しない**スコア**を導入するなどの方法が考えられると思います．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/7315/282
　$100\times100$ のマス目があります．上から $m$ 行目，左から $n$ 行目のマスを $(m, n)$ と表します．最初，いくつかのマスに**表を上にして**コインが $1$ 枚ずつ置かれています（それ以外のマスには置かれていません）．ここから，OMC君は以下の操作の中から一つを選んで行うことを繰り返します．ただし，どのマスに置かれているコインもつねに高々 $1$ 枚でなければならないものとします（すなわち，すでにコインが置かれているマスに対して「新たにコインを置く」必要が生じるような操作は行えません）：

- $(m, n) ~ (1\leq m, n\leq 99)$ に表を上にしてコインが置かれているとき，そのコインを取り去り，$(m+1, n)$ と $(m, n+1)$ それぞれに表を上にして新たにコインを置く．
- $(m, n) ~ (2\leq m, n\leq 100)$ に裏を上にしてコインが置かれているとき，そのコインを取り去り，$(m-1, n)$ と $(m, n-1)$ それぞれに裏を上にして新たにコインを置く．
- $(m, n) ~ (1\leq m, n\leq 100)$ にコインが置かれているとき，そのコインを取り去り，$(101-m, 101-n)$ に取ったコインと逆の側を上にして新たにコインを置く．
- $(m, n) ~ (1\leq m, n\leq 100)$ にコインが置かれているとき，そのコインを取り去り，$(m-1, n+1)$ または $(m+1, n-1)$ に取ったコインと同じ側を上にして新たにコインを置く．

　有限回操作を繰り返すと，$m+n=100$ なるすべてのマス $(m,n)$ に表を上にして $1$ 枚ずつコインが置かれ，$m+n=102$ なるすべてのマス $(m,n)$ に裏を上にして $1$ 枚ずつコインが置かれ，それ以外のマスには何も置かれていませんでした．このとき，最初にコインが置かれていたマスの個数が最小の場合となるような，最初のコインの配置は何通りありますか？