　$F(x)=f(x)-2x-1$ とおくと，$F(1)=F(2)=F(3)=0$ なので，ある整数係数多項式 $g(x)$ であって，
$$
f(x)=g(x)(x-1)(x-2)(x-3)+2x+1
$$
を満たすものがとれる．$f(4)=567$ であるから，$g(4)=93$ である．よって，ある整数係数多項式 $h(x)$ であって，
$$
g(x)=h(x)(x-4)+93
$$
を満たすものがとれる．以上より，
$$
f(10)=504g(10)+21=504(6h(10)+93)+21 = 3024h(10)+46893
$$
となる．$h(10)$ は整数であり，逆に任意の整数 $n$ に対して，$h(x)=x-10+n$ とすれば，$h(10)=n$ となるため，$f(10)$ は $3024n+46893$ という形の整数の整数のみ取ることができる．$46893 \equiv 1533 \pmod{3024}$ なので，この形の正整数で小さい方から $5$ 番目の値は $3024 \cdot 4 + 1533=\mathbf{13629}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc237/editorial/11468
　整数係数多項式 $f$ が以下を満たします．
$$
f(1)=3, ~ f(2)=5, ~ f(3)=7, ~ f(4)=567
$$
$f(10)$ がとる**正整数値**としてありうるもののうち，小さい方から $5$ 番目の値を求めてください．