　$f(x)=0$ の解を (重複込みで) $x=a_1,a_2,...,a_{2021}$ とすれば,
$$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_{2021})$$
$f(x^2)$ が $f(x)$ で割り切れるための必要条件は, 任意の $i$ に対しある $j$ が存在して $a_i^2=a_j$ となることである.
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**補題.**　任意の $i$ について $a_i\in\\{1,0,-1\\}$ である.

**証明.**　$M=\max\\{|a_1|,...,|a_{2021}|\\}$ について $M\gt1$ のとき, $M^2\gt M$ より不適である. 一方 $0\lt |a_i|\lt 1$ なる $i$ が存在するとき, そのような $|a_i|$ のうち最小のもの $m$ について $0\lt m^2\lt m$ より不適である. (証明終)

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したがって,  $f(x)$ は $p+q+r=2021$ なる非負整数 $p,q,r$ を用いて
$$f(x)=x^p(x-1)^q(x+1)^r$$
と表せる. このとき,
$$f(x^2)=x^{2p}(x-1)^q(x+1)^q(x^2+1)^r$$
であることに留意すれば, 以下の問題を解くことに帰着された.

- $p+q+r=2021$ かつ $q\geq r$ なる非負整数の組 $(p,q,r)$ はいくつあるか？

　条件 $q\geq r$ を無視すれば ${}\_{2023}\textrm{C}\_{2}$ 通りであり, そのうち $q=r$ であるものは $1011$ 通りである. $q\geq r$ なるものは $q\leq r$ なるものの個数と等しいことに留意すれば, 以上より求めるべき値は
$$\dfrac{1}{2}\times({}\_{2023}\textrm{C}\_{2}+1011)=\textbf{1023132}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/1279
　以下の条件をすべてみたす実数係数多項式 $f(x)$ はいくつありますか？

- $2021$ 次で, $x^{2021}$ の係数は $1$ である.
-  $f(x)=0$ の複素数解はすべて実数である.
-  $f(x^2)$ は $f(x)$ で割り切れる.