$$\sum_{k=1}^6a_k=A,\quad \sum_{k=1}^6ka_k=B$$
とおくと, $a_n=An+B-1$ であるから, 
$$A=\sum_{k=1}^6 (Ak+B-1)=21A+6B-6$$
であり, 同様に
$$B=\sum_{k=1}^6 k(Ak+B-1)=91A+21B-21$$
となる. これらより $A=\dfrac{3}{73},\ B=\dfrac{63}{73}$ が分かり,
$$a_n=\frac{3}{73}n+\frac{63}{73}-1=\frac{3n-10}{73}$$
これは $n=52$ で初めて整数となるので, 解答は $\bf{52}$ .
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc102/editorial/3162
　実数列 $\\{a_n\\}\_{n=1,2,\ldots}$が，任意の正整数 $n$ に対して
$$a_n+1=\sum_{k=1}^6(n+k)a_k$$
をみたすとき，$a_n$ が整数となり得るような最小の正整数 $n$ を求めてください.