　$N$ の素因数分解を $2^x3^y5^z7^wp_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_n^{a_n}\ (p_i\geq 11)$ とすると, 
$$d(N)=(x+1)(y+1)(z+1)(w+1)(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)$$
$M=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)$ とおけば
$$d(N)=(x+1)(y+1)(z+1)(w+1)M$$
$$d(2N)=(x+2)(y+1)(z+1)(w+1)M$$
$$d(3N)=(x+1)(y+2)(z+1)(w+1)M$$
$$d(5N)=(x+1)(y+1)(z+2)(w+1)M$$
$$d(7N)=(x+1)(y+1)(z+1)(w+2)M$$
これを用いて条件を整理すれば
$$(y+1)(z+1)(w+1)M=120$$
$$(x+1)(z+1)(w+1)M=240$$
$$(x+1)(y+1)(w+1)M=144$$
$$(x+1)(y+1)(z+1)M=360$$
これらを辺々掛け合わせると
$$(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^3(w+1)^3=\frac{2^{14}3^65^3}{M^4}$$
左辺は立方数であることから, $M=4$ と一意に定まり, これを上の各式に代入することで
$$(x,y,z,w)=(5,2,4,1)$$
さらに $N$ が最小になるのは $(p_1,a_1,p_2,a_2)=(11,1,13,1)$ のときである. \
　以上より, 求める $N$ の最小値は $2^53^25^47^111^113^1=\textbf{180180000}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc080/editorial/1606
　正整数 $n$ に対し, $d(n)$ で $n$ の正の約数の個数を表すものとします. このとき,
$$ d(N)=d(2N)-120=d(3N)-240=d(5N)-144=d(7N)-360$$
が成り立つ最小の正整数 $N$ を求めてください.