　$(a, b, c)$ が満たす条件は，
$$
\begin{aligned}
0 &= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \\\\
&= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \\\\
&= \frac{1}{2}(a + b + c)((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2)
\end{aligned}
$$
と同値．よって，$a + b + c = 0$ または $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$ が成立する．従って，以下の場合分けより求める答えは $37 + 7 - 1 = \bf{43}$ である．

- $a + b + c = 0$ である場合\
この場合の $(a, b, c)$ の組の数は，$|a + b| \le 3$ を満たす組 $(a, b)$ の数と一致する．$a$ を固定したとき $b$ の必要十分条件は $\max(-a - 3, -3) \le b \le \min(3 - a, 3)$ であるから，このような $b$ は $7 - |a|$ 個存在する．従ってこの場合の求める $(a, b, c)$ の組の数は

$$
7 + 2\sum_{k = 1}^{3}(7 - k) = 37.
$$

- $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$ である場合\
明らかに $a = b = c$ と同値であるから，この場合の $(a, b, c)$ の組は $7$ 組．

- $a + b + c = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$ である場合\
$a = b = c$ かつ $a + b + c = 0$ であるから，この場合の $(a, b, c)$ の組は $(0, 0, 0)$ の $1$ 組．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3427
　$-3$ 以上 $3$ 以下の整数の（順序付いた）組 $(a, b, c)$ であって，
$$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$
をみたすものはいくつありますか？