　$4997-k$ を $p$ で割った商を $x$ とおき, $4997+k$ を $p+2$ で割った商との差によって場合分けを行う.

- 差が $0$ であるとき, $x=k$ であるが, このとき $4997=(p+1)k$ より偶奇を考えれば不適である.
- 差が $1$ であるとき, $px$ および $(p+2)(x\pm 1)$ の偶奇が一致することからやはり不適である.

　以下, 差が $2$ である場合について考える. まず
$$4997-k=px,\quad 4997+k=(p+2)(x+2)$$
と書けるとする. このとき, $k$ を消去すれば $4996=(p+1)(x+1)$ であり, $4996=2^2\times1249$ より $p=3$ に限られることが分かる. このとき $x=1248$ で, $k=1253$ を得る. 同様にして
$$4997-k=px,\quad 4997+k=(p+2)(x-2)$$
と表せるとき, $k$ を消去すれば $4998=(p+1)(x-1)$ であり, $4998=2\times3\times7^2\times 17$ に留意して調べ上げれば
$$(p,x,k)=(5,834,827),(41,120,77)$$
が適することが分かるから, 以上より解答すべき総和は $\textbf{2206}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc056/editorial/1735
　$4997$ 未満の正整数 $k$ および素数 $p$ が, 以下の条件をみたします：

- $p+2$ も素数であり, $4997-k,4997+k$ はそれぞれ $p,p+2$ で割り切れる.

このような組で $\left\lvert \dfrac{4997-k}{p} -  \dfrac{4997+k}{p+2} \right\rvert$ が最小値をとるものすべてについて, $k+p$ の総和を求めてください.\
　なお, [**こちら**](https:\/\/www.mathsisfun.com\/numbers\/prime-numbers-to-10k.html)の素数表を用いても構いません.