　三平方の定理より $BD=5$ である. すると $BD^2+BC^2=CD^2$ が成り立つから $\angle BDC$ も直角であり, $ABCD$ の面積 $S$ について
$$S=\frac 12\times 1\times 2\sqrt{6}+\frac 12\times 5\times 2\sqrt{6}=6\sqrt{6}$$
特に解答すべき値は $\textbf{216}$ である. 
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/226
　凸四角形 $ABCD$ が以下の条件
$$AB=1,\ \ BC=7,\ \ CD=DA=2\sqrt{6},\ \ \angle DAB=90^\circ$$
をみたすとき, その面積の $2$ 乗を求めてください.