　以下，合同式の法は $2017$ とする．$x \neq y$ のとき，与式は
$$ x^{2017} + x^{2016}y + x^{2015}y^2 + \cdots + xy^{2016} + y^{2017} = \frac{x^{2018} - y^{2018}}{x - y} $$
と変形できる．ここで $x-y$ は $2017$ で割り切れないので，Fermat の小定理より，
$$ \frac{x^{2018} - y^{2018}}{x - y} \equiv \frac{x^2 - y^2}{x - y} \equiv x+y $$
となる．一方で $x = y$ のとき，再び Fermat の小定理より
$$ x^{2017} + x^{2016}y + x^{2015}y^2 + \cdots + xy^{2016} + y^{2017} \equiv 2018 x^{2017} \equiv x $$
となる．$0 \le x+y \le 2017$, $0 \le x \le 2017$ に注意すると，求めるべき値は 
$$ \begin{aligned}
\sum_{0 \leq x \leq 1000, \ 0 \leq y \leq 1000,\ x \neq y} (x + y) \  + \sum_{ 0 \leq x \leq 1000} x = \sum_{x=0}^{1000}\sum_{y=0}^{1000} (x + y) - \sum_{y = 1}^{1000} \ y \ \ = \mathbf{1001500500}
\end{aligned}$$
となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7911
　$0$ 以上 $1000$ 以下の整数の組 $(x,y)$ すべてに対して，
$$ x^{2017} + x^{2016}y + x^{2015}y^2 + \cdots + xy^{2016} + y^{2017} $$
を素数 $2017$ で割った余りの総和を求めてください．\
　「総和を $2017$ で割った余り」ではないことに注意してください．