　$\angle ACB=\angle ACD=45^\circ$，$\angle AFE=\angle AFD$ より，$A$ は三角形 $CEF$ の傍心となる．したがって $\angle AEB=\angle AEF=\angle CEF$ となり，これらはすべて $60^\circ$ に等しい．よって，$AB:BE=\sqrt{3}:1$ と $AB=6$ より 
$$BE=2\sqrt{3}，CE=BC-BE=6-2\sqrt{3}$$
がわかり，$CE:CF=1:\sqrt{3}$ より 
$$CF=6\sqrt{3}-6，DF=CD-CF=12-6\sqrt{3}$$ 
となる．よって，解答すべき値は $12+6^2\cdot 3=\bold{120}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/11875
　$A$ から直線 $EF$ に下した垂線の足を $H$ とすると $\triangle ADF\equiv \triangle AHF$ がわかる．  
　$\angle ABE=\angle AHE=90^\circ$ と $AB=AD=AH$ から $\triangle ABE\equiv \triangle AHE$ つまり $\angle AEB=\angle AEH$ がわかるので，以降は公式解説と同様である．
補助線
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/11875/700
　一辺の長さが $6$ である正方形 $ABCD$ の辺 $BC$ 上（端点を除く）に点 $E$，辺 $CD$ 上（端点を除く）に点 $F$ をとると，
$$\angle AEF=\angle CEF,\quad \angle AFE=\angle AFD$$
が成り立ちました．このとき，線分 $DF$ の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a-\sqrt{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．