　四角形 $ABCD,BCDE,CDEF$ はそれぞれ等脚台形であるから，円に内接する．従って，六角形 $ABCDEF$ も円に内接するので，この円を $\omega$ とし，$\omega$ の中心，半径をそれぞれ $O,R$ とする．\
　$\omega$ の $AB$ と同じ長さの弦に立つ円周角の内小さい方は
$$\angle ACB = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle ABC) = 15^\circ$$
であるから，
$$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF = 30^\circ$$
である．従って，$O$ は六角形 $ABCDEF$ の外側にあり，$\angle AOF = 150^\circ$ である．よって，六角形 $ABCDEF$ の面積は，$R$ を用いて
$$5\times\frac{1}{2}R^2\sin30^\circ - \frac{1}{2}R^2\sin150^\circ = R^2$$
である．これが $120$ と等しいので，$R = 2\sqrt{30}$ を得る．今，$\angle BOE = 90^\circ$ であるから，
$$BE = \sqrt2R = 4\sqrt{15}$$
である．特に，解答すべき値は $\bf240$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/editorial/7308
$\angle EFA = \angle FAB = 60^\circ$ となる．$AB$ と $FE$ の交点を $G$，$2$ 点 $B, E$ から $AF$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $H, I$ とし，$2$ 直線 $BH, EI$ と $CD$ との交点をそれぞれ $J, K$ とする．このとき $BAH, EFI, CBJ, DEK$ はすべて合同な三角形となるから，長方形 $JHIK$ の面積は $120$ である． $AB = 2x$ とおくことで，$BE = JC + CD + DK = (2 + 2 \sqrt 3)x$，$JH = JB + BH = (1 + \sqrt 3)x = \dfrac{BE}{2}$ が分かるから，$BE \times \dfrac{BE}{2} = 120$ より $BE^2 = \bf{240}$ を得る．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/editorial/7308/650
　面積が $120$ であるような 凸六角形 $ABCDEF$ について，以下のことが成り立ちました.
$$ AB = BC = CD = DE = EF$$
$$∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = ∠DEF = 150^\circ$$
このとき，線分 $BE$ の長さの $2$ 乗を解答して下さい.