**解法1.**　$i \lt j$ であるとき「$a_i$ は $a_j$ の左に並んでいる」「$a_j$ は $a_i$ の右に並んでいる」と表現すれば, $1$ の左に並んでいる整数と $5$ の右に並んでいる整数は合計で $2$ 個以下であるから, 以下の場合分けより求める答えは $\bf{9}$ である. 

- $a_1 = 1, a_3 = 5$ の場合$\\\\$
　$a_2 \lt a_4 \lt a_5$ である必要があるから, $(1,2,5,3,4)$ のみ. 
- $a_1 = 1, a_4 = 5$ の場合$\\\\$
　$a_2,a_3,a_5$ は $2,3,4$ の並び替えであるので, $6$ 通り全て試すことで $(1,2,4,5,3),(1,3,2,5,4)$ のみ. 
- $a_1 = 1, a_5 = 5$ の場合$\\\\$
　$a_2,a_3,a_4$ は $2,3,4$ の並び替えであるので, $6$ 通り全て試すことで $(1,4,2,3,5),(1,3,4,2,5)$ のみ. 
- $a_2 = 1, a_4 = 5$ の場合$\\\\$
　$a_1 \lt a_3 \lt a_5$ である必要があるから, $(2,1,3,5,4)$ のみ. 
- $a_2 = 1, a_5 = 5$ の場合$\\\\$
　$a_1,a_3,a_4$ は $2,3,4$ の並び替えであるので, $6$ 通り全て試すことで $(2,1,4,3,5),(3,1,2,4,5)$ のみ. 
- $a_3 = 1, a_5 = 5$ の場合$\\\\$
　$a_1 \lt a_2 \lt a_4$ である必要があるから, $(2,3,1,4,5)$ のみ. 

**解法2.**　数列 $a_1 = 1,a_2 = 2,\ldots,a_5 = 5$ に対し, 順に $i=s,t~(s\neq t)$ を選んで $a_i$ と $a_{i + 1}$ の値を入れ替える操作を施した結果得られる数列 $f(s,t)$ を考えればよく,それらについて
$$\begin{cases}
f(s,t)=f(t,s) & (|s-t|\gt 1) \\\\
f(s,t)\neq f(t,s) & (|s-t|=1)
\end{cases}$$
が成立するから, 求める答えは $3 + 6 = \bf{9}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc070/editorial/2298
　$1,2,3,4,5$ の並べ替え $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ であって, $1\le i \lt j \le 5$ かつ $a_i \gt a_j$ を満たす $(i,j)$ の組がちょうど $2$ つ存在するものは何通りありますか.