　直線 $y=px+2q$ が放物線 $y=x^2$ によって切り取られる線分の長さは
$$\sqrt{p^2+1}\times \sqrt{p^2+8q}$$
と容易に計算できる．よって次の式について考えればよい．
$$(p^2+1)(p^2+8q)=4r^2$$
　$p=2$ のとき $5(2q+1)=r^2$ となり，このとき $r=5,q=2$．また $p\geq 3$ ならば
$$(p^2+1)(p^2+8q)\equiv 2\pmod{4}$$
より条件をみたす $p,q,r$ は存在しない．従って求める組は $(p,q,r)=(2,2,5)$ であり，解答すべき値は $\bm{9}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce001/editorial/172
　$p, q, r$ を素数とします. $xy$ 平面上において, 直線 $y=px+2q$ が放物線 $y=x^2$ によって切り取られる線分の長さが $2r$ になるとき, このような組すべてについて $p+q+r$ の総和を求めてください. 

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