$(1)$　$a, b, c$ が全て等しいとき．

　条件は $a(4a^2 - da - 2) = 0$ となる．$a = 0$ のとき, 条件を満たす $a, d$ の組は，$-10 \leq n \leq 10$ なる整数 $n$ を用いて $(0, n)$ と表せるものに限られる．$4a^2 - da - 2 = 0$ のとき, $a \neq 0$ より $d = 4a - \dfrac{2}{a}$ に注意すれば，条件を満たす $a, d$ の組は，$(\pm1, \pm2), (\pm2, \pm7)$ に限られる（複号同順）．

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$(2)$　$a, b, c$ のうち，ちょうど二つが等しいとき．

　$a \neq b = c$ とする．条件は

$$
\begin{cases}{} 
a (a + b)^2  &=& 2b + a^2d \\\\
2b^2 (a + b) &=& a + b + b^2d \\\\
\end{cases}
$$

となる．辺々引いて変形し，$a \neq b$ に注意して $a-b$ を括り出せば

$$
(a + b)(a + 2b - d) + 1 = 0
$$

が成立する．$a, b, d$ は整数であるから $(a, d) = (1-b, b+2), (-1-b, b-2)$ のいずれかの形で表せて，与式と合わせれば条件を満たすような $a, b, d$ の組は $(\pm2, \mp1, \pm1)$ に限られる．これは $c = a, a = b$ の場合も同様である．

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$(3)$　$a, b, c$ が全て異なるとき．

　$x$ の方程式

$$
(x + a) (x + b) (x + c) - 2(a + b + c + dx^2 - x) = 0
$$

は相異なる三つの整数解 $x = a, b, c$ を持つから，この左辺は $x$ の多項式として $(x-a)(x-b)(x-c)$ に等しい．しかし，$x$ の係数を比較することで不適．

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　以上より，解答すべき値は 

$$
\sum_{n = -10}^{10}|n| + 5 \times 2 + 13 \times 2 + 5 \times 6 = \mathbf{176}
$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc130/editorial/5348
　公式解説とは違う場合分けをしたので．

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　$a+b+c=0$ のとき，条件は
$$abc=a^2d-a=b^2d-b=c^2d-c$$
である．
- $d=0$ のとき，$a=b=c=0$ である．

- $|d|\geq 2$ のとき，$t=abc$ とおけば，$a,b,c$ は $x$ の 2 次方程式 $dx^2-x=t$ の解であり，解と係数の関係よりその 2 解の和は $1\/d$ である．よって 2 解のうち整数は高々 1 つであるから，$a=b=c(=0)$ となるほかない．このとき条件を満たす．

- $d=1$ のとき，$a=b=c=0$ は条件を満たすから，そうでない場合を考える．同様に解と係数の関係を考えることで，整数 $k$ を用いて $\\{a,b,c\\}=\\{k,k,1-k\\}$ と表せる．$a+b+c=0$ より $k=-1$ であり，このとき条件を満たす．

- $d=-1$ のとき，上と同様にして $a=b=c=0$ および $\\{a,b,c\\}=\\{1,1,-2\\}$ が条件を満たす．

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　$a+b+c\neq 0$ のとき，$a=0$ とすれば第 1 式より $b+c=0$ を得るため矛盾であり，$b,c$ についても考えれば $a,b,c\neq 0$ である．\
　一方で，第 1,2,3 式から順に
$$a | b+c,　b|c+a,　c|a+b$$
が得られるから，
$$p=\frac{a+b+c}{a},　q=\frac{a+b+c}{b},　r=\frac{a+b+c}{c}$$
は共に整数であり，さらにその逆数和は $1$ である ([OMC061(F)の解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc061\/editorial\/2247) と同じ発想)．これより，
$$(p,q,r)=(2,3,6), (2,4,4), (3,3,3), (1, n, -n)　(n\in \mathbb{Z}\_{\setminus \\{0\\}})$$
を得る．すなわち，
$$(a,b,c)=(k,2k,3k), (k,k,2k), (k,k,k), (k,-k,nk)　(n,k \in \mathbb{Z}\_{\setminus \\{0\\}})$$
それぞれ適当な議論をすれば 1,2,4 つ目は不適であり，3 つ目のときに
$$(a,b,c,d)=(1,1,1,2), (-1, -1, -1, -2), (2,2,2,7), (-2,-2,-2,-7)$$
を発見できる．

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以上より，求める答えは
$$\sum_{d=-10}^{10} (0+0+0+|d|)+3\times (1+1+2+1) + 3\times (1+1+2+1) + 2\times (1+1+1+2) + 2\times (2+2+2+7) = \textbf{176}.$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc130/editorial/5348/165
　（順序を区別する）整数の組 $(a, b, c, d)$ であって，

$$
\begin{cases}
a (a + b) (a + c) = b + c + a^2d \\\\
b (b + c) (b + a) = c + a + b^2d \\\\
c (c + a) (c + b) = a + b + c^2d \\\\
\end{cases}
$$

をみたすもののうち，$|d| \leq 10$ であるようなものすべてについて，絶対値の和 $|a| + |b| + |c| + |d|$ の総和を求めてください．