**補題.**　非負整数 $n$ について，$10^n \equiv 9n+1 \pmod{81}$．\
**証明.**　$n=0$ では成り立つから，階差をとって $9\times 10^n \equiv 9 \pmod{81}$ を示せばよい．これは $10^n \equiv 1 \pmod{9}$ より成立する．

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　補題より，問題は次のように言いかえられる：

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**問題①.**　$1,10,19,28,\ldots$ からいくつかを選んで，それらの和を $81$ の倍数にせよ．

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　さて，条件をみたす数を $X$ とすれば，$X$ の各位の和が $9$ で割り切れることに注意しよう．\
　ここでは $X$ が高々 $11$ 桁以下であるとして考えよう．このとき，$X$ の桁和は $9$ であり，上の言いかえでは $11$ 個の数から $9$ 個選ぶことになる．これを踏まえれば，さらに問題②，そして問題③のように言いかえられる：

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**問題②.**　$0,1,2,3,\ldots,8,0,1$ から $9$ 個を選んで，それらの和を $9$ で割って $8$ 余る数にせよ．\
**問題③.**　$0,1,2,3,\ldots,8,0,1$ から $2$ 個を選んで，それらの和を $9$ で割って $2$ 余る数にせよ．

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　問題③で考えよう．ここで $X$ を小さくするには，右側にある数を優先的に選ぶ必要がある．\
　右端の $1$ の選択に対応するのは $(0)11\cdots101$，次の $0$ の選択に対応するのは $1011\cdots1011$，その次の $8$ の選択に対応するのは $\mathbf{11011110111}$ であり，これが求める $3$ 番目に小さい $X$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc139/editorial/2467
　$81$ で割り切れ，かつ十進法で表記したとき各桁が $0$ または $1$（一方のみでもよい）であるような正整数のうち，$3$ 番目に小さいものを求めてください．