　与式の上 $2$ 式の差をとれば $$2q=r^2-s^4=(r-s^2)(r+s^2)=(r-s^2)q$$ であるから $q\geq 2$ より $r-s^2=2$ を得る．これを与式に代入し計算すれば次が得られる．
$$p=s^4+2s^2+2,\quad q=2s^2+2,\quad r=s^2+2$$
　$p,q,r,s$ が互いに素になるような $s$ の最小値は $s=3$ で，このとき $pq=\bm{2020}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb001/editorial/163
　$2$ 以上の互いに素な正整数の組 $(p,q,r,s)$ が, 以下の等式をみたします.
$$\begin{cases}p+q=r^2 \\\\ p-q=s^4 \\\\ r+s^2=q \end{cases}$$
このような組のうち $s$ が最小のものすべてについて, $pq$ の総和を求めてください.