　$20$ 以下の素数は $2,3,5,7,11,13,17,19$ の $8$ つである．$3\times17\times19=969\lt1000$ であるから，$N$ は $2,3$ を約数に持たない．よって $N$ は奇数である．$13\times17\times19=4199\lt5000$ と合わせれば，$N$ の一の位及び千の位は $1$ または $3$ である．一般に偶数桁の回文数が $11$ の倍数であることにも注意すれば，$N$ の素因数の組み合わせは $$(7,11,13),(7,11,19),(11,13,17),(11,17,19)$$
のいずれかである．これらのうち積が回文数となるのは $(7,11,13),(11,17,19)$ のみであり，求める答えは $\bold{4554}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/4161
　$4$ 桁の正の整数 $N$ は相異なる $20$ 以下の素数 $3$ つの積で表せる**回文数**です．$N$ としてありうる値の総和を答えてください．\
　ただし，正整数が**回文数**であるとは，一の位が $0$ でなく，一の位から逆順に読んだ場合でも元の数と一致することを指します．例えば $1221$ や $3883$ は回文数であり，$2023$ や $1210$ は回文数ではありません．