　正の整数からなる空でない有限集合 $S$ の元を小さいほうから $a_1, a_2, \ldots, a_m$ とおく．また，部分集合の元の総和として表せることを**表現可能**と呼ぶ．このとき，$S$ がフレキシブルであることは以下と同値である：

- すべての $k=1, 2, \ldots, m$ に対して $\displaystyle a_k\le1+\sum_{i=1}^{k-1}a_i$ を満たす．ただし $\displaystyle\sum_{i=1}^{0}a_i=0$ とする．$\quad\cdots(\star)$

<details><summary>証明.<\/summary>

　必要性は明らかである．十分性を $a_m$ についての帰納法で示す．$a_m=1$ のときはよい．$a_m\le l$ のとき成立を仮定する．$a_m=l+1$ だとすると，仮定より $1$ 以上 $\sum_{i=1}^{m-1}a_i$ のすべての整数は表現可能であり，それらに $a_m$ を含めることで $a_m$ 以上 $\sum_{i=1}^{m}a_i$ のすべての整数は表現可能である．$a_m\le1+\sum_{i=1}^{m-1}a_i$ であることから，$S$ はフレキシブルである．

<\/details>

　以下 $(\star)$ を満たす $\\{1, 2, \ldots , 16\\}$ の空でない部分集合の個数を考える．
- 要素数が $3$ 以下のものは $\\{1\\}, \\{1, 2\\}, \\{1, 2, 3\\}, \\{1, 2, 4\\}$ のみである．
- 要素数が $4$ 以上のものについて $(a_1, a_2, a_3)=(1, 2, 3), (1, 2, 4)$ のいずれかである．

さらに，
- $(a_1, a_2, a_3)=(1, 2, 3)$ の場合，$a_4$ としてありえるものは $4, 5, 6, 7$
- $(a_1, a_2, a_3)=(1, 2, 4)$ の場合, $a_4$ としてありえるものは $5, 6, 7, 8$

である．いま，$a_5$ が存在する場合，$16=1+2+\cdots+5+1$ より，$S$ がフレキシブルであることは 
- $a_1$ から $a_4$ までが上のパターンかつ $a_5\le a_1+a_2+a_3+a_4+1$

に同値である．
$8$ パターンそれぞれについて $a_5\gt a_1+a_2+a_3+a_4+1$ なるパターンを除いたものを合計することで
$$\begin{aligned}
&(2^{12}-2^5+1)+(2^{11}-2^4+1)+(2^{10}-2^3+1)+(2^{9}-2^2+1) \\\\
+\ &(2^{11}-2^3+1)+(2^{10}-2^2+1)+(2^{9}-2^1+1)+2^8=11453
\end{aligned}$$
要素数が $3$ 以下のものを合計すれば求めるべき個数は $\mathbf{11457}$ 個である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc210/editorial/5093
　正の整数からなる空でない有限集合 $S$ が**フレキシブル**であるとは，以下の条件を満たすことをいいます：

- $S$ の元の総和を $N$ とする．このとき，$1$ 以上 $N$ 以下の任意の整数 $n$ について，ある $S$ の空でない部分集合 $T$ が存在して，$T$ の元の総和が $n$ になる．

集合 $\\{1, 2, \ldots , 16\\}$ の空でない部分集合であって，フレキシブルであるものはいくつ存在しますか？