　$a_2=-\dfrac{5}{24}$ である．また $n\geq2$ に対し $a_{n+1}-a_{n}=(4a_{n}+1)(a_{n}+1)$ を変形して
$$4a_{n+1} +3=(4a_{n}+3)^2-2$$
を得る．したがって $b_{n}=4a_{n}+3$ とおけば，$b_2=13\/6$ および $n=2,3,\ldots$ に対し
$$b_{n+1}=b_{n}^2-2.$$
ここで，$n=2,3,\ldots$ について $b_{n}\gt2$ が常に成り立つから，$b_{n}=c_{n}+\dfrac{1}{c_{n}}$ なる $c_{n}\gt1$ が一意に存在し，
$$c_{n+1}+\dfrac{1}{c_{n+1}}=c_{n}^2+\dfrac{1}{c_{n}^2},$$
すなわち $c_{n+1}=c_{n}^2$ が成立する．いま $c_{2}=\dfrac{3}{2}$ であることから，$n=2,3,\ldots$ に対し$$a_{n}=\frac{1}{4}\left\lbrace\left(\frac{3}{2}\right)^{2 ^{n-2}}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2^{n-2}}-3\right\rbrace$$が成立し，特に$$a_{100}=\frac{3^{2^{99}}+2^{2^{99}}-3×6^{2^{98}}}{4×6^{2^{98}}} $$である．分子は $2$ でも $3$ でも割り切れないので，これは既約であり，$$m= 3^{2^{99}}+2^{2^{99}}-3×6^{2^{98}}. $$
以下，$m$ を $37$ で割ったときの余りと $257$ で割ったときの余りに分けて考えよう．\
　まず $6^4\equiv 1\pmod{37}$ および $2^{99} \equiv 8 \pmod {36}$ に留意すれば，Fermatの小定理より$$m={3^{2^{99}}+2^{2^{99}}-3×6^{2^{98}}} \equiv {3^8+2^8-3×(6^4)^{2^{96}}}  \equiv 6 \pmod {37}.$$
また，Fermatの小定理より$$m={3^{2^{99}}+2^{2^{99}}-3×6^{2^{98}}} \equiv 1+1-3\equiv -1\pmod{257}.$$
　以上より，$37$ と $257$ が互いに素であるから $m \equiv {\bf{3854} }\pmod {9509}$ を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/editorial/3425
$$a_1=\frac{-15+\sqrt{51}}{24},\quad a_{n+1}=\sum_{k=1}^{n} (4a_k+1)(a_k+1) \quad(n=1,2,\ldots)$$で定まる数列 $\lbrace a_{n} \rbrace$ について，$a_{100}$ は互いに素な正整数 $m,n$ を用いて $\dfrac{m}{n}$ と表せるので，$m$ を $9509(=37\times 257)$ で割った余りを解答してください．