　正の実数 $x, y, z$ を用いて三角形の $3$ 辺の長さをそれぞれ $x + y, y + z, z + x$ と表し（Ravi変換），これらはすべて整数値であるとする．このとき整数 $N_1, N_2, N_3$ によって
$$x + y = N_1，y + z = N_2，z + x = N_3$$
と表せて，
$$2x = N_1 - N_2 + N_3，2y = N_1 + N_2 - N_3，2z = - N_1 + N_2 + N_3$$
が成り立つため $2x, 2y, 2z$ はいずれも整数であり，なおかつ偶奇がすべて一致する．すなわち $x, y, z$ はすべて整数であるか，すべて半整数である．また，Heronの公式より三角形の面積は $\sqrt{xyz(x + y + z)}$ と表されるので，
$$xyz(x + y + z) = 2^4 \cdot 5 \cdot 13^2 \tag{1}$$
となるような $x, y, z$ を求めればよい．$x, y, z$ がすべて半整数だと明らかにこれを満たさないので，$x, y, z$ はすべて（正の）整数である．\
　ここで以下の性質を，以後**性質A**と呼ぶことにする．
- 任意の正整数 $s, t$ について $s + t \leq st + 1$ が成り立つ．

この性質は，$(s - 1)(t - 1) \geq 0$ が成り立つので，これを式変形することで示すことができる．\
　式 $(1)$ と性質Aから
$$(x + y + z - 2)(x + y + z) \leq (xy + z - 1)(x + y + z) \leq 2^4 \cdot 5 \cdot 13^2$$
が得られるので，これより $x + y + z \lt 13^2$ が従う．特に $x, y, z, x + y + z$ はいずれも $13^2$ で割り切れないことが分かるので，この $4$ 数のうちちょうど $2$ つが $13$ の倍数である．したがって文字の対称性より
- $x \geq y$ であり，$13 \mid x + y$ かつ $13 \mid z$ をみたす．
- $x \geq y$ であり，$13 \mid x$ かつ $13 \mid y$ をみたす．

の $2$ ケースについて考察すればよい．

---
**Case 1.**　$x \geq y$ であり，$13 \mid x + y$ かつ $13 \mid z$ をみたすとき\
　正整数 $k, z^{\prime}$ により $x + y = 13k, z = 13z^{\prime}$ と表すと，式 $(1)$ から
$$xyz^{\prime} (z^{\prime} + k) = 80 \tag{2}$$
が得られる．\
　すると $z^{\prime} (z^{\prime} + k) \geq k + 1$ なので $xy \leq \dfrac{80}{k + 1}$ が成り立つ．一方で，$k$ を固定したとき $x - y$ の値が大きいほど $xy$ は小さな値をとるので，$xy$ のとり得る値は小さい方から順に$$13k - 1，26k- 4，39k - 9，52k - 16，65k - 25，\dots$$
である．これらのことから組 $(k, xy)$ としてあり得るものは
$$(1, 12), (1, 22), (1, 30), (1, 36), (1, 40), (2, 25)$$
の $6$ つに絞られる．さらに $xy \mid 80$ をみたすのは $(k, xy) = (1, 40)$ のみであり，$x = 8, y = 5$ を得る．また，式 $(2)$ から
$$z^{\prime} (z^{\prime} + 1) = 2$$
であり，これより $z^{\prime} = 1$ が得られる．したがってこのケースでは $(x, y, z) = (8, 5, 13)$ が適する．
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**Case 2.**　$x \geq y$ であり，$13 \mid x$ かつ $13 \mid y$ をみたすとき\
　$x^{\prime} \geq y^{\prime}$ なる正整数 $x^{\prime}, y^{\prime}$ により $x = 13x^{\prime}, y = 13y^{\prime}$ とおき，$P = x^{\prime}y^{\prime}z$ とおくと，式 $(1)$ から
$$P(13(x^{\prime} + y^{\prime}) + z) = 80 \tag{3}$$
が得られる．\
　すると $13(x^{\prime} + y^{\prime}) + z \geq 27$ から $P \leq 2$ が従う．一方で式 $(3)$ と性質Aから
$$P(13P + 14) \geq P(13(x^{\prime}y^{\prime} + 1) + z) \geq 80$$
が得られ，$P \geq 2$ が従う．よって $P = 2$ が成り立ち，組 $(x^{\prime}, y^{\prime}, z)$ としてあり得るものが $(2, 1, 1), (1, 1, 2)$ の $2$ つに絞られ，これらのうち式 $(3)$ をみたすものは $(2, 1, 1)$ のみである．したがってこのケースでは $(x, y, z) = (26, 13, 1)$ が適する．
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　以上より，式 $(1)$ の正整数解 $(x, y, z)$ は変数の並び替えの違いを除けば $(8, 5, 13), (26, 13, 1)$ の $2$ つである．したがって問題の条件をみたす組 $(a, b, c)$ は
$$
\begin{aligned}
(5 + 8, 5 + 13, 8 + 13) = (13, 18, 21) \\\\
(1 + 13, 1 + 26, 13 + 26) = (14, 27, 39)
\end{aligned}
$$
の $2$ つであり，特に解答すべき値は
$$13 \cdot 18 \cdot 21 + 14 \cdot 27 \cdot 39 = \mathbf{19656}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/editorial/8364
　式 $ xyz(x+y+z)=2^4 \cdot 5 \cdot 13^2$ 以降の別解である．\
　偶奇について考えると，$x,y,z,x+y+z$ のうち $2$ つまたは $4$ つが偶数である．\
　もし $4$ つが偶数だとすると，$x,y,z$ をそれぞれ $2$ で割って，式 $ pqr(p+q+r)=5 \cdot 13^2$ を満たす整数組が存在することになるが，それはあり得ないことが容易にわかる．よって，以下は次の問いを考えればよい．

問．式 $ xyz(x+y+z)=2^4 \cdot 5 \cdot 13^2$ を満たし，$x,y,z,x+y+z$ のうち $2$ つが偶数，$2$ つが奇数であるような組を求めよ．

　ありうる奇数の組は $(1,1), (1,5), (1,13), (1,65), (1,169), (1,845), (5,13), (5,169), (13,65)$ である．\
　$ \sqrt{2^4 \cdot 5 \cdot 13^2}=116. \cdots$ であることを考えると，$(1,169), (1,845), (5,169)$ については除ける．\
　次に，$2$ 数が小さい $(1,1), (1,5), (1,13),(5,13)$ 組については，いずれかが $x+y+z$ となることはあり得ないので，それぞれ以下の方程式を考えればよいことになる：
$$\begin{aligned}
t(t+2)&=2^4 \cdot 5 \cdot 13^2 \\\\
t(t+6)&=2^4  \cdot 13^2\\\\
t(t+14)&=2^4 \cdot 5 \cdot 13\\\\
t(t+18)&=2^4 \cdot 13
\end{aligned}$$
　それぞれ少し式変形して，
$$\begin{aligned}
(t+1)^2&=2^4 \cdot 5 \cdot 13^2+1 \\\\
(t+3)^2&=2^4  \cdot 13^2+9\\\\
(t+7)^2&=2^4 \cdot 5 \cdot 13+49\\\\
(t+9)^2&=2^4 \cdot 13+81
\end{aligned}$$
とすれば，電卓の $\sqrt{\ \  }$ 機能を用いて，解を得ることができる．

　最後に残った $(1,65), (13,65)$ 組については，地道に考えよう．\
　$(1,65)$ の場合，$\\{x,y,z,x+y+z\\}=\\{1,65,s,t\\}$ であり，$st=80$ を満たす．$s,t$ がともに偶数であったことを思い出すと，$s+t \leq 42$ なので適する $s,t$ 組は存在しない．$(13,65)$ の場合も同様にして，満たすものが存在しないとわかる．
公式解説の式 (1) 以降の別解
https://onlinemathcontest.com/contests/omc230/editorial/8364/634
　$a\leq b \leq c$ なる正整数の組 $(a, b, c)$ について，以下が成り立ちました．
- $3$ 辺の長さがそれぞれ $a, b, c$ である三角形が存在し，その面積は $52\sqrt{5}$ である．

このような組 $(a, b, c)$ すべてに対する $abc$ の総和を解答してください．