　$\angle PAR=\theta$ とおくと，三角形 $ARS$ と三角形 $APQ$ が相似であることと，正弦定理から以下が分かる.
$$RS=PQ\cos \theta,\quad AB=\frac{PQ}{\sin \theta}$$
したがって，$\cos\theta\sin\theta = \dfrac{2}{5}$ であるから，$\tan\theta = 2, \dfrac{1}{2}$ を得る．
また，
$$\angle PAB = \angle PQB = 90^\circ - \angle AQP = 90^\circ - \angle ASR$$
より直線 $AB$ と $RS$ は直交するので，求める面積は
$$\frac{1}{2}\times AB\times RS=\dfrac{PQ^2}{2\tan\theta} =\dfrac{288}{\tan\theta}$$
以上より，求める総和は $288\times\left(2+\dfrac{1}{2}\right)=\textbf{720}$ である．なお，$BP=7$ は余剰な条件である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/2192
$PR$ と $QS$ の交点を $H$ とすると，$H$ は三角形 $APQ$ の垂心である. $\angle PSQ=\angle PRQ=90^{\circ}$ より，$P, S, R, Q$ は共円だから，三角形 $ARS$ と $APQ$ は相似. さらに，$$\angle ASH=\angle ARH=90^{\circ},　\angle AQB=\angle APB=90^{\circ}$$ より，この相似において $H$ と $B$ は対応する. よって，$AH:RS=AB:PQ$ だから，$AB:RS=5:2$ より $AB=5x, RS=2x, AH=\dfrac{5}{12}x^2$ とおける. いま，三角形 $APQ$ の外接円を $\Gamma$，外心を $O$ とし ($O$ は明らかに線分 $AB$ の中点である)，$QO$ と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X$ とすると，これは $H$ を $AB$ の中点で折り返した点であるから，$$AH^2+PQ^2=XP^2+PQ^2=XQ^2=AB^2=25x^2$$ である. よって，$\dfrac{25}{144}x^4+576=25x^2$ だから，これを解いて $x^2=\dfrac{576}{5}, \dfrac{144}{5}$. いま，$HS\parallel BP, HR\parallel BQ$ より，以下が成立する. 
$$|RASB|=|ASHR|+|SHB|+|RHB|=|ASHR|+|SHP|+|RHQ|=|APHQ|=\dfrac{AH×BC}{2}=5x^2$$
よって，$RASB$ の面積としてありうる値の総和は $5×\left(\dfrac{576}{5}+\dfrac{144}{5}\right)=\textbf{720}$.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/2192/314
　$AB=5x,RS=2x$ とおく．三角形 $APQ$ の垂心を $H$，その外接円の中心を $O$，線分 $PQ$ の中点を $M$，$PO$ と外接円との交点を $T(\neq P)$，$AB$ と $PQ$ の交点を $U$ とする．$P, Q, R, S$ および $A, B, P, Q$ はそれぞれ共円より $\angle ASR = \angle AQP = \angle ABP$ となるから，$B, P, S, U$ は共円で $\angle AUS=\angle APB = 90^{\circ}$ となる．ゆえに四角形 $ARBS$ の面積は $\dfrac{1}{2} \times AB \times RS = 5x^2$．また，$AH=2OM=TQ=\sqrt{PT^2-PQ^2}=\sqrt{25x^2-576}$ である．三角形 $ARS$ と三角形 $APQ$ の相似比は，それらの外接円の直径の比に等しいから，
$$\begin{aligned}
RS:PQ=AH:AB &\Leftrightarrow 2x:24=\sqrt{25x^2-576}:5x\\\\
&\Leftrightarrow(5x^2)^2-720(5x^2)+82944=0\\\\
\end{aligned}$$
したがって，解と係数の関係より求めるべき総和は $\bf{720}$ となる(厳密には $2$ 解が問題の条件に適しているか確認しなければならない)．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/2192/315
　$4$ 点 $A,B,P,Q$ は $\angle APB = \angle AQB = 90^\circ$ をみたし，$P$ と $Q$ は直線 $AB$ に関して反対側にあります．点 $P$ から直線 $AQ$ に下ろした垂線の足を $R$，点 $Q$ から直線 $AP$ に下ろした垂線の足を $S$ とすると，以下が成り立ちました．
$$\angle PAQ \lt 90^\circ,\quad AB:RS=5:2,\quad BP = 7,\quad PQ=24$$
このとき，四角形 $RASB$ の面積としてあり得る値の総和を求めてください.