　$4$ 点 $P,B,C,Q$ は同一円周上にあることと，$AB=PB$ が成り立つことにより．
　$$\angle{BCQ}=\angle{BPA}=\angle{BAP}$$
であるから，$Q$ は線分 $BD$ 上にあり，特に $\angle{CBQ}=45^{ \circ }$ である．よって，中線定理と余弦定理より以下がそれぞれ成り立つ．
$$AB^2+BQ^2=2(BP^2+AP^2)$$$$CQ^2=4AP^2=BQ^2+BC^2-2BQ \times BC \times \cos \angle{CBQ}$$
これらを連立させて解くことで $BQ=\sqrt{126}-\sqrt{18}$ が得られる．特に, 解答すべき値は $\textbf{144}$ である．

　
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/5661
　公式解説と同様に，$\angle BCQ=45^{\circ}$ を示したあと，座標を使うことも可能です．\
　（より正確には，$\angle BCQ=45^{\circ}$ を示す前から座標のみで解くことも可能だと思いますが，かなりの計算量になりそうです．）

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　点 $B$ を原点，点 $A(0,6)$，点 $C(6,0)$ となるように座標平面を定める．このとき点 $Q(2t,2t)$ とおくと，点 $P(t,t+3)$ である．\
　$BP=6$ より方程式を解いて，$t=\dfrac{3 \sqrt{7}-3}{2}$ を得る．あとは $BQ=2 \sqrt{2} t$ を用いればよい．
座標を用いる方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/5661/380
　一辺の長さが $6$ である正方形 $ABCD$ について，その内部（外周を除く）の点 $P$ が $AB=PB$ をみたします．$P$ を中心に $A$ を対称移動した点を $Q$ とすると，$4$ 点 $P,B,C,Q$ は同一円周上にありました．このとき，線分 $BQ$ の長さは，正整数  $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．