　操作において $a,b,c$ を消して書かれる数の天井記号の中身を $f(a,b,c)$ とする.\
　適当な正整数 $a,b,c$ および素数 $p$ について, $a,b,c$ が $p$ で割り切れる回数をそれぞれ $x,y,z$ 回とする. $x\geq y\geq z$ としても一般性を失わない. このとき, $abc$ は $p$ で $x+y+z$ 回, $\gcd(a,b,c)$ は $p$ で $z$ 回, $\textrm{lcm}(a,b,c)$ は $p$ で $x$ 回割り切れるから, $f(a,b,c)$ は正整数であり, 特に $p$ で $y$ 回割り切れる. 逆に $f(a,b,c)$ が適当な素べき $p^n$ で割り切れるならば $a,b,c$ のうち少なくとも二つは $p^n$ で割り切れるから, 適当な素数 $p\neq q$ について $p^nq^m$ で割り切れるならば $a,b,c$ には $p^nq^m$ の倍数が含まれる. これより, 特に $M$ は $11$ 以上の素因数を高々一つしか持たず, $M=2^w3^x5^y7^zp^n$ と表せる. 以下, $M\leq 32760$ であることを示そう.\
　$n=0$ のとき, 上の議論より $2^w3^x,5^y7^z\leq 121$ であるから $M\leq 14641$. 同様にして, 以下 $w,x,y,z,n$ はすべて $0$ でないとしてよい. このとき $n=1$ であり, $p=11,13,17$ である. それぞれ以下のように計算できる.

- $p=11$ のとき, $M=2^3\times3^2\times5\times7\times11=27720$ が最大.
- $p=13$ のとき, $M=2^3\times3^2\times5\times7\times13=32760$ が最大.
- $p=17$ のとき, $M=2^2\times3\times5\times7\times17=7140$ が最大.

　あとは $M=32760$ となる操作を具体的に提示すればよいが, これは以下のように実現される.
$$ \begin{aligned}
    f(109,113,\text{適当な数})&=1,& f(1,35,105)&=35,& f(35,40,112)&=280,& f(63,70,90)&=630,\\\\
    f(72,280,630)&=2520,& f(56,91,104)&=728,& f(45,65,117)&=585,& f(585,728,2520)&=32760
\end{aligned}$$
ただし, **適当な数**は残りの数に適当に操作を施して得る. 以上より, 求める最大値は $\textbf{32760}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/16
　黒板に $1$ から $121$ までの整数が一つずつ書かれています. siosio君は, 黒板に書かれている数がちょうど一つになるまで, 以下の操作を繰り返し行います.

- 黒板から $3$ 数 $a,b,c$ を選んで消し, 新たに $\left\lceil \dfrac{abc}{\gcd(a,b,c)\times\textrm{lcm}(a,b,c)} \right\rceil$ を書き足す.

このとき, 最後に黒板に残る数 $M$ としてあり得る最大値を求めてください.\
　ここで, 整数 $a,b,c$ に対しこれらの最大公約数を $\gcd(a,b,c)$ で, 最小公倍数を $\textrm{lcm}(a,b,c)$ で表します. また実数 $x$ に対し, $\lceil x\rceil$ で $x$ 以上の最小の整数を表します.