　$I$ を内心とすれば，$\angle BDI =90^\circ= \angle BFI$ より $4$ 点 $B,D,F,I$ は同一円周上にある. よって
$$\angle FEH = \angle FED = \angle FDB = \angle FIB$$
より三角形 $FEH$ と三角形 $BIF$ は相似. 
同様に三角形 $FDH$ と三角形 $AIF$ は相似である. 
従って, $AF = a, BD = b, CE = c$ とすると
$$DH : EH = IF\times\frac{FH}{a} : IF\times\frac{FH}{b} = b : a$$
であるからMenelausの定理より
$$DP = CP\times\frac{DH}{HE}\times\frac{EA}{AC} = 7\times\frac{b}{a}\times\frac{a}{22} = \frac{7}{22}b$$
を得る. また, 
$$c - b = (a+c) - (a+b) = 22 - 20 = 2$$
であるから
$$b+2 = c = DP + CP = 7+\frac{7}{22}b$$
が分かる. これを解くことで $b = \dfrac{22}{3}, c = \dfrac{28}{3}$ が分かるので $BC = \dfrac{50}{3}$ を得る. 特に解答すべきは $\bf{53}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/editorial/3382
ほぼ相似の一発ゲーで解ける解法です.

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三角形 $ABC$ の内心を $I$ とし，三角形 $ABC$ の内接円と $FH$ の交点を $G(\neq F)$ とする. このとき，簡単な角度計算から三角形 $GED$ と三角形 $IAB$ は相似であり，よって $AF:FB=EH:HD$. さらに $AE=AF, BE=BD$ より $AE:EH=BD:DH$ であり，また $\angle AEH=\angle BDH$ であるから，三角形 $AEH$ と $BDH$ は相似. したがって，$AF=x$ とすると，$\angle AHF=\angle BHF, \angle BHD=\angle DHF$ より，$AH:HB=AF:FB, HB:HF=BD:DF$ から $AH:HF=AF:DP=x:15-x$ となる. 以下，三角形 $HECP$ の面積に注目することで $22×15-x^2=20(22-x)-(20-x)(15-x)$，つまり $x=\dfrac{38}{3}$ が導けるので，$BC=42-2x=\dfrac{50}{3}$，したがって解答すべき値は $\textbf{53}$ である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/editorial/3382/173
　$AB=20$, $AC=22$ である三角形 $ABC$ について，内接円と辺 $BC$, $CA$, $AB$ の接点をそれぞれ $D$, $E$, $F$ とします．$F$ から直線 $DE$ へ下ろした垂線の足を $H$ とおき，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $P$ としたとき，$CP=7$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さを求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a$, $b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．