　中国剰余定理より, $3$ つの余りの組は $(0,0,0)$ を除いてちょうど一つずつ現れるから, 求める総和は

$$\sum_{i=0}^{6}\sum_{j=0}^{10}\sum_{k=0}^{12}ijk=\sum_{i=0}^{6}i\sum_{j=0}^{10}j\sum_{k=0}^{12}k=\dfrac{6\times 7}{2}\times\dfrac{10\times 11}{2}\times\dfrac{12\times 13}{2}=\textbf{90090}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/editorial/1883
https:\/\/youtu.be\/sWGabm0MNck
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc057/editorial/1883/95
　正整数 $n,m$ に対し, $n$ を $m$ で割った余りを $n\ \mathrm{mod}\ m$ で表すとき, 以下の総和を求めてください：
$$\sum_{n=1}^{1000}(n\ \mathrm{mod}\ 7)(n\ \mathrm{mod}\ 11)(n\ \mathrm{mod}\ 13)$$