　任意の正整数 $k$ について，$k^5$ と $k$ の偶奇は一致するため，$k^5-k$ は必ず $2$ の倍数である．また，Fermat の小定理から $k^5-k$ はつねに $5$ の倍数でもある．よって $k^5-k$ は $10$ の倍数であり，$k^5,k$ の下 $1$ 桁は一致するから，$a_n$ の下 $1$ 桁は $n$ の下 $1$ 桁と一致する．よって求めるべき値は次のように計算できる．
$$(1+2+\dots +8+9+0)×10=\mathbf{450}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/11737
　数列 $\\{a_n\\}_{n=1,2\cdots}$ を $a_1 = 1$ および
$$a\_{n+1}=a_n^5+1 \quad (n = 1, 2, \ldots)$$
で定めます．この数列の第 $1$ 項から第 $100$ 項までの下 $1$ 桁の総和を求めてください．