　$ N = 2^m × k$（$k$ は奇数）と表されたとする．求める値は $m$ としてあり得る値の総和である．\
　以下操作は $100$ 回でなく十分多く繰り返すものとする．$i$ 回目の操作と $j$ 回目の操作 $(i\lt j) $ で同じカードを裏返したとすると $2^{i-1} \equiv 2^{j-1}\pmod{N}$，つまり $2^{i-1} (2^{j-i}-1) \equiv 0\pmod{N}$ である．$2^r-1$ が $k$ の倍数となる最小の正整数 $r$ をとれば，これは $i\geq m+1$ かつ $r\mid(j-i)$ と同値．従って次がわかる．

- $m$ 回目までは相異なるカードを裏返し，そこで裏返したカードはそれ以降裏向きのまま．
- $m+1$ 回目から $m+r$ 回目までは相異なるカードを裏返し，それ以降は $r$ 回ごとに同じカードを裏返す．
  - $m+1$ 回目以降に裏返される $r$ 枚のカードを良いカード，また $m+i\ (1\leq i\leq r)$ 回目に裏返されるカードを $i$ 番目の良いカードと呼ぶことにする．

　これを踏まえて条件を満たす $m$ と $r$ の組み合わせを考える．$r=1$ の場合は $m=45,46$ のみが，$r=2$ の場合は $m=45$ のみが条件を満たすことが確認できる．$r\geq 3$ のとき，まず最初の $50$ 回で裏向きのカードが $46$ 枚になったことから，裏向きのカードを裏返した回数は $2$ 回である．これが実現するのは $m+r$ 枚のカードを一度裏返した後，良いカードのうち $2$ 枚をもう一度裏返す場合のみなので $m+r=48$ を得る．また $100$ 回の操作の後でも裏向きのカードの枚数が同じ $46$ 枚であることから，$100$ 回の操作の後は次のどちらかの状態になる．

- (a): $1,2$ 番目の良いカードのみ表向き．
- (b): $r-1,r$ 番目の良いカードのみ表向き．

$100$ 回の操作のうち後半の $50$ 回の操作を考えると，(a)の状態になるのは $ 2nr = 50 $，(b)の状態になるのは $ 2nr - 4 = 50 $ を満たす正整数 $n$ が存在することとそれぞれ同値である．よって $r\geq 3$ と合わせて $r$ としてあり得る値は $ 3, 5, 9, 25, 27 $ であり，$ m+r = 48 $ より $m$ としてあり得る値は $ 21, 23, 39, 43, 45 $ である．\
　以上より $m$ としてあり得る値は $ 21, 23, 39, 43, 45, 46 $ であり，求める値は $\mathbf{217}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb022/editorial/7975
　$N$ 枚の表と裏が区別できるカードがあり，カードにはそれぞれ $0$ 以上 $N-1$ 以下の相異なる数字が $1$ つずつ書かれています．はじめ，カードは全て表を向いています．OMC君はこれらのカードに次の操作を $100$ 回行いました．
- **操作**：$i$ 回目 $(1\leq i\leq 100)$ の操作であるとき，$2^{i-1}$ を $N$ で割ったあまりが書かれたカードを裏返す．ここで「カードを裏返す」とは表を向いているカードを裏向きに，裏を向いているカードを表向きにすることを指す．

OMC君が $50$ 回目の操作を終えた後にはちょうど $46$ 枚のカードが裏向きに，$100$ 回目の操作を終えた後にもちょうど $46$ 枚のカードが裏向きになっていました．このとき $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数としてあり得る値の総和を解答して下さい．