$$\begin{cases}
p+q+r=1\\\\
p+r=2q
\end{cases}$$
より，$q=\dfrac{1}{3}$ であり，一方で $q=\dfrac{12}{a}$ であるので，$a=36$ が従う．逆にこれと $1\leq b\leq24$ を満たす $(a,b)$ の組に対して問題文の条件は満たされるので，求める組は次の通り．
$$(a,b)=(36,1),\ (36,2),\ \cdots ,\ (36,24)$$
特に解答すべき値は $36 \times (1+2+3+\cdots +24)=\mathbf{10800}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/11678
　$a,b$ を $1\leq b$ および $b+12\leq a$ を満たす正の整数とします．箱の中に $1,2,\dots,a$ と書かれたボールが $1$ 個ずつ計 $a$ 個入っています．この箱の中からボールを $1$ 個取り出し， 取り出したボールに書かれた数を $x$ としたとき，
- $1\leq x\lt b$ である確率を $p$
-  $b\leq x\lt b+12$ である確率を $q$
-  $b+12\leq x\leq a$ である確率を $r$

とすると $p,q,r$ はこの順に等差数列となりました．このような組 $(a,b)$ すべてについて，$ab$ の総和を解答してください．