<details><summary>混線内接円とその基本的な性質について<\/summary>
　三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ と外接円に接する円を，三角形 $ABC$ の $A$ に対する混線内接円，あるいはmixtilinear incircleという．この円と三角形 $ABC$ の外接円，辺 $AB,AC$ の接点をそれぞれ $S,T,U$ とし，三角形 $ABC$ の外接円，内心をそれぞれ $\omega, I$ とすると，次のような性質が成り立つ．

- 直線 $IS$ は $\omega$ の $A$ を含む弧 $BC$ の中点を通る．
- 直線 $ST$ は $\omega$ の $C$ を含まない弧 $AB$ の中点を通る．
- 直線 $SU$ は $\omega$ の $B$ を含まない弧 $AC$ の中点を通る．
- 直線 $AI$ と $TU$ は $I$ で直交する．
- 四角形 $SBTI$ と $SIUC$ は相似である．
<\/details>

　直線 $AI, MI$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点をそれぞれ $K,L$ とする．また，直線 $KM$ に $I$ から下ろした垂線の足を $H$ とする．\
　$\angle IAM = \angle IHM = 90^\circ$ より $4$ 点 $A,H,I,M$ は同一円周上にあるので，
$$\angle HAI = \angle KML = \angle IAL$$
である．また，$\angle IHK = \angle ILK = 90^\circ$ より $4$ 点 $H,I,K,L$ は同一円周上にあるので，
$$\angle ALI = \angle AKM = \angle HLI$$
である．よって，三角形 $AHL$ の内心は $I$ である．従って，直線 $HI$ は $\angle AHL$ の二等分線であり，この直線に垂直である直線 $KM$ は $\angle AHL$ の外角の二等分線である．よって，線分 $AL$ の垂直二等分線と直線 $KM$ の交点 $O$ は三角形 $AHL$ の外接円の $H$ を含む弧 $AL$ の中点である．また，$M$ は三角形 $AHL$ の $L$ に対する傍心であるから，傍心と内心の中点である $N$ は三角形 $AHL$ の $L$ を含まない弧 $AH$ の中点である．以上より，$6$ 点 $A,H,L,N,O,X$ は同一円周上にあるので，混線内接円の基本的な性質より $X$ は三角形 $AHL$ の外接円と $H$ に対する混線内接円の接点である．\
　よって，三角形 $XAI$ と $XIL$ は相似である．従って，$\angle AXI = \angle LXI$ であるから，直線 $OX$ に関して $A$ と対称な点を $A^\prime$ とすれば，$A^\prime$ は直線 $LX$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点である．よって，三角形 $ABC$ の外接円半径を $R$ とすると，
$$OX^2 - R^2 = A^\prime X \times LX = AX\times LX = IX^2$$
が成立するので，$R = 65$ を得る．さらに，三角形 $ABC$ の内接円半径を $r$ とすれば，Chapple-Eulerの定理より $OI^2 = R^2 - 2Rr$ であるから，$OI = OX - IX = 25$ と併せて $r = \dfrac{360}{13}$ を得る．よって，$AI = 45$ と併せて $\sin \dfrac12\angle BAC = \dfrac{8}{13}$ であるから，
$$\cos \frac12\angle BAC = \frac{\sqrt{105}}{13},\quad \sin \angle BAC = \dfrac{16\sqrt{105}}{169}$$
である．従って，三角形 $ABC$ の内接円と辺 $AB,AC$ の接点をそれぞれ $E,F$ とすると，
$$AE = AF = AI\cos \frac12\angle BAC = \frac{45\sqrt{105}}{13},\quad BE + CF = BC = 2R\sin\angle BAC = \dfrac{160\sqrt{105}}{13}$$
であるので，求める面積は，
$$\frac12r(AB+BC+CA) = \frac12r(AE+AF+BE+CF+BC) = \frac{73800\sqrt{105}}{169}$$
である．特に，解答すべき値は $\bf{74074}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/editorial/7554
　$ABC$ の外接円の半径 $R=65$ を示す．\
　$MO$ と $ABC$ の外接円の交点を $K(\neq M)$，$AON$ の外接円を $\omega$ とする．三角形 $IMK$ で，$A$ は $M$ から $IK$ に落とした垂足，$O$ は $MK$ の中点， $N$ は $MI$ の中点なので，$\omega$ は $IMK$ の九点円である．$IK$ の中点を $T$ とすると，$T$ は $\omega$ を通る．方べきの定理より，$$OI\times IX=AI\times IT$$なので，$IT=40$，$IK=2IT=80$．また方べきを使うと，$$AI\times IK=R^2-IO^2$$が成り立つので，$R=65$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/editorial/7554/230
　直線 $AI,BI,CI$ と円 $ABC$ との交点をそれぞれ $P(\not =A),Q(\not =B),R(\not =C)$ とする．angle chaseから $IQMR$ が平行四辺形であることがわかるので，$N$ は直線 $QR$ 上にある．$\angle IAM=90^\circ$ より $AN=IN=MN$ なので，$NO\perp QR$ つまり $AP\parallel NO$ である．また，$I$ は三角形 $PQR$ の垂心なので，線分 $IP$ の中点を $Y$ とすると $IY=\dfrac{1}{2}IP=ON$ であり，これと $AY\parallel NO$ から $OY=NI=NA$ となる．よって，$Y$ は円 $ANO$ 上にあるので，以降は公式解説と同様である．  
　(余談ですが，OMCE011の前日の精進でこの問題を解いた際，$M$ を $A$ を**含まない**弧 $BC$ の中点と誤読して犯罪CAをしてしまいました…この解説を書いたので許してください…)
別解(と懺悔)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/editorial/7554/769
　$AB\neq AC$ なる三角形 $ABC$ があり，その内心，外心をそれぞれ $I,O$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円の $A$ を含む方の弧 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $IM$ の中点を $N$ とします．さらに，三角形 $AON$ の外接円と直線 $IO$ が $O$ でない点で交わったので，その交点を $X$ とします．\
　以下が成立するとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください：
$$AI = 45,\quad IX = 72,\quad OX=97.$$
　ただし，求める面積は互いに素である正の整数 $a,c$ と平方因子をもたない正の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．