　十進表記したときにどの桁にも $9$ が現れない $n$ 桁以下の非負整数のうち，$7$ の倍数であるものの個数を $f(n)$ とする．
ただしここでは $0$ は $0$ 桁であるとする．このとき求める総和 $S$ は次のように表せる．
$$S= 5^{2022^{2022}} f(5^{2022^{2022}})-\sum_{n=0}^{5^{2022^{2022}}-1}f(n)$$

　$f(n)$ を求めよう．十進表記でどの桁にも $9$ が現れない $n$ 桁以下の非負整数 $K$ は $x_i\in\\{0,1,\dots,8\\}$ を用いて
$$K=x_0+10x_1+\dots+10^{n-2}x_{n-2}+10^{n-1}x_{n-1}$$
と表せて，このとき次が成り立つ．
$$K\equiv 10^{n-1}((-9)^{n-1}x_0+(-9)^{n-2}x_1+\dots+(-9)x_{n-2}+x_{n-1})\pmod{7}$$
すなわち，次をみたす組 $(x_0,\dots,x_{n-1})\in\\{0,1,\dots,8\\}^n$ の個数が $f(n)$ である．
$$(-9)^{n-1}x_0+(-9)^{n-2}x_1+\dots+(-9)x_{n-2}+x_{n-1}\equiv 0\pmod{7}$$
　いま，左辺のような表示を $n$ **桁以下のマイナス九進表記** と呼ぶ（ただし $n=0$ では $0$ とする）．$n$ 桁以下のマイナス九進表記が可能な整数の最小値 $m_n$ および最大値 $M_n$ は
$$m_n=\begin{cases}
-\frac{9(9^n-1)}{10}&(n:偶数)\\\\
-\frac{9(9^{n-1}-1)}{10}&(n:奇数)\end{cases},\quad 
M_n=\begin{cases}
\frac{9^n-1}{10}&(n:偶数)\\\\
\frac{9^{n+1}-1}{10}&(n:奇数)\end{cases}$$
であることが容易にわかる．一方で，$9^1,9^2,\dots$ で割った余りを考えることで，任意の整数に対し，その $n$ 桁以下のマイナス九進表記は可能ならば一意である．これらより，$n$ 桁以下のマイナス九進表記が可能な整数全体の集合は $m_n$ 以上 $M_n$ 以下の整数全体の集合と一致し，$f(n)$ は $n$ 桁以下のマイナス九進表記が可能な $7$ の倍数の個数だから，
$$f(n)=\left\lfloor\dfrac{-m_n}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{M_n}{7}\right\rfloor+1$$
　さて， $5^{2022^{2022}}=6N+1$ とおけば，以下を求めるのであった．
$$S=(6N+1)f(6N+1)-\sum_{n=0}^{6N}f(n)$$
$m_n,M_n$ を $7$ で割ったあまりの周期性を考慮して計算すれば，次が確認できる．
$$\begin{gathered}f(6k+1)=\dfrac{9^{6k+1}+5}{7},\quad f(6k)=\dfrac{9^{6k}+6}{7},\\\\ f(6k)+\dots+f(6k+5)=\dfrac{1}{7}(9^{6k}+9^{6k+1}+\cdots+9^{6k+5})+2\end{gathered}$$
従って $N\equiv 0 \pmod{9^7}$ より次が得られる．
$$\begin{aligned}
S&=(6N+1)\times\dfrac{9^{6N+1}+5}{7}-\left(\sum_{n=0}^{6N}\dfrac{9^n}{7}+2N+\dfrac67\right)\\\\
&\equiv \dfrac57-\dfrac17\times\dfrac{-1}{9-1}-\dfrac67 \pmod{9^7}\\\\
&\equiv -\dfrac18\pmod{9^7}\\\\
&\equiv \dfrac{9^7-1}8\pmod{9^7}\\\\
&\equiv \bm{597871}\pmod{9^7}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc087/editorial/2472
　次の条件をみたす正整数すべてについて，十進法表記での**桁数の総和**を $9^7$ で割ったあまりを求めてください．
- 十進表記での桁数が $5^{2022^{2022}}$ 桁以下である．
- $7$ の倍数である．
- 十進表記したときに，どの桁にも $9$ が現れない．

例えば，条件をみたす正整数が $3,14,15$ の $3$ つであったとき，求める値は $1+2+2=5$ です．また，$5^{2022^{2022}}=5^{(2022^{2022})}$ です．