公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8467
　$A$ が $9$ つ並んだ状態から操作を行って得られる文字列としてあり得るものが何通りあるかを考えればよい．  
左から $k,k+1,k+2$ 番目の文字を入れ替えるという操作を $X_i$ とし，$X_i$ を行った回数を $x_i$ とおくと，出来る文字列は $x_1,x_2,\ldots,x_7$ の偶奇のみに依存し，操作回数や操作の順番に依らないことに注意すると，$A,B$ からなる $9$ 文字の文字列を $A$ が $9$ つ並んだ状態から出発して作ることを考えると，左から $i$ 番目までの文字列から $x_i$ の偶奇が帰納的に定まり，左から $7$ 番目までの文字列を完成させるための $x_1,x_2,\ldots,x_7$ の偶奇は一意に定まってしまい，その操作を行ったときの左から $8,9$ 番目の文字も一意に定まる．  
　よって，求める場合の数は左から $7$ 番目までの文字の決め方を考えればよく，$2^7=\textbf{128}$ 通り．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nadachu2023/editorial/8467/210
作問：児玉

　以下の $\boxed{\phantom{nada}}$ に当てはまる整数を解答して下さい.
***
　横一列に並んだ $9$ 個のマスのそれぞれに $\text{A}$ と $\text{B}$ のどちらかを書き込む方法は $512$ 通りあります．このうち，次の条件をみたすものは $\boxed{\phantom{nada}}$ 通りあります：
- 「連続した $3$ マスを選び，各マスについて $\text{A}$ を $\text{B}$ に，$\text{B}$ を $\text{A}$ に書きかえる」ことを適切に何度か繰り返すことで，すべてのマスに $\text{A}$ が書かれた状態にできる．