　三角形 $ABM$ の外接円を $\Omega$ としたとき，半直線 $BD$ と $\Omega$ が点 $B$ 以外に共有点を $1$ つもつので，これを $E$ とする．すると円周角の定理から
$$\angle AME = \angle MAE = 60^{\circ}$$
がしたがうので，三角形 $AME$ は正三角形である．ここで次の補題が成り立つ．

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**補題．**$E$ は線分 $BD$（両端を除く）上の点である．

<details><summary>補題の証明<\/summary>
　$BE \geq BD$ であると仮定する．点 $A$ から直線 $BD, BC$ におろした垂線の足をそれぞれ $H_1, H_2$ とする．
$$\angle ADB = \angle MAC \lt \angle BAC = 60^{\circ} - \angle ACB$$
であることから $\angle ADB$ は鋭角なので，$H_1$ は半直線 $DB$ 上にある．よって $H_1E \geq H_1D$ がしたがい，$AE \geq AD$ を得る．同様に $\angle AMB$ が鋭角であることから $H_2$ は半直線 $MB$ 上の点なので， $H_2C \gt H_2M$ より $AC \gt AM$ を得る．これらのことに $AE = AM$ をあわせることで $AC \gt AD$ を得るが，これは条件 $AC : AD = 16 : 19$ に矛盾．ゆえに $BE \lt BD$ なので，主張は成り立つ．
<\/details>

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　円周角の定理から $\angle AMB = \angle AEB$ であり，$\angle AMC = \angle DEA$ が得られる．これと $\angle MAC = \angle EDA$ から $\triangle AMC \sim \triangle DEA$ がわかり，その相似比は $16 : 19$ である．これに $AM = AE, BM = CM$ をあわせることで $BM : AM = 16 : 19$ が得られ，さらに三角形 $ABM$ について余弦定理を適用するなどすれば $AB : BM : AM = 5 : 16 : 19$ がわかる．よって，比の計算により以下のように順次長さが求められる．
$$BM = CM = \frac{16}{5}，AM = AE = \frac{19}{5}，DE = \frac{361}{80}$$
また，$4$ 点 $A, B, M, E$ が共円かつ三角形 $AME$ が正三角形であることから $BE = AB + BM$ が成り立つので，
$$BD = BE + DE = 1 + \frac{16}{5} + \frac{361}{80} = \frac{697}{80}$$
を得る．ゆえに，解答すべき値は $\mathbf{777}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce003/editorial/8320
　$\angle ABD=\angle CBD=60^{\circ}$ と，非常に扱いやすい角が点 $B$ の周りに集まっているので，点 $B$ を原点にとって座標を設定してみよう．

　$A \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right), M(x, -\sqrt{3}x), C(2x, -2\sqrt{3}x), D(t,0)$ とおく．\
　$AC^2=16x^2+4x+1,AD^2=t^2-t+1$ より 
$$\tag{1} 16^2(t^2-t+1)=19^2(16x^2+4x+1) $$
　$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC}=8x^2+3x+1, \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB}=t(t-\frac{1}{2})$ を用いて，$\angle MAC,\angle ADB$ の余弦 ($\cos$) の二乗を求めると
$$\dfrac{(8x^2+3x+1)^2}{(4x^2+2x+1)(16x^2+4x+1)}=\dfrac{(t-\frac{1}{2})^2}{t^2-t+1}$$
を得る．一見 $4$ 次式になりそうだが，次のように式変形すればよい：
$$1-\dfrac{3x^2}{(4x^2+2x+1)(16x^2+4x+1)}=1-\dfrac{\frac{3}{4}}{t^2-t+1}$$
　式 $(1)$ を用いれば $x$ についての $2$ 次方程式となり，$x=\dfrac{8}{5}$ を得る．最後にもう一度式 $(1)$ を用いて $t$ を求めればよい．
座標を用いる方法（非推奨）
https://onlinemathcontest.com/contests/omce003/editorial/8320/499
#### イントロ
　$BD$ と $AM, AC$ の交点をそれぞれ $X, Y$ とします．また直線 $BC$ 上に $Z$ を $\triangle ABZ$ が正三角形になるようにとります (なお，$Z$ は三角形の内角の二等分線の長さを求めるためだけに用いるので，その公式を知っている方はとる必要はありません)．また，$BM=CM=x$ とします．\
図を実際に書いてみると，$\triangle XYA\sim\triangle XAD$ が見えるのでこの相似から立式して答えを求めていきましょう．
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#### 実際に解く
　$\triangle ABM$ において余弦定理・角の二等分線の性質から $AX$ が求まり，$\triangle AZM\sim\triangle XBM$ 及び $\triangle AZC\sim\triangle YBC$ に関しての相似比から $XB, YB$ が分かるので，$XY$ が求められます．また，$\triangle ABC$ に関して角の二等分線の性質から $YA:AD$，つまり $\triangle XYA\sim\triangle XAD$ の相似比が計算できます． したがって $XY:XA=YA:AD$ によって得られる等式 $XY\cdot AD=XA\cdot YA$ を $x$ に関する方程式として立てることができます．あとはこれを解けば良いです．
<details><summary>具体的な計算<\/summary>
$$AX=\frac1{1+x}AM=\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x+1}$$
$$BX=ZA\cdot\frac{BM}{ZM}=\frac{x}{x+1}$$
$$BY=ZA\cdot\frac{BC}{ZC}=\frac{2x}{2x+1}$$
$$XY=BY-BX=\frac{x}{(x+1)(2x+1)}$$
$$YA:AD=\frac{16}{2x+1}:19$$
となるので，$XY:XA=YA:AD$ より
$$\frac{x}{(x+1)(2x+1)}:\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x+1}=\frac{16}{2x+1}:19
\Longleftrightarrow 19x=16\sqrt{x^2+x+1}$$
($x\gt0$ であることに注意してください) というように表式を得ることができます．\
これを解くと $x=\dfrac{16}5$ が得られます．どの辺も計算できるようになったので，あとはどの方針でも答えが求まるでしょう．\
例えば以下のように計算することができます．
$$BD=BX+XD=\frac{x}{x+1}+AX\cdot\frac{AD}{YA}=\frac{16x+19(2x+1)\sqrt{x^2+x+1}}{16(x+1)}=\frac{697}{80}$$
<\/details>
長さ追跡
https://onlinemathcontest.com/contests/omce003/editorial/8320/505
半直線 $BC$ が三角形 $ABD$ の外接円と再び交わる点を $F$ とする．三角形 $ADF$ が正三角形であることが円周角の定理からすぐにわかる．\
三角形 $CMA,AMF$ の相似がわかる(円周角の定理)ので，$$BM:MA=CM:MA=CA:AF=16:19$$
余弦定理で $BM=16\/5$ とわかる．\
トレミーの定理で両辺を正三角形 $ADF$ の一辺の長さで割ることで
$$BD=AB+BF=AB+BM+MF=1+\frac{16}{5}+\frac{16}{5}\cdot \frac{19}{16}\cdot \frac{19}{16}=\frac{697}{80}$$
となるので求めるべき値は $697+80=\mathbf{777}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce003/editorial/8320/514
　凸四角形 $ABCD$ が与えられており，辺 $BC$ の中点を $M$ としたところ，
$$AB = 1，AC : AD = 16 : 19， \\\\
\angle ABD = \angle CBD = 60^{\circ}，\angle MAC = \angle ADB$$
が成り立ちました．このとき線分 $BD$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a + b$ の値を解答してください．