　$n$ 回操作を施した後の溶液の濃度を $a_n\\%$ とする. $n-1$ 回目の操作終了後, 溶液は $50n+50\rm{mL}$ ある. ここへ $n$ 回目の操作を施すと,  $n-1$ 回目の操作終了時の溶液 $50n\rm{mL}$ と真水 $100\rm{mL}$ を混ぜた溶液であるから,
$$a_n=\displaystyle \frac{50na_{n-1}}{50n+100}=\frac{n}{n+2}a_{n-1}$$
$a_0=1$ に留意して, この漸化式を順次適用することで, 
$$a_n=\displaystyle \frac{n}{n+2} \cdot \displaystyle \frac{n-1}{n+1} \cdot \cdots \cdot \displaystyle \frac{2}{4} \cdot \displaystyle \frac{1}{3} \cdot 1=\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}$$
したがって, $a_n$ が $1\/2023$ 以下となるには以下の条件が必要であり, 特に求める値は $\bf{63}$ である. 
$$(n+1)(n+2) \geq 4046 \implies n\geq \displaystyle \frac{\sqrt{16185}-3}{2}\approx 62.1$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/2773
　 $n$ 回目の操作で食塩水を取り除いたあと，水の量が $\frac{n}{n+1}$ になるので，食塩も $\frac{n}{n+1}$ になる．よって，n回目の食塩の量は， $1 \cdot \frac{1}{2} \cdot\frac{2}{3} \cdots \frac{n}{n+1} =\frac{1}{n+1}$ である．また， $n$ 回目の操作のあとの水の量は $100+50n $ なので，濃度は $\frac{\frac{1}{n+1}}{100+50n} \cdot 100 = \frac{1}{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$ となることがわかる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/2773/317
　濃度 $1\\%$ の食塩水 $100\rm{mL}$ が入った容器 $A$ があり，ここへ以下の操作を $n$ 回繰り返し行います.

- 容器 $A$ から食塩水を $50\rm{mL}$ 取り除き，かわりに $100\rm{mL}$ の真水を入れる．

このとき食塩水の濃度が $\displaystyle \frac{1}{2023}\\%$ 以下になりました．$n$ としてあり得る最小の正整数を求めてください．\
　ただし，それぞれの操作の後で，容器 $A$ に入った食塩水の濃度は一様であるとします．