　ます，一つ目の条件より，明らかに黒マス同士が縦に隣り合うことはないと分かる．そこで，$1 \leq i \leq 9$ を満たす整数 $i$ のうち，左から $i$ 列目にある黒マスと左から $i+1$ 列目にある黒マスが隣り合うような $i$ の個数を $n$ とおく．このとき，二つ目の条件を満たすことは $2n = 12$ が成立することと同値である．(なぜなら，左から $i$ 列目の黒マスと左から $i+1$ 列目の黒マスが隣り合ったとき，その隣り合う $2$ つの黒マスそれぞれについて、辺を共有して隣り合う黒マスの個数が $1$ ずつ加算されるためである．) 以上より，$n = 6$ が従い，条件を満たす塗り方の数は $1$ 以上 $9$ 以下の整数から相異なる $6$ 個を選ぶ方法の数の $2$ 倍と一致する．(左から $1$ 列目のどちらを黒マスにするかを考慮しなければならないことに注意．) それは $2 \times {}\_{9}\mathrm{C}\_{6} = \mathbf{168}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc236/editorial/13334
　$2 \times 10$ のマス目があり，各マスを以下の条件を満たすように黒または白で塗ります．
- $1 \leq i \leq 10$ を満たす任意の整数 $i$ について，左から $i$ 列目にある $2$ マスは，一方が黒，もう一方が白で塗られている．
- 黒で塗られた全てのマスについて，そのマスと辺を共有して隣り合うマスのうち黒で塗られたマスの個数を合計すると $12$ となる．
　
このとき，条件を満たす塗り方は全部で何通りありますか $? \ $ ただし，回転や反転によって一致する塗り方も区別して考えるとします．