　$\Gamma$ の中心を $O$ とし，直線 $BF$ と直線 $DG$ の交点を $X$ とする．円周角の定理などから，
$$\angle ADB=\angle ACB=\angle GCE=\angle GDE=\angle ADX$$
より，$2$ 点 $B, X$ は $\Gamma$ の直径 $AD$ について対称であり，$AX=AB=20$ がわかる．また，円周角の定理などから，
$$\angle GAE=\angle FAE=\angle GBE=\angle CBX=\angle CAX=\angle GAX$$
および，
$$ \angle AEG = \angle ACD = \angle AXG $$
より $\triangle AEG\equiv \triangle AXG$ がわかる．したがって $AE=AX=AB=20$ となり，$\triangle ABE$ は二等辺三角形である．円周角の定理から $\triangle CDE$ も二等辺三角形である．また，$\triangle OCD$ は二等辺三角形なので $\triangle CDE\sim\triangle ODC$ であるから，$\Gamma$ の半径を $R$ とすれば，
$$CD^2=OD\cdot ED=OD\cdot(AD-AE)=R(2R-20)$$
となる．一方で，三平方の定理から，
$$CD^2=AD^2-AC^2=4R^2-576$$
でもあるから，
$$R(2R-20)=4R^2-576$$
を得る．$R\gt 0$ を踏まえてこれを解くと $R = \sqrt{313}-5$ であり，特に解答すべき値は $\bold{318}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12469
　公式解説と同様にして
$$AB=AX,\angle CAD=\angle CAX$$
がわかるので，$\Gamma$ の半径を $R$ とすると
$$\cos \angle DAX=\frac{10}{R}=\cos 2\angle CAD=2\cos ^2 \angle CAD-1=2(\frac{12}{R})^2-1$$
から $R=\sqrt{313}-5$ がわかる．
2倍角
https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2024/editorial/12469/694
　$AB = 20, ~ AC = 24$ をみたす鋭角三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．線分 $AD$ が $\Gamma$ の直径となるような点 $D$ をとり，直線 $AD$ と辺 $BC$ の交点を $E$ とします．三角形 $ABE,CDE$ それぞれの外接円が辺 $AC$ と点 $F (\neq A),~ G (\neq C)$ で交わっており，さらに直線 $BF$ と直線 $DG$ は $\Gamma$ 上で交わりました．このとき，$\Gamma$ の半径は正の整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．