　$1, 2, \ldots, 100$ の番号のついた頂点を用意し，番号の和が $101, 103, 105$ のいずれかである頂点の間に辺を張ることで（無向）グラフ $G$ を構成すると，$G$ は図1のようになる．ただし図1において，
$$a_{2n-1}=4n-3,\quad a_{2n}=104-4n,\quad b_{2n-1}=4n-1,\quad b_{2n}=102-4n\quad (n=1, 2, \ldots, 25)$$
である．スコアが $7$ となるような $7$ 枚のカードの選び方は，頂点の個数が $7$，辺の本数が $7$ である $G$ の誘導部分グラフに対応し，その誘導部分グラフを図1の頂点の位置関係で考えたときの形は図2の (i)\~(v) のいずれかである（それぞれ回転や反転したものも含む）．\
　(i) は連結な $6$ 頂点の位置で場合分けして考えれば $91\times 2 + 90\times 45=4232$ 通り．また (ii)\~(v) については反転および回転を考えると (ii) は $182$ 通り，(iii), (iv), (v) は $184$ 通りずつとわかる．\
　以上より，求める場合の数は $\bm{4966}$ 通り．

<details>
<summary>誘導部分グラフとは<\/summary>
　もとのグラフからいくつかの頂点を選ぶとき，それらの頂点の間の辺の有無がもとのグラフと一致する部分グラフを**誘導部分グラフ**と呼ぶ．
<\/details>

![figure 1](\/images\/0FWFPuMklRTkzP5t7l3PUYsLoxZq5Cmqrv0x7eC8)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/8150
　[公式解説](.\/)の $G$ について，各辺が結ぶ $2$ 頂点の偶奇は異なるから，$G$ は奇数の頂点の集合と偶数の頂点の集合をそれぞれ部集合に持つ二部グラフであることに注目する．上部に奇数の頂点を，下部に偶数の頂点を並べ，また辺で結ばれる頂点同士が近くなるように，奇数は $1,\\, 3,\\, \ldots,\\, 99$，偶数は $100,\\, 98,\\, \ldots,\\, 2$ の順に並べ，そして和 $103$ の辺が鉛直になるようにすれば，グラフの形をイメージしやすい．公式解説では，和が $103$ の頂点の組に対し，$1$ 組おきにひっくり返すことでさらに見やすくしているが，そのままでも十分であるから，ここではそうしよう．  
　次に，公式解説の誘導部分グラフについて，頂点の数と辺の数が等しいことから，木では辺の数が足りない．よってどこかにサイクルができていて，$G$ の形状から $\Join$ の形を持たなければならないことが分かる．あとは $\Join$ を二つくっつけたもの${}+1$ 点とするか，$\Join$ に合計 $3$ 辺の木をつなげればよい．後者の場合について，$\Join$ の同じ側において $\Join$ に隣接する $2$ 点を両方選ぶことはできないことに注意すると
$$\mathord\Join\\!\mathord\vee\\!\backslash \qquad
\mathord\Join\\!\mathord\vee\\!| \qquad
\/\\!\mathord\Join\\!\mathord\vee \qquad
\/\\!\mathord\Join\\!\mathord\wedge$$
に大別され，これが公式解説の図 $2$ に対応している．公式解説では，これをそれぞれ数えているが，$\Join$ の位置ごとにまとめて数えても良い．$\Join$ が端から $1,\\, 2,\\, 3$ 番目，それ以外の場合について，それぞれ $6,\\, 10,\\, 15,\\, 16$ 通りであることが分かり，これより
$$ 2 \times (6 + 10 + 15) + 42 \times 16 = 734 $$
通り．したがって $\mathord\Join\\!\mathord\Join + 1$ 点の場合を公式解説と同様に数え上げれば，その $4232$ 通りと上を合わせて，求める場合の数は $\bm{4966}$ 通り．
公式解説の補足
https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/8150/272
　$1, 2, \ldots, 100$ の番号のうちちょうど一つが書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ，計 $100$ 枚あります．この中から $7$ 枚のカードを同時に選ぶとき，選んだカードのうち，書かれた番号の和が $101, 103, 105$ のいずれかとなるような $2$ 枚のペアの個数を**スコア**と呼びます．スコアが $7$ となるようなカード $7$ 枚の選び方は何通りありますか．