　$a\geq b$ の範囲で考えればよい. 条件で定まる最小の $c$ を $f(a,b)$ とおいたとき, 以下が成り立つことを示す.
$$
f(a,b)=\begin{cases}
\mathrm{LCM}(a,b)-a-b &(b\nmid a) \\\\
a-b &(a\neq b\ \text{かつ}\ b\mid a) \\\\
a &(a=b) 
\end{cases}
$$
　$b\mid a$ の場合は明らかであるから, $b\nmid a$ の場合を確認する. ここで, $\dfrac{a+c}{b},\dfrac{b+c}{a}$ がともに整数になることは $\dfrac{a+b+c}{\mathrm{LCM}(a,b)}$ が整数になることと同値であるから, $f(a,b)\geq\mathrm{LCM}(a,b)-a-b$ である. さらに $g=\mathrm{gcd}(a,b)$ について $a=ga^{\prime},b=gb^{\prime}$ とおけば, $a^\prime\gt b^\prime\geq2$ であるから,
$$\mathrm{LCM}(a,b)-a-b=ga^\prime b^\prime-a-b=g(a^\prime-1)(b^\prime-1)-g\gt0$$
　以上より $f(a,b)$ の値が特定できたので, 以下 $f(a,b)=80000$ となる条件を考える.

(i) $b\nmid a$ のとき, 上で用いた文字を引き継ぎ, $h=80000\/g$ とおけば $(a^\prime-1)(b^\prime-1)=h+1$ である. ここで $a^\prime$ と $b^\prime$ が互いに素であることから $h$ は奇数であるから, 特に $5$ べきであり, 以下のように列挙できる.

- $h=5^4$ のとき, $(a^\prime-1)(b^\prime-1)=626=2\times313$ より $(a^\prime,b^\prime)=(627,2),(314,3)$.
- $h=5^3$ のとき, $(a^\prime-1)(b^\prime-1)=126=2\times3^2\times7$ より $$(a^\prime,b^\prime)=(127,2),(64,3),(43,4),(22,7),(19,8)$$
- $h=5^2$ のとき, $(a^\prime-1)(b^\prime-1)=26=2\times13$ より $(a^\prime,b^\prime)=(27,2),(14,3)$.
- $h=5^1$ のとき, $(a^\prime-1)(b^\prime-1)=6=2\times3$ より $(a^\prime,b^\prime)=(7,2),(4,3)$.
- $h=5^0$ のとき, $(a^\prime-1)(b^\prime-1)=2$ より $(a^\prime,b^\prime)=(3,2)$.

(ii) $a\neq b$ かつ $b\mid a$ のとき, $f(a,b)=\left(\dfrac{a}{b}-1\right)b$ より $b$ は $80000$ の約数である. 逆に $b$ が $8000$ の約数のとき, $a=80000+b$ とすればよいから, 組 $(a,b)$ の個数は $80000$ の正の約数の個数 $40$ に一致する.

(iii) $a=b$ のとき, 明らかに $a=b=80000$ のみである.

　以上より, $a\lt b$ の場合も考慮すれば, 求める答えは $2\times(12+40)+1=\textbf{105}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/204
　以下の条件をみたす正整数の組 $(a,b)$ はいくつありますか？

- 条件：$\dfrac{a+c}{b}$ と $\dfrac{b+c}{a}$ がともに整数となるような最小の正整数 $c$ は $80000$ である.