　四面体の体積を $V$ ，表面積を $S$ とすれば $3V=rS$ が成立．切り出された小四面体のうち内接球の半径が $a$ であるものが四面体の頂点 $A$ を含むとして，$A$ の対面の面積を $S_A$ としよう．相似を考えれば $$\frac{3V}{S_A}:r=\left(\frac{3V}{S_A}-2r\right):a$$ より $S_A=\dfrac{S(r-a)}{2r}$ がわかる．他の頂点についても同様の式が成り立つため，それらを足し合わせて
$$S=\frac{S(4r-a-b-c-d)}{2r}=\frac{S(4r-811114)}{2r}$$
より $r=\bm{405557}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc002/editorial/27
　半径 $r$ の内接球を持つ四面体があります．各面に平行で，かつ内接球に接するような面で四面体を切断すると，切り出された $4$ つの小さな四面体はいずれも内接球を持ち，それぞれの半径が $a, b, c, d$ になりました．$a+b+c+d=811114$ であるとき，$r$ を求めてください.