　正整数 $a,b,c$ を用いて $\displaystyle n=2^{a-1}3^{b-1}5^{c-1}$ と表せば，$n$ の正の約数の個数は $abc$ と書ける．すなわち，$abc=k$ なる正整数の組 $(a,b,c)$ がちょうど $45$ 個であるような最小の正整数 $k$ を求める問題に帰着された．\
　$k$ の素因数分解を $k=\prod_{i=1}^m p_i^{e_i}$ とおくと，各 $i$ に対し素因数 $p_i$ を $a,b,c$ に合計で $e_i$ 個分配する方法は
$$\frac{(e_i+1)(e_i+2)}2$$
通りであるため，$abc=k$ を満たす正整数 $(a,b,c)$ の組は
$$\prod_{i=1}^m\frac{(e_i+1)(e_i+2)}2$$
通りであることが分かる．これが $45$ に等しいとき，一般性を失わず単調増加である $e$ のみ考えれば
$$(e_1)=(8),(e_1,e_2)=(1,4)$$
$2^8=256\gt 48=2^4 \times 3$ であるから，求める最小値は $\textbf{48}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc075/editorial/2907
　以下の条件をみたす正整数 $n$ がちょうど $45$ 個存在するような，最小の正整数 $k$ を求めて下さい．

- $n$ は $7$ 以上の素数で割り切れない．
- $n$ は正の約数をちょうど $k$ 個もつ．