　$t=x-(1\/x)$ とおけば, 実数 $x$ に対し $t$ も全実数を動くことから, 以下の $t$ についての方程式について実数解を考えることと同値である.
$$t^2+at+(n+2)=0$$
これは判別式を考えることで $|a|\lt2\sqrt{n+2}$ と表現できる. すなわち条件は $n=2\lceil2\sqrt{n+2}\rceil-1$ である. これをみたす正整数は $n=17,19$ であることが容易にわかるから, 特に解答すべき値は $\textbf{36}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc117/editorial/248
　公式解答における次の条件式を解くパートの補足です
$$n=2\lceil 2\sqrt{n+2}\rceil-1　(n\in\mathbb{N})　・・・※$$
$\lceil 2\sqrt{n+2}\rceil$が面倒なのでこれを$k$と置いてしまいましょう．天井関数の定義より次の不等式を得ます．
$$k-1\lt2\sqrt{n+2}\leq k$$
 $※$ より $n=2k-1$ であるので, 先ほどの不等式は $k$ についての $2$ 次不等式に帰着できます.
$$k-1\lt2\sqrt{2k+1}\leq k　\Longrightarrow　k^2-10k-3\lt 0\leq k^2-8k-4$$
この連立不等式を $k\in\mathbb{N}$ の範囲で解くと $k=9,10$ を得ます．すなわち $n=17,19$ です．\
実際に $n=17,19$ が $※$ を満たすことを確認して十分性をチェックすればOKです．

　速解きをしたいのなら\
・ $※$ から $n$ は奇数である必要があるなあ\
・左辺の方が速く増加するなあ\
・ということは当てずっぽうで $n$ を得れば終わりだなあ\
・ $n=17,19$ を入れてみたらうまくいった\
・ $n=13,15,21,23$ あたりはダメだったから $n=17,19$ で決まりだろう\
くらいのお気持ちで雑に解けます．（本質は $t=x-x^{-1}$ 置換なので許してください）
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc117/editorial/248/277
　$n$ を正整数とします．以下の $x$ についての方程式
$$x^4+ax^3+nx^2-ax+1=0$$
が実数解をもたないような整数 $a$ がちょうど $n$ 個存在するとき，$n$ としてありうるものをすべて求め，それらの総和を解答してください．