　四角形 $ABCD$ の面積を $S$ とし，$AC$ と $BD$ の交点を $X$ とし，$\angle{AXB}=\theta$ とおくと，
$$
\begin{aligned}
S&=\dfrac{1}{2}\bigl(AX\cdot BX\sin\theta+BX\cdot CX\sin\(\pi-\theta)+CX\cdot DX\sin\theta+DX\cdot AX\sin(\pi-\theta)\bigr)\\\\
&=\dfrac{1}{2}(AX\cdot BX+BX\cdot CX+CX\cdot DX+DX\cdot AX)\sin\theta \\\\
&=\dfrac{1}{2}(AX+CX)(BX+DX) \sin\theta \\\\
&=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD \sin\theta
\end{aligned}
$$
であるから，$\sin\theta\leq1$ および相加・相乗平均の不等式により
$$
S\leq \dfrac{1}{2}AC\cdot BD\leq \dfrac{1}{2}\biggl(\frac{AC+BD}{2}\biggr)^2=1250.
$$
等号は $AC\perp BD$ かつ $AC=BD=50$ のとき成立するから，求める答えは $\mathbf{1250}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb015/editorial/8619
　凸四角形 $ABCD$ において，$AC+BD=100$ が成り立つとき，四角形 $ABCD$ の面積としてありうる最大値を求めてください．