$$\sin^2 \theta =\sin\theta\cos\theta\tan\theta= \sin2\theta\cos2\theta\tan2\theta = \sin^2 2\theta$$
より $\sin\theta=\pm \sin2\theta$ であり, 適当に場合分けして以下を得る.
$$\theta=0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ$$
よって求める値は $\bf{900}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc116/editorial/2747
　以下をみたす $0^\circ \leq \theta \lt 360^\circ$ の総和を，度数法で解答してください．
$$\sin\theta\cos\theta\tan\theta = \sin2\theta\cos2\theta\tan2\theta$$ 
ただし，$\tan\theta$ および $\tan2\theta$ が定義されないような $\theta$ は考えないものとします．