　 $a=\sqrt[3]{2x-y-z}, ~ b=\sqrt[3]{2y-z-x}, ~ c=\sqrt[3]{2z-x-y}$ とおくと，以下が成り立つ．
 $$a+b+c=3, \quad \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{10},\quad a^3+b^3+c^3=0$$
これより $ab+bc+ca=3k, ~ abc=10k$ とおけるが，このとき
$$\begin{aligned}
a^3+b^3+c^3&=(a+b+c)\bigl((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\bigr)+3abc\\\\
&=3\cdot (3^2-3\cdot3k)+3\cdot10k\\\\
&=3k+27
\end{aligned}$$
が $0$ であることから $k=-9$．よって
$$a+b+c=3, \quad ab+bc+ca=-27,\quad abc=-90$$
であるから，$t^3-3t^2-27t+90=0$ は $t=a,b,c$ を $3$ つの実数解にもつ $3$ 次方程式であり，これより
$$t^{n+3}-3t^{n+2}-27t^{n+1}+90t^n=0$$
は $t=a,b,c$ を $3$ つの実数解にもつ方程式となる．したがって，$S_n=a^n+b^n+c^n$ とおいたとき，
$$S_{n+3}-3S_{n+2}-27S_{n+1}+90S_{n}=0$$
が成り立つことがわかる．$S_{-1}=\dfrac{3}{10}, ~ S_{0}=3, ~ S_{1}=3$ から計算すれば $S_{6}=34506$ となり，
$${(x-y)}^2+{(y-z)}^2+{(z-x)}^2=\dfrac{S_{6}}{3}=\textbf{11502}.$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc142/editorial/2728
　実数 $x,y,z$ が以下の $2$ 式をみたすとします．\
$$\begin{cases}
\sqrt[3]{2x-y-z}+\sqrt[3]{2y-z-x}+\sqrt[3]{2z-x-y}=3\\\\
\\\\
\dfrac{1}{\sqrt[3]{2x-y-z}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2y-z-x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2z-x-y}}=\dfrac{3}{10}
 \end{cases}$$
このとき，${(x-y)}^2+{(y-z)}^2+{(z-x)}^2$ の値を求めてください．
<details><summary>$3$ 乗根について<\/summary>
　任意の実数 $a$ に対し， $3$ 乗して $a$ になる実数が一意に存在するので，その値を $\sqrt[3]{a}$ と表すものとします．
<\/details>