　与式は以下のように変形できる：
$$(x-y)(y-z)(z-x)=0,\quad (x+1)(y+1)(z+1)=10^{99}$$
　$x=y$ の場合を考えると, 第 $2$ 式は $(x+1)^2(z+1)=10^{99}$ となるから,  $x+1$ は $2^{49}5^{49}$ の $2$ 以上の約数である. 逆にそのように $x$ を選べば, 適する $z$ が一意に定まるから, 以上より $(49+1)^2-1=2499$ 通りである.\
　$y=z$ および $z=x$ の場合も同様に $2499$ 通りであるが,
$$(x,y,z)=(10^{33}-1,10^{33}-1,10^{33}-1)$$
が $3$ 回数えられていることに注意すると, 解答すべき値は $2499\times 3-2=\textbf{7495}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc098/editorial/2480
　以下の等式をともに満たす, 順序付いた正の整数の組 $(x,y,z)$ はいくつありますか. 
$$\begin{aligned}
& xy^2+yz^2+zx^2=x^2y+y^2z+z^2x,\\\\
 & x+y+z+xy+yz+zx+xyz = \underbrace{999\ldots99}_{99個}
\end{aligned}$$