　一般に $2\times n\~(n\geq 3)$ のマス目で考える．$1$ 列おきに行を反転すると $1$ 行目と $2$ 行目は独立に考えることができるようになり，次の問題の答えを $A_n$ としたとき元の問題の答えは $A_n^2$ である．

- $1\times n$ のマス目があり，各マスを赤または青で塗る．どのマスについても，次の条件を満たしているような塗り方は何通りあるか？
  - 自身および自身と辺を共有するマスが全て同じ色で塗られていることはない．

　ここで両端の $2$ マスが条件を満たすにはそれぞれ隣接するマスと異なる色を塗るしかないことに注意すると，$A_n$ は次の問題の答えと一致する．

- $1\times(n-2)$ のマス目があり，端から順に各マスを赤または青で塗っていく．ただし，同じ色で連続する $3$ マスを塗ってはいけない．そのような塗り方は何通りか？

これより $A_n$ は $A_3=2,A_4=4,A_{n+2}=A_{n+1}+A_n\~(n\geq 3)$ をみたすことがわかる．計算すると $A_{17}=1974$ が得られるため，元の問題の答えは $1974^2=\bm{3896676}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc208/editorial/7679
　$1\times n$ のマス目を赤と青で塗り分ける方法のうち，$3$ つの連続するマスに同じ色が塗られず，最も左の $2$ マスにも同じ色が塗られず，最も右の $2$ マスにも同じ色が塗られないような塗り方の総数 $A_n$ の求め方についての説明です．  

　隣り合う $2$ マスの境界となっている $n-1$ 本の辺 $m_1,m_2,\ldots,m_{n-1}$ に対し，隣り合う $2$ マスが同色で塗られているときは境界となっている辺を白で塗り， 隣り合う $2$ マスが異色で塗られているときは境界となっている辺を黒で塗ることにすると，$n-1$ 本の辺について，両端の $2$ 本が黒で塗られており，白で塗られた辺が連続して現れないような辺の塗り方の総数を $a_n$ とすれば，最も左のマス目の色と $n-1$ 本の辺の色からマス目に塗られた色が一意に定まることに注意して，$A_n=2a_n$ で求まる．  
$\\{a_n\\}$ の漸化式を立てよう．条件を満たす $n-1$ 本の辺の塗り方を考えると，$m_2$ が黒のものは $a_{n-1}$ 通りあり，$m_2$ が白のものは $m_3$ が黒となるから $a_{n-2}$ 通りある．よって，$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ となり，これを用いて $A_{17}=2a_{17}$ が求まる．
A_n の求め方の補足
https://onlinemathcontest.com/contests/omc208/editorial/7679/418
解説のような市松模様で見たときの異なる位置は独立に考えられる、という発想が無くても、以下のように漸化式を立てることが可能です。

$2\times n$ のマス目で，左から $2 \times (n-1)$ マスは条件を満たし，右端の列の $2$ マスが条件を満たしているかどうかで分類する．  
右端の列の $2$ マス全てが条件を満たすものの数を $a_n$  
右端の列の $2$ マスのうち $1$ マスが条件を満たすものの数を $b_n$  
右端の列の $2$ マス全てが条件を満たさないものの数を $c_n$  
とおく．  
右端の列の色を $1$ 行目をマス $1$ として，そこに塗られている色を $X$，$2$ 行目をマス $2$ として，そこに塗られている色を $Y$ とする．ここで新しく右に $n+1$ 列目を増やして赤か青に塗ることを考える．   
- マス $1$ およびマス $2$ がどちらも条件を満たすとき  
マス $1$ の右を $X$ と同じ色で塗るか $X$ でない色で塗るか，マス $2$ の右を $Y$ と同じ色で塗るか $Y$ でない色で塗るかの四通りをそれぞれ見ると，それぞれ一意に $a_{n+1},b_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}$ へと寄与する．  
- マス $1$ およびマス $2$ のどちらかが条件を満たすとき  
マス $1$ のみが条件を満たすケースとマス $2$ のみが条件を満たすケースどちらも同様で，条件を満たすマスを $1$ としてよい．マス $1$ の右隣のマスについては $Y$ と異なる色で塗る必要ががある．マス $2$ の右隣を $X$ と異なる色で塗るか $X$ で塗るかで，それぞれ $a_{n+1},b_{n+1}$ へと寄与する．  
- マス $1$ およびマス $2$ がどちらも条件を満たさないとき  
マス $1$ およびマス $2$ の右に色を塗ることで，マス $1$ およびマス $2$ が条件を満たすようにする必要があり，このような塗り方は一意．さらに，この一意な塗り方を選択したとき，マス $1$ とマス $2$ の右は異なる色で，マス $2$ とマス $1$ の右は異なる色となるため，すべて $a_{n+1}$ へと寄与する．

したがって，以下の漸化式が成立する．
$$
\begin{aligned}
a_{n+1} &= a_n + b_n + c_n \\\\
b_{n+1} &= 2a_n + b_n \\\\
c_{n+1} &= a_n  \\\\
\end{aligned}
$$
$a_1=0,b_1=4,c_1=0$ を用いて，これを $17$ 項分計算してもよいが，$a$ のみで漸化式をまとめると以下の通り．
$$
\begin{aligned}
a_{n+2}-a_{n+1}  &= (a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1}) - (a_{n} + b_{n} + c_{n}) \\\\
&= a_{n+1}-a_n +2a_n + a_n - a_{n-1}\\\\
&=a_{n+1} + 2a_n - a_{n-1}
\end{aligned}
$$
という $4$ 項間漸化式を得る．これを $17$ 項分計算する．

上述の漸化式の特性方程式 $x^3-2x^2-2x+1=0$ の解は $x^2-x-1=0$ の解を $\alpha,\beta$ とすると，$\alpha^2,\beta^2,\alpha\beta$ と表せて，係数を求めることでフィボナッチ数列の $2$ 乗の $4$ 倍であることも導ける．（漸化式表示からこの事実を天啓無く直接導き出す方法をご存じの方がいらっしゃったら誰か教えてください．）
直接漸化式を立てる
https://onlinemathcontest.com/contests/omc208/editorial/7679/421
　$2\times17$ のマス目があり，各マスを赤または青で塗ります．どのマスについても次の条件を満たすような，マス目の塗り方は何通りあるか求めてください：
- 辺を共有している自身以外のマスのうち，赤で塗られたマスと青で塗られたマスがそれぞれ $1$ マス以上存在する

　ただし，回転や反転によって一致する塗り方も異なるものとして数えます．