　塗り分け方を無視すれば, 移動経路としてあり得るものは ${}\_{200}\mathrm{C}\_{100}$ 通り存在する. このうち一つを固定したとき, それが答えに算入される回数を考えると, 経路上にある $201$ マスが白いような塗り分け方の場合の数に等しい. これは残りの $10000$ マスを任意に塗ることに他ならないから,  $2^{10000}$ 通りである.  すなわち, $M=2^{10000}\times{}\_{200}\mathrm{C}\_{100}$ であり, Legendreの定理よりこれが $2$ で割り切れる最大の回数は $\textbf{10003}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/280
　$101 \times 101$ のマス目があり, 上から $i$ 行目，左から $j$ 列目のマスを $(i,j)$ と表すことにします．\
　OMC君はこのマス目の各マスを白または黒で塗り分けることにしました．ただし $(1,1)$ および $(101,101)$ は常に白く塗ることとします. このような塗り分け方は全部で $2^{10199}$ 通り考えられますが, そのすべてに対してそれぞれ以下の**問題**を解き, それらの答えの総和 $M$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください：

- **問題**：CMO 君は現在マス $(1,1)$ におり, 右か下に隣り合う白いマスへの移動を繰り返してマス $(101,101)$ まで移動しようとしています. このとき, CMO 君の移動経路としてあり得るものは何通りありますか？ただし, ある二つの移動経路が異なるとは, 通ったマスの集合が異なることを指します.