　一般に, $n$ 回目の操作後に書かれている黒板の $2$ 数を左から $a_{n},b_{n}$ とすれば,
$$a_{n+1}+b_{n+1}=a_{n}+b_{n},\quad a_{n+1}-b_{n+1}=2(a_{n}-b_{n})$$
これより，以下をみたす $a_0,b_0$ について，$a_N,b_N$ が条件の通りとなる.
$$a_{0}+b_{0}=2^{3^{200}}+2,\quad a_{0}-b_{0}=\dfrac{3^{2^{300}}-1}{2^N}$$
いま $a_0,b_0$ が整数であることは, $(3^{2^{300}}-1)\/2^N$ が偶数であることと同値である. ここで
$$3^{2^{300}}-1=(3-1)(3^{2^0}+1)(3^{2^1}+1)\cdots(3^{2^{299}}+1)$$
であり, 奇数の平方数を $4$ で割った余りが $1$ であることからこれは $2$ で $302$ 回割り切れる.\
　以上より, 求める総和は $1+2+\cdots+301=\textbf{45451}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc094/editorial/3669
　黒板に左右 $2$ つの整数が書いてあり, これらに対し以下の**操作**を繰り返し施します：


- 黒板に書いてある $2$ 数を左から $a,b$ としたとき, それらを左から $\displaystyle \frac{3a-b}{2},\displaystyle \frac{-a+3b}{2}$ に書きかえる.

このとき, $N$ 回目の操作終了後, 黒板には左から
$$\dfrac{2^{3^{200}}+3^{2^{300}}+1}{2},\quad \dfrac{2^{3^{200}}-3^{2^{300}}+3}{2}$$
の $2$ つの数が書かれていました. $N$ としてあり得る正整数すべての総和を求めてください. ただし, 指数は右上にある $2$ 数から計算します.