$$\begin{aligned}
\prod_{n=2}^{100}(n^4-1)&=\prod_{n=2}^{100}(n-1)(n+1)(n^2+1)\\\\
&=99!\cdot \frac{101!}{2}\cdot\prod_{n=2}^{100}(n^2+1)
\end{aligned}$$
である．ここで，Legendreの定理から $99!$ で $2$ で $95$ 回割り切れ，$\dfrac{101!}{2}$ は $2$ で $96$ 回割り切れる．また，偶奇で分けて考えることで，
$$\begin{aligned}
\prod_{n=2}^{100}(n^2+1)&=\prod_{k=1}^{50}((2k)^2+1)\cdot \prod_{k=2}^{50}((2k-1)^2+1)\\\\
&=2^{49}\cdot \prod_{k=1}^{50}(4k^2+1)\cdot \prod_{k=2}^{50}(2k^2-2k+1)
\end{aligned}$$
がわかり，総積の部分 $2$ つはいずれも奇数なので，$\displaystyle\prod_{n=2}^{100}(n^2+1)$ は $2$ で $49$ 回割り切れる．よって求める答えは $95+96+49=\mathbf{240}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb019/editorial/5959
　$\displaystyle\prod_{n=2}^{100}(n^4-1)$ は $2$ で最大何回割り切れますか？