$$n^4-5n^2+4=(n+2)(n+1)(n-1)(n-2)$$
に注意すれば，
$$\dfrac{6n}{n^4-5n^2+4} = \dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2} $$
と変形できるから，
$$\begin{aligned}\sum_{n=3}^{1002}\dfrac{n}{n^4-5n^2+4}&= \dfrac{1}6\bigg(\dfrac{1}1-\dfrac{1}2-\dfrac{1} 4 +\dfrac{1} 5 +\cdots+ \dfrac{1}{1000}-\dfrac{1} {1001}-\dfrac{1} {1003}+ \dfrac{1} {1004}\bigg)\\\\
&=\dfrac{1}6\bigg(1-\dfrac{1}4-\dfrac{1}{1001}+\dfrac{1}{1004} \bigg)\\\\
&=\dfrac{125625}{1005004} \end{aligned}$$
となり，特に解答すべき値は $\mathbf{1130629}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc145/editorial/4773
　以下の総和を計算してください：
$$\displaystyle \sum_{n=3}^{1002}\dfrac{n}{n^4-5n^2+4}$$
ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}b$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．