　$\alpha=1010+\sqrt{1020101}$ とおく．結論から述べれば，$\{a_n\}$ は次の漸化式をみたす．
$$a_0=1,\quad a_1=2020,\quad a\_{n+2}=2020a\_{n+1}+a\_n-1\quad (n\geq 0)\tag{\\#}$$
これを認めれば，$a_{n+2}\equiv a_n-1\pmod{2020}$ であるから容易に $a_{2020}\equiv\bm{1011}\pmod{2020}$ がわかる．\
　なお $(\\#)$ を証明するには $n\geq 0$ に対し $$2020a_{n+1}+a_n-1\leq\alpha a_{n+1}\lt 2020a_{n+1}+a_n$$ を示せばよいが，これは $\alpha^{-1}=\alpha-2020$ および $a_{n+1}\leq \alpha a_n\lt a_{n+1}+1$ から容易に示すことができる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc005/editorial/38
　数列 $\\{a_n\\}$ を以下で定めるとき, $a_{2020}$ を $2020$ で割った余りを求めてください：
$$a_0=1,\quad a_{n+1}= \\lfloor (1010+\\sqrt{1020101})a_n \\rfloor \quad (n=0,1,2,\cdots)$$
　ただし, $\\lfloor x \\rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表します.