　図1のように六角形の辺の長さを反時計回りに $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6$ とおくと，次が成り立つ．
$$p_1+p_3+p_5=p_2+p_4+p_6\quad\cdots(1)$$
$$p_1p_3+p_3p_5+p_5p_1=p_2p_4+p_4p_6+p_6p_2\quad\cdots(2)$$

***
**証明．**六角形を囲う $6$ つの三角形はすべて相似である．$2$ つの正三角形の周長はある定数 $k\\,(\gt1)$ を用いて
$$p_1+p_3+p_5+k(p_2+p_4+p_6),\quad p_2+p_4+p_6+k(p_1+p_3+p_5)$$
と表せ，これらは等しいから (1) が成り立つ．また，$2$ つの正三角形の面積は等しく，図1の $A, B$ の面積は等しいから，
$$p_1^2+p_3^2+p_5^2=p_2^2+p_4^2+p_6^2$$
であり，(1) と合わせて (2) が成り立つ．

![figure 1](\/images\/VqHwKdxdR7jiGi9Jd5YFeZW7q9IHJEbquabTUeSf)
***

　(1), (2) の値をそれぞれ $P, Q$ とおき，三次関数のグラフ $y=x^3-Px^2+Qx\\,(x\gt0)$ を考える．このグラフが直線 $y=l_1$ および $y=l_2$ とそれぞれ（重解を含む）$3$ つの共有点を持つとき，$(p_1, p_3, p_5), (p_2, p_4, p_6)$ はそれぞれの直線に対する共有点の $x$ 座標の組に対応する．\
　条件より，$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ の配置は，グラフを用いることで，図2の (i), (ii) のいずれかとわかる（値はちょうど $5$ つであるから，ちょうど $1$ 本の直線はグラフの極値点を通る）．一般性を失わずに $x_3=1$ としてよい．

- (i) のとき，$x_2$ は極大点，$x_3$ は変曲点の $x$ 座標である．$|x_2-x_3|:|x_3-x_5|=1:2$ より，$x_5=\dfrac{15}{7}$ とわかる．また，$|x_1-x_3|:|x_2-x_3|=\sqrt3:1$ より，たしかに $x_1=1-\dfrac{4\sqrt3}{7}\gt0$ である．
- (ii) のとき，$x_4$ は極小点の $x$ 座標である．$|x_1-x_3|=|x_3-x_4|=t\\,(\gt0)$ とおく．このとき，(1), (2) に代入して連立方程式を解くことで，$t=\dfrac{2(1+\sqrt5)}{7},\\,x_5=\dfrac{13+2\sqrt5}{7}$ とわかる．また，たしかに $x_1=\dfrac{5-2\sqrt5}{7}\gt0$ である．

　以上より，求める値は $4+\sqrt{\dfrac{20}{49}}$ であり，特に解答すべき値は $\bm{73}$ である．

![figure 1](\/images\/oqTw2e3l5n79J9MoQNlU6i6pKxbWwdVFHc0J7H8e)

　なお，次の通り，(i)(ii) それぞれについて，条件を満たす図が実際に存在する．

![figure 1](\/images\/Sy6tQHy3SuT6JP1CUKn0YO9K8a7h0o3xNrvGnwIw)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc240/editorial/10992
　平面上に $2$ つの合同な正三角形があり，この $2$ つの正三角形の共通部分が（すべての辺の長さが正である）六角形をなしています．この六角形の辺の長さとして現れる値はちょうど $5$ つであり，これらを小さい順に $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ とおくと，
$$\dfrac{x_1}{x_3}+\dfrac{x_4}{x_3}=2,\quad \dfrac{x_2}{x_3}=\dfrac{3}{7}$$
が成り立ちます．このとき，$\dfrac{x_5}{x_3}$ としてあり得る値がちょうど $2$ つ存在するので，その総和を求めてください．ただし，求める値は正整数 $a, b, c$（$b, c$ は互いに素）を用いて $a+\sqrt\dfrac{b}{c}$ と表されるので，$a+b+c$ を解答してください．