　$0 \leq \theta \lt 2\pi$ としてよい．与えられた方程式を変形すると
$$(x-2)(x-(\cos2\theta+i \sin2\theta))(x-(\cos2\theta-i \sin2\theta)) = 0$$
となるため，一般性より 
$$( \alpha, \beta, \gamma ) = ( 2, \cos2\theta+i \sin2\theta, \cos2\theta -i \sin2\theta )$$ 
としてよい．このとき，
$$( \alpha^n, \beta^n, \gamma^n ) = ( 2^n, \cos2n\theta+i \sin2n\theta, \cos2n\theta -i \sin2n\theta )$$
なので，これらが全て実数となるための必要十分条件は $2n\theta = k\pi$ となる整数 $k$ が存在することだと分かる．このような最小の $n$ が $100100$ であるので，ある整数 $l$ により
$$ 2\theta = \frac{l\pi}{100100} $$
とかける．$l$ が $100100$ と互いに素でないと $n$ の最小性に反するので，$l$ と $100100$ は互いに素であり，逆にこのとき $n$ の最小値はかならず $100100$ になる．このとき，
$$\alpha + \beta + \gamma = 2+2\cos\frac{l\pi}{100100}$$ 
としてありうる値は，$0 \leq l \leq 100100$ かつ $\gcd(l,100100) = 1$ をみたす $l$ に対するものが全てである．このような $l$ は全部で $\phi(100100) = 28800$ 個あり，これらを小さい順に $l_1, l_2, \ldots, l_{28800}$ とすると，
$$\cos\frac{l_j\pi}{100100}+\cos\frac{l_{28801-j}\pi}{100100}=0 \quad(\because l_j+l_{28801-j}=100100)$$
が成立することが分かるため，$2+2\cos\dfrac{l\pi}{100100}$ の総和は $28800 \times 2 = \mathbf{57600}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb016/editorial/10374
　$\theta$ を実数とし，$x$ に関する方程式 
$$x^3 - (4 \cos^2θ) x^2 + (4 \cos{2θ} + 1)x - 2 = 0$$ 
の重複を含めた $3$ つの複素数解を $α, β, γ$ とします．すると，$α^n, β^n, γ^n$ がいずれも実数となるような正整数 $n$ が存在し，その最小値は $100100$ となりました．このとき，$α + β + γ$ としてあり得る値の総和を解答して下さい．