$$p(a_1+\cdots+a_7) = p(p(a_1+\cdots+a_6) +a_7)=p(2a_7)$$
であり，同様にすることで
$$p(a_1+\cdots+a_7) =  p(2a_1)=\cdots=p(2a_7)$$
が分かる．従って $a_1\equiv \cdots \equiv a_7 \pmod 5$ が分かるので，$4$ 以下の非負整数 $k$ と $b_1\in \\{0,1\\}$ などを用いて
$$a_1=5b_1+k,\quad a_2=5b_2+k,\quad\dots, \quad a_7=5b_7+k$$
とできる．これらが条件を満たす必要十分条件は
$$p(2k) = p(a_1+\cdots+a_7) = p(5(b_1+\cdots+b_7+k)+2k)$$
を満たすことであり，これは $b_1+\cdots+b_7+k$ が偶数であることと同値．よって，$b_1, b_2,\ldots, b_6$ を自由に選べばそれに対応する $b_7$ が一意に定まるので，求める答えは $5\times 2^6 = \bf{320}$ 
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc165/editorial/4199
　非負整数 $x$ について，$x$ の一の位を $p(x)$ とします．$0$ 以上 $9$ 以下の整数の組 $(a_1,a_2,\dots,a_7) $ であって以下の条件を満たすものはいくつありますか？
$$\begin{cases}
p(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)=a_7\\\\
p(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_7)=a_6\\\\
p(a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+a_7)=a_5\\\\
p(a_1+a_2+a_3+a_5+a_6+a_7)=a_4\\\\
p(a_1+a_2+a_4+a_5+a_6+a_7)=a_3\\\\
p(a_1+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7)=a_2\\\\
p(a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7)=a_1
\end{cases}$$