　$f(1)=1, f(2)=4$ である．以降 $n\geq 3$ の場合を考える．

　フェルマーの小定理より，指数の肩 $\mathrm{mod}~6$ が分かれば良い.
- $n \equiv 0 \mod 6$ のとき $f(n) \equiv n^0 \mod 7$
- $n \equiv 1 \mod 6$ のとき $f(n) \equiv n^1 \mod 7$
- $n \equiv 2 \mod 6$ のとき $f(n) \equiv n^4 \mod 7$
- $n \equiv 3 \mod 6$ のとき $f(n) \equiv n^3 \mod 7$
- $n \equiv 4 \mod 6$ のとき $f(n) \equiv n^4 \mod 7$
- $n \equiv 5 \mod 6$ のとき $f(n) \equiv n^5 \mod 7$

ゆえに $f(n)~ \mathrm{mod}~ 7$ の値は周期 $42$ である．$\displaystyle\sum_{k=3}^{44}(f(k)~ \mathrm{mod}~7)=97$ および $2022=2+42\times48+4$ より，答えは $1+4+97\times48+6+4+3+1=\textbf{4675}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6675
　正整数 $n$ に対し，$f(n)=n^{n^{n^{\cdot^{\cdot^{\cdot^n}}}}}$ ($n$ が $n$ 個)とする．$a ~ \mathrm{mod} ~ b$ で $a$ を $b$ で割った余りを表すとき，
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{2022}(f(i)~ \mathrm{mod}~7)}$ の値を求めよ．

　ただし指数は右上にある $2$ 数から順に計算するものとする(例えば$f(3)=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$)．