$$p=a+b+c, \quad q=-(ab+bc+ca)$$
とおけば，与式は $abc=-pq$ と言い換えられ，このとき解と係数の関係より $x=a, b, c$ は $3$ 次方程式
$$x^3-px^2-qx+pq=0$$
の（重複度を込めて）$3$ つの解である．一方でこれは $x=p, \sqrt{q}, -\sqrt{q}$ を $3$ 解に持つので，$(a, b, c)$ は $-10$ 以上 $10$ 以下の $0$ でない整数 $m, n$ を用いて $(m, n, -n)$ あるいはその並び替えとして表すことができる．逆にこのとき与式を満たすので，$|m|=|n|$ の場合に注意して求めるべき組の数は $3\times20+6\times10\times18=\mathbf{1140}$ である．\
　なお，与式は適当に整理することで確かに $(a+b)(b+c)(c+a)=0$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc151/editorial/3268
　$-10$ 以上 $10$ 以下かつ $0$ でない整数の組 $(a, b, c)$ であって，$a+b+c\neq 0$ かつ
$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1{a+b+c}$$ 
を満たすものの個数を求めてください．