　$\cos{\theta}=X,\sin{\theta}=Y$ と置き直して $XY$ 平面上で正方形 $|X|+|Y|=t$ および単位円 $X^{2}+Y^{2}=1$ の交点を考える．このとき，問題の条件は一方が他方に外接（内接）することと言い換えられるから，$t=1,\sqrt{2}$ のとき条件を満たす．特に解答すべき値は $\textbf{24142}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/editorial/4320
　円と正方形の交点に帰着させる公式解説の発想は素晴らしいですが，それが思いつかなかった場合の解法です．\
　いくらか厳密性に欠ける表現をしたり，直観に頼ったりしていますが，ご容赦ください．

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　$xy$ 平面上における座標 $(\cos \theta, \sin \theta)$ は円 $x^2+y^2=1$ 上に存在し，$0\leq \theta \lt 2\pi$ を動く間に円周上を一周する．\
　関数 $f(\theta)=|\sin \theta|+|\cos \theta|$ と置くと，この関数は $0\leq \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$（第一象限）の範囲で 
$$f(\theta)=\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$$
であり，$3$ 点 $(0,1), \left(\dfrac{\pi}{4}, \sqrt{2}\right),\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$ を通る，山なりのグラフを描く．\
　対称性より $f(\theta)=|\sin \theta|+|\cos \theta|$ は，$\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \lt \pi$（第二象限），$\pi \leq \theta \lt \dfrac{3}{2}\pi$（第三象限），$\dfrac{3}{2}\pi \leq \theta \lt 2\pi$（第四象限）でも全く同じ図形を描く，周期関数である．従って，問題文の条件を満たすような実数 $\theta$ は， $0\leq \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$（第一象限）の範囲で $|\sin \theta|+|\cos \theta|=t$ の解がただ一つであればよく，そのような $t$ は $1$ と $\sqrt{2}$ のみである．

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補足（というか感想？）\
　公式解説ほどエレガントではないですが，$xy$ 平面上の円 $x^2+y^2=1$ を用いる点で，発想は似ていると思います．\
　この問いのように $\sin\theta, \cos \theta$ が両方出てきて，それらが対称的な式になっている場合は，$xy$ 平面上の話に帰着させるとよいことが，しばしばあります．
別解と補足
https://onlinemathcontest.com/contests/omc218/editorial/4320/467
　$|\sin{\theta}|+|\cos{\theta}|=t$ を満たす $0$ 以上 $2\pi$ 未満の実数 $\theta$ がちょうど $4$ 個存在するような実数 $t$ について，その総和を $s$ とします．$10000s$ 以下の最大の整数を解答してください．