　直線 $AE$ は $\angle{FEG}$ の二等分線であり $B$ は内心 $D$ と $A$ の中点なので $A$ は三角形 $EFG$ の傍心である．そのため，$4$ 点 $A,F,D,G$ は $B$ を中心とする同一円周上にある．したがって，$\angle{AFD}=90^\circ$ である．方べきの定理より，
$$AF\times AH=AB\times AE=140$$
であり，仮定から $AC\times AD=140$ でもあるので，$4$ 点 $F,H,C,D$ は同一円周上にある．したがって，円周角の定理より $\angle{HCA}=90^\circ$ である． そのため，三平方の定理と方べきの定理より次が成り立つ．
$$FD^{2}=AD^{2}-AF^{2}=14^{2}-\bigg(\frac{140}{AH}\bigg)^{2}=14^{2}-\frac{140^{2}}{10^{2}+8^{2}}=\frac{3136}{41}.$$
特に解答すべきは $\bf{3177}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/3615
　公式解説において，$\angle{AFD}=90^{\circ}$ を求める部分までは得られたものの，$C,D,H,F$ が共円であったことに気付けなかったときに，それを利用せずに解く方針を考えよう．  
　$\angle{CAF}=\theta$ とおく．$BA=BF=7$ より，$AF=14\cos\theta$ であり，方べきの定理より，$AF\times AH=AB\timesAD=140$ なので，$AH=\dfrac{10}{\cos\theta}$ となる．  
三角形 $ACH$ で余弦定理より，$100+\dfrac{100}{\cos^2\theta}-2\cdot10\cdot\dfrac{10}{\cos\theta}\cdot\cos\theta=64$ なので，$\cos^2\theta=\dfrac{25}{41}$．  
よって，$DF=14\sin\theta$ より，${DF}^2=196\sin^2\theta=196\cdot\dfrac{16}{41}=\dfrac{3136}{41}$ となり，解答すべき数値は $\textbf{3177}$．
余弦定理の利用
https://onlinemathcontest.com/contests/omc132/editorial/3615/731
　$5$ 点 $A,B,C,D,E$ はこの順で同一直線上に並んでおり，次を満たします．
$$AB=7,\quad BC=3,\quad CD=4,\quad DE=6$$
　平面上に相異なる $2$ 点 $F,G$ をとると，$3$ 点 $E, F, G$ は同一直線上になく，三角形 $EFG$ の内心は $D$ になり，三角形 $EFG$ の外接円 $ω$ は $B$ を通りました．直線 $AF$ と $ω$ の交点のうち $F$ でない方を $H$ とします．$HC=8$ のとき $FD^{2}$ を求めて下さい．\
　ただし，答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答して下さい．