　半直線 $DF$ と $\Gamma$ の交点を $H$, $AF$ と $\Gamma$ の交点を $I(\neq A)$ とする. $OD=OE$ に留意すれば
$$\measuredangle OFA=\measuredangle OFE=\measuredangle ODE=\measuredangle DEO=\measuredangle GFO$$
であるから, $OA=OG$ と併せて $A$ と $G$ は $OF$ について対称であることがわかり, これより
$$\angle OGD=\angle OAF=\angle OAI=\angle OIE.$$
これと $\angle ODG=\angle OEI$ および $OG=OI$ を併せて, 三角形 $ODG$ と $OEI$ は合同で, 特に $EI=DG=16$ であるほか, 以下の等式が成立するから, $I$ は $\Gamma$ において弧 $CG$ を二等分する.
$$\angle{GOI}=\angle{DOE}=\angle{DFE}=2\angle{CAI}=\angle COI$$
したがって, 以下より四角形 $BFEG$ は円に内接し, $DE:DF=DG:DB=16:21$ である.
$$\angle GBE=\angle{GBC}=2\angle{CAI}=\angle DFE=\angle{GFE}$$
一方で $\angle{DFE}=\angle{DBG}=\angle{DHC}$ より $EF \parallel CH$ であり, 以下より $FH=\dfrac{441}{16}$ を得る. 
$$CE:FH=DE:DF=16:21$$
さらに対称性から $FH=FI$ が成り立つから, $EF=FI-EI=\dfrac{185}{16}$ であり, 解答すべき値は $\textbf{201}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc124/editorial/1680
　外心を $O$，外接円を $\Gamma$ とする三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ 上に $B,D,E,C$ の順に並ぶ点 $D,E$ が $BD=CE=21$ をみたします．線分 $AE$ と三角形 $ODE$ の外接円の交点のうち $E$ でない方を $F$ とし，半直線 $FD$ と $\Gamma$ の交点を $G$ とすると，
$$\angle DFE=2\angle CAE, \quad OF=26, \quad DG=16$$
が成り立ちました．このとき，$EF$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．