　次の事実に留意する：$d(x)$ が奇数 $\iff$ $x$ は平方数.\
　$d(n^{d(n)})=N$ とすると, $n^{d(n)}$ は $n$ が平方数であるかによらず常に平方数であるから, $N$ は常に奇数である. したがって $d(m^2+47),d(m^2+87)$ のどちらか一方のみが奇数であるので, $m^2+47,m^2+87$ のどちらか一方のみが平方数となる．以下, $l$ は正整数とする．\
　$m^2+47=l^2$ のとき, $(m,l)=(23,24)$ に限られるので, $N=d(24^2)+d(616)=21+16=37$ である. また $m^2+87=l^2$ のとき, $(m,l)=(43,44),(13,16)$ より $N=d(1896)+d(44^2)=16+15=31$ または $N=d(216)+d(16^2)=16+9=25$ である. 以上より $d(n^{d(n)})=25,31,37$ が条件である．\
　$n$ が素因数を $k$ 種類もつと仮定すると, $d(n^{d(n)})\geq d(n^{2^k})\geq (2^k+1)^k$ より $k=0,1,2$ であるから, 非負整数 $a\geq b$ および素数 $p,q$ を用いて $n=p^a\times q^b$ と表せる．このとき,
$$d(n^{d(n)})=d((p^a\times q^b)^{(a+1)(b+1)})=(a(a+1)(b+1)+1)(b(a+1)(b+1)+1)$$
特に $a\geq b$ と併せて $37\geq (b(b+1)^2+1)^2$ であるから, $b=0,1$ である．\
　$b=0$ のとき, $d(n^{d(n)})=a^2+a+1=25,31,37$ を解いて $a=5$ を得る.\
　$b=1$ のとき, $d(n^{d(n)})=(2a^2+2a+1)(2a+3)=25,31,37$ を解いて $a=1$ を得る.\
　以上より, 結局 $n=pq$ または $p^5$ と表せるときに限って, それぞれ $m=13,43$ が存在して問題文の等式を満たす．このように表せる $n$ を小さい順に並べると $6,10,14,15,21,22,26,32,33,34$ であるから, 総和は $\textbf{213}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc064/editorial/2174
　正の整数 $x$ に対して $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表すことにします.\
　次の式をみたす正整数 $m$が存在するような正整数 $n$ のうち, 小さい方から $10$ 番目までの総和を求めてください.
$$d(n^{d(n)})=d(m^2+47)+d(m^2+87)$$