　$P(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ とする．このとき条件を満たすことは，任意の実数の組 $(x,y)$ に対して
$$\dfrac{P(2x)+P(2y)}{2} \geq P(x+y)　...(1)$$
が成り立つと言い換えることができる．

　$(1)$ と $P^{\prime \prime}(x) \geq 0$ が同値であることを示そう．今，$n,m$ を $m\leq 2^n$ なる非負整数とすれば
$$\frac{m}{2^n}P(x)+\frac{2^n-m}{2^n}P(y) \geq P \Big(\dfrac{mx+(2^n-m)y}{2^n} \Big)$$
が成り立つ．任意の $0$ 以上 $1$ 以下の実数 $\lambda$ について，$m\/2^n$ を限りなく $\lambda$ に近付けることで，$P$ が連続であることから
$$\lambda P(x)+(1-\lambda)P(y) \geq P(\lambda x+(1-\lambda)y)$$
が分かる．よって $P$ は下に凸な関数であり，特に $P^{\prime \prime}(x) \geq 0$ である．
$$P^{\prime \prime}(x)=2a_2+6a_3x+12a_4x^2$$
であり，$x$ についての判別式は $36{a_3}^2-96a_2a_4$ であるから，結局
$$a_4 \gt 0,　3{a_3}^2 \leq 8a_2a_4　... (2)$$
を満たす $(a_2,a_3,a_4)$ の個数を求めれば良い．\
　$a_2$ が負であるとき，$(2)$ は満たされず，正であるとき，$a_3$ の値によって場合分けすることで $128-2×(0+1+5+8)=100$ 個あると分かる．以上より，求める答は $8×100=\mathbf{800}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/6563
　与式の左辺を展開すると，
$$\begin{aligned}
& a_2 (2(x^2+y^2)-(x+y)^2)+a_3(4(x^2+y^3)-(x+y)^3)+a_4(8(x^4+y^4)-(x+y)^4)\\\\
& = a_2(x^2-2xy+y^2)+a_3(3x^3-3x^2y-3xy^2+3y^3)+a_4(7x^4-4x^3y-6x^2y^2-4xy^3+7y^4)\\\\
& = a_2(x-y)^2+3a_3(x-y)^2(x+y)+a_4(x-y)^2(7x^2+10xy+7y^2)\\\\
& =(x-y)^2\lbrace a_2+3a_3(x+y)+a_4(7x^2+10xy+7y^2) \rbrace
\end{aligned}$$
　以上の計算より，$a_2+3a_3(x+y)+a_4(7x^2+10xy+7y^2)≧0$ が任意の実数 $(x,y)$ について成り立てばよい．$(x,y)=(0,0)$ について考えれば $a_2≧0$ がわかり，$x,y \to \infty$ を考えれば $a_4≧0$ であることがわかる．\
　$|x+y|=t$ と置くと，$xy≦\frac{t^2}{4}$ ．従って，$7x^2+10xy+7y^2=7(x+y)^2-4xy≧6t^2$．\
　以上の計算から，$6a_4t^2 \pm 3a_3t+a_2$ が任意の実数 $t$ について $0$ 以上であればよい．そのための必要十分条件は，$(3a_3)^2-24a_2a_4≦0$ である． \
　以下は公式解説を参照．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/6563/311
$X=x+y, Y=x-y$ とすると, $X+Y=2x, X-Y=2y$ なので, \
 - $2(x^2+y^2)-(x+y)^2=\frac{(X+Y)^2+(X-Y)^2}{2}-X^2=Y^2$
 - $4(x^3+y^3)-(x+y)^3=\frac{(X+Y)^3+(X-Y)^3}{2}-X^3=3XY^2$
 - $8(x^4+y^4)-(x+y)^4=\frac{(X+Y)^4+(X-Y)^4}{2}-X^4=6X^2Y^2+Y^4$

以上より, 与えられた不等式は, $t=Y^2$ として, $$t\\{a_4t+(6a_4X^2+3a_3X+a_2)\\}\geq0$$
と変形できる.

ここで, 任意の実数 $X$ と非負実数 $t$ に対して対応する実数 $x,y$ が存在する. よって, 上の不等式が任意の実数 $x,y$ に対して成り立つことと, $t\gt0$ について必ず $$a_4t+(6a_4X^2+3a_3X+a_2)\geq0$$ であることは同値であり, 
 - $a_4\geq0$ (問題文の条件より, $a_4\gt0$)
 - $6a_4X^2+3a_3X+a_2\geq0$

を同時に満たせばよい. \
後者は $X$ に対する二次不等式である. $a_4\gt0$ より, 判別式 $D=(3a_3)^2-24a_2a_4$ が $0$ 以下ならよい. \
以上より, $a_4\gt0, 3a_3^2-8a_2a_4\leq0$を同時に満たす $(a_2,a_3,a_4)$ の組を数え上げればよい. 以下は公式解説参照.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/6563/316
　次の条件をみたすような，$-4$ 以上 $4$ 以下の $0$ でない整数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ はいくつありますか：

　任意の実数の組 $(x,y)$ について，
$$\sum_{k=1}^{4} a_k\bigl(2^{k-1}(x^{k}+y^{k})-(x+y)^{k}\bigr) \geq 0$$
が成り立つ．