　相加・相乗平均の関係より,
$$x+\left(2y^2+\frac{1}{8}\right)+\left(3z^3+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\right)\geq x+2\sqrt{\frac{y^2}{4}}+3\sqrt[3]{\frac{z^3}{27}}\geq x+y+z=1$$
逆に $(x,y,z)=\left(\dfrac{5}{12},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3}\right)$ で等号が成立するから, 解答すべき値は $47+72=\textbf{119}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc085/editorial/2051
　 $x+2y^2+3z^2=(1-y-z)+2y^2+3z^3=2(y-\dfrac{1}{4})^2+3z^3-z+\dfrac{7}{8}$ である．\
 ここで， $3z^3-z$ の $0\lt z\lt1$ の範囲での最小値は微分法により $-\dfrac{2}{9}$ ( 
$z=\dfrac{1}{3}$ のとき)であることがわかる．\
 よって，求める最小値は $(x,y,z)=(\dfrac{5}{12},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3})$ のときの値で $\dfrac{47}{72}$ であり解答すべき数値は $47+72=\textbf{119}$ である．
微分は使うが素直な方針
https://onlinemathcontest.com/contests/omc085/editorial/2051/142
　正の実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ をみたすとき, $x+2y^2+3z^3$ のとり得る最小値を求めてください. ただし, 求める値は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.