　以下では $M = 99x + 100y + 101z + 102w$ の最小値を求める．答えはその $2$ 乗である．いま条件は
$$(x+z+w)(y+z+w) = z^2+zw+w^2+1$$
と書きかえられるから，相加・相乗平均の不等式により
$$\begin{aligned}
M &= 99(x+z+w) + 100(y+z+w) -98z - 97w \\\\
&\geq 2 \sqrt{9900(x+z+w)(y+z+w)} - 98z - 97w \\\\
&= \sqrt{39600(z^2+zw+w^2+1)} - 98z - 97w
\end{aligned}$$
とわかる．またCauchy-Schwarzの不等式により，
$$\begin{aligned}
39600(z^2+zw+w^2+1) &=  19800\big(z^2 + w^2 + (z+w)^2 + 2\big) \\\\
&= (1089+1024+4225+13462)\big(z^2 + w^2 + (z+w)^2 + 2\big) \\\\
&\geq \Big(33z+32w+65(z+w)+\sqrt{26924}\Big)^2 \\\\
&=  \Big(98z+97w+\sqrt{26924}\Big)^2 
\end{aligned}$$

となるため，$M \geq \sqrt{26924}$ である．等号は
$$\begin{aligned}
x = \dfrac{35}{\sqrt{6731}}, && y = \dfrac{34}{\sqrt{6731}}, && z = \dfrac{33}{\sqrt{6731}}, && w = \dfrac{32}{\sqrt{6731}}
\end{aligned}$$
の時に成立する. したがって $M$ の最小値は $\sqrt{26924}$ であり，解答すべき値は $\textbf{26924}$ である．


**別解.**　正の実数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ および $b_1, b_2, \cdots, b_n$ について，以下の不等式が成り立つ：
$$
\bigg(\sum_{i\not=j} a_i b_j\bigg)^2 \geq \bigg(\sum_{i\not=j} a_i a_j\bigg)\bigg(\sum_{i\not=j} b_i b_j\bigg)
$$
この不等式を $n=4$, $(a_1, a_2, a_3, a_4) = (35, 34, 33, 32)$, $(b_1, b_2, b_3, b_4) = (x, y, z, w)$ として適用する．

**コメント.**　上の解説で，Cauchy-Schwarzの不等式による評価について，出てくる係数が天下り的に見えるかもしれないが，これらは等号成立条件を意識することで決定することができる．また別解の不等式は，たとえば
$$f_i(t) = a_i t-b_i, \quad F(t) = \sum _{i\not=j}f_i(t)f_j(t)$$
とおいて $F(t)=0$ の判別式を考えることで証明できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/editorial/3393
$$f(x, y, z, w) = 99x+100y+101z+102w$$
$$g(x, y, z, w) = xy+xz+xw+yz+yw+zw - 1$$
$$L(x, y, z, w, \lambda) = f(x, y, z, w) - \lambda g(x, y, z, w)$$
とおく ($\lambda$: 実数). $g(x, y, z, w)=0$ のもとで $f(x, y, z, w)$ が極値をとるのは, 
$$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial z}=\frac{\partial L}{\partial w}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$$
の解である. 連立して解くことで,
$$(x, y, z, w) = \left(\frac{35}{\sqrt{6731}}, \frac{34}{\sqrt{6731}}, \frac{33}{\sqrt{6731}}, \frac{32}{\sqrt{6731}}\right)$$
を得る. このとき, $f(x, y, z, w) = 2\sqrt{6731}$ であるから, 求める値はこの二乗で, $\bold{26924}$ である.

- 厳密には, Lagrange の未定乗数法は極値が存在することを前提としており, また極値が最小値かどうかは別途検証する必要がある. 今回は解が唯一であるため, コンテストのルール上この値で決め打ちして回答してしまえばよいだろう.
- 類題: [OMC132(E)](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omc132\/tasks\/4656)
Lagrange の未定乗数法
https://onlinemathcontest.com/contests/omc112/editorial/3393/112
　正の実数 $x$, $y$, $z$, $w$ が
$$xy+xz+xw+yz+yw+zw =1$$
をみたすとき，
$$(99x+100y+101z+102w)^2$$
のとり得る最小値を求めてください．