　箱の中に入っている玉の数を，左から順に $a_1,a_2,a_3,a_4$ 個とする．このとき，与えられた条件は以下のように整理できる．
$$a_1+a_2=2019,\quad a_3+a_4=7981,\quad 0\leq a_1\lt a_2\lt a_3\lt a_4$$

　いま，$a_2$ を $1010\leq a_2\leq 2019$ の範囲で固定したとき，みたすべき条件は
$$a_2\lt a_3\lt 7981-a_3 \iff a_2\lt a_3 \leq 3990$$
のように書きかえられる．よって，条件をみたす $a_1,a_2,a_3,a_4$ の総数は $3990-a_2$ なので，求める答えは
$$\displaystyle\sum_{a_2=1010}^{2019}(3990-a_2)=\mathbf{2500255}$$である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc144/editorial/6683
　互いに区別できる $4$ つの箱が左右一列に並んでおり，それらの並び順は固定されています．これらの箱に合計 $10^4$ 個の区別できない玉が入っています．これらの箱や玉が，以下の条件をみたしているとき，それぞれの箱に入っている玉の数の組み合わせとしてありうるものは何通りありますか？

- どの相異なる $2$ つの箱に対しても，左側の箱に入っている玉の数よりも右側の箱に入っている玉の数の方が多い．
- 左半分の $2$ 個の箱に入っている玉の数の合計は $2019$ 個である．

　ただし，玉が $1$ 個も入っていない箱があっても構いません．