　まずは以下の等式をみたす正整数 $m$ からなる集合 $S$ を求めよう．
$$\sqrt{\lfloor \sqrt{10m} \rfloor + \frac{1110}{\lfloor \sqrt{10m} \rfloor}} = 11$$
これを式変形すると
$$\lfloor \sqrt{10m} \rfloor^2 - 121\lfloor \sqrt{10m} \rfloor + 1110 = 0$$
であり，これを $\lfloor \sqrt{10m} \rfloor$ について解くと $\lfloor \sqrt{10m} \rfloor = 10, 111$ が得られる．すなわち，みたすべき条件は以下のどちらかである．
- $10^2 \leq 10m \lt 11^2$
- $111^2 \leq 10m \lt 112^2$

よって $S$ は以下のように表される．
$$S = \\{10, 11, 12, 1233, 1234, \ldots, 1254\\}$$

　ここで正整数 $n$ に対し，次の条件をみたす正整数 $m$ を**良い数**と呼ぶ．
- $m$ と $m + n$ はどちらも $S$ の元である．

　良い数がちょうど $1$ つとなるような $n$ を調べればよい．$n \leq 20$ のときは少なくとも $1233, 1234$ が良い数となるので条件をみたさないが，$n = 21$ のときは良い数が $1233$ のみとなるので条件をみたす．\
　以後 $n \geq 22$ とする．このとき良い数となり得るのは $10, 11, 12$ のいずれかであり，良い数が存在するためには $1221 \leq n \leq 1244$ が必要である．$1222 \leq n \leq 1242$ のときは少なくとも $11, 12$ が良い数となり，$n = 1243$ のときは $10, 11$ が良い数となる．すなわち $1222 \leq n \leq 1243$ のときは条件をみたさない．一方で $n = 1221$ のときは良い数が $12$ のみとなり，$n = 1244$ のときは良い数が $10$ のみとなるので，この $2$ 数は条件をみたす．\
　以上のことから条件をみたす $n$ は $21, 1221, 1244$ の $3$ つなので，解答すべき値は $\mathbf{2486}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc203/editorial/8819
　正整数 $n$ を定めたところ，次の等式をみたす正整数 $m$ がちょうど $1$ つ存在しました．
$$\sqrt{\lfloor \sqrt{10m} \rfloor + \frac{1110}{\lfloor \sqrt{10m} \rfloor}} = \sqrt{\lfloor \sqrt{10(m + n)} \rfloor + \frac{1110}{\lfloor \sqrt{10(m+n)} \rfloor}} = 11$$
このような $n$ の値としてありうるものの**総和**を解答して下さい．