　まず，正二十面体の頂点 $X, Y$ に対し$\Delta (X, Y)$ を下記のように定める．
- $X, Y$ が同一の頂点のとき，$\Delta (X, Y) = 0$．
- $X, Y$ が異なる頂点のとき，$\Delta (X, Y)$ は $X$ から $Y$ までを辺に沿って辿るときに経由する辺の個数の最小値とする．

今回求めたいのは，移動後の $P, Q, R$ に対する $\Delta (P, Q) + \Delta (P, R) + \Delta (Q, R) + 1$ の期待値である．$\Delta$ のとり得る値は最大 $3$ であることに注意．そして，ここでは正二十面体の頂点 $X, Y$ に対して以下の操作を考えよう．
- $X, Y$ のどちらか一方が，それと辺で繋がった頂点 $5$ つの中から等確率に選ばれた $1$ 点に移動する．

　$\Delta(X, Y) = 0$ の状態からこの操作を $n$ 回繰り返したときに，$\Delta(X, Y) = 0, 1, 2, 3$ となる確率をそれぞれ $Z_n, S_n, D_n, T_n$ とおくと，（各回で動かす $X, Y$ の決め方によらず）以下が成り立つ．
$$Z_0 = 1,\quad S_0 = D_0 = T_0 = 0$$
$$Z_{n + 1} = \frac{S_n}{5},\quad S_{n + 1} = \frac{2D_n + 2S_n + 5Z_n}{5},\quad D_{n + 1} = \frac{5T_n + 2D_n + 2S_n}{5},\quad T_{n + 1} = \frac{D_n}{5}$$

　問題文の操作 $1$ 回を「$P, Q$ を順に $1$ 回ずつ動かす」と見なせば，問題文の操作 $n$ 回時点で $\Delta(P, Q) = 0, 1, 2, 3$ となる確率はそれぞれ $Z_{2n}, S_{2n}, D_{2n}, T_{2n}$ であることが分かる．ここで $E_n = 3T_n + 2D_n + S_n$ とおくと，求めるべき期待値は $E_{12} + 2E_6 + 1$ と表される．また，任意の $n$ で以下が成り立つ．
$$3T_{n + 2} + D_{n + 2} - S_{n + 2} - 3Z_{n + 2} = \frac{5T_{n + 1} + 3D_{n + 1} - 3S_{n + 1} - 5Z_{n + 1}}{5} = \frac{3T_n + D_n - S_n - 3Z_n}{5}$$

さらに任意の $n$ で $T_n + D_n + S_n + Z_n = 1$ であることも用いれば，
$$E_{2n} = \frac{3T_{2n} + D_{2n} - S_{2n} - 3Z_{2n} + 3}{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{3T_0 + D_0 - S_0 - 3Z_0}{5^n} + 3\right) =\frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{5^n} \right)$$
が導かれる．ゆえに
$$E_{12} + 2E_6 + 1 = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{5^6} \right) + 3 \left( 1 - \frac{1}{5^3} \right) + 1 = \frac{85561}{15625}$$

であり，特に解答すべき値は $\mathbf{101186}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc160/editorial/4934
　正二十面体があり（正二十面体の各面は正三角形です），その頂点のうち一つを $R$ とします．動点 $P, Q$ がはじめ頂点 $R$ に位置しており，この状態から以下の一連の操作を $6$ 回繰り返します（すなわち，移動は計 $12$ 回起こります）：

- $P$ がいま位置している頂点に対して，辺で繋がった頂点 $5$ つの中から等確率に $1$ つを選び，$P$ をそこに移動する．
- $Q$ がいま位置している頂点に対して，辺で繋がった頂点 $5$ つの中から等確率に $1$ つを選び，$Q$ をそこに移動する．

　操作をすべて終えたのち，正二十面体の頂点からなる長さ $r\\,(\geq 1)$ の列 $V_1, \ldots, V_r$ であって，以下の条件をすべてみたすものを考えます：

- 初項 $V_1$ と末項 $V_r$ は同じ頂点である．
- 任意の $i = 1, \ldots, r-1$ に対して，$V_i$ と $V_{i+1}$ は辺で繋がっている．\
ただし，$r=1$ のときこの条件は自動的にみたされているとみなす．
- $R$ および移動をすべて終えた後の $P, Q$ は，それぞれ $V_1, \ldots, V_r$ のいずれかに一致する．

$P,Q$ の移動方法を固定したとき，このような列の長さ $r\\,(\geq 1)$ のとりうる最小値を $m$ とします．このとき，$m$ の期待値を求めてください．ただし，求める期待値は互いに素な正整数 $a, b$ によって $\displaystyle \frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．