　$C$ を通り直線 $AB$ と平行な直線と直線 $AD$ の交点を $P$, 直線 $AD$ と直線 $BC$ との交点を $Q$ とする. 三角形 $PCD$ は
$$PC=PD, \quad \angle CPD=30^\circ$$
を満たすので, 余弦定理より $PC=PD=5$ と計算できる. さらに, 三角形 $QAB$ と三角形 $QPC$ は相似であるから, 
$$AQ = AP\times \frac{AB}{CP - AB} = 2$$
が分かる. これと $AB = 1, \angle QAB = 30^\circ$ を合わせて $BQ^{2}=5-2\sqrt{3}$ と計算でき,   $BQ:BC=1:4$ であることから $BC^{2}=80-32\sqrt{3}$ を得る. 特に解答すべき値は $\mathbf{115}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/4503
　$a=\cos 75\degree =\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ とする．直線 $AB$ と直線 $CD$ の交点を $X$ とすれば，$\triangle ADX$ が二等辺三角形であることに注意して
$$XB=3+1=4,\ XC=XD+DC=6a+10a=16a,\  \angle CXB=75\degree$$
$\triangle XBC$ に余弦定理を適用して
$$BC^2 = 4^2 + (16a)^2 -2\cdot 4\cdot 16a\cdot a=16+128a^2 =16+32\left( 2-\sqrt{3} \right) =80-32\sqrt{3}$$
直線ABとCDの交点をとる
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/4503/573
　凸四角形 $ABCD$ は
$$AB=1, \quad AD=3,\quad CD^{2}=50-25\sqrt{3}, \quad \angle BAD=150^\circ,\quad \angle ADC=105^\circ$$
を満たします. このとき, 辺 $BC$ の長さの二乗は $3$ つの正整数 $a, b, c$ を用いて,  $a-b\sqrt{c}$ と表されるので $a+b+c$ の値を求めてください. ただし $c$ は平方因子をもたないものとします.