　$\Omega$ の $D,G$ での接線の交点 $P$ は根心を考えることで $AB$ 上にある. さらに $ABC$ の外心を $O$ とすれば $D,G,M,O$ は $OP$ を直径とする円上にある. 同様に $D,H,N,O$ も共円である. ここで $\triangle{ABC}$ の外接円の半径の長さを $R$ とすれば, Ptolemyの定理より以下が成立することが容易にわかる.
$$\dfrac{MD-MG}{DG}\times\dfrac{ND-NH}{DH}=\dfrac{MO}{R}\times\dfrac{NO}{R}=\cos B\times\cos C$$
これは余弦定理によって $\dfrac{143}{722}$ と計算できるから, 解答すべき値は $\textbf{865}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/209
　$AB=16,BC=19,CA=21$ なる三角形 $ABC$ において, その外接円 $\Omega$ および辺 $AB,AC$ に接する円 $\omega$ があり, 各接点を $D,E,F$ とします. また, $\omega$ にそれぞれ $E,F$ で外接し $\Omega$ に内接する $2$ 円について, それぞれと $\Omega$ の接点を $G,H$ とします. このとき, $AB,AC$ の中点 $M,N$ について, 以下の値を求めてください.
$$\dfrac{(MD-MG)(ND-NH)}{DG\times DH}$$
　ただし, 答えは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.