　それぞれのアルファベットで書き換えたのちの数字を表すこととする．$a$ が $3$ つ，$r$ が $2$ つありその他のアルファベットは $1$ つずつあることから，
$$2a+r+(0+1+\dots+9)=54$$ 
すなわち $2a+r=9$ である．また，$a\neq r$ であるから，これを満たすのは
$$(a,r)=(0,9),(1,7),(2,5),(4,1)$$
である．それぞれに対して残り $8$ つのアルファベットに代入する方法は $8!$ 通りあるので，求める場合の数は $4\times8!=\mathbf{161280}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc221/editorial/10741
　黒板に $10$ 種類，$13$ 個のアルファベット
$$m,a,r,t,h,s,a,k,u,r,a,n,o$$
が書かれています ($a$ が $3$ つ，$r$ が $2$ つ，他のアルファベットは $1$ つずつ書かれています) ．以下をみたすようにそれぞれのアルファベットを $0$ 以上 $9$ 以下の整数に書き換える方法はいくつありますか？
- 同じアルファベットは同じ数字に，異なるアルファベットは異なる数字に書き換える．
- 全てのアルファベットを書き換えたのち，黒板に書かれた数字の和は $54$ である．