　$DC = AF$ かつ $DC \parallel AF$ であるから，四角形 $ADCF$ は平行四辺形である．よって，$E$ は辺 $AC$ の中点であるから，二等分線の性質より $AD : CD = AE : CE = 1:1$ が成り立ち，四角形 $ADCF$ は特にひし形である．したがって，三角形 $ABD$ と三角形 ${ADE}$ の面積は等しく，$\angle AED = 90^\circ$ である．\
　ここで，$\angle{BAD} = \angle{DAC}$ であり，三角形 $ABD}$ と三角形 $AED$ の面積が等しいため，$AB = AE$ が成り立つ．よって，三角形 $ABD$ と三角形 $AED$ は合同であるから，
$$\angle{ABD} = \angle AED = 90^\circ,\quad \angle{ADB} = \angle{ADE}$$
がそれぞれ成り立つ．いま，
$$180^\circ = \angle ADB + \angle ADC = \angle ADB + 2\angle ADB = 3\angle ADB$$
であるので，$\angle{ADB} = 60^\circ$ である．\
　ひし形 $ADCF$ の面積は三角形 $ADE$ の面積の $4$ 倍であるから，四角形 $ABCF$ の面積は三角形 $ABD$ の面積の $5$ 倍である．よって，四角形 $ABCF$ の面積は
$$5\cdot\frac{1}{2}\cdot AB\cdot \frac{AB}{\tan60^\circ} = \dfrac{5}{2\sqrt3}$$
である．特に解答すべき値は，$\bf37$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/9594
　公式解説と同様に，四角形 $ADCF$ はひし形である．従って三角形 $AEF$，三角形 $AED$，三角形 $CED$，三角形 $CEF$ はいずれも面積が等しい．三角形 $ABD$ と三角形 $ACD$ の面積比を考えることで $BD:DC=1:2$ である．角二等分線の性質から $AB:AC=1:2$ であり，特に $AC=2$ である．\
　ここで $BD=x, CD=2x$ とおこう．四角形 $ADCF$ はひし形だったので $AD=2x$ である．三角形 $ABC$ と点 $D$ に対して Stewart の定理を適用すると $x={\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$ を得る．よって　$AD=2x={\dfrac{2}{\sqrt{3}}}$ である．これより三角形 $ABD$ の三辺の長さを見ると $\angle ABD=90^{\circ}$ であるとわかる（ここで $\angle ADB=60^{\circ}$ であることもわかる）．\
　求めたいものは台形 $ABCF$ の面積であり，$AF=2x, BC=3x$，高さは $AB=1$ だとわかったので，あとは簡単な計算で面積が求まる．
60°を経由しない方針
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/9594/708
　$BD=x,AD=CD=2x$ とおくところまでは同様．一般に次が成り立つことが知られている（スチュワートの定理の特殊な形）．
$$\boxed{\phantom{\large{l}}AD^2=AB\times AC-BD\times CD\phantom{\large{l}}}$$
これを用いることにより $x=\sqrt{\dfrac13}$ がわかる．三平方の定理から $DE=\sqrt{\dfrac13}$ がわかるから $\triangle DEC=\sqrt{\dfrac1{12}}$ であり，求める四角形の面積はこの $5$ 倍であるから $\sqrt\dfrac{25}{12}$ である．
Tempurabcさんの解説とほぼ同様な解法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb027/editorial/9594/721
　$AB \lt AC$ なる三角形 $ABC$ について，$\angle{BAC}$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とします．$\angle{ADC}$ の二等分線が 辺 $AC$，$A$ を通り直線 $BC$ に平行な直線とそれぞれ $E, F$ と交わっています．$$AB = 1,\quad AF = CD$$
が成り立ち，さらに，三角形 $ABD$ と三角形 $AEF$ の面積が等しいとき，四角形 $ABCF$ の面積の $2$ 乗を求めてください．ただし，求める答えは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．