　四角形 $ABCD$，三角形 $CDE$ の外接円をそれぞれ $\Omega, \Gamma$ とし，$\Omega$ の中心を $O$ とする．また，$\theta = \angle ABC$ とする．\
　三角形 $ACD$ は $AD = CD$ なる二等辺三角形なので $\angle DAC$ は鋭角であり，これは $\Omega$ における円周角であるため $A, O$ は直線 $CD$ に関して同じ側に存在する．また，四角形 $ABCD$ は凸四角形なので，この四角形の周のうち辺 $CD$ を除いたものはすべて直線 $CD$ に関して同じ側に含まれる．この事実から特に点 $A, E$ は直線 $CD$ に関して同じ側に存在する．ゆえに $O, E$ は直線 $CD$ に関して同じ側に存在する．また，$AB \parallel DE$ より $\angle DEC = \theta$ であり，$AD = CD$ であることと $\Omega$ に関する円周角の定理から $\angle DOC = \theta$ を得る．これより $\angle DEC = \angle DOC$ をみたすので，$O$ は $\Gamma$ の周上の点である．\
　ここで $\Gamma$ において点 $O$ を含まない側の弧 $CD$ の中点を $M$ とすると線分 $OM$ は $\Gamma$ の直径であり，その長さは $37$ である．よって，$OC = OD = \sqrt{1110}$ であることと三平方の定理から
$$CM = DM = \sqrt{37^2 - 1110} = \sqrt{259}$$
が得られ，さらにPtolemyの定理から
$$CD = \frac{CM \times OD + DM \times OC}{OM} = 2 \sqrt{210}$$
が得られる．これより，三角形 $OCD$ における余弦定理から
$$\cos \theta = \frac{OC^2 + OD^2 - CD^2}{2 OC \times OD} = \frac{23}{37}$$
を得る．\
　$\Omega$ における弧 $CD$ の円周角から $\angle CAD = \angle DBE$ が成り立ち，四角形 $ABCD$ が円に内接することから $\angle ADC = \angle BED = 180^{\circ} - \theta$ が成り立つので，$\triangle CAD \sim \triangle DBE$ が得られ，特に $DE = BE$ がしたがう．$BE : CE = 37 : 24$ なので，ここで正の実数 $x$ を用いて
$$BE = DE = 37x，CE = 24x$$
と表そう．三角形 $CDE$ において余弦定理を適用すると
$$CD = \sqrt{CE^2 + DE^2 - 2CE \times DE \cos \theta} = 29x$$
であり，$x = \dfrac{2 \sqrt{210}}{29}$ も得る．したがって $DE \gt CD$ から $\angle DCE \gt \theta$ がわかるので，$\angle ADC + \angle DCE \gt 180^{\circ}$ が得られ，これより $2$ つの半直線 $AD, BC$ は交点をもつのでその交点を $F$ とする．$\angle CDF = 180^{\circ} - \angle ADC = \theta$ から $\triangle DCF \sim \triangle EDF$ である．よって
$$CF : DF = DF : EF = CD : DE = 29 : 37$$
なので $CF : EF = 29^2 : 37^2$ であり，
$$EF = \frac{37^2}{37^2 - 29^2} CE = \frac{37^2}{66 \times 8} \times 24x = \frac{37^2}{22} x$$
と表せる．$AB \parallel DE$ から
$$AB : DE = BF : EF = BE + EF : EF = 37x + \frac{37^2}{22}x : \frac{37^2}{22}x = 59 : 37$$
が得られ，これより
$$AB = \frac{59}{37} DE = 59x = \dfrac{118 \sqrt{210}}{29}$$
である．ゆえに，解答すべき値は $\mathbf{357}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/editorial/10212
　円 $ABCD$ と $DE$ の交点を $F(\not= D)$ とすると，$AB\parallel DE$ から四角形 $ABFD$ は等脚台形であるから $\angle BDF=\angle DBC$

　この角度を $\theta$ とおけば，$\angle DEC=2\theta$ と $\triangle DBC，\triangle DEC$ の正弦定理から

$$\dfrac{DC}{\sin\theta}=2\sqrt{1110}，\dfrac{DC}{\sin2\theta}=37$$

　これと $\sin2\theta =2\sin\theta \cos\theta$ から $\cos\theta =\dfrac{\sqrt{1110}}{37}，DC=2\sqrt{210}$ がわかる．

　一方，四角形 $BFCD$ は等脚台形であるから，$BE=37x$ とおけばPtolemyの定理から

$$(61x)^2=DC^2+BD\times FC=840+(2\times 37x\cos\theta)\times(2\times 24x\cos\theta)=840+2880x^2$$

$$\therefore x=\dfrac{2\sqrt{210}}{29}$$

　四角形 $ABFD$ についてPtolemyの定理より

$$BD^2=AD^2+AB\times DF$$

　$AB$ 以外の長さはすべて出てるので代入すれば $AB=\dfrac{118\sqrt{210}}{29}$
等脚台形をつくる
https://onlinemathcontest.com/contests/omce008/editorial/10212/657
　凸四角形 $ABCD$ が半径 $\sqrt{1110}$ の円に内接しており，$AD = CD$ をみたしています．辺 $BC$ を $37 : 24$ に内分する点 $E$ をとったところ，$AB \parallel DE$ が成り立ち，さらに三角形 $CDE$ の外接円の**直径**は $37$ となりました．このとき，辺 $AB$ の長さは互いに素な正整数 $p, q$ と平方因子をもたない正整数 $r$ によって $\dfrac{q \sqrt{r}}{p}$ と表されるので，$p + q + r$ の値を解答してください．