　 三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とし，$BC$ の中点を $M$ とする．三角形 $HBC$ において中線定理より
$$HM = \sqrt{\frac{1}{2}(HB^2 + HC^2) - BM^2} = 6$$
を得る．$M$ に関して $H$ と対称な点を $D$ とすると，これは三角形 $ABC$ の外接円上にある．よって，三角形 $ODH$ において中線定理より
$$25 + R^2 = 2\times(36 + OM^2)$$
を得る．また，三平方の定理より
$$OM^2 = R^2 - \frac{361}{4}$$
であるから，二式を連立して解くことで $R^2 = \dfrac{267}{2}$ を得る．特に解答すべき値は $\mathbf{269}$ となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc139/editorial/5270
　$\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b}, \overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とし，$\lvert \vec{a} \rvert= \lvert \vec{b} \rvert= \lvert \vec{c} \rvert= R$ とおく．このとき $\overrightarrow{OH}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ であるから，条件は

- $\lvert \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \rvert^2=5^2$
- $\lvert \vec{a}+\vec{b} \rvert^2+\lvert \vec{a}+\vec{c} \rvert^2=\dfrac{505}{2}$
- $\lvert \vec{b}-\vec{c} \rvert^2=19^2$

と書ける．$(\text{第1式})-(\text{第2式})+(\text{第3式})$ を計算することで $R^2=\dfrac{267}{2}$ を得る．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc139/editorial/5270/184
　三角形 $ABC$ について，その垂心を $H$，外心を $O$ とすると，
$$OH=5,\quad HB^2+HC^2=\frac{505}{2},\quad BC=19$$
が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の外接円の半径の $2$ 乗は，互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．