![figure 1](\/images\/FLtYYsRF8Z6tGDu1Bn4adxMgtJ2SpZBNrevwvjS8)

　$1$ つの $2\times 2$ のタイルは上の図の黒マスの部分をちょうど $1$ つ含むので $6$ つの黒マスと $6$ つの $2\times 2$ のタイルが一対一対応する．従って，数えるべきものは，$6$ つの黒マスを含むような $6$ つの $2\times 2$ のタイルの置き方であって，$2\times 2$ のタイル同士が重ならないものと言い換えられる．\
　黒マスとそれを含む $2\times 2$ のタイルとの位置関係は $4$ 通りあるが，これを「縦」と「横」の二つのパラメタに分離して考える．つまり，黒マスが $2\times2$ のタイルの上下どちらの側にあるかという情報と，左右どちらの側にあるかという情報を分離して考える．


- 横のタイル同士が重ならないような $6$ つのタイルの「横」のパラメタの決め方は $4\times 4=16$ 通り．
- 縦のタイル同士が重ならないような $6$ つのタイルの「縦」のパラメタの決め方は $3\times 3 \times 3=27$ 通り．

よって，横のタイル同士と縦のタイル同士が重ならないような $6$ つのタイルの置き方は $16\times 27=432$ 通りある．しかし，これは斜めのタイル同士が重なる場合を考慮していないので，そのような場合を引く必要がある．\
　重なり合う斜めのタイルの組みは，下の図において同じ円で囲まれている二つの黒タイルの組みに対応して $4$ パターン考えられるが，対称性から $1$ パターンを考えて $4$ 倍すれば良い．

![figure 2](\/images\/pvoRwVyFtQlNJkRqmUXUqIIBztZBNW8lY7P779Md)

![figure 3](\/images\/VQX3ciczTk8LIdX76NI4GEjC5TmoOsl6wTcLRO41)

　左上の黒タイルと下段中央の黒タイルに対応するタイル同士が重なっている場合，左側四つの $2\times2$ タイルの置き方は上の図のような置き方に限られ，残りの $2$ つのタイルの置き方は $6$ 通りである．\
　以上より，求める答えは $432-6\times 4=\bold{408}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/7030
　$5\times 7$ のマス目を $2\times 2$ の正方形のタイル $6$ 枚と $1 \times 1$ の正方形のタイル $11$ 枚で（重ねることなく，また隙間なく）敷き詰める方法は何通りありますか？\
　ただし，同じ大きさのタイルは区別せず，回転したり裏返したりして同じになる敷き詰め方は違うものとして数えます．