**補題.**　$n$ が二進法表記によって
$$n=2^{a_k} +2^{a_{k-1}}+ \dots +2^{a_2}+2^{a_1}\ (a_{k}\gt a_{k-1}\gt\cdots\gt a_2\gt a_1 \geq 0)$$
と表されるとき, $n!$ が $2$ で割り切れる最大の回数 $f(n)$ は $n-k$ である.

**証明.**　$n=1$ のとき明らかに成立するから, 以下ある $m\geq 2$ について $n\lt m$ で成立を仮定し, $m=n$ で成立を示せばよい. $m$ が偶数のとき, 帰納法の仮定より $f(m\/2)=m\/2-k$ であるから, Legendreの定理より
$$f(m)=\dfrac{m}{2}+f\left(\dfrac{m}{2}\right)=m-k$$
を得る. $m$ が奇数の場合も同様である. なお, $f(m)$ を $f(m-1)$ によって表す方針でも示される. (証明終)

　これより, $2^{100}$ 未満の良い数とは
$$ n = 2^{a_4}+2^{a_3}+2^{a_2}+2^{a_1}\ \ (99\geq a_4\gt a_3\gt a_2\gt a_1\geq0)$$
と表されるものに他ならず, その個数は ${}\_{100}\mathrm{C}\_{4}=\textbf{3921225}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/editorial/262
　正の整数 $n$ について, $n!$ が $2$ で割り切れる最大の回数が $n-4$ であるとき, これを**良い**数と呼びます.\
　$2^{100}$ 未満の良い数はいくつありますか？