　三平方の定理より $$PR = PQ = \sqrt{PO^2 - QO^2} = 12$$ である. また, 三角形 $TRO$ と三角形 $TQP$ は相似であるから, $TR = 5x$ とすれば $$TQ = TR\times\frac{PQ}{RO} = 12x$$ である. さらに, $\angle PQO = \angle PRO = 90^\circ$ より $4$ 点 $O, P, Q, R$ は同一円周上にあるので, 方べきの定理より
$$TQ\times TO = TP\times TR \implies 12x(12x - 5) = 5x(5x + 12)$$
が分かる. これを解いて $TR = 5x = \dfrac{600}{119}$ を得る. 特に解答すべきは $\bf{719}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/4578
　$\angle{\mathrm{OPQ}}=\theta$ とおくと，$\sin{\theta}=\dfrac{5}{13}$．\
  　よって $2$ 倍角の公式から，$\cos{2\theta}=\dfrac{119}{169}$．\
  　$\mathrm{PQ}=12$ より，$\mathrm{PT}=12×\dfrac{169}{119}$．\
  　$\mathrm{RT}=12×\dfrac{169}{119}-12=\dfrac{600}{119}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc127/editorial/4578/150
　$O$ を中心とする半径 $5$ の円 $\omega$ に対し，その外部の点 $P$ から $2$ 本の接線を引き，接点をそれぞれ $Q, R$ とします．また，直線 $QO$ と直線 $PR$ の交点を $T$ とします．\
　$PO=13$ のとき，線分 $TR$ の長さは互いに素な $2$ つの正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を求めてください．