　$x$ 軸方向に $-1$ 動く動作が $a$ 回あったとすると，以下のように計算できる：
- $x$ 軸方向に $1$ 動く動作が $a+2$ 回．
- $y$ 軸方向に $-1$ 動く動作が $6-a$ 回．
- $y$ 軸方向に $1$ 動く動作が $7-a$ 回．

これにより，求める場合の数は以下のように計算できる：
$$ \sum_{a=0}^{6}\frac{15!}{a!(a+2)!(6-a)!(7-a)!}=\frac{15!}{6!9!}\sum_{a=0}^{6}\frac{6!}{a!(6-a)!}\frac{9!}{(a+2)!(7-a)!} ={}\_{15}\mathrm{C}\_{6} \times \sum_{a=0}^{6} \bigl({}\_{6}\mathrm{C}\_{a}\times{}\_{9}\mathrm{C}\_{7-a}\bigr)  = {}\_{15}\mathrm{C}\_{6} \times {}\_{6+9}\mathrm{C}\_{7} = \mathbf{32207175}. $$
　ここで，以下の等式
$$\sum_{a=0}^{6} \bigl({}\_{6}\mathrm{C}\_{a}\times{}\_{9}\mathrm{C}\_{7-a}\bigr)  = {}\_{6+9}\mathrm{C}\_{7} $$
はVandermondeの畳み込みの一例であるが，$8\times 7$ の格子の移動で距離 $6$ 進んだ時点の位置を考えても導ける．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5665
　$|A|=7,|B|=9$ を満たす $\\{1,2,...,15\\}$ の部分集合 $A,B$ と題意を満たす動作の行い方は次の一対一対応が可能である．

$i=1,2,...,15$ について
- $i\in A\backslash B\Longleftrightarrow x$ 軸方向に $1$ 動く
- $i\in B\backslash A\Longleftrightarrow x$ 軸方向に $-1$ 動く
- $i\in A\cap B\Longleftrightarrow y$ 軸方向に $1$ 動く
- $i\notin A\cup B\Longleftrightarrow y$ 軸方向に $-1$ 動く

このような集合 $A,B$ は ${}\_{15}\mathrm{C}\_{7}\cdot {}\_{15}\mathrm{C}\_{9}=\bf{32207175}$ だけあるのでこれが求めたい値である．（論が雑）
部分集合との対応
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5665/331
　testerの **ojamesi1357** さんの解法が秀逸だったので共有します．

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　$x(y)$ 軸方向に $\pm1$ だけ進むことを $x^{\pm1}(y^{\pm1})$ と表現すれば求めるべきは次の式を展開したときの $x^2y$ の係数である．
$$\Big(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\Big)^{15}$$
 $(xy)^{15}$ をかけて整理すると，上式の$x^2y$ の係数は次の式の $x^{17}y^{16}$ の係数に等しい．
$$(x+y)^{15}(xy+1)^{15}$$
 $(x+y)^{15}$ の展開式において一般項は ${}\_{15}\mathrm{C}\_{s}x^sy^{15-s}　(s=0,1,...,15)$，\
$(xy+1)^{15}$の展開式において一般項は ${}\_{15}\mathrm{C}\_{t}x^ty^t　(t=0,1,...,15)$なので，この $s,t$ を用いて\
 $\Big(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\Big)^{15}$ の展開式において一般項は ${}\_{15}\mathrm{C}\_{s}\cdot{}\_{15}\mathrm{C}\_{t}x^{s+t}y^{15-s+t}　(t=0,1,...,15)$ と表される．\
特に $s+t=17,15-s+t=16$ となるのは $s=8,t=9$ のときに限られるので所望の係数は
$${}\_{15}\mathrm{C}\_{8}\cdot{}\_{15}\mathrm{C}\_{9}=\bf{32207175}.$$
形式的べき級数
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5665/338
座標を45°回転させます.

すると、$(x+y,x-y)$の挙動を見れば良くなります.

こうするとどうなるかと言うと,4通りの動作(xまたはy方向に$\pm 1$進む)が

$ (x+y)$が1増える or 1減る

と

$(x-y)$が1増える or 1減る

の$2\times 2=4$通りとなります.こうなると何が嬉しいかと言うと,座標ごとに場合の数を独立に考えても良くなります.

つまり,

$+1$または$-1$を15回繰り返して3に行き着く場合の数は${}\_{15}C\_{9}$通り

$+1$または$-1$を15回繰り返して1に行き着く場合の数は${}\_{15}C\_{8}$通り

で,最終的な答えとしてはこの2つの積${}\_{15}C\_{9} \times {}\_{15}C\_{8}$通り

となります.

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余談

OMC電卓でこれを計算する方法の例

これは${}\_{15}C\_{6} \times {}\_{15}C\_{7}$でもあることに注意.

$15\times 14\times \cdots \times 10$を計算する

↓


$6!=720$で割る

↓

全体を2乗する

↓

全体に9を掛けて7で割る

↓

答えが出てくる
座標を45°回転させる
https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5665/346
　OMC君は $xy$ 平面上におり，初めは $(0,0)$ にいます．OMC君は， $1$ 回の動作で $x$ 軸方向または $y$ 軸方向に $1$ または $-1$ 動きます（すなわち，$1$ 回にありうる動作は $4$ 通りです）．$15$ 回の動作を行った時点で $(2,1)$ にいるような，動作の行い方は何通りありますか？