　直線 $BC$ 上に，$AR = 10$ かつ点 $C$ と異なる点 $R$ をとると，$AR \lt AB$ から点 $R$ は線分 $PB$ 上にあることがわかる．このとき $\angle PAC = \angle PAR\lt\dfrac12\angle BAC$ であるので，条件 $\angle BAC = 2 \angle PAQ$ より $4$ 点 $B, Q, R, P$ はこの順に一直線に並び，さらには $\angle BAQ = \angle RAQ$ が成り立つ．よって
$$BQ : QR = AB : AR = 11 : 10$$
であり，これに $PQ : QB = 11 : 10$，$PC = PR$ を合わせることで
$$BQ : QR : RP : PC = 110 : 100 : 21 : 21$$
が得られる．ここで $BC = 252x$ とおくと，$2$ つの直角三角形 $APB, APC$ において三平方の定理から
$$AP^2 = 11^2 - (231x)^2 = 10^2 - (21x)^2$$
がわかるので，これを解くことで
$$x = \sqrt{\frac{1}{2520}}$$
が得られる．よって
$$BC = \sqrt{\frac{126}{5}}$$
であり，特に解答すべき値は $\mathbf{131}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc202/editorial/7325
　三角形 $ABC$ は $AB = 11,AC = 10$ をみたしています．辺 $BC$ 上に，$4$ 点 $B,Q,P,C$ がこの順に並ぶよう $2$ 点 $P, Q$ をとったところ，以下が成り立ちました：
$$\angle APB = 90^{\circ},\quad \angle BAC = 2 \angle PAQ,\quad PQ : QB = 11 : 10.$$
このとき辺 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $p, q$ によって $\sqrt{\dfrac{p}{q}}$ と表せるので， $p + q$ の値を解答してください．