　$x=2^j$ とおくと $f(\log_2x)$ は $x$ の $99$ 次式となり, 条件よりそれらの根は $2^0,2^1,\cdots,2^{98}$ である. すなわち, 
$$f(j)=a_{99}(2^j-2^0)(2^j-2^1)\cdots(2^j-2^{98})$$
これより, $f(100)$ について以下のように変形できる：
$$\frac{f(100)}{f(99)}=2^{98}\times\frac{2^{100}-2^0}{2^{99}-2^{98}}=2^{100}-1$$
よって, $f(100)=99(2^{100}-1)$ であり, $\lfloor \log_2{f(100)}\rfloor=\textbf{106}$ であることが容易にわかる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc052/editorial/1902
　$a_0,a_1,\cdots,a_{99}$ を実数とし, 非負整数 $j$ に対して定義される関数 $f$ を
$$f(j)=\sum_{i=0}^{99} a_i2^{ij}$$
で定めると, 以下が成立しました. このとき, $\log_2{f(100)}$ の整数部分を解答してください. 
$$f(0)=f(1)=\cdots=f(98)=0,\quad f(99)=99$$