　正整数 $n,n+1,\dots,n+k$ をこの順に文字列として結合し，再度数字として解釈したものを $S(n,k)$ で表すことにする．例えば $S(8,2)=8910$ である．さらに 
$$\Delta(n,k)=S(n,k)-\sum_{i=n}^{n+k}i$$
とする．任意の正整数 $n,k$ について $\Delta(n,k)\geq 0$ であることに注意せよ．\
 　$+$ を一つも書き忘れなかったときの値は $5050$ であるから，正しい値とのずれが $6930$ となればよい．\
　$a$ と $a+1$，$b$ と $b+1$，$c$ と $c+1$ の間の $+$ を書き忘れた $(a\lt b\lt c)$ としよう．
- $a+2=b+1=c$ のとき $\Delta(a,3)=6930$ であるが，これは実現されない．
- $a+2=b+1\lt c$ のとき $\Delta(a,2)+\Delta(c,1)=6930$ である．このとき $a\leq 7$ であり，
$$6930\geq \Delta(c,1)=6930-\Delta(a,2)\geq 6930-765=6165$$
より $9\leq c\leq 98$，すなわち $\Delta(c,1)=99c$．しかし，$\Delta(a,2)=9(12a+1)$ は $11$ の倍数にならない．
- $a+2\lt b+1=c$ のとき，上と同様に $b\leq 7$ だが，このとき $\Delta(a,1)+\Delta(b,2)\leq 45+765$ で不適．

　以上より $a+2\lt b+1\lt c$ のとき $\Delta(a,1)+\Delta(b,1)+\Delta(c,1)=6930$ について考えればよい．
$$\Delta(x,1)=9x\ (1\leq x\leq 8),\quad \Delta(x,1)=99x\ (9\leq x\leq 98)$$
であることを用いれば，次のいずれかであることがわかる．
- (a)：$9\leq a,b,c\leq 98$ かつ $a+b+c=70$ 
- (b)：$1\leq a,b\leq 8$ かつ $a+b=11,c=69$

　(a)の場合，$x=a-9,y=(b-11)-x,z=(c-13)-y$ とすれば
$$3x+2y+z=37$$
を満たす非負整数組 $(x,y,z)$ を数えることと言い換えられ，その個数は次で求められる．
$$\sum_{x=0}^{12}\biggl\lfloor\frac{37-3x}{2}+1\biggr\rfloor=\sum_{k=0}^{6}(19-3k)+\sum_{i=0}^{5}(18-3k)=133$$

　(b)の場合，ありえる組み合わせは $(3,8,69),(4,7,69)$ の $2$ 通りである.\
　以上より求める場合の数は $\bf{135}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc154/editorial/3096
　OMC君は $1$ から $100$ までの整数の和を計算するため紙に
$$1+2+3+\cdots+99+100$$
と（途中を省略することなく）書いたつもりでしたが，慌てていたので $+$ をちょうど $3$ か所書き忘れてしまいました．OMC君が実際に書いた式の値を計算した結果 $11980$ となったとき，OMC君が実際に書いた式としてありうるものはいくつありますか？\
　たとえば，$10$ と $11$ の間の $+$ のみを書き忘れたとき，$10$ と $11$ のかわりに $1011$ を足すものと解釈して，計算結果は $6040$ となります.