　条件より $N-11$ は $6,7,8,9,10$ でそれぞれ割り切れるから, 特にこれらの最小公倍数 $2520$ で割り切れる. よって $N\leq 9999$ と併せて, 求める最大値は $3\times 2520+11=\textbf{7571}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc095/editorial/1442
　$4$ 桁の正整数 $N$ は以下の条件をともにみたします.

- $N$ を $6$ で割った余りは $5$ である.
- $N$ を $7$ で割った余りは $4$ である.
- $N$ を $8$ で割った余りは $3$ である.
- $N$ を $9$ で割った余りは $2$ である.
- $N$ を $10$ で割った余りは $1$ である.

このとき, $N$ としてあり得る最大値を求めてください.