　$90^\circ+\angle BAC\/2=\angle BIC=180^\circ-\angle BAC$ より $\angle BAC=60^\circ$ である. このとき正弦定理より $BC=18$ であり, $AB=x,AC=y$ とおけば余弦定理より $x^2-xy+y^2=18^2$ である. また $\angle DAI=30^\circ$ であるから, 三角形 $ADI$ に対する正弦定理より $DI=2\sqrt{3}$ である.\
　ここで, 角の二等分線定理より $AE:EC=x:18$ および $DI:IC=x:(y+18)$ であるから,
$$CE=\frac{18y}{x+18},\quad CI=2\sqrt{3}\times\frac{y+18}{x},\quad CD=2\sqrt{3}\times\frac{x+y+18}{x}$$
一方で方べきの定理より $AC\times CE=CD\times CI$ であるから, 上の諸値を代入して整理することで
$$3x^2y^2=2(x+18)(y+18)(x+y+18)$$
$r=x+y,s=xy$とおけば, 求めるべき値は $r$ であり, 一方で条件は
$$r^2-3s=18^2,\quad 3s^2=2(s+18r+18^2)(r+18)$$
これを解き, $r\gt 18$ に留意することで $r=19+\sqrt{109}$ を得る. 特に解答すべき値は $\textbf{128}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/editorial/1407
$\angle A=60^{\circ}$ 以降についての議論です. 元の解説はかなり計算量が重めですが，三角形 $IBC$ の面積に注目すると計算量が軽くなります.

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$AI=x$ とすると, 三角形 $ABC$ の内接円の半径は $x\/2$ と表せ, $BC=18$ だから三角形 $IBC$ の面積は $\dfrac{9x}{2}$ と表せる. ここで,
$$|IBC|=IB×IC×\dfrac{\sqrt 3}{4}$$ 
から, $IB×IC=6\sqrt 3x$ と導ける.
また, 余弦定理から $IB^2+IB×IC+IC^2=324$ であり, $2$ 式の和をとることで
$$IB+IC=\sqrt{324+6\sqrt 3x}$$
と表せる. ここで $ID=IE=2\sqrt 3$ から, 
$$|IDB|+|IEC|=(IB+IC)×2\sqrt 3×\dfrac{\sqrt 3}{4}=\dfrac{3}{2}\sqrt{324+6\sqrt 3x}$$
となる. ここで $I$ から $AB, AC$ に下ろした垂線の足を $P, Q$ とすると, $\angle ADP=\angle AEQ$ なので, $|IDP|=|IEQ|$ だから, $|IDB|+|IEC|=|IBC|$ が導ける. したがって, 
 $$\dfrac{9x}{2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{324+6\sqrt 3x}$$ 
より $x=\dfrac{1+\sqrt{109}}{\sqrt 3}$ となり, よって $$AB+AC=\sqrt 3x+18=1+\sqrt{109}+18=19+\sqrt{109}$$ であるから, 解答すべき値は $\textbf{128}$ である.
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/editorial/1407/171
　$\angle A=60^\circ$ までは公式解説と同様．直線 $BC$ に関して $A$ と反対側に，$BCP$ が正三角形となるように点 $P$ をとると $B,C,I,P$ は同一円周上にある．円周角の定理より $\angle BIP=60^\circ$ なので，直線 $BC$ と直線 $IP$ との交点を $F$ とすると $\triangle BDI\equiv \triangle BFI$ がわかるので $FI=DI=2\sqrt{3}$ となる．  
　$BI=x,CI=y$ とおくと，トレミーの定理より $IP=x+y$ なので
$$FP\cdot IP=(x+y)^2-2\sqrt{3}(x+y)=BP^2=324$$
より $x+y=\sqrt{3}+\sqrt{327}$ である．また，直線 $CD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点のうち $C$ でない方を $Q$ とすると，$\angle BIQ=60^\circ$ と $BI=QI$ から $CQ=CI+IQ=CI+BI=x+y$ なので，トレミーの定理より
$$AB(x+y)=18x+AC\cdot x\cdots (1)$$
である．直線 $BI$ と三角形 $ABC$ との交点のうち $B$ でない方を $R$ として同様の議論をすることで
$$AC(x+y)=18y+AB\cdot y\cdots (2)$$
となり，$(1)+(2)$ と $(1)\cdot y+(2)\cdot x$ から
$$\begin{aligned}
(AB+AC)xy &=(y\cdot AB+x\cdot AC)(x+y)-36xy\\\\
&=((AB+AC)(x+y)-18(x+y))(x+y)-36xy\\\\
&=(AB+AC)(x^2+2xy+y^2)-18(x+y)^2-36xy
\end{aligned}$$
が得られる．$xy=BI\cdot CI=FI\cdot PI=6+6\sqrt{109}$ に注意すると
$$AB+AC=\frac{18(x^2+4xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}=19+\sqrt{109}$$
と計算できる．
トレミー
https://onlinemathcontest.com/contests/omc046/editorial/1407/733
　内心を $I$ とする三角形 $ABC$ において, その外接円の半径は $6\sqrt{3}$ です. また, $AB$ と $CI$ の交点を $D$, $AC$ と $BI$ の交点を $E$ とすると,  $4$ 点 $A,D,E,I$ は半径 $2\sqrt{3}$ の円周上にありました. このとき, 正整数 $p,q$ によって $AB+AC=p+\sqrt{q}$ と表せるので, $p+q$ の値を解答してください.\
　ただし, $XY$ で線分 $XY$ の長さを表します.