　以下の要領で, $2$ 個以下の $2$ と残りすべて $3$ という状況 ($\textrm{mod}\ 3$ を考えればこれは一意) に帰着できる：

- $1$ を含む場合は, 適当なものに $1$ 加算する.
- $2$ を $3$ 個含む場合は, これを $2$ 個の $3$ に置き換える.
- $4$ を含む場合は, これを $2$ 個の $2$ に置き換える.
- $5$ 以上の整数 $a$ を含む場合はこれを $2,a-2$ に置き換える.

したがって, $2021=2+3\times 673$ より $M=2\times 3^{673}$ であるから, 特に解答すべき値は $\textbf{674}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc047/editorial/2018
　総和が $2021$ である**相異なるとは限らない**いくつかの正整数に対して，その総積としてあり得る最大値を $M$ とします．$M$ を素因数分解したとき，指数の総和を求めてください．例えば $2\times5^{20}\times 7^{21}$ ならば $42$ を解答してください．