　角度計算により $\angle BAD=65^{\circ}$ であるから $AB=BD$ が得られる．このとき $BD=CD$ より $\angle CBD=\angle BCD=60^{\circ}$ がわかるため $\triangle BCD$ は正三角形．このとき $AB=BC$ より $\angle BCA=\bm{35}^{\circ}$ と計算できる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb001/editorial/160
　凸四角形 $ABCD$ が以下の条件をそれぞれみたします.
$$\angle ABD=50^\circ,\ \ \angle ADB=65^\circ,\ \ \angle BDC=60^\circ,\ \ AB=CD$$
このとき, $\angle BCA$ の大きさを度数法で求めてください.