　三平方の定理より
$$12^2=AE^2+BE^2,\quad 13^2=CE^2+DE^2$$
であるから, Cauchy–Schwarzの不等式および方べきの定理より
$$12^2\times 13^2=(AE^2+BE^2)(CE^2+DE^2)≥(AE\times CE+BE\times DE)^2=(2\times AE\times CE)^2$$
これより $AE\times CE\leq 78$ が成り立つ. 逆に
$$AE=BE=6\sqrt{2},\quad CE=DE=\cfrac{13\sqrt{2}}{2}$$
のとき等号が成立するから, 以上より求める最大値は $\textbf{78}$ である。
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/editorial/1568
　$\angle BAE=\theta$ とおく．
$$AE×CE=AB \cos\theta×CD\sin \theta=78\sin 2\theta$$
あとは $\theta=45^{\circ}$ のときに，きちんと図が存在することを確認すればよい．
三角比
https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/editorial/1568/540
　円に内接する四角形 $ABCD$ において, $2$ 本の対角線は $E$ で垂直に交わります. $AB=12,CD=13$ であるとき, $AE\times CE$ のとり得る最大値を求めてください.