　$b_n = a_{n}^2$ とおけば $\\{b_n\\}$ はフィボナッチ数列となる．$a_n$ が整数になることは，$b_n$ が平方数であることと同値であり，順番に計算すれば $ b_{12}=144=12^2$ が最小である．すなわち，求める値は $\mathbf{12}$ である．\
　なお，$12$ が唯一であることも知られている．参照：https:\/\/math.la.asu.edu\/~checkman\/SquareFibonacci.html
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/editorial/9733
　正の実数列 $\lbrace a_n\rbrace_{n=1,2,\ldots}$ は
$$ a_1=a_2=1, \quad a_{n+2}^2 = a_{n+1}^2 + a_{n}^2 \quad (n=1,2,\ldots)$$
を満たします．このとき，$a_n$ が整数となるような $3$ 以上の整数 $n$ のうち，最小のものを求めてください．