　対角線 $AB, PQ$ の交点を $M$ とすると $AM = BM, PM = QM$ が成り立ち，さらに $AX \lt BX$ であることから点 $Y$ は線分 $AM$ 上にあることがわかる．ここで $x, y$ を次のように定める：
$$AM = BM = x，YM = y$$
すると三平方の定理から
$$XY^2 = AX^2 - AY^2 = BX^2 - BY^2$$
が成り立つので，
$$(x + y)^2 - (x - y)^2 = BY^2 - AY^2 = BX^2 - AX^2 = 100$$
から $xy = 25$ を得る．ここで $4$ 点 $B, P, Y, Q$ は共円であるので，方べきの定理を適用すると
$$PM^2 = PM \times QM = BM \times YM = xy = 25$$
より $PM = 5$ が得られる．よって
$$MX = PX - PM = (AB + 23) - 5 = 2x + 18$$
と表せるので，中線定理より
$$x^2 + (2x + 18)^2 = AM^2 + XM^2 = \frac{AX^2 + BX^2}{2} = 1160$$
が成り立ち，これを解くことで $x = \dfrac{38}{5}$ が得られる．ゆえに，
$$AB = 2x = \frac{76}{5}$$
であり，特に解答すべき値は $\mathbf{81}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc228/editorial/10336
　平行四辺形 $APBQ$ が与えられており，直線 $PQ$ 上に $P, Q, X$ がこの順に並ぶように点 $X$ をとったところ，以下をみたしました：
$$AX = \sqrt{1110} ,\quad BX = 11\sqrt{10} , \quad PX = AB + 23$$
ここで三角形 $BPQ$ の外接円が線分 $AB$（両端を除く）と交わったので，その交点を $Y$ とします．すると $2$ 直線 $XY, AB$ が直交しました．このとき，線分 $AB$ の長さは互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p + q$ の値を解答して下さい．