$x^2 - 2x + 4 = 0$ の解が $ x = 1 \pm \sqrt{3}i = 2\bigg( \mathrm{cos} \dfrac{\pi}{3} + i\mathrm{sin} \dfrac{\pm\pi}{3} \bigg)$ となることを用いると，de Moivreの定理より，

$$\begin{aligned}
\dfrac{(\alpha ^ {50} + \beta ^ {50}) ^ {2}}{\alpha ^ {123} + \beta ^ {123}} 
& = \frac{\bigg(2^{50} \times \bigg(\mathrm{cos} \dfrac{50\pi}{3}+ i\mathrm{sin} \dfrac{50\pi}{3} + \mathrm{cos} \dfrac{-50\pi}{3}+ i\mathrm{sin} \dfrac{-50\pi}{3}\bigg) \bigg) ^ {2}}
{2^{123} \times \bigg(\mathrm{cos} \dfrac{123\pi}{3} + i\mathrm{sin} \dfrac{123\pi}{3} + \mathrm{cos} \dfrac{-123\pi}{3} + i\mathrm{sin} \dfrac{-123\pi}{3}\bigg)}\\\\
& = \dfrac{\bigg(\mathrm{cos} \dfrac{-2\pi}{3} + \mathrm{cos} \dfrac{2\pi}{3} \bigg) ^ 2} {2^{23} \times \big(\mathrm{cos} \pi +  \mathrm{cos} (-\pi) \big)}\\\\
&= -\dfrac{1}{2^{24}}
\end{aligned}$$

である．よって，解答すべき値は $2^{24} + 1 = \bf16777217$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/6445
　複素数を使わない方針を書いておきます．\
　$(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+8$ より，$x^2-2x+4=0$ の解は，$x^3=-8$ を満たす．\
　これを用いれば，分母は $\alpha^{123}+\beta^{123}=(-8)^{41}×2$ であり，分子は $\alpha^{50}+\beta^{50}=(-8)^{16}(\alpha^2+\beta^2)$ から計算できる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc169/editorial/6445/254
　$x$ についての二次方程式 $x^2 - 2x + 4 = 0$ の二つの複素数解を $x=\alpha, \beta$ とするとき，
$$\dfrac{(\alpha ^ {50} + \beta ^ {50}) ^ {2}}{\alpha ^ {123} + \beta ^ {123}} $$
は互いに素な正の整数 $p, q$ を用いて $-\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p+q$ を解答してください．