**注意**：以下の解説では, $V(\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.

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　$AD=x,A^{\prime}B^{\prime}=y, A^{\prime}D^{\prime}=z$ とおく. このとき, $A^{\prime}E^{\prime}=y+z, AE=x+y, AB=x+y+z$ と表される. 
二つの直方体の辺の長さがすべて正であるためには $x,y,z\gt 0$ であればよい. したがって, 問題は

- 正の実数 $x,y,z$ が $yz(y+z)=1, 2y+z\leq x$ をみたすとき, $x(x+y)(x+y+z)$ の最小値を求めよ.

と言い換えられる. ここで, $y,z\gt 0$ を固定したとき, $x(x+y)(x+y+z)$ は $x\gt 0$ の範囲で広義単調増加であるから, $x=2y+z$ のときに最小値をとる. このとき, 次数に留意すれば, 求めるものは
$$ V=\dfrac{(2y+z)(3y+z)(3y+2z)}{yz(y+z)} $$
の最小値と等しく, さらに $2y+z=yz$ の場合を考えて一般性を失わない. これより $z$ を消去し, さらに $y\gt 1$ であることから $y-1$ を $y$ とおき直せば, $V$ は以下のように変形される.
$$ V=9y+9+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{y+2} $$
ここで, 相加・相乗平均の関係より
$$\begin{aligned}
V &= \left(\dfrac{1}{2}(9+4\sqrt{2}+\sqrt{5})y+\dfrac{4}{y}+\dfrac{1}{2}(9-4\sqrt{2}-\sqrt{5})(y+2)+\dfrac{4}{y+2}\right)+4\sqrt{2}+\sqrt{5} \\\\
&\geq 2\sqrt{2}\left(\sqrt{9+4\sqrt{2}+\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{2}-\sqrt{5}}\right)+4\sqrt{2}+\sqrt{5}\\\\
&= 2\sqrt{2}(2+\sqrt{10})+4\sqrt{2}+\sqrt{5}\\\\
&= 8\sqrt{2}+5\sqrt{5}
\end{aligned}$$
等号は $y=\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{5}-3}{3}$ で成立するから $m=8\sqrt{2}+5\sqrt{5}$ で, 特に求める値は $128+125=\textbf{253}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/193
**注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.

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　$\mathfrak{C}$ および体積 $1$ の直方体 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}-E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}$ が, 以下の条件をそれぞれみたします.
$$\begin{aligned}
&A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}D^{\prime}=A^{\prime}E^{\prime},&& A^{\prime}B^{\prime}=AE-AD,\\\\
&A^{\prime}D^{\prime}=AB-AE, &&
A^{\prime}B^{\prime}+A^{\prime}E^{\prime}\leq AD
\end{aligned}$$
このとき, $V(\mathfrak{C})$ のとり得る最小値 $m$ はある正の整数 $a\lt b$ によって $m=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ と一意に表されるので, $a+b$ を求めて下さい.