　直線 $AB$ 上にあり，$x$ 座標が $t$ である点を $D$ とする．$CD$ を底辺として考えれば 
$$
\triangle{ABC}=\frac{1}{2} \times CD \times \bigl( 25-(-13) \bigl)
$$
であるから，線分 $CD$ の長さについて考えればよい．$D$ の $y$ 座標は $12t+325$ であるから，
$$CD=|t^2-12t-325|=|(t-6)^2-361|$$
である．これが最大となる $t$ の値が $3$ つ存在するのは，最大値が $361$ となるときであり，$-a, b$ は $2$ 次方程式 $x^2-12x-325=361$ の $2$ 解である．以上により，解答すべき値は $325+361=\textbf{686}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct003/editorial/3412
　$t$ が $-13\lt t\lt25$ を動くとき，三角形 $ABC$ の面積が最大となるのは点 $C$ が $y=x^2$ の $AB$ に平行な接線 $m$ の接点 $K(k,k^2)$ に一致するとき．  
よって，三角形 $ABC$ の面積が最大となるのは点 $C$ がちょうど $3$ 個であるのは，$X(-a,a^2),Y(b,b^2)$ を結ぶ直線と直線 $AB$ と直線 $m$ が等幅平行線となるときである．$\cdots(*)$  
(このとき，三角形 $ABC$ の面積が最大となるのは，$t=-a,b,k$ のとき．)  

　ここで一般に，$y=x^2$ 上の $2$ 点 $(p,p^2),(q,q^2)$ を通る直線の式は $y=(p+q)x-pq$ (有名事実)であることから，$AB\/\/m$ より $-13+25=k+k$ なので $k=6$ となる．さらに，$XY,AB,m$ の $y$ 切片がそれぞれ $ab,13\cdot25,-6^2$ となり，$(*)$ より，これらが等差数列をなすことから，$ab=2\cdot13\cdot25+36=\textbf{686}$．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omct003/editorial/3412/197
　$a, b$ は正の実数です．座標平面上の $3$ 点
$$A:(-13, 13^2),\quad B:(25, 25^2),\quad C:(t, t^2)$$
について，$-a \leq t \leq b$ の範囲で点 $C$ が動くとき，三角形 $ABC$ の面積が最大となる $t$ の値はちょうど $3$ つ存在しました．このとき，$ab$ の値を求めてください．