　$1$ 桁の正整数の総和は $45$ であり，また，$m$ 以上 $n$ 以下の整数の総和は $4$ 以上の $2$ べきになりえないから，$9,\\, 25,\\, 27,\\, 36$ になるものを考えればよい．平均値に注目することで，仮定を満たす組 $(m, n)$ は
$$ (4, 5),\quad (2, 4),\quad (3, 7),\quad (2, 7),\quad (1, 8) $$
であることが分かり，求める総和は $\bm{1041}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9379
　$10$ 進法で $1$ 桁の正整数の組 $(m, n)$ であって，$m \lt n$ をみたし，$m$ 以上 $n$ 以下の整数の総和が累乗数になるものすべてについて，$n^m$ の総和を求めてください．
<details><summary>累乗数とは<\/summary>
　**累乗数**とは，「ある正整数 $a$ と $2$ 以上の整数 $k$ が存在して，$a^k$ と表せる数」をさします．
<\/details>