　実際に $X=100x+10y+z$ などと表せば, $X+Y+Z=111(x+y+z)$ であることがわかる. $x+y+z$ のとり得る値は $3$ 以上 $27$ 以下であるから, 求める総和は $111\times(3+4+\cdots+27)=\textbf{41625}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc089/editorial/1937
　$1$ 以上 $9$ 以下の正整数 $x,y,z$ に対し，$3$ 桁の正整数 $X,Y,Z$ を以下のように定めます：

- $X$ は $100$ の位が $x$，$10$ の位が $y$，$1$ の位が $z$ である．
- $Y$ は $100$ の位が $y$，$10$ の位が $z$，$1$ の位が $x$ である．
- $Z$ は $100$ の位が $z$，$10$ の位が $x$，$1$ の位が $y$ である．

このとき，$X+Y+Z$ としてあり得る値をすべて求め，それらの総和を解答してください.