　$a_0=0$ とし，$b_n=a_n-a_{n-1}$ とする．このとき，$b_1=1,b_2=0$ である．また，$3$ 以上の整数 $n$ について，
$$b_n=\sum_{k=2}^n(a_{\lfloor n\/k\rfloor}-a_{\lfloor(n-1)\/k\rfloor})$$
である．ここで，
$$a_{\lfloor n\/k\rfloor}-a_{\lfloor(n-1)\/k\rfloor} = 
\begin{cases}
b_{n\/k} & (k \mid n)\\\\
0 & (k \nmid n)
\end{cases}$$
であるので，
$$b_n=\sum_{d|n,d\neq n}b_d$$
である．これを繰り返し用いることで， $p,q,r$ を相異なる奇素数とすると
$$
b_p = 1,\quad b_{2p}=2,\quad b_{8p}=12,\quad b_{4p^2}=18,\quad b_{2pq}=10,\quad b_{pqr}=13,\quad b_{4p^3}=56
$$
と計算できる．よって，
$$\begin{aligned}
a_{110}&=a_{100}+b_{101}+b_{102}+b_{103}+b_{104}+b_{105}+b_{106}+b_{107}+b_{108}+b_{109}+b_{110}\\\\
&=658+1+10+1+12+13+2+1+56+1+10\\\\
&=\bf{765}\end{aligned}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/imo2022-day1/editorial/4696
　数列 $\\{ a_n \\}$ を次のように定めます．

- $a_1=1$
- $a_n=a_{\lfloor n\/2\rfloor}+a_{\lfloor n\/3\rfloor}+\dots+a_{\lfloor n\/n\rfloor}　(n\gt1)$

$a_{100}=658$ です．$a_{110}$ を求めてください．