　一辺 $2$ の正 $36$ 角形 $C_0C_1C_2\cdots C_{35}$ を考え，その中心を $O$ とする．ここで三角形 $C_0 C_1 O$ の面積を $U$ とすれば，一辺 $2$ の正 $36$ 角形の面積は $36U$ であり長方形 $C_{0}C_{1}C_{18}C_{19}$ の面積は $4U$ である．このとき，多角形$A$ , $B$ を分割し一辺 $2$ の正 $36$ 角形にはめると多角形 $A$ が左図，$B$ が右図の網掛けのようになるので，
$$S=36U - 4U\cdot 2 + 2\cdot 2 = 28U + 4$$
$$T=36U - 4U\cdot 3 + 2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 24U + 6\sqrt{3}$$
　よって，$\lvert 6S-7T\rvert = 42\sqrt{3} - 24$  であるので，特に解答すべき値は $\mathbf{69}$ である．
![figure 1](\/images\/bP8icm3TDunwAaoeScS9M9VH0uJVsj0LHC4FEgRt)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc222/editorial/5667
　凸多角形 $A = A_{0}A_{1}\cdots A_{31}$ と $B = B_{0}B_{1}\cdots B_{29}$ はそれぞれ以下の条件をみたします．
 - 多角形 $A, B$ の辺の長さはすべて $2$ である．
 - $i$ が $8$ の倍数であるとき $\angle {A_i} = 160^\circ$，$i$ が $8$ の倍数でないとき $\angle {A_i} = 170^\circ$．
 - $j$ が $5$ の倍数であるとき $\angle {B_j} = 160^\circ$，$j$ が $5$ の倍数でないとき $\angle {B_j} = 170^\circ$．

　多角形 $A,B$ の面積をそれぞれ $S,T$ とするとき，$\lvert 6S-7T \rvert = a\sqrt{b} - c$ ($a,b,c$ は正の整数，$b$ は平方因子を持たない) と表せるので，$a+b+c$ を求めてください．