　条件は，非負整数 $a$ と奇数 $b$ を用いて $2^a\cdot b^2$ と表せることと同値である．さらにこれは，正整数 $k$ を用いて $k^2$ または $2k^2$ と表せることと同値である．以上より，求める個数は $\lfloor \sqrt{10000} \rfloor+ \lfloor \sqrt{5000} \rfloor=100+70=\textbf{170}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb010/editorial/7090
　正の約数の総和が奇数であるような，$1$ 以上 $10000$ 以下の整数はいくつ存在しますか？