　方べきの定理より
$$CP^2 = BC(BC + 11) = CQ^2$$
であるから, $CP = CQ = 100$ である. これを上の式に代入して解くことで, 
$$BC = \frac{-11+\sqrt{40121}}{2}$$
が分かるので, 特に解答すべき値は $\bf{40134}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc157/editorial/4730
　円 $O_1$ と $O_2$ は $2$ 点 $A,B$ で交わっており，直線 $\ell$ は $O_1$ と $O_2$ の両方に接しています．$\ell$ と $O_1,O_2$ の接点をそれぞれ $P,Q$ とし，直線 $AB$ と $\ell$ の交点を $C$ とするとき，以下が成立しました：
$$AB = 11,\quad PQ = 200.$$
さらに，$B$ が線分 $AC$ 上にあるとき，線分 $BC$ の長さは互いに素な整数 $a,b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt a - b}{c}$ と表せるので，$a + b + c$ を解答してください.