　$11$で割り切れる良い数を数え上げよう．良い数 $X$ の右から $k$ 桁目を $a_k$ とすると，
$$\begin{aligned}
X&=\sum_{k=1}^{8}10^{k-1}a_k\\\\
&\equiv \sum_{k=1}^{8}(-1)^{k-1}a_k\pmod{11}\\\\
&=\sum_{k=1}^{8}a_k-2(a_2+a_4+a_6+a_8)\\\\
&=36-2(a_2+a_4+a_6+a_8)
\end{aligned}$$
が成り立つ．これと $10\leq a_2+a_4+a_6+a_8\leq 26$ より，$X$ が $11$ で割り切れることは次と同値である．
$$a_2+a_4+a_6+a_8=18$$
これを満たす $(a_2,a_4,a_6,a_8)$ の組の数は次のいずれかの並べ替え，すなわち $8\cdot 4!$ 個ある．
$$(1,2,7,8),(1,3,6,8),(1,4,6,7),(1,4,5,8),(2,3,5,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7),(3,4,5,6)$$
それぞれに対して $(a_1,a_3,a_5,a_7)$ の組は $4!$ 個あるので，$11$ で割り切れる良い数の個数は次の通り．
$$8\cdot 4!\cdot 4!$$
　さて，$11$ で割り切れない良い数 $Y$ に対して，$99999999-Y$ も $11$ で割り切れない良い数であり，$Y$ とは異なる．よって $11$ で割り切れない良い数の集合は $2$ 数のペア $\\{Y,99999999-Y\\}$ 複数個に分けることができ，ペアの個数は先の議論より
$$\frac{8!-8\cdot 4!\cdot 4!}{2}=17856$$
である．各ペアについて，$11$ で割った余りの和は $11$ の倍数であり，ペアの要素がどちらも $11$ で割り切れないことから，特に $11$ である．したがって，$11$ で割り切れない良い数すべてについて $11$ で割った余りの総和は次のように求められる．
$$17856\cdot 11=196416$$
これは良い数全てに対して $11$ で割った余りの総和となっているので解答すべき値は $\mathbf{196416}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc229/editorial/12030
　$\lbrace 1,\cdots ,8\rbrace$ を全ての要素の和が $18$ であるような部分集合 $2$ つに分けることを考える．  
　このうち $1$ を含む方を $S$ とすると $S$ の要素が全て $6$ 以下のとき
$$1+4+5+6\lt 18$$
より不適．よって $S$ は $7$ または $8$ を含む．  
　$S$ が $7,8$ のどちらも含むとき
$$S=\lbrace 1,2,7,8\rbrace$$
である．  
　$S$ が $7$ を含まないとき $\lbrace 2,\cdots ,6\rbrace$ のうち和が $9$ となるペアを求めれば良いので
$$S=\lbrace 1,3,6,8\rbrace ,\lbrace 1,4,5,8\rbrace$$
である．  
　$S$ が $8$ を含まないとき $\lbrace 2,\cdots ,6\rbrace$ のうち和が $10$ となるペアを求めれば良いので
$$S=\lbrace 1,4,6,7\rbrace$$
である．  
　$1$ を含まないものについては上で求めた $S$ の補集合をとれば良い．
(a_2,a_4,a_6,a_8)の数え上げ
https://onlinemathcontest.com/contests/omc229/editorial/12030/621
　各桁に $1$ 以上 $8$ 以下の整数が $1$ 回ずつ現れる $8$ 桁の正整数を**良い数**と呼びます．$8!$ 個の良い数全てに対して $11$ で割った余りの総和を求めてください．