**注意**：以下の解説では, $V(\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.

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　$m=250$ とおく. $i,j,k$ がすべて偶数,奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和をそれぞれ $S_{eee},S_{ooo}$ などとして, 偶奇 $8$ 通りに対して総和を定める. さらに以下のように定める.
$$S_{ooo}+S_{eee}=S_{1},\ \ S_{oee}+S_{eoo}=S_{2},\ \ S_{eoe}+S_{oeo}=S_{3},\ \ S_{eeo}+S_{ooe}=S_{4}$$
このとき, 与条件は $S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=m$ と同値であることが容易にわかる.\
　ここで便宜的に $T=V\/4$ とおけば, $S_1,S_2,S_3,S_4$ はそれぞれ $T$ 個の小立方体に割り当てられた数の和であるから, $M(\mathfrak{C})$ は以下のように表せる. ただし, 総和は $a_{1}+\cdots+a_{T}=m$ なる非負整数の組全体をとる.
$$ M(\mathfrak{C})=\left(\sum a_{1}a_{2}\cdots a_{T}\right)^4 $$
特に $M(\mathfrak{C})$ は $T$ のみに依存するから, 偶数 $T$ について $S(T)=\sum a_{1}a_{2}\cdots a_{T}$ の最大化を考えればよい.

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**補題.**　$S(T)={}\_{T+m-1}\mathrm{C}\_{2T-1}$ が成立する.

**証明.**　一列に並んだ $T+m-1$ 個の白丸のうち, $2T-1$ 個を黒く塗りつぶす方法を考える. このうち, 左から $2,4,\cdots,2T-2$ 番目の黒丸が左から$$a_{1}+1, a_{1}+a_{2}+2,\cdots,a_{1}+\cdots+a_{T-1}+T-1$$番目にあるようなものは $a_{1}a_{2}\cdots a_{T}$ 通りであることがわかる. すなわち $S(T)$ は ${}\_{T+m-1}\mathrm{C}\_{2T-1}$ に等しい.

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　明らかに $T\leq m$ の範囲で考えれば十分である. このとき $\dfrac{S(T+1)}{S(T)}=\dfrac{(m+T)(m-T)}{2T(2T+1)}$ より,
$$ S(T+1)\gt S(T)\iff 5T^2+2T\lt m^2\iff T\lt\frac{\sqrt{5m^2+1}-1}{5}$$
さらに以下の不等式より, $S(1)\lt S(2)\lt\cdots\lt S(111)\lt S(112)\gt S(113)\gt\cdots\gt S(m)$ を得る.
$$ 111\lt\frac{\sqrt{5m^2}-1}{5}\lt\frac{\sqrt{5m^2+1}-1}{5}\lt\frac{\sqrt{5m^2}}{5}\lt112 $$
ただし3つ目の不等号で不等式 $\sqrt{x+1}\lt\sqrt{x}+1$ を用いた. よって求める値は $4\times112=\textbf{448}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/194
**注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.

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　$\mathfrak{C}$ は各辺の長さが正の**偶数**値であり, 一辺 $1$ の小立方体に分割されています. 上から $i$ 番目, 左から $j$ 番目, 手前から $k$ 番目の小立方体には非負整数 $N(i,j,k)$ が割り当てられています.\
　ここで, ある非負整数の割り当て方が**優しい**とは, 以下の条件をみたすことをいいます.

- $N(i,j,k)$ の**総和**は $1000$ である.
- $i+j$ が偶数であるような $N(i,j,k)$ の総和と, $i+j$ が奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和が等しい.
- $j+k$ が偶数であるような $N(i,j,k)$ の総和と, $j+k$ が奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和が等しい.
- $i+k$ が偶数であるような $N(i,j,k)$ の総和と, $i+k$ が奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和が等しい.

　割り当て方 $\sigma$ に対し $N(i,j,k)$ の**総積**を $P(\sigma)$ で表し, すべての優しい割り当て方 $\sigma$ について $P(\sigma)$ の**総和**を $M(\mathfrak{C})$ とします. $M(\mathfrak{C})$ が最大値をとるような $\mathfrak{C}$ について, $V(\mathfrak{C})$ としてあり得る値の**総和**を求めてください.\
　ただし, $1.41\lt\sqrt{2}\lt1.42,1.73\lt\sqrt{3}\lt1.74,2.23\lt\sqrt{5}\lt2.24$ が保証されます.