　相加平均・相乗平均の関係より, 以下の不等式が成立する.
$$
\sqrt[3]{(xyz)^2} \leq \frac{xy+yz+zx}{3}=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^4
$$
これより $xyz \leq 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^6$ であり, 与えられた式は以下のように評価できる. 
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^4}{xyz} \geq \frac{1}{2 \cdot 5^2}
$$
逆に $x=y=z=2 \cdot 3 \cdot 5^2 $ とすれば等号が成立するので, 解答すべき値は $2 \cdot 5^2=\mathbf{50}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/editorial/3180
　$2$ 回 AM-GM の不等式を用いて
$$ \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z = 3 \times \frac{x^{-1} + y^{-1} + z^{-1}}3 \ge 3 \left(xyz\right)^{-\frac13} \ge 3 \left(\frac{xy+yz+zx}3\right)^{-\frac12} = \frac1{50} $$
であり，これは $x = y = z = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ で等号成立より，求める値は $\mathbf{50}$．
AM-GM-AM-GM
https://onlinemathcontest.com/contests/omc099/editorial/3180/72
　正の実数 $x, y, z$ が $xy+yz+zx=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^4$ を満たすとき,
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$
のとり得る最小値は, 正整数 $n$ を用いて $\dfrac{1}{n}$ と表せます. $n$ を解答してください