**解法1.**　まず，任意の正の整数 $n$ に対して，第1式から
$$ f(x)=\frac{x}{2}+f\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)=\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr) =\cdots=x\Bigl(1-\frac{1}{2^n}\Bigr)+f\Bigr(\frac{x}{2^n}\Bigr) $$
が成り立つ．ここで $n$ を十分大きくすれば，任意の正の実数 $x$ に対して $f(x)\geq x$ が得られる．\
　さて，任意の正の実数 $a$ をとり，$c=f(a)-a\\,(\gt 0)$ とする．上式で $x=2^na$ とすることで $f(2^na)=2^na+c$ を得る．いま，正の実数 $x,y$ が $x+y=2^na$ をみたしながら動くとき，$x^2+y^2$ は区間 $[2^{2n-1}a^2,2^{2n}a^2)$ を動く．$n$ が十分大きいとき，この区間には非負整数 $m$ によって $2^ma$ と表される実数が含まれる．このとき，$x+y=2^na, ~ x^2+y^2=2^ma$ なる正の実数 $x,y$ に対して第 $2$ 式を適用すると，
$$
    f(x+y)^2=(2^na+c)^2,\quad
    f(x^2+y^2)+2xy = (x+y)^2+c = 2^{2n}a^2+c
$$
であるから
$$
    (2^na+c)^2 \leq 2^{2n}a^2+c+2023 \quad \text{すなわち} \quad 2^{n+1}ac+\leq -c^2+c+2023
$$
が得られ，$n$ を十分大きくとることで $c=0$ が必要である．\
　逆に，$f(x)=x$ は明らかに問題の条件をみたすから，これが求めるものである．

**補足.**　冒頭の式は，$n\leq 0$ でも成り立つ．したがって，上で整数 $m$ をとる際に非負に限定しなければ，いかなる $n$ に対しても然るべき $m$ をとることができる．

**解法2.**　to be written
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023f/editorial/9373
　正の実数に対して定義され正の実数値をとる関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して
$$ f(2x)=f(x)+x, \quad f(x+y)^2 \leq f(x^2+y^2)+2xy+2023 $$
をともにみたすものをすべて求めよ．