　$(p, q, r)$ を固定し，互いに区別される球 $128$ 個のうち $p$ 個を色 $X_1$ で，$q$ 個を色 $X_2$ で，$r$ 個を色 $X_3$ で塗ることを考える．ただし，同じ球を複数の色で塗ってもよいとする．このとき，  
- どの色にも塗られていない球が $a_0$ 個  
- $X_1$ のみで塗られている球が $a_1$ 個  
- $X_2$ のみで塗られている球が $a_2$ 個  
- $X_1$ と $X_2$ のみで塗られている球が $a_3$ 個  
- $X_3$ のみで塗られている球が $a_4$ 個  
- $X_1$ と $X_3$ のみで塗られている球が $a_5$ 個  
- $X_2$ と $X_3$ のみで塗られている球が $a_6$ 個  
- すべての色で塗られている球が $a_7$ 個

とすることで，$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)$ は美しい数列となる．美しい数列を固定したとき，球の彩色方法は $\dfrac{128!}{\prod_{k=0}^{7} a_k!}$ 通りある．美しい数列の固定を解除したときに，$X_1,X_2,X_3$ での彩色を独立に考えることによって，以下の等式を得る．
$$
\sum_{\lbrace a_k\rbrace\text{: 美しい数列}} \dfrac{128!}{\prod_{k=0}^{7} a_k!} = {}\_{128}\mathrm{C}\_{p} \cdot {}\_{128}\mathrm{C}\_{q} \cdot {}\_{128}\mathrm{C}\_{r} 
$$
したがって，$(p,q,r)$ を固定したときに，すべての美しい数列に対するスコアの総和 $f(p,q,r)$ について以下を得る．
$$
f(p,q,r)=\frac{ {}\_{128}\mathrm{C}\_{p} \cdot {}\_{128}\mathrm{C}\_{q} \cdot {}\_{128}\mathrm{C}\_{r} }{128!}
$$
正整数 $n$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2(n)$ で表すこととすると，Legendre の公式により，
$$
v_2(128!) = \sum_{k=1}^{7} \Big\lfloor \frac{128}{2^k} \Big\rfloor = 2^{7}-1 = 127
$$
となる．また，Kummer の定理より，
$$
v_2( {}\_{128}\mathrm{C}\_{n}) =7-v_2(n)
$$
となる．ただし，特別に $v_2(0) = 7$ と定義した．また，$0$ でない有理数 $\dfrac{a}{b}$ に対して $v_2\Big(\dfrac{a}{b}\Big) = v_2(a)-v_2(b)$ と定めることにする．すると，
$$
v_2(f(p,q,r))=21-v_2(p)-v_2(q)-v_2(r)-127
$$
を得る．求める値は $v_2\Big(\dfrac{x}{y}\Big)$ の絶対値であり，これは
$$
\begin{aligned}
\Biggl| v_2 \Biggl( \prod_{0 \leq p,q,r\leq 128}f(p,q,r) \Biggr)\Biggr| 
&= \Biggl| \sum_{0 \leq p,q,r\leq 128}v_2(f(p,q,r)) \Biggr| \\\\ 
&= \sum_{0 \leq p,q,r\leq 128} (106+v_2(p)+v_2(q)+v_2(r))\\\\ 
&= 106\cdot 129^3 + \sum_{p=0}^{128} (129^2\cdot 3v_2(p))\\\\ 
&= 129^2 \left(106\cdot 129 + 3\sum_{p=0}^{128} v_2(p) \right)\\\\ 
&= 129^2 (106\cdot 129 + 3(7+v_2(128!)))\\\\ 
&= 129^2 (106\cdot 129 + 3\cdot 134)\\\\ 
&= 129^2\cdot 14076\\\\ 
&=\mathbf{234238716}
\end{aligned}
$$
となる．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/editorial/10240
　形式的冪級数を用いて, $f(p,q,r)$ を導出します.\
$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k=e^x$$
より, $f(p,q,r)$ は以下の値になります. 展開したとき $t,x,y,z$ の次数が問題文の条件の式とそれぞれ対応します.
$$
\begin{aligned}
&[t^{128}x^py^qz^r]e^te^{xt}e^{yt}e^{xyt}e^{zt}e^{xzt}e^{yzt}e^{xyzt}\\\\
&=[t^{128}x^py^qz^r]e^{(1+x)(1+y)(1+z)t}\\\\
&=[x^py^qz^r]\frac{((1+x)(1+y)(1+z))^{128}}{128!}\\\\
&=\frac{\displaystyle\binom{128}{p}\binom{128}{q}\binom{128}{r}}{128!}
\end{aligned}$$
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc219/editorial/10240/630
　$(p,q,r)$ を $128$ 以下の非負整数の組とし，以下を満たす非負整数の組 $(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)$ を**美しい数列**と呼びます．  
$$
\begin{aligned}
a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 &= 128, \\\\
a_1+a_3+a_5+a_7 &= p, \\\\
a_2+a_3+a_6+a_7 &= q, \\\\
a_4+a_5+a_6+a_7 &= r \\\\
\end{aligned}
$$
また，美しい数列に対する**美しさ** を以下の値で定めます．  
$$
\prod_{k=0}^{7} \frac{1}{a_k!}
$$
$(p,q,r)$ を固定したときに，すべての美しい数列に対する美しさの**総和**を $f(p,q,r)$ と定義します．  
　$128$ 以下の非負整数の組 $(p,q,r)$ すべてに対する $f(p,q,r)$ の**総積**は，互いに素な正整数 $x,y$ を用いて $\dfrac{x}{y}$ と表すことができるので，$xy$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．