$$P(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_8),\quad Q(x)=(x-\alpha_1^2)(x-\alpha_2^2)\cdots(x-\alpha_8^2)$$
に留意する．ここで $Q(x^2)=R(x)$ なる多項式 $R(x)$ を考えると，
$$\begin{aligned}
R(x)&=(x^2-\alpha_1^2)(x^2-\alpha_2^2)\cdots(x^2-\alpha_8^2)\\\\
&=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_8)(x+\alpha_1)(x+\alpha_2)\cdots(x+\alpha_8)
\end{aligned}$$
となり，
$$\begin{aligned}
(x+\alpha_1)(x+\alpha_2)\cdots(x+\alpha_8)=(-x-\alpha_1)(-x-\alpha_2)\ldots(-x-\alpha_8)=P(-x)\end{aligned}$$
より，$R(x)=P(x)P(-x)$が成立することがわかる．求める値は
$R(\sqrt{10})=P(\sqrt{10})P(-\sqrt{10})$ より
$$\begin{aligned}
P(\sqrt{10})P(-\sqrt{10})=(9789-199\sqrt{10})(9789+199\sqrt{10})=\bf{95428511}
\end{aligned}$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/editorial/2172
　公式解説とほぼ同じ方針だが，$Q(x)$ を実際に求めた人が検算できるようにという意味も込めて，記しておく．

---

　$$(x- \alpha_1) \cdots (x-\alpha _8)=x^8-20x^3-21x^2+x-1$$
　解と係数の関係を考えれば，次を得る：
　$$(x+ \alpha_1) \cdots (x+ \alpha _8)=x^8+20x^3-21x^2-x-1$$
　これらを掛け合わせることで，次を得る：
$$\begin{aligned}
(x^2- \alpha_1^2) \cdots (x^2-\alpha _8^2) &= (x^8-20x^3-21x^2+x-1)(x^8+20x^3-21x^2-x-1) \\\\
&=(x^8-21x^2-1)^2-(20x^3-x)^2\\\\
&=x^{16}-42x^{10}-2x^8-400x^6+481x^4+41x^2+1
\end{aligned}$$
　$x^2$ に $x$ を代入して，
$$Q(x)=x^{8}-42x^{5}-2x^4-400x^3+481x^2+41x+1$$
　あとは $x=10$ を代入すればよい．
Q(x) の方程式を求める
https://onlinemathcontest.com/contests/omc129/editorial/2172/533
$$\begin{aligned}
P(x)=x^8-20x^3-21x^2+x-1
\end{aligned}$$
に対し，以下の条件をみたす $x$ の実数係数 $8$ 次多項式 $Q(x)$ が一意に定まります．
- $Q(x)$ の最高次の係数は $1$ である．
- 方程式 $P(x)=0$ の相異なる $8$ つの複素数解 $x=\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_8$ について，方程式 $Q(x)=0$ は相異なる $8$ つの複素数解 $x=\alpha_1^2,\alpha_2^2,\ldots, \alpha_8^2$ をもつ． 

　$Q(10)$ の値を解答してください．