$$x^2−4x+y^2−2y+z^2+6z=15\iff (x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=29$$
であるから，Cauchy-Schwarzの不等式より次が成立．
$$\begin{aligned}
&\quad(2x+3y+4z+5)^2\\\\
&=\left(2(x-2)+3(y-1)+4(z+3)\right)^2\\\\
&\leq (2^2+3^2+4^2)\left((x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2\right)\\\\
&=29^2
\end{aligned}$$
これより $-34\leq 2x+3y+4z\leq 24$ が得られ，実際に適当な $x,y,z$ で等号は成立するため解答すべき値は $\bm{24}$ ．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc006/editorial/42
　実数 $x,y,z$ について
$$x^2-4x+y^2-2y+z^2+6z=15$$
であるとき, $2x+3y+4z$ のとり得る最大値を求めてください.