$$\triangle ABP+\triangle CDP=\triangle BCP+\triangle DAP=36$$
が成り立つことから，$4$ つの三角形の面積の組み合わせとしてありうるものは $35^2$ 通りで，それぞれに対して適する $P$ の位置が一意に定まることがわかるから，求める値は $35^2=\mathbf{1225}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/9007
　座標平面上に正方形 ABCD を$A(0,0),B(6\sqrt{2},0),C(6\sqrt{2},6\sqrt{2}),D(0,6\sqrt{2})$ になるように配置することにしよう.

　$P$ の座標が $(x,y)$ であれば $\triangle ABP,\triangle BCP,\triangle CDP,\triangle DAP$ はそれぞれ $3\sqrt{2}y, 36-3\sqrt{2}x, 36-3\sqrt{2}y, 3\sqrt{2}x$ である.

　この $4$ つの値が全て正整数になるために $x,y$ が持つことができる値は整数 $n$ に対して $0$ 超過 $6\sqrt{2}$ 未満の $\frac{n}{3\sqrt{2}}$ で, $n$ は $1$ から $35$ までの $35$ 個が可能だ.

　したがって, $P$ が持つことができる互いに異なる位置は ${35}^2=\bf{1225}$ 個ある.
座標を利用する方法
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb017/editorial/9007/577
　面積が $72$ の正方形 $ABCD$ の周上を除く内部の点 $P$ について，$4$ つの三角形 $ABP, ~ BCP, ~ CDP, ~ DAP$ の面積がすべて正整数値であるとき，点 $P$ の位置としてありうるものはいくつありますか？