　結論から述べると，先手太郎君が勝てることは以下と同値である．以下，これを**勝利条件**とよぶ．

- $A$ のちょうど $1$ 項のみが $\bmod\ 3$ で $2$ であり，残りはすべて $\bmod\ 3$ で $0$ である．

　まず，勝利条件が満たされているとき，先手太郎君はすべての項が$\bmod\ 3$ で $0$ であるような状態にできる．その後は，直前に後手次郎君が選んだ項を選び続ければよい．\
　これをふまえると，後手次郎君は  $\bmod\ 3$ で $0$ でない項が含まれる状態で操作し続ける必要がある．勝利条件が満たされていないときには，その直後の先手太郎君の一回の操作によらずそれが満たされることに注意すれば，後手次郎君は以下のように操作すれば勝つことができる：

- $\bmod\ 3$ で $2$ の項が一つ以上ある場合は，そのうち一つを任意に選ぶ．
- $\bmod\ 3$ で $1$ の項が一つ以上ある場合は，そのうち一つを任意に選び，（それに対して操作するのではなく）それに対しては操作しないようにする．

　以上により，求める場合の数は $11 \times 4\times 3^{10} = \textbf{2598156}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc224/editorial/8724
　長さ $11$ の整数列 $A=(A_1,A_2,\dots,A_{11})$ を用いて，先手太郎君と後手次郎君がゲームをします．先手太郎君から始めて，それぞれに許された以下の操作を交互に行い，先に操作ができなくなった方が負けです：

- 先手太郎君：$1 \le i \le 11$ かつ $A_i \ge 2$ なる整数 $i$ を任意に一つ選び，$A_i$ を $2$ 減らす．
- 後手次郎君：$1 \le i \le 11$ かつ $A_i \ge 1$ なる整数 $i$ を任意に一つ選び，$A_i$ を $1$ 減らす．

$A_1,A_2,\ldots,A_{11}$ がすべて $1$ 以上 $11$ 以下であるような $A$ は $11^{11}$ 個ありますが，そのうち後手次郎君の操作によらず先手太郎君が勝てるものはいくつありますか？