　$7!=2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7$ であるから，$7!$ の約数は $2^a\cdot3^b\cdot5^c\cdot7^d$ の形で表される．\
　$2$ つの要素の積が平方数となるのは，各素因数 $2, 3, 5, 7$ の指数の偶奇が一致する場合である．したがって，$7!$ の約数を，素因数 $2,3,5,7$ の冪の偶奇の組み合わせによって $16\ (=2^4)$ 個の集合 $A_1, A_2, \ldots, A_{16}$ に分けるとき，いくつかの異なる集合から $1$ つずつ要素を選ぶことで良い集合を構成することができ，特に $N=16$ となる．\
　$16$ 個の要素をもつ良い集合の要素の積の総和は，(式を展開した様子を考えれば) $A_1, A_2, \ldots, A_{16}$ それぞれの要素の和の積に等しい．また，$A_1, A_2, \ldots, A_{16}$ それぞれの要素の和は，次の $4$ つの集合のそれぞれから $1$ つずつ要素を選び掛け合わせたものである．
$$\\{2^0+2^2+2^4,2^1+2^3\\},\quad
\\{3^0+3^2,3^1\\},\quad
\\{5^0,5^1\\},\quad
\\{7^0,7^1\\}$$
（例えば，すべての素因数の冪が偶数の要素からなる集合の要素の和は，
$$(2^0+2^2+2^4)\cdot(3^0+3^2)\cdot5^0\cdot7^0$$
と表される）．$A_1, A_2, \ldots, A_{16}$ それぞれの要素の和の積において，上の $4$ つの集合の各要素はそれぞれ $8$ 回ずつかけられる（例えば，集合の要素の和を積の形で表すとき，$2^0+2^2+2^4$ を含むものは $2$ の冪が偶数の要素からなる $8\ (=2^{4-1})$ 個の集合である）から，
$$\begin{aligned}
S&=\bigl((2^0+2^2+2^4)
\cdot(2^1+2^3)
\cdot(3^0+3^2)
\cdot3
\cdot5
\cdot7
\bigr)^{8}\\\\
&=2^{16}\cdot3^{16}\cdot5^{24}\cdot7^{16}
\end{aligned}$$
である．よって，$S$ の正の約数の個数は $(16+1)^3\cdot(24+1)=\bm{122825}$ 個である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc206/editorial/7296
　$7!$ のいくつかの正の約数からなる集合であって，以下の条件をすべてみたすものを**良い集合**と呼びます．

- 要素の個数は $2$ つ以上である．
- どの相異なる $2$ つの要素の積も平方数にならない．

　良い集合の要素の個数としてあり得る最大値を $N$ とおきます．$N$ 個の要素をもつ良い集合 $\\{d_1, d_2, \ldots, d_N\\}$ すべてに対して，要素の積 $d_1d_2\cdots d_N$ の総和を $S$ とするとき，$S$ の正の約数の個数を求めてください．