$$\begin{aligned}
x&=a+b-c-d, &y&=a-b+c-d, \\\\ 
z&=a-b-c+d, &N&=(a-c)^2+(b-d)^2
\end{aligned}$$ 
とおくと，$x, y, z$ の偶奇は等しく，条件式は以下のように表される. 
$$x^2+y^2+z^2=9000,　\dfrac{1}{2}(x^2+z^2)=N　(N \leq 500)$$
すなわち，以下を満たす整数 $x, y, z$ の組が存在すれば良い. 
$$y^2=9000-2N,　x^2+z^2=2N$$
第一式から，$y$ は偶数とわかるので，
$$ (y^2, 2N) = (90^2, 900), (92^2, 536), (94^2, 164) $$
が候補となる．このうち $2N$ が $2$ つの整数の平方和として表せるのは $2N=900, 164$ のときのみであるので，解答すべき値は 
$$450 + 82 = \mathbf{532}$$ 
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/10795
　公式解説の $x,y,z$ の置き方は，やや特殊に見えるので，より自然な置換でも解けることを記しておく．\
　$a-b=x$，$b-c=y$，$c-d=z$ とおくと，文字が一つ減って見通しが良くなりそうだ．しかし $(a-c)^2+(b-d)^2$ があまり綺麗になってくれない．そこで $a-c=x$，$c-b=y$，$b-d=z$ という置換を考えてみよう．このとき，問いは次のように書き換えられる．

---

問．整数 $x,y,z$ が以下の式を満たすとき，$x^2+z^2$ が取りうる $500$ 以下の正整数値の総和を求めよ．
$$x^2+y^2+z^2+(x+y)^2+(y+z)^2+(x+y+z)^2=9000$$

---

　左辺を展開すると $3x^2+4y^2+3z^2+4xy+4yz+2zx=9000$ となる．$x$ と $z$ を対称的に扱いたいので，$y$ について降べきの順に整理しよう．さらに式をよく見ると，次のような式変形が考えられる．
$$\begin{aligned}
& 4y^2+4(x+z)y+3x^2+3z^2+2zx \\\\
&=4y^2+4(x+z)y+(x+z)^2+2(x^2+z^2) \\\\
&= (2y+x+z)^2+2(x^2+z^2)
\end{aligned}$$
　$x^2+z^2 \leq 500$ より $(2y+x+z)^2 \geq 8000$ である．あとは $2y+x+z=90, 92, 94$ の場合について，適当な $x,z$ 組が存在するかを検証すればよい．
公式解説とは別の文字の置き方
https://onlinemathcontest.com/contests/omc227/editorial/10795/593
　整数の組 $(a, b, c, d)$ が以下の式をみたすとき， $(a-c)^2+(b-d)^2$ が取りうる $500$ **以下**の正整数値の総和を解答してください. 
$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2+(a-c)^2+(b-d)^2=9000$$