**解答1.**　与式を変形すれば $0=4a^4-4a^2+1=(2a^2-1)^2$ を得るから, 特に $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ である. よって
　　$$M=\left(8a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)^2=\left(\dfrac{8}{(\sqrt{2})^3}+(\sqrt{2})^3\right)^2=\textbf{32}$$
**解答2.**　$\displaystyle S=2a+\frac{1}{a}$ とおけば, $\displaystyle 4=4a^2+\frac{1}{a^2}=S^2-4$ より $S=2\sqrt{2}$ である. よって $M=(S^3-6S)^2=\textbf{32}$.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc020/editorial/124
　正の実数 $a$ が $4a^2+\dfrac{1}{a^2}=4$ をみたすとき, $M=\left(8a^3+\dfrac{1}{a^3}\right)^2$ は整数値です. $M$ を解答してください.