　線分 $PQ$ の中点を $M$ とする．まず以下の補題を確認する．

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**補題1．**$MA=MG$ が成り立つ．\
**証明．**
$AE, AF$ の中点をそれぞれ $N, L$ とすると，$3$ 点 $N,L,M$ はいずれも直線 $AQ,EF$ への距離が等しいので共線である．また，点 $A$ を半径 $0$ の円 $\Omega$ と見なすと，$N,L$ の $2$ 円 $\omega,\Omega$ に関する方べきの値は等しい．\
　したがって2円の根軸 $NL$ 上の点 $M$ における $2$ 円 $\omega,\Omega$ に関する方べきの値は等しい．よって $MA=MG$ である．$\square$
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**補題2．**$X$ での $\omega$ の接線を $m$ とすると，$m$ は $P$ を通り，直線 $AM$ に平行である．\
**証明．**$\omega$ に関する $A$ の極線上に $P$ が存在するので，La Hire の定理より，直線 $AG$ は $\omega$ に関する $P$ の極線であるから，$P$ は $m$ 上に存在する．すると，
$$ \angle MAG = \angle MGA = \angle PGX = \angle PXG $$
であるので，$AM \parallel XP$ がわかる．$\square$
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**補題3．**$\alpha = \angle MAX$とするとき，四角形 $AQRX$ の面積は $AE^2 \tan \alpha$ に等しい．\
**証明．**$ |\triangle MAQ| = |\triangle MAP| = |\triangle MAX|$ であるので，
$$ |\square AQRX| = 2 \cdot (|\triangle MAQ| + |\triangle MAX|) = 4 \cdot |\triangle MAX| $$
である．ここで，$AG \cdot AX = AE^2$ であるので，
$$ |\triangle MAX| = \frac{1}{2} AM \cdot AX \sin \alpha = \frac{AM \cdot AE^2}{2AG} \sin \alpha = \frac{AM \cdot AE^2}{2 \cdot 2AM\cos \alpha} \sin \alpha = \frac{AE^2}{4} \tan \alpha $$
より，$|\square AQRX| = AE^2 \tan \alpha$ を得る．
$\square$
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　さて，いま $y \lt z$ なる正の実数 $x, y, z$ により
$$AE=AF=x, \quad BF=BD=y, \quad CD=CE=z$$
とおくと，$AB=x+y,BC=y+z,CA=z+x$ と表すことができる．
$AX$ と $BC$ の交点を $Z$ とすると，有名事実として $BZ=CD = z$ である．
 $A$ から $BC$ へ下ろした垂線の足を $H$ とすると次のように $AH$ の長さが求められる．
$$AH=\frac{2|\triangle ABC|}{BC}=\frac{2\sqrt{xyz(x+y+z)}}{y+z}$$
よって $HZ$ の長さは次のように求まる．
$$ \begin{aligned}
HZ &= BZ-BH \\\\
&=BZ-\sqrt{AB^2-AH^2} \\\\
&=z-\sqrt{(x+y)^2 - \frac{4xyz(x+y+z)}{(y+z)^2}} \\\\
&= z - \frac{xy+yz-zx+y^2}{y+z} \\\\
&= \frac{(z-y)(x+y+z)}{y+z}
\end{aligned}$$
 $MG\parallel HZ$ であることに気を付けると $\angle AZH=\alpha$ なので次が成り立つ．
$$\tan \alpha=\frac{AH}{HZ}=\frac{2\sqrt{xyz}}{(z-y)\sqrt{x+y+z}}$$
以上のことと補題3より，四角形 $AQRX$ の面積の $2$ 乗は次のように計算できる．
$$|\square AQRX|^2 = AE^4 \tan^2\alpha = \frac{4x^5yz}{(z-y)^2(x+y+z)}$$
いま，$x= 6\sqrt{727}, y = \sqrt{727}-2, z = \sqrt{727}+2$ であるから，解答すべき値は 
$$\frac{4 \cdot 6^5 \cdot 727^2 \cdot \sqrt{727} \cdot (727-2^2)}{4^2 \cdot 8\sqrt{727}} = \mathbf{92856731481}$$ 
である ．

![figure 1](\/images\/PfGjWkQhI6gCRWg1LTfAzHwiRjIes2l7GJFWuj3H)
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc168/editorial/8088
　あまり好まれる方法ではなさそうですが，座標を用いた根性流です．\
　まず，座標系を使おうと考えるに至るまでの思考を記しておきます．

　簡単のため，$\sqrt{727}=t$ とおく．$AF=AE=6t$，$BF=BD=t-2$，$CD=CE=t+2$ である．\
　点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線の足を $H$ とする．ヘロンの公式より $\triangle{ABC}$ の面積は $4t\sqrt{3(t^2-4)}$ であり，$AH=4\sqrt{3(t^2-4)}$ である．さらに，内接円の半径についても，$r=\dfrac{\sqrt{3(t^2-4)}}{2}$ を得る．\
　ここで試しに，三平方の定理を用いて $BH$ の長さを求めてみると，$t-14$ となる．\
　以上の計算から，点 $H$ を原点とする座標系を取ったとき，少なくとも点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$G$ の $7$ 点については $y$ 座標に出てくる $\sqrt{3(t^2-4)}$ を除けば，ひどく複雑な形はしていないことがわかる．そこで，点 $H$ を原点とする座標系を取る．
___
　簡単のため，$\sqrt{3(t^2-4)}=s$ とおく．ここまでの議論より，$A(0, 4s)$，$B(-t+14,0)$，$C(t+14,0)$，$D(12,0)$，$G(12,s)$ である（$E$，$F$ は使わないため略）．\
　次に，点 $P$，$Q$，$R$ について考えていく．$AE$ と $l$ の交点を $E^\prime$，$AF$ と $l$ の交点を $F^\prime$ とおく．\
　$\triangle{AF^\prime E^\prime} \text{∽} \triangle{ABC}$ であり，この相似比が $3:4$ であることを用いれば，辺 $AF^\prime$ などの長さが求められる．そこで，$\triangle{AEF}$ と直線 $l$ によってできる図形にメネラウスの定理を適用すれば，$F^\prime E^\prime : E^\prime P$ が求まり，これによって，点 $P$ の座標が求まる．また，$\triangle{AQF^\prime} \text{∽} \triangle{FPF^\prime}$ などを用いれば，点 $Q$ の座標も求まり，点 $R$ についても簡単に求まる．計算結果だけを記すと，以下のとおりである：\
$$P\Bigl(\dfrac{3}{8}(t^2+28),s \Bigr)，Q\Bigl(-\dfrac{21}{8}(t^2-4),s \Bigr)，R\Bigl(-\dfrac{9}{4}t^2+21,-2s \Bigr)$$
　いま求めたいものは四角形 $AQRX$ の面積である．そのうち，$\triangle{AQR}$ の部分は，$\triangle{APQ}$ の面積と等しく，簡単に計算できる．残る $\triangle{ARX}$ の部分については，根性で点 $X$ を計算すれば解決しそうである．\
　方べきの定理より，$AG \cdot AX=AE^2$ である．このあと適宜計算をすることで，点 $X\Bigl(\dfrac{48t^2}{3t^2+4},\dfrac{16s}{3t^2+4} \Bigr)$ を得る．$\triangle{ARX}$ の面積は，全ての点を $4s$ 下に動かせば三角形の面積を求める公式 $S=\dfrac{1}{2}|a_1 b_2-a_2 b_1|$ を用いることができる．計算すれば，分母の $3t^2+4$ が約分され，安心できる．\
　以上の計算を通して，四角形 $AQRX$ の面積は，$\triangle{AQR}+\triangle{ARX}=\dfrac{9}{2}st^2+\dfrac{9}{2}st^2=9st^2=9 \cdot 727\sqrt{3 \cdot 723}$ と求まる．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc168/editorial/8088/253
　不等辺三角形 $ABC$ の内接円を $\omega$ とし，$\omega$ と辺 $BC,CA,AB$ の接点をそれぞれ $D,E,F$ とします．$\omega$ 上に $D$ でない点 $G$ があり，$G$ における $\omega$ の接線 $l$ は直線 $BC$ に平行でした．直線 $AG$ と $\omega$ の交点のうち $G$ でない方を $X$ とします．また，直線 $EF$ と $l$ の交点を $P$，点 $A$ を通り直線 $EF$ に平行な直線と $l$ の交点を $Q$ とし，四角形 $APRQ$ が平行四辺形となるような点 $R$ をとります．いま，
$$AB=7\sqrt{727}-2, \quad BC=2\sqrt{727}, \quad CA=7\sqrt{727}+2$$
であるとき，四角形 $AQRX$ の面積の $2$ 乗を求めてください．