　最小の解を $c \gt 0$ とおくと，$4$ 解は $r \gt 1$ を用いて $c, cr, cr^2, cr^3$ と表され，解と係数の関係から
$$ 35c(1 + r + r^2 + r^3) = -140s = 4c^3(r^3 + r^4 + r^5 + r^6).$$
これにより $\displaystyle c^2r^3 = \frac{35}{4}$ が得られる．一方で，再び解と係数の関係を用いて以下の式を得る．
$$ c^2(r + r^2 + 2r^3 + r^4 + r^5) = t = c^4r^6 $$
ゆえに $\displaystyle 1 + r + 2r^2 + r^3 + r^4 = c^2r^5 = \frac{35}{4} r^2 $ であり，整理すると以下の方程式が成り立つ（相反方程式であることに着目すると計算が容易である）．
$$ (r-2)(2r-1)(2r^2 + 7r + 2) = 0 $$
$r \gt 1$ とあわせて $r = 2$ が得られる．したがって $\displaystyle c = \sqrt{\frac{35}{4r^3}} = \sqrt{\frac{35}{32}}$ であり，特に解答すべき値は $\mathbf{67}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc158/editorial/4082
　$s, t$ を実数とします．$x$ についての $4$ 次方程式
$$ x^4 + 4sx^3 + tx^2 + 35sx + t = 0 $$

は相異なる $4$ つの正の実数解をもち，それらを小さい順に並べると**等比**数列をなしました．この方程式の解としてあり得る最小の値は，互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ と表せるので，$a + b$ の値を解答してください．