　四角形 $ABDC$ は調和四角形であるから，$\triangle{ABM}\sim \triangle{ADC}$ が従う．これより $DC=\dfrac{BM\times AC}{AM}$ である．$OD=OC$ より，直線 $EO$ は $\angle{DEC}$ の外角の二等分線であるから，これは線分 $AD$ の垂直二等分線でもある．直線 $EO$ と直線 $AD$ の交点を $T$ とし，有向角を $\measuredangle$ で表すと，
$$ \measuredangle{TKB}
        =\measuredangle{ECB}
        =\measuredangle{ACB}
        =\measuredangle{ADB}
        =\measuredangle{TDB}$$
より $T, K, B, D$ は同一円周上にある．したがって $\angle{KBD}=90^\circ$ が成立する．いま, 
$$AK=KD, \quad AO=OC, \quad \angle{KBD}=\angle{OMC}$$
より，$\triangle{ABD}$ と $\triangle{AMC}$ をうつす相似変換において $K$ と $O$ が対応する．したがって $\triangle{AKO}\sim \triangle{ABM}$ であり，これより $AK=\dfrac{AB\times AO}{AM}$ が成り立つ．\
　いま ${AK}:{DC}={DK}:{DC}=8:5$ より，長さを整理すると
       $$ {AB}\times{AO}:{BM}\times{AC}=8:5$$
がわかる．一般に三角形 $ABC$ の面積は $\dfrac{BC\times CA\times AB}{4\times AO}$ と表されるから，求める値は $245+16=\textbf{261}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/tmo2022/editorial/6680
　$AB=7$ なる三角形 $ABC$ において，その外心を $O$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とする．三角形 $ABC,AOM$ それぞれの外接円の交点を $D ~ (\neq A)$，直線 $AC$ と三角形 $DOC$ の外接円の交点を $E ~ (\neq C)$，直線 $EO$ と三角形 $BEC$ の外接円の交点を $K ~ (\neq E)$とする．$DK:DC=8:5$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答せよ．