　色の予想は玉の取り出し方に影響を及ぼさないため，各回残りが多いほうの色を，残りが同じ場合は適当に予想すれば期待値が最大になる．このような予想法を最良の予想法と呼ぶことにする．\
　ところで，残りが多い色の残っている玉の数（同じ場合はどちらか一方の数）を $M$ とおき，$M$ の変化を観察すると

- どちらかの色の残っている玉の数がもう一方の色の残っている玉の数より真に大きく，しかも残っている玉の数が多い色の玉が取り出されたとき，かつその時に限り$1$ だけ減少する．

　$M$ は最初は $7$ で最後は $0$ なので，最良の予想法を行ったときは $2$ 色の残っている玉の数が同じ回を除いて，ちょうど $7$ 点獲得する．したがってゲーム中に終了時を除いて $2$ 色の残っている玉の数が同じになる回数の期待値を $E$ とおくと，求める期待値は $7 + \dfrac 1 2E$ となる．\
　 ${}\_{14}\mathrm{C}\_{7}$ 通りのすべての玉の取り出し方はすべて等確率で現れるので，$E$ を求めるために $2$ 色の残っている玉の数がともに $i$ $(i = 1, 2, \ldots, 7)$ となることがある玉の取り出し方を数えることで，

$$E = \frac1{{}\_{14}\mathrm{C}\_{7}}\sum_{i=1}^7 {}\_{2(7 - i)}\mathrm{C}\_{7 - i}\times{}\_{2i}\mathrm{C}\_{i} = \frac{1619}{429} $$

となる．よって，求める期待値は $\dfrac{7625}{858}$ であり，特に解答すべき値は $\mathbf{8483}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/editorial/11430
　白玉を既に $x$ 個, 黒玉を既に $y$ 個取り出した状態を格子点 $(x,y)$ に対応させます.すると $\{}_{14}\mathrm{C}\_{7}$ 通りある経路から等確率に $1$ つ経路を選び[図](https:\/\/pbs.twimg.com\/media\/Gfhi52xbAAAvDyh?format=jpg&name=medium)において, 赤色の長さ $1$ の線分を通った際 $1$ 点, 青色の長さ $1$ の線分を通った際 $1\/2$ 点を得るゲームと見なすことができます. よって, 全ての経路に対し得られる得点の合計を計算し, 経路数 $\{}\_{14}\mathrm{C}\_{7}$ で割れば良いです.

　$\{}\_{14}\mathrm{C}\_{7}$ 通り全ての経路に対し, どの経路も赤い線分はちょうど長さ $7$ の分通ることが観察するとわかります. 次に全ての経路に対し青い線分の得点の合計を求めればよく, 各青い線分に関してそれを通る経路数を計算します. $(k,k)$ と $(k,k+1)$ を結ぶ線分を通る経路数は ${}\_{2k}\mathrm{C}\_k\cdot {}\_{2(6-k)+1}\mathrm{C}\_{6-k}$ であり, 同様に $(k,k)$ と $(k+1,k)$ を結ぶ線分を通る経路数も ${}\_{2k}\mathrm{C}\_k\cdot {}\_{2(6-k)+1}\mathrm{C}\_{6-k}$ であります. よって求める期待値は,
$$\frac{7\times {}\_{14}\mathrm{C}\_7
+\displaystyle\frac{1}{2}\Big(2\sum\_{k=0}^6{}\_{2k}\mathrm{C}\_k\cdot {}\_{2(6-k)+1}\mathrm{C}\_{6-k}\Big)}{{}\_{14}\mathrm{C}\_7}$$
となります.

---
補足.
$\sum\_{k=0}^N{}\_{2k}\mathrm{C}\_k\cdot {}\_{2(N-k)+1}\mathrm{C}\_{N-k}$ は母関数を用いると以下のように綺麗な形にすることができます. 参照:[OMCE002-F解説](https:\/\/onlinemathcontest.com\/contests\/omce002\/editorial\/8694).
$$
\begin{aligned}
&\sum\_{k=0}^N{}\_{2k}\mathrm{C}\_k\cdot {}\_{2(N-k)+1}\mathrm{C}\_{N-k}\\\\
&=[x^N]\Big(\sum_{k=0}^{\infty}{}\_{2k}\mathrm{C}\_k x^k\Big)\Big(\sum_{k=0}^{\infty}{}\_{2k+1}\mathrm{C}\_k x^k\Big)\\\\
&=[x^N]\Big(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\Big)\Big(\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\Big(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\Big)\Big)\\\\
&=[x^N]\frac{1}{2x}\Big(\frac{1}{1-4x}-\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\Big)\\\\
&=[x^N]\frac{1}{2x}\Big(\frac{1}{1-4x}-\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\Big)\\\\
&=\frac{1}{2}[x^{N+1}]\Big(\frac{1}{1-4x}-\frac{1}{\sqrt{1-4x}}\Big)\\\\
&=\frac{1}{2}\Big(4^{N+1}-{}\_{2(N+1)}\mathrm{C}\_{N+1}\Big)\\\\
\end{aligned}
$$
グリッドの経路に言い換え
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/editorial/11430/766
　白玉 $7$ 個，黒玉 $7$ 個が入った箱があり，これを用いて次の手順で箱の中の玉がなくなるまでゲームを行います．

- 白と黒のどちらかの色を指定する．
- 箱の中から玉を $1$ つ取り出し，その玉の色が指定した色と同じならば $1$ 点獲得し，そうでないならば $0$ 点を獲得する．
- 取り出した玉は捨て，始めの手順（色の指定）に戻る．

ただし，箱の中の玉はすべて等確率で取り出されるとします．獲得点数の期待値が最大になるように色の予想を行うと，そのときの期待値は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$  と表されるので，$a + b$ を解答してください．