　$AB = x, ~ AD = y, ~ AE = z$ とすると，条件は
$$x^2 + y^2 = 1110, \quad y^2 + z^2 = 2100, \quad z^2 + x^2 = 1210$$
と言いかえられるので，$x^2=110, ~ y^2=1000, ~ z^2=1100$ である．よって求める体積は，
$$xyz=\sqrt{110\cdot 1000\cdot 1100}=\mathbf{11000}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/editorial/8710
　直方体 $ABCD-EFGH$ があり，対角線 $AC, AF, AH$ が以下をみたします：
$$AC = \sqrt{1110}, \quad AF = 11\sqrt{10}, \quad AH = 10\sqrt{21}.$$
このとき，直方体の体積を求めてください．