　$\angle{BAM}=\angle{DAC}$，$\angle{ABM}=\angle{ADC}$ により三角形 $ABM$ と三角形 $ADC$ は相似であるから，
$$CM:CD=BM:CD=AM:AC$$
これと $\angle{MCD}=\angle{MAC}$ により三角形 $CMD$ と三角形 $AMC$ は相似になる．ゆえに，
$$ \angle{ADM}=\angle{BAD}=\angle{BCD}$$
であるから，
$$ \angle{ADC}=\angle{ADM}+\angle{MDC}=\angle{BCD}+\angle{ACM}=\angle{ACD} $$
が従い，$AC=AD$，すなわち $AB=AM$ となる．よって，中線定理により $AC=\textbf{129}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/8519
　$DM$ の位置が浮いているので伸ばしてみたりいろいろ試してみたいです．
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　辺 $AC$ の中点を $N$ とする．中点連結定理により $AB \parallel NM$ であるから，$DM \parallel AB$ と合わせて，$D,M,N$ は同一直線上にある．さらに， 直線 $DM$ と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち，$D$ でない方を $E$ とする．

　問題文の条件，平行線の錯角，円周角の定理により，
$$\angle ECA=\angle EDA = \angle BAD = \angle CAM$$
が成り立つので，錯角が等しいので 
$$AM \parallel EC \tag{☆}$$
 である．また，$\triangle AMN \equiv \triangle CEN$ （$\because\angle ECN = \angle MAN, \ \angle ENC = \angle MNA,\ AN=CN$ より一辺両端角相等）であるから，
$$AM=EC \tag{☆☆}$$
が成り立つので，(☆)(☆☆)より四角形 $AMCE$ は平行四辺形である．これより，$AE \parallel BC$ である． すると，angle chase 等により四角形 $ABCE$ は等脚台形であることがわかるので，$EC=AB=113$ である．これと(☆☆)，中線定理により $AC=\bf129$ を得る．
平行四辺形と等脚台形を見つける
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/8519/750
　直線 $AM$ と円 $ABC$ の交点を $E$ とすると，$\angle BAD=\angle EAC$ であり，円周角の定理（または正弦定理）より $BD=CE$．\
　線分 $BC$ の垂直二等分線を $\ell$ とすると，点 $D$ と点 $E$ は $\ell$ について対称な位置に存在し，$△MDE$ は二等辺三角形であることや，$BC \parallel DE$ がわかる．\
$AB \parallel DM$ も用いると，$△ ABM \sim △DME$ であり，$△ABM$ も二等辺三角形であることがわかる．
AB=AMの別証明
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb030/editorial/8519/751
　$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．三角形 $ABC$ の外接円上に $\angle{BAD}=\angle{CAM}$ なる点 $D ~ (\neq A)$ をとったところ，$AB\parallel DM$ が成り立ちました．$AB=113,~ BC=88$ であるとき，辺 $CA$ の長さを求めてください．