　任意の実数 $a$ に対して $ a-1\lt\\left\lfloor a\right\rfloor \leq a $ が成り立つことから,
$$x^3+7x^2+4x-12\lt\left\lfloor x^3\right\rfloor +7\left\lfloor x^2\right\rfloor +4\left\lfloor x\right\rfloor\leq x^3+7x^2+4x$$
が成立する. これより, $x$ は以下の範囲に含まれることが必要である：
$$\Big[-6,-2-2\sqrt{3}\Big)\bigcup \Big(-3,-2\Big]\bigcup \Big[1,-2+2\sqrt{3}\Big)$$
$-2-2\sqrt{3}\lt -5$ であるから, $\left(-3,-2\right]\bigcup \left[1,-2+2\sqrt{3}\right)$ に含まれる解のみを考えればよい. 

(イ)　$1\leq x\lt -2+2\sqrt{3}$ のとき, $\left\lfloor x\right\rfloor=\left\lfloor x^2\right\rfloor=\left\lfloor x^3\right\rfloor=1$ となるほかない. すなわち $1\leq x\lt\sqrt[3]{2}$ を得る.

(ロ)　$x=-2$ のとき, これは与式をみたす.

(ハ)　$-3\lt x\lt -2$ のとき, $\left\lfloor x\right\rfloor =-3$ より $\left\lfloor x^3\right\rfloor +7\left\lfloor x^2\right\rfloor =24$ であるから, $\left\lfloor x^3\right\rfloor$ および $\left\lfloor x^2\right\rfloor$ のとり得る値の範囲を考えれば, これらの組としてあり得るものは
$$\left(\left\lfloor x^3\right\rfloor ,\left\lfloor x^2\right\rfloor\right)=(-11,5),(-18,6),(-25,7)$$ 
さらにこのうち $(-18,6)$ のみが適することがわかり, このとき $-\sqrt[3]{18}\leq x\lt -\sqrt[3]{17}$ である.

　以上より, 求める値は $(-18)^2+(-17)^2+(-2)^6+1^6+2^2=\textbf{682}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc086/editorial/1449
この問題では解の形式が与えられているのでそれを使って$solver目線$の解説を書いてみます．

まず，ガウス記号に臆せず自明な解(整数解)を求めてみます．\
$x^3+7x^2+4x=12$ より， $x=1,-2,-6$ です．\
$x=1$ は $[x^3]=[x^2]=[x]=1$ に対応するので，解のうち $x=1$ を含む部分は $1\leq x\lt\sqrt[3]{2}$ となります．(この範囲からほんの少しだけはみ出すと$[x^3],7[x^2],4[x]$はそれぞれ$1,7,4$ずれるか変わらないかなのでこれが再び解となることはないです)\
$x=-2$ は $[x^3]=-8,[x^2]=4,[x]=-2$ に対応するので解のうち $x=-2$ を含む部分は $x=-2$ のみとなります．

これで $c=-2,d=1,e=\sqrt[3]{2}$ が求まったのであとは $a,b$ を求めるだけです．\
$a\lt b\lt c\lt d\lt e$ と与えられてるので $x\lt-2$ の範囲で探索すればいいです．\
ここでちょっとした工夫があるのですが，$[x^2]$を決めると$[x]$が決まり，$[x^3]+7[x^2]+4[x]=12$ から $[x^3]$ も求まるので $[x^2]$ の値で場合分けをするといいです．($x$が整数のときは例外となりますがこの場合は考察済みなので安心です)

表を書いてみます．

$[x^2]$ $[x]$ $[x^3]$\
$4\ \ -3\ \ -4$\
$5\ \ -3\ \ -11$\
$6\ \ -3\ \ -18$\
$7\ \ -3\ \ -25$\
$8\ \ -3\ \ -32$\
...

書くと面倒なので過程は省きますが，上から調べると $3$ 行目でこれをみたす $x$ が存在し，その範囲は $-\sqrt[3]{18}\leq x\lt-\sqrt[3]{17}$ となるので $a=-\sqrt[3]{18},b=-\sqrt[3]{17}$ が求まり答えは $324+289+64+1+4=\bf{682}$ です．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc086/editorial/1449/45
　実数 $x$ についての方程式
$$ \left\lfloor x^3\right\rfloor +7\left\lfloor x^2\right\rfloor +4\left\lfloor x\right\rfloor =12$$
の $x\geq -5$ における解は, 実数 $a\lt b\lt c\lt d\lt e$ によって
$$\begin{aligned}
a \leq x\lt b,&& x=c,&&  d\leq x\lt e
\end{aligned}$$
と表されます. $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6$ を解答してください.\
　ただし, 実数 $x$ に対し, $\left\lfloor x\right\rfloor $ で $x$ を超えない最大の整数を表します.