　$1\leq c\leq 250$ を満たす整数 $c$ に対して $\displaystyle\sum_{k=1}^{250+c} (b_k-a_k)$ および $\displaystyle\sum_{k=1}^{251-c} (b_k-a_k)$ はいずれも $0$ または $1$ なので $2$ 数の差は $-1,0,1$ のいずれかである．実際に差を計算すると，
$$\begin{aligned}
\displaystyle\sum_{k=1}^{250+c} (b_k-a_k)-\displaystyle\sum_{k=1}^{251-c} (b_k-a_k)&=\displaystyle\sum_{k=251-c}^{250+c} (b_k-a_k)\\\\
&=\displaystyle\sum_{k=251-c}^{250+c} (501-a_{501-k}-a_k)\\\\
&=1002c-2\sum_{k=1}^{c} (a_{251-k}+a_{250+k})
\end{aligned}$$
となり，特に偶数であることがわかる．したがってこの差の値は $0$ であり，次の式が成り立つ．
$$\sum_{k=1}^{c} (a_{251-k}+a_{250+k})=501c$$
よって任意の $c$ に対して $a_{251-c}+a_{250+c}=501$ であり，これを満たす数列 $\\{a_i\\}$ は問題文の条件を満たす．これを満たす数列 $\\{a_i\\}$は$500!!$ 通りあるので，Lagrange の定理より，
$$X=v_2(500!!)=v_2(500!)=494, ~ Y=v_3(500!!)=v_3(250!)=123$$
を得る．特に解答すべき値は $XY=\bf60762$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb025/editorial/11591
　$(1,2,\dots ,500)$ をそれぞれ並び替えた数列 $(a_1,a_2,\dots ,a_{500})$ および $(b_1,b_2,\dots,b_{500})$ に対して，以下が成り立っています：

 - $1\leq i\leq 500$ をみたす任意の整数 $i$ に対して，$b_i=501-a_{501-i}$ および次の不等式が成り立つ． 
$$0\leq\displaystyle\sum_{k=1}^i (b_k-a_k)\leq 1$$  

このとき，数列 $(a_1,a_2,\dots, a_{500})$ としてありうるものの個数が $2,3$ で割り切れる最大の回数をそれぞれ $X,Y$ とするとき，$XY$ の値を解答してください.