　$C$ さんが持つカードに書かれた数を $x,y,z,w$ とする．一番目の条件から $x+y+z+w$ は奇数である．ここで，$x,y,z,w$ のうちに偶数が $3$ つ含まれるとすると，三番目の条件からそれらは $4,8,10$ または $6,8,10$ であるが，どちらの場合も二番目の条件を満たさない．よって，$x,y,z,w$ のうちに偶数は $1$ つのみ含まれる．このとき，総和が $30$ 以上となる組み合わせは $5,7,9,10$ のみであり，$A$ さんと $B$ さんそれぞれが持つカードの書かれた数の総和は $12$ である．あとは二番目の条件から考えれば，$B$ さんの持つカードに書かれた数は $2,4,6$ または $4,8$ であるので，$A$ さんが持つカードに書かれた数は $1,3,8$ か $1,2,3,6$ である．よって，求める値は $1 \times 3 \times 8+1 \times 2 \times 3 \times 6= \mathbf{60} $ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb028/editorial/10103
　$10$ 枚のカードがあり，それぞれに $1$ から $10$ までの整数のうち $1$ つが一度ずつ書かれています．これらのカードを $A$ さん，$B$ さん，$C$ さんの $3$ 人に余りなく配ったところ，以下が成り立ちました．

- $A$ さんと $B$ さんそれぞれが持つカードに書かれた数の総和は等しい．
- $B$ さんが持つカードに書かれた数の総積は $16$ で割り切れる．
- $C$ さんはカードを $4$ 枚持ち，書かれた数の総和は $30$ 以上である．

このとき，$A$ さんが持つカードに書かれた数の総積としてありうる値の総和を求めてください．