　$9$ 以下の正整数 $i$ について，$a_i$ を左から $i$ 番目の石の色が白のとき $a_{i}=0$，黒のとき $a_{i}=1$ と定める．$A, B$ が適切に石を取ることで，$C$ さんが得られる黒の石の数は以下の $3$ つのそれぞれに任意に制限できる：
$$a_{1} + a_{4} + a_{7}, \quad a_{2} + a_{5} + a_{8}, \quad a_{3} + a_{6} + a_{9} \tag{☆}$$
したがって，$(☆)$ のうち少なくとも $1$ つが $1$ 以下であれば，$C$ さんがとる石を必ず $1$ 個以下にできる.   \
　逆に，$(☆)$ がいずれも $2$ 以上のとき，$C$ さんは黒い石を $2$ 個とることが可能となる．これは，$C$ さんの番の右端の石の番号と左端の石の番号を $3$ で割った余りが常に等しいため，$C$ さんが石を取るはじめの $2$ 回は両端のいずれかに必ず黒い石があることから示される．\
　以上より，求めるべきは $(☆)$ のうち少なくとも $1$ つが $1$ 以下であるような $(a_1, a_2, \ldots, a_9) \in \\{0, 1\\}^9$ の個数であり，これは余事象を考えて
$$2^{9} - 4^{3} = \mathbf{448}$$ 
と計算される.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc216/editorial/9829
　計 $9$ 個の白い石と黒い石が左右一列に並んでおり，$A, B, C$ さんの $3$ 人が次の操作を $A, B, C, A, B, C, \ldots$ の順番で行います．
- 左端または右端にある石を一つ選び，それを取り除く．

操作を石がなくなるまで行うとき，$A$ さんと $B$ さんが協力して適切に操作をすることで，$C$ さんが最終的に取った黒い石の総数を $C$ さんの選択によらず常に $1$ 個以下にすることができました．このとき，初めの石の並べ方としてありうるものは何通りありますか．\
　ただし，はじめに並んでいる石には，使わない色があってもよいものとします．