　$5^{9999}$ は条件を満たさない．$9999$ 個の整数 $5^0,5^1,\ldots, 5^{9998}$ のうち，最高位の数字が $k$ であるものの個数を $a_k$ とする．正整数に $5$ 倍を繰り返し施すと，その最高位の数字は以下の $2$ 通りのパターンを辿る：
$$A:1\to(5\ \mathrm{or}\ 6\ \mathrm{or}\ 7)\to(2\ \mathrm{or}\ 3)\\to1,\quad B:1\to(8\ \mathrm{or}\ 9)\to 4\to 2\to 1$$

特に，最高位が $1$ でないものはすべてある桁数の $5$ べきの中で最大値であり，$a_1=9999-6989=3010$ を得る. さらに
$$a_1=a_5+\cdots +a_9=a_2+a_3,\quad a_1+a_2+\cdots+a_9=9999$$
より，$a_4=9999-3a_1=\mathbf{969}$ を得る．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc134/editorial/1798
　自然界に現れる多くのデータにおいて，次が従うことが **Benford の法則** （[Wikipedia](https:\/\/ja.wikipedia.org\/wiki\/%E3%83%99%E3%83%B3%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87)）として経験則的に知られています．

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**事実.**　ある数量が $b$ 進法表記で最高位の数字が $d$ になる確率は，$\log_{b}\left(1+\dfrac{1}{d}\right)$ 程度である．

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一見すると直観に反するこの現象ですが，そもそも数量が対数的に分布しているとすれば，これは必然の結果です．\
　今回の問題でも，数量が対数的に分布しているので，この法則が適用できます．すなわち，$5^{9999}$ までの $5$ べきの数のうち，最高位の数字が $4$ であるようなものの個数は $10000\log_{10}(5\/4)=10000(1-3\log_{10}2)\fallingdotseq969$ 程度であることが言えます（$\log_{10}2\fallingdotseq0.3010$ を用いました）．誤答を恐れなければ，その前後を総当たりすれば CA が得られます．（この法則は maple さんに教えていただきました．）
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc134/editorial/1798/167
　$5^t$ の最高位の数字を考える代わりに $2^t$ の最高位の数字を考えて解くことも可能です．$5^t$ の最高位の数字の遷移より $2^t$ の最高位の数字の遷移の方が見抜きやすいと思います．$10^{6989}\lt 5^{9999} \lt 2×10^{6989}$ から，$$5×10^{3009}\lt 2^{9999} \lt 10^{3010}$$
であるから，$2^{9999}$ は $3010$ 桁の数で最高位の数字は $5$ 以上．$5^t=\frac{10^t}{2^t}$ であるから，$5^t$ の最高位の数字が $4$ となるためには $2^t$ の最高位の数字とその次の数字を合わせた $2$ 桁の整数が $20$ 以上 $25$ 未満であればよい．( $k$ を整数として $2×10^k$ と表される場合は不適だが，明らかにありえないのでこの場合は考えなくて良い．$25$ の場合も同様) 次に $2^t$ の最高位の数字の変化を公式解説同様に調べると，$$A:1→2→4→(8 \ or \ 9)→1$$ $$B:1→2→5→1,1→3→(6 \ or \ 7)→1$$ であり，Aは必ず $1$ つだけ最高位の数字とその次の数字を合わせた $2$ 桁の整数が $20$ 以上 $25$ 未満 であるものを含み，Bは必ず含まない．$2^4$ の $2$ 桁から $2^{9999}$ の $3010$ 桁までの桁のうち，$2^t (t=4,5,…,10000)$ で表される数を $4$ 個 (Aのパターン) 含む桁を $x$ 個，$3$ 個のみ含む桁を $y$ 個とすると，$$x+y=3009$$ $$4x+3y=9996$$ であり，これを解くと $x=969,y=2040$ であるから，解答すべき値は $\bf{969}$ である．
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc134/editorial/1798/181
　$10000$ 個の整数 $5^0, 5^1, \ldots, 5^{9999}$ のうち，最高位の数字が $4$ であるものはいくつありますか？ただし，$1\times 10^{6989}\lt 5^{9999}\lt 2\times 10^{6989}$ です．