　放物線と円 $C$ の点 $P$ における共通接線について, 傾きは $32$ であり, 接弦定理より直線 $BP$ となす角度は $45^\circ$ であるから, 直線 $BP$ の傾きは $\tan$ の加法定理より $31\/33$ と計算できる. 一方で直線 $BP$ の傾きは $b+16$ とも計算できるから, 以上より $b=-497\/33$ であり, 解答すべき値は $\mathbf{530}$ である.\
　なお, $\tan$ の加法定理を使わなくてもよい. 点 $Q(15, 224)$ は共通接線上にあり, $\angle BPQ=45^\circ$ が従う. このとき, 点 $R(-17,225)$ について, $PQR$ は $PQ=QR$ なる直角二等辺三角形であるから, $R$ は直線 $BP$ 上にある.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc118/editorial/3269
　実数 $a,b$ は $a\lt b\lt 0$ をみたします．\
　放物線 $y=x^2$ と円 $C$ が $2$ 点 $A(a, a^2), B(b, b^2)$ で交わり，点 $P(16, 256)$ で接しています．さらに $\angle PAB=45^\circ$ であるとき，$b$ の値を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $-\dfrac pq$ と表せるので，$p+q$ を解答してください．