　条件 $AP=22$ は実は不要である. 以下これを解除し, $P$ は直線 $AI$ 上を任意に動くとする.

**補題1.**　$I$ は三角形 $PQR$ の垂心である.

**証明.**　$\angle IPQ=\angle APQ=\angle ABQ=\angle ABI=\angle ABC\/2$ などより従う.

　また上の証明より, 三角形 $PQR$ は $P$ の位置によらず常に相似である.

**補題2.**　三角形 $ABC$ の外心を $O$ としたとき, 三角形 $PQR$ のオイラー線は直線 $IO$ に一致する.

**証明** (moving points)**.**　$P$ が $AI$ と円 $ABC$ の交点(のうち $A$ でない方)に一致するとき, $PQR$ の外心 $O'$ は $O$ に一致する. ここで上の注意より, $P$ を線形に動かせば $Q,R$ も線形に動き, これらが $I$ を中心とした相似拡大の関係にあることに留意すれば, $O'$ も $IO$ 上を線形に動く. 特に補題1と併せて補題は示された. 

　以下, $AB=c$ などとおけば $a(b+c)=b^2+c^2$ が成立することを示そう. これより求める値は $\textbf{882}$ である.\
　内接円と辺 $BC$ の接点を $D$, $BC$ の中点を $M$, $BC,EF,IO$ の共点を $X$ とおく. 

**証明1.**　$ABC$ の内接円において, $A$ に対する極線は直線 $EF$, $D$ に対する極線は直線 $BC$ であるから, $X$ に対する極線は直線 $AD$ である. したがって $IX$ は $AD$ に垂直であり, 特に $OI$ が $AD$ に垂直である. すると,
$$AF^2=AI^2-IF^2=AI^2-ID^2=AO^2-OD^2=BO^2-OD^2=BM^2-DM^2$$
が従うから, これを整理することで所望の式を得る.

**証明2.**　Cevianの共点による調和点列より $BD:DC=BX:XC$ に留意すれば, 以下のように計算できる.
　　$$XB=\dfrac{a(a-b+c)}{2(b-c)},\quad  XC=\dfrac{a(a+b-c)}{2(b-c)}$$
これらより, さらに以下のように計算できる.
　　$$XD=XB+BD=\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{2(b-c)},\quad XM=XB+BM=\dfrac{a^2}{2(b-c)}$$
一方, $DI$ は内接円の半径であることに留意すれば, 三角形 $ABC$ の面積を $S$ とすると
　　$$DI=\dfrac{2S}{a+b+c}=\dfrac{bc\sin A}{a+b+c},\quad MO=BO\cos A=\dfrac{a}{2\sin A}\times\cos A$$
よって, 余弦定理によって $XD:XM=DI:MO$ を整理することで所望の式を得る.

**証明3** (重心座標)**.**　$s=(a+b+c)\/2$ とおけば $E(s-c:0:s-a)$ などと表されるから, 直線 $EF$ の式は
　　$$(s-a)x-(s-b)y-(s-c)z=0$$
またwell-known factとして $I(a:b:c)$ および
　　$$O(a^2(-a^2+b^2+c^2):b^2(a^2-b^2+c^2):c^2(a^2+b^2-c^2))$$
であるから, 直線 $OI$ の式は
　　$$bc(b-c)(s-a)x+ac(c-a)(s-b)y+ab(a-b)(s-c)z=0$$
さらに直線 $BC$ の式は $x=0$ であるから, これらが共点である条件は行列式によって以下のように書ける.
　　$$\begin{vmatrix} s-a & s-b & s-c \\\\ bc(b-c)(s-a) & ac(c-a)(s-b) & ab(a-b)(s-c) \\\\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}=0$$
　$s\neq b,c$ に留意してこれを展開することで, 所望の式を得る.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc024/editorial/149
　$AB=20,AC=21$ なる三角形 $ABC$ において, 内心を $I$ とし, 内接円と辺 $AB,AC$ の接点をそれぞれ $F,E$ とします. 直線 $AI$ 上の $I$ について $A$ と反対側に $AP=22$ なる点 $P$ をとり, 三角形 $ABP$ の外接円と直線 $BI$ の交点を $Q(\neq B)$, 三角形 $ACP$ の外接円と直線 $CI$ の交点を $R(\neq C)$ とします.\
　直線 $BC,EF$ および三角形 $PQR$ のオイラー線が一点で交わるとき, $BC$ の長さを求めてください. ただし, 答えは互いに素な正整数 $x,y$ によって $\dfrac{x}{y}$ と表せるので, $x+y$ を解答して下さい.\
　ここで, 三角形における**オイラー線**とは, その外心・重心・垂心をすべて通る直線です.