　$0 \leq \\{x \\} \lt 1$ であり，$\lfloor x \rfloor$ が整数であることから，$\lfloor x \rfloor=68, ~ \\{ x \\}=\dfrac{2}{3}$ である．よって $x=\lfloor x \rfloor+\\{ x\\}=\dfrac{206}{3}$ と一意に定まり，特に解答すべき値は $\mathbf{209}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/7035
　正の実数 $x$ について，$\lfloor x \rfloor$ で $x$ の整数部分， $\\{ x \\}$ で $x$ の小数部分を表すものとします（ただし，$x$ が整数のとき $\lfloor x \rfloor=x,~ \\{ x \\}=0$ とします）．このとき，
$$\lfloor x \rfloor - \\{ x \\}=\frac{202}{3}$$
をみたす正の実数 $x$ の総和を求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．