　条件をみたす正整数 $x$ は正整数 $a,b$ を用いて
$$x=a(a+p)=b(b+2p)$$
すなわち
$$x=\left( a+\frac p2 \right)^2 -\frac{p^2}{4} = (b+p)^2-p^2$$
と表せ, これを変形することで
$$\left( a+b+\frac{3p}{2} \right) \left( b-a+\frac p2 \right) = \frac{3p^2}{4}$$
$p=2$ は明らかに不適であるから, 左辺の因数はそれぞれ半整数であり, あり得る分解は以下のいずれかである.
$$\dfrac{3p^2}{2}\times\dfrac{1}{2},\quad \dfrac{p^2}{2}\times\dfrac{3}{2}$$
　前者のとき, $a,b$ は確かに正整数であり, 以下のように計算できる.
$$x=\frac{(3p+1)(3p-1)(p+1)(p-1)}{16}$$
これが特に $337$ の倍数になる場合を考えることで, $p$ として $(337\times 4-1)\/3 = 449$ が最小とわかる.\
　後者のとき, $a,b$ は確かに正整数であり, 以下のように変形できる.
$$x=\frac{(p+3)(p-3)(p+1)(p-1)}{16}$$
同様にして $p$ として $337\times 2-1=673$ が最小である.\
　以上より, 求める答えは $\bf{449}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc137/editorial/2716
　解説にちょっとした付け足しをしておきます．

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1. 　(解説 7 行目) 「 $p=2$ は明らかに不適」とありますが，なぜでしょうか．
<details>
<summary>理由<\/summary>
　解説の $a,b$ を引き継ぐと
$$(a+b+3)(b-a+1)=3$$
となります．$a,b$ は正の整数なので $a+b+3$ と $b-a+1$ はともに整数であり，$a+b+3$ は $3$ より大きいため不適となります．  
　（ $p=2$ だと問題の答えが $2$ になって変，というメタ読みも可能ですが...）
<\/details>

2. 　(解説 8 行目)　あり得る分解がなぜこれだけなのでしょうか．
<details>
<summary>理由<\/summary>
　二つの因数が半整数なのは $p\neq 2$ から分かります（半整数とは $2$ を掛けて奇数になる数のことです）．\
　これに留意して，$\dfrac{3p^2}{4}$ の分解を書き出します．すると
$$\left(\frac{3p^2}{2}, \frac{1}{2} \right),　\left(\frac{p^2}{2}, \frac{3}{2}\right),　\left(\frac{3p}{2}, \frac{p}{2}\right)$$
の $3$ 通りが見つかります．しかし，$a+b+\dfrac{3p}{2}$ は $\dfrac{3p}{2}$ より大きいため，どちらも $\dfrac{3p}{2}$ 以下である 3 つ目の分解は不適だと分かります．
<\/details>

3. 　(解説 11 行目・オマケ)　$x$ が $2022$ の倍数であるために，$x$ は $337$ の倍数であることが必要です．しかし実は，これは十分でもあります（さらに，このとき $x$ は $20220$ の倍数にもなります）．なぜでしょうか．
<details>
<summary>理由<\/summary>
　奇数 $n$ について，$(n+1)(n-1)$ は $8$ の倍数となります．これは，$n+1$ と $n-1$ は両方偶数で，しかも片方は $4$ の倍数であるためです．いま $p, 3p$ は奇数なので，分子は $8\times 8=64$ の倍数です．つまり，$x$ は $4$ の倍数です．  
　一方，$x$ が $337$ の倍数なので，$p=3$ は適しません．つまり $p$ は $3$ の倍数ではありません．よって，$p+1, p-1$ のうちどちらかが必ず $3$ の倍数になるので，分子は $3$ の倍数になります．分母の $16$ は $3$ の倍数でないため，$x$ は $3$ の倍数です．  
　以上から，$x$ は少なくとも $337\times 4\times 3=4044$ の倍数になることが分かりました．   
　$x$ が $5$ の倍数になることを示せば，上と合わせて $20220$ の倍数になることが示せます．ここでは割愛しますが，あまり難しくないので考えてみてください．「後者の場合」(解説下から 4 行目) に関しても，同様の議論をすることができます．
<\/details>
ユーザー解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc137/editorial/2716/178
　非負整数 $n$ に対し，差が $n$ である $2$ つの正整数の積として表せる数を $n$ **等数**とよぶことにします．例えば $15=3\times 5=1\times 15$ より，$15$ は $2$ 等数かつ $14$ 等数です．\
　このとき，以下の条件をみたす最小の素数 $p$ を求めてください．
- $p$ 等数かつ $2p$ 等数であり，さらに $2022$ の倍数である正整数が存在する．