　回転の中心となる点を $O$ とすると, 三角形 $APO, BQO, CRO, DSO$ は正三角形となる. よって, 
$$AO=15,\quad BO=7,\quad CO=20$$ 
がわかり, British flag theoremより求める答えは
$$DS=DO=\sqrt{15^2+20^2-7^2}=\textbf{24}$$
である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc113/editorial/4444
　正方形 $ABCD$ を, ある内部の点を中心に $60\degree$ 回転させたものを正方形 $PQRS$ とします. ただし, $A$ は $P$ に, $B$ は $Q$ に, $C$ は $R$ に, $D$ は $S$ に移ったものとします. 
$$AP=15,\quad BQ=7,\quad CR=20$$
であるとき, $DS$ の長さを求めてください.