　$AD\parallel BC$ から $\angle PBC =\angle PCB$ が分かり，従って $BP = CP$ である．また二角相等から三角形 $ PAB$ と三角形 $PCD$ は相似であり，その相似比は $3:4$ である．よって
$$AP : CP = BP : DP = 3 : 4$$
であるから，$BP = CP$ に気をつけることで $AP : DP = 9 : 16$ が分かる. 以上より
$$AP = 10\times\frac{9}{25} = \frac{18}{5}$$
を得る. 特に解答すべきは $\bf{23}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/3476
　辺 $AD$ と辺 $BC$ が平行であるような台形 $ABCD$ が
$$
AB=3,\hspace{2mm} CD=4,\hspace{2mm} DA=10
$$
をみたしており，その辺 $AD$ 上に点 $P$ をとると，
$$
\angle ABP=\angle ADC, \hspace{2mm} \angle APB= \angle CPD
$$
が成り立ちました．このとき，線分 $AP$ の長さは互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表されるので，$p+q$ の値を解答してください．