　黒板に現れる数 $x$ をそれぞれ $1\/(x-1)$ に置き換えると，初めには $1\/(k^2-1)\ (k=2,3,...,10000)$ が書かれており，問題文の操作によって $1\/(a-1)$ と $1\/(b-1)$ を消して書き足す数は
　　$$\displaystyle \frac{1}{\frac{ab-1}{a+b-2}-1}=\frac{a+b-2}{ab-a-b+1}=\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}$$
であるから, 操作の方法によらず黒板に書かれた数の総和は一定であり, 特に最後に残る数を$S$とすると
　　$$\begin{aligned}\frac{1}{S-1}&=\sum_{k=2}^{10000}\frac{1}{k^2-1}\\\\
　　&=\sum_{k=2}^{10000}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k+1}\right)\\\\
　　&=\frac{1}{2} \left(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{9998}-\frac{1}{10000}\right)+\left(\frac{1}{9999}-\frac{1}{10001}\right)\right)\\\\
　　&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10000}-\frac{1}{10001}\right)=\frac{149994999}{200020000}\end{aligned}$$
　よって以下が従う.
　　$$S=\displaystyle\frac{200020000}{149994999}+1=\frac{350014999}{149994999}$$
これは既約分数であるから, 求める値は $350014999+149994999=\textbf{500009998}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc016/editorial/104
　黒板に $9999$ 個の整数 $2^2,3^2,4^2,...,10000^{2}$ がそれぞれ一つずつ書かれています. ここで, 黒板に書かれている数がちょうど $1$ つになるまで, 次の操作を繰り返し行うとき, 最後に黒板に残る数としてあり得るものの総和を求めてください.

- 操作：黒板から $2$ つの数 $a,b$ を選んで消し, 新たに $\displaystyle \frac{ab-1}{a+b-2}$ を書き足す．

　ただし, 答えは最大公約数が $1$ であるような正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.