　各位の和が $18$ だから $n$ は $9$ の倍数であり，$n$ は正の約数を $10$ 個もつため，$n$ が $3$ で割り切れる回数は $4$ 回か $9$ 回である．一方 $3^9=19683\geq10^3$ であるから，ある $3$ でない素数 $p$ を用いて $n=3^4\times{p}$ と表せることがわかる．$n$ は $3$ 桁の正整数なので，$p=2,5,7,11$ についてそれぞれ $n$ の各位の和が $18$ であるかどうか調べればよく，$n=567,891$ のときに条件を満たす．よって，解答すべき値は $567+891=\bf{1458}$．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb008/editorial/4033
　以下の条件を満たすような $3$ 桁の正整数 $n$ の総和を求めて下さい.
- 各位の和が $18$  ．
- 正の約数をちょうど $10$ 個持つ．