　$n$ を任意の正の整数とし，$100$ を $2n$ に置き換えて考える．\
　上から $a$ 行目，左から $b$ 列目にあるマスを $(a,b)$ と呼ぶ．また，
$$(1,n+1),\quad (2,n),\quad (3,n+1),\quad (4,n),\quad \cdots, \quad (2n-1,n+1),\quad (2n,n)$$
を「中央のマス」と呼び，中央のマスより左側にあるマスを単に「左側のマス」，中央のマスより右側にあるマスを単に「右側のマス」と呼ぶことにする．また，$a+b$ が偶数ならば $(a,b)$ を白に塗り，奇数ならば $(a,b)$ を黒に塗る．\
　左側のマスの内，$(1,n)$ と同じ色のマスは $n^2$ マス，違う色のマスは $n^2-n$ マスある．どのタイルも黒のマスと白のマスを$1$ つずつ覆うので，左側のマスのみを覆っているタイルは高々 $n^2-n$ 枚しかない．同様に，右側のマスのみを覆っているタイルも高々 $n^2-n$ 枚しかない．さらに，左側のマスと右側のマスを同時に覆うタイルは存在しないので，中央のマスであって $n^2-n+1$ 以下の整数が書かれたタイルに覆われているマスが存在する．よって，
$$N_{1,n+1} + N_{2,n} + \cdots + N_{2n-1,n+1} + N_{2n,n} \le n^2-n+1 + \sum_{k=0}^{2n-2}(2n^2 - k) = n(4n^2-3n+2)$$
である．\
　また，等号が成立するようなタイルの配置が存在することが確認できる．従って，$n=50$ の場合を考えることで，求める答えは $\bf{492600}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc214/editorial/8073
　$1$ 以上 $5000$ 以下の整数のうち $1$ つが書かれている $1\times2$ のタイルが $5000$ 枚あり，どの $2$ 枚のタイルについても書かれている数は相異なります．これらのタイルを重なりも隙間もなく $100\times100$ のマス目に敷き詰めると，次の条件を満たしていました．
- $1$ 以上 $4999$ 以下の任意の整数 $k$ について，$k$ が書かれたタイルと $k+1$ が書かれたタイルは長さ $1$ 以上の線分を共有して隣り合う．

また，上から $a$ 行目，左から $b$ 列目にあるマスを覆うタイルに書かれた数を $N_{a,b}$ とします．このとき，
$$N_{1,51} + N_{2,50} + N_{3,51} + N_{4,50} + \cdots + N_{99,51} + N_{100,50}$$
として考えられる最大の値を解答してください．