　与方程式の $3$ 解を $0\lt x\lt y\lt z$ とすれば, 解と係数の関係より
$$x+y+z=a,\quad xy+yz+zx=\dfrac{a^2}{4}$$
ここから $a$ を消去すれば, $x,y,z$ の大小関係より
$$x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx=0 \implies z=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}$$
　いま, $\gcd(x,y)=g$ とおけば, $x=gs^2,y=gt^2$ とおけ, $z=g(s+t)^2$ である. したがって, $x,y,z$ の最大公約数も $g$ であるから, これが平方数であることから $x,y,z$ はすべて平方数である. $x=X^2,y=Y^2$ とおけば
$$a=X^2+Y^2+(X+Y)^2=2(X^2+XY+Y^2)$$
　以上より, 問題は $X^2+XY+Y^2\leq 150$ なる正整数の組 $X\lt Y$ を数え上げることに帰着された. $X\leq 6$ であることに注意して計算することで, このような組は $\textbf{36}$ 個存在することが確認できる.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc085/editorial/2593
　以下の条件をみたす正整数の組 $(a,b)$ のうち, $a\leq 300$ なるものはいくつありますか？

- $t$ についての方程式 $t(2t-a)^2=b$ が相異なる $3$ つの正整数解をもち, それらの最大公約数は平方数である.