　条件は $p_1\lt p_3\lt \cdots\lt p_{15}$ かつ $p_2\lt p_4\lt \cdots\ p_{14}$ と言い換えることができるから，$\\{p_1,p_3,\ldots,p_{15}\\}$ に現れる $8$ 数を決めれば，並べ替えは一意に定まる．よって，求める場合の数は ${}\_{15}\mathrm{C}\_{8} = \textbf{6435}$ 通りである．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/somc006/editorial/6438
　$(1,2,3\ldots,15)$ の並び替え $(p_{1}, p_{2}, p_3, \ldots, p_{15})$ であって，以下をみたすものはいくつありますか？
$$p_{1}p_{2} \lt p_{2}p_{3} \lt p_{3}p_{4} \lt\cdots\lt p_{14}p_{15}$$