　任意の $1$ 以上 $7$ 以下の整数 $i$ について，$a_i=\sqrt{x_1+\cdots+x_i}$ とすると
$$S+T-1=a_1^2+\frac{a_2^2}{a_1}+\frac{a_3^2}{a_2}+\cdots+\frac{a_7^2}{a_6}+\frac{1}{a_7}$$
である．ここで，$a_0=1$ とすると，相加相乗平均の不等式より
$$\begin{aligned}
S+T-1&=\sum_{k=0}^7 \frac{a_{k+1}^2}{a_k}\\\\
&=\sum_{k=0}^7 2^k\cdot \frac{a_{k+1}^2}{2^k\cdot a_k}\\\\
&\geq\bigg(\sum_{k=0}^7 2^k\bigg)
\bigg(\prod_{k=0}^7 \Big(\frac{a_{k+1}^2}{2^k\cdot a_k}\Big)^{2^k} \bigg)^{(\sum_{k=0}^7 2^k)^{-1}}\\\\
&= (2^8-1)\bigg(\prod_{k=0}^7 \frac{a_{k+1}^{2^{k+1}}}{2^{k\cdot2^k}\cdot a_k^{2^k}} \bigg)^{(2^8-1)^{-1}}\\\\
&=(2^8-1)\Big(2^{-\sum_{k=0}^7 k\cdot 2^k}\Big)^{(2^8-1)^{-1}}\\\\
&=(2^8-1)\cdot 2^{-\frac{6\cdot 2^8+2}{2^8-1}}
\end{aligned}$$
を得る．また，実際に等号を成立させる $x_1,x_2,\ldots,x_8$ は存在するので，$m=(2^8-1)\cdot 2^{-\frac{6\cdot 2^8+2}{2^8-1}},n=2^8-1$ を得る．よって
$$m^n=\frac{(2^8-1)^{2^8-1}}{2^{6\cdot 2^8+2}}$$
であり， $a+b=(6\cdot 2^8+2) + (2^8-1)=\mathbf{1793}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc239/editorial/10025
　実数 $x_1,x_2,...,x_8$ はその総和が $1$ であり，任意の $1$ 以上 $7$ 以下の整数 $i$ について，$x_1+x_2+\cdots +x_i\gt0$ を満たします．ここで，$S,T$ を次のように定めます．
$$S=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+x_2}+\cdots+\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_7}+\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_8}$$
$$T=\frac{x_2}{\sqrt{x_1}}+\frac{x_3}{\sqrt{x_1+x_2}}+\cdots+\frac{x_8}{\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_7}}+\frac{x_1}{\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_8}}$$
 $S+T-1$ の取り得る最小値を $m$ とすると，$m^N$ が有理数となるような正の整数 $N$ が存在します．このような $N$ の最小値を $n$ とするとき，$m^n$ を既約分数で表すと分母は $2$ で $a$ 回，分子は $3$ で $b$ 回割り切れます．$a+b$ を解答してください．