　$81$ 個のマスに書かれた整数は
$$(1+2+\cdots + 9)^2$$
を展開すればすべて現れるので，$81$ 個のマスに書かれた整数の総和は $45^2=2025$ である．ここで，$9\times 9, 9\times 8, 8\times 9, 8\times 8, 2\times 4$ 以外の $76$ 個のマスを選択すると，そこに書かれた整数の総和は
$$2025-(9\times 9 + 9\times 8 +8\times 9 + 8\times 8 + 2\times 4)=1728 =12^3$$
となり，立方数である．一方で $77$ 個以上のマスを選択したとき，それらの総和の最小値は
$$2025-(9\times 9 + 9\times 8 +8\times 9 + 8\times 8)=1736$$
である．これと $1736$ 以上 $2025$ 以下の立方数が存在しないことより，$n\geq 77$ となる整数の選び方は存在しない．したがって求める $n$ の最大値は $\mathbf{76}$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb029/editorial/11677
　$9 \times 9$ のマス目があり，上から $i$ 行目，左から $j$ 列目のマスには整数 $i\times j$ が書き込まれています．ここから相異なる $n$ 個のマスを選び，選んだマスすべてに書かれた数字を合計すると立方数となりました．このような正整数 $n$ としてありうる最大値を求めてください．