　$11$ 以下の正整数 $n$ に対し $T_n$ を
$$T_n = \sum_{k = n}^{11} a_k$$
と定めると，$\displaystyle A = \prod_{n=1}^{11} T_n$ と表すことができる．一方で
$$\sum_{n=1}^{11} n^2 a_n = \sum_{n=1}^{11} (2n - 1)T_n$$
が成り立つので，
$$N = \prod_{n=1}^{11} (2n - 1) = 3^5 \times 5^2 \times 7^2 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19$$
とすると，相加平均・相乗平均の不等式から
$$\prod_{n=1}^{11} T_n = \frac{1}{N} \prod_{n=1}^{11} (2n - 1)T_n \leq \frac{1}{N} \left ( \frac{1}{11} \sum_{n=1}^{11} (2n - 1)T_n \right )^{11} = \frac{1}{N} \left ( \frac{1110}{11} \right )^{11}$$
が成り立つ．また，この不等式の等号成立条件 $T_1 = 3T_2 = \cdots = (2n - 1)T_n = \cdots = 21T_{11}$ をみたすような $a_1, ..., a_{11}$ は確かに存在する．
<details><summary>構成例<\/summary>
具体的に $a_1, ..., a_{11}$ を以下のように定めればよい．
$$
\begin{aligned}
a_n = \frac{2220}{11(4n^2 - 1)}\ (n = 1,\ldots, 10),\qquad a_{11} = \frac{370}{77}
\end{aligned}
$$
<\/details>

　ゆえに求める最大値は
$$\frac{1}{N} \left ( \frac{1110}{11} \right )^{11} = \frac{2^{11} \times 3^6 \times 5^9 \times  37^{11}}{7^2 \times 11^{12} \times 13 \times 17 \times 19}$$
であり，解答すべき値は
$$(1 + 1)^3(2 + 1)(6 + 1)(9 + 1)(11 + 1)^2(12 + 1) = \mathbf{3144960}$$
である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/7327
　$11$ 個の正の実数 $a_1, \ldots, a_{11}$ に対して，正の実数 $A$ を以下で定めます：

- $i=1,2,\ldots,11$ それぞれで $i \leq n_i \leq 11$ をみたすような $11$ 個の整数の組 $(n_1, \ldots , n_{11})$ は $11!$ 通りあるが，それらすべてに対する $a_{n_1}a_{n_2}\cdots a_{n_{11}}$ の総和を $A$ とする．

　いま，$a_1, \ldots, a_{11}$ が
$$\sum_{n=1}^{11} n^2 a_n = 1110$$
をみたすとき，$A$ としてありうる最大値は互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，積 $pq$ がもつ正の約数の個数を解答してください．