　一般に箱が $k$ 個，玉が $k$ 種類あり，箱 $i$ に玉 $i$ と玉 $i+1$ を合わせて $c_{i}$ 個入れるときの答えを考える．各 $i\~(1\leq i\leq k)$ について箱 $i$ に玉 $i$ を $x_i$ 個入れるとき $a\_{i}=x\_{i}+c\_{i+1}-x\_{i+1}$ であることに注意すれば，次を考えればよい：
- 各 $i\~(1\leq i\leq k)$ について $0\leq x_i\leq c_i$ をみたす整数 $k$ 個の組 $(x_1,\dots,x_k)$ を**良い組**と呼ぶこととする．$X=(x_1,\dots,x_k)$ が良い組であるとき，$\varphi(X):=(x\_{1}-x\_{2},\dots,x\_{k-1}-x\_{k},x\_{k}-x\_{1})$ としてあり得るものはいくつあるか？

ここで良い組 $X=(x_1,\dots,x_k),X^\prime=(x_1^\prime,\dots,x_k^\prime)$ について次は同値である．
- $\varphi(X)=\varphi(X^\prime)$．
- ある整数 $n$ が存在し，任意の $i~(1\leq i\leq k)$ について $x_i=x_i^\prime+n$．

また良い組 $X=(x_1,\dots,x_k)$ について $(x_1-\min X,\dots,x_k-\min X)$ も良い組であるから，結局良い組 $X$ であって $\min X=0$ を満たすものの個数を数えればよいことがわかる．
これは $0\le x\_{i}\le c\_{i}\ (1\le i\le k)$ を満たす組 $(x_1,\dots,x_k)$ の個数から $1\le x\_{i}\le c\_{i}\ (1\le i\le k)$ を満たす組 $(x_1,\dots,x_k)$ の個数を減ずれば求められ，答えは
$$\prod\_{i=1}\^{k}(c\_{i}+1)-\prod\_{i=1}\^{k}c\_{i}$$
である．\
　特に本問においては $k=9, c\_{i}=10$ であるため，求める値は $11\^{9}-10\^{9}=\mathbf{1357947691}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc110/editorial/4303
　$9$ つの箱 $1,2,\dots,9$ があり，これらに $9$ 種類の玉 $1,2,\dots,9$ を次をみたすように入れることを考えます．
- 各 $i=1,2,\dots,9$ に対し箱 $i$ には 玉 $i$ と玉 $i+1$ が合わせて $10$ 個入っており，それ以外の種類の玉は1つも入っていない．

ただし玉 $10$ は玉 $1$ を表すものとし，また $1$ 種類の玉しか入っていない箱があっても構いません．
箱に入っている玉 $i$ の総数を $a_i$  とするとき，組 $(a_1,a_2,\dots,a_9)$ としてあり得るものは何通りありますか？