**注意**：以下の解説では, $V(\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.

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　$\mathfrak{C}$ において, 小立方体を組み合わせてできる部分直方体 $1$ つに対し, 良い三角形 $8$ つが対応することが容易にわかる. 部分直方体は ${}\_{a+1}\textrm{C}\_{2} \times {}\_{b+1}\textrm{C}\_{2}\times {}\_{c+1}\textrm{C}\_{2} $ 個存在することから, 条件を整理すれば以下のようになる.
$$a(a+1)b(b+1)c(c+1)=2^6\times 3\times 7^2\times 11\times 13=7\times 8\times11\times12\times13\times14$$
このような $\lbrace a,b,c\rbrace$ は $\lbrace 7,11,13\rbrace$ に限られるから(求値の上では一意性を用いればよい), $V=\textbf{1001}$ である.
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/18
**注意**：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.

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　$\mathfrak{C}$ は各辺の長さが正整数値であり, 一辺 $1$ の小立方体に分割されています. ある小立方体の頂点であるような相異なる $3$ 点を繋いでできる三角形が**良い**とは, 以下の条件をみたすことをいいます.

- 各辺はそれぞれある $\mathfrak{C}$ の面と平行である.
- 三角形のなす平面は $\mathfrak{C}$ のどの面とも平行でない.

良い三角形が $2^6\times 3\times 7^2\times 11\times 13$ 個存在したとき, $V(\mathfrak{C})$ を求めてください.\
　ただし, ここで答えが一意に定まることが保証されます.