　$S_k = \alpha^k + \beta^k + \overline{\alpha}^k + \overline{\beta}^k$ とおく．これは実数であり，$\operatorname{Re}(\alpha^k+\beta^k)\lt 0$ は $S_k\lt 0$ と同値である．\
　まず，$(\alpha, \beta) = (e^{\frac{2\pi i}{5}}, e^{\frac{4\pi i}{5}})$ のとき $S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = -1$ が成り立つ．\
　以下，$S_1,S_2,\ldots,S_5\lt 0$ として矛盾を導く．いま，$t$ についての多項式として
$$ (t-\alpha)(t-\beta)(t-\overline{\alpha})(t-\overline{\beta}) = t^4 - at^3 + bt^2 - ct + d $$
が成り立つように $a,b,c,d$ を定めると，これらはすべて実数である．このとき，
$$\begin{aligned}
    a &= S_1, \\\\
    2b &= a S_1 - S_2, \\\\
    3c &= b S_1 - a S_2 + S_3, \\\\
    4d &= c S_1 - b S_2 + a S_3 - S_4, \\\\
    0 &= d S_1 - c S_2 + b S_3 - a S_4 + S_5
\end{aligned}$$
が成り立つ．すると，第 $1$ 式により $a\lt 0$，第 $2$ 式により $b\gt 0$，第 $3$ 式により $c\lt 0$，第 $4$ 式により $d\gt 0$ と，符号が順次定まるが，このとき第 $5$ 式の右辺が負となるため矛盾する．\
　以上により，求める最大値は $4$ である．
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/hamamatsu2023f/editorial/9371
　以下の条件をみたす複素数 $\alpha,\beta$ が存在するような，最大の正の整数 $n$ を求めよ：

- 任意の $1$ 以上 $n$ 以下の整数 $k$ について，$\alpha^k+\beta^k$ の実部が負となる．