　$a, b, c$ に重複がある場合, 対称性より $a=b$ として考えてよく, 与式は
$$(a+c)(a-c)^2=256$$
となる. 左辺の因数はすべて $2$ べきであることに留意すると, 以下およびその巡回が適する. 
$$(6, 6, 10), (10, 10, 6), (31, 31, 33), (33, 33, 31)$$
　以下そうでない場合を考える. ここで, $a, b, c$ の偶奇は一致することが容易にわかり, 左辺が斉次式であることに留意すれば, $a, b, c$ は相異なる奇数であり, 右辺が $4, 32, 256$ のいずれかである場合に帰着される.\
　対称性より, $a\lt b\lt c$ または $a\lt c\lt b$ の場合について考えればよい. 正の偶数 $d, e$ を用いて前者は $b=a+d, c=a+d+e$, 後者は $b=a+d+e, c=a+d$ と表せる. それぞれの場合について与式の左辺を展開すると
$$2ad^2+2ade+2ae^2+d^3+2d^2e+3de^2+e^3$$
$$2ad^2+2ade+2ae^2+d^3+d^2e+2de^2+e^3$$
なお, $a^2(a-b)+b^2(b-c)+c^2(c-a)$ と書き換えることで展開が容易になる. よって, いずれの場合も
$$256\ge (左辺) \gt 2a(d^2+de+e^2)+(d+e)(d^2+e^2)$$

- $d=e=2$ のとき, 展開した式に代入することで, $(9, 13, 11)$ が唯一適することが分かる.
- $\\{d,e\\}=\\{2,4\\}$ のとき, $256\gt 56a+120$ より $a=1$ が分かり, $(1, 3, 7)$ のみが適する.
- $d+e\ge8$ のとき, $256\gt 2a(d^2+de+e^2)+8(d^2+e^2)\gt 8\times32=256$ となり不適である.

　以上より, 以下とその巡回が適する. よって解答すべき値は $3(11 + 33 + 22 + 26 + 95 + 97)=\mathbf{852}$. 
$$(1, 3, 7), (9, 13, 11), (6, 6, 10), (10, 10, 6), (31, 31, 33), (33, 33, 31)$$
公式解説
https://onlinemathcontest.com/contests/omc126/editorial/2445
　正整数の（順序を区別する）組 $(a, b, c)$ であって
$$a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a=256$$
をみたすものすべてについて, $a+b+c$ の総和を求めてください.